José Alberto Avelino da Silva Modelagem e avaliação da

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto Politécnico

José Alberto Avelino da Silva

Modelagem e avaliação da extensão da vida útil de plantas industriais

Nova Friburgo 2008



Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor, ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional do Instituto Politécnico, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.

Orientador: Prof. Roberto Aizik Tenenbaum, D.Sc. Co-orientador: Prof. Raad Yahya Qassim, Ph.D.

Nova Friburgo 2008

CATALOGAÇÃO NA FONTE UERJ/REDE SIRIUS/BIBLIOTECA CTC/E

S586 Silva, José Alberto Avelino da. Modelagem e avaliação da extensão da vida útil de plantas industriais / José Alberto Avelino da Silva.– 2008. 167 f.: il.

Orientador: Roberto Aizik Tenenbaum. Co-Orientador: Raad Yahya Qassim.

Tese (Doutorado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico.

1. Indústria – Localização de falhas (Engenharia) – Probabilidades – Teses. 2. Indústria - Projetos e plantas – Confiabilidade - Teses. 3. Indústria – Manutenção e reparos – Teses. 4. Markov, Processos de – Teses. 5. Processo estocástico – Teses. I. Tenenbaum, Roberto Aizik. II. Qassim, Raad Yahya. III. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto Politécnico. IV. Título.

CDU 65.011.7:519.217

Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta tese. _________________________________________ _______________________

Assinatura Data



Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor, ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional do Instituto Politécnico, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.

Aprovada em 30 de maio de 2008 Banca examinadora:

______________________________________ Roberto Aizik Tenenbaum,D.Sc. (Orientador)

Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto Politécnico

______________________________________ Raad Yahia Qassim, Ph.D.

Universidade Federal do Rio de Janeiro

______________________________________ Luiz Nelio Henderson Guedes de Oliveira, D.Sc.


______________________________________ Marco van Hombeeck, D.Sc.


______________________________________ Kátia Lucchesi Cavalca Dedini, Ph.D. Universidade Estadual de Campinas

______________________________________

Antônio Carlos Marques Alvim Universidade Federal do Rio de Janeiro

Nova Friburgo 2008

DEDICATÓRIA

Para meu avô, Alberto Avelino de Sá e Silva e meu pai, José Avelino da Silva Sobrinho.

Agradecimentos

Ao prof. Luiz Nelio Henderson Oliveira que confiou em mim e me propiciou a opor-

tunidade de cursar o doutorado. Ao prof. Nelio agradeco, tambem, a orientacao segura e

objetiva que recebi. Nao esquecendo a preciosa analise que fez no Exame de Qualificacao.

Ao prof. Luis Felipe Feres Pereira agradeco a orientacao e os ensinamentos que foram

essenciais para a elaboracao desta tese.

Ao prof. Helio Pedro Amaral Souto pela atencao que sempre me dispensou e encami-

nhamentos na vida academica que decisivamente me ajudaram.

Ao prof. Joao Miguel Tien a quem, em momento de abandono da pesquisa, me

convenceu a continuar. Muito obrigado.

Ao prof. Paulo Fernando Frutuoso de Melo que sugeriu o apaixonante tema central

desta tese: quanto tempo uma fabrica pode funcionar depois de esgotada a sua vida util?

Ao prof. Jose Antonio Silva Neto que primeiro compreendeu, e resolveu, o conflito

dicotomico em que eu vivia entre a Matematica e a Engenharia. Agradeco, tambem, a

orientacao que recebi.

Ao prof. Francisco J. C. P. Soeiro pelas oportunidades no magisterio, que sao o

principal objetivo deste curso de doutorado.

A profa. Katia Luchesi Dedini pelo apoio que me dispensou na garantia da orientacao

academica.

Ao prof. Gustavo Mendes Platt pelas valiosas observacoes por ocasiao do Exame de

Qualificacao.

Ao prof. Raad Qassim pelos meses de orientacao, comentarios, analises e interesse

demonstrado por mim e pela tese. Agradeco, tambem, as crıticas e sugestoes oferecidas

no Exame de Qualificacao.

Ao prof. Roberto Aizik Tenenbaum, orientador da tese, pelo grande esforco que fez

para aproveitar o maximo de uma trabalho que ja estava iniciado. Sou eternamente grato

pelo impulso que deu a tese e por possibilitar a sua conclusao.

A profa. Mila Rosendal Avelino, minha filha, que intuiu, com muita antecedencia, a

importancia da modelagem computacional na minha vida.

Ao eng. Jose Augusto Rosendal Avelino, meu filho, pelo estımulo que me transmitiu

em todas as ocasioes em que eu pensava em desistir.

A profa. Zeny Rosendahl, minha mulher, pelo amor que me dedicou durante o douto-

rado.

RESUMO SILVA, José Alberto Avelino da. Modelagem e avaliação da extensão da vida útil de plantas industriais. 2008. 167 f. Tese (Doutorado em Modelagem Computacional) – Instituto Politécnico, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Nova Friburgo, 2008. O envelhecimento de uma instalação industrial provoca o aumento do número de falhas.

A probabilidade de falhar é um indicador do momento em que deve ser feita uma parada

para manutenção. É desenvolvido um método estatístico, baseado na teoria não-

markoviana, para a determinação da variação da probabilidade de falhar em função do

tempo de operação, que resulta num sistema de equações diferenciais parciais de

natureza hiperbólica. São apresentadas as soluções por passo-fracionário e Lax-Wendroff

com termo fonte. Devido à natureza suave da solução, os dois métodos chegam ao

mesmo resultado com erro menor que 10−3. No caso estudado, conclui-se que o colapso

do sistema depende principalmente do estado inicial da cadeia de Markov, sendo que os

demais estados apresentam pouca influência na probabilidade de falha geral do sistema.

Palavras-Chave: Confiabilidade; Processos estocásticos; Probabilidade de falha; Teoria

markoviana; Teoria não-markoviana.

ABSTRACT

During the useful life of an industrial plant, the failure occurrence follows an exponential

distribution. However, the aging process in an industrial plant generates an increase

of the failure number. The failure probability is a rating for the maintenance stopping

process. In this paper, an statistical method for the assessment of the failure probability

as a function of the operational time, based on the non-Markovian theory, is presented.

Two maintenance conditions are addressed: In the first one, the old parts are utilized,

after the repair this condition being called as good as old; in the second one the old

parts are substituted by brand new ones this condition being called as good as new. A

non-Markovian system with variable source term is modeled by using hyperbolic partial

differential equations. The system of equations is solved using the Lax-Wendroff and

fractional-step numerical schemes. The two methods achieve to approximately the same

results, due to the smooth behavior of the solution. The main conclusion is that the

system collapse depends essentially on the initial state of the Markov chain.

Keywords: Reliability; Stochastic processes; Failure probability; Markovian theory; Non-

Markovian theory.

Lista de Figuras

1.1 Curva da banheira. Relaciona o numero de falhas por hora com a idade de um equipa-

mento. O aumento da idade acarreta aumento do numero de falhas por hora. . . . . . 18

1.2 Representacao esquematica para o estabelecimento de um modelo empırico validado por

inferencia estatıstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Tempos na confiabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Sistema de turbo-geracao escolhido para aplicacao da metodologia. . . . . . . . . . . 37

3.3 Diagrama esquematico de uma turbina a gas. O grafico a direita e o ciclo ideal de

Brayton que descreve, de modo simplificado, a operacao de uma turbina a gas. . . . . 37

3.4 Arranjo do gerador e dos perifericos que compoem a geracao de eletricidade. . . . . . . 38

3.5 Configuracao inicial. Cada turbina esta em serie com o seu gerador. . . . . . . . . . . 39

3.6 Reducao dos componentes em serie. Cada par turbina e gerador foi substituıdo por um

turbogerador equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7 Reducao dos componentes em paralelo. Os tres turbogeradores estavam em paralelo e

foram substituıdos por por um unico turbogerador equivalente. . . . . . . . . . . . . 39

3.8 Reducao do tipo k de n. Existem 3 turbogeradores equivalentes, mas 2 sao sufucientes

para atender a demanda. Trata-se de uma estrutura onde k = 2 e n = 3 . . . . . . . . 39

3.9 Probabilidades de falha dos estados sob reparo perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.10 Probabilidades de falha dos estados sob reparo mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.11 Probabilidades dos estados pelo metodo de Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.12 Diagrama de estados da cadeia de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1 Um unico componente sujeito a dois estados: operacional e falho. . . . . . . . . . . . 47

4.2 Interpretacao grafica da variavel complementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

10

4.3 Esquema da hipotese simplificadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Regiao de influencia das condicoes inicial e de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5 Funcao densidade de probabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6 Funcao de distribuicao cumulativa de probabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.7 Regioes da curva da banheira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.8 Escolha do sistema de equacoes conforme a idade da planta. . . . . . . . . . . . . . 70

4.9 Curva da banheira sob reparo mınimo e de renovacao. . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.10 Probabilidades de falha calculadas por tecnica de Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . 75

4.11 Diagrama de estados da cadeia de Markov, simplificado para representar apenas os

estados inicial e final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.12 Comparacao entre a funcao ROCOF, ν(s), e a taxa de falha, λ(t), onde t e a idade do

equipamento e s e a duracao da missao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.13 Matriz de probabilidades de transicao, T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.14 Diagrama de transicao de estados da cadeia de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1 Distribuicao de Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Turbina, duracoes da missao e do reparo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3 Gerador, duracoes da missao e do reparo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4 Os dados do problema de conversao de µ e σ para β e η da distribuicao de Weibull da

duracao da missao da turbina estao mal condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.5 Os dados do problema de conversao de µ e σ para β e η da distribuicao de Weibull da

duracao da missao do gerador estao mal condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.6 Correspondencia entre a regiao da curva da banheira e o parametro β de Weibull. . . . 97

5.7 Aspectos da distribuicao de Weibull para β < 1, β = 1 e β > 1, respectivamente. . . . . 97

5.8 Etapas da reconstituicao de valores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.9 Taxa de falha na regiao I - mortalidade infantil, para os casos 1 e 3. . . . . . . . . . . 100

5.10 Taxa de falha na regiao III - envelhecimento, para os casos 1 e 3. . . . . . . . . . . . 100

5.11 Taxa de falha da turbina nos modelos Weibull e Rayleigh. A linha curva e de Weibull

e a reta, de Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.12 Taxa de falha do gerador nos modelos Weibull e Rayleigh. A linha curva e de Weibull

e a reta, de Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.13 Reducao da missao quando a inclinacao da taxa de falha aumenta. . . . . . . . . . . 104

5.14 Os fatores que aparecem na legenda multiplicam o coeficiente angular da taxa de falha

de Rayleigh. O fator 1 e a taxa correspondente a taxa de Weibull. . . . . . . . . . . 105

5.15 Os fatores que aparecem na legenda multiplicam o coeficiente angular da taxa de falha

de Rayleigh. O fator 1 e a taxa correspondente a taxa de Weibull. . . . . . . . . . . 105

5.16 Taxa de falha do sistema nas regioes I e III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.17 Funcao densidade de probabilidades acumulada que da a probabilidade de colapso ope-

racional do sistema em funcao do tempo de operacao. . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.18 A densidade das classes das probabilidades de falha do conjunto turbogerador ficou com

aspecto de distribuicao exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.19 Particionamento da matriz de transicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.20 Matriz de probabilidades de transicao,T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.21 Autovalores em funcao do tempo de operacao da planta, em horas. . . . . . . . . . . 113

5.22 Autovalores em funcao do tempo de operacao da planta, em horas. . . . . . . . . . . 114

5.23 Vetor R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.24 Matriz Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.25 Matriz inversa da matriz fundamental da cadeia de Markov, N−1 . . . . . . . . . . . 115

5.26 Numero de passos ate o colapso operacional, partindo do estado 1. . . . . . . . . . . 116

5.27 Matriz dos coeficientes dos termos fonte, C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.1 Probabilidades de falha dos estados, sob reparo mınimo, avaliadas por solucao do sistema

de equacoes de Markov. A legenda das curvas e a mesma da Fig. 3.10. . . . . . . . . 122

6.2 Solucao do diagrama simplificado de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3 Tendencia da sensibilidade da duracao da missao em relacao ao ROCOF. . . . . . . . 124

6.4 Comparacao entre os metodos de sistema equivalente (aproximado) e markoviano (exato).125

6.5 Numero de intervencoes de manutencao, desde o estado 1, ate o colapso operacional,

estado 8, em funcao do tempo de operacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A.1 Extrato do banco de dados referente ao OREDA-2002. . . . . . . . . . . . . . . . . 135

B.1 Determinacao grafica dos parametros da distribuicao Weibull. . . . . . . . . . . . . 137

B.2 Determinacao grafica dos parametros da distribuicao lognormal. . . . . . . . . . . . 138

B.3 Determinacao grafica dos parametros da distribuicao Weibull. . . . . . . . . . . . . 139

B.4 Determinacao grafica dos parametros da distribuicao lognormal. . . . . . . . . . . . 140

C.1 Otimizacao da confiabilidade do sistema turbogerador pela minimizacao do custo total. 142

Lista de Tabelas

3.1 Estados possıveis para o sistema de geracao, no sistema de multi-estados. . . . . . . . 32

3.2 Estados possıveis para a turbina ou gerador, no sistema de multi-estados. . . . . . . . 32

3.3 Estados possıveis para o sistema turbo-gerador, no sistema de multi-estados. . . . . . 32

3.4 Estados possıveis para o sistema de geracao, no sistema de multi-estados. . . . . . . . 32

3.5 Estados em que o sistema esta em operacao, sem reserva. . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Conjunto das possibilidades das variaveis de estado dos equipamentos. . . . . . . . . 45

4.1 Resumo quanto a linearidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 Posto mediano de 7 classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Companhias que formam o grupo OREDA Participants. . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4 Taxa de falha e taxa de reparo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5 Duracao da missao e do reparo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1 O parametro β, da distribuicao de Weibull, possibilita adequacao a cada problema. . . 92

5.2 Parametros obtidos graficamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3 Distribuicao Weibull para duracao da missao da turbina. . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4 Distribuicao lognormal para duracao do reparo da turbina. . . . . . . . . . . . . . . 94

5.5 Distribuicao Weibull para duracao da missao do gerador. . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.6 Distribuicao lognormal para duracao do reparo do gerador. . . . . . . . . . . . . . . 94

5.7 Reconstituicao dos valores originais do OREDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.8 Parametros do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.1 Probabilidades de ocorrencia dos estados do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

D.1 Determinacao do custo de paralizacao de um turbogerador, em HH. . . . . . . . . . . 144

14

E.1 Mapa de grau de criticidade do risco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

SUMARIO

1 Introducao 17

2 Revisao bibliografica 25

3 Descricao do problema 28

3.1 Metodologia 28

3.2 Confiabilidade de sistemas coerentes 30

3.3 Descricao do sistema fısico 36

3.3.1 Variaveis de estado do sistema 43

3.3.2 Diagrama de estados da cadeia de Markov 44

4 Formulacao matematica do problema 47

4.1 Curvas caracterısticas 52

4.1.1 Metodo das caracterısticas 53

4.1.2 Equacao de adveccao com coeficientes constantes 54

4.1.3 Equacao de Markov em condicoes nao-markovianas 56

4.1.4 Analise Qualitativa da Caracterıstica 57

4.1.5 Analise Dimensional das Curvas Caracterısticas 58

4.2 Sistema de EDP de Markov 59

4.3 Analise do sistema de equacoes 64

4.3.1 Analise do sistema de equacoes quanto a linearidade 64

4.3.2 Analise do sistema de equacoes quanto a natureza 65

4.4 Parametros do modelo 66

4.4.1 Taxa de falha 66

4.4.2 Sistema de equacoes durante a vida util 69

4.4.3 Itens reparaveis e nao reparaveis 72

4.4.4 Simplificacao da cadeia de Markov 74

4.4.5 Taxa de ocorrencia de falhas - ROCOF 76

4.4.6 Taxa de reparo - ROCOF 78

4.4.7 Parada administrativa 79

4.5 Procedimentos para as estimativas 80

4.5.1 Intervalo de confianca para a taxa de falha 80

4.5.2 Estatıstica multi-amostral 81

4.5.3 Posto mediano 82

4.5.4 A distribuicao Binomial 83

4.5.5 Utilizacao do papel Weibull 83

4.6 Matriz de probabilidades de transicao 85

4.7 Dados experimentais 87

5 Solucao numerica 90

5.1 Analise do condicionamento dos parametros das distribuicoes 95

5.2 Analise das curvas de Weibull 96

5.3 Reconstituicao dos valores 98

5.4 Sensibilidade da taxa de falha em relacao ao ROCOF 103

5.5 Reducao de um sistema complexo a outro equivalente 106

5.6 Matriz fundamental da cadeia de Markov 110

5.7 Solucao numerica da matriz fundamental da cadeia de Markov 115

5.8 Solucao do sistema de equacoes diferenciais parciais de Markov 116

6 Resultados 121

7 Conclusoes 127

Referencias Bibliograficas 129

8 Apendices 133

A Extrato dos Dados originais do OREDA 134

B Determinacao grafica dos parametros das distribuicoes 136

B.1 Caso 1 - Turbina - Duracao da missao 137

B.2 Caso 2 - Turbina - Duracao do reparo 138

B.3 Caso 3 - Gerador - Duracao da missao 139

B.4 Caso 4 - Gerador - Duracao do reparo 140

C Custo de manutencao 141

D Custo de parada de turbogerador 143

E Inspecao baseada em risco 145

E.1 Analise da confiabilidade humana 146

F Metodo dos mınimos quadrados 149

G Codigos de computador 151

G.1 Programa para solucao do sistema de EDO 152

G.2 Simulacoes de Monte Carlo 155

G.2.1 Simulacao de Monte Carlo para o reparo mınimo 155

G.2.2 Simulacao de Monte Carlo para o reparo perfeito 158

G.3 Programa para regressao linear pelos mınimos quadrados 162

G.4 Solucao de distribuicao multivariaveis por uma equivalente 166

Capıtulo 1

Introducao

A extincao da vida util das instalacoes e equipamentos que iniciaram sua operacao na

decada de 1970 impoe uma necessidade de renovacao do parque industrial brasileiro.

Algumas instalacoes, entretanto, vao permanecer em operacao por mais tempo do

que o previsto e somente serao substituıdas alem do perıodo de vida util estimada ori-

ginalmente. Isto e, essas plantas vao operar em um regime de vida residual. Torna-se

imperioso, portanto, que se avalie a confiabilidade dessas plantas.

A simples observacao historica de plantas semelhantes indica que raramente os equipa-

mentos falham de maneira excessiva apos esgotado o limite de tempo de projeto (Lafraia,

2001 [25]). Essa observacao nao e suficiente para autorizar o uso continuado de uma

instalacao alem do tempo previsto. E necessario medir e avaliar o risco de colapso ope-

racional da planta. O risco deve ser avaliado subordinadamente aos seguintes objetivos,

tais como (Lafraia, 2001 [25]):

• atendimento a legislacao;

• nao aumentar os custos devido a paradas de producao;

• manter a qualidade do produto; e

• assegurar uma confiabilidade mınima previamente estabelecida.

A avaliacao da vida residual, utilizada como ferramenta, possibilita uma analise ge-

rencial para tomada de decisao se, e quando, uma instalacao deve ser descomissionada.

Permite, tambem, estabelecer a periodicidade tecnicamente recomendavel para a inspecao

e manutencao preventiva.

17

18

O estudo da sobrevivencia de plantas industriais se apoia em um conceito estatıstico,

a confiabilidade, definida como a probabilidade de que um processo opere com sucesso

por um perıodo e sob condicoes operacionais especificadas. Como consequencia desse

conceito, sao aspectos importantes da sobrevivencia a natureza probabilıstica e temporal,

caracterizada por processos estocasticos e pelas funcoes que definem o sucesso operacional

e a intensidade da participacao da interface homem-maquina no processo operacional e

de manutencao (Rausand e Hoyland, 2004 [37]).

Figura 1.1: Curva da banheira. Relacionao numero de falhas por hora com a idade deum equipamento. O aumento da idade acarretaaumento do numero de falhas por hora.

A Fig. 1.1, conhecida como curva da ba-

nheira, indica de forma grafica a dependencia

entre o numero de falhas e a idade de um equi-

pamento. Logo apos a instalacao, o equipa-

mento tende a apresentar um numero elevado de

falhas por hora. Depois da fase de instalacao,

essa quantidade de falhas por hora atinge um

valor mınimo e permanece nesse valor durante

a vida util. Na fase de envelhecimento, que e o objeto deste estudo, o numero de falhas

por hora aumenta indefinidamente, colocando a operacao sob risco de ser interrompida.

A teoria da probabilidade e a analise de distribuicoes estatısticas, aliadas ao estudo das

cadeias de Markov (Norris, 2005 [31]), constituem as bases para o estudo da sobrevivencia

e da confiabilidade dos processos de producao e manutencao dos equipamentos apos a

extincao da vida sua util.

A teoria das cadeias de Markov e devida a Andrei Markov (1856–1922) que publicou,

em 1906, uma teoria sobre processos estocasticos que ficou conhecida como cadeias de

Markov.

Sao tres os processos markovianos:

• markoviano propriamente dito;

• semi-markoviano; e

• nao-markoviano.

O modelo markoviano e caracterizado por duas restricoes. A primeira restricao esta-

belece que a variavel aleatoria t deve apresentar uma distribuicao exponencial e a segunda

19

que a matriz de probabilidades de transicao entre os estados funcionado e falho T deve

ser constante. Desta forma, para que o modelo que representa o estado de um equipa-

mento seja markoviano, a funcao densidade de probabilidades deve ser da forma descrita

na Eq. (1.1),

f(t) = λe−λt, (1.1)

onde a variavel aleatoria t representa o tempo de vida do equipamento e a constante λ,

denominada taxa de falha, representa o numero de vezes em que o equipamento apresentou

falha durante o tempo t.

A segunda restricao, a da matriz T ser constante, implica que a probabilidade do

equipamento transitar pela primeira vez, do estado funcionando para o de falha, deve ser

igual a probabilidade do equipamento falhar pelas segunda, terceira e, sucessivamente,

por todas as outras vezes.

Por exemplo, seja um liquidificador novo, de dez velocidades, onde cada velocidade

e selecionada por uma tecla independente. A probabilidade de cada uma das dez teclas

falhar e a mesma para qualquer tecla. Supondo que as teclas sejam solicitadas igualmente,

devido ao uso, e uma das teclas falhe. Apos o reparo, todas as teclas estao funcinando

novamente. Se as probabilidades de falha de todas as teclas permanecerem iguais, inclusive

aquela que ja falhou uma vez, entao, o problema pode ser considerado markoviano. A

experıencia das pessoas, entretanto, indica que aquela tecla que falhou anteriormente,

provavelmente vai tornar a falhar. O problema real, portanto, nao deve ser tratado como

markoviano.

O modelo semi-markoviano se caracteriza por possuir somente uma das duas restricoes

do modelo markoviano, onde a variavel aleatoria t permanece sujeita a uma distribuicao

exponencial, mas a matriz de probabilidades de transicao, T , passa a ser funcao do numero

de vezes que cada transicao ja ocorreu. O modelo semi-markoviano representa melhor o

problema descrito acima (Limnios and Oprisan, 2001 [27]).

O modelo nao-markoviano, tal como o semi-markoviano, e caracterizado por pos-

suir somente uma das restricoes do modelo markoviano. A matriz de probabilidades de

transicao, T , e constante, mas taxa de falha passa a ser funcao do tempo, λ(t), assim

sendo, a funcao densidade de probabilidades da variavel aleatoria t nao apresenta com-

20

portamento exponencial e a Eq. (1.1) nao se aplica no modelo nao-markoviano (Billinton

and Allan, 1992 [8]).

No exemplo do liquidificador, de acordo com a experiencia do cotidiano das pessoas, a

probabilidade de uma tecla falhar reiteradamente e muito pequena, alem disso, e possıvel

supor que o reparo seja muito bem feito, de modo que a consideracao de que a matriz

de probabilidades de transicao, T , seja constante e, aproximadamente, verdadeira. O

liquidificador ira funcionar, entao, durante toda a sua vida util sem apresentar falhas.

Ainda segundo a experiencia cotidiana, quando o liquidificador estiver no final de sua vida

util, o numero de falhas devera aumentar com o tempo de uso. Vale dizer que a funcao

taxa de falha λ(t) e crescente com o tempo. Dessa forma, o modelo nao-markoviano e

adequado para representar o equipamento na fase de envelhecimento, quando a taxa de

falha e funcao do tempo.

Figura 1.2: Representacao esquema-tica para o estabelecimento de um mo-delo empırico validado por inferenciaestatıstica.

Os modelos matematicos construıdos para repre-

sentar fenomenos reais tem origens em dois tipos de

abordagem: modelagem baseada na teoria analıtica e

modelagem empırica obtida atraves da observacao fe-

nomenologica. Alguns desses fenomenos podem apre-

sentar alto grau de variabilidade, por exemplo, o tempo

de duracao do reparo de um equipamento. A modela-

gem mais adequada para os casos de alta variabilidade

e a modelagem empırica que pode ser obtida pela utilizacao de inferencia estatıstica.

Algumas distribuicoes de probabilidade teoricas tem sido utilizadas na modelagem des-

ses fenomenos e a inferencia estatıstica pode ser utilizada, entao, para validar o modelo

empırico, conforme Fig. 1.2 (Murthy et al., 2004 [12]).

Com base na observacao experimental, a funcao densidade de probabilidades mais

adequada para levar em consideracao os efeitos aleatorios dos tempos de operacao do

equipamento e a distribuicao de Weibull. Os tempos de reparo, onde a participacao

humana e significativa, sao melhor modelados pela distribuicao lognormal (Crowder et

al., 2000 [16]).

A sobrevivencia apos o termino da vida util da unidade industrial depende de consi-

21

deracoes que nao foram feitas por ocasiao da primeira estimativa da vida util. Na fase

de projeto, geralmente e estabelecido que a taxa de falha seja constante e que o reparo

seja perfeito. A condicao de reparo perfeito ou reparo de renovacao e aquela onde, em

um sistema complexo, se algum componente falhar, o componente falho e todos demais

associados a ele sao substituıdos por componentes novos.

O estudo do aumento da vida util requer a adocao de premissas que considerem a taxa

de falha como funcao do tempo e o reparo na condicao de reparo mınimo, significando

que o equipamento retorna para um novo perıodo de operacao menor a cada reparo e que

os reparos tornam-se cada vez mais demorados a cada nova falha. Na condicao de reparo

mınimo, o componente falho e reparado e recolocado em operacao.

Uma instalacao com a vida util esgotada, mesmo sendo adequadamente mantida e

operada, tem partes obsoletas tanto nos equipamentos quanto na filosofia de projeto e

nao deve ser operada nas condicoes originais. Embora nao existam estatısticas sobre o

fator de carga aplicavel a cada caso, e concebıvel que, durante a avaliacao da vida residual,

sejam feitas consideracoes sobre a reducao do fator de carga da instalacao, no sentido de

reduzir algumas taxas de falha.

A manutencao de plantas de processo tem demonstrado ser um fator importante do

desempenho industrial. Nao apenas pelos impactos que pode causar ao meio ambiente,

nem pelos aspectos economicos enfatizados por prejuizos e lucros cessantes, mas, principal-

mente, pelas perdas das vidas das pessoas que podem ser atingidas por alguma fatalidade.

A avaliacao da extensao da vida util e o consequente aumento da confiabilidade da

planta em decorrencia dessa avaliacao pode minimizar os riscos de colapso operacional e

suas consequencias, tais como prejuizos, acidentes e perdas de vidas.

Alem dos aspectos de confiabilidade, no caso de uma plataforma marıtima de producao

de petroleo — que sera abordada especificamente neste trabalho —, o custo de construcao

de uma unidade para operar em local com mais de 1000 metros de profundidade fica, em

2006, entre 2,0 e 2,5 x 109 USD. Se este custo de construcao for amortizado de forma

exponencial, considerando a taxa de juros de 12 % ao ano, durante 30 anos estimados

para a vida util da plataforma, vai resultar num valor anual de cerca de 3 x 108 USD.

Cada ano, portanto, que o presente estudo de extensao da vida util conseguir incorporar

22

no tempo de vida da plataforma, vai representar uma postergacao daquele gasto por um

ano.

Este trabalho pretende estabelecer uma metodologia para avaliar a possibilidade de se

estender a vida util de uma planta industrial ate um prazo maximo que ofereca seguranca,

confiabilidade e rentabilidade. A probabilidade de ocorrencia de um colapso operacional

deve ser mınima. Colapso operacional fica definido como a condicao de impossibilidade de

operar uma planta de modo seguro, confiavel e rentavel. Quando uma planta industrial

e construıda, se estabelece um prazo de vida util para aquela unidade. Transcorrido este

prazo de vida util, a planta deveria ser desativada. Entretanto, a experiencia com unida-

des fabris que ja ultrapassaram a vida util mostra que estas unidades podem continuar

operando ainda por algum tempo a mais. Seria esta uma operacao na fase de envelheci-

mento da planta, isto e, apos a vida util. A operacao durante essa fase esta sujeita a uma

ocorrencia maior de falhas. A ocorrencia de falhas aumenta com o aumento do tempo

de operacao. Em algum momento, essa operacao na fase de envelhecimento se tornara

insuportavel. Este estudo visa quantificar, em termos probabilısticos, o grau de perda de

operacionalidade da unidade.

No Capıtulo 2, a revisao bibliografica ressalta a principal contribuicao deste estudo

como sendo a generalizacao do estudo da confiabilidade na fase de envelhecimento. Os

trabalhos anteriores focalizaram o envelhecimento de um unico equipamento em face dos

demais, que foram considerados ainda na fase de vida util.

No Capıtulo 3, esta apresentada uma descricao do problema em estudo e da metodo-

logia empregada. Introduz, tambem, o conceito de confiabilidade coerente. Esse conceito

e imprescindıvel para a generalizacao das conclusoes. O estudo compreende apenas duas

maquinas: uma turbina a gas e um gerador de eletricidade acoplados num sistema turbo-

gerador. Sendo a confiabilidade coerente, os resultados podem ser estendidos a toda a

planta.

No Capıtulo 4, e apresentada a formulacao matematica do problema. Apos a analise

para o caso de um componente e dois estados: funcionando e falho, e feita a generalizacao

para qualquer numero de componentes. Em seguida, faz-se a aplicacao da hipotese sim-

plificadora do ponto de vista matematico, mas que torna o problema mais realıstico.

23

Nesse capıtulo, e feita a apresentacao do sistema de equacoes de Markov e a analise desse

sistema.

A solucao numerica dos sistemas de equacoes diferenciais parciais na fase de envelhe-

cimento, nas condicoes de reparo mınimo e de renovacao, e a solucao aproximada pela

algebra linear estao descritas no Capıtulo 5. A solucao linear utiliza a matriz fundamental

da cadeia de Markov para determinar o numero de intervencoes de manutencao (passos)

ate o colapso. E uma solucao linear, que e exata na regiao de vida util, entretanto, na

regiao de envelhecimento deve ser tratada como solucao aproximada porque o problema e

de natureza nao-linear. A solucao do sistema de equacoes diferenciais parciais de Markov

e a solucao exata porque preserva a nao linearidade do problema. Essa nao linearidade

esta caracterizada pelas equacoes exponenciais das taxas de falha dos equipamentos em

funcao do tempo. A solucao numerica do sistema de equacoes reavalia as taxas de falha

a cada iteracao, assegurando, deste modo, a evolucao a taxa de falha com o envelheci-

mento da planta. Esse tipo de solucao e possıvel porque, desde o inıcio, o problema de

determinar a probabilidade de colapso da planta, como um todo, em funcao do tempo

foi focalizado segundo a teoria dos sistemas coerentes. O Teorema de Fechamento esta-

belece que se os componentes seguem a curva da banheira no envelhecimento, entao o

sistema tambem seguira a mesma curva. Assim, ao integrar o sistema com as taxas de

falha dos componentes e fica garantido que a planta estara no mesmo regime de enve-

lhecimento que os componentes. O banco de dados que forneceu as informacoes para a

determinacao das taxas de falha e de reparo somente possibilita o calculo para o caso

de equipamento totalmente operacional ou falho. A teoria de sistemas coerentes, por ser

binaria, reconhece esses estados operacional e falho e possibilita o calculo com os valores

obtidos experimentalmente.

