Relatório Final de Atividades

Modelo para um Pêndulo Simples: Análise Qualitativa e

Linearização

vinculado ao projeto

PIBIC UTFPR

Thales Miquéias dos Santos

Bolsista UTFPR

Engenharia Eletrônica

Data de ingresso no programa: 08/2014

Prof. Dr. Rodrigo Frehse Pereira

Área do Conhecimento: Ciências Exatas e da Terra

CAMPUS PONTA GROSSA, 2015

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PR

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação

MODELO PARA UM PÊNDULO SIMPLES: ANÁLISE QUALITATIVAE LINEARIZAÇÃO

Thales Miquéias dos Santos[Bolsista PIBIC/UTFPR]1, Rodrigo Frehse Pereira[Orientador]2

1Depto. Acadêmico de Engenharia Eletrônica - DAELE

2Depto. Acadêmico de Matemática - DAMATCampus PONTA GROSSA

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPRAv. Monteiro Lobato s/n Km 3 84016-210, Jardim Carvalho - Ponta Grossa/PR

thalessantos@alunos.utfpr.edu.br, pereira@utfpr.edu.br

Resumo – O pêndulo simples é um sistema de fácil análise que é governado por equações diferenciais não-lineares. Diversos problemas físicos podem ser modelados por pêndulos simples e geralmente nos cursos de físicabásica é feito um processo de linearização do modelo obtido para produzir o que se chama de pêndulo harmônicosimples, cujas equações que regem o sistema podem ser resolvidas de forma analítica. Todavia o modelo line-arizado não produz resultados satisfatórios para grandes amplitudes, não condizendo com o que é observado naprática. O modelo não-linear fornece diversas informações qualitativas importantes que não aparecem no linear,todavia possui a desvantagem de não permitir uma solução analítica simples, se fazendo necessário recorrer aouso de métodos numéricos para obter soluções. Este trabalho tem como objetivo analisar a dinâmica do sistemamecânico que constitui um pêndulo simples composto por uma barra rígida de massa desprezível e comprimentoL com um corpo puntiforme de massa m em sua extremidade, forças dissipativas não serão consideradas. Seráutilizado o MATLAB na construção de retratos de fase para discutir as soluções não-lineares e compará-las comas obtidas por linearização. Foi empregado o método numérico de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver ossistemas de equações diferenciais.

Palavras-chave: Pêndulo Simples; Sistemas Dinâmicos; MATLAB; Retratos de Fase; Métodos deRunge-Kutta; Campos de Direções.

INTRODUÇÃO

Diversos fenômenos nas mais variadas áreas do conhecimento podem ser abordados porequações diferenciais. Sistemas que possuem evolução temporal são chamados de SistemasDinâmicos [1]. Para tratar tais sistemas, foram desenvolvidas diversas ferramentas matemáticasque possibilitam obter aproximações de soluções ou análises qualitativas para descobrir comoas soluções do sistema se comportam. A análise por retrato de fase pode ser feita para siste-mas dinâmicos governados por equações diferenciais de segunda ordem [2], no qual traça-setrajetórias da solução pela sua derivada. Esta ferramenta matemática permite extrair informa-ções qualitativas importantes relacionadas ao comportamento geral das soluções, possibilitandoobservar regiões de estabilidade e, se houver, regiões cujas soluções tornam-se instáveis.

Para sistemas lineares a abordagem analítica é empregada com frequência, especial-mente quando os coeficientes da equação diferencial são constantes, neste caso, o retrato defase pode ser construído baseado na solução da EDO. Uma situação diferente ocorre quando

