Fenomeno de Gibbs

2.7. Efecto Gibbs 169

Fig. 2.74. Dualidad tiempo frecuencia: señales periódicas en tiempo tienen un espectro discreto(a); señales discretas en tiempo tienen un espectro periódico (b) .

Las relaciones matemáticas para señales periódicas en tiempo son

y(t) = x(t) ∗ p(t) ⇐⇒ Y( f ) = f0

∞

∑k=−∞

X( f ) δ( f − k f0) = f0

∞

∑k=−∞

X(k f0) δ( f − k f0),

mientras que para señales discretas en tiempo se tiene que

y(t) = x(t)×p(t) ⇐⇒ Y( f ) = f0

∞

∑k=−∞

X( f ) ∗ δ( f − k f0) = f0

∞

∑k=−∞

X( f − k f0).

2.7. Efecto Gibbs

En 1889, el físico Albert Michelson y su colega S. Stratton construyeron un sintetizadorarmónico: un dispositivo que reconstruía una señal periódica xN(t) de período T0 enbase a la especificación de hasta 80 de sus componentes armónicas. En la Fig. 2.75(a) seobserva una réplica del sintetizador armónico y una muestra de las señales generadascon distintos coeficientes en la Fig. 2.75(b) .El sintetizador implementa mecánicamente laecuación

xN(t) =N

∑k=−N

ckejk 2πT0

t. (2.123)

Algunos detalles constructivos se exploran en el Ejercicio 6.

Michelson probó su dispositivo calculando los coeficientes de Fourier de distintas señalesperiódicas x(t) y comparando la señal reconstruida xN(t) con la original: en líneas gen-erales xN(t) resultaba muy similar a x(t). Sin embargo, cuando utilizó como señal deprueba una onda cuadrada la aproximación no fue tan buena. Según Lanczos (1966),Michelson no podía comprender las causas del problema, y pensaba que su aparato po-dría estar funcionando incorrectamente. Confió sus dudas al matemático Josiah Gibbs,

Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011

170 2. Análisis de Fourier

Fig. 2.75. Sintetizador armónico de Michelson y Stratton. (a) Dispositivo mecánico. (b) Formasde ondas generadas por el aparato.

quien investigó el fenómeno y publicó sus resultados en 1899. Este comportamiento yahabía sido observado y explicado por el matemático inglés Henry Wilbraham 50 añosantes, en la corrección de un trabajo de Fourier que trataba sobre la convergencia de lasseries. Este resultado pasó desapercibido, posiblemente porque fue publicado en una pe-queña revista no muy difundida, y recién fue redescubierto por Carslaw en 1925.

En cambio, según Gottlieb y Shu (1997), Michelson y Stratton (1898) publicaron un trabajoen Nature donde describían la construcción y el funcionamiento del analizador armóni-co, junto con algunos gráficos cuyo propósito era demostrar que la máquina calculabacorrectamente los coeficientes de la serie de Fourier. Una de las curvas era una ondacuadrada que exhibía las oscilaciones de Gibbs, pero los autores no comentaban nada alrespecto en ese trabajo. Sin embargo, parece que Michelson había notado algo particular,pues al poco tiempo (6 de Octubre de 1898) envía una carta a la revista donde comentala dificultad de construir la función f (x) = x a partir de sus coeficientes de Fourier. Enparticular, arguía que la expresión (2.123) evaluada en t = T0(1/2+ k/N), donde k espequeño, converge a distintos límites para diferentes valores de k. También observó queel mismo fenómeno ocurría para la derivada de la función (una onda cuadrada).

El matemático A. E. H. Love atacó a Michelson en la siguiente edición de Nature (13 deOctubre de 1898). Comenzó sugiriendo que Michelson (y todos los físicos preocupadospor la convergencia no uniforme) debía leer el texto de Hobson Trigonometría.. Aclara-ba correctamente que “el proceso utilizado [por Michelson] es inválido.” Es interesantedestacar que Love remarcaba las falencias en el argumento matemático de Michelson,pero no se preocupó por entender la dificultad que éste había observado. Parece que Loveno conocía el analizador armónico, ni que el problema era el de sintetizar una función apartir de sus coeficientes de Fourier.