No Capıtulo 6 sao apresentados os resultados, a probabilidade de ocorrencia de cada

estado de falha e a comparacao entre os metodos exato e aproximado. Esse Capıtulo

mostra, tambem, uma outra visao da solucao do problema, a proximidade do colapso

vista pelo numero de falhas que ainda deveriam ocorrer ate o colapso.

As conclusoes, apresentadas no Capıtulo 7, fazem uma comparacao entre o metodo

aproximado por algebra linear e a solucao exata obtida resolvendo-se as equacoes marko-

24

vianas. Se observa, tambem, que ocorre reducao de custos e melhoria no desempemho da

planta.

Capıtulo 2

Revisao bibliografica

D. R. Cox ja escrevia (Renewal Theory, 1962 [11]): “Em algumas aplicacoes pode ser util

considerar a falha dependente de uma propriedade fısica do componente, que nos vamos

chamar de desgaste.” Cox estabeleceu a taxa de falha como funcao da idade e do desgaste,

λ(s, t), onde λ e a taxa de falha, t e a idade e s e o desgaste, mas nao utilizou a teoria

markoviana. Neste trabalho, o desgaste e denominado como envelhecimento.

Roy Billinton (Power System Reliability Evaluation, 1970 [7]) estudou uma aplicacao

de confiabilidade em um sistema markoviano constituıdo por tres transformadores eletricos

agrupados em um banco. Este mesmo problema foi reestudado em 1977 num modelo nao-

markoviano. Chanan Singh e Roy Billinton (System Reliability Modelling and Evaluation,

1977 [43]) apresentaram uma aplicacao de confiabilidade em sistemas nao-markovianos.

O exemplo era especıfico: tres transformadores eletricos, agrupados em um banco de

transformadores, onde somente dois eram necessarios e o terceiro ficava de reserva. Eles

estudaram as diversas configuracoes de falha e substituicao concluindo que o problema

era do tipo nao-markoviano.

Harold Ascher e Harry Feingold (Repairable Systems Reliability, 1984 [4]) estabelece-

ram a diferenca teorica, do ponto de vista da confiabilidade, entre sistemas reparaveis e

nao-reparaveis.

R. Ramakumar (Engineering Reliability, 1993 [36]) discutiu a utilizacao de modelos

de Markov na confiabilidade.

E. E. Lewis (Reliability Engineering, 1994 [26]) apresentou e analisou as diversas

25

26

funcoes densidade de probabilidades. A regiao de envelhecimento recebe um tratamento

diferente do adotado neste trabalho. A variavel aleatoria, no envelhecimento, segue

uma distribuicao normal, independentemente da distribuicao escolhida para representar

a regiao de vida util.

M. O. Pinho (Sobre a Aplicacao de Sistemas de Equacoes Diferenciais Parciais e Or-

dinarias de Primeira Ordem a Confiabilidade de Sistemas de Seguranca Sob Envelheci-

mento, 2000 [34]) estudou o uso de variaveis complementares para o calculo da dispo-

nibilidade de um equipamento em regime de envelhecimento. O modelo escolhido foi

nao-markoviano na condicao de reparo de renovacao. O restante da planta permaneceu

na fase de vida util.

E. A. Oliveira (Uso de Variaveis Suplementares e Inversao de Transformadas de La-

place no Calculo de Confiabilidade de Sistemas Sujeitos a Envelhecimento e Sob Re-

paro Mınimo, 2001 [33]) desenvolveu um metodo onde a modelagem foi feita agregando

variaveis suplementares as equacoes nao-markovianas e a solucao foi obtida inicialmente

por transformadas de Laplace e, em seguida, por metodos numericos. O modelo conside-

rou somente a condicao de reparo mınimo e a restricao de que somente um equipamento

estaria envelhecendo. O restante da planta permaneceu na fase de vida util.

P. A. Cheriff (Avaliacao Estatıstica da Gestao da Manutencao e Acompanhamento

do Grau de Obsolescencia de Maquinas Marıtimas Militares, 2003 [10]) desenvolveu uma

sistematica estatıstica para avaliacao da manutencao. Aplicou num estudo de caso de

manutencao de submarinos.

A. L. Oliveira (Avaliacao do Uso do Metodo das Variaveis Suplementares para o

Calculo da Confiabilidade de Sistema Sob Envelhecimento, 2005 [32]) fez uma aplicacao

do metodo das variaveis complementares na confiabilidade do sistema auxilar de agua de

alimentacao da usina termo-nuclear Angra-I e comparou com os resultados obtidos no

caso de taxa de falha constante (metodo aproximado, que nao utiliza variaveis comple-

mentares).

O presente trabalho tem a espectativa de contribuir com a generalizacao do estudo

de confiabilidade na fase de envelhecimento, estendendo a abrangencia a todos os equipa-

mentos da planta industrial. O aumento do escopo e possıvel devido a utilizacao da teoria

27

dos sistemas coerentes. A analise e feita para as condicoes de reparo mınimo e reparo

de renovacao, definindo um envelope de solucoes onde as duas condicoes sao extremas.

No de reparo mınimo, e assumido que nenhum componente seja substituıdo, enquanto

que, na condicao de reparo de renovacao, todos os componentes sao substituıdos. Esses

dois extremos delimitam o envelope de solucoes. Na fase de envelhecimento, o sistema

de equacoes que modelam a confiabilidade e diferencial parcial. O modelo resulta nao-

markoviano. O metodo de solucao utiliza a inclusao de variaveis complementares para

tornar o problema markoviano. A solucao no reparo mınimo utiliza inicialmente o metodo

das curvas caracterısticas para reduzir o sistema de equacoes diferenciais de parcial para

ordinario e, em seguida, resolve o sistema por metodos numericos.

Capıtulo 3

Descricao do problema

Em uma plataforma marıtima de producao de petroleo existem inumeros sistemas. To-

mando apenas alguns exemplos, podem ser citados os sistemas:

• de elevacao do fluido produzido;

• de exportacao de petroleo;

• de compressao do gas;

• de separacao entre as fases oleosa e gasosa do petroleo;

• de desidratacao do gas;

• de combate a incendio etc.

O sistema de turbo-geracao de eletricidade foi escolhido como exemplo. Esse sistema e

importante tanto para a sustentacao da vida a bordo como tambem para o funcionamento

industrial da plataforma. Alem disso, diversos sistemas de seguranca dependem do correto

suprimento de eletricidade.

3.1 Metodologia

A partir da configuracao fısica do sistema constituıdo pelos equipamentos em estudo,

e estabelecida a cadeia de Markov que representa aquele sistema fısico. A solucao do

sistema de equacoes de Markov fornece os vetores de probabilidade dos estados de falha

em funcao do tempo. Dependendo do que se pretenda estudar, o sistema de equacoes

de Markov se modifica. As alternativas de estudo sao: durante a vida util, na fase de

envelhecimento sob reparo mınimo e na fase de envelhecimento sob reparo perfeito.

28

29

A partir do banco de dados Offshore Reliability Data (OREDA), determinam-se os

parametros da distribuicao Weibull, para a taxa de falha, e distribuicao lognormal, para

taxa de reparo (OREDA, 2002 [46], OREDA, 1997 [45]). O banco da dados OREDA e

administrado por uma empresa norueguesa e e patrocinado por um grupo de empresas,

do ramo de petroleo, que atuam em todas as partes do mundo. Esta caracterıstica confere

generalidade e representatividade ao banco de dados. O OREDA contem as taxas de falha

de todos os principais equipamentos utilizados em plataformas marıtimas de producao de

petroleo. No caso de turbo-geradores, as taxas de falha e reparo sao as medias de 84

turbinas, observadas em 23 plataformas, e 105 geradores, observados em 59 plataformas.

Essas distribuicoes fornecem os dados para determinacao da curva de taxas de falha

e de reparo em funcao da idade do equipamento na regiao de vida util e em funcao da

idade e da duracao da missao na regiao de envelhecimento. Por idade do equipamento

entende-se o tempo decorrido desde o inıcio da operacao ate o presente, incluindo o tempo

fora de operacao. Duracao da missao e o tempo desde o ultimo reinıcio de operacao ate o

presente, isto e, sem contar o tempo fora de operacao e sem contar, tambem, os tempos

de operacao anteriores a atual missao. Na Fig. 3.1 pode-se observar graficamente a idade

e a duracao da missao. A idade comeca no inıcio da operacao e segue sem interrupcoes.

A duracao da missao comeca no inıcio ou reinıcio da operacao e segue, no maximo, ate a

proxima falha.

Figura 3.1: Tempos na confiabilidade.

30

Com as taxas de falha e de reparo, obtidas em observacoes de campo, e com a cadeia

de Markov, e montada a matriz de probabilidades de transicao para a solucao aproximada

do problema markoviano.

Utilizando reiteradamente a equacao de Chapman-Kolmogorov (Kijima, 1997 [24]),

Pm+n = Pm · P n m,n ≥ 0 (3.1)

onde P e a matriz de probabilidades de transicao e m e n sao expoentes da matriz,

determina-se o numero de transicoes necessarias ate aparecerem os primeiros estados

absorventes. A utilizacao do aparecimento de estados absorventes como criterio de pa-

rada justifica-se pela propriedade dos estados absorventes apresentarem probabilidade de

ocorrencia igual a 1. Na matriz de probabilidades de transicao a soma dos elementos

de uma linha qualquer e igual a 1. Se um unico elemento dessa linha tem valor 1, os

demais elementos tem probabilidade 0. Significa que esses elementos nunca irao ocor-

rer e o elemento de probabilidade igual a 1 vai ocorrer sempre (Hsu, 1997 [21]). Neste

ponto, a matriz de probabilidades de transicao deve ser rearrumada para fornecer a matriz

fundamental da cadeia de Markov.

A matriz fundamental da cadeia de Markov permite calcular, por particionamento, o

tempo total de absorcao expresso em passos. Cada passo corresponde a uma intervencao

de manutencao. Assim, o tempo total de absorcao resulta ser uma medida do numero de

falhas que deverao ocorrer ate atingir o colapso operacional.

Para o calculo exato, as taxas de falha e de reparo sao utilizadas para montar o sistema

de equacoes diferenciais parcias de Markov.

A solucao desse sistema ao longo do tempo fornece a evolucao das probabilidades de

ocorrencia dos estados do sistema. A solucao assintotica devera ser comparada com a

solucao aproximada.

3.2 Confiabilidade de sistemas coerentes

A confiabilidade tem sido objeto de interesse da engenharia desde a decada de 1950-60.

Entretanto, somente apos 1960, a teoria da confiabilidade passou a ser tratada como um

assunto especıfico. Ao mesmo tempo, se desenvolveu a teoria dos sistemas coerentes, que

31

e utilizada nesse trabalho.

O desenvolvimento da confiabilidade esta ligado a compreensao das relacoes entre o

sistema e os seus componentes. De forma simplificada, pode-se agrupar essas relacoes em

tres tipos de sistemas de confiabilidade:

• coerentes;

• multi-estados;

• carga compartilhada; e

• nao-coerentes.

Num sistema de multi-estados, os componentes do sistema podem estar em diversos

estados e nao em apenas um de dois estados, funcionando ou falho. Suponha um com-

ponente que tenha M funcoes de igual importancia, tal como um conector que transmita

o comando para abrir ou fechar diversas valvulas e transmita, tambem, os sinais de co-

nhecimento de cada valvula aberta ou fechada. O conector e o sistema e cada conexao

um componente. O estado desse sistema e, usando a teoria de multi-estados, o conjunto

S = {A,B,C, . . . ,M}, onde S resume o estado do conector, S = A significa que todas

as conexoes falharam e S = M e o estado de conector perfeito. Os valores intermediarios

de S indicam que algumas das funcoes do conector estao em operacionais e outras em

falha. No multi-estados, o sistema passa gradativamente da condicao operacional para a

de falha. A teoria de multi-estados e uma generalizacao da teoria de sistemas coerentes.

No atual desenvolvimento dos algoritmos multi-estados para calculo da confiabilidade, o

esforco computacional e muito grande e tem limitado o uso desse tipo de sistema (Natvig

et al. [14]).

Apenas como exercıcio, vamos aplicar, simplificadamente, a teoria de multi-estados no

sistema de turbo-geracao mostrado na Fig. 3.2. Os cinco estados possıveis para o sistema

de geracao constam da Tab. 3.1.

A turbina ou o gerador podem estar em um de tres estados, conforme Tab. 3.2. Os

estados da turbina ou gerador estao numerados de modo a corresponder aos cinco estados

do sistema.

Na Tab. 3.2, foi feita a reducao dos equipamentos para o sistema equivalente. Cada

turbina e gerador acoplados entre si formam um conjunto turbo-gerador. Como os com-

ponentes estao em serie, prevalece o estado de menor operacionalidade para o conjunto.

32

Tabela 3.1: Estados possıveis para osistema de geracao, no sistema de multi-estados.

estado condicao0 em falha1 operando com 1/4 da carga2 operando com 1/2 carga3 operando com 3/4 da carga4 operando a plena carga

Tabela 3.2: Estados possıveis para aturbina ou gerador, no sistema de multi-estados.

estado condicao0 em falha2 operando em meia carga4 operando em plena carga

Tabela 3.3: Estados possıveis para o sistema turbo-gerador, no sistema de multi-estados.

turbina gerador TG condicao0 0 0 em falha0 2 0 em falha0 4 0 em falha2 0 0 em falha2 2 2 operando em meia carga2 4 2 operando em meia carga4 0 0 em falha4 2 2 operando em meia carga4 4 4 operando a plena carga

A partir dos estados dos turbo-geradores e feita a reducao para o sistema de geracao,

conforme a Tab. 3.4.

Tabela 3.4: Estados possıveis para o sistema de geracao, no sistema de multi-estados.

1 2 3 S carga0 0 0 0 0.000 0 2 1 0.250 0 4 2 0.500 2 0 1 0.250 2 2 2 0.500 2 4 3 0.750 4 0 2 0.500 4 2 3 0.750 4 4 4 1.00

1 2 3 S carga2 0 0 1 0.252 0 2 2 0.502 0 4 3 0.752 2 0 2 0.502 2 2 3 0.752 2 4 4 1.002 4 0 3 0.752 4 2 4 1.002 4 4 4 1.00

1 2 3 S carga4 0 0 2 0.504 0 2 3 0.754 0 4 4 1.004 2 0 3 0.754 2 2 4 1.004 2 4 4 1.004 4 0 4 1.004 4 2 4 1.004 4 4 4 1.00

O problema iniciou com tres estados, conforme Tab. 3.2 mas o sistema precisa de

cinco estados para ficar completamente definido. Esse aumento da complexidade e uma

caracterıstica do sistema de confiabilidade de multi-estados. Devido a isso, o esforco

computacional torna impeditivo para grandes sistemas.

O tipo sistema de carga compartilhada se caracteriza por distribuir a carga pelos com-

33

ponentes em condicoes de operacao, na medida em que alguns componentes apresentarem

falha. Esse sistema requer a utilizacao previa do sistema coerente ou do multi-estados.

Quando a escolha e pelo uso previo do coerente, o compartilhamento da carga tambem

e binario e a carga e distribuıda igualmente pelos componentes em condicoes de assumir

a parcela que lhes for destinada. No caso do uso de sistema de multi-estados, o com-

partilhamento e feito distribuindo-se a carga proporcionalmente as condicoes graduais de

operacao ou falha (Crowder et. al., 2000 [16]).

Supondo que o sistema de geracao da Fig. 3.2 seja coerente, vamos aplicar a teoria de

cargas compartilhadas como exemplo.

Seja T a probabilidade da turbina falhar e G a probabilidade do gerador falhar. A

probabilidade do conjunto turbo-gerador falhar, TG, e a soma das probabilidades:

a) da turbina falhar e o gerador nao falhar: P{T ∩ G};

b) do gerador falhar e a turbina nao falhar: P{T ∩ G};

c) de ambos falharem: P{T ∩ G}.

P{TG} = P{T ∩ G} + P{T ∩ G} + P{T ∩ G} (3.2)

Considerando que as falhas na turbina e no gerador sao independentes

P{TG} = P{T} · P{G} + P{T} · P{G} + P{T} · P{G} (3.3)

A probabilidade do sistema falhar, S, e a soma das probabilidades:

a) TG1 e TG2 falharem e TG3 nao falhar: P{TG1 ∩ TG2 ∩ ¯TG3};

b) TG1 e TG3 falharem e TG2 nao falhar: P{TG1 ∩ ¯TG2 ∩ TG3};

c) TG2 e TG3 falharem e TG1 nao falhar: P{ ¯TG1 ∩ TG2 ∩ TG3}.

Supondo que as falhas nos turbo-geradores sejam independentes e de mesmo valor

P{S} = 3(P{TG})2 · P{ ¯TG} (3.4)

Os valores da probabilidade de falha do conjunto turbo-gerador sao calculados pela

Eq. (3.2). Neste exemplo, foi suposto que as turbinas e geradores sejam iguais, o que sim-

plifica o calculo. Entretanto, se o numero de componentes for elevado, as formulas exatas

tornam-se impraticaveis, sendo necessario recorrer a calculos aproximados (Crowder et.

al., 2000 [16]).

Sistemas nao-coerentes tambem apresentam interesse, embora este trabalho somente

34

utilize os conceitos de sistemas coerentes. Sistemas nao-coerentes existem quando a falha

de um sub-sistema e concomitante com a operacao de outro sub-sistema. Essa situacao

ocorre quando ambos os sub-sistemas possuem algum componente em comum. Nesta

tese, todos os sistemas sao mutuamente exclusivos, portanto, nenhum componente e com-

partilhado. Na Fig. 3.2, os sub-sistemas de lubrificacao, resfriamento e instrumentacao

poderiam ser compartilhados pelos sistemas turbina e gerador, entretanto, para assegurar

a coerencia do sistema, consideramos que os sub-sistemas da turbina e do gerador sao

independentes.

O conceito fundamental de um sistema coerente e que os componentes individuais estao

em um de dois estados, funcionando ou falho, e que o estado do sistema e representado em

termos dos estados dos componentes individuais atraves do que e chamado de funcao de

estrutura. Os termos estrutura e sistema sao sinonimos, apenas para mencionar a funcao

utiliza-se estrutura e nos demais casos utiliza-se sistema (Barlow and Proschan, 1975 [6]).

As duas propriedades que caracterizam os sistemas coerentes sao:

• relevancia de todos os componentes;

• monotonicidade.

A ideia de que todos os componentes tenham igual relevancia para a confiabilidade

geral da planta significa que nao existe nenhum componente cuja confiabilidade nao afete

a confiabilidade do sistema. Todos os componentes sao importantes para a confiabilidade

do sistema. Um componente e irrelevante se nao importa para o sistema se ele esta ou

nao em condicoes operacionais.

φ(. . . , 0, . . .) = φ(. . . , 1, . . .) (3.5)

Monotonicidade e o conceito de que a confiabilidade do sistema nunca pode ser me-

lhorada se um de seus componentes se tornar menos confiavel.

Um sistema tem uma estrutura monotona se (Kovalenko et al., 1997 [15])

φ (0, . . . , 0) = 0;

φ (1, . . . , 1) = 1; e

φ(. . . , 0, . . .) ≤ φ (. . . , 1, . . .) .

(3.6)

Este trabalho focaliza a regiao de envelhecimento de plantas industriais. Nessa regiao,

35

a taxa de falha e crescente com o tempo, dando forma a curva da banheira. A teoria de

sistemas coerentes inclui um teorema, chamado Teorema de Fechamento, que relaciona o

envelhecimento dos componentes com o do sistema, e o teorema da taxa de falha media

crescente. E, tambem, conhecido por teorema IFRA, que e uma sigla que significa Increa-

sing Failure Rate Average. O teorema se refere a componentes independentes do ponto de

vista da falha, isto e, a falha de um e, estatisticamente, independente da falha dos outros

(Aven and Jensen, 1999 [5]).

Teorema 1 Se cada componente de um sistema tem uma taxa de falha media crescente,

entao o sistema tambem tera uma taxa de falha media crescente.

Existem exemplos de sistemas coerentes em serie e em paralelo e sistemas tipo k de n

(Barlow and Proschan, 1975 [6]) e (Gao et al., 2007 [17]).

Considere um sistema com n componentes. Seja xi o estado do componente i: xi

vale 1 se o componente estiver funcionando, e vale 0 se estiver falho. Seja φ o estado do

sistema, valendo 1 ou 0. O estado do sistema e determinado pelo estado dos componentes

individuais. Isto e,

φ = φ(x), (3.7)

onde x = (x1, . . . , xn) e o vetor dos estados dos componentes.

Um sistema em serie e aquele onde todos os componentes devem estar funcionando

para que o sistema funcione. A funcao φ vale 1 se e so se todos os estados xi valerem 1,

portanto,

φ(x) =n

∏

i=1

xi, (3.8)

onde n e o numero de componentes.

Um sistema em paralelo e aquele onde somente um componente precisa estar funcio-

nando para que o sistema funcione.

φ(x) = 1 −n

∏

i=1

(1 − xi). (3.9)

Os conceitos de serie e paralelo se referem as funcoes exercidas pelos componentes e

nao aos componentes propriamente ditos.

36

Num sistema turbo-gerador, a turbina e o gerador estao em serie; se um desses com-

ponentes deixar de funcionar, o sistema nao cumpre a sua funcao. Num sistema formado

por dois turbo-geradores, cada turbo-gerador esta em paralelo com o outro; se um desses

componentes (turbo-gerador agora e componente) deixar de funcionar, o outro continua

cumprindo a funcao.

De maneira geral, uma estrutura que compreenda componentes em serie e paralelo

e um sistema k de n no qual o sistema esta em funcionamento se pelo menos k dos n

componentes estiverem em funcionamento. Nesse caso,

φ(x) = 1, sen

∑

i=1

xi ≥ k (3.10)

e

φ(x) = 0, sen

∑

i=1

xi < k. (3.11)

Em um sistema em serie, k = n e em um sistema em paralelo, k = 1.

O conceito de confiabilidade coerente e necessario para que as conclusoes obtidas com

apenas dois equipamentos, turbina e gerador, possam ser estendidas a toda uma planta

de processo. A generalizacao das conclusoes somente ocorre para equipamentos cuja

confiabilidade seja coerente com os equipamentos estudados.

Por exemplo, em um sistema formado por um amplificador de som mono-aural que

tenha duas caixas de som, direita e esquerda, as duas caixas de som estao em paralelo por-

que ambas as caixas reproduzem o mesmo som. Entretanto, se o amplificador for estereo,

com dois canais, e cada caixa de som estiver ligada no respectivo canal, o amplificador

estara em serie com cada uma das caixas, formando duas series, mas elas nao estao em

paralelo porque cada caixa estara reproduzindo um sinal diferente.

3.3 Descricao do sistema fısico

O sistema de turbo-geracao de eletricidade, que foi escolhido como exemplo, e composto

de tres turbinas a gas acopladas em serie a geradores de corrente alternada, conforme

mostrado na Fig. 3.2. Os tres conjuntos turbo-geradores estao conectados em paralelo.

Para atender a potencia requerida pela carga da plataforma, sao necessarios apenas dois

turbo-geradores. O terceiro turbo-gerador fica, portanto, como reserva.

37

Figura 3.2: Sistema de turbo-geracao escolhido para aplicacao da metodologia.

As turbinas a gas sao maquinas de combustao interna onde os gases, apos a combustao,

passam atraves dos pequenos aerofolios do rotor da turbina, transformando a potencia da

queima da mistura de ar e combustıvel em movimento do rotor. A turbina consiste de

tres secoes, conforme indicado na Fig. 3.3: o compressor de ar; a camara de combustao;

e o expansor. A expansao dos gases, devido a queima, ao passar pelos rotores, fornece a

potencia necessaria tanto para acionar o compressor de ar, na entrada da turbina, como

para acionar o gerador. Os dois rotores sao independentes de modo que o primeiro rotor

e dimensionado para atender as necessidades do compressor e o segundo rotor fornece

a potencia de saıda. A turbina funciona no ciclo ideal Brayton, mostrado a direita na

Fig. 3.3. As turbinas utilizadas nas plataformas marıtimas de producao de petroleo tem

potencia de 15 MW a 25 MW e rotacao entre 12 e 20 mil rpm. Conforme se observa na

Fig. 3.3, as taxas de falha e de reparo relativas a turbina incluem as falhas no estagio

de compressao, de combustao e de expansao. As falhas na lubrificacao, no sistema de

resfriamento, na instrumentacao, na alimentacao de gas e de ar e no sistema de exaustao

nao estao incluıdas neste estudo.

Figura 3.3: Diagrama esquematico de uma turbina a gas. O grafico a direita e o ciclo ideal de Braytonque descreve, de modo simplificado, a operacao de uma turbina a gas.

38

A potencia eletrica utilizada nas plataformas geralmente e produzida no proprio local,

embora, as vezes, seja utilizada a energia excedente de outra plataforma, transmitida por

cabos submarinos.

O gerador e acoplado a turbina por meio de uma caixa de reducao de velocidades

porque a rotacao da turbina e 5 a 10 vezes maior que a do gerador. Como a geracao e

trifasica em 13,8 kV, a saıda da potencia eletrica passa por um transformador abaixador

para a tensao de consumo, que e de 440 Volts. Ver Fig. 3.4. As taxas de falha e reparo

do gerador incluem a caixa de reducao, o disjuntor e o transformador, alem do proprio

gerador. As falhas na lubrificacao, no sistema de resfriamento, na instrumentacao e na

protecao nao estao incluıdas neste estudo.

Figura 3.4: Arranjo do gerador e dos perifericos que compoem a geracao de eletricidade.

Cada equipamento fica completamente representado por variaveis de estado. O estado

da turbina T1 e representada pela variavel x1, o estado do gerador G1 pela variavel x2 e,

assim por diante, o estado do gerador G3 e representado pela variavel x6. O equipamento

que estiver em condicoes operacionais sera representado por xi = 1 e o equipamento falho

por xi = 0, para i = 1, 2, . . . , 6.

As Figs. 3.5-3.8 apresentam as reducoes da funcao de estrutura do sistema de turbo-

geracao de eletricidade ate a sua forma resultante final φ(x).

A Fig. 3.5 apresenta a configuracao inicial do sistema, antes de qualquer reducao. As

turbinas ainda estao em serie com os geradores.

Na Fig. 3.6, as turbinas a gas que estavam em serie com os respectivos geradores foram

substituıdos por seus equivalentes. As novas variaveis de estado sao o produto (*) das

variaveis de estado das turbinas e dos geradores, conforme Eq. (3.8).

39

Figura 3.5: Configuracao inicial. Cada turbinaesta em serie com o seu gerador.

Figura 3.6: Reducao dos componentes em serie.Cada par turbina e gerador foi substituıdo por umturbogerador equivalente.

Na Fig. 3.7, foi feita a substituicao dos tres componentes que estavam em paralelo por

um componente equivalente, de acordo com a Eq. (3.9).

A Fig. 3.8 apresenta a reducao de uma estrutura que tem tres componentes, mas

somente dois sao necessarios. Essa reducao e feita pelas Eqs. (3.10) e (3.11).

Figura 3.7: Reducao dos componentes em para-lelo. Os tres turbogeradores estavam em paraleloe foram substituıdos por por um unico turboge-rador equivalente.

Figura 3.8: Reducao do tipo k de n. Existem3 turbogeradores equivalentes, mas 2 sao sufuci-entes para atender a demanda. Trata-se de umaestrutura onde k = 2 e n = 3

Por meio das equacoes de reducao do sistema, que correlacionam as funcoes e sub-

funcoes de estrutura, e possivel fazer uma simulacao pela tecnica de Monte Carlo para

obter uma estimativa das probabilidades de ocorrencia de cada estado (Crowder, et al,

2000 [16]).

Foi desenvolvido um programa de computador atribuindo a cada variavel de estado,

x1, . . . , x6, um valor aleatorio distinto no intervalo contınuo [0, 1]. As variaveis com ındice

impar sao de turbinas e as de ındice par sao dos geradores. A confiabilidade de cada

equipamento e calculada em funcao do tempo, por

R(t) = e−λt (3.12)

40

onde R e a confiabilidade da turbina ou gerador no tempo t, λ e a funcao taxa de falha

na fase de envelhecimento, calculada a partir dos dados obtidos no Anexo A e t e o tempo

de vida do equipamento. As funcoes taxa de falha e de reparo estao apresentadas em

detalhes nas Eqs. (5.26) a (5.29).

O valor aleatorio contınuo das variaveis x1, . . . , x6 e, entao, comparado com o valor da

confiabilidade R. Se xi < R(t), i = 1, . . . , 6 significa que o equipamento esta em operacao

e a variavel xi passa a ter o valor 1. Em caso contrario, xi valera 0. Utilizando as equacoes

de reducao do sistema, encontra-se o valor de φ(x), que e a funcao que representa o estado

do sistema, conforme Fig. 3.8.

O tempo de vida na fase de envelhecimento foi dividido em classes e o procedimento

descrito acima foi repetido para cada classe de tempo. Isso equivale a determinar as pro-

babilidades p1, . . . , p8 dos estados do sistema ao longo da vida dos equipamentos (Robert

and Casella, 2004 [39]).

Para modelar a condicao de reparo perfeito, onde todos os componentes em falha sao

substituıdos e nenhum e reparado, o tempo de reparo foi igualado a zero, significando que,

imediatamente apos a ocorrencia da falha, os componentes foram substituıdos e o sistema

voltou a operar. Para essa condicao, de reparo perfeito, a transicao do estado “um” para o

“zero” foi feita avaliando-se, estocasticamente, a confiabilidade do sistema. Enquanto que

a transicao no sentido inverso foi feita alterando-se, imediatamente, o estado de “zero”

para “um”.

No modelo da condicao de reparo mınimo, onde todos os componentes em falha sao

reparados e nenhum e substituıdo, a escolha entre as funcoes taxa de falha e taxa de

reparo dependeu do estado previo do componente. A transicao do estado “um” para o

“zero” e igual nas duas condicoes. A transicao do estado “zero” para o “um” foi feita

avaliando-se, estocasticamente, a confiabilidade do reparo. Na avaliacao da taxa de falha,

o tempo e corrido sem interrupcoes, enquanto que, na avaliacao da taxa de reparo, o

tempo e reiniciado a cada avaliacao.

Foram feitas sucessivas estimativas, com tamanhos de amostra maiores a cada esti-

mativa, e observou-se que amostras com tamanho acima de 100.000 conduziam, aproxi-

madamente, ao mesmo resultado. Os resultados mostrados nas Figs. 3.9 e 3.10 foram

41

Figura 3.9: Probabilidades de falha dos estadossob reparo perfeito

Figura 3.10: Probabilidades de falha dos estadossob reparo mınimo

obtidos com tamanho da amostra igual a 105 para cada classe de tempo. O intervalo de

1500 horas foi dividido em 30 classes de 50 horas. Os valores das probabilidades estao na

forma decimal e o tempo em horas.

Essa estimativa da solucao, apesar de estocastica pelo o emprego de tecnicas de Monte

Carlo, pode ser considerada uma boa aproximacao porque foi calculada utilizando as taxas

de falha na regiao de envelhecimento e foram levados em conta os tempos de reparo.

