Embed Size (px)
Citation preview
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.1
Chương 1Không gian Affine
Bài giảng ĐỒ HỌA MÁY TÍNH học kỳ I - 2014
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.2
Mục lục
1 Không gian vectorKhông gian vectorTích vô hướng
2 Không gian Euclide
3 Không gian Affine
4 Ánh xạ tuyến tính
5 Ánh xạ Affine
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.3
Không gian vector
Định nghĩa
Một không gian vector trên trường số thực R là một tậphợp khác rỗng V cùng một phép toán cộng, ký hiệu làu + v , và một phép nhân vô hướng, ký hiệu là αu(u, v ∈ V , α ∈ R), thỏa mãn các tiên đề sau:
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.4
Không gian vector
1 u + v ∈ V2 u + v = v + u3 (u + v) + w = u + (v + w)
4 Có một phần tử không θ trong V thỏa mãn:u + θ = u
5 Với mọi u ∈ V , tồn tại một phần tử trong V, kýhiệu là −u, sao cho u + (−u) = θ
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.5
Không gian vector
6 αu ∈ V với mọi α ∈ R,u ∈ V7 α(u + v) = αu + αv8 (α + β)u = αu + βu9 α(βu) = (αβ)u
10 1.u = u
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.6
Không gian vector
Ví dụ: R2
R2 là một không gian vector trên R.
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.7
Không gian vector
Ví dụ: Rn
Rn là một không gian vector trên R.
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.8
Tích vô hướng
Định nghĩa
V là một KGVT. Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ< ., . >: V × V → R thoả mãn các tiên đề:
1 Có tính đối xứng2 Có tính tuyến tính3 Xác định dương
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.9
Tích vô hướng
Tính đối xứng
< u, v >=< v ,u > ∀u, v ∈ V
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.10
Tích vô hướng
Tính tuyến tính (theo thành phần thứ nhất)
• < u + v ,w >=< u,w > + < v ,w >
• < ku, v >= k < u, v >
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.11
Tích vô hướng
Xác định dương
< u,u >≥ 0
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi u = θ
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.12
Ví dụ
Tích vô hướng thông thường trên Rn:x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).
< x , y >= x1y1 + . . .+ xnyn
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.13
Không gian Euclide
Định nghĩa
Là KGVT hữu hạn chiều trên đó có xác định một tíchvô hướng.
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.14
Không gian Euclide
1 Rn với tích vô hướng thông thường2 Pn[x ] với tích vô hướng xác định bởi< p(x),q(x) >=
∫ 10 p(x)q(x)dx
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.15
Độ dài (chuẩn) của vector
Định nghĩa
‖u‖ =√< u,u >
Vector đơn vị
‖u‖ = 1
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.16
Ví dụ
1 Trên R2 :
‖u‖ =√< u,u > =
√u2
1 + u22
2 Trên Rn :
‖u‖ =√
u21 + u2
2 + . . .+ u2n
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.17
Khoảng cách, góc giữa hai vector
Khoảng cách
d(u, v) = ‖u − v‖
Góc
cosα =< u, v >
‖u‖.‖v‖u, v 6= θ
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.18
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Cho E là một R-KGVT có tích vô hướng <,>. Khi đó,với mọi x , y ∈ E ta có:
| < x , y > | ≤ ‖x‖.‖y‖
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.19
Không gian Affine
Definition
Không gian Affine trên trường K là một bộ ba(A,V , ϕ) trong đó:• V là một KGVT trên K.• A là tập hợp khác rỗng.• ϕlà một ánh xạ A× A→ V thỏa mãn:
1 ∀M ∈ A, v ∈ V ,∃!N ∈ A : ϕ(M,N) = v2 ∀M,N,P ∈ A : ϕ(M,N) + ϕ(N,P) = ϕ(M,P)
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.20
Ví dụ
V là một KGVT trên trường số thực thì V cũng là mộtkhông gian Affine với ánh xạ
ϕ(u, v) = v + (−u)
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.21
Khoảng cách
Definition
Khoảng cách trên không gian Affine A là một ánh xạ
d : A× A→ K
thỏa mãn 3 tiên đề sau:1 Xác định dương2 Đối xứng
3 Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.22
Ánh xạ tuyến tính
Definition
V, W là hai không gian vector trên trường R. Ánh xạf : V →W được gọi là tuyến tính nếu:
1 f (u + v) = f (u) + f (v) ∀u, v ∈ V2 f (kv) = kf (v) ∀k ∈ K , v ∈ V
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.23
Ánh xạ tuyến tính
• V: không gian nguồn• W: không gian đích• Bảo toàn phép cộng và nhân vô hướng
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.24
Ma trận của axtt
DefinitionS = {v1, v2, . . . , vn} và U = {u1,u2, . . .um} lần lượt là cơ sở củakgvt V và W. f : V →W là axtt. Khi đó ta có thể biểu diễn:
f (v1) = a11u1 +a21u2 + . . . +am1umf (v2) = a12u1 +a22u2 + . . . +am2um
...f (vn) = a1nu1 +a2nu2 + . . . +amnum
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
am1 am2 . . . amn
được gọi là ma trận của f ứng với
hai cơ sở S và U.
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.25
Trị riêng và vector riêng của phép biến đổi tuyếntính
Definition
• Một số thực λ được gọi là một giá trị riêng của phépbiến đổi tuyến tính f : V → V nếu tồn tại một vectorv ∈ V , v 6= θ thỏa mãn f (v) = λv .
• Các vector v 6= θ thỏa mãn đẳng thức trên được gọilà vector riêng của f ứng với λ.
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.26
Ánh xạ Affine
Definition
Một ánh xạ f : A→ B trong đó(A× A,V ), (B × B,W ) là các không gian Affine đượcgọi là một ánh xạ Affine nếu tồn tại một ánh xạ tuyếntính g : V →W sao cho:
ϕ(f (p), f (q)) = g(ϕ(p,q)) ∀p,q ∈ A
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.27
Tính chất
• Ánh xạ ngược của một ánh xạ affine (nếu tồntại) cũng là ánh xạ Affine.
• Mọi không gian Affine n chiều đều đẳng cấu vớikhông gian Affine Rn (tồn tại một ánh xạ Affinelà song ánh giữa 2 không gian này).
Không gian Affine
Không gian vectorKhông gian vector
Tích vô hướng
Không gianEuclide
Không gian Affine
Ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ Affine
1.28
Ánh xạ Affine
Giả sử f : Rn → Rm là một ánh xạ Affine. Ánh xạtuyến tính tương ứng g được cho dưới dạng phươngtrình ma trận 1 g(v) = Mv . Ký hiệu f (θ) = b, thayp = θ, q = x ∈ Rn vào định nghĩa ta được
f (x) = Mx + b
1Vì lý do kỹ thuật, coi v là vector cột. Nếu không, cần thayvector trong các đẳng thức bởi vector tọa độ
