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ETUDE DES PROPRIETES DE LA PHASE D’UN SIGNAL OPTIQUE CALCULE AVEC LE SCHEMA

AUX DIFFERENCES FINIES DE YEE POUR UN MATERIAU LINEAIRE OU QUADRATIQUE

Antoine BOURGEADE

CESTA/DIR/BEST

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Table des matières

I Introduction 3 II La physique des phénomènes étudiés 4 a la dispersion 5 b la génération de la deuxième harmonique 6 III Description du schéma numérique 8 IV La dispersion physique et la dispersion numérique 10 a la dispersion numérique 11 b le cas linéaire 12 c le cas non-linéaire 14 V La génération de la deuxième harmonique pour des impulsions ultra-courtes 14 a la solution pour de très faibles intensités 14 b les résultats numériques 18 VI Conclusion 19 Figures 20 Annexe 1: Les polarisations linéaire et quadratique pour un cristal de KDP 30 Annexe 2: Le calcul de l’amplitude et de la phase pour le domaine temporel 34

3

I Introduction

Le domaine temporel en électromagnétisme a longtemps été pénalisé par la difficulté de

modéliser les matériaux dispersifs. Le schéma de Yee [1] pour résoudre les équations de

Maxwell dans le domaine temporel a été mis au point dès 1966 et il y a une dizaine d’années

les modèles de Debye et de Lorentz pour la dispersion ont été introduits dans la modélisation

numérique des équations de Maxwell [2,3].

Néanmoins le poids de l’harmonique en électromagnétisme et l’utilisation intensive des

équations de Schrödinger non-linéaires en optique n’ont pas permis que la résolution des

équations de Maxwell dans le domaine temporel pénètre vraiment le monde des codes

d’optique. Les équations de Schrödinger non-linéaires sont, en effet, tellement utilisées et

tellement pratiques d’utilisation qu’un doute plane toujours sur la nécessité de résoudre les

équations de Maxwell et sur l’origine des différences entre les résultats obtenus avec les deux

méthodes (réalité physique ou erreurs numériques). Ce doute est entretenu par le fait que le

schéma de Yee ajoute une dispersion numérique à la dispersion physique.

L’exemple le plus frappant des effets néfastes de cette dispersion numérique est obtenu

pour la modélisation de la génération de la deuxième harmonique dans un cristal. A l’angle

d’accord de phase (pour la dispersion physique) alors que l’intensité de l’onde harmonique est

une fonction croissante de l’épaisseur, le calcul la fait disparaître pour une épaisseur de

matériau qui peut être faible et qui correspond au double de la longueur de cohérence (pour la

dispersion numérique).[4]

Un des buts de cette note est de montrer que cette erreur est tout à fait prévisible ce qui

permet d’en limiter les effets en prenant un maillage suffisamment fin avec un pas en temps

adapté. En outre cette étude approfondie montre également que la résolution des équations de

Maxwell fait apparaître des effets de la dispersion qui ne peuvent être modélisés par les

équations de Schrödinger non-linéaires, même modifiées pour prendre en compte les effets

d’ordre deux et trois de la dispersion. Ceci est obtenu pour la propagation dans un matériau

linéaire dont on connaît la solution exacte qui sert de référence et a également des

conséquences pour des effets non-linéaires tels que la génération de la deuxième harmonique.

La comparaison des résultats dans ce dernier cas montre un décalage sur la fréquence

instantanée de l’onde harmonique. Ce décalage ne peut être attribué à la dispersion puisqu’il

apparaît dans toute l’épaisseur du cristal. Une deuxième étude a montré que ce décalage était

4

dû à l’hypothèse d’enveloppe lentement variable qui sert à obtenir les équations de

Schrödinger. Un calcul analytique de la solution obtenue dans le cas où l’onde fondamentale

se propage dans un milieu non dispersif et n’est pas modifiée par les effets non-linéaires (très

faible intensité de l’onde) permet de vérifier l’origine de ce décalage et de contrôler la qualité

des résultats obtenus avec le schéma de Yee.

II La physique des phénomènes étudiés

Le code NIL dont la qualité des résultats est étudiée dans cette note a été écrit pour

calculer la génération de deuxième harmonique en résolvant les équations de Maxwell qui

régissent la propagation et l’évolution des ondes lumineuses aussi bien dans le vide que dans

un matériau. La génération de la deuxième harmonique dans un cristal repose sur deux

phénomènes. Tout d’abord l’existence d’une non-linéarité quadratique dans le cristal et

ensuite la dispersion anisotrope qui a pour conséquence que la vitesse d’une onde dépend de

sa fréquence et de sa direction de propagation dans le cristal. Ces deux phénomènes sont

décrits dans ce chapitre.

Les équations à résoudre sont les équations de Maxwell :

,HrottDetErot

tB r

rr

r

=−=δδ

δδ

combinées avec les relations constitutives qui relient les champs d’induction magnétique, Br

,

et de déplacement électrique, Dr

, aux champs électrique, Er

, et magnétique, Hr

. Pour la

plupart des matériaux utilisés en optique, Br

est directement proportionnel à Hr

:

HBrr

.0µ= ,

µ0 étant la perméabilité du vide.

Par contre est la somme de plusieurs termes, la polarisation linéaire, Dr

)1(Pr

, qui est

proportionnelle à Er

et les différentes polarisations non-linéaires, )(nPr

(n>1), dont les

composantes sont définies à partir des produits de n composantes du champ électrique. Seuls

les deux premiers termes )1(Pr

et )2(Pr

sont considérés dans ce qui suit.

a La dispersion linéaire

5

Dans le référentiel du cristal la polarisation linéaire est donnée par un tenseur diagonal

qui agit sur le champ électrique :

UUUU EP .)1( ε= avec U = X, Y ou Z.

En fait ces relations ne sont valables que pour une fréquence donnée. Pour un signal

temporel quelconque il faut alors remplacer le produit classique par un produit de

convolution :

)(*)(ˆ)()1( tEttP UUUU ε= pour U = X, Y et Z.

Dans l’expression précédente )(ˆ tUUε est la transformée de Fourier de la fonction

εUU(ω) donnant la permittivité du matériau en fonction de la fréquence ω.

Ce type de relation, qui a longtemps handicapé l’approche temporelle, oblige a priori à

conserver en mémoire toutes les valeurs antérieures du champ électrique ce qui peut s’avérer

vite prohibitif. Heureusement il est, dans la plupart des cas, possible de représenter la

permittivité dans le domaine harmonique comme une fonction fraction rationnelle de la

fréquence. Cette fonction doit avoir une transformée de Fourier réelle. Par suite εuu (ω)

s’exprime, en plus d’une partie indépendante de la fréquence, ∞ε , comme somme de

fonctions du type

( ) ( )22

2ou

ωωδωωε

ωωωε

αα

αα

α

αα

−+=

−=

ja

ja

,

appelés termes de Drude et termes de Lorentz.

