ministério da educação - IFFarroupilha JC - Sistemas

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

FARROUPILHA – CAMPUS JÚLIO DE CASTILHOS

CURSO SUPERIOR DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Veridiana Natascha Meglin

RELATÓRIO DE ATIVIDADES DE ESTÁGIO IV

Júlio de Castilhos – RS

2019





Veridiana Natascha Meglin

RELATÓRIO DE ATIVIDADE DE ESTÁGIO

Trabalho apresentado como requisito para

aprovação na disciplina de Estágio

Curricular Supervisionado IV, do Curso de

Licenciatura em Matemática do Instituto

Federal Farroupilha – Campus Júlio de

Castilhos.

Orientadora: Profª. Ma. Patrícia Zanon

Peripolli

Júlio de Castilhos – RS

2019





A orientadora, Profª. Ma. Patrícia Zanon Peripolli, e a comissão examinadora, abaixo

assinada, aprovam o Relatório de Estágio Curricular Supervisionado IV, do Curso de

Licenciatura em Matemática.

RELATÓRIO DE ESTÁGIO CURRICULAR SUPERVISIONADO IV

Elaborado por VERIDIANA NATASCHA MEGLIN

Aprovado em:

COMISSÃO EXAMINADORA

_________________________________

Profª. Ma. Patrícia Zanon Peripolli

_________________________________

Profª. Ma. Mara Rubia Machado Couto

__________________________________

Prof. Dra. Siomara Cristina Broch

Júlio de Castilhos, RS

2019

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

1. ESTAGIÁRIA

1.1 Nome: Veridiana Natascha Meglin

1.2 Curso: Licenciatura em Matemática

1.3 Turma: 07

1.4 Endereço: Rua: Dr. Álvaro Guimarães n: 68

1.5 Município: Júlio de Castilhos, RS

1.6 CEP: 98130-000

1.7 Telefones: (55) 997 000 256 - (55) 981 553 792

1.8 E-mail: [email protected]

2. PARTE CONCEDENTE

2.1 Nome: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Farroupilha –

Campus Júlio de Castilhos.

2.2 Endereço: Endereço: Distrito de São João do Barro Preto Bairro: Interior

2.3 Município: Júlio de Castilhos, RS

2.4 CEP: 98130-000

2.5 Telefones: (55) 3271 – 9500

2.6 Representante Legal/Cargo: Rodrigo Carvalho Carlotto / Diretor

3. ESTÁGIO

3.1 Área de atuação: Ensino

3.2 Definição da área do estágio: Ensino de Matemática

3.3 Coordenador do Curso: Profª. Dra. Siomara Cristina Broch

3.4 Professor Orientador no Instituto Federal Farroupilha Campus Júlio de

Castilhos: Profª. Ma. Patrícia Zanon Peripolli

3.5 Carga horária total: 140 (cento e quarenta) horas

3.6 Data de início e término: 16/08/2019 até 30/11/2019

Sumário

INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 6

1. PRIMEIRAS PALAVRAS ........................................................................................ 8

2. ESCOLA ............................................................................................................... 15

2.1 Espaço ............................................................................................................. 15

2.2 Projeto Político Pedagógico ............................................................................. 16

2.3 A Professora Regente ...................................................................................... 17

2.4 A turma INFO 2A .............................................................................................. 18

3. ESTÁGIO .............................................................................................................. 20

3.1 Observação ...................................................................................................... 20

3.2 Monitoria .......................................................................................................... 21

3.3 Regência .......................................................................................................... 23

3.3.1 Planos de Aula ........................................................................................... 24

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 134

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 136

6

INTRODUÇÃO

Com o objetivo de ilustrar as contribuições que o Estágio Curricular

Supervisionado IV (ECS IV) traz para a formação acadêmica, um processo gerador

de uma experiência prática. Eis um relato do estágio supervisionado, um ambiente de

aprendizagem que auxilia na construção da identidade docente, parte importante para

formação tanto profissional quanto pessoal, e é durante o curso de licenciatura, no

estágio, que o acadêmico pode transitar entre a teoria e a prática.

Como um componente curricular obrigatório, ECS IV, proporciona ao

licenciando, vislumbrar o seu futuro local de trabalho, a sala de aula, além de,

proporcionar um ambiente que permite uma percepção sobre a realidade da escola,

oportunizando para o acadêmico novas experiências, deste modo, o ECS IV passa a

ser mais que um simples cumprimento de exigências curriculares.

Os conhecimentos e experiências que o estágio proporciona, são essenciais

para a formação integral do discente, ou seja, uma experiência em que o licenciando

mostra sua criatividade e independência, lembrando que cada vez mais, são

requisitados profissionais habilitados e bem preparados, além de ser uma etapa da

vida acadêmica, também serve de oportunidade para reafirmar a escolha profissional.

A Licenciatura traz para o aluno o conhecimento teórico e prático, porém,

muitas vezes é um trabalho difícil aliar a teoria com a prática, por isso, o estágio é a

oportunidade para o estudante ter momentos reais em sala de aula para testar

metodologias e formas de aplicação estudadas na Licenciatura.

Durante o processo de formação inicial como acadêmica, trago comigo uma

carga social, vinda de minha realidade pessoal, onde vivo um processo de evolução,

transformação que acontece de acordo, com as experiências e conhecimentos

adquiridos através de vivências e estudos. O presente relatório tem o objetivo de

mostrar uma exposição do Estágio Curricular Supervisionado IV, estágio de regência

no Ensino Médio, do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal

Farroupilha do Campus Júlio de Castilhos (IFFar).

O estágio ocorreu no período de 23 de agosto de 2019 até 26 de novembro

de 2019, na Turma de Matemática no 2º ano do Técnico em Informática Integrado,

Info 2A, do IFFar, localizada no município de Júlio de Castilhos, RS, perfazendo um

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total de 140 horas, sendo divididas em 72 horas para atividades de estudo e 68 horas

para atividades no ambiente escolar.

Tendo em vista, a importância que o estágio possui para os cursos de

licenciatura, sendo capaz de promover maior interação entre a aprendizagem

acadêmica e a compreensão das instituições de ensino, possibilitando ao acadêmico

encontrar ligação entre a teoria e a prática de sala de aula, aqui está um relato de

experiência vivenciado por mim.

O estágio é um passo importante para o encontro com a realidade da

educação. Alcança os alunos, a sala de aula e a escola. Com respaldo de autores que

já trabalharam e vivenciaram estas experiências, neste relatório apresento a escola,

a turma e os momentos de observação, monitoria e regência do ECS IV, a partir do

qual começo a preparar o meu futuro como professora.

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1. PRIMEIRAS PALAVRAS

O Estágio Curricular Supervisionado IV é um componente curricular

obrigatório que tem por objetivo a inserção dos discentes em espaços educativos, nas

diferentes modalidades e contextos do Ensino Médio. Possibilitando observar a

organização, o planejamento da prática docente e complementara formação

profissional do acadêmico, por meio dessa experiência e vivência das práticas

educativas em campo, a partir da aproximação com a realidade escolar, relacionando

sempre a teoria e a prática.

Assim, o estágio de regência proporciona a oportunidade de conhecer e

interagir com uma instituição de ensino, e também funciona como momento

potencializador no processo de formação de um professor. Nos cursos de

Licenciatura, onde o estágio é devidamente estudado e valorizado, vivenciar os

cenários profissionais é mais que uma simples experiência extra classe, ao mesmo

tempo, oferece possibilidades de ensino e aprendizagem.

Em 1996 com a aprovação da LDB 9.394/96 houve estudos sobre

modalidades de ensino, e com isso a aplicação de algumas medidas importantes para

a evolução educacional. Deu-se início ao processo de democratização do ensino

público, tinha o objetivo de alcançar mais igualdade nos direitos à educação e expandir

a oferta de vagas. Contribuía no seu efetivo cumprimento, pois se tornaram

conhecidas e acessíveis a toda a população. A Seção IV da Lei nº 9.394, de 20 de

dezembro de 1996 estabelece algumas das diretrizes da educação nacional e trata da

regulamentação do Ensino Médio.

Art. 35. O ensino médio, etapa final da educação básica, com duração mínima de 3 (três) anos, terá como finalidades: I – a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II – a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III – o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico; IV – a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina. (BRASIL, 1996, p.1)

A inclusão do ensino médio no domínio da educação básica e o seu modo

progressivamente obrigatório, no que se refere ao cumprimento dos objetivos fixados

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pela lei, demonstram o reconhecimento da importância política e social que ele possui.

Trata-se de um processo crescente de escolarização perante uma expansão do

ensino e da necessidade de fazer parte do mercado de trabalho.

Contudo, nos últimos anos, a partir de debates e negociações, foi proposta

aos educadores de todo o país, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que é um

documento que visa orientar o que é lecionado nas escolas brasileiras, este irá atingir

desde a Educação Infantil até o Ensino Médio e se trata de uma referência a ser

seguida. A BNCC possui apresenta os objetivos de aprendizagem de cada uma das

etapas de formação, tratando-se de uma ferramenta que pretende guiar a elaboração

do currículo específico de cada escola considerando suas particularidades. Assim, a

BNCC traça os objetivos a serem alcançados e o currículo determinará como será

possível atingi-los, deste modo, ela será uma referência única para que as escolas

elaborem seus currículos.

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) é um documento de caráter normativo que define o conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais que todos os alunos devem desenvolver ao longo das etapas e modalidades da Educação Básica. (BRASIL, 2016, p. 7)

Como a parte que concebe a regulamentação do Ensino Médio na BNCC,

ainda está em fase de implementação, cabe analisar uma parte de sua unidade 5

(cinco), que compete à etapa do Ensino Médio. A BNCC apresenta na unidade cinco,

o que compete à etapa do Ensino Médio.

O Ensino Médio é a etapa final da Educação Básica, direito público subjetivo de todo cidadão brasileiro. Todavia, a realidade educacional do País tem mostrado que essa etapa representa um gargalo na garantia do direito à educação. Entre os fatores que explicam esse cenário, destacam-se o desempenho insuficiente dos alunos nos anos finais do Ensino Fundamental, a organização curricular do Ensino Médio vigente, com excesso de componentes curriculares, e uma abordagem pedagógica distante das culturas juvenis e do mundo do trabalho. (BRASIL, 2016, p. 461)

Com a pretensão de qualificar profissionais, o ECS ainda oportuniza ao

acadêmico testar diferentes abordagens e aplicações aos componentes curriculares

atualmente exigidos, e assim, tentar alcançar um bom aproveitamento dos alunos,

sempre visando à aprendizagem.

Os outros documentos pesquisados e referenciados neste trabalho foram os

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e os Parâmetros Curriculares Nacionais

para o Ensino Médio (PCNEM). Com relação ao PCN da Matemática, ele diz ao

professor, que no momento ensino e aprendizagem, é necessário um entendimento

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claro dos conteúdos a serem trabalhados, com o objetivo de possibilitar aos

educandos compreenderem, sempre tentando trazer sentido ao que se é estudado.

O ensino de Matemática costuma provocar duas sensações contraditórias, tanto por parte de quem ensina como por parte de quem aprende: de um lado, a constatação de que se trata de uma área de conhecimento importante; de outro, a insatisfação diante dos resultados negativos obtidos com muita frequência em relação à sua aprendizagem. (BRASIL a. 1997, p.15).

Com o objetivo de desmitificar a matemática, o estagiário já enfrenta o seu

primeiro desafio, e, partindo para uma referência ao ensino e aprendizagem da

Matemática, é também importante que o professor (regente ou estagiário) esteja

esclarecido sobre os métodos a serem utilizados em sala de aula e as aplicações dos

conteúdos a serem trabalhados. Perfazendo o ato de conhecer o educando e obter

informações sobre ele, um auxílio para o relacionamento em sala de aula e ainda,

para a construção de aulas direcionadas aos alunos. Além disso, ter clareza sobre

seus objetivos, tornando possível definir metodologias e formas de avaliação

adequadas. O PCN fala ainda:

Outro ponto importante a destacar é o de que, por meio de trocas que se estabelecem entre si, os alunos passam a deixar de ver seus próprios pontos de vista como verdades absolutas e a enxergar os pontos de vista dos outros, comparando-os aos seus. Isso lhes permite comparar e analisar diferentes estratégias de solução. (BRASIL a. 1997, p.55).

É de responsabilidade do professor, buscar conhecimentos e estratégias para

melhor ser compreendido pelos educandos. Seu trabalho será atingir o máximo de

aproveitamento de cada aluno, oferecendo diferentes formas de abordagem do

conteúdo, buscando constantemente novas metodologias para conduzir à

aprendizagem matemática.

Dentre os objetivos do ensino de Matemática apresentados pelo PCNEM,

podemos citar o de levar a Matemática para a realidade do aluno, mostrar as possíveis

relações existentes com o mundo fora da sala de aula, utilizando os recursos

matemáticos cabíveis e previamente selecionados, planejados e organizados, com

objetivos claros e a partir daí, interpretar e avaliar a evolução dos educandos,

identificar as falhas e dificuldades para corrigi-las.

No ensino médio, etapa final da escolaridade básica, a Matemática deve ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para a formação de todos os jovens, que contribui para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional. (BRASIL b. 1998, p.111).

11

Entender a matemática da natureza, os elementos que estão a sua volta, são

ponderações que precisam ser levadas em conta e ainda hoje, há muitos que não

reconhecem a existência da matemática no cotidiano, e mostrar que está lá, é uma

tarefa difícil, mas gratificante e atribuída ao professor. No ECS se apresenta esta

tarefa ao acadêmico, com respaldo e amparo teórico de professores que já

vivenciaram essa etapa.

Voltando a referência do PCNEM com relação à Matemática pode-se concluir

que o conhecimento pessoal alia-se ao conhecimento especifico facilitando as

interações. O ECS funciona como um momento importante para estas interações, pois

possibilita ao acadêmico conhecer uma instituição de ensino e interagir com seus

alunos.

O Estágio Curricular Supervisionado em um curso de Licenciatura tem como

objetivo a integração entre conhecimentos práticos e conhecimentos teóricos que

complementam a formação acadêmica. O estágio compreende atividades como a

observação, momento em que o estagiário observa a prática pedagógica de

professores já formados e que atuam na rede de ensino, seguidas de monitoria e

regência, ocasiões em que o acadêmico atua em sala de aula juntamente com o

professor, desenvolve algumas atividades e após ministra aulas com base no

planejamento previamente elaborado.

Durante o curso de graduação começam a ser construídos os saberes, as habilidades, posturas e atitudes que formam o profissional. Em períodos de estágio, esses conhecimentos são resinificados pelo aluno estagiário a partir de suas experiências pessoais em contato direto com o campo de trabalho que, ao longo da vida profissional, vão sendo reconstruídos no exercício da profissão. (PIMENTA, 2012, p. 73)

Essas práticas proporcionadas no estágio, têm o objetivo de contextualizar as

áreas de formação curricular, agregando teoria e prática, além de propor a iniciação

profissional como um saber fazer, e conduzindo ensinamentos dados por teorias de

ensino e aprendizagem. O aprendizado em qualquer profissão envolve a prática, os

planejamentos e a preparação das aulas são uma parte do aprendizado adquirido com

a prática do ECS.

As observações feitas na parte inicial do estágio e o contato com a escola,

permitem aos acadêmicos ter uma noção realista da situação das escolas e do que

irão encontrar na sua profissão. Possibilitando conhecer o espaço físico da escola, o

12

perfil dos alunos e, assim organizar atividades adequadas à realidade do educando

ou às suas necessidades.

Por outro lado, é fundamental que os futuros professores tenham conhecimento profundo e compreensão da matemática do curriculum escolar e de como ela vincula-se à disciplina matemática. (...) Isso inclui o aprofundamento dos tópicos matemáticos escolares, uma ampla compreensão dos conceitos matemáticos significativos e de como eles relacionam-se com outras partes do curriculum. (FIORENTINI, 2008, p. 73)

Já se sabe que a prática traz a experiência, e dentro do ECS IV, que é

distribuído em etapas de observação, monitoria e regência é possível exercitar o ato

de “dar aula”. Desde as primeiras aulas de observação, quando assisti a professora

regente em seu trabalho, passando pelas aulas de monitoria, onde é possível citar a

consciência que passei a ter através do relacionamento com os alunos, que passa a

se estreitar, e por último, a regência, tempo de se desafiar em um mundo novo, ou, o

mundo da sala de aula, porém, vista de um outro ângulo, como regente de turma, é a

hora de pôr o que estudamos em prática.

Contudo, o estágio traz uma carga de experiência, traduzida nos planos de

aula, ou seja, ensina a identificar a turma, saber como se comportam em diferentes

situações, quanto tempo é necessário para realizar uma atividade, ou transmitir um

conteúdo, noções adquiridas ao longo do convívio com a turma durante a observação

e a monitoria. ECS apresenta um importante aspecto na formação profissional, é um

momento de aprendizagem, problematização e reflexão a respeito do exercício

docente.

O ECS IV vai muito além de um simples cumprimento de exigências

acadêmicas. Tratando da monitoria, um espaço igualmente considerado na formação

de professores, é um contribuinte eficaz na construção da identidade docente, pois

traz à atividade a capacidade de conhecer e reconhecer o educando e suas

competências. Auxilia na percepção e construção do conhecimento sobre a prática

docente, como agir e como os alunos reagem em diferentes situações. Tudo isso a

partir do momento que passa a auxiliar o professor regente ao longo das aulas,

tornando assim compreensível a importância da monitoria.

A moral que subjaz às questões que analisamos é que o estágio possui uma capacidade formativa que vai muito além do mero training (formação) pré-profissional. O estágio é um momento da formação no qual se privilegiam dois aspectos básicos e interconectados entre si: o contato com um cenário profissional real e a função encontro. (ZABALZA, 2014, p.114)

13

Ao concordar com Zabalza quando trata o estágio como um encontro, pois é

exatamente isso, um encontro com a realidade, com o mundo profissional que

aguarda o acadêmico, sem deixar de mencionar o contato com alunos detentores de

conhecimentos interativos. O ambiente de estágio proporciona não só um local de

desenvolvimento de habilidades mas de pôr à prova os próprios conhecimentos, e

também é espaço de aprendizagem e interação.

A atividade da monitoria no estágio supervisionado possibilita reflexões

referentes à prática docente e contribui para um melhor desenvolvimento de

ferramentas a serem utilizadas durante as aulas. Esta prática é o primeiro contato que

o acadêmico terá com seu futuro campo de atuação. A observação e a monitoria são

os primeiros passos em direção da construção de futuras ações pedagógicas.

Ou seja, uma das contribuições importantes do estágio, como primeiro contato com a profissão, é que permite aos estudantes fazerem uma checagem pessoal sobre seus pontos fortes e fracos em relação às atividades profissionais às quais pretende se incorporar. (ZABALZA, 2014, p.243)

O mais claro objetivo do ECS IV é proporcionar ao licenciando a ocasião de

aplicar os conhecimentos adquiridos ao longo de sua vida acadêmica em situações

de exercício da profissão, sendo assim, permitindo criar a possibilidade de

desenvolver suas habilidades, possibilitando corrigir e melhorar seus métodos.

Durante a regência se adquire uma prática docente, a qual precisa ser

pensada a cada dia, em cada aula planejada. Este é um momento de vivência da

profissão e completa uma etapa do processo de formação, e a partir daí, evoluir como

profissional e contribuir no desenvolvimento dos educandos.

Aprender que, com a aplicação de atividades também é possível avaliar o

nível de aprendizagem de um educando, é uma atribuição da regência, e também

propicia perceber o que irá enfrentar no decorrer de sua carreira docente, adquirindo

experiência e segurança no trabalho desenvolvido, tornando ainda mais relevante a

regência como componente curricular do estágio supervisionado, e assim contribuindo

diretamente para uma boa formação acadêmica.

Independentemente do conteúdo especifico e do nível de ensino há uma série de aspectos ou temas que devem ser tratados na formação de professores para ampliar seu conhecimento da matemática: resolução de problemas em matemática; raciocínio em matemática, comunicação em matemática; conexões dentro da disciplina da matemática e com o mundo real. (FIORENTINI, 2008, p. 74)

14

Durante a Licenciatura, a ocasião de conhecer os cenários profissionais é

durante o estágio, oportunidade que oferece possibilidades reais de ensino e

aprendizagem gerando novas experiências. A regência proporciona refletir sobre a

realidade, desenvolver um trabalho planejado, pensado e construído por mim. É a

hora de ser o melhor possível para os educandos, com objetivo e finalidade voltados

ao processo formativo, além de, auxiliar o licenciando no entendimento das teorias

que compõem a sua formação

15

2. ESCOLA

O Instituto Federal Farroupilha – Campus Júlio de Castilhos traz como missão

“promover a educação profissional, científica e tecnológica, pública, por meio do

ensino, pesquisa e extensão, com foco na formação integral do cidadão e no

desenvolvimento sustentável.”(BRASIL, 2017, p.16), desde a sua fundação como

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Farroupilha em 2009, a partir da

integração das escolas técnicas que se tornariam os campus Alegrete, Júlio de

Castilhos, Santo Augusto e São Vicente do Sul e quando foi construída a Reitoria em

Santa Maria.

Equivalentes às Universidades, cuja diferença são os cursos de nível médio,

os Institutos começaram a ser criados a partir de 2008, amparados pela Lei

11.892/2008 que estabeleceu a Rede Federal de Educação Profissional, Cientifica e

Tecnológica, na Seção III, Dos Objetivos dos Institutos Federais, Art. 7º constam os

objetivos para os cursos de nível médio, dos quais, alguns são:

I - ministrar educação profissional técnica de nível médio, prioritariamente na forma de cursos integrados, para os concluintes do ensino fundamental e para o público da educação de jovens e adultos; II - ministrar cursos de formação inicial e continuada de trabalhadores, objetivando a capacitação, o aperfeiçoamento, a especialização e a atualização de profissionais, em todos os níveis de escolaridade, nas áreas da educação profissional e tecnológica; III - realizar pesquisas aplicadas, estimulando o desenvolvimento de soluções técnicas e tecnológicas, estendendo seus benefícios à comunidade; IV - desenvolver atividades de extensão de acordo com os princípios e finalidades da educação profissional e tecnológica, em articulação com o mundo do trabalho e os segmentos sociais, e com ênfase na produção, desenvolvimento e difusão de conhecimentos científicos e tecnológicos; V - estimular e apoiar processos educativos que levem à geração de trabalho e renda e à emancipação do cidadão na perspectiva do desenvolvimento socioeconômico local e regional; (BRASIL, 2008, p. 5)

A oferta do ensino médio e dos cursos de formação para a educação básica,

na mesma instituição de ensino, proporcionam ao acadêmico de Licenciatura a

vivência extra classe que integra a perspectiva de aluno à de observador, aumenta o

vínculo com a instituição, ampliando suas concepções de educação, ensino,

aprendizagem e visualizando de perto a realidade pós formação.

2.1 Espaço

O Instituto Federal está localizado à RS 527 – Estrada de acesso secundário

para Tupanciretã – distrito de São João do Barro Preto em Júlio de Castilhos, Opera

16

nos eixos tecnológicos de Recursos Naturais, Gestão e Negócios, Informação e

Comunicação e Produção alimentícia, conforme Plano de Dados Abertos do IF

Farroupilha.

Foi implantado na fase 1 da Expansão da Rede Federal de Educação

Profissional, Cientifica e Tecnológica, e iniciou suas atividades letivas em 2008, na

Unidade Descentralizada de Ensino (UNED) de Júlio de Castilhos, inaugurada em 29

de maio de 2008. Com a lei 11.892, de 29 de dezembro de 2008, tornou-se o Campus

Júlio de Castilhos.

Os Institutos de Educação são instituições de ensino públicas e gratuitas, com

foco na oferta de cursos técnicos de nível médio, de graduações ligadas à tecnologia,

às ciências exatas e de formação de professores para a educação básica. Alguns

campus também oferecem cursos de Pós-Graduação e cursos de formação

profissional ligados a programas governamentais. Segundo informações oficiais

obtidas no site1 do instituto, hoje conta com 15 polos de Educação à distância, 16

unidades entre reitoria, campus, campus avançado e centros de referência onde 136

cursos são ofertados, abrangendo cerca de 31 municípios.

2.2 Projeto Político Pedagógico

O IFFar tem por visão “ser excelência na formação de técnicos de nível médio,

professores para a educação básica e demais profissionais de nível superior, por meio

da pesquisa, da extensão e da inovação” (BRASIL, 2017, p.16), uma visão que gera

expectativas para um ensino de qualidade, e parte de um processo formativo de

sujeitos capacitados para construir suas vidas e serem transformadores responsáveis

pela evolução da sociedade em que vivem.

Com a diversidade de cursos e modalidades de ensino oferecidos, existem

documentos que norteiam as ações pedagógicas, como o Projeto Pedagógico dos

Cursos Técnicos do Instituto Federal Farroupilha Campus Júlio de Castilhos (PPC).

No que compete ao curso Técnico em Informática, de modalidade presencial

e integrado ao Ensino Médio, pertencente ao Eixo Tecnológico de Informação e

comunicação, com 30 vagas e ofertado em período integral (manhã e tarde), possui

uma carga horária total de 3266 horas, distribuídas ao longo dos 3 anos de Ensino

1 www.iffarroupilha.edu.br

17

Médio, das quais 160 h/a são destinadas à Matemática do segundo ano, conforme

PPC do Técnico em Informática Integrado, que traz, como alguns dos objetivos

específicos para o curso:

Buscar, por meio das disciplinas técnicas, a formação de um profissional capaz de identificar os elementos básicos de informática, os sistemas operacionais, as diferentes linguagens de programação, os elementos de qualidade de softwares e multimídia; Promover o estudo e a discussão de temas e tendências atuais, bem como a troca de conhecimentos a fim de inserção no mundo do trabalho. (BRASIL, 2016. p. 15)

O estágio proporciona momentos de investigação, observação das práticas

pedagógicas em sala de aula, o que torna possível visualizar se, os objetivos traçados

pelo PPC são levados em conta ao preparar e aplicar os conteúdos em sala de aula.

