УДК 515.2 +744

Казахский национальный

Переход от учебных занятий

Аннотация. На основе анализа

учебных заведениях разработанработе по теме «Построения сопряженийдолжны быть решены преподавателями

Ключевые слова.Сопряжения

линии, сопрягающая линия, гладкий Annotation. Based on the analysis of the content of the training materials in secondary and

higher educational institutions developed an optimal transition path for research work on the theme of «Building a mate». Formulated scientific problems which should be solvedDepartment together with the students.

В Стратегии «Казахстан 2050» одной из 30 развитых, конкурентоспособныхпринадлежит образованию и наукеперед собой амбициозную задачуучебным университетом, но и научнос этим возникает актуальнаяпереходить от обычного учебногофундаментальную науку можнообщеобразовательной средней школезаведениях, как естественноеразрабатывается в научно-исследовательскихпо решению этой проблемы применительно

Сопряжением, как известно называетсятретьейd(рисунок 1).Линииа иbи В между сопрягаемой и сопрягающейПереход должен быть гладким. Различают

Рисунок 1

Ж. М. Есмухан,Е. Е. Масимбаев национальный технический университет имени К. И

г. Алматы, Республика Казахстан

учебных занятий к научно-исследовательской работе на«Построения сопряжений»

основе анализа содержания учебных материалов вразработан оптимальный путь перехода к научно

Построения сопряжений». Сформулированы научные проблемыпреподавателями кафедры совместно со студентами

Сопряжения, построения сопряжений, касательныегладкий переход, гладкость.

Based on the analysis of the content of the training materials in secondary and higher educational institutions developed an optimal transition path for research work on the theme of «Building a mate». Formulated scientific problems which should be solvedDepartment together with the students.

Казахстан 2050» Президентом РК поставлена перед странойконкурентоспособных держав. В решении этой задачи

образованию и науке. Поэтому наш коллектив по инициативеамбициозную задачу ‒ сделать КазНТУ имени К. И. Сатпаева

университетом но и научно-исследовательским центром мировогоактуальная проблема: как постепенно и плавно без

обычного учебного процесса к научно-исследовательскойнауку можно «расчленить» на три части: первая часть

средней школе; вторая часть, которая изучается вестественное продолжение первой части и третья

исследовательских институтах.Далее изложенысоображенияпроблемы применительно теме «Построения сопряженийкак известно, называется переход от одной линииа к другой

bявляются сопрягаемыми, а линия d ‒ сопрягающейсопрягаемой и сопрягающей линиями принято называть

гладким. Различают сопряжения 0, 1, 2 и т. д.

Рисунок 2

имени К. И. Сатпаева

исследовательской работе на примере темы

материалов в средних и высших научно-исследовательской

научные проблемы, которые студентами.

касательные, сопрягаемые

Based on the analysis of the content of the training materials in secondary and higher educational institutions developed an optimal transition path for research work on the theme of «Building a mate». Formulated scientific problems which should be solved lecturers of the

поставлена перед страной задача: стать решении этой задачи ведущая роль

инициативе ректора поставил имени К И. Сатпаева не только центром мирового уровня. В связи

и плавно без «революции» исследовательской работе. Каждую

первая часть, которая изучается изучается в высших учебных и третья часть, которая

изложенысоображения сопряжений».

к другой bпосредством сопрягающей. СтыкиА

называтьточкамисопряжения.

порядка гладкости. Переходу нулевогопорядка гладкости никакое дополнительное требования не предъявляется.Поэтому такие сопряжения не представляют практического интереса. В сопряжениях первого порядка гладкости в точках сопряжения касательные сопрягаемой и сопрягающей линиям должны совпадать (рисунок2).Всопряженияхвторого порядка гладкости в стыковых точках сопрягаемая и сопрягающая линии должны иметь еще одинаковые радиусы кривизны.

1.Построения сопряжений в школьных курсах черчения и геометрии

Анализ графических изображений показал, что более 98% линии на этих изображениях являются либо отрезками прямых, либо дугами окружностей. Поэтому вшкольных учебниках черчения излагаются сопряженияпервогопорядка гладкости двух прямых, двух окружностей, прямой и окружности. Сопрягающей линией служит дуга окружности и ее центр называется центром сопряжения. Если сопрягаемой линией является прямая, томножество центров сопряжений образует две прямые, параллельные заданной и отстоящей от нее на расстоянии, равном радиусу сопряжения. Если сопрягаемой линией является окружность, то множество центров сопряжений образуют две окружности концентрические с данной, радиусы которых равны, соответственно, сумме и разности радиусов данной окружности и сопряжения.

