-قسم الرياضيات وعلوم الحاسب جامعة بورسعيد –وم كلية العل

المقررات الدراسية

للدكتور أحمد سالمة

كتاب مترجم في مقدمة التوبولوجي

عدادا

لدكتور أحمد سالمةا

مقدمة إلى التوبولوجي

Introduction to Topology

ا هو علم التوبولوجي ؟م

، و تنقسم كلمة التوبولوجي إلى Topologyالتوبولوجي كلمة مترجمة من الكلمة اإلنجليزية و التي تعني ( Topos) التي تعود إلى أصل يوناني إلى ( Topo) مقطعين المقطع األول

و ( Logos) و التي تعود ألصل يوناني ( logy)لمقطع الثاني هو ، و ا( Place" ) مكان"، فلو قمنا بعملية ربط المعنيين في الكلمة ، لوجدنا أن التوبولوجي ( Study" ) دراسة"التي تعني

.هو الهندسة الحديثة في دراسة جميع التراكيب والمكونات للفضاءات المختلفة

إذن يعرف علم التوبولوجي :

جميع خصائصد فروع علم الرياضيات و الذي يهتم في دراسة تراكيب و مكونات و هو أح) تحت عمليات التشكيل المتصلة الفضاءات المختلفة ، بحيث تبقى هذه الخصائص متشابهه

Smooth Deformations ) من االنتقالدون أن يقوم بعملية تمزيق أو يترك فتحات في .يضاً أحدهما إلى اآلخر و بالعكس أ

و كأن التعريف يخبرنا أن الهندسة التي يتعامل بها التوبولوجي ليست الهندسة التي نعرفها ، بل :كأنها هندسة مطاطية ، و لكي يتضح المفهوم بشكل جيد ، لندرس اآلتي

التي نعرفها ، أنه بإمكاننا أن نقوم االعتياديةمن المعلوم لدينا أن المستوى اإلقليدي في الهندسة عملية نقل األشكال من مكان إلى آخر عن طريق اإلزاحة ، و بإمكاننا أيضاً أن نقوم بعملية ب

له و عكسه و قلبه ، و لكن ال نستطيع القيام بعملية ثني له أو القيام بعملية تمدد بشكل [م]دوران .متصل

مفهوم الهندسة المطاطية:

بشكل موجز أن األشكال عبارة عن قطع من المطاط قابلة للثني و التمدد ، و كل شكلين أوأكثر .حدهما من اآلخر و بالعكس يكونا متشابهين بإمكاننا أن نحصل على أ

:فمثالً

موجودة في المستوى اإلقليدي بخصائصها ، و نقول أن ، كلها أشكال و المربع [م]المثلث و الدائرة . أحدهما كافىء اآلخر إذا كان لهما نفس المساحة

في الهندسة المطاطية جميع هذه األشكال هي نفسها متشابهه ، فالدائرة هي نفسها المثلث ، و السبب للمثلث و بالعكس [م]ايايعود إلى أنه يمكن تشكل المثلث من الدائرة بثني محيط الدائرة و جعلها كزو

يمكن إعادة تشكل الدائرة من المثلث بعملية تمديد أضالع المثلث إلى دائرة ، و هذا أيضاً ينطبق .على المستطيل

ألحدها و لم نقم Cutأنه عندما قمنا بتشكل أحد هذه األشكال من اآلخر لم نقم بعملية قطع الحظ) و بالتالي في الهدنسة المطاطية .بعملية تزيق للشكل من جهة أي ترك أي نقطة انفصال

يكون األشكال متشابهه إذا استطعنا الحصول على أحدهما من اآلخر بعمليات متصلة ( التوبولوجي بسبب أنه يمكن الحصول عليه من و بالتالي الدائرة ال تشابه الشكل الذي يشبه الرقم . العكس و ب

لم نحتاج إلى أي نتصف رقم قبل الدائرة و لكن في العكس ال يمكن ، بل سنحتاج إلى فصل م .، و قيس عل ذلك بأمثلة عديدة نقطة انفصال من الدائرة إلى الرقم

يكون كالهما ( االنفصالنقاط ) نستطيع القول بأن األشكال التي تشترك بنفس العدد من الفتحات متشابه في الهدنسة المطاطية ، أي كالهما يشتركان في نفس التوبولوجي ، و التي ال تحوي على

.Simply connected space ل بسيطأي فتحة تدعى مترابط بشك

.التوبولوجي يدخل تقريباً في جميع فروع الرياضيات بلغته الخاصة و المميزة

فروع التوبولوجي

:يتفرع التوبولوجي لعدة فروع و هي

( : point-set Topology) التوبولوجي النقطية (1

خصائص الفضاء من ناحية التراكيب كدراسة و هو الفرع الذي يهتم بالتوبولوجي العام من ناحيةCompactness التراص وConnectedness ( الترابط. )

( : Algebraic Topology) التوبولوجي الجبرية (2

و هو الفرع الذي يهتم بشكل عام في دراسة درجات الترابط من خالل التراكيب الجبرية ، مثل ( . Homology) دراسة علم الهمولوجي

( : Geometric Topology) التوبولوجي الهندسية (3

بنية رياضية كل نقطة فيها لها جوار يكون ) Manifoldsو هو الفرع الذي يهتم في دراسة ( .و يهتم باألبعاد حسب أبعاد الفضاء اإلقليدي ( ) هميومورفيك إلى الفضاء اإلقليدي

للتوبوبولوجي العادي ومبني علي الفئات الفازيةوهو تعميم :التوبولوجي الفازي( 4

تأريخ التوبولوجي بشكل موجز

السبعة الجسور في مدينة " بدأ التفكير في التوبولوجي من خالل مشكلة أولير في المسألة المشهورة أول 6371عام ، و كانت ورقة أويلر( Seven Bridges of Königsberg" )كونسبريك

.نتيجة على الفضاء التوبولوجي

بواسطة جوهان 6443عام " Topologie" أول من قدم مصطلح التوبولوجي هم األلمان باسم هو كل Topologistة أن كلمة بندكت ، و من ثم أظهر أصحاب التخصص في اللغة اإلنجليزي

.شخص متخصص في التوبولوجي

أما التوبولوجي الحديثة فتعمد بشكل قوي جداً على مفاهيم نظرية المجموعات التي أسست من قبل .كانتور في أواخر القرن التاسع عشر

لفضاء قام عدة علماء بوضع تعاريف محددة له ، فقام العالم أسكولي و غيرهم بوضع أول تعريف ل . 6091المتري الذي يعتبر حالة خاصة في التوبولوجي حالياً في سنة

و بعدها قام العالم هاوسدورف بوضع تعريف له و الذي يعرف حالياً بفضاء هاوسدورف المشهور سنة . Kazimierz Kuratowskiو لكن أتى العالم كزميرز كورتويسكي . 6064جداً في سنة

.بوضع التعريف المعروف لدينا حالياً 6011

أمثلة

:من أشهر المقوالت من باب الدعابة في التوبولوجي هي

"A topologist is a person who cannot tell a coffee cup from a doughnut "

:رة أن و تقول هذه العبا

) مع قطعة الكعكة ( الذي له يد واحدة ) متخصص التوبولوجي ال يستطيع التميز بين كوب القهوة ( الدائرية

و السبب أنه كالهما له فتحة واحدة و و يمكن تشكيل أحدهما إلى األخر و بالعكس دون وجود أي و الشكل اآلتي يبن Homologyعملية فصل ،و هي أحد تطبيقات علم التوبولوجي الجبرية في

:ذلك

، و هو شريط ( Möbius strip) موبيص و من أشهر األشكال في التوبولوجي أيضاً هوشريط :له سطح واحد و حافة واحدة ، كما في الشكل

:و هنالك الكثير من األمثلة الجميلة و منها أيضاً

تعريف التوبولوجي

The Definition of Topology

:تعريف الرياضي للتوبولوجي

هي مجموعة التي جميع المجموعات الجزئية من أي مجموعة ، و لتكن لتكن ( . power set) و الي تدعى

:، فإذا كان لدينا لنفرض أن .م داخل يكون حاصل اتحادهحاصل اتحاد أي عدد من العناصر داخل ( 6

:بالرموز

:فإن عائلة من المجموعات داخل لتكن

يكون حاصل تقاطعهم من العناصر من داخل أي عائلة تضم عدد محدود [م]حاصل تقاطع( 1 .داخل

:بالرموز

:فإن عائلة من المجموعات داخل لتكن

:أي داخل و المجموعتان ( 7

.عبارة عن توبولوجي على المجموعة فإننا نقول أن

( . Topological Space) الفضاء التوبولوجييدعى و الزوج المرتب

، نشير إلى أن متممة المجموعة المفتوحة ( Open Sets) بمجموعات مفتوحة ر تسمى عناص، و قد تكون في فضاءات توبولوجية خاصة ( Closed set) تكون مجموعة مغلقة في

أي أنها مغلقة و مفتوحة في نفس الوقت ، و في أي ( Clopen Sets) مجموعات تكون كلوبن

.تكون مجموعات كلوبن دائماً فضاء توبولوجي المجموعتين

نشير إلى إشارة بسيطة بأن الشرط الثاني يمكن تبسيطه إلى ان تقاطع أي مجموعتين من عناصر ، و يكون الشرط الثاني المذكور في األعلى عبارة عن يجب أن يكون حاصل تقاطعهم داخل ( .الترجع ) [م]تعميم عن طريق اإلستقراء الرياضي

لتحصل على معلومات عامة عن معنى الكلمة و مقدمة بسيطة مقدمة إلى التوبولوجيال تنسى قراءة .عنها

األساس للفضاء التوبولوجي

The Base of Topological Space

:تعريف

[م]عبارة عن أساس، نقول عن فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا ليكن لدينا

يمكن كتابتها على شكل اتحاد و فقط إذا كان لكل مجموعة مفتوحة إذا للتوبولوجي .من مجموعات في

:أي بمعنى

نسمى المجموعة من عناصر األساس بمجموعة مفتوحة أساسية أو مجموعة مفتوحة من األساس (basic open set) أو نسمها عناصر األساس، (basis elements ) و نشير أن هذا ،

.يد ، وبالتالي يختلف عن مفهوم األساس الذي يكون في الجبر الخطياألتحاد ليس وح

:نالحظ ما يلي

عناصر األساس هي باألصل عناصر في التوبولوجي ، أي أنها عبارة ن مجموعات (6 .مفتوحة

.األساس يهتم بالمجموعات التي تكفي لتوليد بقية المجموعات المفتوحة الغير فارغة (1

تكمن أهميته في التعامل مع األسئلة بعناصر األساس بدل من أن نتعامل مع (7 .عناصرالتوبولوجي بشكل مباشر

.يعطي صورة جميلة عن عناصر التوبولوجي بشكل عام (4

:األساس ببعض األمثلة إذن لنوضح مفهوم

.، و ليكن لدينا لتكن لدينا (6

:و بالتالي لو فرضنا

.يكون عبارة عن أساس للتوبولوجي السابق ألنه محقق شرط التعريف فس

:و أيضاً لو فرضنا

عبارة أيضاً عن أساس للتوبولوجي السابق ، ال تنسى أن األساس يعطي المجموعات الغير فارغة

.مثلما كان األمر في في أصل التعريف إال إن كان في أحد عناصر المجموعةا الكلوبن

:و لنفرض أن ي الفضاء التوبولوجي ف (1

، و هذا يفسر سبب تعاملنا فقط بالفترة المفتوحة في عبارة عن أساس للتوبولوجي المعتاد على .األسئلة و النظريات

:لنفرض أن في الفضاء التوبولوجي (7

.عبارة عن أساس للتوبولوجي المتقطع

:ن أساسه كل التوبولوجي أي فإفي الفضاء التوبولوجي (4

، و نشير أنه ال يوجد أساس جزئي من التوبولوجيين و كذلك األمر بالنسبة للتوبولوجي .السابقيين غير هذا األساس ، أي األساس الذي يساوي التوبولوجي كامالً

اآلتي السؤالاآلن يأتي:

توبولوجي له ؟لو كان لدينا أساس لفضاء معين ، كيف يمكن الحصول على ال

:الجواب

يمكن أن نحصل على التوبولوجي للفضاء عن طريق أخذ جميع اإلتحادات الممكنة للمجموعات

، األمر يكون سهل في الفضاءات المحدودة المفتوحة األساسية في األساس ، و إضافة المجموعة جي له ، و لكن يجب أن ، و المشكلة تكمن في الفضاءات الالمنتهية قد ال نحتاج لكتابة التوبولو

تكون قادراً على تميز ألي مجموعة معطاة هل هي عبارة عن اتحاد من المجموعات األساسية أو ال

بالرمز للتوبولوجي، فإننا نرمز للتوبولوجي المولد من اآلن لو افترضنا أنه لدينا األساس

.

:لنوضح المفهوم بمثال بسيط

بارة عن أساس ع، و ليكن و لدينا لتكن لدينا :للتوبولوجي فإن

.و هذا هو جميع اإلتحادات الممكنة له

األساس في صياغته يساعد على معرفة إن كانت المجموعة مفتوحة عن طريق عناصره و التي :تتلخص ف يالنظرية البسيطة األتية

( :1)نظرية

:بالتالي أساس للتوبولوجي ، و فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا ليكن لدينا

، يوجد لدينا مجموعة إذا و فقط إذا لكل عنصر مجموعة مفتوحة في .بحيث

:اإلثبات

:بحيث مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة اآلن

:بحيث يوجد لدينا

.و ربما يكون كل األساس أي أنها اتحاد عدد من عناصر األساس و هو

:، و منها نصل إلى حيث تالي و بال

.و هو المطلوب

:من أحد التعاريف المكافئة لتعريف األساس النظرية اآلتية

( :2)نظرية

، عائلة من المجموعات الجزئية من فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا ليكن لدينا :عبارة عن أساس إذا و فقط إذا كانت محققة فإننا نعتبر

.بحيث يوجد لدينا نقطة لكل (6

، فإنه يوجد لدينا مجموعة و لكل نقطة و لكل مجموعتين (1 .بحيث

:اإلثبات

عبارة عن أساس ، فإن الشرط األول و الثاني متحققة مباشرة بسبب أن واضح لدينا أنه لو كانت اتحاد مجموعات من ، فيمكن كتابتها بشكلفي و لدينا ايضاً عناصر األساس باألصل في

.

