Matemáticas Guía didáctica 4 créditos Titulaciones Ciclos

MatemáticasGuía didáctica

4 créditos

1 � Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras � Economía

2 � Administración en Banca y Finanzas � Contabilidad y Auditoría � Administración de Empresas � Administración en Gestión Pública

TitulacionesCiclos

Modalidad Abierta y a Distancia

La Universidad Católica de Loja

Área Administrativa

Economía

Pantone 569

Departamento de QuímicaSección Físico Química y Matemáticas

Asesoría virtual:www.utpl.edu.ec

Autora:MSc. Elsa Geovany Andrade Pazmiño

MatemáticasGuía didáctica

4 créditos


MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

Titulaciones Ciclos

� Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras � Economía

I

� Administración en Banca y Finanzas � Contabilidad y Auditoría � Administración de Empresas � Administración en Gestión Pública

II

MATEMÁTICASGuía didáctica Elsa Geovany Andrade Pazmiño

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJACC

CC 4.0, CC BY-NY-SA

Diagramación, diseño e impresión:EDILOJA Cía. Ltda.Telefax: 593-7-2611418San Cayetano Alto s/[email protected]

Primera edición

ISBN DIGITAL - 978-9942-04-743-4

Esta versión digital ha sido acreditada bajo la licencia Creative Commons 4.0, CC BY-NY-SA: Reconocimiento-No comercial-Compartir igual; la cual permite: copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales y se permiten obras derivadas, siempre que mantenga la misma licencia al ser divulgada. https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es

26 de Octubre, 2015

www.ediloja.com.ec

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es

4 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

2. Índice

2. Índice ............................................................................................................................................................ 4

3. Introducción............................................................................................................................................. 7

4. Bibliografía .............................................................................................................................................. 8

4.1. Básica .......................................................................................................................................... 8

4.2. Complementaria: .................................................................................................................... 8

5. Orientaciones generales para el estudio ............................................................................. 10

6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias ................ 12

PRIMER BIMESTRE

6.1. Competencias genéricas de la UTPL ................................................................................. 12

6.2. Planificación para el trabajo del alumno ........................................................................ 13

6.3. Sistema de la evaluación del componente educativo (primero y segundo bimestres) ................................................................................................................................. 18

6.4. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias ........................... 19

UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA ......................................................................................... 20

1.1. Números Reales .............................................................................................. 20

1.2. Exponentes ..................................................................................................... 22

1.3. Radicales ......................................................................................................... 22

1.4. Operaciones básicas con polinomios ............................................................... 23

1.5. Eliminación de símbolos de agrupación .......................................................... 26

1.6. Factorización ................................................................................................... 28

1.7. Productos especiales ....................................................................................... 34

1.8. Expresiones racionales .................................................................................... 35

1.9. Multiplicación y división de expresiones racionales ......................................... 36

1.10. Racionalización de denominadores ................................................................. 39

Autoevaluación 1 ................................................................................................................................ 42

UNIDAD 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES ................................................................................... 43

2.1. Ecuaciones ...................................................................................................... 43

2.2. Ecuaciones lineales ......................................................................................... 43

2.3. Ecuaciones con literales ................................................................................... 46

2.4. Ecuaciones cuadráticas .................................................................................... 47

2.5. Ecuaciones con radicales ................................................................................. 49

2.6. Ecuaciones fraccionarias .................................................................................. 52

2.7. Ecuaciones con valor absoluto ......................................................................... 55

2.8. Desigualdades ................................................................................................. 57


2.9. Aplicaciones de ecuaciones y desigualdades ................................................... 64

Autoevaluación 2 ................................................................................................................................ 74

UNIDAD 3. SISTEMAS DE ECUACIONES ............................................................................................. 75

3.1. Introducción a los sistemas de ecuaciones....................................................... 75

3.2. Soluciones de un sistema de ecuaciones ......................................................... 76

3.3. Métodos de resolución .................................................................................... 77

3.4. Problemas de aplicación ................................................................................. 84

Autoevaluación 3 ................................................................................................................................ 88

SEGUNDO BIMESTRE

6.5. Competencias genéricas de la UTPL ................................................................................. 89

6.6. Planificación para el trabajo del alumno ........................................................................ 90

6.7. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias ........................... 94

UNIDAD 4. MATRICES ........................................................................................................................... 94

4.1. Introducción a la teoría de matrices ................................................................ 94

4.2. Tamaño de matrices: ....................................................................................... 96

4.3. Igualdad de matrices ....................................................................................... 96

4.4. Transpuesta de una matriz .............................................................................. 97

4.5. Operaciones con matrices ................................................................................ 97

4.6. Aplicación: método gauss – jordan ................................................................. 100

Autoevaluación 4 ................................................................................................................................ 102

UNIDAD 5. FUNCIONES Y GRÁFICAS.................................................................................................. 103

5.1. Sistemas de coordenadas cartesianas y líneas rectas ....................................... 103

5.2. Funciones ........................................................................................................ 105

5.3. Dominio y rango de una función ..................................................................... 110

5.4. Álgebra de funciones ...................................................................................... 111

5.5. Composición de funciones ............................................................................... 113

5.6. Simetrías ......................................................................................................... 115

5.7. Traslaciones ..................................................................................................... 116

5.8. Funciones lineales ........................................................................................... 118

5.9. Aplicaciones .................................................................................................... 118

5.10. Funciones cuadráticas ..................................................................................... 123

5.11. Funciones polinomiales ................................................................................... 125

5.12. Funciones racionales ....................................................................................... 125

5.13. Otras funciones especiales y sus gráficas ......................................................... 126

5.14. Funciones definidas por partes ........................................................................ 127

5.15. Funciones con valor absoluto .......................................................................... 128


5.16. Funciones inversas .......................................................................................... 128

Autoevaluación 5 ................................................................................................................................ 129

UNIDAD 6. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA ................................................................... 133

6.1. Función exponencial ....................................................................................... 133

6.2. Problemas de aplicación ................................................................................. 138

6.3. Función Logarítmica ........................................................................................ 139

6.4. Conversión de forma exponencial a logarítmica. ............................................. 141

6.5. Conversión de forma logarítmica a exponencial. ............ 141

6.6. Propiedades de los logaritmos ........................................................................ 143

6.7. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas ........................................................ 145

Autoevaluación 6 ................................................................................................................................ 147

7. Solucionario ............................................................................................................................................. 148

Guía didáctica: Matemáticas


PRELIMINARES

3. Introducción

“Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico”

Euler

Las Matemáticas constituyen hoy por hoy una de las herramientas básicas en el desarrollo profesional de cualquier ser humano, sin embargo, el aprendizaje de esta ciencia exige una clara comprensión y aplicación de las definiciones, propiedades, leyes y principios; por lo que es necesario que usted se encuentre en condiciones no solo de manejar números sino también la conceptualización necesaria para su comprensión.

Matemáticas es un componente que tiene cuatro créditos académicos, de tipo genérico y transversal, asignatura esencial para su formación, permitiendo desarrollar competencias requeridas para su vida profesional.

Con este componente se pretende que usted adquiera los fundamentos matemáticos básicos, necesarios para las titulaciones de: Administración de Empresas, Administración en Banca Finanzas, Administración en Gestión Pública, Contabilidad y Auditoría, Economía y Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras; por ello, su programación se centra en el análisis de conceptos, estructuras, reglas, métodos, aplicaciones, interpretaciones y habilidades, de manera que se le facilite la comprensión de los contenidos a lo largo del desarrollo de esta asignatura.

La programación está dividida en seis unidades, que se encuentran agrupadas en dos bimestres: el primer bimestre inicia con un análisis de los fundamentos básicos del álgebra, para lo cual se requiere el manejo de álgebra elemental, luego se analizarán las ecuaciones y desigualdades, incluyendo algunas ecuaciones tipo como son las no lineales, ecuaciones con literales, cuadráticas, fraccionarias, con radicales y las desigualdades con valor absoluto. Se complementará esta unidad con el análisis de problemas prácticos. El primer bimestre finalizará con el estudio de los sistemas de ecuaciones y sus métodos de resolución.

En el segundo bimestre se comienza con una introducción al algebra matricial, se plantea métodos específicos de identificación y reconocimiento de matrices, se complementa está unidad con el estudio paso a paso de las diferentes operaciones y se culmina el estudio con la aplicación del método de Gauss – Jordan. A continuación se estudiarán las funciones, en sus diferentes tipos, su representación gráfica, operaciones y finalmente se concluirá el bimestre estudiando funciones exponenciales y logarítmicas.

La educación a distancia es fundamentalmente un proceso autónomo y muy sacrificado, pero se puede transformar en algo más sencillo y agradable, cuando las actividades se realizan de manera responsable, ordenada y secuencial.



PRELIMINARES

4. Bibliografía

4.1. Básica

Haeussler, E.; Richard, P. y Richard, W., (2015). Matemáticas para Administración y economía. México: Pearson Educación.

Este libro ha sido seleccionado cómo texto básico para la presente asignatura por varias razones, entre las principales se puede destacar las siguientes:

• Contiene temas de actualidad y aplicaciones a situaciones reales para las carreras de Administración de Empresas, Administración en Banca Finanzas, Administración en Gestión Pública, Contabilidad y Auditoría, Economía y Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras.

• Posee una excelente presentación y un método muy didáctico que facilitará la comprensión de los temas seleccionados para esta materia.

• Cada tema cuenta al finalizar con ejercicios propuestos y autoevaluaciones, que podrá desarrollar para fortalecer y evaluar los conocimientos adquiridos, su resolución la podrá contrastar con el solucionario que se encuentra en las páginas finales de este texto

Andrade, E. (2015). Guía dídactica de Matemáticas. Loja, Ecuador: EDILOJA

Corresponde a la guía didáctica la misma que lo guiará a través del proceso de aprendizaje indicando técnicas y métodos para la resolución de los diferentes problemas y ejercicios. Además este material le permitirá identificar la secuencia con la que se estudiarán los temas considerados en la asignatura de Matemáticas, facilitando, potenciando y activando sus conocimientos en esta ciencia.

• Contiene una breve introducción a cada tema, contiene más de 100 ejemplos desarrollados paso a paso, gráficas, ejercicios de retroalimentación y aplicaciones, que le permitirán una mejor comprensión del tema.

• Adicionalmente encontrará actividades recomendadas y autoevaluaciones; algunas de estas actividades recomendadas tendrán relación con el texto básico, las autoevaluaciones por su lado se encuentran al final de cada unidad y las soluciones en las páginas finales de la guía.

• Adjunto a esta guía, encontrará las evaluaciones a distancia, este documento puede utilizarlo como un borrador, puesto que las soluciones deberá ingresarlas en el Entorno Virtual de Aprendizaje en las fechas indicadas en su calendario académico.

4.2. Complementaria:

Jagdish, C. Ayra, W., Lardner (2015). Matematicas Aplicadas a la Administracion y a la Economia, México. Pearson Educación.



PRELIMINARES

Este texto se escoge como complementario porque con sus aplicaciones refuerza las orientaciones dadas por el texto principal, no descuida otras áreas de estudio, presenta

ejemplos prácticos que le permitirán al estudiante relacionar la aplicación de esta ciencia a situaciones prácticas de su vida cotidiana y sobretodo profesional.

Al igual que su texto básico encontrará al final de cada tema varios ejercicios propuestos, con los cuales podrá poner en práctica los conocimientos adquiridos y resolver problemas con temáticas diferentes, que no han sido incluidos en el texto básico o su guía didáctica.



PRELIMINARES

5. Orientaciones generales para el estudio

Estimado (a) estudiante, para que usted pueda tener un aprendizaje significativo y observe la secuencialidad de los procesos en este componente, se recomienda seguir las siguientes orientaciones.

Los materiales necesarios para realizar el estudio son: el texto básico, la guía didáctica que le orientará en su aprendizaje y las evaluaciones a distancia. Es conveniente trabajar de manera paralela con el texto y la guía didáctica.

ü Debe contar con materiales de papelería básicos, como son un cuaderno, lápiz y un borrador, que le permitan realizar anotaciones, desarrollar ejercicios.

ü Programe un horario de estudio, y dedique al menos 4 horas semanales al estudio de esta materia.

ü Lea el texto básico, en el tema o unidad correspondiente, revise la guía didáctica y analice los ejemplos ilustrativos, realice las actividades recomendadas y resuelva la autoevaluación que se encuentra al final de cada unidad.

ü Después de haber realizado lo descrito, aborde el estudio de cada uno de los temas de manera secuencial, asegurando la comprensión de cada uno de los conceptos, definiciones, propiedades y su aplicación.

ü Se ha incluido una variedad de ejercicios y problemas de modo tal que pueda observar cómo aplicar las matemáticas que está aprendiendo; varios de estos fueron tomadas del texto básico y libros complementarios escogidos para este componente, en ellos encontrará más ejercicios que de seguro fortalecerán su aprendizaje.

ü Antes de iniciar un nuevo tema, es recomendable haber comprendido claramente la unidad anterior. Si no es así, repase nuevamente y/o consulte con su profesor tutor, quien le ayudará a clarificar los temas de mayor dificultad.

ü Adicionalmente usted podrá practicar con la ayuda de las seis autoevaluaciones incluidas, y cuya solución se presenta en las páginas finales del presente material de estudio.

ü Elabore sus trabajos a distancia de manera constante y paulatina con la finalidad de evitar acumulaciones, recuerde que son dos, uno por cada bimestre, su presentación es obligatoria, debe entregarlas por medio del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), en las fechas indicadas en su calendario académico.

ü Recuerde que usted dispone de 8 semanas en cada bimestre, utilice 6 para su estudio autónomo, desarrollo de las autoevaluaciones y evaluación a distancia, y 2 semanas para repaso de la prueba presencial.