Entre os objetivos, articular a vida escolar com o futuro trabalho pode ser uma

alternativa de aprendizagem. Atividades que desenvolvam capacidades e habilidades

diferenciadas, tornando qualquer estudo instrutivo e proveitoso gerando diálogos e

reflexões, com isso, proporcionar ao acadêmico um encontro diferente com a

educação, base para o desenvolvimento humano, gerado através da convivência com

os alunos, observando o comportamento deles, conversando, questionando e se

familiarizando com cada aluno em sala de aula. Conhecer suas perspectivas,

investigando e indagando o educando, torna possível uma orientação para um bom

desenvolvimento e facilita no planejamento das aulas.

2.3 A Professora Regente

A professora regente é formada em Licenciatura em Matemática e possui

Especialização em Gestão Escolar pelo IFFar com Mestrado em Educação

Profissional e Tecnológica na UFSM e segue se atualizando participando de cursos e

eventos.

Durante conversas que aconteceram ao longo do estágio, perguntei a

professora regente sobre sua primeira experiência em sala de aula e quanto ao seu

primeiro contato profissional e o atual local de trabalho. A resposta: “Minha primeira

experiência em sala de aula foi por meio do Programa Institucional de Bolsa de

Iniciação à Docência (PIBID), antes mesmo do estágio, que possibilitou conhecer a

realidade das escolas e da sala de aula. Após a conclusão da licenciatura, comecei a

trabalhar com o ensino fundamental e médio na rede estadual de ensino, e atualmente

18

trabalho como professora substituta do IFFar campus Júlio de Castilhos, com turmas

do Ensino médio integrado, PROEJA, e ensino superior”.

Sobre suas aulas, pude notar que sempre havia um planejamento prévio, com

possibilidades de alteração conforme andasse a aula. Sempre parecia e transmitia

segurança com os conteúdos, trabalhou exemplos claros e exercícios compatíveis

com o que apresentava. Percebi uma boa relação com a turma.

Falando sobre a vida de professor e os cursos de formação continuada,

salientou que desde a sua formação, procurou fazer todos os cursos que lhe

acrescentariam conhecimento e aproveitou quando havia oportunidade. Um exemplo

a ser seguido, pois a constante busca por ensinamentos faz do professor um eterno

aprendiz.

2.4 A Turma INFO 2A

O segundo ano do Curso Técnico em Informática Integrado ao Ensino Médio,

do IFFar – Campus Júlio de Castilhos, é uma turma composta por 16 alunos, com

meninos e meninas na faixa etária de 16 a 18 anos.

Durante o estágio foi possível, em diferentes momentos, observar e tentar

reconhecer os tipos de alunos ali presentes. Nas horas de observação, em que não

tinha muito contato, mas os observava, desde os primeiros instantes notei se tratar de

uma turma diferente do que já havia presenciado até então.

Nas primeiras aulas com monitoria, entre eles, conversando um pouco

interagindo às vezes, percebi um tom de estranheza com a situação (duas

professoras, como assim?), porém, aos poucos se dissipou e eles passaram me ver

como um ser comum, alguém com quem conviveriam dali para frente.

Na primeira aula de regência, preparei um momento em que nos

apresentaríamos, de forma aleatória, começando por mim, e para isso, coloquei em

um slide algumas sugestões de perguntas que poderiam ser respondidas durante as

apresentações pessoais, foi quando tive minha primeira surpresa com essa turma,

havia planejado um tempo de aproximadamente 20 minutos para as exposições deles,

e na realidade, essa conversa durou pouco mais de 60 minutos.

Nesta hora de troca de conhecimentos, aprendi que nem sempre as turmas

são conforme imaginamos, dentre os 16 alunos, apenas 4 deles disseram que

pretendem continuar no caminho da informática, inclusive, um deles com objetivo de

19

fixar residência no exterior após formação na área de tecnologia. Durante esse

período, outra surpresa, 15 alunos sugeriram como metodologia de ensino explicação

do conteúdo, exemplos e resolução de exercícios, inclusive, disseram para deixar

listas de exercícios à serem resolvidos nos fins de semana. Eu me perguntei se era

possível, se era real, quase não acreditei quando, de um por um, sugeriram a lista de

fim de semana, mas foi assim que aconteceu.

E durante o período de estágio, também percebi uma turma relativamente

unida, sem conflitos entre colegas, uma divisão natural da turma a qual notei ser uma

aproximação por afinidade de alunos com comportamentos parecidos, ou seja, uma

aproximação cultural saudável que gira em torno de uma convivência típica de

adolescentes, com brincadeiras, risadas, pequenos e breves conflitos.

Então, essa é a turma INFO – 2A, colegas que se respeitam e acostumados

a uma carga horária intensa, mas dispostos a adquirir conhecimento, que aos olhos

deles, a melhor maneira para isso é exercitando o conteúdo com exercícios. Quem

diria!?

20

3. ESTÁGIO

3.1 Observação

Para a parte de observação foram 6 horas aula, onde estive presente como

observadora e pude perceber a metodologia da professora regente e o retorno dos

alunos. Notei bom relacionamento entre os alunos e a professora e também entre os

colegas. O que sugere a oportunidade de realizar um bom trabalho com a turma.

Distribuídas em 3 aulas de 2 períodos, as aulas observadas trouxeram a

chance de analisar a turma e o comportamento dos alunos, que desde os momentos

iniciais se mostraram respeitosos entre si e muito tranquilos.

Na primeira aula, estavam sentados dispostos em semicírculo, o que pareceu

ajudar para que a professora conseguisse atender a todos, sempre atenciosa. Os

alunos estavam trabalhando com uma lista de exercícios que serviria como revisão

para prova, alguns solicitavam o auxílio da professora, mas percebi que a maioria

estava conseguindo trabalhar com autonomia. Não se pode negar que existam

momentos de dispersão, que nessa aula foram poucos, e basicamente discutia-se o

conteúdo, as conversas paralelas eram apenas murmurinhos breves e nem chegaram

atrapalhar a aula. Os colegas, de modo geral, trabalham bem juntos.

E como em qualquer turma, quando o fim da aula se aproximou os alunos

começaram a ficar mais agitados e com mais pressa para resolver os exercícios. Na

medida em que o tempo passava os colegas se ajudavam e assim resolviam à lista.

Muitos mostraram bom entendimento do conteúdo. Por fim, com muita agitação a aula

se findou e pelo que pude perceber quase todos os alunos já haviam terminado a

atividade proposta.

Na aula seguinte, momento em que haveria uma avaliação do conteúdo,

porém, depois de uma comoção geral, a prova foi adiada para a aula seguinte. O

objetivo do pedido dos alunos era usar esse momento para revisar o que havia sido

trabalhado até então e concluir o estudo dos exercícios da aula anterior.

Como muitos alunos conseguiram resolver toda a lista ou pelo menos uma

boa parte dela, a professora regente pediu para que os educandos colocassem as

questões resolvidas no quadro, assim, ela teria tempo para atender as dúvidas que

ainda pudessem existir com os demais alunos.

21

Com a percepção sobre alguns alunos que estavam com dúvidas parecidas

ou não estavam completamente seguros quanto ao entendimento de algumas

questões, a professora regente concluiu a resolução dos exercícios no quadro,

comentando e explicando passo a passo. Contudo, apesar do cansaço aparente, essa

aula foi proveitosa, pois os alunos concluíram a resolução dos exercícios e a revisão

pra prova se deu por completa.

A última aula observada foi o dia da prova, havia muito silêncio na sala de

aula e a professora, antes de iniciar a avaliação, colocou algumas fórmulas das razões

trigonométricas no quadro. E, durante esse momento, as dúvidas que apareciam eram

sobre a matemática básica, operações simples, que não eram possíveis ser

respondidas, estavam sob avaliação. Outro ponto que notei, foi o nervosismo que

tomou conta da maioria dos alunos. Por fim, ao concluir a avaliação, os alunos

estavam liberados.

3.2 Monitoria

As 12 horas aula de monitoria foram indispensáveis. Nesse momento estava

em contato direto com os alunos, podia tentar conhecer eles mais de perto, e com isso

me preparar para a regência, passo seguinte do ECS IV.

Durante os períodos de monitoria, que aconteceram ao longo de 5 aulas e

posteriormente uma tarde de Recuperação Paralela (RP), presenciei por parte da

professora regente, clareza na explicação dos conteúdos, gerando alunos

aparentemente esclarecidos com os novos conhecimentos adquiridos, e colocados à

prova, quando a professora pedia que resolvessem algumas questões apresentadas

sozinhos, e eles resolviam. No início, era pouco solicitada para ajudar, porém, quando

me aproximava ou oferecia ajuda eles aceitavam, comportamento que me mostrou

falta de intimidade ou proximidade com a turma, o que era esperado das primeiras

interações.

Foi em uma dessas aulas que presenciei a entrega das avaliações, corrigidas,

aos alunos. Avaliações que não obtiveram resultado satisfatório porque alguns alunos

ficaram abaixo da média, resultado que os deixou chateados, abalados e ao mesmo

tempo gerou um ânimo que fez com eles se esforçassem ainda mais para resolver os

exercícios propostos em aula, pareciam correr atrás do estudo perdido. E para ajudar

com a resolução, a professora regente colocou no quadro as fórmulas utilizadas. A

22

partir desse dia, passei a ser solicitada com frequência para auxiliar os alunos, o gelo

foi quebrado.

A professora regente demonstrou bastante cuidado em resolver e esclarecer

a solução dos exercícios que geraram mais dúvidas. E como método de fixação do

conteúdo, utilizava da resolução de questões para poder atender os alunos

individualmente sempre que solicitada.

Os alunos têm liberdade para sentarem com os colegas, ou pequenos grupos,

sempre com a finalidade de socialização sobre a aula, troca de conhecimentos, o que

geralmente acontecia, os colegas, sempre que oportuno, trabalhavam em grupo.

Em uma terça de manhã, também monitoria, pude presenciar uma saudável

competição, eis que o melhor aluno do dia seria aquele que concluísse a resolução

de todos os exercícios propostos pela professora regente antes dos demais, e em

meio a brincadeiras, uns ajudavam os outros e assim, três alunos terminaram juntos

e comemoraram, porém, como a aula ainda não havia acabado e eles não podiam

sair da sala, resolveram ajudar os colegas sentados mais próximos. Não foram todos

que terminaram ainda em aula a resolução completa, mas as atitudes que presenciei

e o esforço de todos para conseguir resolver as questões, foi a minha lição do dia.

Estive presente, também como monitora, em outra avaliação aplicada pela

professora, um trabalho avaliativo, que foi resolvido e entregue por dupla de alunos, e

se formaram por afinidade. Estavam inquietos, mas nada de conversas passiveis de

atrapalhar o andamento da resolução do trabalho, que foi concluído por todos em

pouco mais de 60 minutos.

Também presenciei uma tarde de sexta feira um pouco desanimada.

Conversando com os alunos, soube que o motivo de tal sentimento era o fato deles

não estarem no evento DESCUBRA, na cidade de Santa Maria. Essa foi uma aula de

pouco rendimento, os educandos estavam dispersos, silenciosos e aparentemente

cansados, e, acredito que se a professora não estivesse em sala e com a aula

acontecendo, muitos teriam dormido no tempo de aula que restava. No entanto, com

a chegada dos exercícios, os alunos despertaram para resolvê-los até o fim da aula.

A monitoria é estar presente, sem a responsabilidade de ministrar a aula, mas

agregando o conhecimento sobre as pessoas que estão na sala, como se comportam,

quando são mais ativos ou o que os faz desanimar. Reconhecer quem eu estava

23

prestes a trabalhar era uma etapa importante para me planejar, e trabalhar nas aulas

que eu levaria para esses educandos.

Outra oportunidade que aproveitei, entre as aulas de regência, foi trabalhar

durante uma tarde inteira com uma proposta de Recuperação Paralela para fazer uma

revisão de conteúdos trabalhados até aquele momento. Foi uma atividade no contra

turno (à tarde), e para minha surpresa, dos 16 alunos da turma, 14 compareceram e

ficaram durante toda a tarde, ou pelo menos até a conclusão das atividades que

sugeri.

3.3 Regência

A regência é uma prática de aprendizado, ou seja, proporciona ao acadêmico

um conhecimento extra sobre os instrumentos teóricos e práticos imprescindíveis para

a execução da função de professor regente. É objeto importante para a interação e

realização de atividades referentes à futura profissão.

Foram 30 horas aula, distribuídas em 15 aulas de 2 períodos (100 minutos).

Durante estes períodos como regente de uma turma de Ensino Médio, tive só

momentos bons, em sala de aula, consegui trabalhar tranquilamente, me senti bem

recebida pelos alunos, que foram receptivos desde a primeira regência, proximidade

que atribuo a estar convivendo com eles a algumas aulas.

Senti algumas dificuldades na hora de planejar as aulas, como por exemplo,

conseguir montar um conteúdo completo que tivesse algo diferente e não fosse

cansativo. E além disso, tentei seguir a sugestão (dada durante a conversa

introdutórias às aula) dos alunos, uma sequência composta apenas de conteúdo,

exemplos e muitos exercícios de fixação, pois para eles, era o método mais efetivo

para compreensão do conteúdo. Diante disso, fiz o possível para transmitir o mais

completo conteúdo sem deixar de agregar algum método diferenciado, como história

da matemática e resoluções de problemas.

São ótimos alunos, mas, de comportamento mutável, o que é normal, e com

isso, havia dias em que as aulas rendiam muito, outros dias eram difíceis de concluir

o planejado. Sei que o estágio serve para mostrar todos esses momentos, e que

existem frustrações, porém, os dias bons passam a ter mais valor.

Junto com a regência vieram as horas de planejamento, instantes em que só

pensava em conseguir alcançar o máximo de aproveitamento por parte dos alunos e

24

também refletia sobre os conteúdos presentes nos livros que usei durante o estágio,

montava verdadeiros mapas mentais e planejava minunciosamente as aulas para que

não houvesse falha ao conduzi-los pelos caminhos dos conhecimentos matemáticos.

As observações individuais das aulas estão contidas no fim dos planos de aula

seguintes.

3.3.1. Planos de aula

PLANO DE AULA (aula 1)

Curso/Turma: Licenciatura em Matemática

Nome da Professora Estagiária: Veridiana Natascha Meglin

Disciplina: Matemática

Data: 01 de outubro de 2019

Horas-aula: 2 Período: 100 minutos

Conteúdo: Sequência e Progressões Aritméticas.

Objetivos:

- Objetivo Geral:

Conhecer fatos e curiosidades históricas que envolvem os conteúdos de

sequência e P.A..

- Objetivos Específicos:

Reconhecer as formas matemáticas presentes no cotidiano;

Resolver as situações problema propostas;

Trabalhar com entusiasmo.

Metodologia:

Apresentação de fatos e curiosidades históricas com uso de slides e data show.

25

Recursos Didáticos:

Data show, quadro verde e giz.

Desenvolvimento:

Apresentação de slide:

26

27

28

Avaliação:

A aula será satisfatória se o aluno atingir todos os objetivos

Referências Bibliográficas: BARROSO, J. M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai Paulo: Moderna, 2010

29

DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2011. ______, L. R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Ática, 2017. Matemagil, 2011. Disponível em: http://matem-agil.blogspot.com/2011/05/progressoes-aritmeticas-pa-e.html. Acesso em: 10 ago. 2019. Mundo educação, 2019. Disponível em:

https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sequencia-fibonacci.htm. Acesso em: 10 ago. 2019. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015 SMOLE, K. S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010. Só Matemática, 2019. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/biograf/gauss.php. Acesso em: 10 ago. 2019.

Observação da aula:

Nesta primeira aula, antes de chegar estava nervosa, pois me vi frente a uma

turma de segundo ano do Ensino Médio, uma faixa etária que eu ainda não havia

trabalhado e também não tinha noção de como seria recebida.

Havia planejado iniciar a aula com uma apresentação da turma, e para isso

construí uma peno questionário (para evitar a falta do que dizer), que seria

respondido oralmente, em formato de conversa. Momento que nos meus planos,

duraria aproximadamente 20 (vinte) minutos.

Eis minha primeira surpresa, a apresentação durou quase 1 (uma) hora. E desta

conversa anotei algumas ponderações:

Os alunos enfatizaram a importância da matemática na informática, alguns até

disseram que a informática não existe sem a matemática, outros identificaram

a disciplina como útil e necessária, além de citarem o fato de serem

complementares (a matemática e a informática) uma da outra;

Consegui identificar, através dessa conversa, adolescentes que estão

preocupados com seu futuro profissional, a maioria pretende seguir

estudando, poucos disseram optar por seguir a área da informática, e

relataram terem escolhido estudar na instituição, principalmente, pela

qualidade do ensino ofertado e não tanto pelo curso em si, ou seja, educação

30

de qualidade, e isto, apesar de considerarem a carga horária do curso

carregada;

Quando perguntados sobre sugestões que dariam para melhorar as aulas de

matemática (segunda surpresa), um pedido unânime de listas de exercícios,

que segundo os argumentos dos próprios alunos, são o melhor método para

eles fixarem os conteúdos trabalhados;

Coloquei uma opção de pergunta sobre alguma memória afetiva que

pudessem ter relacionada à matemática, além de uma das alunas que tem

uma tia que é professora de matemática, a maioria comentou que, em sua vida

como educando, a matemática era só mais uma matéria, até chegar ao

segundo ano do ensino médio, onde conheceram a professora regente do

primeiro semestre, e perceberam que a matemática, através da linguagem e

métodos utilizados pela professora, não é só uma matéria qualquer, é a base

para qualquer estudo.

Em virtude da boa conversa ter ocupado boa parte da aula, consegui mostrar um

pouco do que tinha planejado e realizar a atividade de desenhar (construir) o

retângulo (espiral) áureo, sem o auxílio de ferramentas de desenho (régua e

compasso), onde percebi um grau de criatividade para executar as medidas

aproximadas para construir o retângulo todo com o máximo de precisão possível,

e apesar das reclamações por não poderem usar os instrumentos facilitadores de

desenho, todos realizaram a atividade em tempo hábil e com bom desempenho.

O fim da aula chegou assim que mostrei o problema contido no Papiro de Hind,

sobre a divisão de pães. E assim a conclusão dessa apresentação das demais

atividades ficou para a aula seguinte.

Depois dos momentos de nervosismo e tensão pré aula, acredito que em virtude

de estar em contato com a turma por algum tempo, entre observação e monitoria,

a aula correu tranquilamente, foi parcialmente finalizada, porém, mesmo faltando

uma parte, houve um bom rendimento no que foi apresentado e, sendo assim, os

objetivos propostos foram parcialmente alcançados.

31







Conteúdo: Sequências.

Objetivos:

- Objetivo Geral:

Entender o que são sequências e suas propriedades.


Identificar sequências;

Reconhecer as diferenças entre conjuntos e sequencias;

Escrever sequencias usando sua Lei de Formação.

Estar confortável e animado com o aprendizado do conteúdo novo.

Metodologia:

Exposição verbal.


Quadros verde e branco, giz e caneta.

Desenvolvimento:

Sequências

32

Definição: sequência numérica é uma função 𝑓 cujo domínio está contido em ℕ∗ e cujo contradomínio é ℝ, ou seja, toda aplicação 𝑓: ℕ∗ ⟶ℝ. Assim em toda sequencia finita, a cada número natural 𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) está associado uma número

𝑎.

𝑓 = {(1, 𝑎1), (2, 𝑎2), (3, 𝑎3), (4, 𝑎4),… , (𝑛, 𝑎𝑛)}; indica-se a sequência apenas pela imagem.

𝑓 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … , 𝑎𝑛}

De modo geral, representamos uma sequência como: 𝑓 = (𝑎1)𝑖 ∈ ℕ∗

Exemplos de Sequência:

1) Sequência de números primos menores que 15:

(1, 2, 3, 5, 7, 11, 13)

2) Sequência de múltiplos de 2, entre 1 e 15:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)

3) Sequência Fibonacci com 𝑎𝑛 = 21:

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21)

4) Sequência de números pares > 0:

(2, 4, 6, 8, 10, 12,… )

5) Sequência dos múltiplos de 3:

(0, 3, 6, 9, 12, 15, 18,… )

Obs:

Sequência finita: número limitado de termos. Função de domínio 𝐴 = {1, 2, … , 𝑛} com 𝐴 ⊂ ℕ∗

e contradomínio 𝐵 ≠ ∅.

Sequencia infinita: número ilimitado de termos. Função de domínio ℕ∗ = {1, 2,… } e

contradomínio 𝐵 ≠ ∅.

33

SEQUÊNCIAS ≠ CONJUNTOS

A ordem é fundamental

(1, 2, 3) ≠ (3, 2, 1)

Usa-se parênteses

(1, 2, 3, )

≠

A ordem não tem importância

{1, 2, 3} = {3, 2, 1}

Usa-se chaves

{1, 2, 3}

Termos de uma sequência;

𝑎1 ⟹ primeiro termo

𝑎2 ⟹ segundo termo

⋮

𝑎𝑛 ⟹ n-ésimo termo

Lei de formação:

Interessam à matemática as sequências em que os termos se sucedem obedecendo certa regra, isto é, um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos de uma sequência e a ordem em que se apresentam se faz necessária, ou seja, a LEI DE FORMAÇÃO é esse conjunto.

A lei de formação pode ser apresentada de três maneiras:

1) FÓRMULA DE RECORRÊNCIA: São dadas duas regras, uma para identificar

o primeiro termo (𝑎1) e a outra para calcular cada termo (𝑎𝑛) a partir de seu

antecedente (𝑎𝑛−1)

{

𝑎1𝑎𝑛−1𝑎𝑛

Exemplo 1

Escrever a sequência finita 𝑓, cujos termos obedecem a seguinte formula de recorrência:

𝑎1 = 2; 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 3, ∀ 𝑛 ∈ {2, 3, 4, 5}

34

Solução:

𝑛 = 2 ⇒ 𝑎2 = 𝑎2−1 + 3 𝑎2 = 𝑎1 + 3 𝑎2 = 2 + 3

𝑎2 = 5

𝑛 = 3 ⇒ 𝑎3 = 𝑎3−1 + 3 𝑎3 = 𝑎2 + 3 𝑎3 = 5 + 3

𝑎3 = 8

𝑛 = 4 ⇒ 𝑎4 = 𝑎4−1 + 3 𝑎4 = 𝑎3 + 3 𝑎4 = 8 + 3

𝑎4 = 11

𝑛 = 5 ⇒ 𝑎5 = 𝑎5−1 + 3 𝑎5 = 𝑎4 + 3 𝑎5 = 11 + 3

𝑎5 = 14

Então: 𝑓 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) ⟹ 𝑓 = (2, 5, 8, 11, 14)

2) EXPRESSANDO CADA TERMO EM FUNÇÃO DA POSIÇÃO: é dada uma

fórmula que expressa 𝑎𝑛 em função e 𝑛.

Exemplo 2

Escrever a sequência 𝑓, cujos termos obedecem à lei: 𝑎𝑛 = 2𝑛, para 𝑛 ∈ ℕ∗.

𝑎𝑛 = 2𝑛; 𝑛 = {1, 2, 3, 4,… }

Então, a sequência 𝑓 = (2, 4, 8, 16,… )

3) POR PROPRIEDADE DOS TERMOS: é dada uma propriedade que os termos

da sequência devem apresentar.

Exemplo 3

a) Escrever a sequência dos números ímpares: (1, 3, 5, 7, 9, 11,… ) b) Divisores positivos do 24: (1, 2, 3, 4, 6, 12, 24)

EXERCÍCIOS

1) Escrever os termos da sequência tal que 𝑛 ∈ ℕ∗ e 𝑛 ≥ 2.

𝑛 = 1 ⇒ 𝑎1 = 21 𝑎1 = 2

𝑛 = 2 ⇒ 𝑎2 = 22

𝑎2 = 4 𝑛 = 3 ⇒ 𝑎3 = 2

3 𝑎3 = 8

𝑛 = 4 ⇒ 𝑎4 = 24

𝑎4 = 16

35

a) 𝑎1 = 5, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2

𝑎2 = 𝑎2−1 + 2

𝑎2 = 𝑎1 + 2

𝑎2 = 5 + 2

𝑎2 = 7

𝑎3 = 𝑎3−1 + 2

𝑎3 = 𝑎2 + 2

𝑎3 = 7 + 2

𝑎3 = 9

𝑎4 = 𝑎4−1 + 2

𝑎4 = 𝑎3 + 2

𝑎4 = 9 + 2

𝑎4 = 11

𝑎5 = 𝑎5−1 + 2

𝑎5 = 𝑎4 + 2

𝑎5 = 11 + 2

𝑎5 = 13

Sequência = (5, 7, 9, 11, 13,… )

b) 𝑎1 = 3, 𝑎𝑛 = 2 ∙ 𝑎𝑛−1

𝑎2 = 2 ∙ 𝑎2−1

𝑎2 = 2 ∙ 𝑎1

𝑎2 = 2 ∙ 3

𝑎2 = 6

𝑎3 = 2 ∙ 𝑎3−1

𝑎3 = 2 ∙ 𝑎2

𝑎3 = 2 ∙ 6

𝑎3 = 12

𝑎4 = 2 ∙ 𝑎4−1

𝑎4 = 2 ∙ 𝑎3

𝑎4 = 2 ∙ 12

𝑎4 = 24

𝑎5 = 2 ∙ 𝑎5−1

𝑎5 = 2 ∙ 𝑎4

𝑎5 = 2 ∙ 24

𝑎5 = 48

Sequência = (3, 6, 12, 24, 48,… )

c) 𝑐1 = 2, 𝑐𝑛 = (𝑐𝑛−1)2

𝑐2 = (𝑐2−1)2

𝑐2 = (𝑐1)2

𝑐2 = (2)2

𝑐2 = 4

𝑐3 = (𝑐3−1)2

𝑐3 = (𝑐2)2

𝑐3 = (4)2

𝑐3 = 16

𝑐4 = (𝑐4−1)2

𝑐4 = (𝑐3)2

𝑐4 = (16)2

𝑐4 = 256

𝑐5 = (𝑐5−1)2

𝑐5 = (𝑐4)2

𝑐5 = (256)2

𝑐5 = 65536

Sequência = (2, 4, 16, 256,65536,… )

2) Escrever os termos iniciais da sequência, 𝑛 ≥ 1 e 𝑛 ∈ ℕ∗:

a) 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2

Sequência = (1, 4, 7, 10, 13, 16,… )

b) 𝑏𝑛 = 2 ∙ 3𝑛

𝑏1 = 2 ∙ (3)1

𝑏1 = 2 ∙ 3

𝑏1 = 6

𝑏2 = 2 ∙ (3)2

𝑏1 = 2 ∙ 9

𝑏1 = 18

𝑏3 = 2 ∙ (3)3

𝑏3 = 2 ∙ 27

𝑏3 = 54

𝑏4 = 2 ∙ (3)4

𝑏4 = 2 ∙ 81

𝑏4 = 162

Sequência = (6, 18, 54, 162, 486,… )

c) 𝑐𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

𝑐1 = 1 ∙ (1 + 1)

𝑐1 = 1 ∙ (2)

𝑐1 = 2

𝑐2 = 2 ∙ (2 + 1)

𝑐2 = 2 ∙ (3)

𝑐2 = 6

𝑐3 = 3 ∙ (3 + 1)

𝑐3 = 3 ∙ (4)

𝑐3 = 12

𝑐4 = 4 ∙ (4 + 1)

𝑐4 = 4 ∙ (5)

𝑐4 = 20

Sequência = (2, 6, 12, 20, 30… )

𝑛 = 1 𝑎1 = 3 ∙ (1) − 2 𝑎1 = 3 − 2

𝑎1 = 1

𝑛 = 2 𝑎2 = 3 ∙ (2) − 2 𝑎2 = 6 − 2

𝑎2 = 4

𝑛 = 3 𝑎3 = 3 ∙ (3) − 2 𝑎3 = 9 − 2

𝑎3 = 7

𝑛 = 4 𝑎4 = 3 ∙ (4) − 2 𝑎4 = 12 − 2

𝑎4 = 10

𝑛 = 5 𝑎5 = 3 ∙ (5) − 2 𝑎5 = 15 − 2

𝑎5 = 13

36

Avaliação:

A aula será satisfatória se o aluno atingir todos os objetivos

Referências Bibliográficas:

BARROSO, J. M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai Paulo:

Moderna, 2010 DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São

Paulo: Ática, 2011. ______, L. R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição.