.و لد بواسطة عبارة عن توبولوجي على لكي نثبت أنه أساس ، فعلينا أن نثبت أن

إن لم تكن مع إضافة هي عبارة عن جميع االتحادات الممكنة لعناصر نذكر أن .موجودة

:لنتحقق من شروط التوبولوجي

.ة أيضاً موجود موجودة ، لنثبت ان المجموعة (6

.بحيث يوجد لدينا لكل ( 6)من شرط

:و بالتالي

، فإن اتحاد أي عائلة من هي عبارة عن جميع اإلتحادات الممكنة من بما أن (1 .اتحاد مع عناصر مجموعاته ستكون بالتأكيد في داخله بسبب أنها عبارة عن

.اآلن لو كان لدينا (7

.نصر في فتقطاعهم عاآلن إن كان

:لنفرض أن تقاطعهم غير فارغ ، و بما أن

و

:اآلن

.يكفي إثبات ان

:بحيث في داخلهما يوجد مجموعة ، لكل عنصر ( 1)اآلن من شرط

:و بالتالي يمكن كتابة

:و بالتالي أصبح لدينا

.من عبارة عن اتحاد من مجموعات

.يمكن تعميم إلى أي [م]و بإستخدام اإلستقراء الرياضي

.عبارة عن أساس ، و بالتالي عبارة عن توبولوجي على لدينا

اآلن هذه النظرية مهمة في تحديد أي عائلة من المجموعات كانت تشكل أساس أو ال بدل من أخذ .جميع اإلتحادات الممكنة

: بمثال بسيط لنبين مفهوم النظرية

أساس تعتبر Interior of circles [م]، جميع داخلية الدوائرفي الفضاء اإلقليدي التربيعي

( .1)بسبب أن داخلية الدوائر تحقق الشرطين السابقين في نظرية للتوبولوجي على

.هي داخلية الدوائر أي أن شكل عناصر األساس في الفضاء اإلقليدي التربيعي

:انظر الشكل لترى تحقق الشروط

.و كذلك األمر بالنسبة لو تم أخذ داخلية المستطيالت أيضاً ، انظر الشكل

( :1) نتيجة

عبارة عن أي عائلة من المجموعات ، و ليكن لدينا ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي يوجد ، و لكل مجموعة مفتوحة في بحيث لكل مجموعة مفتوحة المفتوحة في

:بحيث لدينا مجموعة مفتوحة

:وبالتالي

.عبارة عن أساس للتوبولوجي

:اإلثبات

:أساس للتوبولوجي يحب أن نثبت لكي نثبت اأنه

.متروك للقارىء ( 1)أنه أساس و هي واضحة من شروط النظرية ( أ

: ( ب

( :ب)إلثبات

مغلقة تحت أي اتحاد من المجموعات المفتوحة و بالتالي أي ، و بما أن هي في عناصر

:و بالتالي هو عبارة عن عنصر في عنصر في

و بحيث فإنه حسب الفرض و كانت اآلن إن كانت :بالتالي

:، و بالتالي أي أن

واضح من خالل هذه النتيجة أن يمكطن البحث فقط عن مجموعات بفتوحة بحيث تحقق الشروط .المذكورة يكون أقل سهولة إليجاد األساس للتوبولوجي

وعات مفتوحة بحيث تحقق الشروط و يمكن إيجاد مجمفمثالً في الفضاء التوبولوجي المعتاد على :هي

و الذي سنين دوره في النظرية اآلن لألساس دور هام في مقارنة التوبولوجي على مجموعة :اآلتية

( :7)نظرية

أساس مولداً ، و ليكن لدينا أساس مولداً التوبولوجي ، و ليكن لدينا لتكن :تي متكافىء ، و بالتالي اآل، و كالهما على التوبولوجي

6) .

:بحيث فإنه يوجد بحيث و كانت إذا كانت (1

:اإلثبات

(6) (1: )

و بالتالي و ، و بما أن بحيث لتكن حسب الشرط الثاني

:بحيث و بالتالي يوجد لدينا مولد بواسطة ، و بما أن

(1) (6: )

و بالتالي يوجد واسطة األساس مولد بو بما أن و لتكن لتكن

:بحيث ، يوجد لدينا ( 1)و لكن حسب شرط بحيث لدينا

.أي أن على شكل اتحاد من عناصر األساس و بالتالي يمكن كتابة

.وهو المطلوب

الحظ أن أهمية هذه النظرية تكمن في مقارنة التوبولوجي بواسطة عناصر األساس ، و لكن كيف .كر دائماً أن عناصر التوبولوجي األقوى دائماً داخل عناصر التوبولوجي األضعف نستطيع أن نتذ

، و تخيل أن هذه ( حجارة صغيرة )تخيل أن عناصر األساس للتوبولوجي األضعف هي حصى .الحصى تم سحقها في آلة سحق معينة ليصبح لدينا تراب ناعم

األقوى ، أي أن ذرات التراب تنتمي و بالتالي ذرات التراب هي عناصر األساس للتوبولوجي .لحصى من التوبولوجي األضعف

نالحظ من النظرية السابقة نتيجة هامة لمعرفة إن كان التوبولوجيين متساويين عن طريق عناصر :األساس و هي

( :2)نتيجة

أساس مولداً ، و ليكن لدينا أساس مولداً التوبولوجي ، و ليكن لدينا لتكن :إذا وفقط إذا كان لدينا ، و بالتالي يكون لدينا ، و كالهما على جي التوبولو

:بحيث فإنه يوجد بحيث و كانت إذا كانت (6

:بحيث فإنه يوجد بحيث و كانت إذا كانت (1

( .7)الذي اتبع في إثبات النظرية التكنيكاتبع نفس :اإلثبات

.أكثر من أساس للفضاء بحيث كلها تؤدي إلى توليد نفس التوبولوجي أي أنه يمكن أن يتواجد

:فمثالً

:نالحظ أن في الفضاء التوبولوجي

:و أيضاً األساس

:و أيضاً األساس

.تولد جميعها نفس التوبولوجي

هل يوجد غير للتوبولوجي المعتاد ؟؟؟ : فكر

:و نالحظ أيضاً في المثال السابق

جميع داخلية الدوائر و األساس المكون من ،األساس المكون من اء اإلقليدي التربيعي في الفض .داخلية المسطتيالت كالهما متكافئين

:و السبب انظر الشكل

األساس للفضاء التوبولوجي الجزئي:

( :4)نظرية

:تالي و بالو لتكن أساس للتوبولوجي فضاء توبولوجي و ليكن ليكن لدينا

.عبارة عن أساس للفضاء للتوبولوجي

:اإلثبات

.لجميع المجموعات و بالتالي بما أن (6

:بحيث و بالتالي يوجد لدينا مجموعة مفتوحة لتكن (1

و لكن

:و بالتالي

.أساس للتوبولوجي أي أن

:بولوجي الجزئي و هو قد أوضحنا سابقاً مثال يبن كيفية بناء األساس للتو

)*( :مثال

، جد الشكل العام ، و ليكن لدينا ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على .للمجموعات المفتوحة في

:الحل

عبارة عن أساس للتوبولوجي المعتاد فإن شكل عناصر اآلن بما أنه :األساس للتوبولوجي هي

.جي و هذه هي عناصر األساس للتوبولو

:المراجع

6) General Topology , Paul Long

1) General Topology , James Munkres

توبولوجي مستحث بواسطة الدوال

Topologies Induced by functions

( :1)نظرية

أي مجموعة ، و لنفرض أنفضاء توبولوجي ، لنفرض أن ليكن لدينا

:و بالتالي [م]أي دالة

.عبارة عن توبولوجي استحث على المجموعة

.عبارة عن فضاء توبولوجي أي أن

:اإلثبات

يوجد لدينا ، و بالتالي لكل عائلة من عناصر لتكن لدينا

.بحيث

:اآلن لنتحقق من شروط التوبولوجي

6)

.أي أن

:فإنإذا كان لدينا (1

.أي أن

.و لدينا أيضاً اآلن (7

.وهذا يعني ان

.عبارة عن فضاء توبولوجي

و ، أي كون حسب طبيعة الدالة ي استحث بواسطة الدالة هو توبولوجالتوبولوجي على .، الي طبيعة المجموعات المفتوحة لهنوع التوبولوجي على

:لنبين النظرية بمثال بسيط

:بالشكل اآلتي و لنعرف الدالة ليكن لدينا

.هو فإذا كان التوبولوجي على

:و بالتالي لنفرض أن

عدى الحالة اآلخيرة هي مجموعة مفتوحة في كسية للمجموعة الحظ أن جميع الصور الع

و هذه ليست مجموعة مفتوحة فالصور العكسية لها هي و و هي إن كان .في

.هي الحاالت المحتلمة الثالث األولى فقط و يكون عناصر

أي ترتكز على أخذإذن عملية معرفة المجموعات المفتوحة التي استحثت بواسطة الدالةللصور العكسية لها ، و نحدد فيما بعد أي االحتماالتو أخذ جميع مجموعة جزئية في

.العكسية هي عبارة عن مجموعة مفتوحة في التوبولوجي الصور

فهنالك أيضاً توبولوجي آخر يستحث على بواسطة الدالة كما أنه يوجد توبولوجي يستحث على

.بواسطة الدالة

( :2)نظرية

:، و بالتالي فضاء توبولوجي ، لتكن الدالة و ليكن لدينا ن لتك

.بواسطة الدالة عبارة عن توبولوجي استحث على

( .متروك للقارىء( ) 6)نفس طريقة إثبات النظرية: اإلثبات

:من خالل المثال اآلتي ( 1)لنبين مفهوم النظرية

:هو ، و ليكن التوبولوجي على و لتكن لتكن

:كما يلي و لنعرف الدالة

، ذلك عن طريق أخذ العملية التي يجب اتباعها األن شبيها في التوبولوجي المستحث على ، و وضعها في مجموعة التي ستكون توبولوجي الصور العكسية للمجموعات المفتوحة في

.مستحث على

:في مثالنا هنا سيكون األمر كاآلتي

:و بالتالي

التغطية خاصية

Covering Property

تجمع لمجموعات جزئية من ليكن : ( الغطاء)تعريف إذا كان للمجموعة coverتمثل غطاء أو تغطية Mيقال أن . Xمجموعة

كما يسمى open coverمجموعات مفتوحة سمي غطاء مفتوح Mوإذا كانت عناصر التجمع تسمى Bتغطي Mكل مجموعة جزئية من . العناصرغطاء منتهي إذا كان له عدد منتهي من

.غطاء جزئي

خصائص التوبولوجي المعتاد علىR

The Properties of Usual Topology on R

:خصائص رائعة و جميلة ، منها للفضاء التوبولوجي

( :1)نظرية

.لكل عددين حقيقيين مختلفين يوجد لدينا عدد نسبي يقع بينهما

:اإلثبات

، و حسب خاصية ارخميديان يوجد ، و بالتالي بحيث ليكن لدينا :بحيث عدد طبيعي لدينا

:أي بمعنى

:و بالتالي ، 699أكبر من و و بالتالي الفرق بين

:بحيث يوجد لدينا عدد صحيح

.ي بين العددين عدد نسبأي أن

( :1)نتيجة

.لكل عددين حقيقيين مختلفين يوجد لدينا عدد غير نسبي يقطع بينهما

:اإلثبات

:، و بالتالي بحيث ليكن لدينا

:، و بالتالي و لنقل أنه و يوجد لدينا عدد نسبي بين ( 6)و حسب نظرية

.عدد غير نسبي ، و هو المطلوب ولكن العدد

( :2)نتيجة

من األعداد النسبية يقع بينهما ، و ( عدود)ين حقيقيين مختلفين يوجد لدينا عدد النهائي لكل عدد .يوجد عدد ال نهائي من األعداد الغير نسبية يقع بينهما

:اإلثبات

.بحيث ليكن لدينا

مرة أخرى على ( 6)نظرية [م]يقع بينهم ، و بتطبيقيوجد لدينا عدد نسبي ( 6)ولكن من نظرية

.تقع بينهما على التوالي ، فيكون لدينا و العددين ن العددي

:و بالتالي و استمراراً بهذا التكنيك نحصل على

مجموعة عدودة ، فإن عدد هذه األعدد النسبية ، و ما أن أعداد نسبية تقع بين العددين .الواقعة بينهم هو عدد عدود

( .6)و بنفس الطريقة نحصل على عدد ال نهائي من األعداد الغير نسبية إعتماداً على نتيجة

( :2)نظرية

:عائلة من الفترات المنفصلة ، و بالتالي ليكن لدينا

.عبارة عن مجموعة عدودة

:اإلثبات

.إلى العائلة السابقة من مجموعة األعداد ( Ontoغامر )ما نريده هو أن نبني إقتران شامل

، بحيث نأخذ عدد نسبي لكل هي األعداد النسبية التي تكون احتواء في لنفرض أن .واحد من كل فترة

. مجموعة عدودة، و بالتالي المجموعة اآلن المجموعة

(.Onto)ملة دالة شابحيث إذن يوجد لدينا

:، بحيث لنعرف الدالة

.دالة شاملة حسب طبيعة التكوين و بالتالي الدالة

.دالة شاملة [ tex]/سيكون لدينا الدالة

:أي أن

.و هو المطلوب

( :3)نظرية

، و لكل عائلة من الفترات المفتوحة التي تحوي النقطة ليكن لدينا :بالتالي

.في الفضاء التوبولوجي المعتادة عبارة عن فترة مفتوحة تحوي النقط

:اإلثبات

:واضح لدينا أن

.و تحوي النقطة عبارة عن مجموعة مفتوحة في

األن لكي نثبت أنها فترة مفتوحة ال بد أن نثبت أنها تملك شكل من أشكال الفترات المفتوحة في

، أو أن نثبت و التوبولوجي المعتاد ، و بالتالي ينبغي علينا إما أن تكون فترة مفتوحة لها

.أنها شعاع أيسر مفتوح أو شعاع أيمن مفتوح ، أو تكون كل

، اآلن لنقل أنه و بالتالي لها محدودة من األعلى لنبدأ على فرض أن المجموعة

لنقل بحيث تكون إحتواء في و السبب أنه لو كان موجوداً فيها ، فهنالك أحد فترات

:و بالتالي أنها

بسبب أنه لدنا ، و هذه النقطة ال يمكن أن تكون داخل إذن يوجد لدينا نقطة لنقل أنها

.و هذا تناقض أن الفترة احتواء في

:بحيث و بالتالي نستنتنج أن جميع النقاط

و لنقل محدودة من األسفل فإن لها موعة و بنفس التكنيك بإمكاننا أن نثبت لو كانت المج

