pontifícia universidade católica de são paulo luciane ramos

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

LUCIANE RAMOS AMÉRICO

ESTUDO SOBRE OS CONHECIMENTOS DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA

NA CONSTRUÇÃO DO PROCESSO DE GENERALIZAÇÃO

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

SÃO PAULO

2016

LUCIANE RAMOS AMÉRICO

ESTUDO SOBRE OS CONHECIMENTOS DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA

NA CONSTRUÇÃO DO PROCESSO DE GENERALIZAÇÃO

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como

exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob orientação da

Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini.

SÃO PAULO

2016

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução

total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou

eletrônicos.

Assinatura:_________________________________ Local e Data: _______

Este trabalho é dedicado à minha família especialmente a

meus filhos Marcos Vinícius e Cristhian e à minha mãe

Olair, pelo incentivo, paciência e compreensão e por todo

empenho em estar comigo na conquista e realização deste

sonho. Amo vocês!

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço a Deus, por me dar forças para conseguir superar as

adversidades, pela coragem de acreditar num sonho, determinação em muitos momentos

colocada à prova diante dos muitos desafios que se levantaram na busca por este objetivo.

Aos meus filhos, meu orgulho e razão pela qual nunca desisti e continuarei lutando,

à Sra Olair, minha mãe querida, pelo apoio nas horas mais difíceis desta jornada.

Aos anjos colocados por Deus em meu caminho, com paciência para me ensinar,

sabedoria ao mostrar meus erros e encorajar-me a seguir em frente. Por acreditarem em

meus sonhos e apoiar-me até o fim, meus mestres Dr. Flávio Dalera de Carli e Ms. Mutsu-Ko

Kobaschigawa.

À Professora Dra. Barbara Lutaif Bianchini, pelo respeito e orientações a mim

concedidas, às professoras que fizeram parte desta banca examinadora enriquecendo meu

trabalho com suas orientações, Dra. Celina Aparecida Almeida Pereira Abar e Dra. Maria

Lucia Panossian.

Ao Dr. Saddo Ag Almouloud coordenador deste curso e aos docentes desta

Instituição - PUC-SP, pelos ensinamentos e os momentos que nos oportunizaram ampliação

de nossos horizontes como alunos deste programa. Em especial aos professores: Dra. Ana

Lúcia Manrique, Dra. Célia Maria Carolino Pires, Dr. Gerson Pastre de Oliveira, Dra.

Maria José Ferreira da Silva e Dra. Sonia Barbosa Camargo Igliori.

Aos colegas de curso e amigos do GPEA pelo companheirismo e contribuições que

me permitiram encaminhar esta pesquisa.

À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo e à Diretoria de Ensino da

Região de São Vicente pela permissão, apoio e acompanhamento durante todo este processo,

aos amigos do trabalho, pela torcida em cada etapa vencida tornando possível a realização

deste sonho.

À CAPES pela concessão da bolsa de estudos, incentivo sem a qual nenhum esforço

ou dedicação seria suficiente....

... muito obrigada!

RESUMO

AMÉRICO, L.R. Estudo sobre os conhecimentos dos professores de matemática na

construção do processo de generalização. Dissertação – Pontíficia Universidade Católica de

São Paulo – PUC, São Paulo, 2016.

Ao pesquisar sobre a construção do processo de generalização de padrões e regularidades,

foram encontrados muitos autores que consideram este estudo essencial ao desenvolvimento

da aprendizagem matemática por apresentarem situações de exploração, experimentação e

investigação como forma de estimular o desenvolvimento do pensamento e da linguagem

algébrica. Tal reconhecimento denota à ação docente importante papel por meio da

investigação, da observação e experimentação oportunizada durante as aulas. Desta forma,

esta pesquisa busca investigar o conhecimento que os professores de matemática apresentam

sobre o estudo de generalizações de padrões e regularidades. Trata-se de uma pesquisa de

cunho qualitativo, baseada em entrevistas gravadas em áudio e protocolos de resolução de

Atividades, que nos permitiram analisar quais conhecimentos pedagógicos e sobre o ensino da

matemática, os professores da rede pública estadual de São Paulo, manifestam ao resolverem

atividades sobre padrões e regularidades, contidas no material curricular utilizado nestas

escolas. Para cada entrevistado realizamos um processo de investigação descrevendo trechos

das resoluções, em seguida, com base nos referenciais teóricos desta pesquisa, categorizamos

os conhecimentos apresentados em conhecimentos do conteúdo matemático e conhecimentos

pedagógicos. Os resultados obtidos após a análise dos cinco entrevistados nos permitiram

observar que os professores não apresentam dificuldades na resolução das atividades, porém

percebemos fragilidades no conhecimento sobre a importância e possibilidades que estas

atividades podem oferecer na construção do conhecimento matemático. Esta reflexão

corroborou com a análise dos conhecimentos pedagógicos que consideramos sobre o

conhecimento do conteúdo e do ensino da Álgebra. Estas análises nos permitiram refletir

sobre como os professores participantes desta investigação entendem os materiais curriculares

disponibilizados, a compreensão que possuem sobre o percurso escolhido pelos idealizadores

deste currículo para a construção do conhecimento matemático e quais as possibilidades de

conexões com conceitos matemáticos poderiam ser oportunizados em cada Situação de

Aprendizagem. Durante a realização das entrevistas pudemos perceber o interesse apresentado

pelos professores em aproveitar o momento e conversar sobre suas apreensões a respeito das

Atividades e sobre o que observam da aprendizagem de seus alunos, assim como a

preocupação com a utilização de materiais manipuláveis e da linguagem materna para melhor

aproximação entre o saber que o aluno traz como aprendizado e o objetivo que se deseja

atingir com as atividades propostas. Os resultados encontrados confirmam a fragilidade que os

docentes apresentam nestas áreas do conhecimento e o desejo de formações continuadas que

permitam a ampliação do saber docente.

PALAVRA-CHAVE: Educação Algébrica. Pensamento Algébrico. Generalização de

Padrões e Regularidades. Currículo Oficial de São Paulo. Formação de Professores.

ABSTRACT

AMÉRICO, L.R. Study on the knowledge of math teachers in building the generalization

process of generalization. Dissertation - Pontifical Catholic University of São Paulo - PUC,

São Paulo, 2016.

When researching the construction of the process of generalization of patterns and

regularities, many authors were found that consider this study essential to the development of

mathematical learning because they present situations of exploration, experimentation and

investigation as a way to stimulate the development of thought and algebraic language. Such

recognition denotes the important role of teachers through investigation, observation and

experimentation during class. In this way, this research seeks to investigate the knowledge

that mathematics teachers present about the study of generalizations of patterns and

regularities. It is a qualitative research, based on recorded interviews in audio and protocols of

resolution of Activities, that allowed us to analyze what pedagogical knowledge and on the

teaching of mathematics, the professors of the São Paulo state public network, manifest when

solving Activities on standards and regularities, contained in the curricular material used in

these schools. For each interviewee we perform an investigation process describing sections

of the resolutions, then, based on the theoretical references of this research, we categorize the

knowledge presented in knowledge of the mathematical content and pedagogical knowledge.

The results obtained after the analysis of the five interviewees allowed us to observe that

teachers do not present difficulties in solving activities, but we perceive weaknesses in the

knowledge about the importance and possibilities that these activities can offer in the

construction of mathematical knowledge. This reflection corroborated with the analysis of the

pedagogical knowledge that we consider about the knowledge of the content and the teaching

of Algebra. These analyzes allowed us to reflect on how the teachers participating in this

research understand the curricular materials available, the comprehension they have about the

path chosen by the idealizers of this curriculum for the construction of mathematical

knowledge and what possibilities of connections with mathematical concepts could be given

in each Learning Situation. During the interviews we could see the interest shown by the

teachers in seizing the moment and talking about their apprehensions about the Activities and

about what they observe of the learning of their students, as well as the preoccupation with the

use of manipulable materials and the mother language To better approximate the knowledge

that the student brings as learning and the objective that one wishes to achieve with the

proposed activities. The results confirm the fragility that the teachers present in these areas of

knowledge and the desire for continuous training that allow the expansion of teaching

knowledge.

KEYWORD: Education Algebraic. Algebraic thinking. Generalization of patterns and

regularities. Curriculum Officer São Paulo. Teacher training.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Orientação Técnica com Professores de Matemática – Padrões e

Regularidades (Depoimento de um dos professores participantes) ...................

22

Figura 2 - Quadro de Habilidades / AAP 2015 – 2º semestre ............................................ 23

Figura 3 - Questões 1da AAP – 8º ano Ensino Fundamental II ......................................... 23

Figura 4 - Questões 2 da AAP – 8º ano Ensino Fundamental II ........................................ 24






Figura 10 - Questões 21 da AAP – 8º ano Ensino Fundamental II .................................... 27

Figura 11 - Dados por escola dos resultados da AAP/ 8º ano de matemática ................... 29

Figura 12 - Atividade de Sequência – Você Aprendeu?..................................................... 38

Figura 13 - Cadernos do Currículo da SEESP ..................................................................... 42

Figura 14 - Organização Curricular SEESP ......................................................................... 43

Figura 15 - Blocos de Conhecimentos Matemáticos .......................................................... 46

Figura 16 - Conhecimentos matemáticos para o ensino ..................................................... 53

Figura 17 - Álgebra no Ensino Fundamental ...................................................................... 57

Figura 18 - Caderno do Currículo do Professor de Matemática.......................................... 74

Figura 19 - Caderno do Aluno 8º ano Ensino Fundamental ............................................... 75

Figura 20 - Proposta do NPE para a Resolução das Atividades 1, 2 e 3............................. 77

Figura 21 - Proposta do NPE para a Resolução da Atividade 4 ....................................... 79

Figura 22 - Proposta do NPE para a Resolução da Atividade 6 ....................................... 79

Figura 23 - Resolução apresentada pela professora Penélope - Atividade 1....................... 84

Figura 24 - Resolução apresentada pela professora Penélope - Atividade 2....................... 85

Figura 25 - Resolução apresentada pela professora Penélope - Atividades 4 e 5............... 86

Figura 26 - Resolução apresentada pela professora Penélope - Atividades 6 e 7............... 86

Figura 27 - Resolução apresentada pelo professor Pardal - Atividades 1 e 2..................... 88

Figura 28 - Resolução apresentada pelo professor Pardal - Atividade 3............................. 89

Figura 29 - Resolução apresentada pelo professor Pardal - Atividades 4 e 5..................... 89

Figura 30 - Resolução apresentada pelo professor Pardal - Atividades 6 e 7.................... 90

Figura 31 - Resolução apresentada pelo professora Rosinha - Atividade 1...................... 96

Figura 32 - Resolução apresentada pelo professora Rosinha - Atividade 3....................... 97


Figura 34 - Resolução apresentada pelo professora Rosinha - Atividades 6 e 7................ 98


Figura 36 - Resolução apresentada pelo professor Coruja - Atividade 1........................... 100





Figura 41 - Resolução apresentada pelo professor Coruja - Atividades 5 e 6..................... 105

Figura 42 - Resolução apresentada pelo professor Coruja - Atividade 7 ........................... 105

LISTA DE ABREVIATURAS

PUC – Pontifícia Universidade Católica .......................................................................... 15

GPEA - Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica ...................................................... 15

NPE- Núcleo Pedagógico................................................................................................. 22

AAP – Avaliação da Aprendizagem em Processo ............................................................ 22

CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior .................... 31

PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais ....................................................................... 31

NCTM – Principles and Standards for School Mathematics …………………………... 31

PNLD – Programa Nacional do Livro Didático ............................................................... 34

LDB – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional .................................................. 42

SEESP – Secretaria de Estado da Educação de São Paulo ............................................... 42

ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio .................................................................... 43

SARESP – Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo......... 43

DERSVI – Diretoria Regional de Ensino da Região de São Vicente ............................... 44

CCPM – Caderno do Currículo do Professor de Matemática ........................................... 74

CCAM – Caderno do Currículo do Aluno de Matemática ............................................... 75

PCNP – Professor Coordenador do Núcleo Pedagógico .................................................. 77

LISTA DE TABELAS

LISTA DE QUADROS

Tabela 1 - Professores participantes – Instrumento Piloto ............................................... 71

Tabela 2 - Professores participantes do Instrumento Definitivo ..................................... 71

Quadro 1 - Apresentação da Situação de Aprendizagem 5.............................................. 76

Quadro 2 - Apresentação da Sequencia Didática - Atividades 4 a 7................................ 78

Quadro 3 - Síntese dos protocolos de resoluções ............................................................ 114

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 15

CAPÍTULO I

ORIGEM DA PESQUISA ............................................................................................................

18

1.1 TRAJETÓRIA DOCENTE ...................................................................................................... 18

1.1.1 Sobre o Núcleo Pedagógico ........................................................................................... 19

1.2 PROBLEMATIZAÇÃO .......................................................................................................... 20

1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................................. 32

1.4 CURRÍCULO OFICIAL DO ESTADO DE SÃO PAULO. ..................................................... 42

CAPÍTULO II

REFERENCIAL TEÓRICO ........................................................................................................

47

2.1 CONHECIMENTOS DOCENTES PEDAGÓGICOS .............................................................. 47

2.1.1 Bernard Charlot: O professor e a relação com o saber.................................................... 48

2.1.2 Lee S. Shulman: Saberes docentes.................................................................................. 50

2.2 CONHECIMENTOS DOCENTES ESPECÍFICOS DA MATEMÁTICA............................... 55

2.2.1 O ensino curricular da Álgebra ...................................................................................... 55

2.2.2 O ensino de Álgebra por meio de Generalização de Padrões e Regularidades .............. 62

2.2.3 António Borralho (2009), Isabel Vale (2011), e Luís Radford (2006) ........................... 63

2.2.4 Categorias do Conhecimento Matemático para o Estudo de Padrões e Regularidades .. 66

CAPÍTULO III

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ...............................................................................

69

3.1 PESQUISA QUALITATIVA ................................................................................................... 69

3.1.1 Fontes e métodos de recolha de dados ........................................................................... 69

3.1.2 Opções e critérios de seleção dos professores ................................................................ 70

3.1.3 As Entrevistas ................................................................................................................. 72

3.2 ANÁLISE DAS ATIVIDADES DA SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 DO 8º ANO

DO ENSINO FUNDAMENTAL II – CADERNO DO ALUNO DA SEESP .........................

73

CAPÍTULO IV

ANÁLISE DAS ENTREVISTAS E DOS PROTOCOLOS ......................................................

82

4.1 OS PROFESSORES ENVOLVIDOS NA PRIMEIRA FASE DESTA PESQUISA –

INSTRUMENTO PILOTO......................................................................................................

82

4.1.1 Descrição da Entrevista – Professora Penélope ............................................................. 83

4.1.2 Descrição da Entrevista – Professor Pardal .................................................................... 87

4.2 ANÁLISES DAS ENTREVISTAS DO INSTRUMENTO PILOTO........................................ 90

4.3 OS PROFESSORES ENVOLVIDOS NO INSTRUMENTO DEFINITIVO DESTA

PESQUISA..................................................................................................................................

96

4.3.1 Descrição das entrevistas e dos protocolos de resoluções das atividades definitivas ....... 96

4.4 ANÁLISES DAS ENTREVISTAS E DOS PROTOCOLOS DEFINITIVAS ......................... 106

4.5 COMPARAÇÕES DOS PROCEDIMENTOS UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO

DOS PROTOCOLOS .................................................................................................. 112

CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................................................

118

REFERÊNCIAS..............................................................................................................................

126

ANEXOS ......................................................................................................................................... 130

ANEXOS 1 – Roteiro de Entrevista ................................................................................................ 130

ANEXOS 2 - TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO ............................... 131

ANEXOS 3 – Autorização para realização de pesquisa ...................................... ........................... 132

INTRODUÇÃO

Como integrante do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica - GPEA da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC, sob a orientação da Profa. Dra. Barbara

Lutaif Bianchini, esta pesquisa integra-se ao Projeto “A Álgebra na Educação Básica”, linha

de pesquisa: “Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores”, cujo objetivo é

investigar a Álgebra do ponto de vista do ensino e da aprendizagem, em nível da escola básica

e da universitária, realizamos esta pesquisa que tem como foco a investigação das concepções

e conhecimentos do professor sobre Álgebra.

Consideramos que esta pesquisa venha a contribuir com subsídios que permitam

promover a reflexão sobre o saber docente, para tanto tomamos como ponte de partida as

observações colhidas ao longo da trajetória profissional desta pesquisadora, construída pela

vivência em sala de aula, pela observação por meio de acompanhamento em formações

continuadas e em observações de aulas para acompanhamento pedagógico realizado pelo

Núcleo Pedagógico da Diretoria de Ensino - Região São Vicente, da Secretaria da Educação

do Estado de São Paulo.

Neste processo de observação, percebemos a importância da reflexão sobre a ação

docente, por meio da qual o desenvolvimento profissional emerge como subsídio para auxiliar

no processo de construção do saber matemático, permitindo observar o desenvolvimento da

aprendizagem, assim como o levantamento de dados para possíveis intervenções que auxiliem

a construção do conhecimento de seus alunos.

O foco matemático, desta pesquisa, encontra-se no estudo de padrões e

regularidades apresentado em materiais didáticos utilizados nas escolas estaduais, em

especial, nos Cadernos do Aluno1, como forma de intensificar, por meio da generalização, o

desenvolvimento do pensamento algébrico.

Direcionamos esta pesquisa para investigar os conhecimentos mobilizados pelos

professores ao desenvolverem Atividades sobre o estudo de generalização de padrões e

regularidades.

1 Material didático disponível pela rede pública estadual de São Paulo aos alunos.

16

INTRODUÇÃO Luciane Ramos Américo

Nesta perspectiva, buscamos respostas para a questão que mobiliza este trabalho:

“Quais conhecimentos os professores de Matemática evidenciam ao resolverem as Atividades

propostas no Caderno do Aluno de Matemática – 8ºano sobre Padrões e Regularidades? ”.

Para responder tal questionamento tomamos como ponto inicial desta pesquisa

uma breve retrospectiva sobre a trajetória docente desta pesquisadora, reflexões que

motivaram a realização deste trabalho, apresentadas no Capítulo I – Origem da Pesquisa.

Ainda neste Capítulo, encontra-se a delimitação da questão de pesquisa seguida da revisão

bibliográfica sobre o conhecimento docente, a Álgebra e o estudo de Padrões e Regularidades

na construção de generalizações, que justificam a relevância deste estudo.

Finalizando este Capítulo, apresentamos o material didático disponibilizado nas

escolas estaduais de São Paulo, cujas Atividades foram utilizadas na coleta de dados desta

pesquisa.

Para o Capítulo II – Referencial Teórico: tomamos como fundamentos para o

desenvolvimento desta pesquisa os aportes teóricos pedagógicos de Shulman (1986) e Ball

(2008), que tratam dos conhecimentos docentes, apresentados por meio de categorias de

análises e Charlot (2005) numa reflexão do professor sobre o próprio saber. E para os

conhecimentos específicos para o ensino da Matemática apoiamo-nos nos estudos de Isabel

Vale (2011) e Borralho (2009) com estudos sobre a generalização do pensamento algébrico, e

Luís Radford (2006) sobre o pensamento algébrico além de outros pesquisadores como Lins e

Gimenez (2005), Lee (2011), Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) num estudo sobre as

concepções da Álgebra.

Após este estudo, propomos um modelo baseado nas categorias de análises de

Deborah Ball e seus colaboradores (2008) reunindo os estudos sobre os conhecimentos

docentes necessários ao ensino da Matemática, utilizado nas análises desta pesquisa.

No Capítulo III – Procedimentos Metodológicos: apresentamos os critérios de

seleção dos professores participantes desta pesquisa, assim como o roteiro de entrevistas

utilizado e a coleta de dados, numa abordagem qualitativa. Ainda neste Capítulo, descrevemos

as Atividades utilizadas nas entrevistas nos dois momentos deste estudo – Instrumento piloto

para alinhamento das observações e condução das entrevistas e no instrumento definitivo

deste trabalho.

17

INTRODUÇÃO Luciane Ramos Américo

No Capítulo IV – Análise das entrevistas e dos protocolos: utilizamos como apoio

para a construção destas análises as gravações em áudio das entrevistas e os protocolos de

resolução das Atividades sobre padrões e regularidades contidas nos Cadernos do Aluno do 8º

ano do ensino fundamental.

Para que pudéssemos analisar estes dados separamos este momento em duas

etapas: a primeira delas com uma descrição da resolução das Atividades proposta por cada

professor. Na segunda etapa, procuramos identificar nestas descrições os conhecimentos

docentes baseados nas categorias de análises de Ball (2008) apresentadas no modelo citado no

Capítulo II desta pesquisa, nos quais contemplam os conhecimentos pedagógicos e

específicos da Matemática.

No Capítulo V - Considerações Finais, após a realização deste estudo sobre os

conhecimentos docentes no que tange à generalização de padrões algébricos, fundamentados

nos referenciais teóricos e em pesquisas já realizadas nesta área, apresentamos um retrospecto

sobre o desenvolvimento percorrido, os procedimentos metodológicos adotados e as análises

tanto das entrevistas quanto dos protocolos dos docentes sujeitos deste trabalho, percepções

construídas no decorrer desta investigação e finalizamos com uma sugestão para futuras

pesquisas considerando os estudos apresentados neste trabalho.

CAPÍTULO I

ORIGEM DA PESQUISA

Neste capítulo, são apresentados os motivos que mobilizaram a realização desta

pesquisa, baseada inicialmente, na trajetória profissional desta pesquisadora, seguida dos

estudos e reflexões colhidos ao longo deste caminho, que culminaram neste curso de

mestrado.

Também são delimitados os objetivos desta pesquisa, e apresentamos a revisão

bibliográfica com trabalhos sobre o conhecimento docente, as diferentes concepções de

Álgebra e o estudo de Padrões e Regularidades na construção da generalização que justificam

a relevância deste estudo para a Educação Matemática.

Ainda neste capítulo, apresentamos o material didático disponibilizado nas escolas

estaduais de São Paulo, cujas atividades foram utilizadas como subsídios na coleta de dados

desta pesquisa.

1.1 TRAJETÓRIA DOCENTE

Esta trajetória tem início com uma passagem pela vida profissional desta

pesquisadora, em sala de aula, acumulada ao longo de quinze anos de efetivo exercício na

rede pública estadual de São Paulo, como professora de matemática em diferentes segmentos

da educação básica: Ensino Fundamental Anos Finais – 6º ao 9º ano; Ensino Médio; e

Educação de Jovens e Adultos.

Neste percurso, em diferentes momentos, a dificuldade encontrava-se nas

atividades que utilizavam a representação algébrica para expressar uma forma de

generalização da escrita matemática. Nessas atividades os procedimentos de cálculos

seguiam os “modelos dados nos exemplos”, e minha preocupação e dificuldade como

docente, estava em oportunizar a construção desta escrita algébrica por meio de atividades

19

CAPÍTULO I Luciane Ramos Américo

que permitissem aos alunos expressar a ideia de generalização de padrões e regularidades por

meio da representação algébrica deste pensamento.

Após alguns anos de experiência docente, no ano de 2010 passei a fazer parte de

um dos Núcleos de Formação Pedagógica - da Secretaria da Educação do Estado de São

Paulo, local que me permitiu observar a prática docente e suas fragilidades, ao desenvolver

trabalhos voltados à formação continuada e aos estudos de referências teóricas da Educação

Matemática.

Considero importante detalhar algumas informações sobre o trabalho realizado

nesta função, por ter sido o meio que me oportunizou perceber que esta dificuldade de ensino

também atingia outros docentes.

1.1.1 Sobre o Núcleo Pedagógico

Atualmente o estado de São Paulo possui 91 Diretorias de Ensino, responsáveis

por subsidiar as ações entre a Secretaria Estadual de Educação e as escolas estaduais de São

Paulo, formadas por diversos setores, dentre os quais evidencio nesse trabalho o Núcleo

Pedagógico.

As ações desenvolvidas nesse Núcleo consolidam as atribuições legais previstas

no Decreto Nº 57 141/2011, que em parceria com os supervisores de ensino devem entre

outras:

➢ Implementar ações de apoio pedagógico e educacional que orientem os professores na

condução de procedimentos relativos à organização e ao funcionamento do currículo

nas modalidades de ensino;

➢ Acompanhar e orientar os professores em sala de aula, quando necessário, para

garantir a implementação do currículo;

➢ Identificar necessidades e propor ações de formação continuada de professores e de

professores coordenadores no âmbito da área de atuação que lhes é própria.

Destaco apenas três itens do artigo 73, desse decreto, que resumem o trabalho

desenvolvido. Em cumprimento à legislação vigente, cada Diretoria de Ensino constrói seu

Plano de Trabalho com o objetivo de subsidiar as unidades escolares em seus

encaminhamentos didáticos e pedagógicos.

20


A integração deste grupo, o núcleo pedagógico, permitiu-me refletir sobre a

importância em buscar fundamentos teóricos que norteiem a prática docente e refletir sobre a

formação continuada, os conhecimentos, a prática e as dificuldades dos professores.

Fazer parte deste Núcleo trouxe-me a responsabilidade pela continuidade de meus

estudos, que resultaram em diversos cursos nesta área e que culminaram no Mestrado

Acadêmico da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC, no qual integro o Grupo

de Pesquisa em Educação Algébrica - GPEA sob a coordenação da Professora Dra. Barbara

Lutaif Bianchini.

1.2 A PROBLEMATIZAÇÃO

O trabalho desenvolvido no Núcleo Pedagógico, por meio da formação

continuada, foi um grande desafio que permitiu-me refletir sobre os conhecimentos docentes.

Pude observar as inquietações apresentadas pelos professores, fragilidades que percebi não

serem somente minhas ou resultantes da falta de conhecimentos pedagógicos, ao trabalhar

alguns temas matemáticos propostos no currículo implementado pela Secretaria da Educação

do Estado de São Paulo.

Dentre esses temas, um deles corrobora com um descontentamento pessoal, o

desenvolvimento da escrita algébrica por meio da generalização de padrões, como forma de

representação simbólica, utilizando letras para representar valores numéricos e expressar o

pensamento matemático, aprofundamento dos conceitos algébricos, apresentado no material

curricular da rede pública estadual de São Paulo, no final do sétimo ano e início do oitavo

ano, anos finais do Ensino Fundamental.

As Atividades propostas no material didático utilizado pelos alunos em sala de

aula apresentam formas de generalizações para expressar regras observadas, baseiam-se na

comparação de diferentes escritas algébricas equivalentes, buscam estimular o pensamento

algébrico investigativo por meio da construção de fórmulas que representem a generalização

da escrita algébrica apresentada nos padrões e regularidades.

Embora encontremos diferentes atividades que estimulem o desenvolvimento do

pensamento algébrico desde os anos iniciais da Educação Básica, percebi, durante alguns

acompanhamentos em escolas e formações pedagógicas, que os professores de matemática

21


com os quais ministramos oficinas também encontravam dificuldades em atingir os propósitos

destas atividades, no que se refere à construção da escrita algébrica, por meio das

generalizações de padrões.

