Ph ng pháp gi i: Bài t p gi i m u

Bài toán về giao điểm của hàm số phân thức

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC

Bài toán 1: Bài toán về biện luận số giao điểm.

Phương pháp giải:

1. Lập phương trình hoành độ giao điểm:

2. Biện luận số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Xảy ra các khả năng:

* d cắt (C) tại hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân

biệt khác -d/c .

* d cắt (C) tại một điểm thỏa mãn một trong hai trường hợp:

- phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có

1 nghiệm bằng -d/c

- phương trình (*) có nghiệm kép khác -d/c .

* d không cắt (C) thỏa mãn một trong hai trường hợp:

- phương trình (*) vô nghiệm.

- phương trình (*) có nghiệm kép bằng -d/c .

Bài tập giải mẫu:

Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.

Phương trình hoành độ giao điểm:

.

Giáo viên : Lê Đình Tâm- Trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên

Bài 1: Xác định m để đồ thị hàm số (C) cắt đường

thẳng d: y = x + m tại hai điểm phân biệt.


(C) cắt d tại hai điểm phân biệt có hai

nghiệm phân biệt khác -2.

m (- ; 1) ( 9; + ).

Vậy m (- ; 1) ( 9; + ).

Chú ý: giả sử d cắt (C) tại hai điểm A( , B(

* A, B cùng nhánh hoặc

* A, B khác nhánh

Lời giải: TXĐ: R\{1}.


(1)

với mọi m

(C) luôn cắt d tại hai điểm phân

biệt A, B.


Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng d: luôn cắt đồ

thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh


Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1.x2 = -

, x1 + x2 = -

Xét = - + + 1 = - 1 < 0 x1 < 1 < x2

Vậy A và B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.

Chú ý: Dấu về nghiệm của phương trình: , a 0

* Phương trình có 2 nghiệm dương

* Phương trình có 2 nghiệm âm

* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu P < 0.



(1)

do m khác 0, với mọi m (C) luôn cắt d tại hai

điểm phân biệt.

Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1 + x2 = (2m

+ 1)/m, x1 . x2 = 1/m

Nếu m > 0: x1 + x2 > 0 và x1.x2 > 0. Suy ra x1 , x2 dương

Nếu m < 0: x1.x2 < 0 x1, x2 trái dấu nên có ít nhất một số

dương.


Bài 3: Chứng minh đồ thị hàm số y = luôn cắt đường thẳng

y = m(x-2), (m khác 0) tại 2 điểm phân biệt, trong đó có ít

Bài 4: Xác định m để trên đồ thị hàm số (C) có hai

điểm phân biệt A( , B( thuộc cùng một nhánh của (C)

sao cho: .


Lời giải: TXĐ: R\{-2}.

Hai điểm A( , B( thỏa mãn: thì A, B

thuộc đường thẳng

d: x - y + m = 0 y = x + m. Do A, B thuộc (C) nên A, B nằm

trên giao điểm của (C) và d. Khi đó phương trình : có

hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt khác -2.

hoặc

A, B cùng nhánh khi (x1 + 2)( x2 + 2) >0 x1.x2 + 2( x1 + x2) + 4 >

0

2m + 2 + 2(-m - 2) + 4 > 0: luôn đúng

Vậy hoặc .



Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách giữa hai giao điểm.


1. Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt

(C) tại hai điểm phân biệt.

2. Gọi giao điểm là A(x1; mx1 + n), B(x2; mx2 + n), với x1, x2 là

nghiệm của phương trình (*).

Khi đó AB = =

3. Áp dụng định lý Viet: tính x1 + x2 và x1.x2 theo tham số

khoảng cách AB biểu thị theo tham số.

4. Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.

* Định lý Viet: Nếu là nghiệm của phương trình

a 0 thì:

,

* ,




(1)


Bài 1: Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt đồ thị hàm số

(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:

1. độ dài đoạn AB bằng 4.

2. độ dài đoạn AB nhỏ nhất.


(C) cắt d tại hai điểm phân biệt phương trình:

có hai nghiệm phân biệt khác 1 luôn đúng.