:و لدينا أيضاً ، فسنالحظ أيضاً أن أنه

:اآلن يمكن دراسة الحاالت الممكنة بشكل بسيط

.شعاع أيمن مفتوح إذا كانت محدودة من األسفل و غير محدودة من األعلى تكون (6

.ذا كانت محدودةمن األعلى و غير محدودة من األسفل شعاع أيسر مفتوح إتكون (1

.فترة مفتوح لها حدين من األعداد الحقيقة إذا كانت محدودةتكون (7

.إذا كانت غير محدودة كل تكون (4

.عبارة عن فترة مفتوحة في التوبولوجي المعتادمن الحاالت أن نالحظ في كل حالة

( :4)نظرية

عبارة مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا كانت في الفضاء التوبولوجي المعتاد تكون المجموعة .رات المنفصلة المفتوحة عن اتحاد عدود من الفت

:اإلثبات

.واضح من تعريف التوبولوجي اإلتجاه

:اإلتجاه

:بحيث يوجد لدينا فترة مفتوحة مجموعة مفتوحة ، فإنه لكل عنصر إذا كانت

:لنفرض األتي

:نالحظ ما يلي

(.7)عبارة عن فترة مفتوحة من خالل نظرية (6

.ن و بالتالي يجب أن يكوإذا كان (1

( :2)إثبات

.خذ العنصر و لنألنفرض أن

:نالحظ ما يلي

.بحيث يوجد لدينا فترة لنقل أنها ( أ

.بحيث يوجد لدينا فترة لنقل أنها ( ب

.بحيث يوجد لدينا فترة لنقل أنها ( ت

:و بالتالي

: جميع الفترات السابقة متداخلة حسب التكوين و اتحادهم يعطي فترة مفتوحة أي

:يكون لدينا بداخلها و حسب تعريف هي عبارة عن فترة مفتوحة كل من

:و بالتالي

.و بنفس الطريقة ينتج لدينا

:وآخيراً نصل إلى

.أو فيكون لدينا إما إذا كان لدينا (7

( .1)ينتج مباشرة من ( 7)و إثبات

:إدعاء

.و بالتالي اتحادهم سيكون داخل هي داخل اآلن كل

. احتواء في اتحاد جميع هذه الفترات فإن هنالك و بما أن لكل عنصر في

.و حسب اإلدعاء ينتج المطلوب (1)هو عدد عدود من نظرية عدد

( :3)نتيجة

عبارة عن مجموعة مغلقة إذا و فقط إذا كانت في الفضاء التوبولوجي المعتاد تكون المجموعة .متممة اتحاد عدود من الفترات المنفصلة المفتوحة

.ينتج المطلوب (4)خذ المتمة من نظرية :إثبات

( : 4)نتيجة

، أي مجموعة محدودة في مفتوحة في التوبولوجي المعتاد ، و كانت مجموعةإذا كانت

.عبارة عن مجموعة مفتوحة فإن

:اإلثبات

وحة منفصلة ، و بما أن نقاط على شكل اتحاد عدود من فترات مفتيمكن كتابة ( 4)حسب نظرية تنتمي لعدد محدود من هذه الفترات ، فإن كل نقطة تفصل الفترة المفتوحة إلى المجموعة

تبقى عبارة عن اتحاد عدود من الفترات المفتوحة عة فترتين مفتوحتين ، و بالتالي المجمو.

.وهو المطلوب

:المرجع

General Topology , Paul Long فضاءات توبولوجية هامة

Important Topological Spaces

.سنذكر في هذه الصفحة بعض أهم أنواع الفضاءات التوبولوجية الهامة تاركين اإلثبات للقارىء

( : Indiscrete Topologyغير متقطع ) الفضاء التوبولوجي الضعيف ( 1

.و لتكن لتكن

هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي غير متقطع أو و بالتالي الزوج المرتب .فضاء توبولوجي ضعيف

.بالرمز نرمز

، هو نشير في الفضاء التوبولوجي لديه أقل عدد من المجموعات المفتوحة على المجموعة .أضعف أنواع الفضاءات التوبولوجية

( : Discrete Topology) الفضاء التوبولوجي المتقطع أو القوي ( 1

.و لتكن لتكن

مى فضاء توبولوجي متقطع أو فضاء هو فضاء توبولوجي و يسو بالتالي الزوج المرتب .توبولوجي قوي

.بالرمز نرمز

، هو نشير في الفضاء التوبولوجي لديه أكبر عدد من المجموعات المفتوحة على المجموعة هي جميع المجموعات الجزئية من و السبب يعود إلى أن أقوى أنواع الفضاءات التوبولوجية ،

ستكون مجموعات هي مجموعات جزئية و كل توبولوجي آخر على ( . power set) أي .من مجموعة المجموعات الجزئية للفضاء

( :Left ray Topology) الفضاء التوبولوجي للشعاع األيسر ( 3

:و لتكن .لتكن

.

.هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي للشعاع األيسر و بالتالي الزوج المرتب

.بالرمز نرمز

( :Right ray Topology) الفضاء التوبولوجي للشعاع األيمن ( 4 :و لتكن .لتكن

.

.ولوجي و يسمى فضاء توبولوجي للشعاع األيمن هو فضاء توبو بالتالي الزوج المرتب

بالرمز نرمز

( : Cofinite Topology) الفضاء التوبولوجي للمتمة المحدودة ( 5

:و لتكن لتكن

.

.المحدودة هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي للمتممة و بالتالي الزوج المرتب .أي المجموعات المفتوحة هي التي لها المتمة عدد محدود من العناصر

.بالرمز نرمز

( : Cocountable Topology) الفضاء التوبولوجي للمتمة العدودة ( 6

:و لتكن لتكن

.

.لوجي و يسمى فضاء توبولوجي للمتممة المحدودة هو فضاء توبوو بالتالي الزوج المرتب .أي المجموعات المفتوحة هي التي لها المتمة عدد عدود من العناصر

.بالرمز نرمز

Usual Topology OR Standard) الفضاء التوبولوجي المعتاد أو القياسي ( 7Topology : )

:و لتكن .لتكن

هو فضاء توبولوجي و يسمى فضاء توبولوجي المعتاد أو القياسي و بالتالي الزوج المرتب .

.بالرمز نرمز

بسبب أنه تم توليده نشير إلى أن التوبولوجي السابف هو أحد أبرز و اهم أنواع التوبولوجي على من الفترات المفتوحة على

.

ن و ال يعني أنه بوجود األمثلة السابقة أن كل ما دون هذه األمثلة غير مهم ، بل هنالك العديد م

-سيجما وجي-مجموعات اف .الفضاءات التوبولوجية الهامة جداً و التي بني عليها أمثلة مناقضة دلتا

G-delta and F-sigma sets

دلتا-تعريف مجموعة جي

عدود لمجموعات [م]عبارة عن تقاطع G-deltaدلتا -جيالمجموعة Xفي فضاء تبولوجي

.عبارة عن إتحاد عدود لمجموعات مغلقة( F-sigmaسيجما -اف)المجموعة . مفتوحة

أنواع خاصة من , كال من . والعكس صحيحفإن مكملتها إذا كانت مجموعة

عات جميعها وهي تقاطع عدود لمجمويمكن تعريف مجموعات من نوع . مجموعات بورل

بنفس الكيفية نعرف أنواع أخرى منها.

وبالتالي مغلقة تحت عملية )وعملية المكلمة دالمعدوبما أن جبرة بول مغلقة تحت عملية التقاطع العكس غير صحيح ليس كل مجموعة بول . فإن كل هذه األنواع مجموعات بول( دالمعدواإلتحاد

.من أحد هذه األنواع

سيجما-دلتا و اف-بعض أمثلة على جي

حيث عة مفتوحة على خط األعداد الحقيقية هي كل مجمو( 6

حيث وكل فترة مغلقة هي مجموعة

.

تابعة األعداد النسبية فإن مجموعة متحيث بما أن ( 1

.هي وبالنتيجة فإن . األعداد الغير نسبية هي

.ليست مجموعة األعداد النسبية ( 7

يمكن أن . nمفتوحة لكل حيث إلثبات هذا افرض

لكل صحيح موجب (. عدودة)ألن مجموعة أإلعداد النسبية قابلة للعد نكتب

n إذا من نظرية بير في الفئات كثيفة في المجموعة المفتوحةBaire Category

Theorem كثيفة فيR وهذا مستحيل ألن هذا التقاطع خال.

fالمكونة من النقاط التي عندها الدالة Cفإن المجموعة [م]دالةإذا كانت : حقيقة

.بمعنى آخر مجموعة نقاط عدم االتصال هي مجموعة . متصلة عبارة عن مجموعة

عرف yألي عدد حقيقي : البرهان

واضح أن . داخلية حيث عدد صحيح موجب واجعل nحيث ندعي أن. nمجموعة مفتوحة لكل

ألنها الصورة إذا xتصلة عند م fهذا يعني أن . Cعنصر من xافرض

لكل إذا . nألي وبالتالي العكسية لمجموعة مفتوحة حول

.ومنه nصحيح موجب

بحيث يوجد عدد حقيقي nوبالتالي لكل nلكل إذا افرض أن

.بحيث يوجد nأي أن لكل

مجموعة وذلك ألن بحيث يوجد عدد موجب nكذلك لكل إذا. xمفتوحة تحوي

اعتمادا على ما بيناه سابقا . عدد طبيعي بحيث mخذ اآلن ألي

بحيثيوجد

باستخدام المتباينة المثلثية

.إذا . xمتصلة عند fوبالتالي الدالة

إضافات

التي متصلة عليها الدالة عبارة عن Cدالة فإن المجموعة إذا كانت : 1حقيقة

.بمعنى آخر مجموعة نقاط عدم االتصال هي مجموعة . وعة مجم

عرف yألي عدد حقيقي . متصلة fمجموعة النقاط التي عندها الدالة Cلتكن : البرهان

واضح أن . داخلية حيث اجعل . عدد صحيح موجب nحيث ندعي أن. nمجموعة مفتوحة لكل

رة العكسية لمجموعة ألنها الصوإذا xمتصلة عند fإلثبات هذا افرض أن

nلكل صحيح موجب إذا . nألي وبالتالي . مفتوحة حول

.ومنه

بحيث يوجد عدد حقيقي nإذا لكل . nلكل فإن من جهة أخرى إذا كان

.بحيث يوجد nأي أن لكل

بحيث يوجد عدد موجب nفإنه لكل xمجموعة مفتوحة تحوي وحيث

بحيثوجدنا nإذا لكل

اعتمادا على ما بيناه سابقا . عدد طبيعي بحيث mخذ اآلن ألي

بحيثويوجد

باستخدام المتباينة المثلثية

.إذا . xمتصلة عند fوبالتالي الدالة

مسلمات الفصل

analysis

Separation Axioms

ل موجز تعريف تاريخي عن المسلمات بشك:

، مسلمات الفصل هي عبارة عن مسلمات تضيف شرط أو شروط معينة على فضاء معين . لتجعله محقق لها و محكوم بها

ترجمة باللغة اإلنجليزية من الكلمة األلمانية ما هي إال Separation Axiomو كلمة Trennungsaxiom منها أتت ترميز المسلمات . و التي تعني باللغة العربية مسلمات الفصل

وهكذا ..مثل . بها رقم يدل على ترتيبها بين المسلمات األخرىو إضيف بجانبحرف

مسلمات الفصل كثيرة و عديدة ، بالحقيقة أي شخص متخصص في علم التوبولوجي بإمكانه أن . مسلمة فصل ، و لكن البعض منها مهم جداً بالنسبة لغيرها و يدخل في خواص كثيرة يعرف

الهدف السامي من وراء المسلمات هو تكوين توبولوجي أقوى من غيره لنصل إلى توبولوجي أقوى . من غيره بدرجات متفاوتة

. منهم يؤدي لآلخر الشكل اآلتي مخطط ليبين العالقة بين مسلمات الفصل ، و األسهم تدل على أي

، علماً بأن

،

Error

الفضاء الطبيعي التام

Completely Normal Space

( :1) ( Completely Normal Space) تعريف فضاء طبيعي تام

زئي من بأنه فضاء طبيعي تام إذا و فقط إذا لكل فضاء جيقال عن الفضاء التوبولوجي . عبارة عن فضاء طبيعي

: له وهو مكافئلنعرض تعريف

: 2تعريف

المحقق لمسلمة الفصل األولى بأنه فضاء طبيعي تام إذا و يقال عن الفضاء التوبولوجي

و يكون لدينا أيضاً يكون لدينا فقط إذا لكل مجموعتين منفصلتين

و بحيث إذن يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين

.

. من الواضح أن كل فضاء طبيعي تام يؤدي إلى فضاء طبيعي و لكن العكس غير صحيح

( : Deleted Tychonoff Plank) مثال

:تكوينه

First Uncountable) هو أول رتبة من الرتب بحيث يكون غير قابل للعد بر لنعتOrdinal ) هو أول رتبة من الرتب بحيث تكون ال نهائية و لنعتبر (First infinite

ordinal ) مع و لتوبولوجي لكل من مع أخذ ا، و لنفرضOrder topology أو توبولوجي الفترةinterval topology [م]و الذي يملك عناصر أساس

: بالشكل التالي

:خصائصه

. Compact spaceعبارة عن فضاء متراص بمعنى و كل من ( 6

: لنثبت أحدهما و اآلخر سيكون بنفس الطريقة

. مع المالحظة أن

: عبارة عن فضاء متراص نا نثبت أن دع

عبارة عن غطاء مفتوح ، و نريد أن نثبت أنه يمكن تقليصه بغطاء جزئي يحتوي لنفرض أن . على عدد محدد من عناصر الغطاء

، و إن لم ا موجودة في أحد عناصر الغطاء لنقل أنهبحيث أقل عنصر في لنعتبر

ونسير موجودة في بحيث ينا أصغر عنصر سيكون لديكن لدينا برر ) و يجب التوقف فغير ذلك يكون لدينا تناقض بنفس الطريقة حتى نتوقف لعنصر

( . السبب

و مجموعة لتغطية كل .) بحيث تغطي مجموعة مفتوحة من إذن يوجد لدينا ( . واحدة إضافية لتغطي

. كل منهما عبارة عن فضاء هاوسدورف ، واضحة ال تحتاج إلى إثبات ( 1

هنالك نظرية تنص على أن كل فضاء متراص و هاوسدورف هو عبارة عن فضاء طبيعي ، و ( 7

عبارة عن فضاء متراص و هاوسدورف ، و كل من الفضاء المتراص بالتالي بما أن كل من و الهاوسدورف محفوظ في عملية الفضاء الضربي المحدود ، ينتج لدينا أن

عبارة عن فضاء متراص و هاوسدورف ، و بالتالي من الضروري أن يكون فضاء . طبيعي

: يفشل بأن يكون فضاء طبيعي تام الفضاء التوبولوجي ( 4

و ذلك بسبب أن الفضاء Deleted Tychonoff plankو هنا نأتي لسبب تسمية االمثال باسم

: عي ليس فضاء طبيالجزئي

عة ، و المجموبحيث لنفرض أن

.