A hipótese que trazemos para esta pesquisa sobre o entendimento do professor a

respeito do conteúdo proposto nessas atividades é: “se este material está disponibilizado há

pelo menos oito anos em toda a rede pública estadual de São Paulo, logo os professores

deveriam ter familiaridade com o tema abordado na Situação de Aprendizagem proposta nesta

pesquisa”.

Quais poderiam ser as causas da dificuldade docente em obter êxito ao

desenvolverem as atividades propostas com seus alunos? Seria a forma de apresentação dos

conteúdos neste material didático oferecido às escolas da rede pública estadual? Falta de

conhecimento específico do conteúdo? Ou desconhecimento da gestão da sala de aula para o

desenvolvimento de tais atividades?

Muitos podem ser os questionamentos, pois as dificuldades encontradas pelos

professores ao ministrar suas aulas podem ultrapassar o conhecimento específico do conteúdo.

No material curricular utilizado nas escolas estaduais, a construção da escrita

algébrica ganha intensidade nos anos finais do Ensino Fundamental, por meio do estudo de

Padrões e Regularidades com atividades que visam estimular o estabelecimento de relações e

generalizações.

Em 2012, este Núcleo Pedagógico realizou uma formação continuada para

professores de matemática utilizando o tema Padrões e Regularidades, na qual foi possível

constatar por meio do resultado deste trabalho de campo as dificuldades docentes que

envolvem estas atividades propostas nos cadernos supracitados.

22


Figura 1- Orientação Técnica com Professores de Matemática – Padrões e Regularidades

Fonte: Arquivos NPE/2012

Este foi um dos depoimentos dos professores participantes desta formação

continuada sobre o estudo de padrões e regularidades.

Ainda num processo de investigação sobre o tema, busquei mais dados sobre a

dificuldade em desenvolver atividades com padrões algébricos. Foi encontrado no site da

Secretaria Escolar Digital2 dados sobre a Avaliação de Aprendizagem em Processo

3 – AAP

realizada em sua 10ª edição realizada em 2015, que chamaram a atenção sobre o rendimento

dos alunos após o primeiro semestre letivo.

Para análise desta avaliação o professor de matemática dispõe do Guia de

Recomendações Pedagógicas que contém a matriz de referência com a descrição dos

conhecimentos verificados em cada questão, sugestões para a retomada destes conteúdos e as

questões apresentadas nas avaliações.

2 Site da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo que reúne informações sobre os alunos.

3 AAP avaliação externa realizada pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo a todas as unidades

escolares com o intuito de promover discussões docentes que busquem a melhoria na qualidade da

aprendizagem.

XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXX

23


Figura 2 - Quadro de Habilidades/AAP 2015 – 2º semestre

Fonte: Recomendações Pedagógicas de Matemática, 2015, p.4.

Para esta pesquisa destaco as questões 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 21 referentes ao estudo de

padrões algébricos e os índices de acertos dos 3120 alunos matriculados no 8º ano do Ensino

Fundamental.

Figura 3 - Questão 1 da AAP – 8º ano Ensino Fundamental II

Fonte: Secretaria Escolar Digital de São Paulo

24


Nesta atividade 43,3% dos alunos não acertaram a questão, que poderia ser

respondida construindo-se a sequência quatro e a cinco.



Na questão dois o aluno poderia observar que cada uma das sequências de

bolinhas possui o dobro de n mais duas bolinhas. E 71,1% dos alunos erraram a questão.



25


A sequência apresentada nesta atividade representa quadrados perfeitos, o aluno

poderia observar que a quantidade de bolinhas de cada figura é formada por valores ao

quadrado (4, 9,16, 25.) e que 4 é o resultado de 2², 9 é o resultado de 3²... Portanto, para a

primeira posição n = 1 ser 2² teríamos como generalização o número da posição n, mais uma

bolinha ao quadrado, ou seja, (n+1)². E 56,6% dos alunos erraram a questão.

Nas atividades 5, 6, 7 e 8 são dadas as expressões matemáticas que representam

cada padrão. O aluno deveria substituir os valores de n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4 em cada

alternativa e descobrir por meio do resultado qual a sequência que representa a expressão

dada.



26






27


Figura 9: Questão 8 da AAP – 8º ano Ensino Fundamental II


Verificamos que mais de 50% de alunos erraram estas questões.

Figura 10: Questão 21 da AAP – 8º ano Ensino Fundamental II

Fonte: Secretaria Escolar Digital de São Paulo4

4 https://sed.educacao.sp.gov.br/

28


Para a resolução da questão 21, o aluno necessitaria observar que cada sequência

de bolinhas vermelhas representa um número par, logo o 5º número par a partir do número

dois (primeiro número par) é o número dez e que neste caso a representação geométrica é

sempre retangular. E 60,8% dos alunos erraram a questão.

Ao verificar a matriz de referência desta avaliação disponibilizada aos professores

para que possam analisar as alternativas escolhidas e realizem a intervenção proposta para

recuperação da aprendizagem, observa-se que as atividades apresentadas necessitam que os

alunos leiam e observem as sequências investigando o que acontece em cada conjunto de

bolinhas.

Estes dados evidenciam as dificuldades apresentadas pelos alunos em questões

como estas. Quais podem ser os fatores que dificultam o desenvolvimento desta

aprendizagem?

Ainda observando os dados disponíveis na Secretaria Escolar Digital sobre o

desempenho dos alunos que realizaram essa avaliação, apresentamos os percentuais de acertos

por questão de vinte e duas escolas estaduais.

Estes dados apresentam-se divididos em quatro cores, que correspondem à

porcentagem de alunos que acertaram a questão: vermelha até 25%, amarela entre 25% e

50%, azul entre 50% e 75% e verde, acima de 75%, num total de 3.120 alunos avaliados, no

8º ano do Ensino Fundamental.

Nota-se que a grande concentração de acertos encontra-se representado pelas

cores amarela e vermelha que correspondem ao máximo de 50% de alunos que assinalaram

corretamente a questão. Isso nos permite conjecturar que os alunos possivelmente, não

dominam o conteúdo analisado nestas questões.

29


Figura 11- Dados por escola dos resultados da AAP/ 8º ano de matemática

Fonte: Secretaria Escolar Digital em 24/08/2015

Estes dados mostram a necessidade da investigação sobre o tema. Sendo assim,

quais dificuldades estão implícitas nestes resultados?

● Os alunos conheciam atividades que utilizam padrões e regularidades?

● Os professores conseguiram desenvolver adequadamente as aulas que são destinadas a

estudar este tema?

● Haveria algum obstáculo didático?

● Falta de conhecimentos específicos da matéria?

Estes e muitos outros questionamentos que envolveram o desenvolvimento destas

atividades em sala de aula podem ser colocados, além de situações sobre o ensino, como o

tempo para o desenvolvimento das aulas, os materiais disponíveis para os alunos, sobre

formação docente, falta de professores em sala de aula, greve, quantidade de alunos nas salas,

etc., além de fatores relacionados à aprendizagem que também são muitos envolvendo

XXXXXXX

XX

30


família, questões físicas, cognitivas, sociais, econômicas entre muitas outras situações que

podem levar à dificuldade de aprendizagem.

Sabemos que o leque de possibilidades é muito amplo e que não podem ser

desconsiderados, pois refletem diretamente no produto da aprendizagem e no trabalho

docente.

Retomando os aspectos que motivaram a realização desta pesquisa inicialmente

considerando as dificuldades pessoais desta pesquisadora em obter êxito no ensino de

conceitos algébricos que envolvem a generalização da escrita matemática, apresentamos neste

capítulo subsídios que nos permitiram contatar por meio dos acompanhamentos pedagógicos

que esta dificuldade também representava o anseio de outros professores, e os resultados

observados nas avaliações corroboram com esta insatisfação.

Para a realização desta pesquisa fizemos um recorte neste universo de

possibilidades que envolvem o ensino e a aprendizagem, e tomamos como foco o professor,

consideramos dentre seus vários saberes um estudo sobre os conhecimentos pedagógicos e

específicos sobre padrões e regularidades.

A construção desta trajetória apresentada como parte desta problematização,

evidenciou dois instrumentos que subsidiam esta pesquisa, um deles baseado na experiência

profissional como docente e outro fruto da observação dos acompanhamentos realizados nas

escolas em aulas de Matemática. Este levantamento justifica a relevância do tema desta

pesquisa e delimita a questão de pesquisar sobre os conhecimentos que o professor de

matemática apresenta: “Quais conhecimentos os professores de matemática evidenciam ao

resolverem as atividades propostas no Caderno do Aluno de Matemática – 8º ano sobre

Padrões e Regularidades? ”.

Muitos pesquisadores matemáticos têm centralizado suas investigações na pessoa

do professor e na importância do conhecimento docente sobre os conceitos matemáticos.

Alguns deles são evidenciados nesta pesquisa para subsidiar os estudos sobre o conhecimento

matemático como Isabel Vale, Borralho, Luís Radford e Fiorentini com estudos voltados à

formação de docentes e pesquisas sobre a generalização de padrões.

Além destes pesquisadores, também encontramos em nossas leituras, os trabalhos

de João Pedro da Ponte (2003), que ressalta que ensinar é algo complexo, daí a importância

dada à formação continuada dos professores de Matemática. Sobre o pensamento algébrico, o

31


autor defende que este desenvolve não só a capacidade de trabalhar com o cálculo algébrico e

as funções, mas a capacidade de lidar com estruturas matemáticas, relações de ordem e de

equivalência, aplicando-as a diferentes domínios da Matemática (interpretando e resolvendo

problemas).

Por este motivo, consideramos como objetivo geral desta pesquisa, investigar o

conhecimento dos professores sobre os estudos de generalizações de padrões e regularidades.

E, como objetivos específicos: analisar quais conhecimentos o professor mobiliza

ao ensinar generalização de padrões e regularidades, como ele entende a generalização

algébrica proposta nas atividades estudadas, e verificar como o professor utiliza, ou não, as

propostas apresentadas no Caderno do Professor de Matemática.

Para complementar os subsídios teóricos que fundamentam este trabalho,

buscamos na literatura, autores que versem sobre o conhecimento docente ou os saberes

necessários à prática do ensino. Para tanto, trouxemos para esta pesquisa, autores como

Shulman, Ball e Charlot.

Além destes pesquisadores, também buscamos documentos oficiais como os

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental - PCN – ao referir-se que o estudo

da Álgebra deve permitir o desenvolvimento de competências ligadas a generalizações e

abstrações, além de ser poderosa ferramenta na resolução de problemas (BRASIL, 1998,

p.115) em Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000) que trazem

orientações para que o estudo do pensamento algébrico seja construído por meio de atividades

que permitam as diferentes concepções da Álgebra.

Esta retrospectiva objetivou justificar o tema desta pesquisa “Investigação sobre

os conhecimentos mobilizados pelos professores de matemática, na construção dos processos

de generalização”.

Complementando a justificativa para a realização deste trabalho apresentamos a

revisão bibliográfica de pesquisas sobre o conhecimento docente, a Álgebra e o estudo de

Padrões e Regularidades na construção do pensamento algébrico.

32


1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Para a realização da revisão bibliográfica, foram encontradas muitas pesquisas de

mestrado e doutorado, publicadas no banco de teses da CAPES5, da Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo – PUC e em publicações disponíveis na internet sobre o tema Padrões e

Regularidades. O filtro utilizado, por meio das palavras-chave: Ensino de Matemática,

Padrões, Raciocínio Matemático, Álgebra e Pensamento algébrico, formação de professores,

oportunizou a escolha de trabalhos que tratavam do estudo da Álgebra, sobre o pensamento

algébrico na construção da linguagem matemática por meio de generalizações de padrões e

regularidades.

Muitas foram às pesquisas encontradas sobre esse tema, após as leituras de varias

delas, estabelecemos como critério para a seleção das que iriam compor esta investigação e

optamos por estabelecer um período de sete anos, de 2009 a 2015, para a seleção dos

trabalhos encontrados.

Nesta seleção priorizamos àquelas que se interseccionam com nosso trabalho em

diferentes aspectos, como por exemplo, professores e objeto matemático, referencial teórico e

ensino, atividades de padrões e professores, material didático e saberes docentes.

Encontramos muitas são as publicações sobre o trabalho docente e sobre a aprendizagem,

porém a maioria delas direcionava seu foco sobre a aprendizagem do aluno e o

comportamento dele frente à atividade matemática.

Esse coorte6 resultou em oito pesquisas, que apresentam estudos sobre a

construção do pensamento algébrico e o trabalho docente, generalização algébrica, padrões e

regularidades. Consideramos que estes trabalhos estão muito próximos de nosso objeto de

estudo e interseccionando-se entre si e com a nossa pesquisa em diferentes pontos como

desejávamos.

Estas observações, consideramos importante evidenciar nesta pesquisa, ao final

desta seção no quadro “Em síntese”, em que procuramos evidenciar os pontos que

consideramos serem tomados para enriquecerem esta investigação.

5 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

6 coorte é um conjunto de pessoas que tem em comum um evento que se deu no mesmo período.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Coortes

33


Para compor o referencial bibliográfico foram separadas: duas pesquisas que

investigam o conhecimento docente, cinco apresentam investigação sobre o pensamento

algébrico e três sobre o conhecimento docente e álgebra. Estas pesquisas foram selecionadas

por estarem muito próximas do nosso objeto de estudo.

A primeira pesquisa que apresentamos é a de Nehring e Pozzobon (2009), sobre a

Intervenção docente no ensino de Álgebra: atividades de livro didático e Registros de

Representação. Neste trabalho as autoras fazem a análise de atividades algébricas

apresentadas em livros didáticos, à luz da teoria dos Registros de Representação Semiótica de

Raymond Duval (1993) e apresentam como questão de pesquisa – questão geradora é como os

registros em representação de Álgebra, propostos em uma coleção de Livros Didáticos do

Ensino Fundamental, possibilitam os encaminhamentos docentes na perspectiva da teoria dos

Registros de Representação Semiótica, considerando o processo de tratamento e a

possibilidade de conversão?

Nesta investigação foram considerados diferentes registros de representação

semiótica de um mesmo objeto matemático, com vistas à aquisição conceitual. As atividades

propostas foram extraídas de livros didáticos, utilizando o registro na língua materna, registro

aritmético, registro figural e registro funcional com diferentes atividades.

Para que ocorra a conversão às autoras concluem:

[...] é necessário um processo de aprendizagem do aluno, no sentido de mobilização

de registros e conversões e, principalmente, a intervenção do docente, na sua

intencionalidade didática, com planejamentos que oportunizem os diversos

tratamentos e o movimento produzido no sentido da mudança de sistema de

representação e não de objeto matemático. (p.6)

Esta pesquisa ressalta ainda a importância do docente ter clareza de que as

transformações propostas nas atividades, não garantem a apreensão conceitual e que será

necessária à intervenção docente, por meio de atividades que desenvolvam habilidades e

potencializem a conversão entre os registros algébricos.

Evidenciamos nesta pesquisa o que concluem as autoras ao analisarem os livros

didáticos de 6º e 7º anos quanto aos diferentes tratamentos apresentados nas atividades sobre

registros aritméticos, pois segundo elas não garantem aos alunos a apreensão conceitual

necessária:

34


[...] por exemplo, os Registros Aritméticos - expressão e generalização de padrões

numéricos ou geométricos - apresentam um custo cognitivo bastante alto para os

alunos. Estes apresentam muita dificuldade ao trabalhar com este registro, pois o

mesmo exige um processo de generalização da linguagem algébrica. O Registro

Aritmético, com a exploração de padrões, é o que menos aparece na coleção de

Livros Didáticos analisadas nesta investigação. (p.6)

Neste aspecto chamam a atenção para o trabalho docente em oportunizar mais

atividades que permitam a articulação entre aritmética e álgebra, pois estas são pouco

exploradas e representam importante papel no desenvolvimento da linguagem e do

pensamento algébrico dos alunos.

Ainda utilizando pesquisas de conteúdos algébricos em livros didáticos podemos

citar Carmo (2014) que realizou sua pesquisa sobre generalizações algébricas “Um estudo a

respeito da generalização de padrões nos livros didáticos de Matemática do Ensino

Fundamental”. O objetivo foi analisar se os livros didáticos de Matemática dos Anos Finais

do Ensino Fundamental escolhidos no PNLD7 (2011) que introduzem a linguagem algébrica

por meio de atividades de generalização de padrões e como isso ocorre. Em seu trabalho

Carmo (2014) ressalta que, das quatro coleções de livros didáticos analisadas, três utilizam

atividades de generalização de padrões para introduzir a linguagem algébrica, predominando

atividades com padrões figurais (representação geométrica, sequências com bolinhas).

Carmo desenvolve uma análise sobre diferentes atividades e conclui sua pesquisa

com um fato que muito me chama atenção, ao relatar que:

[...] este tipo de atividade está sendo pouco utilizada para introdução da linguagem algébrica, embora várias pesquisas e documentos oficiais mostrem o potencial desse

tipo de atividade para a iniciação do estudo da álgebra (CARMO, 2014, p.103).

Sobre o ensino da álgebra, Carmo (2014) observa que os alunos apresentam

dificuldades em expressar seu pensamento por meio da linguagem algébrica e que muitos

professores ainda desconhecem o benefício das atividades com padrões e regularidades para

incentivar o desenvolvimento destas ideias.

Comparando os trabalhos de Nehring e Pozzobon (2009) e Carmo (2014)

investigam livros didáticos embora com enfoques diferenciados, ao observarem as atividades

com padrões e regularidades os pesquisadores apresentam as mesmas conclusões sobre o

7 Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) tem como principal objetivo subsidiar o trabalho pedagógico

dos professores por meio da distribuição de coleções de livros didáticos aos alunos da educação básica. Após a

avaliação das obras, o Ministério da Educação (MEC) publica o Guia de Livros Didáticos com resenhas das

coleções consideradas aprovadas.

35


pouco espaço destinado às atividades que estimulem o desenvolvimento do pensamento

algébrico por meio de padrões e regularidades.

Corroborando com esta conclusão a pesquisa de Duarte (2011) trata de um estudo

sobre o conhecimento profissional dos professores de matemática no desenvolvimento

curricular e na prática letiva no domínio dos Números e da Álgebra. Sob o tema: “Tecnologia

e pensamento algébrico: Um estudo sobre o conhecimento profissional dos professores de

Matemática tem por objeto de estudo o conhecimento profissional de duas professoras de

Matemática”.

Este estudo objetiva descrever e compreender o conhecimento profissional que o

professor possui no desenvolvimento curricular e na prática letiva no domínio dos Números e

da Álgebra. Para seu estudo, Duarte (2011) apoia-se no recurso da tecnologia, observa como

as professoras entrevistadas preparam suas aulas e como esperam que os alunos ajam em cada

situação.

Para a realização desta pesquisa o autor utiliza-se de um trabalho colaborativo

com duas professoras na qual elas contam como ocorre o processo de generalização sobre

regularidades observado em sala de aula e como elas analisam as atividades.

Neste trabalho o pesquisador propõe o uso de atividades com o apoio de

instrumentos tecnológicos (atividades virtuais em computador) com o objetivo de elaborar e

experimentar com os alunos tarefas sobre pensamento algébrico para o desenvolvimento da

aprendizagem. Observa que as professoras reconhecem que estas atividades podem ir ao

encontro da diversidade dos alunos presente na aula e contribui para melhorar a

aprendizagem, tendo em conta a natureza da tarefa e das questões colocadas.

Os resultados apresentados nesta pesquisa mostram que o uso da tecnologia

associada às atividades docentes torna-se instrumento promissor para o desenvolvimento da

aprendizagem por aflorar o interesse, a participação e integração de professores e alunos no

processo de ensino e de aprendizagem.

Também encontramos na pesquisa realizada por Nogueira (2015) “A relação de

docente como o saber: entre o discurso e a prática”, que traz à tona uma investigação sobre a

relação epistêmica com o saber de docentes do ensino superior. Para tal, este estudo ampara-

se em Charlot (2000) ao refletir sobre como determinar ou quais fatores considerar ao “julgar

36


a qualidade de uma aula”. Segundo a pesquisadora o que é bom para o docente pode não ser

bom para o aluno. Por isso defende a formação continuada como importante aliada. Seus

estudos transitam entre a teoria e a prática docente.

Assim, a teoria, além de seu poder formativo, dota os sujeitos de pontos de vista

variados sobre a ação contextualizada. Os saberes teóricos propositivos se articulam,

pois saberes da ação dos docentes e de sua prática pedagógicos sendo por eles (re)

significados. (NOGUEIRA, 2015, p.6)

Para a realização desta pesquisa, foram observados quatro docentes do ensino

superior privado e público em suas práticas educativas, com o objetivo de analisar a relação

epistêmica com o saber de docentes, considerando suas concepções e práticas em sala de aula.

Os resultados encontrados neste trabalho nos mostram que apenas dois docentes

percebem e valorizam o saber do educando, motivando-os a aprender e apropriar-se do saber

de uma forma crítica e construtiva. Enquanto, os outros dois permanecem numa abordagem

pedagógica tradicional.

Mestre (2011) apresenta em seu artigo intitulado “O pensamento algébrico e a

capacidade de generalização de alunos do 3º ano de escolaridade do ensino básico” o

pensamento algébrico e a capacidade de generalização.

Esta pesquisa baseia-se nos estudos de Kieran (2007) sobre a generalização

algébrica. Este autor defende o uso da generalização do pensamento algébrico sem o rigor da

notação algébrica por tratar de alunos que se encontram no início da educação básica, mas que

evidenciam sua forma de pensar por meio da generalização envolvendo as propriedades dos

números e operações e a exploração de padrões.

O trabalho desta pesquisadora traz como foco o estudo do desenvolvimento da

aprendizagem do aluno, para tanto observa o fazer docente na condução da construção do

conhecimento matemático. O que muito nos auxiliou os estudos sobre a generalização

algébrica.

As observações das atividades apresentadas neste trabalho ocorreram com alunos

do 3º ano do ensino fundamental, com o objetivo de perceber como os alunos mobilizam a

capacidade de generalização na resolução de tarefas que envolvem as propriedades dos

números e operações e a exploração de padrões.

37


Neste estudo a pesquisadora constata que “os alunos, mesmo sem terem sido

sujeitos a um ensino intencional de promoção do pensamento algébrico, conseguem

expressar a capacidade de generalização, especialmente em relação às propriedades dos

números e das operações e em situações de generalização próxima. ” (MESTRE, 2011, s.p).

Para a realização das atividades de padrões algébricos os alunos mostraram que

embora alicerçado numa perspectiva de sentido do número é possível ampliar a sua

capacidade de generalização e outros aspectos do pensamento algébrico. Em suas percepções

a pesquisadora observa que:

A exploração de padrões, por sua vez, poderá ser um contexto muito rico para

desenvolver a capacidade de generalização na medida em que promove o reconhecimento das características comuns aos diferentes termos do padrão, ou seja,

das relações existentes entre as variáveis envolvidas, e possibilita a construção de

uma regra geral. (MESTRE, 2011, s.p.)

Neste aspecto percebemos no trabalho docente a importância no preparo de aulas

que contemplem o desenvolvimento de atividades que contemplem o reconhecimento de

regularidades matemáticas de forma a desenvolver a generalização, capacidade central no

pensamento algébrico.

Da mesma forma, Lautenschager (2012) investiga o conhecimento profissional

docente dos professores participantes de um curso de formação continuada. Os estudos

apresentados pela pesquisadora em seu artigo “A (RE) construção do Conhecimento

Pedagógico do Conteúdo dos Professores de Matemática” objetivam compreender como o

professor consolida o conhecimento profissional para o ensino da álgebra escolar.

Lautenschager (2012) baseia-se nos estudos de Ball e seus colaboradores (BALL,

BASS, SLEEP e THAMES, 2007) sobre o conhecimento do conteúdo apresentados por

Shulman (1986). Em seus aportes teóricos a pesquisadora destaca uma subdivisão apresentada

por Ball (2008) sobre o conhecimento matemático para investigar o que os professores fazem

ao ensinar Matemática e, o que eles fazem demanda raciocínio matemático, percepções,

compreensão e habilidade?

A pesquisadora destaca nas palavras de Ball et al. (2001) a necessidade de

ampliação da visão do conhecimento matemático no contexto de ensino, o que coloca em

evidência o professor e o conhecimento e a articulação destes ao ensinar.

38


As conclusões apresentadas pela pesquisadora nos mostram que o conhecimento

dos professores vai sendo construído a partir de uma reflexão na e sobre a prática, para esta

observação utiliza-se de diferentes atividades sobre conteúdos algébricos envolvendo

diferentes concepções de álgebra.

Para ela, os professores utilizam diferentes estratégias para ensinar o conteúdo,

porém sabem muito pouco sobre o conteúdo matemático e vice-versa.

Outro trabalho evidenciado “Análise dos usos da variável presente no Caderno do

Aluno na introdução à Álgebra da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino

Fundamental II de 2008 a 2009”, é o de Fernanda Roberta Ravazi Bailo (2011).

Neste trabalho, Bailo (2011) apresenta uma descrição sobre os Cadernos que

compõem o Currículo Oficial da SEESP, bem como o estudo e análise das atividades contidas

nos Cadernos do 7º ano do Ensino Fundamental, baseadas nas respostas apresentadas no

gabarito.

Este estudo traz como base o Modelo 3UV de Ursini et al. (2005), em Usiski

(1985) nas concepções da álgebra e nos PCN (BRASIL, 1998). As atividades apresentam

figuras diversas sequenciadas nas quais os alunos são levados a pensar sobre os padrões de

repetição e a responder por meio da observação a posição n de uma figura qualquer.

Figura 12 - Atividade de Sequência – Você Aprendeu?

Fonte: Bailo, 2011, p. 91.

Notamos que, nesta primeira Situação de Aprendizagem, as atividades tiveram a presença do desenvolvimento lógico-histórico, já que tivemos as classes de

desenvolvimento (retórica e simbólica) e também o conceito de variável

historicamente construído (palavra, figura, letra). (BAILO, 2011, p. 103).

39


Os estudos de Bailo (2011) mostram uma investigação sobre as atividades

contidas nos Cadernos dos Alunos do 7º ano do Ensino Fundamental. A primeira situação de

aprendizagem observada é: Investigando Sequências por Aritmética e Álgebra. Também

foram incluídas nesta análise outras três Situações de Aprendizagens que compõem este

Caderno. Este percurso objetiva-se em investigar a presença de estudos referenciais da álgebra

sobre o conceito de variável.

