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~,,TUDE NUMI~RIQUE DE LA
Jean-Char l e s B O L O M E Y Ing~nieur E.S.E.
Maitre de conf6rences *
PROPAGATION
par
Guerson E S S A Y A G Ing6nieur E.S.E.
Doeteur-Ingdnieur **
SUR UNE LIGNE A RUBAN
Berna rd S A U V E Ingdnieur E.S.E.
Docteur-Ingdnieur ***
RI~SUMs - - Cet article a pour objet l'dtude des diffdrenls param~tres d'une ligne d ruban : largeur du ruban, dpais- seur el permittivitd de la couche didlectrique, dimensions du bottler. L'dlude porte sur le mode fondamental el sur les premiers modes d'ordre supdrieur. Les rdsultats prdsenlds ont did obtenus numdriquemenl & partir d'une formulalion rigoureuse. Ils sonl compards aux rdsullats usuels de l' approximalion quasi-statique dont les limites
apparaissent clairement.
PLAN. - - �9 Notation. �9 I. Introduction. �9 II. R a p p e l . �9 I I I . Formulation rigoureuse de la propa- gation sur une l i gne d r u b a n b l ind~ I I I .1 . Ddterminalion du syst~me & rdsoudre; I I I .2 . Rdsolution par une mdlhode directe ; III .3. Rdsolulion par la technique de l'dquation intdgrale singuli~re. �9 IV. Exploi- tation des syst~mes homog~.nes obtenus. V. �9 A p p l i c a t i o n s V.1. Etude de l'influence des param~tres d'une ligne & ruban sur la propagation; V.2. Evaluation des grandeurs assocides au champ. �9 VI : Conclu-
sion. Bibliographie (27 r6f.).
~0
~r !
Er
~9 F
t o = 2T:F
ko
OC
~t
Ht
Z c
h
b
W
e
ZT
5c
N O T A T I O N
p e r m i t t i v i t 6 du v ide 10-9136n F/m,
c o n s t a n t e didlect r ique re la t ive du subst ra t ,
c o n s t a n t e di61ectrique re la t ive effective,
pe rm6abi l i t6 du vide, [z o = 4 ~ 10 -7 A/m,
f r6quence ,
pu l sa t ion ,
c o n s t a n t e de p ropaga t ion dans le vide,
c o n s t a n t e de p ropaga t ion dans la l igne h
ruban ,
c o n s t a n t e d ' a t t 6 n u a t i o n d 'un mode 6va-
nescent ,
v e c t e u r un i ta i re de l ' axe de p ropaga t ion ,
c o m p o s a n t e t ransversa le du champ 61ec-
t r ique ,
c o m p o s a n t e t ransversa le du champ magn6-
t ique ,
imp6dance carac t6r i s t ique (TEM),
h a u t e u r de boi t ier ,
demi - l a rgeu r de boit ier ,
d emi - l a rgeu r de ruban,
6paisseur de subs t ra t ,
imp6dance d ' onde moyenne ,
p s e u d o - i m p e d a n c e caract~rist ique.
I . INTRODUCTION
Les lignes h ruban , souven t appel6es micros t r ips ,
sont c o u r a m m e n t utilis6es darts la r6al isat ion des cir- cuits pour micro-ondes . El les se composen t de deux
conducteurs , un p l an de masse et un ruban, sdpar6s
par une couche di61ectrique de faible 6paisseur et de
pe rmi t t i v i t d 61evde. L ' e n s e m b l e est en g6n6ral dispos6 dans un boit ier . Le di61ectrique est le plus s o u v e n t
homog~ne et i so t rope ; toutefois , l ' u t i l i sa t ion de ma t6 -
r i aux anisot ropes p e r m e t d ' o b t e n i r des s t ruc tures non
r~ciproques. Compar6e aux au t res s t ruc tu res usuelles (lignes
coaxiales ou t r ip laques , guides d 'ondes) , la l igne h
ruban prdsente d e u x a v a n t a g e s darts la r6al isa t ion des fonct ions complexes . D ' u n e par t , l ' e n c o m b r e m e n t
des diff6rents 616ments de c i rcui t se t r o u v e r6dui t , d ' au t r e par t , l ' i n se r t ion de composan t s divers, actifs
ou passifs (mic ro~lec t ron ique hybr ide) est r e l a t i v e m e n t
aisde en raison du carac t~re o u v e r t de la s t ruc ture . La d6 te rmina t ion th6or ique des modes de la l igne h
ruban cons t i tue c e p e n d a n t un probl~me difficile. La dif-
ficultd r~sulte de ce que le d id lec t r ique n ' es t pas h o m o -
g~ne dans un p lan de sect ion dro i te de la s t ruc tu re : i l ne peu t donc s 'y p r o p a g e r d ' onde t ransversa le , ni m~me d 'ondes semi - t ransversa les pures. L ' o n d e guid6e pa r
une l igne h ruban se pr6sente c o m m e une combina i son
lindaire d 'ondes semi - t r ansve r sa le s (onde hybr ide) .
N6anmoins , c ' es t le plus souven t au m o y e n d ' u n e
a p p r o x i m a t i o n quas i - t r ansve r sa l e que sont d~crits les
* A ** A
*** A
l'uuiversit6 Paris-Sud. la CII. la Compagnie Honeywell-Bull.
1/11 A. TI~LEC., 30, n ~ 1-2, 1 9 7 5
1 4 J . - C . B O L O M E Y . -- I ~ T U D E N U M I ~ R I Q U E S U n U N E L I G N E A B U B A 3 ~
p h 6 n o m ~ n e s ; ce t t e a p p r o x i m a t i o n dev ien t toutefois insuffisante aux f r6quences 6lev6es.
L ' o b j e t de cet ar t ic le est de pr6senter de n o m b r e u x
rdsul ta ts p r a t i ques ob tenus n u m 6 r i q u e m e n t h par t i r
d ' une fo rmu la t i on r igoureuse. Deux mdthodes compl6-
menta i res on t dr6 utilis6es pour 6tudier de fa~on
sys t6ma t ique l ' in f luence des diff6rents param~tres de la s t ruc tu re tels que : d imensions du boit ier , largeur
du ruban, dpaisseur et pe rmi t t i v i t 6 de la couche di6lectr ique. L ' 6 t u d e po r t e aussi bien sur le mode
f o n d a m e n t a l que sur les premiers modes d 'o rdre sup6-
rieur. Les r6sul ta ts pr6sent6s concernen t les cons tan tes
de p ropaga t ion , les rdpar t i t ious des champs et les gran-
deurs qui leur sont associ6es (courants , imp6dances).
La p lupa r t des r ense ignemen t s ainsi obtenus 6chappent
h l ' a p p r o x i m a t i o n quas i - s t a t i que dont les l imites appara i s sen t c la i rement .
les secondes, au cont ra i re , le probl~me est mis en
dquat ions g loba lemen t et r igoureusement , puis rdsolu
num dr iquem en t au m o y e n de t echn iques varides [10,
11, 12, 13, 14]. Ces t echn iques different essentielle- m e n t par le mode de r ep rdsen ta t ion adoptd pour les
composantes long i tud ina les de l ' onde hybride. Toutes
conduisent h un p rob l~me h va leurs propres. P ra t i -
quement , on est condu i t h rdsoudre sur o rd ina teur
un syst~me lindaire homog~ne de rang plus ou moins dlevd.
Deux mdthodes de la seconde catdgorie ont ~td retenues, pa rmi les plus maniables , en r u e d 'une
explo i ta t ion sys tdmat ique . El les se caractdr isent donc
par l ' absence de t o u t e hypoth~se simplif icatr ice.
Toutefois , les probl~mes p ra t i ques de la r~solution
different d 'une m d thode h l ' au t r e . Les principes de ces mdthodes sont rappelds dans le pa rag raphe suivant .