( . لماذا؟)و من الواضح أنهما مجموعتين مغلقتين في الفضاء الجزئي

. ال يمكن فصلهم بمجموعتين مفتوحتين داخل اآلن

بحيث لكل ( بل جوار مفتوح )لنفرض أنه يوجد لدينا مجموعة مفتوحة

، لذلك يوجد لدينا حد أعلى من بحيث يوجد لدينا first uncountableهو عبارة عن ، ولكن لقد فرضنا أن بحيث لنقل أنه الرتب

ordinal ستكون رتب قابلة للعد ، و منها نصل إلى أن و بالتالي جميع الرتب التي تسبق

. و بالتالي

. بحيث ال يقطع إذن ال يمكن إيجاد جوار مفتوح للمجموعة

:نظرية

. كل فضاء جزئي من الفضاء الطبيعي تام هو عبارة عن فضاء طبيعي تام

( . 6)واضح جداً من خالل التعريف : اإلثبات

. ولكن ضرب الفضاءات الطبيعية التامة ليست محفوظة

( :ام مستوى سورجينفري ليس طبيعي ت) مثال

: خط األعاد سورجينفري عبارة عن فضاء طبيعي تام ( 6

. و مجموعتين منفصلتين بحيث لنفرض أن

: و بالتالي

و منها ينتج لدينا أن عبارة عن مجموعة مغلقة، سيكون لدينا و بما أن :

و بالتالي بحيث فترة نصف مفتوحة من لكل

و نفس الطريقة لو استمررنا بهذا النطاق سنصل في النهاية إلى فرض

. ل من خالنستطيع فرض

. بقي علينا أن نثبت

بحيث ، و بالتالي يوجد لدينا نقطة ض ان هنالك لنفر

و أو و هذا ال يتحقق إال إن كانت . هذا تناقض

. و من المعلوم أيضاً أن خط األعداد سورجينفري محقق لمسلمة الفصل األولى

. عبارة عن فضاء طبيعي تام الفضاء التوبولوجي

ى سورجينفري ليس فضاء طبيعي و بالتالي ال يمكن أن يكون فضاء لقد أثبتنا سابقاً أن مستو( 1 . لكل فضاء طبيعي تام عبارة عن فضاء طبيعي Contrapostiveطبيعي تام ، من خالل

:المراجع

6 )General Topology , Stephen Willard

1 )Counterexamples in General Topology , Seen and Seebach

اء المنتظم الفض

analysis

Regular Space

( :1)تعريف

إذا و فقط إذا لكل ( Regular Space)بأنه فضاء منتظم نقول عن الفضاء التوبولوجي

بحيث يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين و لكل نقطة في مجموعة مغلقة

. و و

: بمعنى آخر

قطة خارجها يمكن فصلهما بمجموعتين ألي مجموعة مغلقة في الفضاء التوبولوجي و الي ن . مفتوحتين

( :2)تعريف

هو عبارة إذا و فقط إذا كان الفضاء التوبولجي بأنه فضاء نقول عن الفضاء التوبولوجي . معاً عن فضاء منتظم و

:مالحظة

وذلك لكي تكون كل نقطة في الفضاء التوبولوجي ، هو إضافة شرط (1)الفلسفة من تعريف . مجموعة مغلقة بحد ذاتها

. دون ذكرها و نشير إلى أن بعض الكتب تعتمد على ان الفضاء المنتظم محقق لشرط

. لكن هنالك أحد النظريات المكافئة لتعريف الفضاء المنتظم و تنتج من التعريف مباشرة

:نظرية

و الي مجموعة مفتوحة الفضاء التوبولوجي فضاء منتظم إذا فقط إذا الي نقطة

. بحيث ، يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث

: البرهان

. مجموعة مفتوحة بحيث و لتكن فضاء منتظم و ليكن لنفرض أن

مجموعة مغلقة ، لذلك من تعريف الفضاء المنتظم ، يوجد لدينا و إذن

، اآلن و و بحيث توحتين مجموعتين مف

. و أيضاً

. مجموعة مغلقة ألن المجموعة لذلك

. هي المجموعة التي نبحث عنها المجموعة

مجموعة ، و بما ان ، و بالتالي مجموعة مغلقة و لنفرض أن

: بحيث مفتوحة بالفرض يوجد لدينا مجموعة مفتوحة

. و المنتظم هما بالحقيقة المجموعتين المفتوحتين اللتين نبحث عنهما أجل الفضاء

( : )مثال

لتوبولوجي و كان يملك ا بفضاء يورزين Irrational Slope Topologyلقد ذكرنا مثال المعرف على المستوى اإلقليدي التربيعي المغلق الموجب عدة خصائص ، نضيف خاصية أخرى

: عليه و هي أنه يستحال أن يكون فضاء منتظم

: لنفرض بالتناقض بأنه فضاء منتظم

بحيث ، إذن يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين و النقطة لنأخذ المجموعة المغلقة

، إذن يوجد لدينا مجموعة مفتوحة ، و بما أن و ، و : بحيث

،

: ، و بالتالي ، ينتج منها و لكن

: ومنها ينتج ان

.

. وهذا يناقض أحد خواص

و لكن ليس بالضرورة أن يعطي فضاء هاسدورف .يعطي فضاء يورزين نالحظ أن ( . تام)إقتراني

: لنرى معاً هذا المثال

( :Half -open disc) مثال نصف القرص المفتوح

:تكوينه

على سبيل المثال لنفرضه ) ، و لنأخذ الخط المستقيم لنفرض أن : لهذا التوبولجي على النحو اآلتي [م]، و نكون عناصر األساس( محور

، سيكون المجموعة ( بحيث أي جميع النقاط التي تقع في ) ألي نقطة ( 6المفتوحة لها هو عبارة عن عنصر من عناصر األساس من الفضاء التوبولوجي المعتاد في

Open)تشكل قرص مفتوح حول النقطة و التي (. ) المستوى اإلقليدي التربيعي Ball .)

مفتوحة بحيث [م]، سيكون عبارة عن نصف قرص أو نصف دائرةعلى الخط و الي نقطة ( 1 . ر فقط ال غيفي النقطة ط المستقيم تقطع الخ

. :بمعنى آخر

ص مفتوح من الفضاء التبولوجي المعتاد ، مزال منها جميع النقاط التي تقطع نصف قرحيث . عدى النقطة الخط

: هو إذن يصبح التوبولجي المعرف على

. هو الفضاء التوبولوجي المعتاد في المستوى اإلقليدي التربيعيحيث

. فضاء توبولوجي : إدعاء

. متروك للقارىء: اإلثبات

:خصائصه

. ، بمعنى آخر أن هذا التوبولوجي أقوى من التوبوجي المعتاد ( 6

و الخاصية واضحة جداً بحيث هو عبارة عن توسعة و زيادة عدد المجموعات المفتوحة فيه عن . لوجي المعتاد التوبو

: و يمكن القول جبرياً

بحيث و ألي عنصر من عناصر األساس للتوبولوجي المعتاد ألي نقطة

: بحيث يوجد عنصر من عناصر األساس من

.

( . متروكة للقارى للتحقق منها ) واضحة من تعريف االساس

. عبارة عن فضاء يورزين( 1

ستغلق حدود القرص أو نصف القرص مع جميع . الكلوجير الي مجموعة مفتوحة في : أوال . النقاط الداخلة للقرص حسب طول قطره

( . خارج الخط ) نقاط الكلوجير ال يتعدى أي قرص : إذن

(. إذا كانت النقطة على ) و ال يتعدى النقاط الخارجة لنصف القرص

، يمكن احاطتهم بقرصين أو نصفي قرصين في كال الحالتين، ألي نقطتين مختلفتين في : ثانيا . بحيث ال يتقاطعوا معاً

. عبارة عن فضاء يورزين

(. إقتراني)عبارة عن فضاء هاوسدورف تام ( 7

، بحيث ( identity function) لنعرف اإلقتران المحايد

.

: ، بحيث ، لنعرف اإلقتران الي نقطتين مختلفتين في : اآلن

و [م]القيمة المطلقة) إقتران متصل ، ألنه مركب من عدة إقترانات متصلة و هي اإلقتران : أوالً ( . اإلقتران المحايد

. و : ثانياً

( . إقتراني ) عبارة عن فضاء هاوسدورف تام

(. Discrete Topology)هو التوبولوجي المتقطع التوبولوجي المكون على ( 4

. بحيث يوجد مجموعة مفتوحة من و ذلك بسبب ان أي نقطة على الخط

. مجموعة مفتوحة في فضاء جزئي مغلق ، بسبب أن ( 5

. ليس فضاء منتظم الفضاء ( 1

: لنفرض بالتناقض

. و النقطة لنأخذ المجموعة

بحيث لذلك يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين . مجموعة مغلقة و إذن

. و و

، لى أن مما يؤدي إ: و بالتالي

: إذن

صفر غير موجودة في حول النقطةنقاط على خط ب أن في وهذا تناقض بسب

.

. ليس فضاء منتظم

:مالحظة هامة

يحقق أحد مسلمات بحيث المثال السابق يثبت أنه ليس بالضرورة أنه إذا كان لدينا . الفصل فمنا الضروري ان يحققها

. في الحقيقة الخاصيه هذه تتحقق للفضاء هاوسدورف تام ،و يورزين ،

:ن التماري

. أثبت أن أي فضاء جزئي من الفضاء المنتظم هو فضاء جزئي ( 6

: إذا كان لدينا عدد محدود من فضاء ( 1

عبارة عن فضاء يكون فضاء منتظم إذا و فقط إذا كل من فإن حاصل ضربهم .منتظم

: حيث عناصر ليكن لدينا ( 7

يكون لدينا شكل المجموعة المفتوحة هي عبارة عن مجموعة مفتوحة من التوبولجي ي أل . التي تحوي ( Usual Topology) المعتاد

: حيث يكون شكل المجموعة المفتوحة لها هي على شكلو عند النقطة

. و المجموعة . المعتاد مجموعة مفتوحة في التوبولجي

: المطلوب

. عبارة عن فضاؤ توبولوجي أثبت أن ( أ

. اثبت انه يحقق مسلمة الفصل الثانية ( ب

. أثبت أنه ال يحقق مسلمة الفصل الثالثة ( ج

( :ج ) إرشاد

( . Archimeadian Arthemitic Prpoerty) استخدم خاصية أرخمديان

:المراجع

6 )General Topology , Stephen Willard .

1 )General Topology , Paul Long.

7 )Counterexamples In Topology , Steen and Seebach .

الفضاء المنتظم التام و فضاء تيكنوف

analysis

Completely Regular Space and Tychonoff Space

( : Completely Regular Space)تعريف فضاء منتظم تام

غلقة عبارة عن فضاء منتظم تام إذا و فقط إذا لكل مجموعة ميقال عن الفضاء التوبولوجي

: ، حيث يورزين [م]يوجد لدينا اقترانبحيث و نقطة

. و

.و فضاء منتظم تام يطلق عليه بمسلمة الفصل عبارة عن اآلن إذا كان

وهو مسمى ( . Tychonoff space)بفضاء تيكنوف و لكن يطبق على مسلمة الفصل . مشهور له

فضاء تيكنوف هو فضاء منتظم و فضاء هاوسدورف دالي و كل نالحظ من خالل التعريف أن كل . مسلمات الفصل التي تسبقهم

. يكفي إثبات أن كل تيكنوف هو عبارة عن فضاء منتظم و هاوسدورف دالي

: فضاء منتظم ( 6

، يوجد اقتران يورزين بحيث و النقطة مجموعة مغلقة في لتكن

:رض اآلن لنفو بحيث

و

. مجموعتين مفتوحتين تقاطعهم فارغ و هما اللتين نبحث عنهما من الواضح

: هاوسدورف دالي ( 1

. واضح . تذكر أن كل نقطة هي عبارة عن مجموعة مغلقة بسبب أنه محقق

يخدمنا كمثال يحقق هاوسدورف ( Half-disc open) اآلن في مثال نصف القرص المفتوح .التالي ليس منتظم تام دالي ليس فضاء منتظم و ب

. يبقى علينا مثال يحقق شروط الفضاء المنتظم و ليس فضاء منتظم تام

( : Mysior Planeمستوى ميسور ) مثال

. Proc. Amerو نشر في مجلة . 1891في سنة Adam Mysiorصاحب هذا المثال هو Math. Soc. 81 (1981), no. 4, 652--653 .

:تكوينه

و على سبيل المثال لنفرضها و لتكن لنفرض

.

. و نأخذ الفضاء التوبولجي لنفرض

هو عبارة عن محور نفرض أن المستقيم و. لنأخذ القطعة أو الشريحة

عبارة عن قطعة مستقيمة من بحيث و أن كل من . بمعنى

. يكون لدينا ي بحيث أل

لنفرض أن حيث اآلن ألي نقطة

، و

( neighborhood system for base) [م]اآلن اعتبر عناصر الجوار لعناصر األساس : كاآلتي

. يكون عناصر األساس لها ألي نقطة ( 6

، حيث ، سيكون عناصر ألساس لها ألي نقطة ( 1

. تحوي على عدد محدود من النقاط من

و ألي حيث هو و يكون شكل عناصر األساس للنقطة ( 7

. حيث بداخلها و كل النقاط فإن النقطة مجموعة

، افرض أن

. ستشكل أساس للفضاء التوبولوجي إذن (. تحقق من ذلك )

Error

:خصائصه

: عبارة عن فضاء هاوسدورف ( 6

.واضح من تعريف لكل نقطتين مختلفتين يمكن إيجاد مجموعتين مفتوحتين بحيث تقاطعهم فارغ

. عبارة عن الفضاء التوبولوجي

: عبارة عن فضاء منتظم ( 1

رة عن مجموعة مفتوحة و تكون عباألي نقطة داخل مفتوحة نشير إلى أن أي مجموعة .مغلقة بنفس الوقت و بالتالي شروط الفضاء المنتظم من السهل التحقق منها

: بحيث يوجد مجموعة مفتوحة يكفي إثبات ألي مجموعة مفتوحة

.