se trabalha com sistemas descritos por equações não-lineares [2]. Na maioria dos casos não-épossível encontrar uma solução analítica, recorrendo-se assim ao tratamento numérico. Vá-rios métodos numéricos foram desenvolvidos para se resolver equações diferenciais, sejam elaslineares ou não-lineares, ordinárias ou problemas de valores de contorno. Inicialmente foi de-senvolvido o método de Euler, que consiste em definir um passo para a variável independentee calcular aproximações nos pontos seguintes partindo das condições iniciais dadas. Dois dosproblemas deste método é que ele é válido somente para equações de primeira ordem e de-pendendo da natureza das soluções, o erro pode crescer muito rapidamente fazendo com quea solução numérica obtida seja muito diferente da solução real. É fácil contornar o primeiroproblema, basta transformar uma EDO de ordem n em n equações de primeira ordem. Paracorrigir o erro, pode-se diminuir o tamanho do passo de integração, mesmo assim isso pode nãoser o suficiente. Para melhorar a precisão do método, foi acrescentado mais um procedimentopara se obter o coeficiente angular da aproximação no ponto considerado, o chamado métodode Reun ou método de Euler melhorado. Os métodos de Runge-Kutta formam uma classe maisgeral dos dois outros já citados. Os métodos de Euler e Reun são chamados de métodos deRunge-Kutta de primeira e segunda ordem respectivamente. O método mais popular para seresolver equações diferenciais é o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico, pois pos-sui bom desempenho computacional e soluções muito precisas [3]. A equação (1) é a fórmularecursiva do método de Euler, sendo h = ti+1 − ti o passo de integração, yi o valor encontrado

na i-ésima iteração e f(ti, yi) =dy(ti)

dt.

yi+1 = yi + f(ti, yi)h (1)

De acordo com a referência [3] o erro de truncamento do método de Euler pode serobtido utilizando séries de Taylor [4]. A fórmula recursiva do método em questão correspondeaos dois primeiros termos da série, assim quando se utiliza o método de Euler, todos os termoscom derivadas maiores que primeira ordem não são considerados. Ainda segundo [3] paravalores suficientemente pequenos do passo de integração, pode-se desconsiderar os termos comderivadas de ordem superiores à segunda, sendo o erro então ficando como:

E(h) =f ′(ti, yi)

2!h2 (2)

Pela equação (2), Chapra conclui que o erro global pode ser reduzido pelo decrementodo tamanho do passo, além disso o método proverá predições sem erros se a solução da equaçãodiferencial for linear, pois os termos com derivadas de segunda ordem ou mais serão todos nulos.

O método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico fornece um erro de truncamento de

E(h) =f ′′′′(ti, yi)

4!h4 e similarmente ao que ocorre no método de Euler, pode-se dizer que não

haverá erros de truncamento para soluções polinomiais com no máximo termos cúbicos, alémdisso os erros propagados diminuem à quarta potência quando se diminui o tamanho do passo.

Os métodos numéricos podem ser implementados de diversas maneiras, pois se tratamde algoritmos, existem muitos softwares que possuem funções próprias para o cálculo de solu-ções numéricas. A implementação pode ser feita em forma de tabelas ou ainda por linguagemde programação explorando comandos de estruturas de repetição. Neste trabalho, será feito uso

do software MATLAB para obtenção de soluções numéricas, construção de gráficos e retratosde fase das mesmas.

METODOLOGIA

O sistema físico a ser analisado baseia-se em um pêndulo físico simples composto poruma barra rígida de comprimento L e um corpo puntiforme de massa m em sua extremidade.Não serão consideradas forças dissipativas, isto é, força de atrito em partes móveis ou resistênciado ar, além disso, a aceleração da gravidade será representada pela letra g. A Figura 1 apresentaum diagrama de corpo livre e a Figura 2 mostra o diagrama cinemático do sistema em questão.

Figura 1: Diagrama de Corpo Livre Figura 2: Diagrama Cinemático

A força gravitacional−→Fg atua sobre o corpo de massa m e pode ser decomposta na

direção tangencial (θ), e na direção normal (n). A força de reação−→T ocorre no sentido nega-

tivo da direção normal, isto é, apontando para o centro do pêndulo. A aplicação da SegundaLei de Newton [5] permite obter uma equação para os forças envolvidas associadas à massa eaceleração do sistema. Da Segunda Lei de Newton tem-se que:

N∑i=1

−→Fi = m−→ai

N∑i=1

−→Fi =

−→T −mg[sin(θ)θ + cos(θ)n] (3)

