SEMISH XXXIII Seminário Integrado de Software e Hardware l

14 a 20 de julho de 2006Campo Grande, MS

Anais do XXVI Congresso da SBC

Métodos de Otimização Linear e não-Linear Aplicados aoFluxo de Potência Ótimo

Antônio César Baleeiro Alves, Fabrício B. B. Santos

1Programa de Mestrado em Engenharia Elétrica e da Computaçã - Escola de EngenhariaElétrica e da Computação – Universidade Federal de Goiás (UFG)

Pça. Universitária s/n, Bloco A, Piso 3, Setor Universitário CEP-74605-220, Goiânia, GO

baleeiro@eee.ufg.br, fbbsantos@gmail.com

Abstract. Planning the eletric energy system operation is essential to countrie's orregion's economic and social development. Therefore, having in mind how importantis to study optimization methods applied to energy systems, this article presentsOptimal Power Flow AC and DC modeling, having as objective functions the activepower loss, and taking in count the equalities and inequalities problem's constraints,as the control and dependent variables limits. To models obtained were applied theoptimization methods: Sucessive Linear Programming (utilizing Interior Points) andGradient Method .

Resumo. O planejamento da operação do sistema de energia elétrica é essencialpara o desenvolvimento econômico e social de um país ou região. Tendo em vista aimportância de estudar de métodos aplicados à otimização dos sistemas de energia,este artigo apresenta as modelagens CA e CC do Fluxo de Potência Ótimo para sis-temas elétricos, tendo como funções objetivo a perda de potência ativa, e levandoem consideração as restrições de igualdade e desigualdade do problema, assimcomo os limites das variáveis de controle e das variáveis dependentes. Às modela-gens obtidas foram os métodos de otimização: Programação Linear Sucessiva (utili-zando Pontos Interiores) e método Gradiente .

1. Introdução

O planejamento da operação do sistema de energia elétrica, que é de suma importânciapara o desenvolvimento de um país, visa, principalmente, atender a demanda de formaconfiável, respeitando as restrições de geração e transmissão. A operação normalmenterequer previsões de curto ou curtíssimo prazos e ações quase imediatas (em segundos ouminutos), sendo imprescindível, portanto, o uso de sistemas eficientes que forneçam re-sultados em tempo real, ou em uma fração de tempo.

Tendo em vista esta necessidade de ações imediatas, normalmente são reprograma-das variáveis de controle que permitem uma rápida reconfiguração (por exemplo, gera-ção e tensão em barras geradoras de potência ativa), mantendo o sistema elétrico empleno funcionamento e otimizando a geração e transmissão com base no estado atualdas linhas de transmissão e da capacidade atual das barras geradoras.

A otimização de sistemas elétricos pode ser modelada pelo Fluxo de Potência Ótimo(FPO), problema formulado por Carpentier em 1962, e atender a diversos requisitos deotimização, requisitos estes determinados pela função objetivo adotada.

231

Neste trabalho, foi adotada a função objetivo de perda de potência ativa, e, umavez formulado o problema de otimização com base no FPO (para o modelo CC dos sis-temas IEEE14 e IEEE30), foram aplicados os métodos Gradiente e Programação LinearSucessiva (PLS) buscando a obtenção de um ponto de operação otimizado1 do sistemaelétrico.

O Gradiente é um método já bastante difundido em problemas de otimização, in-clusive em otimização do FPO (DOMMEL, TINNEY, 1968) e (WOOD, WOLLEN-BERG, 1996). Já o PLS, que é um método relativamente novo na otimização do FPO(TORRES, QUINTANA, 1996) e (TORRES, 1998). Este método aborda a implementa-ção de um algoritmo de Programação Linear (PL), que neste trabalho foi o algortimo dePontos Interiores (PI).

Na Seção 2 o modelo matemático do FPO é apresentado. Nas Seções 3 e 4, sãoapresentados os métodos Gradiente e PLS, respectivamente. Uma breve descrição do al-goritmo de PI é feita na Seção 5. Já na Seção 6 são apresentados os sistemas testados ena Seção 7 são apresentados os resultados dos testes realizados. Na Seção 8 constam asconclusões obtidas com o desenvolvimento deste trabalho.

2. Fluxo de Potência Ótimo

É um problema de otimização não-linear cujo objetivo é determinar todas variáveis deuma rede elétrica visando a minimização da função objetivo.

O FPO é dado pelo problema de otimização geral restrito multivariável (1)(DOMMEL, TINNEY, 1968).