Технология построения сопряжения состоит из трех последовательно выполняемых операций: сначала определяется центр сопряжения, затем находят точки сопряжения и на последнем этапе проводится сопрягающая линия, соединяющая найденные стыковые точки.

Возможен два случая: известен радиус сопряжения или задана одна из точек сопряжения [1].

Пусть задана прямая а и окружностьm(O, R),которых надо сопрягать дугой окружности радиуса R1 (рисунок 3). Для этого надо проводить две прямые a1 иa2, отстоящие от прямой а на расстоянии R1, две окружности m1(O, R+R1) и m2(O, R‒R1), которые пере-секаются в восьми точках O11, O12, O12, O11, O21, O22, O22, O21. Таким образом задача имеет восемь реше-ний, из которых можно выбрать одну, отвечающую некоторым другим условиям. Если принимаем точку O22 в качестве центра сопряжения, то основанием перпендику-ляра, опущенного из нее на прямую а, будет точка А22. Прямая ОO22 пересекает окружность m в точке В22. Полученные точкиА22и В22 соединяются дугой окружности, проведенной из центра О22. Рассмотрим построение

Рисунок 3

сопряжения двух окружностей а(O1, R1) иb(O2, R2), если задана точка сопряженияА �а(рисунок 4). Ясно, что центр сопряжения находится напрямойс,соединяющей точки O1 иА.Предположим, что точкаO12является искомым центром сопряжения. Отложив на

Рисунок 4

прямуюсотрезокАЕ, равный радиусуR2 окружности b, полу-чим равнобедренный треугольник O12ЕO2.Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам. Поэтому серединный перпендикуляр mотрезка ЕO2 проходит через точку O12: � � � �� ��. Соединив точку O12 с точкой O2, определим вторую точку сопряжения В1, как точку пересечения прямой O2O12 и окружности b. Остается соединить точкиА и В1 дугой окружности из центра O12. Задача имеет два решения. Второй центр сопря-женияO12 определяется как точка пересечения прямой с и середин-ного перпендикуляра n отрезка FO2. Точка � �и| | � �.

2. Построение сопряжений в инженерной графике

Если в средних учебных заведенияхрассматриваютсясо-

пряжения, вкоторых сопрягающей линией служит дуга окружности, то в курсах инженерной графики университетов в качестве сопрягающей линии выступают еще кривые второго порядка [3]. Кривая второго порядка определяется пятью параметрами. Универсальный алгоритм построения кривых второго порядка исходит из теоремы Паскаля:противоположные стороны шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой [2].

Рассмотрим построение кривой второго порядка l, заданной пятью точками A, B, C, D и E(рисунок 5). Точки A, B, C, Dи E принадлежат кривойl второго порядка, в которую вписан шестиугольник ABCDEF. Для построения вершины F этого шестиугольника можно применять теорему Паскаля. Проводим стороны АВ, ВС, CD и DE этого шестиугольника. Через точку Х пересечения противоположных сторонАВ и DE проводим прямую р, которую называют прямой Паскаля. Прямая р пересекает сторону ВС в точке Y, а сторону CD‒в точке Z.Тогда прямыеAZ иEYпересекаются в точкеF. Согласно теоремеПаскаля

Рисунок 5

точкаF принадлежит искомой кривой l. Если прямую р вращать вокруг точки X от 00 до 3600, то соответствующая ей точкаF опишет кривую вто-рого порядка. В технике кривую второго порядка определяют двумя точками, касательными в этих точках и инженерным дискриминантом f [3]. Пусть требуется построить сопряжения кривых m и n дугой кривой l второго порядка (рисунок 6). Заданы точки сопряжения � � и � � �, а также касательныеtm иtnв этих точках. Прямыеtm и tnпересекаются в точке X. Медиана вершины X треугольника ADX пересекает сторону AD в точке N, а инженерный

дискриминант � � |��||��|определяет точку � � !"#.Будем считать точки A и Dдвойными, то

есть точка A совпадает с точкойB и точкаD ‒ с точкойE. Тогда касательнаяtmвыполняет роль стороныАВи касательная tn‒ стороны DE, которые пересекаются в точке Х. Проводим прямую$ � ",которая пересекает прямую ВС в точке Y и прямую СЕ в точке Z. Тогда %# � &'# � .Повторяем построение несколько раз, изменив положение прямой р. Инженерный дискриминант позволяет плавно управлять формой сопрягающей кривой. Кривая l будет: эллипсом, если0 ) � ) 0,5;параболой, еслиf=0,5; и гиперболой, если0,5 ) � ) 1.

Рисунок 6

3. Научно-исследовательские работы, связанные с построением сопряжений

3.1. Построение сопряжения скрещивающихся прямых дугой пространственной кривой третьего порядка [4].