São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015 SMOLE, K. S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010.


Como na aula anterior (01/10/2019) não foi possível concluir o planejado para a

primeira aula, consequentemente, neste dia, concluí as atividades antes

planejadas:

A atividade de divisão dos pães, contida no Papiro de Hind (slide 24, aula 1),

apresentou um nível de dificuldade díspar dos conhecimentos dos alunos.

Após várias tentativas de resolução (sem o uso de nenhum tipo de tecnologia),

e com dicas (o valor do termo médio, termo do meio), depois de 15 (quinze)

minutos, nenhum aluno havia conseguido resolver o problema, mesmo

organizados em duplas, e com oportunidade de livre discussão entre eles. D

diante da não resolução pelos alunos, mostrei como a solução acontece e

expliquei que durante o decorrer das aulas, veríamos métodos para a

resolução de tal problema.

As demais atividades apresentadas, uma com o uso de Fractal e outra com

contagem de bolitas, foram resolvidas com sucesso, por todos, e entre os

educandos, um deles resolveu a atividade de contagem das bolitas em

sequência (slide 30, aula 1), em apenas 3 (três) minutos.

37

Como a aula teve um início diferente do que havia sido planejado, consegui seguir

com a parte inicial do conteúdo de sequência, que foi bem recebido por todos,

que mostraram bom entendimento até então.

Com isso, a parte da Lei de formação, exemplos e exercícios ficou como a aula

do dia 08/10/2019, a terceira aula do período de regência.

Na aula (08/10), em que trabalhei o restante da aula planejada – lei de formação,

exemplos e exercícios de sequência – consegui perceber um pouco mais de

tranquilidade na relação com os alunos, eles questionaram quando havia dúvidas,

e mesmo demorando, resolveram todos os exercícios propostos.

Por fim, nas duas aulas (dias 4 e 8 de outubro), não atingi os objetivos que tinha

para cada uma delas porque não aconteceram exatamente como havia planejado,

mas como houve remanejo no planejamento e uma nova divisão das atividades,

ainda assim pude perceber que os alunos alcançaram o entendimento que eu

esperava que eles tivessem e ainda, no fim da aula, pediram que eu trouxesse

mais exercícios para que eles resolvessem no final de semana e pudessem

exercitar o conteúdo.

38







Conteúdo: Progressões Aritméticas.

Objetivos:

- Objetivo Geral:

Conhecer as Progressões Aritméticas.


Identificar uma P.A. quanto a sua representação e classificação;

Assimilar o que são a razão e a média aritmética da P.A.;

Registrar uma P.A. usando sua Lei de Formação;

Estar preparado para resolução de tarefas em casa.

Metodologia:

Apresentação falada de conteúdo.



Desenvolvimento:

Progressões Aritméticas

39

Introdução:

Observe as sequências:

a) (2, 5, 8, 11,… ), 𝑟 = 3

b) (35, 30, 25, 20, 15,… ), 𝑟 = −5

c) (1;1,01; 1,02; 1,03; 1,04;… ), 𝑟 = 0,01

Como obter, em cada uma dessas sequências, o segundo termo a partir do primeiro, o terceiro a partir do segundo, o quarto termo a partir do terceiro, e assim por diante.

Definição: Progressão Aritmética (P.A.) é toda sequência de números na qual

cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante. Essa constante, que será indicada por 𝑟, é denominada razão da progressão aritmética e pode ser dada pela seguinte fórmula de recorrência:

{𝑎1 = 𝑎

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑟, ∀ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2 Em que 𝑎 e 𝑟 são números reais dados

(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 , … ) é uma P.A., se, e somente se 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑟, 𝑛 ≥ 2,

notemos que: 𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1, 𝑟 = 𝑎3 − 𝑎2, …. 𝑟 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1, 𝑛 ≥ 2,

ou seja, podemos encontrar a razão da progressão subtraindo qualquer um dos termos de seu sucessor.

𝑟 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1

Exemplo 1

a) (2, 4, 6,… )

é P.A. infinita de razão 𝑟 = 2

b) (99, 96, 93,… , 6, 3)

é P.A. finita de razão 𝑟 = −3

c) (5, 5, 5, 5, 5, … )

é P.A. infinita de razão 𝑟 = 0

d) (−20,−16,−12,… , 16, 20)

é P.A. finita de razão 𝑟 = 4

+3 +3

−5 −5

+0,01 +0,01

40

Representação Especial:

Eventualmente podemos recorrer a algumas representações especiais de uma P.A. com 3, 4 ou 5 termos, é muito prática a notação:

3 TERMOS 4 TERMOS 5 TERMOS

𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟

ou

𝑥, 𝑥 + 𝑟, 𝑥 + 2𝑟

𝑥, 𝑥 + 𝑟, 𝑥 + 2𝑟, 𝑥 + 3𝑟

𝑥 − 2𝑟, 𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟, 𝑥 + 2𝑟

ou

𝑥, 𝑥 + 𝑟, 𝑥 + 2𝑟, 𝑥 + 3𝑟, 𝑥 + 4𝑟

Exemplo 2

Obtenha uma P.A. de 3 termos, tais que a soma seja 24 e seu produto 440.

(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)

(𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟)

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 24 ⇒ 𝑥 − 𝑟 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑟 = 24

3𝑥 = 24

𝑥 =24

3

𝑥 = 8

𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎3 = 440 ⇒ (𝑥 − 𝑟) ∙ (𝑥) ∙ (𝑥 + 𝑟) = 440

(8 − 𝑟) ∙ 8 ∙ (8 + 𝑟) = 440

(8 − 𝑟) ∙ (8 + 𝑟) =440

8

64 + 8𝑟 − 8𝑟 − 𝑟2 = 55

64 − 𝑟2 = 55

−𝑟2 = 55 − 64

−𝑟2 = −9 ∙ (−1)

𝑟 = ±√9

𝑟 = ±3

Classificação:

CRESCENTE 𝑟 > 0 DECRESCENTE 𝑟 < 0 CONSTANTE 𝑟 = 0

(6, 10, 14, 18)

𝑟 = 4 𝑟 > 0

(13, 8, 3, … )

𝑟 = −5

𝑟 < 0

(5

2,5

2,… )

𝑟 = 0

41

Média Aritmética

Em uma P.A. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑗−1, 𝑎𝑗, 𝑎𝑗+1, … , 𝑎𝑛 , … ) de razão 𝑟, os termos

consecutivos 𝑎𝑗−1, 𝑎𝑗 , 𝑎𝑗+1 são tais que:

𝑎𝑗 = 𝑎𝑗−1 + 𝑟

𝑎𝑗+1 = 𝑎𝑗 + 𝑟} ⇒ 𝑎𝑗 − 𝑎𝑗+1 = 𝑎𝑗−1 − 𝑎𝑗

2𝑎𝑗 = 𝑎𝑗−1 + 𝑎𝑗+1

𝑎𝑗 =𝑎𝑗−1+𝑎𝑗+1

2

Portanto, em toda P.A., cada termo a partir do segundo, é a média aritmética entre os termos anterior e posterior.

Exemplo 3

a) Na P.A. (2, 5, 8, 11, 14, 17,… ), cada termo a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e seu sucessor.

5 =8+2

2; 8 =

5+11

2; 11 =

14+8

2; 14 =

11+17

2; …

b) (2, 4, 6, 8, 10)

c) (2, 4, 6, 8, 10)

Exercícios:

1) Escreva uma P.A.:

a) de 5 termos, em que o 1º termo (𝑎1) é 10 e a razão (𝑟) é 3;

𝑎1 = 10 𝑒 𝑟 = 3

(𝑥, 𝑥 + 𝑟, 𝑥 + 2𝑟, 𝑥 + 3𝑟, 𝑥 + 4𝑟)

(10, 10 + 3, 10 + 6, 10 + 9, 10 + 12)

P.A. (10, 13, 16, 19, 22)

b) de 8 termos, em que 𝑎1 = 6 e 𝑟 = −4;

P.A.= 8 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 ⇒ 𝑎1 = 6, 𝑟 = −4

P.A. (6, 2, −2,−6,−10,−14,−18,−22)

2) determine a razão das seguintes progressões aritméticas infinitas.

6 =4 + 8

2

8 =6 + 10

2

42

a) (9, 15, 21, 27,… )

𝑟 = 15 − 9

𝑟 = 6

b) (−8, −10,−12,−14,… )

𝑟 = −10 − (−8)

𝑟 = −2

c) (1;1,5; 2; 2,5; … )

𝑟 = 1,5 − 1

𝑟 = 0,5

LISTA DE EXERCICIOS P.A. 11/10/2019 (para resolução em casa)

1) Escreva

a) Uma P.A. de 5 termos em que o 1º termo (a1) é 10 e a razão (r) é 3.

b) Uma P.A. de 8 termos em que 𝑎1 = 6 e 𝑟 = −4.

c) Uma P.A. de 6 termos em que 𝑎1 = −3 e 𝑟 = 5.

d) Uma P.A. de 4 termos em que 𝑎1 = 𝑎 + 2 e 𝑟 = 𝑎.

e) Uma P.A. de 5 termos em que 𝑎1 = 1 e 𝑟 = 2𝜋. Solução:

a) 𝑛 = 5; 𝑟 = 3 𝑒 𝑎1 = 10

(10, 13, 16, 19, 22)

b) 𝑛 = 8; 𝑟 = −4 𝑒 𝑎1 = 6

(6, 2,−2, −6,−10,−14,−18, −22)

c) 𝑛 = 6; 𝑟 = 5 𝑒 𝑎1 = −3

(−3, 2, 7, 12, 17, 22)

d) 𝑛 = 4; 𝑟 = 𝑎 𝑒 𝑎1 = 𝑎 + 2

(𝑎 + 2, 2𝑎 + 2, 3𝑎 + 2, 4𝑎 + 2)

e) 𝑛 = 5; 𝑟 = 2𝜋 𝑒 𝑎1 = 1

(1, 1 + 2𝜋, 1 + 4𝜋, 1 + 6𝜋, 1 + 8𝜋)

2) Determine:

a) O 5º termo da P.A. (−5, 2, . . . ). 𝑅: 23

b) O 4º termo da P.A. (6, 3, . . . ). 𝑅: − 3

c) O 6º termo da P.A. (2, 4, . . . ). 𝑅: 12

d) O 5º termo da P.A. ( 𝑎 + 3𝑏, 𝑎 + 𝑏, . . . ). 𝑅: 𝑎 − 5𝑏

e) O 4º termo da P.A. (𝑋

2, 𝑥, . . . ). 𝑅: 2𝑥

Solução:

a) 𝑎5 =? P.A. (−5, 2,… ); 𝑎1 = −5

𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 = 2− (−5) = 7

𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑟

𝑎5 = −5+ 4 ∙ 7

𝑎5 = −5+ 28

𝑎5 = 23

b) 𝑎4 =? P.A. (6, 3,… ); 𝑎1 = 6

𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 = 3− 6 = −3

𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟

𝑎4 = 6 + 3 ∙ (−3)

𝑎4 = 6 − 9

𝑎4 = −3

c) 𝑎6 =? P.A. (2, 4, … ); 𝑎1 = 2

𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 = 4− 2 = 2

𝑎6 = 𝑎1 + 5𝑟

𝑎6 = 2+ 5 ∙ 2

𝑎6 = 2+ 10

𝑎6 = 12

d) 𝑎5 =? P.A. (𝑎 + 3𝑏, 𝑎 + 𝑏, … ); 𝑎1 = 𝑎 + 3𝑏

𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 = (𝑎 + 𝑏) − (𝑎 + 3𝑏) = −2𝑏

𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑟

𝑎5 = (𝑎 + 3𝑏) + 4 ∙ (−2𝑏) 𝑎5 = 𝑎 + 3𝑏 − 8𝑏

𝑎5 = 𝑎 − 5𝑏

e) 𝑎4 =? P.A. (𝑥

2, 𝑥, . . . ); 𝑎1 =

𝑥

2

𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 = 𝑥 − (𝑥

2) =

2𝑥−𝑥

2=

𝑥

2

𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟

𝑎4 =𝑥

2+ 3 ∙ (

𝑥

2)

𝑎4 =𝑥

2+

3𝑥

2=

4𝑥

2

𝑎4 = 2𝑥

43

3) Determine:

a) O valor de 𝑥, tal que os números 𝑥2 , (𝑥 + 2)2, (𝑥 + 3)2, formem, nessa ordem, uma

P.A.. 𝑅: 1

2

b) O valor de 𝑥, de modo que os números 3𝑥 − 1, 𝑥 + 3, 𝑥 + 9 estejam, nessa ordem,

em P.A.. 𝑅: − 1

Solução:

a) 𝑥 =? 𝑃. 𝐴. (𝑥2, (𝑥 + 2)2, (𝑥 + 3)2); 𝑎1 = 𝑥2.

1ª maneira: 2ª maneira:

Média Aritmética: 𝑎𝑗 =𝑎𝑗−1+𝑎𝑗+1

2

𝑥2 =(𝑥2) + (𝑥 + 3)2

2

(𝑥2 + 4𝑥 + 4) =(𝑥2 + 𝑥2 + 6𝑥 + 9)

2

2(𝑥2 + 4𝑥 + 4) = (𝑥2 + 𝑥2 + 6𝑥 + 9) 2𝑥2 + 8𝑥 + 8 = 2𝑥2 + 6𝑥 + 9

(2𝑥2 − 2𝑥2) + (8𝑥 − 6𝑥) = 9 − 8 2𝑥 = 1

𝑥 =1

2

Pelo cálculo da razão: 𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 (𝑥 + 2)2 − 𝑥2 = (𝑥 + 3)2 − (𝑥 + 2)2 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 𝑥2

= 𝑥2 + 6𝑥 + 9− (𝑥2 + 4𝑥 + 4)

4𝑥 + 4 = 6𝑥 − 4𝑥 + 9 − 4 4𝑥 + 4 = 2𝑥 + 5 4𝑥 − 2𝑥 = 5 − 4

2𝑥 = 1

𝑥 =1

2

b) 𝑥 =? 𝑃. 𝐴. (3𝑥 + 1, 𝑥 + 3, 𝑥 + 9); 𝑎1 = 3𝑥 − 1



2

𝑥 + 3 =3𝑥 − 1 + 𝑥 + 9

2

2(𝑥 + 3) = 4𝑥 + 8 2𝑥 + 6 = 4𝑥 + 8 6 − 8 = 4𝑥 − 2𝑥

2𝑥 = −2 𝑥 = −1

Pelo cálculo da razão: 𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2 (𝑥 + 3) − (3𝑥 − 1) = (𝑥 + 9) − (𝑥 + 3)

𝑥 + 3 − 3𝑥 + 1 = 𝑥 + 9 − 𝑥 − 3 4 − 2𝑥 = 6 4 − 6 = 2𝑥 2𝑥 = −2 𝑥 = −1

4) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por 𝑥 + 1, 2𝑥 e 𝑥2 − 5, e estão

em P.A., nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo. 𝑅: 24 Solução:

Lados ∆→ 𝑥 + 1, 2𝑥 𝑒 𝑥2 − 5 P.A. (𝑥 + 1, 2𝑥, 𝑥2 − 5)



2

2𝑥 =(𝑥 + 1) + (𝑥2 − 5)

2

2(2𝑥) = 𝑥 + 1 + 𝑥2 − 5 4𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 4 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0

Pelo cálculo da razão: 𝑎2 − 𝑎1 = 𝑎3 − 𝑎2

(2𝑥) − (𝑥 + 1) = (𝑥2 − 5) − (2𝑥)

2𝑥 − 𝑥 − 1 = 𝑥2 − 5− 2𝑥

3𝑥 − 1 = 𝑥2 − 5

𝑥2 − 5− 3𝑥 + 1 = 0

𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0

44

Aplicando bhaskara:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐

2 ∙ 𝑎

𝑥 =−(−3) ± √(−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−4)

2 ∙ 1

𝑥 =3 ± √9 + 16

2 ∙ 1

𝑥 =3 ± √25

2

𝑥 =3 ± 5

2 { 𝑥

′ = 4𝑥" = −1

P.A. (𝑥 + 1, 2𝑥, 𝑥2 − 5)

P.A. (5, 8, 11)

5) Determine o valor de 𝑥, para que os números log2 8, log2(𝑥 + 9) e log2(𝑥 + 7)

estejam, nessa ordem, em P.A.. 𝑅: − 5

Solução:

𝑥 =? 𝑃. 𝐴. (log2 8 , log2(𝑥 + 9) , log2(𝑥 + 7))


2

log2(𝑥 + 9) =(log2 8) + log2(𝑥 + 7)

2

2 log2(𝑥 + 9) = (log2 8) + log2(𝑥 + 7) log2(𝑥 + 9)

2 = (log2 8 ∙ (𝑥 + 7)) (𝑥 + 9)2 = 8 ∙ (𝑥 + 7)

𝑥2 + 18𝑥 + 81 = 8𝑥 + 56 𝑥2 + 18𝑥 − 8𝑥 + 81 − 56 = 0

𝑥2 + 10𝑥 + 15 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−10 ± √(10)2 − 4 ∙ 1 ∙ 25

2𝑎=−10 ± √0

2

𝑥 =−10

2

𝑥 = −5 𝑃.𝐴. (log2 8 , log2 4 , log2 2)

𝑃. 𝐴. (3, 2, 1)

Avaliação:

Foram traçados objetivos que serão observados durante a aula.




Paulo: Ática, 2011.

45

______, L. R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna,

2015 SMOLE, K. S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição.

São Paulo: Saraiva, 2010.


Nesta aula, fim de tarde, em uma sexta feira, percebi que os alunos estavam um

pouco agitados, em comparação com a aula anterior, com isso, percebi que eles

estavam tendo um bom entendimento sobre o conteúdo, o que era esperado, pois

neste dia entregaria para eles a primeira lista de exercícios que resolveriam fora

da sala de aula.

Acredito que o conhecimento é como um diamante bruto, precisa ser lapidado

para atingir sua real beleza. Com isso em mente, através de uma aula expositiva

e oral, tentei desenvolver um conhecimento inicial sobre o estudo das

progressões aritméticas.

O objetivo principal era que eles entendessem o conteúdo a ponto de resolver os

exercícios propostos e reconhecessem diferentes métodos de resolução das P.A.

Com base na resolução dos exercícios propostos em aula, foi possível notar que

as dúvidas surgiam durante esse processo, e eram basicamente sobre regras

gerais de matemática, ou seja, o conteúdo apresentado foi captado com sucesso,

e teriam capacidade de resolver a lista entregue à eles no fim da aula, e assim,

neste dia, concluí as atividades antes planejadas.

46








Objetivos:

- Objetivo Geral:



Identificar o Termo Geral de uma P.A.;

Assimilar o conceito e a existência do Termo Geral;

Metodologia:

Apresentação verbal de conteúdo.



Desenvolvimento:


Termo Geral de uma P.A.:

Para determinar um termo qualquer de uma P.A., utiliza-se a expressão que permite obter o termo geral.

47

Em uma P.A. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … ) de razão 𝑟, partindo do 1º termo, para avançar um termo, basta somar 𝑟 ao 1º termo (𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟); para avançar 2 termos, basta somar 2𝑟 ao 1º termo (𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟); para avançar três termos, basta somar 3𝑟 ao

1º termo (𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟), e assim por diante.

Desse modo encontramos o termo de ordem 𝑛, denominado 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 da P.A., que é dado por:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

Aplicando a definição à P.A.(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 , … ) de razão 𝑟, temos:

{

𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟

𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟 = 𝑎1 + 2𝑟𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟 = 𝑎1 + 3𝑟

⋯ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛−1 = 𝑎𝑛−2 + 𝑟 = 𝑎1 + (𝑛 − 2)𝑟

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑟 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

Ou seja,

𝑎𝑛 = 𝑎1 = (𝑛 − 1)𝑟, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ≥ 2 𝑒 𝑛 ∈ ℕ∗

Essa relação é chamada de 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 de uma P.A. e possibilita calcular qualquer termo da sequência desde que sejam conhecidos 𝑎1 e 𝑟.

Obs.: quando o 1º termo de uma P.A. é representado por 𝑎0, o termo geral é dado por:

𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛 ∙ 𝑟, 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ ℕ.

Exemplo1:

a) vamos encontrar o termo geral da P.A.(5, 9,… ) Solução:

Na P.A dada temos: 𝑎1 = 5; 𝑟 = 9 − 5 = 4.

Daí:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎𝑛 = 5+ (𝑛 − 1)4

𝑎𝑛 = 5+ 4𝑛 − 4

𝑎𝑛 = 4𝑛 − 1

Logo, a fórmula do termo geral é 𝑎𝑛 = 4𝑛 − 1, 𝑛 ∈ ℕ∗

b) vamos determinar o décimo termo da P.A. (2, 8, 14,… ) Solução:

Na P.A dada temos: 𝑎1 = 2; 𝑟 = 6 e 𝑛 = 10.

Termo Geral

1º Termo

Razão

Nº de termos

48

1ª maneira para resolver:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎10 = 2 + (10 − 1)6

𝑎10 = 2+ (9 ∙ 6)

𝑎10 = 2+ 54

𝑎10 = 56

Logo, o décimo termo da P.A. dada é 𝑎10 = 56

2ª maneira para resolver:

𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑟

𝑎10 = 2 + (9 ∙ 6)

𝑎10 = 2 + 54

𝑎10 = 56

Logo, o décimo termo da P.A. é 𝑎10 = 56

Avaliação:

Serão considerados os objetivos planejados para aula.

Referências Bibliográficas: BARROSO, J. M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai Paulo: Moderna, 2010 DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2011. ______, L. R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna,




Essa foi a aula em que eu estava preparada para resolver no quadro, pelo menos,

4 questões da lista de exercícios deixada na aula anterior, e para minha surpresa,

dos 15 alunos presentes, 2 haviam resolvido a lista toda, 5 não conseguiram

resolver as 3 últimas questões, 1 não resolveu nada e os demais não resolveram

a última questão por não lembrarem as propriedades logarítmicas.

Contudo, acabei, resumidamente esclarecendo as hipóteses de resolução das

primeiras questões e as demais, expliquei detalhadamente a resolução, e após

esse momento, consegui notar afeições de compreensão (as carinhas de quem

tinha entendido o que eu falei) sobre o que foi elucidado.

O que levou um período, como eu havia programado, e no período seguinte,

consegui concluir o estudo do termo geral da P.A., e mostrar alguns exemplos, os

49

quais, a pedido dos alunos, deixei que tentassem resolver sozinhos, e como

segunda surpresa do dia, os alunos conseguiram resolver os exemplos dados.

Sendo assim, nesta manhã de terça feira, concluí as atividades antes planejadas.

50








Objetivos:

- Objetivo Geral:



Reconhecer, na resolução de problemas, uma alternativa para estudar P.A.;

Ter conhecimento e capacidade para resolver problemas matemáticos e os exercícios propostos em aula;

Metodologia:

Auxílio na resolução dos exercícios, atendimento individual para esclarecer dúvidas.



Desenvolvimento:


Exemplo:

Numa P.A. crescente, 𝑎2 + 𝑎6 = 20 e 𝑎4 + 𝑎9 = 35. Vamos determinar o 1º termo 𝑎1 e a razão 𝑟 dessa P.A.

51

𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟

𝑎6 = 𝑎1 + 5𝑟}𝑎2 + 𝑎6 = (𝑎1 + 𝑟) + (𝑎1 + 5𝑟) = 2𝑎1 + 6𝑟

𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟

𝑎9 = 𝑎1 + 8𝑟} 𝑎4 + 𝑎9 = (𝑎1 + 3𝑟) + (𝑎1 + 8𝑟) = 2𝑎1 + 11𝑟

{2𝑎1 + 6𝑟 = 20 ∙ (−1)

2𝑎1 + 11𝑟 = 35

{−2𝑎1 − 6𝑟 = −20 2𝑎1 + 11𝑟 = 35

5𝑟 = 15

𝑟 = 3

2𝑎1 + 6(3) = 20

2𝑎1 = 20 − 18

2𝑎1 = 2

𝑎1 = 1

Logo, 𝑎1 = 1 e 𝑟 = 3, a P.A. é (1, 4, 7, 10, 13,… )

Exercícios:

1) O cometa Halley orbita em torno do Sol. Ele pode ser visto da Terra a olho nu quando está na parte de sua órbita que fica mais próxima do Sol. Isso ocorre, em média, de 76 em 76 anos. Sabendo que após o descobrimento do Brasil, a terceira vez que ele foi visto da Terra a olho nu foi em 1683 e a sétima vez foi em 1986, responda:

a) Quando foi a quinta vez, após o descobrimento do Brasil, que ele foi visível da Terra a olho nu?

b) Quais foram (ou serão) todos os anos em que o cometa foi (ou será) visto a olho nu da Terra, desde 1500 até o ano 2200?