ü No dude en comunicarse con el profesor tutor si tiene dificultades en su autoaprendizaje. Encuentre el horario de tutorías y los datos de contacto en el aula virtual correspondiente al componente.

ü La Universidad ha implementado el campus virtual donde además de ingresar sus evaluaciones a distancia, usted encontrará asesoría para su materia, material en digital y



PRELIMINARES

la posibilidad de interactuar con el profesor y compañeros. Acceda a través de la dirección electrónica www.utpl.edu.ec.

ü Se ha incluido en esta guía la “planificación para el trabajo del alumno”, revísela, es importante para programar su estudio.

ü Recuerde la importancia de generar un aprendizaje autónomo, responsable y organizado por lo que es necesario que siga de forma adecuada las indicaciones y desarrolle las autoevaluaciones que se encuentran al final de cada unidad, que son estrategias de aprendizaje que le permiten conocer su avance académico.

Nota:

Por su participación en el EVA en actividades como chat, foros, y video–colaboración, usted podrá ser acreedor de hasta un punto adicional por cada actividad; esto quiere decir que podrá incrementar su nota hasta con tres puntos adicionales.

http://www.utpl.edu.ec



PRIMER BIMESTRE

6. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias

PRIMER BIMESTRE

6.1. Competencias genéricas de la UTPL

• Pensamiento crítico y reflexivo

• Trabajo en equipo

• Comportamiento ético.

• Organización y planificación del tiempo



PRIMER BIMESTRE

6.2.

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PRIMER BIMESTRE

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PRIMER BIMESTRE

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64



PRIMER BIMESTRE

6.3. Sistema de la evaluación del componente educativo (primero y segundo bimestres)

Formas de evaluación

Competencia: criterio

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2. Heteroevaluación

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Evaluación adistancia **

Evaluaciónpresencial

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Comportamiento ético X X X X X X

Cumplimiento, puntualidad, responsabilidad X X X X X X

Esfuerzo e interés en los trabajos X X X X

Respeto a las personas y a las normas de comunicación X X X X X X

Hab

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Creatividad e iniciativa X X X X

Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo X

Presentación, orden y ortografía X X X X X X

Emite juicios de valor argumentadamente X X

Con

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Dominio del contenido X X X X

Investigación (cita fuentes de consulta) X

Aporta con criterios y soluciones X

Análisis y profundidad en el desarrollo de temas X X X X

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TOTAL 20 puntos

Para aprobar el componente se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%.

* Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autocomprobar su proceso de aprendizaje.

** Recuerde: que la evaluación a distancia del primero y segundo bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, debe desarrollarla y enviarla a través del EVA según las fechas establecidas.

*** Estrategias de aprendizaje opcionales y de tipo colaborativa: foro, chat y video colaboración con una valoración de un punto cada una.

Señor estudiante:

Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es principalmente formativa.



PRIMER BIMESTRE

6.4. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias

La guía didáctica da la oportunidad de revisar los conocimientos adquiridos en el bachillerato, trata de que las personas que la lean vean a esta asignatura como un enlace entre la aplicación práctica de lo aprehendido y lo teórico que es requisito fundamental para cada titulación. Los contenidos descritos y ejemplificados con ejercicios y problemas de la vida cotidiana, le permitirán desarrollar las destrezas y habilidades requeridas en una competencia del área matemática básica y necesaria para la titulación escogida.

Los contenidos desglosados con mucha prestancia, le permitirán revisar temáticas que van desde los fundamentos matemáticos hasta el planteo de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Este componente permite aplicar todo lo estudiado en problemas de inversión de capitales, impuestos, ingresos, depreciaciones, costos, entre otros, estos temas son aplicables a cada titulación, en estos ejemplos se utilizan modelos que ilustran las técnicas y los conceptos básicos dados en matemáticas.

Esta guía didáctica pretende facilitar el estudio del alumno de modalidad a distancia, quien debe contar con bases sólidas para aplicar estos conocimientos en su devenir académico y pre profesional.



PRIMER BIMESTRE

UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

1.1. Números Reales

En esta unidad se explicarán conceptos fundamentales ya estudiados por usted, pero que se consideran muy importantes para ser recordados así:

Los números reales son el conjunto de todos los números enteros, positivos y negativos; las fracciones; y los números irracionales. Además se debe recordar que se los puede escribir con notación decimal.

El siguiente gráfico describe la clasificación de los números reales, donde los números reales son el conjunto universo y en él están inmersos los números racionales e irracionales.

Figura 1. Números Reales:Nota Fuente. Adaptado de Celli. K, (2013), Guía Didáctica Matemáticas, (p.14), Loja: UTPL

Los números 1, 2, 3, 4,...…se usan para contar y son los primeros que se aprenden en la primaria, a estos les llamamos: números naturales. Esta sucesión de números es infinita y se encuentra representada por la letra N, así:

Nota:

Algunos autores consideran al 0 dentro de los números naturales, sin embargo en este curso no

será considerado de esta forma.

Los números naturales junto al 0 y los enteros negativos, forman el conjunto de los números enteros, que está representado por la letra Z, de la siguiente manera:



PRIMER BIMESTRE

El conjunto de los números racionales, por su parte, consiste en números formados por todas las fracciones, con la restricción de que el denominador sea diferente de cero, algunos ejemplos son:

etc. Se encuentra representado por la letra Q.

Estos números racionales también pueden mostrarse de manera decimal; para lo cual su resultado debe ser que sus cifras decimales sean periódicas o exactas, así:

12

0 5= ,

Sabe usted ¿por qué?, todo entero tiene como denominador la unidad.

Ahora, ¿dónde quedan aquellos números fraccionarios que presentan decimales inexactos y no-periódicos?, a estos les corresponde el conjunto de números irracionales; ejemplos generales de este tipo de números son y e, a este conjunto se lo representa con la letra Q’.

Algunos ejemplos de este tipo de números son:

3.14159265359≠ = ⊃



PRIMER BIMESTRE

1.2. Exponentes

Estimado estudiante la multiplicación de un número o símbolo por sí mismo, ya sea 2, 3, 4 o más, puede abreviarse, para ello simplemente utilizamos exponentes, tal cual como se lo detalla a continuación:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

1.3. Radicales

Por el lado contrario a los exponentes, se encuentran los radicales, en los que podemos expresar a a n1

como an . Para este caso el valor de n nos indicará si trabajamos con una raíz cuadrada , raíz

cúbica , raíz cuarta , etc.

3 3 3 3 3 814 = =. . .



PRIMER BIMESTRE

1.4. Operaciones básicas con polinomios

Los polinomios son el resultado de la combinación de números y símbolos, mediante una o más operaciones básicas, como: adición, sustracción, multiplicación, etc. Algunos ejemplos que se pueden citar son:

5 7 3 3 2 9a b b a+ −( ) + − +( )

x y x y+( ) +( )3 2

2 5 2x y+( )

Cuando el polinomio contiene un solo término se denomina monomio. Aquel que contiene exactamente dos términos se llama binomio y el que contiene tres términos se denomina trinomio:

A continuación usted encontrará ejemplos de los distintos tipos de expresiones algebraicas:

Figura 2. Expresiones Algebraicas

Elaborado por: Andrade, E (2015)



PRIMER BIMESTRE

A continuación se estudiarán las operaciones que se pueden realizar con polinomios:

1.4.1. Adición de polinomios

La adición de polinomios es una operación en la que dos o más polinomios se suman para obtener un tercero que es el resultado total de esta suma

Ejemplo 3:

Si se desea sumar 3 2 12x y x− +( ) con 4 6 32x y x+ −( ) se puede optar por el siguiente procedimiento:

+ 4 6 32x y x+ −

Se eliminan los signos de agrupación

= +

Se ordena de mayor a menos o viceversa:

Se reducen términos semejantes:

= + −7 4 22x y x



PRIMER BIMESTRE

1.4.2. Sustracción de polinomios

Usted debe recordar que la resta es la operación opuesta a la suma y bajo este principio para poder realizar esta operación es preferible convertirla en suma, es decir al minuendo se le adiciona o suma el opuesto del sustraendo

Ejemplo 4:

Se desea a 7 8 5 73 2x x x− + −( ) restar 5 6 3 63 2x x x+ + +( )

Se identifica el sustraendo

Se busca el opuesto del sustraendo que consiste, los mismos términos del sustraendo pero con el signo contrario

− − − −5 6 3 63 2x x x

Se procede a sumar el minuendo con la nueva expresión del sustraendo siguiendo el proceso de la adición.

7 8 5 7 5 6 3 63 2 3 2x x x x x x− + − − − − −

Se ordena los términos

7 5 8 6 5 3 7 63 3 2 2x x x x x x− − − + − − −

Se reducen términos semejantes

2 14 5 133 2x x x− + −

1.4.3. Multiplicación de polinomios

Se llama multiplicación de polinomios cuando cada término de un polinomio se multiplica por cada uno de los términos del otro polinomio.

Si usted desea encontrar la solución de multiplicar , el procedimiento

sería el siguiente:

5 6 3 63 2x x x+ + +( )



PRIMER BIMESTRE

Ejemplo 5:

Se aplica la propiedad distributiva, en el grafico siguiente va a encontrar como está el proceso de distribución

Figura 3. Aplicación de la propiedad distributiva


Que implica, que cada término del primer binomio se multiplica por todo el segundo polinomio

5 2 4 11 2 43 2 3 2x x x x x+ +( ) + + +( )Nuevamente se aplica la propiedad distributiva

5 5 2 5 4 11 11 2 11 43 2 3 2x x x. . . . . .x x x x+ + + + +

Se realizan las operaciones indicadas

5 10 20 11 22 444 3 3 2x x x x x+ + + + +

Se ordenan los términos

5 10 11 22 20 444 3 3 2x x x x x+ + + + +

Por último se reducen términos semejantes

5 21 22 20 444 3 2x x x x+ + + +

1.5. Eliminación de símbolos de agrupación

Los signos de agrupación son paréntesis, corchetes y llaves y para poder operar se deben eliminar estos símbolos, el proceso es el siguiente:

Ejemplo 6:

Para simplificar la expresión citada, debe realizar el siguiente procedimiento:



PRIMER BIMESTRE

Eliminar signos de agrupación más internos, los paréntesis:

Eliminar ahora los corchetes, desarrollando la operación requerida para cada caso:

Se reducen los términos semejantes que se encuentran dentro de las llaves

Por último se aplica la propiedad distributiva y se eliminan las llaves

72 78 452x x+ −

Se sugiere revisar los ejemplos que se presentan a continuación:

Ejemplo 7:

− +( ) − − −( )( )5 4 2 2 2 5 22 2( x x x x

= − +( ) − − +( )5 8 8 2 5 23 2 2x x x x Propiedad distributiva

= − − − + −40 40 2 10 43 2 2x x x x Propiedad distributiva

= − − − +40 42 4 103 2x x x Reducción de

Términos semejantes

Ejemplo 8:

Propiedad distributiva


= + − −6 2 9 6a ab b Eliminación de las llaves,



PRIMER BIMESTRE

Ejemplo 9:


Términos semejantes

Ejemplo 10:

1.6. Factorización

Si dos o más expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dice que son factores de la expresión que se obtuvo como producto.

El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores se denomina factorización de la expresión, a continuación se examinarán ciertos métodos para factorizar expresiones algebraicas:

1.6.1. Factor común

Existe cuando en todos los términos de un polinomio se repiten una o más letras, o los coeficientes numéricos contienen algún factor que es común para todos ellos.

48 24 12 62 2abc ab a bcd abcde− + +

Para su factorización tomamos el coeficiente numérico de menor valor (6 en este caso), porque se encuentra contenido en el resto de términos, y las letras a y b que son comunes en todo el polinomio, con lo que obtenemos lo siguiente:

6 8 4 2ab c b acd cde− + +( )



PRIMER BIMESTRE

Ejemplo 11:

3 3xy yz xw wz− + −

Para su factorización, usted deberá agrupar los términos que contienen algún factor común, con la condición de que estos grupos deberán ser de igual número de términos, luego simplemente en cada grupo desarrollamos el procedimiento antes indicado, de esta manera:

3 3xy yz xw wz−( ) + −( )

y x z w x z3 3−( ) + −( )

3x z y w−( ) +( )

Otra manera de agrupar podría ser:

3 3xy xw yz wz+( ) − +( )

3x y w z y w+( ) − +( )

3x z y w−( ) +( )

1.6.2. Suma y diferencia de potencias iguales

Es necesario que usted considere que dentro de los productos notables se tiene la diferencia de cuadrados, la misma que para ser factorizada se la descompone en el producto de la suma por la diferencia de sus raíces cuadradas

Ejemplo 12:

36 25 6 5 6 52 2x y x y x y− = +( ) −( )



PRIMER BIMESTRE

Un caso particular de analizar es la factorización de suma o diferencia de cubos, para lo que se aconseja tener presente siempre lo siguiente:

a b a b a ab b3 3 2 2+ = +( ) − +( )

a b a b a ab b3 3 2 2= −( ) + +( )

Ejemplo 13:

64 4 16 43 3 2 2x y x y x xy y+ = +( ) − +( )

1.6.3. Factorizacion de trinomios y polinomios

Los trinomios cuadrados perfectos, por ejemplo, están conformados por dos términos que son cuadrados perfectos y positivos, el tercer término corresponde al doble producto de las raíces de los dos anteriores.

