Introducción a los Modelos Estocásticos Modelos Estocásticos - ICI-2212 Claudio Carmona C.

Contenidos y Unidad 1: Introducción a los Procesos

Estocásticos y Unidad 2: Repaso de probabilidad y

estadística y Unidad 3: Proceso de Poisson y Unidad 4: Proceso de Renovación y Unidad 5: Cadenas de Markov en Tiempo

Discreto y Unidad 6: Cadenas de Markov en Tiempo

Continuo y Unidad 7: Sistemas de Espera y Unidad 8: Inventario Probabilístico

Evaluación y Asistencia Evaluación ¾Promedio Solemnes (3): 60% ¾Promedio controles, trabajos y tareas (3): 40%

Nota presentación (NP) >= 5.0 Æ Eximido Nota Final = NP*0,7 + Nota_Examen*0,3 Asistencia mínima: 70%

Bibliografía Título: Introducción a la Investigación de Operaciones. Autores: Hillier y Lieberman ISBN: 9786071503084 Editorial: McGraw-Hill Edición: 9a. ed. Número de Ejemplares disponibles: 4 Sedes: República

Título: Investigación de Operaciones Autor: Wayne L. Winston ISBN: 9706863621 Editorial: Thomson Edición: 4a. ed. Número de Ejemplares disponibles: 8 Sedes: República

Título: Investigación de Operaciones Autor: Taha ISBN: 9786073207966 Editorial: Pearson Edición: 7a. ed. Número de Ejemplares disponibles: 12 Sedes: República

Título: Modelos Estocásticos para la Gestión de Sistemas Autor: P. Gazmuri ISBN: 956140351X Editorial: Ediciones Universidad Católica, 1995. Edición: 7a. ed. Número de Ejemplares disponibles: 1 Sedes: República

Procesos Estocásticos - Introducción La naturaleza y las realizaciones

humanas nos muestran numerosos fenómenos en los cuales, una o varias magnitudes, que representan “el estado” de un cierto sistema, varían en función del tiempo en una forma que no puede ser previsible.

Procesos Estocásticos – Introducción (continuación) Sin embargo, las variaciones de estas

magnitudes pueden ser sometidas a las leyes estadísticas que permiten vincular probabilidades a los diferentes valores que pueden tomar dichas magnitudes.

Procesos Estocásticos – Introducción (continuación)

Llamamos “estado del tiempo” al estado del sistema atmosfera local caracterizado por una cierta probabilidad de precipitaciones, ciertos valores extremos de temperatura (probabilidades de ciertas temperaturas máxima y mínima), cierta velocidad de viento (probabilidad de cierta velocidad de viento), etc.

Proceso estocástico

Variable aleatoria a lo largo del tiempo

Objetivo Ajustar un modelo con el fin de hacer predicciones sobre el comportamiento futuro.

Procesos Estocásticos – Introducción (continuación)

Procesos Estocásticos – Introducción (continuación) Las distribuciones de probabilidad

(Normal, Poisson, etc.) y las relaciones que ligan las magnitudes del sistema constituyen lo que se llama un “modelo matemático” del fenómeno; se llama proceso estocástico a un modelo que se ajusta al caso descrito, en donde una o varias magnitudes del sistema varían en una forma aleatoria en función del tiempo.

Procesos Estocásticos – Introducción (continuación) A los posibles valores que puede tomar

la variable aleatoria se le denominaran estados, por lo que se puede tener un espacio de estados discreto o un espacio de estados continuo.

Los estados posibles del sistema pueden ser en número finito o infinito, pero a menudo se les definirá en forma que puedan ser numerados. Cada estado posible puede ser referido como X0, X1, … , Xi, …

en la que cada variable Xi , i = 0, ..., n, tiene una distribución de probabilidades, en general, distinta de las otras variables.

Una secuencia de variables que indique el valor de alguna magnitud del sistema en instantes sucesivos suele representarse de la siguiente manera:

Procesos Estocásticos – Introducción (continuación)

Procesos Estocásticos – Introducción (continuación)

Procesos Estocásticos - Clasificación Por tanto, si T representa el conjunto

(espacio de tiempo) de valores de tiempo posibles y Xt los valores de la variable aleatoria (espacio de estados) en los instantes t, donde t є T, tendremos:

y Si el conjunto T es continuo, por ejemplo ℝ+, diremos que Xt es un proceso estocástico de tiempo continuo.

y Si por el contrario T es discreto, por ejemplo ℕ, diremos que nos encontramos frente a un proceso estocástico de tiempo discreto.