L’avantage de cette modélisation vient du fait que grâce à la forme de ces fonctions

élémentaires le calcul du produit de convolution définissant P (1)U (t) peut se faire sans avoir

en mémoire toutes les valeurs antérieures de EU (t). Ceci est trivial pour la partie

indépendante de la fréquence et est dû aux propriétés de la transformée de Fourier { $ε α (t)}

pour les autres termes.

( ) ( ) ( ) sinon0ˆ,0tpour])(sin[ˆouˆ 22 =≥−== −− tteateat ttααα

δαα

ωαα εδωεε αα .

Si Pα(t) désigne le produit de convolution de ( )tαε̂ et EU (t), cette fonction vérifie

Pα’(t)+ωαPα(t) = aαEU(t) ou bien Pα’’(t)+2δαPα’(t)+ P2αω α(t) = aα EU (t).

6

Le produit de convolution est donc remplacé par une équation différentielle : toute

l’information nécessaire se trouve dans Pα et éventuellement sa dérivée première. Une autre

façon de le voir est de noter que

τττωαα

ωα

αα dEeatPettP U

tt

t

ttt )()()( )(∫∆+

−∆+−∆− +=∆+

ou

ττθτ

θ

ατω

α

αδ

ααδ

α

α

αα

dttEea

ttPetPtettP

U

tt

tt

tt

tt

)](sin[)(

)()()sin(2)(

)(

2

−−∆

+∆−−∆=∆+

∫∆+

∆−

−∆+−

∆−∆−

avec )( 22ααα δωθ −= .

Le cristal de KDP qui est utilisé pour les calculs a bien une dispersion de ce type

puisque sur chacun de ses axes la permittivité est donnée, dans l’intervalle de fréquence qui

nous intéresse, par la somme de deux termes de Lorentz (voir annexe 1).

b la génération de la deuxième harmonique

Le phénomène non-linéaire qui est utilisé pour cette étude est la génération de la

deuxième harmonique dans un cristal. Ce phénomène est basé sur la polarisation quadratique

(voir annexe 1). Cette polarisation introduit en effet un terme source à fréquence double dans

les équations. C’est aussi le premier effet non-linéaire qui apparaît lorsque l’intensité du

faisceau laser croît. Pour jouir de cette propriété un matériau ne doit pas posséder de centre de

symétrie ; en particulier il ne peut être isotrope. Ainsi seuls les cristaux dont le groupe ne

contient pas l’homothétie de rapport –1 sont concernés. Cette anisotropie est utilisée pour

obtenir des effets non négligeables.

Lorsque la polarisation quadratique est parallèle au champ électrique qui l’a créée

l’onde harmonique se propage à une vitesse différente de l’onde fondamentale à cause de la

dispersion du cristal. Ceci a pour conséquence que le terme source constitué par la

polarisation quadratique n’est pas en phase en tout point avec l’onde harmonique qui se

propage. L’effet cumulatif ne peut pas jouer complètement. En fait, compte tenu des

propriétés géométriques des cristaux la polarisation quadratique est donnée par un tenseur

d’ordre deux. Elle n’est donc pas nécessairement parallèle au champ électrique. Par suite

7

l’onde harmonique et l’onde fondamentale n’ont pas la même direction de polarisation et il

est possible d’orienter le cristal pour que l’onde harmonique et le terme source soient en

phase en tout point.

Dans le cas qui nous intéresse, le KDP, deux configurations sont mises en pratique : le

type I pour lequel l’onde fondamentale est une onde ordinaire (voir annexe 1) qui donne

naissance à une onde extraordinaire de fréquence double, et le type II pour lequel l’onde

fondamentale se divise en une onde ordinaire et une onde extraordinaire qui interagissent

pour donner naissance à une onde extraordinaire de fréquence double. Seule la configuration

de type I est considérée car c’est la plus simple à étudier numériquement. En effet dans ce cas

et pour une onde plane se propageant dans la direction Oz, les composantes du champ

électrique se séparent en l’ onde fondamentale (Ey) et harmonique (Ex et Ez) et de plus

l’accord de phase qui permet de faire croître l’intensité de l’onde harmonique en fonction de

l’épaisseur du cristal correspond simplement à l’égalité des indices pour la fréquence

fondamentale dans la polarisation ordinaire et pour la fréquence double dans la polarisation

extraordinaire.

Dans la suite les ondes considérées sont des ondes planes se propageant suivant la

direction Oz. La fréquence fondamentale est ω. k est le module du vecteur d’onde défini par :

k = ω 0

)(c

n ω,

pour n’importe quelle fréquence ω, c0 étant la vitesse de la lumière dans le vide et n(ω), qui

dépend de la polarisation de l’onde considérée, l’indice du cristal à la fréquence ω.

Une des méthodes classiques utilisées pour étudier les phénomènes non-linéaires tels

que la génération de la deuxième harmonique consiste à modéliser l’évolution de l’enveloppe

complexe des ondes considérées ( A(z,t) - j B(z,t) avec E(z,t) = A(z,t) sin[ωt-kz] + B(z,t)

cos[ωt-kz]). Les équations vérifiées par ces enveloppes sont obtenues moyennant l’hypothèse

que les fonctions A et B varient bien plus lentement que ωt ou kz. De plus Ez est considéré

comme négligeable. Les équations vérifiées par les enveloppes A1 et A2 des ondes

fondamentale et harmonique sont :

)exp(22

1 *12

2

1

11

1 kzjAAcn

jt

Auz

Aeff

g

∆−=+ χωδ

δδδ

,

)exp(221 2

12

2

22

2 kzjAcn

jt

Auz

Aeff

g

∆=+ χωδ

δδ

δ,

8

C’est un système d’équations de Schrödinger non-linéaires pour lequel ug1 et ug

2 sont les

vitesses de groupe et ∆k est le désaccord de phase. Ils sont définis par :

,))2((,))(( 122111 −− ==δω

ωδδω

ωδ kuku gg ∆k = 2k1(ω) – k2(2ω).

Pour des impulsions ultra courtes il convient de modifier légèrement ces équations pour

mieux tenir compte de la dispersion . Elles deviennent ainsi :

)exp(22)(6)(2

1 *12

2

131

31

21

211

11 kzjAA

cnj

tAh

tAgj

tA

uzA

eff

g

∆−=−−+ χωδ

δδ

δδ

δδδ

,

)exp(22

)(6)(21 2

12

232

32

22

222

22 kzjA

cnj

tAh

tAgj

tA

uzA

eff

g

∆=−−+ χωδ

δδ

δδ

δδ

δ,

où g caractérise la dispersion de la vitesse de groupe et h intervient pour modéliser la

dispersion à un ordre encore supérieur. Les nouveaux paramètres sont définis par :

.)(

)2()(2

1)(

)()(2

1,)(

)2(,)(

)(3

23

223

13

112

22

221

2

1 δωωδ

ωδωωδ

ωδωωδ

δωωδ k

khetk

khkgkg ====

Ces équations sont résolues en découplant la partie dispersive de la partie non-linéaire.