Figura 3.11: Probabilidades dos estados pelometodo de Monte Carlo.

E interessante observar nas Figs. 3.9 e

3.10 que a probabilidade de falha do sis-

tema, p8, e fortemente dependente da pro-

babilidade de falha do estado inicial p1. As

probabilidades de falha dos demais estados

fornecem pequena contribuicao para a pro-

babilidade de colapso operacional do sis-

tema.

As condicoes de reparo perfeito, ou de renovacao, e reparo mınimo sao condicoes

extremas onde ou todos os componentes sao substituıdos por novos ou todos sao reparados.

Um reparo de qualquer sistema, na realidade, situa-se entre essas duas condicoes extremas,

uma parte dos componentes e reparada e outra parte e substituıda por componentes

novos. A Fig. 3.11 apresenta as probabilidades de falha do sistema nas duas condicoes. A

probabilidade de um sistema real deve estar compreendida na regiao entre as duas curvas.

Como se pode observar, o colapso operacional com probabilidade de 100% ocorre em cerca

42

de 1000 horas de funcionamento nas duas condicoes.

Esse tipo de sistema pode ser formulado matematicamente empregando os processos

estocasticos de Markov (Meeker and Escobar, 1998 [29], Higgins and McNulty, 1995 [19]),

se considerarmos que o estado atual depende somente do estado anterior.

O modelo descrito acima pode ser considerado nao-markoviano, se supuzermos:

• tempos entre falhas nao exponenciais;• taxas de falha crescentes com o tempo; e• taxas de reparo decrescentes com o numero de reparos.

Essas consideracoes descrevem melhor o fenomeno do envelhecimento das instalacoes

industriais do que as consideracoes apresentadas anteriormente em que o estado atual

dependia somente do estado anterior.

A maioria dos modelos de confiabilidade assume que o tempo em operacao e o tempo

de reparo sao distribuıdos exponencialmente. Essa consideracao conduz a um modelo

markoviano com taxas de transicao constantes entre os estados. A analise de tais casos e

relativamente simples e o resultado numerico pode ser facilmente obtido. A consideracao

e muitas vezes valida para o tempo em operacao, mas o tempo de reparo geralmente tem

uma distribuicao nao exponencial (Singh and Billinton, 1977 [43]). Os tempos de reparo

ficam melhor representados por uma distribuicao lognormal devido a intervencao humana.

Se as distribuicoes nao podem ser representadas por uma unica forma exponencial,

entao o processo e nao markoviano.

Mesmo adotando o modelo seccionalmente constante para a taxa de falha, em que

cada parte deixaria de ser crescente, permanecendo constante e markoviana, o tempo de

reparo continuaria dependendo do numero de reparos anteriores e o sistema seria nao

markoviano.

O modelo de solucao adotado neste trabalho e a inclusao de variaveis complementares

na especificacao do estado do sistema para tornar o processo markoviano. As variaveis

complementares podem representar os tempos dispendidos na duracao da missao ou o

numero de vezes em que o equipamento apresentou falha. As variaveis complementa-

res podem ser quaisquer grandezas que representem um sacrifıcio do sistema, de modo

que o envelhecimento seja caracterizado pela idade e pelo sacrifıcio a que o sistema foi

submetido.

43

Suponha que duas maquinas identicas e com a mesma idade estejam operando simul-

taneamente. Se o processo fosse markoviano, a probabilidade de falha seria a mesma para

as duas maquinas. Mas o processo e nao-markoviano. Existe uma outra variavel, alem da

idade do equipamento, que interfere no processo. Essa variavel complementar, incluıda

para tornar o sistema de equacoes factıvel de solucao markoviana, pode ser interpretada

como o tempo decorrido desde a ultima revisao geral. Nesse caso, a maquina que esti-

ver operando ha mais tempo tera maior probabilidade de falha, apesar de ambas terem

a mesma idade. Uma outra interpretacao possıvel para a variavel complementar sao as

condicoes de trabalho. Por exemplo, se for algum tipo de veıculo, a variavel complementar

pode representar a quilometragem. O veıculo que tiver maior quilometragem devera ter

maior probabilidade de falha. Se for uma sonda de perfuracao, a variavel complemen-

tar pode significar metros perfurados. Assim, a sonda que tiver mais metros perfurados

devera apresentar maior probabilidade de falha. Essas condicoes de trabalho mais pe-

sadas, ao longo da vida do equipamento, vai determinar que o equipamento tenha tido

mais ocorrencias de falha do que outro submetido a condicoes mais suaves. O numero de

vezes que o equipamento esteve fora de operacao devido a falhas e outra interpretacao

para a variavel complementar. De um modo totalmente geral, que compreenda todos os

exemplos, e possıvel considerar a variavel complementar como representativa do sacrifıcio

que o equipamento sofreu durante a sua vida desde o inıcio de operacao ate o presente

momento.

Com a inclusao de variaveis complementares, o processo markoviano passa a existir

no espaco de estados bi-dimensional, onde uma das variaveis, t, e contınua e a outra

variavel, s, pode ser contınua em intervalos ou discreta. No caso da variavel complementar

representar a duracao da missao, sera uma variavel aleatoria contınua em intervalos.

Entretanto, se representar o numero de vezes que o equipamento falhou, sera aleatoria

discreta.

3.3.1 Variaveis de estado do sistema

O conjunto das possibilidades das variaveis de estado dos equipamentos, agrupadas pela

condicao do sistema, esta apresentado na Tab. 3.6.

44

As variaveis representam o estado dos equipamentos na seguinte ordem: T1 G1 T2 G2

T3 G3, Ti sendo uma turbina e Gi representando um gerador, i = 1, 2, 3.

O numero entre parentesis que antecede cada conjunto de possibilidades e o indicador

do conjunto. A primeira coluna contem o estado em que todos os equipamentos estao

em funcionamento: 111111. A segunda coluna contem os estados em que somente um

equipamento esta na condicao de falha, ver Tab. 3.5.

Tabela 3.5: Estados em queo sistema esta em operacao,sem reserva.

011111

101111

110111

111011

111101

111110

A terceira coluna contem os estados de falha dos equipa-

mentos que resultam em um unico estado do sistema de turbo-

geracao, qual seja, o sistema esta indisponıvel. Esse estado

de falha do sistema ocorre quando o turbo-gerador restante

nao consegue suprir a carga da plataforma. Na primeira e na

segunda colunas o sistema esta disponıvel, enquanto que na

terceira o sistema falhou.

Nao e necessario incluir no estudo o caso de uma terceira

maquina, turbina ou gerador, falhar. Por definicao, falha e a

perda de uma funcao quando essa funcao e necessaria (McKenna e Oliverson, 1997 [23]).

Apos dois conjuntos turbo-geradores (TG) falharem, uma terceira maquina sozinha nao

conseguiria suprir a carga. Portanto, torna-se irrelevante para o estudo saber se esta

maquina esta ou nao em condicoes operacionais.

A Tab. 3.6 da origem ao diagrama de estados da cadeia de Markov.

3.3.2 Diagrama de estados da cadeia de Markov

O mesmo conjunto de possibilidades da Tab. 3.6 pode ser representado sob a forma de

diagrama de estados da cadeia de Markov, como ilustrado na Fig. 3.12.

Os cırculos representam os estados do sistema e as setas representam transicoes entre

os estados. O estado 8, que reune todas as condicoes de falha irreversıvel do sistema, esta

representado por um retangulo devido ao seu tamanho grafico.

Junto as pontas das setas estao representadas as taxas de falha da turbina, λT , e do

gerador, λG, e as taxas de reparo da turbina, µT , e do gerador, µG, referentes a cada

transicao.

45

Tabela 3.6: Conjunto das possibilidades dasvariaveis de estado dos equipamentos.

em operacao em operacao em falha(1) 111111 (2) 011111 (8) 010111

(8) 011011(8) 011101(8) 011110

(3) 101111 (8) 100111(8) 101011(8) 101101(8) 101110

(4) 110111 (8) 010111(8) 100111(8) 110101(8) 110110

(5) 111011 (8) 011011(8) 101011(8) 111001(8) 111010

(6) 111101 (8) 011101(8) 101101(8) 110101(8) 111001

(7) 111110 (8) 011110(8) 101110(8) 110110(8) 111010

Para o sistema turbo-gerador, existem, como ja dissemos, 8 estados possıveis. Cada

estado e representado por um ındice que varia de 1 ate 8, resultando nas variaveis do

processo estocastico pi(s, t), i = 1, . . . , 8.

O estado i = 1 corresponde a condicao em que todos os tres conjuntos TG estao em

condicoes operacionais, embora somente dois estejam operando efetivamente.

O estado i = 8 corresponde a condicao em que dois componentes, turbina ou gerador,

de conjuntos TG diferentes estao com defeito, acarretando falha ou indisponibilidade do

sistema. No caso de componentes do mesmo conjunto, turbina acoplada ao gerador,

apresentarem defeito, pela definicao de falha, somente a maquina que apresentou defeito

primeiro e considerada em falha, nao acarretando falha do sistema.

Os estados i = 2, . . . , 7 correspondem a apenas um componente, turbina ou gerador,

de qualquer um dos tres conjuntos TG inoperante. O sistema esta em operacao com dois

46

conjuntos TG, disponıvel porem sem reserva, (ver Tab. 3.6).

Figura 3.12: Diagrama de estados da cadeia de Markov

Capıtulo 4

Formulacao matematica do problema

Para efeito de formulacao, o problema foi reduzido a um unico componente sujeito a dois

estados: operacional e falho. Posteriormente, as equacoes serao generalizadas para um

sistema de componentes incluindo diversos estados. A Fig. 4.1 ilustra a situacao inicial

de um componente e e valida tanto para a condicao de reparo mınimo quanto para a de

reparo de renovacao.

Condicao de reparo mınimo e aquela onde, apos a falha, o sistema recebe manutencao

apenas suficiente para restabelecer o estado operacional que possuia antes da falha. Isto

e, o sistema e reparado mantendo-se os componentes usados. Na condicao de reparo de

renovacao, entretanto, o sistema e reparado efetuando-se a substituicao dos componentes

falhos por novos, recompondo, assim, a condicao original do sistema (Ascher and Feingold,

1984 [4]). O reparo de renovacao tambem recebe a denominacao de reparo perfeito.

Figura 4.1: Um unico componente sujeito a doisestados: operacional e falho.

Na condicao de reparo mınimo, a taxa

de falha e λ(t) e a taxa de reparo e µ(t). Na

condicao de reparo de renovacao, a taxa de

falha e λ(t) e a taxa de reparo µ(t) = µ, ou

seja, e constante. Nessa condicao, o sistema

e substituıdo em vez de ser reparado. A

taxa de reparo e constante e tem um valor

47

48

mınimo.

No modelo de reparo mınimo, em vez de substituir os componentes falhos por novos,

o reparo apenas restabelece o funcionamento do sistema. Assume-se que a taxa de falha

nao se altere apos efetuado o reparo mınimo.

A definicao do estado do sistema imediatamente antes da falha depende do grau de

informacao que se tem sobre o sistema: se todos os componentes de um sistema sao ob-

servados ou se somente a falha do sistema e reconhecida. No primeiro caso, onde todos os

componentes sao observados, inclusive aquele que falhou, o tempo de vida do componente

reparado altera o tempo de vida residual do sistema. Como todos os componentes sao

observados, o tempo de vida de cada um deve ser levado em conta no calculo do tempo

de vida do sistema. Este tipo de reparo mınimo e chamado de reparo mınimo fısico. No

segundo caso, quando somente a falha e reconhecida, a unica informacao sobre a condicao

do sistema imediatamente antes da falha e a idade. Entao, um reparo mınimo neste caso

significaria substituir o componente falho por outro de mesma idade, tal como se ainda

nao tivesse falhado. Reparo mınimo deste tipo e chamado reparo mınimo estatıstico (Aven

and Jensen,1999 [5]).

Definindo, agora, λ(t)∆t = P (t < T ≤ t + ∆t|T > t) como a probabilidade de ocorrer

uma falha no intervalo (t, t + ∆t], dado que nao tenha falhado ate o instante t e µ(t)∆t

sendo a probabilidade de o reparo terminar no intervalo (t, t + ∆t], pi(t) a probabilidade

de o sistema estar no estado i no tempo t e Pi(s, t) a probabilidade de o sistema estar no

estado i e a missao ter comecado no intervalo (t − s, t − s + ∆s).

Figura 4.2: Interpretacao grafica davariavel complementar.

A nova variavel (t − s) e apenas um deslocamento

do eixo para evitar o patamar e fazer a derivada sobre o

trecho inclinado da reta, como se observa na Fig. 4.2. A

idade do equipamento, t, representada no eixo horizon-

tal, nao apresenta interrupcoes, e um tempo contınuo. A

variavel complementar, s, e interrompida toda vez que

o equipamento estiver falho e reinicia a sua contagem

quando o componente reentrar em operacao. Essa inter-

rupcao esta registrada nos patamares.

49

pi(s, t) = lim∆s→0+

Pi(s, t)

∆spara todo s ∈ [0, t] e pi(s, t) = 0 para s > t

Em um sistema reparavel, a falha determina o fim da missao atual e, de imediato, o

inıcio do reparo. O termino do reparo acarreta, imediatamente, o reinıcio de uma nova

missao. Se o sistema esta no estado i, em qualquer processo, tao logo essa operacao

termine, o sistema vai transitar para outro estado (Singh and Billinton, 1977 [43]).

Aplicando as definicoes acima no sistema da Fig. 4.1, obtem-se

p1 (s + ∆t, t + ∆t) = p1 (s, t) (1 − λ (t) ∆t) + p2 (s, t) (µ (t) ∆t)

p2 (s + ∆t, t + ∆t) = p2 (s, t) (1 − µ (t) ∆t) + p1 (s, t) (λ (t) ∆t)(4.1)

p1 (s + ∆t, t + ∆t) − p1 (s, t)

∆t= −p1 (s, t) λ (t) + p2 (s, t) µ (t)

p2 (s + ∆t, t + ∆t) − p2 (s, t)

∆t= −p2 (s, t) µ (t) + p1 (s, t) λ (t)

(4.2)

Desenvolvendo em serie de Taylor, desprezando os termos de grau maior que um e

fazendo o lim∆t→0

das Eqs. (4.2), fica

∂p1 (s, t)

∂s+

∂p1 (s, t)

∂t= −λ (t) p1 (s, t) + µ (t) p2 (s, t)

∂p2 (s, t)

∂s+

∂p2 (s, t)

∂t= λ (t) p1 (s, t) − µ (t) p2 (s, t)

(4.3)

As equacoes do processo nao-markoviano que serao empregadas, na condicao de reparo

mınimo, tem a forma geral

∂pi(s, t)

∂t+

∂pi(s, t)

∂s= −

N∑

i=1

λipi(s, t) +N

∑

i=1

µipi(s, t) (4.4)

A inspecao visual da Eq. (4.4) sugere algumas regras para formacao do sistema de

equacoes de Markov, na condicao de reparo mınimo

• no lado esquerdo das equacoes ficam as derivadas parciais da probabilidade do estadoi, em relacao a t e a s,

• no lado direito ficam os somatorios:-(seta que sai do estado i)*(probabilidade do estado de origem) e+(seta que entra no estado i)*(probabilidade do estado de origem).

Na condicao de reparo de renovacao, a taxa de falha reflete o tempo de substituicao

dos componentes falhos, sendo considerada constante.

50

Aplicando a consideracao de taxa de falha constante no sistema da Fig. 4.1, obtem-se

p1 (s + ∆t, t + ∆t) − p1 (s, t)

∆t= −λ (t) p1 (s, t) + µp2 (s, t)

p2 (s + ∆t, t + ∆t) − p2 (s, t)

∆t= λ (t) p1 (s, t) − µp2 (s, t)

(4.5)

Desenvolvendo em serie de Taylor, desprezando os termos de grau maior que um e

fazendo o lim∆t→0

das Eqs. (4.5), tem-se

∂p1 (s, t)

∂s+

∂p1 (s, t)

∂t= −λ (t) p1 (s, t)

∂p2 (s, t)

∂s+

∂p2 (s, t)

∂t= λ (t) p1 (s, t)

(4.6)

Na condicao de reparo de renovacao, a forma geral da equacao e

∂pi (s, t)

∂s+

∂pi (s, t)

∂t= −

N∑

i=1

λi (t) pi (s, t) (4.7)

A regra para formacao da equacao de Markov, na condicao de reparo de renovacao,

baseada na Eq. (4.7), e

• no lado esquerdo das equacoes ficam as derivadas parciais da probabilidade do estadoi, em relacao a t e a s,

• no lado direito fica o somatorio da (seta que sai do estado i)*(probabilidade doestado de origem) com sinal trocado.

No estudo de caso, cada equipamento possui a sua propria variavel complementar,

s1, . . . , s6, que representa, por exemplo, a duracao da missao do respectivo equipamento.

A adocao da manutencao periodica numa instalacao industrial, torna inviavel que cada

equipamento tenha a sua propria duracao da missao. Quando um equipamento e desligado

para manutencao, todos os outros equipamentos que tambem param em consequencia

daquela parada programada sao submetidos a manutencao. Dessa forma, as duracoes da

missao de todos os equipamentos que trabalham em dependencia mutua um do outro

ficam com as suas duracoes de missao igualadas. Essa situacao esta representada na

Fig. 4.3.

As variaveis complementares desses equipamentos sao iguais, ou seja,

s1 = s2 = · · · = s6.

51

Essa igualdade entre as variaveis complementares torna o modelo mais realista e sugere

uma hipotese simplificadora do ponto de vista matematico.

Figura 4.3: Esquema da hipotese simplificadora.

Conforme se observa na Fig. 4.3, o eixo horizontal, t, e o da idade dos componentes,

o eixo vertical, s, e o eixo que registra o tempo de funcionamento contınuo. Quando o

equipamento para, o grafico apresenta um patamar para caracterizar a parada de funcio-

namento sem parar, naturalmente, o tempo de vida do equipamento. Se nao houvesse

paradas programadas, cada equipamento teria o seu proprio momento de parada inde-

pendentemente das paradas dos demais. Com a adocao das paradas programadas, todos

os equipamentos interligados funcionalmente entre si, param a intervalos identicos. As

paradas dos diversos equipamentos deixam de ser independentes e tornam-se periodicas

e sincronizadas. Em consequencia, todas as variaveis complementares dos equipamentos,

na pratica, podem ser assimiladas como uma unica variavel.

De acordo com essa hipotese, e possıvel admitir que todas as variaveis complementares

si, i = 1, . . . , 6 para as seis maquinas, sejam iguais a s.

No caso geral, na condicao de reparo mınimo, as equacoes de Markov sao as Eqs. (4.4)

e, na condicao de reparo de renovacao, sao as Eqs. (4.7), onde, relembrando, pi(s, t) e

a probabilidade de que o sistema sob analise se encontre no estado i, λi(s) e a taxa de

falha, µi(s) e a taxa de reparo, t representa o tempo decorrido sem interrupcoes (tempo

de calendario), s representa a duracao da missao, que e o tempo de efetivo funcionamento

52

do equipamento (medido por um horımetro, cronometro que acumula o tempo que o

equipamento esta em operacao), i e o indicador de cada conjunto de possibilidades e n e

o numero total de conjuntos de possibilidades.

O sistema de equacoes que representam adequadamente o modelo adotado, markoviano

ou nao, pode ser obtido por inspecao do conjunto de possibilidades das variaveis de estado.

As maquinas de um mesmo sistema de turbo-geracao nao precisam ser iguais. En-

tretanto, devido aos processos de projeto da instalacao, especificacao e aquisicao dos

equipamentos serem, na pratica, um unico processo, as maquinas resultam identicas, na

maioria das vezes.

Assim, as taxas de falha e de reparo, que sao associadas as variaveis de estado, podem

ser substituıdas por taxas associadas aos equipamentos. As taxas de falha dos geradores 1,

2 ou 3, em qualquer estado i = 1, . . . , 8 sao iguais, λG(s). As taxas de falha das turbinas,

pelo mesmo motivo, sao iguais, sao λT (s). As taxas de reparo, no reparo mınimo, ficam

µG(s) e µT (s) e, na renovacao, µG e µT .

Como o tempo de calendario, representado pela variavel t e o tempo de operacao,

representado pela variavel s, sao ambos medidos nas mesmas unidades (horas, nesse caso),

no plano s− t, a reta que indica o funcionamento da planta faz um angulo deπ

4rad com

os eixos e as variaveis s e t sao iguais, s = t.

4.1 Curvas caracterısticas

O metodo das curvas caracterısticas, para resolver o sistema de equacoes de Markov, vai

confirmar essa igualdade e vai mostrar, tambem, que aquelas retas da Fig. 4.3 sao as curvas

caracterısticas do sistema de equacoes. Durante o funcionamento da planta, a solucao do

sistema percorre uma curva caracterıstica. Quando o equipamento falha, a duracao do

reparo, representada na Fig. 4.3 por um trecho horizontal, significa um deslocamento da

curva caracterıstica ate o restabelecimento do funcionamento, quando, entao, o sistema

passa a percorrer uma nova curva caracterıstica.

53

4.1.1 Metodo das caracterısticas

O metodo das caracterısticas e adequado para resolver o problema de valor inicial

(PVI) de EDPs de primeira ordem.

Considere a EDP linear de primeira ordem

a (x, t) ux + b (x, t) ut + c (x, t) u = 0 (4.8)

em duas variaveis, com a condicao inicial u (x, 0) = f (x). O metodo das caracterısticas,

quando aplicado nesta equacao, consiste em mudar as coordenadas de (x, t) para um novo

sistema de coordenadas (x0, r) no qual a EDP se torna uma equacao diferencial ordinaria

(EDO) ao longo de certas curvas no plano x − t.

Tais curvas, {[x(r), t(r)] : 0 < r < ∞}, ao longo das quais a solucao da EDP se reduz

a uma EDO, sao chamadas de curvas caracterısticas ou apenas caracterısticas.

No novo sistema de coordenadas, (x0, r), r e variavel e x0 e constante ao longo da

caracterıstica. A ordenada x0 pode variar ao longo do eixo x, quando t = 0, no plano

x − t.

Explicitando a Eq. (4.8)

a (x, t) ux + b (x, t) ut = −c (x, t) u. (4.9)

Fazendo uma substituicao de variaveis conveniente para incluir a nova variavel r, os

coeficientes da Eq. (4.9) ficam

dx

dr= a (x, t) (4.10)

e

dt

dr= b (x, t) . (4.11)

Substituindo os coeficientes Eqs. (4.10) e (4.11) na Eq. (4.9) e chamando toda a equacao

dedu

dr, fica

du

dr=

dx

drux +

dt

drut = a (x, t) ux + b (x, t) ut = −c (x, t) u. (4.12)

Ao longo da curva caracterıstica, a EDP se torna a EDO

du

dr= −c (x, t) u. (4.13)

54

As Eqs. (4.10) e (4.10) sao chamadas de equacoes caracterısticas. A parcela −c (x, t) u

e chamada termo fonte. Qualquer funcao C1 que seja constante ao longo da caracterıstica

e uma solucao da EDP original.

A aplicacao do metodo das caracterısticas na solucao de uma EDP da forma da

Eq. (4.8) pode ficar resumido no seguinte procedimento:

Passo 1. Resolver as duas equacoes caracterısticas, Eqs. (4.10) e (4.11). Achar as

constantes de integracao fazendo x (0) = x0 (x0 sao os pontos ao longo do eixo t = 0 no

plano x − t) e t (0) = 0. Este passo visa obter a transformacao de (x, t) para (x0, r), por

meio das equacoes parametricas x = x (x0, r) e t = t (x0, r).

Passo 2. Obter u (x0, r) resolvendo a EDO, Eq. (4.13), com a condicao inicial u (0) =

f (x0), onde x0 sao os tracos das curvas caracterısticas sobre o eixo t = 0, no plano x− t.

Passo 3. Explicitar r e x0 em funcao de x e t, usando os resultados do Passo 1, e subs-

tituir estes valores em u (x0, r) para obter a solucao da EDP original como u (x, t).(Sarra,

2003 [40])

4.1.2 Equacao de adveccao com coeficientes constantes

Caso particular: a(x,t) = constante, b(x,t) = 1 e c(x,t) = 0

A equacao de adveccao com coeficientes constantes e um caso particular de aplicacao do

metodo das caracterısticas onde, na Eq. (4.8), a(x, t) e constante, b(x, t) = 1 e c(x, t) = 0.

A condicao inicial e u (x, 0) = f (x).

Neste caso, a equacao caracterıstica, Eq. (4.11), se torna

dt

dr= 1 (4.14)

e a solucao e t = r + C, onde C e a constante de integracao. Usando a condicao inicial

t (0) = 0 e fazendo C = 0, resulta r = t. No caso especial da equacao de adveccao com

coeficientes constantes e necessario resolver somente a equacao Eq. (4.10)

dx

dr= a (4.15)

que, resolvida, fornece

x = at + x0 (4.16)

55

onde x0 e a constante de integracao que e o ponto inicial da curva caracterıstica no eixo

x, no plano x − t.

A Eq. (4.16) mostra que a curva caracterıstica da equacao de adveccao com coeficientes

constantes e uma linha reta com coeficiente angular igual a a.

A Eq. (4.8), no caso particular de adveccao com coeficientes constantes, se transforma

na EDP

ut + aux = 0 (4.17)

onde a pode ser a velocidade de propagacao da onda (ou celeridade) em um meio ou a

taxa na qual um contaminante vai se propagar na superfıcie de un lago, vai depender

do problema que estiver sendo equacionado. A velocidade e constante, assim, todos os

pontos da frente de onda ou de propagacao vao se mover na mesma velocidade a.

A aplicacao do metodo das caracterısticas na solucao do caso particular de uma EDP

de adveccao com coeficientes constantes da forma da Eq. (4.17) pode ficar resumido no

seguinte procedimento:

Passo 1. Resolver a equacao caracterıstica, Eq. (4.10),dx

dt= a, com a condicao inicial

x (0) = x0. A solucao x = x0 + at fornece as curvas caracterısticas, onde x0 e o ponto no

qual cada curva interseta o eixo x no plano x − t.

Passo 2. Resolver a EDO Eq. (4.13), que neste caso fica simplificada paradu

dr= 0,

com a condicao inicial u (0) = f (x0). A solucao e u (t) = f (x0).

Passo 3. As curvas caracterısticas sao determinadas por x = x0+at, entao x0 = x−at,

e a solucao da EDP e u (x, t) = f (x0) = f (x − at).

Para que u (x, t) seja solucao da EDP e necessario verificar se permanece constante ao

longo da caracterıstica. A derivada de u (x, t) fornece a taxa de variacao de u ao longo da

caracterıstica:

d

dtu (x(t), t) =

∂

∂tu (x(t), t) +

∂

∂xu (x(t), t) x′(t) = ut + aux = 0 (4.18)

A taxa de variacao e zero, significando que u e constante ao longo da curva.

Teorema 2 Considere o problema de valor inicial

56

aux + ut = 0, −∞ < x < ∞, t > 0

u (x, 0) = f (x)(4.19)

Se f (x) e continuamente diferenciavel, entao u (x, t) = f (x − at) e solucao do problema.

(DuChateau and Zachmann, 2002 [13]).

4.1.3 Equacao de Markov em condicoes nao-markovianas

Caso particular: a(s,t) = 1, b(s,t) = 1 e c(s,t) = constante

O metodo das curvas caracterısticas pode ser aplicado para resolver este problema de

valor inicial e EDP linear de primeira ordem (Smith, 1985 [44]). Na Eq. (4.8), fazendo

a(s, t) = 1, b(s, t) = 1 e c(s, t) = constante real, se obtem a EDP linear de primeira

ordem que equaciona o problema markoviano na hipotese nao-markoviana. No problema

markoviano, algumas variaveis receberam outros sımbolos: a funcao incognita u recebeu a

letra p, inicial de probabilidade, a variavel independente x foi substituıda por s porque x e

habitualmente associado a dimensao de comprimento e, no problema markoviano, ambas

as variaveis independentes, s e t, tem dimensao de tempo. Assim, u(x, t) ficou substituıdo

por p(s, t).

a (s, t)∂p(s, t)

∂s+ b (s, t)

∂p(s, t)

∂t= c (s, t) p(s, t) (4.20)

A condicao inicial e p (s, 0) = f(s).

Neste caso particular, a equacao caracterıstica, Eq. (4.10), torna-se

ds

dr= a(s, t) = 1 (4.21)

e a Eq. (4.11) fica

dt

dr= b(s, t) = 1. (4.22)

Ao longo da curva caracterıstica, a EDP se torna a EDO, conforme Eq. (4.13)

dp

dr= c(s, t)p(s, t) = cp(s, t) (4.23)

Explicitando dr nas Eqs (4.21), (4.22) e (4.23), as equacoes caracterısticas podem ser

57

expressas por

ds

a(s, t)=

dt

b(s, t)=

dp

c(s, t)p(s, t)= dr. (4.24)

Aplicando o caso particular do problema de Markov, fica

ds

1=

dt

1=

dp

cp(s, t). (4.25)

Resolvendo a primeira igualdade da Eq. (4.25) para t(0) = 0, obtem-se

s = t − s0 (4.26)

onde s0 e a constante de integracao que representa o tempo que o equipamento permanece

fora de operacao.

Da segunda igualdade, temos,

dp(s, t)

dt= cp(s, t). (4.27)

O problema ficou reduzido a um sistema de equacoes diferenciais ordinarias que pode

ser resolvido numericamente pelo metodo de Runge Kutta (Braun, 1992 [9]).

No plano s−t a igualdade entre as variaveis s e t indica uma curva caracterıstica linear

fazendo um angulo deπ

4com o eixo t. Estas curvas caracterısticas estao representadas

na Fig. 4.3, onde o deslocamento das curvas caracterısticas representa o tempo s0 que a

maquina esteve fora de operacao.

4.1.4 Analise Qualitativa da Caracterıstica

As caracterısticas podem fornecer informacoes qualitativas a respeito de um sistema

de equacoes diferenciais parciais.

O sistema markoviano em estudo se apresenta como um de problema de valor inicial

com condicoes de contorno na forma

∂p(s, t)

∂t+ a

∂p(s, t)

∂s= cp(s, t), s, t > 0 (4.28)

p(s, 0) = f(s), s > 0 (4.29)

p(0, t) = g(t), t > 0 (4.30)

A condicao inicial e dada pela Eq. (4.29) e a condicao de contorno pela Eq. (4.30).

58

As condicoes inicial e de contorno do estudo de caso sao, respectivamente, as Eqs. (4.43)

e (4.44).

A Eq. (4.26) apresenta a famılia de curvas caracterısticas do sistema markoviano. A

curva caracterıstica que passa pela origem, s = t, quando s0 = 0, assinalada por uma

linha tracejada na Fig. 4.4, divide o plano {s, t} em duas regioes. Na regiao 1, onde

t > s, a predominancia e das condicoes iniciais, a solucao p(s, t) e determinada por estas

condicoes.

Figura 4.4: Regiao de influencia das condicoesinicial e de contorno.

Sendo s = t − s0, resulta s0 = t − s. Pelo

Teorema 2, p(s, t) = f(s) = f(t−s) e a solucao

do problema de valor inicial obtida a partir da

condicao inicial.

Quando t > s, a solucao se situa na regiao 1

e se obtem pela aplicacao da condicao inicial.

Quando s > t, a solucao esta na regiao 2 e

e obtida pela condicao de contorno p(s, t) =

g(t) = f(s − t).

R1 : t > s e R2 : t < s (4.31)

A Fig. 4.3 indica que o problema e sua solucao estao situados na regiao 1, porque

a idade do equipamento t sempre sera maior (ou pelo menos igual) que a duracao da

missao s.