Solução

a) temos: 𝑎3 = 1683, 𝑎7 =1986 𝑒 𝑟 = 76

Como 𝑎5 = 𝑎3 + 2𝑟, temos que:

𝑎5 = 1683 + 2 ∙ 76

𝑎5 = 1835

Portanto, o quinto ano, após o descobrimento do Brasil, que ele foi visto da Terra a olho nu, foi em 1835.

b) temos: 𝑎3 = 1683 𝑒 𝑟 = 76

Como 𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟, temos que:

1683 = 𝑎1 + 2 ∙ 76

1683 = 𝑎1 + 152

𝑎1 = 1683 − 152

𝑎1 = 1531

Conhecendo 𝑎1 basta ir adicionando a razão (𝑟 = 76), para obter os demais anos:

(1531, 1607, 1683, 1759, 1835, 1910, 1986, 2062, 2138)

52

Obs.: qualquer P.A. (𝑎1, 𝑎2,… , 𝑎𝑛, … ) de razão = 𝑟 e primeiro termo = 𝑎 pode ser definida por recorrência por:

{𝑎1 = 1

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑟 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 1

E assim, é possível considerarmos 𝑎0 anterior 𝑎1: 𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛 ∙ 𝑟

2) qual é o 20º termo da P.A. (2, 8,… )?

Dados:{𝑎1 = 2𝑟 = 6𝑛 = 20

𝑎20 = 𝑎1 + 19𝑟 ⟹ 𝑎20 = 2 + 19 ∙ 6

𝑎20 = 2 + 114

𝑎20 = 116

3) em uma P.A., o 5º termo vale 30 e o 20º vale 50. Quanto vale o 8º termo dessa progressão?

𝑎20 = 𝑎5 + 15𝑟

50 = 30 + 15𝑟

50 − 30 = 15𝑟

20

15= 𝑟

𝑟 =4

3

𝑎8 = 𝑎5 + 3𝑟

𝑎8 = 30 + 3 ∙ (4

3)

𝑎8 = 30 +12

3

𝑎8 = 30 + 4

𝑎8 = 34

4) Verifique se a sequência dada é uma P.A. e se for, dê o valor da razão 𝑟.

a) (2, 5, 8, 11, 14)

é P.A. e 𝑟 = 3

b) (15, 10, 5, 0, −5)

é P.A. e 𝑟 = −5

c) (2, 3, 5, 7)

não é P.A. ⇒ 𝑎2 − 𝑎1 ≠ 𝑎3 − 𝑎2

5) Determine a fórmula do termo geral de cada P.A.:

a) (2, 7, … ) 𝑎1 = 2 𝑒 𝑟 = 5 b) (−1, 5,… ) 𝑎1 = −1 𝑒 𝑟 = 6

𝑎𝑛 =? 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1) ∙ 5

𝑎𝑛 = 2 + 5𝑛 − 5

𝑎𝑛 = 5𝑛 − 3

𝑎𝑛 =? 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

𝑎𝑛 = −1+ (𝑛 − 1) ∙ 6

𝑎𝑛 = −1+ 6𝑛 − 6

𝑎𝑛 = 6𝑛 − 7

53

6) Calcule o 1º termo da P.A.:

a) de razão 𝑟 = 3, sabendo que 𝑎7 = 21 b) em que 𝑎12 = −29 e 𝑟 = −4

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

𝑎7 = 𝑎1 + (7 − 1) ∙ 3

21 = 𝑎1 + 6 ∙ 3

21 − 18 = 𝑎1

𝑎1 = 3

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

𝑎12 = 𝑎1 + (12 − 1) ∙ (−4)

−29 = 𝑎1 + 11 ∙ (−4)

−29 = 𝑎1 − 44

44 − 29 = 𝑎1

𝑎1 = 15

7) uma P.A. tem 𝑎1 = −9 e 𝑟 = 7. Determine seus 6 primeiros termos e calcule a soma deles.

𝑃. 𝐴. (−9,−2, 5, 12, 19, 26,… )

−9 − 2 + 5 + 12 + 19 + 26 = 51

8) Uma P.A. tem 𝑎1 = 1 e 𝑟 = 1. Determine a soma dos seus:

a) 10 primeiros termos:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

b) 20 primeiros termos:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 210

LISTA DE EXERCICIOS P.A. 18/10/2019 (para ser resolvido em casa) 1) Todas as mesas de um restaurante são retangulares com 6 cadeiras em volta,

conforme mostra a figura 1 abaixo. Se mais 6 pessoas pretendem sentar-se

juntas, então duas ou mais mesas são enfileiradas, conforme mostram as figuras

2 e 3.

a) Enfileirando-se 11 mesas, conforme as disposições mostradas acima,

quantas cadeiras serão colocadas a sua volta?

𝑎1 = 4 ∙ (1) + 2 = 6

𝑎1 = 6; 𝑎2 = 10; 𝑎3 = 14

54

𝑎2 = 4 ∙ (2) + 2 = 10

𝑎3 = 4 ∙ (3) + 2 = 14

⋯ ⋱ ⋮

𝑎11 = 4 ∙ (11) + 2 = 46

𝑐𝑜𝑚 11 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠, 𝑠𝑒𝑟ã𝑜 46 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠

b) Enfileirando-se 𝑛 mesas, conforme a disposições mostradas acima, quantas

cadeiras serão colocadas à sua volta?

𝑛 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠 ⇒ 𝑎𝑛 = 4𝑛 + 2

c) Em uma festa de fim de ano, 36 funcionários de uma empresa farão um

almoço de confraternização nesse restaurante. Qual o número mínimo de mesas

que deverão ser enfileiradas, conforme a disposição acima, para que as pessoas

se sentem juntas?

36 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 ⇒ 𝑎𝑛 = 36; 𝑛 =?

𝑎𝑛 = 4𝑛 + 2

36 = 4𝑛 + 2

34 = 4𝑛

𝑛 = 8,5

𝑎9 = 4 ∙ (9) + 2

𝑎9 = 38

𝑆𝑒𝑟ã𝑜 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠á𝑟𝑖𝑎𝑠, 𝑛𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜, 9 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 36 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠

2) Leonardo de Pisa, retratado ao lado em 1200, mais conhecido

como Fibonacci, foi um matemático italianos que viveu de 1180 a

1250, aproximadamente. Em 1202, ele propôs em sua obra Liber

abaci (livro dos cálculos) o problema a seguir, de grande

repercussão por ter aplicações em várias áreas do conhecimento,

como Economia, Biologia, Física etc.: “Admitindo-se que cada

casal de coelhos só procrie pela primeira vez aos dois meses, exatamente, após

o seu nascimento e que, a partir de então, gere um casal a cada mês, quantos

casais haverá ao final de doze meses, partindo-se de um único casal de coelhos

recém-nascidos?”

A sequência formada pelo número de coelhos em cada mês ficou conhecida

como sequência de Fibonacci. Agora, resolvam os itens abaixo.

a) Representem os doze primeiros termos da sequência de Fibonacci. (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144)

b) Considerando infinita a sequência de Fibonacci, dê sua lei de formação.

{𝑎1 = 𝑎2 = 1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2

, ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 3

𝑎3 = 1+ 1 = 2 𝑎4 = 2+ 1 = 3

Ima

gem

da

Inte

rnet

(W

ikip

édia

)

(Curiosidade: na sequência (𝑎𝑛) de Fibonacci, a razão 𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 tende ao número 1,61803..., quando 𝑛

aumenta indefinidamente. Esse número é conhecido como número de ouro.)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Fibonacci2.jpg

55

3) Quantos múltiplos de 6 existem entre 4000 e 5000? P.A. 𝑟 = 6, 𝑎1 = 4002 𝑒 𝑎𝑛 = 4998

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

4998 = 4002 + 6𝑛 − 6

4998 − 3996 = 6𝑛

1002 = 6𝑛

𝑛 = 167

𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 167 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 6 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 4000 𝑒 5000

4) Determinar o número de termos da P.A. (2, 10, 18, ..., 250).

𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎1 = 2, 𝑎𝑛 = 250 𝑒 𝑟 = 8

250 = 2 + (𝑛 − 1)8

250 = 2 + 8𝑛 − 8

250 = 8𝑛 − 6

256 = 8𝑛

𝑛 = 32

5) Na P.A. em que 𝑎1 = 6 e 𝑟 = 8, qual é o lugar ocupado pelo termo igual a 62? 𝑎1 = 6, 𝑟 = 8, 𝑎𝑛 = 62 𝑒 𝑛 =?

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

62 = 6 + (𝑛 − 1)8

62 = 6 + 8𝑛 − 8

62 = 8𝑛 − 2

64 = 8𝑛

𝑛 = 8

𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 62 é 𝑜 8º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐴. (6, 14, 22, 30, 38, 46, 54, 62)

6) Qual é a razão da P.A. que se obtém inserindo 8 termos entre 5 e 68?

8 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5 𝑒 68 = 𝑃. 𝐴. 𝑐𝑜𝑚 10 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠

𝑎1 = 6, 𝑟 =? , 𝑎𝑛 = 62 𝑒 𝑛 = 10

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

68 = 5 + (10 − 1)𝑟

68 = 5 + 9𝑟

68 − 5 = 9𝑟

63 = 9𝑟

𝑟 = 7

7) Em uma P.A., o 3º termo vale 20 e o 14º vale 75. Quanto vale o sétimo termo dessa progressão?

𝑎3 = 20 𝑒 𝑎14 = 75

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎14 = 𝑎3 + (14 − 3)𝑟

75 = 20 + 11𝑟

55 = 11𝑟

𝑟 = 5

56

8) Em uma P.A. 𝑎3 + 𝑎8 = 10 e 𝑎5 + 𝑎14 = −22. Determinar 𝑎1 e a razão 𝑟.

𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟

𝑎8 = 𝑎1 + 7𝑟}

𝑎3 + 𝑎8 = 10

(𝑎1 + 2𝑟) + (𝑎1 + 7𝑟) = 10

2𝑎1 + 9𝑟 = 10 (1)

𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑟

𝑎14 = 𝑎1 + 13𝑟}

𝑎5 + 𝑎4 = −22

(𝑎1 + 4𝑟) + (𝑎1 + 13𝑟) = −22

2𝑎1 + 17𝑟 = 10 (2)

𝑠𝑖𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎: (1) 𝑒 (2)

{2𝑎1 + 9𝑟 = 10

2𝑎1 + 17𝑟 = −22 ∙ (−1) {

2𝑎1 + 9𝑟 = 10 −2𝑎1 − 17𝑟 = +22

−8𝑟 = 32

𝑟 = −4

2𝑎1 + 9𝑟 = 10

2𝑎1 + 9(−4) = 10

2𝑎1 = 10 + 36

2𝑎1 = 46

𝑎1 = 23

Avaliação:

A aula será aceitável se o aluno atingir todos os objetivos propostos.




Paulo: Ática, 2011. ______, L. R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição.

São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015 SMOLE, K. S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010.


Mais uma vez pude perceber, que nas aulas de sexta à tarde, o rendimento dos

alunos é maior.

57

Durante a resolução dos exercícios propostos em aula, notei que a grande maioria

dos educandos acompanha com facilidade o decorrer do conteúdo, surgem

poucas dúvidas com relação as resoluções, porém percebi uma certa insegurança

geral, pois a cada passo da resolução, ou a cada exercício concluído, eu era

chamada para dizer se estava certo ou errado a forma que eles estavam

resolvendo.

Com o decorrer da aula, todos conseguiram concluir o proposto em aula e com

isso, concluí as atividades antes planejadas.

58








Objetivos:

- Objetivo Geral:



Conceber interpolações aritméticas de maneiras diversas;

Trabalhar com entusiasmo;

Conhecer e se adaptar a Soma da Progressão Aritmética.

Metodologia:

Aula expositiva e dialogada.



Desenvolvimento:


59

Interpolação Aritmética:

Vamos resolver o seguinte problema:

No primeiro semestre de um determinado ano, a produção mensal de uma montadora está em P.A. crescente. Em janeiro, a produção foi de 18000 carros e em junho de 78000 unidades. Qual foi a produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril e maio?

Nessas condições, o problema consiste em formar uma P.A. na qual:

{𝑎1 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 = 18000𝑎𝑛 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑛ℎ𝑜 = 78000 𝑛 = 6

Devemos inicialmente calcular o valor de 𝑟.

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

78000 = 18000 + 5𝑟

5𝑟 = 60000

𝑟 = 12000 𝑎2= 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑣𝑒𝑟𝑒𝑖𝑟𝑜=30000𝑎3=𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟ç𝑜=42000

𝑎4=𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑖𝑙=54000 𝑎5=𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜=66000

𝑃.𝐴. (18000, 30000, 42000, 54000, 66000, 78000)

Na realidade, o que fizemos foi inserir ou interpolar quatro meios aritméticos

entre 18000 e 78000.

Exemplos:

1) Vamos interpolar 6 meios aritméticos entre 100 e 184.

Devemos formar a P.A. (100, ____, ____, ____, ____, ____, ____,184)

𝑎1 = 100, 𝑎𝑛 = 184 𝑒 𝑛 = 6 + 2 = 8

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

184 = 100 + (8 − 1)𝑟

184 − 100 = 7𝑟

84 = 7𝑟

𝑟 = 12

𝑃.𝐴. = (100,112, 124, 136,148, 160, 172,184)

60

2) Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual é a razão da P.A. obtida?

𝑎1 = 2, 𝑎𝑛 = 79 𝑒 𝑛 = 10 + 2 = 12

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

79 = 2 + (12 − 1)𝑟

79 − 2 = 11𝑟

77 = 11𝑟

𝑟 = 7

Exercícios:

1) Insira 7 meios aritméticos entre 20 e 68:

𝑎1 = 20, 𝑎𝑛 = 68 𝑒 𝑛 = 9

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

68 = 20 + (9 − 1)𝑟

68 − 20 = 8𝑟

48 = 8𝑟

𝑟 = 6

𝑃. 𝐴. (20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68)

2) Quantos meios aritméticos devemos inserir entre 5 e 53 de modo que a

sequência obtida tenha 𝑟 = 8?

𝑎1 = 5, 𝑎𝑛 = 53 𝑒 𝑟 = 8

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

53 = 5 + (𝑛 − 1)8

53 − 5 = (𝑛 − 1)8

48

8= (𝑛 − 1)

6 = (𝑛 − 1)

𝑛 = 6 + 1

𝑛 = 7 ⇒ 𝑎 𝑃. 𝐴 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑡𝑒𝑟 7 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 5 𝑚𝑒𝑖𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠

𝑃.𝐴. (5, 13, 21, 29, 37, 45, 53)

Soma dos termos de uma P.A.

Na soma dos termos de uma P.A. finita (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … , 𝑎𝑛−3, 𝑎𝑛−2, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛),

vamos indicar por 𝑆𝑛 a soma de seus termos: 𝑆𝑛 =(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛

2

61

Demonstração:

Considerando a P.A. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛), a soma dos n primeiros termos pode ser indicada por:

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 (1)

ou, invertendo a ordem dos elementos:

𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 +⋯+ 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1 (2)

Somando membro a membro as igualdades (1) e (2) obtemos.

+𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 +⋯+ 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎1

______________________________________

2𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛−1) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1) + (𝑎3 + 𝑎𝑛−2) +⋯+ (𝑎𝑛−2 + 𝑎3) + (𝑎𝑛−1 + 𝑎2) + (𝑎𝑛 + 𝑎1)

𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 ⟹ (𝑎1 + 𝑎𝑛)

2𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛

𝑆𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛)𝑛

2

Essa fórmula permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Exemplos:

1) Calcular a soma dos vinte primeiros termos da P.A. (3, 7, 11, 15,… ).

Aplicando a fórmula: 𝑆𝑛 =(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛

2

Calculando 𝑎20, coma fórmula do termo geral:

𝑎20 = 𝑎1 + (20 − 1)𝑟 = 3 + 19 ∙ 4 = 79

𝑆20 =(𝑎1 + 𝑎20)20

2

𝑆20 =(3 + 79)20

2= 82 ∙ 10

𝑆20 = 820

62

2) Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 poltronas na segunda fileira e 16 na terceira; as demais fileiras se compõem na mesma sequência. Quantas fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas?

𝑃.𝐴. (12, 14, 16,… )

𝑎1 = 12 𝑒 𝑟 = 2 𝑆𝑛 = 620

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎𝑛 = 12 + (𝑛 − 1)2 𝑎𝑛 = 12 + 2𝑛 − 2

𝑎𝑛 = 2𝑛 + 10


2

𝑆𝑛 =[12 + (2𝑛 + 19)]𝑛

2

620 =(22 + 2𝑛)𝑛

2

620 =2𝑛(11 + 𝑛)

2

620 = 𝑛(11 + 𝑛) 𝑛2 + 11𝑛 − 620 = 0

𝑛 = 20 𝑓𝑖𝑙𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠

Avaliação:

Será possível avaliar o rendimento dos alunos durante a aula.

Referências Bibliográficas: BARROSO, J. M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai Paulo: Moderna, 2010 DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2011. ______, L. R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna,




Nesta aula, mais uma vez fui surpreendida, dos 15 alunos presentes, todos

haviam resolvido a lista de exercícios deixada na aula anterior, com exceção da

última questão, que não foi resolvida, os alunos alegaram não terem entendido

como transformar os elementos dados em um sistema válido para ser calculado.

Na hora da correção, percebi que haviam alunos em discordância com relação a

resolução de outras duas questões da lista. Para que não houvessem mais

63

dúvidas e discussões, mostrei o método que eu utilizei e assim resolvi no quadro

as questões 1, 2 e 8, por fim, notei que os alunos estavam esclarecidos quanto

as resoluções, e que mesmo fazendo o uso de jeitos diferentes para resolver os

exercícios, uns mais lógicos e diretos que outros, eles perceberam que os

resultados eram iguais.

Durante a resolução dos exemplos de interpolação aritmética, percebi que haviam

compreendido quando, durante a explicação e resolução os alunos respondiam

corretamente quando eu os questionava no decorrer da resolução.

Quando mostrei como a fórmula da soma acontece eles se mostraram

compreensivos, porém o esclarecimento se deu quando relacionei, durante a

demonstração, a soma que Gauss fez dos números de 1 a 100.

Com tudo de bom que essa aula trouxe, de conhecimento e em virtude da aula

ser dialogada, foi notável quando todos conseguiram concluir o proposto em aula

e com isso, concluí as atividades planejadas.

64








Objetivos:

- Objetivo Geral:



Resolver questões envolvendo a Soma da Progressão Aritmética;

Entender a conexão entre a função a fim e a P.A.;

Ter capacidade para resolver os exercícios extra aula.

Metodologia:

Aula expositiva e conversada com auxílio de material impresso (exercícios).



Desenvolvimento:


65

Interpretação geométrica de uma progressão aritmética

Já vimos que o termo geral de uma progressão aritmética é dado por

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 ou por 𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑟𝑛 ao começarmos a enumeração dos

termos por 𝑎0. Assim, podemos pensar em uma P.A. como uma função afim 𝑎(𝑥) =

𝑎0 + 𝑟𝑥, ou seja, ela é definida por uma fórmula do tipo da função afim, mas com

domínio restrito aos ℕ. O gráfico dessa função é formado por uma sequência de

pontos adicionais no plano: (0, 𝑎0), (1, 𝑎1), (2, 𝑎2), (3, 𝑎3), (4, 𝑎4), … , (𝑛, 𝑎𝑛),…

Assim, podemos caracterizar uma progressão aritmética observando que uma

sequência (𝑎𝑛) é uma progressão aritmética se, e somente se, os pontos do plano

que tem coordenadas (0, 𝑎0), (1, 𝑎1), (2, 𝑎2), (3, 𝑎3), (4, 𝑎4),… , (𝑛, 𝑎𝑛),…, estão em

linha reta.

De modo geral, se considerarmos uma P.A (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … ) de razão 𝑟, 𝑟 ≠ 0,

cujo termo geral é 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟, a representação geométrica dessa P.A é

formada por pontos do gráfico da função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎1 + (𝑥 − 1)𝑟, dados por

(1, 𝑎1), (2, 𝑎2),… , (𝑛, 𝑎𝑛),….

Exemplo 1:

Sabemos que a soma dos três primeiros termos de uma P.A. crescente é igual a

−3 e que o produto deles é 8, escrever a lei e construir o gráfico dessa sequência.

Obs: bastam dois pontos para determinar uma reta e bastam dois termos de uma P.A. para determinar a P.A. toda.

66

3 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 (𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟) ⇒ [(𝑥 − 𝑟) + (𝑥) + (𝑥 + 𝑟)] = −3

3𝑥 = −3

𝑥 = −1

[(𝑥 − 𝑟) ∙ (𝑥) ∙ (𝑥 + 𝑟)] = 8

[(−1 − 𝑟) ∙ (−1)] ∙ (−1 + 𝑟) = 8

(1 + 𝑟) ∙ (−1 + 𝑟) = 8

−1+ 𝑟 − 𝑟 + 𝑟2 = 8

𝑟2 = 8 + 1

𝑟2 = 9

𝑟 = ±√9

𝑟 = ±3

𝑃.𝐴. 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑟 = 3

𝑃.𝐴. (−4, −1, 2) ⇒ 𝑡𝑟ê𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠

Lei de formação: 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛

𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛𝑟

𝑎𝑛 = −4+ 𝑛 ∙ 3

𝑎𝑛 = −4+ 3𝑛 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ ℕ

Construir o gráfico:

𝑛 𝑎𝑛 = −4+ 3𝑛

0 𝑎0 = −4 + (3 ∙ 0) = −4 (0, −4)

1 𝑎1 = −4+ (3 ∙ 1) = −1 (1, −1)

2 𝑎2 = −4 + (3 ∙ 2) = 2 (2, 2)

3 𝑎3 = −4+ (3 ∙ 3) = 5 (3, 5)

67

Exemplo 2:

Na fase de preparação de um atleta para a competição, o preparador físico

estabeleceu que no primeiro treino o atleta deveria correr 10km e, em cada um

dos treinos seguintes, deveria correr 2 km a mais que no anterior.

a) Quantos quilômetros o atleta percorreu no segundo treino? E no sexto?

(10, 12, 14, 16, 18, 20,… )

𝑎2 = 12 𝑒 𝑎6 = 20

b) Sabendo que a fase de preparação desse atleta foi composta de 12 treinos,

como você calcularia o total de quilômetros percorrido por ele nesta fase?

(10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32)

𝑎12 = 𝑎1 + 11𝑟

𝑎12 = 10 + 22

𝑎12 = 32


2

𝑆12 =(10 + 32)12

2

𝑆12 = 42 ∙ 6

𝑆12 = 252

Um total de 252 km.

A representação gráfica dessa P.A., cujo termo geral é dado por:

𝑎𝑛 = 10 + (𝑛 − 1)2

𝑎𝑛 = 10 + 2𝑛 − 2

𝑎𝑛 = 8 + 2𝑛

E é formada pelos pontos (𝑛, 𝑎𝑛) do plano cartesiano

𝑛 𝑎𝑛 = 8+ 2𝑛

1 𝑎1 = 8 + (2 ∙ 1) = 10 (1, 10)

2 𝑎2 = 8+ (2 ∙ 2) = 12 (2, 12)

3 𝑎3 = 8+ (2 ∙ 3) = 14 (3, 14)

4 𝑎4 = 8+ (2 ∙ 4) = 16 (4, 16)

5 𝑎5 = 8+ (2 ∙ 5) = 18 (5, 18)

6 𝑎6 = 8+ (2 ∙ 6) = 20 (6, 20)

7 𝑎7 = 8+ (2 ∙ 7) = 22 (7, 22)

8 𝑎8 = 8+ (2 ∙ 8) = 24 (8, 24)

9 𝑎9 = 8 + (2 ∙ 9) = 26 (9, 26)

10 𝑎10 = 8+ (2 ∙ 10) = 28 (10, 28)

11 𝑎11 = 8+ (2 ∙ 11) = 30 (11, 30)

12 𝑎12 = 8+ (2 ∙ 12) = 32 (12, 32)

68

Exercícios:

1) Sendo 𝑛 um número natural, construa, para cada item, o gráfico cartesiano da

progressão aritmética determinada pela lei de formação:

a) 𝑎𝑛 = −𝑛 − 2 b) 𝑎𝑛 = −2

𝑎0 = −0− 2

𝑎0 = −2

(0,−2)

𝑎1 = −1 − 2

𝑎1 = −3

(1,−3)

𝑎0 = −2

(0,−2)

𝑎1 = −2

(1,−2)

𝑎2 = −2− 2

𝑎2 = −4

(2,−4)

𝑎3 = −3− 2

𝑎3 = −5

(3,−5)

𝑎2 = −2

(2,−2)

𝑎3 = −2

(3,−2)

Gráfico: Gráfico:

LISTA DE EXERCICIOS P.A. 25/10/2019 (para ser resolvido em casa)

1) Calcular a soma dos 60 primeiros números naturais.

P.A. (0, 1, 2, 3, 4,… ) 𝑛 = 60

𝑎1 = 0, 𝑟 = 1, 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎60 = 0+ (60 − 1)1

𝑎60 = 59


2

𝑆60 =(𝑎1 + 𝑎60)𝑛

2

𝑆60 =(0 + 59)60

2

𝑆60 = 1770

2) Calcule a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (4, 6, 8, . . . ).