El próximo capítulo en la historia ocurre el 29 de Diciembre de 1898, cuando en Naturese publican tres cartas. La primera fue remitida por Michelson, con fecha 1 de Diciembre,remarcando que desde su punto de vista la convergencia debía ser uniforme en cualquierentorno de la discontinuidad.

Gibbs era el autor de la carta siguiente, fechada el 29 de Noviembre, en donde explica-ba las dudas de Michelson, destacando que Love las había ignorado, y describía las os-



Fig. 2.76. La carta de Gibbs en Nature, 27 de Abril de 1899.

cilaciones. Sin embargo, su nota parece implicar que la amplitud de estas oscilacionesdecrecían con N.

Esta nota estaba seguida por una carta de Love, exponiendo la noción de convergen-cia no uniforme y admitiendo que no había comprendido los problemas indicados porMichelson en su primera carta.



Fig. 2.77. Aproximación de una onda cuadrada por los N primeros términos de la serie deFourier. (a) N = 3; (b) N = 9; (c) N = 19; (d) N = 99 términos.

Recién el 27 de Abril de 1899 Gibbs publica el resultado correcto (Fig. 2.76), pidiendodisculpas, “I should like to correct a careless error”, y mostrando que las oscilaciones nodecaen, sino que el sobrepico tiende a un número constante.

Las últimas comunicaciones aparecieron nuevamente en Nature. En Mayo de 1899 Michel-son comunicaba una carta de Poincaré y en Junio de 1899 Love básicamente repetía suspuntos de vista. Nuevamente, no parecía notar que el comportamiento de las sumas fini-tas era crucial para reconstruir una función a partir de su serie de Fourier.

El nombre “fenómeno de Gibbs” fue utilizado por vez primera por Bôcher en 1906, enun artículo donde extendía el resultado de Gibbs. El matemático húngaro Fejér hizo elprimer intento para resolver el fenómeno de Gibbs. En 1900 descubrió que las medias deCesàro de las sumas parciales convergen uniformemente. Este método equivale a filtrarla señal con un filtro de primer orden. Desde entonces ha ocurrido una explosión detécnicas de filtrado motivada por el análisis de señales. Algunas de estas alternativasserán exploradas más adelante en este curso, al tratar el análisis frecuencial de señales yel diseño de filtros FIR.

El efecto observado por Michelson se detalla en la Fig. 2.77. La señal x(t) es una ondacuadrada simétrica, de amplitud unitaria y período T0, con ciclo de trabajo del 50 %; lafigura muestra la onda cuadrada original (en línea de trazos) superpuesta con la señalxN(t) formada por la serie de Fourier truncada a N armónicos, para distintos valores deN. Como la onda cuadrada satisface las condiciones de Dirichlet (Sección A.6), el Teore-ma 1 (página 226) asegura que el límite para N → ∞ de xN(t) en el punto de discon-tinuidad es el valor medio del salto, como se observa para los distintos casos represen-tados en la Fig. 2.77. Para cualquier otro valor de t, t = t1, este Teorema garantiza quelımN→∞ xN(t1) = x(t1).



Fig. 2.78. Detalle del error de aproximación entre x(t) y xN(t) para distintos valores de N.

Michelson observó que la señal xN(t) formada por N armónicas de la serie de Fourierexhibe oscilaciones en cercanías de la discontinuidad , y que el valor pico de esas oscila-ciones se mantiene constante independientemente del valor de N. Este efecto se muestraen la Fig. 2.78, donde se representa la señal periódica x(t), su aproximación de N térmi-nos xN(t), y la diferencia entre ambas, e(t) = x(t)− xN(t). Esta última señal se graficaen un entorno de la discontinuidad en T0/4, para t el intervalo (T0/4± 2T0/N). Estasfiguras permiten apreciar que el comportamiento del error en este intervalo es el mismo(a excepción del cambio de escala) para cualquier N. Además, a medida que crece N laubicación de sobrepico se acerca al punto donde la función es discontinua.