I I . R A P P E L
Par analogie aux l ignes usuelles, les premieres 6tudes consacr6es aux l ignes h ruban ont repos6 sur
l ' hypo th~se d ' u n m o d e f o n d a m e n t a l t r ansversa l
(champ TEM). Dans le cadre de ce t te app rox ima t ion , di te quas i -TEM, il est possible de d6finir une imp6-
dance ca rac t6 r i s t ique Zc et une cous tan te di6lectr ique effective Cr :
( 1 ) C r = "
Ces deux g randeurs sont inddpendan tes de la frd- quence et se d d d u i s e n t ' d e la capaci td l indique de la
s t ruc ture . I1 s ' ag i t d ' u n probl~me d 'd lec t ros ta t ique ,
qui peu t ~tre rdsolu de diffdrentes fa~ons : t rans- fo rmat ion confo rme [1], md thode de re laxa t ion [2, 3],
mdthode des fonct ions de Green [4, 5], mdthode va r i a t ionne l l e [6].
Le succ~s de ce t t e approche s ' exp l ique par le fair
que les lignes h ruban on t ~td long temps utilisdes dans
une g a m m e de f rdquences , oh les composan tes longi tu- dinales sont ndgl igeables vis-h-vis des composan tes
t ransversa les . Dans ce cas, la concordance ent re le
calcul et l ' expdr ience est de l ' o rd re de quelques pour cent. En revanche , l ' a p p r o x i m a t i o n ne peu t rendre
compte de la dispers ion qui se mani fes te aux frd-
quences dlevdes, ni p e r m e t t r e la dd te rmina t ion des carac tdr i s t iques des modes d 'o rd re supdrieur.
Pour remddier h ces inconvdnien ts , de nombreuses dtudes oa t dtd consacrdes aux lignes h ruban. Elles
p e u v e n t ~tre rdpar t ies en deux catdgories. Pour les premieres , le po in t de ddpar t demeure l ' a p p r o x i m a t i o n
quas i -TEM. Le m o d e f o n d a m e n t a l s 'en dddui t au moyen d ' une t e c h n i q u e de p e r t u r b a t i o n [7, 8, 9],
dont le pa ram~t re est la f rdquence. La dispersion est ainsi raise en dvidence, mais aucun rense ignement sur les modes d ' o rd re supdrieur ne p e u t ~tre obtenu. Pour
I I I . F O B M U L A T I O N R I G O U R E U S E D E L A P R O P A G A T I O N
S U R U N E L I G N E A B U B A N B L I N D I ~ . E
L'd tude a lieu en r6gime h a r m o n i q u e h la pulsa-
t ion co. Le fac teur t e m p o r e l e jr176 est omis dans les
6quations. La figure 1 donne la conf igura t ion de la
Y
2b
2 a,
(a~ l
e z
z
Fia. 1. - - Coupe transversale de la ligne ~ ruban ~tudi~ ( y > e: Ca ~ eo et ~a -- ~o ; Y < e: cd = ~ocret ~.d = tXo).
l igne h ruban et pr6cise que lques notat ions . Le ruban est suppos6 in f in iment mince. Les parois du boit ier ,
ainsi que le ruban, sont p a r f a i t e m e n t c o n d u c t e u r s ;
le didlectr ique est homog~ne, i sot rope et sans pertes. Comme dans t o u t p rob l~me de p ropaga t ion guid~e,
les champs sont recherch6s sous la forme :
(2) ~ ( x , y, z) = • (x , y) e - ~ ~
off ~" ~ ~ § .i~ est la c o n s t a n t e de p ropaga t ion qui, dans le cas considdrd, p e u t ~tre imaginaire pure ou rdelle. Pour la suite, les indices a e t d sont respect i-
A. TELEC., 30, n ~ 1-2, 1975 2/11
J . - C . BOLOMEY. -- ]~TUDE N U M E R I Q U ] ~ SUR U N E L I G N E A R U B A N 15
v e m e n t affectds aux diffdrentes grandeurs dans l 'a i r
e t le di61ectrique.
III.1. D6torminat ion du syst~me ~ r6soudre.
Dans son pr incipe, la fo rmula t ion de base est
conforme h celle qui fu t i n i t i a l emen t proposde par H o r n s b y et Gop ina th [10]. Les composantes t rans-
versales du c h a m p 61ectromagn6t ique dans un milieu
homog6ne se d6duisent des composantes longi tu-
dinales :
y ~ j ~ . E t -- y~ _f_ k~ grad E z y~ ~ -k2 (ez A grad Hz) ,
y2_~ k~ grad Hz y2 + k2 (ez A grad Ez) �9
avec Hz = Hz,a ou Hz,a , Ez = Ez,a ou Ez,a ,
k = k o ou ko~/~-r dans Fai r ou le di61eetrique. Ces composan tes long i tud ina les peuven t fitre repr~-
sentfes , dans chaque mil ieu, pa r des sommes de
Fourier , de tel le fa~on que l ' dqua t ion de He lmhol tz
soit loca lement v6rifi6e dans Fai r et le di61ectrique, et que les condi t ions aux l imi tes soient d~jh satis-
faites sur les parois du boit ier .
I1 est mont r6 en [15] que deux repr6sentat ions
sont possibles : modes pairs avec Ez pair et Hz impair
en x et modes impai rs avec Ez impair et Hz pair. La premiere solut ion cor respond au cas p ra t ique de
l 'u t i l i sa t ion de la l igne h ruban. Les modes impairs
n ' appa ra i s sen t que pour des obstacles asym6tr iques
on dans le cas de l ignes coupl6es. L '~ tude por te essen- t i e l l ement sur les modes pairs, pour lesquels on peu t
dcrire :
(4) Ez,a = co
~E En,a (sh an,ay) (cos cnx), n = l
oo
Ez,a = ~_~ En,a [sh O~n,a (h - - y)] [cos CnX], ~ 1
oo
Hz,a = ~,, Hn,~ [ch an,aYl [sin cnx], n = l
oo
Hz,a = ~ Hn,a [ch ~n,a (h - - Y)l [sin CnX]
avec, compte t enu des condi t ions c i t fes pr6c6demment :
(5) c a = ( 2 n - - 1 ) 7~/2 b , a 2n,a-- C2n__yZ__ko2,
a ~ , ~ = c ~ - - y ~ - - z ~ k 0 ~ .
Les grandeurs an,a et an,a peuven t devenir c o m p l e x e s ; dans ce cas, les fonct ions hyperbol iques
appara i ssan t en (4) do iven t 6tre remplacdes par des
fonct ions t r igonom6t r iques .
A une frdquence donn6e, les inconnues du problbme
sont la cons tan te de p r o p a g a t i o n u los coefficients
Hn,a , En,a , Hn,d et En,a �9 Toutes les composantes du champ s 'en d6duisent .
Leur d6 te rmina t ion passe par l '6cr i ture des condi-
t ions de cont inui t6 h 1 ' interface :
(6) Ez,a = Ez,a ; Ex,a = Ex,a ; Ey,a = crEy,a ;
H z , a - - Hz,d ; H x , a = Hx,vl ; H y , a = Hy,d
et des condi t ions aux l imi tes sur le r uban :
b H z (7) Ez = Ex__ 0 , b H y O.
En ra ison des re la t ions ex i s t an t en t re les diverses
composan tes , ces condi t ions ne sont pas i nd@ endan t e s .
I1 r6sul te de (6) et (7) que :
Ez, a = Ez , d et Ex,a = Ex,a
sur t o u t e la la rgeur de la l igne h ruban. L ' iden t i f i - ca t ion des d f v e l o p p e m e n t s co r r e spondan t s p e r m e t
d ' e x p r i m e r les coefficients E n , a , Hn,a en fonc t ion des
coefficients E n , a , Hn,a et de y qui p e u v e n t e t re
d f t e rmin6s au m o y e n des seules re la t ions ind6pen-
dantes su ivan tes :
(8) E z , a = 0 0 < x < w, y : e,
(9) E x . a = 0 0 < x < w, g = e,
(10) H z , a = Hz,d W < X < b, y : e,
(11) Hx,a ~ Hx,d w < X < b, y = e.
