FísicaClásica

Profesor: M. en C. Gerardo Villa Martínez

Martes a viernes:7:00 hrs. – 8:30 hrs.

Laboratorio de Física Clásica (laboratorio de Físico-Química) los viernes

Magnitud EscalarEs completamente especificado por un solo valor con una unidadapropiada, no tiene dirección.

Ejemplos: Volumen ,masa, energía, densidad, trabajo.

Magnitud VectorialEs completamente especificado por un número y unidades apropiadasmás una dirección.Ejemplos: Fuerza, desplazamiento, velocidad, impulso.

Un vector se representa mediante una flecha con una inclinación dada. El punto de la flecha indica sentido y la longitud representa el módulo del vector

𝑷 Vector (Impulso)

𝑷 = 𝑷 Magnitud o módulo de 𝑷

𝑷 =𝑷

𝑷Vector unitario: Vector de módulo uno

−𝑷 Vector opuesto a 𝑷

¿Cómo describir la posición de un punto en elespacio?

SISTEMAS DE COORDENADAS

Un sistema de coordenadas se compone de:

•Un punto de referencia fijo O, denominado el origen.

•Un conjunto de ejes especificados con escalas y leyendas apropiadas sobre los ejes.

•Instrucciones de cómo marcar un punto en relación con el origen y los ejes.

Un sistema que se utiliza con frecuencia es el sistema rectangular o cartesiano u ortogonal

Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas (𝑥, 𝑦)

CARTESIANO

Un punto arbitrario se define mediante las coordenadas (𝑟, 𝜃)

POLAR

𝒓 𝒓

(𝑥, 𝑦)

𝒓𝒙

𝒓𝒚

𝜽

𝒓𝒚

𝒓𝒙

𝒓𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑟𝑥 𝑟

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑟𝑦

𝑟

𝑟𝑥 = 𝑟 cosθ

𝑟𝑦 = 𝑟 senθ

RELACIÓN ENTRE SISTEMAS DE COORDENADAS

Asumiendo que está medidaen sentido contrario de lasagujas del reloj con respecto aleje x positivo

De polares a cartesianas De cartesianas a polares

𝑟𝑥 = 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟𝑦 = y = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑟𝑦

𝑟𝑥=𝑦

𝑥

𝑟 = 𝑟 = 𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦

2 = 𝑥2 + 𝑦2

En coordenadas cartesianas se utiliza 𝒊, 𝒋 y 𝒌 para representar la dirección de los ejes 𝑥, 𝑦 y 𝑧, respectivamente.

{ 𝒊, 𝒋 , 𝒌} Son vectores unitarios, ortonormales(Base ortonormal)

Se puede expresar el vector 𝒂 en términos de { 𝒊, 𝒋 , 𝒌}

𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗+𝑎𝑧 𝑘

𝐴 = 𝑥𝐴 𝑖 + 𝑦𝐴 𝑗+𝑧𝐴 𝑘

En una base ortonormal, se llaman cosenos

directores del vector 𝐴 a los cosenos de los

ángulos que forman el vector 𝐴 con los vectores de la base

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑥

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑐𝑜𝑠𝛽 =𝑦

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑐𝑜𝑠𝛾 =𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛽

z= 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛾

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜸 = 𝟏

Método del polígono:

A continuación se muestra como sumar dos vectoresgráficamente:Ponga la cola de 𝑠2 en la punta de 𝑠1, en tal caso, laresultante va del punto inicial 𝑃1(cola de 𝑠1) al puntofinal 𝑃2.

Sumar los siguientes vectores

o

De forma general

Método del triángulo:Se coloca el origen de cualquiera de los vectores en elextremo del otro. La resultante se traza desde el origendel primer vector al extremo del otro

El álgebra de vectores tiene las siguientes propiedades:

Ley conmutativa de la suma: A + B = B + A

Ley asociativa de las suma: A + (B + C) = (A + B) + C

Negativo de un vector: el negativo de A es un vector tal que al sumarlo con A da el vector nulo, A + (-A) = 0

Resta de vectores: se define la resta de A y B, denotada A - B, como el resultado de sumar -B al vector A.