Ejemplo 14:

9 12 42 2a ab b− +

Se verifica que tenga las características de un trinomio perfecto, es decir que posea dos términos que son cuadrados perfectos positivos y un tercer término que corresponde al doble producto de las raíces de los anteriores:

9 12 42 2a ab b− +

2 3 2 12a b ab( )( ) =

Las raíces de los dos términos que son cuadrados perfectos positivos las elevamos al cuadrado, considerando el signo del término que corresponde al doble producto de estas raíces, de esta manera obtenemos el resultado



PRIMER BIMESTRE

Pero existen trinomios que pueden ser factorizados a pesar de no poseer estas características, para los cuales será necesario un procedimiento diferente, como por ejemplo trinomios cuyo resultado sean dos factores:

Caso 1:

Ejemplo 15:

x x2 5 6− +

1 5 62x x− +

Se encuentran dos factores del término constante 6 y que además sumados den como resultado el coeficiente de x. Estos dos términos pueden ser -2 y -3:

Se divide al primer término en dos grupos y se le agrega los términos encontrados en el paso anterior y obtenemos la respuesta:

Caso 2:

Ejemplo 16:

3 11 62x x+ +

3 11 62x x+ +



PRIMER BIMESTRE

El 3 es diferente de 1

Se multiplica el coeficiente del término cuadrático con el término constante

3 6 18( ) =

Se busca dos términos que multiplicados den como resultado 18 y sumados o restados den como resultado el coeficiente de x, en este caso 11.

Estos números pueden ser:

Se reemplaza el coeficiente del segundo término por los dos factores encontrados

3 9 2 62x x+ +( ) +

Se aplica la propiedad distributiva en el segundo término

3 9 2 62x x x+ + +

Se agrupan los términos considerando la posibilidad de tener un factor común

3 9 2 62x x x+( ) + +( )

3 3 2 3x x x+( ) + +( )

Se aplica nuevamente factor común

x x+( ) +( )3 3 2

Ejemplo 17:

4 8 32x x+ +

Se multiplica a todo el polinomio por el coeficiente del término cuadrático y se divide para el mismo, de esta forma no se altera el ejercicio inicial.

4 8 34 4 8 3

42

2

x xx x

+ + =+ +( )

=( ) + ( ) + ( )4 8 4 4 3

4

2x x



PRIMER BIMESTRE

Se busca dos números que multiplicados den como resultado 4 3 12( ) = y sumados o restados den

como resultado 8 que es el coeficiente de x:

4 8 4 4 34

2x x( ) + ( ) + ( )

=( ) + ( ) +4 8 4 12

4

2x x

=+( ) +( )4 6 4 2

4x x

Se tiene en cada paréntesis un factor común

=+( ) +( )2 2 3 2 2 1

4x x

Se simplifica quedando como resultado

2 3 2 1x x+( ) +( )

Ejemplo 18:

x x2 12+ −

Se buscan dos factores que al multiplicarse entre sí den como resultado el término constante y sumados o restados den como resultado el término de x.

__________________________

La suma del resultado de multiplicar en cruz ambos factores debe ser igual al segundo término:

x es el segundo término del trinomio

El resultado se encontrará expresado por la multiplicación de factores encontrados así:

x x+( ) −( )3 3



PRIMER BIMESTRE

1.7. Productos especiales

Existen ciertos productos especiales que pueden obtenerse a partir de la propiedad distributiva y son útiles al multiplicar expresiones algebraicas. A continuación se presentarán algunos casos especiales:

Productos Especiales

x y z xy xz+( ) = +(propiedad distributiva)

x a x b x a b x ab+( ) +( ) = +( ) +2

ax c bx d abx ad cb x cd+( ) +( ) = + +( ) +2

x a x ax a+( ) = + +2 2 22(cuadrado de un binomio)

x a x ax a−( ) = − +2 2 22(cuadrado de un binomio)

x a x a x a+( ) −( ) = −2 2 (producto de suma o diferencia)

x a x ax a x a+( ) = + + +3 3 2 2 33 3(cubo de un binomio)

x a x ax a x a−( ) = − + −3 3 2 2 33 3(cubo de un binomio)

Figura 4. Productos especiales

Nota Fuente. Adaptado de Celli. K, (2013), Guía Didáctica Matemáticas, (p.24), Loja: UTPL

Ejemplo 19:

En el siguiente ejercicio se aplicará una de las reglas dadas para la resolución de productos especiales.

3 2 3x +( )

= ( ) + ( )( ) + ( ) ( ) + ( )3 3 2 3 3 2 3 23 2 2 3x x x

¿Qué regla se aplicó?

La regla 7.



PRIMER BIMESTRE

1.8. Expresiones racionales

Una expresión racional es una combinación de variables y constantes que posee la forma:

a xb x( )( )

Donde son polinomios y

Dado que las variables incluidas en las expresiones algebraicas representan números reales, las propiedades de los números reales se aplican también a las expresiones algebraicas. A continuación se presenta la solución de las operaciones más comunes con este tipo de expresiones:

1.8.1. Simplificación de expresiones racionales

Una expresión racional está simplificada cuando ha sido reducida a su mínima expresión, esto es cuando tanto el numerador como el denominador no tienen factores comunes distintos de 1 y -1.

Ejemplo 20:

Simplifique la siguiente expresión algebraica:

4 20 246 10 4

2

2

x xx x

− ++ −

Se ordenan los polinomios4 20 24

4 10 6

2

2

x xx x− +

− + +

Se factoriza por completo el numerador y el denominador

=− +( )

− − −( )4 5 6

2 2 5 3

2

2

x x

x x

=−( ) −( )

− +( ) −( )4 2 32 2 1 3

x xx x

Se simplifica los primeros términos comunes =−( )

− +( )4 22 2 1

xx

Si es el caso se simplifica otros términos comunes

=−( )

− +( )2 2

2 1xx

Para finalizar se puede cambiar los signos, con la finalidad de eliminar el signo negativo en el denominador

=− −( )

+( )2 22 1

xx



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1.9. Multiplicación y división de expresiones racionales

Este tema será tratado en forma separada, ya que cada uno de ellas amerita una breve explicación acompañado de los ejemplos respectivos.

1.9.1. Multiplicación de expresiones racionales

En la multiplicación de expresiones algebraicas racionales, de deben multiplicar numeradores y denominadores entre sí.

Para facilitar este proceso puede iniciar simplificando, si es posible, los factores comunes que se presenten.

Ejemplo 21:

x ymn

m nx y

310

.156

3 4

2

2 3

5 4

Se multiplican numeradores y denominadores entre sí:

4560

3 4 2 3

2 5 4

x y m nmn x y

Se simplifican los términos comunes:

1.9.2. División de expresiones racionales

1.9.2.1. División de un multinomio entre un monomio

Para resolver este tipo de ejercicios, bastará con dividir cada término del multinomio por el monomio.

Ejemplo 22:

40 16 328

4 5 2 3 4 3 2 3 4

2 3 2

x y z x y z x y zx y z

− +−

Cada término del numerador se divide para el denominador, usando la propiedad distributiva



PRIMER BIMESTRE

Se divide cada una de las expresiones racionales formadas se simplifica cada uno de los términos:

= − + −5 2 42 2 2x y xyz z

1.9.2.2. División larga

Una vez que usted ha comprendido el procedimiento para dividir un multinomio entre un monomio, se encontrará apto para de realizar divisiones entre polinomios o división larga, a continuación estudie el procedimiento para su resolución:

Ejemplo 23:

Se ordena los dividendos en forma decreciente respecto a una misma variable, si el polinomio está incompleto es conveniente dejar un espacio en blanco.

3 4 32x x− + 3 2x +

Se divide el primer término del dividendo para el primer término del divisor y el resultado es el primer dividendo del cociente; luego se multiplica este resultado por todo el divisor y ese resultado se lo resta del dividendo (es necesario el cambio de signo).

3 4 32x x− + 3 2x +

x



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Se repite el procedimiento anterior, pero en esta ocasión para el nuevo resultado que se obtiene en el dividendo

x − 2

El resultado queda expresado de la siguiente forma:

xx

− ++

2 73 2

Ejemplo 24:

Respuesta:



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1.10. Racionalización de denominadores

Racionalizar es el proceso por el cual se eliminan los radicales del denominador de una fracción, permitiendo expresar el resultado como una fracción equivalente donde el denominador ya no tiene radical.

1.10.1. Racionalización del tipo para b 0↑

En este caso es eliminar el radical del denominador pero cuando este es un monomio

Ejemplo 25:

25

El denominador puede ser expresado como una potencia

=2

51 2/

En esta nueva expresión para eliminar el exponente del denominador , se le debe multiplicar por un factor igual, tanto al numerador como al denominador, para que no se altere la fracción

Se aplica en el denominador la ley 1 de las leyes básicas de los exponentes y radicales, que usted encontrará en la página 10 de su texto básico.

Por último se aplica la ley 11.



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Ejemplo 26:

1.10.2. Racionalización del tipo a

b c+

Este tipo de expresiones algebraicas poseen en el denominador binomios de radicales, el proceso a seguir es multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplo 27:

23 5+

Se multiplica por el conjugado del denominador 3 5+ que es: 3 5−

Se obtiene una diferencia de cuadrados en el denominador propiedad 6 de los productos especiales.

2 3 5

3 52 2( ) ( )

=−

−



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Se aplica la ley 17 de las leyes básicas de los exponentes y radicales

2 3 53 5

=−−

2 3 52

=−−

Se hace positivo al denominador multiplicando por -1 al numerador y denominador

11

. 2 3 52

( )( )

=−

−

−−

2 3 52

=− +

Finalmente se aplica la propiedad conmutativa en el numerador.

5 2 32

=−

Actividades Recomendadas

Desarrolle los ejercicios 0.4, 0.5 y 0.6 de su texto básico. Se encuentran en las páginas 18, 20, 25 y 26.

Recuerde que puede verificar los resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del texto básico.

Se ha concluido el estudio de esta primera unidad, lo invito a responder por lo tanto la siguiente autoevaluación, que le permitirá conocer su nivel de conocimientos.



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Autoevaluación 1

Estimado estudiante escriba dentro del paréntesis una V o una F según considere verdaderas o falsas las proposiciones que se plantean. (Realice el procedimiento, en los casos que sea necesario).

1. ( )

2. ( ) El valor de la expresión 4 1610 4

xx

++

es igual a 4, cuando x = −2

3. ( ) El siguiente polinomio es completo: 2 3 2 5 6 45 4 3 2x x x x x+ − + − −

4. ( ) De − + −10 30 154 3 4x x y y restar − + −10 25 144 3 4x x y y , obtenemos

5 3 4x y y−

5. ( ) En la siguiente expresión ; cuando m i x= = =3 2 26; ; entonces y=2

6. ( ) El siguiente polinomio es homogéneo: x x y xy y2 2 6 4 205 3 2 4 5− + − +

7. ( ) La expresión x x y xy2 2 65 3 2− + se refiere a un polinomio ordenado.

8. ( ) x x x.m n m n.=

9. ( ) 2 243 12=

10. ( ) 42

2 2x

xx

=

Verifique sus respuestas en el solucionario que se encuentra al final de la presente guía didáctica.

“Si puedes soñarlo, puedes hacerlo…”

Walt Disney

¡¡ Éxitos en la tarea emprendida!!

Ir a solucionario



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UNIDAD 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES

2.1. Ecuaciones

Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones denominadas (lados o miembros) separadas por el signo igual, dichas expresiones pueden contener variables ya sea una o varias, y la resolución consiste en encontrar el valor de dichas variables

2.2. Ecuaciones lineales

A las ecuaciones lineales también se las conoce como ecuaciones de primer grado o ecuaciones de grado uno ya que, como puede observar, la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera:

donde a y b son constantes y a 0↑

Ejemplo 28:

x x7 32

9 84

6+−

−=

Se eliminan las fracciones, para ello se puede multiplicar a ambos lados de la ecuación por un mínimo común múltiplo de los denominadores, para este caso 4:

Se aplica la propiedad distributiva:

Se simplifica 2 7 3 9 8 4 6( ) +( ) − −( ) = ( )( )x x

Se multiplica y se eliminan los paréntesis: 14 6 9 8 24x x+ − + =

Se reducen términos semejantes: 5 14 24x + =

Se resta 14 a ambos lados 5 14 14 24 14x + − = −

Por último se divide entre 5 a ambos lados:

5 10x =

55

105

x=

x = 2



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A continuación algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Ejemplo 29:

47

1pp−=

4 7p p= −

4 7p p+ =

5 7p =

p =75

Ejemplo 30:

5 7 2 3 4 3x x x−( ) − −( ) =

5 35 6 8 3x x x− − + =

5 6 3 35 8x x x− − = −

− =4 27x

− =x 274

−( ) − = −( )1 274

1x

x = − 274



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Ejemplo 31:

7 49 2

+ =x x

49 2

7x x− = −

x 8 918

7−= −

x 118

7− = −

x 71

18

=−

−

x7 181 1

( )( )( )( )

=

x 126=

Ejemplo 32:

7 32

9 84

6x x+−

−=

2 7 3 9 84

6x x+( ) − −( )

=

2 7 3 9 8 6 4x x+( ) − −( ) = ( )( )

14 6 9 8 24x x+ − + =

14 9 24 6 8x x− = − −

5 10x =

x = 105

x = 2



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2.3. Ecuaciones con literales

Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras y, generalmente, se utilizan las primeras del alfabeto: mientras que para las incógnitas continuamos con las letras finales

Ejemplo 33:

ax ad bd bx− = −

Se agrupan en un solo miembro de la ecuación los términos que tengan la variable y en el otro lado de la ecuación se agrupan los demás términos:

ax bx bd ad+ = +

Se aplica factor común x a b d b a+( ) = +( )

Se despeja la incógnita x xd b a

a b=

+( )+( )

Finalmente se simplifica x d=

Ejemplo 34:

xbc

xca

xab

a b c+ + = + +

ax bx cxabc

a b c+ += + +

ax bx cx abc a b c+ + = ( ) + +( )

x a b c abc a b c+ +( ) = ( ) + +( )

xabc a b c

a b c=( ) + +( )

+ +( )

x abc=

Ejemplo 35:

En el siguiente ejercicio despeje q de tal forma que quede en función de p.

p q= −8 1

− = − −8 1q p

−( ) −( ) = − −( ) −( )1 8 1 1q p



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8 1q p= +

q p=

+18

Ejemplo 36:

En el siguiente ejercicio despeje q de tal forma que quede en función de p.

p q= − +3 6

3 6q p= −

q p=

−63

q p= −

63 3

q p= −2

3

2.4. Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

ax bx c2 0+ + =

Donde a, b y c son números reales y a≠0.

Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas, escogerlo dependerá del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver, a continuación revisamos los más comunes:

2.4.1. Solución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización

Resolver una ecuación cuadrática mediante factorización, consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios y luego buscar el valor de x de cada binomio.

Ejemplo 37:

x x2 2 8 0+ − =

Se buscan dos números que multipliquen y den el valor de -8 y que

a la vez sumen y el valor sea igual a 2:

x x+( ) −( ) =4 2 0

Cada factor se iguala a cero y se despeja la variable x



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Otros ejemplos:

Ejemplo 38:

2.4.2. Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

Para resolver una ecuación cuadrática mediante éste método, la ecuación tiene que estar en su forma:

ax bx c2 0+ + =Donde a=1

Ejemplo 39:

Como a debe ser 1, se divide por la constante a, es decir por 4:

44

124

84

04

2x x+ − =

La constante pasa al lado opuestox x2 3 2 0+ − =

x x2 3 2+ =

En cada lado se suma la mitad del coeficiente del segundo término elevado al cuadrado:

x x2 3 94

174

+ + =

Se factoriza, ( como se observa se factora el trinomio cuadrado perfecto)



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Se elimina el exponente con radicales:

Se evalúan los posibles resultados

x117 3

20 56=

−= .

x217 32

3 56=− −

= − .

2.4.3. Solución de ecuaciones cuadráticas con el uso de la fórmula cuadrática.

ax bx c2 0+ + =

Para resolver, mediante este método, hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

x b b aca

=− ± −2 4

2Ejemplo 40:

Considerando que a=1, b=2 y c=-8; se reemplaza estos valores en la fórmula general

x =− ± − ( ) −( )

( )2 2 4 1 8

2 1

2

Se resuelve primero lo que se encuentra dentro del radical

x = − ±2 362

Se evalúa los posibles resultados

2.5. Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.



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Ejemplo 41:

4 3 1 0− + =x

Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales:

− + = −3 1 4x

Se multiplica por (-1) ambos miembros de la ecuación para eliminar el signo negativo:

−( ) − + = −( ) −( )1 3 1 4 1( )x

Se elevan al cuadrado los dos miembros:3 1 4

2 2x +( ) =

3 1 16x + =

Se resuelve la ecuación obtenida:3 16 1x = −

x = 5

Ejemplo 42:

k k2 4 4− = −

k k22 24 4−( ) = −( )

k k k2 24 8 16− = − +

k k k2 2 8− +

8 20k =

k =208

k =52

Ejemplo 43:

x x− + =1 1

− + = −x x1 1

−( ) − +( ) = −( ) −( )1 1 1 1x x

x x+ = −1 1



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x x+( ) = −( )1 12 2

x x x− = − +1 2 1

x x x− + = +2 1 1

2 2x =

x =22

x =1

x( ) =2 21

Ejemplo 44:



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2.6. Ecuaciones fraccionarias

Es ecuación fraccionaria cuando la variable se encuentra presente en el denominador de la ecuación y para resolver este tipo de ecuaciones se debe tener en cuenta el tipo de fracción que forma la ecuación para eso se analizará varios ejemplos:

Ejemplo 45:

Ejemplo 46:

3 42

3 54

122 82

xx

xx x x

++

−−−

=− −

Es una fracción heterogénea, por esta razón se debe determinar el mínimo común múltiplo

3 4 4 3 5 22 4

122 82

x x x xx x x x

+( ) −( ) − −( ) +( )+( ) −( )

=− −



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Factorar el trinomio del segundo término

Se aplica la propiedad distributiva

3 4 4 3 5 22 4

122 4

x x x xx x x x

+( ) −( ) − −( ) +( )+( ) −( )

=+( ) −( )

3 12 4 16 3 6 5 10

2 4

2 2x x x x x xx x

− + − − + − −( )+( ) −( )

=+( ) −( )

122 4x x

Se destruye el paréntesis y se reducen los términos semejantes

3 12 4 16 3 6 5 102 4

2 2x x x x x xx x

− + − − − + ++( ) −( )

=+( ) −( )

122 4x x

Como se tiene en ambos lados el mismo denominador se simplifica

Se despeja x y se multiplica por (-1).

− − =9 6 12x

− = +9 12 6x

− =x 189

−( ) −( ) = −( )( )1 1 2x

x = −2

Ejemplo 47:

xx

xx

+−

++−

=21

13

0

xx

xx

+−

= −+−

21

13



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x x x x+( ) −( ) = − +( ) −( )2 3 1 1

3 6 2 12 2x x x x x x− + − = − − + −( )

− + + = − +x x x2 26 1

− + + = −x x x2 2 1 6

x = −5

Ejemplo 48:



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2.7. Ecuaciones con valor absoluto

El valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es:

a a= −

Es importante considerar este argumento ya que se lo usa para resolver ecuaciones con valor absoluto.

En el gráfico siguiente se manifiesta el argumento de valor absoluto:

Si

Figura 5. Noción de cantidad


Si se habla de ecuaciones con valor absoluto se trabaja con la siguiente forma:

ax b c+ =

Donde a≠0 y c es un número positivo.

Ejemplo 49:

7 3 5− =x

Dado que es la distancia entre la ecuación y el cero, se calcula la ecuación tanto para 5 como para -5:

Se resuelve cada ecuación hasta encontrar el valor de x, para cada sub – ecuación: Primero para (a)

− = −3 5 7x

− = −3 2x

x = 23



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Se resuelve cada ecuación hasta encontrar el valor de x, para cada sub – ecuación: luego para (b)

− = − −3 5 7x

− = −3 12x

x = 4

Ejemplo 50:

Ejemplo 51:



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Ejemplo 52:

En este caso las respuestas son las mismas.

Ejemplo 53:

2.8. Desigualdades

Una desigualdad es una relación de orden, es decir la una expresión es mayor o menor que la otra o viceversa. Las expresiones están separadas por un símbolo que indica cómo la una expresión se relaciona con la otra.

Los símbolos pueden ser:

Figura 6. Símbolos. Relación de orden




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2.8.1. Introducción a los intervalos

Al hablar de intervalos es importante distinguir dos grupos de ellos, los primeros están conformados por intervalos finitos y los segundos por intervalos infinitos.

Los intervalos finitos pueden ser: abiertos, cerrados o semiabiertos, en el gráfico siguiente se representarán este tipo de intervalos, tanto en su representación gráfica como en su escritura:



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Ejemplo 54:

Intervalos abiertos:

Ejemplo 55:

Intervalos cerrados:

Ejemplo 56:

Intervalos semiabiertos:

[-5, ∞)



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(-∞,1]

Ejemplo 57:

Resolución de una desigualdad:

4 6 7 12x x+ > +

Su resolución es muy similar a la de una ecuación, solo es necesario tener en cuenta las operaciones que generarán un cambio en el sentido de la desigualdad Se inicia agrupando los términos en función a su semejanza:

4 6 7 12x x+ > +

4 7 12 6x − > −x

Se reducen términos semejantes − >3 6x

Se divide para -3 a cada miembro (Nótese el cambio del sentido de la desigualdad)

−−

<−

33

63

x

x < −2

La solución y gráfica de esta desigualdad viene dada por:

(-∞,-2)

2.8.2. Desigualdades con valor absoluto

La resolución de desigualdades con valor absoluto corresponde a las siguientes reglas básicas a aplicarse, usted encontrará esas reglas en el gráfico siguiente:



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Figura 8. Reglas básicas de desigualdades con valor absoluto


Ejemplo 58:

4 2 6x + >

En este ejemplo y en función a las reglas indicadas previamente, se aplicará la número 3, entonces se tiene que:



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, 2 1,∪( ) ( )−° − °

Ejemplo 59:

x x35 2

4− ʺ

En función a las reglas indicadas previamente, aplicaremos la número 2, entonces tenemos que:


Ejemplo 60:

− < − <16 3 4 16x

− + < < +16 4 3 16 4x

− < <12 3 20x



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− < <123

203

x

− < <4 203

x

Ejemplo 61:



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2.9. Aplicaciones de ecuaciones y desigualdades

Se han revisado los temas de ecuaciones y desigualdades, ahora es necesario que usted aprenda a aplicar estos temas en casos particulares a su desarrollo profesional, por ello es necesario que practique conforme avance con el estudio, repita varias veces los ejercicios planteados y compruebe el procedimiento.

2.9.1. Algunos casos de aplicación para ecuaciones y desigualdades

Diferentes son las situaciones en las que podrá aplicar tanto ecuaciones como desigualdades. Su utilización le permitirá resolver problemas prácticos, para lo cual será necesario que usted traduzca estas situaciones y/o problemas a símbolos matemáticos.

A continuación se analizarán solo algunos casos, estos están relacionados a su formación profesional. Inicialmente se verán problemas de aplicación de ecuaciones:

2.9.2. Aplicación de ecuaciones

Seguramente recordará aquellos problemas en los que mediante la utilización de ecuaciones se pedía encontrar las edades particulares de ciertas personas, veamos uno de estos ejemplos antes de iniciar con las aplicaciones relacionadas a su formación profesional.

Ejemplo 62:

Jorge tiene 6 años más que Claudia, hace 12 años la edad de Claudia era ½ de la edad actual de Jorge. ¿Cuántos años tiene cada uno?

En base a los datos iniciales se tiene:

x Corresponde a la edad actual de Claudia

x + 6+

Corresponde a la edad actual de Jorge

x −12 Corresponde a la edad que tenía Claudia hace 12 años.



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Entonces, tomando como referencia la explicación del problema, se puede plantear la ecuación de la siguiente manera:

x x− = +( )12 12

6

2 12 6x x−( ) = +( )

2 24 6x x− = +( )

2 6 24x x− = +

x = 30

E inferir en los resultados:

x = 30 Edad actual de Claudia.

x + = + =6 30 6 36 Edad actual de Jorge.

x − = − =12 30 12 18 Edad que tenía Claudia hace 12 años.

2.9.2.1. Pasos para resolver una aplicación de ecuaciones

Como no es posible contar con un procedimiento general para la resolución de problemas mediante la aplicación de ecuaciones, a continuación se resumen seis pasos básicos para la resolución de este tipo de ejercicios:

• Lea y analice el problema planteado cuidadosamente y cuantas veces sea necesario con el fin de lograr comprender el objeto de análisis.

• Identifique la o las incógnitas, es decir el valor desconocido. Además separe y anote los datos, variables y cantidades conocidas planteadas en el problema y determine la relación de estas con la incógnita.

• Represente la incógnita mediante variables, para ello generalmente se utilizan las últimas letras del abecedario: x, y, z; pero en función a su conveniencia puede representarlo con letras que impliquen el significado de la variable, por ejemplo: p=precio, q= cantidad, t=tiempo, etc.

• Escriba una ecuación que refleje exactamente las condiciones del problema, para ello puede utilizar técnicas que faciliten su planteamiento como por ejemplo preguntarse: ¿A qué es igual el precio? O simplemente enunciados que revelen un concepto, como: la utilidad total es igual a los ingresos totales menos los costos totales.

• Desarrolle las operaciones indicadas en la ecuación, para ello tome como referencia los contenidos analizados en la unidad 2 de esta guía didáctica.

• Finalmente es recomendable que verifique la solución final, esta debe corresponder también a la realidad que intenta resolver, por ejemplo: si analizamos una ecuación sobre la variable “tiempo” la respuesta jamás podrá corresponder a un valor negativo.



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2.9.2.2. Problemas de aplicación

Ejemplo 63:

Ventas.-

Por temporada cierto almacén liquida su mercadería con un 40% de descuento para todos sus productos. Si el precio de uno de sus artículos es de 86 dólares, ¿cuál era su precio antes de la liquidación?

Al leer el problema claramente podemos identificar que la variable incógnita es el precio del artículo antes de la liquidación, para representarlo vamos a utilizar la variable x; otros datos generados en el problema indican que existe un descuento del 40% y que el precio actual es de 86 dólares; traducimos estos datos matemáticamente:

Precio inicial – Descuento = Precio actual

x x− =0 40 86.

La ecuación se resuelve:

0 60 86. x =

x = 860 60.

x =143 33.

Es decir, el precio inicial del artículo era de 143,33 dólares, el cual luego de liquidarlo con una rebaja del 40%, se vende actualmente en 86 dólares:

Ejemplo 64:

Inversión.-

Un inversionista coloca 25000 dólares en dos partes. Una parte la coloca en una institución A, con una ganancia del 9%, y el resto en una institución B, con una ganancia del 15%. ¿Cuánto debe invertir en cada institución para obtener una ganancia de 3500 dólares después de un año?

Es claro que la pregunta a resolver equivale a decidir cómo debe el inversionista colocar su dinero en las instituciones de modo tal que al final del año se genere 3500 dólares.

Se representará la incógnita con la variable x, que es el valor a invertir en la institución A

y la diferencia, es decir, 2500− x corresponderá a la inversión a realizar en la institución B.

Una vez identificadas las variables para cada institución será necesario incluir la ganancia que cada una generará, es decir:



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Institución A 0 09. xInstitución B 0 15 25000. −( )x

Se sabe que la suma de las ganancias de ambas instituciones al final debe ser 3500 dólares, la ecuación será:

0 09 0 15 25000 3500. .x x+ −( ) =

Se resuelve la ecuación:

0 09 0 15 25000 3500. .x x+ −( ) =

0 09 3750 0 15 3500. .x x+ − =

0 09 0 15 3500 3750. .x x− = −

− = −0 06 250. x

x = −−

2500 06.

x = 4166 67.