Por esse motivo, os codigos de computador desenvolvidos para resolver o sistema de

equacoes de Markov empregam somente a condicao inicial, apesar da descricao do sistema

de equacoes diferenciais de Markov, Secao 4.2, apresentar as duas condicoes.

4.1.5 Analise Dimensional das Curvas Caracterısticas

A famılia de curvas caracterısticas da equacao de adveccao, Eq. (4.16), esta reapre-

sentada a seguir

x = at + x0 (4.32)

onde x e posicao da frente de onda ao final de um tempo t, x0 e posicao inicial onde foi

59

gerada a onda.

A dimensao do coeficiente angular a e [a] =[x − x0]

[t]=

L

T= LT−1 que e homogeneo a

uma velocidade. A velocidade de propagacao da onda, que depende do meio, e a inclinacao

da caracterıstica. Vale dizer que, a cada meio de propagacao da onda, corresponde uma

inclinacao.

A famılia de curvas caracterısticas da equacao do problema markoviano, Eq. (4.26),

esta reapresentada abaixo

s = at − s0 (4.33)

onde s e a duracao da campanha, isto e, o tempo que o equipamento permanece em

condicoes operacionais sem interrupcao, t e a idade do equipamento, e o tempo total

decorrido desde a primeira instalacao e s0 e a soma de todos os tempos que o equipamento

esteve fora de operacao.

A dimensao do coeficiente angular a e [a] =[s − s0]

[t]=

T

T= 1, adimensional e tem um

valor constante igual a 1. O angulo que a caracterıstica faz com os eixos eπ

4rad. Esse

angulo ja tinha sido previsto na Fig. 4.3 utilizando conceitos de confiabilidade.

O fato do coeficiente angular ser adimensional impede, no caso markoviano, que seja

interpretado como a velocidade de propagacao de uma onda. Alem disso, a celeridade e

uma caracterıstica do meio, no caso markoviano, o coeficiente angular sendo constante, se

existisse uma interpretacao de onda, esta onda teria velocidade de propagacao indepen-

dente do meio e deixaria de ser uma caracterıstica deste meio.

4.2 Sistema de EDP de Markov

Aplicando a equacao de Markov em cada estado i = 1, . . . , 8, de acordo com a Fig. 3.12

resulta em 8 equacoes, na condicao de reparo mınimo (Oliveira, 1999 [33]), onde designa-

remos, por simplicidade, pi = pi(s, t), λ = λ(s) e µ = µ(s).

∂p1

∂t+

∂p1

∂s= −3(λT + λG)p1 + µT p2 + µGp3 + µT p4 + µGp5 + µT p6 + µGp7, (4.34)

∂p2

∂t+

∂p2

∂s= λT p1 − (µT + 2λT + 2λG)p2, (4.35)

60

∂p3

∂t+

∂p3

∂s= λGp1 − (µG + 2λT + 2λG)p3, (4.36)

∂p4

∂t+

∂p4

∂s= λT p1 − (µT + 2λT + 2λG)p4, (4.37)

∂p5

∂t+

∂p5

∂s= λGp1 − (µG + 2λT + 2λG)p5, (4.38)

∂p6

∂t+

∂p6

∂s= λT p1 − (µT + 2λT + 2λG)p6, (4.39)

∂p7

∂t+

∂p7

∂s= λGp1 − (µG + 2λT + 2λG)p7, (4.40)

∂p8

∂t+

∂p8

∂s= 2(λT + λG)(p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7), (4.41)

com a restricao

p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8 = 1. (4.42)

Considerando que, no instante inicial, todas as maquinas estao operacionais e as falhas

somente ocorrem daı em diante, as condicoes iniciais para esse sistema de equacoes que

modelam o problema na condicao de reparo mınimo sao:

p1 (s, 0) = u (t) ;

pi (s, 0) = 0, i = 2, . . . , 8(4.43)

com as condicoes de contorno:

p1 (0, t) = u (t) ;

pi (0, t) = 0, i = 2, . . . , 8.(4.44)

Aplicando a equacao de Markov em cada estado i = 1, . . . , 8, resulta em 8 equacoes,

na condicao de reparo de renovacao (Oliveira, 2005 [32]), onde, analogamente,

pi = pi(s, t), λT = λT (s), λG = λG(s), µT = contante e µG = contante.

∂p1

∂t+

∂p1

∂s= −3(λT + λG)p1, (4.45)

∂p2

∂t+

∂p2

∂s= −(µT + 2λT + 2λG)p2, (4.46)

∂p3

∂t+

∂p3

∂s= −(µG + 2λT + 2λG)p3, (4.47)

61

∂p4

∂t+

∂p4

∂s= −(µT + 2λT + 2λG)p4, (4.48)

∂p5

∂t+

∂p5

∂s= −(µG + 2λT + 2λG)p5, (4.49)

∂p6

∂t+

∂p6

∂s= −(µT + 2λT + 2λG)p6, (4.50)

∂p7

∂t+

∂p7

∂s= −(µG + 2λT + 2λG)p7, (4.51)

∂p8

∂t+

∂p8

∂s= 0, (4.52)

com a restricao

p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8 = 1. (4.53)

Considerando que todas as maquinas estao operacionais e as falhas somente ocorrem

daı em diante, o processo de renovacao se inicia no estado 1, porque e o estado em que

todas as maquinas estao operacionais. O instante inicial de um processo de renovacao e

determinado pela falha do processo anterior. Assim, a condicao inicial para a probabili-

dade de um estado e a probabilidade de falha do estado anterior (Pinho, 2000 [34]).

A relacao funcional entre uma variavel aleatoria, por exemplo a variavel s, e as suas

probabilidades de ocorrencia recebe o nome de funcao de distribuicao cumulativa de pro-

babilidades, CDF , definida como na Eq. (4.54).

F (s) = P (S ≤ s), −∞ < s < ∞ (4.54)

onde F (s) e a funcao de distribuicao cumulativa de probabilidades, S e a variavel aleatoria,

s e o valor da variavel independente para o qual desejamos conhecer a probabilidade e P

e a probabilidade de que S seja menor ou igual a s.

A Fig. 4.6 representa a funcao cumulativa de probabilidades de falha do sistema de

geracao em estudo. Se o sistema estiver operando continuamente por 3000 horas, a pro-

babilidade de falha, de acordo com a Fig. 4.6 vale 1, isto e, 100% de certeza que o sistema

vai falhar. Ainda pela mesma figura, se o sistema de geracao permanecer em operacao

por 2000 horas, a probabilidade de falhar e de, aproximadamente, 60%.

62

A funcao densidade de probabilidades, PDF , e a derivada da funcao cumulativa em

relacao a variavel independente, sendo definida como na Eq. (4.55).

f(s) =dF (s)

ds(4.55)

onde f(s) e a funcao densidade de probabilidades, F (s) e a CDF e s e a variavel aleatoria.

A funcao densidade de probabilidades esta apresentada na Fig. 4.5.

A propriedade da funcao densidade de probabilidades, que apresenta o maior interesse

para o estabelecimento das condicoes iniciais, diz que, se a variavel aleatoria S estiver

contida no intervalo (a, b], entao, a probabilidade de ocorrencia daquele valor S e a area

sob a curva que vai de a ate b, como indicada na Eq. (4.56).

P (a < S ≤ b) =

b∫

a

f(s)ds (4.56)

A Eq. (4.56) fornece a probabilidade de falha do estado anterior, que vem a ser a

condicao inicial para o estado que se inicia.

Figura 4.5: Funcao densidade de probabilidades. Figura 4.6: Funcao de distribuicao cumulativa deprobabilidades.

A funcao densidade de probabilidades do sistema pode ser expressa em termos da taxa

de falha do sistema (Ramakumar, 1993 [36]), ou seja,

f(s) = λS(s) exp

−s

∫

0

λS(u)du

. (4.57)

Na Secao 5.5, onde discute-se a reducao de um sistema complexo a outro equivalente,

e feito o calculo das taxas de falha equivalentes. A expressao da taxa de falha do sistema

na regiao de envelhecimento, Eq. (5.41), esta reproduzida aqui por antecipacao

63

λS(s) = 0, 0024e0,0031s (4.58)

Substituindo a Eq. (4.58) na Eq. (4.57), resolvendo a integral e simplificando, encon-

tramos as condicoes iniciais na condicao de reparo de renovacao

p1 (s, 0) = 0, 0024e(0,7742+0,0031s−0,7742e(0,0031s)) (4.59)

pi(s, 0) = 0, i = 2, . . . , 8 (4.60)

A probabilidade de estar em um estado e soma de todas as probabilidades que chegam

no estado menos as probabilidades que saem do estado. A condicao de contorno de cada

estado e a soma de todas as probabilidades que chegam nesse estado. O exame da Fig. 3.12

permite escrever as condicoes de contorno para as variaveis que sao as probabilidades de

ocorrencia de cada estado.

p1(0, t) = µT

∞∫

0

p2ds + µG

∞∫

0

p3ds+µT

∞∫

0

p4ds + µG

∞∫

0

p5ds + µT

∞∫

0

p6ds + µG

∞∫

0

p7ds

(4.61)

p2(0, t) =

∞∫

0

λT (s)p1ds (4.62)

p3(0, t) =

∞∫

0

λG(s)p1ds (4.63)

p4(0, t) =

∞∫

0

λT (s)p1ds (4.64)

p5(0, t) =

∞∫

0

λG(s)p1ds (4.65)

p6(0, t) =

∞∫

0

λT (s)p1ds (4.66)

p7(0, t) =

∞∫

0

λG(s)p1ds (4.67)

p8(0, t) = 27

∑

i=2

∞∫

0

λT (s)pids +

∞∫

0

λG(s)pids

(4.68)

64

4.3 Analise do sistema de equacoes

Um esquema de diferencas finitas sera consistente se a solucao da equacao de diferencas

finitas se aproximar da solucao da equacao diferencial parcial e sera estavel se pequenos

erros nas condicoes iniciais causarem pequenos erros na solucao (Thomas, 1995 [47]).

Pelos teoremas da Equivalencia, de Dahlquist para sistemas lineares e de Lax para

nao-lineares, um modelo de diferencas finitas sera convergente se for estavel e consistente.

Os criterios para a escolha do metodo de solucao do sistema sao baseados na ordem,

no grau, na linearidade e na natureza do sistema de equacoes diferenciais.

O sistema de equacoes Eqs. (4.34)-(4.41) e de primeira ordem e primeiro grau, o que

pode ser observado por mera inspecao.

A analise quanto a linearidade e sua natureza e um pouco mais complexa.

4.3.1 Analise do sistema de equacoes quanto a linearidade

Por simplicidade, vamos utilizar a seguinte notacao vt =∂v(x, t)

∂t, vx =

∂v(x, t)

∂xe

v = v(x, t).

O sistema de EDP Avx +Bvt = Cv, onde as variaveis vx, vt e v sao de primeira ordem

e primeiro grau:

1. sera linear se as matrizes A, B e C forem funcao somente das variaveis independentesx e t;

2. sera nao-linear, tipo quase-quase linear, se as matrizes A e B forem funcao somentedas variaveis independentes x e t, mas a matriz C depender tambem da funcaoincognita v;

3. sera nao-linear, tipo quase linear, se as matrizes A, B e C forem funcao das variaveisx, t e v, mas nao das derivadas de v;

4. sera nao-linear se as matrizes A, B ou C dependerem das derivadas da funcaoincognita v (DuChateau and Zachmann, 1986 [13]).

A Tab. 4.1 resume as classificacoes de sistemas de EDP quanto a linearidade.

As matrizes A e B do sistema de Eqs. (4.34)-(4.41) sao matrizes identidade e a ma-

triz C, que e a matriz dos coeficientes dos termos fonte, e funcao somente da variavel

complementar s.

O sistema pode ser representado na forma matricial, como

65

Ips + Ipt = C(s)p. (4.69)

Tabela 4.1: Resumo quanto a linearidade.

linear A(x, t)vx +B(x, t)vt = C(x, t)vquase-quase linear A(x, t)vx +B(x, t)vt = C(x, t, v)vquase linear A(x, t, v)vx +B(x, t, v)vt = C(x, t, v)vnao linear A(x, t, v, v′)vx +B(x, t, v, v′)vt = C(x, t, v, v′)

A matriz C esta apresentada, em detalhes, na Fig. 5.27.

Examinando a Eq. (4.69) e comparando com a Tab. 4.1 classificamos o sistema, na

condicao de reparo mınimo, como linear.

4.3.2 Analise do sistema de equacoes quanto a natureza

O sistema de EDP de primeira ordem, primeiro grau, homogeneo, Avx +Bvt = 0, x ∈ R,

t > 0, onde A e B sao matrizes k × k, sendo det(B) 6= 0, possui um polinomio carac-

terıstico, definido por Pk (λ) = det (A − λB), onde as raizes de Pk(λ) sao os autovalores

de (A − λB) v = 0.

Tal sistema sera classificado como:

1. elıtico, se nao tiver autovalores reais;

2. parabolico, se tiver k autovalores reais com pelo menos um autovalor repetido e onumero de autovetores linearmente independente for menor do que k;

3. hiperbolico, se tiver k autovalores reais e o numero de autovetores linearmente in-dependentes for igual a k;

4. fortemente hiperbolico, quando a matriz A for diagonalizavel;

5. simetricamente hiperbolico, quando a matriz A for simetrica; e

6. estritamente hiperbolico, quando a matriz A apresentar k autovalores distintos ereais (Thomas, 1995 [47]) (DuChateau and Zachmann, 1986 [13]).

As matrizes A e B do sistema de Eqs. (4.34)-(4.41) sao matrizes identidade. O sistema

pode ser representado na forma matricial, como

66

Ips + Ipt = 0. (4.70)

O polinomio caracterıstico do sistema e

Pk (λ) = det (I − λI) = (1 − λ)8,

Pk(λ) = λ8 − 8λ7 + 28λ6 − 56λ5 + 70λ4 − 56λ3 + 28λ2 − 8λ + 1,(4.71)

que possui oito autovalores reais e iguais a 1. Os autovetores associados formam uma

base para o ℜ8,

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

sendo, portanto, linearmente independentes.

Em consequencia dos autovalores serem reais e dos autovetores serem linearmente

independentes, o sistema de EDP atende aos itens 3, 4 e 5 podendo ser classificado como

forte e simetricamente hiperbolico.

4.4 Parametros do modelo

As estimativas das taxas de falha e taxas de reparo adotaram metodos estatısticos que

sao descritos a seguir.

4.4.1 Taxa de falha

A funcao taxa de falha indica a probabilidade de um item que sobreviveu ate o tempo t,

possa falhar durante o proximo intervalo de tempo. Se um item esta deteriorando, essa

probabilidade aumenta com a idade t.

Para dar uma definicao matematica da funcao taxa de falha, comecamos com o tempo

para falhar de um determinado item, T , isto e, o tempo desde que o item entrou em

operacao ate que a primeira falha ocorra. Esse tempo e uma variavel aleatoria com

67

alguma distribuicao. A funcao taxa de falha, λ(t), pode ser definida como

λ(t)∆t ≈ Pr(t < T ≤ t + ∆t|T > t) (4.72)

O lado direito desta relacao denota a probabilidade de que o item va falhar no in-

tervalo (t, t + ∆t) quando o item esta funcionando no tempo t ou, em outras palavras,

a probabilidade de que um item que atingiu a idade t possa falhar no proximo intervalo

(t, t + ∆t). A aproximacao e suficientemente acurada quando ∆t e pequeno.

A funcao taxa de falha e designada na literatura inglesa como hazard rate ou force of

mortality.

A vida de um item pode ser observada em 3 fases: mortalidade infantil, vida util e

envelhecimento. A funcao taxa de falha tem aspectos diferentes em cada fase.

Figura 4.7: Regioes da curva da banheira.

A funcao taxa de falha pode ser decrescente na fase de mortalidade infantil, aproxima-

damente constante na fase de vida util e crescente no envelhecimento. A curva da Fig. 4.7

e chamada de curva da banheira, devido ao seu aspecto, e e considerada um modelo

realıstico para equipamentos que tem a taxa de falha decrescente na fase de mortalidade

infantil, aproximadamente constante durante a vida util e na fase de envelhecimento a

taxa de falha crescente (Rigdon and Basu, 2000 [38]).

Se assumimos que a funcao taxa de falha e constante durante a vida util, isso significa

que, no modelo matematico da taxa constante, o item nao esta deteriorando durante essa

fase, embora se saiba que, na realidade, o item esteja se deteriorando continuamente,

porem, nao apresente indıcios significativos de deterioracao. A deterioracao se inicia

68

quando o item entra na fase de envelhecimento.

A mortalidade infantil pode ser causada por qualidade do item ou problemas de ins-

talacao. Os problemas de qualidade podem ser removidos por inspecao antes da instalacao.

Os problemas de instalacao foram expurgados na base de dados que sera utilizada. Assim,

a base de dados comeca na fase de vida util e nao incluem dados de mortalidade infantil.

Os detalhes sobre a base de dados OREDA 2000 estao apresentados na Secao 4.7, Dados

Experimentais.

Os itens cobertos pela base de dados sao sujeitos a manutencao periodica ou polıtica de

substituicao. Alguns desses itens sao, portanto, substituıdos sistematicamente antes que

se atinja a fase de envelhecimento. Por exemplo, nao se pode esperar que uma palheta de

turbina se desprenda para, entao, substituı-la. As palhetas sao substituıdas muito antes

da fase de envelhecimento.

Todas as estimativas de taxas de falha apresentadas na base de dados sao baseadas na

hipotese de que a funcao taxa de falha e constante e independente do tempo, λ(t) = λ.

Nao foram feitos testes estatısticos para verificar a veracidade da proposicao de taxa

de falha constante, entretanto, se considera que seja aproximadamente constante durante

a vida util (Rigdon and Basu, 2000 [38]).

A aceitacao dessa proposicao de taxa de falha constante significa que, durante a vida

util, os dados representam um tipo de mınimo sobre todo o ciclo de vida do equipamento.

Uma consequencia da adocao da taxa de falha constante e que um item resulta tao

bom quanto um novo ate que a falha ocorra. Na fase de vida util, todas as falhas sao

supostas aleatorias, seguem a distribuicao exponencial e sao independentes da idade do

item.

O tempo medio para falhar, MTTF, (mean time to failure), por definicao, e o valor

esperado do tempo de vida antes que a primeira falha ocorra. Se a funcao confiabilidade

de um item e R(t), entao

MTTF =

∞∫

0

tf(t) dt =

∞∫

0

R(t) dt (4.73)

A taxa de falha constante acarreta que o tempo medio para falhar, MTTF, e igual ao

inverso da taxa de falha

69

MTTF =

∞∫

0

R(t) dt =

∞∫

0

e−λt dt =1

λ(4.74)

Outra consequencia da adocao de taxa de falha constante na regiao de vida util e a

simplificacao que acarreta no sistema de equacoes de Markov, Eq. (4.34) a Eq. (4.41).

Quando a taxa de falha e constante, a variavel t, idade do equipamento, e uma variavel

aleatoria contınua que se comporta segundo uma distribuicao exponencial e a funcao

densidade de probabilidades e

P (t) = λe−λt (4.75)

A distribuicao exponencial e a unica distribuicao aleatoria contınua sem memoria, isto

e, o estado futuro do processo depende somente do estado presente e nao da historia do

passado. Esta propriedade chama-se propriedade de Markov. Conforme visto no Cap. 1,

Introducao, o modelo markoviano se caracteriza por possuir duas restricoes. A primeira

restricao estabelece que a variavel aleatoria t deve ter uma distribuicao exponencial e a

segunda, que a matriz de probabilidades de transicao entre os estados funcionado e falho,

T , deve ser constante. Em consequencia, na regiao de vida util, o sistema e markoviano

na variavel t. A variavel complementar s nao existe quando a taxa de falha e constante.

Nos casos praticos, onde a taxa de falha e apenas aproximadamente constante, a variavel

complementar s existe, mas e de pequena influencia na determinacao das probabilidades

dos estados de falha (Ramakumar, 1993 [36]).

Como a variavel complementar s nao existe, ou e possıvel desprezar, o sistema de

equacoes diferenciais parciais se transforma num sistema de equacoes diferenciais or-

dinarias, como o que modela a regiao de vida util.

4.4.2 Sistema de equacoes durante a vida util

Durante a regiao de vida util, o sistema de equacoes de Markov fica na forma

pi = pi(t), λ = constante e µ = constante :

dp1

dt= −3(λT + λG)p1 + µT p2 + µGp3 + µT p4 + µGp5 + µT p6 + µGp7 (4.76)

70

dp2

dt= λT p1 − (µT + 2λT + 2λG)p2 (4.77)

dp3

dt= λGp1 − (µG + 2λT + 2λG)p3 (4.78)

dp4

dt= λT p1 − (µT + 2λT + 2λG)p4 (4.79)

dp5

dt= λGp1 − (µG + 2λT + 2λG)p5 (4.80)

dp6

dt= λT p1 − (µT + 2λT + 2λG)p6 (4.81)

dp7

dt= λGp1 − (µG + 2λT + 2λG)p7 (4.82)

dp8

dt= 2(λT + λG)(p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7) (4.83)

p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8 = 1 (4.84)

A aplicacao de cada sistema de equacoes, EDO ou EDP, vai depender da idade da

planta de processo. Durante a vida util, as equacoes mais adequadas sao as equacoes

diferenciais ordinarias. E na fase de envelhecimento, sao as equacoes diferenciais parciais.

A Fig. 4.8 mostra de maneira esquematica quando se usa um ou outro sistema de equacoes.

Figura 4.8: Escolha do sistema de equacoes conforme a idade da planta.

Durante a fase de vida util, as falhas ocorrem aleatoriamente, entretanto a taxa de

falha, λ, que caracteriza essa ocorrencia aleatoria e constante. Por exemplo, uma bomba

71

de uso no bombeamento de petroleo apresenta, aleatoriamente, 124 falhas a cada um

milhao de horas de vida, ver Anexo A. Depois de 2 ou 3 anos de funcionamento, porem

ainda na fase de vida util, a bomba vai continuar apresentando a mesma taxa de falha

constante igual a 124 falhas/106 horas. O valor da taxa de falha nao depende do passado

da bomba. A unica variavel independente envolvida no problema e o tempo, fazendo,

portanto, que a modelagem por um sistema de EDOs seja adequada.

A observacao experimental, entretanto, mostra que, apos decorrido um tempo de uso,

que depende de cada equipamento, a constancia da taxa de falha deixa de se verificar

e passa a apresenta um valor crescente com o tempo. A taxa de falha, λ(t), se torna

funcao do tempo. Essa situacao ficou convencionada chamar-se de fase de envelheci-

mento. Por exemplo, dois motores eletricos de uso no acionamento de bombas, tais como

a descrita acima, apresentam, cada motor, 67 falhas a cada um milhao de horas de vida,

ver Anexo A. Um dos motores foi utilizado em condicoes normais de uso, vale dizer,

temperatura ambiente e acionamento de carga nominal. O outro motor foi instalado em

um compartimento com temperatura acima da normal e acionando uma carga pulsante

acima da nominal. Apos decorrido o tempo de vida util, ambos os motores deverao entrar

na fase de envelhecimento. A taxa de falha em funcao apenas do tempo de vida, λ(t),

nao representa adequadamente a situacao apresentada onde cada motor foi submetido a

condicoes de desgaste diferentes. A taxa de falha e melhor representada como funcao da

idade, t, e das condicoes de trabalho a que o equipamento foi submetido, s. A funcao

taxa de falha, entao, e λ(s, t). O valor da taxa de falha depende da idade e do passado

do equipamento. A modelagem do problema na fase de envelhecimento resulta em um

sistema de EDPs.

A taxa de falha λ(s, t) aparece no sistema de EDPs como coeficiente das variaveis

p(s, t). Para tornar o sistema de EDPs invariante com o tempo, foi adotada a tecnica

constante por partes onde cada parte corresponde a uma iteracao. Assim, durante cada

iteracao o valor de λ(s, t) e avaliado e mantido constante.

A separacao entre as regioes de vida util e de envelhecimento nao corresponde a uma

data determinada. Essa passagem e gradativa caracterizando a regiao onde se inicia o

envelhecimento das instalacoes. Nao e um tempo definido, portanto, ate onde deve ser

72

utilizado o sistema de EDO e a partir de quando prevalece o sistema de EDP. O criterio

de escolha do sistema mais adequado se baseia no crescimento da taxa de falha. Enquanto

a taxa de falha se mantiver aproximadamente constante, o sistema de EDO representa

melhor a realidade. Se a taxa de falha aumentar com o tempo, sera necessario modelar o

problema com um sistema de EDP.

4.4.3 Itens reparaveis e nao reparaveis

E importante distiguir entre items reparaveis e nao reparaveis quando vamos avaliar a

confiabilidade.

Para um item nao reparavel, como lampadas ou transitores, confiabilidade e a proba-

bilidade de sobrevivencia de um item alem da vida esperada ou por um perıodo durante

sua vida quando somente uma falha pode ocorrer. Durante a vida do item, a probabili-

dade instantanea da primeira e unica falha e chamada de taxa de falha. A confiabilidade

do sistema e uma funcao do tempo para a primeira falha.

Quando itens reparaveis falham, confiabilidade e a probabilidade que a falha nao ocorra

em um perıodo de interesse, quando mais de uma falha pode ocorrer. A probabilidade

pode ser expressa como taxa de falha ou taxa de ocorrencia de falhas (rate of occurrence

of failures - ROCOF). A taxa de falha expressa a probabilidade instantanea da falha

por unidade de tempo, quando diversas falhas podem ocorrer em um tempo contınuo. A

denominacao “taxa de falha” tem sido utilizada incorretamente para itens nao reparaveis.

Um item sendo nao reparavel nao pode ter uma taxa de falha. Um item nao reparavel

tem tempo medio para falhar.

A confiabilidade de sistemas reparaveis pode tambem ser caracterizada pelo tempo

medio entre falhas (time between failures - MTBF), mas somente no caso particular de

taxa de falha constante.

Estamos focalizando a disponibilidade de itens reparaveis porque o reparo consome

tempo. A disponibilidade e influenciada pela taxa de ocorrencia de falhas (taxa de falha)

e pelo tempo de manutencao. A manutencao pode ser corretiva ou preventiva (Lewis,

1996 [26]).

A manutencao corretiva visa recuperar o sistema que ja se encontra no estado falho

73

para o estado operacional. A corretiva nao pode ser programada, normalmente e uma

situacao imprevista.

A manutencao preventiva se antecipa a ocorrencia da falha e, por meio de uma in-

tervencao planejada, previne a falha efetuando um reparo preventivo. A manutencao

preventiva pode ser do tipo preditiva, planejada ou ambas. Na manutencao preditiva, e

feita uma inspecao que pode desencadear, ou nao, uma intervencao baseada na condicao

do equipamento, dependendo do resultado da inspecao. Na manutencao programada, e

feito um planejamento baseado no historico dos tempos entre falhas. Admite-se que os

tempos entre falhas sigam uma distribuicao normal e calcula-se o intervalo de manutencao

de modo que somente ocorra um determinado percentual de manutencao corretiva. O per-

centual toleravel de manutencao corretiva e escolhido para atender a disponibilidade do

sistema, definida para a regiao de vida util, como

A =µ

λ + µ(4.85)

onde A e a disponibilidade durante a vida util, λ e a taxa de falha e µ e a taxa de reparo.

O valor definido para a disponibilidade de cada equipamento e uma decisao gerencial,

que segue criterios de dependabilidade, isto e, um balanco entre confiabilidade, disponi-

bilidade, seguranca e custo (Logiaco, 1979 [28]).

Os tempos de parada para corretiva entram no calculo das taxas de falha e de reparo.

Os tempo de parada do equipamento para inspecao ou preventiva nao entram no calculo

das taxas. Entretanto, se, ao termino da inspecao ou da preventiva, o equipamento nao

puder ser operado normalmente, entao, a intervencao e reclassificada como corretiva e os

tempos sao computados nas taxas.

Um reparo pode ser feito de dois modos. Quando o sistema apresentar falha, o reparo

pode ser feito:

• apenas corrigindo a falha para que o sistema volte a funcionar, ou

• substituindo todos os componentes que apresentarem desgaste.

O reparo do primeiro tipo recebe o nome de reparo mınimo. O do segundo tipo,

chama-se reparo de renovacao. Reparo mınimo significa que o sistema permanece, apos

o reparo, nas mesmas condicoes em que estava antes de falhar. Isto e, tao ruim quanto o

74

velho. Reparo de renovacao significa que, apos o reparo, o sistema recupera a sua condicao

de sistema novo. Ou seja, tao bom quanto o novo (Rigdon and Basu, 2000 [38]).

A substituicao de parte dos componentes nao e suficiente para caracterizar o reparo

de renovacao. O reparo de renovacao ideal pressupoe o atendimento de duas condicoes

(Ramakumar, 1993 [36]):

• a duracao do reparo deve ser pequena quando comparado com o tempo entre falhas,de modo que possa ser considerado igual a zero;

• apos o reparo, o conjunto pode ser considerado como novo.

Figura 4.9: Curva da banheira sob reparo mınimoe de renovacao.

Estas condicoes sao extremas. Um re-

paro real se situa em algum ponto inter-

mediario entre estas condicoes onde alguns

componentes sao substituıdos e outros sao

ajustados. Nao se sabe, a priori, a qual

tipo de reparo o sistema sera submetido,

portanto, e necessario trabalhar com am-

bas condicoes extremas considerando as

solucoes como envoltorias da condicao real.

A Fig. 4.9 mostra a curva da banheira nas duas condicoes. No reparo mınimo, a curva

apresenta o tracado que teria se nao tivesse havido o reparo. No reparo de renovacao, a

curva recomeca da taxa de falha da vida util, que e uma taxa constante.

O tipo de reparo afeta a curva da banheira na regiao de envelhecimento, mas nao

tem influencia sobre a regiao de vida util. Na regiao de envelhecimento, o reparo mınimo

mantem a taxa de falha no valor que possuia antes da falha. O reparo de renovacao, nesta

regiao, reconduz a taxa de falha para o valor de vida util. Na regiao de vida util, tanto o

reparo mınimo quanto o de renovacao retornam ao mesmo valor anterior a falha, devido

a taxa de falha nesta regiao ser constante.

4.4.4 Simplificacao da cadeia de Markov

Conforme e possıvel observar nas Figs. 3.9 e 3.10, que apresentam as probabilidades de fa-

lha calculadas por Monte Carlo, a probabilidade de colapso do sistema, p8, e funcao, prin-

75

cipalmente, da probabilidade do estado inicial, p1, onde todas os TGs estao em condicoes

operacionais. As probabilidades p3, p5 e p7, que representam os estados de falha dos

geradores, tem um valor desprezıvel.

Figura 4.10: Probabilidades de falha calculadaspor tecnica de Monte Carlo.

As probabilidades de falha das turbinas,

p2, p4 e p6, apresentam valores inferiores a

14%. As probabilidades de falha maximas

das turbinas ocorrem com 500 horas de

operacao na condicao de reparo perfeito e

200 horas na condicao de reparo mınimo,

ambas tendem a zero daı em diante.

A Fig. 4.10 mostra, em linha cheia, a

probabilidade inicial, p1, em funcao da pro-

babilidade de colapso do sistema, p8. A

irregularidade que aparece na proximidade

do ponto p8 = 0, 1 e devida as probabilida-

des p2, p4 e p6. Se considerarmos que estas probabilidade podem ser desprezadas porque

max {p2, p4, p6} < 14% e

limt→∞

{p2, p4, p6} = 0,

a relacao entre as probabilidades dos estados inicial e final pode ser representada por uma

linha reta unindo os pontos de p1 = 1 e p8 = 1. Na Fig. 4.10, essa reta aparece tracejada.