Multiplicación por un escalar: Al multiplicar un vector A por un escalar m se obtiene un vector en la misma dirección de A pero con magnitud mA.

Método del paralelogramo:La resultante R de dos vectores A y B es la diagonal del Paralelogramo definido por A y B

Método del triángulo y paralelogramo

A

B

A

B

R = A + B

R = A + B

A + B = B + A

A

BA + B

A + B + C

C

A

BB + C

A + B + C

C

A + (B + C) = (A + B) + C

Consiste en sumar el opuesto al vectorA – B = A + (-B)-(A + B) = -A -B

A

B

R = A - B -B

R = A - B

A

mA

Método de las componentes:Dos vectores son iguales entre si, solamente si sus componentes correspondientes son iguales:

𝒔 = 𝒂 + 𝒃

𝒔𝒙 𝒊 + 𝒔𝒚 𝒋 = 𝒂𝒙 𝒊 + 𝒂𝒚 𝒋 + 𝒃𝒙 𝒊 + 𝒃𝒚 𝒋

𝒔𝒙 𝒊 + 𝒔𝒚 𝒋 = (𝒂𝒙+𝒃𝒙) 𝒊 + (𝒂𝒚 + 𝒃𝒚) 𝒋

𝒔𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙

𝒔𝒚 = 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚

Longitud de s

𝒔 = 𝒔𝒙𝟐 + 𝒔𝒚

𝟐

𝒔 = (𝒂𝒙+𝒃𝒙)𝟐 + (𝒂𝒚 + 𝒃𝒚)

𝟐

𝒕𝒂𝒏𝜽 =𝒔𝒚

𝒔𝒙=𝒂𝒚 + 𝒃𝒚

𝒂𝒙 + 𝒃𝒙

Vector Posición (𝒓) de un punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) en el espacio se escribe como sigue:

𝒓 = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋 + 𝒛 𝒌 donde 𝒓 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐

El producto escalar de dos vectores 𝑎 y 𝑏 escrito como 𝒂 ∙ 𝒃 se define como un escalar cuyo valor es:

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝒄𝒐𝒔𝜙b

a

proyección Magnitud del vector sobre el cual se proyecta

Vector proyección de 𝒃 sobre 𝒂

Propiedades:

𝜙 es el ángulo queforman los dosvectores

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂

𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄

𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒄 + 𝒅 = 𝒂 ∙ 𝒄 + 𝒅 + 𝒃 ∙ 𝒄 + 𝒅

= 𝒂 ∙ 𝒄 + 𝒂 ∙ 𝒅 + 𝒃 ∙ 𝒄 + 𝒃 ∙ 𝒅

𝒎 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒎𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 ∙ (𝒎𝒃)