Em suas considerações sobre a análise das atividades propostas no Caderno dos

Alunos da Secretaria de Educação de São Paulo, a autora conclui que:

[...] estão presentes nestas Situações de Aprendizagem, segundo o Modelo 3UV, a

variável como incógnita específica, como número genérico e como uma relação funcional. Em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) temos: Álgebra

como aritmética generalizada, Álgebra como estudo de procedimentos para resolver

certos tipos de problemas e Álgebra como estudo de relações entre grandezas. Com

relação às dimensões da álgebra, segundo os PCN (BRASIL, 1998) têm: Álgebra

como aritmética generalizada, Álgebra das equações e Álgebra funcional. (BAILO,

2011, p.67)

Em suas conclusões a autora é enfática em afirmar que “estas Situações de

Aprendizagem possibilitam ao aluno a compreensão do conceito de variável. ” (BAILO

2011, p.67).

Sobre o pensamento algébrico, Barbosa (2010) em seus estudos sobre

“Pensamento algébrico: generalização de padrões” apresenta atividades que levem os alunos

a explorar padrões de sequências numéricas ou simbólicas e generalizar regularidades, como

forma de favorecer o desenvolvimento do pensamento algébrico e consequentemente a

construção da linguagem algébrica.

Para este estudo o autor observa o trabalho docente no momento das atividades

com o intuito de descobrir quais são as barreiras, obstáculos e falhas cometidas por eles

(docentes) nas aulas do 9º ano, com situações que levassem os alunos a “ler, ver e descrever”

de modo explícito ou implícito, por meio do discurso oral ou escrito, a regularidade dos

padrões apresentados.

Sobre estas atividades o autor relata que a relação existente entre o professor e

seus alunos é fundamental para tal alcançar com êxito os objetivos do trabalho docente. Para a

realização destas atividades, foram necessárias várias aulas para que seus alunos se sentissem

desinibidos a falar. E quando isso aconteceu, a aula e as atividades fluíram satisfatoriamente.

40


O autor finaliza seu trabalho concluindo que atividades investigativas que

proporcionem aos alunos momentos em que possam expressar seu raciocínio são

significativas, num processo contínuo. As atividades propostas envolvem o trabalho com

padrões e regularidades de figuras geométricas com vistas a permitir que os alunos coloquem

em prática capacidades como: visualização e organização espacial, que os possa levar à

resolução e solução de um problema.

Esta reflexão apresentada pelo pesquisador nos permite concluir que a relação

construída entre professores e alunos no processo de ensino é fundamental e que cabe ao

professor estimular esta participação com atividades que convidem seus alunos a exporem sua

forma de pensar.

Estas contribuições corroboram com esta pesquisa ao tratar das dificuldades

docentes encontradas relacionadas aos estudos matemáticos sobre a escrita algébrica.

O campo de pesquisadores que estudam o tema Padrões e Regularidades como

forma de oportunizar o desenvolvimento do pensamento e da escrita algébrica é amplo, “Por

que ainda existem tantas dificuldades em lidar com este tema na sala de aula? ” Que saberes

docentes devem ser mobilizados para que se possa ter melhores respostas ao trabalho

docente?

Em síntese:

Nesta revisão bibliográfica, procuramos por meio das pesquisas apresentadas,

subsídios que corroborassem com a investigação e reflexão sobre o trabalho docente, embora

utilizem meios diferentes, direcionam seu foco para a aprendizagem do aluno. Elas

evidenciam o trabalho docente ao ser considerado eficaz quando oportunizam a construção do

conhecimento dos alunos.

A pesquisa realiza por Nehring e Pozzobon (2009), sobre a intervenção docente

no ensino de Álgebra e Carmo (2014) me permitiu verificar que embora o estudo de padrões e

regularidades seja de inquestionável importância para o desenvolvimento do pensamento

algébrico, ainda encontramos dificuldades em obter atividades nos livros didáticos aprovados

41


pelo PNLD o que torna a ação docente fundamental ao desenvolver em aulas atividades que

permitam o desenvolvimento do pensamento algébrico por meio da investigação.

Num estudo sobre os materiais didáticos disponíveis para o ensino, Bailo (2011)

apresenta em seu trabalho uma análise sobre os Cadernos do Aluno da rede pública estadual

de São Paulo e o tema Álgebra contribuindo diretamente para ampliar a investigação que

temos sobre o estudo de padrões algébricos.

Duarte (2011) e Nogueira (2015) mostram em seus trabalhos a importância da

formação continuada e a dificuldade que os docentes apresentam em lidar com o tema padrões

e regularidades em suas aulas. Sobre este assunto Mestre (2011) utilizando os aportes de

Charlot (2000) nos mostra a importância existente na relação entre o saber.

Mestre (2011) contribuiu para esta pesquisa sob o aspecto do conhecimento

específico do objeto matemático por trazer em suas bases o estudo da generalização do

pensamento algébrico, com o foco nos alunos dos anos iniciais. Na pesquisa de Lautenschager

(2012) sobre os saberes docentes relativos ao ensino de padrões e regularidades, o que trazem

de suas práticas e o que acrescentam após terem a oportunidade de participar de uma

formação continuada.

Este trabalho muito se aproxima desta pesquisa, pois também direciona seu

objetivo em compreender como o professor consolida o conhecimento profissional para o

ensino da álgebra escolar.

Pode-se perceber nestas pesquisas que o saber do professor deve ir além do que se

propõe a ensinar, deve estar enriquecido com saberes didáticos sobre como o aluno aprende,

saberes específicos, para ter a dimensão da profundidade necessária de cada assunto nesta ou

naquela fase da aprendizagem, entre outros saberes. Por este motivo, esta pesquisa coloca no

centro da investigação este docente e seus saberes.

Após a apresentação das pesquisas correlatas, consideramos ser relevante para a

construção desta investigação a apresentação de alguns aspectos do Currículo Oficial do

Estado de São Paulo, implementado no ano de 2008 em toda rede estadual por ser este

material didático disponibilizado nas escolas estaduais de São Paulo, cujas atividades foram

utilizadas na coleta de dados desta pesquisa.

42


1.4 O CURRÍCULO OFICIAL DO ESTADO DE SÃO PAULO

Este Currículo foi construído de modo a contemplar as necessidades de se

estabelecer referenciais comuns que atendam ao princípio de garantia de padrão de qualidade

previsto pelo inciso IX do artigo 3º da Lei nº 9.394/96 Lei de Diretrizes e Bases da Educação

Nacional – LDB e de subsidiar as equipes escolares com diretrizes e orientações curriculares

comuns que garantam ao aluno acesso aos conteúdos básicos, saberes e competências

essenciais e específicas a cada etapa do segmento ou nível de ensino oferecido.

Como forma de garantir o cumprimento dos parâmetros contidos neste

documento, foi implementado no ano de 2008, no ensino da rede pública do Estado de São

Paulo, um documento inicialmente intitulado Proposta Curricular, cujo principal objetivo era

uniformizar a educação garantindo aos alunos um ensino equânime ao priorizar a competência

leitora e escritora, definindo a escola como espaço de cultura e de articulação de competências

e de conteúdos disciplinares.

Currículo é a expressão de tudo que existe na cultura científica, artística e

humanista, transposto para uma situação de aprendizagem e ensino (SÃO PAULO,

2008, p.8).

De maneira geral este Currículo apresenta um perfil conceitual de referenciais

teóricos pedagógicos que permeiam todas as disciplinas tornando-as estruturalmente

semelhantes ao organizarem seus conteúdos em Situações de Aprendizagens que reúnem

diferentes Sequências Didáticas - atividades organizadas sistematicamente por níveis de

dificuldades, permitindo o desenvolvimento de conteúdos conceituais, factuais,

procedimentais e atitudinais. Traz em seus princípios o ensino por competência leitora e

escritora.

Para melhor detalhamento destes princípios, juntamente com estas diretrizes

curriculares foram criados documentos com orientações para a gestão do currículo intitulado

“Caderno do Gestor” contendo as diretrizes, fundamentos e referenciais teóricos norteadores

deste Currículo, direcionado aos gestores das escolas.

http://www.planalto.gov.br/ccivil/LEIS/L9394.htm

43


Para os professores foram criados os “Cadernos do Professor”, contendo

orientações didático-pedagógicas de cada Situação de Aprendizagem8, organizados por

disciplinas, acompanhados de orientações para a gestão da aprendizagem em sala de aula,

para a avaliação e para a recuperação da aprendizagem.

Figura 13 - Cadernos do Currículo da SEESP

Para os alunos, foram criados os “Cadernos

do Aluno” contendo as Situações de

Aprendizagem e suas respectivas atividades a

serem desenvolvidas em cada ano/série do

Ensino Fundamental e Ensino Médio.

Fonte: São Paulo faz Escola - Currículo, Avaliação e Expectativas de Aprendizagem, 2008.

No ano de 2010 esta proposta ganha status de Currículo Oficial, utilizado em toda

rede Estadual de Educação do Estado de São Paulo. (SÃO PAULO, 2008, p.7-8). Em 2014

este material didático passa por revisão e nova edição.

Este Currículo apresenta como princípios centrais, a escola que aprende e as

competências como eixo da aprendizagem com prioridade nas competências leitora e escritora

e na articulação das competências para aprender (SÃO PAULO, 2010, p.10).

O conhecimento tomado como instrumento, mobilizado em competências,

reforça o sentido cultural da aprendizagem [...] o conhecimento poderá se

tornar um prazer que pode ser aprendido, ao se “aprender a aprender”. Nesta escola, o professor não se limita a suprir o aluno de saberes, mas é parceiro

de fazeres culturais, aquele que promove de muitas formas o desejo de

aprender (SÃO PAULO, 2010, p.11).

Neste ponto referenciam-se aos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN e aos

pressupostos teóricos do ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio (SARESP, 2013, p.34)

8 Conceito baseado nas ideias de Philippe Perrenoud (2000): Uma situação de aprendizagem se insere num

dispositivo e numa sequência didática na qual cada tarefa é uma etapa em progressão. Referencia utilizada como

bibliografia deste material. ▪ O dispositivo depende dos conteúdos, do nível dos alunos, das opções do professor. ▪ A competência consiste na busca de um amplo repertório de dispositivos e de sequências de aprendizagem e

na identificação do que eles/as mobilizam e ensinam.

44


ando destaque a três (3) pares de competências, como eixos9 norteadores da ação educacional,

ao longo da Educação Básica:

❑ Eixo expressão/compreensão a Matemática, sem dúvida, apresenta-se como uma

maneira de expressar e compreender a realidade por meio de números, relações,

formas, tabelas e gráficos. Eles estão presentes em textos, gráficos e tabelas de índices

das mais diversas naturezas da atividade humana.

❑ Eixo argumentação/decisão o desenvolvimento do pensamento lógico e a análise

racional mostram-se como instrumentos muito fortes nesse eixo, sendo que o

desenvolvimento desses instrumentos está muito ligado à Matemática, principalmente

nas diversas situações-problema que o eixo permite aos alunos trabalharem.

❑ Eixo contextualização/abstração a Matemática permite simplificar a complexidade

de situações do cotidiano por meio da abstração (via modelagem) para buscar

compreendê-la e fazer ensaios sobre possíveis mudanças ou solução de problemas.

O ensino por competência pressupõe aprender a aprender, um dos pilares da

educação como forma de articulação do saber com vistas à resolução de problemas. Neste

Currículo, as competências estão organizadas em três grandes grupos formados por várias

habilidades: Grupo I - Competências para Observar, Grupo II - Competências para realizar e

Grupo III - Competência para Compreender.

As habilidades que compõem cada grupo de competências estão distribuídas ao

longo dos conteúdos apresentados em cada disciplina, de forma a oportunizar o

desenvolvimento de competências como pensar, observar, selecionar.

9 Eixos norteadores da ação educacional: Currículo do Estado de São Paulo Matemática, p. 31.

45


Figura 14: Organização Curricular SEESP

Fonte: Formação de Professores de Matemática - DER SVI/201410

Nestes Cadernos os conteúdos do Currículo de Matemática estão distribuídos por

temas: Números, Relações e Geometria. Estes temas interpenetram-se permanentemente

formando uma rede de conhecimentos. Neles, o tema tratamento da Informação permeia todos

os temas de maneira complementar a cada Situação de Aprendizagem proposta.

A síntese apresentada nesta figura é parte integrante de uma formação pedagógica

realizada por mim como integrante do núcleo pedagógico aos professores de Matemática com

a intenção de oportunizar a várias ideias contempladas na bibliografia apresentada como base

para a construção deste Currículo.

Figura 15 - Blocos de Conhecimentos Matemáticos

Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir do Currículo e Práticas Pedagógicas DER SVI/2014

10 Material utilizado em Formação Continuada para professores de matemática realizada em 2014 pelo Núcleo

Pedagógico como síntese das ideias contidas nos Cadernos do Currículo.

Relações

Números

Geometria

Tratamento da Informação

Medidas/aproximações

Proporcionalidade

Interdependência Equivalência/ordem

Simbolização/operações

Percepção/concepção

Construção/representação

46


Os professores entrevistados para a realização desta pesquisa lecionam em escolas

estaduais de São Paulo e têm como material didático disponível aos alunos os Cadernos do

Aluno e livros didáticos escolhidos pelos professores da escola. Por este motivo utilizamos

neste trabalho, como meio para a investigação dos conhecimentos docentes, atividades deste

material.

Ao estudarmos sobre a estrutura destes Cadernos percebemos que o entendimento

das atividades apresentadas sob a forma de sequência didática, com questões que se

complementam e apresentam-se em níveis crescentes de complexidades. Esta disposição

diferencia-se da maioria dos livros didáticos na forma de apresentação das atividades

propostas.

Conforme orientações contidas nos referenciais deste material curricular, as

sequencias didática apresentadas seguem um padrão, iniciam-se com questões que sugerem o

levantamento de conhecimentos prévios, problematização e sistematização da aprendizagem.

Ao longo dos cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do

conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar

a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula.

Esta mesma lógica pode ser observada também entre as situações de

aprendizagens dos cadernos de matemática na qual a cada uma possui uma função no

desenvolvimento dos conceitos formando assim um bloco de conhecimentos.

Consideramos importante esta observação sobre este material pois utilizamos este

conhecimento em nossas análises como conhecimento do currículo e como conhecimento

especializado do conteúdo ensinado.

No próximo Capítulo apresentamos os referenciais teóricos que fundamentam o

desenvolvimento desta pesquisa.

CAPÍTULO II

REFERENCIAL TEÓRICO

Neste capítulo, apresentamos os aportes teóricos que fundamentam esta pesquisa

sobre os conhecimentos docentes, que envolvem os aspectos pedagógicos por meio dos

processos de generalização com padrões e regularidades, considerados conhecimentos

específicos.

Por este motivo, tomamos como referencial teórico pedagógico para esta pesquisa

os estudos de Charlot (2005), numa reflexão sobre os conhecimentos docentes, em Shulman

(1986) e Ball (2008), por meio das categorias de análises do conhecimento do professor.

Para os aportes teóricos específicos da Matemática, sobre a construção dos

processos de generalização algébrica, buscamos apoio nos estudos de Borralho (2009), Isabel

Vale (2011) e Luís Radford (2006). Corroborando com estes pesquisadores encontramos

Kaput (2008) que refere-se aos aspectos centrais da Álgebra, em Mason (1996) sobre

generalização, Lanin (2005) que também desenvolveram estudos sobre o processo de

generalização. Sobre o estudo da Álgebra apoiamo-nos nos estudos de Lins e Gimenez

(2005), em Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), e Lee (2001).

2.1 CONHECIMENTOS DOCENTES PEDAGÓGICOS

Para fundamentar esta investigação procuramos pesquisadores que apresentam

estudos sobre como o trabalho docente poderá influenciar no desenvolvimento pessoal e

profissional, resultando em sua ação docente. Nesta busca, percebemos que é cada vez maior

o número de pesquisadores que estudam sobre este assunto, enriquecendo com seus trabalhos,

de forma diversificada, os estudos sobre os saberes docentes.

Dentre as várias pesquisas, nos identificamos com os estudos de Bernard Charlot

(2005), quando ao citar Sócrates – “Conhece-te a ti mesmo”, retrata a preocupação com o

saber e, também, com Lee Shulman (1987), ao apresentar estudos sobre o conhecimento

48 CAPÍTULO II Luciane Ramos Américo

docente. Percebemos que os termos “conhecimento” e “saber” ainda que possuam

significados diferentes são citados por vários autores nesta área de pesquisa. Então como

podemos distingui-los?

Luís Radford (2015), em entrevista à revista Educação e Pesquisa, ao responder os

questionamentos sobre educação, e ao ser inquerido sobre os conceitos de conhecimento e

aprendizagem, responde partindo de uma ideia hegeliana11

relacionada com o saber:

[...] saber, conhecimento e aprendizagem. Para o construtivismo, que se inspira em

Piaget e que adota a posição da produção de saber enquanto produção privada, o

saber é aquilo que o sujeito produz. Da mesma maneira que o que o sujeito produz

pertence a ele, o que o aluno produz pertence a ele, e isso que pertence a ele é seu

conhecimento, é sua aprendizagem... (RADFORD, 2015, s.p.)

Trouxemos, neste momento, as palavras de Radford (2015) sobre conhecimento,

como sendo algo que pertence ao sujeito, por ser um dos pesquisadores que utilizamos para

fundamentar os aportes teóricos específicos da Matemática, corroborando com os saberes dos

pesquisadores que aqui mencionamos.

Apresentamos um breve estudo sobre os dois autores utilizados como base para os

aportes teóricos pedagógicos desta pesquisa – Bernard Charlot e Lee Shulman.

2.1.1 Bernard Charlot: O professor e a relação com o saber

Charlot (2005) chama atenção para a importância da influência docente sobre a

dificuldade na aprendizagem, considerando o que considera de carência cultural. Segundo o

autor, esta dificuldade pode estar diretamente relacionada com o fazer pedagógico.

Neste contexto, o autor, defende diversos objetos de aprendizagem, que implicam

em diferentes tipos de atividades, numa estreita relação do ato de ensinar e aprender, na qual

se relacionam, principalmente, a produção, a apropriação e a transformação dos

conhecimentos do docente.

Em suas palavras, os diferentes tipos de atividades realizadas pelos sujeitos,

resultam nas relações com o saber que passam pela ação do ensinar e aprender.

Para Charlot (2005), a relação com o saber está relacionada com a interação

complexa que o homem faz com o mundo, com o outro e consigo mesmo, mais amplamente

11

Ideia hegeliana.


nas “relações sociais”, submetidos a processos coletivos de validação, capitalização e

transmissão. Assim, a ação de ensinar envolve várias questões sobre o ato de educar.

Quando questionado sobre o conflito entre quem ensina e quem aprende, em sua

entrevista à Revista Nova Escola, o autor respondeu:

[...] existe uma tensão que faz parte do ato pedagógico. O primeiro problema que o

docente enfrenta é não produzir diretamente seu trabalho. Explico: o que faz o aluno

aprender é sua própria atividade intelectual, não a do mestre. O trabalho do educador

é despertar e promover essa atividade. [...] Se o estudante fracassa, a culpa é do

professor, por mais que ele não tenha o poder de enfiar o saber dentro da cabeça do

jovem. Essa tensão se converte facilmente em conflito quando o aluno se sente pressionado ou enganado. Mas os conflitos nem sempre são negativos. Penso que é

uma sorte viver tantas contradições. O humor, a reflexão e o prazer são

imprescindíveis para aceitar as diferenças e é isso que permite avançar. (CHARLOT,

2015, s.p.)

Para ele, para que o aluno se aproprie do saber ensinado, é necessário que o

professor disponha de diferentes atividades que estimulem competências cognitivas e o

mobilize intelectualmente, envolvendo-o nesta construção, estabelecendo uma relação com o

outro, no que chama de processo de humanização.

Sobre este aspecto, encontramos nas ideias de Charlot (2005), que formar

professores é trabalhar os saberes e as práticas em diferentes níveis, é dotá-los de

competências que lhes permitirão gerir tensões e construir mediações entre práticas e saberes.

Bianchini e Machado (2013), ao escreverem sobre a importância da reflexão do

professor sobre seu saber matemático evidenciam o que Charlot (2005, p.63) diz sobre a

relação do sujeito com o saber [...] não há saber senão em uma relação com o saber, isto é,

não se pode pensar o saber (ou o “aprender”) sem pensar ao mesmo tempo o tipo de relação

que se supõe para construir esse saber ou para alcança-lo. (CHARLOT, 2005 apud

BIANCHINI e MACHADO, 2015).

As autoras também ressaltam, nas palavras de Sztajn (2002, p.21), que Ball, ao

tratar do “professor de matemática”, entende que:

“O professor precisa ser capaz de articular seu saber, pois aquilo que é apenas

tacitamente aceito, não pode ser explicitamente ensinado [...] o saber explícito e

conectado do professor deve articular-se à visão que este tem sobre a Matemática,

sobre a natureza da disciplina, formando aquilo que influenciará a forma com a qual

decide apresentar certo tópico para seus alunos. (Sztajn, 2002, apud BIANCHINI e

MACHADO, 2015, p.63).

Sobre este aspecto, encontramos as ideias de vários autores que poderíamos

também empregar para corroborar com este estudo. Dentre eles, Shön (2000) explica este


conhecimento apresentado na ação como “conhecimento tácito”, conhecimento que mobiliza

diferentes tipos de saberes, aproximando-se dos alunos ao investigar as possibilidades para se

resolver uma questão. Perrenoud (1999) que refere-se a este conhecimento como

“conhecimento na ação”, capacidade de mobilizar diferentes competências, ou seja, recursos

cognitivos para enfrentar as situações.

Diante destas colocações, o que vem a ser saber? Charlot (2000) faz referência a

Monteil (1985), ao distinguir informação, conhecimento e saber.

A informação é um dado exterior ao sujeito, pode ser armazenada, estocada,

inclusive em um banco de dados; está “sob a primazia da objetividade”. O

conhecimento é o resultado de uma experiência pessoal ligada à atividade de um

sujeito provido de qualidades afetivo-cognitivas; como tal, é intransmissível, está

“sob a primazia da subjetividade”. Assim como a informação, o saber está “sob a

primazia da objetividade”; mas, é uma informação de que o sujeito se apropria.

Desse ponto de vista, é também conhecimento [...] (MONTEIL,1985 apud CHARLOT, 2000, p. 61).

Esta reflexão corrobora com o objeto de estudo desta pesquisa – O conhecimento

docente – quando Charlot (2005) explicita a importância do conhecimento docente e da

relação entre os saberes.

Ao entendermos que o ser humano aprende de diferentes formas, mobiliza e se

relaciona com o mundo e com os outros de maneiras variadas, para aprender é necessário

estar envolvido, o sujeito com os outros (que co-constróem, controlam, validam, partilham

esse saber).

Ainda neste pensar entre “conhecimento” e “saber”, Shulman (1987) refere-se ao

conhecimento docente em diferentes categorias. Por este motivo, consideramos este

pesquisador do conhecimento docente, como outro aporte desta pesquisa no âmbito

pedagógico.

2.1.2 Lee S. Shulman: Saberes docentes

Os estudos de Shulman (1987) apontam que o saber dos professores sobre o

currículo desenvolvido em sala de aula traz importantes influências na construção do

conhecimento, ao interferir diretamente na relação deste saber com o material utilizado.

Shulman (1986) apresenta em seu trabalho os subsídios para a reflexão sobre os

saberes docentes necessários para o exercício da função. Nestes estudos, o autor evidencia


categorias de conhecimentos presentes no desenvolvimento cognitivo do professor,

apresentados como o subject knowledge matter (conhecimento do conteúdo da matéria

ensinada); pedagogical knowledge matter (conhecimento pedagógico da matéria) e curricular

knowledge (conhecimento curricular).

Esta categorização revela como o professor articula estes conhecimentos:

conhecimento pedagógico da matéria, que nesta investigação entendemos ser o conhecimento

didático, que lhe permitirá mobilizar instrumentos para melhor atingirem os objetivos

previstos para cada etapa desta trajetória de ensino (como ensinar).

Ao estudarmos o que Shulman chama de conhecimento pedagógico, encontramos

na literatura alguns estudos que o denominam de conhecimento didático, por tratar-se da

forma como o professor utiliza seus conhecimentos de maneira articulada ao ensinar: “Ainda

falo aqui de conhecimento de conteúdo, mas da forma particular de conhecimento de

conteúdo que inclui os aspectos do conteúdo mais relativos ao seu ensino” (SHULMAN,

1986, p.9).

Esta forma de pensar aproxima-se do que Fiorentini (2005) conceitua como

Didática:

Didática como campo disciplinar que busca explorar as relações professor-aluno-conteúdo – triângulo didático, segundo a Didática Francesa. A Didática, neste

sentido, centra foco no processo de ensinar e aprender um determinado conteúdo e,

também, no que antecede esta ação. (p.108)

Diferente da ação da Pedagogia:

É fundamental para que o professor tenha autonomia intelectual para produzir seu

próprio currículo, constituindo-se efetivamente como mediador entre o

conhecimento historicamente produzido e aquele – o escolar reelaborado e relevante

sociocultural mente – a ser apropriado e construído interativamente pelos alunos em

sala. (FIORENTINI, 1998, p.316).

Fiorentini (2005), ao fazer referência aos estudos apresentados por Shulman

(1986) sobre o conhecimento docente, relata a ampliação das categorias de análise destes

saberes necessária à ação docente, como por exemplo, os saberes da experiência, os saberes

sobre os alunos e seu contexto.

Tomamos como base esta explicação por entendermos que, neste conhecimento,

caberá ao professor apresentar domínio de diferentes representações, estratégias, explicações

para que o conteúdo se torne compreensível para os alunos. Nesta investigação, usamos a


definição dada ao termo conhecimento didático, utilizado por Oliveira e Ponte (1996), como

aquele que permite ao professor aprofundar as reflexões sobre sua prática, analisar os

objetivos de aprendizagem e as tarefas matemáticas que se propõe a realizar.

Esta construção denota a necessidade de aprofundamento sobre o conhecimento

didático, como forma de melhor escolha na condução das estratégias de construção das

competências previstas, o que nos permite refletir sobre a necessidade de se conhecer com

profundidade o conteúdo ensinado, não apenas tendo o conhecimento das diferentes

atividades, que podem ser utilizadas, mas de onde se quer chegar em cada etapa desta

construção. É o que sugere a terceira categoria de Shulman (1986), conhecimento do conteúdo

da matéria ensinada.

Corroborando com Shulman, Cardoso (2010) sintetiza os conhecimentos

apresentados por este autor sobre os saberes docentes como saberes interligados, que se

completam dando sentido à ação de ensinar:

[...] difíceis de estabelecer uma fronteira nítida entre estes tipos de conhecimento já que todos se interpenetram no acto de ensino – o conhecimento científico, por si só,

não garante um bom ensino, e o domínio científico de um professor não tem de ser

como o de um matemático. Por seu lado, o conhecimento didáctico não faz sentido

desligado dos tópicos matemáticos que lhe dão corpo. Por último, o conhecimento

curricular pode ser considerado a argamassa que permite unir e pôr em acção os

outros dois tipos de conhecimento. (CARDOSO, 2010, p.21)

Em seus estudos, Shulman (1986) diferencia o conhecimento docente para o

ensino, ressaltando que saber Matemática para ser um matemático é diferente de saber

Matemática para ser professor de matemática, chamando a atenção para a importância na

formação docente.