𝑎20 = 𝑎1 + 19𝑟 = 4 + (19 ∙ 2)

𝑎20 = 42

69

𝑆20 =20(𝑎1 + 𝑎20)

2

𝑆20 =20(4 + 42)

2

𝑆20 = 10 ∙ 46

𝑆20 = 460

3) Calcule a soma:

a) Dos 30 primeiros termos da P.A. (4, 10,… );

𝑎1 = 4, 𝑎2 = 10 𝑒 𝑟 = 6

𝑎30 = 𝑎1 + 29𝑟 = 4 + (29 ∙ 6)

𝑎30 = 178

𝑆30 =30(𝑎1 + 𝑎30)

2

𝑆30 =30(4 + 178)

2

𝑆30 = 15 ∙ 182

𝑆30 = 2730

b) Dos 20 primeiros termos de uma P.A. em que o primeiro termo é 𝑎1 =

17 e 𝑟 = 4;

𝑛 = 20, 𝑎1 = 17 𝑒 𝑟 = 4

𝑎20 = 𝑎1 + 19𝑟 = 17 + (19 ∙ 4)

𝑎20 = 93

𝑆20 =(𝑎1 + 𝑎20)20

2

𝑆20 =(4 + 178)20

2

𝑆20 = 110 ∙ 10

𝑆20 = 1100

c) Dos 200 primeiros pares positivos.

𝑃.𝐴. (2, 4, 6, … )

𝑎1 = 2, 𝑛 = 200 𝑒 𝑟 = 2

70

𝑎200 = 𝑎1 + 199𝑟 = 2 + (199 ∙ 2)

𝑎200 = 400

𝑆200 =(𝑎1 + 𝑎200)200

2

𝑆200 =(2 + 400)200

2

𝑆20 = 402 ∙ 100

𝑆20 = 40200

4) A soma dos 20 termos de uma P.A. finita é de 710. Se o primeiro termo dessa

P.A. é 𝑎1 = 7, calcule o décimo termo.

𝑆𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛)

2

710 =(7 + 𝑎20)20

2

710 = (7 + 𝑎20)10

71 = (7 + 𝑎20)

𝑎20 = 64

𝑎1 = 7, 𝑎20 = 64

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

64 = 7 + 19𝑟

𝑟 = 3

𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑟

𝑎10 = 7 + (9 ∙ 3)

𝑎10 = 34

5) Calcule o valor de 𝑥 + 2𝑥 + ⋯+ 20𝑥 = 6300, sabendo que os termos do primeiro

membro da igualdade estão em P.A.

(𝑥, 2𝑥,… , 20𝑥) 𝑒 𝑆20 = 6300

𝑎1 = 𝑥; 𝑎𝑛 = 20𝑥 𝑒 𝑟 = 𝑥

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

20𝑥 = 𝑥 + (𝑛 − 1)𝑥

19𝑥 = 𝑥𝑛 − 𝑥

20𝑥 = 𝑥𝑛

𝑛 =20𝑥

𝑥

𝑛 = 20


2

𝑆20 =(𝑥 + 20𝑥)20

2

6300 = (𝑥 + 20𝑥)10

630 = 21𝑥

𝑥 = 30

6) Numa P.A., 𝑎3 + 𝑎6 = 34 e 𝑎4 + 𝑎9 = 50. Calcule a soma dos 20 primeiros

termos dessa P.A..

𝑎3 + 𝑎6 = 34

𝑎4 + 𝑎9 = 50}

(𝑎1 + 2𝑟) + (𝑎1 + 5𝑟) = 34

(𝑎1 + 3𝑟) + (𝑎1 + 8𝑟) = 50 {

2𝑎1 + 7𝑟 = 34 ∙ (−1)

2𝑎1 + 11𝑟 = 50

71

{−2𝑎1 − 7𝑟 = −34 2𝑎1 + 11𝑟 = 50

4𝑟 = 16

𝑟 = 4

2𝑎1 + 11𝑟 = 50

2𝑎1 + (11 ∙ 4) = 50

2𝑎1 = 50 − 44

2𝑎1 = 6

𝑎1 = 3

𝑎20 = 𝑎1 + 19𝑟

𝑎20 = 3 + (19 ∙ 4)

𝑎20 = 3+ 76

𝑎20 = 79

𝑆20 =(𝑎1 + 𝑎20)20

2

𝑆20 = (3 + 79) ∙ 10

𝑆20 = 82 ∙ 10

𝑆20 = 820

7) Um corpo em queda livre percorre 3 metros no primeiro segundo, 12 metros no

segundo, 21 metros no terceiro segundo, e assim por diante. Continuando nessa

sequência, quantos metros terá percorrido após 10 segundos?

𝑃. 𝐴. (3, 12, 21, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___)

𝑎1 = 3 𝑒 𝑟 = 9

𝑎10 = 𝑎1 + (10 − 1)𝑟 𝑎10 = 3 + (9)𝑟 𝑎10 = 3 + (9 ∙ 9) 𝑎10 = 3 + 81

𝑎10 = 84 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑆10 =(𝑎1 + 𝑎10)10

2

𝑆10 = (3 + 84) ∙ 5 𝑆10 = 87 ∙ 5

𝑆10 = 435 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

8) (ENEM – MEC – 2000) Um marceneiro deseja construir

uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o

mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente

iguais a 60𝑐𝑚 e a 30𝑐𝑚, conforme a figura:

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de

madeira cujo comprimento, em 𝑐𝑚, deve ser

a) 144

b) 180

c) 210

d) 225

e) 240

9) Trace o gráfico de cada uma das progressões aritméticas sabendo que:

a) 𝑎0 = 1 e 𝑟 = 1;

b) 𝑎0 = −2 e 𝑟 = 2;


2

𝑆5 =(30 + 60)5

2

𝑆5 =90 ∙ 5

2

𝑆5 = 225 𝑐𝑚

72

𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛 ∙ 𝑟

a) 𝑎0 = 1 𝑒 𝑟 = 1

𝑃. 𝐴. (1, 2, 3, 4, 5,… )

n 𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛 ∙ 𝑟 Ponto

0 𝑎0 = 1+ 0 ∙ 1 = 1 (0, 1)

1 𝑎1 = 1+ 1 ∙ 1 = 2 (1, 2)

2 𝑎2 = 1+ 2 ∙ 1 = 3 (2, 3)

3 𝑎3 = 1+ 3 ∙ 1 = 4 (3, 4)

4 𝑎4 = 1+ 4 ∙ 1 = 5 (4, 5)

b) 𝑎0 = −2 𝑒 𝑟 = 2

𝑃.𝐴. (−2, 0, 2, 4. 6. … )

n 𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛 ∙ 𝑟 Ponto

0 𝑎0 = −2 + 0 ∙ 2 = −2 (0, −2)

1 𝑎1 = −2 + 1 ∙ 2 = 0 (1, 0)

2 𝑎2 = −2+ 2 ∙ 2 = 2 (2, 2)

3 𝑎3 = −2+ 3 ∙ 2 = 4 (3, 4)

4 𝑎4 = −2+ 4 ∙ 2 = 6 (4, 6)

Gráfico:

Gráfico:

10) Sendo 𝑛 um número natural, construa, para cada item, o gráfico cartesiano da

progressão aritmética determinada pela lei de formação:

a) 𝑎𝑛 = −𝑛 − 2

b) 𝑎𝑛 = −2

c) 𝑎𝑛 = 𝑛

a) 𝑎𝑛 = −𝑛 − 2 𝑎0 = −0 − 2 𝑎0 = −2

Ponto (0, −2)

𝑎1 = −1− 2 𝑎1 = −3

Ponto (1,−3) 𝑎2 = −2 − 2 𝑎2 = −4

Ponto (2, −4)

𝑎3 = −3− 2 𝑎3 = −5

Ponto (3,−5)

b) 𝑎𝑛 = −2 𝑎0 = −2

Ponto (0,−2) 𝑎1 = −2

Ponto (1,−2) 𝑎2 = −2

Ponto (2,−2) 𝑎3 = −2

Ponto (3,−2)

c) 𝑎𝑛 = 𝑛

𝑎0 = 0 Ponto (0, 0)

𝑎1 = 1 Ponto (1, 1)

𝑎2 = 2 Ponto (2, 2)

𝑎3 = 3 Ponto (3, 3)

Gráfico: Gráfico: Gráfico:

73

11) Verifique e assinale qual dos gráficos representa a P.A. (3, 1, −1,… ).

𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛 ∙ 𝑟

𝑎0 = 𝑎0 + [0 ∙ (−2)]

𝑎0 = 3

𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 3)

𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛 ∙ 𝑟

𝑎1 = 3 + 1 ∙ (−2)

𝑎1 = 1

Ponto: (1, 1)

𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛 ∙ 𝑟

𝑎2 = 3+ 2 ∙ (−2)

𝑎2 = −1

Ponto: (2, −1)

𝑎𝑛 = 𝑎0 + 𝑛 ∙ 𝑟

𝑎3 = 3+ 3 ∙ (−2)

𝑎3 = −3

Ponto: (3, −3)

𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 ⇒ (0, 3), (1, 1), (2, −1), (3,−3),… = 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 (𝑑)

Avaliação:

A aula será satisfatória se o aluno atingir todos os objetivos planejados.

Referências Bibliográficas: BARROSO, Juliane M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai Paulo: Moderna, 2010 DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2011. ______, Luiz R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013

74

______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015 SMOLE, Kátia S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010.


Esta foi uma tarde, sexta feira, de calmaria, que propiciou findar o estudo sobre

Progressões Aritméticas conhecendo a relação da função afim com a P.A..

Com o aparente cansaço dos alunos, resolvi concluir o conteúdo, apresentar os

exemplos e para finalizar, pedi que tentassem resolver o exemplo 2 e o exercício

proposto, após essas resoluções estariam liberados para sair alguns minutos

antes, porém, eles decidiram ficar e usar o tempo de aula restante para iniciar a

resolução da lista de exercícios, e mais uma surpresa, 5 alunos concluíram a

resolução da lista de exercícios de fim de semana – título que os alunos deram –

depois do proposto em aula, os demais resolveram alguns mas todos ficaram na

sala até o fim da aula.

75







Conteúdo: Sequências e Progressões Aritméticas.

Objetivos:

- Objetivo Geral:

Relembrar o estudo sobre Sequência e P.A..


Saber diferenciar as Sequências das Progressões Aritméticas;

Resolver questões envolvendo P.A. ou Sequência;

Estarem seguros e aptos para resolver as questões do trabalho avaliativo na próxima aula.

Metodologia:

Aula com auxílio de material impresso (exercícios de revisão).


Quadros verde e branco, giz e caneta e material impresso.

Desenvolvimento:

Sequências e Progressões Aritméticas

76

LISTA DE EXERCICIOS SEQUÊNCIA E P.A. 29/10/2019 (revisão)

1) Examine a sequência dos números quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25,… )

Escreva a sequência dos 10 primeiros números quadrados perfeitos:

𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠ã𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 = 𝑡𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎

𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑢𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100)

2) Examine a sequência dos números triangulares (1, 3, 6, 10,15,… )

Escreva a sequência dos 10 primeiros números triangulares.

𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55)

𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑢𝑚 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

3) Observe as representações de figuras formadas por palitos. Complete a

tabela com o número de palitos necessários para formar os triângulos.

Número de

Triângulos

Número de

Palitos

1 3

2 5

3 7

4 9

5 11

⋮ ⋮

𝑥 2𝑥 + 1

1 4 9 16 25

77

Observando que o número necessário de palitos é dado em função do número

de triângulos que se quer formar, responda:

a) Quantos palitos são necessários para formar 20 triângulos?

2𝑥 + 1 = 2 ∙ 20 + 1 = 41 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑡𝑜𝑠

b) Quantos palitos são necessários para formar 77 triângulos?

2𝑥 + 1 = 2 ∙ 77 + 1 = 155

c) Quantos triângulos se podem formar com 41 palitos?

2𝑥 + 1 = 41

2𝑥 = 40

𝑥 = 20 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠

4) Determinar o termo geral da sequência (8, 15, 22, 29, 36,… ).

𝑟 = 7 𝑒 𝑎1 = 8

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎𝑛 = 8+ (𝑛 − 1)7

𝑎𝑛 = 8+ 7𝑛 − 7

𝑎𝑛 = 1+ 7𝑛 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ ℕ∗

5) Quantos números inteiros existem de 100 a 500 que não são divisíveis por 7?

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑑𝑒 100 𝑎 500 ⟹ 500 = 100 + (𝑛 − 1) ∙ 1 = 401 𝑛º 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑟 7 ⇒ 𝑃.𝐴. (105,… , 497)

𝑎1 = 105; 𝑎𝑛 = 497 𝑒 𝑟 = 7

497 = 105 + (𝑛 − 1)7

497 − 105 = (𝑛 − 1)7

392

7= 𝑛 − 1

𝑛 = 56 + 1

𝑛 = 57 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑟 7

401 − 57 = 344

Logo, existem 344 números inteiros que não são divisíveis por 7, no intervalo de 100 a 500.

6) Qual é a razão da P.A. que se obtém inserindo 10 termos entre os números 3 e 25?

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎1 = 3; 𝑎𝑛 = 25 𝑒 𝑛 = 2 + 10 = 12

𝑎12 = 3 + 11𝑟

25 = 3 + 11𝑟

25 − 3 = 11𝑟

22 = 11𝑟

𝑟 = 2

7) Quantos termos tem a P.A. (17, 26, 35,… , 197)?

𝑎1 = 17; 𝑎𝑛 = 197 𝑒 𝑟 = 9

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

197 = 17 + (𝑛 − 1)9

78

180 = (𝑛 − 1)9

180

9= 𝑛 − 1

𝑛 = 20 + 1

𝑛 = 21

𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑚 21 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠

8) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A (4, 6, 8, … ):

𝑎1 = 4 𝑒 𝑟 = 2

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎20 = 4 + (20 − 1)2

𝑎20 = 4 + (19 ∙ 2)

𝑎20 = 42


2

𝑆20 =(4 + 42)20

2

𝑆20 = 46 ∙ 10

𝑆20 = 460

9) Sabe-se que, numa P.A. 𝑎1 + 𝑎𝑛 = 𝑛. Calcule a soma dos 𝑛 termos dessa P.A.:

𝑎1 + 𝑎𝑛 = 𝑛


2

𝑆𝑛 =𝑛 ∙ 𝑛

2

𝑆𝑛 =𝑛2

2

10) Calcular a soma dos 80 primeiros termos da P.A. em que 𝑎1 = −10 e 𝑟 = 3.

𝑎1 = −10 𝑒 𝑟 = 3

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎80 = −10 + (80 − 1)3

𝑎80 = −10 + (79 ∙ 3)

𝑎80 = 227


2

𝑆80 =(−10 + 227)80

2

𝑆20 = 217 ∙ 40

𝑆20 = 8 680

11) Um ciclista percorre 20𝑘𝑚 na primeira hora, 17𝑘𝑚 na segunda hora, e assim

por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros ele percorrerá em 5

horas?

𝑎1 = 20 𝑒 𝑟 = −3

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎5 = 20 + 4(−3)

𝑎5 = 20 − 12

𝑎5 = 8

𝑆5 =(𝑎1 + 𝑎5)5

2=(20 + 8)5

2

𝑆5 =140

2= 70

𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟á 70𝑘𝑚 𝑒𝑚 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

79

Avaliação:

A avaliação será no decorrer da aula, conforme a desenvoltura de cada aluno.


BARROSO, Juliane M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai

Paulo: Moderna, 2010 DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São

Paulo: Ática, 2011. ______, Luiz R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª

edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015 SMOLE, Kátia S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010.


Para esta aula, planejei uma lista de exercícios de revisão de conteúdo para eles

resolverem em duplas, ou como quisessem, e, eu os auxiliaria para esclarecer

possíveis dúvidas que houvessem porque na próxima aula farei um trabalho

avaliativo sobre esse conteúdo.

No início, apresentaram um pouco de dificuldade para reconhecer quando se

tratava de Sequência ou de P.A..

No decorrer da aula, percebi que estavam inquietos, porém não atrapalharam o

andamento da aula e quase todos os alunos finalizaram a revisão, com isso,

conclui que poderiam fazer o trabalho na próxima aula sem dificuldade.

Para os alunos estarem presentes na data marcada, também os avisei que olharia

seus cadernos.

Uma das alunas não estaria presente na referida data, então ela me mostrou o

caderno no fim dessa aula, e estava completo, quanto ao trabalho, ela faria em

outra ocasião.

Por fim, atingi os objetivos planejados.

80





Data: 01 de novembro de 2019


Conteúdo: Sequências e Progressões Aritméticas.

Objetivos:

- Objetivo Geral:

Resolver o Trabalho avaliativo sobre Sequência e P.A..


Saber reconhecer as Sequências e as Progressões Aritméticas;

Estarem seguros para resolver as questões do trabalho avaliativo.

Metodologia:

Aula dedicada ao trabalho sobre os conteúdos de Sequência e P.A., e, para

avaliação

dos cadernos.


Material impresso.

Desenvolvimento:

Sequências e Progressões Aritméticas

81

TRABALHO AVALIATIVO

1) Uma escada de pedreiro será construída com degraus paralelos

pregados em dois caibros, que serão os pés da escada. Os comprimentos dos

degraus formarão uma sequência decrescente de primeiro termo igual a 60 𝑐𝑚

e último termo igual a 40 𝑐𝑚, e a distancia entre dois degraus consecutivos

quaisquer será constante. Sabendo que serão usados 450 𝑐𝑚 de sarrafo na

construção de todos os degraus, calcular o número de degraus que terá a

escada e quantos centímetros terá cada degrau (escreva a P.A.)?

𝑃. 𝐴. 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑎1 = 60𝑐𝑚; 𝑎𝑛 = 40𝑐𝑚 𝑒 𝑆𝑛 = 450𝑐𝑚


2

450 =(60 + 40)𝑛

2

900 = 100𝑛

𝑛 = 9 𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 40 = 60 + (9 − 1)𝑟

−20 = 8𝑟

𝑟 = −5

2= −2,5

𝑃. 𝐴. (60; 57,5; 55; 52,5; 50; 47,5; 45; 42,5; 40)

2) Uma pirâmide de esferas foi montada como mostra a figura:

a) A base da pirâmide tem 4 “andares”. Quantas

esferas há na base?

b) Se a pirâmide tivesse 12 “andares”, quantas

esferas haveria na base?

𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒

1 = 1º 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

1 + 2 = 2º 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

1 + 2 + 3 = 3º 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

1 + 2 + 3 + 4 = 4º 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟

a) 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 4 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑒𝑠 = 𝑛 = 𝑆4 𝑒 𝑎𝑛 = 4

𝑆4 =(𝑎1 + 𝑎𝑛)4

2

𝑆4 =(1 + 4)4

2

𝑆4 = (1 + 4) ∙ 2 𝑆4 = 10

ℎá 10 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 4 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒

b) 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 12 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑒𝑠 = 𝑛 = 𝑆12 𝑒 𝑎𝑛 = 12

𝑆12 =(1 + 12)12

2

𝑆12 = (13) ∙ 6 𝑆4 = 78

ℎá 78 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 12 𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒

82

3) Calcule a soma dos inteiros positivos menores que 1000 não divisíveis

por 6.

𝑎1 = 6; 𝑎𝑛 = 996 𝑒 𝑟 = 6 𝑎1 = 0; 𝑎𝑛 = 999 𝑒 𝑛 = 999

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 996 = 6 + (𝑛 − 1)6 990 = (𝑛 − 1)6 990

6= 𝑛 − 1

𝑛 = 165 + 1 𝑛 = 166

𝐴𝑡é 1000, 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 166 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 6

𝑆166 =(6 + 996)166

2

𝑆166 = 1002 ∙ 83 𝑆166 = 83 166

𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 166 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 6 é 83 166

𝑆999 =(1 + 999)999

2

𝑆999 =1000 ∙ 999

2

𝑆999 = 500 ∙ 999 𝑆999 = 499 500

𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 < 𝑞𝑢𝑒 1000 = 499 500

𝑆999 − 𝑆166

499 500 − 83 166 = 416 334 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 < 1000

𝑒 𝑛ã𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑣𝑒í𝑠 𝑝𝑜𝑟 6 é 416 334

4) Na sequência de figuras, as quantidades de bolinhas estão em

progressão aritmética:

a) Continuando a sequência, quantas bolinhas formarão a 12ª figura?

𝑎1 = 1 𝑒 𝑟 = 4 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎12 = 1+ (12 − 1)4

𝑎12 = 1+ (11 ∙ 4)

𝑎12 = 45

b) Escreva a P.A. formada pelos 12 primeiros termos.

𝑃. 𝐴. (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45)

5) Calcule a soma:

a) Dos 50 primeiros múltiplos positivos de 5; 𝑃.𝐴. (5, 10,… ) ⟹ 𝑎1 = 5; 𝑟 = 5 𝑒 𝑛 = 50

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎50 = 5 + (50 − 1)5 𝑎50 = 5 + (49 ∙ 5) 𝑎50 = 5+ 245 𝑎50 = 250

𝑆50 =(𝑎1 + 𝑎50)50

2

𝑆50 = 255 ∙ 25 𝑆50 = 6 375

83

b) De todos os múltiplos de 7 que tenham três algarismos;

𝑃.𝐴. (105, … , 994) ⟹ 𝑎1 = 105; 𝑎𝑛 = 994 𝑒 𝑟 = 7

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 994 = 105 + (𝑛 − 1)7 994 − 105 = (𝑛 − 1)7

889

7= 𝑛 − 1

𝑛 = 127 + 1 𝑛 = 128

𝑆ã𝑜 128 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 7 𝑐𝑜𝑚 3 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠

𝑆128 =(𝑎1 + 𝑎𝑛)128

2

𝑆128 =(105 + 994)128

2

𝑆50 = 1099 ∙ 64 𝑆𝑛 = 70 336

𝐴 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 7 𝑐𝑜𝑚 3 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠 é 70 336

6) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Num

triângulo, as medidas dos ângulos estão em P.A. e o menor desses ângulos

mede 40°. Calcule as medidas dos outros dois ângulos.

𝑃. 𝐴. (𝑥 − 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟) 𝑎1 = 40° 𝑥 − 𝑟 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑟 = 180°

3𝑥 = 180° 𝑥 = 60°

𝑥 − 𝑟 = 40° 60° − 𝑟 = 40° 𝑟 = 60° − 40° 𝑟 = 20°

𝑃. 𝐴. (40°, 60°, 80°)

Avaliação:

Através de Trabalhado resolvido em aula com auxílio do material.

Referências Bibliográficas: BARROSO, Juliane M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai




84


Foi uma aula tranquila, os alunos puderam fazer o trabalho com auxílio do próprio

material.

Enquanto eles trabalhavam, eu avaliei os cadernos, um a um, e percebi que

apenas 1 aluno não possuía o caderno com pelo menos 70% do conteúdo

completo, e dentre os demais, 4 deles não tinham alguns exemplos ou exercícios

resolvidos, já os outros 11 estavam com seus cadernos completos, o que me

deixou confiante, pois sabia que conseguiriam atingir bons resultados nos

trabalhos. Assim, 2 alunos concluíram e entregaram os trabalhos ainda no

primeiro período da aula, o que me deixou impressionada, os demais foram

entregando no decorrer da aula, que se findou cerca de 20 minutos antes de

terminar o segundo período.

Estava curiosa com o desempenho deles e quando corrigi os trabalhos, mais uma

surpresa, apenas 5 alunos não gabaritaram o trabalho, o que não representa

nenhum demérito, apenas que lhes faltou um pouco de atenção à matemática

básica, causa de seus erros.

Com tudo isso, posso certamente concluir que, até aqui, os objetivos foram

alcançados com sucesso, eles entenderam a matéria e conseguiram trabalhar

sem ajuda.

85







Conteúdo: Progressões Geométricas.

Objetivos:

- Objetivo Geral:

Conhecer fatos e curiosidades históricas que envolvem os conteúdos de P.G..


Identificar na História da Matemática uma alternativa para compreendê-la;


Metodologia:

Apresentação de fatos e curiosidades históricas, com uso de slides e vídeo sobre conteúdos matemáticos diversos, em data show.


Data show, quadro verde e giz.

Desenvolvimento:

Vídeo: Pato Donald no País da Matemática (tradução livre).

86

Apresentação de slide:

87

Avaliação:

A aula será satisfatória se o aluno conhecer ou reconhecer qualquer

componente matemático apresentado em aula

Referências Bibliográficas: PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna,

2015 BARROSO, Juliane M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai



edição. São Paulo: Ática, 2017. SMOLE, Kátia S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição.



A aula deste dia foi planejada para que os alunos tivessem uma noção de quão

antigos eram os estudos que eles iniciariam na próxima aula.

88

Comecei apresentando um vídeo com curiosidades matemáticas, algumas que eu

já havia mencionado em aula, como o retângulo de ouro – espiral áurea – e outras

de caráter informativo, como a formação das notas musicais e a geometria no

jogo de bilhar, trechos mencionados durante uma conversa informal pós o filme,

para a qual havia planejado durar 10 minutos, onde os comentários sobre o filme

renderam 30 minutos de bate papo instrutivo, pois todos alunos falaram um pouco

sobre o que mais tinha lhes chamado atenção.

Para finalizar, apresentei em slides, modelos de progressões contidas no papiro

de Hind e outras curiosidades relacionadas a história da matemática, e o seu uso

no cotidiano de milhares de anos atrás e relacionei as facilidades de hoje para

executar as mesmas operação, é a evolução da matemática.

Ainda na apresentação, falei a respeito dos fractais, que são figuras que se

formam por conta de progressões geométricas, muitos já conheciam a curva de

Koch, o floco de neve, um dos exemplos que trouxe, percebi que muitos gostaram

da aula pois faziam perguntas e interagiam comigo durante toda apresentação,

compartilhando conhecimentos.

Por fim, concluí a aula comentando sobre o conteúdo de Progressões

Geométricas que iniciaríamos na próxima aula, e avisei sobre o material

disponível no SIGAA (Sistema Integrado de Gestão de Atividades Acadêmicas),

com todo o conteúdo que trabalharíamos. No mesmo instante eles pegaram seus

celulares e baixaram o arquivo e começaram a ler e ver o que tinha ali disponível.

Com isso encerrei a aula com os objetivos planejados alcançados.

89








Objetivos:

- Objetivo Geral:

Conhecer as Progressões Geométricas (P.G.) e diferencia-las das Progressões

Aritméticas (P.A.).