La partie dispersive est résolue par une méthode de Fourier tandis que la partie non-linéaire

est résolue par une méthode de Runge-Kutta d’ordre 4.[5]

III Description du schéma numérique

Le code Nil résout les équations de Maxwell pour calculer comment se propage une

onde plane dans un cristal de KDP. L’onde étant plane il n’y a que deux variables la variable

d’espace, z, et la variable de temps, t. Par contre le cristal étant anisotrope il faut calculer les

deux composantes non nulles du champ magnétique et du champ de déplacement électrique et

les trois composantes du champ électrique.

Le schéma de Yee utilisé est un schéma saute-mouton qui calcule le champ

magnétique en milieu de pas de temps et au centre des mailles, et le champ électrique à

chaque pas de temps aux nœuds du maillage. Le schéma est d’ordre deux en temps et en

espace. A chaque pas en temps les champs magnétique et de déplacement électrique sont

calculés par les formules suivantes :

9

)(10

21

21

21

21

. EEHH xxyyn

i

n

i

n

i

n

i

zt −−=

+

−

+

+

+

∆∆

µ , (1a)

)(1

0

21

21

21

21

. EEHH yyxxn

i

n

i

n

i

n

iz

t −+=+

−

+

+

+

∆∆

µ , (1b)

)( 21

21

21

21

1 HHDD yyxxn

i

n

i

n

i

n

izt +

−

+

+

+ −−= ∆∆ , (1c)

)( 21

21

21

21

1

HHDD xxyy n

i

n

i

n

i

n

izt +

−

+

+

+

−−= ∆∆ . (1d)

Compte tenu de la dispersion le champ Er

ne peut pas se déduire directement du champ Dr

.

En fait il faut d’abord calculer chacun des termes de Debye ou de Lorentz qui intervient dans

la polarisation )1(Pr

. Pour cela les équations différentielles qui leur correspondent sont

intégrées. Etant donné que les trois composantes du champ électrique sont non-nulles et que

pour chacun des axes du cristal deux termes de Lorentz permettent de décrire la dispersion,

six équations différentielles sont nécessaires. Les discrétisations explicites suivantes peuvent

être utilisées :

)1/())1()2(( 21221 tEattPtPP nU

nnn ∆+∆+∆−−∆−= −+ααααααα δδω . (2)

Cette dernière relation permet d’obtenir l’ordre deux en temps, mais en fait la méthode

retenue consiste à intégrer exactement ces équations en imposant le type de variation de la

composante du champ électrique EU (constante, linéaire ou sinusoïdale) sur le pas en temps

considéré.

Le processus du schéma numérique se résume donc comme suit. Connaissant les

valeurs de , les relations (1a) et (1b) permettent de calculer les valeurs de niEr

21

21

+

+

n

iHr

.

se calcule alors avec les nouvelles quantités et les relations (1c) et (1d). Les divers

termes de la polarisation s’obtiennent à partir des quantités , et en

utilisant les relations de type (2) ou leurs homologues. Les composantes de sont ensuite

déduites de la relation définissant en fonction de

1+niDr

1+niPα

niUE n

iPα1−n

iPα

1+niEr

1+niDr 1+n

iEr

, des et de la polarisation

quadratique :

1+niPα

).,( 11)2(111 +++++ Χ++= ∑∞n

in

ii

ni

ni

ni EEePED

rrrrrααε

10

ε∞ est le tenseur de permittivité obtenu à partir des termes ∞ε indépendants de la

fréquence, est le vecteur unitaire associé à l’axe du cristal pour lequel Pαer α est calculé et

est le tenseur d’ordre deux associé à la polarisation quadratique. )2(ΧComme les relations précédentes ne peuvent pas être résolues explicitement (même

dans le cas simple où la direction de propagation est l’axe optique (OZ) du cristal, il faudrait

résoudre une équation du cinquième degré) une méthode de Newton a été implantée. Elle

consiste à linéariser la polarisation quadratique autour d’une estimation de la solution qui est

au départ la solution à l’instant précédent ; la relation devient alors linéaire. Une nouvelle

estimation de la solution est ainsi obtenue en inversant non plus simplement la matrice ε∞ ,

comme dans le cas linéaire, mais la somme de cette matrice avec la matrice de linéarisation

. Ainsi Λik

EkiEPEEP kn

iNL

ikn

iNL

i

rrrrrrδδ Λ+=+ ++ )()( ,1,1 ,

et

∑∞Λ+

∞+++++++ ++−−+=

i

ni

kni

kni

NLi

ni

kni

kni ePEEPDk

iEE )))(((1( 1,1,11,11,1 ) ααεε rrrrrrrr

.

Plusieurs itérations de ce processus pourraient être effectuées mais l’expérience montre que

compte tenu des pas en temps utilisés une seule itération s’avère suffisante.

Le schéma ainsi obtenu permet de modéliser, sans aucune autre hypothèse que celles

faites sur la polarisation la création d’une onde harmonique à partir de la propagation de

l’onde fondamentale dans un cristal de KDP. Il est implémenté dans le code NIL qui offre en

outre la possibilité de tenir compte de la polarisation cubique du cristal. Cette option sera

étudiée ultérieurement.

IV La dispersion physique et la dispersion numérique

L’utilisation du code NIL [4] a fait apparaître une difficulté majeure : l’accord de phase

ne peut être obtenu en utilisant la valeur physique de l’angle θ. Un désaccord de phase, dû à

11

la discrétisation numérique, apparaît et fait décroître l’intensité de l’onde harmonique après

une épaisseur de cristal plus ou moins grande selon la finesse du maillage.

a la dispersion numérique

Afin d’évaluer la dispersion introduite par l’utilisation du schéma de Yee il faut

l’appliquer à une onde plane de fréquence donnée. Soit donc

)))21()

21(sin(.0

21

21

ziktnHHn

i∆+−∆−=

−

+ω ,

)sin(.0 tnzkiEEni ∆−∆= ω .

En appliquant la discrétisation (1a et1c) les équations de dispersion suivantes apparaissent :

0)))21(cos().

)2

sin(.

)2

sin(.( 000 =∆−∆+

∆

∆

−∆

∆

tnzikz

zkE

t

t

H ωω

µ ,

0))21()cos().

)2

sin(.

)2

sin(.)(( 00 =∆+−∆

∆

∆

−∆

∆

tnzkiz

zkH

t

t

E ωω

ωε .

Elles peuvent se résumer à :

0))

2sin(

())

2sin(

.()( 220 =

∆

∆

−∆

∆

z

zk

t

tωµωε .