Como x representa la cantidad de dinero invertida en la institución A, quiere decir que se invertirá 4166,67 dólares mientras que en la institución B, se invertirá un total de 20833,33 dólares.

Al comprobar estos datos tenemos que:

4166 67 0 09 20833 33 0 15 3500. . . .( ) + ( ) =

375 3125 3500+ =

375 3125 3500+ =

Ejemplo 65:

Inversiones.-

Una persona desea invertir $100000 y desea recibir un ingreso anual de $10000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 5% o con mayor riesgo al 9% con bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $8000?



PRIMER BIMESTRE

Primero se coloca el problema en símbolos matemáticos, se plantea la ecuación para bonos del gobierno y se asume que la cantidad invertida es x

0 05. x

Luego se plantea una segunda ecuación, para los bonos hipotecarios

0 09 100000. −( )x

Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de $8000 , se unifican las dos ecuaciones anteriores y se igualan a este valor.

0 05 0 09 100000 8000. .x x+ −( ) =

En este punto resolvemos la ecuación

0 05 9000 0 09 8000. .x x+ − =

− = −0 04 1000. x

x = 25000

Esta persona deberá invertir $25000 en bonos del gobierno y $75000 100000 25000−( ) en bonos

hipotecarios para obtener $8000 y minimizar sus riesgos.

Ahora es importante reflexionar sobre los valores obtenidos, ¿debe distribuirse de esa manera las inversiones? Esta interrogante se resuelve con una breve y simple comprobación:



PRIMER BIMESTRE

Ejemplo 66:

Precios.-

Un comerciante sabe que si cobra p dólares por docena de huevos, el número de huevos vendidos por semana será de x millones de docenas, donde p x= −2 . Entonces su ingreso semanal total será IT xp x x= = −( )2 millones de dólares. El costo para la industria de producir x millones de docenas

de huevos por semana está dado por CT x= +0 25 0 5. . millones de dólares. ¿A qué precio debe vender los huevos este comerciante, para obtener una utilidad de $0 25. millones?

El problema ya indica las ecuaciones tanto para el ingreso como para los costos; recordará usted que la utilidad o beneficio es lo que queda luego de haber restado los costos a los ingresos, para lo que se debe plantear la siguiente ecuación:

Recuerde que el comerciante desea saber el precio x al que deberá vender los huevos para obtener una utilidad de $0,25 millones, entonces reemplacemos este valor en la ecuación:

0 25 1 5 0 252. . .= − + −x x

Se Iguala a cero y se resuelve la ecuación utilizando la fórmula cuadrática.



PRIMER BIMESTRE

2.9.3. Aplicación de desigualdades

Al igual que las ecuaciones las desigualdades permiten solucionar problemas y/o situaciones, utilizando símbolos matemáticos solo que, en este caso y partiendo del concepto de desigualdad, los planteamientos se elaborarán en torno a condiciones diferentes entre los elementos, es decir establecen que uno es menor a otro o viceversa.

Se ha planteado el siguiente ejemplo con la finalidad de una mejor comprensión del tema:

Ejemplo 67:

Utilidades.-

Una compañía que fabrica televisores, gasta en mano de obra y materiales por televisor. Los costos fijos por otro lado son de . El precio de venta al público es de por televisor, ¿cuántos televisores deberá vender para que la compañía obtenga utilidades?

Un ejemplo anterior referente a aplicación de ecuaciones, ya permitió conocer cómo está compuesta la utilidad y/o beneficio en una empresa.

UT IT CT= −



PRIMER BIMESTRE

Dónde:

IT q= 500

CT q= +80000 180

CT q= +80000 180

Ahora plantee la desigualdad considerando que la restricción se refiere a que la compañía obtenga utilidades, es decir UT > 0

UT > 0

500 80000 180 0q q− +( ) >

La desigualdad se resuelve:

320 80000 0q − >

320 80000q >

q >80000

320

q > 250

Con este resultado se concluye que la compañía deberá vender al menos 251 televisores para obtener utilidad

Ejemplo 68:

Utilidades.-

Para una compañía que fabrica calefones, el costo combinado de mano de obra y material es de 42 dólares por calefón. Los costos fijos son 140000 dólares. Si el precio de venta de cada calefón es de 70 dólares, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades?

Es necesario reflexionar sobre el hecho de que una compañía generará utilidades cuando al restar a sus ingresos los costos, el valor de la utilidad sea mayor a cero, es decir, UT > 0†

Entonces dado que UT IT CT= − la desigualdad será:



PRIMER BIMESTRE

Deben venderse al menos 5001 calefones, para que la compañía obtenga utilidades.

Ejemplo 69:

Ingreso.-

Suponga que los consumidores comprarán unidades de un producto al precio de dólares

por cada una. ¿Cuál es el número mínimo que deben venderse para que el ingreso por ventas sea mayor que $5000?

Los conceptos previamente adquiridos de utilidad se aplicarán en la resolución del ejercicio, además, se sabe que el ingreso total es igual al precio multiplicado por la cantidad .

Partiendo del concepto y considerando los datos proporcionados en el problema, se planteará la siguiente expresión:

.

Dado que el precio es igual a , se obtiene:

El ejemplo restringe el valor del ingreso este debe ser mayor a 5000 dólares, con lo que finalmente la desigualdad quedaría así:



PRIMER BIMESTRE

100 5000q qq

+ >

100 5000+ >q

q > −5000 100

q 4900>

Por lo tanto deberán venderse mínimo 4901 unidades para obtener un ingreso mayor a 5000 dólares.

Actividades recomendadas

Desarrolle los siguientes ejercicios:

Ecuaciones y desigualdades:

11, 13, 17 y 31 de la página 54 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.2.


Recuerde que puede verificar sus resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del texto básico.

Problemas de aplicación de ecuaciones y desigualdades

Desarrolle los siguientes problemas de aplicación:


1, 5 y 7 de las páginas 57 de su texto básico, sección: PROBLEMAS 1.3.

Recuerde que puede verificar sus resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del texto básico

¡¡Felicitaciones!! se ha concluido la segunda unidad, lo invito a responder la siguiente autoevaluación que le permitirá conocer su nivel de logros



PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 2

Utilizando las reglas incluidas en esta unidad para la resolución de desigualdades con valor absoluto, desarrolle los siguientes enunciados:

Problemas:

1. Una persona tiene en total $3000 en dos cuentas de ahorro diferentes que le producen respectivamente, el 18% y 21%. Si en un año recibe $594 por intereses, ¿qué cantidad de dinero tiene invertido en cada cuenta?

2. Una firma industrial fabrica un producto que tiene costos variables de $22 por unidad. Si los costos fijos son $95000 y se vende cada unidad en $30, ¿cuántas unidades deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $50000?

3. La compañía IRC fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo es de $80000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de $60000.

4. La compañía ABC fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

Recuerde que las respuestas se encuentran en el solucionario al final de la guía didáctica.

“Con esfuerzo y perseverancia podrás alcanzar tus metas.”

Ir a solucionario



PRIMER BIMESTRE

UNIDAD 3. SISTEMAS DE ECUACIONES

3.1. Introducción a los sistemas de ecuaciones

Existe un sistema de ecuaciones lineales cuando se tienen un conjunto de n variables y de m ecuaciones, así:

Este sistema de ecuaciones puede ser expresado en forma matricial, observe a continuación:

A X B. =

Primero la matriz de los coeficientes:



PRIMER BIMESTRE

Ahora dos matrices columnas a las que llamaremos X y Y :

Ejemplo 70:

3.2. Soluciones de un sistema de ecuaciones

Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales, es necesario encontrar un conjunto de números ordenados que satisfacen a todas las ecuaciones del sistema.

A continuación se describe, paso a paso, la resolución de un sistema de ecuaciones lineales con solución única:

3.2.1. Sistemas de ecuaciones lineales: solución única

Antes de iniciar con los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con solución única, es importante determinar si el sistema arrojará al final este tipo de solución, para ello podemos utilizar el siguiente criterio detallado.

Considerando el sistema:

Tiene solución única si y solo si:



PRIMER BIMESTRE

Ejemplo 71:

Ejemplo 72:

Como

3.3. Métodos de resolución

Existen varios métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones lineales:

3.3.1. Método de eliminación por adición

Este método se caracteriza por eliminar una incógnita mediante el proceso de suma y resta:

Ejemplo 73:



PRIMER BIMESTRE

Se analiza el sistema y se observa que la variable posee signos diferentes dentro de las ecuaciones esta circunstancia va a permitir mediante el siguiente proceso eliminar esta incógnita:

A la ecuación (1) se le multiplica por (3) y a la ecuación (2) se le multiplica por (4)

Se multiplica cada una de las ecuaciones por el factor indicado y se suman las ecuaciones

Se despeja la variable

El valor encontrado de la variable se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales.

2 3 3x y+ =

2 3 3 3( ) + =y

y = −1

Ejemplo 74:

Se ordenan los términos de las ecuaciones

Se suman las ecuaciones (1) y (2)

Se despeja la variable:

y = =147

2

El valor de la variable se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales:

4 2 9x y+ =



PRIMER BIMESTRE

4 2 2 9x + ( ) =

x = 54

3.3.2. Método de eliminación por sustitución

Este método se fundamenta en el despeje de una incógnita de una de las ecuaciones del sistema y en el reemplazo del nuevo resultado en la otra ecuación;

Ejemplo 75:

Despeje de una de las variables de cualquiera de las dos ecuaciones

x y+ − =2 8 0

x y= −8 2

Esta nueva ecuación se reemplaza en la ecuación que NO fue utilizada en el despeje

2 2 4 0x y+ + =

2 8 2 2 4 0−( ) + + =y y

Se aplica en este nuevo resultado la propiedad distributiva y se reducen términos semejantes

16 4 2 4 0− + + =y y

20 2 0− =y

y =10

Se resuelve la ecuación y =10

El valor encontrado de la incógnita se reemplaza en la ecuación despejada

x y= −8 2

x = − ( )8 2 10

x = −12

Ejemplo 76:

De la ecuación 2, se despeja x

− + =x y2 7



PRIMER BIMESTRE

− = −x y7 2

x y= −2 7

Este nuevo valor se reemplaza en la ecuación (1):

2 1x y− =

2 2 7 1y y−( ) − =

Se aplica la propiedad distributiva:

4 14 1y y− − =

Se reducen los términos semejantes

3 14 1y − =


3 14 1y − =

y = =153

5

y = 5

x = ( ) −2 5 7

x = 3

Ejemplo 77:

Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, también puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables:

Utilizando el método de eliminación por adición:



PRIMER BIMESTRE

Se escoge dos ecuaciones que tengan términos semejantes con coeficientes iguales y con signos opuestos en este caso podrían ser y ó z. Si los coeficientes de esas variables escogidas son diferentes se busca un término común:

5 3 2 5x y z− + =

2 3 2 2x y z+ − =

7 7x =


7 7x =

x = =77

1

x =1Nuevamente se escogen dos ecuaciones, pero una de las escogidas debe ser la que aún no ha sido utilizada. Se debe seleccionar la misma variable que la anterior, operar los coeficientes con factores hasta lograr que tengan los mismos coeficientes y luego sumar:

5 3 2 5x y z− + =

3 4 3 2x y z+ − =

3 5 3 2 3 5( ) − +( ) = ( )( )x y z

2 3 4 3 2 2( ) + −( ) = ( )( )x y z

Se aplica la propiedad distributiva en ambas ecuaciones y se suman

15 9 6 15x y z− + = 6 8 6 4x y z+ − =

21 19x y− =

Se reemplaza en la nueva ecuación la variable encontrada anteriormente

21 19x y− =

21 1 19( ) − =y

21 19− =y

Se despeja la incógnita − = −y 19 21

Se multiplica por (-1)−( ) −( ) = −( ) −( )1 1 2y

y = 2

Encontrados los dos valores se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales

5 3 2 5x y z− + =

5 1 3 2 2 5( ) − ( ) + =z5 6 2 5− + =z− + =1 2 5z2 5 1z = +

2 6z =

z = =62

3

z = 3



PRIMER BIMESTRE

Ejemplo 78:

Se eliminan los denominadores buscando el mínimo común múltiplo y luego se realiza la multiplicación del denominador con el término independiente.

(1)

x y z+− =

10 62

3 530

2x y z+( ) −

=

3 3 5 60x y z+ − =

(2)

x y z4 5

1++

=

5 420

1x y z+ +( )

=

5 4 4 20x y z+ + =

(3)

y x z6 5

3+−

=

5 630

3y x z+ −( )

=

5 6 6 90y x z+ − =

Se ha formado un nuevo sistema:

Se toman dos ecuaciones y se multiplican por un factor, de tal forma que permitan mediante la adición eliminar una variable

Ecuación (1)

(4)(

12 12 20 240x y z+ − =

Ecuación (2)

25 20 20 100x y z+ + =

Ecuación (1)+ Ecuación (2)

12 12 20 240x y z+ − =

25 20 20 100x y z+ + =

____________________________

37 32 340x y+ =

Ecuación (2)

(6 ) 5 4 4x y z+ +( ) = (6)20

30 x y z+ + =24 24 1 20

Ecuación (3): Se ordena

(4) 6 5 6 4 90x y z+ −( ) = ( )

24 20 24 360x y z+ − =



PRIMER BIMESTRE

Ecuación (2)+ Ecuación (3)

30 x y z+ + =24 24 1 20

24 20 24 360x y z+ − =

_______________________________

54 44 480x y+ =

La nueva ecuación tiene como factor común el (2) se lo extrae y se simplifica

2 27 22 2 240x y+( ) = ( )

27 22 240x y+ =



PRIMER BIMESTRE

3.4. Problemas de aplicación

Es necesario que los conocimientos adquiridos a lo largo de cada unidad se aplique en problemas de la cotidianidad y algunos referentes a su titulación.