(1)

Onde:

x: vetor de variáveis de controle;

y: vetor de variáveis dependentes;

f(x,y): função objetivo;

g(x,y)=0: equações do balanço de potência;

h(x,y): restrições operacionais do sistema;

xmin e xmáx : limites das variáveis de controle.

As variáveis de controle são as grandezas físicas cujos valores podem ser ajusta-dos durante a operação do sistema elétrico (potência ativa em barras tipo PV, magnitu-des de tensão, posições de taps de transformadores e capacitores/reatores shunts, e ou-

1 Ponto em que as variáveis de controle foram reprogramadas tendo em vista a minimização de uma dada funçãoobjetivo.

minimizar f �x , y�sujeito a :

g �x , y� � 0h

min� h �x , y� � hmax

xmin� x � x

max

232

tros). Já as variáveis controladas, são, normalmente, dependentes que devem se restrin-gir aos limites máximos e mínimos ditados pelas limitações físicas dos equipamentos oupor razões operacionais (potência reativa em barras do tipo PV, potência ativa e reativanas barras slack, magnitudes de tensão nas barras do tipo PQ, e outros)(BALEEIRO,SANTOS, 2005).

3. Método Gradiente

O método Gradiente baseia-se na obtenção de direções de descida no interior da regiãofactível definida pelas restrições de um problema.

Dadas as restrições formadas pelas equações de igualdade g(x,y)=0, em (1), eusando o método de multiplicadores de Lagrange (WRIGHT, 1997), obtêm-se a funçãode Lagrange (2):

(2)

Onde o vetor [λ] representa os multiplicadores de Lagrange.

A partir de (2) e das condições necessárias de mínimo (LUENBERGER, 2003),têm-se as equações:

(3)

(4)

(5)

Sendo que (3), (4) e (5) são equações não-lineares e que podem ser resolvidaspelo método de descida íngrime, isto é, o método Gradiente (DOMMEL, TINNEY,1968).

Os passos deste método especializado para o FPO podem ser descritos pelo algo-ritmo a seguir:

1) Obter as variáveis de controle x a partir do banco de dados do sistema elétrico;

2) Encontrar uma solução do fluxo de potência;

3) Calcular:

L �x , y�� f �x , y���� �T

g �x , y�

� L y ��� f y ��� g y �T

�� ��0

� f ��� L x ��� f x ��� g x �T

�� ��0

� L� ��g �x , y��0

233

(6)

4) Calcular:

(7)

5) Se f for suficientemente pequeno, parar;

6) Encontrar um novo estado do sistema atualizando as variáveis de controle.

(8)

(9)

7) Voltar ao passo 2.

Sendo α o tamanho do passo, obtido por função áurea, método de busca em linha des-crito em (BAZARAA,1979).

O graditente (f), calculado no passo quatro, mede a sensibilidade da função ob-jetivo em relação às mudanças das variáveis de controle sujeita às restrições de igualda-de.

Para incluir as restrições operacionais h(x,y) no problema, foi utilizado o métodode penalidade (DOMMEL, 1968). Portanto, a função objetivo passa a ser:

(10)

onde wj é a penalidade introduzida para cada violação de restrição operacional, isto é,violação de variáveis dependentes. A penalidade é calculada segundo a equação (11).

(11)

sendo s o passo da função de penalidade, xjL

e o limite da variável dependente xj .

Quanto maior s, mais rígido será o limite, e, portanto, a convergência tenderá aser mais lenta. O cálculo da penalidade e sua inserção na função objetivo deve ocorrerentre o passo dois (quando se obtêm as variáveis dependentes) e o passo três (quando afunção objetivo é derivada).

����� g y �T

��1

f

y

f� f

x��� g x �

T

��

� x�� � f

xk�1

�xk�� x

f ' �x , y�� f �x , y��� w j

wj�s �x

j�x

j

L�

234

4. Método PLS

Este método é utilizado para resolver o problema não-linear (1) através de sucessivasaproximações lineares deste problema. Tais aproximações são obtidas a partir de umponto inicial (x k, y k) (neste estudo, tal ponto é obtido pela solução do fluxo de potência),onde são construídos modelos incrementais através da aplicação de Séries de Taylor(SANTOS, 2005). O problema linear resultante é dado por (12).