Saber reconhecer as Sequências e as Progressões Aritméticas;


Metodologia:

Aula expositiva.


Quadros branco e verde, giz e caneta e auxilio de material disponibilizado online

com o conteúdo a ser trabalhado desta aula em diante.

Desenvolvimento:

Progressões Geométricas

90

Introdução

Observe as sequências:

a) (2, 6, 18, 54,… )

b) (30; 15; 7,5; 3,75;… )

c) (1,1

3,1

9,1

27, … )

Pense em como você pode obter em cada sequência, o segundo termo

a partir do primeiro, o terceiro termo a partir do segundo, o quarto termo a partir

do terceiro e assim por diante. Você deve ter notado agora que cada termo não

é mais obtido quando somamos o um número constante ao seu precedente, mas

quando multiplicamos o seu precedente por um valor constante.

a) Assim, na primeira sequência, cada termo a partir do segundo é

obtido pela multiplicação do seu precedente por 3.

b) Na segunda sequência, cada termo a partir do segundo é obtido

quando multiplicamos o termo anterior a ele por 1

2 ou 0,5.

c) Finalmente, na terceira sequência, para obter qualquer termo a partir

do segundo, multiplicamos seu precedente por 1

3.

Definição

Toda sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é

igual ao anterior multiplicado por uma constante, é chamada Progressão

Geométrica – P.G., ou seja, é toda sequência de números não nulos, na qual o

quociente da divisão é chamado razão (𝑞) da progressão, assim, uma

progressão geométrica é uma sequência na qual a taxa de crescimento relativo

de cada termo para o seguinte é sempre a mesma.

(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 , … ) é uma P.G. ⟺ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑞, 𝑛 ≥ 2

91

Notemos que, em uma P.G. de termos não nulos:

𝑞 =𝑎2𝑎1=𝑎3𝑎2=𝑎4𝑎3= ⋯ =

𝑎𝑛𝑎𝑛−1

Podemos, então, encontrar a razão, de uma P.G. dividindo qualquer

termo pelo seu antecessor, a partir do segundo termo da sequência.

𝑞 =𝑎𝑛𝑎𝑛−1

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 2

Exemplo 1

a) (−2, −4,−8,−16,… )

é 𝑢𝑚𝑎 𝑃. 𝐺. 𝑒 𝑠𝑢𝑎 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 é ⇒ 𝑞 =𝑎2

𝑎1=

−4

−2= 2

b) (1,−3, 9,−27,… )

é 𝑢𝑚𝑎 𝑃. 𝐺. 𝑒 𝑠𝑢𝑎 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 é ⇒ 𝑞 =𝑎2

𝑎1=

−3

1= −3

OBS.: A taxa de crescimento relativo (𝑖) de uma grandeza é dada pela razão entre

seu aumento e seu valor inicial. Assim, uma grandeza que passa do valor 𝑎 para o valor 𝑏 tem

taxa de crescimento relativo igual a 𝑏−𝑎

𝑎.

Por exemplo, a taxa de crescimento relativo da produtividade de uma usina de

açúcar, cuja produção semanal passa de 5 toneladas para 8 toneladas, é de 60%, pois 8−5

5=

3

5= 0,60 = 60%.

Fique Atento: se uma grandeza tem taxa de crescimento igual a 𝑖, o novo valor é

obtido fazendo (1 + 𝑖) 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟.

Exemplo 2

Em 2017 uma usina produziu 200000 𝑘𝑔 de açúcar. Quantos

quilogramas essa usina produzirá no período de 2017 a 2022, se o aumento da

produção anual for sempre de 10% em relação ao ano anterior?

𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = (1 + 𝑖) ∙ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑖 = 10% = 0,10

(1 + 𝑖)

(1 + 0,10) = 1,10

92

𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑒𝑚 2017 = 200 000

𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑒𝑚 2018 = (1 + 𝑖) ∙ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 1,10 ∙ 200 000 = 220 000





𝑛𝑒𝑠𝑠𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠, 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙, 𝑛𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜, 𝑠𝑒𝑟á 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎

(200 000, 220 000, 242 000, 266 200, 292 820, 322 102)

Produção com taxa de crescimento relativo constante, ou seja, multiplicando cada termo, partir do segundo, por um número fixo.

Exemplo 3

A sequência (2, 10, 50, 250) é uma P.G. de 4 termos, em que o 1º termo

é 𝑎1 = 2 e a razão 𝑞 = 5.

Observe que:

𝑎1 = 2; 𝑎2 = 10 = (2 ∙ 5); 𝑎3 = 50 = (10 ∙ 5); 𝑎4 = 250 = (50 ∙ 5).

Ou ainda: 250

50= 5;

50

10= 5;

10

2= 5; ou seja, 𝑞 constante = 5 = razão.

A taxa de crescimento relativo de 𝑎 para 𝑏, dada por 𝑏−𝑎

𝑎. Neste exemplo:

𝑖 =𝑏 − 𝑎

𝑎=10 − 2

2=8

2= 4

𝑖 = 4 ∙ 100 = 400%

Logo, com 𝑖 = 4

𝑞 = 1 + 𝑖 = 1 + 4 = 5

𝑞 = 5

Representações Especiais

Como visto em P.A., também podemos recorrer a algumas

representações especiais de P.G., principalmente se o produto dos termos for

conhecido, e, é importante saber representar uma P.G. genericamente.

93

3 TERMOS: (𝑥, 𝑥𝑞, 𝑥𝑞2) é uma P.G. de três termos e razão 𝑞, para

quaisquer valores de 𝑥 e 𝑞.

(𝑥

𝑞, 𝑥, 𝑥𝑞) é uma P.G. de três termos e razão 𝑞, para quaisquer valores

de 𝑥 e 𝑞, com 𝑞 ≠ 0. Essa representação é mais adequada quando se pretende

determinar uma P.G de três termos, conhecendo-se o produto deles.

4 TERMOS: (𝑥, 𝑥𝑞, 𝑥𝑞2, 𝑥𝑞3) é uma P.G de 4 termos e razão 𝑞, para

quaisquer valores de 𝑥 e 𝑞.

(𝑥

𝑞3,𝑥

𝑞, 𝑥𝑞, 𝑥𝑞3) é uma P.G. de 4 termos e razão 𝑞2, para quaisquer

valores de 𝑥 e 𝑞, com 𝑞 ≠ 0. Essa representação é mais adequada quando se

pretende determinar uma P.G de quatro termos, conhecendo-se o produto deles.

5 TERMOS: (𝑥

𝑞2,𝑥

𝑞, 𝑥, 𝑥𝑞, 𝑥𝑞2) é uma P.G. de cinco termos e razão 𝑞,

para quaisquer valores de 𝑥 e 𝑞.

Exemplo 4

Três números estão em P.G. de forma que o produto deles é 729 e a

soma é 39. Vamos calcular os três números.

Neste tipo de problema sobre P.G., com três termos consecutivos, é conveniente representar a

sequência na forma (𝑥

𝑞, 𝑥, 𝑥𝑞), em que o termo médio é 𝑥 e a razão é 𝑞.

{

𝑥

𝑞∙ 𝑥 ∙ 𝑥𝑞 = 729

𝑥

𝑞+ 𝑥 + 𝑥𝑞 = 39

{𝑥3 = 729 ⇒ 𝑥 = ±√729

3= ±9

𝑥

𝑞+ 𝑥 + 𝑥𝑞 = 39 ⇒

9

𝑞+ 9 + 9𝑞

9

𝑞+ 9 + 9𝑞 = 39

9 + 9𝑞 + 9𝑞2

𝑞= 39

9𝑞2 + 9𝑞 + 9 = 39𝑞

9𝑞2 − 30𝑞 + 9 = 0

𝑞 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑞 =30 ±√(−30)2 − 4 ∙ 9 ∙ 9

2 ∙ 3=30 ± 24

6

𝑞′ = 3 𝑒 𝑞′′ =1

3

94

Então:

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 9 𝑒 𝑞 = 3

{1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 ⇒

𝑥

𝑞=9

3= 3

2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 ⇒ 𝑥 = 9 3º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 ⇒ 𝑥 ∙ 𝑞 = 9 ∙ 3 = 27

𝑃.𝐺. (3, 9, 27)

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 9 𝑒 𝑞 =1

3

{

1º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 ⇒

𝑥

𝑞=9

13

= 9 ∙3

1= 27

2º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 ⇒ 𝑥 = 9

3º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 ⇒ 𝑥 ∙ 𝑞 = 9 ∙1

3=9

3= 3

𝑃. 𝐺. (27, 9, 3)

EXERCÍCIOS

1) Determinar a P.G. crescente de três termos, sabendo que o produto desses

termos é 8 e que a soma do 2º com o 3º termos é 10.

𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑒 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 = (𝑥

𝑞, 𝑥, 𝑥𝑞)

𝑥

𝑞∙ 𝑥 ∙ 𝑥𝑞 = 8

𝑥3 = 8

𝑥 = ±√83

𝑃.𝐴. 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑥 = +2

Também sabemos que: 𝑥 + 𝑥𝑞 = 10 2 + 2𝑞 = 10 2𝑞 = 8 𝑞 = 4

Assim, para 𝑥 = 2 𝑒 𝑞 = 4

𝑃. 𝐺. (1

2, 2, 8) = (0,5, 2, 8)

2) Vamos determinar o 4º termo da P.G. (𝑎𝑏, 𝑎3𝑏2, … ) com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0.

{𝑎1 = 𝑎𝑏

𝑎2 = 𝑎3𝑏2

𝑞 =𝑎3𝑏2

𝑎𝑏= 𝑎2𝑏 ⇒ 𝑞 = 𝑎2𝑏

𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4

∙ 𝑞 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞

𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞

𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞3

𝑎4 = 𝑎𝑏 ∙ (𝑎2𝑏)3

𝑎4 = 𝑎𝑏 ∙ 𝑎6𝑏3

𝑎4 = 𝑎7𝑏4

3) Em uma P.G. de termos positivos, o terceiro termo é 18 e o sétimo é 1458.

Qual é o quinto termo dessa progressão?

𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7

∙ 𝑞 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞

𝑎7 = 𝑎3 ∙ 𝑞4

1458 = 18 ∙ 𝑞4 1458

18= 𝑞4

𝑞4 = 81

𝑞 = ±√814

𝑞 = ±3

𝑎5 = 𝑎3 ∙ 𝑞2

𝑎5 = 18 ∙ (3)2

𝑎5 = 18 ∙ 9

𝑎5 = 162

95

Avaliação:

A aula será satisfatória se o plano estiver esclarecido para os alunos.







Com o auxílio do material impresso, a aula teve um bom rendimento, os exemplos

foram todos explicados no quadro para que os alunos entendessem os

procedimentos utilizados e após poderiam colocar no caderno, já que eu olharia

os cadernos ao fim do estudo de P.G.

Estavam agitados, mas não atrapalharam a aula e resolveram os exercícios

propostos com entusiasmo, pois após a resolução estariam liberados.

Nesta aula, também combinei com os alunos uma tarde de Recuperação Paralela

para a semana seguinte, e em virtude disso, não deixei nenhuma lista de

exercícios para ser resolvida extra classe.

Por fim, todos concluíram as resoluções propostas antes do fim da aula, e com

isso os objetivos planejados foram alcançados.

96








Objetivos:

- Objetivo Geral:

Conhecer as Progressões Geométricas (P.G.).


Reconhecer e classificar uma P.G.;

Identificar o termo geral da P.G.;

Fazer uso das regras de Média e Interpolação Geométrica para resolver questões de P.G.;


Metodologia:

Aula explicativa e compartilhada.


Quadros branco e verde, giz e caneta com auxílio de material impresso.

Desenvolvimento:


97

Classificação de uma P.G.

Uma P.G. pode ser classificada em: crescente, decrescente, constante,

estacionaria ou oscilante, de acordo com as suas características.

P.G. Característica

(−8, −4, −2,−1,… ); 𝑎1 =

−8 e 𝑞 =1

2

(3, 6, 12, 24, … ); 𝑎1 = 3 e

𝑞 = 2

𝑎𝑛−1 < 𝑎𝑛; (𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2), ou seja, os termos das duas

progressões geométricas estão em ordem crescente de valor;

Na primeira: 𝑎1 < 0 e 0 < 𝑞 < 1;

Na segunda: 𝑎1 > 0 e 𝑞 > 1;

Uma P.G. que apresente essa características é classificada

como crescente;

(−3, −9, −27,… ); 𝑎1 = −3

e 𝑞 = 3

(8, 4, 2, 1,1

2, … ); 𝑎1 = 8 e

𝑞 =1

2

𝑎𝑛−1 > 𝑎𝑛; (𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2), ou seja, os termos das duas

progressões geométricas estão em ordem decrescente de valor;

Na primeira: 𝑎1 < 0 e 𝑞 > 1;

Na segunda: 𝑎1 > 0 e 0 < 𝑞 < 1;


como decrescente;

(√7,√7,√7,… ); 𝑎1 = √7 e

𝑞 = 1

(0, 0, 0, 0, … ); 𝑎1 = 0 e 𝑞 ∈

ℝ

𝑎𝑛−1 = 𝑎𝑛; (𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2), ou seja, os termos das duas

progressões geométricas todos os termos têm o mesmo valor;

Na primeira: 𝑎1 ≠ 0 e 𝑞 = 1;

Na segunda: 𝑎1 = 0 e 𝑞 ∈ ℝ;


como constante;

(3, 0, 0, 0, … ); 𝑎1 = 3 e 𝑞 =

0

𝑎1 ≠ 0 𝑒 𝑎𝑛 = 0; (𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2), ou seja, apenas o primeiro

termo da P.G. é diferente de 0, além disso, sua razão é 𝑞 = 0;


como estacionária;

(2, −10, 50, … ); 𝑎1 = 2 e

𝑞 = −5

(−7, 14, −28,… ); 𝑎1 = −7

e 𝑞 = −2

Em ambas as progressões geométricas, dois termos

consecutivos têm sinais alternados;

Na primeira: 𝑎1 > 0 e 𝑞 < 0;

Na segunda: 𝑎1 < 0 e 𝑞 < 0;


como oscilante;

Exemplo 5

a) (12, 6, 3,3

2,3

4, … )

𝑞 =6

12=

1

2 é uma P.G. decrescente.

b) (6, 6, 6, 6,… )

𝑞 =6

6= 1 é uma P.G. constante.

98

c) (−2,−1,−1

2, −

1

4, … )

𝑞 =−1

−2=

1

2 é uma P.G. crescente.

d) (−8, 4, −2, 1, −1

2,1

4, … )

𝑞 =4

−8= −

1

2 é uma P.G. oscilante ou alternante

e) (4, 0, 0, 0,… )

𝑞 =0

4= 0 é uma P.G. estacionária ou quase nula

EXERCÍCIOS

4) Classifique as progressões:

a) (6, 0, 0, 0,… ) 𝑞 = 0

6= 0 ⇒ 𝑃. 𝐺. 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑎/𝑞𝑢𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑢𝑙𝑎

b) (−72, 24,−8,… ) 𝑞 = 24

−72= −

1

3 ⇒ 𝑃.𝐺. 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒/𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

c) (5, 10, 20,… ) 𝑞 = 10

5= 2 ⇒ 𝑃.𝐺. 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

d) (5, 5, 5,… , 5, 5, 5) 𝑞 = 5

5= 1 ⇒ 𝑃.𝐺. 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

e) (−2, −6,−18,… ,−4374) 𝑞 = −6

−2= 3 ⇒ 𝑃. 𝐺. 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

f) (−40,−20,−10,… ,−5

16, −

5

32) 𝑞 = −20

−40=

1

2 ⇒ 𝑃. 𝐺. 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

g) (0, 0, 0, 0, 0,… ) 𝑞 = 0

0= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 ⇒ 𝑃.𝐺. 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

h) (4,−12, 36,−108,… ) 𝑞 = −12

4= −3 ⇒ 𝑃.𝐺. 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒/𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

i) (144, 48, 16,… ) 𝑞 = 16

48=

1

3 ⇒ 𝑃. 𝐺. 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

MÉDIA GEOMÉTRICA

A média geométrica simples de dois números não negativos, é a raiz

quadrada não negativa do produto deles, 𝑚 = √𝑎 ∙ 𝑏 é a média geométrica dos

números não negativos 𝑎 e 𝑏, o que nos leva a 𝑚2 = 𝑎 ∙ 𝑏.

Por exemplo, a média geométrica entre 9 e 4 é 6, porque √9 ∙ 4 = √36

ou 62 = 9 ∙ 4.

Vejamos como a média geométrica está relacionada aos termos de uma

P.G..

99

Em toda P.G. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑗−1, 𝑎𝑗 , 𝑎𝑗+1, … , 𝑎𝑛 , … ) de razão 𝑞 temos 𝑎𝑗 =

𝑎𝑗−1 ∙ 𝑞 e 𝑎𝑗+1 = 𝑎𝑗 ∙ 𝑞. Considerando, inicialmente, termos não nulos, vem:

𝑎𝑗𝑎𝑗−1

= 𝑞 𝑒 𝑎𝑗+1𝑎𝑗

= 𝑞

𝑎𝑗𝑎𝑗−1

=𝑎𝑗+1𝑎𝑗

(𝑎𝑗 ∙ 𝑎𝑗) = (𝑎𝑗+1 ∙ 𝑎𝑗−1)

(𝑎𝑗)2= (𝑎𝑗+1 ∙ 𝑎𝑗−1)

Propriedade: uma sequência de três termos, em que o primeiro é

diferente de zero, e uma P.G. se, e somente se, o quadrado do termo médio é

igual ao produto dos outros dois, isto é, sendo 𝑎 ≠ 0, temos:

(𝑎, 𝑏, 𝑐) é 𝑃. 𝐺. ⇔ 𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐

DEMONSTRAÇÃO NO QUADRO:

Vamos analisar cada uma das hipóteses: 𝑏 ≠ 0 ou 𝑏 = 0

1ª hipótese: 𝑏 ≠ 0;

Como 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0, temos: {(𝑎, 𝑏, 𝑐) é 𝑃. 𝐺.⇔

𝑏

𝑎=

𝑐

𝑏𝑏

𝑎=

𝑐

𝑏 ⇔ 𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐

Logo: (𝑎, 𝑏, 𝑐) é 𝑃. 𝐺. ⇔ 𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐

2ª hipótese: 𝑏 = 0;

Como 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 = 0, temos a sequência (𝑎, 0, 𝑐), que é uma P.G. de

razão 0. Com o que constatamos que o quadrado do termo médio é igual ao

produto dos outros dois termos:

(𝑎, 0, 𝑐) ⇒ 02 = 𝑎 ∙ 0

0 = 0

Logo: (𝑎, 𝑏, 𝑐) é 𝑃. 𝐺. ⇔ 𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐

100

Consequência: temos, como consequência imediata dessa propriedade:

Em uma P.G. com número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual

ao produto dos extremos.

Exemplo 6

Determinar 𝑥 de modo que a sequência (3, 𝑥 + 2, 3𝑥) seja uma P.G.

crescente.

Solução:

3 termos ⇒ 𝑎1 = 3 é P.G. ⇔ (𝑥 + 2)2 = 3 ∙ 3𝑥

(𝑥 + 2) ∙ (𝑥 + 2) = 3 ∙ 3𝑥

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 9𝑥

𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−(−5) ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 4

2 ∙ 1=5 ± 3

2

𝑥′ = 4 𝑒 𝑥′′ = 1

Então:

Para 𝑥 = 1 P.G. (3, 1 + 2, 3 ∙ 1) P.G. (3, 3, 3) ⇒ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑞 = 1

Para 𝑥 = 4 P.G. (3, 4 + 2, 3 ∙ 4) P.G. (3, 6, 12) ⇒ 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑞 = 2

A sequência é crescente para 𝑥 = 4

Exemplo 7

Determine a razão da P.G. (𝑥 − 2, 𝑥 + 2, 𝑥 − 1)

Solução:

Como 𝑥 + 2 é a média geométrica (𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐) de 𝑥 − 2 e 𝑥 − 1 temos:

𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐

(𝑥 + 2)2 = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 − 1)

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2

101

𝑥2 − 𝑥2 + 4𝑥 + 3𝑥 = 2 − 4

7𝑥 = −2

𝑥 = −2

7

𝑃. 𝐺. (𝑥 − 2, 𝑥 + 2, 𝑥 − 1)

𝑃.𝐺. (−2

7− 2,−

2

7+ 2, −

2

7− 1)

𝑃. 𝐺. (−16

7,12

7,−9

7)

𝑞 =𝑎2𝑎1=

127

−167

=12

7∙ −

7

16

𝑞 = −12

16= −

3

4

TERMO GERAL DE UMA P.G.

Em uma progressão geométrica (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … ) de razão 𝑞, partindo

do 1º termo, para avançar um termo, basta multiplicar o 1º termo pela razão 𝑞

(𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1º termo pelo

quadrado da razão 𝑞 (𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2); para avançar três termos, basta multiplicar o

1º termo pelo cubo da razão 𝑞 (𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞3); e assim por diante. Desse modo

encontramos o termo de ordem 𝑛, denominado termo geral da P.G., que é dado

por:

(𝑎1 ∙ 𝑞0, 𝑎1 ∙ 𝑞

1, 𝑎1 ∙ 𝑞2, 𝑎1 ∙ 𝑞

3, 𝑎1 ∙ 𝑞4, … , 𝑎1 ∙ 𝑞

𝑛−1, … )

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ ℕ∗

Isto é, qualquer termo 𝑎𝑛 é igual ao produto de 𝑎1 pela potência 𝑞𝑛−1.

Essa ideia pode ser generalizada para qualquer P.G..

OBS.: algumas vezes é conveniente colocar o 1º termo como 𝑎0 e não 𝑎1, ficando o

termo geral da P.G. dado por 𝑎𝑛 = 𝑎0 ∙ 𝑞𝑛.

Por exemplo, se o número de sócios de um clube hoje é 2000 e cresce 5% ao ano,

quantos sócios esse clube terá em três anos?

Solução:

Temos uma P.G com 𝑎0 = 2000 e razão 𝑞 = (1 + 𝑖) = 1 + 0,05 = 1,05

𝑞 = 1,05

Após 3 anos, o clube terá aproximadamente 2315 sócios.

𝑎3 = 𝑎0 ∙ 𝑞3

102

𝑎3 = 2000 ∙ (1,05)3

𝑎3 = 2000 ∙ 1,157625

𝑎3 = 2315,25

𝑎3 ≅ 2315 𝑠ó𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑡𝑟ê𝑠 𝑎𝑛𝑜𝑠

(2000, 2000 ∙ 𝑞, 2000 ∙ 𝑞2, 2000 ∙ 𝑞3)

(2000

𝑎1,2100

𝑎2,2205

𝑎3,2315,25

𝑎4)

Exemplo 8

Determinar o 8º termo da progressão geométrica (−3, 18,−108,… ).

1º 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑜: 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 ⇒ 𝑞 =−108

18= −6; 𝑞 =

18

−3= −6

2º 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑜: 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

𝑛 = 8, 𝑎1 = −3 𝑒 𝑞 = −6

𝑎8 = 𝑎1 ∙ 𝑞7

𝑎8 = −3 ∙ (−6)7

𝑎8 = −3 ∙ (−279 936)

𝑎8 = 839 808

Logo, o 8º termo dessa P.G é 𝑎8 = 839 080

EXERCÍCIOS

5) Em uma P.G., a soma do 2º e do 5º termos vale 42 e a soma do 4º e

do 7º termos é 378. Qual é essa sequência?

{𝑎2 + 𝑎5 = 42 𝑎4 + 𝑎7 = 378

⟹ {𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞

4 = 42

𝑎1 ∙ 𝑞3 + 𝑎1 ∙ 𝑞

6 = 378 ⟹ {

𝑎1 ∙ 𝑞(1 + 𝑞3) = 42 (1)

𝑎1 ∙ 𝑞3(1 + 𝑞3) = 378 (2)

𝑓𝑎𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 (2)

(1) ⟹

𝑎1 ∙ 𝑞(1 + 𝑞3) = 42

𝑎1 ∙ 𝑞3(1 + 𝑞3) = 378

𝑞2 = 9

𝑞 = ±√9

𝑞 = ±3

𝑐𝑜𝑚 𝑖𝑠𝑠𝑜, ℎá 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠

𝑞 = 3 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞

4 = 42 𝑎1 ∙ 3 + 𝑎1 ∙ (3)

4 = 42 3𝑎1 + 81𝑎1 = 42 84𝑎1 = 42

𝑎1 =1

2

𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞

𝑎2 =1

2∙ 3 =

3

2

𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2

𝑎3 =1

2∙ 9 =

9

2

𝑃. 𝐺. (1

2,3

2,9

2,… )

𝑞 = −3 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞

4 = 42 𝑎1 ∙ −3 + 𝑎1 ∙ (−3)

4 = 42 −3𝑎1 + 81𝑎1 = 42

78𝑎1 = 42

𝑎1 =7

13

𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞

𝑎2 =7

13∙ (−3) = −

21

13

𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2

𝑎3 =7

13∙ 9 =

63

13

𝑃. 𝐺. (7

13, −21

13,63

13, … )

103

6) Verifique se cada sequência dada é uma P.G.. Em caso positivo, dê

o valor da razão 𝑞.

a) (1, 3, 9, 27, 81)

1ª 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎 ⇒ 𝑞 =𝑎2𝑎1

𝑞 =3

1= 3

𝑞 =9

3= 3

2ª 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎 ⇒ 𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐

32 = 1 ∙ 9 9 = 9

272 = 9 ∙ 81 729 = 729

92 = 3 ∙ 37 81 = 81

é 𝑃. 𝐺. 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑞 = 3

b) (2, 4, 6, 8, 10, 12)


𝑞 =4

2= 2

𝑞 =6

4=3

2


42 = 6 ∙ 2 16 = 12

𝑛ã𝑜 é 𝑃. 𝐺

c) (400, 200,100, 50)


𝑞 =200

400=1

2

𝑞 =100

200=1

2


2002 = 400 ∙ 100 40 000 = 40 000

1002 = 200 ∙ 50 10 000 = 10 000

é 𝑃. 𝐺. 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑞 =1

2

7) Na P.G. (3, 6, 12,… ), calcule:

a) O 10 º termo.