A adocao desta hipotese simplificadora resulta, na pratica, em modificar o diagrama

de estados da cadeia de Markov, Fig. 3.12, para apenas dois estados: o estado inicial e

o final, conforme Fig. 4.11. Tudo se passa como se a falha de uma das seis maquinas

acarretasse, imediatamente, a falha de outra determinando, assim, o colapso do sistema

de geracao.

O sistema de equacoes que modela o diagrama simplificado da Fig. 4.11 e formado

por uma equacao de Markov, para o estado inicial na condicao de reparo mınimo, e pela

equacao de restricao, para o estado final. Por simplicidade, sera utilizado pi = pi(s, t)

e λ = λ(s).

76

∂p1

∂t+

∂p1

∂s= −3(λT + λG)p1, (4.86)

p8 = 1 − p1. (4.87)

Figura 4.11: Diagrama de estados da ca-deia de Markov, simplificado para representarapenas os estados inicial e final.

As condicoes iniciais sao:

p1 (s, 0) = u (t) ;

p8 (s, 0) = 0,(4.88)

com as condicoes de contorno:

p1 (0, t) = u (t) ;

p8 (0, t) = 0.(4.89)

Como o sistema formado pela Eqs. (4.86)

e (4.87) e desacoplado, a solucao pode ser obtida

resolvendo a primeira equacao e substituindo na

segunda.

p1 = e−3(λT +λG)t (4.90)

p8 = 1 − e−3(λT +λG)t (4.91)

A solucao do sistema simplificado esta apre-

sentada na Fig. 6.2, onde se observa que as

variaveis de estado p2 . . . p7, apesar de, aparentemente poderem ser desprezadas, tem

fundamental importancia na determinacao correta da solucao das variaveis p1 e p8.

4.4.5 Taxa de ocorrencia de falhas - ROCOF

O ROCOF e a taxa de falha incondicional de um sistema. Para definir o ROCOF neces-

sitamos de algumas definicoes.

Seja um sistema que entrou em operacao no tempo s = 0, e seja N(s) o numero

acumulado de falhas no perıodo de tempo que vai de 0 ate s. A quantidade N(s) e uma

variavel aleatoria, e o valor esperado de N(s) e denominado V (s). O ROCOF, ν(s), e

definido como a derivada no tempo de V (s). E possıvel demonstrar que, para pequenos

77

intervalos de tempo ∆s, o produto ν(s) · ∆s e, aproximadamente, igual a probabilidade

de falha no intervalo (s, s + ∆s].

Assim como para a taxa de falha, a funcao ROCOF, ν(s), tambem pode ter uma forma

de curva da banheira, conforme mostrado na Fig. 4.12.

Figura 4.12: Comparacao entre a funcao ROCOF, ν(s), e a taxa defalha, λ(t), onde t e a idade do equipamento e s e a duracao da missao.

Tanto o ROCOF como a taxa de falha podem ser utilizados em sistemas reparaveis,

como mostrado na Fig. 4.12.

O ROCOF, ν(s), se refere ao tempo local s, isto e, o contador de tempo e zerado a

cada vez que o sistema e reparado.

A taxa de falha, λ(t), se refere ao tempo global t, isto e, o contador de tempo e zerado

quando o sistema e instalado e segue independentemente do que acontece com o sistema.

E a idade do sistema.

A semelhanca entre as curvas ROCOF e taxa de falha permite que sejam utiliza-

dos valores da taxa de falha para calcular o envelhecimento local e a mesma curva seja

considerada para o caso do envelhecimento global. (OREDA 97 Supplement, 1997 [45])

Tudo se passa como se cada ponto da curva da funcao taxa de falha tivesse a sua

propria funcao taxa de falha. Para distinguir uma da outra, a curva do tempo global

recebe o nome de Taxa de Falha e e representada por λ(t) enquanto que a curva do tempo

local e chamada de ROCOF e e representada por ν(s). As variaveis independentes t e s

sao variaveis aleatorias.

No trecho aproximadamente reto e horizontal da funcao taxa de falha, λ(t) e aproxi-

78

madamente constante, λ(t) ≈ λ. Sendo t uma variavel aleatoria e λ(t) constante, acarreta

que a funcao densidade de probabilidades de t seja exponencial f(t) = λe−λt.

A distribuicao exponencial nao tem memoria, vale dizer que, no trecho aproximada-

mente reto e horizontal da funcao taxa de falha, correspondente a vida util do sistema, as

propriedades de cada ponto nao dependem de nenhum ponto anterior. Assim, a funcao

ROCOF de um determinado ponto vale para qualquer outro ponto da vida util do sistema.

Essa propriedade permite deslocar a funcao ROCOF, calculada em algum ponto da

vida util, para o ultimo instante da vida util que vem a ser o inıcio da fase de envelheci-

mento. E possıvel, portanto, obter experimentalmente a funcao taxa de falha na regiao

de envelhecimento sem ter que esperar a ocasiao em que o sistema estiver realmente

envelhecido.

4.4.6 Taxa de reparo - ROCOF

Modelos de taxa de reparo podem ser baseados na contagem cumulativa do numero de

falhas no tempo. Uma abordagem diferente e usada para modelar a incidencia da taxa

de ocorrencia de falhas para um sistema reparavel. Essas taxas sao chamadas taxas de

reparo (nao confundir com a duracao do reparo).

O tempo e medido pelo horımetro do sistema a partir da primeira partida no tempo

zero, ate o fim da vida do sistema. Ocorrem falhas em determinadas idades do sistema e

o mesmo e reparado para um estado que pode ser o mesmo como novo, na condicao de

reparo de renovacao, ou melhor ou pior, na condicao de reparo mınimo. A frequencia de

reparos pode ser aumentada, diminuıda ou permanecer estavel com uma taxa constante.

Seja N(t) uma funcao de contagem que armazena o numero acumulado de falhas que

um dado sistema teve desde tempo zero ate o tempo t. N(t) e uma funcao de contagem

inteira que incrementa uma unidade cada vez que uma falha ocorre e permanece neste

novo nıvel ate a proxima falha.

Cada sistema vai ter sua propria funcao N(t). Se observarmos as curvas N(t) para

um grande numero de sistemas similares e tirarmos a media dessas curvas, poderemos ter

uma estimativa de M(t) = numero esperado acumulado de falhas por tempo t para esses

sistemas.

79

As curvas N(t) nao representam dados homogeneos dos quais se possa tirar a media

aritmetica com representatividade no conjunto das curvas. As curvas sao, portanto, ini-

cialmente censuradas, depois sao atribuıdos pesos as curvas remanescentes e, finalmente,

sao obtidas as medias ponderadas.

A derivada de M(t), denominada m(t), e definida como a taxa de reparo ROCOF. A

taxa de reparo e, portanto, a taxa de falhas media, por unidade de tempo.

4.4.7 Parada administrativa

O banco de dados Oreda, conforme Anexo A, acompanhou 84 turbinas instaladas em

23 plataformas e 105 geradores instalados em 59 plataformas. Essas instalacoes ja estao

em operacao, cada plataforma tendo o seu proprio tempo de vida. E razoavel supor que

esses equipamentos possam ser classificados como usados em bom estado. Entretanto, as

determinacoes numericas efetuadas na Secao 5.2, Analise das curvas de Weibull, apontam

para valores caracterısticos de equipamentos novos. Esse fato nao significa que grande

parte dessas instalacoes fosse nova no perıodo do acompanhamento.

Valores do parametro β menores do que 1 para equipamentos usados sao causados por

paradas administrativas para as quais nao houve falha. As paradas administrativas sao as

causadas pelo processo de producao ou pelo mercado que nao esta absorvendo a producao

(Lafraia, 2001 [25]).

As paradas administrativas influem no parametro β devido a definicao do tempo medio

entre falhas - MTBF (mean time between failure). O MTBF e a razao entre o tempo de ob-

servacao de diversos equipamentos e o numero total de falhas que ocorreram nesse tempo,

em todos os equipamentos. Durante uma parada administrativa, o equipamento nao apre-

senta falha, mas o tempo de observacao continua contando. O MTBF aumenta porque o

numerador aumenta e o denominador diminui. Ver Fig. 3.1, Tempos na confiabilidade.

O sistema escolhido para o estudo de caso, sistema de turbogeracao, apresenta, alem

do exposto acima, a peculiaridade de somente dois TGs estarem em operacao, enquanto o

terceiro permanece de reserva, as vezes parado e outras vezes em reserva girante, porem,

sem carga.

De um modo geral os sistemas redundantes, tipo k de n, ver Secao 3.3, Descricao do

80

sistema fısico, tendem a apresentar o parametro β, da distribuicao de Weibull, menor do

que o esperado para a idade do equipamento. Quanto menor o k, numero de maquinas

em operacao, em relacao a n, numero de maquinas disponıveis, maior sera o tempo que

cada maquina fica fora de operacao sem apresentar falha, resultando em um parametro β

menor.

4.5 Procedimentos para as estimativas

Quando temos dados de falha de itens identicos que operaram sob as mesmas condicoes

operacionais e ambientais, entao temos uma amostra homogenea. O unico dado que

necessitamos para estimar a taxa de falha neste caso, sao o numero de falhas observadas,

n, e o tempo agregado em servico, τ .

O tempo agregado em servico e o tempo das maquinas em observacao, podendo ser

varias maquinas observadas uma vez cada, uma maquina observada varias vezes ou ambos

os casos.

O estimador λ e, entao:

λ =n

τ(4.92)

O tempo agregado em servico pode ser medido tanto em temo de calendario t como

em duracao da missao s.

Esta abordagem e valida somente nas seguintes situacoes:

Tempos de falhas para um especificado numero de itens, com a mesma taxa de falha.

Diversas falhas para um unico item, com a taxa de falha constante no perıodo de

observacao.

Uma combinacao das duas situacoes acima, isto e, diversos itens onde cada item

pode ter diversas falhas. (OREDA 97 Supplement, 1997 [45]).

4.5.1 Intervalo de confianca para a taxa de falha

A incerteza do valor estimado λ pode ser apresentada como intervalo de confianca de 90%.

Isto e, um intervalo (λL, λU), tal que o valor exato λ esteja no intervalo

81

Pr(λL ≤ λ < λU) = 90%.

Com n falhas durante um tempo agregado em servico τ , este intervalo de confianca

de 90% e dado por:

(

1

2τZ0.95,2n,

1

2τZ0.05,2(n+1)

)

onde Z0.95ν e Z0.05ν denotam os percentis

95% e 5%, respectivamente, da distribuicao qui-quadrado, χ2, com ν graus de liberdade.

Note que o este intervalo e um intervalo de confianca para a taxa de falha de um item

que ja foi observado. Nao ha garantia de que itens instalados no futuro venham a ter a

taxa de falha dentro deste intervalo. Apesar disso, neste trabalho, sera considerado que

o intervalo de confianca vai ser respeitado por itens futuros.

4.5.2 Estatıstica multi-amostral

Em muitos casos nao existe uma amostragem homogenea dos dados. Os dados agregados

para um item podem vir de diversas instalacoes com diferentes condicoes ambientais e

operacionais, ou e necessario apresentar uma estimativa da taxa de falha “media” para

itens diferentes. Neste caso, vai ocorrer a mistura de diversos itens de amostras nao-

homogeneas. Este procedimento chama-se estatıstica multi-amostral. Ver teorema 3 do

Limite Central, na Secao 5.5, Reducao de um sistema complexo a outro equivalente.

As diversas amostras podem ter diferentes taxas de falhas e tamanhos diferentes e,

portanto, intervalos de confianca diferentes. Misturar todas as amostras e estimar uma

taxa de falha media dividindo o numero total de falhas pelo tempo agregado em servico

nem sempre vai dar um resultado correto. O intervalo de confianca sera excessivamente e

irrealisticamente pequeno. O procedimento de estimacao precisa ser mais avancado para

tratar o problema da estatıstica multi-amostral.

O estimador OREDA esta baseado nas seguintes consideracoes:

Existem k amostras diferentes. Uma amostra pode, por exemplo, corresponder a

uma plataforma, e podem existir dados de itens similares de k plataformas diferentes.

Na amostra numero i, sao observadas ni falhas durante o tempo total em servico τi,

para i = 1, 2, . . . , k.

A amostra numero i tem uma taxa de falha constante λi para i = 1, 2, . . . , k.

82

Devido a diferentes condicoes operacionais e ambientais, a taxa de falha λi pode

variar de uma amostra para outra.

A variacao da taxa de falha entre amostras pode ser modelada assumindo que taxa de

falha e uma variavel aleatoria com uma distribuicao dada por uma funcao densidade de

probabilidades π(λ).

A taxa de falha media fica:

θ =

∞∫

0

λ · π(λ)dλ (4.93)

e a variancia fica:

σ2 =

∞∫

0

(λ − θ)2 · π(λ)dλ (4.94)

4.5.3 Posto mediano

F (k, n) e o estimador da probabilidade acumulada de falha para o k-esimo intervalo de n

intervalos iguais.

O termo mediano e um valor de tendencia central do conjunto de dados tal que 50%

dos valores sao maiores que a mediana e 50% sao menores do que a mediana. O termo

posto significa que os dados sao colocados em algum tipo de ordem.

Os valores de taxa de falha devem ser acumulados e postos em ordem crescente. A

probabilidade atribuıda a cada valor acumulado e o posto mediano, de forma que exitam

50% de probabilidades de ocorrencia de valores de taxa de falha maiores ou menores do

que o valor em questao.

O eixo Y , ou posto mediano, pode ser estimado aproximadamente por (Cheriff, 2003

[10]):

m ≈(

k − 0.3

n + 0.4

)

(4.95)

onde: m e o posto mediano; k e o numero de ordem da falha depois de colocada em ordem

crescente e n e o numero total de amostras

Uma tabela com os valores do posto mediano esta no livro Weibull Handbook [1].

A formula para calculo exato do posto mediano e:

83

n∑

k=1

n!

k! (n − k)!mk (1 − m)n−k = 0.5 (4.96)

Neste trabalho foram adotadas amostras de tamanho igual a 7. A Tab. 4.2 apresenta

os valores do posto mediano para amostras de tamanho 7 (Abernethy, 2003 [1]).

Tabela 4.2: Posto mediano de 7 classes.

classe 50%1 0.094302 0.228493 0.364124 0.500005 0.635886 0.771517 0.90572

4.5.4 A distribuicao Binomial

Suponha que n experimentos independentes, ou ensaios, sao executados, onde n e um

numero fixo, e que cada experimento resulta num “sucesso” com probabilidade p e numa

“falha” com probabilidade 1−p. O numero total de sucessos, X, e uma variavel aleatoria

com parametros n e p. Por exemplo, uma moeda e lancada 10 vezes e o numero total de

caras e contado (aqui “cara” e um sucesso). A probabilidade que X = k, denotada por

P (k), pode ser encontrada como

P (X = k) = P (k) =n!

k! (n − k)!pk(1 − p)n−k. (4.97)

4.5.5 Utilizacao do papel Weibull

Um metodo para determinar os parametros da distribuicao Weibull e pelo uso do papel

Weibull. E um tipo de papel para graficos onde os eixos x e y estao modificados para

representar a funcao densidade cumulativa de Weibull,

F (t) = 1 − e−( t

η )β

, (4.98)

segundo uma linha reta. Para isso,

84

x = ln (t) (4.99)

e

y = ln

{

ln

[

1

1 − F (t)

]}

. (4.100)

A funcao F (t) deve ser colocada na forma y = ax + b, como segue

ln [1 − F (t)] = −(

t

η

)β

(4.101)

ln {− ln [1 − F (t)]} = β ln

(

t

η

)

(4.102)

ln

{

ln

[

1

1 − F (t)

]}

= β ln (t) − β ln (η) (4.103)

Fazendo uma substituicao de variaveis,

y = ln

{

ln

[

1

1 − F (t)

]}

(4.104)

e

x = ln (t), (4.105)

a equacao passa a ter a forma de uma linha reta

y = βx − β ln (η) , (4.106)

onde o coeficiente angular e β e a intersecao com o eixo vertical e −β ln (η).

As vantagens da determinacao grafica dos parametros β e η da distribuicao Weibull

sao a apresentacao visual e a facilidade de utilizacao. Entretanto, a ajustagem manual da

reta de ajste depende da habilidade pessoal de quem a faz e nao ha meios de saber qual

o tamanho ideal da amostra. O metodo grafico tem um erro e nao e possivel estimar a

ordem de grandeza deste erro. No presente trabalho, foram escolhidos sete pontos para

tamanho da amostra (Murthy, Xie and Jiang, 2004 [12]). O papel Weibull e os pontos

escolhidos estao apresentados nos Anexos B.1 e B.3.

Supondo que ja exista uma colecao de ocorrencias de falhas e seus correspondentes

tempos para falhar, a determinacao grafica dos parametros de uma distribuicao Weibull

segue os seguintes passos:

85

• ordenar os tempos para falhar em ordem crescente;

• calcular o posto mediano, MR, (do ingles mean rank) de cada ocorrencia de falhapela distribuicao binomial de 50%, pela Eq. (4.97)

n∑

k=i

(

n

k

)

(MR)k (1 − MR)n−k = 0.50,

onde n e o tamanho da amostra e i e o numero de ordem da falha;

• sobre um papel Weibull, marcar os tempos no eixo horizontal e os correspondentespostos medianos na vertical;

• desenhar uma linha reta passando por esses pontos, denominada reta ajustada;

• desenhar uma paralela que passe pelo ponto assinalado no papel Weibull, a escalano topo do grafico fornece o valor de β;

• desenhar uma reta horizontal que passe pelo ponto assinalado no papel Weibull;

• desenhar uma reta vertical a partir do cruzamento da reta horizontal com a retaajustada, a escala no eixo horizontal inferior fornece o valor de η.

4.6 Matriz de probabilidades de transicao

A cadeia de Markov apresentada na Fig. 3.12 e um sistema que pode estar em cada um

dos estados numerados de 1 a 8, e pode transitar de um estado para outro, uma transicao

de cada vez, segundo probabilidades estabelecidas.

Se o sistema de Markov estiver no estado i , existe uma certa probabilidade, pij, de

que o sistema va para o estado j. O valor pij e a probabilidade de transicao do estado i

para o estado j.

A matriz T , que reune as probabilidades pij, e a matriz de transicao associada ao

sistema. A soma dos elementos de cada linha e igual a 1. A matriz de transicao forma

uma tabela “De-Para” de probabilidades de transicao, onde as linhas sao os estados “De”

e as colunas sao os estados “Para”.

Os elementos da diagonal principal da matriz de transicao contem os complementos

para que cada linha totalize igual a 1. A matriz de probabilidades de transicao do sistema

em estudo esta apresentada na Fig. 4.13.

Esse sistema pode ser representado em um diagrama de transicao de estados, que e

onde aparecem todas as probabilidades de transicao entre os estados. Nesse diagrama sao

representadas tambem as probabilidades de transicao da diagonal, isto e, do estado i para

86

Figura 4.13: Matriz de probabilidades de transicao, T.

i e do estado j para j, de modo que, em qualquer estado, a soma das probabilidades das

setas que saem de cada estado resulte igual a 1.

A Fig. 4.14 ilustra o diagrama de transicao de estados.

Figura 4.14: Diagrama de transicao de estados da cadeia de Markov.

87

4.7 Dados experimentais

Todos os dados de confiabilidade utilizados neste trabalho foram obtidos experimental-

mente nas plataformas marıtimas de producao de petroleo que atuam em todo o mundo.

Esses dados estao reunidos em um banco de dados denominado Offshore Reliability Data

— OREDA, que e organizado pela firma noruegesa SINTEF Technology and Society,

Safety and Reliability. O projeto de criar e manter esse banco de dados de confiabilidade

e patrocinado por oito companhias de petroleo de diversos paıses. A tabela 4.3 fornece a

lista dos patrocinadores.

Tabela 4.3: Companhias que formam o grupo OREDA Participants.

compania paısStatoil NoruegaBP InglaterraTOTAL FrancaENI ItaliaHydro NoruegaShell UKExxonMobil USAConocoPhillips Noruega

Alem dos oito patrocinadores, muitas outras companhias de petroleo, inclusive a

PETROBRAS, fornecem os dados iniciais para a formacao da base de dados que sera uti-

lizada no banco de dados. Os inspetores da firma organizadora percorrem as instalacoes

sob inspecao e fazem as anotacoes de interesse da confiabilidade. Uma das anotacoes e a

que orienta a censura dos dados. A alta qualidade do banco de dados OREDA e devida

a censura dos dados que poderiam resultar em um valor incorreto. Finalmente, os dados

validos sao ponderados e obtidas as estatısticas.

O Anexo A apresenta os dados constantes do OREDA para os equipamentos: turbina

a gas, bomba, gerador eletrico e motor eletrico.

O banco de bados OREDA utiliza a seguinte nomenclatura:

Taxonomi number - Tax - e um numero hierarquizado que identifica o equipa-

mento, o Tax de turbina a gas e 1.2. Item e o nome do equipamento.

Population - Pop - e a quantidade de equipamentos que foi inspecionada e aceita

como dado valido. Pop de turbina a gas e 84 significando que foram aceitas 84 turbinas.

88

Installation - Inst - e a quantidade de plataformas diferentes que foram inspecio-

nadas. As 84 turbinas estavam instaladas em 23 plataformas diferentes.

Number of demands - Dem - e o numero de vezes que o equipamento foi solicitado

a dar partida, com sucesso, durante um determinado tempo. As 84 turbinas, em conjunto,

deram um total de 11096 partidas bem sucedidas.

Calendar time - Cal - e o tempo de calendario. E o tempo decorrido desde a

primeira instalacao do equipamento. No exemplo da turbina, e a soma do tempo que

todas as 84 turbinas estiveram instaladas. Nesta tese, corresponde a variavel t.

Operational time - Oper - e o tempo total de funcionamento efetivo do equipa-

mento. O tempo que o equipamento esteve parado, por qualquer motivo, nao conta nesta

variavel. No exemplo da turbina e a soma do tempo que todas as 84 turbinas estiveram

em funcionamento. Nesta tese, corresponde a variavel s.

Number of failures - Fail - e a contagem do numero de falhas que ocorreu durante

um determinado tempo, Cal ou Oper.

Active repair hours - Act - e o tempo de duracao efetiva do reparo do equipamento.

Nesse tempo nao conta o tempo de transporte nem o tempo de espera para iniciar o reparo.

Failure mode - All modes - e o modo como o operador da maquina percebe a falha,

foi escolhido todos os modos, significando que, qualquer que seja o modo, o operador per-

cebera a falha. Nesta tese, consideramos que o operador sempre percebe a falha. O estudo

dos casos em que o operador nao percebe a falha, ou percebe mas interpreta de forma

incorreta, e feito na confiabilidade humana. Ver Anexo E.1, Analise da Confiabilidade

Humana.

Aggregated time in service - e o tempo somado de todos os equipamentos ins-

pecionados. Pode ser medido em Cal ou Oper. Depois, o valor e corrigido para 106

horas.

Failure rate - e a estimativa da taxa de falha. Cada plataforma e considerada uma

amostra e sao utilizadas tecnicas de estatıstica de amostragem para calcular a media e o

desvio padrao. A media assim calculada nao representa o equipamento, mas e representa-

tiva da media da plataforma. O desvio padrao representa a variacao entre as plataformas.

Low e Upper sao nıveis de incerteza. A taxa de falha tem 90% de confianca de estar

89

contida no intervalo (Low, Upper).

MLE - maximum likelihood estimation - e o numero total de falhas de todos os

equipamentos dividido pelo tempo somado de todos os equipamentos. Pode ser calculado

em Cal ou em Oper.

Fail to start on demand - e o numero de vezes que o operador deu a partida

mas o equipamento nao partiu devido a uma falha que nao se manifestou antes porque

o equipamento nao tinha sido solicitado. E decorrente da definicao de falha: a falha so

ocorre quando a funcao que a maquina exerce e necessaria. Este modo de falha nao conta

para o calculo da taxa de falha.

Tabela 4.4: Taxa de falha e taxa de reparo.

A Tab. 4.4 mostra o extrato do OREDA, com as informacoes de taxa da falha, em

10−6 falhas/hora, e taxa de reparo, 10−6 reparos/hora, apresentando somente os valores de

interesse neste trabalho. A coluna lower significa que somente 5% dos valores de taxa de

falha observados eram menores que lower. A coluna upper significa que somente 5% dos

valores de taxa de falha observados eram maiores upper. Os dados completos compoem o

Anexo A, Extrato dos Dados originais do OREDA.

Tabela 4.5: Duracao da missao e do reparo.

A Tab. 4.5 mostra os valores da Tab. 4.4 apos a conversao das taxas de falha e de

reparo para duracao da missao e duracao do reparo, em horas.

Capıtulo 5

Solucao numerica

Para trabalhar com fenomenos aleatorios e necessario escolher uma distribuicao teorica

de probabilidades que represente adequadamente o fenomeno que estiver sendo estudado.

A distribuicao binomial, por exemplo, e apropriada para descrever o numero de falhas

que um equipamento pode apresentar.

A distribuicao binomial tem a expressao

p (X) =N !

X! (N − X)!pXqN−X , (5.1)

onde p(X) e a probabilidade de ocorrerem X falhas na unidade de tempo, p e a proba-

bilidade de ocorrer uma falha, q e a probabilidade da falha nao ocorrer, e N e a taxa de

falha.

Em alguns casos, a ocorrencia de falha pode ser um acontecimento raro. Isso acontece

em equipamentos que nao devem apresentar defeitos por serem de difıcil reparo, como os

de uso militar, por exemplo. Para esses problemas, a distribuicao binomial nao se aplica

porque ela requer as probabilidades de falhar e de nao falhar. A probabilidade de nao

falhar sera, aproximadamente, 100%, prejudicando a precisao do calculo. A distribuicao

de Poisson, Eq. (5.2), necessita apenas da probabilidade de falha.

p (X) =λXe−λ

X!(5.2)

onde p(X) e a probabilidade de ocorrerem X falhas na unidade de tempo, λ e a taxa de

falha. Acontecimentos raros sao modelados pela distribuicao de Poisson.

Se o estudo focalizar o tempo decorrido entre falhas sucessivas, as distribuicoes bino-

90

91

mial e Poisson nao representam bem a aleatoriedade do tempo entre falhas. Durante a

vida util de um sistema, a taxa de ocorrencia de falhas, que e o inverso do tempo entre

falhas, tem um valor constante. A distribuicao exponencial representa melhor o problema

da ocorrencia de falhas durante a fase de vida util porque tem taxa de falha constante.

A Eq. (5.3) e a expressao da distribuicao exponencial.

f (t) = λe−λt (5.3)

onde λ e a taxa de falha e f(t) e funcao densidade de probabilidades-fdp. A area sob a

curva f(t), de −∞ ate t, e a probabilidade de t.

Figura 5.1: Distribuicao de Ray-leigh.

Depois de ultrapassar a fase de vida util, o sistema

comeca a apresentar desgaste. Nessa fase, de envelheci-

mento, observa-se que a taxa de falha nao e mais constante

e aumenta com o tempo. Supondo um crescimento linear

da taxa de falha, a distribuicao dos tempos entre falhas

segue a distribuicao de Rayleigh. A densidade, Eq. (5.6),

tem a taxa de falha, Eq. (5.5), proporcional ao tempo de

vida do equipamento. E uma aproximacao linear da curva da banheira na fase de des-

gaste, como mostra a Fig. 5.1. A taxa de falha, Eq. (5.4), igual a zero significa que, neste

modelo, durante a vida util, o item nao apresenta falhas. A ocorrencia da primeira falha

indica o inıcio do envelhecimento.

λ (t) = 0 para t ≤ t0 (5.4)

λ (t) = k (t − t0) para t > t0 (5.5)

f (t) = kt exp

(

−kt2

2

)

(5.6)

A distribuicao normal de um fenomeno ocorre quando o objeto focalizado e a resultante

de uma soma de componentes aleatorios, que seguem distribuicoes diversas, sem que

nenhum desses componentes seja preponderante sobre os demais.

x = x1 + x2 + . . . + xn (5.7)

A falha de um sistema na fase de envelhecimento e o resultado de um grande numero

de fatores diversos, sem que se possa identificar qualquer deles como principal causador

92

da falha do sistema. A curva normal e uma alternativa para a distribuicao de Rayleigh

na fase de envelhecimento do equipamento. A observacao empırica mostrou que, apos o

tempo de vida util, os tempos em operacao ate falhar se distribuem segundo uma curva

normal. A expressao da curva normal, Eq. (5.8), e

f (t) =1

σ√

2πexp

[

−(t − µ)2

2σ2

]

, (5.8)

onde µ e σ sao a media e o desvio padrao, respectivamente, da duracao da missao somente

da regiao de envelhecimento, nao levando em conta observacoes ocorridas durante a fase

de vida util.

No presente trabalho, que focaliza a fase de envelhecimento de Gauss, foi escolhida

a distribuicao de Weibull para representar a distribuicao da duracao da missao, tanto

da turbina como do gerador, devido a sua versatilidade. A Eq. (5.9) apresenta a funcao

densidade de probabilidades de Weibull de 2 parametros (Ramakumar, 1993 [36]).

f(t) =β

η

(

t

η

)β−1

exp

[

−(

t

η

)β]

, (5.9)

onde β e η sao o fator de forma e de escala, respectivamente.

A curva de Weibull pode ser empregada desde a instalacao ate a falha catastrofica

que pode ocorrer ao final da fase de envelhecimento, tendo um alcance, portanto, cor-

respondente as tres fases, de mortalidade infantil, vida util e envelhecimento. Um dos

parametros de Weibull e o fator de forma β. Este fator transforma a funcao densidade de

Weibull de modo a adequar a funcao densidade de probabilidades para o tipo de estudo

que se pretende fazer.

Tabela 5.1: O parametro β, da distribuicao de Weibull, pos-sibilita adequacao a cada problema.

β Weibull se transforma em para problemas de1 exponencial vida util2 Rayleigh envelhecimento linear3 normal envelhecimento de Gauss

A Fig. 5.7, apresentada mais adiante, mostra as modificacoes na funcao densidade de

Weibull em decorrencia da variacao do fator de forma β.

A determinacao dos parametros de forma β e de escala η e habitualmente determinada

93

por regressao linear. Neste caso, entretanto, a insuficiencia de valores oferecidos pelo

banco de dados Oreda contra-indica este metodo. A utilizacao das relacoes teoricas entre

os parametros fornecidos pelo banco de dados, media µ e desvio padrao σ, das taxas de

falha, conforme Tab. 4.4, e os parametros da distribuicao de Weibull, forma β e escala η,

permitem determinar com precisao os parametros da distribuicao sem a necessidade de

recorrer a regressao linear.

As relacoes teorias sao (Murthy, Xie, Jiang, 2004 [12]):

µ = ηΓ(β−1 + 1) (5.10)

σ2 = η2{Γ(2β−1 + 1) − [Γ(β−1 + 1)]2} (5.11)

A distribuicao lognormal de um fenomeno ocorre quando a variavel aleatoria que

descreve o fenomeno e o resultado de um produto de variaveis aleatorias, que seguem

distribuicoes diversas, sem que nenhuma dessas variaveis seja dominante.

y = y1 y2 . . . yn (5.12)

Ln y = Ln y1 + Ln y2 + . . . + Ln yn (5.13)

A Eq. (5.13) indica que a lognormal e a distribuicao normal dos logaritmos das variaveis

aleatorias. Os fenomenos que tem a participacao humana apresentam essa caracterıstica.