(12)

Onde:

f: gradiente da função objetivo;

�x: variáveis de decisão na forma incremental (�x=x-xinicial);

Jg: matriz obtida pelas derivadas de primeira ordem da restrição de balanço depotência em relação às variáveis de decisão;

Jh: matriz obtida pelas derivadas de primeira ordem das restrições operacionaisem relação às variáveis de decisão.

Este método pode ser descrito nos passos apresentados no diagrama de blocos daFigura 1.

A resolução do problema (12), no terceiro passo, pode ser feita pelo método sim-plex ou pelo método de pontos interiores, tendo sido este último utilizado neste traba-lho.

5. Pontos Interiores

O algoritmo de PI Primal-Dual Inviável com passo Preditor-Corretor (TORRES, 1996)descrito nesta seção opera sobre o problema linear primal-dual(13).

(13)

minimizar f �xk, y

k�T � x

sujeito a :

J g� x � 0

�hmin� J h� x � �h

max

� xmin� � x � � x

max

minimizar cT���

j�1

n

ln �s j�

sujeito a :

AT

w�s � c

Ax � b

x i si � 0, i�1,2 ,3 ,�

235

Figura 1- Diagrama de blocos do procedimento de solução do FPO usando PLS

Onde:

µ � �n é a barreira logarítmica2;

A � �n x m é a matriz posto completo de coeficientes;

x � �n é o vetor de variáveis primais;

w � �m é o vetor de variáveis duais;

s � �n é o vetor de variáveis de folga;

Neste algoritmo, o passo preditor busca a redução das infactibilidades primal edual, e do gap de dualidade, em outras palavras, busca o ponto ótimo. Já no passo corre-tor, o algoritmo procura manter a iteração corrente longe do limite da região factível.

Os passos do algoritmo são descritos a seguir (TORRES, 1996) (SANTOS,2005).

Passo 1: Escolher um ponto inicial (x0,w0,s0)>0, e inicializar o contador k=0;

Passo 2: Calcular

2 O parâmetro de barreira logarítmica µ tende a zero à medida que as iterações do algoritmo sãoprocessadas.

Obter uma solução do fluxo de potência

K=0

Construir o modelo incremental (12)

Resolver o problema (12) para obter ∆xk

Atualizar variáveis para definir

o novo estado do sistema

Há violações?

Ainda é possível

reduzir a FO

Apresentar

resultados

Não

Não

Sim

Sim

K=K+1

236

Onde rd e rp são os resíduos dual e primal, respectivamente. Ambos tendem a zero à me-dida que o algoritmo se aproxima da região de factibilidade.

Passo 3: Calcular as direções de busca

Passo 4: Determinar o tamanho do passo por função áurea, método de busca em linhadescrito em (BAZARAA,1979).

Passo 5: Atualizar as variáveis primais e duais, e o contador

Passo 6: Verificar critério de parada. Se for satisfeito, parar, caso contrário, voltar aopasso 2.

6. Sistemas Testados

Nesta seção são apresentados alguns detalhes dos sistemas elétricos testados neste traba-lho, o IEEE30 e o IEEE14. Na Tabela 1 consta um breve resumo destes sistemas.

Tabela 1: Dados dos sistemas testados

Sistema Barras Ramos Geradores

IEEE30 30 41 6

IEEE14 14 20 5

As variáveis de decisão (tensões nas barras PV e slack, gerações ativas nas bar-ras PV e taps)3, para ambos os sistemas, são exibidas na Tabela 2.

3 A geração ativa na barra slack não é tomada nem como uma variável de decisão nem como variáveldependente. Ela é determinada no balanço de potência e deve respeitar os limites de geração da barraslack.

� � 0, se k é ímpar

1, se k é par

X � diag �xk� v � ��K�XSe

S � diag �sk� r d�c�AT wk�sk

�k � �ST x �n r p�b�Ax k

�wk � [ AXS

�1A

T ]�1 [ AS�1�v�Xr d��r p ]

� sk � �A

T �w�r d

� x�1

v�S�1

X �w

xk�1�xk� � xk

wk�1�wk� �wk

sk�1�sk� � sk

k�k�1

|cTx

k |�| bTw

k |

max {1, |cTx

k |}��

237

Tabela 2: Variáveis de decisão

Sistema Tensões Gerações Ativas Taps

IEEE30 V1 V2 V5V8 V11V12 P2 P5 P8 P11 P13 a4-12 a6-9 a6-10 a28-27

IEEE14 V1 V2 V3V6 V8 P2 P3 P6 P8 a4-7 a4-9 a5-6

Os limites adotados para as variáveis de decisão tensão e taps são apresentadosna Tabela 3.