Les re la t ions (8 h 11) c o n s t i t u e n t le syst~me h
rdsoudre, lequel , d 'apr6s (4), c o m p o r t e une double
infini t6 d ' i nconnues pour une v a l e u r donn~e de y.
III.2. R6solut ion par une m6thode directe.
La p remie re 6tape consiste h considdrer deux fonc-
t ions F 1 et F 2 , i d e n t i q u e m e n t nulles sur l ' i n t e rva l l e
[0, b] et d6finies pa r :
O~r 0 ( 1 2 ) F I ( X ) = J T E x ' a D ( x ) -4- (Hz,a - - Hz ,a )~ ) ( x ) ,
(Og 0 (13) F2(x) -- j ~ Ez,a D(x) A- j ( H x , a - - H x , d D ( x ) ,
avec D ( x ) = U ( x ) - - U ( x - - w ) , D ( x ) = 1 - - D ( x ) ,
U(x) fonc t ion de Heav is ide .
Le f ac t eu r r est i n t r o d u i t pour normal i se r les
fonc t ions Fx et F 2.
Le p rob l6me se ram~ne donc h la r6solut ion des 6quat ions Fx(x) = 0 et F2(x) = 0 sur l ' i n t e rva l l e [0, b].
La m e t h o d e re t enue est la m 6 t h o d e de col loca t ion
(po in t m a c h t i n g ) , cas pa r t i cu l i e r de la m6 thode
des m o m e n t s [16]. El le condu i t p r a t i q u e m e n t h un
~chant i l lonage des fonct ions F 1 et F 2 .
On a b o u t i t /~ un syst~me l in6aire homog~ne de
rang 2 N 1 en chois issant N 1 po in t s d '~chan t i l l onnage
et en ne conse rvan t que N1 t e rmes pour la repr6sen-
r a t ion des composantes . Le cho ix d ' u n e v a l e u r ~levee
pour Nx est dict6 par la n6cessit6 d ' u n e bonne reprd- s en ta t ion des discont inui t6s des c h a m p s au vo is inage
du ruban . La r @ a r t i t i o n des po in t s d ' 6chan t i l l onnage
cons t i tue un p a r a m 6 t r e i m p o r t a n t qui, s 'il est mal
choisi, p e u t condui re h des r f s u l t a t s d6nu6s de t ou t e
3 / 1 1 A. T~LEC., 30, n ~ 1-2, 1975
16 J . - c . B O L O M E Y . -- I ~ T U D E N U M I ~ R I Q U E S U R U N E L I G N E A R U B A N
s i g n i f i c a t i o n . O n a r e t e n u u n e r d p a r t i t i o n rdgul ib re ,
d i s t i n c t e p o u r le r u b a n e t l ' i n t e r f a c e .
e t p e r m e t a i n s i le c a l c u l de r o u t e s les c o m p o s a n t e s
d u c h a m p 6 1 e c t r o m a g n R i q u e .
L a f igure 2 c o m p a r e , p o u r u n e l igne h r u b a n p a r t i -
cu l le r , les c o u r b e s de d i s p e r s i o n d u m o d e f o n d a m e n t a l ,
I I I . 3 . R 6 s o h t i o n p a r l a t e c h n i q u e d e l ' 6 q u a -
t i o n i n t 6 g r a l e s i n g u l i ~ r e . ~,s
M i t t r a e t I t o h [17] o n t p r o p o s 6 u n e m d t h o d e pe r - 2,7
m e t t a n t de s u r m o n t e r en p a r t i e les d i f f i cu l tds pr6cd-
d e n t e s . C e t t e m 6 t h o d e a 6td r e p r i s e d a n s le d o u b l e b u t 2.6
de c o n t r 6 1 e r les r d s u l t a t s o b t e n u s p a r l a m d t h o d e de
c o l l o c a t i o n q u i a v a i t t o u t d ' a b o r d 6t6 e m p l o y d e e t
de d i s p o s e r d ' u n m o y e n r a p i d e d ' a n a l y s e de l a l igne zs
h r u b a n . L e p r i n c i p a l i n t 6 r ~ t de l a m d t h o d e es t en
ef fe t d ' a b o u t i r h u n s y s t ~ m e h o m o g ~ n e de r a n g p e u 2,4
~lev~.
L e s r e l a t i o n s (8 h 11) s u b i s s e n t u n e t r a n s f o r m a t i o n
q u i c o n d u i t h u n s y s t ~ m e a y a n t u n e f o r m e a n a l o g u e z3
ce lu i o b t e n u p a r l ' 6 c r i t u r e de s c o n d i t i o n s de r a c c o r -
d e m e n t de s c h a m p s d a n s le p l a n d ' u n e d i s c o n t i n u i t 6
de g u i d e d ' o n d e s . I1 e s t a lo r s p o s s i b l e d ' a p p l i q u e r l a
m d t h o d e d ~ c r i t e p a r L e w i n [18] , a p p e l 6 e m 6 t h o d e de
l ' 6 q u a t i o n i n t d g r a l e s ingu l i~ re .
L ' a n a l y s e d e F o u r i e r c o n d u i t h d e u x 6 q u a t i o n s
i n t d g r a l e s s i n g u l i ~ r e s de l a f o r m e :
(14) K ( x ; x ' ) G(x) d x = ~ H m ( x ' ) .
L e n o y a u K ( x , x ' ) p o s s ~ d e u n e s i n g u l a r i t 6 e n x = x' ; l ' i n t 6 g r a l e e s t d o n c h p r e n d r e a u s ens de l a v a l e u r
p r i n c i p a l e d e C a u c h y . L es d e u x m e m b r e s des 6 q u a -
t i o n s (14) c o n t i e n n e n t des f o n c t i o n s l i n 6 a i r e s des
i n c o n n u e s , si b i e n q u e l e u r r 6 s o l u t i o n c o n d u i t h u n e
d o u b l e i n f i n i t 6 d ' g q u a t i o n s l i n g a i r e s h o m o g ~ n e s (p ro - FtGH~
b l a m e h v a l e u r s p r o p r e s ) . I1 e s t p o s s i b l e de m o n t r e r ~o
q u e les coe f f i c i en t s des i n c o n n u e s t e n d e n t r a p i d e m e n t
v e r s z6ro [17] . I1 suff i t d o n e d e n e c o n s i d # e r q u ' u n
s y s t ~ m e de r a n g p e u ~lev6 2 N ~ , de l ' o r d r e de que l -
q u e s u n i t 6 s , ce q u i rda l i s e u n des o b j e c t i f s de la m 6 t h o d e .
Les c a l c u l s a n a l y t i q u e s dd ta i l l 6 s , r e l a t i f s h c e t t e ao I
m 6 t h o d e , s o n t e x p o s e s e n [19] . I
i ............... " ...........
O O
. , - -
10 20 30 F(G.Hz) �9
FI~. 2. - - Varia t ions de ~;. en fonctiou de la fr6quence. h ~ 2 b ~ 1 2 , 7 m m ; e ~ 2 w = 1,27 r a m ; er = 8,875. a) m~thode de collocation : . . . . . . . . . . . . N z ~ 20. b) m6thode de l '6quat ion int6grale singuli~re :
N~ ~ 4 ; . . . . N 2 = 2 ; - - - - - N z = 1. c) approximat ions quasi-TEM : A.
[31. A [26] ; o o
o b t e n u e s p a r les d e u x m d t h o d e s . I1 a p p a r a i t q u e l a
m 6 t h o d e de l ' d q u a t i o n i n t d g r a l e f o u r n i t de bor i s
r 6 s u l t a t s , m S m e a v e c u n e m a t r i c e de 2 • 2 (N~ ~ 1).