Même si cette relation a bien pour limite la relation de dispersion physique lorsque ∆t et ∆z

tendent vers 0, elle ne lui est équivalente que si

0)().()( 220 =∆−∆ tzµωε ,

ce qui correspond à la limite de stabilité du schéma. Sinon le vecteur d’onde numérique est

toujours différent du vecteur d’onde physique.

Comme exemple d’application et afin d’illustrer la difficulté d’obtenir l’accord de

phase, un calcul simple montre que, pour l’angle d’accord de phase du KDP à 0,815 micron

avec un pas de temps de 8 10-18 seconde et une largeur de maille de 2,5 nanomètres, l’erreur

relative sur les permittivités est inférieure à 5 sur 100 000 pour l’onde à la fréquence

fondamentale et à 13 sur 100 000 pour l’onde harmonique. Néanmoins à partir d’une

épaisseur de 2,2 millimètres l’intensité de l’onde harmonique commence déjà à décroître !

12

Un autre exemple montre la précision de cette estimation théorique de l’erreur

numérique commise. Dans l’article [4] sont présentés des résultats obtenus avec le code NIL.

Lorsque l’angle θ vaut 60 degrés et est donc loin de l’accord de phase, le code a calculé des

longueurs de cohérence (deux fois l’épaisseur de cristal après laquelle l’intensité de l’onde

harmonique décroît) pour différents maillages et différents pas de temps. Les résultats sont

20,68 18,52 et 18,08 microns (pour une longueur de cohérence physique de 17,92 microns).

La relation de dispersion ci-dessus donne 20,75 18,55 et 18,07microns.

b le cas linéaire

Les exemples ci-dessus ont montré l’influence de la dispersion introduite par le schéma

numérique sur la propagation d’une onde monochromatique. Dans ce paragraphe est étudiée

la propagation d’une impulsion ultra-courte dans un milieu linéaire. Dans ce cas l’onde est

constituée de la superposition d’ondes monochromatiques qui vont se propager à des vitesses

différentes et la forme de l’impulsion va évoluer au cours du temps. Le problème étant

linéaire, il se résout facilement par une méthode de Fourier. La solution exacte est calculée

pour diverses valeurs de l’amplitude du vecteur d’onde, k(ω). Les options retenues sont, k0(ω)

étant l’amplitude du vecteur d’onde en fonction de la fréquence pour une onde ordinaire se

propageant dans le KDP,

1. k(ω) vaut k0(ω),

2. k(ω) vaut δω

ωδωωω )()()( 00

kk −+ ,

3. k(ω) vaut 20

220

0 )()()(

21)()()(

δωωδωω

δωωδωωω kkk −+−+ ,

4. k(ω) vaut 30

33

20

220

0 )()(

6)(

)()(

2)()()()(

δωωδωω

δωωδωω

δωωδωωω kkkk −

+−

+−+ ,

5. k(ω) vaut k0(ω)

6. k(ω) vérifie 0))(

)2

)(sin(()

)2

sin(( 2

0

2 =∆

∆

−∆

∆

zk

zk

t

t

ω

ω

ω

ω.

13

Le cas 1 correspond à la solution sans dispersion. Les cas 2,3,4,correspondent aux solutions

de l’équation d’enveloppe lorsque la dispersion s’arrête respectivement à la vitesse de groupe,

à la dispersion de la vitesse de groupe ou à la prise en compte de l’ordre trois. Le cas 5 est la

solution exacte et le cas 6 correspond à l’introduction de la dispersion théoriquement produite

par le calcul numérique.

Deux cas de calculs ont été comparés aux résultats théoriques (excepté celui

correspondant à l’option 1 sans dispersion, qui, ayant une vitesse de groupe différente de

celles des autres options, ne peut pas vraiment leur être comparé). Il s’agit de deux ondes

planes de profil temporel gaussien et de fréquence ω. Dans le premier cas le paramètre de la

gaussienne vaut dix femtosecondes et l’onde a traversé une épaisseur de matériau égale à 100

microns. A part quelques différences sur la fréquence instantanée (i. e. la dérivée temporelle

de la phase à un facteur 2π près) à chaque extrémité de l’onde les différences sont peu

notables. L’épaisseur du cristal n’est pas suffisante pour les faire apparaître. Si le calcul est

fait avec le code NIL, les résultats correspondent bien aux calculs théoriques du cas 6 avec

quelques oscillations dues au bruit du calcul numérique et à la troncature de l’onde. Les

résultats sont présentés sur la figure 1 pour un calcul du code Nil utilisant des mailles de 5

nanomètres et un pas en temps de 16.10-18 seconde. Dans ce cas, comme pour tous les autres

calculs, la fréquence de l’onde incidente correspond à une longueur d’onde de 815

nanomètres.

Dans le second cas le paramètre de la gaussienne vaut 3 femtosecondes. Les différences

sont alors plus visibles. Ceci s’explique puisque la bande de fréquences intervenant est plus

large et que l’épaisseur est alors suffisante pour bien faire apparaître les phénomènes de

dispersion. Les résultats montrent que l’ordre trois est nécessaire pour modéliser la dispersion

et qu’aux extrémités de l’impulsion la dérive en fréquence n’est bien rendue que par la

résolution des équations de Maxwell. L’épaisseur du matériau n’est pas suffisante pour que

l’erreur sur l’indice du matériau introduite par la discrétisation perturbe l’effet de la

dispersion. Les résultats du code Nil et de la prévision théorique se superposent encore une

fois. La figure 2 montre les résultats obtenus ; les mailles utilisées dans ce cas ont 2,5

nanomètres pour un pas en temps de 8.10-18 seconde.

c le cas non-linéaire

14

Afin de voir si les différences sur la dispersion entre les deux modélisations jouent un

rôle lorsque les effets non-linéaires sont présents, les deux calculs précédents ont été repris en

réintroduisant la polarisation quadratique. Maintenant des différences sur la fréquence

instantanée du signal harmonique apparaissent dans les deux cas de calcul. Et ces différences

existent en fait quelle que soit l’épaisseur du cristal traversé ; la figure 3 correspond ainsi à

une onde de 10 femtosecondes ayant traversé un cristal de 50 micromètres. La figure 4

présente les résultats obtenus pour une onde de 3 femtosecondes ayant traversé un cristal de

1000 micromètres. L’ensemble des cas de calculs passés montre que l’écart entre les deux

modélisations, Maxwell ou Schrödinger non-linéaire, est indépendant de l’intensité de l’onde

fondamentale ou de l’épaisseur du cristal mais est inversement proportionnel au carré du

paramètre de la gaussienne. Ainsi pour des valeurs du paramètre de la gaussienne de 3, 5, 10

et 50 femtosecondes l’écart sur la dérivée temporelle de la phase vaut respectivement

4,6.1013, 1,7.1013, 4,1.1012 et 1,5.1011 ce qui correspond à des écarts de 3,9 1,5 0,36 et 0,013

nanomètres sur la longueur d’onde. L’utilisation de maillages plus fins ou de pas en temps

plus petits ne modifie pratiquement pas cet écart.