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

𝑎10 = 3 ∙ 𝑞9

𝑎10 = 3 ∙ (2)9

𝑎10 = 1536

b) A ordem do termo de valor 6144.

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

6144 = 3 ∙ (2)𝑛−1 6144

3= 2𝑛−1

2048 = 2𝑛−1

211 = 2𝑛−1

11 = 𝑛 − 1

𝑛 = 12 ∴ 6144 é 𝑜 12º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜.

104

8) Em uma P.G. de termos reais, calcule a razão, dados:

a) 𝑎1 = 6 e 𝑎7 = 4374

b) 𝑎1 = 10 e 𝑎6 = −320

a) 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

𝑎7 = 𝑎1 ∙ 𝑞6

4374 = 6 ∙ 𝑞6 4374

6= 𝑞6

𝑞6 = 729

𝑞 = √7296

𝑞 = 3

b) 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

𝑎6 = 𝑎1 ∙ 𝑞5

−320 = 10 ∙ 𝑞5 −320

10= 𝑞5

𝑞5 = −32

𝑞 = −√325

𝑞 = −2

Interpolação geométrica

Vamos considerar o seguinte problema:

No primeiro semestre de 2009, a produção mensal de uma indústria

cresceu em P.G.. em janeiro, a produção foi de 1500 unidades, em junho, foi de

48000 unidades. Qual foi a produção dessa indústria nos meses de fevereiro,

março, abril, e maio?

Solução:

Nessas condições, o problema consiste em formar uma P.G. em que:

𝑎1(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜) = 1500

𝑎𝑛(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑛ℎ𝑜) = 48000 𝑒 𝑛 = 6

Razão ⇒ 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

48000 = 1500 ∙ 𝑞5 48000

1500= 𝑞5

𝑞5 = 32

𝑞 = √325

𝑞 = 2

Então temos:

P.G. (1500𝑗𝑎𝑛

, 3000𝑓𝑒𝑣

, 6000𝑚𝑎𝑟

, 12000𝑎𝑏𝑟

, 24000𝑚𝑎𝑖

, 48000𝑗𝑢𝑛

)

Na realidade, o que fizemos foi inserir ou interpolar quatro meios geométricos

entre 1500 e 48000.

𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞

𝑎2 = 1500 ∙ 2

𝑎2 = 3000 𝑢𝑛

𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2

𝑎3 = 1500 ∙ 4

𝑎3 = 6000 𝑢𝑛

𝑎4 = 𝑎1 ∙ 𝑞3

𝑎4 = 1500 ∙ 8

𝑎4 = 12000 𝑢𝑛

𝑎5 = 𝑎1 ∙ 𝑞4

𝑎5 = 1500 ∙ 16

𝑎5 = 24000 𝑢𝑛

105

Exemplo 9

Vamos interpolar três meios geométricos entre 3 e 48.

P.G. (3, ___, ___, ___, 48)

𝑎1 = 3, 𝑎5 = 48 𝑒 𝑛 = 2 + 3 = 5

𝑎5 = 𝑎1 ∙ 𝑞4

48 = 3 ∙ 𝑞4 48

3= 𝑞4

𝑞4 = 16

𝑞 = ±√164

𝑞 = ±2

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 = 2

𝑃.𝐺. (3, 6, 12, 24, 48) 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 = −2

𝑃. 𝐺. (3,−6, 12,−24, 48) 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒

Exemplo 10

Quando interpolamos quatro meios aritméticos entre 1 e 243, qual é a

razão 𝑞 da P.G. assim obtida?

𝑃. 𝐺. (1, ___, ___, ___, ___, 243) 𝑎1 = 1, 𝑎6 = 243

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

𝑎6 = 𝑎1 ∙ 𝑞6−1

243 = 1 ∙ 𝑞5 243 = 𝑞5

𝑞 = √2435

𝑞 = 3

Avaliação:

A aula será suficiente se o aluno compreender o que foi trabalhado.





106

______, Luiz R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna,

2015 SMOLE, Kátia S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição.



Antes de dar início à aula conversei com os alunos a respeito da Recuperação

Paralela (RP) do dia 13 de novembro, e comentei que poderia ser uma tarde

inteira, ou seja 4 períodos (200 minutos) de matemática, e com isso, ficou

acordado com a turma que a aula de hoje seria direcionada apenas para

explicação de conteúdo e exemplos, e a RP seria destinada exclusivamente a

resolução de exercícios e esclarecimento de possíveis dúvidas referentes ao

conteúdo estudado até esta aula.

Os alunos estavam com aspecto de cansaço, o que não atrapalhou a participação

em aula.

Como a aula não teria tempo destinado a resolução de exercícios, o rendimento

do conteúdo foi muito bom, consegui mostrar diversos exemplos, e os próprios

alunos, após as explicações, sugeriam e pediam para que os deixassem tentar

resolver os exemplos antes de eu colocar as resoluções (comentadas) no quadro.

Alguns conseguiram, mas independente de conseguirem ou não, eu esboçava as

soluções, e quando percebia que não havia completo entendimento, reiniciava a

explicação e tentava novas maneiras de resolver a mesma conta, ou até mudando

o jeito de falar, outras palavras, assim, quando percebia que haviam entendido

dava continuidade ao estudo da P.G.

Ao final da aula, as coisas não haviam saído como eu havia planeja, mas,

consegui trabalhar uma boa parte do conteúdo de P.G. então, considero a aula

satisfatória pois consegui identificar um bom retorno com relação ao entendimento

do que foi trabalhado e proposto em aula.

107

PLANO DE AULA (RP)







Objetivos:

- Objetivo Geral:

Resolver exercícios e problemas matemáticos sobre P.G..


Ser capaz de encontrar a razão da P.G. de diferentes formas;

Compreender e encontrar diferentes termos da P.G. usando o termo geral;

Fazer uso das diferentes regras, trabalhadas até aqui, para resolver questões de P.G.;


Metodologia:

Aula compartilhada, através de troca de conhecimentos em grupo.


Quadros branco e verde, giz e caneta com auxílio de material impresso.

Desenvolvimento:


108

LISTA DE EXERCICIOS P.G. 13/11/2019 (R.P.)

1) Determine a razão da P.G. (𝑎𝑛) tal que 𝑎38 = 15 e 𝑎39 = 5.

𝑞 =𝑎39𝑎38

=5

15=1

3

2) Calcular a razã0 da P.G. (𝑎𝑛) tal que 𝑎3 + 𝑎6 = 36 e 𝑎1 + 𝑎4 = 144.

{𝑎3 + 𝑎6 = 36 𝑎1 + 𝑎4 = 144

⇒ {𝑎1 ∙ 𝑞

2 + 𝑎1 ∙ 𝑞5 = 36

𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞3 = 144

⇒ {𝑎1𝑞

2(1 + 𝑞3) = 36

𝑎1(1 + 𝑞3) = 144

𝑞2 =36

144

𝑞 = ±√36

144

2

= ±6

12

𝑞 = ±1

2

3) Interpolar 5 meios geométricos entre 1 e 64, nessa ordem.

𝑎7 = 𝑎1𝑞6

64 = 1𝑞6

𝑞6 = 64

𝑞 = ±√646

𝑞 = ±2

Para 𝑛 = 2 𝑃. 𝐺. (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)

Para 𝑛 = −2 𝑃.𝐺. (1, −2, 4, −8, 16,−32, 64)

4) Determine o 14º termo da P.G. (1536,768, 384, 192,… ).

𝑞 =768

1536=1

2

𝑎14 = 𝑎1 ∙ 𝑞13

𝑎14 = 1536 ∙ (1

2)13

= 1536 ∙1

8192=1536

8192

𝑎14 =3

16= 0,1875

5) Interpole 4 meios geométricos entre 1 e 7, nessa ordem.

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

7 = 1 ∙ 𝑞5 𝑞5 = 7

𝑞 = √75

𝑞 = 715

𝑎2 = 1 ∙ 715 = 7

15 = √7

5

𝑎3 = 715 ∙ 7

15 = 7

25 = √72

5

𝑎4 = 725 ∙ 7

15 = 7

35 = √73

5

𝑎5 = 735 ∙ 7

15 = 7

45 = √74

5

𝑃. 𝐺. (1, √75, √725

, √735

, √745

, 7)

6) Obtenha 𝑥 para que a sequência (−1, 𝑥 − 1, 4𝑥 − 1) seja uma P.G..

𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐

(𝑥 − 1)2 = −1(4𝑥 − 1)

𝑥2 − 2𝑥 + 1 = −4𝑥 + 1

𝑥2 + 2𝑥 = 0

𝑥(𝑥 + 2) = 0

𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2

109

7) Determine a P.G. crescente de três termos tal que a soma dos três termos é

14 e o produto deles é 64.

{

𝑥

𝑞∙ 𝑥 ∙ 𝑥𝑞 = 64

𝑥

𝑞+ 𝑥 + 𝑥𝑞 = 14

𝑥

𝑞∙ 𝑥 ∙ 𝑥𝑞 = 64

𝑥3 = 64

𝑥 = ±√643

𝑥 = 4

𝑥

𝑞+ 𝑥 + 𝑥𝑞 = 14

4

𝑞+ 4 + 4𝑞 = 14

4 + 4𝑞 + 4𝑞2

𝑞= 14

4 + 4𝑞 + 4𝑞2 = 14𝑞 4𝑞2 − 10𝑞 + 4 = 0

𝑞 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑞 =10 ±√(−10)2 − 4 ∙ 4 ∙ 4

2 ∙ 4=10 ± √36

8=10 ± 6

8

𝑞′ = 2 𝑒 𝑞′′ =1

4 𝑃. 𝐺. = 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑞 = 2

𝑃. 𝐺. (𝑥

𝑞, 𝑥, 𝑥𝑞)

𝑃.𝐺. (2, 4, 8)

8) Em uma progressão geométrica crescente, o 4º termo é 2 e o 9º termo é 64.

Qual é o valor do 7º termo dessa progressão?

𝑎4 = 2; 𝑎9 = 64

𝑎9 = 𝑎4 ∙ 𝑞5

64 = 2 ∙ 𝑞5 32 = 𝑞5

𝑞 = ±√325

𝑞 = ±2

𝑃. 𝐺. 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑞 = 2

𝑎7 = 𝑎4 ∙ 𝑞3

𝑎7 = 2 ∙ (2)3

𝑎7 = 2 ∙ 8 𝑎7 = 16

9) Numa P.G., a soma do 3º e do 5 º termo é igual a 360 e a soma do 4º e do 6º

termo é igual a 1080. Vamos determinar a razão e o primeiro termo dessa P.G..

{𝑎3 + 𝑎5 = 360 𝑎4 + 𝑎6 = 1080

⇒ {𝑎1 ∙ 𝑞

2 + 𝑎1 ∙ 𝑞4 = 360

𝑎1 ∙ 𝑞3 + 𝑎1 ∙ 𝑞

5 = 1080⇒ {

𝑎1(𝑞2 + 𝑞4) = 360

𝑎1𝑞(𝑞2 + 𝑞4) = 1080

⟨ 1

𝑞=1

3

𝑞 = 3

𝑎1(32 + 34) = 360

𝑎1(9 + 81) = 360

𝑎1 =360

90

𝑎1 = 4

110

10) Em uma progressão geométrica crescente, o 4º termo vale 7 e o 7º termo

vale 189. Quanto vale o 6º termo dessa progressão?

𝑎4 = 7; 𝑎7 = 189

𝑎7 = 𝑎4 ∙ 𝑞3

189 = 7 ∙ 𝑞3 27 = 𝑞3

𝑞 = ±√273

𝑞 = ±3

𝑎6 = 𝑎4 ∙ 𝑞2

𝑎6 = 7 ∙ (3)2

𝑎6 = 63

11) Quantos meios geométricos devemos inserir entre 1

16 e 64 de modo que a

sequência obtida tenha razão 4?

𝑎1 =1

16; 𝑎𝑛 = 64 𝑒 𝑞 = 4

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

64 =1

16∙ 4𝑛−1

43 = 4−2 ∙ 4𝑛−1 43 = 4𝑛−3

3 = 𝑛 − 3

𝑛 = 6

12) Quantos elementos tem a P.G. (8, 32,… , 231)?

𝑎1 = 8; 𝑎𝑛 = 231 𝑒 𝑞 = 4

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

231 = 8 ∙ 4𝑛−1 231 = 23 ∙ 22(𝑛−1) 231 = 22𝑛+1

31 = 2𝑛 + 1

2𝑛 = 30

𝑛 = 15

Avaliação:

Será avaliada a presença, a dedicação na aula extra e o aproveitamento.





edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015

111

SMOLE, Kátia S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010.


Na aula anterior, havíamos combinado que a tarde de RP seria para resolver os

exercícios do material impresso, que ficaram da última aula, e mais uma lista com

exercícios diversos para fixar os conceitos e o conteúdo trabalhado, e com minha

ajuda, quando necessário.

Dos 16 alunos da turma, 14 estiveram presentes nesta RP e 10 resolveram todos

os problemas propostos para a tarde.

Foi um momento muito importante, os alunos se dispuseram em grupos, trios e

duplas, por afinidade, porém, trabalharam muito bem desta forma, pude ver várias

conversas e discussões sobre as questões e juntos chegavam as conclusões dos

problemas e os resolviam, e também, quando não conseguiam chegar a um

consenso, eu era solicitada para resolver a confusão, e me surpreendi com o

aproveitamento de todos.

Acredito que esta foi uma das aulas mais proveitosa até então. Eles estavam

entusiasmados e conseguiam resolver os exercícios, o que deixava os alunos

ainda mais animados para resolve-los. Fiquei satisfeita com a aula extra.

Objetivos plenamente atingidos.

112

PLANO DE AULA (14)







Objetivos:

- Objetivo Geral:

Entender a soma da P.G..


Fazer uso das diferentes fórmulas, para resolver as questões de Soma da P.G.;

Trabalhar com ânimo.

Metodologia:

Aula expositiva com demonstração.


Quadros branco e verde, giz e caneta com auxílio de material de P.G.

Desenvolvimento:


113

Soma dos termos de uma P.G. finita e infinita

Do mesmo modo que para a P.A. também para a P.G. é possível

encontrar uma forma de calcular a soma de seus termos, caso ela seja finita, ou

de seus 𝑛 primeiros termos, se ela for infinita.

A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão geométrica (𝑎𝑛) de

razão 𝑞 ≠ 1 é:

𝑆𝑛 =𝑎1 ∙ (𝑞

𝑛 − 1)

𝑞 − 1 𝑜𝑢 𝑆𝑛 = 𝑎1 ∙

1 − 𝑞𝑛

1 − 𝑞

Demostrar no quadro.

Primeiro consideramos a soma dos termos da P.G.:

𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛) (1)

Depois, multiplicamos os dois membros da sentença por 𝑞

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 (∙ 𝑞)

𝑞𝑆𝑛 = 𝑎1𝑞 + 𝑎2𝑞 + 𝑎3𝑞 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑞 + 𝑎𝑛𝑞

𝑞𝑆𝑛 = 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 +⋯+ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛𝑞 (2)

Fazendo (2) − (1), vem:

−𝑞𝑆𝑛 = 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 +⋯+ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛𝑞

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

𝑞𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = −𝑎1 + 𝑎𝑛 ∙ 𝑞

(𝑞 − 1)𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑞 − 𝑎1

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

𝑆𝑛(𝑞 − 1) = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 ∙ 𝑞 − 𝑎1

𝑆𝑛(𝑞 − 1) = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛 − 𝑎1

𝑆𝑛(𝑞 − 1) = 𝑎1(𝑞𝑛 − 1)

𝑆𝑛 =𝑎1(𝑞

𝑛 − 1)

(𝑞 − 1) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 ≠ 1

Fazendo (1) − (2), vem:

𝑆𝑛(1 − 𝑞) = 𝑎1 − 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛

𝑆𝑛(1 − 𝑞) = 𝑎1(1 − 𝑞𝑛)

𝑆𝑛 =𝑎1(1 − 𝑞

𝑛)

(1 − 𝑞) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 ≠ 1

Para 𝑞 = 1, temos a P.G. (𝑎1, 𝑎1, 𝑎1, … , 𝑎1, … ) e:

𝑆𝑛 = (𝑎1 + 𝑎1 + 𝑎1 +⋯+ 𝑎1)

𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠

𝑆𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑎1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 = 1

114

Em toda P.G. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … ) de razão 𝑞, a soma (𝑆𝑛) dos 𝑛

primeiros termos é dada por:


𝑛−1)

𝑞−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 ≠ 1 ou por 𝑆𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑎1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞 = 1

Exemplo 11

Vamos determinar a soma:

a) Dos 10 primeiros termos da

P.G.(3, 6, 12,… );

𝑎1 = 3, 𝑞 = 2 𝑒 𝑛 = 10

b) Dos termos da P.G. (2, 22 , … , 210);

𝑎1 = 2, 𝑞 = 2 𝑒 𝑛 = 10

1ª maneira:


𝑛−1)

(𝑞−1)

𝑆10 =𝑎1(𝑞

10 − 1)

(𝑞 − 1)

𝑆10 =3(210 − 1)

(2 − 1)= 3 ∙ 1023

𝑆10 = 3069

2ª maneira:


𝑛 − 1)

(𝑞 − 1)

𝑆10 = 𝑎1(1 − 𝑞10)

(1 − 𝑞)

𝑆10 = 3(1 − 210)

(1 − 2)

𝑆𝑛 == 3 ∙−1023

−1

𝑆10 = 3069

1ª maneira:


𝑛 − 1)

(𝑞 − 1)

𝑆10 =𝑎1(𝑞

10 − 1)

(𝑞 − 1)

𝑆10 =2(210 − 1)

(2 − 1)= 2 ∙ 1023

𝑆10 = 2014

2ª maneira:


𝑛 − 1)

(𝑞 − 1)

𝑆10 = 𝑎1(1 − 𝑞10)

(1 − 𝑞)

𝑆10 = 2(1 − 210)

(1 − 2)

𝑆𝑛 == 2 ∙−1023

−1

𝑆10 = 2046

Exercícios:

9) Calcular a soma dos onze primeiros termos da P.G. (1

4,1

2, 1, 2, 4,… ).

𝑆𝑛 =𝑎1(1 − 𝑞

𝑛)

1 − 𝑞 ⟹ 𝑎1 =

1

4, 𝑞 = 2 𝑒 𝑛 = 11

𝑆11 =(1 − 211)

1 − 2=

14(1 − 2048)

−1=

14(−2047)

−1

𝑆11 =1

4∙ (−2047

−1)

𝑆11 =2047

4

10) Calcular a soma dos sete primeiros termos da P.G. (6, 18, 54,… ).

𝑎1 = 6, 𝑞 = 3 𝑒 𝑛 = 7


𝑛 − 1)

𝑞 − 1 ⟹ 𝑆7 =

6(37 − 1)

3 − 1=6(𝑞𝑛 − 1)

2= 3(37 − 1)

𝑆7 = (38 − 3) = 6561 − 3 𝑆7 = 6558

115

11) Quantos termos devemos considerar na P.G. (3, 6, … ) para obter

uma soma igual a 765?

𝑎1 = 3; 𝑞 = 2 𝑒 𝑛 =? 𝑆𝑛 = 765


𝑛 − 1)

𝑞 − 1

765 =3(2𝑛 − 1)

2 − 1=3(2𝑛 − 1)

1

765

3= 2𝑛 − 1

255 + 1 = 2𝑛

256 = 2𝑛

28 = 2𝑛

𝑛 = 8

𝑑𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑃. 𝐺. 𝑑𝑒 8 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠

12) Calcule a soma dos termos da P.G. finita (1, 2,… , 512).

𝑆𝑛 =𝑎𝑛 ∙ 𝑞 − 𝑎1𝑞 − 1

=512 ∙ 2 − 1

2 − 1

𝑆𝑛 =1024 − 1

1

𝑆𝑛 = 1023

Soma dos termos de uma P.G. INFINITA

Já estudamos a soma nos 𝑛 primeiros termos de uma P.G. para 𝑛 ∈ ℕ∗.

Agora, veremos como calcular a soma dos termos de uma P.G. infinita. Para

isso, considerando a sequência (1,1

2,1

4,1

8,1

16, … ) que é uma P.G. infinita na qual

𝑎1 = 1 e 𝑞 =1

2, vamos calcular a soma

1 +1

2+1

4+1

8+1

16+ ⋯

Aplicando a fórmula da soma 𝑆𝑛 =𝑎1∙(𝑞𝑛−1)

𝑞−1 vamos calcular:

𝑆2 = 1 +1

2=

3

2= 1,5

𝑆3 =3

2+

1

4=

6+1

4=

7

4= 1,75

𝑆4 =7

4+

1

8=

14+1

8=

15

8= 1,875

𝑆5 =15

8+

1

16=

30+1

16=

31

16= 1,9375

Localizando os valores de 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆5 na reta enumerada, temos:

116

Se calcularmos 𝑆6, verificaremos que 𝑆6 fica mais próximo de 2 que 𝑆5;

o mesmo irá acontecer, sucessivamente, com 𝑆7, 𝑆8, 𝑆9, 𝑆10, ... etc.. Assim, 𝑆𝑛 vai

se aproximando do valor 2 tanto quanto quisermos, à medida que 𝑛 vai tomando

valores suficientemente grandes. Quando isso ocorre, dizemos que

1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+⋯ converge e tem a soma igual a 2.

De modo geral, nas progressões geométricas infinitas em que a razão 𝑞

é, em valor absoluto, menor que 1, a soma dos 𝑛 primeiros termos tem um valor

finito quando 𝑛 é suficientemente grande. Nesse casso, 𝑞𝑛 = 0. Escrevemos

assim:

lim𝑛→∞

𝑆𝑛 = 𝑎1 ∙(1 − 𝑞𝑛)

(1 − 𝑞)= 𝑎1 ∙

(1 − 0)

(1 − 𝑞)

lim𝑛→∞

𝑆𝑛 =𝑎1

(1 − 𝑞)

Em toda P.G. (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 , … ) de razão 𝑞, com −1 < 𝑞 > 1:

lim𝑛→∞

𝑆𝑛 =𝑎1

(1−𝑞)

O valor dessa expressão é definido como a soma dos termos de uma

P.G. infinita.

𝑆𝑛 =𝑎1

(1 − 𝑞) 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 1 < 𝑞 > 1

Vamos justificar essa fórmula a partir da soma 𝑆𝑛 dos 𝑛 primeiros termos

da P.G., isto é:

𝑆𝑛 =𝑎1(1−𝑞𝑛)

1 − 𝑞=𝑎1 − 𝑎1𝑞

𝑛

1 − 𝑞

∴ 𝑆𝑛 =𝑎11 − 𝑞

−𝑎1𝑞

𝑛

1 − 𝑞

Quando o número 𝑛 de termos aumenta indefinidamente (tende ao

infinito). A potência 𝑞𝑛 se aproxima indefinidamente de zero (tende a zero), pois

o número 𝑞 está entre −1 e 1.

117

Assim, a expressão 𝑆𝑛 se aproxima indefinidamente de 𝑎1

1−𝑞. Indicando

esse limite por 𝑆∞, temos:

𝑆∞ =𝑎11 − 𝑞

NOTAS:

1. Existe o limite da soma dos infinitos termos de uma P.G. de razão 𝑞 se, e somente se,

−1 < 𝑞 > 1.

2. O limite da soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamado, simplesmente, de SOMA

dos infinitos termos da P.G..

Exemplo 12:

Dada a P.G. (1,1

2,1

4, … ) calcule:

a) A soma dos 10 primeiros termos.

𝑆10 =𝑎1(𝑞

10 − 1)

𝑞 − 1 ⇒ 𝑆10 =

1 [(12)10

− 1]

12 − 1

𝑆10 =1(

11024 − 1

)

−12

=1(−

10231024

)

−12

=−10231024

−12

= (−1023

1024) ∙ (−

2

1) =

2046

1024

𝑆10 =1023

512

b) O limite da soma dos infinitos termos da P.G.

Como 𝑞 =1

2 e −1 <

1

2< 1, temos:

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =𝑎11 − 𝑞

⇒ lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =1

1 −12

lim𝑛→∞

𝑆𝑛 = 2

118

Exercícios

13) Calcular o limite da soma dos termos da P.G. (1

3, −

1

9,1

27, … ).

𝑎1 =1

3; 𝑞 = −

1

3 𝑐𝑜𝑚𝑜 −

1

3< 1, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑟 lim

𝑛→+∞𝑆𝑛 =

𝑎11 − 𝑞

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =

13

1 − (−13) ⟹ lim

𝑛→+∞𝑆𝑛 =

13

1 +13

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =

1343

⟹ lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =1

3∙3

4

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =1

4

14) Calcular a soma dos termos da P.G. infinita (−8, 4,−2, 1,… ).

𝑎1 = −8; 𝑞 = −1

2 𝑐𝑜𝑚𝑜 − 1 < 𝑞 < 1

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =𝑎11 − 𝑞

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =−8

1 − (−12) ⟹ lim

𝑛→+∞𝑆𝑛 =

−8

1 +12

⟹ lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =−8

32

⟹ lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 =−8

1∙2

3

lim𝑛→+∞

𝑆𝑛 = −16

3

Avaliação:

A aula será satisfatória se o aluno atingir todos os objetivos.

Referências Bibliográficas: BARROSO, Juliane M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai Paulo: Moderna, 2010 DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2011. ______, Luiz R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013

119

______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015 SMOLE, Kátia S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010.


O uso do material impresso/online com o conteúdo de P.G. foi uma grande

vantagem.

A semelhança com o conteúdo de P.A fez com que eu tomasse a iniciativa de

criação de um material para estudo das Progressões Geométricas, o que facilitou

e melhorou o andamento das aulas, eu deixei, no material, os exemplos e

exercícios sem resolução, para que os alunos tivessem no caderno as fórmulas,

demonstrações e exemplos de P.G.

Para a aula de hoje, consegui concluir as explicações da parte que concebia a

Soma das P.Gs. finitas e infinitas, e os alunos concluíram a resolução de todos

os exercícios propostos em aula, com tudo, objetivos alcançados com sucesso.

Planejamento concluído.

120

PLANO DE AULA (15)






Conteúdo: Progressões Aritméticas e Geométricas.