Gibbs demostró formalmente que para una discontinuidad de altura unitaria, las sumasparciales exhiben un valor máximo de aproximadamente 1.09 (un sobrepico del 9 % dela altura del salto), no importa cuán grande sea N. Se debe interpretar este resultado concuidado: para cada valor fijo de t = t1, las sumas parciales convergen (cuando N → ∞)al valor correcto, y en la discontinuidad convergerán a la mitad de la suma de los val-ores de la señal a cada lado de la discontinuidad. No obstante, cuanto más cercano a ladiscontinuidad se elija t1, tanto mayor deberá ser N para mantener el error |x(t)− xN(t)|por debajo de una cota determinada: en otras palabras, la convergencia de la serie a lafunción no es uniforme. Este comportamiento peculiar de las sumas parciales, de presen-tar oscilaciones cuyo valor pico es constante para cualquier valor finito de N, y que seconcentran cerca de la discontinuidad cuando N crece, se conoce como fenómeno de Gibbs.

Interpretación del efecto Gibbs aplicando el teorema de convolución temporal

El efecto Gibbs puede interpretarse aplicando el teorema de convolución temporal, comose muestra en la Fig. 2.79: limitar la sumatoria de la serie a ±N términos es equivalentea anular las componentes de frecuencia que exceden un determinado valor N/T0, o, enotras palabras, a filtrar la señal con un filtro pasabajos ideal H( f ) con frecuencia de cortefN > N/T0. (Esta idea se explora en el Ejercicio 35). Desde el punto de vista frecuencial,se está multiplicando el espectro X( f ) de la señal x(t) por la función transferencia H( f )del filtro, como se representa en la Fig. 2.79. Por comodidad, se supone que la frecuenciade corte fN yace en medio de las líneas espectrales de X( f ), eligiendo, por ejemplo, fN =(N + 1/2) /T0.

La multiplicación de X( f ) por H( f ) en el dominio frecuencial, es equivalente a la con-



Fig. 2.79. Interpretación del efecto Gibbs según el teorema de convolución temporal.

volución en el dominio tiempo de x(t) y h(t), la transformada inversa de H( f ). Si x(t) esuna onda cuadrada de período T0 y ciclo de trabajo τ/T0, su espectro es

X( f ) = ∑k

τ

T0sinc

(τ

T0k)

δ

(f − k

T0

),

como se analizó en el Ejemplo 2.16. De manera similar, si H( f ) es la respuesta en frecuen-cia de un filtro pasabajos ideal, con frecuencia de corte en f = fN ,

H( f ) =

{1, | f | ≤ fN ,0, en caso contrario,

se ha calculado en el Ejemplo 2.11 que la antitransformada de H ( f ) es

h (t) = 2 fN sinc (2 fNt).

De acuerdo al teorema de convolución temporal, la suma finita de N términos de la serie[multiplicación de X( f ) por H( f )] es equivalente a la convolución de x(t) y h(t); esto es:

xN(t) =N

∑k=−N

ckejk 2πT0

t= x(t) ∗ h(t).

Esta interpretación se ilustra en la Fig. 2.80 para distintos valores de t. En aquellos lugaresdonde x(t) [Fig. 2.80(a)] varía lentamente, esta función y su aproximación de N términos,



Fig. 2.80. Cálculo de la señal xN(t) por convolución entre x(t) y h(t).

xN(t), son muy similares, porque h(t) [Fig. 2.80(b)] tiene área unitaria 12 como se observaen la Fig. 2.80(c) para t = t0. En cambio, cuando x(t) varía abruptamente, una parte im-portante de la respuesta de h(t) no contribuye área a la integral de convolución. El casoextremo ocurre cuando se calcula xN(t) en t = t3 = τ/2, como muestra la Fig. 2.80( f ),en el cual casi la mitad del área bajo h(t) queda fuera del cálculo de la convolución; poreste motivo el valor de la aproximación en este punto es aproximadamente la mitad delsalto. Para valores de t próximos a la discontinuidad los lóbulos laterales de h(t) restano suman área, como en las Fig. 2.80(d) y (e) para t = t1 y t = t2, o en las Fig. 2.80(g) y(h), para t = t4 y t = t5, respectivamente. Aumentar el número de términos N que com-ponen la función aproximada xN(t) es equivalente a multiplicar el espectro de x(t) porun filtro pasabajos H( f ) de ancho de banda mayor; por lo tanto, su respuesta impulsivah(t) tendrá oscilaciones de más alta frecuencia, aunque su área sigue siendo unitaria. Deaquí que el análisis efectuado más arriba sigue siendo válido; la única diferencia es quelas oscilaciones más rápidas de la respuesta h(t) causarán ondulaciones más rápidas dexN(t).