Tabela 3: Limites das variáveis de decisão

Variável Limite Inferior Limite Superior

Tensão em barra PV 0,95 1,1

Tensão em barra slack e PQ 0,95 1,05

Taps 0,909 1,111

Os limites de gerações ativas para o sistema IEEE30 são apresentados na Tabela4.

Tabela 4: Limites de geração ativa para o IEEE30

Variável Limite Inferior Limite Superior

P1 50 200

P2 20 80

P5 15 50

P8 10 35

P11 10 30

P13 12 40

Os limites de gerações ativas para o sitema IEEE14 são apresentados naTabela 5.

Tabela 5: Limites de geração ativa para o IEEE14

Variável Limite Inferior Limite Superior

P1 25 250

P2 15 155

P3 10 90

P6 10 130

P8 10 50

238

7. Resultados

Nesta seção serão apresentados os resultados obtidos na aplicação dos métodos Gradi-ente e PLS ao FPO na minimização de perdas de geração ativa.

Ambos os métodos tiveram como ponto inicial o caso-base dos sistemas testa-dos. O caso-base é obtido pela execução do fluxo de potência a partir do banco de dadosdos sistemas (SANTOS, 2005). Para o sistema IEEE30, o total de perdas no caso-basefoi de 4,5159MW. Após as otimizações feitas pelos métodos Gradiente e PLS, o total deperdas obtido foi, respectivamente, 4,2822MW (redução de aproximadamente 5,18% dototal de perdas) e 4,4796MW (redução de aproximadamente 0,8% do total de perdas).

A Tabela 6 exibe as gerações ativas obtidas pelo caso-base, pelo método Gradi-ente e PLS, respectivamente, para o sistema IEEE30.

Tabela 6: Gerações ativas obtidas para o IEEE30

Variável Caso-base Gradiente PLS

P1 247,916 122,610 121,222

P2 40 64,976 64,317

P5 0 26,506 26,326

P8 0 24,459 24,592

P11 0 24,835 24,701

P13 0 25,888 25,237

A Tabela 7 exibe as tensões nas barras PV e slack obtidas pelo caso-base, pelométodo Gradiente e PLS, respectivamente, para o sistema IEEE30.

Tabela 7: Tensões (em pu) obtidas para o IEEE30

Variável Caso-base Gradiente PLS

V1 1,050 1,038 1,048

V2 1,045 1,040 1,044

V5 1,010 1,009 1,014

V8 1,010 1,000 1,013

V11 1,050 1,036 1,060

V13 1,050 1,032 1,057

A Tabela 8 exibe os taps obtidos pelo caso-base, pelo método Gradiente e PLS,respectivamente, para o sistema IEEE30.

239

Tabela 8: Taps obtidos para o IEEE30

Variável Caso-base Gradiente PLS

a4-12 1,0220 1,0152 1,0258

a6-9 1,0320 1,0112 1,0189

a6-10 1,0730 1,0703 1,0793

a28-27 1,0330 1,0104 1,0393

Para o sistema IEEE14, o total de perdas no caso-base foi de 4,4452MW. Após as oti-mizações feitas pelos métodos Gradiente e PLS, o total de perdas obtido foi, respectiva-mente, 3,9761MW (redução de aproximadamente 10,55% do total de perdas) e3,6176MW (redução de aproximadamente 18,62% do total de perdas).

A Tabela 9 exibe as gerações ativas obtidas pelo caso-base, pelo método Gradi-ente e PLS, respectivamente, para o sistema IEEE14.

Tabela 9: Gerações ativas obtidas para o IEEE14

Variável Caso-base Gradiente PLS

P1 223,445 79,095 79,023

P2 40 89,494 89,605

P3 0 31,279 31,742

P6 0 43,175 43,003

P8 0 19,932 19,409

A Tabela 10 exibe as tensões nas barras PV e slack obtidas pelo caso-base, pelométodo Gradiente e PLS, respectivamente, para o sistema IEEE14.

Tabela 10: Tensões (em pu) obtidas para o IEEE14

Variável Caso-base Gradiente PLS

V1 1,060 1,039 1,048

V2 1,045 1,024 1,050

V3 1,010 0,989 1,002

V6 1,070 1,049 1,065

V8 1,090 1,069 1,060

A Tabela 11 exibe os taps obtidos pelo caso-base, pelo método Gradiente e PLS,respectivamente, para o sistema IEEE14.