Desta forma, o professor deve compreender as estruturas da matéria ensinada,

sobre esse aspecto, Ball (1991) assim com Fiorentini (2005) destacam a importância do

conhecimento “de e sobre Matemática”. Para ela, o conhecimento da Matemática para ser

ensinada envolve o conhecimento de conceitos, proposições e procedimentos matemáticos, o

conhecimento de sua estrutura da matemática e de relações entre temas matemáticos.

Para melhor categorizarmos os saberes docentes, nos aprofundamos nos estudos

de Deborah Ball e seus colaboradores (2008) sobre os conhecimentos docentes como

ampliação dos estudos de Shulman (1986).


Ball, Thames e Phelps (2008) apresentam em seu artigo “Conhecimento

Matemático para o Ensino” (no original, Mathematical Knowledge for Teaching – MKT), na

intenção de aprofundar e de ampliar o trabalho de Shulman (1986), sobre os tipos de

conhecimentos docentes, uma categorização que tem como foco o ensino de conteúdos

matemáticos e a Matemática necessária para o ensino.

Neste sentido os autores apresentam estudos sobre a prática docente, evidenciando

conhecimentos que favoreçam a ação de ensinar.

Figura 16 - Conhecimentos matemáticos para o ensino

Fonte: Adaptado da figura apresentada em Ball, Thames e Phelps (2008, p.403)

Nesta figura, Ball e seus colaboradores (2008) discutem que as categorias do

conhecimento docente apresentadas por Shulman (1986) podem ser subdivididas para que

melhor articulem as habilidades necessárias para os professores ensinarem. Assim definem

dois subdomínios do conhecimento pedagógico do conteúdo.

1) o conhecimento do conteúdo subdividido em: conhecimento comum do conteúdo, e

conhecimento especializado do conteúdo e conhecimento no horizonte matemático.

2) o conhecimento pedagógico do conteúdo subdividido em: conhecimento do conteúdo e os

estudantes, conhecimento do conteúdo e o ensino e conhecimento do currículo.

Esta categorização do conhecimento evidencia o que se espera do conhecimento

docente, ao ser capaz de articular diferentes cálculos matemáticos, podemos citar como

Conhecimentos Matemáticos para o

ensino

conhecimentos do conteúdo

conhecimento comum

conhecimento especializado

conhecimento no horizonte matemático

conhecimento pedagógico do conteúdo

conhecimento do conteúdo e os estudantes

conhecimento do conteúdo e o ensino

conhecimento curricular


exemplo o domínio das operações Matemáticas: operações de multiplicação, nas quais espera-

se que o aluno seja capaz de reconhecer e operar com as diferentes representações dos

números racionais, entre outros procedimentos utilizados na resolução de situações-problema,

formados pelo conhecimento comum que ao estar ligada à ação docente deve ir além,

tornando-se conhecimento especializado, no qual espera-se que o professor consiga perceber

uma resposta incorreta e intervir de maneira que possa contribuir para a aprendizagem de seus

alunos.

Também considera-se conhecimento docente quando o professor reconhece que o

ensino de Matemática se aprofunda à medida que os anos de escolaridade avançam, nos quais

os conceitos matemáticos são retomados aprofundando os conteúdos construindo um ensino

horizontalizado.

Não menos importante que o conhecimento conteúdo matemático temos o

conhecimento pedagógico o qual permitirá ao professor observar de maneira atenta o

desenvolvimento da aprendizagem de seus alunos, as diferentes formas de resoluções das

atividades propostas por eles e utilizar estratégias diferenciadas e explicações para que o

conteúdo se torne compreensível para os alunos, numa combinação entre o conhecimento

sobre os alunos e o conhecimento sobre a Matemática.

Nesta perspectiva, para o desenvolvimento de conceitos matemáticos entendemos

que o professor deve reunir conhecimentos sobre ensino e sobre a Matemática. Para tanto

precisará conhecer diferentes materiais e programas que servem como ferramentas de trabalho

que permitam ao aluno superar as dificuldades sobre o tema estudado, mostrando

conhecimento sobre os materiais de apoio curriculares.

Neste sentido, o estudo apresentado por Ball e seus colaboradores (2008) alerta

para a necessidade do conhecimento específico da matéria, numa constante investigação de

quais competências devem ser construídas e quais habilidades devem ser mobilizadas por

meio de atividades que possibilitem esta construção.

Este levantamento objetivou fomentar subsídios para a reflexão sobre o trabalho

docente na construção do conhecimento. Que saberes devem estar presentes em sua prática e

de que forma todo este conhecimento pode ser articulado para melhor favorecer a

aprendizagem de seus alunos.


Na próxima sessão deste capítulo, apresentamos os aportes teóricos do

conhecimento do conteúdo específico da Matemática, mais especificamente aqueles voltados

ao ensino da Álgebra e a construção do pensamento algébrico por meio da generalização de

padrões e regularidades, apresentados nos Cadernos do Professor de Matemática - 8º ano dos

anos finais do Ensino Fundamental.

2.2 CONHECIMENTOS DOCENTES ESPECÍFICOS DA MATEMÁTICA

Quando encontramos, nas ideias de Charlot (2005), reflexões que nos permitem

pensar sobre como apresenta-se o conhecimento sobre o assunto matemático que o professor

ministrará em suas aulas, percebemos que conexões poderão ser feitas para melhor

compreensão do objeto de ensino pelo aluno, percebemos nas categorias de Shulman (1986) o

enfoque no conhecimento do conteúdo. Consideramos o Conhecimento do Conteúdo

Especializado, conhecimento matemático que os professores utilizam para ensinar, que exige

uma compreensão mais profunda dos conceitos matemáticos.

Consideramos para esta pesquisa alguns momentos da história da Matemática que

nos permitiram construir uma linha do tempo evolutiva em direção á construção do

pensamento algébrico. Neste estudo evidenciamos alguns autores que retratam a importância

do trabalho docente com atividades voltadas ao uso de generalização de padrões e

regularidades para o desenvolvimento do pensamento algébrico que também se aproximam

dos objetivos deste trabalho ao investigar sobre os conhecimentos docentes.

2.2.1 O ensino curricular da Álgebra no Brasil

Não temos a intensão de descrever a evolução da trajetória da Matemática desde

seus primórdios, consideramos importante destacar para esta pesquisa uma parte retratada por

meio de pesquisadores e educadores matemáticos e também em documentos que nos

permitiram constatar a preocupação existente com a construção de um saber matemático

escolar que estimule os alunos a utilizar os conceitos aprendidos na escola para resolver

problemas.


Consideramos como ponto de partida para nossa construção as orientações

apresentadas nos PCN (BRASIL, 1998), no que se espera sobre a educação algébrica para o

ensino fundamental, seguida da apresentação de algumas concepções de pesquisadores sobre

a Álgebra.

Para uma tomada de decisões a respeito do ensino da Álgebra, deve-se ter,

evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a

criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente

quanto à variedade de representações. Assim, é mais proveitoso propor situações

que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades

em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver um estudo da

Álgebra apenas enfatizando as “manipulações” com expressões e equações de uma

forma meramente mecânica. (BRASIL, 1998, p.116)

Com este documento, ganha força o ensino voltado ao desenvolvimento de

atividades exploratórias, que permitam a construção da linguagem, por meio de um pensar

algebricamente, para que o aluno possa organizar melhor sua forma de pensar ao resolver

situações-problema.

Oportunizar o ensino voltado a situações que permitam o desenvolvimento do

pensar algebricamente, denota uma postura diferenciada do professor e das concepções que

carrega sobre este ensino. Para que as aulas possam favorecer o desenvolvimento do

pensamento algébrico, serão necessárias modificações na ação docente, no tipo de atividade

proposta, no olhar sobre os resultados e também modificação sobre a postura dos alunos

frente a situações que os coloquem como investigadores e também responsáveis pela

construção do conhecimento.

Existe um razoável consenso de que para garantir o desenvolvimento do pensamento

algébrico o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-

relacionem as diferentes concepções da Álgebra (BRASIL, 1998, p.116).

Estas concepções foram organizadas, evidenciando as diferentes interpretações da

álgebra escolar e as diferentes funções das letras:


Figura 17 - Álgebra no Ensino Fundamental

Fonte: Brasil, 1998, p.116

Este quadro apresenta quatro dimensões do ensino de Álgebra no ensino

fundamental, sendo elas: Aritmética Generalizada, Funcional, Equações e Estrutural:

❑ Aritmética Generalizada - traduzir e generalizar padrões aritméticos, estabelecer

relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis.

❑ Aritmética Funcional - compreender a álgebra como estudo de procedimentos para

resolver certos tipos de problemas, a incógnita é concebida como um valor a ser encontrado e

não variável.

❑ Equações - a função da álgebra é o estudo de relações entre grandezas, ocupando-se

com modelos e leis funcionais que descrevem ou representam as relações entre duas ou mais

grandezas variáveis.

❑ Estrutural - compreender a álgebra como estudo das estruturas, pelas propriedades que

atribuímos às operações com números reais e polinômios, com ênfase nos cálculos algébricos

e expressões, em que as variáveis são tratadas como apenas sinais, sem qualquer referência

numérica.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) enfatiza-se que o ensino

da Matemática deve favorecer o desenvolvimento pelo educando da habilidade de relacionar

ideias Matemáticas entre si, ressaltando que isto é fundamental para que haja a compreensão e

construção dos conteúdos matemáticos.


Para que seja possível o desenvolvimento destas habilidades, os PCN12

(BRASIL,

1998) trazem como recomendações aos docentes o uso de situações que permitam identificar

e generalizar as propriedades das operações aritméticas, estabelecer algumas fórmulas.

Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa à habilidade de pensar

abstratamente, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo

noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho

articulado com a Aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma

aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados. (BRASIL, 1998, p.

117)

Ao analisarmos o desempenho apresentado pelos alunos, muitos professores

atribuem à Álgebra, esta responsabilidade causada por um ensino baseado em regras e

procedimentos descontextualizados, repleto de exercícios que exigem o domínio de técnicas e

memorização, desconexos de situações-problema, levando a uma aprendizagem puramente

mecânica.

O estudo da Álgebra apresenta numerosos pesquisadores e educadores envolvidos

com investigações sobre o ensino, sobre as concepções da álgebra e sobre a educação

algébrica, de maneira geral preocupados em oportunizar aos estudantes uma educação

algébrica significativa.

Já não cabe classificar a álgebra apenas como aritmética generalizada, pois ela é

muito mais que isso. A álgebra continua sendo um veículo para a resolução de certos problemas, mas também é mais do que isso. Ela fornece meio para se

desenvolverem e se analisarem relações. E é a chave para caracterização e a

compreensão das estruturas matemáticas. (USISKIN, 1984, p.21)

Kaput (2008) ao referir-se aos aspectos centrais da Álgebra: (a) Álgebra como

generalização simbólica de regularidades; (b) Álgebra como raciocínio sintaticamente guiado

e ações em generalização expressas no sistema simbólico convencional. Mason (1996)

escreve que “a generalização é o coração da Matemática” e Lanin (2005) que refere “não se

poder separar a generalização da justificação”.

Lins e Gimenez (2005) descrevem o pensamento algébrico como um dos modos

de produzir significado para a álgebra. E caracterizam este pensar como:

1) Pensar aritmeticamente: produzir significado apenas com relação a números e operações

aritméticas.

12 Parâmetros Curriculares Nacionais


2) Pensar internamente: considerando números e operações apenas de acordo com suas

propriedades (usando números sem relação com outros objetos como, por exemplo, físicos,

geométricos etc.).

3) Pensar analiticamente: operar com números desconhecidos da mesma forma que se opera

com números conhecidos.

Para estes autores, a educação algébrica deve permitir que os alunos sejam

capazes de produzir conhecimentos com significados por meio de um pensar algebricamente.

Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), em seus estudos sobre o desenvolvimento

histórico da Álgebra, apresentam as concepções da Álgebra:

● Processológica – a Álgebra é um conjunto de técnicas algorítmicas, métodos, artifícios próprios para trabalhar alguns problemas.

● Linguístico-estilística – a Álgebra é uma linguagem específica, criada para representar as técnicas algorítmicas da concepção processológica.

● Linguístico-sintático-semântica – entende a Álgebra como uma linguagem específica, uma linguagem simbólica, porém, estabelece a diferença entre o uso da

letra para representar quantidades discretas ou contínuas e o uso da letra para

representar quantidades genéricas.

● Linguístico-postulacional – estrutura todas as partes da Matemática, inclusive a lógica.

Segundo os autores, o pensamento algébrico pode ser caracterizado por elementos

diferentes em atividades que exijam “percepção de regularidades, de aspectos invariantes em

contrastes com outros que variam tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma

situação-problema e a presença do processo de generalização” (FIORENTINI, MIORIM e

MIGUEL, 1993, p. 87).

Sobre a análise de situações em que esse pensamento pode se manifestar, os

autores concluem:

“não existe uma única forma de se expressar o pensamento algébrico. Ele pode

expressar-se através da linguagem natural, através da linguagem aritmética, através

da linguagem geométrica ou através da criação de uma linguagem específica para

esse fim, isto é, através de uma linguagem algébrica, estritamente de natureza

simbólica” (FIORENTINI; MIORIM e MIGUEL, 1993, p. 88).

Consideramos importante apresentar os estudos de Lesley Lee (2001), que

defende um estudo algébrico voltado à investigação, à construção de conhecimentos com

significado. Segundo a autora, o estudo da álgebra como linguagem, não é uma boa

introdução para qualquer nível escolar, e em especial para Educação Básica, pois as crianças


possuem poucos pensamentos algébricos conscientes para expressar e poucas atividades

algébricas registradas.

Em seu artigo Early Álgebra – but Which Álgebra? Lesley Lee (2001, p.60), sobre

o que chamou visões da Álgebra, organiza-as em seis categorias:

➢ Álgebra como linguagem refere-se a um aprendizado que envolve muitas regras de

manipulação. Para Lee (2011), o pensamento que age com símbolos algébricos

dirigidos por comandos ou moldes, são pensamentos que não só abarcam operações,

ações ou transformações, como também pensamentos sobre relações.

➢ Álgebra é uma atividade que refere-se à utilização de objetos manipuláveis para

aplicação às situações-problema, para auxiliar na representação das variáveis. Para a

autora, o pensamento algébrico, caracterizado como generalização, somente pode ser

desenvolvido por meio de atividades que envolvam, de fato, os alunos.

➢ Álgebra é uma ferramenta que refere-se à utilização de conceitos matemáticos

utilizáveis, também, em outras ciências como a Física, a Química e Biologia, na

resolução de problemas.

➢ Álgebra é uma aritmética generalizada. Segundo Lee (2011), o estudo de

generalização de padrões numéricos, de estruturas aritméticas e de expressões com

letras é excelente para a introdução da Álgebra nos primeiros anos escolares.

➢ Álgebra é uma cultura, apresenta-se como pensamento formado por valores, crenças,

práticas, tradições, história e processos para sua transmissão num contexto curricular.

Estas considerações apontam que o estudo da Álgebra, envolvendo símbolos, não

é apropriado para a introdução da Álgebra em qualquer nível escolar, principalmente para a

educação básica. (LEE, 2011, apud VAZ, 2008, p.66).

Nos estudos sobre a Álgebra, apresentados até aqui, percebemos que Lins e

Gimenez (2005) defendem o desenvolvimento do pensamento algébrico, por meio de uma

educação algébrica que permita aos alunos produzir conhecimentos e resolver situações-

problema.


Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) defendem que este estudo deve, também,

proporcionar o desenvolvimento de uma linguagem simbólica significativa para os alunos,

isto é, em um processo de formulação de hipóteses e verificação dos resultados.

Para Lee (2011), o estudo da Álgebra não deve ser iniciado em qualquer época da

educação básica, devido à complexidade de suas representações e procedimentos de cálculos.

O desenvolvimento do pensamento algébrico, de forma ampla, deve possibilitar

ao aluno, segundo os autores destacados nesta pesquisa, estabelecer relações, conjecturas,

além de permitir um ensino que pode ser iniciado, desde muito cedo, ainda na educação

infantil ou nos primeiros anos do ensino fundamental.

Estas pesquisas nos permitem inferir que não existe um momento exato para se

iniciar a alfabetização algébrica, mas existem atividades que podem ser trabalhadas desde o

início da escolarização, que irão facilitar a construção de futuras generalizações, ganhando

profundidade e consistência a cada etapa e ano de escolaridade.

O estudo sobre a Matemática escolar, novamente nos coloca frente à questão que

mobilizam a investigação deste trabalho e corrobora com o objeto central desta pesquisa sobre

o conhecimento docente na construção do pensamento algébrico, por meio da generalização

de padrões e regularidades.

2.2.2 O ensino de Álgebra por meio de Generalização de Padrões e Regularidades

Os padrões são a essência da matemática e a linguagem na qual é expressa — a

matemática é a ciência que analisa e sintetiza tais padrões (SANDEFUR e CAMP,

2004).

Direcionamos esta pesquisa para o estudo de Padrões e Regularidades, em uma

reflexão sobre os conhecimentos docentes mobilizados.

A partir do 6º ano, atividades que envolvem o estudo de padrões tornam-se mais

frequentes, e apresentam-se sob a forma de sequências numéricas ou de padrões de figuras

para se descobrir qual a próxima figura, o próximo número ou o próximo termo que compõe a

sequência e representam assim um padrão, em uma posição “n” qualquer.

Focalizamos na Álgebra o estudo de Padrões e Regularidades, tema desta pesquisa

para reunirmos subsídios que nos permitam responder à questão que mobiliza nesta


investigação: Quais conhecimentos os professores de matemática evidenciam ao resolverem

as atividades propostas nos Cadernos do aluno de matemática – 8º ano sobre Padrões e

Regularidades?

As pesquisas que realizamos sobre o estudo de Padrões e Regularidades, para

estimular o desenvolvimento do pensamento algébrico, nos permitiram concluir que esta é

uma preocupação antiga, o que mais uma vez mostra a importância dessa investigação, pois

apesar de ser um tema amplamente investigado, ainda permanecem as dificuldades.

Ao pesquisar sobre Padrões, encontramos que esta exploração permite ao aluno o

desenvolvimento da capacidade de raciocínio algébrico, por ser um facilitador das conexões

com os conteúdos matemáticos, pode ser estimulado desde os anos iniciais escolares.

Observando a natureza, a organização apresentada em diferentes situações, nos

permite perceber a existência de padrões e regularidades. A percepção destas regularidades

tornou-se uma forma científica que encontramos para buscar explicações ao que vemos. Na

tentativa de se encontrar uma forma de traduzir esta “ordem” de maneira sistemática, permitiu

ao estudo da Matemática o título de ciência dos padrões.

Esta forma sistematizada de representação do pensamento algébrico, tem

evidenciado por meio da literatura, as dificuldades com a aprendizagem da álgebra, por parte

dos alunos. Segundo pesquisas, muitas destas dificuldades resultam de uma aprendizagem

descontextualizada e mecanizada da álgebra. Podemos encontrar na literatura sobre este tema

investigações que indicam que se podem e devem iniciar o estudo da álgebra, de modo

intuitivo, desde os primeiros anos de escolaridade, sendo que os alunos podem ir adquirindo

as noções básicas para um estudo posterior, mais formal (BLANTON e KAPUT (2001,

2004); MASON (1996); RADFORD (2006); USISKIN (1999)), para posteriormente

aprofundar-se em conceitos algébricos que necessitam do uso de letras para representar um

valor desconhecido, como no caso das expressões literais, equações etc.

Em Devlin (1998) encontramos que a Matemática não é apenas manipulação

simbólica, segundo determinadas regras de manipulações de operações, mas sim a

compreensão de padrões. Defende ainda, que os professores devem diversificar estratégias

permitindo, aos alunos desenvolver o pensamento algébrico.


Para tratar sobre o estudo de generalização do pensamento algébrico, nos

apoiaremos nos estudos de António Borralho (2009), Isabel Vale (2011) e Luís Radford

(2006).

2.2.3. Algumas ideias sobre os processos de generalização de padrões por António

Borralho (2009), Isabel Vale (2011) e Luís Radford (2006)

Buscou-se inicialmente nas pesquisas desenvolvidas por Borralho (2009) as ideias

apresentadas sobre as atividades que envolvem o estudo de padrões e regularidades,

mobilizadoras do pensamento algébrico, como forma de dar significado aos símbolos antes de

se avançar para a aplicação de regras e outros conceitos algébricos.

Em suas palavras,

A realização de tarefas que envolvam o estudo de padrões ajuda os alunos a perceber

a “verdadeira” noção de variável que, para a maioria, é apenas vista como um

número desconhecido. Procurar relações próximas (recursivas) e distantes (estas envolvendo a generalização, modelação), entre os termos exige a mobilização de um

tipo de pensamento algébrico, mas também o promove e desenvolve (BORRALHO,

2009, s.p.).

O autor defende que o desenvolvimento do pensamento algébrico torna-se

fundamental, pois vai além da utilização prática dos conceitos matemáticos, mas permite

desenvolver a capacidade de analisar estruturas matemáticas, relações de ordem e de

equivalência, além de interpretar e resolvendo problemas em diferentes áreas do

conhecimento.

Borralho (2009), em seus estudos, é enfático em defender que

O pensamento algébrico diz respeito à simbolização (representar e analisar situações

matemáticas, usando símbolos algébricos), ao estudo de estruturas (compreender

relações e funções) e à modelação. Implica conhecer, compreender e usar os

instrumentos simbólicos para representar o problema matematicamente, aplicar

procedimentos formais para obter um resultado e poder interpretar e avaliar esse

resultado. (BORRALHO, 2009, s.p.)

Vale (2011) apresenta, em seus trabalhos, alguns autores que retratam esta forma

de pensar:

O próprio objetivo da Matemática é, em certa medida, descobrir a regularidade onde parece vingar o caos, extrair a estrutura e a invariância da desordem e da confusão.

(DAVIS e HERSH, 1995, p.167)


A pesquisadora também cita Polya (1973), que defende a construção do

pensamento matemático por meio da resolução de problemas; Arcavi (2006), que defende a

investigação de padrões como forma de aprofundamento em teoria dos números, pré-algebra,

álgebra, geometria, probabilidades e funções, também sobre o pensamento algébrico, inclui:

[...] o principal instrumento da Álgebra é os símbolos. Apesar do pensamento

algébrico e dos símbolos terem muito em comum, não significam exactamente a

mesma coisa. Pensar algébrico consiste em usar os instrumentos simbólicos para

representar o problema de forma geral, aplicar procedimentos formais para obter um

resultado, e poder interpretar esse resultado [...] ter “symbol sense” implica [...]

questionar os símbolos em busca de significados, e abandoná-los a favor de outra

representação quando eles não proporcionam esses mesmos significados (ARCAVI,

2006, p. 374).

Vale (2011) defende que o estudo de padrões deve ser utilizado como forma de

construção do pensamento matemático, por meio da resolução de problemas que envolvam a

descoberta de padrões, num processo que permita ao aluno generalizar e representar esse

conhecimento ao desenvolver competências de comunicação, conjectura, generalização,

argumentação e prova.

A compreensão do sistema de numeração, por exemplo, ajuda a criança a organizar,

comparar e ordenar números que encontra à sua volta, começando a descobrir os

padrões inerentes ao sistema de numeração. Quando identificados, estes padrões

fornecem um apoio poderoso à extensão da sequência de contagem. À medida que o

aluno desenvolve a capacidade para detectar esses padrões, vai aprofundando a sua

compreensão da ordenação e regularidade do sistema numérico e começa a usar esse

conhecimento. Os alunos, ao aprenderem as operações elementares, compreendendo

situações que podem ser modeladas pelas operações, vão simultaneamente observando e comentando padrões no sistema numérico. Esses padrões, emergindo

naturalmente do trabalho são a base não só da exploração de generalizações acerca

do número e das operações, mas também das práticas de formular, testar e justificar

essas generalizações (VALE,1991, s.p.).

Os estudos sobre a generalização de padrões, apresentados por Vale (2011),

mostram-se importantes na construção do pensamento algébrico, por oferecerem por meio da

experimentação e da investigação significados à generalização sem recorrer,

obrigatoriamente, a variáveis e a fórmulas, e por outro lado os padrões visuais/figurativos

podem ser uma ferramenta poderosa para chegar a expressões numéricas que os estudantes

compreendam e não sejam mera manipulação de símbolos, sem significado (RIVERA e

BECKER, 2005 apud VALE, 2011).

Nesta perspectiva, os Principles and Standards for School Mathematics (NCTM,

2000), defendem o estudo da Álgebra como modelação, como procura de padrões e como

estudo de estruturas permitindo ao aluno a construção do conhecimento e modos de

raciocinar, identificar relações e fazer generalizações. Neste documento, também,


encontramos que o estudo da Álgebra pode oportunizar por meio de atividades o

desenvolvimento do pensamento algébrico, para que os alunos percebam o significado dos

símbolos.

O NCTM (2000) defende a Álgebra para todos, começando a promover nos

alunos o pensar algebricamente, desde muito cedo, nos anos mais elementares, pois o

raciocínio algébrico alicerça a aprendizagem dos alunos em muitos temas matemáticos. Sobre

as atividades que propõem o uso da linguagem, para expressar sua forma de pensar para

outros oralmente ou por escrito, aprendem a ser claros, convincentes, e precisos em seu uso da

linguagem matemática. Percebem, também, que as ideias matemáticas podem ser

representadas em uma variedade de formas: imagens, materiais concretos, tabelas, gráficos,

números e letras símbolos, e assim por diante.

Ainda neste documento, encontramos sugestões para a representação das ideias

matemáticas, que devem ser consideradas fundamentais para a forma como as pessoas

entendem e usam essas ideias. Quando os alunos obtêm acesso às representações matemáticas

e às ideias que as expressam e quando podem criar representações para capturar,

matematicamente, conceitos ou relações, eles adquirem um conjunto de ferramentas que

expandem significativamente a sua capacidade de modelar e interpretar os fenômenos físicos,

sociais e matemáticos. (NCTM, 2000, p.4).

Outro pesquisador matemático no qual buscamos referências por seus trabalhos

sobre Álgebra foi Luís Radford com a Teoria Cultural da Objetivação, tendo sua base nos

estudos filosóficos Bakhtiniano e Marxista e em Vigotsky.

Em sua teoria, o autor retoma a necessidade de entender o que se constitui o saber

e o papel docente neste processo. Segundo Radford (2015) “[...] saber, conhecimento e

aprendizagem é aquilo que o sujeito produz. Da mesma maneira que o sujeito produz

pertence a ele, o que o aluno produz pertence a ele, e isso que pertence a ele é seu

conhecimento, é sua aprendizagem [...].” (RADFORD, 2015, s.p.).