V La génération de la deuxième harmonique pour des impulsions ultra-courtes

Dans ce chapitre la génération de la deuxième harmonique est étudiée de façon un peu

plus approfondie afin de faire apparaître les raisons des différences observées au chapitre

précédent entre les résultats obtenus en résolvant les équations de Maxwell de ceux obtenus

en résolvant les équations de Schrödinger non-linéaires.

a la solution pour de très faibles intensités

Il est utile afin de valider des schémas ou des codes numériques d’avoir une solution

analytique qui puisse servir de référence. Dans le cas des équations de Maxwell non-linéaires

de telles solutions sont peu nombreuses. Néanmoins il est possible de trouver une telle

solution dans le cas de la génération de la deuxième harmonique, moyennant quelques

hypothèses restrictives. En effet si le milieu considéré est non dispersif et si l’intensité de

l’onde incidente est suffisamment faible pour que les effets non-linéaires ne modifient que de

15

façon négligeable la propagation de cette onde dans le cristal, il est possible de calculer

précisément, pour une configuration de type I, l’onde harmonique créée.

Par hypothèse, le champ Ey est connu en tout point et à tout instant. Pour une impulsion

gaussienne, par exemple, il vaut :

).0

12(,))1(sin()2

2)1(

exp(0),(yy

ycyczttyc

ztt

EtzyEεµ

ωτ

=−−

−−

−=

Et il faut résoudre les équations pour Ex, Ez et Hy. La valeur de Ez est déterminée par la nullité

de la composante Dz du champ de déplacement électrique :

Ez = -εε

zz

zx Ex-εξ

zz

zyy Ey

2.

Comme de plus,

Dx = ε xx Ex+ε xz Ez+ξ xyy Ey2,

Les équations à résoudre sont en fait :

.2

0 tE

zH

tE

etz

Et

H yxyy

ZZ

xxyxxx

xy

δδ

ξεε

δδ

δδ

εδ

δδ

δµ +−=−=

Soit après élimination de Hy :

.)()(

1)( 2

22

2

2

02

2

tE

zE

tE y

xyyZZ

xxxxxx δ

δξ

εε

δδ

µδδε −=−

En effectuant le changement de variables :

),1(,,,0

2

xxx

xxy

cczt

czt

czt

εµψϕθ =+=−=−=

l’équation à résoudre devient :

,)(

)(.

),(4 2

222

δθθδ

ξεε

δψδϕψϕδ

ε yxyy

ZZ

xxxxx

EE−=

dont la solution est :

),()()()1(4

),( 2 ψϕθααε

ξψϕ hgEE y

ZZ

xyyx ++

−−=

pour α tel que θ=αψ+(1−α)φ, soit :

16

.)1(21

y

x

cc

−=α

Hy est alors donné par :

.)()()()1(4

),(00

2

0 xxy

yZZ

xyyy c

hc

gEc

Hµ

ψµ

ϕθµααε

ξψϕ −+

−−=

Pour un cristal d’épaisseur L les conditions aux limites (pas d’ondes entrantes dans la

polarisation considérée) sont

Ex+Zx.Hy=0 pour z=0, et Ex-Zx.Hy=0 pour z=L, avec Zx=xxε

µ0 .

La solution est par suite donnée par

].1

)()()()([

4),(

2222

ααεξ

−

−−

+−−+

−−−−= yx

yy

yx

yy

y

ZZ

xyyx

cL

cLztE

cztE

cztE

cztE

tzE

Lorsque le cristal est isotrope et qu’il y a accord de phase (soit cx=cy et α vaut 0), la

solution s’obtient par un raisonnement similaire ou par passage à la limite dans l’égalité

précédente :

)].2()()(

2[4

),( 22

2

xy

xy

xy

xZZ

xyyx c

LztEcztE

tcztE

cztzE −

+−−+−

−=δ

δ

εξ

Au point d’abscisse z=L ces formules se simplifient pour donner le champ qui sort

effectivement du cristal :

,,)()(

4),(

22

bienoucLtE

cLtE

tLE xy

yy

ZZ

xyyx αε

ξ−−−

−=

.)(

24

),(

2

tcLtE

cLtLE x

y

xZZ

xyyx δ

δ

εξ

−−=

Si Ax et Ay sont les enveloppes réelles (c’est à dire les amplitudes des enveloppes

convexes, la phase de l’onde fondamentale étant indépendante du temps) des deux champs

considérés, respectivement en z=0 et en z=L, les égalités précédentes conduisent aux relations

suivantes :

17

,)()())(sin4))()((

8)(

222222

α

ωω

εξ x

yy

yxyx

yy

y

ZZ

xyyx

cLtA

cLtA

cL

cL

cLtA

cLtA

tA−−−+−−−

=

.)(4))(

(4

)( 422

2

xy

xy

xZZ

xyyx c

LtAt

cLtA

cLtAbienou −+

−= ω

δ

δ

εξ

Ce résultat montre que la variation en temps de l’enveloppe de l’onde fondamentale

intervient pour déterminer le champ créé à la fréquence double alors que pour les équations de

Schrödinger non-linéaires seul le carré de l’enveloppe détermine l’impulsion obtenue.

La dérivée temporelle, ωx(t), de la phase de l’onde harmonique est, elle, donnée par :

,)2sin(sin)()(4))()((

)()()(

)(2)(

222222

222

2

δδϕθϕθ

θϕϕ

θθ

ϕωω

LyLyLyLy

LyLyLy

Ly

x AAAA

Ad

dAd

dAA

t+−

−+=

,))(4)

)((

)()(

)()

)((

1(2)(422

2

22

222

2

LyLy

LyLyLy

x

Ad

dA

AdAd

ddA

tbienouϕω

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ωω+

−+=

.)()(,,xy

LLx

Ly

L cL

cL

cLt

cLtavec −=−=−=−= ωθϕωδϕθ

Ceci prouve en particulier que même si le milieu n’est pas dispersif, la génération de la

deuxième harmonique introduit une dérive en fréquence due aux variations de l’enveloppe de

l’onde fondamentale. Lorsqu’il y a accord de phase cette dérive est indépendante de

l’épaisseur du cristal, à une translation temporelle près. Dans le cas d’une impulsion

gaussienne de paramètre τc, elle est égale à :

))(1(

12

22

c

Lc ωτ

θωτ +,

et est, au premier ordre, inversement proportionnelle à τc2 comme l’écart trouvé à partir des

résultats numériques au chapitre précédent.

b les résultats numériques

18

Ces solutions ont permis de valider l’approche par résolution des équations de Maxwell

en montrant que pour les impulsions ultra-courtes cette approche était préférable à la

résolution des équations de Schrödinger non-linéaires.