Define-se a variável θ como sendo o ângulo formado entre a barra e a linha verticalabaixo do centro do pêndulo. Ao longo deste trabalho, quantidades vetoriais serão indicadaspela flecha superior ou um acento circunflexo. Portanto, da equação (3) tem-se:

−→T −mg[sin(θ)θ + cos(θ)n] = m−→a (4)

Na Figura 2, a aceleração tangencial do corpo na extremidade da barra é representadapor −→at , a aceleração normal por −→an e a velocidade angular por −→ω . O comprimento de um arcode raio R e ângulo ϕ , por definição é dado por:

S = Rϕ (5)

Para o sistema considerado o ângulo é representado por θ e o raio L. Como θ é umagrandeza que varia com o tempo, a equação (5) pode ser reescrita como segue:

−→s (t) = L−→θ (t) (6)

sendo L um escalar constante dado em metros. Derivando a equação (6) pode-se determinar avelocidade e aceleração tangencial do pêndulo.

−→v t(t) =d−→s (t)dt

= Ld−→θ (t)

dt(7)

−→a t =d−→v t(t)

dt= L

d2−→θ (t)

dt2(8)

Se θ(t) = θ é o módulo do ângulo da barra em função do tempo, pode-se reescrever asequações (7) e (8) como:

−→v t = Lθθ (9)−→a t = Lθθ (10)

Obteve-se assim as componentes tangenciais da velocidade e da aceleração na extremi-dade da barra. Todavia, sabe-se que existe uma aceleração associada ao movimento rotativoda barra, esta é chamada de aceleração normal. Através de uma abordagem com cálculo ve-torial, será obtido um conjunto mais geral de equações que fornecerá a aceleração com suascomponentes tangenciais e normais.

Por definição [7] a velocidade na extremidade da barra é dada por

−→v (t) = −→ω (t)×−→r (t) (11)

sendo −→r (t) o vetor posição da extremidade da barra com sua origem coincidindo com aorigem do pêndulo.

Derivando a equação (11) tem-se

d−→v (t)

dt=

d

dt[−→ω ×−→r ] = d−→ω

dt×−→r +−→ω × d−→r

dtmas

d−→rdt

= −→v = −→ω ×−→r e −→α =d−→ωdt

onde −→α é o vetor aceleração angular da barra. Por fim obtém-se:

−→a (t) = −→α ×−→r +−→ω ×−→ω ×−→r (12)

Na equação (12) poderia ser feito −→r = Ln, para fornecer −→α × −→r = θLn, que éexatamente a equação (10). O segundo termo do lado direito da equação (12) é a aceleraçãonormal, também chamada de aceleração centrípeta em alguns textos de física e é causada pelamudança de direção no movimento circular [6].

Fazendo-se −→α = θk,−→r = Ln , −→ω = θk e executando os produtos vetoriais, aequação (12) pode ser reescrita como:

−→a (t) = Lθθ + L(θ)2n (13)

Pela equação (13) observa-se que a aceleração normal é diferente de zero se o sistemaestá em movimento, mesmo não havendo componente de velocidade nesta direção. Vale res-saltar ainda que a aceleração normal produz um termo não-linear por conta do expoente desegundo grau em θ, esta informação é de muita importância na modelagem de um pêndulofísico, conforme será discutido no decorrer deste trabalho.

Pode-se substituir a aceleração obtida na equação (13) na equação (4). O que fornece:

−→T −mg[sin(θ)θ + cos(θ)n] = m

[Ld2θ

dt2θ + L

(dθ

dt

)2

n

](14)

Pelo fato de a barra ser rígida, a força resultante na direção normal é igual a zero. Isto é:

T −mg cos(θ) = mL

(dθ

dt

)2

T = mL

[(dθ

dt

)2

+g

Lcos(θ)

](15)

A equação (15) modela a intensidade da força de reação da barra e pode ser reescritacomo:

T = mLθ2 +mg cos(θ) (16)

A equação (16) só é útil caso conheça-se a velocidade angular em um dado ponto, maspara tal é necessário resolver a equação diferencial que fornece os valores de θ para dadosinstantes de tempo. Portanto é preciso realizar a análise do sistema na direção tangencial, assim,tem-se que:

mLθ +mg sin(θ) = 0

θ +g

Lsin(θ) = 0 (17)