A aprendizagem, segundo Radford (2015), é a tomada de consciência das

maneiras como se atualiza o saber. Seus estudos nos mostram, ainda, que o desenvolvimento

do pensamento algébrico se dá em processos de tomada de consciência da síntese, codificada

sobre números conhecidos e desconhecidos, utilizando-se as operações e os sinais de

igualdade e desigualdade de forma analítica. Podemos entender como sendo o momento em


que o aluno reflete sobre sua ação. Para que este processo possa ocorrer, é necessária a

“interação social”, amplamente mencionada por Radford (2014).

Sobre o ensino da álgebra, Radford (2012) propõe o trabalho com sistema de

significação, para que levem o aluno a refletir sobre sua ação, sugere a utilização de gestos,

ações e artefatos, cabendo ao professor, importante papel no desenvolvimento da

aprendizagem. Em Radford (2011), é apresentado um retrato de momentos da história,

resgatando a construção da linguagem algébrica, ainda nos tempos mesopotâmicos,

babilônicos, passando por diversas fases na história humana.

Neste sentido, segundo o autor, devemos valorizar a construção da linguagem

algébrica, ao ensinar de maneira que garanta, ao aluno, formas para expressar-se, para que

suas ideias não sejam desprovidas de significado. Para Radford (2011)

[...] a passagem dos números para as letras não consiste em uma simples

transposição [...] a linguagem algébrica emergiu como uma ferramenta técnica e

posteriormente evoluiu sócio culturalmente a um nível de ser considerado como um

objeto matemático. Normalmente, no currículo moderno, a linguagem algébrica

aparece desde o início como um objeto matemático em si. Levando em conta este

aspecto, é possível alguma mudança quanto à introdução da linguagem algébrica em

sala de aula. (RADFORD, 2011, p. 149)

Mais especificamente sobre o processo de generalização do pensamento algébrico,

o autor também sugere que tais estímulos ocorram ainda nos anos iniciais da educação básica,

para que sejam estimuladas formas de representação e pensamentos.

2.2.4 Categorias do Conhecimento Matemático para o Estudo de Padrões e

Regularidades

Investigar sobre os conhecimentos docentes que os professores de matemática

apresentam em atividades que utilizam o processo de generalização é o que pretendemos

realizar nesta pesquisa. Para isso utilizamos os referenciais teóricos apresentados neste

capítulo.

Considerando os subsídios teóricos apresentados nesta pesquisa e observando a

forma de apresentação realizada por Lima (2014) ao adaptar as categorias do conhecimento

matemático para o estudo de Contagem, e a forma de apresentação de suas categorias de

análises, consideramos baseados nesta pesquisa, os conceitos utilizados como estruturantes


para a construção de nosso modelo matemático, voltado ao estudo de Padrões e Regularidades

para subsidiar as análises desta pesquisa.

Para a construção das categorias de análises, estabelecemos um critério sobre os

conceitos necessários para a realização das Atividades e para o Conhecimento do Conteúdo

sobre padrões e regularidades, elencando os conhecimentos sobre Álgebra (equações e

equivalências); sobre o Conhecimento Especializado, consideramos o objeto de estudo em

questão generalização de padrões e regularidades e sobre o Conhecimento no Horizonte

matemático, o percurso a ser desenvolvido pelo conhecimento matemático no ensino

fundamental.

Para a construção das diretrizes do conhecimento pedagógico, no que se refere ao

conhecimento do conteúdo e dos estudantes, consideramos a valorização das resoluções dos

alunos, segundo Ball e seus colaboradores (2008). Da mesma forma, no conhecimento para o

ensino, observamos as explicações dos professores em como conduzir suas aulas. Por fim,

sobre o conhecimento curricular, analisamos o conhecimento de materiais e da sequência

didática apresentada.

Toda esta construção feita por nós para esta pesquisa obteve como fonte os

conceitos e objetivos apresentados no Caderno do Currículo de Matemática, como orientação

ao professor para o desenvolvimento da generalização, por meio do estudo de padrões e

regularidades e como interpretação dos estudos de Ball e seus colaboradores (2008).

Conhecimentos matemáticos para o ensino da Álgebra por meio de Padrões e

Regularidades

1) Conhecimento do conteúdo sobre padrões e regularidades

Conhecimento comum sobre Álgebra: procedimentos de resoluções de operações

algébricas como equações, equivalências, operações matemáticas.

Conhecimento especializado sobre Álgebra: traduzir e generalizar padrões

aritméticos e figurais.

Conhecimento no horizonte matemático da Álgebra: aritmética generalizada, letras

como generalizações do modelo aritmético e propriedades das operações


generalizações de padrões aritméticos (como forma de construção do pensamento

algébrico).

2) Conhecimento pedagógico sobre generalizações algébricas

Conhecimento do conteúdo e os estudantes: tomamos como referência os estudos

de Radford (2011) ao valorizar a construção da linguagem algébrica, ao ensinar de

maneira que garanta, ao aluno, formas para expressar-se, para que suas ideias não

sejam desprovidas de significado.

Conhecimento do conteúdo e o ensino da álgebra: utilização e valorização de

diferentes formas de resoluções por meio da investigação, da experimentação com

vistas apromover o desenvolvimento do pensamento algébrico e suas generalizações.

Conhecimento curricular: utilização de materiais pedagógicos diversificados e das

diretrizes curriculares que embasam este o currículo.

Em síntese

Neste capítulo, apresentamos os aportes teóricos que fundamentam essa pesquisa,

sob o aspecto do conhecimento docente, juntamente com os estudos sobre a Álgebra e a

generalização de padrões e regularidades, mais especificamente voltados ao conhecimento

matemático sobre nosso objeto de estudo: Generalização por meio de Padrões e Regularidade.

Com base nos referenciais teóricos sobre generalização algébrica apresentadas

pelos pesquisadores citados neste capítulo, construímos a estrutura de análise para os

conhecimentos docentes baseados no estudo de padrões e regularidades.

No próximo capítulo, detalharemos os procedimentos metodológicos, o perfil dos

entrevistados e as atividades que serviram como instrumento de apoio e observação do

conhecimento docente.

CAPÍTULO III

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Neste capítulo, apresentamos os procedimentos metodológicos que nortearam

nossas ações para melhor atender os objetivos de promover a reflexão sobre os saberes

docentes mobilizados frente às Situações de Aprendizagem propostas no Currículo Oficial da

SEESP13

investigando sobre o conhecimento apresentados pelos professores de matemática na

construção do processo de generalização algébrica.

3.1 PESQUISA QUALITATIVA

Tendo em vista a natureza investigativa desta pesquisa, a partir das ideias

apresentadas sobre a triangulação dos procedimentos, segundo (Araujo e Borba, 2013, p.41),

consideramos nesta pesquisa, o investigador agente responsável pela coleta de dados

apresentados por meio das gravações em áudio, protocolos de resoluções das atividades e

respostas dadas aos questionamentos feitos aos professores participantes.

[...] fazendo assim, o pesquisador, ao invés de construir suas conclusões apenas a

partir de observações, pode utilizar as entrevistas para checar algum detalhe ou para

compreender melhor algum fato ocorrido durante a observação, promovendo uma

maior credibilidade de sua pesquisa. (ARAÚJO E BORBA, 2013, p.41-42).

Trata-se de uma pesquisa qualitativa, logo os instrumentos considerados para

análise foram apresentados na forma de descrições detalhadas dos protocolos das Atividades

que serviram como registros deste estudo, objetivando a reflexão sobre o conhecimento

docente mobilizado no estudo da generalização de padrões e regularidades.

3.1.1 Fontes e métodos de recolha de dados

As fontes de dados consideradas nesta pesquisa foram as entrevista composta por

duas fases: a primeira com o objetivo de obter informações sobre a vida profissional de cada

13 Secretaria de Estado da Educação de São Paulo.

70 CAPÍTULO III Luciane Ramos Américo

um dos entrevistados, sobre tempo de experiência docente, formação acadêmica e a segunda

fase, que teve como objetivo identificar os tipos de conhecimentos que os professores

apresentam ao resolver as Atividades propostas, sobre o conhecimento pedagógico e de

conteúdo.

Na segunda fase das entrevistas foram investigados os conhecimentos que os

professores têm sobre o estudo de padrões e regularidades na construção de generalizações

algébricas. Para esta fase foram utilizadas as gravações e os registros dos protocolos de

resolução das Atividades. Utilizamos as Atividades apresentadas na Situação de

Aprendizagem 5 do Caderno do Aluno do 8º ano, volume 1 sobre o tema padrões e

regularidades para investigarmos quais conhecimentos os professores de matemática

entrevistados evidenciam ao resolverem as Atividades propostas.

Os documentos citados encontram-se anexos a este trabalho.

3.1.2 Opções e critérios de seleção dos professores

Definimos como critérios para a escolha dos docentes participantes desta

investigação professores que ministraram aulas no 7º ano do Ensino Fundamental da rede

pública estadual de São Paulo, que utilizam os Cadernos do Aluno para o ensino de

matemática, que possuem experiência profissional no magistério de pelo menos cinco (5) anos

e disponibilidade para responder as Atividades e participar da entrevista.

O convite para participação dos professores neste trabalho foi feito por mim, a

pesquisadora, e a leitura dos dados colhidos e análises foram realizadas em conjunto com a

orientadora deste trabalho Dra Barbara Bianchini.

Optamos em convidar professores de escolas diferentes para que pudéssemos

realizar as entrevistas de modo particular, visto que este momento somente poderia ocorrer no

horário de aula vaga ou de reunião pedagógica. Por este motivo, foram escolhidas cinco

escolas estaduais.

Nestas visitas, em conversa com o diretor e o coordenador pedagógico de cada

unidade escolar, foi explicado sobre a realização desta pesquisa, assim como as intenções

deste trabalho para que não houvesse nenhuma ligação com as Atividades de


acompanhamento pedagógico, realizada pela pesquisadora, como integrante de um núcleo

pedagógico que assiste a estas escolas estaduais.

Como documentos foram apresentados ao Comitê de Ética, o registro na

Plataforma Brasil, a autorização para a realização das entrevistas e o Termo de Consentimento

Livre Esclarecido que seria utilizado para cada professor participante.

Sobre os professores participantes, pedimos aos coordenadores pedagógicos que

fizessem o convite a um professor com aulas em salas de 8º ano e que pudesse participar da

coleta de dados deste trabalho.

Para a realização do “Instrumento Piloto” primeira fase das entrevistas, chamado

assim para que pudéssemos ter nesta etapa a adequação de possíveis questões importantes

para a versão final deste trabalho convidamos dois professores, o professor Pardal e a

professora Penélope (nomes fictícios escolhidos pelos próprios professores) apresentados na

tabela a seguir:

Tabela 1: Professores participantes – Instrumento Piloto

Professores participantes – Instrumento Piloto

Professores participantes Experiência profissional Particularidades

Professora Penélope

Professora de Matemática.

Efetiva.

Com 5 anos de exercício docente.

Afirma nunca ter

participado de formação

continuada sobre o

Currículo da SEESP.

Professor Pardal

Professor de Matemática e Física.

Efetivo.

Por 15 anos ministrando aulas no EF e EM.

Participou de diversas

formações continuadas e

cursos.

Exerce a função de

coordenador pedagógico.

Fonte: A pesquisadora

Para a realização da segunda e última fase desta pesquisa, convidamos três

professores que também utilizaram nomes fictícios: Coruja, Margarida e Rosinha.

Tabela 2: Professores participantes – Instrumento Definitivo

Professores participantes – Instrumento Definitivo

Professores participantes Experiência profissional Particularidades

Professor Coruja

(42anos)

Professora de Matemática e Física.

Efetiva.

Leciona há18 anos ministrando aulas no EF, EM

e Ensino Superior.

Participou de diversas formações continuadas e

cursos.

Leciona Cálculo

Diferencial e Integral no

curso superior.

Possui experiência como

Coordenador Pedagógico

Professora Margarida Professora de Matemática possui Aposentada de um cargo


(57 anos) complementação em Pedagogia e

Psicopedagogia.

Efetiva.

Leciona há 38 anos ministrando aulas no EF e

EM.

Participou de diversas formações continuadas e

cursos.

de professora de

matemática pela SEESP.

Atua no segundo cargo desde o ano 2000.

Professora Rosinha

(49anos)

Professora de Matemática.

Efetiva.

Leciona há 24 anos ministrando aulas no EF, EM

e Ensino Superior.

Trabalha também em

escola municipal.


3.1.3 As Entrevistas

Cada uma das entrevistas apresentadas nas duas fases desta pesquisa, aconteceram

em ambientes parecidos, na unidade escolar numa sala da coordenação pedagógica, no

momento das entrevistas estávamos sozinhos (eu “a pesquisadora” e o professor entrevistado)

o que favoreceu nossa conversa sem interferências.

Antes de cada entrevista explicando a cada professor que a gravação e a resolução

das Atividades seriam utilizadas como forma de registro para análise dos dados deste trabalho

de mestrado. Também foi apresentando o Termo de Consentimento Livre Esclarecido para

esclarecer o interesse desta pesquisa.

Após a leitura e assinatura do Termo iniciamos a entrevista com algumas

perguntas para obter informações sobre a vida funcional de cada professor que nos permitiram

traçar o perfil de cada entrevistado. Os questionamentos feitos, para conseguir estas

informações, foram os seguintes:

1- Quanto tempo de magistério possui?

2- Sua situação Funcional - categoria: ( ) efetivo ( ) contratado

3- Qual sua formação acadêmica/titulação?

4- Possui formação complementar?

5- Disciplina(s) que leciona/ano:

6- Leciona em quais redes de ensino?

7- Há quanto tempo leciona no atual nível de ensino?

Depois desta fase, iniciamos a segunda fase das entrevistas utilizando as

Atividades contidas na Situação de Aprendizagem presente no Caderno do Aluno

“Aritmética com Álgebra: as letras como números” presente no volume 1 do 8ºano do Ensino

Fundamental como protocolos de observação para melhor subsidiar as análises.


Investigamos indícios para que pudéssemos indentificar os conhecimentos

pedagógicos e o conhecimento matemático. Sobre estes conhecimentos detalharemos ao

explicar como foram feitas as análises utilizando os referenciais teóricos desta pesquisa como

subsídios.

No momento da entrevista foi pedido aos professores que participaram tanto do

instrumento piloto, quanto do definitivo que resolvessem as seis Atividades da Situação de

Aprendizagem 5 e explicassem como pensaram e desenvolveram cada uma das questões

propostas.

Em cada uma das entrevistas os professores envolvidos poderiam, se quisessem,

mencionar as orientações contidas no Caderno do Professor, embora este material não tenha

sido disponibilizado naquele momento, consideramos que este poderia fazer parte da rotina

dos professores e seu conteúdo ser parte de sua rotina docente. Esta forma de pensar

corrobora com a hipótese desta pesquisa de que os professores conhecem e utilizam este

material pedagógico desde 2008, ano de sua implementação.

Para melhor entendimento da Situação de Aprendizagem utilizada como apoio

para a investigação sobre os conhecimentos docentes, apresentamos uma análise das

Atividades contidas na proposta apresentada no Caderno do Professor seguida de análise da

pesquisadora.

3.2 ANÁLISE DAS ATIVIDADES DA SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 DO 8º

ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL – CADERNO DO ALUNO DA SEESP

Para a realização da segunda fase das entrevistas utilizamos como subsídio as

Atividades da Situação de Aprendizagem 5 com o tema “Aritmética com Álgebra: as letras

como números”. Escolhemos esta Situação de Aprendizagem por representar uma das maiores

queixas dos professores que participaram dos acompanhamentos pedagógicos realizados nas

escolas estaduais e das formações continuadas realizadas pelo Núcleo Pedagógico ao qual a

pesquisadora pertence.

Realizamos esta descrição sobre as Atividades propostas baseadas nas orientações

contidas no Caderno do Professor para resolução das questões e condução das aulas.


Procuramos apresentar aspecto especificamente técnico e investigativo, sem qualquer

intenção de julgamento, procurando identificar o percurso para obtenção dos objetivos

previstos.

O Caderno do Professor contém a descrição das Situações de Aprendizagens

apresentadas aos alunos como forma de Atividades para cada ano/série do ensino básico.

Figura 18: Caderno do Currículo do Professor de Matemática

Orientação geral sobre os Cadernos

Situações de Aprendizagem 10

Situação de Aprendizagem 1 – Os racionais como mostruário das frações Situação de Aprendizagem 2 – As dízimas periódicas são previsíveis...

Situação de Aprendizagem 3 – Dos googol ao angstrom, um caminho para as

potências.

Situação de Aprendizagem 4 – As potências e a memória do computador

Situação de Aprendizagem 5 – Aritmética com álgebra: as letras como números

Situação de Aprendizagem 6 – Produtos notáveis: significados geométricos

Situação de Aprendizagem 7 – Álgebra: fatoração e equações

Situação de Aprendizagem 8 – Aritmética e Geometria: expressões algébricas de

algumas ideias fundamentais

Orientações para recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema

Considerações finais

Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais Fonte: São Paulo, CCPM, 2014, p.44.

Os conteúdos matemáticos são apresentados aos alunos sob a forma de Caderno

do Aluno, contendo Situações de Aprendizagem que oferecem níveis crescentes de

dificuldades e conceitos.

[...] A riqueza dessa Atividade como instrumento didático está na busca de

representações distintas, porém equivalentes, para indicar a quantidade de bolinhas

em função do número da figura. Assim, é importante que o professor incentive seus

alunos a buscar mais de uma expressão e a mostrar a equivalência entre as expressões obtidas. A seguir, apresentamos outros exemplos de Atividades que

permitem esse tipo de exploração, bem como algumas possíveis estratégias de

soluções. (SÃO PAULO, 2014, p.45)


Figura 19: Caderno do Aluno 8º ano Ensino Fundamental

Conteúdos e temas: uso de letras representando números; operações com letras

representativas de números; expressões algébricas; propriedade distributiva da

multiplicação com relação à adição e à subtração.

Competências e habilidades: compreender o uso de letras representativas de números;

generalizar padrões em sequências por meio de expressões algébricas; reconhecer

equivalências entre expressões algébricas; realizar operações simples com polinômios.

Sugestão de estratégias: proposição de sequências com diferentes padrões para serem

analisadas por estratégias diversificadas de contagem, na busca da identificação de

equivalências; Atividades individuais e em grupo; resolução de situações-problema.

Fonte: São Paulo, CCAM, 2014, p.44.

Ao analisar as Atividades desta Situação de Aprendizagem percebemos que elas

integram um conjunto Situações de Aprendizagens que utilizam como base conceitos já

estudados no 7º ano no estudo dos números racionais, com a ideia de equivalência, para

representar na forma de “fórmulas” a escrita algébrica por meio de generalizações.

Estas Atividades são retomadas no 8º ano com regras de manipulação de símbolos

algébricos, procurando relacionar a escrita algébrica, resolução de problemas, representação

de variação de grandezas e formalização de estruturas matemáticas 14

de forma integrada

estabelecendo relações entre duas ou mais ideias da álgebra.

Esta Situação de Aprendizagem retoma o estudo de sequências de figuras com

padrões algébricos, iniciada no 8º ano, formada inicialmente pelo “Você aprendeu? ” que

propõe a investigação de regularidades por meio da contagem composto por sete Atividades

detalhadas no Caderno do Professor de Matemática.

Na Situação de Aprendizagem 5 abordam-se os padrões e as regularidades em

sequências numéricas sob o ponto de vista da diversidade de representações com

letras. A estratégia utilizada para que a diversidade de representações possa ser

trabalhada por meio da investigação dos alunos é a de associar as sequências

numéricas ao arranjo geométrico de bolinhas, arranjo este que poderá ser

identificado pelo aluno de diferentes maneiras (por linhas, colunas, reagrupando

bolinhas e completando bolinhas). Com base na diversidade de expressões com

letras que podem ser obtidas de cada uma das sequências, o professor poderá

trabalhar, por meio da ideia de equivalência, a generalização de algumas

propriedades, como a distributiva no produto, a comutativa e a associativa, iniciadas na 6a série/7º ano com os números naturais. (SÃO PAULO, 2014, p.44)

14 Dimensões da Álgebra (BRASIL, 1998, p.116) – Álgebra estrutural Exemplo: reconhecer e utilizar

propriedades algébricas como associativa, comutativa na resolução das atividades.


Quadro 1: Apresentação da Situação de Aprendizagem 5

Situação de Aprendizagem estudada

Você

Apre

ndeu

?

Pro

po

sta

de

Res

olu

ção

das

Ati

vid

ades

“Vo

cê

Ap

ren

deu

” -

CC

MA

15

Atividade 1 Usando a letra n para representar o número da

figura, o total de bolinhas pode ser representado por n + (n – 1).

Atividade 2 Agora, o número de colunas é igual ao número da figura e temos duas bolinhas em cada coluna, exceto em uma delas (última coluna), que terá

apenas uma bolinha. Se preenchermos a coluna que tem apenas uma bolinha com mais uma

bolinha, podemos calcular o total de bolinhas multiplicando o número de colunas pelo de linhas e

subtraindo a bolinha adicional ao final da conta. Usando letras, o total de bolinhas da figura n

será 2n – 1.

Atividade 3: Uma vez que as duas expressões obtidas são equivalentes, n + (n – 1) tem de ser

idêntico a 2n – 1, o que significa dizer que ambas as expressões devem ser válidas para qualquer

n. Decorre, portanto, que n + n tem de ser igual a 2n. (SÃO PAULO, 2014, p.45)

Fonte: São Paulo CCPM, 2014, p.42 - 44.

Além da proposta de resolução presentes no Caderno do Professor, apresentamos

também outra forma de resolução aos professores na formação continuada realizada pelo

Núcleo Pedagógico em 2012.

15CCAM: Caderno do Aluno


Figura 20: Proposta do NPE para a Resolução das Atividades 1, 2 e 3.



O quadro “Você Aprendeu?” inicia a Situação de Aprendizagem retomando

alguns conceitos cujo desenvolvimento baseia-se na observação de regularidades que podem

ser apresentadas pela operação de adição, multiplicativa e/ou recursiva dos acontecimentos.

A proposta de resolução apresentada neste material recorre à escrita de equações

equivalentes utilizando como base os conhecimentos relacionados aos números racionais. Tal

postura investigativa pode ser estimulada pelo professor por meio de indagações sobre as

possíveis formas de resoluções de cada Atividade.

Quadro 2: Apresentação da Sequencia Didática - Atividades 4 a 7.

Situação de Aprendizagem estudada

Vo

cê A

pre

ndeu

?

Pro

po

sta

de

Res

olu

ção d

as A

tivid

ades

“Vo

cê

Apre

ndeu

” – C

CM

A

Atividade 4 Fechando retângulos de n linhas e 3 colunas, devemos acrescentar ainda n – 1 bolinha. Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1).

Atividade 5: A fórmula, que agora seria 4n – 1 pode ser comparada com a anterior, de onde se

conclui que 3n + n tem de ser igual a 4n.

Atividade 6:

Atividade 7: Como n(n+ 2) é equivalente a n² + 2n, concluímos que n * n = n² e que n *2 = 2n.

Fonte: São Paulo CCPM, 2014, p.42-44.


[...] A riqueza dessa Atividade como instrumento didático está na busca de

representações distintas, porém equivalentes, para indicar a quantidade de bolinhas

em função do número da figura. Assim, é importante que o professor incentive seus alunos a buscar mais de uma expressão e a mostrar a equivalência entre as

expressões obtidas. A seguir, apresentamos outros exemplos de Atividades que

permitem esse tipo de exploração, bem como algumas possíveis estratégias de

soluções. (SÃO PAULO, 2014, p.45)

Figura 21: Proposta do NPE para a Resolução da Atividade 4


Figura 22: Proposta do NPE para a Resolução da Atividade 6



Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é de que o aluno tenha se

familiarizado com a possibilidade de expressão de um movimento quantitativo por

meio de uma fórmula ou de uma expressão algébrica. Recuperando a noção de equivalência tratada anteriormente, o foco é a equivalência

entre expressões com letras, que representam a generalização de determinado

padrão. Nas Atividades apresentadas, a colaboração entre Álgebra e Geometria pode

ser notada e será aprofundada no decorrer das Situações de Aprendizagem seguintes.

Consideramos que o desenvolvimento desta Situação de Aprendizagem foi

satisfatório se os alunos estiverem motivados a encontrar as expressões equivalentes

e se eles conseguirem generalizar algumas propriedades como a comutativa, a

associativa e a distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração. (SÃO

PAULO, 2014, p.53)

Considerações da pesquisadora: As Atividades 4, 5, 6 e 7 apresentam o mesmo padrão das

Atividades o que permite aos alunos utilizarem os mesmos recursos da resolução anterior para

expressar o padrão podendo também apoiar-se na ideia do pensamento geométrico, intuindo o

cálculo de área já estudado no 5º ano.

Podemos considerar estas três Atividades similares às primeiras, como forma de

oportunizar a resolução por meio de estratégias parecidas. Por apresentarem grau de

dificuldade mais elevado que as primeiras permitindo assim que os alunos iniciem o processo

de análise e discussão de estratégias de resoluções.

Embora estejamos nos baseando nos estudos de Atividades que compõem uma

Situação de Aprendizagem, o professor poderá sempre que necessário oportunizar situações

complementares, com o uso de materiais que permitam aos alunos melhor apreensão do

conhecimento.

As Atividades que compõem esta Situação de Aprendizagem apresentam-se em

níveis de dificuldades crescentes, que necessita que o professor desempenhe o papel de

mediador do processo investigativo e clareza para alcançar os objetivos descritos como as

competências e habilidades a serem desenvolvidas.

Do ponto de vista da matemática, encontramos nos estudos apresentados por Vale

(2012) que atividades sobre o estudo de padrões e regularidades que utilizam apresentação

visual permitem aos alunos o desenvolvimento de uma representação mental, importante para

o estudo de conceitos matemáticos pois perpassam por todo ensino em sua horizontalidade

como preconizam Ball e seus colaboradores (2008) nos referenciais teóricos desta pesquisa.


Na medida em que a matemática é a ciência dos padrões, ela trata da procura da

estrutura comum subjacente a coisas que em todo o resto parecem completamente

diferentes. Deste modo o uso de padrões é uma componente poderosa da atividade matemática, uma vez que a sua procura é indispensável para conjecturar e

generalizar. (VALE e PIMENTEL, 2005, p.14)

Esta forma de representação aproxima também o desenvolvimento de conceitos

geométricos, numéricos e possibilita ao generalizar a utilização de formas concretas, verbais,

numéricas e outras importantes representações algébricas.

Assim encontramos nestas atividades caracteristicas que permitem portanto um

pensar algébrico que em nossa pesquisa denota a ação generalizadora que leva ao

desenvolvimento de conceitos e propriedades matemáticas que permitem escrever este

pensamento por meio de “fórmulas”.

A função docente na condução destas atividades vem ao encontro da postura

desejada pelos idealizadores deste material curricular, de forma a permitir a discussão das

tarefas, estimular os alunos a investigar, como é sugerido nos NCTN (2000).