E n t o u t 6 t a t d e c a u s e , les ~ c a r t s e n t r e les c o u r b e s
s o n t i n f 6 r i e u r s h 3,5 %. Les v a r i a t i o n s de Zr a v e c l a
s
/ i
J
I V . E X P L O I T A T I O N D E S S Y S T i ~ . M E S H O M O G ~ . N E S O B T E N U S
L e s y s t ~ m e d e r a n g 2 N ( N = N 1 ou N2) , o b t e n u
p a r l ' u n e o u l ' a u t r e m d t h o d e , r e l i e les i n c o n n u e s
En,a e t Hn,ct (n de 1 h N ) h l a c o n s t a n t e de p r o p a -
g a t i o n T e t h l a f r d q u e n c e F .
L a r e c h e r c h e d ' u n e s o l u t i o n n o n t r i v i a l e c o n s i s t e
a n n u l e r le d d t e r m i n a n t a s soc i6 a u s y s t b m e , ce qu i
c o n d u i t , p o u r ur ic f r d q u e n c e p a r t i c u l i ~ r e , h l a d ~ t e r m i -
n a t i o n d e l a c o n s t a n t e d e p r o p a g a t i o n . L ' i n v e r s i o n
d u s y s t ~ m e f o u r n i t a lo r s les i n c o n n u e s Hn,d e t En , d
i 2 e (dajmrn) 3
! , " I "~ 0 0~5 1.0 1.5
( rd /mm)
FIG. 3. - - Courbes caractdrist iques pour des modes pairs. h -- 2 b ~ 12,7 r a m ; e ~ 2 w ~ 1,27 r a m ; er ~ 8,875.
a) ligne & rubau : m6thode de collocation ( - N 1 = 20) et m6thode de l 'dquat ion intdgrale singuli~re (X X X N z = 4) ;
b) guide par t ie l lement rempli de di61ectrique (- - - solution exacte).
A. T ~ L E C . , 30 , n ~ 1-2 , 1 9 7 5 4/11
J . - C . B O L O M E Y . -- I ~ T U D E N U ' M I ~ R I Q U E S U R U N E L I G N E A R U B A N 17
f r 6 q u e n c e m o n t r e n t q u e l a l i gne h r u b a n es t d i s p e r s i v e ,
m ~ m e a u x b a s s e s f r 6 q u e n c e s . Los d i a g r a m m e s de
d i s p e r s i o n e t d ' a t t ~ n u a t i o n des p r e m i e r s m o d e s d ' o r d r e
s u p 6 r i e u r s o n t r e p r 6 s e n t 6 s s u r la f igure 3 ; les r 6 s u l t a t s
des d e u x m 6 t h o d e s s o n t e n b o n acco rd .
Les c o m p o s a n t e s d u c h a m p , ca tcu l6es a u v o i s i n a g e
de l ' i n t c r f a c e , p r 6 s e n t e n t des c h a n g e m e n t s de s igne
i n t e m p e s t i f s q u i p r o v i e n n e n t d ' u n e m a u v a i s e p r i s e
en c o m p t e de s d i s c o n t i n u i t 6 s d u c h a m p dar ts c e t t e
zone p a r les sdr ies t r i g o n o m 6 t r i q u e s ( p h 6 n o m ~ n e de
Gibbs ) . Les c h a m p s t r a n s v e r s a u x se c o m p o r t e n t en
effe t en r -~1~ a u b o r d d ' u n r u b a n i n f i n i m e n t m i n c e
[20, 21]. Des f o n c t i o n s d e l i s sage o n t 6t6 u t i l i s6es
d a n s le cas de l a m 6 t h o d e de co l l oca t i on . L ' a m p l i t u d e
des o s c i l l a t i o n s c s t r 6 d u i t e , m a i s les c h a n g e m e n t s de
s igne s u b s i s t e n t . L e s c a l c u l s des c o m p o s a n t e s s o n t
g 6 n 6 r a l e m e n t e f f ec tu6s a v e c N 1 ~ 15. C e t t e v a l e u r
c o r r e s p o n d h l a s t a b i l i s a t i o n des r 6 s u l t a t s . De f a~on
g6n6ra le , les r 6 s u l t a t s f o u r n i s p a r la m 6 t h o d e de l ' 6 q u a -
t i o u i n t 6 g r a l e s o n t 1 6 g ~ r e m e n t m e i l l e u r s q u e c e u x
o b t e n u s p a r c o l l o c a t i o n .
L a f igure 4 r e p r 6 s e n t e les l ignes de c h a m p 61ec-
t r i q u e e t m a g n 6 t i q u e d u m o d e f o n d a m e n t a l d ' u n e
t ~ /
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\ ~ I I I 11
k\ x 1 I I i / /
" - ~ x \ ~ t t I I / / i / / " ~, �9 I I I I I I I i
FIG. 4. - - Lignes de champs 61ectrique et magn6t ique du mode fondamenta l d 'une ligne ~ ruban F = 10 GHz ( ) lignes de champ ~lectrique, - - - lignes de champ magndtique), h = 2 b = 12,7 m m ; e = 2 w -- 1,27 mm ; Cr = 8,875.
l i gne h r u b a n p a r t i c u l i ~ r e f o n c t i o n n a n t h 10 G H z .
Les l i gnes d e c h a m p m a g n 6 t i q u e r e s s e m b l e n t a u x
l i gnes d q u i p o t e n t i e l l e s de l a t h 6 o r i e q u a s i T E M [3].
U n e 6 t u d e f ine d u c h a m p t r a n s v e r s a l m o n t r e q u e les
c o m p o s a n t e s t r a n s v e r s a l e s n e s o n t i m p o r t a n t e s q u e
dar ts u n e z o n e s i t u 6 e d a n s le d i61ec t r ique sous le r u b a n
5/ll
( l a r g e u r 3 h 4 w). D a n s c e t t e z o n e of] e s t c o n c e n t r 6 e
la m a j e u r e p a r t i e de l a p u i s s a n c e t r a n s p o r t 6 e , les
l i g n e s de c h a m p E e t H s o n t p r a t i q u e m e n t o r t h o -
g o n a l e s .
P o u r le m o d e f o n d a m e n t a l , il e s t i n t 6 r e s s a n t d ' 6 v a -
l u e r l ' o r d r e de g r a n d e u r des c o m p o s a n t e s l o n g i t u -
d i n a l e s p a r r a p p o r t a u x c o m p o s a n t e s t r a n s v e r s a l e s .
D a n s l a z o n e p r 6 c 6 d e m m e n t d6 f in i e p o u r la l i gne h
r u b a n d e l a f igure 4, il e s t p o s s i b l e d e c a l c u l e r les
r a p p o r t s m o y e n s h 10 G H z .
E z / E t = 0,02 e t H z / H t = 0 , 1 .
L a f igure 5 r e p r 6 s e n t e les v a r i a t i o n s , en f o n c t i o n
de l a f r 6 q u e n c e , des r a p p o r t s E z / E t e t H z / H t en u n
Ez Hz W o o ~-,
% 15
10
/ /
f "~" { Hz/H t
j j / / J 0
5 10 15 20 22 30 F(GHz)
Fro. 5. - - Composantes ]ongitudinales au point P. h = 2 b ~ 12,7 r a m ; e = 2 w ~ 1,27 m m ; Er = 8,875.
p o i n t p a r t i c u l i e r ; l ' i m p o r t a n c e des c o m p o s a n t e s l o n g i -
t u d i n a l c s a u g m e n t e a v e c l a f r d q u e n c e , de f a ~ o n
l i n 6 a i r e a u x b a s s e s f r 6 q u e n c e s . L ' a l l u r e d e ces c o u r b e s
a 6t6 vdr i f i6e c n d ' a u t r e s p o i n t s . L e r 6 s u l t a t j u s t i f i e ,
a posteriori, l a t h d o r i e de G r i i n b e r g e r , K i e n e e t
M e i n k e [7].