A representacao da distribuicao do tempo de reparo, porque o reparo tem participacao

humana, foi feita pela distribuicao lognormal. A Eq. (5.14) apresenta a funcao densidade

de probabilidades lognormal (Lewis, 1996 [26]).

f(t) =1

tσ∗

√2π

exp

{

−1

2

(

ln(t) − µ∗

σ∗

)2}

(5.14)

As relacoes teoricas entre as estatısticas, media µ e desvio padrao σ, fornecidas pelo

banco de dados, conforme Tab. 4.4, e os parametros µ∗ e σ∗2

da distribuicao lognormal

sao (Crowder, et al., 2000 [16]):

µ = exp(

µ∗ + 12σ∗

2)

(5.15)

σ2 = exp(

2µ∗ + σ∗2) {

exp(

σ∗2)

− 1}

(5.16)

Resolvendo algebricamente o sistema, fica

94

σ∗2

= Ln

{

σ2

exp [2Ln (µ)]+ 1

}

(5.17)

µ∗ = Ln (µ) − 1

2σ∗

2

(5.18)

Foi feita a determinacao grafica dos parametros das distribuicoes de Weibull e lognor-

mal, encontrando-se os valores da Tab. 5.2. Os desenhos, em papel Weibull e lognormal,

estao apresentados no Anexo B, Determinacao grafica dos parametros das distribuicoes.

Tabela 5.2: Parametros obtidos graficamente.

caso 1: turbina-duracao da missao: Weibull β =0,58 η =2900caso 2: turbina-duracao do reparo: lognormal µ∗ =3,0 σ∗ =10,0caso 3: gerador-duracao da missao: Weibull β =0,20 η =150caso 4: gerador-duracao do reparo: lognormal µ∗ =3,8 σ∗ =6,2

Os valores dos parametros da distribuicao de Weibull, β e η, obtidos graficamente,

foram utilizados como valores iniciais nas Eqs. (5.10) e (5.11), para determinacao iterativa

dos valores definitivos pelo metodo de Newton. Os parametros da distribuicao lognormal,

µ∗ e σ∗2, obtidos graficamente, foram utilizados somente para comparacao com os valores

calculados pelas Eqs. (5.17) e (5.18), devido a que foi possıvel explicita-los algebricamente.

Tabela 5.3: Distribuicao Weibull paraduracao da missao da turbina.

Tabela 5.4: Distribuicao lognormal paraduracao do reparo da turbina.

As solucoes dos sistemas formados pelas Eqs. (5.10) e (5.11), da distribuicao de

Weibull, e pelas Eqs. (5.17) e (5.18), da distribuicao lognormal, forneceram os parametros

apresentados nas Tabs. 5.3 a 5.6.

Tabela 5.5: Distribuicao Weibull paraduracao da missao do gerador.

Tabela 5.6: Distribuicao lognormal paraduracao do reparo do gerador.

95

A representacao grafica das funcoes densidade de probabilidades, f(t), obtidas com os

parametros das Tabs. 5.3 a 5.6, estao apresentados nas Figs. 5.2 e 5.3.

Figura 5.2: Turbina, duracoes da missao e do reparo.

Figura 5.3: Gerador, duracoes da missao e do reparo.

5.1 Analise do condicionamento dos parametros das

distribuicoes

O banco de dados OREDA fornece as medias µ e desvios padrao σ das taxas de falha e

de reparo. Mas as distribuicoes utilizam outros parametros. A distribuicao de Weibull

utiliza o fator de forma β e o fator de escala η. A distribuicao lognormal utiliza a media

µ∗ e o desvio padrao σ∗ dos logaritmos dos dados.

Em princıpio, as Eqs. (5.10) e (5.11) deveriam converter de µ e σ da taxa de falha para

β e η de Weibull. Entretanto, o metodo de Newton nao convergiu. As equacoes foram,

entao, modificadas conforme as Eqs. (5.19) e (5.20) e o parametro β foi incrementado

desde 0, 1 ate o valor em que η1 fosse suficientemente proximo de η2.

96

η1 =µ

Γ(

1β

+ 1) (5.19)

η2 =σ

√

Γ(

2β

+ 1)

−[

Γ(

1β

+ 1)]2

(5.20)

Para explicar a dificuldade de convergencia, as Eqs. (5.19) e (5.20) foram linearizadas

nas proximidades do ponto solucao e apresentadas nas Figs. 5.4 e 5.5. O pequeno angulo

formado pelas curvas linearizadas indica que a dificuldade de convergencia se deve ao mal

condicionamento dos dados.

Figura 5.4: Os dados do problema de conversaode µ e σ para β e η da distribuicao de Weibull daduracao da missao da turbina estao mal condici-onados.

Figura 5.5: Os dados do problema de conversaode µ e σ para β e η da distribuicao de Weibull daduracao da missao do gerador estao mal condici-onados.

As diferencas encontradas entre os valores obtidos graficamente e aqueles obtidos pela

solucao computacional pode ser explicado pelo fato do problema ser mal condicionado.

5.2 Analise das curvas de Weibull

A Fig. 5.6 mostra o relacionamento que existe entre o parametro β da distribuicao de

Weibull e a taxa de falha λ(t), em funcao da idade do equipamento.

Quando:

β < 1 λ(t) e decrescente, regiao de mortalidade infantil

β = 1 λ(t) e constante, regiao de vida util

β > 1 λ(t) e crescente, regiao de envelhecimento

(Billinton e Allan, 1992 [8])

97

A Fig. 5.6 mostra a variacao no aspecto da distribuicao de Weibull quando η e mantido

constantemente igual a 1 e β varia sendo igual, repectivamente a 0,5 , 1 e 3.

Comparando as Figs. 5.2 e 5.3, que apresentam a funcao densidade de probabilidade de

Weibull para as distribuicoes da duracao da missao, com as Figs. 5.6 e 5.7, observa-se que

os equipamentos, turbinas e geradores, apresentam parametros de forma β caracterısticos

de equipamentos novos.

Figura 5.6: Correspondencia entre a regiao da curva da banheira e o parametro β de Weibull.

Valores do parametro β menores do que 1 para equipamentos velhos sao causados por

paradas administrativas, conforme descrito na Secao 4.4.7, Parada administrativa.

Figura 5.7: Aspectos da distribuicao de Weibull para β < 1, β = 1 e β > 1, respectivamente.

Quando o parametro de forma da distribuicao Weibull e β > 2, a distribuicao se

aproxima da distribuicao normal. Esses valores de β ocorrem caracteristicamente para

equipamentos na regiao de envelhecimento, conforme e possıvel observar na Fig. 5.7.

Devido a isso, a curva da banheira na regiao de envelhecimento, pode ser representada

por uma distribuicao normal em vez de utilizar as equacoes exponenciais, Eqs. (5.26)

e (5.27), como foi feito neste trabalho (Ramakumar, 1993 [36]).

98

5.3 Reconstituicao dos valores

A funcao taxa de falha acumulada, por definicao, e

Λ(t) =

t∫

0

λ(ξ)dξ (5.21)

Quando a quantidade de elementos da amostra e elevada, 30 ou mais elementos, essa

amostra pode ser dividida em classes e a probabilidade de ocorrencia associada a cada

classe pode ser assimilada pela frequencia relativa de cada classe.

O banco de dados OREDA fornece apenas os valores mınimo, medio, maximo e

variancia, fazendo-se necessario reconstituir os valores que deram origem aquelas es-

tatısticas.

A funcao densidade de probabilidades mostrada nas Figs. 5.2 e 5.3, obtidas a partir

do banco de dados, foi dividida, arbitrariamente, em 7 intervalos de areas iguais, gerando-

se um histograma reconstituıdo. O histograma acumulado corresponde numericamente,

aproximadamente, a Eq. (5.21). A Fig. 5.8 ilustra o procedimento.

Figura 5.8: Etapas da reconstituicao de valores.

Em seguida o histograma e ordenado em forma crescente e sao atribuıdas as probabi-

lidades do posto mediano a cada valor do histograma.

O banco de dados OREDA apresenta somente os resultados, medias e variancias, das

taxas de falha e reparo. Entretanto, para obter as curvas dessas taxas em funcao do tempo

e necessario conhecer os valores que deram origem a essas estatısticas. A reconstituicao

dos valores que esta sendo utilizada neste trabalho e feita pelo seguinte procedimento:

99

1- converter a media e a variancia do banco de dados OREDA nos parametros

β e η da distribuicao de Weibull, pelas Eqs. (5.10) e (5.11);

2- tracar a curva dos parametros β e η no papel Weibull, conforme se observa

nos Anexos B.1 a B.4 e explicado em detalhes na Secao 4.5.5, Utilizacao do

papel Weibull;

3- marcar as ordenadas – F(t) – da Tab. 4.2, posto mediano de 7 classes no

papel Weibull;

4- fazer a leitura das abscissas – t – correspondentes aos postos medianos.

O resumo da reconstituicao desses valores, em horas, esta apresentado na Tab. 5.7.

Tabela 5.7: Reconstituicao dos valores originais do OREDA.

A coluna F (t) sao as probabilidades binomiais acumuladas correspondentes aos tempo

de operacao t.

A funcao distribuicao de Weibull acumulada e (Rausand and Hoyland, 2004 [37])

F (t) = 1 − exp

[

−(

t

η

)β]

. (5.22)

100

A funcao taxa de falha com base na distribuicao de Weibull acumulada e, portanto,

λ(t) =β

η

(

t

η

)β−1

. (5.23)

A funcao taxa de falha obtida deste modo, para os dados em estudo, resulta na taxa

de mortalidade infantil.

Figura 5.9: Taxa de falha na regiao I - mortalidade infantil, para os casos 1 e 3.

Para o calculo da taxa de ocorrencia de falhas - ROCOF a funcao de Weibull acumulada

e obtida pela funcao inversa da funcao distribuicao acumulada fazendo-se a substituicao

das variaveis F (t) por t e vice-versa.

F (t) = η

[

Ln

(

1

1 − t

)] 1β

(5.24)

A funcao taxa de falha pelo calculo do ROCOF e

λ(t) =dF (t)

dt

1

1 − F (t)(5.25)

Figura 5.10: Taxa de falha na regiao III - envelhecimento, para os casos 1 e 3.

101

A funcao taxa de falha no envelhecimento foi obtida por regressao linear pelo metodo

dos mınimos quadrados. A descricao do metodo esta no Anexo F e o codigo computacional

no Anexo G.3.

Para o Caso 1, turbina, a duracao da missao resulta em

λT (t) = 0, 0028 e0,0017t (5.26)

e para o Caso 3, gerador, a duracao da missao e da forma

λG(t) = 6 × 10−5 e0,0044t (5.27)

Os casos 2 e 4, duracao do reparo para a turbina e para o gerador, respectivamente,

apresentam um tempo menor para a saturacao do que os casos 1 e 3. Por este motivo, as

curvas de distribuicao lognormais da distribuicao do tempo de reparo serao substituıdas

pelos valores medios registrados no OREDA.

A taxa de reparo, apesar de ser funcao do sacrifıcio que o equipamento vem sofrendo,

sera mantida constante de valor igual a media porque o tempo de reparo e muito menor

que a duracao da missao e impossibilita as operacoes exponenciais das taxas de reparo

nos tempos requeridos pelas taxas de falha. Isto equivale a considerar que o sacrifıcio do

equipamento nao aumenta o tempo de reparo.

No Caso 2, turbina, a duracao media do reparo de 27,1 horas corresponde a taxa de

reparo

µT = 3, 6900 × 10−2 (5.28)

e no Caso 4, gerador, a duracao media do reparo de 28,4 horas corresponde a taxa de

reparo

µG = 3, 5211 × 10−02 (5.29)

A taxa de falha estimada pelo ROCOF e calculada com valores atuais, e nao com

os valores que seriam obtidos quando o equipamento estivesse realmente envelhecido.

Entretanto, esses valores atuais sao os que ocorrem na regiao de vida util onde o processo

estocatico de ocorrencia das falhas e markoviano. A distribuicao das duracoes da missao

e exponencial. O processo estocastico nessa regiao e sem memoria. Por esse motivo,

102

a curva do ROCOF pode ser deslocada no tempo para qualquer ocasiao, uma vez que

nao depende da historia do equipamento. Como a regiao de interesse e a regiao de

envelhecimento, a curva do ROCOF deve ser deslocada ate o inıcio do envelhecimento. A

partir daı, o processo estocastico passa a ser do tipo nao-markoviano. O envelhecimento

do equipamento depende do sacrifıcio a que o equipamento foi submetido durante a sua

vida util. Isto e, o processo no envelhecimento depende da historia do equipamento. O

conceito de ROCOF permite que se tenha a curva do envelhecimento global a partir de

observacoes efetuadas em qualquer epoca, como no envelhecimento local.

Embora nao seja objeto deste estudo, a aplicacao do procedimento descrito acima pode

fornecer a curva da taxa de falha na regiao I, de mortalidade infantil. Quando o equipa-

mento em observacao e novo, a funcao densidade de Weibull se aproxima da distribuicao

exponencial e esse procedimento resulta numa funcao potencia do tipo λ(t) = atb, que e

tıpica para a regiao I. Por outro lado, se o equipamento for velho, a funcao densidade

de Weibull se aproxima de uma distribuicao normal e o resultado sera uma funcao expo-

nencial do tipo λ(t) = aebt, que e tıpica para a regiao III, de envelhecimento. Para obter

a outra curva, em qualquer caso, equipamento novo ou velho, e necessario substituir as

variaveis da funcao densidade acumulada y = F (t) por t = F (y) e renomear as variaveis, t

passa a chamar-se y e vice-versa, obtendo-se novamente y = F (t). Essa troca de variaveis

vai permitir obter a funcao taxa de falha da regiao III para equipamentos novos.

As turbinas e geradores do banco de dados OREDA, que esta sendo utilizado nesta

tese, sao equipamentos usados em bom estado. E possıvel supor que os equipamentos

estejam aproximadamente no meio da vida util. A distribuicao de Weibull que foi utilizada

para modelar as variaveis aleatorias deveria ter o aspecto apropriado a essa fase da vida.

Entretanto, devido a paradas administrativas, ver Secao 4.4.7, as curvas de Weibull se

parecem com distribuicoes exponenciais e resultam na taxa de falha tıpica da regiao I. As

funcoes taxa de falha da regiao III, necessarias neste trabalho, foram, portanto, obtidas

por troca de variaveis.

103

5.4 Sensibilidade da taxa de falha em relacao ao ROCOF

A Secao 5.3 forneceu um metodo para estimar a taxa de falha na regiao III sem que seja

necessario aguardar que a planta realmente envelheca para, entao, efetuar as medicoes

de duracao das missoes. O ROCOF fornece uma aproximacao da taxa de falha que sera

obtida quando a planta estiver efetivamente na regiao de envelhecimento. E oportuno

avaliar a sensibilidade da taxa de falha em relacao ao ROCOF para saber, quantitativa

e qualitativamente, como a taxa de falha se comporta em face da imprecisao do metodo

ROCOF.

A definicao de sensibilidade e (Distefano, 1972 [22])

Sf(t)t =

d ln f (t)

d ln t=

df (t)

f (t)

t

dt. (5.30)

De acordo com a definicao, a sensibilidade e a razao entre a variacao relativa na variavel

dependente e a correspondente variacao relativa na variavel independente. A sensibilidade

igual a 1 significa que o erro relativo da variavel independente se conserva na funcao. Com

sensibilidade menor que 1, os erros relativos da entrada sao minimizados na funcao de

saıda.

Para fazer variar a taxa de falha de modo passıvel de medicao, o modelo de Weibull

sera substituıdo pelo modelo de Rayleigh.

A taxa de falha de Rayleigh tem por expressao

λ(t) = a(t − t0), (5.31)

onde t0 e o tempo inicial do envelhecimento e a e o coeficiente angular da curva da banheira

na regiao III. Quando a regiao de interesse e somente a de envelhecimento, t0 = 0.

O metodo para determinacao da sensibilidade consiste em variar o coeficiente angular

a para mais e para menos em torno de um valor basico e calcular para cada valor de a a

correspondente duracao da missao ate o colapso operacional.

O valor basico do coeficiente angular e arbitrario. Foi escolhida a reta que passa pelos

pontos (0, 0) e pelo ponto de abscissa 1000 horas na curva da banheira de Weibull, tanto

para a turbina como para o gerador. As Figs. 5.11 e 5.12 ilustram a escolha basica.

A escolha da abscissa 1000 horas se justifica porque a duracao da missao ate o colapso,

104

no modelo de Weibull, e de 800 horas de operacao.

A funcao taxa de falha da turbina, basica, no modelo Rayleigh, e

λT (t) = 1, 533 × 10−5 t, (5.32)

e a do gerador e

λG(t) = 4, 887 × 10−6 t. (5.33)

Figura 5.11: Taxa de falha da turbina nos mode-los Weibull e Rayleigh. A linha curva e de Weibulle a reta, de Rayleigh.

Figura 5.12: Taxa de falha do gerador nos mode-los Weibull e Rayleigh. A linha curva e de Weibulle a reta, de Rayleigh.

As Eqs. (5.32) e (5.33) sao multiplicadas por coeficientes no intervalo [0, 4 . . . 3, 0], com

incremento de 0,2, de modo a fazer variar a inclinacao das retas que representam as taxas

de falha. O sistema de equacoes diferenciais parciais de Markov, Eqs. (4.34) a (4.41), e,

entao, resolvido para cada uma das retas. Foi feita a associacao entre o coeficiente angular

da taxa de falha de Rayleigh e a duracao da missao ate o colapso. E considerado colapso

quando a probabilidade de falha completa do sistema turbogerador atinge 99%. O valor

1.0 indica a taxa de falha utilizada em Weibull e corresponde a 800 horas de duracao da

missao.

Figura 5.13: Reducao da missao quando a in-clinacao da taxa de falha aumenta.

A Fig. 5.13 mostra a reducao da duracao

da missao quando a inclinacao da funcao

taxa de falha aumenta. O valor que corres-

ponde a taxa de falha de Weibull esta in-

dicado pelo fator 1 no eixo horizontal, que

e a taxa basica. Os valores menores que

1 indicam inclinacoes menores e os valores

maiores que 1 indicam inclinacoes maiores

que a inclinacao de Weibull.

105

Pode-se observar que a sensibilidade da duracao da missao com a taxa de falha e maior

para valores menores que 1. A sensibilidade e, aproximadamente, linear para valores

maiores que 1. Se a taxa de falha, calculada pelo ROCOF, conduzir a valores maiores que

o devido, a propagacao do erro fica minimizada pela sensibilidade menor nessa parte.

A Fig. 5.14 mostra a variacao da probabilidade de falhar com a inclinacao da funcao

taxa de falha.

Figura 5.14: Os fatores que aparecem na legenda multipli-cam o coeficiente angular da taxa de falha de Rayleigh. Ofator 1 e a taxa correspondente a taxa de Weibull.

A medida que a linha reta que re-

presenta a funcao taxa de falha au-

menta a inclinacao, a probabilidade

de falhar aumenta. Porem, nas pro-

ximidades de uma inclinacao duas

vezes maior que a inclinacao basica,

o aumento da probabilidade de fa-

lhar fica reduzido. Em tres vezes

o coeficiente angular da inclinacao

basica, parece ser um limite para a

reducao da duracao da missao. Com o fator 3,0 a duracao se estabeleceu em 450 ho-

ras. Para pequenos erros introduzidos pelo metodo do ROCOF, ocorre uma propagacao

significativa do erro na probabilidade de falhar. Entretanto, para erros maiores, o erro

propagado e menor.

Figura 5.15: Os fatores que aparecem na legenda multipli-cam o coeficiente angular da taxa de falha de Rayleigh. Ofator 1 e a taxa correspondente a taxa de Weibull.

A sensibilidade calculada pela

definicao, Eq. (5.30), esta apresen-

tada na Fig. 5.15. A curva sinuosa e

formada pelos valores efetivamente

encontrados e a linha reta e uma

linha de tendencia. Pode-se obser-

var que a tendencia e de crescimento

da sensibilidade com o aumento da

duracao da missao. Dentro do al-

cance de valores de interesse, que vai

106

de, aproximadamente, 500 ate 1000 horas, a tendencia da sensibilidade e menor que 1,

indicando que, nessa faixa, o erro relativo propagado na determinacao da duracao da

missao e menor que o erro introduzido pelo metodo ROCOF.

5.5 Reducao de um sistema complexo a outro equi-

valente

O presente trabalho e valido para as condicoes de confiabilidade de sistemas coerentes

estabelecidas na Secao 3.2, Confiabilidade de sistemas coerentes. Assim, um sistema

complexo pode ser reduzido a outro sistema equivalente mais simples, desde que o sistema

seja coerente.

O sistema formado pela turbina e pelo gerador pode ser reduzido a um unico sistema

turbo-gerador. A turbina e o gerador acoplado a ela forma um sistema serie. A taxa de

falha do conjunto turbo-gerador em serie e (Billinton e Allan, 1992 [8]).

λTG = λT + λG. (5.34)

Utilizando os valores de λT (t) e λG(t) fornecidos pelas Eqs. 5.26 e 5.27 na Eq. 5.34, a

taxa de falha do grupo turbogerador e

λTG = 0, 0011 e0,0031t. (5.35)

A taxa de reparo do conjunto turbo-gerador e

µTG =λTG

λT

µT

+λG

µG

+λT λG

µT µG

. (5.36)

A probabilidade total de sucesso, P , para um sistema consistindo de n unidades com

probabilidade de sucesso p, das quais k sao necessarias e

P =n

∑

i=k

n!

(n − i)!i!pi (1 − p)n−i

. (5.37)

No presente caso, existem 3 turbo-geradores, n = 3, e somente 2 sao necessarios, k = 2,

entao,

P = 3p2 (1 − p) + p3. (5.38)

107

Admitindo, por simplificacao, que p = e−λTGt e fazendo a algebra necessaria, a taxa

de falha de 3 conjuntos turbo-geradores sendo necessarios apenas 2 conjuntos de 3 fica

λs = −Ln(

−2e−3λTGt + 3e−2λTGt)

t, (5.39)

onde λs e a taxa de falha do sistema formado por 3 conjuntos turbo-geradores onde

sao necessarios 2 turbo-geradores e λTG e a taxa de falha de um conjunto turbogerador.

(Hecht, 2004 [18]).

A taxa de falha do sistema foi obtida numericamente. As equacoes de regressao para

a regiao de mortalidade infantil

λs(t) = 0, 0351t−0,2637, (5.40)

e para a regiao de envelhecimento

λs(t) = 0, 0016 e0.0033t. (5.41)

As taxas de falha das Eqs. (5.40) e (5.41) estao apresentadas graficamente na Fig. 5.16.

As duas curvas sao trechos da mesma curva da banheira do sistema, aqui apresentadas

separadas porque a escala de uma e diferente da outra.

Figura 5.16: Taxa de falha do sistema nas regioes I e III.

A regiao de interesse para o estudo e a regiao de envelhecimento, onde a taxa de falha,

Eq. (5.41) resulta na confiabilidade

R (t) = exp

−t

∫

0

λs (u) du

R (t) = e−0,7742 exp(0,0031t)

(5.42)

108

e na funcao densidade de probabilidades acumulada apresentada na Fig. 5.17

F (t) = 1 − R(t)

F (t) = 1 − e−0,7742 exp(0,0031t).(5.43)

Figura 5.17: Funcao densidade de probabilida-des acumulada que da a probabilidade de colapsooperacional do sistema em funcao do tempo deoperacao.

O calculo da taxa de falha do sistema foi determinado na suposicao de que a funcao

densidade do conjunto turbogerador fosse exponencial. Agora, para fins de comparacao,

a determinacao da taxa de falha do sistema foi refeita, por simulacao de Monte Carlo, na

suposicao de que a funcao densidade do conjunto turbogerador permaneca do mesmo tipo

dos equipamentos individuais, isto e, a densidade do TG tambem seja Weibull. O Teorema

do Limite Central estabelece que, quando duas ou mais distribuicoes independentes atuam

no mesmo sistema, o conjunto tende para uma distribuicao normal.

Teorema 3 Seja X1, X2, . . . , Xn um conjunto de N variaveis aleatorias independentes e

cada Xi tem uma distribuicao de probabilidades arbitraria P (X1, . . . , Xn) com media µi

e uma variancia finita σ2i . Entao, a variavel normal

Xnormal =

N∑

i=1

Xi −N∑

i=1

µi

√

N∑

i=1

σ2i

tem uma funcao cumulativa de distribuicao que se aproxima de uma distribuicao normal.

109

A parcela que subtrai a variavel Xi,N∑

i=1

µi, e o fator

√

N∑

i=1

σ2i sevem para ajustar a

posicao da variavel Xnormal, fazendo com que fique centrada.

A simulacao de Monte Carlo considera as duas distribuicoes de Weibull, a da turbina

e a do gerador, independentes. E feito sorteio do tempo de operacao, que e o mesmo

para os dois equipamentos. O tempo de operacao existe no intervalo contınuo [0 . . . 3000]

horas. Com o tempo de operacao determinam-se as confiabilidades para cada maquina,

segundo a distribuicao de Weibull, pela expressao

R (t) = exp

[

−(

t

η

)β]

, (5.44)

utilizando os parametros de cada equipamento.

Em seguida, sao feitos os sorteios das variaveis x1 e x2, no intervalo contınuo [0 . . . 1],

que representam os estados de funcionamento ou falho da turbina e do gerador, respec-

tivamente. Nesse momento, x1 e x2 simulam a probabilidade de estar em funcionamento

ate o tempo de operacao que foi sorteado antes.

Se x1 < R(t), entao x1 recebe o valor discreto 1, significando que a turbina esta em

condicoes operacionais, ou o valor 0, em caso contrario. A variavel x2 recebe o mesmo

tratamento. A partir de agora, x1 e x2 sao variaveis discretas no espaco {0, 1}. Quando

o produto x1 · x2 = 1, o conjunto esta em operacao e o sorteio e descartado. Quando a

soma das variaveis x1 + x2 = 0, o sorteio tambem deve ser descartado devido a definicao

de falha. A falha so ocorre quando a funcao e necessaria. Se uma das variaveis vale zero,

a maquina esta em falha e torna-se irrelavante apurar a condicao da outra maquina.

Figura 5.18: A densidade das classes das probabi-lidades de falha do conjunto turbogerador ficou comaspecto de distribuicao exponencial.

O sorteio e valido somente quando a soma

das variaveis x1 + x2 = 1, significando

que uma das maquinas, a turbina ou o ge-

rador, esta em falha e a outra nao. O

tempo de operacao e, entao, computado

como duracao da missao do conjunto turbo-

gerador ate a falha. Foram efetuados cerca

de 31500 sorteios validos para um total de

110

100000 sorteios. Os sorteios validos foram divididos em 100 classes de igual amplitude.

A Fig. 5.18 e o grafico da probabilidade de cada classe pelo ponto medio da classe. Essa

funcao densidade de probabilidades foi transformada em funcao cumulativa de probabili-

dades e feita anamorfose logaritmica indicada pelas Eqs. (4.99) e (4.100). Finalmente, foi

feita determinacao dos parametros de forma, β = 1, 1197, e de escala η = 1518, 1 horas, de

uma distribuicao de Weibull para a variavel duracao da missao do conjunto turbogerador.

Substituindo os valores dos parametros na Eq. (5.44), fica

RTG (t) = e−2,741×10−4 t1,1197

. (5.45)

E substituindo a Eq. (5.45) na Eq. (5.38), obtem-se a confiabilidade do sistema formado

pelos tres TGs, no caso de ser adotada a distribuicao de Weibull.

Rs (t) = 3e−5.482×10−4 t1.1197 − 2e−8.223×10−4 t1.1197

(5.46)

A taxa de falha do sistema em funcao da confiabilidade e

λs (t) = − d

dt{ln [Rs (t)]} (5.47)

efetuando a derivada, a taxa de falha tem a expressao

λs (t) = −0.001841 t0.1197

(

e−5.482×10−4 t1.1197 − e−8.223×10−4 t1.1197)

3e−5.482×10−4 t1.1197 − 2e−8.223×10−4 t1.1197 (5.48)

5.6 Matriz fundamental da cadeia de Markov

A matriz fundamental da cadeia de Markov, N , e resultado de operacoes lineares efetuadas

sobre a matriz de probabilidades de transicao entre os estados do sistema.

Em um sistema que possui um conjunto de estados possıveis, a probabilidade do

sistema mudar de estado e denominada probabilidade de transicao. Se os estados forem

numerados, a probabilidade de transicao do estado i para o estado j e pij. A reuniao

ordenada das probabilidades pij da origem a matriz de probabilidades de transicao, onde

a transicao se efetua da linha i para a coluna j. Com essa convencao, transicao da linha

para a coluna, a soma dos elementos de cada linha e igual a 1.

As probabilidades pij, quando i 6= j, sao oriundas do problema que estiver sendo

111

estudado, sao probabilidades de transitar de um estado para outro. Quando i = j,

entretanto, a probabilidade pjj e o complemento para 1, para que a soma da linha seja

sempre igual a 1, e a probabilidade de permanecer no estado j.

Os estados da matriz de transicao podem ser transientes ou absorventes. O estado

j sera transiente se existe uma probabilidade nao nula de nunca retornar ao estado j.

Isto nao significa que o estado transiente j nao possa ocorrer mais de uma vez. Significa

apenas que existe uma probabilidade nao nula de nunca ocorrer novamente. O estado j

sera absorvente quando pjj = 1. Uma vez que o estado j e atingido, nunca mais sai deste

estado j porque a probabilidade de transitar para si mesmo e igual a 1. Como a soma dos

elementos de uma linha e igual a 1, os elementos nao diagonais de uma linha que tem um

estado absorvente sao todos nulos. Os estados absorventes ocorrem na diagonal principal.

Q | R

−−− | − −−

0 | I

Figura 5.19: Particionamento damatriz de transicao.

Na matriz em estudo, os elementos significam proba-

bilidades do sistema falhar. Um estado absorvente tem o

significado de falha catastrofica, isto e, se o estado absor-

vente ocorrer o sistema falha de maneira irrecuperavel.

E necessario numerar adequadamente os estados, de

modo que os transientes recebam numeros menores e os

absorventes os numeros maiores. Com essa sistematica, a matriz de transicao fica orga-

nizada com os estados absorventes ocupando a extremidade inferior da diagonal.

A matriz de transicao deve ser particionanda em quatro submatrizes: Q, R, 0 (zero)

e I (Identidade) para possibilitar a determinacao do numero de passos ate o primeiro

estado absorvente. A matriz de transicao, particionada como indicado na Fig. 5.19, recebe

a denominacao de forma canonica. A particao Q forma a matriz de probabilidades de

transicao de passo 1 entre estados nao absorventes. O vetor R contem as probabilidades

de transicao de passo 1 dos estados nao absorventes para os absorventes. A matriz I

contem os elementos absorventes. A particao 0 e o vetor nulo.

A matriz fundamental da cadeia de Markov e

N = (I − Q)−1. (5.49)

112

N =

N1,1 · · · N1,k

· · · · · · · · ·

Nk,1 · · · Nk,k

Nm+1,m+1 · · · Nm+1,n

· · · · · · · · ·

Nn,m+1 · · · Nn,n

(5.50)

Tempo total de absorcao e o tempo decorrido desde o estado atual ate o primeiro

estado absorvente ocorrer, significa o tempo esperado para ocorrer a falha irrecuperavel.

Seja Tk o tempo total ate a absorcao partindo do estado k, representado na Eq. 5.50

pelo elemento Nk,k.

Seja o vetor

T =(

Tm+1 Tm+2 · · · Tn

)T

. (5.51)

O valor esperado para Tk e o somatorio desde i = m + 1 ate i = n de Nk,i, para

k = m + 1, . . . , n, onde Nk,i e o (k,i)-esimo elemento da matriz fundamental.

Partindo do estado do sistema k, o valor esperado do tempo ate a falha total do

sistema, isto e, ate a absorcao, e o somatorio dos elementos da submatriz inferior de N .