. و نصل للمطلوب دع

: ليس منتظم تام ( 7

بحيث و على إعتبار أن اإلقتران ة المغلقة لنأخذ المجموع

.وصورتها ؤدي إلى وجود نقطة خارج الذي ييكفي إثبات أن :وفي الحقيقة ينتج هذا عن طريق إثبات أن المجموعة التالية هي مجموعة غير منتهية

. لجميع قيم لتكن

( : Mathematical Induction) بإستخدام اإلستقراء

(.ققتح) الجملة صحيح عندما ( 6

.، بمعنى أن لنفرض أن الجملة صحيحة عندما ( 1 . نريد إثبات صحتها عندما ( 7

ألي نقطة بحيث إذن يوجد مجموعة قابلة للعد بما أن

.

يحقق المقولة مع الفضاء التوبولوجي و يمكن التحقق من الجملة األخيرة بأن اإلقتران : التالية

و بحيث متصل يوجد مجموعة قابلة لعد ألي إقتران

.ألي نقطة (. تحقق منها )

حيث يوجد مجموعة قابلة للعد اآلن من السهل رؤية أن لكل نقطة

. و

. لنفرض

: و بالتالي .هي مجموعة قابلة للعدعلى للمجموعة إذن اإلسقاط

مع النقطة مع المجموعة ستقابل المجموعة ألي نقطة

و بالتالي متصل ينتج لدينا ،و بسبب أن اإلقتران

. و منها ينتج.

. إعتمادا على المقولة ينتج لدينا

. ليس فضاء تيكنوف الفضاء التوبولوجي

:مالحظة

. يعطينا مثال على فضاء يورزين ليس هاوسدورف دالي فضاء ميسور

( :1)نظرية

هو فضاء تيكنوف إذا و فقط إذا كل من ( غير فارغ )الفضاء التوبولوجي . عبارة عن فضاء تيكنوف (غير فارغ )

:اإلثبات

(: ) . متروك للقارىء

( : )

، لتكن عبارة عن فضاء تيكنوف لكل على إفتراض أن كل من

مجموعة مغلقة ال تحوي النقطة ، و لتكن

.، إذن يوجد أحد عناصر األساس

، إذن يوجد مجموعة مفتوحة في حيث و ال تقطع المجموعة تحوي على النقطة

. و ، حيث إقتران متصل

. : لنعرف اإلقتران

و هذا بالتأكيد إقتران ( و في الحقيقة هو أقل قيم لإلقترانات المتصلة ) إقتران متصل : إذن .متصل

و و منها ينتج أن

( :2)نظرية

. كل فضاء جزئي غير فارغ من فضاء تيكنوف يكون فضاء تيكنوف

(. متروك للقارىء ) اإلثبات

:المراجع

6 )General Topology , Ryszard Engelking

1 )Proc. Amer. Math. Soc. 81 (1981), no. 4, 652--653

الفضاء لطبيعي

analysis

Normal Space

( : Normal Space) تعريف الفضاء الطبيعي

بأنه فضاء طبيعي إذا و فقط إذا نقول عن الفضاء التوبولوجي

، يوجد لدينا مجموعتين (تقاطعهم فارغ )مجموعتين مغلقتين في لكل من

مفتوحتين

. و و بحيث

بنفس الوقت يطلق عليه مسمى أن مسلمة فضاء طبيعي و إذا كان الفضاء التوبولوجي

. الفصل الرابعة

: تعريف

إذا و فقط إذا بأنه المحقق لمسلمة الفصل نقول عن الفضاء التوبولوجي

، يوجد لدينا إقتران يورزين (تقاطعهم فارغ)مجموعتين مغلقتين في لكل من

،

. و بحيث

( : 1)نظرية

عبارة عن فضاء طبيعي إذا و فقط إذا ألي مجموعة مغلقة يكون الفضاء التوبولوجي

و أي مجموعة مفتوحة

. بحيث يوجد لدينا مجموعة مفتوحة

( . أنظر إثبات النظرية المكافئة لتعريف الفضاء المنتظم ) إلثبات

يؤدي لآلخر و لكن العالم يورزين اآلن من الطبيعي أن يتسائل المرء عن أي الفضائين السابقين ( . Urysohn's Lemma) أثبت ان كالهما متكافئين عن طريق الزمة يورزين

دعنا نرى مثال على فضاء منتظم و منتظم تام و لكن ليس طبيعي و

ليس شرطا أن مع طبيعي أو و بنفس الوقت هو مثال على حاصل ضرب فضاء طبيعي أو

. يكون طبيعي او

( : Sorgenfrey's Line) خط األعداد سورجينفري *

right-half open interval) و ( Lower limit topology: )وله مسميات أخرى وهي topology .)

(. Robert Sorgenfrey) و صاحب هذا الخط هو العالم روبرت سورجينفري

:تعريفه

لهذا ( neighborhood base) للجوار [م]حيث عناصر األساسمع لنأخذ خط االعداد : التوبولوجي هو

( . تحقق من أنه يشكل أساس له )

:خصائصه

عبارة عن فضاء طبيعي و بالتالي ( 6

( :عملية تخطيط ) اإلثبات

بحيث تقاطعهم فارغ ، مجموعتين مغلقتين في ليكن لدينا

ال يقطع المجموعة عنصر من عناصر األساسكل ما عليك فعله هو أن تختار لكل نقطة في ، ، و كذلك األمر للمجموعة

كل منهما على حدى ، و و في اآلخير تأخذ اتحاد عناصر األساس التي أخذتها للمجموعة . بالتالي سيتشكل لديك مجموعتين مفتوحتين حسب المطلوب

. عبارة عن فضاء منتظم و منتظم تام نستنتج أن ( 6)من ( 1

. يحقق مسلمة العد األولى و ال يحقق الثانية ( 7

اآلن دعنا نأخذ حاصل ضرب فضائين من سورجينفري و نرى ماذا سيحصل لدينا في المثال التالي :

: Sorgenfrey's Plane( مستوى سورجينفري )مثال

: ، الحظ أن عناصر األساس له تكون كاآلتي لنأخذ الفضاء التوبولوجي

يل مفتوح من حافتين العلوية و عبارة عن مستط .اليمنى

:خصائصه

عبارة عن فضاء منتظم و ذلك بسبب أن حاصل ضرب الفضاء التوبولوجي ( 6 . يجب أن يكون فضاء منتظم عدد محدود من الفضاءات المنتظمة

عبارة عن فضاء منتظم تام و ذلك بسبب أن حاصل ضرب الفضاء التوبولوجي ( 1 . ن فضاء منتظم تامعدد محدود من الفضاءات المنتظمة التامة يجب أن يكو

: ليس فضاء طبيعي الفضاء التوبولوجي ( 7

. لترى عملية التخطيط لإلثبات Jone's Lemmaانظر إلى الزمة جون

، لنأخذ المجموعة

( . تحق منها .) مجموعة كثيفة في و من المالحظ أن

فضاء جزئي مغلق متقطع من الواضح أن و لنأخذ (Closed discrete subspace )

: و ذلك بسبب أن

. يوجد مستطيل مفتوح من حافتين ال يقطع لكل نقطة خارج مغلق بسبب أن

. فقط في النقطة يوجد مستطيل مفتوح من حافتين يقطع و متقطع بسبب أن لكل نقطة

(. حيث بمعنى )

: ، و بتطبيق الزمة جون بنتج لدينا أن الحظ أيضاً أن

. ليس فضاء طبيعيالفضاء التوبولوجي

. بسبب الزمة يورزين و بالضرورة أن ال يكون أيضاً

أنه استخدمنا الزمة جون إلثبات أنه ليس فضاء Soregenfrey's planeالحظ في مثال

.طبيعي

و لكن هنالك طريقة أخرى يمكن من خاللها إثبات أنه ليس فضاء طبيعي بإستخدام التعريف المباشر : و لنرى ذلك معاً .

لنفرض أن

: بحيث لنأخذ المجموعة

مجموعتين مغلقتين منفصلتين في من الواضح أن كل من

( . انظر طريقة اثبات ) فضاء جزئي مغلق و ذلك بسبب أن

. (تحقق من ذلك ) و ال شك لدينا أنه ال يمكن فصلهم بمجموعتين مفتوحتين منفصلتين

. و بالتالي ال يمكن أن يكون فضاء طبيعي و من الزمة يورزين ليس

( : Moore's Plane or Niemytizki's Plane) مثال مستوى موري أو نميتزكي

Niemytzki's Tangent Disc Topologyسمى أيضاً أو ما ي

. هذا مثال آخر على فضاء تيكنوف ليس فضاء طبيعي

:تكوينه

لنعتبر

. المعتاد هو التوبولوجي المعتاد في المستوى اإلقليدي و التوبولوجي عليها هو التوبولوجي

. هو عبارة عن خط في هذا المستوى و على سبيل المثال لنعتبر لنعتبر

: مع التوبولوجي المكون عليه كاآلتي : اآلن لنفرض أن

لها هو حسب التعريف في الفضاء (قرص مفتوح ) فإن عنصر الجوار المفتوح الي نقطة في ( 6 ( . Usual Topology) المعتاد

. بالطبع في المستوى

: فسيكون عناصر الجوار المفتوح لها هو على الشكل التالي ألي نقطة ( 1

قرص مفتوح في المستوى اإلقليدي بحيث تكون النقطة حيث

عبارة عن مماس لقرص عند بمعنى أن ) عبارة عن نقطة تماس بين القرص و الخط المستقيم ( . نقطة التماس

: كاآلتي إذن يصبح التوبولوجي

:خصائصه

. أوسع من التوبولوجي التوبولوجي ( 6

. : بمعنى آخر

: اس كاآلتي و يمكن إثبات هذه النقطة عن طريق استخدام خصائص األس

. عبارة عن قرص مفتوح في المستوى اإلقليدي لنفرض أن

. حيث و لنأخذ نقطة

و محتوى داخل ، فيمكن إيجاد قرص مفتوح نصف قطره أقل من إذا كانت ( : 6)حالة .

( . تحقق منها ) تفاصيل اإلثبات على القارىء

في المستوى اإلقليدي بحيث تكون النقطة ا قرص مفتوح يوجد لدينإذا كانت ( : 1)حالة

. و عبارة عن مركز القرص

و يكون بحيث يكون طول قطره بمقدار نصف القطر للقرص إذن يوجد لدينا قرص مفتوح . أيضاً محتوى في القرص

. بمعنى آخر

(. تحقق منها ) تفاصيل اإلثبات على القارىء

( : Tychonoff Space) لنثبت أنه فضاء تيكنوف ( 1

. مجموعة مغلقة و ليكن لتكن

: حيث ، يوجد لدينا قرص مفتوح إذا كانت ( :6)حالة

و بالطبع داخل ) ، و هو قرص مفتوح في لمستوى اإلقليدي حسب التعريف ( . التوبولوجي على

. في التوبولوجي اإلقليدي مجموعة مغلقة ال تحوي و بالتالي

: بحيث ( بالتأكيد متصلة )و بما أنه عبارة عن فضاء تيكنوف ، يوجد لدينا دالة يورزين لنقل أنها

. و

: و أيضاً هو متصل بالنسبة و لكن اإلقتران

.و

. ضاء تيكنوف عبارة عن فالفضاء التوبولوجي

( ) ، إذن يوجد لدينا قرص مفتوح و لنقل إذا كانت ( : 1)حالة

. في النقطة ، بحيث يمس الخط المستقيم نصف قطره

. و ال يقطع المجموعة المغلقة

: كاآلتي لنعرف الدالة

. ألي نقطة

و

، و ألي نقطة

. متصل [م]نريد التحقق أنه عبارة عن اقتران

يكفي إثبات ما ( شبيه فيها ) طريقة التي بدأنا فيها إثبات اإلقتران في الزمة يورزين و عملياً بنفس ال : يلي

. عبارة عن قرص مفتوح

. و بالتأكيد هو مفتوح في ( حيث نصف القطر له هو )

عبارة عن القرص المفتوح في

. ي و بالتأكيد هو مفتوح ف( حيث نصف القطر له هو )

. و و أيضاً لدينا

( إثبات اإلتصال لإلقتران و التحقق منها متروك للقارىء )

. عبارة عن فضاء تيكنوف الفضاء التوبولوجي

. ليس فضاء طبيعي الفضاء التوبولوجي ( 7

ي عنصر هي عبارة عن مجموعة مغلقة ، و ذلك بسبب أن أالحظ أن أي مجموعة محتواه داهل من عناصر األساس سيقطع المستقيم

. على األكثر في نقظة واحدة

. مجموعتين مغلقتين منفصلتين في : و بالتالي

. وجي و في الحقيقة ال يمكن فصلهما بمجموعتين مفتوحين من عناصر التوبول

: و لنفرض بالتناقض أنه يوجد مجموعتين مفتوحتين منفصلتين بحيث

. و

بغطاء قابل للعد بحيث يوجد أحدها اآلن ما نريد أن نقوم به هو أن نقوم بعملية تغطية المستقيم ة تقطع مجموعة كثيف

. بنفس الوقت

( rنصف قطره ) ، يوجد لدينا قرص مفتوح اآلن ألي نقطة

و بالتالي يمكن تكوين عدد النهائي من األقراص عند بالنقطة بحيث يكون يمس الخط المستقيم النقطة

( . Countable) بحيث يكون عددهم قابل للعد

. لنفرض أن

انظر التعريف آخر ( .) Second Category) عبارة من الفئة الثانية اآلن (. الصفحة

ال تعني أن التوبولوجي الكون عليها هو المعتاد و إنما حسب التعريف في )و بالتالي ، ( التوبولوجي على خط األعداد

، nowhere denseليست و منها نستنتج أنه يوجد لدينا إلى أن أحد المجموعات في

، و بالتالي أي فترة مفتوحة denseو في الحقيقة هي عبارة عن مجموعة كثيفة

...( ضع التفاصيل .) و منها نصل إلى التناقض . ال بدأن تقطع

. الفضاء التوبولوجي ليس فضاء طبيعي و من الزمة يورزين ليس

:مالحظة هامة

طرق استخدام الزمة جون و باتباع نفس األسلوب في يمكن أن نثبت بأنه ليس فضاء طبيعي عن . مثال متسوى سورجنفري مع اإلعتبار أن

(. متروك للقارىء)

:خصائص الفضاء الطبيعي و

، كل ما ينطبق على الطبيعي ينطبق على

. كفي أن نذكر الخصائص المتعلقة بإحداهم و تنطبق على اآلخر تلقائياً لذلك ي

.. من المؤسف أن نذكر أن ليس كل فضاء جزئي من فضاء طبيعي يكون فضاء طبيعي

، و أمثلة Ordinals Numbersو هنالك عدة أمثلة و لكن في مستوى يحتاج إلى إلمام في مفهوم أخرى

One-point، و أخرى بمفهوم Quotient Spacesتتطلب إلمام في مفهوم Compactification .

