Exploración Matemática Oficial

007090 0005

Bachillerato Internacional

Matemática-NM

Exploración Matemática

La representación de casos reales mediante la ilustración de gráficas en

el plano cartesiano: El caso de las velocidades de llenado de recipientes

Candidato: Gonzalo Tello Vidal

Código: 007090 0005

Número de palabras: 3214

Colegio: Los Álamos

Lima – Perú

Convocatoria Noviembre 2015

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Introducción:

En la teoría de funciones, participan dos tipos de variables: la dependiente y la

independiente. Mientras la variable independiente cambie, automáticamente

cambiará también la dependiente y este cambio queda establecido algebraicamente

en una fórmula conocida como regla de correspondencia. Esta además puede ser

representada geométricamente en el plano cartesiano mediante curvas que pueden

tomar diversos comportamientos como el lineal, exponencial o potencial; este último

tiene una fórmula general1 de la siguiente manera 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥)𝑏. Este término nuevo es

muy importante porque se usará a lo largo del trabajo.

Me llama la atención como es que ciertas relaciones en la vida real pueden ser

representadas en reglas de correspondencia, como pueden ser el crecimiento de

una inversión en función a la tasa de interés y del tiempo transcurrido, el periodo de

las temperaturas a lo largo del año o el llenado de la altura de un recipiente de

acuerdo al tiempo transcurrido.

Entonces me pregunto, si estas relaciones pueden ser mostradas en reglas de

correspondencia, ¿puede el plano cartesiano mostrarnos lo mismo de una manera

más sencilla? Para responder a esta interrogante, elegí el caso del llenado de

diversos recipientes de acuerdo al tiempo transcurrido con la finalidad de comparar

las velocidades de llenado a través de la ilustración de gráficos en el plano

cartesiano. Definitivamente adelanto que no será un trabajo que consista en

únicamente graficar en el plano cartesiano, más bien es un trabajo que incluirá

distintos temas matemáticos, como la trigonometría, la estadística y las funciones.

Para ello vi conveniente elaborar los recipientes para demostrar un cierto

compromiso personal, por lo tanto lo que haré en primer lugar es elaborar fórmulas

usando los conceptos básicos de la trigonometría, que permitan obtener las medidas

de los diversos recipientes a construirse que tendrán una diferencia en común: el

ángulo de inclinación de sus paredes. Obtenidas las fórmulas y haciendo los cálculos

respectivos, se elaboran los recipientes. Seguido a ello, se realizan las prácticas de

llenado haciendo 5 repeticiones de llenado en cada uno de los recipientes

controlando el flujo de llenado y midiendo el tiempo. El método para el registro y el

procesamiento de datos obtenidos será explicado detalladamente cuando se trate

este paso del proceso. Teniendo ya los datos, usando herramientas adecuadas

como la calculadora gráfica, elaboraré regresiones de distintos tipos para obtener

reglas de correspondencia que puedan ajustar mejor los datos. Cabe aclarar que se

obtendrá una regla de correspondencia para cada uno de los recipientes. Estas

serán graficadas, también con herramientas como el programa GeoGebra, en un

plano cartesiano y las diversas curvas que se formen nos servirán para la respuesta

a la exploración.

Resumida la estrategia que realizaremos, se empieza con el proceso:

1 Regresión Potencial: http://www.uv.es/ceaces/base/regresion/potencial.htm, consultado el 10 de julio del 2015

http://www.uv.es/ceaces/base/regresion/potencial.htm

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2

Lo inicial sería elaborar recipientes cónicos con distintas medidas como el ángulo

de generación del sector circular que dará origen al cono y el ángulo de inclinación

de sus generatrices. Sin embargo estos recipientes tendrán una misma altura y una

misma base. Por ello las fórmulas a establecerse buscarán relacionar estas 4

condiciones.

1. Elaboración de las fórmulas para la construcción de recipientes:

Se tiene como ejemplo este primer sector circular que muestra la presencia de la

generatriz (pared del recipiente) y el ángulo θ que genera este sector.