Ejemplo 79:

Un fabricante de productos químicos debe surtir una orden de 500 litros de solución de ácido al 25% (veinticinco por ciento del volumen de ácido). Si hay disponibles en existencia soluciones al 30% y al 18%. ¿Cuantos litros de cada una debe mezclar para surtir el pedido?

A continuación se realiza el gráfico que representa la distribución de las diferentes soluciones que indica el problema:



PRIMER BIMESTRE

Figura 9. Sistemas de ecuacionesNota Fuente. Adaptado Haeussler, E.; Richard, P. y Richard, W. (2015). Matemáticas para administración y economía, (p. 143), México: Pearson Educación.

Una solución está compuesta de x litros de un ingrediente y litros de otro ingrediente ec. (1)

Pero como el fabricante tiene soluciones en distintos porcentajes de concentración entonces:

ec. (2)

Para la resolución se utilizará el método de eliminación de una variable por sustitución:



PRIMER BIMESTRE

Ejemplo 80:

Una compañía paga a sus agentes de ventas con base de un porcentaje de los primeros $100000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad por encima de los $100000. Si un agente recibió $8500 por ventas de $175000 y otro recibió $14800 por ventas de $280000, encuentre los dos porcentajes.



PRIMER BIMESTRE


Desarrolle los siguientes ejercicios y problemas:

Sistemas de ecuaciones y problemas de aplicación:



Recuerde que puede verificar sus resultados en el solucionario que se encuentra en las hojas finales del texto básico.

¡¡¡Muy bien!!! Lo está consiguiendo, ha culminado la unidad 3 y también el primer bimestre, responda la siguiente autoevaluación y sabrá cómo está su nivel de conocimientos



PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 3

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, recuerde que pueden tener una única solución, infinidad de soluciones o ninguna solución:

Un fabricante de productos químicos desea surtir un pedido de 800 galones de una solución de ácido al 25%. En existencia tiene soluciones al 20% y 35%. ¿Cuántos galones de cada solución debe mezclar para surtir el pedido?

Un jardinero tiene dos fertilizantes que contienen diferentes concentraciones de nitrógeno. Uno tiene 3% y el otro tiene 11%. ¿Cuántas libras de fertilizante debe mezclar para obtener 20 libras de una concentración al 9%?

Recuerde que las respuestas se encuentran en el solucionario al final de la guía didáctica.

“Tus grandes proezas serán logradas no por tu fuerza… sino por tu PERSEVERANCIA”

Anónimo

Ir a solucionario



SEGUNDO BIMESTRE

SEGUNDO BIMESTRE

6.5. Competencias genéricas de la UTPL

• Vivencia de los valores universales del Humanismo de Cristo.

• Comunicación oral y escrita.

• Orientación a la innovación y a la investigación.

• Pensamiento crítico y reflexivo.

• Trabajo en equipo.

• Compromiso e implicación social.

• Comportamiento ético.

• Organización y planificación del tiempo



SEGUNDO BIMESTRE6.

6.

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SEGUNDO BIMESTRE

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SEGUNDO BIMESTRE

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SEGUNDO BIMESTRE

6.7. Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias

Antes de iniciar con el desarrollo del segundo bimestre, es necesario que usted tenga en cuenta que los contenidos revisados en el primer bimestre podrán ser utilizados en cualquier unidad siguiente, por lo que es necesario que usted haya adquirido las habilidades procedimentales para continuar con sus estudios.

Los contenidos ahora son algo más complejos, pero se acercan a la realidad de lo que debe conocer para su titulación, se verán temas como matrices y sus aplicaciones y todo lo referente a funciones entre estás las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas, cada una de ellas con aplicaciones propias para su especialidad.

UNIDAD 4. MATRICES

4.1. Introducción a la teoría de matrices

Las matrices son arreglos de números. Las matrices y el álgebra matricial tienen una aplicación potencial siempre que una información se pueda acomodar de manera significativa en bloques rectangulares. Su aplicación tiene gran importancia porque se puede graficar en sistemas coordenados, los mismos que describen situaciones matemáticas.

Ejemplo 81:

La determinación de formas para describir situaciones en matemáticas conduce al estudio de arreglos rectangulares. Las ecuaciones pueden ser expresadas en forma matricial:



SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 82:

Otro ejemplo muy práctico es en el uso de tablas que se pueden representar como matrices a continuación un ejemplo de su aplicabilidad:

Figura 10. Tabla de productoNota Fuente. Adaptado Haeussler, E.; Richard, P. y Richard, W. (2015). Matemáticas para administración y economía, (p.227), México: Pearson Educación.

Como A tiene dos renglones y tres columnas entonces tienen el tamaño de 2x3, se lee 2 por 3, donde se especifica el número de renglones y el número de columnas

Figura 11. Tabla de Renglones y columnasNota Fuente. Adaptado Haeussler, E.; Richard, P. y Richard, W. (2015). Matemáticas para administración y economía, (p.227), México: Pearson Educación.



SEGUNDO BIMESTRE

4.2. Tamaño de matrices:

Ejemplo 83:

Matriz renglón:

Matriz columna:

Ejemplo 84:

Ejemplo 85:

4.3. Igualdad de matrices

Las matrices y son iguales si y solo si tienen el mismo tamaño y para cada i y cada j.

Ejemplo 86:

Ejemplo 87:



SEGUNDO BIMESTRE

4.4. Transpuesta de una matriz

Si A es una matriz, la matriz que se forma a partir de A mediante el intercambio de sus renglones con sus columnas toma el nombre de transpuesta de A ó

Ejemplo 88:

Ejemplo 89:

4.5. Operaciones con matrices

4.5.1. Suma de matrices

La suma de matrices y se obtiene al sumar las entradas correspondientes de A y de B.

Ejemplo 90:

Ejemplo 91:



SEGUNDO BIMESTRE

4.5.1.1. Propiedades para la suma de matrices

Propiedades para la suma de matrices

A+B=B+A Propiedad conmutativa

A+(B+C)=(A+B)+C Propiedad asociativa

A+0=0+A=A Propiedad de identidad

4.5.1.2. Multiplicación por un escalar

A los números reales se los llama como escalares en el contexto de las matrices se representa como kA , se llama múltiplo escalar de A.

Ejemplo 92:

Ejemplo 93:

4.5.2. Sustracción de matrices

Para que dos matrices puedan sumarse o restarse deben tener el mismo tamaño (dimensiones).

Ejemplo 94:



SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 95:

Si y

Calcular A BT − 2

4.5.3. Multiplicación de matrices

Solo se pueden multiplicar dos matrices si sus dimensiones son compatibles, lo que significa que el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz.

La matriz producto o resultado tendrá como dimensiones al número de filas de la primera matriz multiplicando por el número de columnas de la segunda matriz multiplicando.

Ejemplo 96:

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/matrices.html



SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 97:

4.6. Aplicación: método gauss – jordan

El método de eliminación de Gauss-Jordan, consiste en transformar una matriz ampliada en otra que contenga los elementos de la diagonal como los primeros diferentes de 0 en cada fila.

Ejemplo 98:

Dado el sistema, resolver por el método de Gauss – Jordán

− + =

− + = −

+ − =

x y zx y zx y z

3 2 3 24 3 1

5 6 5

Colocamos los coeficientes de las ecuaciones en forma de matriz

Se debe hacer ceros debajo del primer elemento de la primera fila, siguiendo el siguiente procedimiento;

F F4 . 3 . 1 2−

F F1 33−

Se debe hacer ceros debajo del segundo elemento de la segunda fila, siguiendo el siguiente procedimiento;

F F3 217+



SEGUNDO BIMESTRE

Se resuelve el sistema de manera escalonada y de abajo hacia arriba


Desarrolle los ejercicios de su texto básico página 251 y 252, correspondientes a la sección Problemas 6.2.

3, 5, 11, 37

Desarrolle los ejercicios de su texto básico página 262, correspondientes a la sección Problemas 6.3

1, 20, 29.

Se ha concluido la cuarta unidad, que es la primera del segundo bimestre, ahora lo invito a responder la siguiente autoevaluación, está le permitirá conocer su nivel de conocimientos.



SEGUNDO BIMESTRE

Autoevaluación 4

Resuelva los siguientes ejercicios de matrices por el método de Gauss – Jordán.

Calcule el resultado final de la siguiente operación de matrices 2B-3A+2C

Con las matrices del problema anterior calcule A+2B- AT

Si ya resolvió la autoevaluación, verifique su respuesta en el solucionario que se encuentra al final de la guía didáctica.

“Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica… LA VOLUNTAD”

Albert Einstein

Ir a solucionario



SEGUNDO BIMESTRE

UNIDAD 5. FUNCIONES Y GRÁFICAS

Una función es una relación entre dos conjuntos tales que uno es de entrada y otro es de salida y donde se asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida.

5.1. Sistemas de coordenadas cartesianas y líneas rectas

Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números para determinar la posición de un punto. En el gráfico siguiente se tiene un sistema de 3 coordenadas

(x, y, z)= (1.5, 2,-0.5)

Figura 12. Ubicación de un punto en el plano cartesianoNota Fuente. Recuperado de: http://eltamiz.com/images/2011/May/habitacion-mosca-posicion.png. 08/05/2015

5.1.1. Pendiente de una recta

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección. La pendiente está definida como el cambio o diferencia en el eje dividido por el respectivo cambio en el eje , entre 2 puntos de la recta:

Dados los puntos x y1 1,( ) y x y2 2,( ) , la diferencia en es x x2 1−( ) , mientras que el cambio en y se

calcula como y y2 1−( ) , Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

m =−−

y yx x

2 1

2 1

http://eltamiz.com/images/2011/May/habitacion-mosca-posicion.png



SEGUNDO BIMESTRE

Al desarrollar los ejercicios, usted se encontrará con diferentes pendientes, en el gráfico que a continuación se presenta, se muestran dos rectas con pendientes diferentes:

Figura 13. Pendiente positiva y pendiente negativa


Cuando la recta es creciente, es decir cuando al aumentar los valores de x aumentan los de y su pendiente es positiva, en la expresión analítica m > 0 .

Cuando la recta es decreciente, es decir, cuando al aumentar los valores de x, disminuyen los de y, su pendiente es negativa, en la expresión analítica m < 0 .

Figura 14. Pendiente m=0 y sin pendiente




SEGUNDO BIMESTRE


Revise la figura 3.4 de la página 129 de su texto básico, notará que en ella se encuentra representada una recta precio–cantidad. ¿Qué puede decir usted al respecto? Analice los cambios que se encuentran presentados en los puntos de la recta, considerando la razón de cambio de y con respecto a x.

De la página 134 de su texto básico desarrolle los ejercicios 41, 43, 45 y 47, con el que usted podrá graficar las rectas y determinar si estas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.

5.1.2. Ecuaciones de rectas

La ecuación de una recta se encuentra dada por la forma

y mx b= +

Donde, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y b es el coeficiente de posición. La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Existen diferentes formas de ecuaciones para rectas, aquí algunos ejemplos:

Forma punto – pendiente y y x x− = −( )1 1

Forma pendiente – intersección y x b= +

Forma lineal general x y+ = 0

Recta vertical x a=Recta horizontal y b=

5.2. Funciones

Una función expresa la idea de que una cantidad depende de otra o de que está determinada por otra. Está compuesta por números de entrada (dominio) y números de salida (rango), considerando que a cada entrada siempre le corresponderá un único número de salida.



SEGUNDO BIMESTRE


Una vez revisado el texto, observe detenidamente las siguientes gráficas e indique si representan o no una función:

Figura 15. Ejemplos de diferentes tipos de funciones


Revise nuevamente su texto básico en la página 105, verifique las respuestas repasando una vez más los conceptos y los ejemplos en esta sección planteados.

5.2.1. Representación gráfica de puntos

Los cuadrantes:

En el siguiente gráfico se muestra la formación de los cuadrantes, cuando se cortan perpendicularmente el eje de las ordenadas y las abscisas.

Figura 16. Representación gráfica de los cuadrantes




SEGUNDO BIMESTRE

Los signos:

En el cuadro siguiente se muestra los signos que adquieren los cuadrantes de acuerdo al signo de cada coordenada.

Figura 17. Signos de los cuadrantes


El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O (0, 0).

En el gráfico siguiente se encuentra expresado el punto O que tiene de coordenadas el origen (0,0).

Figura 18. Representación gráfica del origen




SEGUNDO BIMESTRE


• Graficar los siguientes puntos: (−3,0); (0,−3); (3,0)

• Los puntos: (1,4); (3,4); (−1,−3); (−3,1); (5,−3) en que cuadrante se encuentran situados

Tablas de valores:

Una tabla de valores es una representación de datos, mediante pares ordenados, expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones.

La siguiente tabla muestra la variación del precio de los tomates, según el número de kilogramos que compremos.

Figura 19. Representación gráfica de una tabla de valores


La siguiente tabla nos indica el número de estudiantes que consiguen una determinada nota en una prueba.

Figura 20. Representación gráfica de una tabla de valores




SEGUNDO BIMESTRE


• El alquiler de un auto cuesta 10 $/día. Complete la tabla que relaciona el número de días de alquiler con el precio.

• Relacione la altura de Juan con su edad usando los siguientes datos:

a) Al año de edad medía medio metro.

b) A los dos años medía 13 cm más.

c) A los tres años medía 76 cm.

d) A los cuatro, 87 cm.

e) A los cinco le faltaban dos centímetros para llegar al metro de altura.

f ) A los seis, pasaba 5 cm del metro.

g) Y a los siete, medía 1m y 10 cm

• Complete la tabla que relaciona un número con su opuesto.

• Complete la tabla que relaciona el lado de un cuadrado con su perímetro.