L a c o n f i g u r a t i o n des c h a m p s d a n s le c a s d u p r e m i e r
m o d e s u p 6 r i e u r a 6 g a l e m e n t ~t6 ~ t u d i 6 e ; la c o n v e r -
g e n c e y e s t b i e n m e i l l e u r e q u e da r t s le cas d u m o d e
f o n d a m e n t a l . Les f i gu re s 6 e t 7 r e p r 6 s e n t e n t les l i g n e s
d e c h a m p 61ec t r ique e t m a g n 6 t i q u e d e l a l i g n e h
r u b a n , Q u e l q u e s r 6 s u l t a t s r e l a t i f s a u x m o d e s i m p a i r s
A. TI~LEC., 30, n ~ 1-2, 1975
18 J . - c . B O L O M E Y , -- ] ~ T U D E N U M I ~ R I Q U E S U R U N E L I G N E A. 1 A U B A N
/
FIG. 6. - - Lignes de champ dlectrique du premier mode sup~- rieur d 'une ligne ~ ruban ( ) e t du mode TMlo du OPnD correspondant ( - - - ) F : 25 GHz.
h ~ 2 b ~ 12,7 m m ; e ~ 2 w ~ 1,27 m m ; Cr ~ 8,875.
d ' u n e l i g n e h r u b a n p a r t i c u l i e r s o n t r e p r d s e n t 6 s su r
l a f i g u r e 8. I1 n ' e x i s t e a u c u n m o d e i m p a i r h f r 6 q u e n c e
de c o u p u r e n u l l e . Ces r d s u l t a t s o n t 6 t6 o b t e n u s p a r
la m 6 t h o d e de c o l l o c a t i o n , e n r a i s o n d e l a s i m p l i c i t 6
de sa f o r m u l a t i o n . C e t t e s i m p l i c i t 6 p e r m e t d g a l e m e n t
d ' e n v i s a g e r le c a s de s t r u c t u r e s v o i s i n e s de cel les de
l a l i g n e h r u b a n . A t i t r e de t e s t , c e t t e m 6 t h o d e a
dtd a p p l i q u 6 e a u ca s d u g u i d e p a r t i e l l e m e n t r e m p l i
de d i 6 1 e c t r i q u e (en a b r 6 g 6 GPRD), d o n t la s o l u t i o n es t
p a r a i l l e u r s b i e n c o n n u e [22]. Les r d s u l t a t s co r res -
p o n d a n t s o n t 6 t6 r e p o r t 6 s s u r les f igu res 3, 6, 7 e t 8,
p o u r e n p e r m e t t r e l a c o m p a r a i s o n a v e c c e u x de l a
l i g n e h r u b a n . I1 a p p a r a i t u n e c e r t a i n e a n a l o g i e , t a n t
a u n i v e a u de s c o n s t a n t e s de p r o p a g a t i o n q u ' h ce lu i
des l i g n e s d e c h a m p . C e t t e a n a l o g i e p o u r r a 6 t r e ra i se
h p r o f i t p o u r d 6 t e r m i n e r r a p i d e m e n t c e r t a i n e s c a r a c t 6 -
r i s t i q u e s de l a l i g n e h r u b a n ( f r 6 q u e n c e s de c o u p u r e ,
c o n s t a n t e s de p r o p a g a t i o n . . . ) h p a r t i r de ce l les d u
6PRD, d o n t l ' o b t e n t i o n e s t b e a u c o u p p l u s r a p i d e .
E n c o n c l u s i o n , l a m 6 t h o d e de c o l l o c a t i o n e s t c a r a c -
t d r i s d e p a r u n e g r a n d e s o u p l e s s e a u n i v e a u de l a
f o r m u l a t i o n . O n p o u r r a i t e n v i s a g e r , s a n s d i f f i cu l t6 de
Fie,. 7. - - Lignes de champ magn6t ique du premier mode sup~rieur d 'une ligne ~ r u b a n ( ) et du mode TM10 du
6enD cor respondant ( - - - - - ) F ~ 25 GHz. h ~ 2 b ~ 12,7 r a m ; e ~ 2 w -- 1,27 m m ; Cr ~ 8,875.
o 0,2 0.4 o.s o.8 ~ trd m~l)
FIG. 8. - - Courbes caractdris t iques des premiers modes impairs d 'une ligne ~ r u b a n ( ) et du GPI~D correspondant ( - - - - - - ) . h : 2 b ~ 12,7 m m ; e ~ 2 w ~ 1,27 mm.
p r i n c i p e , le cas de s l i g n e s c o u p l 6 e s . P r a t i q u e m e n t , ce
s o n t des d i f f i cu l t6s n u m 6 r i q u e s qu i en l i m i t e n t les
poss ib i l i t d s . L ' 6 t u d e de s b o i t i e r s l a r g e s (b ~ 15 w)
e s t d61icate : les v a r i a t i o n s des d 6 t e r m i n a n t s s o n t
r a p i d e s e t le c h o i x de s p o i n t s d ' 6 c h a n t i l l o n n a g e e s t
c r i t i q u e . De p l u s , le t e m p s d e ca l cu l e s t i m p o r t a n t ,
m ~ m e d a n s les c a s f a v o r a b l e s , p u i s q u e le r a n g des
m a t r i c e s u t i l i s6es e s t de l ' o r d r e de 50.
L a m 6 t h o d e d e l ' 6 q u a t i o n i n t 6 g r a l e a p o u r p r i n c i p a l
i n t d r ~ t d ' a b o u t i r h u n s y s t ~ m e c o n v e r g e n t r a p i d e m e n t ,
ce qu i p e r m e t d e g a g n e r e n v i r o n u n f a c t e u r 10 s u r
A. T~LEC., 30 , n ~ 1-2, 1975 6/11
J . - C . B O L O M E Y . - - ] ~ T U D E N U M E R I Q U E S U R U N E L I G N E A R U B A N 19
le t e m p s d e c a l c u l des c o u r b e s de d i s p e r s i o n e t d ' a t t 6 -
n u a t i o n . D e p l u s , les p r o b l ~ m e s lids h l ' 6 c h a n t i l l o n n a g e
s o n t 61imin6s, de p a r l a n a t u r e m ~ m e de l a m 6 t h o d e .
L e cas l i m i t e des b o i t i e r s l a r g e s s e p r a t e b i e n h u n e
t e l l e a p p r o c h e . L e p r i n c i p a l i n c o n v 6 n i e n t de l a
m 6 t h o d e r 6 s i d e d a n s l ' i m p o r t a n c e des c a l cu l s a n a l y -
t i q u e s p r 6 a l a b l e s h m e n e r , ce q u i c o m p l i q u e de sur -
c r o i t les p r o g r a m m e s . C e t t e c o m p l e x i t 6 n e r e n d p a s
i m m 6 d i a t e s o n e x t e n s i o n h des p r o b l ~ m e s vo i s in s . L a
c o m p l 6 m e n t a r i t ~ des d e u x m 6 t h o d e s a p p a r a i t d o n c
n e t t e m e n t , p u i s q u e l e u r s d o m a i n e s d ' a p p l i c a t i o n s o n t
p a r t i e l l e m e n t d i s t i n c t s . P a r a i l l eu r s , d a n s l e u r d o m a i n e
c o m m u n , el les p e r m e t t e n t des t e s t s m u t u e l s .
V. A P P L I C A T I O N S
V. l . Etude de l ' inf luence des paramStres d'une l igne ~ ruban sur la propagation.
. . . . . . . h/e = 101 . . . . " - -5 h,e = lO I - - ) . . . . - -35
2,0 1,5
1,5 1,18
10 20 30 F(GHz)
FIG. 9. - - Influence de la hau teur du bott ler sur le mode fondamental .
- - - M6thode de l '6quat ion int6grale singulibre. . . . . . M6thode de relaxat ion (approx. quasi -TEM [3]). h = 2 b = 12,7 r a m ; e : 2 w -- 1,27 mm.