Gọi giao điểm là A(x1; -x1 + m), B(x2; -x2 + m), với x1, x2 là nghiệm

của (1)

Khi đó AB = =

do x1 + x2 = m, x1.x2 = m - 2 nên AB =

1. AB = 4 = 4 m = 0, m = 4.

2. AB = . Suy ra AB nhỏ nhất khi m = 2.


S = d(O, ).AB. Ta có d(O, ) = . Do đó: S =

AB = 4.

Áp dụng cách giải bài 3.1 ta tìm được m = 9/4.


Ta tìm được A(-1; -1), B(2; 2) AB = .

ABCD là hình bình hành AB//CD và AB = CD.


Bài 2: Tìm m để đường thẳng : y = - x + 1 cắt đồ thị

(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích

tam giác OAB bằng .

Bài 3: Cho đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số (1)

tại hai điểm A và B. Xác định m để đường thẳng d: y = cắt

đồ thị hàm số (1) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình

hành.


* AB//CD khi đường thẳng y = x song song với y = m 0.

* CD = AB CD = :


(1) cắt d tại hai điểm phân biệt có hai nghiệm

phân biệt khác - 2 m < 1 hoặc m > 9.

Gọi giao điểm C(x1; x1 + m), D(x2; x2 + m). Khi đó AB =

do x1 + x2 = m - 1, x1.x2 = 2m - 2 nên CD =

CD = = m = 0(loại) , m = 10( thỏa

mãn).

Vậy m = 10.

Bài toán 3: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một điểm

cho trước.


Cho hai điểm A( , B(

* A, B đối xứng nhau qua điểm I( .

* A, B cách đều điểm M MA = MB



A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O d đi qua O b = 2.


Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = cắt đồ thị

hàm số (C) tại hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng

nhau qua gốc tọa độ O.


Khi đó d: y = ax. Phương trình hoành độ giao điểm:

(1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B :

luôn đúng

Gọi A(x1; ax1), B(x2; ax2 )

A, B đối xứng nhau qua O O là trung điểm của AB

x1+ x2 = 0 a = 3/2.



(1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

m > 0.

Khi đó A(x1; mx1 + 2 - m), B(x2; mx2 + 2 - m), x1, x2 là nghiệm của

(1).

Tam giác ABM cân tại M MA = MB và A, B, M không thẳng hàng.

* A, B, M không thẳng hàng: M d: 1 2m + 2 - m m -1.

* MA = MB

thay = 2

nghiệm m = 0(loại), m

= 2: thỏa mãn


Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2- m cắt đồ thị hàm

số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB

cân tại M với M(2; 1).


Vậy m = 2.

Bài toán 4: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một đường

thẳng.




1) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng thỏa mãn cả hai điều

kiện:

* AB .

* trung điểm I của đoạn AB thuộc .

2) A, B cách đều đường thẳng d thỏa mãn một trong hai điều

kiện:

* AB .

* trung điểm I của đoạn AB thuộc .



. A, B đối xứng nhau qua đường thẳng thì d . Suy

ra a = -2.

Khi đó d: y = -2x + b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và

(C):

(1). Ta có:

với mọi b nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân

biệt A, B.

A(x1; -2x1 + b), B(x2; -2x2 + b), với x1, x2 là nghiệm của phương

trình (1)

Gọi I là trung điểm của AB I( ) = ( ).


Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = cắt đồ thị

hàm số (C) tại hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng

nhau qua đường thẳng .


A, B đối xứng nhau qua đường thẳng I thuộc b = -3.

Vậy a = -2, b = -3.



.

d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, C

Gọi A(x1 ; mx1 + 2), C(x2 ; mx2 + 2) trung điểm AB: I(

)

1. A, C cách đều Ox khi:

TH1: d//Ox m = 0: không thỏa mãn (*)

TH2: Trung điểm I của AB thuộc Ox: m = - 4: thỏa

mãn (*)


Bài 2: Cho hàm số và đường thẳng d: y = mx + 2.

1. Tìm m để đồ thị hàm số và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

A, C sao cho khoảng cách từ A, C đến trục hoành bằng nhau.

2. Tính diện tích hình chữ nhật nhận A, C là các đỉnh đối diện

và các cạnh song song với các trục tọa độ. Xác định m để diện


2. B(x2 ; mx1 + 2), D(x1 ; mx1

+ 2)

AB = , AD =

S = = .