Para calcular analíticamente el comportamiento en cercanías de los puntos de discon-tinuidad de x(t), se observa que en proximidades de t = τ/2 se puede aproximar x(t)

12Se estudia en el Ejercicio 12 que∫ ∞−∞ h(t) dt = H(0).



Fig. 2.81. Intervalos de integración de sgn(τ/2−u) sinc[2 fN(t−u)] para t<τ/2 (a) y t>τ/2(b) .

por la función sgn(t): x(t) ≈ (1/2) + (1/2) sgn (τ/2− t) ,de modo que

xN (t) = x (t) ∗ h (t) =∫ ∞

−∞x (u) h (t− u) du

=∫ ∞

−∞

[ 12 +

12 sgn (τ/2− u)

]2 fN sinc[2 fN(t− u)] du

= fN

[∫ ∞

−∞sinc[2 fN(t− u)] du+

∫ ∞

−∞sgn (τ/2− u) sinc[2 fN(t− u)] du

]. (2.124)

La segunda integral se puede separar en cuatro intervalos, como se muestra en la Fig. 2.81,∫ ∞

−∞sgn (τ/2−u) sinc[2 fN(t−u)] du

=

∫ 2t−τ/2−∞ ( · ) du+

∫ t2t−τ/2( · ) du+

∫ τ/2t ( · ) du+

∫ ∞τ/2( · ) du, si t < τ/2,∫ τ/2

−∞ ( · ) du+∫ t

τ/2( · ) du+∫ 2t−τ/2

t ( · ) du+∫ ∞

2t−τ/2( · ) du, si t > τ/2.

En cada caso, las primeras y últimas integrales [evaluadas sobre los intervalos (a) y (d)]tienen signo contrario y se cancelan. Por simetría, la evaluación de la integral sobre elintervalo (b) es idéntica a la evaluación sobre el intervalo (c) . Para t < τ/2 o t > τ/2los argumentos de las integrales sobre los intervalos (b) y (c) tienen signo contrario, perotambién cambian los extremos de integración, de modo que∫ ∞

−∞sgn (τ/2−u) sinc[2 fN(t−u)] du = 2

∫ τ/2

tsinc[2 fN(t−u)] du=− 1

π fN

∫ 2πfH(t− τ2 )

0

sen (v)v

dv

= − 1π fN

Si [2π fN (t− τ/2)] , (2.125)

donde Si(x) es la función seno integral, definida como Si(x) = π∫ x

0 sinc(σ) dσ, y quese encuentra tabulada. Teniendo en cuenta que fN

∫ ∞−∞ sinc(2 fNu) du = 1/2 y (2.125), la

expresión (2.124) se puede escribir como

xN(t) = x(t) ∗ h(t) =12− 1

πSi[2π fN

(t− τ

2

)].

Para calcular el valor del sobrepico de xN(t) se deben determinar los puntos dondese anula su derivada; es decir, en dónde se anula d Si(x)/dx. Teniendo en cuenta qued

dx

(∫ x0 f (u) du

)= f (x), resulta

dxN(t)dt

= 0 ⇒ ddt

Si [2π fN(t− τ/2)] =sen [2π fN(t− τ/2)]

2π fN(t− τ/2)= 0.



En definitiva, los extremos relativos ocurren para aquellos valores de t que anulan el seno

2π fN

(t− τ

2

)= k π, k = ±1, ±2, ...

y por lo tanto, los extremos de xN(t) se encuentran en tk = k/(2 fN) + τ/2, dondexN(tk) = (1/2) + Si(kπ). Es sencillo verificar que el máximo se encuentra para k = −1,y el mínimo en k = 1:

xN(t)max =12− 1

πSi(−π) = +1,08949, en t =

τ

2− 1

2 fN, (2.126)

xN(t)max =12− 1

πSi(+π) = −0,08949, en t =

τ

2+

12 fN

. (2.127)

Estas expresiones muestran que tanto el máximo como el mínimo de la señal reconstrui-da xN(t) representan una variación del 9 % del valor máximo de x(t), y que estos valoresno dependen de la frecuencia de corte fN del filtro pasabajo H( f ), es decir, son indepen-dientes de la cantidad de armónicos que utilicen para la reconstrucción. Por otra parte, laubicación de esos extremos si dependen de fN , y son más próximos a la discontinuidaden t = τ/2 cuanto mayor sea N, como se observa en la Fig.2.77. Además, estos extremosrelativos ocurren exactamente cuando el lóbulo principal de h(t), de ancho 1/ fN , quedaincluido o excluido del cálculo de la convolución, como se aprecia en las Fig. 2.80(e) y(g), respectivamente, que coincide con los valores de t calculados en (2.126) y (2.127).