A equação (17) fornece um modelo de segunda ordem não-linear para o pêndulo. Otermo não-linear (senoidal), não permite a resolução analítica de maneira simples. Por contadisso, quando se trabalha com ângulos da ordem de θ < 0, 0873rad ≈ 5 é comum linearizar aEDO de forma que sin(θ) ≈ θ. Tal aproximação é baseada na aplicação da série de Taylor emsin(θ) retendo apenas o termo linear. Assim a equação (17) se torna:

θ +g

Lθ = 0 (18)

Os livros de física definem a grandeza ω20 = g

Lcomo a frequência angular do pêndulo

harmônico, que é o nome dado ao modelo linearizado [5]. Com esta nova notação, a soluçãogeral da equação é dada por:

θ(t) = A cos(ω0t) + B sin(ω0t) (19)

sendo A e B constantes reais arbitrárias. Dadas as condições iniciais θ(0) = Θ0 e θ(0) = Ω0, asolução do problema de valor inicial fica:

θ(t) = Θ0 cos(ω0t) +Ω0

ω0

sin(ω0t) (20)

Pela equação (20), se Θ0 = 0 e Ω0 = 0 o termo senoidal desaparece e a amplitude deoscilação máxima é sempre igual a Θ0. A característica mais importante nesta solução, é a suaperiodicidade. Mais discussões sobre este resultado serão realizadas neste trabalho.

A equação (17) pode novamente ser reescrita usando a definição de frequência angularadotada. Tem-se que:

θ + ω20 sin(θ) = 0 (21)

Para se obter as soluções das equações (18) e (21) foram construídos códigos no MA-TLAB baseados no método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico. Tanto para o modelolinearizado quanto para o não-linear, o passo de integração numérica utilizado foi h = 0, 0001,este por sua vez foi escolhido por tentativa e erro, na busca por encontrar soluções satisfatóriascondizentes com o que já se observava em textos sobre o assunto e um tempo computacional decálculo aceitável. Utilizando-se de estruturas de repetição, foram construídas diversas curvasintegrais dadas por diferentes condições iniciais. O parâmetro ω2

0 foi escolhido como 0, 72π2,pois para o modelo linearizado, este valor produzia uma frequência de oscilação de f = 0, 6Hz,isto não influencia no comportamento geral das soluções, o intervalo de integração escolhidoé −9≤t≤9. O comando quiver, permite a construção de campos de direções em duas e trêsdimensões, este foi utilizado para construir o campo de direções juntamente com as curvasintegrais, permitindo assim a visualização da orientação das soluções.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

A linearização da equação (17) produz soluções oscilatórias. Para ângulos menores que5 tal aproximação produz erros aceitáveis em muitas aplicações, porém isso não ocorre quandose trabalha com amplitudes de oscilações maiores. A equação (20) é a solução da EDO line-arizada, composta por termos cossenoidais e senoidais, as constantes Θ0 e Ω0 representam aamplitude e velocidade angular inicial da barra, respectivamente. A grandeza ω0 é a frequênciaangular definida por ω0 = 2πf , sendo f a frequência de oscilação do pêndulo nesta aproxima-ção. A Figura 3 apresenta a construção de diversas curvas integrais de soluções deste modelo.Como se pode observar, o comportamento qualitativo das soluções não mudam com as condi-ções iniciais. Os círculos representam oscilações completas, o eixo das abscissas representa oângulo e o das ordenadas a velocidade inicial das soluções. Como se pode ver, mesmo quandoΘ0 > π as soluções não mudam de comportamento.

Figura 3: Retrato de Fase do Pêndulo Simples Linearizado.