S = 20 khi:

* m > 0: 5m + 8 = 20 m =

12/5

* m < 0: 5m + 8 = -20 m =

-28/5

y

B A

O

C D

Bài toán 5: Bài toán liên qua đến góc

1. Góc AOB tù khi: OA2 + OB2 < AB2 hoặc .



2. Góc AOB vuông khi: OA2 + OB2 = AB2 hoặc .

3. Góc AOB nhọn khi: OA2 + OB2 > AB2 hoặc .


Tam giác OMN vuông tại O khi .


d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N

(*)

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (*), ta có M(x1, mx1 + 3), N(x2,

mx2 + 3).

x1x2 + (mx1 + 3)( mx2 + 3) = 0.

(1 + m2) x1x2 + 3m(x1 + x2 ) + 9 = 0,

thay x1 + x2 = (2m - 1)/m, x1 x2 = -7/m ta có m2 - 6m + 7 = 0 m

= : tm (*)


Góc AOB nhọn khi . Phương trình hoành độ giao điểm:


Bài 1: Xác định m sao cho đường thẳng y = mx + 3 cắt đồ thị

hàm số tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tam giác

OMN vuông tại O.

Bài 2: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m sao cho đường

thẳng d: y = - x + m +1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B sao cho góc AOB nhọn.


.

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N .(*)

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình, A(x1, - x1 + m + 1), B(x2, - x2 +

m + 1).

x1x2 + (- x1 + m + 1)( - x2 + m + 1) > 0.

2 x1x2 - (1+ m)(x1 + x2 ) + (m + 1)2 > 0.

thay x1 + x2 = m +2, x1 x2 = 2m + 5 ta có m > - 3.

Kết hợp (*) có -3 < m < hoặc m > .


Đường tròn đường kính AB đi qua O góc AOB vuông .

Phương trình hoành độ giao điểm , x 1. (1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B .(*)

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), A(x1, - x1 + m), B(x2, - x2 +

m).

x1x2 + (- x1 + m)( - x2 + m ) = 0.

2 x1x2 - m(x1 + x2 ) + m2 = 0.

thay x1 + x2 = m, x1 x2 = m + 2 ta có m = - 2: thỏa mãn điều

kiện

Vậy m = - 2.


Bài 3: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đường tròn đường

kính AB đi qua gốc tọa độ O.


Bài toán 6: Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm


* Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt

(C) tại hai điểm phân biệt.

* Gọi giao điểm là A(x1 ; mx1 + n), B(x2 ; mx2 + n), với x1, x2 là

nghiệm của phương trình (*)

* Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B: k1 = y'(x1), k2 = y'(x2)

* Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.

Chú ý:

- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) =

y'(x2).

- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau thì

y'(x1) . y'(x2) = - 1.



Bài 1: Xác định m để đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số

tại hai điểm




d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B :

luôn đúng

Khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m).

Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc y'(x1) = .

Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc y'(x2) = .

Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) =

y'(x2)

m = - 1.

Thử lại: tiếp tuyến của đồ thị tại A: y = -2x - 1, tiếp tuyến

tại B: y = - 2x + 7: thỏa mãn.

Vậy m = - 1.


Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = luôn cắt

đồ thị hàm số tại 2 điểm A, B. Gọi lần lượt là

hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A, B. Tìm m để


Lời giải: TXĐ: R\{1/2}

Phương trình hoành độ giao điểm , x 1/2 (1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B : luôn

đúng

Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), có x1+ x2 = - m, x1. x2 = -

(m + 1)/2

khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m).

Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc k1 = .

Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc k2 = .

k1 + k2 = + =

= = .

Vậy k1 + k2 lớn nhất khi m = -1.



Bài toán 7: Một vài bài toán khác

Lời giải:

SOAB = d(O, ).AB với d(O, ) = .

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) , x -

1/m. (1)

ta có A(x1, 2x1 - 2m), B(x2, 2x2 - 2m)

AB = = SOAB =

cắt Ox tại C(m; 0), cắt Oy tại D(0; -2m) SOCD = m2

SOAB = 3SOCD = 3 m2 m = 1/2 và m = -1/2

Lời giải:

Phương trình : y = k(x - 1).