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝒄𝒐𝒔𝜙

i

j

k

𝒊 ∙ 𝒊 = 𝒊 𝒊 𝐜𝐨𝐬𝝓 = 𝟏 ∙ 𝟏𝐜𝐨𝐬(𝟎) = 𝟏

𝒊 ∙ 𝒋 = 𝒊 𝒋 𝐜𝐨𝐬𝝓 = 𝟏 ∙ 𝟏𝐜𝐨𝒔(𝟗𝟎°) = 𝟎

𝒊 ∙ 𝒌 = 𝒊 𝒌 𝐜𝐨𝐬𝝓 = 𝟏 ∙ 𝟏𝐜𝐨𝒔(𝟗𝟎°) = 𝟎

𝒋 ∙ 𝒋 = 𝒋 𝒋 𝐜𝐨𝐬𝝓 = 𝟏 ∙ 𝟏𝐜𝐨𝐬(𝟎) = 𝟏

𝒋 ∙ 𝒌 = 𝒋 𝒌 𝐜𝐨𝐬𝝓 = 𝟏 ∙ 𝟏𝐜𝐨𝒔(𝟗𝟎°) = 𝟎

𝒌 ∙ 𝒌 = 𝒌 𝒌 𝐜𝐨𝐬𝝓 = 𝟏 ∙ 𝟏𝐜𝐨𝐬(𝟎) = 𝟏

Sean s 𝑎 y 𝑏 vectores : 𝒂 = 𝒂𝒙 𝒊 + 𝒂𝒚 𝒋 + 𝒂𝒛 𝒌

i

j

k

𝒃 = 𝒃𝒙 𝒊 + 𝒃𝒚 𝒋 + 𝒃𝒛 𝒌

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂𝒙 𝒊 + 𝒂𝒚 𝒋 + 𝒂𝒛 𝒌 ∙ 𝒃𝒙 𝒊 + 𝒃𝒚 𝒋 + 𝒃𝒛 𝒌

= 𝒂𝒙𝒃𝒙 + 𝒂𝒚𝒃𝒚 + 𝒂𝒛𝒃𝒛

𝜙 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏𝒂 ∙ 𝒃

𝒂 𝒃

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝒄𝒐𝒔𝜙

𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒃 = 𝒃𝒙𝟐 + 𝒃𝒚

𝟐 + 𝒃𝒛𝟐

Magnitud de un vector :Ángulo:

𝒂 = 𝒂 ∙ 𝒂 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒂𝒚

𝟐 + 𝒂𝒛𝟐

Es la multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector.

El producto vectorial de dos vectores 𝑎 y 𝑏

se escribe como 𝑎 × 𝑏 y es otro 𝑝 , donde

𝑝 = 𝑎 × 𝑏.

El producto vectorial de dos vectores

𝑎 y 𝑏 se escribe como 𝑎 × 𝑏 y es otro

𝑝 , donde 𝑝 = 𝑎 × 𝑏

p

b

a

La magnitud de 𝑝 se describe como 𝒑 = 𝒂 × 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝒔𝒆𝒏𝜙

El vector 𝑝 es perpendicular al plano formado por 𝑎 y 𝑏

Propiedades:𝒂 × 𝒃 ≠ 𝒃 × 𝒂

𝒂 × 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 × 𝒃 + 𝒂 × 𝒄

𝒂 + 𝒃 × 𝒄 + 𝒅 = 𝒂 × 𝒄 + 𝒅 + 𝒃 × 𝒄 + 𝒅

= 𝒂 × 𝒄 + 𝒂 × 𝒅 + 𝒃 × 𝒄 + 𝒃 × 𝒅

Como 𝑖, 𝑗 y 𝑘 son ortogonales

𝒊 × 𝒊 = 𝒋 × 𝒋 = 𝒌 × 𝒌 = 𝟎 𝒊 × 𝒋 = 𝒌

𝒋 × 𝒌 = 𝒊

𝒌 × 𝒊 = 𝒋

𝒊

𝒋 𝒌Determinante:

𝒂 = 𝒂𝒙 𝒊 + 𝒂𝒚 𝒋 + 𝒂𝒛 𝒌 𝒃 = 𝒃𝒙 𝒊 + 𝒃𝒚 𝒋 + 𝒃𝒛 𝒌

𝒂 × 𝒃 =

𝒊 𝒋 𝒌𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒛𝒃𝒙 𝒃𝒚 𝒃𝒛

= 𝒂𝒚𝒃𝒛 − 𝒂𝒛𝒃𝒚 𝒊 − 𝒂𝒙𝒃𝒛 − 𝒂𝒛𝒃𝒙 𝒋 + 𝒂𝒙𝒃𝒚 − 𝒂𝒚𝒃𝒙 𝒌

𝒂 × 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝒔𝒆𝒏

FINUNIDAD II