Para este modelo linearizado, a análise da dinâmica para grandes valores de θ forneceinformações sem sentido físico. Por exemplo, se for escolhida uma curva integral cujas con-dições iniciais sejam Θ0 = 2π e Ω0 = 0, o modelo matemático levaria à conclusão de que opêndulo giraria 2π rad no sentido horário (uma volta a partir da posição de repouso), entãomudaria de direção e giraria mais 2π rad no sentido anti-horário (mais uma volta a partir dorepouso) e continuaria desenvolvendo este comportamento eternamente. Todavia, o paradigmafísico consistiria no seguinte: com um deslocamento de 2π rad à partir da posição de repousoe com velocidade angular nula, o pêndulo deveria permanecer em repouso, pois não possui ne-nhuma energia cinética que causasse mudança no seu estado de velocidade, porém o modelopropõe, em muitos casos, que o pêndulo altera seu estado de inércia sem variação de energia.

Intuitivamente, espera-se que caso o pêndulo seja solto do repouso, isto é, Ω0 = 0 rad/s,ele não consiga ultrapassar sua amplitude inicial. Neste contexto a maior amplitude que a barrapoderia atingir, seria um ângulo próximo de π rad. As leis de conservação de energia garantemexatamente isso [6], até porque nenhuma energia externa entra no sistema. O comportamento domodelo linearizado violaria essas leis, e é isso o que o modelo aproximado induz para ângulosmaiores que π rad.

O que se obtém, todavia, com a resolução da equação (21), é uma variedade de novasinformações qualitativas não observadas no modelo linearizado. A Figura 4 apresenta o retratode fase das soluções da equação não-linear, tal gráfico foi construído resolvendo-se a o sis-tema não-linear numericamente por meio do método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico,conforme já mencionado. Observa-se que no intervalo −9 < θ < 9 considerado na figura, apa-recem 7 soluções de equilíbrio [2], que são também chamados de pontos críticos e representamsoluções estacionárias, sendo 3 delas estáveis e quatro instáveis.

Os pontos críticos estáveis são tais que θ = 2nπ, sendo n um inteiro, observa-se peloretrato de fase que as soluções oscilam em torno destes pontos. Já os pontos críticos instáveissão tais que θ = (2n + 1)π, e analogamente as soluções divergem deste ponto. Analisando-seos retratos de fase das duas soluções(linear e não-linear) nas Figuras 3 e 4, constata-se que parao modelo linear existe apenas uma solução de equilíbrio, a origem, contra infinitas dessas nomodelo não-linear. No modelo linear as soluções possuem um único padrão para quaisquervalores iniciais, isso não ocorre para o modelo não-linear. Além disso, é bem notório que no

Figura 4: Retrato de Fase do Pêndulo Simples Não-Linear.

retrato de fase do modelo não-linear existem regiões que ou ω = θ > 0 (sentido de giro anti-horário) ou ω = θ < 0 (sentido horário) para qualquer instante de tempo, significando quea barra fica girando em uma única direção para certos valores iniciais. Na Figura 4, percebe-se que isso ocorre quando a velocidade inicial de rotação é maior ou menor que um limiar,dependendo do sinal de ω. Tal limiar é diferente para cada valor de θ, o nome dessa curvaseparatória é separatriz. O modelo não linear possui assim dois comportamentos qualitativosdiferentes: um em que o sinal de ω = θ se alterna com o passar do tempo (significando queo pêndulo se movimenta em duas direções), e outro em que ou ω é sempre maior ou sempremenor que zero para todo t.

Pode-se construir o gráfico das soluções da equação (21) afim de se comparar com asinformações já obtidas à partir do retrato de fase da Figura 4. É apresentado na Figura 5, gráficodo deslocamento e da velocidade angular do pêndulo, isto é, θ(t) e ω(t) em função do tempo.Neste caso, escolheu-se Θ0 = 0 para todas as curvas de modo a se observar mudança de com-portamento das soluções com a variação de Ω0. Pelo gráfico superior, verifica-se que todas assoluções começam no mesmo ponto, isto é, θ(0) = 0, porém com inclinações diferentes, querepresentam as velocidades iniciais, isso fica mais claro analisando-se t = 0 no gráfico de ωpor t. Muitas informações relevantes podem ser extraídas destes gráficos, entre elas, pode-seperceber que o teorema da unicidade das soluções não é válido [2], desde que a equação diferen-cial (21) que descreve o sistema não é linear. Além disso, as soluções representadas por linhaspontilhadas são qualitativamente diferentes das representadas por linhas sólidas. Observa-se nográfico de θ por t que as curvas sólidas parecem nunca ultrapassar um limiar, que é o mesmo jádiscutido anteriormente para o retrato de fase, em contrapartida, as curvas pontilhadas divergempara o infinito e não trocam de sinal. Já que θ representa o ângulo da barra com a vertical, paracertos valores iniciais a barra ficará girando infinitamente em torno da origem, isso ocorre casohaja velocidade suficiente, para outros valores a barra ficará oscilando em torno da origem deforma periódica.