( : 2)نظرية

. أي فضاء جزئي مغلق من فضاء طبيعي يكون فضاء طبيعي

:اإلثبات

فضاء جزئي ء طبيعي و ليكن فضاليكن لدينا

: ، و بما أن مجموعتين مغلقتين منفصلتين في مغلق ، وليكن

، مجموعتين مغلقتين منفصلتين في فضاء جزئي مغلق ، ينتج لدينا أن

، بحيث بالنسبة و بالتالي يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين منفصلتين

: ، و بالتالي و

. هما اللتين نبحث عنهما المجموعتين

( :3)نظرية

. ي تحت تأثير اإلقتران المتصل المغلق تكون فضاء طبيعي صورة الفضاء الطبيع

:اإلثبات

، عبارة عن فضاء طبيعي ، و لنأخذ لنفرض أن

ين منفصلتين فضاء طبيعي ، لنأخذ مجموعتين مغلقتدالة متصلة مغلقة ، نريد إثبات أن

،

دالة بسبب أن تين مغلقتين منفصلتين في مجموعو بالتالي

: بحيث فضاء طبيعي ، يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين منفصلتين متصلة ، و بما أن

: و مبما أن الدالة مغلقة ، ينتج لدينا أن

مجموعتين مفتوحتين في و

. على التوالي ، و في الحقيقة هما المجموعتين اللتين نبحث عنهما بحيث تحتويان

. تحقق كل منهمابسبب ان تنتطبيقان على ( 1)و ( 6)نظرية مالحظة

. و بالتأكيد تنتطبقان على

ليس كل فضاء طبيعي هو عبارة عن فضاء منتظم ، فعند إزالة مسلمة الفصل األولى ، :مالحظة . ى وجود مثال يؤيد ذلك يؤدي إل

( : فضاء طبيعي ليس فضاء منتظم ) مثال

: مع خط االعداد ( Right ray) لنأخذ التوبولوجي المعروف بمسى الشعاع المفتوح من اليمين

: حيث

.

: الفضاء التوبولوجي السابق عبارة عن فضاء طبيعي ( 6

لمجموعتين بسبب أنه ال يمكن وجود مجموعتين مغلقتين منفصلتين في داخله ، بالتالي واحدة من ا (. أثبت ذلك)يجب أن تكون مجموعة فارغة

: فالمجموعتين الفارغتين التي نبحث عنهما هما و لنقل لو أفترضنا أنهما

.

(. اكتب التفاصيل )

: ضاء منتظم الفضاء التوبوولوجي السابق ليس ف( 1

، والنقطة من الواضح أن المجموعة المغلقة

( . تحقق من ذلك ) ال يمكن فصلهم بمجموعتين مفتوحتين منفصلتين

نشير أيضاً إلى أن هنالك مثال خاص على فضاء تيكنوف و ليس فضاء طبيعي انظر إليه من أسفل . مثال خاص أو اضغط على كلمة الصفحة

( . First Category and Second Category: الفئة األولى و الثانية ) تعريف

. لنعتبر الفضاء التوبولوجي

(. هو ) ألي مجموعة nowhere dense setن المعلوم لدينا أن تعريف م

إذا و فقط ( first category or meager) نقول عنها من الفئة األولى اآلن أي مجموعة إذا

nowhereابل للعد من مجموعات كل واحدة منها عبارة عن كانت عبارة عن اتحاد عدد قdense .

second) اآلن أي مجموعة أخرى ال تحقق شرط الفئة األولى تكون من الفئة الثانية category . )

:المراجع

6 )Schaum's Outline of Theory and Problems of General Topology by Seymour Lipschutz

1 )General Topology , Stephen Willard

7 )Counterexamples in Genaral topology , by Seen and Seebach

4 )http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_plane

الزمة جون

analysis

Jone's Lemma

، و في الحقيقة ليس هنالك مشكلة في طريقة كتابتها John's Lemmaقد يكتب البعض اسمها . و إنما األصح كما هو مكتوب بالعنوان

( : Jone's Lemma) الزمة جون

( Dense)مجموعة كثيفة بحيث يمكن أن يكون لديه إذا كان لدينا الفضاء التوبولوجي ،

، بحيث ( Closed discrete subspace) و كان لديه فضاء جزئي مغلق متقطع

،

. ليس فضاء طبيعي إذن

: إلثبات ا

،فضاء طبيعي ، لنأخذ المجموعة لنفرض

(.فضاء جزئي مغلق متقطع بسبب أن ) مجموعتين مغلقتين في و فيصبح لدينا . ونا مجموعتين مغلقتين في فستك

إذن يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين

. و و بحيث

. بحيث من لنأخذ

( لقتين غير متساويتين غير منفصلتين و في الحقيقة هما مجموعتين مغ)

: بحيث إذن يوجد لدينا مجموعات مفتوحة

و و

. و

. لكل و

فإن كل المجموعات المفتوحة يجب أن تقطعها و في ( Dense) مجموعة كثيفة و بما أن : بالتالي

: و نستنتج منها

و

. فارغ و هذا تناقضفي [م]بسبب لو تحققت المساواة ألصبح التقاطعاآلن

. و و أيضاً كل من

. تقاطعها فارغ و هذا تناقضمجموعة كثيفة و لو كان التقاطع فارغ ألدى إلى أن بسبب أن

: كاآلتي ( ) و بالتالي ليس من الصعب رؤية تعريف الدالة واحد لواحد

حيث

واحد لواحد بسبب السببين السابقين و منها [م]و هذا واضح انه اقتران

: نستنتج أن

. و هذا يناقض الفرض .

.ليس فضاء طبيعي و بالتالي ليس الفضاء التوبولوجي

الزمة يورزين

analysis

Urysohn's Lemma

( : Dyadic fractions or rational)تعريف

dyadic fraction orيسمى و موجود في الفترة أي كسر عادي مقامه من قوى العدد rational .

. حيث أو بمعنى آخر أي كسر عادي على صورة

( : Urysohn's Lemma) الزمة يورزين

: يكون الفضاء التوبولوجي

. كان ( ) إذا و فقط إذا

:اإلثبات

:

، (تقاطعهم فارغ)مجموعتين مغلقتين في ليكن

. و بحيث ذن يوجد إقتران يورزين

. و اآلن أفرض

وو أن و من الواضح أن

. عبارة عن الفضاء التوبولوجي

:

، ( تقاطعهم فارغ ) مجموعتين مغلقتين في ليكن

: بحيث ، و بالتالي يوجد مجموعة مفتوحة إذن بالضرورة أن يكون لدينا

. هذه الجملة تنتج من التعريف المكافىء لمسلمة الفصل

، التعريف مرة اخرى على [م]و من المالحظ أنه يمكن تطبيق

: بحيث إذن يوجد لدينا مجموعة مفتوحة

: و لو تابعنا على هذا المنوال سنحصل على الخاصية التالية

،في الفترة dyadicجميع األعداد النسبية إذا كانت

. أن سنحصل علىبحيث سنحصل على ألي

: كاآلتي على لنعرف الدالة

. لكل قيم ، و الحظ أيضاً أن قتران في الفترة من المالحظ أن مدى هذا اإل

. و : نستنتج مما سبق ان

: متصل آلن لنثبت أن اإلقتران

مجموعة مفتوحة في نريد إثبات أن الصورة العكسية لنأخذ الفترة .

: على الشكل التالي و لكن يمكن كتابة الفترة

. مجموعتين مفتوحتين في و و بما أن كل من

. يكفي إثبات أن صورهم العكسية مفتوحة إلثبات أن اإلقتران متصل

:إدعاء

6 )

1 )

عبارو عن الحظ أن الصور العكسية عبارة عن اتحاد مجموعات مفتوحة مما يؤدي إلى أن .إقتران متصل

( : 1) و ( 6)يبقى علينا أن نثبت

: لنثبت اإلتجاه ( 6

و بالتالي يوجد لدينا عدد لنأخذ القيمة

: حيث ( تكون كثيفة و بالتالي ستقطع بسبب أن أي مجموعة مفتوحة في )

.

. لكل بالتالي

. : إذن

: اإلتجاه

: بحيث إذن يوجد لنأخذ القيمة

. و بالتالي

: اإلتجاه ( 1

بمعنى لنأخذ القيمة

: و ( ) حيث و بالتالي يوجد لدينا عددين

: و بالتالي ينتج لدينا

. و بالتالي و منها ينتج لدينا أن

:و منها نستنتج أن حيث إذن

.

: اإلتجاه

: بحيث إذن يوجد لنأخذ القيمة

و

فإن ومنها نستنتج أن لكل

بسب أن و ذلك

. إذن

. هو نفسه الفضاء الطبيعي و بالعكس مسلمة الفصل

( N u R) مثال خاص

analysis

( : Almost Disjoint Familyعائلة تقريباً منفصلة ( ) 1)تعريف

قريباً منفصلة إذا و فقط إذا كان أي مجموعتين منها أي عائلة من المجموعات نقول عنها عائلة ت( ممكن فارغ أو عدد محدود من النقاط فقط [م]بمعنى التقاطع) تقاطهم تقريبا عدد محدود من النقاط

.و هذا يسوق إلى أن تقاطع أي عدد محدود منهم على تقريباً منفصل

( : dimensional Space-0فضاء البعد الصفري ( ) 2)تعريف

عبارة عن فضاء البعد الصفري إذا و فقط إذا كان يملك نقول عن الفضاء التوبولوجي . Clopen Sets( مغلقة و مفتوحة بنفس الوقت ) عناصره عبارة عن مجموعات كلوبن [م]أساس

:نظرية

.كل فضاء البعد الصفري يكون عبارة عن فضاء تيكنوف

:اإلثبات

يوجد أساس عناصره عبارة عن عبارة عن فضاء البعد الصفري ، إذنلنفرض أن .مجموعات كلوبن لنقل أنه

:و بالتالي و لنفرض أيضاً أن عبارة عن مجموعة مغلقة في لنفرض أن

:بحيث يوجد لدينا مجموعة كلوبن من عناصر األساس

:كاآلتي [م]لنعرف دالة

من المالحظ أن

:دالة متصلة و األمر واضح كما يلي عبارة عنيبقى أن نثبت أن الدالة

عبارة عن مجموعة مفتوحة أي مجموعة مفتوحة، نريد أن نثبت أن لنفرض أن :و لكن هذا يتبين بحسابها كما يلي

( : ) مثال خاص

و فكرة هذا المثال . مبتكر من بحث علمي . هذا المثال آخر على فضاء تيكنوف ليس فضاء طبيعي مد هذا البحث على و يعت.ترد كثيراً في األبحاث التوبولوجية المهمة و يستفاد منها كثيراً لغرابتها

.الزمة جون في إثباته

:تكوينه

عائلة من المجموعات ، و لنفرض أن Countable setأي مجموعة قابلة للعد لنفرض أن ُ منفصلة من ً :بمعنى . بحيث تكون على تقريبا

:بحيث

اتحاد من تجمبد بعض المجموعات و ) theoretic unionاتحاد نظري لنفرض .و من ( اعتبار كل مجموعة كعنصر خارج المجموعة الرئيسية

:كاألتي في و لنعتبر عناصر األساس للتوبولوجي

.سيكون شكل المجموعات المفتوحة بشكل ألي نقطة ( 6

حيث سكون شكل عنصر األساس الجوار كاآلتي و ألي مجموعة ( 1رها مجموعة محدودة من و على سبيل المثال لنعتب Compact setأي مجموعة متراصة

.العناصر

.تكون أساس للتوبولوجي على ( 1)و ( 6)تأكد من أن

:خصائصه

(. Open Discrete Subspace) عبارة عن فضاء جزئي مفتوح متقطع ( 6

بسبب أنه يمكن كتابته على صيغة اتحاد مجموعات مفتوحة في التوبولوجي بمعنى : مفتوح

.

.بحيث بسبب ألي نقطة : متقطع

. Dense Subspaceعبارة عن فضاء جزئي كثيف ( 1

.ال بد أن تقطعه بسبب أن أي مجموعة مفتوحة في

. Closed Discrete Subspaceفضاء جزئي مغلق متقطع ( 7

.بسبب مماثل للفضاء الجزئي : متقطع .مجموعة مفتوحة في بسبب أن : مغلق

.الفضاء التوبولوجي السابق عبارة عن فضاء هاوسدورف ( 4

نريد البحث عن مجموعتين مفتوحتين لنفرض أن لنعتبرها حسب حاالتها بمعنى

.و أيضاً بحيث

:حاالت ال

.اختر إذا ( أ

.حيث و اعتبر أن اعتبر أن إذا( ب

لماذا يصلح .) حيث و اختر (اختيارها هكذا ؟؟

. و لنقل أنها و األخرى في و لنقل أنها لو كانت أحدهما في ( ج

.حيث و لنختر

.الفضاء التوبولوجي السابق عبارة فضاء البعد الصفري ( 5

سيتم إثبات أن األساس عناصره عبارة عن مجموعات كلوبن و سنعتمد أيضاً على في الحقيقة .النظرية أن المجموعة المتراصة من فضاء هاوسدورف هي عبارة عن مجموعة مغلقة

و هو بحد ذاته مجموعة مفتوحة في و بما أن كل عبارة عن فضاء مفتوح في ( أ ينتج لدينا أنها مفتوحة في مفتوح في

( 4)هي عبارة عن فضاء متراص من فضاء هاوسدورف الذي تم إثباته بالنقطة و أيضاً كل

.مجموعة مغلقة في ينتج لدينا أن

.عبارة عن مجموعة كلوبن إذن

عبارة عن عبارة عن فضاء جزئي مغلق و عناضر األساس المتعلقة به بالنسبة ( ب .مجموعات مفتوحة في

.يبقى إثبات أنها مغلقة عن طريق إثبات أنها مجموعة متراصة

.عبارة عن مجموعة متراصة بمعنى نريد أن نثبت

و عدد لها ، اآلن كل ما نريده مجموعة واحدة لتغطية عبارة عن غطاء مفتوحلنفرض أن .محدود من المجموعات لتغطية