Leyenda:

Lc Longitud de la circunferencia

G Generatriz total

θ Ángulo θ o generador del cono

g1 Generatriz uno

g2 Generatriz dos o generatriz del recipiente

Al momento de dibujar los sectores circulares que servirán como plantilla para la

elaboración de los demás recipientes, deben tener los siguientes componentes: el

ángulo θ que generará el recipiente en sí; la generatriz uno y la generatriz dos, que

sumadas son la generatriz total. Es por eso que estas se indican en el sector circular

modelo.

Se genera un cono uniendo ambos lados del sector circular que corresponde a lo

que será la generatriz total. El cono formado y sus características se muestran en la

segunda figura2:

2 Imagen editada proveniente de http://www.dibujalia.com/dibujos-cono-3812.htm

g2

G g1

http://www.dibujalia.com/dibujos-cono-3812.htm

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Figura 2: que muestra el cono formado

Leyenda:

h1 Altura 1

h2 Altura 2 o altura del recipiente

H Altura total

r Radio menor o radio de la superficie del

recipiente

R Radio mayor

α Ángulo α

β Ángulo de inclinación de las paredes del

recipiente, β

Todos estos componentes rotulados servirán para hallar las diversas fórmulas.

Obtención de la relación entre el ángulo β y el ángulo θ:

En primer lugar, dado el dibujo del cono, se deduce que se forma una circunferencia

que tiene como radio al radio de la superficie del recipiente. La longitud de esta

circunferencia se puede calcular por:

Lc = θg1 (1) Esta fórmula servirá posteriormente

A partir de los trazos tenemos 3 figuras:

a. Un cono pequeño: que posee generatriz 1, altura 1 y radio menor

b. Un cono truncado, que vendría a ser nuestro recipiente: que posee radio

menor, generatriz 2, altura 2 y radio mayor.

α

β

h1

h2 g2

g1

G H

R

r

β

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4

c. Un cono grande: que posee Generatriz total, Altura total y Radio total.

Si se extrae el cono pequeño se obtiene la siguiente figura3:

Figura 3: que muestra el cono pequeño

:

Aquí decidí que el ángulo β pase a la parte superior del cono ya que las dos líneas

horizontales son paralelas y la generatriz 1 actúa como secante de esas dos

paralelas, por lo que se da la propiedad de ángulos alternos internos4.

Considero que es conveniente indicar que: α + β = 90º

Sabemos que la forma general para hallar la longitud de una circunferencia es: 2πr.

Ahora reemplazando con (1) tenemos: 2πr = θg1

Despejando “r”, se tiene que: r =θg1

2π … (2)

Ahora se halla el Senα: Senα =𝑟

g1

De (2) se deduce que: Senα =θ.g12π

g1 → Senα =

θ

2π

Finalmente despejando θ: (𝟐𝛑)𝐒𝐞𝐧𝛂 = θ

Como α y β son complementarios, se puede decir que θ es equivalente también con:

Como aquí se operan el ángulo β y el ángulo θ, queda la establecida la relación que

hay entre estos dos ángulos. Por otro lado, dadas las dos fórmulas una en radianes

y otra en sexagesimales, preferí trabajar con las sexagesimales ya que al momento

3 Imagen editada proveniente de http://www.dibujalia.com/dibujos-cono-3812.htm 4 Ángulos: http://es.slideshare.net/kike333/ngulos-y-paralelas, consultado el 6 de julio del 2015

α β

h1

g1

r

β

(𝟐𝛑). 𝐂𝐨𝐬 𝛃 = θ rad

(en radianes)

(𝟑𝟔𝟎°). 𝐂𝐨𝐬𝛃 = θº

(en sexagesimales)


http://es.slideshare.net/kike333/ngulos-y-paralelas

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5

de la construcción, elementos como el transportador me permiten dibujar ángulos

sexagesimales, pero no radianes.

Obtención de la relación entre el radio de la superficie de la base del recipiente

y la g1:

Si se observa la anterior fórmula: Senα =𝑟

g1

Se establecen 2 formas de hallar la g1 despejando de la igualdad esta última:

𝐠𝟏 =𝒓

𝐒𝐞𝐧𝛂 ᴧ 𝐠𝟏 =

𝒓

𝐂𝐨𝐬𝛃

Como ambas componentes se están operando entre sí, está ya obtenida la relación

entre estas.

Obtención de la relación entre la altura del recipiente con la generatriz del

recipiente:

Del cono truncado que vendría a ser nuestro recipiente en sí, se observa lo

siguiente5:

Figura 4: que muestra el cono truncado

Cambié de posición de la altura con la finalidad de formar un triángulo rectángulo

con ángulo β.