Este cálculo sólo es válido para un entorno de t = τ/2, donde es razonable aproximarx(t) por la función signo. Las propiedades de convergencia de las series de Fourier es-tablecen que xN(t) → x(t) en todo punto, salvo en los puntos de discontinuidad, dondeconverge al valor medio del salto, cuando el número de armónicos N → ∞13.

2.7.1. Variaciones sobre el filtro

En la sección previa se ha estudiado el efecto Gibbs como el efecto de filtrar una ondacuadrada x(t) con un filtro pasabajos ideal con frecuencia de corte fc = fN = (N +1/2) f0 = (N + 1/2)/T0, donde T0 es el período de la señal, tal como se representa en laFig.2.79. En esta sección se plantean variantes al filtro ideal para ver la influencia en larespuesta temporal (la salida del filtro).

El principal inconveniente del filtro ideal es que no es implementable. Uno de los motivoses porque no es causal, y además, como la respuesta impulsiva se extiende para t→ −∞tampoco se puede “causalizar” retardando la respuesta. Por este motivo, en primer lugares necesario trucar la respuesta impulsiva. Este proceso se detalla en la Fig. 2.82.

La idea es truncar la respuesta impulsiva h(t) para hacerla nula fuera del intervalo [−T, T],donde T fija la duración temporal de la respuesta impulsiva, y sería deseable que T < T0.Una manera de formalizar esta idea es definiendo una ventana temporal w(t) como

w(t) =

{1, |t| ≤ T,0, en caso contrario,

13Thompson (1992) analiza en detalle el comportamiento de las series de Fourier truncadas a un númerofinito de términos N.



Fig. 2.82. Cálculo de la respuesta del filtro ideal con respuesta impulsiva truncada usando elteorema de convolución frecuencial.

y por lo tanto, la respuesta impulsiva del filtro ideal truncado se puede escribir como

hT(t) = h(t)w(t) =

{2 fN sinc(2 fNt), |t| ≤ T,0, en caso contrario.

La truncación de la respuesta impulsiva modifica la respuesta en frecuencia del filtro, quese puede calcular aplicando el teorema de convolución frecuencial. Ya que hT(t) = h(t)w(t),el teorema asegura que la respuesta en frecuencia del filtro ideal truncado HT( f ) se puedecalcular como HT( f ) = H( f ) ∗W( f ), donde W( f ) es la respuesta en frecuencia de laventana temporal w(t). La respuesta en frecuencia W( f ) fue calculada en el Ejemplo 2.10,y está dada por

W( f ) = 2T sinc(2T f ).

Se tiene entonces que

HT( f ) = H( f ) ∗W( f ) =∫ fN

− fN

H(σ)W( f − σ)dσ =∫ f+ fN

f− fN

H( f − σ)W(σ)dσ,

y luego de algunos cálculos se encuentra que

HT( f ) =1π

Si[2πT( f + fN)]−1π[2πT( f − fN)],

donde Si( · ) es la función seno integral definida en la sección anterior.



Fig. 2.83. Respuesta en frecuencia del filtro ideal con respuesta impulsiva truncada a ±T0/5(a) , ±T0/2 (b) y ±T0 (c) .

Fig. 2.84. Cálculo de la salida del filtro ideal con respuesta impulsiva truncada aplicando elteorema de convolución temporal.

Como sugiere la Fig. 2.83, cuando mayor sea la longitud de la respuesta impulsiva tantomás rápidas serán las oscilaciones de la respuesta en frecuencia del filtro. Sin embargo,esto no altera la amplitud de los sobrepicos de la respuesta en frecuencia HT( f ), quedependen del área de W( f ), que es unitaria (es el valor de w(t) en t = 0), y no varíacon T. En realidad, este efecto es una versión dual del efecto Gibbs: una limitación entiempo de la respuesta impulsiva provoca oscilaciones en la respuesta en frecuencia cuyaamplitud es independiente del intervalo de truncación.