Figura 5: Curvas Integrais para θ e θ Para Diversos Valores de Ω0 com Θ0 = 0.

O modo como os valores iniciais das soluções construídas na Figura 5 foram escolhidos,remetem à análise do retrato de fase da Figura 4 retendo-se somente ao eixo vertical que passapela origem, fazendo isso é possível extrair as mesmas informações extraídas da Figura 5. Nocaso especial em que Θ0 = Ω0 = 0, obtém-se uma solução de equilíbrio estável, conforme jádiscutido antes. Tal solução pode ser observada na Figura 5. Fisicamente é o mesmo que dizerque o pêndulo está na sua posição de repouso.

Analogamente ao que foi feito nas soluções da Figura 5, pode-se construir curvas in-tegrais do sistema dinâmico fazendo-se desta vez Ω0 = 0 para diversos valores de Θ0, o queequivale à análise do retrato de fase no eixo horizontal que passa pela origem. Na Figura 6 ascurvas pontilhadas são apenas soluções espelhadas das curvas sólidas. Foram escolhidos valo-res de Θ0 para se extrair as principais informações qualitativas do sistema quando Ω0 = 0. Acurva sólida preta é a solução para Θ0 = π, anteriormente foi discutido que esta deveria seruma solução de equilíbrio instável, o que se confirma pelo gráfico. A solução da curva sólidaazul pertence à condição inicial Θ0 = π− 0, 001, isto é muito próximo da solução de equilíbrioθ(t) = π. A curva sólida preta pertence à Θ0 = π/2, uma solução intermediária às duas solu-ções de equilíbrio. A curva sólida vermelha possui valor inicial Θ0 = 0, 2, próxima à solução deequilíbrio estável θ(t) = 0 (curva tracejada preta). No gráfico da posição pelo tempo, é possívelesclarecer o porquê de as soluções de equilíbrio serem chamadas de estáveis ou instáveis, ascurvas azuis e vermelhas foram construídas para mostrar a diferença qualitativa entre as duas.As curvas vermelhas oscilam muito mais em torno da origem do que as azuis, caso forças dissi-pativas fossem modeladas, isso seria ainda mais claro. Neste caso todas as soluções tenderiamà solução de equilíbrio estável, isto é, divergiriam de θ = π e se aproximariam de θ = 0, exceto

Figura 6: Curvas Integrais para θ e θ Para Diversos Valores Iniciais de Θ0 com Ω0 = 0.

se Θ0 fosse exatamente igual à π, algo matematicamente plausível mas fisicamente impossível,pois qualquer perturbação, por menor que seja, tiraria o pêndulo da posição instável.

Fisicamente, pode-se dizer que as soluções representadas pelas elipses distorcidas daFigura 4, não possuem energia cinética suficiente para ultrapassar θ =+

− π, diferentemente dassoluções representadas no retrato de fase pelas curvas contínuas que vão desde −∞ até ∞, ecomo não há dissipação de energia neste modelo, o pêndulo fica para sempre rotacionando emtorno da origem numa única direção. Ainda na Figura 4, pode-se concluir que quanto maior avelocidade de rotação da barra, menos as oscilações provenientes da força gravitacional serãopercebidas. Isso se dá pelo fato de que a força gravitacional se tornará cada vez mais desprezívelem comparação com a força centrípeta do pêndulo conforme ω(t) aumenta, a equação (16) querepresenta a força de tensão na barra confirma esta discussão. Estes argumentos são confirmadosplotando-se o gráfico da equação (16) com os valores de θ(t) e θ(t) obtidos numericamente,conforme se pode observar na Figura 8.