بعدد محدود من عناصر . يغطي و بالتالي يوجد غطاء جزئي من الغطاء .الغطاء

و بالتالي هي مجموعة متراصة و بما أن الفضاء عبارة عن فضاء هاوسدورف ينتج لدينا أن هذه .المجموعة عبارة عن مجموعة مغلقة و هي مفتوحة بحد ذاتها في

.و بالتالي هي مجموعة كلوبن في

.ابق هو فضاء تيكنوف الفضاء التوبولوجي الس( 1

.بما أنه فضاء البعد الصفري فهو فضاء تيكنوف

.الفضاء التوبولوجي السابق ليس فضاء طبيعي ( 3

دام الزمة جون ينتج لدينا أن الفضاء السابق و بإستخ( 1)و ( 6)و من واضح لدينا .ليس فضاء طبيعي

فضاء شبه منتظم

analysis

Semiregular Space

:تعريف

أو مفتوحة ( regular open set) مجموعة مفتوحة منتظمة مفتوحة نقول عن المجموعة ال

. إذا و فقط إذا كان لدينا ( regularly open) بإنتظام

أو مغلقة ( regular closed set) مجموعة مغلقة منتظمة و نقول عن المجموعة المغلقة

. إذا وفقط إذا كان لدينا ( regularly closed) بإنتظام

:معلومات هامة عليهما

.متممة أي منهما تعطي األخرى ( 6 .المجموعة المفتوحة أو المغلقة أن تكون مفتوحة منتظة أو مغلقة منتظة ليس شرطاً أن ( 1 (.ابحث عن أمثلة في أنواع التوبولوجي البسيطة )عدد محدود من المجموعات المفتوحة بإنتظام تعطي مجموعة مفتوحة و حاصل [م]حاصل تقاطع( 7

. أتحاد مجموعات مغلقة بإنتظام تعطي مجموعة مغلقة

. و لكن ليس بالضرورة تقاطع مجموعات مغلقة بانتظام أن تكون مغلقة بإنتظام

: ، لنأخذ المجموعتين التاليتين ( Usual Topology) د إعتماداً على التوبولوجي المعتا :مثال

. و

. ليست مغلقة بإنتظام كل منهما مجموعة مغلقة بإنتظام و لكن تقاطعهم

.ضرورة أن تكون مفتوحة بإنتظام و لكي نرى أن إتحاد مجموعات مفتوحة بإنتظام ليست بال

و قم بعملية اإلتحاد بينهم و تحقق أن الحاصل ليست مجموعة مفتوحة خذ متمة كل من . منتظة

( : Semiregular space) تعريف فضاء شبه منتظم

إذا فقط إذا كانت ( Semiregular space) بأنه فضاء شبه منتظم نقول عن الفضاء . للتوبولوجي ( base) [م]المجموعات المفتوحة بإنتظام تشكل أساس

( :1)نظرية

. حاصل ضرب فضائين شبه منتظمين عبارة عن فضاء شبه منتظم

( :تخطيطي ) اإلثبات

ضائين شبه منتظمين و أن نأخذ األساس لكل عبراة عن فكل ما علينا فعله هو أن نفرض منهما من مجموعات مفتوحة بإنتظام و نكون أساس الفضاء الضربي بينهما و نتأكد من شرط

. الجموعات المفتوحة بمعنى نتأكد

اآلن من المؤسف القول أنه ليس شرطاً كل فضاء جزئي من فضاء شبه منتظم عبارة عن فضاء

و ( Embedding) شبه منتظم و يمكن التأكد من ذلك من خالل مفهوم التوسعة أو التمدد مفهومها من المعلوم لدينا أن يكون فضاء جديد للفضاء السابق بحيث يكون محقق للخاصية التي

. د إضافة أن يكون تمدد للسابق نري

: بمعنى آخر انظر النظرية التالية

( :2) نظرية

ن الفضاء بحيث يكو embeddingليس شبه منتظم يمكن عمل له عملية توسعة كل فضاء . الناتج عبارة عن فضاء شبه منتظم

( :تخطيطي ) اإلثبات

و لنكون عناصر حيث و لنكون الفضاء التوبولوجي لنفرض أن : األساس لفضاء الجديد كاآلتي

ة مفتوحة سيكون شكل عناصر األساس لها عبراة عن فترحيث ألي نقطة ( 6

لكي يكون لدينا ة بشكل كافي في صغير بحيث نختارطولها

:بمعنى

: ل عناصر األساس لها عبارة عن يكون شكو ألي نقطة ( 1

و ليست صغيرة بشكل كافي و معتمد على بحيث نختار داخل التي هي بحد ذاتها عبارة عن جوار للنقطة معتمدة على

. عمل لها توسعة في داخل عبارة عن فضاء شبه منتظم بحيث ما عليك إال أن تثبت أن

و ألي مجموعة مفتوحة من المعلوم لدينا أن ألي فضاء منتظم محقق ألي نقطة

: بحيث يوجد لدينا مجموعة مفتوحة حيث

عبارة عن اتحاد و بالتالي يمكن كتابة الحظ أنه يوجد لدينا جوار مغلق و الذي هو عبارة عن و منها نصل أن كل فضاء منتظم عبارة عن فضاء شبه . مجموعات مفتوح منتظمة لكل نقاطها

. منتظم

ن العكس غير صحيح و سنرى بعض األمثلة المتعلقة بالفضاء شبه المنتظم و لكن أحب أن و لكأشير أن عدد قليل من الكتب تعتبر أن الفضاء شبه المنتظم محقق لفضاء هاوسدورف تلقائياً و لكن هنالك أمثلة تثبت أنه يوجد فضاء شبه منتظم و محقق لمسلمة الفصل األولى و ليس محقق لفضاء

. ليس محقق لفضاء دورف بل يمكن إيجاد فضاء شبه منتظم و هاوس

:ليس فضاء هاوسدورف فضاء شبه منتظم محقق لمسلمة *

الك مثال يحقق لكي نثبت بأنه هن embeddingفي الحقيقة سنستخدم مفهوم التوسعة أو التمدد

.و ليس محقق لفضاء شبه منتظم و فضاء المطلوب ، فعلينا إيجاد مثال محقق ( . 1)بحيث نستخدم نفس المفهوم الذي تم استخدامه في في نظرية

توبولوجي cofiniteعبارة عن حيث لنأخذ على سبيل المثال الفضاء التوبولوجي

و هو أيضاً ليس فضاء هاوسدورف و الذي أسلف ذكره بأنه أصغر توبولوجي محقق للفضاء . ليس فضاء شبه منتظم

لهذا التوبولوجي بتكوين الفضاء embeddingأن نقوم بعملية ( 1)باإلمكان حسب مفهوم نظرية

و التوبولوجي المعرف عليها حسب لذكرو في عملية حيث التوبولوجي (. 1)التخطيط لإلثبات في نظرية

. عبارة عن فضاء شبه منتظم و محقق لمسلمة الفصل حظ أن الفضاء ال

( . 1)بسبب النظرية : شبه منتظم ( 6

فلو تم أخذ نقطتين يتم إثباتها عن طريق النظر لحاالت النقاط الموجودة داخل الفضاء : ( 1

في التعريف التوبوولجي الذكور في األعلى فيمكن اختيار حسب ما أسلف ذكره فيهما صغيرة بشكل كافي لك منهما بحيث ال يحتوي إحداهما األخرى ، و كذلك لو تم أخذ نقطة

فتبقى حالة لو تم أخذ نقطتين كالهما . باإلعتماد على اختيار نقطة فيهما بحيث

بحيث يحتوي فإنه يجب وجود جوار مفتوح لنقل

. عبارة عن فضاء ممكن وجوده بسبب أن و هذا وال يحتوي

. عن عبارة الفضاء التوبولوجي

. ليس فضاء هاوسدورف اء هاوسدورف بسبب أن ال يمكن أن يكون فضو لكن

كما أشرت سابقاً أن بعض الكتب تعتمد أن الفضاء شبه المنتظم هو فضاء هاوسدورف محقق معاً ، و هذا ما اعتمده العالم آرينس في إثبات أنه ليس شرطاً كل فضاء لشروط فضاء شبه المنتظم

. عبارة عن فضاء يورزن أو منتظم أو شبه منتظم

( : Simplified Arens Square) مثال

ليس فضاء منتظم أو هو تعديل على مربع آرينس ليصبح مثال بسيط على فضاء شبه منتظم . فضاء يورزين

:تكوينه

لنأخذ المربع ذو وحدة واحدة في الربع األول بحيث رأسه السفلي من جهة اليسار هو عبارة عن . نقطة األصل

، و لنأخذ نقطتين من نقاط interiorهي عبارة عن جميع النقاط الداخلية للمربع لنعتبر أن

.رؤوس المربع و لنقل أنهما

localو لنكون التوبولوجي من عناصر أساس محلية لنفرض bases كاآلتي لكل نقطة من نقاط :

سيكون عنصر األساس لها من عناصر الفضاء التوبولوجي المعتاد التربيعي ألي نقطة من ( 6Usual topology .

: سيكون شكل عنصر األساس لها على الشكل التالي و للنقطة ( 1

: كاآلتي وبالمثل سيكون شكل عناصر األساس للنقطة

يكون ننوه إلى أن هذه عبارة عن عناصر أساس محلية للنقاط و وضعها جميعاً في مجموعة (. تأكد من ذلك . ) أساس للفضاء سيشكل

:خصائصه

: التوبولوجي محقق لفضاء هاوسدورف بالتأكيد و ال يصعب علينا رؤية ذلك الفضاء( 6

بحيث ال يمكن إيجاد مجموعتين مفتوحتين من عناصر األساس المعادفأي نقطتين مختلفتين في . تقاطعا و في الحقيقة الفضاء التوبولوجي المعتاد عبارة عن فضاء توبولوجي هاوسدورف

و بالتالي ال يوجد و النقطتين الرأسيتين ال يمكن عناصر األساس لهما أن تتقاطع لكل قيم . مشكلة في فصلهم

يمكن فصلهم إعتماداً على و من السهل رؤية أيضاً أن ألي نقطة من الرأسين مع أي نقطة من . و طول نصف القطر للقرص المفتوح حول النقطة داخل قيم

. بارة عن فضاء هاوسدورفعالفضاء التوبولوجي

: الفضاء التوبولوجي عبارة عن فضاء شبه منتظم ( 1

أيضاً ليس من الصعب رؤية ذلك ، و السبب أن ألي مجموعة مفتوحة من عناصر األساس

و .لتالي هي عبارة عن مجموعة مفتوحة منتظمة و باسيكون لدينا ألحد نقاط . كذلك األمر لكل عناصر

و ال . فكالهما عبارة عن مجموعة مفتوحة منتظمة و كذلك للمجموعتين المفتوحتين . تحتاج إال التأكد من الحسابات فيهما

: الفضاء التوبولوجي ليس فضاء يورزين ( 7

بحيث ال يمكن فصل إيجاد مجموعتين الحظ أن النقطتين

WLOG) محددتين، فلو افترضنا أن يمكن إيجاد مجموعتين لقيمة (Without Loss OF Generality ) فيمكن أن نفرض

هي عبارة عن نقاط امتداداً إلى النقطة الحظ أن جميع النقاط الواقعة بشكل عمودي من النقطة

. بحيث ال يمكن فصلهم نهائياً مشتركة للكلوجير لكل من المجوعتين

. فضاء يورزين ليس و بالتالي الفضاء التوبولوجي

و بما أنه تم إثبات أن الفضاء التوبولوجي المعطى عبارة عن ( 7)و بالحقيقة من فرع ( 4في إثبات أنه ليس Contra positiveيمكن أن نستنتج من إستخدام ( 6)هاوسدورف في نقطة

: فضاء منتظم و لكن يمكن أن نحمل إثبات ذلك بشكل بسيط كاآلتي

و النقطة المغلقة لو أفترضنا المجموعة

بمعنى ال يمكن .س األسباب التي ذكرت سابقاً أنه ليس فضاء منتظم ، و نالحظ لنف .فصلهم

اآلن لنأتي لذكر مثال لمربع آرينس دون تعديل الذي يحقق فضاء يورزين و فضاء شبه منتظم و

. ليس فضاء

( : Arens Square) مثال

:تكوينه

لنأخذ المربع ذو وحدة واحدة في الربع األول بحيث رأسه السفلي من جهة اليسار هو عبارة عن . نقطة األصل

هي عبارة عن جميع النقاط الداخلية للمربع بحيث تكون إحداثياتها عبارة عن أعداد لنعتبر أن

، و لنأخذ نقطتين من نسبية بمعنى آخر

و لنأخذ أيضاً المجموعة . وس المربع و لنقل أنهما نقاط رؤ

و لنكون التوبولوجي من عناصر أساس محلية لنفرض local bases كاآلتي لكل نقطة من نقاط :

د التربيعي سيكون عنصر األساس لها من عناصر الفضاء التوبولوجي المعتاألي نقطة من ( 6Usual topology . بحيث تكونinherit بمعنى أنها تتوافق مع اإلحداثيات .مع الفضاء

. النسبية

: سيكون شكل عنصر األساس لها على الشكل التالي و للنقطة ( 1

: كاآلتي كل عناصر األساس للنقطة وبالمثل سيكون ش

: سيكون على الشكل اآلتي و بالنسبة لشكل عناصر األساس للمجموعة ( 7

سيشكل ننوه إلى أن هذه عبارة عن عناصر أساس محلية للنقاط و وضعها جميعاً في مجموعة (. تأكد من ذلك . ) أساس للفضاء

[

:خصائصه

: عبارة عن فضاء يورزين الفضاء التوبولوجي السابق ( 6

ليس من الصعب التأكد من ذلك بأخذ النقاط المختلفة حسب حاالتها، فالنقطتتين الرأسيتين منعزلتين بحيث لو تم أخذ الكلوجير للمجموعات أو تماماً ، و يمكن أي منهما عن النقاط سواًء مع

. المفتوحة من األساس تبقى منعزلة أيضاً

. أكتب التفاصيل و تأكد

. لتوبولوجي عبارة عن هاوسدورف أن الفضاء ا 6نستنتج من ( 1

: الفضاء التوبولوجي السابق ليس فضاء منتظم ( 7

و األمر بسيط فقط يمكن التأكد من ذلك من خالل النقاط الواقعة على الرأسين أو على المحور

و أخنا مجموعة مفتوحة معينة لها لنقل أنها المنصف بينهما ، فمثالً لو أفترضنا النقطة