SEGUNDO BIMESTRE

• Complete la tabla que relaciona el lado de un cuadrado con su área.

5.3. Dominio y rango de una función

La Función está compuesta por números de entrada (dominio) y números de salida (rango).

Figura 21. Ejemplos de diferentes tipos de funciones


5.3.1. Dominio de una función

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función.

Ejemplo 99:

Si

f xx( ) =

x Podrá tomar cualquier valor, es decir el dominio consistirá en todos los números reales.

Ejemplo 100:

Por otro lado, si el ejercicio es de la forma:

f xx( ) =

En este caso, el dominio de la función corresponderá a aquellos valores que den como resultado de la función a un número real. Es así que, si por ejemplo, se asigna un valor negativo, se estará intentando resolver una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; por lo tanto para encontrar el dominio de funciones con radicales se debe tomar en cuenta que:

x ≥ 0



SEGUNDO BIMESTRE

Por lo tanto, el dominio de la función consistirá en todos los números reales, mayores o iguales que cero.

Ejemplo 101:

El tercer caso a analizar corresponde a las funciones fraccionarias, para lo cual bastará con tener presente que una fracción jamás deberá tener por denominador al cero, ya que de ser así la expresión sería indeterminada.

f xxx( ) =+−

9 92 7

Al igualar el denominador a cero, se tiene:

2 7 0x − =

2 7x =

x = − 72

Por lo tanto, el dominio de la función consistirá en todos los números reales excepto el

5.3.2. Rango de una función

El rango de una función se encuentra determinado por todos los valores de salida. Corresponden a la variable dependiente.

Ejemplo 102:

f xx( ) =2

Como x , se encuentra elevado al cuadrado, independiente del valor que se le asigne sea este positivo o negativo, los valores de salida o resultados de la función siempre serán positivos; por lo tanto, el rango de esta función estará conformado por el cero y todos los números positivos.

5.4. Álgebra de funciones

A continuación encontrará las reglas básicas para realizar operaciones entre funciones:

Figura 22. Reglas básica para operar con funciones




SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 103:

Considere las funciones f y g siguientes:

f xx( ) = −2 52

g xx( ) = +3 4

La suma, diferencia, producto y cociente de estas funciones serían:

Suma

x x2 5 3 42= − + +

x x2 3 12= + −

Diferencia f g f gx x x( )− = −( ) ( )

= x x2 5 3 42 − − −

x x2 3 92= − −

Producto

= x x2 5 3 42( )( )− +

x x x6 8 15 203 2= + − −

Cociente fg

f

gxx

2 53 4

x

x

x

2

= =−+

( )

( )



SEGUNDO BIMESTRE

Figura 23. Representación gráfica de las operaciones con funcionesNota Fuente. Adaptado de Celli. K, (2013), Guía Didáctica Matemáticas, (p.67), Loja: UTPL

5.5. Composición de funciones

Las funciones pueden ser combinadas para formar nuevas funciones.

Los valores de deberán estar en el dominio de para , y que los valores de deberán

estar en el dominio de para .

Ejemplo 104:

Considerando las funciones y del ejemplo anterior



SEGUNDO BIMESTRE

Figura 24. Representación gráfica de una función compuesta


Figura 25. Representación gráfica de una función compuesta




SEGUNDO BIMESTRE

Así como los números pueden ser combinados de diferentes maneras, las funciones también pueden ser combinadas para formar nuevas funciones.

5.6. Simetrías

Quizá intentó revisar este tema en su texto básico en el que, lastimosamente, no ha sido incluido, sin embargo, por su importancia se ha incorporado en esta sección, así como también al tema de Traslaciones.

En el gráfico siguiente encontrará ejemplos de simetrías

Figura 26. SimetríasNota Fuente. Adaptado de Celli. K, (2013), Guía Didáctica Matemáticas, (p.69), Loja: UTPL

La función es simétrica respecto al eje de ordenadas si esta es una función par, es decir

f x f x( ) ( )− = −

Ejemplo 105:

f x x x f x3 44 2( ) ( )= − + =

Figura 27. Simetrías 1




SEGUNDO BIMESTRE

En cambio, una función es simétrica respecto al origen si esta es una función impar, es decir:

f x f x( ) ( )− =

Figura 28. Simetrías 1


5.7. Traslaciones

Dada una función cuando se habla de traslaciones, se estudia la forma como varía la gráfica de

la función al sustituir x por x-a y a es un número entero.

Ejemplo 106:

Si se parte de la función:

Figura 29. Traslaciones. Ejemplo de una función inicial




SEGUNDO BIMESTRE

Efectos de trabajar con traslaciones

y x= +( )2 2

y x= −( )2 2

Figura 30. Traslaciones. Efecto de aplicar la traslación


5.7.1. Traslaciones verticales

Dada una función , en el caso de traslaciones verticales, en cambio aquí se estudia también

cómo varía la función pero sumando una constante a la función.

Ejemplo 107:

Utilizando la función anterior:

Figura 31. Función inicial


Figura 32. Traslación vertical




SEGUNDO BIMESTRE

5.8. Funciones lineales

El uso de funciones lineales dentro de las carreras del área administrativa, así como la aplicación de otro tipo de funciones como cuadráticas e inclusive sistemas de ecuaciones, permiten determinar, entre otras cosas: los niveles de producción de una compañía, por ejemplo, las curvas de oferta y demanda y con ellas el punto de equilibrio, además de las curvas podemos determinar las ecuaciones de oferta y demanda, el Ingreso máximo, efecto de impuestos, etc.

f x mx b( ) = +

Donde y son constantes

5.9. Aplicaciones

El estudio de las funciones lineales, permiten analizar problemas sobre Demanda de Mercado:

Ejemplo 108:

La demanda del detergente de marca A, a diferentes precios y por un determinado consumidor, bajo la condición “cetaris paribus”. A partir de la recolección de datos reales de la demanda individual de un comprador, se confecciona la tabla de demanda. Se observa que la relación empírica entre el precio del bien y la cantidad demandada es inversa, a medida que aumenta el precio del bien disminuye la cantidad de artículos que los compradores están dispuestos a adquirir.



SEGUNDO BIMESTRE

Figura 33. Aplicación de funciones lineales


Con los datos obtenidos se confecciona el gráfico de la curva decreciente de la demanda.

Figura 34. Representación gráfica de la demanda


Cada punto del plano de coordenadas , muestra un precio y una cantidad que será demandada;

al unirlos se obtiene la curva de la demanda del detergente A en un determinado período de tiempo para cada uno de los posibles precios.

Cantidad demanda = f (precio por unidad)

La demanda es una función decreciente que se representa gráficamente en el primer cuadrante



SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 109:

Dos puntos p q,( ) sobre la función de la demanda son 1 40000,( ) y 3 25000,( ) . Determine la función de

demanda q f p= ( ) , a que precio se dará una demanda de 20000 unidades. Calcule la pendiente de la

función y finalmente grafiquela.

Primero debemos calcular la pendiente por medio de la fórmula de los dos puntos, obteniéndose:

m =−−

40000 250001 3

m =−

150002

m = −7500

Sustituimos el valor de m = −7500 para determinar la función de demanda, se obtiene:

40000 7500 1= −( )( ) + b

b = +40000 7500

b = 47500

q f p p= ( ) = − +7500 47500

Ahora se sustituye q = 20000 unidades a un precio de 3.67 dólares.

Para realizar, finalmente, la gráfica de esta función es importante recordar que el valor de la pendiente resulto: -7500, lo que implica, que por cada dólar que aumente el precio de la unidad, la demanda disminuirá en 7500 unidades.

Figura 35. Gráfica de la función de la demanda, pendiente negativa




SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 110:

Suponga dos puntos sobre la función lineal de oferta (2300) y (3350). Con estos datos determine

la función oferta , el precio al cual el producto ofrecerá 500 unidades. Trace la función e

interprete su pendiente.

Para el cálculo de la pendiente utilice nuevamente la fórmula de los dos puntos:

m =−−

300 3502 3

m =−−501

m = 50

Use el valor de la pendiente y de los puntos para obtener la función de oferta:

300 50 2= ( )( ) + b

b = −300 100

b = 200

q f p p= ( ) = +50 200

Se sustituye q = 500 , para obtener el precio correspondiente a este valor:

500 50 200= +p

p =−500 20050

=30050

= 6

Con este resultado se concluye que el productor está dispuesto a ofrecer a la venta 300 unidades, si el precio de la unidad que se ofrece en el mercado es de 6 dólares.

Además se considera que la pendiente es de valor 50 y se traza la curva, observe la relación directa entre el precio y la cantidad, es decir, a medida que aumenta el precio, el productor estará dispuesto a ofrecer más de su producto.



SEGUNDO BIMESTRE

Figura 36. Relación directa del precio y la cantidad


Figura 37. Función de costos



Desarrolle los siguientes problemas; con ellos usted aplicará el concepto de funciones lineales, gráficas y su aplicación al concepto de Equilibrio de mercado:

• Problema 1: Se ha determinado que para cierto artículo la demanda semanal, se relaciona

con el precio en dólares de acuerdo a la siguiente función: , dónde:

. La oferta semanal también es función lineal del precio , y está expresada por:

¿Cuál es el precio en el que la oferta es igual a la demanda? Trace las

gráficas en el mismo plano.



SEGUNDO BIMESTRE

• Problema 2: Para cierto juguete la demanda semanal, , se relaciona con el precio en

dólares mediante la ecuación: , donde La oferta semanal

también es función lineal del precio y está expresada por ¿Cuál es el

precio en el que la oferta es igual a la demanda? Trace las gráficas en el mismo plano.

5.10. Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es aquella que puede ser escrita como:

Donde a, b y c son números reales cualesquiera diferentes de cero.

Si se representan “todos” los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, se obtiene una curva llamada parábola.

Ejemplo 111:

Suponga que la función de demanda de un producto particular es:

Donde , se expresa en unidades y en pesos. Determine la función cuadrática del ingreso total, donde

es una función de o sea ¿A qué precio se maximizará el ingreso total?, ¿Cuántas unidades

serán demandadas a ese precio? y, finalmente, grafique la función de ingreso.

Para iniciar la solución a este ejercicio, tenga en cuenta que el ingreso total, es resultado del producto entre el precio y la cantidad vendida, es decir:

Dado que el ejercicio plantea que debe estar en función de , tenemos:



SEGUNDO BIMESTRE

Se factoriza

Así, las intersecciones del eje x con la parábola son 0 y 30:

Figura 38. Función de ingreso


Ejemplo 112:

Suponga que la función de oferta para bolígrafos está dada por:

p s q q q= ( ) = + +0 01 0 1 32. . ;

Donde es el precio unitario al mayoreo, dado en dólares; representa la cantidad que el proveedor

pondrá en el mercado, es decir las unidades que estará dispuesto a vender a un precio determinado. ¿Cuál será el precio mínimo para el cuál el proveedor colocará los bolígrafos en el mercado?

Para resolver este ejercicio se graficará la función y se interpretará lo que se observa en ella.



SEGUNDO BIMESTRE

Figura 39. Función de precio


La intersección en el eje que representa el precio, se da en un valor de 3 dólares, a partir de este valor el productor ofertará sus productos en el mercado.

5.11. Funciones polinomiales

Si una función f está definida por:

Donde , Son números reales es un entero negativo, entonces, f se llama

una función polinomial de grado .

Ejemplo 113:

A continuación algunos ejemplos de funciones polinomiales:

; es una función polinomial de grado 5.

Una función lineal es una función polinomial de grado 1.

Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2.

Una función cúbica, es una función polinomial de grado 3.

5.12. Funciones racionales

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales se llama función racional, así:

Q xf xg x

( ) = ( )( )



SEGUNDO BIMESTRE

En este tipo de funciones, la variable x no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de g.

Ejemplo 114:

f x xx

( ) = −+

2 31

El dominio está formado por todos los números reales excepto el (-1); además se puede identificar las intercepciones de esta función, con respecto al eje y, es (-3) esto es:

f 0 3( ) = − ; . Mientras que con el eje x es ; cuando: .

5.13. Otras funciones especiales y sus gráficas

5.13.1. Funciones constantes

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y se la puede representar como una función matemática de la forma:

f x a( ) =

Ejemplo 115:

Cualquiera que fuese el valor que se asigne a , el valor de la función seguirá siendo el mismo. Suponga entonces que , entonces:

Como puede observar el valor de la función es constante.



SEGUNDO BIMESTRE

5.14. Funciones definidas por partes

Algunas funciones, de acuerdo a su estructura, difieren del criterio para los valores de la variable independiente (variable “ ”), esto hace que en muchos casos se necesite hacer un estudio particular de las mismas.

Ejemplo 116:

De acuerdo con los criterios planteados en la función, revise los siguientes ejercicios:

Cuando x = −100 , de acuerdo al criterio planteado en la función

Se dirá que

Suponiendo que

Enctonces de acuerdo con el criterio de la función, la imagen de 4 no está definida.

si

Cuando de acuerdo con el criterio de la función se tiene que si luego

de esta manera

Continuando con el análisis y de acuerdo con el criterio de la función se tiene que f x x( ) = 2 si x > 7 ,

entonces:

f 72 7

3( ) = ( )

=143



SEGUNDO BIMESTRE

5.15. Funciones con valor absoluto

La función valor absoluto f x x( ) = , asocia a cada número su valor absoluto, es decir, su valor sin tener en cuenta el signo.

De acuerdo con la definición, puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio está representado por los números reales. Las imágenes de , corresponden a los no negativos, por lo que el rango está determinado por todos reales no negativos.

Ejemplo 117:

f x x( ) = −3

x − =3 0

x = 3

5.16. Funciones inversas

Si es una función uno a uno, considerada como el conjunto de pares ordenados x y,( ) , entonces existe

una función denominada inversa de , donde es el conjunto de pares ordenados y x,( ) definido

mediante:

Si y solo si

¡¡¡Muy bien!!! Se ha concluido la quinta unidad, ahora lo invito a responder la siguiente autoevaluación, está le permitirá conocer su nivel de conocimientos.