A Figura 7 mostra, para efeitos de comparação, o retrato de fase das duas soluçõesobtidas. As curvas integrais azuis representam as soluções não-lineares, as pretas representamas linearizadas. Como se pode observar, para valores próximos da origem, isto é, θ pequeno, ascurvas integrais praticamente se sobrepõe umas sobre as outras, porém essa diferença aumentaà medida que θ se torna grande. Quando as soluções não-lineares mudam seu comportamentoqualitativo, os dois modelos já não se correspondem mais.

Figura 7: Comparação Entre as Soluções - Retratos de Fase Sobrepostos.

Com todas essas informações levantadas sobre o sistema, é possível ainda analisar o queacontece com a força de reação da barra. O primeiro termo do lado direito da equação (16)é sempre maior que zero, pois m,L, θ2 são maiores que zero para todo t. O segundo termoda equação (16) que contém a função cosseno e varia no intervalo

[− g

L, gL

], este é proveniente

da força gravitacional sobre o corpo de massa m. Conhecendo-se a função θ(t) é possíveldeterminar o valor em newtons da força de reação da barra. Pode-se observar que para valores

θ <<√∣∣ g

Lcos θ

∣∣, o primeiro termo influencia bem menos que o segundo na equação (16).

Assim, para valores de θ próximos de zero a força gravitacional é a maior responsável pelaforça resultante exercida ao longo da barra (pode-se observar este comportamento também pelo

retrato de fase da Figura 4). Para o caso em que θ >>√∣∣ g

Lcos θ

∣∣, isto é, alta velocidadede rotação, a força gravitacional passa a influenciar pouco na força resultante, pois a parcela daforça gravitacional é dada por uma função limitada entre − g

Le g

L, ao passo que a força centrípeta

cresce com o quadrado da velocidade angular da barra.

Para um pêndulo real, a não consideração do termo quadrático faz com que o modelopara a força de reação da barra seja inconsistente com os resultados observados na práticapara valores de velocidade angular que não sejam muito pequenos, mais especificamente, para

valores de θ que não satisfaçam a condição θ <<√∣∣ g

Lcos θ

∣∣. As implicações disto é que aforça exercida sobre a barra pode se tornar muito maior do que a prevista para ela suportar,levando a uma situação indesejável devido a resistência do material empregado para construiro pêndulo. A Figura 8 apresenta a construção de algumas curvas integrais para certos valoresiniciais para a obtenção numérica de θ(t) que foram substituídos via MATLAB na equação (16).As condições iniciais das curvas já estão mostradas na própria figura.

Na Figura 8, comparando-se as soluções dos valores iniciais Θ0 = 0, 1 e Ω0 = 10com Θ0 = 0, 1 e Ω0 = 20, pode-se dizer que dobrando a velocidade angular do pêndulo, aforça de reação da barra quadruplicou, como se previa pela equação (16). Ainda, percebe-seque aumentando a velocidade do pêndulo, as oscilações provenientes da força gravitacionalse tornam cada vez mais insignificantes em módulo se comparadas com a influência da forçacentrípeta. Para finalizar, pode-se observar que para valores de θ pequenos, a força da gravidadecomanda o sistema, conforme discutido anteriormente.

Figura 8: Influência da Velocidade Angular na Força de Reação da Barra.

CONSLUSÕES

A análise de sistemas dinâmicos por retratos de fase é uma ferramenta matemática deimportante valia. Foi mostrado neste trabalho que muitas informações cruciais para a com-preensão do modelo matemático do pêndulo simples foram extraídas desta maneira. Diversasconclusões obtidas foram comparadas com o que se esperaria observar na prática para se ter umacompreensão ainda mais aprofundada do sistema físico. Apesar de esta ferramente matemáticaser poderosa, ela não evita conclusões precipitadas se o modelo matemático não for condizentecom o sistema. Na primeira modelagem, analisou-se apenas o movimento tangencial do pên-dulo, que de fato é suficiente para analisar a dinâmica do sistema, porém não fornece todas ascomponentes na direção normal. Com uma abordagem vetorial mais geral, foi possível obterum resultado mais abrangente para a aceleração, que considerava tanto a direção tangencialquanto a normal, conforme equação (12).