L a r a p i d i t 6 de l a m 6 t h o d e de l ' 6 q u a t i o n i n t ~ g r a l e ~
a p e r m i s u n e 6 t u d e s y s t d m a t i q u e de l ' i n f l u e n c e des
p a r a m ~ t r e s s u r l a p r o p a g a t i o n , ce q u i 6 t a i l difficile-
m e n t e n v i s a g e a b l e a v e c l a m T t h o d e de co l l oca t i on .
Les r 6 s u l t a t s q u i s u i v e n t o n t 6t6 o b t e n u s a v e c N 2 = 4, 2,8
ce q u i g a r a n t i t d a n s t o u s l e s cas u n e p r 6 c i s i o n sa t i s -
f a i s a n t e .
V.1.1. Cas du mode fondamental .
Les c a r a c t ~ r i s t i q u e s des n o m b r e u x 616ments de
c i r c u i t s u s u e l s se d 6 d u i s e n t des p r o p r i 6 t 6 s d u m o d e
f o n d a m e n t a l . I1 e s t d o n c i m p o r t a n t de c o n n a i t r e
l ' i n f l u e n c e des d i f f 6 r e n t s p a r a m ~ t r e s de l i g n e h r u b a n
s u r ses p r o p r i 6 t d s . D a n s les p a r a g r a p h e s s u i v a n t s , on
s ' e s t p a r t i c u l i ~ r e m e n t a t t a c h 6 h m e t t r e en 6 v i d e n c e
l ' i n f l u e n c e de s d i m e n s i o n s d u b o i t i e r e t des c a r a c t 6 -
r i s t i q u e s de l a c o u c h e d i61ec t r ique .
V . I . I . 1 . Influence de la hauteur du boitier.
L a f igu re 9 m e t en 6 v i d e n c e les e f fe t s de l a h a u t e u r
d u b o i t i e r dar t s le cas off l a l a r g e u r de ce b o i t i e r e s t
s u f f i s a m m e n t g r a n d e v i s - h - v i s de l ' 6 p a i s s e u r d u sub -
s t r a t e t d e l a l a r g e u r d u r u b a n . I1 a p p a r a i t que , d~s
q u e h ~ 5 e, le m o d e f o n d a m e n t a l n e v a r i e p r a t i q u e -
m e n t p l u s ; c e t t e c o n c l u s i o n a 6t6 v6r i f ide p o u r
d i v e r s e s l a r g e u r s d u r u b a n ; d a n s t o u s les cas , l ' e r r e u r
s u r C r e s t i n f d r i e u r e h 1 % .
V . l . l . 2 . lnfluence de la largeur du bottler.
L a h a u t e u r h e s t c h o i s i e de t e l l e f a ~ o n q u ' e l l e
n ' i n t e r v i e n n e p a s ; le s u b s t r a t e s t d6 f in i p a r e e t Cr �9
L a f igure 10 r e p r 6 s e n t e les c o u r b e s de d i s p e r s i o n d a n s
le c a s 2 w/e = 0,5, p o u r d i v e r s e s v a l e u r s de la l a r g e u r
d u b o i t i e r . Si le b o i t i e r s '61arg i t , l a c o u r b e de d i s -
p e r s i o n t e n d v e r s u n e a s y m p t o t e , c a r a c t d r i s t i q u e de
l a p r o p a g a t i o n s u r u n e l i g n e h r u b a n o u v e r t e .
2,4
2,2
- ; / w = 10 _~
/
0 10 20 30 F(GHz)
Fla. 10. - - Influence de ]a largeur du bott ler sur le mode fondamental .
h ~ 1,27 r a m ; e = 4 w = 1,27 m l n ; Sr = 8,875.
V . l . l . 3 . Influence du subslrat.
L a f i g u r e 11 r e p r 6 s e n t e les c o u r b e s a s y m p t o t e s
d6 f in i e s p r 6 e 6 d e m m e n t p o u r d i v e r s e s v a l e u r s de e e t
w/e. I1 a p p a r a i t q u e , p o u r u n r a p p o r t w/e d o n n 6 , l a
d i s p e r s i o n a u g m e n t e a v e c l ' 6 p a i s s e u r d u s u b s t r a t . D e
p l u s , l a c o n s t a n t e e r h l a f r 6 q u e n e e z6ro n e d 6 p e n d
q u e d u r a p p o r t w/e, ce q u i c o n f i r m e l a t h 6 o r i e de
W h e e l e r [1]. L a f igu re 12 m o n t r e , e n f i n , q u e l a d i s -
p e r s i o n e s t p l u s i m p o r t a n t e p o u r de s s u b s t r a t s
d ' i n d i e e 61ev6.
P r a t i q u e m e n t , l ' u t i l i s a t i o n de d i d l e c t r i q u e s de
e o n s t a n t e 61ev6e (de l ' o r d r e de 9) e s t f a v o r a b l e h l a
r d d u c t i o n d e s d i m e n s i o n s . P o u r l i m i t e r l a d i s p e r s i o n
q u i i n t e r v i e n t a v e c ces c o n s t a n t e s , il f a u t r d d u i r e
l ' 6 p a i s s e u r d u s u b s t r a t , c o n f o r m 6 m e n t h l a f i g u r e 11.
7 /11 A . T ~ L E C . , 30 , n ~ t - 2 , 1 9 7 5
3,0
2,8
2,6
2,4
2 , 2
# 4
fSs .
0,2 i t i
0 10 20 30 F(GHz)
FIG. 11. - - Influence de la largeur du ruban et de l '6paisseur du subs t r a t sur le mode fondamen ta l d 'une ligne ~ ruban
ouver t b ~ 8 e ; h i> 5 e)
- - e = 1,59 m m ( 1 / 1 6 " ) ; . . . . . . . . e = 1,27 m m ( 1 / 2 0 " ) ;
e = 0,635 m m (1/40") ; - - �9 - - e = 0,4 m m (1/64").
2 .
(~r = 1 6
9,6
1 -
0
/
i
I
3,73
2,32
10 20 30 F(GHz)
FIG. 12. - - Influence de la cons tan te didlectrique sur le mode fondamenta l .
h = 2 b ~ 12,7 m m ; e ~ 2 w = 1,27 mm.
L e s s u b s t r a t s en a l u m i n e ( r 9 ,6) le p l u s s o u v e n t
u t i l i s 6 s o n t u n e 6 p a i s s e u r de 0 ,635 m m o u 0,4 m m et
d o n c , u n e d i s p e r s i o n r 6 d u i t e . E n p r e n a n t u n b o i t i e r
t e l q u e h ~> 5 e e t b ~> 8 e , le m o d e f o n d a m e n t a l e s t
p r a t i q u e m e n t ce lu i d ' u n e l i g n e h r u b a n o u v e r t e [23].
V.1.2. Cas des modes d'ordre supdrieur.
P o u r les u t i l i s a t i o n s c o u r a n t e s , l ' d l i m i n a t i o n d e s
m o d e s d ' o r d r e s u p d r i e u r e s t r e c h e r c h d e . L a f r 6 q u e n c e
de c o u p u r e e t le d i a g r a m m e d ' a t t 6 n u a t i o n s u f f i s e n t
a lo r s p o u r les c a r a c t 6 r i s e r : l es p a r a g r a p h e s s u i v a n t s
s o n t c o n s a c r 6 s h l ' 6 t u d e de l ' i n f l u e n c e de s d i v e r s
p a r a m 6 t r e s de l a s t r u c t u r e s u r ces g r a n d e u r s , des
i n f o r m a t i o n s u t i l e s en r u e d u f i l t r a g e de ces m o d e s
s o n t a i n s i d i s p o n i b l e s .
V .1 .2 .1 . Influence de la largeur du ruban.
L a f i gu re 13 p r 6 s e n t e les c o u r b e s de d i s p e r s i o n e t
d ' a t t 6 n u a t i o n de s t r o i s p r e m i e r s m o d e s d ' o r d r e s u p d -
F(GHz)
. .y 30 / " , ~ / j
20 ~ y X ~
Z ,Y / 10.