As discussões geradas por este tipo de tarefas proporcionam aos alunos

oportunidades para partilhar e clarificar ideias, desenvolver argumentos

convincentes sobre o porquê do funcionamento das coisas, desenvolver uma

linguagem para exprimir ideias matemáticas e aprender a partir de outras

perspectivas (NCTM, 2000 apud Vale, 2012).

Esta forma de apresentação também corrobora com os estudos de Radford et al.

(2006) ao oportunizar atividades com padrões numéricos em progressão aritmética

representados por uma sequência com figuras, ou seja, um padrão figurativo-numérico

permite aos alunos o desenvolvimento da “visão” da generalidade.

Sobre esta generalização estes autores chamam de “objetificação”, um processo de

ação, criação, imaginação e interpretação social para compreensão gradual de algo.

Nesse contexto, a objetificação em generalização de padrões consiste em observar

propriedades matemáticas gerais não diretamente visíveis em um caso particular (Radford et

al., 2006).

A seguir apresentamos as análises das entrevistas e dos protocolos subsidiadas

pelos referenciais teóricos e pelos procedimentos metodológicos evidenciados neste capítulo.

CAPÍTULO IV

ANÁLISE DAS ENTREVISTAS E DOS PROTOCOLOS

Neste Capítulo, apresentamos os resultados dos dados colhidos nas entrevistas

para análise à luz dos referenciais teóricos que norteiam este estudo.

Os meios utilizados para obtenção dos dados que subsidiaram estas análises foram

colhidos por meio de registros escritos das resoluções das Atividades propostas (protocolos),

gravações em áudio e por questionamentos realizados durante o processo de investigação.

4.1 OS PROFESSORES ENVOLVIDOS NA PRIMEIRA FASE DESTA PESQUISA –

INSTRUMENTO PILOTO

Esta investigação tem como objetivos:

Investigar o conhecimento dos Professores sobre os estudos de generalizações de

padrões e regularidades.

Para responder tal questão, procuramos analisar como o professor mobiliza seu

conhecimento ao ensinar generalização de padrões e regularidades; como entende a

generalização algébrica proposta nas Atividades apresentadas, e investigar como o professor

utiliza, ou não, as propostas apresentadas no Caderno do Professor de Matemática da SEESP.

Buscamos nestas entrevistas indícios que nos permitissem categorizar os

conhecimentos docentes à medida que os Professores nos relatavam como estavam pensando

em resolver as Atividades. Para isso nos apoiamos nos estudos de Shulman (1986), Deborah

Ball e seus colaboradores (2008).

Nestas categorias de conhecimentos buscamos indícios de conhecimentos

matemáticos apresentados nos referenciais desta pesquisa necessários ao ensino da Álgebra

por meio de generalização algébrica, assim como as reflexões promovidas por Bernard

Charlot (2005) sobre o saber docente apresentadas no Capítulo II desta pesquisa.

83 CAPÍTULO IV Luciane Ramos Américo

Muito embora possamos encontrar nas palavras de Charlot (2000) que não

devemos estabelecer categorias estanques e delimitadas para o saber, pois elas podem se

tornar amplas e ambíguas.

No aspecto “Aprender x Ensinar”, perguntamos aos Professores como entendem o

conhecimento matemático do professore o ensino da Matemática, relacionando possíveis

semelhanças e diferenças entre eles. Durante a realização das Atividades também

perguntamos como eles se preparam para ministrar suas aulas e como introduzem um novo

tema matemático.

Estas questões foram sendo feitas à medida que os professores resolviam as

Atividades propostas para que nos contassem como se preparavam para suas aulas, se

resolviam as Atividades, se entendiam o encadeamento proposto nos Cadernos, reconhecendo

as etapas de uma sequencia didática, princípio básico do Currículo desta Secretaria de

Educação de São Paulo. Desta forma também poderiam identificar o objetivo de cada

Atividade apresentada, dados que nos apresentam indícios dos conhecimentos sobre o

Currículo.

Para a realização deste instrumento piloto, convidamos dois Professores de

Matemática que nesta investigação serão tratados pelos nomes fictícios de Penélope e Pardal,

escolhidos pelos próprios Professores. A professora Penélope, é iniciante na carreira do

magistério e o professor Pardal, com experiência de, pelo menos, quinze anos ministrando

aulas de Matemática e física, ambos da rede pública estadual de São Paulo e efetivos.

4.1.1 Descrição da Entrevista – Professora Penélope

Professora de Matemática, com cinco anos de exercício docente, efetiva e que

afirma não ter participado de nenhuma formação continuada realizada devido ao pouco tempo

de experiência Profissional.

Ao iniciar esta conversa com a professora Penélope, foi pedido que explicasse

como resolveria as Atividades da Situação de Aprendizagem 5 do Caderno do Aluno do 8º

ano do Ensino Fundamental.


Figura 23: Resolução apresentada pela Profª Penélope - Atividade 1

Fonte: Protocolo de resolução da Atividade 1.

Eu tenho uma posição e eu tenho que formar, criar uma fórmula que expresse isso

daqui, o que eu tenho dificuldade é de fazer o aluno entender isso [...] tem todo um procedimento, como fazer entender. (Trecho da entrevista com a Profª Penélope).

Pesquisadora: Se você perguntasse a seus alunos como ele resolveria tal questão?

Qual seria a resposta?

[...] ai vai ele acha uma situação a 1+1=2, na posição 2 tem 3 bolinhas 2+1=3, mas

quando ele for fazer a mesma situação na posição 3 não vai bater porque 3+1 não é 5

então, eu tenho dificuldade. (Trecho da entrevista com a Profª Penélope).

Pesquisadora: Levando em consideração o que foi solicitado na Atividade, “Você

já tentou pensar numa estratégia que o leve a fazer uma investigação sobre este processo de

construção? Encontre uma fórmula”.

Então o que esta acontecendo daqui pra cá (P1 para P2, da P2 para a P3...) então ele

pode falar esta aumentando de 2 em 2, tudo bem, só que ai eu falo pra ele eu quero

saber quantas bolinhas terá em tal posição. Com este pensamento ele não vai

conseguir a não ser que ele vá de 1 em 1 até chegar lá. (Trecho da entrevista com a

Profª Penélope).

Neste início de conversa a professora Penélope confessou não seguir a sequência

didática devido à falta de entendimento desta estrutura curricular, por isso observa as

Atividades do Caderno do Aluno que serão “ensinadas”, prepara aulas que subsidiem este

saber para depois usar os Cadernos como Atividades complementares.

Em continuidade a esta investigação sobre o saber docente, foi questionada sobre

como pensou para responder a questão. As respostas obtidas na questão 1 foram testadas na

questão 2, numa verificação da propriedade algébrica (associativa, comutativa e distributiva

da multiplicação em relação à adição) e a relação de equivalência citadas no Caderno do

Professor.


Figura 24: Resolução apresentada pela Profª Penélope - Atividade 2


Um aspecto que me chamou a atenção foi o questionamento sobre o que seriam

propriedades algébricas e se os alunos teriam este conhecimento.

Após resolução das Atividades 1, 2 e 3, foi iniciada a segunda etapa desta

investigação, os conhecimentos pedagógicos para o ensino da Matemática. Segundo a

professora Penélope, ela ensinava os conceitos básicos trazidos de outros materiais didáticos,

“ensinava como resolver” as Atividades.

Eu respondia as questões do Caderno do Aluno, e buscava em livros didáticos uma

introdução a este assunto. (Trecho da entrevista com a Profª Penélope).

Também foi observado que em momento algum a professora Penélope, buscou no

Caderno do Professor orientações de como conduzir o desenvolvimento das Atividades.

A condução dessa e das demais entrevistas que compõem essa pesquisa foram

realizada por essa pesquisadora. Por esse motivo, percebi que não poderia tornar esta

investigação apenas levantamento de dados sobre os conhecimentos docentes. Embora a

professora apresentasse domínio sobre os conhecimentos específicos da Matemática, começou

a incomodá-la a falta de conhecimentos didáticos para explicar-me como conduziria tais

Atividades.

Como pesquisadora estava numa situação de conflito, aproveitar o momento e

comprometer este Instrumento Piloto ou prosseguir com a entrevista. Esta observação também

deixou-me muito desconfortável e optei por aproveitar a oportunidade de orientação

pedagógica desta professora.

Continuamos a resolução das Atividades 4 e 5 que seguiram o mesmo modelo das

Atividades 1 e 2 o que nos permitiu concluir que estas Atividades serviriam como

levantamento de conhecimentos prévios dos alunos.


Figura 25: Resolução apresentada pela Profª Penélope - Atividades 4 e 5

Fonte: Protocolo de resolução da Atividades 4 e 5.

Nessas Atividades, além das propriedades algébricas propostas no enunciado do

problema, a professora entrevistada ressaltou que embora sejam parecidas elas possuem níveis

de dificuldade maiores em cada questão.

Figura 26: Resolução apresentada pela Profª Penélope - Atividades 6 e 7

Fonte: Protocolo de resolução da Atividades 6 e 7


Depois de responder a estas Atividades, a professora Penélope conclui que os

alunos vão percebendo que elas embora sejam parecidas, vão ficando cada vez mais difíceis.

Sob esta observação perguntei se ela achava necessário propor mais atividades

como estas que permitam o desenvolvimento deste processo de investigação antes de propor a

resolução da lição de casa.

[...] sim, porque esta Atividade é mais complexa para que eles resolvam sozinhos.

Seria importante propor mais Atividades como estas. (Trecho da entrevista com a

Profª Penélope)

Como entrevistadora e também pesquisadora pude perceber que depois da análise

proposta sob a forma de condução das Atividades 1 e 2, a Professora Penélope mostrou-se

mais receptiva, percebendo a importância de se conhecer o caminho percorrido para o

desenvolvimento do conhecimento, o que se passou e o que virá depois de cada Situação de

Aprendizagem.

4.1.2 Descrição da Entrevista – Professor Pardal

O segundo entrevistado foi o professor Pardal, traz como experiência docente,

quinze anos ministrando aulas no EF e EM. Participou de diversas formações continuadas e

também de quatro cursos de formação continuada promovidos pela SEESP, em 2010.

Ao iniciar esta entrevista novamente expliquei os procedimentos que seriam

adotados, numa análise pontual de cada Atividade apresentada na Situação de Aprendizagem

5 do Caderno do Aluno e do Professor do 8º ano volume 1. A primeira coisa que o professor

Pardal colocou foi à necessidade de se fazer a leitura das orientações contidas no Caderno do

Professor de Matemática para sabermos o direcionamento e os objetivos desta Situação de

Aprendizagem.

Como sua maior atuação docente estava na área de Física, relatou que possui

dificuldades organizar uma forma de pensar para responder este tipo de Atividade.

Em provas de concurso consigo chegar ao resultado testando as fórmulas. [...] sei

que devo propor um processo de construção, mas tenho dificuldades em construir

esta linha de raciocínio. (Trecho da entrevista com o Prof. Pardal)

Sobre a resolução das Atividades o professor Pardal completa

[...] o Caderno do professor traz a ideia de uma leitura linear, lendo por linha e não

pelo conjunto de quantidade de bolinhas. Na linha do número 1 tem uma bolinha, na


linha do número 2 tem 2 bolinhas na primeira linha e na linha de baixo vem o

acréscimo de uma bolinha,... Aqui aumentou 2, aqui 3... O aumento é sempre o

número antecessor a ele... Ficaria n que é numero correspondente à posição na

primeira linha e na segunda linha é a quantidade de acréscimo n, ou seja, n + n - 1. (Trecho da entrevista com o Prof. Pardal)

Figura 27: Resolução apresentada pelo Prof. Pardal - Atividades 1 e 2

Fonte: Protocolo de resolução da Atividades 1 e 2.

Quando perguntei sobre como explicaria esta Atividade, o professor Pardal tentou

aproximar sua forma de conduzir a explicação das orientações contidas no Caderno do

Professor, embora não se sentisse muito seguro.

Para responder à questão dois perguntei: E se eu fosse um aluno e respondesse

que pensei em completar a bolinha que falta em cada figura, como você me orientaria?

[...] neste caso você não apresenta uma leitura linear e sim uma leitura de

completamento de figura, uma configuração retangular... Neste caso poderia pensar

em o dobro menos um, seria 2n-1... O importante é apresentar as diversas

possibilidades de leitura. (Trecho da entrevista com o Prof. Pardal)

Ao retomarmos as duas fórmulas, o professor Pardal utilizou-se de termos como

“Campo Multiplicativo e Campo Aditivo”. E ressaltou que a primeira ideia que os alunos

apresentam é sempre a ideia do campo aditivo, pensando na questão de agrupamento.

Para responder à questão três assim como a professora Penélope, ele questionou-

me sobre a ideia de equivalência, pois não lembrava se a Atividade da balança na qual os

alunos trabalham com equações já teria sido desenvolvida com estes alunos para que

pudessem resolver equações.


Novamente ele menciona as recomendações pedagógicas contidas no Caderno do

Professor e ressaltou a importância de se explicar que equivalência não quer dizer igual, mas

que escritas diferentes representam a mesma coisa.

Figura 28: Resolução apresentada pelo Prof. Pardal - Atividade 3


[...] para resolver as Atividades 4 e 5 o aluno irá observar o que fizemos nas Atividades 1, 2 e 3,... Primeiro a leitura linear, na primeira linha ele sempre tem 3

bolinhas, nas outras linha ele sempre tem 4 bolinhas e em cada figura ele tem o

número de linhas igual ao número apresentado (número da posição)... Você tem um

padrão ele sempre aumenta o número de linhas em 4 bolinhas...

.4*)1(3,...443,43,3 321 nPPPP nNa leitura utilizando o

pensamento multiplicativo completando 1 bolinha,

.14*,...14*3,14*2,3 321 nPPPP nO que atende a propriedade

algébrica distributiva... (Trecho da entrevista com Prof. Pardal)


Fonte: Protocolo de resolução das Atividades 4 e 5.


À medida que as Atividades foram sendo desenvolvidas evidenciou-se o

desconforto na resolução e nas explicações, confirmando a fragilidade no saber matemático,

chegando a pensar em fórmulas de progressões aritméticas e geométricas mesmo sabendo que

este conhecimento ainda não é de domínio dos alunos do 8º ano do Ensino Fundamental.


Fonte: Protocolo de resolução das Atividades 6 e 7

[...] aqui como entrou a ideia de linha e coluna podemos pensar na ideia de área Pn=

n x (n+2). [...] na segunda possibilidade de fórmula poderia ser pensando em

quadrados perfeitos teríamos um quadrado e duas colunas logo Pn = nxn + 2xn ou

nnPn 2² . (Trecho da entrevista com o Prof. Pardal)

4.2 ANÁLISES DAS ENTREVISTAS DO INSTRUMENTO PILOTO

Para a realização destas análises tomamos como base as categorias de

conhecimentos de Shulman (1986) apresentadas neste trabalho ampliadas pelos estudos de

Ball e seus colaboradores (2008) numa releitura adaptada aos conhecimentos matemáticos

para o ensino da Álgebra por meio da Generalização de Padrões Algébricos já apresentados

no Capítulo II desta pesquisa.


Conhecimentos matemáticos para o ensino da Álgebra por meio da Generalização de

Padrões Algébricos – Professora Penélope

1) Conhecimento do conteúdo sobre generalização algébrica



Ao analisarmos o Conhecimento comum sobre Álgebra percebemos que a

professora Penélope, durante a realização das Atividades propostas mostrou ter domínio de

conceitos matemáticos.

Shulman (1986) diferencia o conhecimento docente para o ensino, ressaltando que

saber Matemática para ser um matemático é diferente de saber Matemática para ser professor

de Matemática.



Sobre os conhecimentos especializados, necessários à ação docente para que

possam orientar os alunos ao perceberem resoluções incorretas e contribuir para a

aprendizagem percebe-se que a professora Penélope em suas colocações apresenta

dificuldades em intervir nos erros dos alunos.

Então o que esta acontecendo daqui pra cá (P1 para P2, da P2 para a P3...) então ele

pode falar esta aumentando de 2 em 2, tudo bem, só que ai eu falo pra ele eu quero saber quantas bolinhas terá em tal posição. Com este pensamento ele não vai

conseguir a não ser que ele vá de 1 em 1 até chegar lá.

Como eu falei ele vai perceber que vai de 2 em 2 então ele vai contar de um em 1...

ele vai notar esta coincidência... ele vai colocar a ideia do mais 2, mas ai eu vou

jogar na cabeça dele que eu quero saber o valor da posição 15, por exemplo, ele teria

que saber o valor da posição anterior... ele iria contando da posição até chegar no 15.

(Trechos da entrevista com a Profª Penélope, na resolução da Atividade 1).

Este comportamento corrobora com o apresentado nos estudos de Ball (2001) na

fragilidade apresentada pelos docentes, em lidar como o conhecimento de Matemática é

necessário especificamente à tarefa de ensinar. Em Charlot (2005), encontramos que o

professor deve ser dotado de competência que lhe permita gerir tensões e construir as

mediações entre práticas e saberes.





algébrico).

Na Atividade 2 nos chamou a atenção o questionamento sobre o que seriam

propriedades algébricas e se os alunos teriam este conhecimento. Este questionamento nos

mostra que esta professora parece não ter conhecimento de todos os conceitos desenvolvidos

nos Cadernos, apresentando assim uma visão parcial do processo de construção do

conhecimento horizontalizado da Álgebra.

A necessidade desta informação relacionada aos conteúdos abordados em outros

Cadernos e até mesmo em outros anos nos permite concluir que pode existir desconhecimento

de algumas partes deste currículo praticado pela professora Penélope.

Esta postura apresenta desconhecimento sobre a dimensão Aritmética

Generalizada apresentada nos PCN (BRASIL, 1998, p.116) na qual estas Atividades buscam

construir a linguagem algébrica para descrever estes padrões de forma simbólica sempre com

a intenção de traduzir e generalizar.

2) Conhecimento pedagógico sobre generalização algébrica

Conhecimento do conteúdo e os estudantes: valorização da construção da linguagem

algébrica, ao ensinar de maneira que garanta, ao aluno, formas para expressar-se, para

que suas ideias não sejam desprovidas de significado.

Observamos nas respostas apresentadas pela professora referentes ao

conhecimento do conteúdo e os estudantes, por meio dos protocolos que desconhece as

estratégias apresentadas pelo material curricular e também não apresentou suas próprias

estratégias de resolução para as atividades.

Eu tenho uma posição e eu tenho que formar, criar uma fórmula que expresse isso daqui, o que eu tenho dificuldade é de fazer o aluno entender isso [...] tem todo um

procedimento, como o fazer entender. (Trecho da entrevista com a Profª Penélope).

Tomamos como referência os estudos de Radford (2011) ao valorizar a construção

da linguagem algébrica, na qual o ensino deve oportunizar maneiras que garantam ao aluno,

formas para expressar-se, para que suas ideias não sejam desprovidas de significado.





A análise do áudio nos permitiu perceber que o conhecimento do conteúdo e o

ensino da álgebra também eram falhos, pois em suas aulas não valorizava diferentes formas

de resoluções, nem tão pouco utilizava a investigação com vistas a promover o

desenvolvimento do pensamento algébrico e suas generalizações.

Segundo Borralho (2009), o processo investigativo do pensamento algébrico deve

oportunizar procedimentos formais para obter um resultado e poder interpretar e avaliar essa

Atividade. Este processo segundo Vale (2011) deve permitir ao aluno generalizar e

representar esse conhecimento ao desenvolver competências de comunicação, conjectura,

generalização, argumentação e prova.



Percebemos que, quanto ao conhecimento curricular, a professora Penélope

também apresenta fragilidades, ao considerar seus alunos como receptores de informações.

Segundo ela, os conceitos básicos utilizados em suas aulas eram trazidos de outros materiais

didáticos, “ensinava como resolver” as Atividades. Neste relato percebe-se que os alunos

esperavam que ela os ensinasse como fazer as Atividades.

Eu respondia as questões do Caderno do Aluno, e buscava em livros didáticos uma introdução a este assunto. (Trecho da entrevista com a Profª Penélope).


Padrões Algébricos – Professor Pardal

1) Conhecimento do conteúdo sobre generalização de padrões e regularidades




O professor apresenta domínio dos procedimentos e clareza na condução de suas

explicações.



Ao analisarmos os protocolos das Atividades do professor Pardal, percebemos que

apresenta domínio de conceitos matemáticos, e mostra-se preocupado com o conhecimento

especializado do conteúdo algébrico ao procurar aproximar suas explicações dos saberes dos

alunos para que possa auxiliar no desenvolvimento da aprendizagem.




algébrico).

Embora o professor Pardal apresentasse maior familiaridade com as Atividades do

Caderno de Física, pudemos perceber que conhece o currículo de Matemática em sua

horizontalidade identificando conceitos já estudados e outros que ainda serão desenvolvidos.

Fez uso de termos como “Campo Multiplicativo e Campo Aditivo” o que nos oferece indícios

de conhecimentos teóricos da matemática sobre a teoria de dos Campos Conceituais de

Vergnaud.

2) Conhecimento pedagógico sobre generalização algébrica

Conhecimento do conteúdo e os estudantes: valorização a construção da linguagem

algébrica, ao ensinar de maneira que garanta, ao aluno, formas para expressar-se, para

que suas ideias não sejam desprovidas de significado.

Embora o professor admita ter dificuldades na realização de Atividades que

envolvem o ensino de padrões e regularidades, percebemos que para melhor condução de suas

aulas baseia-se nas orientações contidas no Caderno do Professor.

Em provas de concurso consigo chegar ao resultado testando as fórmulas. [...] sei

que devo propor um processo de construção, mas tenho dificuldades em construir

esta linha de raciocínio. (Trecho da entrevista com o Prof. Pardal)





Sobre o conhecimento do conteúdo e do ensino, percebemos que respeita as

diferentes formas de expressão do pensamento.

[...] neste caso você não apresenta uma leitura linear e sim uma leitura de

completamento de figura, uma configuração retangular... Neste caso poderia pensar

em o dobro menos um, seria 2n-1[...]. O importante é apresentar as diversas

possibilidades de leitura. (Trecho da entrevista com o Prof. Pardal)



Também pudemos perceber que reconhece a ideia apresentada em cada conjunto

de Atividades, identificando facilmente o levantamento de conhecimentos prévios, a

problematização e as Atividades de sistematização. Estas colocações nos permitem observar

que o Professor apresenta conhecimento do currículo apresentado nos Cadernos dos Alunos e

de seus fundamentos.

A realização deste Instrumento Piloto e as análises decorrentes do levantamento

de dados destas duas entrevistas serviram como balizadoras para elaboração do Instrumento

Definitivo desta pesquisa.

Para o instrumento definitivo empregamos as mesmas atividades contidas no

Caderno do Aluno utilizadas no instrumento piloto. Priorizamos para a coleta de dados o

instrumento definitivo professores que possuíssem experiência profissional docente acima de

dez anos e efetivos, tendo participado de formação continuada sobre a utilização deste

material curricular. As adequações ocorreram na escolha dos sujeitos desta pesquisa e na

aplicação das Atividades, que aconteceram com a mínima interferência desta pesquisadora.


4.3 OS PROFESSORES ENVOLVIDOS NO INSTRUMENTO DEFINITIVO DESTA

PESQUISA

Para a realização deste Instrumento Definitivo contamos com a participação de

três Professores de Matemática efetivos que lecionam em escolas públicas estaduais de São

Paulo.

4.3.1 Descrição das entrevistas

– Professora Rosinha

Professora de Matemática efetiva leciona há vinte e quatro anos na rede pública

estadual e municipal de São Paulo. Participou de todo o processo de implementação do

Currículo Oficial da SEESP e utiliza os Cadernos dos Alunos em suas aulas.

Foi explicado à professora que nossa intenção era observar como ela entende e

resolve cada questão que compõe esta Situação de Aprendizagem, e quais conhecimentos

matemáticos podem ser desenvolvidos por meio destas Atividades.

Na resolução das Atividades propostas obtivemos o seguinte relato sobre cada

questão:

Figura 31: Resolução apresentada pela Profª Rosinha - Atividade 1

Fonte: Protocolo de resolução da Atividade 1

Eu vejo que esta Atividade permite ao aluno trabalhar não somente a contagem das

bolinhas mas a fórmula, porque esta é uma série, 8º ano onde os alunos irão

trabalhar com incognitas, equações que já aprenderam anteriormente no 7º ano, só

que agora ampliarão este conhecimento com o estudo de polinômios. Estas

Atividades são uma preparação para se trabalhar com adição, subtração, as

operações com letras. (Trecho da entrevista com a Profª Rosinha).


Para facilitar a investigação, a professora também utiliza materiais manipuláveis

como tampinhas, bolinhas que possam ser reagrupados pelos alunos no processo de

investigação.

Respeito à forma de pensar deles “alunos” mesmo que ela esteja errada [...] a gente

põe aquela resposta na lousa e vamos verificar a validade, se der errado então tem

alguma coisa a mais ou a menos e ai eles mesmos vão tentando chegar [...]. Mas

quando percebo que a discussão não avança ai eu vou dando o direcionamento na

forma de perguntas.” (Trecho da entrevista com a Profª Rosinha).

A professora segue em sua explicação:

Então como achar esta equação? Veja todo número par é multiplo de 2 logo se n=1

então 2X1=2, se n=2 então 2X2=4 como encontrar 3, 2n-1. É importante que o aluno

perceba que esta fórmula corresponde a qualquer termo desta sequência, mesmo que

na primeira Atividade o professor tenha que fazer junto, induzindo-o a pensar e

ajuda-lo a construir este caminho. Na Atividade 2 o aluno já percebeu esta fórmula

logo temos n+n -1 ou desmembrando 2n-1. (Trecho da entrevista com a Profª

Rosinha).



Na Atividade 3 as propriedades algébricas eu mostro que uma coisa é igual a outra,

então 2n-1 = n+n-1 que eu estaria trabalhando as propriedades associativa,

comutativa. [...] Se você escrever 3+5=8 que outra maneira eu poderia escrever esse

número para que de 8? 5+3=8. Esta é uma relação de equivalência porque embora estejam escritos de forma diferente 2n-1 = n+n-1, podemos ter 2 respostas ou mais

para a mesma questão. O aluno ainda não tem domínio sobre os termos algébricos,

daí a importância destas Atividades. Estas letras substituem aquele quadradinho

usado no ciclo I, o número desconhecido. Esta Atividade retoma conceitos do 6º e

do 7º ano é um momento de construção do pensamento. (Trecho da entrevista da

Profª Rosinha).




Para a Atividade 4 usamos o mesmo procedimento que fizemos. Faço as contagens

das bolinhas e ai eles utilizam os caminhos do exercício anterior, a apostila faz isso ela utiliza o que voce fez no anterior e faz o proximo um pouquinho mais elaborado.

(Trecho da entrevista da Profª Rosinha, 2015).