Это все еще нерешенная научная задача. На практике две скрещивающиеся прямые

сопрягаются двумя кривыми второго порядка, а надо одной кривой. Кривая третьего порядка в трехмерном пространстве играет такую же роль, что кривая второго порядка на плоскости. Такие кривые принято называть нормкривой. Нормкривая трехмерного пространства определяется шестью точками общего положенияA, B, C, D, Eи F. Если проецировать их из точкиА на плоскость α, то они проецируются в точки B', C', D', E' иF', которые определяют кривую m второго порядка. Кривая m второго порядка и точкаА определяют поверхность φ(А, m) второго порядка. Теперь в качестве центра проецирования принимаем точку В. Тогда точки А, C, D, E и F, проецируются на плоскость α в точки А'', C'', D'', E'' иF'', которые определяют кривую n второго порядка. Кривая n второго порядка и точка B определяют поверхность φ(B, n) второго порядка. Поверхности φ и φ пересекаются по кривой четвертого порядка, но они имеют общую образующую (АВ). Поэтому линия пересечения распадается на прямую и кривую третьего порядка. Отсюда вытекает простой способ построения сопряжения скрещивающихся прямых дугой пространственной кривой третьего порядка.

Пример. На чертеже заданы скрещивающиеся прямые а(а1, а2) и b(b1, b2), а так же точки � - и . � /(рисунок 7). Требуется построить дугу пространственной кривой l третьего порядка, сопрягающую прямые а и b в точкахА и В.

Решение. Известны две точкиА и В, а также две касательные а и bв этих точках кривой l третьего порядка. Остались свободными два параметра. Искомую кривую lпроецируем из центраА на горизонтальную плоскость проекций, а затем из центра В. Таким образом получаем две кривые m и n второго порядка, которые вместе с точками А и В образуют две поверхности φ(А, m) и φ(B,n) второго порядка. Определяем горизонтальные следы M, N и Lпрямыхa, b и (АВ). Касательная к поверхности φ(А, m) плоскость α(b∩(АВ))проецируется в касательную t2 горизонтальной проекции m2 кривой второго порядка m. Аналогично, касательная к поверхности φ(B, n) плоскость α(а∩(АВ)) проецируется в касательную t2

горизонтальной проекции n2 кривой второго порядка n. Варьируя двумя свободными параметрами, можно добиться, чтобы кривые m и n были окружностями. Окружность m2 определяется точками М2, L2 и касательной t2 в точке L2, а окружность n2 ‒ точками N2, L2и касательной t2(рисунок 7). Полученные конические поверхности φ(А, m) и φ(B, n) имеют общую образующую (АВ). Для построения линии пересечения применяется способ вращающихся плоскостей. Проводим горизонтальный след hβ вспомогательной секущей плоскости β общего положения и проходящей через прямую(АВ). Вспомогательная плоскостьβпересекает конусφ по образующей(А1) и конус φ ‒ по образующей (В2),

Рисунок 7

которые пересекаются в точке К. Повторяя построение изменив положение прямой hβ, можно определить множество точек пространственной кривойl третьего порядка.

В дальнейшем будут исследованы и разработаны алгоритмы сопряжения двух скрещивающихся прямых нормкривой трехмерного пространства, получаемой в результате пересечения двух линейчатых квадрик с общей образующей: 1) цилиндра и конуса; 2)

цилиндра и однополостного гиперболоида; 3) двух конусов; 4) конуса и гиперболического параболоида; 5) конуса и однополостного гиперболоида; 6) двух гиперболических параболоидов; 7) двух однополостных гиперболоидов; 8) гиперболического параболоида и однополостного гиперболоида; 9) цилиндра и гиперболического параболоида.

3.2. Построение сопряжения второго порядка гладкости

При этом сопрягаемая и сопрягающая линии в точке сопряжения должны иметь не

только общую касательную, но и одинаковую кривизну, т.е. радиусы кривизны должны быть равными.

Рассмотрим сопряжение прямой а и окружности b (рисунок 8). Кривизна прямойравна нулю. Поэтому нужна такая сопрягающая кривая, кривизна которой изменяетсяплавно

Рисунок 8

начиная от нуля. В качестве такой сопрягающей линии можно взять клотоиду, уравнение которой в естественных координатах имеет следующий вид: 0 � 1 · 3

гдеl ‒ длина кривой, k‒ кривизна, Р ‒ параметр, показывающей изме-нение кривизны на каждую единицу длины. Параметр Р клотоиды играет такую же роль, что радиус Rдля окружности. В начале координат: l=0;k=0. Используются отрезок с клотоиды, начинающийся с точки сопряженияА, которая совпадает с началом координат. Кривизна второй точке сопряженияВ равна:

3 � �4 .