20 J . - c . B O L O M E Y . -- I ~ T U D E N U M I ~ R I Q U E S U R U N E L I G N : E A R U B A N
%
1 ~ (dB/mm) J I i [ I I I I I I I I I
0,5 1,0 1,5 ( r d / m m )
FIG. 13. - - Influence de la largeur du ruban sur les premiers modes d 'ordre sup6rieur.
a) ligue ~ ruban - - - - - - w -- e, x x x w = 0,1 e ;
b) oeno - - (w = 0). 2 b = 12,7 m m ; e -- 1,27 m m ; h : 3 e ; Zr = 8,875.
r i eu r , p o u r d e u x l a r g e u r s d u r u b a n d ' u n e l i g n c h r u b a n
p a r t i c u l i b r e . L e s c o u r b e s d u GPRD s o n t 6 g a l e m e n t
r e p o r t d e s . ]l a p p a r a i t q u e , d a n s la r 6g ion de s o n d e s
r a p i d e s (~ ~< 0,3 r d / m m ) e t en b a n d e c o u p d e , les d e u x
p r e m i e r s m o d e s d ' o r d r e s u p ~ r i e u r s o n t p r a t i q u e m e n t
i n d 6 p e n d a n t s de l a l a r g e u r d u r u b a n e t r e s s e m b l e n t
f o r t e m e n t h c e u x d u GPRD. L e t r o i s i ~ m e m o d e e s t u n
p e u p l u s s e n s i b l e ~ l a p r 6 s e n c e d u r u b a n . Si l a h a u t e u r
e s t m o d i f i 6 e (h v a r i a n t de 1,5 h 15 e), les c o n c l u s i o n s
p r 6 c 6 d e n t e s d e m e u r e n t v a l a b l e s . Si h l a h a u t e u r
d o n n 6 e , l a l a r g e u r d u b o i t i e r e s t m o d i f i 6 e (b v a r i a n t
de 1,5 h 10 e), le p r e m i e r m o d e d ' o r d r e s u p d r i e u r
e s t a n a l o g u e h ce lu i d u GPRD. I1 n ' e s t t o u t e f o i s p l u s
p o s s i b l e de n 6 g l i g e r l ' i n f l u e n c e d u r u b a n s u r les a u t r e s
m o d e s d ' o r d r e s u p 6 r i e u r d a n s le c a s de s b o i t i e r s p e u
l a r g e s (b ~< 3 e). L e s c a l c u l s s u r le GPI~D p e u v e n t d o n c ,
p a r t i r d ' 6 q u a t i o n s t r a n s c e n d a n t e s b i e n c o n n u e s [22],
f o u r n i r u n e b o n n e i n f o r m a t i o n s u r la f r 6 q u e n c e de
A. Ti~LEC., 30, n ~ 1-2, 1975 8/11
J . - C . B O L O M E Y . - - ] ~ T U D E N U M t ~ R I Q U E SU1R U N E L I G N E A R U B A N 21
c o u p u r e e t l ' a t t 6 n u a t i o n des m o d e s d ' o r d r e s u p 6 r i e u r
de l igne h r u b a n .
V.1 .2 .2 . Influence du boHier.
L e m o d e le p l u s g ~ n a n t e s t le p r e m i e r m o d e d ' o r d r e
s u p 6 r i e u r . L ' 6 t u d e d e l ' i n f l u e n c e de l a h a u t e u r h, h
b c o n s t a n t , m o n t r e [24] q u e sa f r 6 q u e n c e de c o u p u r e ,
f a i b l e p o u r les b o i t i e r s p l a t s , a u g m e n t e a v e c h e t
d e m e u r e c o n s t a n t e d~s q u e h > 5 e. C e p e n d a n t , si
h a u g m e n t e , l a f r 6 q u e n c e d e c o u p u r e des a u t r e s m o d e s
d ' o r d r e s u p 6 r i e u r d 6 c r o i t e t se r a p p r o c h e de cel le d u
p r e m i e r . L a f i g u r e 14 m e t e n 6 v i d e n c e l ' i n f l u e n c e de
F(GHz)
30
10
O _ _ 2 3 a ( d B / m m )
0,5 1,0 1,5 2 , b f l ( r d /mm)
FIG. 14. - - Influence de la largeur du boitier sin" les premiers modes d 'ordre sup6rieur.
a) ligue h r u b a n - - - b) GPRD - - - -
h ~ 12,7 m m ; e = 2 w ; ~ 1,27 m m ; Cr = 8,875.
l a l a r g e u r d u b o i t i e r : p l u s il e s t l a rge , p l u s l a f rd-
q u e n c e d e c o u p u r e e s t b a s s e . D ' u n e f a ~ o n g6n6ra l e ,
l ' a u g m e n t a t i o n de l a l a r g e u r d u b o i t i e r c o n d u i t h u n e
a p p a r i t i o n p l u s r a p i d e de s m o d e s d ' o r d r e s u p 6 r i e u r .
U n c o m p r o m i s s ' a v ~ r e d o n c n 6 c e s s a i r e p o u r l i m i t e r
l ' i n f l u e n c e d u b o i t i e r s u r le m o d e f o n d a m e n t a l , s a n s
r i s q u e r p o u r a u t a n t d ' e x c i t e r des m o d e s d ' o r d r e
s u p 6 r i e u r .
V.1 .2 .3 . Inf luence du substrat.
P o u r u n b o i t i e r e t u n r u b a n d o n n d s , la f igu re 15
i n d i q u e l ' d v o l u t i o n des p r e m i e r s m o d e s d ' o r d r e sup6 -
r i e u r p o u r d i v e r s c s v a l e u r s de la c o n s t a n t e di61ec-
t r i q u e r �9 L e s v a r i a t i o n s s o n t p e u i m p o r t a n t e s ; c e t t e
c o n c l u s i o n v a u t ~ g a l e m e n t p o u r le ~P~D. L ' 6 t u d e d e
l ' i n f l u e n c e d e l ' 6 p a i s s e u r e c o n d u i t a u x m ~ m e s c o n c l u -
s ions . C ' e s t le b o i t i e r q u i p r o v o q u e l ' a p p a r i t i o n des
p r e m i e r s m o d e s d ' o r d r e s u p 6 r i e u r ; ce r d s u l t a t e s t
c o n f o r m e a u x c o n c l u s i o n s f o u r n i e s p a r S c h l o s s e r e t
U n g e r l o t s d e l ' d t u d e de s s t r u c t u r e s gu id~es p a r t i e l -
l e m e n t r e m p l i c s [25] .
V.2. E va lu a t ion des grandeurs associ~es au c h a m p .
(GHz)
Z/./ i . I / I / . ~
/ / 1 " 1
~_:2//// / ~ " ~ ' ~
,o .-%.. \ \ ' \
X 1 2 i a (d[~'mm) 3
I j I I i I i i 0 0.5 1,0 fl ( rd /mm) 1.5
FIG. 15. - - Influence de la cons tan te di~lectrique du subs t ra t sur les premiers modes d 'ordre supdrieur.