Le premier cas de calcul correspond à une impulsion de 3 femtosecondes ayant traversé

10 micromètres du cristal sans dispersion, mais avec l’accord de phase, étudié au V.a.

L’indice pour l’onde fondamentale et l’onde harmonique est égal à 2,25. La figure 5 montre

que les amplitudes du champ électrique correspondant à l’onde harmonique se superposent

parfaitement pour les deux maillages retenus. Par contre, si pour des mailles de 0,625

nanomètre et des pas de temps de 2.10-18 seconde la dérivée temporelle de la phase de la

solution obtenue correspond bien à la solution théorique, pour des mailles et des pas de temps

quatre fois plus grands un léger décalage apparaît. Les oscillations de la dérivée temporelle de

la phase sont essentiellement dues au fait que l’onde fondamentale est tronquée et n’est

introduite que 15 femtosecondes avant son maximum.

Le deuxième cas de calcul, dont les résultats sont reportés sur la figure 6, correspond

encore à une impulsion de 3 femtosecondes ayant traversé 10 micromètres du cristal sans

dispersion, mais sans accord de phase. L’indice dans la direction extraordinaire vaut

maintenant 2,1 ce qui correspond à un indice de 2,174 pour l’onde harmonique. La figure 6

qui représente les résultats obtenus permet de faire les mêmes constatations que dans le cas

précédent excepté qu’ici une légère différence apparaît pour les amplitudes.

Ces deux dernières figures permettent de vérifier que les différences constatées entre le

code NIL et les solutions obtenues à l’aide des équations de Schrödinger non-linéaires sont

essentiellement dues à la dérive en fréquence engendrée par la forme de l’impulsion, calculée

au V.a et représentée sur la figure 5. Sur cette figure, en effet, la dérivée temporelle de la

phase pour la solution des équations de Schrödinger non-linéaires qui est toujours égale à 2ω,

correspondrait à la droite d’ordonnée 0.

Sur la figure 7 sont reportés les résultats de la figure 6 pour le maillage fin et pour la

solution théorique ainsi que la solution des équations de Schrödinger non-linéaires. Une

courbe supplémentaire est introduite qui correspond à la dérivée temporelle de la phase du cas

Schrödinger non-linéaire corrigée de l’erreur constatée sur le cas avec accord de phase de la

figure 5. Cette dernière courbe coïncide presque avec la solution théorique. Ce qui prouve que

l’erreur commise provient bien essentiellement des variations temporelles de l’enveloppe de

19

l’onde fondamentale qui, comme le montre les formules du V.a, génèrent la dérive en

fréquence du cas avec accord de phase.

Le dernier cas étudié s’intéresse à nouveau au cristal de KDP et considère le signal

harmonique obtenu après qu’une onde de 10 femtosecondes a traversé 50 micromètres de ce

cristal. La figure 8 montre les résultats obtenus. Par rapport au cas de la figure 3 la courbe

supplémentaire représente la dérivée temporelle de la phase du cas Schrödinger non-linéaire

corrigée de l’erreur constatée précédemment. En outre l’intensité de l’onde fondamentale ne

vaut plus maintenant que 105V/m ce qui explique que les oscillations causées par les

harmoniques d’ordre supérieur ont disparu.

VI Conclusion

En conclusion des comparaisons entre les résultats du code NIL qui résout les équations

de Maxwell et les solutions des équations de Schrödinger non-linéaires il est clair que le gros

inconvénient du code NIL est qu’il doit calculer les indices optiques des matériaux qu’il

considère et que dans ce calcul il ajoute une dispersion numérique à la dispersion physique.

Par contre cette dispersion numérique peut être évaluée avec une bonne précision. La

méthode numérique doit donc pouvoir être modifiée pour tenir compte de cette erreur et en

atténuer les effets. D’un autre côté le code NIL permet non seulement de tenir compte de

toutes les fréquences qui peuvent apparaître dans le processus mais encore intègre

complètement la dispersion temporelle de la permittivité et permet de faire apparaître la

dérive en fréquence générée par la variation en temps du signal. Ces résultats complètent ceux

déjà obtenus pour d’autres effets non-linéaires tels que l’autofocalisation [6] ou la

propagation de solitons [7,8].

Pour toutes ces raisons le code NIL est un code qui apporte un plus appréciable par

rapport aux codes calculant les solutions des équations de Schrödinger non-linéaires. Certes il

ne permet pas de calculer des propagations à travers de grandes épaisseurs mais il autorise

une étude locale fine de la dispersion. En particulier il devrait permettre d’étudier l’influence

de la dispersion des susceptibilités non-linéaires, χ(2) ou χ(3).

20

Description des figures

Figure 1 : Cas d’un milieu linéaire de 100 micromètres pour une onde incidente d’amplitude

105 V/m et de durée 10 fs. Amplitudes (échelle de droite) et dérivées temporelles

(échelle de gauche pour laquelle 0 représente la vitesse de phase de l’onde

incidente) des phases obtenues pour les différents modèles considérés.

Figure 2 : Idem figure 1 mais pour une impulsion d’une durée de 3 femtosecondes.

Figure 3 : Amplitude et dérivée temporelle de la phase pour le signal de fréquence double

obtenue après la traversée d’un cristal de KDP d’épaisseur 50 micromètres par

une impulsion d’amplitude 7,5 108 V/m et de durée 10 femtosecondes. Le zéro

de l’échelle de gauche correspond à la fréquence double de celle du signal

incident. Les résultats du code NIL sont comparés à ceux obtenus en résolvant

les équations de Schrödinger non-linéaires avec dispersion d’ordre 3.

Figure 4 : Idem figure 3 mais pour une impulsion d’une durée de 3 femtosecondes traversant

un cristal d’une épaisseur de 100 micromètres.

Figure 5 : Amplitude et dérivée temporelle de la phase pour le signal de fréquence double

obtenue après la traversée d’un matériau non dispersif d’épaisseur 10

micromètres par une impulsion d’amplitude 105 V/m et de durée 3

femtosecondes. Le zéro de l’échelle de gauche correspond à la fréquence double

de celle du signal incident. Les résultats du code NIL obtenus pour deux

maillages différents (mailles de 2,5 ou 0,625 nanomètres) sont comparés à la

solution théorique dans le cas de l’accord de phase entre l’onde harmonique et

l’onde fondamentale.

Figure 6 : Idem figure 5 mais dans le cas d’un désaccord de phase (angle de 44,375 degrés

pour des susceptibilités ordinaire de 2,25 et extraordinaire de 2,1).

21

Figure 7 : Idem figure 6 avec en plus la courbe correspondant à la phase de la solution des

équations de Schrödinger non-linéaires corrigée de l’erreur constatée sur la

figure 5.

Figure 8 : Amplitude et dérivée temporelle de la phase pour le signal de fréquence double

obtenue après la traversée d’un cristal de KDP d’épaisseur 50 micromètres par

une impulsion d’amplitude 105 V/m et de durée 10 femtosecondes. Le zéro de

l’échelle de gauche correspond à la fréquence double de celle du signal incident.

