ESTATICA DOS PONTOS MATERIAIS

MECÂNICA GERAL PARA

ENGENHEIROS

Profª: Acilayne Freitas de Aquino

Capítulo 2

Forças no Plano sobre uma partícula

C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Vetores– são entes matemáticos que possuem

intensidade, direção e sentido.

Vetores Iguais

São vetores de mesma intensidade, direção e

sentido, quer tenham ou não o mesmo ponto de

aplicação. Podem ser identificados pela mesma letra

Profª: Acilayne Freitas

Noções de Vetores

P

P


C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Vetor Oposto

É definido como sendo um vetor que tem a

mesma intensidade, direção e sentido

oposto ao de P

P= -P


Noções de Vetores

P

-P


C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Adição de Vetores


Noções de Vetores


C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Subtração de Vetores


Noções de Vetores


C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Adição de três ou mais vetores

Regra do triângulo


Noções de Vetores


C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Produto de um escalar por um Vetor


Noções de Vetores

– Produto de um escalar k (positivo ou negativo) por um vetor P =kP – Tem a mesma direção; – Tem o mesmo sentido, se k for positivo; – Tem sentido oposto se k for negativo; – A intensidade é igual ao produto da intensidade de P pelo valor k

-2P

P

1,5P


C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Resultante de duas forças sobre uma partícula

Geometricamente a resultante de duas forças sobre uma partícula, assim como visto desde o ensino médio, poderá ser determinada a partir dos métodos do paralelogramo e do polígono.



C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Determinação do módulo da Resultante de duas

forças sobre uma partícula

A partir dos métodos anteriormente apresentados, podemos determinar o módulo da força resultante através das Leis do Senos e dos Cossenos.



C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Determinação do módulo da Resultante de duas

forças sobre uma partícula

Lei dos Senos

senA

a

senB

bsenBasenAbh

senC

c

senB

bsenBcsenCbh

2

1

De I e II concluímos: senC

c

senA

a

senB

b


C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Lei dos Cossenos

AcbbAAsenca

AcAcbbAsenca

AcbsenAcaHAbha

cos2)cos(

coscos2

)cos()()(

22222

222222

222222

Concluímos: Acbbca cos2222


C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Exercício resolvido 01 Determine o módulo da força resultante e sua direção medida no sentido horário a partir do eixo x positivo.

OBS: Nos casos de triângulos de força o módulo da força resultante pode ser determinado pela Lei dos cossenos e a direção pela Lei dos senos.

y

x

30º

10KN

4KN



C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Solução:



C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Exercício resolvido 02 Determine os módulos das componentes da força de 600N nas direções das barras AC e AB da treliça abaixo


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Exercício resolvido 03 A viga da figura é suspensa por meio de dois cabos. Se a força resultante é de 600N, direcionada ao longo do eixo y positivo, determine FA e FB e a direção θ de modo que FB seja mínimo. A força de módulo FA atua a um ângulo de 30º com o eixo y, conforme ilustração.


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Solução Para que FB seja mínima a componente deverá ser perpendicular a força FA (conforme a ilustração). Logo, θ=60º. Assim, os valores de FA e FB são facilmente encontrados pela lei dos senos

Resposta: FA=520N; FB= 300N


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Exercício resolvido 04 Uma barcaça é puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é de 5kN e tem a direção do eixo da barcaça, determine: a) a tração em cada corda, sabendo-se que α=45º b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Solução: Alternativa a:

5kN

5kN

KNT

KNT

sen

KN

sen

T

sen

T

59,2

66,3

105

5

3045

2

1

00

2

0

1


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Solução: Alternativa b:

5kN

Para que T2 seja mínimo, T1 e T2 devem ser ortogonais, isto é, devem formar um ângulo de 90º. Sen30º = T2 / 5 T2 = 5 sen30º T2 = 2,5 kN Cos30º = T1 / 5 T1 = 5 cos30º T1 = 4,33 kN α = 90º – 30º = 60º

2

1

1

2 2

2

2

2

2

2 2

5kN


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Exercício proposto 01 Determine trigonometricamente a intensidade e direção da força P de tal modo que a resultante de P e da força de 900N seja vertical de 2700N dirigida para baixo.

Resposta: P=2990N; ângulo=17,24º


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Resposta: R=92,7N

Exercício proposto 02 As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar a sua resultante.


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Exercício proposto 03 Duas peças estruturais B e C são rebitadas ao suporte A. Sabendo-se que a tração na peça B é de 6KN e que a tração na peça C é de 10KN, determine graficamente a intensidade, a direção e o sentido da força resultante exercida sobre o suporte.