De este mismo triángulo rectángulo se observa que: Senβ =ℎ2

𝑔2

Entonces, despejando g2 se obtiene que: 𝐠𝟐 =𝒉𝟐

𝐒𝐞𝐧𝛃

De esta manera se obtuvo la relación entre la generatriz del recipiente y la altura del

mismo.

Resumiendo, las tres fórmulas esenciales para el trabajo son:

5 Imagen editada proveniente de http://www.dibujalia.com/dibujos-cono-3812.htm

β

R

h2

r

g2

β


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6

𝐂𝐨𝐬𝛃 (𝟑𝟔𝟎°) = θ, mediante la cual se puede obtener el ángulo generador del

sector circular a partir del ángulo de inclinación de las generatrices asignado.

𝐠𝟏 =𝒓

𝐂𝐨𝐬𝛃, que con el radio menor controlado y el ángulo de inclinación elegido

se puede obtener la medida de la generatriz 1.

𝐠𝟐 =𝒉𝟐

𝐒𝐞𝐧𝛃, similar al caso anterior, que con la altura 2 (también controlada) y el

ángulo β calculamos la medida de la generatriz 2.

Este paso de obtener las formulas queda finalizado.

2. Cálculo de medidas de los recipientes:

Con las formulas establecidas y aplicando las bondades descritas previamente, se

obtienen las fórmulas.

Cuando: β=60°

1. 𝐶𝑜𝑠60° × 360 = 𝜃 180° = 𝜃

2. g1 =𝑟

Cosβ=

7 𝑐𝑚

Cos60°= 14 𝑐𝑚

3. g2 =ℎ2

Senβ=

15 𝑐𝑚

Sen60° ≈ 17.3 𝑐𝑚

Cuando: β=70°

1. 𝐶𝑜𝑠70° × 360° = 𝜃 123° ≈ 𝜃

2. g1 =𝑟

Cosβ=

7 𝑐𝑚

Cos70°≈ 20.5 𝑐𝑚

3. g2 =ℎ2

Senβ=

15 𝑐𝑚

Sen70° ≈ 15.96 𝑐𝑚

Cuando: β=80°

1. 𝐶𝑜𝑠60° × 360° = 𝜃 62.5° ≈ 𝜃

2. g1 =𝑟

Cosβ=

7 𝑐𝑚

Cos80°≈

40.3 𝑐𝑚

3. g2 =ℎ2

Senβ=

15 𝑐𝑚

Sen80° ≈

15.2 𝑐𝑚

Para el cuarto recipiente, cuyo ángulo de inclinación es 90°, ocurre un caso en

particular. Al realizar los cálculos matemáticos nos damos cuenta que:

Cuando: β=90°

𝐶𝑜𝑠90° × 360° = 𝜃

0° = 𝜃

Lo que se nota es que no existe un ángulo que genere el sector circular, entonces

¿cuál sería el método más adecuado para construir este recipiente? Veo

conveniente que podríamos construirlo primero elaborando el siguiente rectángulo

h

Lc

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7

Donde la altura del recipiente (h) es 15 cm y la longitud de la circunferencia (Lc) que

se formará se calcula por: 𝐿𝑐 = 2𝜋r

Haciendo el único cálculo tenemos que:

𝐿𝑐 = 2 × 𝜋 × 𝑟 = 2 × 𝜋 × 7

𝐿𝑐 ≈ 43.98 𝑐𝑚

Teniendo las medidas veo conveniente construir el recipiente uniendo los lados

menores hasta que hagan contacto y ensamblarlos. Cabe aclarar ya que se está

hablando de elaboración de recipientes, que para cada uno es obligatorio ensamblar

una base. Pero este aspecto no incluye contenido matemático y por lo tanto solo

queda indicado.

3. Registro del tiempo llenado de recipientes

Aquí explicaré primero como es que se hará este llenado. Como la altura de cada

recipiente es 15cm, se dividió en cada uno la altura en 5 espacios de 3cm cada uno.