Les résultats du code NIL sont comparés à ceux obtenus en résolvant les

équations de Schrödinger non-linéaires avec dispersion d’ordre 3, bruts ou

modifiés pour tenir compte de l’erreur commise en négligeant la variation en

temps des enveloppes.

22

Figure 1

23

Figure 2

24

Figure 3

25

Figure 4

26

Figure 5

27

Figure 6

28

Figure 7

29

Figure 8

30

Annexe 1 : Les polarisations linéaire et quadratique pour un cristal de KDP.

Le cristal de KDP est un cristal uniaxe non centro-symétrique et donc anisotrope qui

permet de convertir un signal de fréquence donné en un signal à fréquence double. Le groupe

d’isométries laissant stable le KDP est le groupe 42 m (noté également D2d). Il est engendré

par les deux demi-tours autour des axes orthogonaux à l’axe principal du cristal et par une des

symétries planes qui échangent ces deux axes. Il a donc huit éléments : l’identité, les trois

demi-tours par rapport aux trois axes du cristal, les deux symétries par rapport aux plans

médiateurs des deux axes orthogonaux à l’axe principal et deux isométries gauches produits

d’une des symétries par un des demi-tours dont l’axe n’est pas l’axe principal. Il n’y a donc

pas l’homothétie de rapport –1 qui correspondrait à un centre de symétrie. Ceci détermine les

propriétés de la polarisation qu’elle soit linéaire ou quadratique.

a La polarisation linéaire

Etant donné les propriétés du cristal, le tenseur définissant la polarisation linéaire est

diagonal dans le repère du cristal et les deux permittivités correspondant aux deux axes

orthogonaux (OX et OY) à l’axe principal (OZ) sont égales. Toute onde dont la polarité est

dans le plan (XOY) est appelée onde ordinaire. Les autres sont dites extraordinaires. Pour

toutes les directions de propagation autres que OZ il y a une polarisation ordinaire et une

polarisation extraordinaire. Pour une onde plane se propageant dans la direction rk (sinθ cosφ,

sinθ sinφ, cosθ) et si (cosθ cosφ, cosθ sinφ, −sinθ) et ri

rj (-sinφ, cosφ, 0) sont les deux

vecteurs de base pour la polarisation de l’onde, dans le nouveau repère Rt( , , ) le vecteur

polarisation a pour composantes :

rirjrk

P(1)u = Σεuv Ev ,

avec

εxx = εXX (cosθ)2 + εZZ (sinθ)2 ,

εxy = 0 ,

εxz= (εXX - ε ZZ) sinθ cosθ,

εyx = 0 ,

εyy = εYY,

εyz = 0 ,

31

εzx= (εXX - ε ZZ) sinθ cosθ,

εzy = 0 ,

εzz = εXX (sinθ)2 + εZZ (cosθ)2 .

Ces égalités tiennent compte du fait que εXX = εYY.

Si pour une onde polarisée suivant rj (onde ordinaire) l’indice n du milieu est bien

donné par :

n2 = εyy = εYY,

il n’en est pas de même pour une onde polarisée suivant ri (onde extraordinaire). Dans ce cas

en effet

Dz = εzx Ex + εzz Ez = 0,

Ce qui conduit à la relation suivante entre Dx et Ex :

Dx = εxx Ex + εxz Ez = (εxx - xz zx

zz

ε εε

) Ex,

L’indice du milieu pour une onde extraordinaire se propageant dans la direction est donc

donné par :

rk

n2 = ε ε εε θ ε θxx

XX ZZ

XX ZZ=

+(sin ) (cos )2 2 .

Lors de la génération de la deuxième harmonique de type I, l’angle θ est choisi de façon à

obtenir le même indice pour l’onde fondamentale et pour l’onde harmonique. C’est l’angle

d’accord de phase qui permet que l’onde fondamentale engendre en tout point un signal à

fréquence double qui est en phase avec ceux émis précédemment et qui arrivent en ce point.

Ceci est toujours possible dès lors que l’indice ordinaire à la fréquence fondamentale est

compris entre les indices ordinaire et extraordinaire à la fréquence double.

La dispersion des permittivités est donnée par [9] :

ε εω ωXX YY= = +

−×

+−

×

1479715 0 779560561

10 27452372 10

1300522

108882644 10

2

33

2

28

. .

..

.

..

,

et

εω ωZZ = +

−×

+−

×

142934875 0 703319254

10 28931235 10

32279924

108882644 10

2

33

2

28

. .

..

.

..

,

Ainsi pour la fréquence correspondant à une longueur d’onde de 0,815 microns l’angle

d’accord de phase vaut 44,375 degrés.

b La polarisation quadratique

32

Pour des impulsions laser l’intensité du champ électrique est si forte qu’il n’est plus

possible de considérer que la polarisation est directement proportionnelle au champ

électrique. Pour se rapprocher de la réalité la polarisation est développée par rapport aux

composantes du champ électrique en une série de Taylor dont on ne conserve que les premiers

termes. Le premier terme correctif à considérer est donc le terme quadratique P(2) :

P(2)U = χUVWEVEW .

Cette définition implique :

χUVW = χUWV.

L’action des demi-tours qui changent le signe de deux des composantes de chaque champ en

conservant les relations montre que les χUVW sont tous nuls sauf si les indices U, V et W sont

tous différents. L’action d’une des symétries prouve en outre que χXYZ et χYXZ sont égaux.

Par suite :

P(2)X = 2.χXYZ EY EZ ,

P(2)Y = 2.χXYZ EX EZ ,

P(2)Z = 2.χZXY EX EY ,

dans le repère du cristal.

Si de plus les conditions de symétrie de Kleinman sont vérifiées, le tenseur de polarisation

quadratique est complètement symétrique et ne dépend plus que d’un paramètre :

χXYZ = χZXY.

Dans ces conditions la polarisation non-linéaire dérive d’un potentiel et il est possible

d’exprimer une énergie non-linéaire intrinsèque (dont la dérivée temporelle est E Ptiiδ

δ

2

∑ ) qui

est proportionnelle à ce potentiel. Cette énergie non-linéaire vaut 4. χXYZ EX EY EZ. Cette

formule permet de contrôler à tout instant la conservation de l’énergie par un schéma

numérique.