Resposta: FR=14,3KN; ângulo=20,10º


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Exercício proposto 04 Uma estaca é arrancada do solo com o auxílio de duas cordas, como na figura abaixo. a) Com α=30º e utilizando a trigonometria, determine o módulo

da força P necessária para que a resultante na estaca seja vertical.

b) Qual o módulo da resultante?

Resposta: P=101,43N; Fr=196,6N


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Na seção anterior, estudamos a determinação do módulo da força resultante pelo método do paralelogramo e o método do polígono. Estes métodos são pouco eficientes em casos que envolvem mais de duas forças. Nestes casos, determinaremos a força resultante a partir da soma das componentes ortogonais. Para entendermos como funciona esta soma vetorial, devemos rever o processo de decomposição

Resultante de forças pela soma das

componentes ortogonais


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Abaixo está ilustrado um vetor de módulo F com um ângulo θ em relação ao eixo horizontal x e suas componentes ortogonais obtidas por relações trigonométricas.




C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Resultante de duas forças pela soma das


Na figura abaixo demonstra a soma de três vetores e a sua resultante obtida a partir da soma das componentes ortogonais.


C

A

P

Í

T

U

L

O

2




Fy j

Fx i


C

A

P

Í

T

U

L

O

2




Exercício resolvido 01: Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. Determine as componentes horizontal e vertical da força F.


C

A

P

Í

T

U

L

O

2




Solução:

Fx = - F cosα = - 800.cos35º Fx = - 655 N Fy = + F senα = - 800.sen35º Fy = + 459 N Componentes vetoriais de F: Fx = - (655 N)i Fx = + (459 N)j F = - (655 N)i + (459 N)j


C

A

P

Í

T

U

L

O

2




Exercício resolvido 02: Determine o módulo da força resultante e sua direção medida no sentido horário a partir do eixo x positivo.


C

A

P

Í

T

U

L

O

2




Solução:


C

A

P

Í

T

U

L

O

2




Exercício resolvido 03: Quatro forças atuam no parafuso A. Determine a resultante das forças que agem no parafuso.


C

A

P

Í

T

U

L

O

2




Solução:


C

A

P

Í

T

U

L

O

2




Exercício proposto 01

Um homem puxa, com uma força de 300 N, uma corda fixada a uma construção. Quais as componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A?

Resposta: a=36,87º Fx = (240N)i ; Fy =(-180N)j


C

A

P

Í

T

U

L

O

2





A força F=(3,5kN)i + (7,5kN)j é aplicada a um parafuso A. Determine a intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal.

Fy =

7,5

kN

Fy = 3,5 kN

Resposta: =35º F = 8,28kN


C

A

P

Í

T

U

L

O

2





Uma força de 2,5 kN está aplicada a um cabo ligado a um suporte. Quais as componentes horizontal e vertical desta força?

Resposta: Fx = (-2,35KN)i ; Fy =(0,855KN)j


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Resultante de duas forças pela soma das



Resposta: Fx = (250N)i ; Fy =(-600N)j

A tração no cabo de sustentação AB é 650N. Determine as componentes horizontal e vertical da força atuante no pino A. Resposta: +250N, - 600N


C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Equilíbrio de uma partícula no plano



C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Diagrama de corpo Livre



C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Tem-se um caixote de 75kg que estava em 2 prédios e está agora sendo colocado sobre um caminhão. O caixote é suportado por um cabo vertical, unido no ponto A a duas cordas que passam por roldanas fixadas nos prédios em B e C. Deseja-se determinar a tração nas 2 cordas AB e AC

Exercício resolvido 01

Diagrama de corpo livre


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Condição de equilíbrio do ponto A Σ F = 0

0

0

y

x

F

F

CACAAC

BABAAB

CACAAC

BABAAB

TsenTTy

TsenTTy

TTTx

TTTx

50,0º30.

766,0º50.

866,0º30cos.

643,0º50cos.

NT

NT

TTTTF

TTTTF

AB

AC

ACACACABy

ACBAACABx

53,648

39,480

073650,0)35,1(766,0073650,0766,00

35,10866,0643,00


C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Determine os módulos F1 e F2 de modo que a partícula da figura fique em equilíbrio.

0

0

y

x

F

F

Condição de equilíbrio do ponto Σ F = 0


C

A

P

Í

T

U

L

O

2



C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Forças no espaço sobre uma partícula

C

A

P

Í

T

U

L

O

2

Forças no espaço sobre uma partícula

C

A

P

Í

T

U

L

O

2


Uma força de 500N forma ângulos de 60º, 45º e 120º, respectivamente com os eixos x, y e z. Determinar as componentes Fx, Fy e Fz da força.

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