240

Tabela 11: Taps obtidos para o IEEE14

Variável Caso-base Gradiente PLS

a4-7 1,0230 0,9286 1,1092

a4-9 1,0320 0,9834 0,9176

a5-6 1,0730 1,0281 1,1104

8. Conclusão

As modelagens utilizadas neste trabalho permitiram que fossem consideradas todas asrestrições (de igualdade e desigualdade) envolvendo os subproblemas ativo e reativo domodelo CC, possibilitando assim maior integração de características reais de sistemaselétricos à simulação. Além de apresentar as modelagens, neste estudo foi demonstradocomo implementar, de forma especializada, os métodos Gradiente e PLS para o proble-ma de FPO.

Os resultados mostrados indicam que ambos os métodos foram capazes de remo-ver todas as violações e promover redução de perdas para os dois sistemas testados. Atabela 12 mostra um resumo das perdas obtidas em relação aos casos base.

Tabela 12: Perdas obtidas e suas respectivas reduções (em %) em relação aoscasos base

Sistema Caso-base Gradiente PLS

IEEE30 4,5159MW 4,2822MW 5,18% 4,4796MW 0,80%

IEEE14 4,4452MW 3,9761MW 10,55% 3,6176MW 18,62%

Para o sistema IEEE30, o método gradiente se mostrou mais eficaz e eficiente aoconvergir para um resultado relativamente melhor e em menos iterações. Já para o site-ma IEEE14, foi o método PLS que obteve um resultado relativamente melhor e em me-nos iterações.

O método Gradiente não é tão robusto quanto o PLS, já que em suas iterações háoperações com matrizes de maior custo de processamento. Portanto, o PLS é mais indi-cado para sistemas maiores.

Ambos os métodos apresentam potencial para a solução do FPO. Porém testescom sistemas de dimensões mais realistas são necessários para evidenciar uma melhoravaliação dos métodos.

Trabalhos futuros também poderão testar o método PLS com outros algoritmosde programação linear para resolver o problema (12), e fazer análises comparativas comoutros métodos de otimização.

Outra possibilidade de estudo futuro é a implementação de restrições de tensãono fluxo de potência. A ausência destas restrições no fluxo de potência causa retardo naconvergência, uma vez que os algoritmos de otimização têm que corrigir as violações detensão geradas a cada iteração.

241

O objetivo deste trabalho se restringiu à análise de eficácia dos algoritmos im-plementados. Em análises de eficiência computacional, e em implementações de temporeal, faz-se necessário o uso de métodos que otimizem operações com matrizes (decom-pusição LU, esparsidade e outros).

242

Referências Bibliográficas

H.W DOMMEL and W.F. TINNEY. Optimal power flow solutions. IEEE Transactionson Power Apparatus and Systems, vol 87, 1866-1976, 1968.

A.J. WOOD and B. F. WOLLENBERG:Power Generation, operation and control, 2ed; New York: John Willey and Sons, 1996.

GERALDO L. TORRES and V.H. QUINTANA:Optimal Power Flow via Interior PointMethods: An Educational Tool in Matlab, IEEE, 1996.

Geraldo L. TORRES, Nonlinear Optimal Power Flow by Interior and non-Interiorpoints methods, University of Waterloo, Waterloo, Canada, (Phd thesis), 1998.

Antônio C. BALEEIRO, Fabrício B. B. SANTOS. Simplex e Ponto Interior Inviável noCálculo do Fluxo de Potência Ótimo. Universidade Federal de Goiás, Escola de En-genharia Elétrica e de Computação, 2005.

D.G. LUENBERGER. LINEAR AND NONLINEAR .PROGRAMMING. New York:Kluwer Academic, 2003.

M.S. BAZARAA. Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, Estados Unidos:John Willey & Sons, 1979.

Fabrício B. B. SANTOS. Algoritmos Simplex e pontos interiores no cálculo do fluxo depotência ótimo, Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Elétrica e deComputação, (dissertação de mestrado), 2005.

S. T. WRIGHT. Primal-Dual Interior-Point Methods, Philadelphia: SIAM, 1977.

A. FRIEDLANDER. Elementos de Programação Não-Linear, Campinas: UNICAMP,1994.

J. A. MOMOH et al. A New Solution to the Optimal Power Flow Problem. IEEE Tran-sactions on Power Systems, v. 14, n 3, 1114-1121, 1999.

243