La expresión de la salida se puede calcular como en el caso del filtro ideal. Aproximando



Fig. 2.85. Amplitud de la señal de salida del filtro ideal con frecuencia de corte fN y respuestaimpulsiva truncada a ±T en función del producto fNT.

nuevamente la señal de entrada como x(t) = (1/2) + (1/2) sgn(τ/2− t), la salida es

xT(t) = x(t) ∗ hT(t) =∫ ∞

−∞x(u)h(t− u)du.

En este caso, el cálculo de la convolución puede hacerse en tres pasos:

Si t < τ/2− T, la respuesta impulsiva queda superpuesta totalmente con x(t) = 1,de modo que

xT(t)= x(t) ∗ hT(t)=∫ t+T

t−Th(t− u)du=

∫ t+T

t−T2 fN sinc[2 fN(t−u)]du=

2π

Si(2π fNT).

Si t > τ/2+ T, x(t) = 0, de modo que xT(t) = 0.

Finalmente, si τ/2− T < t < τ/2+ T,

xT(t)=∫ t+T

t−Th(t−u)du=

∫ τ/2

t−T2 fN sinc[2 fN(t−u)]du=

1π

Si(2π fNT)− 1π

Si[2π fN(t−τ/2)].

Por lo tanto,

xT(t) =

2π Si(2π fNT), si t < τ/2,1π Si(2π fNT)− 1

π Si[2π fN(t−τ/2)], si τ/2−T < t < τ/2+T,

0, si t > τ/2+T.

El cálculo de la respuesta aplicando el teorema de la convolución temporal se representaen la Fig. 2.84.

El efecto de truncar la respuesta impulsiva del filtro ideal altera la amplitud de la onda desalida, y este valor depende del producto fNT, es decir, el ancho de banda del filtro idealy la duración de la respuesta impulsiva truncada. En la Fig. 2.85 se grafica el valor de(2/π) Si(2π fNT) en función del producto fNT. Evidentemente, cuanto mayor sea fNT,la amplitud de la señal de salida tiende a la unidad, pues:

incrementando fN crece el ancho de banda del filtro ideal, y por lo tanto se reducela duración de la respuesta impulsiva,


2.8. Principio de incertidumbre 181

Fig. 2.86. Respuestas temporales de la salida del filtro ideal con respuesta truncada. T = T0,fN = 10 f0, 20 f0 y 50 f0 (a) y fN = 10 f0, T = T0, T = T0/5, T = T0/10 (b) .

aumentando T se aumenta la duración de la respuesta impulsiva

de manera que al efectuar la truncación sólo se pierden las “colas” de menor amplituddel sinc( · ), y por lo tanto la variación en la amplitud es pequeña.

Una determinada amplitud de salida (por ejemplo, unitaria) puede obtenerse con infini-tos valores del producto fNT. La forma de onda de la respuesta temporal, para distintosanchos de banda y distintas longitudes de la respuesta impulsiva se representa en lasFigs. 2.86(a) y (b) , respectivamente.

2.8. Principio de incertidumbre

When the Lord created the world and people to live in it –an enterprise which, according to the modernscience, took a very long time– I could imagine that He reasoned with Himself as follows: “If I make

everything predictable, these humans beings, whom I have endowed with pretty good brains, willundoubtedly learn to predict everithing, and they will thereupon have no motive to do anything at all,

because they will recognize that the future is totally determined and cannot be influenced by any humanaction.

On the other hand, if I make everything unpredictable, they will gradually discover that there is norational basis for any decision whatsoever and, as in the first case, they will thereupon have no motive to

do anything at all. Neither scheme would make sense. I must therefore create a mixture of the two. Letsome things be predictable and let other be unpredictable. They will then, amongst many other things,

have the very important task of finding out which is which.”

E. F. Schumacher, Small is beautiful, 1973.

El principio de incertidumbre se puede enfocar desde tres perspectivas distintas: una car-acterística distintiva de la mecánica cuántica, un principio que establece las limitacionesde efectuar mediciones en un sistema sin perturbarlo, y finalmente un teorema del análi-sis armónico que puede sintetizarse como

una función no nula y su transformada de Fourier no pueden estar perfecta-mente localizadas.


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