Conforme el llenado alcanza cada espacio dividido, se registra el tiempo que tomó

en llenarse cada división. Se repite el llenado 5 veces para cada recipiente. Para

mantener constante el llenado, se utiliza un embudo que mantiene regular el flujo de

entrada del material de llenado. Primero se hace una tabla que registre el tiempo del

llenado de cada espacio. Luego se hace otra tabla que registre el tiempo del llenado

acumulado.

Tablas cuando β=60°

Llenado absoluto en segundos de cada espacio:

β=60° [0-3]cm <3-6]m <6-9]cm <9-12]cm [12-15]cm

Repetición 1 (s)

20.7 31.2 33.9 37.5 47.7

Repetición 2 (s)

21.3 31.3 34.6 38.4 48.3

Repetición 3 (s)

20.4 32.1 33.5 37.9 47.9

Repetición 4 (s)

21.2 31.8 33.6 37.5 48.6

Repetición 5 (s)

21.4 30.9 34.0 38.2 47.1

Llenado acumulado en segundos de todos los espacios:

β=60° [0-3]cm <3-6]cm <6-9]cm <9-12]cm [12-15]cm

Repetición 1 (s)

20.7 51.9 85.8 123.3 171

Repetición 2 (s)

21.3 52.6 87.2 125.6 173.9

Repetición 3 (s)

20.4 52.5 86 123.9 171.8

Repetición 4 (s)

21.2 53 86.6 124.1 172.7

Repetición 5 (s)

21.4 52.3 86.3 124.5 171.6

Promedio (s) 21 52.46 86.38 124.28 172.2

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8



β=70° [0-3]cm <3-6]cm <6-9]cm <9-12]cm [12-15]cm

Repetición 1 (s)

14.5 20.1 28.3 32.2 36.8

Repetición 2 (s)

13.5 21.2 27.9 31.5 37.5

Repetición 3 (s)

14.2 20.6 27.3 32.3 36.4

Repetición 4 (s)

14.8 20.8 28.6 31.2 35.9

Repetición 5 (s)

14.0 21.4 27.4 31.7 36.8


β=70° [0-3]cm <3-6]cm <6-9]cm <9-12]cm [12-15]cm

Repetición 1 (s)

14.5 34.6 62.9 95.1 131.9

Repetición 2 (s)

13.5 34.7 62.6 94.1 131.6

Repetición 3 (s)

14.2 34.8 62.1 94.4 130.8

Repetición 4 (s)

14.8 35.6 64.2 95.4 131.3

Repetición 5 (s)

14 35.4 62.8 94.5 131.3

Promedio (s) 14.2 35.02 62.92 94.7 131.38



β=80° [0-3]cm <3-6]m <6-9]cm <9-12]cm [12-15]cm

Repetición 1 (s)

10.0 16.6 19.2 25.5 28.1

Repetición 2 (s)

10.2 16.4 19.8 26.1 27.8

Repetición 3 (s)

11.3 16.8 20.1 25.3 28.3

Repetición 4 (s)

10.5 15.3 19.3 26.4 29.1

Repetición 5 (s)

10.7 16.3 18.5 25.0 28.4


β=80° [0-3]cm <3-6]m <6-9]cm <9-12]cm [12-15]cm

Repetición 1 (s)

10 26.6 45.8 71.3 99.4

Repetición 2 (s)

10.2 26.6 46.4 72.5 100.3

Repetición 3 (s)

11.3 28.1 48.2 73.5 101.8

Repetición 4 (s)

10.5 25.8 45.1 71.5 100.6

Repetición 5 (s)

10.7 27 45.5 70.5 98.9

Promedio (s) 10.54 26.82 46.2 71.86 100.2

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9



β=90° [0-3]cm <3-6]m <6-9]cm <9-12]cm [12-15]cm

Repetición 1 (s)

8.9 7.6 9.2 7.9 7.1

Repetición 2 (s)

8.2 7.9 8.1 8.1 7.5

Repetición 3 (s)

7.3 8.1 7.5 9.1 8.8

Repetición 4 (s)

8.5 8.8 7.2 7.3 8.1

Repetición 5 (s)

8.4 9.1 8.2 7.8 7.5


β=90° [0-3]cm <3-6]m <6-9]cm <9-12]cm [12-15]cm

Repetición 1 (s)

8.9 16.5 25.7 33.6 40.7

Repetición 2 (s)

8.2 16.1 24.2 32.3 39.8

Repetición 3 (s)

7.3 15.4 22.9 32 40.8

Repetición 4 (s)

8.5 17.3 24.5 31.8 39.9

Repetición 5 (s)

8.4 17.5 25.7 33.5 41

Promedio (s) 8.26 16.56 24.6 32.64 40.44

Señalé los valores de promedio en negrita pues estos serán los que se usarán para

hacer las regresiones y así hallar las reglas de correspondencia para cada caso. Los

valores promedio son los valores representativos y luego de hacer unas 5

repeticiones considero que hay mucha confianza en estos datos.