Objetivos:

- Objetivo Geral:

Conhecer e diferenciar uma P.A de uma P.G.


Fazer uso das diferentes fórmulas, para resolver as questões de P.A e P.G.;

Entender resolver problemas sobre os conteúdos trabalhados com segurança;

Estar preparado para avaliação vindoura;

Ter dedicação e vontade de trabalhar.

Metodologia:

Aula expositiva de conteúdo e revisão.


Quadros branco e verde, giz e caneta, e para os alunos, lista de exercícios de

revisão impressa.

Desenvolvimento:


121

Interpretação geométrica de uma P.G.

Já vimos que o termos geral de uma progressão geométrica é dado por

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 ou por 𝑎𝑛 = 𝑎0 ∙ 𝑞

𝑛 quando começamos a enumeração dos termos

por 𝑎0.

Podemos pensar em uma progressão geométrica como uma função que

associa a cada número natural positivo 𝑛 o valor dado por 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1. Essa

função é restrição aos números naturais positivos da função do tipo exponencial

𝑎(𝑥) = 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑞𝑥−1.

O gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos

pertencentes ao gráfico de uma função exponencial.

Exemplo 13

Para construir o gráfico da progressão geométrica com 𝑎0 =1

3 e 𝑞 = 3,

inicialmente escrevemos a lei de formação dessa P.G.:

Observe que não traçamos a curva contínua passando pelos pontos, pois o dommínio é ℕ∗ e não ℝ.

122

𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) =1

3∙ 3𝑛 (𝑛 ∈ ℕ).

Aplicando a lei, construímos o gráfico da P.G.

Exercícios

15) Dada a P.G. (2, 4, 8,… ):

a) Calcule 11º termo.

𝑎1 = 2 𝑒 𝑞 = 2

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

𝑎11 = 𝑎1 ∙ 𝑞10 = 2 ∙ 210

𝑎11 = 2 ∙ 1024

𝑎11 = 2048

𝑛 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) =1

3∙ 3𝑛

Ponto

(𝑛, 𝑎𝑛)

0 𝑎0 =1

3∙ 30 =

1

3 (0,

1

3)

1 𝑎1 =1

3∙ 31 = 1 (1, 1)

2 𝑎2 =1

3∙ 32 = 3 (2, 3)

3 𝑎3 =1

3∙ 33 = 9 (3, 9)

123

b) Calcule a ordem do termo de valor 256.

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

256 = 2 ∙ 2𝑛−1

128 = 2𝑛−1

27 = 2𝑛−1 7 = 𝑛 − 1 𝑛 = 8

256 é 𝑜 8º 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑃. 𝐺.

c) Represente graficamente essa sequência.

𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) = 2 ∙ 2𝑛−1 = 2𝑛−1+1 = 2𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ∗

𝑛 𝑎𝑛 = 2𝑛 Ponto

1 𝑎1 = 21 = 2 (1, 2)

2 𝑎2 = 22 = 4 (2, 4)

3 𝑎3 = 23 = 8 (3, 8)

4 𝑎4 = 24 = 16 (4, 16)

5 𝑎5 = 25 = 32 (5, 32)

⋮ ⋱ ⋮

Gráfico:

LISTA DE EXERCICIOS P.A. e P.G. (revisão para avaliação) 1) Qual é o 50º número ímpar positivo? 𝑹:𝟗𝟗

𝑎1 = 1; 𝑟 = 2 𝑒 𝑎50 =?

𝑎50 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎50 = 1+ (50 − 1)2

𝑎50 = 1+ (49 ∙ 2)

𝑎50 = 99

124

2) Calcule o primeiro termo da P.A.:

a) Da razão 𝑟 = 3, sabendo que 𝑎7 = 21; 𝑹: 𝒂𝟏 = 𝟑

𝑟 = 3 𝑒 𝑎7 = 21 𝑎7 = 𝑎1 + (7 − 1)3 21 = 𝑎1 + 18

𝑎1 = 3

b) Em que 𝑎12 = −29 e 𝑟 = −4. 𝑹: 𝒂𝟏 = 𝟏𝟓

𝑟 = −4 𝑒 𝑎12 = −29 𝑎12 = 𝑎1 + (12 − 1) ∙ (−4)

−29 = 𝑎1 − 44 𝑎1 = 15

3) (Enem) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 – 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Ano Projeção da Produção (𝑡)

2012 50,25

2013 51,50

2014 52,75

2015 54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de:

a) 497,25 c) 502,87 e) 563,25

b) 500,85 d) 558,75

𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑟

𝑎10 = 50,25 + (9 ∙ 1,25)

𝑎10 = 50,25 + 11,25

𝑎10 = 61,50

𝑆10 =(𝑎1 + 𝑎10)10

2

𝑆10 =(50,25 + 61,50)10

2

𝑆10 = 111,75 ∙ 5

𝑆10 = 558,75

Serão produzidas em 10 anos 558,75𝑡

125

4) No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta sob a forma de um trapézio isósceles, com a tela sobre a base menor desse trapézio. As poltronas serão dispostas em 16 fileiras paralelas às bases do trapézio, tendo 20 poltronas na primeira fileira. A partir da segunda fileira, cada fileira terá 2 poltronas a mais que a fileira anterior. Calcule o número de poltronas desse cinema. 𝑹:𝟓𝟔𝟎

𝑛 = 16; 𝑎1 = 20 𝑒 𝑟 = 2

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟

𝑎16 = 20 + 15𝑟

𝑎16 = 20 + (15 ∙ 2)

𝑎16 = 2∓ 30

𝑎10 = 50

𝑆16 =(𝑎1 + 𝑎16)16

2

𝑆10 =(20 + 50)16

2

𝑆10 = 70 ∙ 8

𝑆10 = 560

Possui 560 poltronas.

5) Numa P.A., a soma dos seis primeiros termos é 12. Sabendo que o último

termo dessa P.A é 7, calcule o primeiro termo, 𝒂𝟏. 𝑹: 𝒂𝟏 = −𝟑 𝑛 = 6; 𝑎𝑛 = 7; 𝑆6 = 12 𝑒 𝑎1 =?

𝑆6 =(𝑎1 + 𝑎6)6

2

12 =(𝑎1 + 7)6

2

12 = (𝑎1 + 7) ∙ 3

12 = 3𝑎1 + 21

3𝑎1 = −9

𝑎1 = −3

6) Numa P.G., temos 𝑎5 = 32 e 𝑎8 = 256. Calcule o primeiro termo e a razão

dessa P.G.. 𝑹:𝒒 = 𝟐 𝒆 𝒂𝟏 = 𝟐

𝑎8 = 𝑎5 ∙ 𝑞3

256 = 32 ∙ 𝑞3

8 = 𝑞3

𝑞 = ±√83

𝑞 = ±2

𝑎5 = 𝑎1 ∙ 𝑞4

32 = 𝑎1 ∙ (2)4

32 = 𝑎1 ∙ 16

𝑎1 = 2

7) Em uma P.G. de razão 2, a soma dos oito primeiros termos é 765. Determine

o primeiro termo dessa P.G.. 𝑹: 𝒂𝟏 = 𝟑 𝑞 = 2 𝑒 𝑆8 = 765

𝑆𝑛 =𝑎1 ∙ (1 − 𝑞

8)

1 − 𝑞

765 =𝑎1 ∙ (1 − 2

8)

1 − 2

765 =𝑎1 ∙ (1 − 256)

−1

765 =𝑎1 ∙ (−255)

−1

−765

−255= 𝑎1

𝑎1 = 3

126

8) Para iniciar seu negócio, um camelô comprou um lote de 10 canetas e vendeu todas. O dinheiro arrecadado foi reinvestido na compre de um segundo lote, com o triplo de canetas do primeiro lote, que também foi totalmente vendido. E assim por diante, ele reinvestiu o dinheiro da venda de cada lote comprando um novo lote com o triplo de canetas do lote anterior.

𝑎1 = 10; 𝑎2 = 30 𝑒 𝑞 = 3

a) Considerando como primeiro lote aquele com que o camelô iniciou seu negócio, calcule o número de canetas do quinto lote vendido pelo camelô.

𝑎5 = 𝑎1 ∙ 𝑞4

𝑎5 = 10 ∙ 34

𝑎5 = 10 ∙ 34

𝑎5 = 810 𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑎𝑚 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 810 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠

b) Ao completar a venda do sexto lote, quantas canetas terá vendido o

camelô desde que iniciou seu negócio?

𝑆𝑛 =𝑎1 ∙ (1 − 𝑞

8)

1 − 𝑞

𝑆6 =10 ∙ (1 − 36)

1 − 3

𝑆6 =10 ∙ (−728)

−2

𝑆6 = (−5) ∙ (−728)

𝑆6 = 3640

𝑎𝑜 𝑓𝑖𝑚 𝑑𝑜 6º 𝑙𝑜𝑡𝑒, 𝑓𝑜𝑟𝑎𝑚 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 3640 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠

c) Ao completar a venda do lote de número 𝑛, quantas canetas terá vendido o camelô desde que iniciou seu negócio?

𝑆𝑛 =𝑎1 ∙ (𝑞

𝑛 − 1)

𝑞 − 1

𝑆𝑛 =10 ∙ (3𝑛 − 1)

3 − 1

𝑆6 =10 ∙ (3𝑛 − 1)

2

𝑆6 = 5 ∙ ((3𝑛 − 1))

Avaliação:

Ocorrerá durante as atividades propostas.


127

BARROSO, Juliane M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai Paulo: Moderna, 2010 DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2011. ______, Luiz R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna,

2015 SMOLE, Kátia S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010.


Esta aula foi dedicada à conclusão do conteúdo de P.G. e resolução de lista de

revisão para avaliação, e para esclarecer dúvidas pois os alunos receberiam ao

final da aula, uma trabalho avaliativo para ser resolvido extra classe e entregue

no dia 26 de novembro, próxima aula, dia de avaliação.

Os alunos sentaram dispostos em duplas, e após a finalização das explicações e

construção dos gráficos eles concluíram a resolução do último exercício do

material de P.G e iniciaram as soluções de revisão.

Não demonstraram dificuldade na resolução de problemas que envolviam os dois

conteúdos, e com isso percebi que haviam melhorado a interpretação das

questões por estarem esclarecidos com o conteúdo.

Ao fim da aula, todos os alunos presentes haviam resolvido toda a revisão sem

dificuldade e com isso, me senti segura ao saber que estavam preparados para

passar por uma avaliação, e mais uma vez, depois de aprender o ritmo da turma,

com satisfação, concluí todo o trabalho que havia planejado para hoje.

128

PLANO DE AULA (16)






Conteúdo: Progressões Aritméticas e Geométricas.

Objetivos:

- Objetivo Geral:

Concluir a avaliação.


Estar calmo e seguro para concluir com êxito a avaliação;

Trabalhar de maneira tranquila para não atrapalhar a concentração.

Metodologia:

Aula de avaliações: entrega do trabalho de P.G.; avaliação dos cadernos e avaliação individual escrita.


Material impresso.

Desenvolvimento:

Avaliações

129

Trabalho Progressões Geométricas – P.G.

Data de entrega: 26/11/2019

1) Qual é o 7º termo da P.G. (2, 6,… )?

𝑎1 = 2; 𝑞 = 3 𝑒 𝑛 = 7 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞

𝑛−1

𝑎7 = 2 ∙ 36

𝑎7 = 2 ∙ 729 𝑎7 = 1458

2) Calcular o 1º termo de uma P.G. em que 𝑎4 = 375 e 𝑞 = 5.

𝑎4 = 375; 𝑞 = 5 𝑒 𝑛 = 4 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞

𝑛−1

375 = 𝑎1 ∙ 53

375 = 𝑎1 ∙ 125

𝑎1 =375

125

𝑎1 = 3

3) Determine 𝑥 para que as seguintes sequências sejam P.G.:

a) (4, 𝑥, 9, ) b) (𝑥 − 3, 𝑥, 𝑥 + 6)

𝑃.𝐺.⇔ 𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐 𝑥2 = 4 ∙ 9

𝑥 = √36 𝑥 = 6

𝑃.𝐺.⇔ 𝑏2 = 𝑎 ∙ 𝑐 𝑥2 = (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 6) 𝑥2 = 𝑥2 + 6𝑥 − 3𝑥 − 18

−3𝑥 = −18

𝑥 =−18

−3

𝑥 = 6

4) Qual é o número 𝑥 que se deve adicionar a 2, 6, e 14 para que os

números assim obtidos sejam, nessa ordem, termos consecutivos de uma P.G?

𝑃.𝐺. (𝑥 + 2, 𝑥 + 6, 𝑥 + 14) (𝑥 + 6)2 = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 + 14) 𝑥2 + 12𝑥 + 36 = 𝑥2 + 16𝑥 + 28

8 = 4𝑥 𝑥 = 2

𝑃. 𝐺. (4, 8, 16)

5) As seguintes sequências são P.G.. Determine a razão de cada uma

delas:

a) (3,3

2, … ); 𝑞 = 1

2

130

b) (1

3,2

9, … ); 𝑞 = 2

3

c) (10−1, 10,… ); 𝑞 = 102 = 100

d) (𝑥𝑦, 𝑥𝑦3, … ); 𝑞 = 𝑦2

6) Calcule a soma:

a) Dos seis primeiros termos da P.G.

(2, 8,… );

b) Dos seis primeiros termos da P.G.

(7, 14,… );


𝑛 − 1)

𝑞 − 1

𝑆6 =2(46 − 1)

4 − 1

𝑆6 =2 ∙ 4095

3

𝑆6 = 2730


𝑛 − 1)

𝑞 − 1

𝑆6 =7(26 − 1)

2 − 1

𝑆6 =7(64 − 1)

1

𝑆6 = 7 ∙ 63

𝑆6 = 441

AVALIAÇÃO – Progressões Aritméticas (P.A.) e Progressões

Geométricas (P.G.)

1) (1,25) Marcelo criou uma conta em uma rede social. Nesse mesmo dia,

três pessoas começaram a segui-lo. Após 1 dia, ele já tinha 20 seguidores e

após 2 dias, já eram 37 seguidores. Marcelo percebeu que, a cada novo dia, ele

ganhava 17 seguidores. Considerando que o crescimento dos seguidores

permaneça constante, após quantos dias ele ultrapassará 1000 seguidores?

Quantos seguidores terá aos 59 dias, 60 dias e 61 dias.

𝑃. 𝐴. (3, 20, 37,… ) 𝑎1 = 3 𝑒 𝑟 = 17 𝑎𝑛 = 1000 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

1000 = 3 + (𝑛 − 1) ∙ 17

1000 = 3 + 17𝑛 − 17

1000 = 17𝑛 − 14

1014 = 17𝑛

𝑛 =1014

17≅ 59,647

𝑜𝑢 𝑛 > 59,64

𝑎59 = 3 + 58 ∙ 17

𝑎59 = 3 + 986

𝑎59 = 989

Aos 59 dias terá

989 seguidores.

𝑎60 = 3+ 59 ∙ 17

𝑎60 = 3+ 1003

𝑎60 = 1006

Aos 60 dias terá 1006

seguidores.

𝑎61 = 3+ 60 ∙ 17

𝑎61 = 3+ 1020

𝑎61 = 1023

Aos 61 dias terá 1023

seguidores.

131

2) (1,50) Verifique se a sequência dada é uma P.A. e, se for, dê o valor da

razão 𝑟:

a) (2, 5, 8, 11, 14 )

𝑎2 − 𝑎1 = 𝑟 = 𝑎3 − 𝑎2

5 − 2 = 3 = 8 − 5

é 𝑃. 𝐴. 𝑒 𝑟 = 3

b) (15, 10, 5, 0,−5)

𝑎2 − 𝑎1 = 𝑟 = 𝑎3 − 𝑎2

10 − 15 = −5 = 5 − 10

é 𝑃. 𝐴. 𝑒 𝑟 = −5

c) (1

2,2

3,3

4 )

𝑎2 − 𝑎1 = 𝑟 = 𝑎3 − 𝑎2

23 −

12 =

16

34 −

23 =

112

⟩1

6≠1

12

𝑁Ã𝑂 é 𝑃. 𝐴.

d) (1, 1 + √3, 1 + 2√3, 1 + 3√3)

𝑎2 − 𝑎1 = 𝑟

𝑟 = (1 + √3) − 1

𝑟 = √3

𝑎3 − 𝑎2 = 𝑟

𝑟 = (1 + 2√3) − (1 + √3)

𝑟 = 1 − 1 + 2√3 − √3

𝑟 = √3

é 𝑃. 𝐴. 𝑒 𝑟 = √3

3) (1,25) Ao se efetuar a soma das 50 primeiras parcelas da P.A.

(202,206,… ), por distração não se somou a 35ª parcela. Qual foi a soma obtida?

𝑎1 = 202 𝑒 𝑟 = 4 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

𝑎35 = 202 + (34 ∙ 4) 𝑎35 = 202 + 136

𝑎35 = 338

𝑎50 = 202 + (49 ∙ 4) 𝑎35 = 202 + 196

𝑎35 = 398

𝑆𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛)50

2

𝑆50 =(202 + 398)50

2

𝑆50 = 600 ∙ 25 𝑆50 = 15 000

𝑆50 − 𝑎35 = 15000 − 338 = 14662

132

4) (1,25) Em uma P.G. de termos positivos, o terceiro termo é 18 e o sétimo

é 1458. Qual é a razão e o quinto termo dessa progressão?

𝑎3 = 18 𝑒 𝑎7 = 1458 𝑎5 =?

𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1

𝑎7 = 𝑎3 ∙ 𝑞4

1458 = 18 ∙ 𝑞4

1458

18= 𝑞4

𝑞4 = 81

𝑞 = √814

𝑞 = 3

𝑎5 = 𝑎3 ∙ 𝑞2

𝑎5 = 18 ∙ 32

𝑎5 = 18 ∙ 9

𝑎5 = 162

5) (1,50) Calcule:

a) O 5º termo da P.G. (1, 5,… );

b) O 10º termo da P.G. (9, 27,… );

a) 𝑎5 =? 𝑒 𝑟 = 5 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞

𝑛−1 𝑎5 = 1 ∙ 5

4 𝑎5 = 625

b) 𝑎10 =? 𝑒 𝑟 = 3 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞

𝑛−1

𝑎10 = 9 ∙ 39

𝑎5 = 177 147

6) (1,25) Calcule a soma dos termos da P.G. finita:

a) (1, 2,… , 512);

b) (1, 22, … , 210);

a) 𝑎1 = 1; 𝑎𝑛 = 512 𝑒 𝑞 = 2

𝑆𝑛 =𝑎𝑛 ∙ 𝑞 − 𝑎1𝑞 − 1

𝑆𝑛 =512 ∙ 2 − 1

2 − 1

𝑆𝑛 =1024 − 1

1

𝑆𝑛 = 1023

b) 𝑎1 = 1; 𝑎𝑛 = 210 𝑒 𝑞 = 22

𝑆𝑛 =𝑎𝑛 ∙ 𝑞 − 𝑎1𝑞 − 1

𝑆𝑛 =210 ∙ 22 − 1

22 − 1

𝑆𝑛 =4096 − 1

3

𝑆𝑛 = 1365

Avaliação:

Mediante prova, trabalho entregue e caderno completo.

133

Referências Bibliográficas: BARROSO, Juliane M. Conexões com a matemática – volume 1. 1ª edição. Sai Paulo: Moderna, 2010 DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2011. ______, Luiz R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Ática, 2017. PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013 ______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015 SMOLE, Kátia S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição. São Paulo: Saraiva, 2010.


Antes de iniciar a avaliação pedi que os alunos colocassem sobre a mesa, seus

cadernos e trabalhos a serem entregues, após, coloquei as fórmulas de P.A. e

P.G no quadro, para evitar possíveis tentativas de cola e entreguei as avaliações.

Eles levaram pouco mais de uma hora para resolver as questões, alguns fizeram

perguntas, mas como não interferiram em nenhuma resolução ou não serviam de

dicas (por exemplo: se os números entre parênteses no início da questão era o

valor dela?), pude responder (sim).

Enquanto os alunos se concentravam com a avaliação, eu avaliava seus

cadernos. Sobre os cadernos, apenas dois alunos estavam com os cadernos

completos, e entre os demais, faltavam alguns detalhes, exercícios ou exemplos

que não estavam nos cadernos, mas, pouca coisa, o que me mostra o interesse

deles em manter em dia a soluções dos exemplos e resoluções dos exercícios

trabalhados, estando aparentemente aptos a realizar a avaliação.

Os trabalhos entregues nesta aula, que corrigi mais tarde, tiveram excelentes

resultados, e mais da metade da turma gabaritou as resoluções, outro efeito

apontando que poderia encontrar bons frutos na avaliação realizada em aula.

Após a correção e conferência das avaliações, apenas 1 aluno ficou com

resultado preocupante, alguns ficaram na média, e a maioria da turma, ficou com

notas acima da média, o que representa um ótimo resultado, significando que os

alunos estavam preparados para a avaliação.

134

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Através dessa experiência surpreendente, pude perceber que no cotidiano do

professor, também há a possibilidade do encontro com turmas maravilhosas, assim

vem o aprendizado, e, a realidade veio me provar o quão gratificante pode ser esse

trabalho. Viver a profissão escolhida e sentir ao fim de um trabalho a sensação de

dever cumprido, é a recompensa pelo esforço dedicado.

A importância de reconhecer a educação como fator de desenvolvimento e

formação humana, perpassa pela necessidade dos cursos de formação estarem

preparados para colocar no mercado de trabalho professores qualificados, que

valorizam as atividades e metodologias diferenciadas, despertando as habilidades do

aluno, com isso, permitam reflexões e análises dos conteúdos trabalhados visando

uma educação de qualidade.

Como o estágio proporciona um contato diferenciado com o mundo “pós

graduação” apresentando novos desafios e gerando conhecimento, desta vez senti

que o meu obstáculo seria o trabalhar com adolescentes, à primeira vista, fiquei

receosa com a oportunidade de ser regente de Matemática no Ensino Médio. Porém,

encarei o desafio e tracei uma meta, ser compreendida pelo maior número possível

de alunos, e atingi, com os resultados das avaliações tive certeza de ter feito um

trabalho satisfatório. E tudo isso mostrou, mais uma vez, que a docência é um trabalho

onde a rotina não existe e as surpresas acontecem.

Ferramenta importante na formação do professor, o ECS IV, traz elementos

do exercício diário da profissão futura. Tinha em mente que o estágio poderia ser difícil

e instável, mas em busca de novas experiências encarei essa etapa de mente aberta

e fui feliz, cresci e me desenvolvi. Em cada aula conquistei confiança e em cada

planejamento descobri um pouco da profissional que quero ser, e ainda conclui que é

necessário muito esforço e dedicação para ser uma boa profissional, o que não me

assusta, pois sei que para formar bons cidadãos são necessários bons profissionais

Além de tudo isso tive em cada aula uma novidade, houveram alegrias e

frustrações, nem sempre o planejado foi executado como o previsto, então, foi quando

me senti mais desafiada, pois era difícil tentar saber como seriam aceitos os planos

que estava levando e as atividades que aplicaria, com isso, aprendi que tentar é

imprescindível, independentemente dos resultados, tudo é aprendizado e

135

conhecimento adquirido que me farão melhorar, e também adaptar metodologias,

dessa forma, continuo agregando em minha formação pessoal e acadêmica.

Por fim, considero que o estágio supervisionado me proporcionou uma

experiência única e também representou um passo importante na minha formação

docente. A sala de aula é o local que me vi como professora e dali não quis mais sair.

Percebi que me identifico com a sala de aula e suas situações, mesmo hoje estando

professora e não aluna. Após esta prática me sinto com outra postura, como se

estivesse em evolução constante.

136

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


Paulo: Moderna, 2010

BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases 9.394 de 20 de dezembro de 1996, disponível

em http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L9394.htm, acesso em 15/08/2019.

BRASIL. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Ministério da

Educação. Secretaria de Educação Básica. Brasília: MEC, 2016.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Ministério da Educação. Secretaria

da Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997.

_______. a. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Ministério da

Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Brasília, 1997.

_______. b. Parâmetros Curriculares Nacionais+: Ensino Médio. Ministério da

Educação. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros

Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.

Secretaria da Educação Básica. Brasília, 1997.

BRASIL. Lei nº 11.892, de 29 de dezembro de 2008. Disponível em

http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_Ato2007- 2010/2008/Lei/L11892.htm#:~:target

Text=LEI%20N%C2%BA%2011.892%2C%20DE%2029%20DE%20DEZEMBRO%2

0DE%202008.&targetText=Institui%20a%20Rede%20Federal%20de,Tecnologia%2

C%20e%20d%C3%A1%20outras%20provid%C3%AAncias., acesso em 15/08/2019.

BRASIL. Plano de dados abertos do IF Farroupilha. 2017.

BRASIL. Projeto Pedagógico dos cursos técnicos do Instituto Federal

Farroupilha campus Júlio de Castilhos – técnico em informática integrado. 2016.

137

DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicações volume 1. 1ª edição. São


_______, Luiz R. Matemática: Contexto & Aplicações – 1 Ensino Médio. 3ª edição.

São Paulo: Ática, 2017.

Matemagil, 2011. Disponível em: http://matem-agil.blogspot.com/2011/05/progress

oes-aritmeticas-pa-e.html. Acesso em: 10 ago. 2019.

Mundo educação, 2019. Disponível em: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/

matematica/sequencia-fibonacci.htm. Acesso em: 10 de agosto de 2019.

PAIVA, M. Matemática Paiva 1. 2ª edição. São Paulo: Moderna, 2013

_______, M. Matemática Paiva 2 – Ensino Médio. 3ª edição. São Paulo: Moderna,

2015.

PIMENTA, Selma Garrido; LIMA, Maria Socorro Lucena. Estágio e docência. São

Paulo/BRA: Cortez, 2012.

SMOLE, Kátia S., DINIZ, Maria I. Matemática: Ensino Médio volume 1. 6ª edição.


Só Matemática, 2019. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/biograf/

gauss.php. Acesso em: 10 de agosto de 2019.

ZABALZA, Miguel A. O estágio e as práticas em contextos profissionais na

formação universitária. 1. Ed. São Paulo: Cortez, 2014.

Documents

ministério da educação - IFFarroupilha JC - Sistemas