- - - - Cr = 16 (saphir) : - - ' - - r = 9,6 (a lumine) ; - - - - - - Cr ~ 2,32 (polyguide), �9 ... . . . . Cr = 1.
h = 2 b -- 12,7 m m ; e = 2 w = 1,27 mm.
d i n a l e r~el le d u v e c t e u r d e P o y n t i n g . I1 e s t a i n s i
p o s s i b l e d e d 6 t e r m i n e r , d a n s u n e s e c t i o n d r o i t e , l a
r 6 p a r t i t i o n de l a p u i s s a n c e t r a n s m i s e . I1 a p p a r a i t [15]
q u e l a p u i s s a n c e c s t d ' a u t a n t p l u s c o n c e n t r 6 e d a n s
le d i61ec t r i que q u e l a f r 6 q u e n c e e s t 61ev6e. Le r a p p o r t
E t [ H t r e p r 6 s e n t e l ' i m p 6 d a n c e d ' o n d e l o c a l e ; u n e
i m p 6 d a n c e d ' o n d e m o y e n n e Z T p e u t ~ t r e d6 f in i e e n
p o n d 6 r a n t l ' i m p 6 d a n c e d ' o n d e l o c a l e p a r la r 6 p a r -
t i t i o n de p u i s s a n c e . C e t t e i m p 6 d a n c e d ' o n d e m o y e n n e
r e l a t i v e a u m o d e f o n d a m e n t a l e s t 6gale , h 1 % pros ,
l a q u a n t i t 6 r q u e l l c q u e so i t l a f r 6 q u e n c e . O n
r e t r o u v e a i n s i u n e r e l a t i o n , c l a s s i q u e p o u r les s t r u c -
t u r e s h o m o g ~ n e s u s u e l l e s , e n t r e l a c o n s t a n t e d e
p r o p a g a t i o n e t l a r 6 p a r t i t i o n d u c h a m p . Le t a b l e a u I
d o n n e des v a l e u r s n u m 6 r i q u e s p o u r u n cas p a r t i c u l i e r .
T A B L E A U I
Tableau eomparatif des impddances d'ondes mogennes caleuldes 6 diverses frdquenees (ligne ~ ruban de la figure 4)
F (GHz)
( rad /mm)
4,65
0,235
10,163
0,535
18,135 27,89
1,6
Zr (~2) 160,2 154,6 145,9 137,6
r (~) 158,5 152 145,1 139
L o c a l e m e n t , l a p u i s s a n c e t r a n s p o r t 6 e p a r l a l i g n e L a n o t i o n d ' i m p 6 d a n c e c a r a c t ~ r i s t i q u e e s t p l u s
h r u b a n e s t p r o p o r t i o n n e l l e h l a c o m p o s a n t e l o n g i t u - f a m i l i ~ r e a u x u t i l i s a t e u r s de s c i r c u i t s e n m i c r o - o n d e s .
8 / 1 1 A. T~LEC., 30, n ~ 1-2, 1975
22 J . - C . B O L O M E Y . -- ] ~ T U D E N U M I E R I Q U E s u n U N E L I G N E A R U B A N
Bien que le c h a m p dans la l igne h ruban ne soit pas
t ransversa l , il est tou te fo i s possible de l ' i n t rodu i re
en ne cons id6ran t que les composantes t ransversa les ; ce t te a p p r o x i m a t i o n se jus t i f ie pour le mode fonda-
men ta l lorsque les composan tes longi tud ina les sont
faibles. Les couran t s l o n g i t u d i n a u x 11 et I2 sur le
ruban et le boi t ier , oppos6s en signe, ne sont pas
6gaux en module . Les 6carts sont dus, d ' une par t ,
au fai t que le c h a m p n ' e s t pas t r ansversa l et, d ' au t r e
par t , au fai t que l ' on ne salt pas bien repr6senter le couran t sur le ruban . E n t o u t 6 ta t de cause, l 'dcar t
ent re deux cou ran t s dol t a u g m e n t e r a v e c l a frdquence,
ce qui est conf i rm6 par le calcul. Une tension V peut
~tre d6finie pa r la c i rcu la t ion du champ fiST entre le
boi t ier et le ruban . El le var ie de quelques pour cent
selon le the re in choisi. L ' i m p d d a n c e ca rac t f r i s t ique ,
ou p lu t6 t la p seudo - imp6dance carac t6r is t ique , est
d6finie par le r a p p o r t V [ I 2 , le couran t sur le boi t ier
6 tant plus pr6s de la r6alit6 que le couran t calculd
pour le ruban. Le t a b l e a u 2 donne les va leurs de Zc
plusieurs f r6quences ; les 6carts t rouvds sont faibles.
T A B L E A U 2
Varialions de la pseudo-impddance caractdrislique ~ e en fonclion de la frdquence (ligne d ruban de la figure 4). Valeur fournie par l 'approximation T E M [26] : ~c = 51,2 ~)
F (GHz) ~ c (f~)
4 53,1
10 53,8
17 53,3
25 51,8
Pour l '6 tude des champs , il est ndcessaire, dans les
deux eas, d 'u t i l i ser des syst~mes de rang d lev6; les r6sultats fournis pa r la m 6 t h o d e de l ' 6qua t ion int6-
grale, bien qu ' un peu mei l leurs que ceux obtenus par
collocation, m e t t e n t en 6videnee des oscil lat ions
l ' i n t e r f aee ; ceei p r o u v e que la repr6senta t ion des
champs par des sdries t r igonom6t r iques n ' e s t pas la
meilleure. On pou r r a i t d ' a i l leurs penser am61iorer
les rdsultats en t i r a n t pa r t i de la eonnaissance de la singularit6 des champs sur les bords du ruban.
L '6 tude sys t~ma t ique de l ' in f luence des param~tres
sur la p ropaga t ion a just i f i6 les caract6r is t iques des
substra ts utilis6s indus t r i e l l emen t . La counaissanee
de la fr6quence de coupure du premier m o t d 'o rdre
sup6rieur ddfinit, pour c h a q u e l igne h ruban, la zone
max ima le d 'u t i l i sa t ion p ra t ique . I1 a 6t6 mont r6 que
cet te fr6quence de coupure est ident ique h celle du GPnD correspondant .
Ce t rava i l comple t e les d ivers rdsultats qui ont 6t6
publi6s sur le su je t j u s q u ' h ma in t enan t . De plus, il
fourni t des 616ments pour l ' 6 tude ult6rieure des dis- continuit6s. Quelques rdsul ta t s concernan t la r6par-
t i t ion des champs e t l ' in f luence des diff6rents pa ra -
m~tres ont ~t~ v6rifiids e x p 6 r i m e n t a l e m e n t sur un
mod61e agrandi et des c i rcui ts de tail le r6elle [27]. La d6termina t ion du schdma 6qu iva l en t des discontinui tds
const i tue le bu t des 6tudes mendes au Labora to i re
d 'E l ec t ron ique G6n6rale dans le domaine des lignes h
ruban. Une m6thode de r a c c o r d e m e n t des champs est
ac tue l l ement en cours d ' d tude e t l e s premiers rdsul tats obtenus donnen t de bons espoirs quan t h leur abou-
t issement . Une pa r t i e de ce t r ava i l a f a r l ' ob je t d ' un
con t r a t pass6 pa r la Di rec t ion des Recherches et Moyens d 'Essais .
M a n u s c r i t recu le 18 m a r s 1974.
V I . C O N C L U S I O N
L 'd tude pr6cddente a rappel6 les carac t6r is t iques
essentielles des d e u x m6thodes de calcul utilis6es ; la m6thode de col loca t ion , plus simple h m e t t r e en
ceuvre, condu i t au m a n i e m e n t de syst~mes de rang
61ev6; le t emps de ealcul est doric i m p o r t a n t . En
revanche , elle s ' app l i que fae i l ement h l ' 6 tude des cas voisins : modes impai rs de la l igne h ruban , lignes
coupl6es, guide p a r t i e l l e m e n t rempl i de di61ectrique. Par un effort de calcul ana ly t i que pr6alable non
n6gligeable, la m6 thode de l ' 6qua t ion int6grale singuli~re condu i t h u n syst~me de rang peu 6lev6
(6 ou 8), t o u t au moins lors de l '6 tude des earactd- r is t iques de dispers ion et d ' a t t 6nua t ion . A t i t re d ' exemple , il est possible de calculer un r6seau tel
que celui de la figure 9 en 80 secondes sur un o rd ina teu r (*).
(*) UNIVAC 1108.
A. TI~LEC., 30, n ~ 1--~ 1975
B I B L I O G R A P H I E
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