Известно, что кривизной называется изменение угла наклона касательной на единицу

длины:

3 � 5657 . (1)

С другой стороны из уравнения клотоиды имеем:

3 � 789. (2)

Приравняя правые стороны равенств (1) и (2) и интегрируя получим:

: � 79·Р9. (3)

Для определения координат точкиВрассмотрим бесконечно малый отрезок клотоиды:

<= � <0 �>?:; <@ � <0 · ?A�:;

= � B с>? 02Р#7

D· <0; @ � B sin H 0

2РI7D

· <0. Полученные интегралы не могут быть вычислены точно. По этому разложим тригоно-

метрические функции в ряд.

= � B H1 J 0K2! 2Р# M 0N

4! 2Р#K J … I <0;7D

@ � B H 02Р J 0Q

3! 2Р#S M 0�D5! 2Р#T J … I <0.7

D

Ограничимся первыми тремя членами. Тогда для координат точкиВ имеем:

= � 0 J 0T40 · 1K M 0U

3456 · 1N ; 4#

@ � 0S6 · 1K M 0W

336 · 1Q M 0��42240 · 1�D .

Координаты центра окружности b:

=D � = J � · ?A�:; @D � @ M � · �>?:.(5)

Были исследованы и разработаны способы построения сопряжений второго порядка гладкости двух окружностей [5].

Список использованных источников: 1. Есмухан Ж. М. Черчение. Учебник. ‒Алматы: «Мектеп», 2005 2. Есмухан Ж. М., Куспеков К. А. Универсальный алгоритм построения

коники/Проблемы инженерной графики и профессионального образования. Журнал. ‒Астана: ЕНУ имени Л. Н. Гумилева, 2010. ‒ с. 29 … 36

3. Левицкий В. С. Машиностроительное черчение. Учебник. ‒ М.: «Высшая школа», 1998.

4. Есмуханова Ж. Ж., Есмуханов Е. Ж. Сопряжение в инженерной графике. ‒Актау: КазПТИ, 1991

5. Есмухан Ж. М., Куспеков К. А. Прикладная геометрия инженерных сетей. Монография. ‒Алматы: «Ғылым», 2012

References: 1. YesmukhanZ. M. Drawing. The textbook. -Almaty: «Mektep», 2005 2. YesmukhanZ. M., Kuspekov K. A. a Universal algorithm for konica/ Problems in engineering graphics and professional education. The journal. -Astana: ENU named L. N. Gumilev, 2010. –P. 29-36 ... 3. Levitsky V. C. Engineering drawing.The textbook. - M: «high school», 1998. 4. Yesmuhanova J. J., Yesmuhanov E. G. Mate in engineering graphics. -Aktau: KazPTI, 1991 5. YesmukhanZ. M., Kuspekov K. A. Applied geometry of engineering networks. Monograph. -Almaty: «Gylym», 2012

Ж. М. Есмұхан, Е. Е. Мəсімбаев Оқу сабақтарынан ғылыми-зерттеу жұмыстарына өту («Түйіндесулерді салу»

тақырыбы бойынша) Түйіндеме.Мақаладаорта жəне жоғары оқу орындарына арналған сызу жəне геометрия

пəндерінің мазмұнын талдаудың нəтижесінде «Түйіндесулерді салу» тақырыбы бойынша ғылыми-зерттеу жұмыстарына көшудің тиімді жолы көрсетілген. Кафедраның оқытушылары студенттермен бірлесе отырып шешетін ғылыми проблемалар ұсынылған.

Негізгі сөздер:Түйіндесу, түйіндесулерді тұрғызу, жанамалар, түйіндесетін сызықтар, түйіндестіру сызығы, біртіндеп өту, сыптығырлық.

Ж. М. Есмухан, Е. Е. Масимбаев

Переход от учебных занятий к научно-исследовательской работе на примере темы «Построения сопряжений»

Резюме.На основе анализа содержания учебных материалов в средних и высших учебных заведениях разработан оптимальный путь перехода к научно-исследовательской работе по теме «Построения сопряжений». Сформулированы научные проблемы, которые должны быть решены преподавателями кафедры совместно со студентами.

Ключевые слова.Сопряжения, построения сопряжений, касательные, сопрягаемые линии, сопрягающая линия, плавный переход, гладкость.

Z. M. Yesmukhan, E. E. Маsimbaev

The transition from training sessions to the research work on the example of the theme of «Building a mate»

Summary.Based on the analysis of the content of the training materials in secondary and higher educational institutions developed an optimal transition path for research work on the theme of «Building a mate». Formulated scientific problems which should be solved lecturers of the Department together with the students.