SEGUNDO BIMESTRE

Autoevaluación 5

Elija la opción correcta:

• En el dibujo siguiente se señala el:

a) Eje de abscisas

b) Eje de ordenadas

c) Eje vertical

• En el dibujo siguiente se señala e:

a) El eje de ordenadas.

b) El eje vertical.

c) Las dos respuestas anteriores son correctas.

• La primera coordenada de un punto

a) Siempre se encuentra en el eje X.

b) Siempre se encuentra en el eje Y.

c) Ninguna de las dos respuestas anteriores son correctas.



SEGUNDO BIMESTRE

• La segunda coordenada de un punto...

a) Se llama abscisa del punto.

b) Se llama ordenada del punto.

c) Ninguna de las dos respuestas anteriores es correcta.

• El origen de coordenadas es el punto...

a) (0,0)

b) Donde se cortan los dos ejes de coordenadas.


• Los ejes cartesianos o ejes de coordenadas

a) Siempre son perpendiculares.

b) Siempre son secantes y pueden ser o no perpendiculares.


• El punto A se encuentra situado en

a) El eje X.

b) El eje Y.

c) El origen de coordenadas.

• El punto B se encuentra situado en



SEGUNDO BIMESTRE

a) El eje de abscisas.

b) El eje de ordenadas.

c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

• El punto C se encuentra situado en

a) El eje de abscisas.

b) El eje de ordenadas.

c) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

• El punto P de la figura puede tener coordenadas

a) P(x,1)

b) P(1,x)

c) P(1,1)

• Determina el dominio y rango de las siguientes funciones:

a) f x x( ) = +2 1

b) f x x( ) = −2 3

4

c) f x x( ) = +−

32x



SEGUNDO BIMESTRE

d) f x x( ) = 2

e) f x x( ) = +−

2 31x

f ) f x( ) = 1x

g) f x x( ) = −

+2 12 1x

h) f x x( ) = −13

“Sé que estas luchando contra viento y marea para ser alguien en la vida, sigue adelante, concéntrate en los estudios que juntos compartiremos tu éxito.”

Anónimo

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SEGUNDO BIMESTRE

UNIDAD 6. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

6.1. Función exponencial

Existe una función que desempeña un papel importante no solo en matemáticas, sino también en el campo de las finanzas, economía y otras áreas de estudio y consiste en una constante que se encuentra elevada a una potencia que es una variable, así se tiene la siguiente |definición:

Definición.- La función definida por , donde se llama función exponencial de base .

Por ejemplo, las siguientes son funciones exponenciales

Ejemplo 118:

La gráfica de la función exponencial tiene las siguientes formas, las cuales dependen del valor que tome la constante , por ejemplo:

Si Si

Figura 40. Gráficas de la función exponencial




SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 119:

Gráfica de la función

A partir de la función

Se obtiene la función

La función tiene la forma donde

A continuación se muestra la gráfica de las dos funciones:

Figura 41. Gráficas de la función exponencial


Ejemplo 120:

La población en una ciudad ecuatoriana se encuentra proyectada por la relación

Donde t es el número de años a partir de 2000. ¿Cuál es la población que se pronostica para el año 2020?

Calculamos el número de años transcurridos

Establecemos la población para



SEGUNDO BIMESTRE

Se concluye que la población al cabo de 20 años será de habitantes

6.1.1. Gráficas de funciones exponenciales

Ejemplo 121:

Graficar la función exponencial .

Dar valores a y calcular el resultado

Los valores encontrados ubicar en la tabla y gráficar

Figura 42. Tabla de valores para la función y x= 5


Figura 43. Función exponencial de y x= 5




SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 122:

Graficar la función exponencial

Dar valores a y calcular el resultado de la función

Ubicar estos valores en una tabla y graficar

Figura 44. Función exponencial de y x= ( )1 2/


Figura 45. Tabla de valores para la función y x= ( )1 2/


En general, las gráficas de las funciones exponenciales pueden tomar dos posibles formas que dependen del valor de la base



SEGUNDO BIMESTRE

Propiedades de la función exponencial

El dominio de una función exponencial consiste en todos los números reales.

El rango consiste de todos los números positivos.

La gráfica de f x a x( ) = tiene intersección y (0,1)

No hay intersección x

Si a >1 , la función exponencial es creciente, la gráfica asciende de izquierda a derecha.

Si 0 1< <a , la función exponencial es decrecientes, la gráfica desciende de izquierda a derecha

Si a >1 , la gráfica se acerca al eje x conforme x disminuye

Si 0 1< <a , , la gráfica se acerca al eje x conforme x aumenta

Figura 46. Propiedades de la función exponencial

Nota Fuente. Adaptado Haeussler, E.; Richard, P. y Richard, W. (2015). Matemáticas para administración y economía, (p. 143), México: Pearson Educación.

Las funciones exponenciales tienen mucha relación con el interés compuesto, en el cuál el interés que genera una cantidad de dinero llamada capital, se invierte nuevamente de modo que siga generando intereses. Es decir este nuevo interés genera un nuevo capital por lo tanto existe “interés sobre interés”. Esto se aplica mediante la fórmula siguiente,

S P r n= +( )1

Dónde:

S = Monto compuesto

P = Capital

r = interés

t = Número de años



SEGUNDO BIMESTRE

6.2. Problemas de aplicación

Después de haber revisado los contenidos referentes a Función exponencial, es importante que se busque su aplicabilidad en problemas de la cotidianidad y relacionados con su titulación así:

Ejemplo 123:

Suponga que se invierten $1000 dólares durante 10 años al 6% compuesto anualmente.

Encuentre al monto compuesto.

Se parte de la ecuación anterior para establecer los datos

S P r n= +( )1

P =1000

r = 0 06.

n =10

Reemplazando se tiene:

S = +( )1000 1 0 06 10.

S = ( )1000 1 06 10.

S = $ ,1790 85

Figura 45. Monto compuesto de acuerdo al tiempo


Del problema anterior encuentre el interés compuesto.

Utilizando el resultado del problema anterior se tiene:



SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 124:

Suponga que: $8000 durante 3 años a 6,25 % de interés compuesto diariamente (un año tiene 365 días). El monto acumulado S de un capital P que se tendría al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r estaría dada por:

Si

Interés compuesto


Grafique los ejercicios de la página 184 de su texto básico, sección Problemas 4.1.

6.3. Función Logarítmica

Las funciones exponenciales pasan la prueba de la recta horizontal, todas son funciones uno a uno. De esto se deduce que cada función exponencial tiene una inversa a esta función inversa se le conoce con el nombre de función logarítmica.

De manera que si la función exponencial de base a (donde 0 1< <a ó 1< b) entonces la

función inversa se llama la función logarítmica de base a y se denota:



SEGUNDO BIMESTRE

Ejemplo 125:

Grafica de la función exponencial y logarítmica de la función

Figura 46. Función Exponencial y Logarítmica de la función y x= 2


Figura 47. Valores de las funciones exponencial y logarítmica de la función y x= 2




SEGUNDO BIMESTRE

6.4. Conversión de forma exponencial a logarítmica.

Ejemplo 126:

Figura 47. Conversión de la forma exponencial a logarítmica


6.5. Conversión de forma logarítmica a exponencial.

Ejemplo 127:

Figura 48. Conversión de la forma logarítmica a exponencial


Ejemplo 128:

Se debe transformar la función a su forma exponencial equivalente



SEGUNDO BIMESTRE

Como segundo paso se realiza un cambio de variable

Se debe realizar una tabla de valores

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2y 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,0625

Figura 49. Valores para la función


Figura 50. Grafico para la función


Se grafica la función logarítmica

x 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,0625y -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2

Figura 51. Valores para la función logarítmica




SEGUNDO BIMESTRE

Figura 50. Grafico para la función


Ejemplo 129:

Una muestra de 10 miligramos de polonio radiactivo 210 (que se denota por 210Po) decae de acuerdo a la ecuación:

Donde N es el número de miligramos presentes después de t días. Determine la vida media del 210Po

La constante de decaimiento


Revise, resuelva y grafique los Problemas de la sección 4.2 de su texto básico, página 191.

6.6. Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos tienen varias propiedades a saber:

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de esos números.

El logaritmo de una división es la diferencia del logaritmos del numerados menos el logaritmos del denominador.



SEGUNDO BIMESTRE

El logaritmo de una potencia de un número es el exponente por el logaritmo del número.

Muchas veces es necesario recurrir al cambio de base, ya que los ejercicios suelen estar en bases diferentes, y para poder operar, es necesario trabajar en una misma base.

Figura 51. Propiedades de los logaritmos


Ejemplo 130:

log56=log(8.7)

=log8+log7

=log23+log7

=3log2+log7

=0.9031+0.8451

=1.7482

Ejemplo 131:

log(9/2)=log9-log2

=log32-log2

=2log3-log2

=1.8062

Ejemplo 132:

log log5 51 2= /

= ( )12

0 6990.

= 0 3495.



SEGUNDO BIMESTRE


Realice los ejercicios de la sección Problemas 4.3 de su texto básico, páginas 197 y 198.

6.7. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella que incluye en la expresión una incógnita.

Ecuación exponencial es aquella que tiene en el exponente una incógnita.

Logarítmica Exponencial

2 4 5ln x +( ) = 2 73x =

Ejemplo 133:

Se llevó a cabo un experimento con cierto tipo particular de animal de talla pequeña. En él se determinó el logaritmo de la cantidad de oxígeno consumido por hora para algunos de los animales, y se graficó contra los logaritmos de su peso. Se encontró que:

logy log logx= +5 934 0 885, .

Donde y fue el número de micro litros de oxígeno consumidos por hora y x el peso del animal (en gramos). Resuelva para y.

logy log logx= +5 934 0 885, .

5.934 0.885log log logx= +

Como es una función uno a uno



SEGUNDO BIMESTRE

¡¡¡Excelente!!! ha llegado al final del último capítulo, lo ha realizado muy bien este es el último del segundo bimestre, ahora lo invito a realizar la autoevaluación que se encuentra a continuación así usted podrá conocer el nivel de conocimientos que ha alcanzado.



SEGUNDO BIMESTRE

Autoevaluación 6

• Si exprese el logaritmo indicado en términos de a, b, y c.

log 625

• Sin usar la calculadora determine el valor de la expresión

log5

55 5( )

• Escriba la expresión en términos de

ln xx +1

• En los siguientes ejercicios exprese el resultado como un solo logaritmo.

log log6 4+

log x log x2 22 1( ) − +( )

Encuentre x de las expresiones siguientes

• e lnx3 8=

• 10 42logx =

• =e e e. x x2 5 14

• 7 92 3x+ =

Recuerde que puede verificar las respuestas al final donde encontrará el solucionario.

“No abandones las ganas de hacer de tu vida algo extraordinario hoy”

Anónimo.

Ir a solucionario



SOLUCIONARIO

7. Solucionario

PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 1

Pregunta Respuesta

1. V

2. V

3. V

4. V

5. V

6. F

7. V

8. F

9. V

10. V



SOLUCIONARIO

Autoevaluación 2

Pregunta Respuesta

1.

2.

3.

4.

5. Ó

6.

7. x =1200

y =1800

8. q =18125

Se deben vender 18125 unidades para generar una utilidad de $50000

9. q = 35000

Deben venderse 35000 unidades para generar una utilidad de $60 000

10. q >12000

Deben venderse al menos 12001 unidades para generar utilidades.



SOLUCIONARIO

Autoevaluación 3

Pregunta Respuesta

1.x=2

y=1

2. x=4

y=3

3.

x=2

y=-1

z=3

4.

x=-2

y=1

z=-1

5.

x=-3

y=-5

z=0

6.x=11

y=5

7.x=12/11

y=3/11

8.x=800/3

y=1600/3

9.x=5

y=15



SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE

Autoevaluación 4

Pregunta Respuesta

1.

x=3/4

y=-1/8

z=-1/8

2.

x=-1

y=2

z=0

3.

a=31

b=37

c=-34

4.

x=0

y=2

z=-5

5.

6.

7.

8.



SOLUCIONARIO

Autoevaluación 5

Pregunta Respuesta

1. a

2. b

3. a

4. b

5. (0,0)

6. a

7. a

8. b

9. c

10. a

11. y x= +2 1 x y= −12

12

f yx−( ) = −1 1

212

12.

f xx( ) =

−2 34

y x=

−2 34

x y=

+4 32

f x y− ( ) = +1 4 32

13.

f xxx( ) =+−

32

y xx

=+−

32

x yy

=+−

2 31

f x xx

− ( ) = +−

1 2 31



SOLUCIONARIO

Autoevaluación 5

Pregunta Respuesta

14.

f xx( ) =2

y x= 2 = ±x y

15.

f x xx

( ) = +−

2 31

y xx

=+−

2 31

x yy

=+−

32

f yyx

−( ) =

+−

1 32

16.

fxx( ) =1

yx

=1 x

y=

1

fyx

−( ) =

1 1

17.

f xxx( ) =−+

2 12 1

y xx

=−+

2 12 1

x yy

=− −

−1

2 2

f yyx

−( ) =

− −−

1 12 2

18.

f xx( ) = −13

y x= −13 x y= +3 1

f yx−( ) = +1 3 1



SOLUCIONARIO

Autoevaluación 6

Pregunta Respuesta

1.

2.

3.

4.

5.

EAP\gg\28-07-2015\156 pág.

PDF INTERACTIVO/kvv-24-08-2015

Modalidad Abierta y a Distancia


Área Administrativa

Economía

Pantone 569

Documents

Matemáticas Guía didáctica 4 créditos Titulaciones Ciclos