Avec le changement de repère considéré pour la polarisation linéaire ces relations

deviennent :

P(2)u = Σξuvw Ev Ew ,

les coefficients du tenseur étant définis par :

ξxxx = −(4 χXYZ + 2 χZXY) sinθ (cosθ)2 sinφ cosφ,

ξxxy = −( χXYZ + χZXY) sinθ cosθ ((cosφ)2 - (sinφ)2) ,

33

ξxxz = (2 χXYZ (cosθ)3 - 2 (χXYZ + χZXY) (sinθ)2cosθ) sinφ cosφ,

ξxyy = 2χZXY sinθ sinφ cosφ,

ξxyz = ( χXYZ (cosθ)2 - χZXY (sinθ)2) ((cosφ)2 - (sinφ)2) ,

ξxzz = (4 χXYZ sinθ (cosθ)2 - 2 χZXY (sinθ)3) sinφ cosφ,

ξyxx = −2 χXYZ sinθ cosθ ((cosφ)2 - (sinφ)2) ,

ξyxy = 2χXYZ sinθ sinφ cosφ,

ξyxz = χXYZ ( (cosθ)2 - (sinθ)2) ((cosφ)2 - (sinφ)2) ,

ξyyy = 0,

ξyyz = −2χXYZ cosθ sinφ cosφ,

ξyzz = 2 χXYZ sinθ cosθ ((cosφ)2 - (sinφ)2) ,

ξzxx = −(4 χXYZ (sinθ)2 cosθ - 2 χZXY (cosθ)3) sinφ cosφ,

ξzxy = ( χZXY (cosθ)2 - χXYZ (sinθ)2) ((cosφ)2 - (sinφ)2) ,

ξzxz = (2 (χXYZ + χZXY) sinθ (cosθ)2 - 2 χXYZ (sinθ)3) sinφ cosφ,

ξzyy = −2χZXY cosθ sinφ cosφ,

ξzyz = ( χXYZ + χZXY) sinθ cosθ ((cosφ)2 - (sinφ)2) ,

ξzzz = (4 χXYZ + 2 χZXY) (sinθ)2 cosθ sinφ cosφ.

Dans la configuration de type I les termes principaux de la polarisation quadratique

correspondent aux coefficients ξxyy et ξyxy. Ces coefficients sont maximaux lorsque l’angle f

est égal à 45 degrés ce qui annule un grand nombre des autres coefficients.

34

Annexe 2: Le calcul de l’amplitude et de la phase pour le domaine temporel.

En travaillant dans le domaine temporel la notion d’enveloppe convexe avec son

amplitude et sa phase perd son sens. Mais pour permettre les comparaisons et être compris par

les théoriciens et les expérimentateurs qui manipulent ces notions, il était nécessaire de

pouvoir exhiber l’amplitude et la phase des champs obtenus par les codes numériques

résolvant les équations de Maxwell.

En fait le calcul de l’enveloppe convexe revient à calculer deux solutions

simultanément :la partie réelle et la partie imaginaire sont, toutes les deux, solutions des

équations de Maxwell . C’est pourquoi les tentatives pour retrouver l’amplitude et la phase à

partir d’un seul signal sont difficiles à justifier et génèrent un bruit qui nuit à la qualité des

résultats.

Dans le cas de la propagation d’un signal donné, le plus simple est donc de faire deux

calculs, l’un avec une onde en sinus et l’autre avec une onde en cosinus. L’amplitude et la

phase s’obtiennent en utilisant les résultats des deux calculs. L’un est considéré comme la

partie réelle et l’autre comme la partie imaginaire. Si les effets non-linéaires sont un peu trop

importants les résultats en tiennent compte automatiquement et ne peuvent plus être comparés

à ceux obtenus par des méthodes qui fournissent directement l’amplitude et la phase à une

fréquence donnée.

Pour les calculs sur la génération de la deuxième harmonique cette méthode fonctionne

bien pour obtenir l’amplitude et la phase de l’onde fondamentale. Par contre pour l’onde

harmonique les deux signaux obtenus sont pratiquement égaux en valeur absolue mais de

signes opposés ce qui correspondrait à une phase constamment égale à 4

54

ππ ou− . En fait le

décalage de phase de 2π

sur les ondes fondamentales entraîne (pour simplifier) un décalage

de phase de π sur les ondes harmoniques. Il n’est donc pas possible de calculer l’amplitude

et la phase comme pour l’onde fondamentale. Pour pallier cet inconvénient un troisième

calcul s’avère nécessaire. Ce troisième calcul correspond à une onde fondamentale dont la

phase est constamment égale à 4π

(somme du sinus et du cosinus à un facteur près).

L’équivalent de l’onde harmonique en sinus est fourni par la moitié de la différence entre les

35

deux premiers calculs et l’équivalent de l’onde en cosinus est fourni par le résultat du

troisième calcul moins la demi somme des deux premiers. En fait deux calculs sont a priori

suffisants mais cette méthode permet de supprimer la fréquence nulle qui pourrait nuire à la

qualité des résultats. Ce dernier point se vérifie facilement en utilisant le mode de calcul

décrit ci-dessus pour obtenir l’amplitude et la phase des résultats théoriques présentés au

chapitre V.

C’est cette méthode qui a permis de bien comparer les résultats théoriques , ceux

obtenus en résolvant les équations de Schrödinger et ceux obtenus en résolvant les équations

de Maxwell.

36

Références

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[2] R. Luebbers, F. P. Hunsberger, K. S. Kunz, R. B. Standler, and M. Schneider, « A

frequency-dependent finite-difference time-domain formulation for dispersive materials », IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 32, pp. 222-227, Aug. 1990.

[3] R. M. Joseph, S. C. Hagness, and A. Taflove, « Direct time integration of Maxwell’s

equations in linear dispersive media with absorption for scattering and propagation of femtosecond electromagnetic pulses », Opt. Lett., vol. 16, pp. 1412-1414, Sept. 1991.

[4] A. Bourgeade, E. Freysz, « Computational modeling of second harmonic generation by

solving full-wave vector Maxwell equations », J. Opt. Soc. Amer. B, vol. 17, n° 2, pp. 226-234, Feb. 2000.

[5] N. C. Kothari, X. Carlotti, « Transient second-harmonic generation: influence of

effective group-velocity dispersion », J. Opt. Soc. Amer. B, vol. 5, n° 4, pp. 756-764, April 1988.

[6] R.W. Ziolkowski and J. B. Judkins, « Full-wave vector Maxwell equations modeling of

self-focusing of ultra-short optical pulses in a nonlinear Kerr medium exhibiting a finite response time », J. Opt. Soc. Amer. B, vol. 10, pp. 186-198, Feb. 1993.

[7] C. V. Hile, W. L. Kath, « Numerical solutions of Maxwell’s equations for nonlinear-

optical pulse propagation », J. Opt. Soc. Amer. B, vol. 13, n° 6, pp. 1135-1145, June 1996.

[8] R. M. Joseph and A. Taflove, « FDTD Maxwell’s Equations Models for Nonlinear

Electrodynamics and Optics », IEEE Trans. Antennas Propagat.,vol. 45, n° 3, pp. 364-374, March 1997.

[9] V. G. Dmitriev, G. G. Gurzadyan, and D. N. Nikogosyan, Handbook of Nonlinear

Optical Crystals (Springer Verlag, Heidelberg 1997) .