Tk =n

∑

k=m+1i=m+1

Nk,i (5.52)

Esse tempo total ate a absorcao esta expresso em numero de transicoes. Com o

tempo esperado de cada transicao, determina-se o tempo em horas e a confiabilidade

correspondente.

Figura 5.20: Matriz de probabilidades de transicao,T.

113

Depois de calculada a matriz fundamental da cadeia de Markov e o tempo total de

absorcao, a confiabilidade responde ao que se pretende, isto e, a probabilidade de falhar

apos o termino da vida util (Hsu, 1997 [21], Sheskin, 1995 [42]).

As Eqs. (5.26) a (5.29), que fornecem a variacao das taxas de falha e de reparo em

funcao do tempo e a matriz de probabilidades de transicao T , apresentada na Fig. 4.13,

estao repetidas aqui nas Eqs. (5.53) a (5.56) e Fig. 5.20 para assegurar a clareza do texto.

Figura 5.21: Autovalores em funcao do tempo de operacao da planta, em horas.

caso 1 λT (t) =(

2800 e0,0017t)

× 10−6 (5.53)

caso 2 µT (t) = 36900 × 10−6 (5.54)

caso 3 λG(t) =(

60 e0,0044t)

× 10−6 (5.55)

caso 4 µG(t) = 35211 × 10−6 (5.56)

Os autovalores da matriz de probabilidades de transicao, em funcao do envelhecimento

da planta, estao apresentados na Tab. 5.21. A matriz de probabilidades de transicao,

Fig. 5.20, e funcao do tempo de operacao em decorrencia de seus elementos serem cal-

culados pelas Eqs. (5.53) e (5.55). Os autovalores dessa matriz sao, tambem, funcao do

tempo de operacao. A Fig. 5.22 mostra o desenvolvimento dos autovalores em funcao do

tempo de operacao.

E possıvel observar que existe um envelope contendo todas as curvas dos autovalores.

O autovalor maior que todos os demais e chamado autovalor dominante de T . O limite

superior do envelope e a curva do autovalor dominante e o limite inferior e a curva formada

pelo menor autovalor. Os autovalores devem ser ordenados decrescentemente de modo

que o autovalor dominante seja o primeiro. Esse resultado ja estava previsto pelo teorema

114

de Perron-Frobenius (Seneta, 2006 [41]).

Teorema 4 Se T e uma matriz quadrada, nao-negativa, irredutıvel, entao:

1. Um de seus autovalores e positivo e maior (ou igual, em valor absoluto) do que

todos os outros autovalores;

2. Existe um autovetor positivo correspondente a esse autovalor; e

3. Esse autovalor e uma raiz real da equacao caracterıstica de T .

Figura 5.22: Autovalores em funcao do tempo deoperacao da planta, em horas.

Se a matriz T for estocastica,

como e a matriz de probabilidades de

transicao, a soma dos elementos de

cada linha vale 1 e, nesse caso, o au-

tovalor dominante e igual a 1.

Matriz irredutıvel e a matriz onde

para cada par de ındices (i, j) existe

uma potencia l tal que T l(i, j) > 0. A

matriz do caso em estudo e redutıvel porque para alguns elementos (os nulos) nao existe

uma potencia l capaz de torna-los maiores que zero. Apesar disso, o teorema se verifica.

O elemento T8,8 = 1 vai compor a matriz identidade I, os elementos T8,1 a T8,7 vao

formar o vetor nulo, os elementos T1,8 a T7,8 formam o vetor R das probabilidades de

transicao de passo 1 dos estados nao absorventes para os absorventes. O vetor R esta na

Fig. 5.23.

02 (λT + λG)2 (λT + λG)2 (λT + λG)2 (λT + λG)2 (λT + λG)2 (λT + λG)

Figura 5.23: Vetor R

A matriz Q de probabilidades de transicao de passo 1 entre estados nao absorventes e

formada pelos elementos restantes. A matriz Q esta apresentada na Fig. 5.24.

115

Figura 5.24: Matriz Q

A matriz inversa da matriz fundamental da cadeia de Markov, N−1, fica como na

Fig. 5.25.

Figura 5.25: Matriz inversa da matriz fundamental da cadeia de Markov, N−1

A matriz U , das probabilidades de absorcao para os diversos estados de absorcao e

U = NR. (5.57)

5.7 Solucao numerica da matriz fundamental da ca-

deia de Markov.

As Eqs. (5.53) a (5.56) estabelecem as taxas de falha, da turbina e do gerador, em funcao

em funcao do tempo de operacao e as taxas de reparo constantes. A matriz de probabili-

dades de transicao, T , Fig. 5.20, e funcao das taxas de falha e de reparo. Com as taxas

de falha avaliadas numericamente monta-se a matriz T . A partir da matriz T , extrai-se

a particao Q, conforme a Fig. 5.24. Empregando a Eq. (5.49) obtem-se a matriz funda-

mental da cadeia de Markov, N . Finalmente, a Eq. (5.52) fornece o tempo total para

absorcao, conforme ja foi dito, absorcao e o estado 8, que corresponde a falha total do

116

sistema.

Embora a Eq. (5.52) permita calcular o tempo total de absorcao, Tk, a partir de

qualquer estado k, o interesse desta tese e calcula-lo a partir do estado inicial, quando

todas as maquinas estao em condicoes operacionais.

Figura 5.26: Numero de passos ate o colapso operacional,partindo do estado 1.

A variavel independente no inıcio

desse procedimento numerico foi o

tempo de operacao do sistema de tur-

bogeracao e a variavel dependente no

final do processo e o tempo total de

absorcao. Entao, em resumo, o que

se obteve foi uma relacao funcional

numerica do tempo total de absorcao

dependente do tempo de operacao do

sistema turbogerador.

O procedimento descrito calcula o tempo total de absorcao em uma unidade deno-

minada passo. O passo corresponde a um ciclo completo de operacao, caracterizado na

Fig. 3.1 como: inıcio de operacao, operacao, falha inicial, aguardando reparo, inıcio do

reparo e reparo. O re-inıcio da operacao marca o inıcio do proximo passo.

Escolhendo-se, reiteradamente, valores de tempo de operacao t, em horas, calculam-se

os valores dos tempos para absorcao Tk, em passos.

A Fig. 5.26 fornece o numero de passos ate o colapso operacional em funcao das horas

de operacao.

5.8 Solucao do sistema de equacoes diferenciais par-

ciais de Markov

O sistema de equacoes diferenciais parciais de Markov, Eqs. (4.34) a (4.41), pode ser

escrito na forma matricial:

A∂P

∂s+ B

∂P

∂t= C(s)P, (5.58)

117

onde

P = P (s, t) = [p1, p2, . . . , p8]T

e o vetor das incognitas, A e B sao matrizes identidade 8×8, e C e a matriz dos coeficientes

dos termos fonte.

A matriz C, na condicao de reparo mınimo, esta apresentada na Fig. 5.27.

Figura 5.27: Matriz dos coeficientes dos termos fonte, C.

O vetor das incognitas esta sujeito a equacao de restricao representada pela Eq. (4.42),

onde a soma dos elementos do vetor das incognitas deve ser igual a 1.

Esse sistema de equacoes diferenciais parciais e geral e a sua solucao fornece as pro-

babilidades de ocorrencia de cada estado pi(s, t), i = 1, . . . , 8 nas regioes de vida util e de

envelhecimento, na condicao de reparo mınimo.

O sistema e do tipo adveccao com termo fonte. Trata-se de um problema de valor

inicial com condicoes de contorno e uma equacao algebrica de restricao para as incognitas.

As variaveis independentes sao:

s - variavel complementar que representa o sacrifıcio do equipamento (horas);

t - variavel que representa a idade do equipamento (horas).

Cada estado e representado pelo ındice i. As incognitas sao as probabilidades pi de

que cada estado i ocorra em pi(s, t), i = 1, . . . , 8.

Os parametros do modelo sao:

λ - taxa de falha (falhas/hora) λ = λ(t);

µ - taxa de reparo (reparos/hora) µ = µ(t),

conforme a Tab. 5.8.

As condicoes iniciais sao

118

Tabela 5.8: Parametros do modelo.

p1(s, 0) = 1 e

pi(s, 0) = 0, i = 2, . . . , 8.(5.59)

As condicoes de contorno sao

p1(s, 0) = 1 e

pi(s, 0) = 0, i = 2, . . . , 8.(5.60)

Ha 3 possibilidades para solucao numerica de um sistema da forma

A∂P (s, t)

∂s+

∂P (s, t)

∂t= C(s)P (s, t) : (5.61)

1. metodo do passo fracionario;

2. esquema de Lax-Wendroff com termo fonte;

3. metodo das curvas caracterısticas.

Pelo metodo do passo fracionario (fractional-step method), no sistema de equacoes

diferenciais parciais da forma APs + Pt = CP, P = P (s, t) a parte homogenea fica

resolvida por Lax-Wendroff e a parte do termo fonte por Runge-Kutta 4:

por Lax - Wendroff

A∂P (s, t)

∂s+

∂P (s, t)

∂t= 0; (5.62)

por Runge-Kutta-4

dP (s)

dt= C (P (s)) . (5.63)

A primeira iteracao comeca com Lax-Wendroff com as condicoes iniciais

P (s, 0) = f(s). (5.64)

Em seguida, e feita uma iteracao de RK-4 e recomeca com Lax-Wendroff. Somente

depois de completado todo o eixo-s, e depois de feita a ultima iteracao de RK-4, com t

119

constante, o programa faz os incrementos: t = t + ∆t, smin = smin + 1, smax = smax − 1.

A rotina termina no ponto P (smax, tmax).

No metodo de Lax-Wendroff para sistema nao-homogeneo o esquema adotado e

U j+1n = U j

n − sA

2

(

Ujn+1 − U

jn−1

)

+s2A2

2

(

Ujn−1 − 2U j

n + Ujn+1

)

+ kCjn, (5.65)

onde s e a razao entre os incrementos ∆s e ∆t. Trata-se de um esquema de volumes finitos,

explıcito, com diferencas centradas e erro local de truncamento LTE = O (∆s2 + ∆t2).

O metodo das curvas caracterısticas, Secao 4.1, pode ser aplicado para resolver este

problema de valor inicial e EDPs de primeira ordem (Smith, 1985 [44]).

Considere a EDP linear de primeira ordem

a (s, t)∂p(s, t)

∂s+ b (s, t)

∂p(s, t)

∂t= c (s, t) (5.66)

em duas variaveis, com a condicao inicial u (s, 0) = f(s).

As curvas caracterısticas sao

ds

dr= a(s, t) (5.67)

dt

dr= b(s, t) (5.68)

dp

dr= c(s, t) (5.69)

As equacoes das curvas caracterısticas podem ser expressas por

ds

a(s, t)=

dt

b(s, t)=

dp

c(s, t)(5.70)

A funcao b(s, t) e constante e vale 1 devido ao tipo do problema. A funcao a(s, t) e

constante e vale 1 devido as caracterısticas particulares do problema em estudo, conforme

explicado na Secao 4.1.5, Analise Dimensional das Curvas Caracterısticas.

ds

1=

dt

1=

dp

c(s, t)(5.71)

fica

s = t (5.72)

e

dp(s, t)

dt= c(s, t) (5.73)

120

O problema ficou reduzido a um sistema de equacoes diferenciais ordinarias que pode

ser resolvido pelo metodo de Runge Kutta (Braun, 1992 [9]).

No plano s−t a igualdade entre as variavies s e t indica uma curva caracterıstica linear

fazendo um angulo deπ

4. Estas curvas caracterısticas estao representadas na Fig. 4.3, onde

o deslocamento das curvas caracterısticas representa o tempo que a maquina permanece

parada.

Para resolver o sistema de EDO, foi utilizado o codigo em FORTRAN baseado no

algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg de ordem 4 com 5 funcoes de avaliacao (Asaithambi,

1995 [3]). O programa consta do Anexo G.1.

Capıtulo 6

Resultados

A solucao exata do sistema de equacoes diferenciais parciais de Markov, Eqs. (4.34)

a (4.41), que modelam, na condicao de reparo mınimo, a regiao de envelhecimento da

turbogeracao em estudo, esta indicada na Tab. 6.1, apresentando as probabilidades de

colapso do sistema, p8, em funcao do tempo de operacao t. As demais colunas sao as

probabilidades de ocorrencia de cada um dos estados. A probabilidade de ocorrencia do

estado 1, em funcao do tempo de operacao, esta indicada na coluna p1 e a probabilidade

de ocorrencia do estado 8 na coluna p8.

Apesar do metodo de solucao das equacoes de Markov ser exato, nao significa que

a solucao encontrada seja unica. Conforme se observa nas Figs. 5.4 e 5.5, os dados do

problema sao mal condicionados. Os dados sao empıricos e foram obtidos no campo,

por meio de observacoes efetuadas em 84 turbinas instaladas em 23 plataformas e 105

geradores instalados em 59 plataformas, conforme Anexo A. Uma fonte possıvel para a

origem do mal condicionamento reside nas paradas administrativas, conforme explanado

na Secao 4.4.7, Parada administrativa.

O presente estudo contempla somente a regiao de envelhecimento. O momento inicial

dessa regiao, que corresponde ao termino da vida util, esta assinalado com t = 0.

A Tab. 6.1 tem todas as probabilidades, de p1 ate p8 ao longo do tempo de operacao,

mas cada coluna tem sua importancia segundo o significado do estado. O estado 1 repre-

senta o momento inicial onde todas as seis maquinas, tres turbinas e tres geradores, estao

em condicoes operacionais, inclusive o grupo turbogerador que vai permanecer de reserva,

121

122

ja que somente dois serao necessarios para atender a carga. O estado 8 representa o foco

desta tese.

Tabela 6.1: Probabilidades de ocorrencia dos estados do sistema.

E nesse estado que ocorre o colapso operacional, quando o segundo turbogerador sai

de operacao antes que o primeiro a falhar tenha sido recuperado. Os demais estados,

de 2 a 7, sao estados intermediarios onde apenas um equipamento, uma turbina ou um

gerador, apresentou falha. Alem do significado desses estados ser de menor importancia,

o valor numerico das probabilidades e pequeno. A probabilidade de falha do gerador, por

exemplo, e, aproximadamente, nula.

Figura 6.1: Probabilidades de falha dos estados,sob reparo mınimo, avaliadas por solucao do sistemade equacoes de Markov. A legenda das curvas e amesma da Fig. 3.10.

O que se observa, pelo exame da

Tab. 6.1, e que a probabilidade de ocorrencia

de colapso operacional, p8, e funcao princi-

palmente da probabilidade do estado 1, p1.

As demais probabilidades apresentam con-

tribuicao de pequena relevancia. Este fato

se observa, tambem, no grafico da Fig. 6.1.

Devido a aparente indiferenca dos esta-

dos 2 a 7 no resultado final e correlacao ex-

clusiva entre os estado 1 e 8, o diagrama de estados da cadeia de Markov foi simplificado

para levar em conta somente os primeiro e ultimo estados, desprezando-se os estados

123

intermediarios, conforme a Fig. 4.11.

A simplicidade do sistema que equaciona esse modelo possibilita que a solucao seja

determinada por integracao, resultando nas Eqs. (4.90) e (4.91).

A Fig. 6.2 mostra graficamente a solucao neste caso simplificado. Por esse grafico a

saturacao deveria ocorrer com cerca de 250 horas de operacao.

Figura 6.2: Solucao do diagrama simplificado deMarkov.

Apesar dos estados 2 a 7 parecerem, em

princıpio, irrelevantes para o problema por-

que as suas probabilidades sao pequenas, a

Fig. 6.2 mostra que a retirada desses estados

altera significativamente o resultado.

Os tres esquemas de solucao do sistema

de equacoes diferenciais parciais que foram

implementados chegaram praticamente ao

mesmo resultado, as diferencas estando na ordem de 10−3. Devido ao fato de a solucao

ser suave, e indiferente a escolha de um ou outro esquema. A suavidade da solucao ja

tinha sido prevista pela tecnica de Monte Carlo, conforme se observa na Fig. 3.10.

A solucao de Monte Carlo permitiu a comparacao entre os modelos de reparo mınimo e

de renovacao, Fig. 3.11. O colapso do sistema e insensıvel ao modelo adotado, ocorrendo,

em ambos os casos, com 800 horas de operacao contınua. A diferenca, entretanto, reside

no percurso para alcancar o tempo de colapso. Com 500 horas de operacao, por exemplo,

a probabilidade de falha do sistema e de, aproximadamente, 25%, no caso de reparo de

renovacao e de quase 80%, no de reparo mınimo.

O metodo apresentado estabeleceu um procedimento sistematico para determinar a

probabilidade condicional de uma planta industrial falhar por completo apos decorrido

um tempo de operacao, dado que nao tenha falhado ate aquela data.

A Fig. 6.1 mostra a evolucao da probabilidade de falha do estado 8, que e aquele onde

dois turbogeradores falham conjuntamente, ou seja, o segundo falha antes que o primeiro

a falhar tenha sido reparado, determinando, assim, a falha completa do sistema.

Pela Fig. 4.10, se observa, tambem, que as probabilidades dos estados 2 a 7 sao ir-

relevantes para a determinacao da falha geral do sistema. Existe uma forte correlacao

124

negativa entre a probabilidade do estado 1, onde todas as maquinas estao em condicoes

operacionais, e a do estado 8.

Figura 6.3: Tendencia da sensibilidade da duracaoda missao em relacao ao ROCOF.

O ROCOF e o metodo que permite esti-

mar a funcao taxa de falha na regiao de enve-

lhecimento, sem que seja necessario aguardar

que a planta esteja efetivamente envelhecida.

Conforme explicado na Secao 4.4.5, Taxa de

ocorrencia de falhas – ROCOF, o metodo uti-

liza a caracterıstica markoviana de nao pos-

suir memoria e determina a funcao taxa de

falha com valores disponıveis atualmente assumindo que, por nao ter memoria, essa funcao

sera valida no envelhecimento da planta.

O metodo tem um erro que, no momento, e desconhecido. Entretanto, e possıvel

determinar a sensibilidade da taxa de falha ao ROCOF. A Fig. 6.3, que esta baseada na

Fig. 5.15, apresenta a sensibilidade da duracao da missao na fase de envelhecimento em

relacao a taxa de falha estimada pelo ROCOF. Na Eq. (5.30), o ROCOF e a variavel

independente e a duracao da missao e a funcao que depende do ROCOF.

Pode-se observar na Fig. 6.3 que no intervalo dos valores de interesse, que vai de, apro-

ximadamente, 500 ate 1000 horas, a tendencia da sensibilidade e menor que 1, indicando

que, nessa faixa, o erro relativo propagado na determinacao da duracao da missao e menor

que o erro introduzido pelo metodo ROCOF. Este fato valida o metodo ROCOF porque

mostra que a funcao taxa de falha e pouco sensıvel ao metodo.

As Figs. 3.10 e 6.1 sao a solucao do mesmo problema, ou seja, determinacao das

probabilidades de ocorrencia dos estados de falha do sistema de geracao mostrado na

Fig. 3.2, em funcao do tempo de operacao. A primeira solucao foi obtida pela utilizacao

do metodo estocastico de Monte Carlo e a segunda pela solucao numerica do sistema de

equacoes de Markov. A comparacao entre as figuras mostra algumas diferencas entre elas.

A curva que representa os estados de falha do gerador, 3, 5 e 7, indica, em ambas as

solucoes, que a probabilidade de falha do gerador e, aproximadamente, nula.

Na solucao markoviana, as probabilidades de ocorrencia dos estados 2, 4 e 6, que

125

representam os estados de falha da turbina, atingem o seu maximo em, aproximadamente,

6%, com cerca de 50 horas de operacao, tendendo a zero daı em diante. Pela tecnica de

Monte Carlo, esse maximo e de 15% ocorrendo em 150 horas.

Na solucao estocastica, a probabilidadede de ocorrencia do estado 1 parece ser inde-

pendente dos estados 2, 4 e 6. Tal nao acontece na solucao markoviana, na Fig. 6.1. No

ponto em que a probabilidade desses estados passa por um maximo, a curva de probabili-

dades do estado 1 apresenta modificacao na sua declividade. Na solucao de Monte Carlo

a curva do estado 1 nao apresenta variacao pontual na declividade.

Figura 6.4: Comparacao entre os metodos de sistema equivalente(aproximado) e markoviano (exato).

A comparacao entre o metodo da reducao do sistema a outro equivalente, solucao

aproximada, e o metodo pela solucao do sistema de equacoes de Markov, solucao exata,

esta apresentada na Fig. 6.4. O metodo de reduzir o sistema a outro equivalente nao leva

em conta o efeito da variavel s que representa o desgaste a que o equipamento foi submetido

no passado. Apesar de empregar as taxas de falha proprias da regiao de envelhecimento,

o que valida o metodo, a reducao pressupoe que o sistema seja markoviano, isto e, um

sistema sem memoria. A denominacao de solucao exata fica reservada para a solucao

do sistema de equacoes diferenciais parciais com duas variaveis independentes, a idade

do equipamento, t, e a duracao da missao, s. A variavel s representa nao somente o

tempo que a missao esta durando, mas, tambem, o desgaste que o equipamento sofreu no

passado e as condicoes de operacao mais adversas a que foi submetido. O importante na

variavel s, e que traduza alguma caracterıstica do passado, para assegurar que o sistema

126

seja nao-markoviano.

O exame da figura indica que o metodo aproximado e conservador e aponta para uma

probabilidade de ocorrencia de colapso operacional cerca de 200 horas antes da ocorrencia

indicada pelo metodo exato.

Figura 6.5: Numero de intervencoes de manutencao, desde o es-tado 1, ate o colapso operacional, estado 8, em funcao do tempo deoperacao.

Uma outra maneira de observar a proximidade da ocorrencia de colapso operacional

esta mostrada na Fig. 6.5. Cada passo significa uma intervencao de manutencao em

decorrencia de uma falha. Um passo completo e o tempo que vai do inıcio ate o reinıcio da

operacao, como mostrado na Fig. 3.1. O numero de passos que faltam para a ocorrencia

do colapso e um indicador da proximidade desse evento. O grafico mostra que, apos

1000 horas de operacao contınua, faltam cerca de 50 falhas para uma falha irrecuperavel,

quando sera necessario, entao, retirar o sistema de operacao para depanagem geral.

A Fig. C.1 mostra que a dependencia do custo de manutencao com a confiabilidade

do sistema de turbogeracao e linear e apresenta pequena declividade sendo, aproximada-

mente, horizontal. Apesar do aumento de confiabilidade representar um correspondente

aumento do custo de manutencao, esse aumento nao se mostrou significativo.

Capıtulo 7

Conclusoes

A metodologia estabelecida neste trabalho possibilita avaliar a extensao da vida util de

uma planta industrial ate um prazo maximo que ofereca dependabilidade, aqui entendida

como coletivo de seguranca, confiabilidade e mantenabilidade, e rentabilidade.

A modelagem matematica e computacional, utilizando cadeias de Markov, nas condi-

coes de reparo mınimo e de renovacao, provam ser uma abordagem adequada para a

quantificacao, em termos probabilısticos, do grau de perda de operacionalidade de uma

instalacao industrial que esteja operando alem do seu tempo de vida util.

Os resultados obtidos com a generalizacao do estudo da confiabilidade, na fase de enve-

lhecimento, para todo o sistema, sao de carater inovador, representando uma contribuicao

ao estudo da confiabilidade aplicada a plantas industriais.

A literatura apresenta, de forma restrita, somente estudos para a fase de vida util de

apenas um equipamento. A generalizacao decorre do emprego da Teoria da Coerencia no

estudo da confiabilidade, o que vem reforcar a originalidade da contribuicao. Os resultados

encontrados aplicando a teoria da coerencia a confiabilidade apresentam pela primeira vez

estudos de envelhecimento de todos os equipamentos de um sistema.

De acordo com a Fig. 6.4, o metodo aproximado considera que o processo estocastico

na fase de envelhecimento permanece markoviano enquanto que o metodo exato reco-

nhece as caracterısticas nao-markovianas desse processo. Diferentemente dos resultados

disponıveis na literatura tecnica, onde se considera que, geralmente, o erro de aproximacao

e desprezıvel, a comparacao entre os metodos aproximado, reducao do sistema a outro

127

128

equivalente, e exato, pela solucao das equacoes de Markov, indica claramente que o metodo

aproximado consegue prever que o colapso operacional do sistema de geracao devera ocor-

rer apos 600 horas de funcionamento contınuo, enquanto que o metodo exato aponta o

colapso para apos decorridas 800 horas. Essa diferenca implica em reducao significativa

de custos.

Esses resultados concordam com as previsoes inferidas experimentalmente, validando

a metodologia desenvolvida no Capıtulo 4, oferecendo, portanto, uma ferramenta util para

a determinacao da probabilidade de falhar, dado que ate agora nao falhou.

O calculo do numero de passos, desde o estado 1, onde todas as maquinas estao em

funcionamento, ate o estado 8, onde ocorre o colapso operacional, e outro indicador da

proximidade de coplaso. Comparando os graficos das Figs. 6.4 e 6.5, observa-se que as

equacoes de Markov apontam para o colapso apos cerca de 800 horas de funcionamento,

enquanto que, nesse tempo, o colapso devera ocorrer apos cerca de cem intervencoes de

manutencao.

De acordo com a expressao da taxa de falha do sistema, calculada de modo aproximado,

Eq. (5.41), apos as 800 horas de funcionamento a taxa de falha e de, aproximadamente,

0,03 falhas por hora, significando que devera ocorrer, em media, cerca de uma falha a

cada 35 horas, representando uma perda da dependabilidade e caracterizando, assim, o

colapso operacional.

De forma sucinta, os objetivos propostos inicialmente foram atingidos, oferecendo

a possibilidade de avaliacao da extensao da vida util de plantas industriais atraves da

metodologia apresentada neste trabalho.

129

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Capıtulo 8

Apendices

133

Apendice A

Extrato dos Dados originais do

OREDA

134

135

Figura A.1: Extrato do banco de dados referente ao OREDA-2002.

Apendice B

Determinacao grafica dos parametros

das distribuicoes

136

137

B.1 Caso 1 - Turbina - Duracao da missao

Figura B.1: Determinacao grafica dos parametros da distribuicao Weibull.

Reconstituicao de valores

caso 1 - turbina - duracao da missao

β = 0, 6098

η = 617, 2 horas

138

B.2 Caso 2 - Turbina - Duracao do reparo

Figura B.2: Determinacao grafica dos parametros da distribuicao lognormal.


caso 2 - turbina - duracao do reparo

µ∗ = 1, 379 horas

σ∗ = 1, 896 horas

139

B.3 Caso 3 - Gerador - Duracao da missao

Figura B.3: Determinacao grafica dos parametros da distribuicao Weibull.


caso 3 - gerador - duracao da missao

β = 0, 2000

η = 141, 2 horas

140

B.4 Caso 4 - Gerador - Duracao do reparo

Figura B.4: Determinacao grafica dos parametros da distribuicao lognormal.


caso 4 - gerador - duracao do reparo

µ∗ = 1, 263 horas

σ∗ = 1, 813 horas

Apendice C

Custo de manutencao

A atividade de manutencao durante e apos a vida util de uma planta industrial de-

monstra que os intervalos entre as intervencoes de manutencao devem ser gradativamente

diminuıdos na medida em que o tempo em operacao aumenta. A avaliacao do risco e

um dos criterios utilizados para saber se o intervalo de manutencao esta adequado para

aquela planta. Ver Anexo E.

As probabilidades de falha foram determinadas no Capıtulo 5, Solucao numerica, agora

e oportuno conhecer o risco associado aquelas probabilidades.

O custo total da falha e a soma do custo do reparo com o risco. O custo do reparo, em

homem-hora (HH), foi obtido no banco de dados OREDA, enquanto que a tarifa de energia

eletrica foi obtida em tabelas da Agencia Nacional de Energia Eletrica-ANEEL. Para

permitir a comparacao, a tarifa de energia sera expressa em homem-hora. A conversao

da tarifa de energia eletrica para homem-hora por cada turbogerador esta apresentada no

Anexo D.

O valor do custo da perda, ponderado por um expoente, multiplicado pela proba-

bilidade da perda ocorrer resulta no risco da instalacao, conforme Eq. (E.1). O valor

escolhido para o peso, k = 0, 25, foi determinado por tentativas para tornar o montante

do risco da mesma ordem de grandeza do custo de reparo. A probabilidade de ocorrencia

de perda do sistema de geracao e a probabilidade do estado 8, p8(s, t).

A duracao do reparo segue uma distribuicao lognormal, conforme visto no Capıtulo 5.

Os parametros das distribuicoes estao apresentadas nas Tabs. 5.4 e 5.6. Na condicao de

141

142

reparo mınimo, o custo do reparo deve acompanhar a mesma distribuicao da duracao do

reparo porque nao ha gastos com material. O valor esperado desses custos e o produto

do custo aleatorio do reparo pela probabilidade de ocorrencia das falhas. No estado 1, o

custo do reparo e nulo, porque as tres maquinas estao em condicoes de funcionamento.

No estado 8, o sistema esta fora de operacao, entao, a energia e suprida por geradores

auxiliares. Os custos decorrentes do sistema principal estar fora de operacao nao fazem

parte deste estudo. O custo esperado do reparo e o somatorio dos produtos do custo

aleatorio pelas respectivas probabilidades de ocorrencia dos estados de falha 2 a 7. Pela

propriedade estatıstica das grandes amostras tenderem ao valor mais provavel, conhecida

como lei dos grandes numeros, foi necessario recalcular os custos de reparo 3.000 vezes

antes de efetuar a regressao linear que ajusta o custo de reparo com o tempo de operacao.

Figura C.1: Otimizacao da confia-bilidade do sistema turbogerador pelaminimizacao do custo total.

O custo total foi considerado como sendo a soma do custo do reparo com o custo de

risco de faltar energia eletrica. O estudo mostra que o metodo da manutencao baseada

em risco nao conduz a uma minimizacao do custo, mas permite visualizar que o custo

total de manutencao e, aproximadamente, independente dos intervalos de manutencao.

A soma, em cada intervalo de tempo, do custo de reparo obtido por regressao linear

com o risco forneceu o custo total.

Apendice D

Custo de parada de turbogerador

143

144

Tabela D.1: Determinacao do custo de paralizacao de um turbogerador, em HH.

Tarifa media, total Brasil, referente a abril de 2007 254,72 R$/MWhSalario mınimo mensal, referente a abril de 2007 380,00 R$/mesSalario mınimo, por dia 12,67 R$/diaSalario mınimo, por hora 0,5278 R$/h1 homem.hora (HH) vale 0,5278 R$1 R$ vale 1,8947 HHTarifa media, total Brasil 482,63 HH/MWhPotencia tıpica de um turbogerador (1 TG) 20 MWTarifa equivalente a forca de trabalho 482,63 homem/MWForca de trabalho equivalente a 1 TG 9652,55 homem/20 MWCusto por hora de paralizacao de 1 TG 9652,55 homem/TGCusto da paralizacao 9652,55 HH/TGhDuracao do reparo da turbina 27,1 horasDuracao do reparo do gerador 28,4 horasCusto de perdas por paralizacao de uma turbina 263000 HH/TGCusto de perdas por paralizacao de um gerador 275000 HH/TGCusto medio de perdas por paralizacao de um TG 269000 HH/TG

Apendice E

Inspecao baseada em risco

A inspecao baseada em risco se apoia em 3 consideracoes:

• classificacao qualitativa do risco de falha dos equipamentos;

• classificacao qualitativa das consequencias da falha;

• custo das consequencias.

As duas classificacoes determinam a criticidade da falha.

O metodo de inspecao baseada em risco estabelece um nıvel de tolerancia de modo a

aceitar riscos, consequencias e custos abaixo de patamares estabelecidos gerencialmente.