: بحيث ، فال يمكن إيجاد مجموعة

ستضم نقاط تحتوي أحد إحداثياتها مجموعة و التفسير سيط بأن عملية أخذ الكلوجير لل

لماذا؟؟؟؟على األقل عدد غير نسبي ، و هي بالتأكيد غير موجود في و كذلك يمكن التأكد من النقطة الواقعة على الرأس اآلخر بنفس الطريقة ، و بالمثل للنقاط الواقعة

. على المحور المنصف

: الفضاء التوبولوجي السابق عبارة عن فضاء شبه منتظم ( 4

عبارة عن مجموعات مفتوحة بإنتظام أن تتأكد من المجموعات في األساس كل ما عليك فعله هو ( . متروك للقارى من التأكد.) حسب تعريفها

: الفضاء التوبولوجي ليس فضاء ( 5

: و يمكن إثبات ذلك بطرقتين

عن طريق يمكن إثبات أنه ليس فضاء الطبيعي الذي هو بالتأكيد هو فضاء مكافىء للفضاء ( أ . الزمة يورزين

: و يمكن ذلك لو نظرت إألى المجموعتين الغلقتين المنعزلتين التالييتين

قم بعملية تأكد على ) لوجدت أنه ال يمكن إيجاد مجموعتين مفتوحتين تحتويهم بحيث تكونا منعزلتين ( . عناصر الفضاء للمجموعات المفتوحة

: طرقة مباشرة و ملحاظتها سهل جداً ( ب

و بحيث يورزين لنقل أنه [م]لو افترضنا أنه يوجد لدينا اقتران

اإلقتران متصل ال بد أن تكون الصور العكسية ، بما أن

عبارة عن مجموعتين مفتوحتين و بالتأكيد يجب أن للمجموعتين

. لقيمة محدد لكل من تحوي

: كتيكية بسيطة اآلن العملية التي نريد القيام بها هي مجرد عملية ت

السبب الفرض هكذا سيبين في )لقيمة محددة من لو أفترضنا أن قيمة

. غير موجودة في ، فيجب أن ( نهاية الخطوات

في و بالتالي ال بد من وجود فترة مفتوحةلنفترض أنها غير موجودة في WLOGو

، و البتالي الصور العكسية لكل من بحيث حسب تعريف التوبولوجي على عبارة عن مجموعتين مغلقتين منعزلتين بحيث تحوي كل منها على مجموعة مفتوحة حول النقطة

( . متعلق بالمجموعة )و مجموعة مفتوحة حول النقطة ( للمجموعة )

بحيث و لكن ماذا لو تم اختيار هذ يتحقق لو تم

بالتأكيد اإلجابة ستكون هنالك مجموعتين مفتوحتين لكل من

على نقطة واحدة على األقل و هذا تناقض بحيث تقاطعهم ليس فارغ و يحتوي .

:تمرين

: حيث لنفرض الفضاء التوبولوجي

. extended real numbersبما يسمى هذا الخط : و لنعرف عناصر األساس لهذا التوبولوجي كاآلتي

سيكون شكل عنصر األساس لها حول النقطة ( 6

سيكون شكل عنصر األساس لها حول النفطة ( 1

سيكون شكل عنصر األساس لها و ألي نقطة ( 7

مع إزالة حدد محدود من حيث

.

:المطلوب . تأكد من أن عناصر األساس السابقة تشكل أساس للفضاء التوبولوجي ( 6

ت أن الفضاء التوبولوجي السابق عبارة عن فضاء هاوسدورف و فضاء شبه منتظم و ليس أثب( 1 . فضاء يورزين

: كاآلتي 1و 6في كل من عناصر األساس لو تم وضع شرط على قيمة ( 7

. 6لعناصر األساس نضع شرط . 1لعناصر األساس نضع شرط

. و شبه منتظم ليس فضاء تحقق من الفضاء التوبولوجي الجديد عبارة عن فضاء

:المراجع

6 )General Topology , Stephen Willard

1 )Counterexamples in General Topology , Steen and Seebach

فضاء طبيعي مثالي

analysis

Perfectly Normal Space

( : Perfectly Normal Spaceالفضاء الطبيعي المثالي ( ) 1)تعريف

بأنه عبارة عن فضاء طبيعي المحقق لمسلمة الفصل نقول عن الفضاء التوبولوجي

. عن مجموعة مثالي إذا و فقط إذا لكل مجموعة مغلقة هي عبارة

: و هذا يكافىء مباشرة لو تم القول

. إذا و فقط إذا لكل مجموعة مفتوحة هي عبارة عن مجموعة

( : Zero setالمجموعة الصفرية ( ) 2)تعريف

عن مجموعة صفرية إذا و فقط إذا كان يوجد إقتران هي عبارة نقول عن أي مجموعة

: بحيث متصل

( :1)نظرية

. هي عبارة عن مجموعة مغلقة من ألي مجموعة صفرية

:إثبات

و هي عبارة عن مجموعة صفرية ، إذن يوجد لدينا دال متصلة بما أن : بحيث

متصلة و [م]عبارة عن دالةعبارة عن مجموعة مغلقة بسبب أن نستنتج مما سبق أن . مجموعة مغلقة في الفضاء التوبولوجي المعتاد ، فصورتها العكسية ال بد أن تكون مغلقة

. يعي لكل عدد طبلنفرض أن

: مجموعة مفتوحة و أيضاً عبارة عن من المالحظ أن

. و هو المطلوب

( :2)نظرية

، يكون لدينا ألي مجموعة مغلقة المحقق لمسلمة الفصل في الفضاء التوبولوجي . هي عبارة عن مجموعة صفرية

:إثبات

: بحيث لنفرض أنه لدينا مجموع مغلقة

. عبارة عن مجموعة مفتوحة لكل عدد طبيعي

. عبارة عن مجموعة مغلقة لكل اآلن

عبارة عن فضاء طبيعي فيمكن استخدام الزمة و بما أن و لدينا أيضاً

: بحيث يورزن إليجاد دالة متصلة

. لكل عدد طبيعي

: بحيث لنعرف الدالة

. ولكنها واضحة من التعريف كل ما تبقى إثباته أن

. و لكن يمكن النظر إلها بطريقة أخرى بتعريف

: يمكن تعريف هي مجموعة مغلقة منعزلة عن و لك مجموعة

. و بالتالي نستطيع القول أن

هو عبارة عن فضاء طبيعي مثالي إذا و يمكن القول ألي فضاء توبولوجي ( 1)نظرية و من

: بحيث يوجد لدينا دالة متصلة فقط إذا ألي مجموعتين مغلقتين منعزلتين

. في الحقيقة النظرية اآلتية تجمع بين التعريفات المكافئة للفضاء الطبيعي المثالي

( :3)نظرية

: اآلي يكون متكافىء ألي فضاء توبولوجي

. عبارة عن فضاء طبيعي مثالي ( 6

. صفرية لكل مجموعة مغلقة هي عبارة عن مجموعة( 1

. و لكل مجموعة مغلقة هي عبارة عن هو عبارة عن الفضاء ( 7

:اإلثبات

( . 6)و تعريف ( 1)و ( 6)من خالل نظرية

تام و السبب بسيط من خالل من الواضح أن كل فضاء طبيعي مثالي هو عبارة عن فضاء طبيعي

( . 1)اإلستنتاج البسيط من نظرية

. و لكن ليس كل فضاء طبيعي تام هو عبارة عن فضاء طبيعي مثالي

( : Uncountable Fort Space) مثال

: تكوينه

و .نقطة مثبتة م نقاط عبارة عن مجموعة نهائية غير قابلة للعد و لنعتبر النقطة لنفرض : نحدد عناصر التوبولوجي بالشكل اآلتي

. هو عبارة عن فضاء توبولوجي تأكد من

:خصائصه

: الفضاء التوبولوجي السابق محقق لمسلمة الفصل األولى ( 6

عبارة عن فضاء توبولوجي محقق لمسلمة الفصل األولى و بما أن من المالحظ أن . محقق لمسلمة الفصل األولى يكون لدينا و هو أصغرها بالحقيقة ، ال بد أن

: الفضاء التوبولوجي السابق هو عبارة عن فضاء طبيعي تام ( 1

و بحيث ن و األمر بسيط لنفرض أنه لدينا مجموعتين منفصلتي

.

مجموعتين مفتوحتين حسب تعريف ، نستنتج أن كال من لو النقطة

. و نصل للمطلوب التوبولوجي و باإلمكان فرض

عبارة عن مجموعة و بالتالي نستنتج أن تنتمي ألحداهما لنقل أنها أما لو كانت

و عبارة عن مجموعة مغلقة بمعنى أن مفتوحة حسب التعريف و منها نستنتج أن مجموعة مفتوحة بنفس الوقت بسبب أن متممتها تحتوي على النقطة نستنتج أيضاً أن

. مغلقة و مفتوحة بنفس الوقت Clopen setتسمى مجموعة كلوبن المجموعة

. نصل للمطلوب و بالتالي بفرض

.عبارة عن فضاء طبيعي تام الفضاء التوبولوجي

: ليس فضاء طبيعي مثالي الفضاء التوبولوجي ( 7

. مجموعة غير قابل للعد ة بما أن مجموع

قابل للعد من مجموعات [م]، لكل تقاطعمجموعة مغلقة ليس مجموعة من مجموعات لدينا بسبب عدا عدد قابل للعد من نقاط ستحتوي على جميع نقاط مفتوحة تحتوي على النقطة

توبولوجي للمجموعات المفتوحة يبين لنا سبب ذلك ، تعريف ال

. ليس فضاء طبيعي مثالي الفضاء التوبولوجي

ي مجموعة قابلة للعد يكون لدينا الفضاء السابق عبارة عن فضاء طبيعفي حالة لو أفترضنا أن ( . بين ذلك . ) Countable Fort Spaceمثالي و يسمى

( :4)نظرية

. ال بد أن يكون فضاء طبيعي مثالي من فضاء طبيعي مثالي كل فضاء جزئي

:اإلثبات

و فضاء طبيعي و السبب بما أن كل فضاء طبيعي ون فضاء بالضرورة أن يكالفضاء الجزئي مثالي يؤدي إألى فضاء طبيعي تام ال بد أن يكون جميع الفضاءات الجزئية فضاءات طبيعية و

. هو عبارة عن فضاء أن كل فضاء جزئي من فضاء أيضاً بسبب

بمعنى يجب أن تكون أحد مجموعات مغلقة في يبقى إثبات أن لو كانت المجموعة

. بحيث من آخر يوجد مجموعة مغلقة

: و بمكن إثبات هذه بشكل بسيط كاآلتي

، إذن يوجد لدينا مجموعات مفتوحة في مجموعة مغلقة في الفضاء الطبيعي المثالي بما أن

مجموعة نشير إلى أننا نريد إثبات أن . ) لكل مجموعة مفتوحة . بحيث

( . من

: من خالل السطر اآلتي و لكن هذا يتضح

. عبارة عن فضاء طبيعي مثالي من الجزئي الفضاء

اآلن حاص ضرب فضائين كل منهما عبارة عن فضاء طبيعي مثالي ليس بالضرورة أ يكون فضاء

. طبيعي مثالي

( :مستوى سورجينفري ليس فضاء طبيعي مثالي ) مثال

من المعلوم لدينا مستوى سورجينفري ليس فضاء طبيعي تام و بالضرورة أن ال يكون فضاء طبيعي .ات أن خط األعداد سورجينفري هو عبارة عن فضاء طبيعي مثالي مثالي ، يكفي إثب

يبقى علينا أن نثبت أي مجموعة مفتوحة من بما أن خط األعاد سورجينفري عبارة عن فضاء

. هي عبارة عن مجموعة الذي يملكها و التي هي على صورة [م]األساس عناصر

في فضاء سورجينفري هي عبارة عن اتحاد و لعملية تعتمد على أن كل مجموعة مفتوحة تحاد قابل للعد من مجموعات مفتوحة في الفضاء المعتاد و مجموعتين إحداهما مجموعة مكون من ا . األخرى عبارة عن مجموعة قابلة للعد

هي عبارة عن اتحاد قابل للعد من فترات مفتوحة إذن لنفرض أن : و بمعنى آخر

عبارة عن مجموعة من اتحاد و بالتالي في التوبولوجي المعتاد كل فترة عبارة عن مجموعة . مجموعات كل واحدة منها من

. في فضاء سورجينفري مجموعة من و نستنتج مما سبق أن

ي نقطتين مختلفتين عبارة عن مجموعة قابلة للعد ، اآلن أليبقى لنا أن نثبت أن

و يكون لدينا و يوجد لدينا فترتين مفتوحتين في فضاء سورجينفري

. و هذا تناقض أو في بسبب غير ذلك ال بد أن يكون لدينا أيضاً

و بما أن يمكننا أن نعد هذه الفترات من وجود كسر عادي من األعداد النسبية ، ينتج لدينا أن

.

. و بالتالي هي عبارة عن مجموعة

. عبارة عن مجموعة من منها نصل إلى أن و

:مفاهيم

: مفهوم ( ا

. ومعناها اتحاد أتى من الكلمة الرمز

Countable union of) هو أن يكون لدينا اتحاد قابل للعد و عندما نقول sm )

( .) من ذلك الشي

: مفهوم ( ب

. ومعناها تقاطعأتى من الكلمة الرمز

Countable) هو أن يكون لدينا تقاطع قابل للعد و عندما نقول intersection of sm )

( .) من ذلك الشي

: مفهوم ( ج

. و معناها مغلقةأتى ن الكلمة الفرنسية حرف

Countable) يكون معناها أنه لدينا اتحاد قابل للعد من مجموعات مغلقة و عندما نقول union of closed sets .)

المعلوم لدينا أن اتحاد عدد غير محدود من المجموعات المغلقة ليس شرطاً أن يكون مجموعة من ( . هات مثاالً ) مغلقة

: مفهوم ( د

. و معناها مفتوحة Open أتت من الكلمة الفرنسيةحرف

Countable) يكون معناها أنه لدينا تقاطع قابل للعد من مجموعات مفتوحة عندما نقول وintersection of open sets .)

محدود من المجموعات المفتوحة ليس شرطاً أن يكون مجموعة من المعلوم لدينا أن تقاطع عدد غير ( . هات مثاالً ) مفتوحة

. و العكس صحيحهو نشير إلى أن متممة

:المراجع

6 )General Topology , Stephen Willard

1 )General Topology , Ryszard Engelkiing

7 )Counterexamples in General Topology , Seen and Seebach