Quando perguntado sobre sua opinião a respeito das Atividades propostas e a

disposição delas, se tiraria ou alteraria a sequência apresentada nos Cadernos do Aluno ela

respondeu:

Eu acho interessante porque o aluno é sempre desafiado, se todas as Atividades

fossem iguais não desenvolveria o pensamento [...]. Mas se fizer a primeira e pular para outra sem seguir a sequencia pode dificultar muito. (Trecho da entrevista com a

Profª Rosinha).

Quanto às possíveis dificuldades encontradas na construção do conhecimento com

os alunos a professora relata que possui duas classe bem diferentes “uma classe eu consigo

avançar mais rapidamente na outra eu preciso me preparar melhor para conseguir atingir os

alunos com maior dificuldade de aprendizagem[...] busco apoio em exercícios similares e em

outra aula eu retomo depois de ter pesquisado um pouco mais como eu posso ensinar.

(Trecho da entrevista da Profª Rosinha).

Figura 34: Resolução apresentada pela Profª Rosinha - Atividades 6 e 7

Fonte: São Paulo CCPM, 2014, p.44.



Essa generalização é importante porque, o faz perceber que embora escrita seja a

mesma coisa. Essas Atividades permitem ao professor relacionar com Atividades do

6º ano, do 7º ano e até do ciclo I quando se pretendia descobrir o valor do

quadradinho. (Trecho da entrevista com a Profª Rosinha).



– Professora Margarida

Professora de Matemática efetiva leciona há trinta e oito anos na rede pública

estadual e municipal de São Paulo. Também possui complementação em Pedagogia e

Psicopedagogia. Participou de todo o processo de implementação do Currículo Oficial da

SEESP e utiliza os Cadernos dos Alunos em suas aulas. Aposentada como professora de

Matemática desta secretaria atua no segundo cargo desde o ano 2000, sem interrupção.

Depois da conversa inicial sobre os aspectos e objetivos desta pesquisa foram

apresentadas à professora Margarida as Atividades utilizadas como protocolos de análise para

este estudo. Ela iniciou sua explicação:

[...] se eu pensar em um número “n” o próximo número será n+2. (Trecho da entrevista com a Profª Margarida).


Figura 36: Resolução apresentada pelo Profª Margarida - Atividade 1


[...] pensei primeiro em quantidade... (Trecho da entrevista com a Profª Margarida).

Para a Atividade 2 a professora propôs a resolução por meio da fórmula de

progressão reconhecendo a razão e a posição inicial de cada sequência.

Figura 37: Resolução apresentada pela Profª Margarida - Atividade 2



[...] pode ser P.A16? Porque a razão (r=2), a quantidade que aumenta de um para o

outro é sempre 2. (Trecho da entrevista com a Profª Margarida).

Neste desenvolvimento seguido deste questionamento percebe-se que mesmo

utilizando os termos de uma Progressão Aritmética – PA, a professora não conseguiu

estabelecer uma generalização para esta representação.

Quando questionada sobre a condução de suas aulas, a professora relatou que as

prepara e todas as Atividades que serão propostas, incluem Atividades diversificadas para

melhor atender aos “diferentes tipos de dificuldades que possam surgir” e utiliza os Cadernos

dos Alunos como complemento aos conteúdos, pois ela os considera falhos em sua

apresentação.

Quando foi pedido que contasse como iniciaria essa Situação de Aprendizagem a

professora disse que verifica qual será o conteúdo abordado no Caderno do Aluno e busca em

seus materiais de apoio (livros didáticos e apostilas) uma forma de melhor abordar o conteúdo

para depois utilizar as Atividades propostas. Também disse que gosta de trabalhar com

tabuleiros de dama, xadrez, jogos e Atividades lúdicas.

Foi perguntado como entende a relação entre o conhecimento docente e o saber a

ser ensinado aos alunos, ela nos contou que utiliza “cartelinhas”, figuras, para ensinar:

[...] porque se der para ele fazer ele não faz ele não sabe. [...] alguns entendem, mas

outros não. [...]Vou buscar esta Atividade nos meus livros. A dificuldade aumenta quando se precisa trabalhar com tabuada. Eles não trabalham com a mente, acham

que não é importante. (Trecho da entrevista com a Profª Margarida).

Pensando na proposta apresentada nestas Atividades, foi questionado sobre as

observações que a professora teria sobre a construção destas generalizações, como entende

este processo?

Ela explicou que é importante, mas prefere trabalhar com a “visualização”,

tabuleiros para construir sequências, explica que quando pensamos em uma representação

generalizada podemos pensar em uma letra para representar esta ideia. Para isso o livro

didático oferece um saber pronto e o aluno precisa entender isso. Neste sentido o professor

deve oportunizar estas atividades para preparar os alunos.

Para a professora representação algébrica significa entender que podemos utilizar

qualquer letra do alfabeto para expressar uma ideia generalizada.

16Progressão Aritmética.


Se eu tenho uma equação do 2º grau utilizando x e lá no ensino médio ele vai usar

outra letra ele não entende esta representação e diz isso o professor não ensinou.

(Trecho da entrevista com a Profª Margarida).

O tempo destinado à entrevista passou e a professora precisou retornar a suas

aulas não conseguindo terminar a Atividade 2.

Interrompemos a resolução deste protocolo com apenas duas Atividades, pois

consideramos que qualquer intervenção por parte da pesquisadora poderia comprometer as

respostas apresentadas. Entendemos também que estes dados seriam suficientes para

investigar os conhecimentos docentes desta nesta pesquisa.

– Professor Coruja

Professor de Matemática efetivo leciona há dezoito anos na rede pública estadual

e municipal de São Paulo possui complementação pedagógica em Física e leciona há nove

anos nesta unidade escolar. Também possui experiência docente em curso superior. Participou

de todo o processo de implementação do Currículo Oficial da SEESP e utiliza os Cadernos

dos Alunos em suas aulas.

Após a explicação apresentada a todos os entrevistados sobre o objetivo desta

pesquisa, iniciamos as Atividades.

Para a resolução da Atividade 1, o professor Coruja propôs a observação

horizontal das sequências de bolinhas formando linhas “Fui pela observação direta n, n+2,

pensando em linha” assim a cada termo aumentamos 2 bolinhas.

Figura 38: Resolução apresentada pelo Prof. Coruja - Atividade 1


Se eu tenho o segundo elemento n=2, aí eu tenho 2+1 então teremos n+ (n-1). Para o terceiro elemento n=3 teremos 4 +3, ou seja, 3+ 3-1. (Trecho da entrevista

com o Prof. Coruja).


Para as Atividades 2 e 3 o professor rapidamente escreveu 2n-1 e usou o termo

como configuração retangular, investigação por meio da experimentação até a obtenção da

generalização. Ao relacionar as diferentes escritas das Atividades 1 e 2, apresentou na

Atividade 3 a seguinte resolução.



[...] embora as fórmulas tenham sido escritas de maneiras diferentes representam a

mesma coisa. (Trecho da entrevista com o Prof. Coruja).

Ao ser perguntado como era apresentada esta ideia de construção como

generalização escrita por meio de fórmulas, o Prof. Coruja explicou que as Atividades

desenvolvidas até esta Situação de Aprendizagem eram mais voltadas à aritmética.

Sobre a generalização: para a observação dos elementos (bolinhas) é fundamental, ampliar o campo numérico de forma significativa não é simples. Porque com

números e com expressões ele (aluno) não tem essa percepção exata da construção.

Eu quando resolvo esse tipo de Atividade primeiro procuro observar o conjunto

depois relacionar com números. (Trecho da entrevista do Prof. Coruja, 2015).

Nas palavras do Professor, a Álgebra permite a observação tanto da parte

numérica como da representação geométrica.

[...] passar por este processo de construção, dar significado a esta representação

priorizando a representação (generalização do pensamento algébrico). Estas

Atividades ajudam a construir o significado da expressão algébrica. Antes os alunos

sabiam resolver o cálculo de maneira mecânica, contudo não sabia pra que servia tudo aquilo, uma Matemática sem significado. (Trecho da entrevista com o Prof.

Coruja).

O currículo segundo o professor permite a evolução de uma escrita numérica para

uma escrita generalizada e algébrica. Esta construção é importante porque se o aluno for

direto para o cálculo das expressões ele terá dificuldades em relacionar as representações. Em

suas palavras “o aluno percebe que esta resolução representa algo. Isso mostra que existe

uma relação de área que ele pode utilizar”. (Trecho da entrevista com o Prof. Coruja).


Neste aspecto como você entende a relação existente entre o conhecimento do

professor e o saber ensinado. Para esta pergunta ele respondeu que aprendeu na prática,

quando começou a lecionar no ensino fundamental e sentiu a dificuldade na construção do

conhecimento. Afirmou que os alunos sabiam a regra (procedimentos), mas não

compreendiam os resultados apresentados.

[...] e quando se apresentavam situações-problema eles não sabiam, aí era um

problema. [...] eu vim da engenharia e trabalhava na indústria eu tinha o

conhecimento e sabia fazer, mas quando eu fui lecionar percebi que o que eu sabia era diferente de ensinar eu precisava aprender a estruturar o pensamento deles para

que eles entendessem o que eu quero. (Trecho da entrevista com o Prof. Coruja).

Para a resolução da Atividade 4 ele utilizou como princípio o cálculo de área, e

afirmou que nesta sequência o aluno utilizaria o caminho percorrido na Atividade anterior

para pensar.



[...] nesta Atividade intuitivamente o aluno começa a utilizar o conceito de área.

(Trecho da entrevista com o Prof. Coruja).

Segundo o Professor, outra forma de resolver esta Atividade é pensar em separar

as bolinhas dispostas em linhas.


Figura 41: Resolução apresentada pelo Prof. Coruja - Atividades 5 e 6


Essas Atividades utilizando o lúdico, ou uma representação que não seja numérica

leva eles a terem essa percepção. [...] o mundo Matemática hoje é muito mais de

observação dos elementos do que da construção geométrica que vira

automaticamente depois de ampliada esta visão. [...] se for direto para o cálculo, eles

depois não irão conseguir desenvolver este olhar. (Trecho da entrevista com o Prof.

Coruja).



Ao responder a Atividade 7 concluiu:

[...] as Atividades sempre finalizam comparando as diferentes escritas, mostrando

que escritas diferentes podem representar a mesma coisa. Trecho da entrevista com o

Prof. Coruja).


Foi perguntado que leitura faz desta Situação de Aprendizagem, e como aborda

este tema em suas aulas, o professor respondeu:

[...] representa a ideia de expressões, as Atividades são sequenciais [...] não

podemos tirar uma Atividade porque achamos que ela não é legal o aluno precisa

passar por elas [...] sempre inicio a aula com as Atividades do Caderno, resolvo

antes as Atividades para ver se realmente batem com a habilidade que está sendo

prevista. (Trecho da entrevista com o Prof. Coruja).

Sobre as atividades, o professor Coruja, ressaltou ainda que os Cadernos dispõem

de poucas Atividades com níveis de dificuldades diferenciados e, por este motivo “o professor

precisa preencher lacunas entre elas” com atividade de livros didáticos, atividades de lição

de casa.

4.4 ANÁLISES DAS ENTREVISTAS E DO INSTRUMENTO DEFINITIVO

Como parte das análises dos protocolos destas entrevistas, também apoiamo-nos

nos estudos apresentados no Capítulo II sobre o “Conhecimento Matemático para o Ensino”,

como forma de identificar os conhecimentos que os Professores participantes deste

Instrumento Definitivo apresentaram como explicações durante a resolução das Atividades

utilizadas como subsídios para este levantamento de dados.


Padrões Algébricos

1) Conhecimento do conteúdo sobre generalização algébrica: conhecimento comum do

conteúdo, e conhecimento especializado do conteúdo e conhecimento no horizonte

matemático.

– Professora Rosinha: Durante a realização das Atividades a professora mostrou

familiaridade com as Atividades estudadas, e conduziu suas explicações sobre os

procedimentos de forma didática, contando como seus alunos resolveram e como ela fazia as

intervenções.

[...] ao iniciar a resolução da Atividade identifica que trata-se de uma sequência de

números ímpares, logo a próxima sequência de bolinhas será sempre a anterior mais


2. Assim teríamos como fórmula resultante 2n-1. (Trecho da entrevista com a Profª

Rosinha)

Também refere-se aos conteúdos já estudados em momentos anteriores. Parte do

que o aluno conhece e avança, coloca-se como mediadora das propostas de resolução ao

conduzir o processo de condução das possíveis respostas.

[...] no 8º ano iniciaremos o trabalho com letras, revendo as equações e agora as

operações, no caso os polinômios que virão [...] uma preparação para se trabalhar

operações com letras. (Trecho da entrevista com a Profª Rosinha)

Estas observações nos permitem observar indícios de conhecimento do conteúdo e

de suas especificações.

- Professora Margarida:

Durante a realização desta entrevista a professora apresentou dificuldades em

resolver a Atividade. Mesmo apoiando-se nos conceitos de Progressão Aritmética,

reconhecendo a razão 2, não conseguiu definir uma fórmula que representasse a generalização

desta sequência. Observamos que mesmo tendo encontrado as duas formas de generalização

solicitadas pelas Atividades não as reconheceu, embora tenha identificado o termo 1a e a razão

r não conseguiu escrever sua representação como sendo 12 nan .

Em seu relato esclarece que prepara suas aulas fazendo uso de diferentes recursos

com vistas a favorecer o desenvolvimento da aprendizagem. Quando questionada sobre a

importância do desenvolvimento do pensamento e da generalização de padrões, a professora

nos afirmou que considera importante porque “quando o aluno chega ao ensino médio ele

não consegue perceber que aquele x da equação é o mesmo termo que pode ser usado na

Física, na Química.”.

Em suas palavras afirma não iniciar suas aulas partindo da proposta de Atividade

deste material curricular, o que nos permite concluir que desconhece suas concepções e em

suas aulas apoia-se em materiais didáticos como livros de sua familiaridade.

Esta entrevista embora tenha sido possível a realização de apenas duas das

Atividades propostas pode-se observar fragilidades no conhecimento do conteúdo e os



– Professor Coruja: Destacamos alguns Trechos da fala deste professor que nos permitiram

observar aspectos sobre o conhecimento do conteúdo:

[...] fui pela observação direta n, n+2, n pensando em linha. [...] nesta Atividade

intuitivamente o aluno começa a utilizar o conceito de área. [...] quando resolvo esse

tipo de Atividade primeiro procuro observar o conjunto depois relacionar com

números. (Trecho da entrevista com a Prof. Coruja)

Em suas respostas pudemos perceber o aspecto investigativo que este professor

realiza sobre a resolução das Atividades, embora não tenha feito relação destes conceitos com

conhecimentos estudados anteriormente ou posteriores a esta construção.

[...] a observação dos elementos (bolinhas) é fundamental [...] porque com números

e com expressões ele (aluno) não tem essa percepção exata da construção. (Trecho

da entrevista com a Prof. Coruja)

De maneira simples deixa claro que entende a importância do trabalho com

Atividades de padrões e regularidades para promover o desenvolvimento do pensamento

algébrico, ao relatar sua vinda para a área da Educação como Profissão deixou claro suas

percepções sobre a diferença entre saber Matemática e a necessidade de saber ensinar

Matemática.

Como apresentado nos aportes teóricos, segundo os estudos de Vale e Pimentel

(2005) deve-se oportunizar aos alunos abordagens de natureza diferente, visuais e não visuais,

desenvolvendo um raciocínio mais flexível, construindo imagens mentais que possibilitem

resolver a situação proposta. Reforçam a ideia da configuração retangular intuindo o conceito

de área e a propriedade distributiva da multiplicação e a noção de equivalência.

Os estudos apresentados por Shulman (1986) nos permitem constatar que o olhar

docente deve estar atento à forma como seus alunos aprendem, suprindo assim as

necessidades de Atividades diversificadas que permitam aos alunos atingirem os objetivos

esperados pelo professor para cada etapa desenvolvida no processo de aprendizagem.

2) Conhecimento pedagógico do conteúdo subdividido em: conhecimento do conteúdo e os


– Professora Rosinha

Em sua entrevista em diferentes momentos pode-se observar indícios dos

conhecimentos investigados. Percebe-se a presença do conhecimento do conteúdo e os


estudantes quando a professora menciona a forma de condução de suas aulas, mostrando

atenta ao processo de aprendizagem apresentado pelos alunos, mencionou sua preocupação

em envolver os alunos na realização das Atividades, valorizando a forma de pensar de seus

alunos.

Respeito à forma de pensar deles “Alunos” mesmo que ela esteja errada. “a gente

põe aquela resposta na lousa e vamos verificar a validade [...] outros pensam: se a

diferença entre as bolinhas é 4 então eles começam com 4 vezes alguém, quem é

esse alguém? É n-1+ 1, de onde saiu n-1 + 1? 1-1= 0 +1=1. (Trecho da entrevista com a Profª Rosinha).

Sobre o conhecimento do conteúdo e o ensino, a professora menciona o percurso

apresentado pelas Situações de Aprendizagem dos Cadernos dos Alunos em diferentes anos

do ensino de Matemática, anteriores e posteriores ao 8º ano do ensino fundamental.

[...] no finalzinho do 7º ano os cadernos voltam a falar sobre sequência, no 8º ele

retoma como um preparo para o trabalho com polinômios [...] é importante o aluno

perceber que essa escrita é fundamental para que ele perceba essa regularidade.

(Trecho da entrevista com a Profª Rosinha)

No conhecimento do currículo, embora durante a realização destas Atividades a

professora não tenha utilizado nenhum termo específico que evidenciasse o conhecimento da

Situação de Aprendizagem, por várias vezes ela referiu-se à retomada de conceitos já

aprendidos, identificou as Atividades que permitem ao aluno a negociação de significados e

as que intencionam a sistematização da aprendizagem.

– Professora Margarida

A dificuldade apresentada pela professora em resolver as Atividades propostas

nos permitiu verificar que ela não utiliza a Situação de Aprendizagem apresentada no Caderno

do Aluno para desenvolver os conceitos matemáticos deste Currículo.

Para realizar esta análise nos apoiamos nos estudos apresentados por Charlot

(2000) numa relação com o saber na qual devemos buscar compreender como o sujeito

apreende o mundo e, com isso, como se constrói e transforma a si próprio: um sujeito

indissociavelmente humano, social e singular (p.41). Assim sendo, esta concepção do saber,

nos permite refletir sobre o entendimento que os docentes têm sobre o saber e ações sobre a

relação do saber existente no espaço educacional. Em outras palavras como esse

conhecimento interfere em sua prática docente.


– Professor Coruja

Durante a entrevista notou-se que em nenhum momento este professor fez

referencia à intencionalidade da Atividade. Foi perguntado se ele percebia alguma relação

entre as Atividades propostas. A resposta foi que “as Atividades vão evoluindo no nível de

complexidade agregando novos conceitos à resolução” sempre apoiando-se na resolução

anterior.

Sobre a estrutura curricular reconhece a importância de inserir Atividades que

permitam o desenvolvimento das mesmas ideias propostas.

[...] sempre inicio a aula com as Atividades do Caderno, resolvo antes as Atividades para ver se realmente batem com a habilidade que está sendo prevista. [...] as

Atividades são sequenciais, não podemos tirar uma Atividade porque achamos que

ela não é legal o aluno precisa passar por elas.

Pode-se perceber em diferentes momentos a preocupação com o ensino da

Matemática quando o professor se refere à preparação de suas aulas e a preocupação com a

apropriação do saber estudado pelos alunos, também ao reconhecer o encadeamento da

Situação de Aprendizagem proposto nas atividades apresentadas aos alunos. Assim, a

resolução apresentada nos protocolos nos mostra o domínio e conhecimento do conteúdo

sobre padrões e regularidades.

Considerações da Pesquisadora

Numa perspectiva pedagógica podemos observar que o conhecimento pedagógico

do conteúdo transcende o conteúdo para o ensino. Nas palavras de Charlort (2005) esta

construção ocorre nas relações estabelecidas com o saber, em Shulman (1986) ao analisar os

saberes docentes envolvidos no processo de ensino, permite que o professor possa conduzir a

aprendizagem de seus alunos por meio da compreensão do assunto estudado incluindo a

previsão de possíveis obstáculos didáticos e epistemológicos, antecipando-se para melhor

intervir quando a situação se apresentar (BALL, 1991).

Sobre os conhecimentos do conteúdo procuramos observar se os professores

compreendiam que as atividades apresentadas nesta Situação de Aprendizagem apoiam-se na

ideia de um padrão que envolve repetição e crescimento. Que esta forma visual nos remete à


geometria, aproximando assim o desenvolvimento de conceitos significativos como

propriedades numéricas e geométricas.

Esta forma de observação nos remete aos estudos de Vale (2009) no qual

apresenta em seus trabalhos, vários autores que defenderm a utilização de atividades com

padrões como estas, por favorecem o desenvolvimento de competências visuais pois muitos

alunos apoiam-se na observação destas regularidades figurais para iniciarem suas

investigações e assim conseguiresm estabelecer suas congecturas.

Além disso, os sujeitos de nossa pesquisa, poderiam citar em relação ao

conhecimento pedagógico, a preocupação com o desenvolvimento da forma exploratória de

conceitos matemáticos envolvidos neste contexto, como preconizam documentos como o

NCTM (2000).

Este documento considera o estudo de generalização de padrões um forte aliado

ao ensino da Matemática, quando oportunizado por meio do estudo de padrões e

regularidades, o qual permite ao aluno a exploração de ideias importantes e conjecturas por

meio da observação e experimentação, além de permear grande parte do estudo da

Matemática, principalmente pela ideia generalização.

Para o desevolvimento destas ideias percebemos no professor importante papel,

pela forma como conduz suas aulas.

A forma como se apresenta uma tarefa ou como o questionamento é efectuado pode condicionar que uma simples tarefa aritmética se transforme numa tarefa algébrica,

onde há espaço para construir padrões, conjecturar, generalizar e justificar factos e

relações matemáticas. Blanton e Kaput (2005) consideram que o raciocínio algébrico

pressupõe que os alunos, partindo da observação de um conjunto de evidências,

generalizem ideias matemáticas através de argumentações, expressando-as de modos

cada vez mais formais de acordo com a idade. Assim, a álgebra é vista como uma

ferramenta para expressar tais generalizações. (VALE, 2012, p. 188).

Estas colocações corroboram com nossas pesquisas e com as ideias apresentadas

pelos professores nestas entrevistas no aspecto de conhecimentos docentes para o ensino.


4.5 COMPARAÇÕES DOS PROCEDIMENTOS UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO

DOS PROTOCOLOS

Após análise dos protocolos de resoluções das Atividades utilizadas para

investigar os conhecimentos docentes relacionados aos saberes pedagógicos e específicos da

Matemática, faremos a leitura conjunta das Atividades para melhor exploração e análise das

Atividades.

Atividades explorada apresenta-se dividida em dois grupos com três Atividades

(Atividades 1, 2 e 3, Atividades 4, 5 e 6) nas quais espera-se que por meio da investigação

observe-se que as bolinhas podem ser agrupadas ou reagrupadas na forma de configuração

retangular para completar o que falta, retomando-se conceitos de propriedades comutativas e

associativas já estudadas anteriormente (SÃO PAULO, 2014, p.44).

Conforme apresentado nos referenciais teóricos pode-se perceber nestas

Atividades o estudo da Aritmética Generalizada considerada a primeira das quatro dimensões

da Álgebra contidas no PCN (BRASIL, 1998, p.116). Neste aspecto considera-se que este

estudo deve favorecer o desenvolvimento da habilidade de relacionar as ideias Matemáticas

entre si, chegando à construção da escrita algébrica generalizada por meio do pensamento

aritmético por apoiar-se em conceitos mais numéricos que algébricos.

Dos três Professores participantes desta fase final, os protocolos nos permitem

observar que dois deles de forma intuitiva favorecem o desenvolvimento destas habilidades

(Profª Rosinha e Prof. Coruja). Consideramos intuitiva por percebermos que em momento

algum foi citado ou feita referência a nenhuma orientação curricular ou teórica para tal

percepção.

Ao referir-se a estas Atividades (1 e 2), a professora Rosinha identifica padrões de

números ímpares, relembra o trabalho desenvolvido com equações em situações que usam a

balança como forma de comparação de escritas diferentes. Já o professor Coruja, inicia sua

análise partindo da observação de configurações geométricas, pensando em completar a

bolinha que falta. Esta forma de pensar permite a exploração de conceitos de área,

potenciação que poderão ser retomados na generalização destes padrões.

Observamos que a professora Margarida ao ler a Atividade 1, percebeu que

tratava-se de uma sequência o que a fez pensar em conceitos de Progressões Aritméticas por


este motivo optou em utilizar a fórmula 1aan (n-1)r. Em sua resolução identifica o termo

referente à razão r = 2, 1a = 1 e na termo a ser descoberto.

Mesmo identificando os valores de cada termo que compõe a fórmula ela não

conseguiu avançar e responder a questão que solicitava a escrita de uma fórmula que

representasse a sequência dada.

Sobre este procedimento percebemos que o conhecimento apresentado pela

professora Margarida aproxima-se do que Devlin (1998) define como manipulação simbólica

da Matemática, por meio de regras sem a construção de significados.

Ainda retomando as reflexões destes Professores estas seis Atividades iniciais

observa-se que elas demandam maior tempo em seu desenvolvimento por necessitarem de

experimentação, de observação da regularidade apresentada nos padrões, num processo de

construção do pensamento, retomando conceitos sobre representações aditivas, multiplicativas

ou até recursivas. Corroboram assim com o que preconizam os estudos de Vale (2011) ao

mostrarem que Atividades como estas permitem a experimentação como forma de construção

da linguagem algébrica por serem ricas ao envolverem diferentes conceitos na construção da

generalização.

As Atividades 4, 5, 6 e 7 compõem o segundo grupo de Atividades de padrões

desta Situação de Aprendizagem, nas quais segundo orientações contidas no Caderno do

Professor, espera-se que os alunos se apoiem nas três Atividades anteriores e encontrem a

fórmula que represente a generalização expressa por meio das bolinas.

Observamos que a professora Rosinha e o professor Pardal mostraram-se

preocupados em explicar como desenvolvem estas Atividades em suas aulas. Assim

resolveram as questões propostas como se estivessem ensinando a entrevistadora, fazendo

perguntas e respondendo. Nestas explicações pudemos observar os conhecimentos que

procuramos para esta investigação: conhecimentos do conteúdo, do ensino, do aluno e do

currículo.

Na resolução desta segunda sequência de Atividades, a ideia proposta baseia-se no

princípio multiplicativo, organizando as sequências em linhas e colunas, completando a

bolinha que falta.


Nos protocolos analisados percebe-se que a professora Rosinha e o professor

Coruja reconhecem este objetivo, mostrando conhecimento do conteúdo e do currículo.

Nas palavras do professor Coruja sobre a construção de uma escrita algébrica que

represente o que se vê, vai ao encontro do que preconiza o NCTM (2000) quanto ao

desenvolvimento das ideias Matemáticas que podem ser representadas em uma variedade de

formas: imagens, materiais concretos, tabelas, gráficos, números e letras símbolos, e assim

por diante.