4. Presentación de los datos obtenidos en gráficas

Este es un paso muy importante de la exploración ya que aquí demuestro el objetivo

general. Por eso este paso considero que debe ser tratado con mucha dedicación.

Como aquí obtenedré las reglas de correspondencia, mencionado anteriormente,

decidí utilizar el método de regresión. Pero me pregunto ¿qué tipo de regresión se

usará para cada caso? Haré dos tipos de regresiones: lineal y potencial y luego

compararé el coeficiente de pearson (r) de cada tipo de regresión. El motivo por el

cual se hará la comparación será para definir qué línea ajusta más a los datos y esta

se definirá bajo el siguiente criterio: el tipo de regresión que más se acerque a 1, es

decir el que presenté una correlación más fuerte, será el elegido.

Explicado esto se hacen las comparaciones:

Datos obtenidos con la calculadora CASIO fx-9860GII SD:

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Regresión de datos cuando β=60°

Regresión Lineal Regresión Potencial







Haciendo las comparaciones del coeficiente de Pearson en cada uno de los modelos

de regresión propuestos, es notorio que la regresión potencial presenta un mayor

ajuste de datos que la regresión lineal ya que sus valores r, se acercan más al 1.

Sin embargo elegí el modelo lineal para el caso del recipiente cuyo β es igual a 90°,

la razón de esta decisión es que este recipiente al ser un cilindro regular, presenta

un volumen constante en todos los espacios que se establecieron, es decir no hay

diferencias entre estos mismos. Por lo tanto considero que el llenado de la altura del

recipiente conforme avanza el tiempo será constante. Por otro lado para los otros 3

casos decidí aplicar el modelo potencial ya que no se dará el mismo caso anterior,

puesto a que como estos recipientes tienen aberturas, conforme la altura va siendo

mayor, el volumen aumenta. Entonces los espacios marcados tendrán diferentes

volúmenes y el llenado de la altura no será constante.

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Por otra parte, los datos de regresión además nos dan los valores “a” y “b” para

poder reemplazarlos en las fórmulas generales tanto lineales como potenciales y a

partir de estos valores establecemos las reglas de correspondencia:

Reglas de correspondencia

Ángulo de inclinación de las generatrices

Regla de correspondencia

β=60° 𝑦 ≈ 0.289(𝑥)0.769

β=70° 𝑦 ≈ 0.466(𝑥)0.713

β=80° 𝑦 ≈ 0.586(𝑥)0.706

β=90° 𝑦 ≈ 0.375𝑥 − 0.196

Ya se explicó el comportamiento de la regla de correspondencia que ilustra el

llenado del recipiente de β=90°, pero ahora me gustaría comentar la evolución de

las otras reglas de correspondencia. Si bien es cierto que tanto el coeficiente como

el exponente de dichas reglas van evolucionando, dedico mi mayor atención a la

evolución de coeficientes, ya que esta es más notoria. A partir de ello, establezco

una relación: mientras el ángulo β va siendo mayor, su coeficiente va aumentando.

Y para explicar mejor esta idea decidí graficar en GeoGebra las 4 reglas de

correspondencia.

Gráfico 1: Las 4 reglas de correspondencias establecidas.

ALT

UR

A D

EL R

EC

IPIE

NT

E (

CM

)

TIEMPO TRANSCURRIDO (S)

𝑦 ≈ 0.375𝑥 − 0.196

𝑦 ≈ 0.586(𝑥)0.706

𝑦 ≈ 0.466(𝑥)0.713

𝑦 ≈ 0.289(𝑥)0.769

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La relación que propuse anteriormente, sumado con la exposición de la gráfica, me

permite decir que a medida que un recipiente tenga un mayor ángulo de inclinación

de sus generatrices, tendrá un coeficiente mayor que afecta a su regla de

correspondencia y que afecta también en su ilustración en el gráfico haciendo que

el crecimiento de su línea sea más pronunciado.

