Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 1 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

Единый государственный экзамен

по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя

19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня

сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного

уровня сложности и 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и

высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3

часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу

в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля

ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и

ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.

Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в

черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов

не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее

количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в

бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1

sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼

cos 2𝛼 = cos2 𝛼 − sin2 𝛼

sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ sin 𝛽

cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 − sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽

Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная

десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы,

затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера

соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую

цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в

соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы

измерений писать не нужно.

Часть 1

1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 20 копеек. Счётчик

электроэнергии 1 ноября показывал 669 киловатт-часов, а 1 декабря

показывал 846 киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за

электроэнергию за ноябрь? Ответ дайте в рублях.

Ответ: ___________________________.

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков,

выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали

указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в

соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на

рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Томске

впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.

Ответ: ___________________________.

1

2

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 2 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён угол. Найдите

синус этого угла.

Ответ: ___________________________.

По отзывам покупателей Василий Васильевич оценил надёжность двух

интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из

магазина А, равна 0,93. Вероятность того, что этот товар доставят из

магазина Б, равна 0,94. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих

магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от

друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Ответ: ___________________________.

Найдите корень уравнения

3log9(4𝑥+1) = 9.

Ответ: ___________________________.

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸 − средняя линия. Площадь треугольника 𝐶𝐷𝐸 равна

24. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶.

Ответ: ___________________________.

На рисунке изображён график некоторой функции 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Функция 𝐹(𝑥) = −4

9𝑥3 −

34

3𝑥2 −

280

3𝑥 −

18

5 — одна из первообразных

функции 𝑓(𝑥). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: ___________________________.

3

4

5

6

7

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 3 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные

углы прямые).

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

Часть 2

Найдите значение выражения

2 sin(𝛼 − 7𝜋) + cos (3𝜋2

+ 𝛼)

sin(𝛼 + 𝜋).

Ответ: ___________________________.

Рейтинг 𝑅 интернет-магазина вычисляется по формуле

𝑅 = 𝑟пок −𝑟пок − 𝑟экс

(𝐾 + 1) ∙0,02𝐾

𝑟пок + 0,1

,

где 𝑟пок − средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), 𝑟экс − оценка

магазина экспертами (от 0 до 0,7) и 𝐾 − число покупателей, оценивших

магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей,

оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,25, а

оценка экспертов равна 0,61.

Ответ: ___________________________.

Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса,

находящейся в 1,5 км от дома. Один идёт со скоростью 2,2 км/ч, а другой —

со скоростью 4,4 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью

возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления

произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

Ответ: ___________________________.

Найдите наименьшее значение функции

𝑦 = (𝑥 − 9)2(𝑥 + 4) − 4 на отрезке [7; 16].

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в

соответствии с инструкцией по выполнению работы.

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером

соответствующего задания.

8

9

10

11

12

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 4 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте БЛАНК

ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14

и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы

записывайте чётко и разборчиво.

а) Решите уравнение

(tg2𝑥 − 3) ∙ √11 cos 𝑥 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[−5𝜋

2; −𝜋].

Точка 𝐸 − середина ребра 𝐴𝐴1 куба 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью 𝐷𝐸𝐵1 является ромбом.

б) Найдите угол между прямыми 𝐷𝐸 и 𝐵𝐷1.

Решите неравенство

20log42(cos 𝑥) + 4 log2(cos 𝑥) ≤ 1.

В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 известны стороны и диагональ:

𝐴𝐵 = 3, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 5, 𝐴𝐷 = 8, 𝐴𝐶 = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать

окружность.

б) Найдите 𝐵𝐷.

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах

производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном

во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе,

трудятся суммарно 𝑡2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4𝑡

единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе,

трудятся суммарно 𝑡2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5𝑡

единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему

500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 410 единиц

товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату

труда рабочих?

Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение

√3𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 1 = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1

имеет ровно три различных корня.

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 28?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного

числа и суммы его цифр?

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером

соответствующего задания.

13

14

15

16

17

18

19

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 5 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА:

ФИО: Евгений Пифагор

Предмет: Математика

Стаж: 9-й год готовлю к ЕГЭ

Регалии:

Набрал 96 баллов на ЕГЭ по математике (профиль)

14 учеников набрали 90-99 баллов на ЕГЭ 2019

Высшее образование (ТГУ, 2009-2014)

Победитель трёх олимпиад по высшей математике

Аккаунт и

группа ВК:

https://vk.com/eugene10

https://vk.com/shkolapifagora

Ютуб и

инстаграм:

https://youtube.com/ШколаПифагора

https://instagram.com/shkola_pifagora

Система оценивания экзаменационной работы по математике

(профильный уровень)

Каждое из заданий 1–12 считается выполненными верно, если

экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной

десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1

баллом.

Номер

задания Правильный ответ

Текстовое

решение

Видео

решение

1 212,4 2 9 3 0,8 4 0,0042 5 20 6 96 7 6 8 15 9 1

10 0,265 11 1 12 -4

13

а) ±𝜋

3+ 2𝜋𝑛; 𝑛 ∈ 𝑍

б) −5𝜋

3; −

7𝜋

3

14 arccos√15

15

15

[−𝜋

3+ 2𝜋𝑛;

𝜋

3+ 2𝜋𝑛] ; 𝑛 ∈ 𝑍

16 55/7 17 2 050 000

18

[−2; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; 2]

19

а) да, например 140

б) нет

в) 11

О проекте «Пробный ЕГЭ каждую неделю»

Данный ким составлен командой всероссийского волонтёрского проекта

«ЕГЭ 100 баллов» https://vk.com/ege100ballov и безвозмездно

распространяется для любых некоммерческих образовательных целей.

Нашли ошибку в варианте?

Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её исправим!

Для замечаний и пожеланий: https://vk.com/topic-10175642_39951777

(также доступны другие варианты для скачивания)

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 6 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

Решения и критерии оценивания заданий 13–19

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит

от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом:

решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные

случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и

формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором

обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное

количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения

оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание

представленного решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и

ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных

пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к

использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию

образовательных программ среднего общего образования.

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 7 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 8 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 9 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №9 10 / 10

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

71

12

7

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой

аттестации по образовательным программам среднего общего образования

(приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 07.11.2018 №

190/1512, зарегистрирован Минюстом России 10.12.2018 № 52952)

«82. <…> По результатам первой и второй проверок эксперты

независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания

экзаменационной работы ЕГЭ с развернутым ответом. <…>

В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя

экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в

баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному

предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется

информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими

экзаменационную работу».

Существенными считаются следующие расхождения:

1) расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение

любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом случае третий

эксперт проверяет только ответ на то задание, который был оценен двумя

экспертами со столь существенным расхождением;

2) расхождения экспертов при оценивании ответов на хотя бы два из

заданий 13–19. В этом случае третий эксперт проверяет ответы на все

задания работы.