Quadro3 - Síntese dos protocolos de resoluções

Comparativo dos Protocolos de Resolução das Atividades do Instrumento Definitivo

Pro

fess

ora

Rosi

nha

Atende satisfatoriamente a proposta

da Atividade, identifica padrões

formados por números ímpares.

Apoia-se na observação das

regularidades figurais, explora a

diferença entre construção de números

ímpares e pares.


P

rofe

ssora

Mar

gar

ida

Apoia-se em conceitos de PA, mostra

entendimento e clareza do que é

solicitado nas Atividades, porém não

consegue resolvê-las.

Percebemos a estratégia adotada pela

professora, que corrobora com os

estudos apresentados por Vale (2000)

ao referir-se à forma de condução das

atividades propostas. Neste caso

percebemos a utilização das atividades

como tarefas aritméticas.

Pro

fess

or

Coru

ja

Atende satisfatoriamente à proposta

da Atividade, apoia-se na visualização

de padrões geométricos por meio de

completamento da figura.

Esta forma de resolução permite a

aproximação dos conceitos numéricos

e geométricos com a álgebra.

Pro

fess

ora

Ro

sin

ha


da Atividade.

Utiliza as relações matemáticas, como

previsto nas atividades de uma

Sequencia Didática que apresentam

nível crescente de dificuldade.

Pro

fess

ora

Mar

gar

ida

Não respondeu


Pro

fess

or

Co

ruja


da Atividade.

Utiliza a propriedade distributiva da

multiplicação em relação à adição.

Aprofundando assim conceitos

algébricos.

Atribuiu valores 1, 2 e 3 para n na

expressão 4n-1 colocando reticências,

em seguida calculou os valores n=1 e

n=2 na expressão 3n+(n-1). Em

seguida igualou as expressões 3n+(n-

1) e 4n-1 e provou que elas são iguais.

Pro

fess

ora

Rosi

nha


da Atividade.

Considerou “n, a base da figura” e

substituiu n por 3, 4 e 5 fazendo para

cada caso, os cálculos. Em seguida

escreveu a expressão n(n-2) e a

desenvolveu.

Pro

fess

ora

Mar

gar

ida

Não respondeu


P

rofe

sso

r C

oru

ja


da Atividade.

Considerou a noção de área e atribuiu

valores a expressão n²+2n e chamou

de “linha”, escrevendo n(n+2) e

atribuiu valores. Novamente igualou

as expressões n²+2n com n(n+2) e

demonstrou que são iguais.


Neste Capítulo apresentamos as análises realizadas por meio das entrevistas feitas

com os três professores de matemática, baseadas nos áudios e nos protocolos de resoluções

das Atividades sobre o tema: “Aritmética com Álgebra: as letras como números” que nos

permitiram construir as considerações finais sobre esta pesquisa apresentadas no Capítulo V

das considerações finais sobre esta pesquisa.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Para a construção desta pesquisa, tomou-se como problemática inicial as

dificuldades encontradas por esta pesquisadora durante alguns anos de docência ao aprofundar

com seus alunos conceitos sobre a generalização de padrões e regularidades. Esta mesma

dificuldade pode ser observada no trabalho de outros docentes, por meio da formação

continuada e de acompanhamento pedagógico realizado em escolas da rede pública estadual

assistidadas pelo Núcleo Pedagógico.

Ao analisar os resultados apresentados pelos alunos do 8ºano em avaliações

externas, em atividades sobre o tema padrões e regularidades, pode-se constatar por meio dos

dados apresentados pela Secretaria de Educação que os alunos não responderam de forma

correta as atividades propostas sobre o tema padrões e regularidades, objeto de estudo desta

pesquisa. Pensando em dificuldades, direcionamos o estudo para o ensino, mais

especificamente para o conhecimento apresentado pelos docentes sobre o tema proposto.

Esta observação nos levou a questionar quais poderiam ser as causas da

dificuldade docente em obter êxito ao desenvolverem as atividades propostas com seus

alunos? Seria a forma de apresentação dos conteúdos neste material didático oferecido às

escolas da rede pública estadual? Falta de conhecimento específico do conteúdo? Ou

desconhecimento da gestão da sala de aula para o desenvolvimento de tais atividades?

Além destas possibilidades, também consideramos ao analisar os resultados

apresentados nas avaliações externas, a forma de desenvolvimento destes conteúdos em sala

de aula e percebemos que os questionamentos e justicativas (sobre o ensino ou sobre a

aprendizagem) podem ser muitos.

Por este motivo, o objetivo escolhido para esta pesquisa foi a investigação sobre

o conhecimento docente sobre o processo de generalização de padrões e regularidades. Desta

forma, este trabalho buscou em seu desenvolvimento subsídios que nos permitissem

responder: Quais conhecimentos os professores de matemátia evidenciam ao resolverem as

atividades propostas nos Cadernos do Aluno de Matemática do 8º ano sobre o tema padrões e

regularidades?

119 CAPÍTULO V Luciane Ramos Américo

Esta pergunta tornou-se o centro desta investigação e nossa hipótese partiu do

pressuposto que os professores observados conhecem e utilizam os materiais curriculares

disponibilizados pela Secretaria de Educação desde o ano de 2008. Esta observação não nos

permite afirmar como estes materiais são utilizados e quais conhecimentos os professores

possuem sobre as atividades propostas.

Corroborando com as observações apresentadas inicialmente como problemática

desta pesquisa, buscou-se por meio da revisão bibliográfica trabalhos que tivessem o mesmo

objeto matemático – generalização algébrica por meio de padrões e regularidades, e estudo

sobre o conhecimento docente.

Neste levantamento pudemos verificar por meio das pesquisas que a dificuldade

docente é um tema real e que desperta a preocupação de vários pesquisadores tanto no campo

algébrico como no pedagógico.

A maior parte dos trabalhos encontrados sobre o tema padrões e regularidades,

voltam-se à aprendizagem do aluno, procuram analisar as dificuldades apresentadas por estes

ao generalizarem o saber matemático. As pesquisas que mais se aproximaram de nossas

investigações com contribuições sobre o conhecimento docente e a Álgebra foram

apresentadas em nossa revisão bibliográfica.

Como fundamentação teórica buscou-se para esta investigação autores que

estudam aspectos sobre o conhecimento docente como Bernard Charlot (2005) e Lee Shulman

(1996) e autores que estudam a generalização algébrica apresentada nos padrões e

regularidades.

Dentre eles trouxemos para este trabalho pesquisadores que são educadores

matemáticos como António Borralho (2009), Isabel Valle (2011) e Luis Radford (2006) que

além de estudar a Álgebra por meio do ensino de padrões e regularidades, também estudam

sobre o trabalho docente.

Os aportes teóricos tanto pedagógicos quanto específicos do saber matemático

nortearam os procedimentos metodológicos, direcionando o quê, quando e como realizar cada

etapa deste processo de forma a evidenciar dados de uma pesquisa qualitativa.

Para a subsidiar nossa investigação sobre o saber docente e o conhecimento destes

sobre o tema desta pesquisa, escolhemos a Situação de Aprendizagem 5: “Aritmética com


Álgebra: as letras como números” apresentada no Caderno do Aluno do 8º ano do Ensino

Fundamental da rede pública estadual de São Paulo, por conter diversas atividades formadas

por padrões e regularidades e que possuem por objetivo promover por meio da investigação e

experimentação a construção de uma generalização algébrica que permita representar

qualquer termo da sequência dada.

Esta observação ocorreu em dois momentos: sob a forma de entrevistas, com

algumas perguntas pessoais sobre a experiência docente e outras fundamentadas nos

referenciais teóricos que direcionavam a observação dos conhecimentos investigados.

O primeiro momento das entrevistas contou com a participação de dois

professores efetivos em Matemática na rede estadual de ensino de São Paulo (projeto piloto)

que serviu para ajustarmos as observações, as perguntas e as questões sobre os conhecimentos

que queríamos observar.

Por inexperiência desta pesquisadora, perdeu-se um dos intrumentos piloto. No

momento de uma das entrevistas, ao perceber que a professora Penélope apresentava pouco

conhecimento curricular e pedagógico, a pesquisadora que também era a entrevistadora,

tornou o momento da entrevista em orientação pedagógica.

Para nossas análises do Instrumento Definitivo, consideramos o segundo

momento de entrevistas que ocorreu no final do ano letivo de 2015, com três professores

efetivos em Matemática, da rede pública estadual de São Paulo. Convidamos professores que

tivessem mais de 10 anos de magistério na rede pública e que conheciam e utilizavam as

atividades contidas no “Caderno dos Alunos”.

No capítulo IV, foram apresentado trechos da entrevista de cada professor,

extraídos das gravações em áudio e dos registros de protocolos de resolução das atividades,

para que pudessem subsidiar a categorização dos Conhecimentos matemáticos para o ensino

da Álgebra por meio da Generalização de Padrões Algébricos tomando como referência os

estudos de Ball e seus colaboradores (2008) sobre as categorias de análises do conhecimento

docente.

Buscamos indícios de conhecimentos do conteúdo sobre generalizações algébricas

(Conhecimento comum sobre Álgebra, Conhecimento especializado sobre o tema proposto e

Conhecimento no horizonte matemático) e Conhecimento pedagógico sobre generalizações


algébricas (Conhecimento do conteúdo e os estudantes, Conhecimento do conteúdo e o ensino

da álgebra e Conhecimento curricular).

Todo este procedimento para que pudéssemos responder à questão de pesquisa

que mobilizou esta investigação: “Quais conhecimentos os professores de matemática

evidenciam ao resolverem as atividades propostas no Caderno do Aluno de Matemática – 8º

ano sobre Padrões e Regularidades?”.

Confirmando nossa hipótese inicial de que embora os professores participantes

desta pesquisa tivessem conhecimento das atividades apresentadas, observamos no momento

da entrevista certo desconforto ao explicar os procedimentos adotados para a resolução.

Percebemos que apesar deste material curricular estar disponibilizado a todos os alunos e

professores desde o ano de 2008, ainda existem dificuldades, para estes professores, em

compreendê-lo.

Dos três professores entrevistados, um deles mantém-se fiel à forma como

ministrava suas aulas há 30 anos. Neste sentido, prefere ministrar suas aulas seguindo o livro

didático de sua preferência, utilizando em aulas conceitos, procedimentos e estratégias a partir

de exemplos. Esta forma de agir corrobora com o que alguns pesquisadores chamam de

utilização da álgebra como objeto matemático em si, tal como Radford (2011) afirma como

sendo o ensino por meio da aplicação automática de regras prejudicando a construção do

pensamento algébrico e da construção de significados aos símbolos.

Assim utiliza as atividades propostas nos Cadernos do Aluno como complemento

e justifica-se dizendo que elas não atendem às necessidades de aprendizagem dos alunos. Esta

atitude mostra falta de compreensão dos pressupostos apresentados neste material curricular,

além de uma prática da educação matemática diferente da preconizada pelos pesquisadores

que apresentamos neste trabalho.

Percebemos também a dificuldade em resolver as atividades propostas, mesmo

podendo utilizar-se de conhecimentos específicos de conceitos que ainda não são necessários

nestas atividades.

Os outros dois professores afirmam partir das atividades contidas nos Cadernos e

estimulam o processo investigativo e exploratório. Segundo Radford (2011) é a construção de


um processo de significação, momento em que, no nosso estudo, os professores refletem

sobre sua ação.

Percebemos que os professores entendem a necessidade de conhecer os caminhos

sugeridos para a construção de conceitos e mostraram-se abertos a novos conhecimentos.

Estas afirmações puderam ser percebidas durante a entrevista no momento das explicações

das atividades, por meio dos comentários sobre os conhecimentos mobilizados em cada etapa,

na forma de condução das intervenções.

A leitura das entrevistas evidenciou o que aponta Charlot (2005) ao referir-se ao

conhecimento docente, que mesmo considerando que todo docente carrega em sua trajetória

conhecimentos que se constróem empiricamente por meio da prática diária e que muitas vezes

não são exteriorizados, estes não são suficientes para o desenvolvimento de compêtencias

necessárias para o ensino.

Em nossas análises pudemos observar a fragilidade do conhecimento docente

presente tanto no aspecto pedagógico, quanto no aspecto específico do conteúdo matemático.

Muito ainda temos que avançar no desenvolvimento destes saberes e da prática reflexiva que

nos permite como docentes realizar leitura sobre nossas necessidades de formação. Este fato

confirma a complexidade do ato de ensinar citado por Ponte (2003), que vai além da

transmissão de conhecimentos.

Esta fragilidade reflete diretamente na aprendizagem, no gosto pela matemática

como uma ciência estruturante, necessária ao desenvolvimento humano. Compromete o

desenvolvimento de competências de comunicação, conjectura, generalização, argumentação

e prova, segundo Vale (2011).

A Matemática representa parte do patrimônio cultural da humanidade e um modo de

pensar. A sua apropriação é um direito de todos. Neste sentido, seria impensável que

não se proporcionasse a todos a oportunidade de aprender Matemática de um modo

realmente significativo [...]. (SÃO PAULO, 2014, p. 3).

Sobre os conhecimentos matemáticos observados também percebemos que,

embora tenhamos diferentes estudos que nos apontem os conhecimentos que devem ser

oportunizados na construção do pensamento algébrico por meio da generalização de padrões e

regularidades, muitos professores ainda desconhecem esta prática. Também percebemos que a

presença de atividades diferenciadas em materiais curriculares não garante a sua utilização de

maneira correta.


Por este motivo percebemos na formação continuada nossa maior aliada e

sugerimos que novas pesquisas possam ser realizadas sobre este tema envolvendo a prática

reflexiva do professor sobre os processos de construção do pensamento algébrico. Muito

ainda temos que avançar na construção do conhecimento docente, principalmente no

conhecimento específico dos conceitos matemáticos.

Percebemos que muitas são as pesquisas, e os trabalhos acadêmicos voltados à

educação algébrica. Mas o caminho a ser percorrido para aproximar universo acadêmico e

escola básica ainda é longo, mesmo proporcionando o uso de materiais curriculares

diversificados a formação continuada é fundamental e deve acontecer com frequência. Esta

investigação nos oportunizou perceber as grandes lacunas existentes no trabalho docente

resultantes da falta de conhecimento, da falta de hábito em pesquisar, em mobilizar-se em

buscar novas formas de ensino com vistas a promover o desenvolvimento das competências

desejadas de um cidadão que pensa e questiona.

Espera-se que este trabalho possa contribuir para a reflexão sobre a prática

docente e que novas pesquisas possam nos aproximar do fazer pedagógico. Nesta investigação

sobre os conhecimentos docentes convidamos professores de diferentes escolas, e percebemos

as diferentes apreensões sobre o conteúdo estudado. Buscamos respostas para a pergunta que

mobilizou esta investigação e percebemos que muitos são os conhecimentos docentes e as

fragilidades existentes, que estão diretamente ligadas ao alcance dos objetivos esperados para

a aprendizagem.

Do ponto de vista matemático, percebemos que o domínio do objeto de ensino,

generalização de padrões, por parte dos professores participantes desta pesquisa, não é

completo, o conhecimento no horizonte matemático apresentado por Ball e seus

colaboradores (2008) é superficial. A falta de clareza neste percurso faz com que os

professores sintam que este processo de construção esta incompleto. Da mesma forma, ficou

evidente na entrevista com a professora Margarida seu conhecimento técnico baseado em

procedimentos nos quais a inclusão destes em uma situação-problema dificultou sua

resolução.

Segundo PCN (BRASIL, 1998) temos que o ensino da matemática deve favorecer

o desenvolvimento de habilidades que relacionem os conceitos matemáticos entre si,

oportunizando a construção do pensamento por meio da observação, investigação e

experimentação de forma a estabelecer conjecturas sobre suas conclusões.


Desta forma, torna-se significativo o uso de atividades que permitam a

exploração, priorizando a construção do pensamento e os procedimentos como forma de

expressão deste pensar.

Chego ao final desta pesquisa, considerando dois aspectos significativos: um deles

sobre as percepções colhidas ao longo deste trabalho, provenientes de todo o estudo

oportunizado pelas buscas dos referenciais teóricos, pela revisão de literatura que nos

permitiram o desenvolvimento e a ampliação do olhar investigativo sobre as questões que

podem influenciar o trabalho docente. E o outro pelo amadurecimento profissional que tais

estudos nos permitiram atingir.

Percebemos que, embora seja vasto o campo de pesquisa ainda temos muitos

aspectos a considerar sobre o desenvolvimento do saber docente, os estudos já realizados

sobre este tema, como os de Charlot (2005). Estas investigações nos permitem considerar que

estas pesquisas precisam ganhar profundidade iluminadas pelo que nos mostra a teoria e a

prática docente vivenciada diariamente.

No universo escolar entre o desenvolvimento da aprendizagem dos alunos e o

saber docente residem inúmeros aspectos a se considerar de naturezas distintas, que dificultam

o desenvolvimento de uma boa aula e da aprendizagem, como destacado por Nogueira (2015).

A herança de uma formação, por parte dos professores participantes desta

pesquisa, que priorizou o desenvolvimento de técnicas e procedimentos de cálculos em

detrimento da compreensão e da investigação que permitam clareza nos resultados,

percebemos que apresenta-se muito forte, o conhecimento docente sobre aspectos

pedagógicos da educação matemática mas, os conhecimentos no horizonte matemático ainda

precisam ser apropriados para que os objetivos da aprendizagem possam ser alcançados, como

preconiza Radford (2015).

Desejamos que nossos alunos sejam investigadores e questionadores, mas muito

ainda temos que aprender sobre como ser professores, que oportunizem em suas aulas tal

comportamento. Neste aspecto os estudos de Ball e seus colaboradores (2008) muito nos

auxiliaram com suas categorias de análises sobre o conhecimento docente.

Percebemos na formação continuada dos professores em exercício de suas funções

um berço rico de investigação e experimentação sobre esta prática.


Por este motivo, finalizamos este trabalho certo de que não chegamos ao fim desta

investigação sobre os conhecimentos docentes, percebemos a necessidade da formação

continuada com a intenção de oportunizar entendimento do material curricular disponível para

uso em sala de aula, que aproxime os referenciais teóricos da prática docente.

Como integrante de um Núcleo de Formação Pedagógica, trago para meu trabalho

a constante investigação sobre este saber docente, reflexões que me permitiram iniciar esta

pesquisa e que me trouxeram ao caminho do mestrado acadêmico. Por sua vez, estas nos

mostram as fragilidades existentes, embora o tratamento de tais considerações ainda

representem interrogações a serem estudadas.

Sugerimos para próximas pesquisas a observação de um grupo de professores

após a participação em curso, na qual fossem oportunizados os conhecimentos observados

nesta pesquisa e que utilizamos em nossas categorias de análises sobre a álgebra e as

generalizações na matemática. Esta ação seria garantia de mudança na prática docente? Que

conhecimentos poderiam ser observados neste novo quadro?

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_______________. Those who Understand: Knowldege Growth in Teaching. Educational

research,1986.

USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola media e utilizações das variáveis. In:

COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. (Org.) As ideias da álgebra. Trad. DOMINGUES, H. H.

São Paulo: Atual, 1995.

VALE, I., BARBOSA, A., BORRALHO, A., BARBOSA, E., CABRITA, I., FONSECA, L.,

& PIMENTEL, T. Padrões no ensino e aprendizagem da matemática – propostas

curriculares para o ensino básico. Viana do Castelo: ESEVC – Projecto Padrões, 2009.

___________________. PIMENTEL, T., ALVARENÇA, D. e FÃO, A. Uma proposta

didáctica envolvendo padrões (material de apoio ao PMEB). ME: DGIDC, 2011.

___________________. As tarefas de padrões na aula de matemática: um desafio para

professores e alunos. Revista Interacções nº20, PP. 181-207 (2012) Disponível

http://www.eses.pt/interaccoes.

___________________. PIMENTEL, T. Padrões: um tema transversal no currículo.

Revista Educação e Matemática, Portugal, v. 85, p. 14-20, nov/dez, 2005.

___________________. PIMENTEL, T., ALVARENÇA, D. e FÃO, A. Uma proposta

didáctica envolvendo padrões (material de apoio ao PMEB). ME: DGIDC, 2011.

VALE, I, MARTINHO, M. H., FERREIRA, R. A.T. e PONTE, J. P. (Eds.). Ensino e

Aprendizagem da Álgebra: Encontro de Investigação em Educação Matemática, Póvoa

de Varzim, 2011.

http://people.ucsc.edu/~ktellez/shulman.pdf

http://www.eses.pt/interaccoes

ANEXOS

ANEXO 1 - ROTEIRO DE ENTREVISTA

ESTUDO SOBRE OS CONHECIMENTOS DOS PROFESSORES DE MATEMÁTICA NA

CONSTRUÇÃO DO PROCESSO DE GENERALIZAÇÃO

Pesquisador(a) Luciane Ramos Américo, aluna do curso de Pós-Graduação em Educação

Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC/SP.

1ª etapa Entrevista

Apresentação e desenvolvimento profissional (percurso profissional e relação com aspectos

do conhecimento profissional)

Dados pessoais prévios à entrevista

Nome:________________________________________________ Idade: ____ anos

Tempo de magistério: ______ anos

Situação Funcional - categoria: ( ) efetivo ( ) contratado

Formação acadêmica/ titulação:

Formação complementar:

Disciplina(s) que leciona / ano: ___________________________________________

2ª etapa Profissão docente:

Há quanto tempo leciona na atual escola:___________________________________

Aprender a ensinar.

Como entende a relação entre o conhecimento matemático do professor e o ensino da

matemática? Se lhe pedissem para encontrar semelhanças e diferenças entre saber

Matemática‟ e saber ensinar Matemática‟ o que diria?

Como se prepara e ministra suas aulas de matemática? Como você mobiliza seus saberes

rumo à estruturação do seu trabalho pedagógico?

Quando tem que introduzir um assunto novo, como procede habitualmente? Em quais

recursos se apoia, essencialmente?

O Currículo e desenvolvimento curricular

O que sabe sobre o Currículo da SEESP apresentado nos Cadernos do Aluno e do

Professor?

Que temas/conceitos considera mais importantes no currículo do 7.º ano? Porquê?

Como analisa a álgebra apresentada no 7º ano do Ensino Fundamental segundo a

proposta curricular da SEESP?

Como entende o processo de generalização algébrica proposto nas atividades da Situação

de Aprendizagem 5 - 1º Bimestre do 7º ano?

Outras questões importantes que gostaria de expressar

131 ANEXOS Luciane Ramos Américo

ANEXO 2 - TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Em acordo com a Resolução n° 196/96 da CONEP (Comissão Nacional de Ética em

Pesquisa) e Regimento dos Comitês de Ética em Pesquisa da PUC-SP, “toda pesquisa que,

individual ou coletivamente, envolva o ser humano, de forma direta ou indireta, em sua

totalidade ou em partes dele, incluindo o manejo de informações ou materiais”, deve ser

submetida à apreciação e acompanhamento do CEP e em cumprimento à Resolução CNS/MS

n° 466/12 do Conselho Nacional de Saúde (CNS). Eu, _______________________________,

nacionalidade ________________, idade ___ anos, estado civil __________, profissão

_______________________________, endereço ___________________________________,

RG ______________, estou sendo convidado a participar de um estudo denominado “Estudo

sobre os conhecimentos dos professores de matemática na construção do processo de

Generalização.”, cujos objetivos e justificativas são: observar como os professores mobilizam

seus saberes, quais conhecimentos pedagógicos são necessários para melhor condução do

conteúdo previsto, como interagem com o material didático, por meio dos registros escritos,

das leituras, resoluções compartilhadas e dos áudios. A minha participação no referido estudo

será no sentido de colaboração voluntária e a minha recusa em participar não acarretará

qualquer penalidade ou modificação na forma em que é atendido(a) pelo pesquisador.

Declaro ter Recebido os esclarecimentos necessários sobre os possíveis desconfortos e

riscos decorrentes do estudo, levando-se em conta que é uma pesquisa, e os resultados

positivos ou negativos somente serão obtidos após a sua realização. Por tratar-se de uma

pesquisa sobre os saberes docentes, este estudo não oferece riscos e os resultados da pesquisa

estarão à disposição quando finalizada e somente serão utilizados com minha permissão. Bem

como meus dados serão mantido em sigilo. O referido projeto é de responsabilidade da

mestranda Luciane Ramos Américo sob a orientação da Professora Doutora Barbara Lutaif

Bianchini – PUCSP. Será assegurada a assistência durante toda pesquisa, bem como acesso a

todas as informações e esclarecimentos adicionais sobre o estudo e suas conseqüências.

Enfim, tendo sido orientado quanto ao teor de todo o aqui mencionado e

compreendido a natureza e o objetivo do já referido estudo, manifesto meu livre

consentimento em participar, estando totalmente ciente de que não há nenhum valor

econômico, a receber ou a pagar, por minha participação e caso ocorra algum dano decorrente

da minha participação no estudo, serei devidamente indenizado, conforme determina a lei. Em

caso de reclamação ou qualquer tipo de denúncia sobre este estudo devo ligar para o CEP

PUCSP (11) 36708466 - e-mail: [email protected]

São Vicente,____ de ________________de 2015.

________________________________________________

Nome e assinatura do sujeito da pesquisa

________________________________________________

Pesquisadora Luciane Ramos Américo

________________________________________________

Orientadora Dra. Barbara Lutaif Bianchini – PUC/SP

mailto:[email protected]

132 ANEXOS Luciane Ramos Américo

ANEXO 3 - AUTORIZAÇÃO PARA REALIZAÇÃO DE PESQUISA

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

São Vicente, ____ de _______________ de 2015.

Ao

Comitê de Ética em Pesquisa da PUC/SP - CEP-PUC/SP

A/c. Prof. Dr. Edgard de Assis Carvalho

Coordenador do CEP-PUC/SP

Autorização para realização de pesquisa

Eu, __________________________________ diretor/coordenador/reitor/responsável da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUCSP. Venho por meio desta, informar a

V.Sa. que autorizo o(a) pesquisador(a) Luciane Ramos Américo aluno(a) do curso de Pós

Graduação em Educação Matemática_ da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo –

PUC/SP a realizar/desenvolver a pesquisa intitulada “Estudo sobre os conhecimentos dos

professores de Matemática na construção do processo de generalização”, sob orientação do

Professora Dra. Barbara Lutaif Bianchini.

Declaro conhecer e cumprir as Resoluções Éticas Brasileiras, em especial a

Resolução CNS 466/12. Esta instituição está ciente de suas coresponsabilidades como

instituição coparticipante do presente projeto de pesquisa, e de seu compromisso no resguardo

da segurança e bem-estar dos sujeitos de pesquisa nela recrutados, dispondo de infraestrutura

necessária para a garantia de tal segurança e bem estar.

__________________________________________ “Assinatura e carimbo do responsável institucional”

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