En el caso del recipiente de β=60°, que tiene un coeficiente de 0.289

aproximadamente, comparado con el recipiente de β=70°, cuyo coeficiente es de

0.466 aproximadamente, se puede apreciar la idea planteada anteriormente ya que

el crecimiento de la curva primera es inferior al crecimiento de la curva segunda y

esto se debe a la evolución de sus coeficientes.

Por otro lado, reconozco algo curioso en la gráfica. Aproximadamente hasta el

segundo 7, la velocidad de llenado del recipiente cilíndrico es menor a las otras

velocidades, aspecto que no debería ser así ya que este recipiente debe tener el

llenado más rápido entre los evaluados. Sin embargo como fueron solo unos 7

segundos de error, no diré que mi exploración está errónea, pero si recalco este

error como limitación de la recolección de datos.

Cuando surgió esta idea de exploración, a simple vista para mi me parecía muy

sencilla, porque tenía como expectativas el únicamente registrar datos, obtener

regresiones, reglas de correspondencias, gráficas y listo, he ahí la exploración. Pero

afortunadamente no fue así, ya que el trabajo que realicé me permitió conocer y

aprender la importancia de que distintos temas matemáticos se puedan ir

relacionándose para cumplir un mismo objetivo pese a que estos parezcan no tener

cierta semejanza unos de otros, pero que con el desarrollo esta idea queda

descartada. Quién diría que conceptos muy básicos de estadística, como el

promedio aritmético, se puede relacionar con la trigonometría.

Por otra parte, el método de elaboración de fórmulas con ciertas bondades que

permitan el cálculo de las medidas de recipientes, considero que es el aspecto que

más he aprendido, pues de algún modo yo en el trabajo elaboré mis propias

fórmulas, algo que personalmente jamás he hecho. Por ejemplo las fórmulas

generales de una función lineal o de una función potencial son fórmulas que ya están

establecidas por otros matemáticos, pero las fórmulas que yo he hallado también

están establecidas y por mí mismo. La individualidad en el desarrollo de la

exploración resume esta idea propuesta.

La conclusión de la exploración me lleva de nuevo al inicio. Distintas relaciones de

la vida real se pueden plasmar en reglas de correspondencia y a partir de estas se

pueden encontrar diferencias en sus comportamientos, analizando, como lo hicimos

en el trabajo, los coeficientes por ejemplo. Sin embargo es cierto que la idea se pudo

haber estancado ahí, por lo que me llevó a preguntarme si las gráficas en el plano

cartesiano pueden ilustrarnos los mismos contrastes. Con el caso de las velocidades

de llenado de recipientes cónicos se dio lo mismo ya que se compararon primero los

coeficientes de las reglas de correspondencia y luego su efecto en los gráficos

obteniendo en ambos el mismo resultado esperado. Por lo tanto, la observación de

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una gráfica para la establecer diversos casos de la vida real resulta que sí es más

sencilla que la comparación de las reglas de correspondencia, por lo tanto el objetivo

de la exploración matemática queda demostrado.

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14

Referencias:







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15

Anexos:

Modelo de recipiente de paredes con ángulo de

inclinación de 90º

Método de llenado constante del arroz: método

del embudo, controlando el caudal.

Recipiente de ángulo de inclinación de 90º

totalmente lleno

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Método para construir los recipientes:

a) Establecer las medidas tanto de las generatrices como la del ángulo

generador θ

b) Delinear con un compás los diferentes arcos que se van formando

obteniendo dos sectores circulares pero ambos con ángulo .

c) Recortar de lo delineado lo siguiente:

Las dos “g1”

El arco que se forma con el ángulo θ y las “g1”

Para que quede de la siguiente manera:

d) Se ensamblan los lados laterales para tener un cono truncado sin superficie

ensamblada.

e) Luego se elabora una superficie para ensamblarla en el recipiente de tal

manera que queda de la siguiente manera.

f) Se hacen estos pasos con cada una de las medidas establecidas para tener

los conos necesarios.

g2

g1

g2

g1

θ

g2

g1

g2

g1

θ

g2

g2

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