Em muitos casos, é necessário que se linearize um modelo não-linear, como foi o casoda equação (17). Foi discutido para quais valores de θ a aproximação era razoável, foi visto queem certas regiões as soluções originais e as aproximadas eram praticamente as mesmas, todaviao erro aumenta gradualmente até chegar um momento em que as soluções se comportam demaneiras completamente diferente, conforme discussão feita para soluções linearizadas e não-linearizadas. Deve-se ter em mente se a linearização produz erros aceitáveis antes de extrairinformações do modelo obtido para que não sejam tiradas conclusões precipitadas e errôneas.

A implementação dos algoritmos numéricos pode ser feita de incontáveis maneiras, comou sem computador ou software específico. Neste trabalho se fez uso do MATLAB, um softwaremuito poderoso para se trabalhar com dados e problemas das áreas de engenharia e ciências. Foioptado por construir um algoritmo próprio baseado no método de Runge-Kutta de quarta ordem

clássico apresentado por Chapra. As vantagens de se fazer desta forma são várias: obtém-semaior compreensão do sistema dinâmico tratado, pode-se construir o algoritmo para realizaros cálculos da forma e na ordem que se deseja, possibilita utilizar recursos computacionaisestritamente necessários para realizar os cálculos, ganhando-se em eficiência computacional,possibilidade de reaproveitamento de código, ganho em versatilidade. O MATLAB possui fun-ções nativas para este fim, mas muitas vezes funcionam como "caixas pretas", nas quais não sepode fazer coisas além do que as que ela foi construída. Uma função nativa do MATLAB muitousada e considerada padrão na plataforma para se resolver EDOs é a ODE45, que consiste nomesmo método construído linha por linha neste trabalho. As principais vantagens em se uti-lizar funções nativas, é que economiza-se quantidades consideráveis de linha de código parase programar, é confiável para muitos propósitos, não exige que várias partes do código sejamalteradas para se efetuar uma mudança na equação à ser resolvida, possui desempenho com-putacional naturalmente otimizado. Apesar de tudo, as funções nativas podem utilizar muitorecurso computacional para tarefas simples. Assim deve-se fazer um balanço entre simplici-dade do código, precisão e velocidade computacional. O MATLAB é muito conhecido tambémpor permitir a construção de excelentes gráficos, especialmente pela vasta gama de possibilida-des que ele permite a representação dos dados. Todos os gráficos deste trabalho foram geradosvia MATLAB.

Pode-se ainda explorar muito mais o problema do pêndulo simples. É possível modelaruma força dissipativa no sistema, como por exemplo a resistência do ar ou atrito entre par-tes móveis. Neste caso, seria observado que todas as soluções, não importando seus valoresiniciais, convergiriam para alguma solução de equilíbrio, todavia sem mudar as principais ca-racterísticas qualitativas discutidas aqui. Pode-se também desconsiderar que o corpo de massam é puntiforme e tratá-lo como um corpo rígido. É possível também considerar no modelo quea massa da barra não é zero e também tratá-la como um corpo rígido. Deve-se levar em contaque quando mais informações se adicionam ao sistema, mais complexo fica a obtenção de ummodelo.

Referências[1] STROGATZ, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: with applications to physics, biology,

chemistry, and engineering 1st. Perseus Books Publishing 1994.

[2] BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary ValuesProblems. 9th Ed. John Wiley & Sons, Inc.

[3] CHAPRA, S.C. Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB Para Cientistas e Engenhei-ros 3a Ed. McGraw-Hill, Porto Alegre 2013.

[4] STEWART, J. Calculus Early Transcendentals 7th Ed. Cengage Learning, 2013.

[5] NUSSENZVEIG, H. MOYSÉS. Curso de Física Básica Vol. 2 4a Ed. Editora Blücher.

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