Procesos Estocásticos - Clasificación y Si para cada instante t la variable

aleatoria Xt es de tipo continuo, diremos que el proceso estocástico es de estado continuo.

y Si para cada instante t la variable aleatoria Xt es de tipo discreto, diremos que el proceso estocástico es de estado discreto.

Supongamos el espacio de tiempo:

(Discreto)

Entonces habrá

variables aleatorias

estado del sist es el valor del proceso o

ema al tiempo t.

Entonces para cada t, Xt

Procesos Estocásticos – Clasificación (Ejemplo discreto)

El espacio de tiempo también puede ser un conjunto continuo

Entonces el proceso es a tiempo continuo y se denota:

Procesos Estocásticos – Clasificación (Ejemplo continuo)

Procesos Estocásticos - Cadena

Una Cadena es un proceso estocástico en el cual el tiempo se mueve en forma discreta y la variable aleatoria sólo toma valores discretos en el espacio de estados.

Procesos Estocásticos - Cadena

Como un ejemplo de una Cadena, considere una máquina dentro de una fábrica. Los posibles estados para la máquina son que esté operando o que esté fuera de funcionamiento y la verificación de esta característica se realizará al principio de cada día de trabajo. Si hacemos corresponder el estado “fuera de funcionamiento” con el valor 0 y el estado “en operación” con el valor 1, entonces la figura muestra una posible secuencia de cambios de estado a través del tiempo para esa máquina.

Procesos Estocásticos – Saltos Puros

Un Proceso de Saltos Puros es un proceso estocástico en el cual los cambios de estados ocurren en forma aleatoria pero la variable aleatoria sólo toma valores discretos en el espacio de estados.

Procesos Estocásticos – Saltos Puros

Para el caso de los Procesos de Saltos Puros se puede considerar como un ejemplo una señal telegráfica. Sólo hay dos posibles estados (por ejemplo 1 y -1) pero la oportunidad del cambio de estado se da en cualquier instante en el tiempo, es decir, el instante del cambio de estado es aleatorio.

Procesos Estocásticos – Estado continuo / tiempo discreto

Un Proceso de estado continuo y tiempo discreto es un proceso donde la variable aleatoria puede tomar cualquier estado dentro de un rango, pero solo es observada en ciertos instantes de tiempo.

Procesos Estocásticos – Estado continuo / tiempo discreto

Como ejemplo tómese la producción de toneladas de cobre en Chile por año. La producción puede tomar cualquier valor, pero las observaciones se realizan por año.

Procesos Estocásticos – Proceso Continuo

En un Proceso Continuo los cambios de estado se producen en cualquier instante y hacia cualquier estado dentro de un espacio continuo de estados.

señal de voz modulada en amplitud.

Señal de voz vista en la pantalla de un osciloscopio.

Esta señal acústica es transformada en una señal eléctrica analógica que puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo de estados.

Procesos Estocásticos – Proceso Continuo

Tipos de Modelos Matemáticos – Modelo Estocástico

Modelo Estocástico aquellos basados en la estadística y probabilidades (donde se incorpora las incertidumbres que por lo general acompañan nuestras observaciones de eventos reales). ◦ Modelo de Poisson ◦ Modelo Normal ◦ Modelo Binomial

Tipos de Modelos Matemáticos – Modelo Determinístico

Modelo Determinístico corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas. ◦ Modelo de Optimización Lineal ◦ Modelos de inventarios ◦ Modelos para determinar capacidad productiva

óptima ◦ Modelos para maximizar la utilidad o minimizar

las pérdidas

Determinístico v/s Estocástico

Los procesos determinísticos, son procesos en los que conociendo las condiciones iniciales siempre siguen el mismo curso y producen el mismo resultado final, o sea no hay elementos aleatorios, podemos predecir en el tiempo todos los posibles estados y el estado final siempre será el mismo dado unas mismas condiciones iniciales.

Determinístico v/s Estocástico

En procesos estocásticos no estamos frente a un simple curso de acontecimientos en el tiempo, o sea que hay un grado de indeterminación en los posibles cursos o secuencias de pasos que tome el proceso y este escenario múltiple puede ser descrito por distribuciones de probabilidad. En un proceso estocástico aun cuando tenemos las mismas condiciones iniciales en el comienzo hay diferente cursos de acontecimiento que el proceso puede tomar y por ende se puede arribar a diferentes estados finales partiendo de unas mismas condiciones iniciales.