No metodo da American Petroleum Institute (API), cada equipamento recebe uma

nota de classificacao de risco que vai de 0 ate 5, sendo a nota 0 a de menor risco. Recebe,

tambem, uma classificacao de consequencias da falha identificada pelas letras A, B, C, D,

E, sendo A a classificacao de menor consequencia.

Pelo metodo da API, essas duas classificacoes, de risco e consequencia, sao lancadas

em um mapa que determina a criticidade do equipamento.

Os equipamentos de criticidade igualmente alta sao, entao, analisados pelo custo das

consequencias (Lee, Serratella, Wang and Basu, 2006 [2]).

As probabilidades de falha sao classificadas em baixa, correspondendo aos nıveis 0 e

1, media, nıveis 2 e 3, e alta, nıveis 4 e 5 e as consequencias sao classificadas em pequena,

graus A e B, crıtica, graus B a D, e catastrofica, graus D e E. E importante observar

que a palavra crıtica aparece tanto na classificacao de risco quanto na de consequencia.

Em uma abordagem quantitativa, o risco e definido por

145

146

Tabela E.1: Mapa de grau de criticidade do risco.

5

4

3

2

1

0A B C D E

probabilidade

de falha

consequencia

alto

baixo

medio

medio

R =n

∑

i=1

xk · p (E.1)

onde x representa um dano a pessoas ou patrimonio, p e a probabilidade de ocorrer esse

dano, k > 1 e uma ponderacao decorrente da percepcao da gravidade do dano e n e o

numero de eventos desagradaveis analisados.

Para o controle do risco de falha e das consequencias da falha e necessario adotar

medidas de mitigacao e protecao, no caso de grande perda associada com baixa proba-

bilidade de ocorrencia e medidas de prevencao, para o caso de pequena perda com alta

probabilidade.

A mitigacao e feita mantendo-se sistemas e equipes de prontidao para atendimento

imediato. A protecao se refere, principalmente, as instalacoes de contencao para evitar

que o dano se difunda. A prevencao e feita aumentando-se a confiabilidade dos sistemas

para reduzir a probabilidade de falha (Enrico Zio, 2007 [48]).

E.1 Analise da confiabilidade humana

A analise da confiabilidade humana (ACH) e um instrumento para a obtencao de estima-

tivas quantitativas de erros humanos para inclusao em analises por arvores de falhas ou

de eventos visando a reducao do risco.

As tecnicas da ACH se originaram na industria aeroespacial ha mais de 50 anos e tem

sido aplicadas a industria de processos.

147

Um erro humano e uma acao que falha em atender a algum limite de aceitabilidade

definido para o sistema. Pode ser uma acao fısica indevida de operacao ou uma acao

cognitiva equivocada, isto e, a identificacao de uma falha ou o diagnostico das causas da

falha. Os erros em procedimentos de operacao ou de manutencao, por exemplo, conduzem

a um maior numero de demandas dos sistemas de protecao e aumentam o risco da planta.

A motivacao para estudo da confiabilidade humana decorre da variabilidade do desem-

penho humano. O ser humano nunca realiza uma tarefa exatamente da mesma forma. A

variabilidade humana influi diretamente nos valores das probabilidades de erros humanos.

A analise da confiabilidade humana mantem o risco de natureza humana dentro de limites

aceitaveis com referencia aos nıveis de tolerancia estabelecidos pela analise de risco para

a operacao do sistema.

A analise da confiabilidade humana compreende:

• identificacao de condicoes que levam as pessoas a errar;

• estimacao da probabilidade desse erro.

O emprego crescente de sistemas de controle computacionais complexos tem originado

fatores adicionais para consideracao em analises da confiabilidade humana. Para diminuir

a probabilidade de erro, e, ao mesmo tempo, aproveitar a precisao do controle digital, as

plantas mantem o controle digital mas os instrumentos devem possuir a interface com o

homem, os mostradores e indicadores, do tipo analogico, porque apresenta menor proba-

bilidade de erros.

Existem muitas tecnicas de ACH, porem, todas possuem as seguintes caracterısticas

basicas:

• identificacao de tarefas relevantes;

• emprego de registros historicos; e

• identificacao das condicoes que aumentam as probabilidades de erro.

O emprego das tecnicas de ACH permite obter resultados quantitativos que sao geral-

mente expressos na forma de taxas e probabilidades de erros humanos.

A probabilidade de erro humano e

Peh =Ne

No

(E.2)

148

onde Peh e a probabilidade de erro humano, Ne e o numero de erros observados e No e

o numero de oportunidades de erro. O numero de erros observados e obtido nos regis-

tros historicos e a quantidade de oportunidades de erro vem da identificacao de tarefas

relevantes.

O erro humano pode ser quantificado pela taxa de erro,

Teh =Ne

Dt

(E.3)

onde Teh e a taxa de erro humano, Ne e o numero de erros observados e Dt e a duracao

total da tarefa, obtida na fase de identificacao de tarefas relevantes (Pyy, 2000 [35]) e

(Hirschberg, 2004 [20]).

Apendice F

Metodo dos mınimos quadrados

Problema:

Dado o conjunto de N de pontos (x,y), onde os vetores x e y tem dimensao N , ajustar

uma equacao exponencial da forma

y = a ebx (F.1)

aos pontos dados.

Uma anamorfose logaritmica transforma a equacao exponencial no polinomio

z = a0 + a1x, (F.2)

onde z = Ln y, a0 = Lna e a1 = b.

Os N pontos dados sao, entao, modificados para (x, z), onde z = Lny.

O problema se transforma para:

Dado o conjunto de N de pontos (x, z), onde os vetores x e z tem dimensao N , ajustar

um polinomio

z = Pk (x) =k

∑

m=0

amxm, (F.3)

de grau k = 1, aos pontos dados, sujeito a seguinte restricao

Q (x) = min{F T F}, (F.4)

onde

F = Pk (x) − z. (F.5)

Montar o Jacobiano

149

150

Ji,j =∂Pk (xi)

∂aj

, i = 1, 2, . . . , N, j = 0, 1, . . . , k (F.6)

Montar a equacao normal do metodo do gradiente

JT J∆a = −JT F. (F.7)

Preparar a equacao normal do metodo do gradiente para as iteracoes

∆a = −(JT J)−1JT F. (F.8)

Calcular o vetor solucao a

a l+1 = a l + ∆a . (F.9)

onde l e o numero da iteracao em curso.

Desfazer a anamorfose, fazendo a = ea0 e b = a1.

(Nocedal and Wright, 1999 [30])

Apendice G

Codigos de computador

151

152

G.1 Programa para solucao do sistema de EDO

program RK45sis

integer i,n,nsteps,m

real deriv,h0,t,t0,tn,tend,f

real h(8),k1(8),k2(8),k3(8),k4(8),k5(8),k6(8),p0(8),pn(8)

real c2(8),c3(8),c4(8),c5(8),c6(8)

c real LT,LG,MT,MG

open(unit=6,file=’RK45sis.out’)

c open(unit=5,file=’RK45sis.dat’)

c*************************************************

m=0 ! imprime de m em m iterac~oes

neq=8 ! numero de equacoes

c*************************************************

c condicoes iniciais

c*************************************************

t0=0.0 ! p0=p(t0)

p0(1)=1.0

do 110 i=2,neq

110 p0(i)=0.0

tend=1500.

nsteps=3000

c*************************************************

h0=(tend-t0)/nsteps

tn=t0 ! tn eh o t do problema

do 120 i=1,neq

120 pn(i)=p0(i) ! pn eh o valor da integral

n=0

print *,’h= ’,h0

print *,’ n t p1 p2 p3 p4

* p5 p6 p7 p8’

write(6,1)n,tn,pn(1),pn(2),pn(3),pn(4),pn(5),pn(6),pn(7),pn(8)

1 format(1x,i4,2x,f5.0,2x,f8.4,6(2x,f9.3),2x,f8.4)

do 10 n=1,nsteps

c**********************************************************

c

do 130 i=1,neq

k1(i)=h0*f(i,tn,

* pn(1),pn(2),pn(3),pn(4),

* pn(5),pn(6),pn(7),pn(8))

130 continue

c

do 145 i=1,neq

145 c2(i)=k1(i)/4

do 140 i=1,neq

k2(i)=h0*f(i,tn+h0/4,

* pn(1)+c2(1),pn(2)+c2(2),pn(3)+c2(3),pn(4)+c2(4),

* pn(5)+c2(5),pn(6)+c2(6),pn(7)+c2(7),pn(8)+c2(8))

140 continue

c

do 155 i=1,neq

155 c3(i)=k1(i)*3/32+k2(i)*9/32

do 150 i=1,neq

k3(i)=h0*f(i,tn+h0*3/8,

* pn(1)+c3(1),pn(2)+c3(2),pn(3)+c3(3),pn(4)+c3(4),

* pn(5)+c3(5),pn(6)+c3(6),pn(7)+c3(7),pn(8)+c3(8))

150 continue

153

c

do 165 i=1,neq

165 c4(i)=k1(i)*1932/2197-k2(i)*7200/2197+k3(i)*7296/2197

do 160 i=1,neq

k4(i)=h0*f(i,tn+h0*12/13,

* pn(1)+c4(1),pn(2)+c4(2),pn(3)+c4(3),pn(4)+c4(4),

* pn(5)+c4(5),pn(6)+c4(6),pn(7)+c4(7),pn(8)+c4(8))

160 continue

c

do 170 i=1,neq

170 c5(i)=k1(i)*439/216-k2(i)*8+k3(i)*3680/513-k4(i)*845/4104

do 175 i=1,neq

k5(i)=h0*f(i,tn+h0,

* pn(1)+c5(1),pn(2)+c5(2),pn(3)+c5(3),pn(4)+c5(4),

* pn(5)+c5(5),pn(6)+c5(6),pn(7)+c5(7),pn(8)+c5(8))

175 continue

c

do 180 i=1,neq

c6(i)=-k1(i)*8/27+k2(i)*2-k3(i)*3544/2565+

* k4(i)*1859/4104-k5(i)*11/40

180 continue

do 185 i=1,neq

k6(i)=h0*f(i,tn+h0/2,

* pn(1)+c6(1),pn(2)+c6(2),pn(3)+c6(3),pn(4)+c6(4),

* pn(5)+c6(5),pn(6)+c6(6),pn(7)+c6(7),pn(8)+c6(8))

185 continue

c

do 190 i=1,neq

190 h(i)=k1(i)*25/216+k3(i)*1408/2565+k4(i)*2197/4104-k5(i)/5

c

tn=tn+h0

do 195 i=1,neq

195 pn(i)=pn(i)+h(i)

c

do 200 i=1,neq

if(abs(pn(i)).lt.1.e-11)pn(i)=0.0

200 continue

c

c***********************************************************

m=m+1

if (100-m)10,11,10

11 write(6,1)n,tn,pn(1),pn(2),pn(3),pn(4),pn(5),pn(6),pn(7),pn(8)

m=0

10 continue

c

stop

end

c*****Reparo minimo*****************************************

real function f(j,t,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8)

integer j

real t,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8

real LT,LG,MT,MG

LT=0.0028*exp(0.0017*t)+1/833.87

LG=6.0E-05*exp(0.0044*t)+1/10177.08

MT=0.036900

MG=0.035211

if(j.eq.1)f=-3*(LT+LG)*p1+MT*p2+MG*p3+MT*p4+MG*p5+MT*p6+MG*p7

if(j.eq.2)f=LT*p1-(MT+2*LT+2*LG)*p2

154

if(j.eq.3)f=LG*p1-(MG+2*LT+2*LG)*p3





if(j.eq.8)f=2*(LT+LG)*(p2+p3+p4+p5+p6+p7)

return

end

c*****Reparo de renovac~ao***********************************

c real function f(j,t,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8)

c integer j

c real t,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8

c real LT,LG,MT,MG

c LT=0.0028*exp(0.0017*t)+1/833.87

c LG=6.0E-05*exp(0.0044*t)+1/10177.08

c MT=0.036900

c MG=0.035211

c if(j.eq.1)f=-3*(LT+LG)*p1

c if(j.eq.2)f=-(MT+2*LT+2*LG)*p2

c if(j.eq.3)f=-(MG+2*LT+2*LG)*p3





c if(j.eq.8)f=2*(LT+LG)*(p2+p3+p4+p5+p6+p7)

c return

c end

155

G.2 Simulacoes de Monte Carlo

G.2.1 Simulacao de Monte Carlo para o reparo mınimo

//Montecarl2.c

/* CONDIC~AO DE REPARO MINIMO

Este programa faz uma simulac~ao para estimar as probabilidades dos estados da

cadeia de Markov. Quando o estado atual e "funcionando=1", utiliza a taxa de

falha para passar ou nao para o estado "falho=0". Quando o estado atual e

"falho=0", utiliza a taxa de reparo para passar ou nao para o estado

"funcionando=1". */

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<stdlib.h>

//float aleatorio(float,float,float);

int main()

{

clock_t

start,// Inicio do tempo de processamento

stop; // Termino do tempo de processamento

/******************************************************************************

Marca o inicio do tempo de processamento

******************************************************************************/

start=clock();

/******************************************************************************

Definicao das variaveis

******************************************************************************/

float

lambdaT,//taxa de falha da turbina

lambdaG,//taxa de falha do gerador

miT,miG,

st,p[8+1],pi[8+1],sp,

y1,

R,RT,RG,

s,t;

int

sx,x[6+1],fi[4+1],sfi,fx,x60,x61,

i,j,k;

/******************************************************************************

Abre arquivo Montecarlo.out para gravac~ao

******************************************************************************/

FILE *arqs;

arqs=fopen("Montecarl2.out","w");

/******************************************************************************

Inicializa a funcao aleatorio

******************************************************************************/

time_t now;

now=time(NULL);

srand (now);

/******************************************************************************

lambdaT=0.00119923;//taxa de falha media da turbina em falhas por hora

lambdaG=0.00009826;//taxa de falha media do gerador em falhas por hora

R=exp(-lambda*t); confiabilidade

*******************************************************************************/

156

/******************************************************************************

Rotina

******************************************************************************/

fprintf(arqs," Condic~ao de reparo mınimo\n");

fprintf(arqs," t p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

p8\n");

for(t=0;t<=1500;t+=50){

for(i=1;i<=8;i++){pi[i]=0;}

for(i=1;i<=6;i++){x[i]=1;}

for(j=1;j<=100000;j++){

lambdaT=(1199.23+2800*exp(0.0017*t))*0.0000001;

// if(lambdaT<0.00119923){lambdaT=0.00119923;}

lambdaG=(98.26+60*exp(0.0044*t))*0.0000001;

// if(lambdaG<0.00009826){lambdaG=0.00009826;}

miT=36900e-6;

miG=35211e-6;

/*****************************************************************************/

sx=x[1];

if(sx==1){

R=exp(-lambdaT*t);

y1=1.0*rand()/RAND_MAX;

if(y1<R ){x[1]=1;}

if(y1>=R){x[1]=0;}

}

if(sx==0){

s=150.0*rand()/RAND_MAX;

R=exp(-miT*s );


if(y1<R ){x[1]=1;}

if(y1>=R){x[1]=0;}

}

/*****************************************************************************/

sx=x[2];

if(sx==1){

R=exp(-lambdaG*t);


if(y1<R ){x[2]=1;}

if(y1>=R){x[2]=0;}

}

if(sx==0){


R=exp(-miG*s );


if(y1<R ){x[2]=1;}

if(y1>=R){x[2]=0;}

}

/*****************************************************************************/

sx=x[3];

if(sx==1){

R=exp(-lambdaT*t);


if(y1<R ){x[3]=1;}

if(y1>=R){x[3]=0;}

}

157

if(sx==0){


R=exp(-miT*s );


if(y1<R ){x[3]=1;}

if(y1>=R){x[3]=0;}

}

/*****************************************************************************/

sx=x[4];

if(sx==1){

R=exp(-lambdaG*t);


if(y1<R ){x[4]=1;}

if(y1>=R){x[4]=0;}

}

if(sx==0){


R=exp(-miG*s );


if(y1<R ){x[4]=1;}

if(y1>=R){x[4]=0;}

}

/*****************************************************************************/

sx=x[5];

if(sx==1){

R=exp(-lambdaT*t);


if(y1<R ){x[5]=1;}

if(y1>=R){x[5]=0;}

}

if(sx==0){


R=exp(-miT*s );


if(y1<R ){x[5]=1;}

if(y1>=R){x[5]=0;}

}

/*****************************************************************************/

sx=x[6];

if(sx==1){

R=exp(-lambdaG*t);


if(y1<R ){x[6]=1;}

if(y1>=R){x[6]=0;}

}

if(sx==0){


R=exp(-miG*s );


if(y1<R ){x[6]=1;}

if(y1>=R){x[6]=0;}

}

/*****************************************************************************/

fi[1]=x[1]*x[2];

fi[2]=x[3]*x[4];

fi[3]=x[5]*x[6];

fi[4]=1-(1-fi[1])*(1-fi[2])*(1-fi[3]);

158

sfi=fi[1]+fi[2]+fi[3];

if(sfi>=2){fx=1;}

if(sfi<2){fx=0;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

pi[1]++;goto g81;}

if((x[1]==0)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

pi[2]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==0)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

pi[3]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==0)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

pi[4]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==0)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

pi[5]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==0)&&(x[6]==1)){

pi[6]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==0)){

pi[7]++;goto g81;}

if(fx==0){pi[8]++;goto g81;}

g81:

for(i=1;i<=5;i++){;}

}

sp=0;

for(i=1;i<=8;i++){sp+=pi[i];}

for(i=1;i<=8;i++){p[i]=pi[i]/sp;}

fprintf(arqs," %4.0f %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f

%4.4f %7.0f\n",t,p[1],p[2],p[3],p[4],p[5],p[6],p[7],p[8],sp);

}

/******************************************************************************

Marca o termino do tempo de processamento

******************************************************************************/

stop=clock();

st=(stop-start)/CLK_TCK;

printf("\n\n tempo de processamento %10.5f segundos \n",st);

fclose (arqs);

return (0);

}

G.2.2 Simulacao de Monte Carlo para o reparo perfeito

//Montecarlo.c

/* CONDIC~AO DE REPARO PERFEITO

Este programa faz uma simulac~ao para estimar as probabilidades dos estados da

cadeia de Markov. Utiliza somente a taxa de falha para mudar ou nao de um

estado para o outro. */

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<stdlib.h>

float aleatorio(float,float,float);

int main()

159

{

clock_t



/******************************************************************************


******************************************************************************/

start=clock();

/******************************************************************************

Definicao das variaveis

******************************************************************************/

float

lambdaT,//taxa de falha da turbina em falhas por hora

lambdaG,//taxa de falha do gerador em falhas por hora

st,

y1,

x[6+1],fi[4+1],

p[8+1],

sp,

sfi,

fx,

R,

t;

int

i,j;

/******************************************************************************

Abre arquivo Montecarlo.out para gravac~ao

******************************************************************************/

FILE *arqs;

arqs=fopen("Montecarlo.out","w");

/******************************************************************************

Inicializa a funcao aleatorio

******************************************************************************/

time_t now;

now=time(NULL);

srand (now);

/******************************************************************************

Rotina

******************************************************************************/

fprintf(arqs," Condic~ao de reparo perfeito\n");

fprintf(arqs," t p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8\n");

for (t=0;t<=1500;t+=50){

for(i=1;i<=8;i++){p[i]=0;}

for(j=1;j<=100000;j++){

lambdaT=(1199.23+2800*exp(0.0017*t))*0.0000001;

// if(lambdaT<0.00119923){lambdaT=0.00119923;}

lambdaG=(98.26+60*exp(0.0044*t))*0.0000001;

// if(lambdaG<0.00009826){lambdaG=0.00009826;}

R=exp(-lambdaT*t);


if(y1<R) {x[1]=1.0;}

if(y1>=R){x[1]=0.0;}

R=exp(-lambdaG*t);

160


if(y1<R) {x[2]=1.0;}

if(y1>=R){x[2]=0.0;}

R=exp(-lambdaT*t);


if(y1<R) {x[3]=1.0;}

if(y1>=R){x[3]=0.0;}

R=exp(-lambdaG*t);


if(y1<R) {x[4]=1.0;}

if(y1>=R){x[4]=0.0;}

R=exp(-lambdaT*t);


if(y1<R) {x[5]=1.0;}

if(y1>=R){x[5]=0.0;}

R=exp(-lambdaG*t);


if(y1<R) {x[6]=1.0;}

if(y1>=R){x[6]=0.0;}

fi[1]=x[1]*x[2];

fi[2]=x[3]*x[4];

fi[3]=x[5]*x[6];

fi[4]=1-(1-fi[1])*(1-fi[2])*(1-fi[3]);

sfi=fi[1]+fi[2]+fi[3];

if(sfi>=2){fx=1;}

if(sfi<2){fx=0;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

p[1]++;goto g81;}

if((x[1]==0)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

p[2]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==0)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

p[3]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==0)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

p[4]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==0)&&(x[5]==1)&&(x[6]==1)){

p[5]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==0)&&(x[6]==1)){

p[6]++;goto g81;}

if((x[1]==1)&&(x[2]==1)&&(x[3]==1)&&(x[4]==1)&&(x[5]==1)&&(x[6]==0)){

p[7]++;goto g81;}

if(fx==0){p[8]++;goto g81;}

g81:

for(i=1;i<=5;i++){;}

}

sp=0;

161

for(i=1;i<=8;i++){

sp+=p[i];

}

for(i=1;i<=8;i++){

p[i]/=sp;

}

fprintf(arqs," %4.0f %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f %4.4f

%7.0f\n",t,p[1],p[2],p[3],p[4],p[5],p[6],p[7],p[8],sp);

}

/******************************************************************************


******************************************************************************/

stop=clock();


printf("\n\n tempo de processamento %10.5f segundos \n",st);

fclose (arqs);

return (0);

}

162

G.3 Programa para regressao linear pelos mınimos

quadrados

/*** RegrLine.c ***

Regressao linear 09/03/2006 */

/**********************************************************

Includes

**********************************************************/

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include<time.h>

int main()

{

clock_t



float st;

/**********************************************************


**********************************************************/

start=clock();

/**********************************************************

Abre arquivo de entrada

**********************************************************/

FILE * pDat;

pDat = fopen("RegrLine.dat","r");

/**********************************************************

Abre arquivo de saida

**********************************************************/

FILE * pOut;

pOut = fopen("RegrLine.out","w");

/**********************************************************

Titulo

**********************************************************/

fprintf(pOut,"*****************************************************\n");

fprintf(pOut,"* -1 *\n");

fprintf(pOut,"* A = B*C -> C = B * A *\n");

fprintf(pOut,"* *\n");

fprintf(pOut,"* 2 *\n");

fprintf(pOut,"* U = F(V) -> X = F(T) -> X = C3*T + C2*T + C1 *\n");

fprintf(pOut,"*****************************************************\n");

/**********************************************************

Declaracao das variaveis

**********************************************************/

int i,j,k,l,m,n;

fscanf(pDat,"%i",&n);// grau da equacao

float a[n+2],b[n+2][n+2],sb[n+2][n+2],um[n+2][n+2],c[n+2];

fscanf(pDat,"%i",&m);//numero de pontos

float u[m],v[m],x[m],t[m],xest[m];

float ub,vb;

float expl,tot,r,r2,epe;

/**********************************************************

Le dados

163

**********************************************************/

for(i=1;i<=m;i++){

fscanf(pDat,"%f",&v[i]);

}

for(i=1;i<=m;i++){

fscanf(pDat,"%f",&u[i]);

}

ub=0;vb=0;

for(i=1;i<=m;i++){

ub=ub+u[i]/m;

vb=vb+v[i]/m;

}

for(i=1;i<=m;i++){

x[i]=u[i];//x[i]=u[i]-ub;

t[i]=v[i];//t[i]=v[i]-vb

}

/**********************************************************

Forma matriz A

**********************************************************/

for(l=1;l<=n+1;l++){

a[l]=0;

for(i=1;i<=m;i++){

a[l]=a[l]+x[i]*pow(t[i],l-1);

}

}

/**********************************************************

Forma matriz B

**********************************************************/

for(l=1;l<=n+1;l++){

for(k=l;k<=n+1;k++){

b[l][k]=0;

for(i=1;i<=m;i++){

b[l][k]=b[l][k]+pow(t[i],l+k-2);

}

}

}

b[1][1]=m;

for(l=1;l<=n+1;l++){

for(k=l;k<=n+1;k++){

b[k][l]=b[l][k];

}

}

/**********************************************************

Salva matriz B em SB

**********************************************************/

for(l=1;l<=n+1;l++){

for(k=1;k<=n+1;k++){

sb[l][k]=b[l][k];

}

}

/**********************************************************

Inverte matriz B em B por Shipley-Coleman

**********************************************************/

n=n+1;

for(i=1;i<=n;i++){

b[i][i]=1/b[i][i];//passo 1

for(k=1;k<=n;k++){

for(j=1;j<=n;j++){

164

if((k!=i)&&(j!=i)){b[j][k]=b[j][k]-b[j][i]*b[i][i]*b[i][k];}//passo 2

}

}

for(k=1;k<=n;k++){

if(k!=i){b[i][k]=-b[i][i]*b[i][k];}//passo 3

}

for(j=1;j<=n;j++){

if(j!=i){b[j][i]=b[i][i]*b[j][i];}//passo 4

}

}

/**********************************************************

Verifica inversao

**********************************************************/

for(l=1;l<=n;l++){

for(k=1;k<=n;k++){

um[l][k]=0;

for(j=1;j<=n;j++){

um[l][k]=um[l][k]+b[l][j]*sb[j][k];

}

}

}

/**********************************************************

Calcula vetor solucao C

**********************************************************/

for(l=1;l<=n;l++){

for(k=1;k<=n;k++){

c[l]=0;

for(j=1;j<=n;j++){

c[l]=c[l]+b[l][j]*a[j];

}

}

}

/**********************************************************

Exibe o vetor solucao C

**********************************************************/

fprintf(pOut," vetor C\n");

for(l=1;l<=n;l++){

fprintf(pOut," C[%1i]=%10.5f\n",l,c[l]);

}

/**********************************************************

Recupera dados a partir do vetor solucao C

**********************************************************/

for(i=1;i<=m;i++){

xest[i]=0;

for(l=1;l<=n;l++){

xest[i]=xest[i]+c[l]*pow(t[i],l-1);

}

}

/**********************************************************

Variacao explicada

**********************************************************/

expl=0;

for(i=1;i<=m;i++){

expl=expl+(xest[i]-ub)*(xest[i]-ub);

}

/**********************************************************

Variacao total

**********************************************************/

165

tot=0;

for(i=1;i<=m;i++){

tot=tot+(u[i]-ub)*(u[i]-ub);

}

/**********************************************************

Coeficiente de determinacao

**********************************************************/

r2=expl/tot;

/**********************************************************

Coeficiente de correlacao

**********************************************************/

r=sqrt(r2);

/**********************************************************

Erro padrao da estimativa

**********************************************************/

epe=0;

for(i=1;i<=m;i++){

epe=epe+(u[i]-xest[i])*(u[i]-xest[i]);

}

epe=sqrt(epe/m);

/**********************************************************

Eco dos dados de entrada

**********************************************************/

fprintf(pOut,"Grau do polinomio \n",n);

fprintf(pOut,"Numero de pontos \n",m);

/**********************************************************

Saida

**********************************************************/

fprintf(pOut,"\n");

fprintf(pOut,"Coef de determinacao R2 =%5.2f \n",r2);

fprintf(pOut,"Coef de correlacao R =%5.2f \n",r);

fprintf(pOut,"Erro padrao da estimativa =%5.2f \n",epe);

fprintf(pOut,"\n");

fprintf(pOut," V U T X Xest\n");

for(i=1;i<=m;i++){

fprintf(pOut," %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f \n",v[i],u[i],t[i],x[i],xest[i]);

}

/**********************************************************


**********************************************************/

stop=clock();


fprintf(pOut,"\n\n tempo de processamento %10.1f segundos \n",st);

/**********************************************************

Fecha arquivos

**********************************************************/

fclose (pDat);

fclose (pOut);

return 0;

}

166

G.4 Solucao de distribuicao multivariaveis por uma

equivalente, utilizando tecnicas de Monte Carlo

program Multivar(MVout);

label 370;

const ncl=100;

betaT=0.6098;

etaT=617.2;

betaG=0.2;

etaG=141.2;

Tmax=3500;

zero=1e-8;

Var x1,x2,y1,x12,SX12 : real;

Toper,Rturb,Tturb,Rger,Tger : real;

pow,scl,beta,eta : real;

i, j, k, m : integer;

MVout : text;

durTG : array [1..40000] of real;

Cmed : array [1..ncl+1] of real;

C : array [1..ncl+1] of real;

CL,X,Y,acumCL: array [1..ncl] of real;

begin

Randomize;

assign(MVout,’Multivar.txt’);

rewrite(MVout);

writeln(MVout,’gpc -c Multivar.pas’:19);

writeln(MVout,’gpc -o Multivar Multivar.o’:26);

writeln(MVout,’./Multivar’:10);

sx12:=0;

j:=0;

for i:=1 to 100000 do

begin

Toper:=Random(Tmax+1);

if Toper<zero then begin Toper:=zero end;

pow:=exp(betaT*(ln(Toper)-ln(etaT)));

Rturb:=exp(-pow);

Tturb:=Random;

if Tturb<Rturb then x1:=1 else x1:=0;

pow:=exp(betaG*(ln(Toper)-ln(etaG)));

Rger:=exp(-pow);

Tger:=Random;

if Tger<Rger then x2:=1 else x2:=0;

x12:=x1*x2;

sx12:=sx12+x12;

if x1+x2=1 then

begin

j:=j+1;

durTG[j]:=Toper;

end;

end;

for i:=1 to ncl+1 do

begin

C[I]:=(i-1)*Tmax/ncl;

end;

for m:=1 to ncl do begin CL[m]:=0; end;

167

for k:=1 to j do

begin

for m:=1 to ncl do

begin

if (durTG[k]>=C[m]) and (durTG[k]<C[m+1]) then

{ if (Toper>=C[m]) and (Toper<C[m+1]) then }

begin

CL[m]:=CL[m]+1;

goto 370;

end;

end;

370: end;

scl:=0;

for m:=1 to ncl do begin scl:=scl+CL[m]; end;

writeln(MVout, ’j=’,j);

writeln(MVout, ’dur horas prob prob acum’);

writeln(MVout, ’ t f(t) F(t) ’);

for m:=1 to ncl do

begin

Cmed[m]:=(C[m]+C[m+1])/2;

end;

for m:=1 to ncl do

begin

CL[m]:=CL[m]/scl;

end;

acumCL[1]:=CL[1];

for m:=1 to ncl-1 do

begin

acumCL[m+1]:=acumCL[m]+CL[m];

end;

for m:=1 to ncl do

begin

acumCL[m]:=acumCL[m]/acumCL[ncl];

end;

for m:=1 to ncl do

begin

writeln(MVout,’’:3,Cmed[m]:4:0,’’:10,CL[m]:2:4,’’:10,acumCL[m]:3:5);

end;

for m:=1 to ncl-1 do

begin

if Cmed[m]<zero then begin Cmed[m]:=zero; end;

X[m]:=ln(Cmed[m]);

Y[m]:=ln(ln(1/(1-acumCL[m])));

end;

writeln(MVout);

writeln(MVout, ’ # X y ’);

for m:=1 to ncl do

begin

writeln(MVout,’’:5,m:2,’’:10,X[m]:4:4,’’:10,Y[m]:4:4);

end;

beta:=-0.3138;

eta:=exp(0.5122/beta);

writeln(MVout, ’beta=’:7,beta:4:4,’eta=’:7,eta:4:4);

close(MVout);

end.

Documents

José Alberto Avelino da Silva Modelagem e avaliação da