Phương trình hoành độ giao điểm của và (C)

, x 1. (1)

cắt (C) tại hai điểm phân biệt k > -1/12, k . Khi đó M(x1,

kx1 - k), N(x2, kx2 - k).

* M và N khác nhánh k > 0: ta có


Bài 1: Cho hàm số ( 0) có đồ thị (C) và đường

thẳng : y = 2x -2m. cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.

cắt Ox, Oy tại C, D.

Bài 2: Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng đi qua

A(1; 0) và có hệ số góc k. Tìm k để cắt (C) tại hai điểm

phân biệt M, N và AM = 2AN.


Theo ĐL Viét: x1= (k + 2)/k, x2= (k -1)/k,

Thay vào có k = 2/3: thoả mãn. < M(4; 2). N(-1/2; -1)>

* M và N cùng nhánh -1/12 <k < 0: ta có

Theo ĐL Viét: x1= (3k + 2)/3k, x2= (3k +1)/3k,

Thay vào có k = -2/27: thoả mãn. < M(-8; 2/3). N(-7/2;

1/3)>

Vậy k = 2/3 và k = -2/27

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài toán 1: Biện luận

Bài 1: Xác định m để:

a) đường thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị hàm số tại 2

điểm phân biệt.

b) đường thẳng d: y = 2x +m không cắt đồ thị hàm số

Bài 2: Tìm m để đường thẳng y = m x + 3 không cắt đồ thị hàm

số .

Bài toán 2: Khoảng cách



Bài 1: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số

tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ

nhất.

Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng y = x - m cắt đồ thị hàm

số tại hai điểm phân biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB

là nhỏ nhất.

Bài 3: Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm

số tại 2 điểm phân biệt A, B.Tìm m để độ dài đoạn AB là

nhỏ nhất. Bài 4: Xác định m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm

số tại 2 điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ

thị và khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.

Bài 5: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm

số tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho MN nhỏ nhất.

Bài 6: Xác định m sao cho đường thẳng y = m(x -1) +1 cắt đồ

thị hàm số tại hai

điểm phân biệt M, N sao cho MN = .

Bài 7: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi

qua giao điểm hai tiệm cận và có hệ số góc k. Tìm k sao cho

đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao

cho AB = .



Bài 8: Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số

tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = . (ĐS: m = -

1, m = 7)

Bài 9: Xác định m sao cho đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm

số tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho MN = .


tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = .


tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5.

Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = x -2m cắt đồ thị hàm số

tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 6.

Bài 13: Xác định m sao cho đường thẳng 2x + 2 y - 1 = 0 cắt đồ

thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích

tam giác OAB bằng .

Bài 14: Tìm m sao cho đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm

số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam

giác OAB bằng . (B2010)Bài 15: Xác định m sao cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm

số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác

OAB bằng .

Bài toán 3: Vị trí đối với 1 điểm



Bài toán 4: Vị trí đối với 1 đường thẳng

Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số

tại 2 điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường

thẳng

Bài 2: Xác định m để đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số

tại 2 điểm A, B sao cho A, B cách đều đường thẳng

Bài 3: Xác định m để đường thẳng y = mx + 2m + 1 cắt đồ thị

hàm số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách

từ A, B đến trục hoành bằng nhau.(D2011)

Bài toán 5: Góc

Bài 1: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm m sao cho đường

thẳng d:

y = 2x + 3m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho

góc .

Bài toán 6: Tiếp tuyến


tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị

tại A, B vuông góc với nhau.



Bài toán 7: Dạng khác

Bài 1: Cho hàm số (C) .Tìm m để đường thẳng d: y = x

+ m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho .

Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: 2mx - 2y + m +1 cắt (C)

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho biểu thức P = đạt giá

trị nhỏ nhất.

Bài 3: Tìm m sao cho đường thẳng d: y = -2x + m cắt đồ thị hàm

số tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó hãy tìm tập hợp

trung điểm I của đoạn AB.


Documents

Ph ng pháp gi i: Bài t p gi i m u