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ESCUELA DE BACHILLERES
RICARDO FLORES MAGÓN
DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO COMBINATORIO
EN ESTUDIANTES DE LA ESCUELA PREPARATORIA RICARDO FLORES MAGÓN PRÓXIMOS A PARTICIPAR EN LA 30ª OLIMPIADA MEXICANA DE MATEMÁTICAS
EN LA CIUDAD DE XALAPA, VERACRUZ: 2016 – 2017
TESINAQUE PARA ACREDITAR EL CURSO DE
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
PRESENTA
AGUILAR RANGEL GERARDO
ASESOR(ES):
MTRA. TEJADA GARCÍA MARÍA DE LA FE
XALAPA, VERACRUZ JUNIO 2016
DEDICATORIA
A mis padres:
A mi hermana:
A Pedrito:
A colegas:
I
Por ser mis guías, mi gran
pilar en todo lo que soy, y por
apostar mucho al estudio.
Por todos esos momentos
que hemos vivido juntos y
por su ejemplo de vida.
Por hacerme olvidar de todo
trabajo y preocupación, por la
felicidad que provoca en mí, y
por verme como un ejemplo a
seguir.
A todos aquellos maestros,
amigos y compañeros con
quienes he tenido la oportunidad
de compartir la pasión por las
Matemáticas.
AGRADECIMIENTOS
A mis padres, con amor y cariño, por apoyarme en mi formación profesional, por su
enorme dedicación, confianza, comprensión y paciencia; por acompañarme en los
primeros pasos del largo camino que aún me falta por recorrer, y por enseñarme los
valores de perseverancia, responsabilidad y trabajo duro, ya que sin ello no hubiera
podido concluir la presente.
A mi hermana, con gran admiración, por enseñar a levantarme de los tropiezos en
la vida, por su preocupación, y por aclararme dudas respecto a este trabajo.
A mis familiares, por estar al pendiente en todo momento de mí y por apoyarme en
las decisiones que tomo.
A la Mtra. Rosa María Montoya Montes de Oca, por creer en mí y por
incursionarme hacia la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Al Mtro. José Luis Munzón Méndez, por sembrar en mí una mejor manera de
pensar, por su apoyo, y por ser un excelente maestro, ya que gracias a su asesoría
fue con quien por primera vez escuché el concepto de Combinatoria.
A todas aquellas instituciones, comités, maestros y personal en general que se
encargan de difundir la belleza de las Matemáticas, tal y como lo es la rama de la
Combinatoria; pues han sido mi primordial inspiración para elaborar esta tesina.
A la Mtra. María de la Fe Tejada García, por su disposición y esfuerzo por
responder a todas aquellas aclaraciones, así como correcciones que realizó a la
presente.
II
“De alguna manera, la
Matemática es la única actividad
humana infinita. Es concebible
que eventualmente la
humanidad conozca toda la
Biología o la Física. Pero
seguramente la humanidad
nunca podrá descubrir toda la
Matemática, porque el tema es
infinito. Los números mismos
son infinitos. Ésta es la causa
por qué la Matemática es
realmente mi único interés”.
– Paul Erdös
III
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 4
1.1. DELIMITACIÓN DEL TEMA 5
1.1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 5
1.2. JUSTIFICACIÓN 71.3. OBJETIVOS DEL PROYECTO 9
1.4. CASOS EJEMPLARES (ANTECEDENTES) 10
CAPÍTULO II: METODOLOGÍA 12
2.1. ENFOQUE METODOLÓGICO 13
2.2. MÉTODO 13
2.2.1. DISEÑO Y TIPO DE INVESTIGACIÓN 14
2.3. ALCANCE DE ESTUDIO 15
2.4. CORTE DE ESTUDIO 15
2.5. POBLACIÓN 15
2.6. MUESTRA 16
2.7. TIPO DE MUESTREO 17
2.8. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LEVANTAMIENTO DE
INFORMACIÓN 17
2.8.1. TÉCNICA E INSTRUMENTO 18
2.8.2. VALIDACIÓN DE INSTRUMENTO 19
2.8.3. TIEMPO Y ZONA GEOGRÁFICA 20
2.9. PROCEDIMIENTO PARA REPORTAR RESULTADOS 21
2.10. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS 21
2.11. RECURSOS 21
IV
2.11.1. MATERIALES 21
2.11.2. HUMANOS 22
2.12. COSTOS (RECURSOS FINANCIEROS) 22
2.13. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES 22
CAPÍTULO III: MARCO TEÓRICO 23
3.1. TÉCNICAS DE APRENDIZAJE 24
3.1.1. BÚSQUEDA DE INFORMACIÓN / ARGUMENTACIÓN 25
3.1.1.1. INTERÉS 25
3.1.1.2. JUSTIFICACIÓN 26
3.1.2. ANÁLISIS 26
3.1.2.1. RAZONAMIENTO 27
3.1.2.2. COMPRENSIÓN 27
3.1.2.3. PROCEDIMIENTO 28
3.1.3. INTERPRETACIÓN 28
3.1.3.1. TRADUCCIÓN 29
3.1.3.2. COMPARACIÓN 29
3.2. DESEMPEÑO ACADÉMICO 30
3.2.1. APTITUDES 30
3.2.1.1. DOMINIO DEL TEMA 31
3.2.1.2. PRÁCTICA 31
3.2.1.3. AUTODIDACTISMO 32
3.2.2. IDENTIFICACIÓN 32
3.2.2.1. PROBLEMAS Y DIFICULTADES 32
3.3. SISTEMA DE HIPÓTESIS 33
3.3.1. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN 33
3.3.2. HIPÓTESIS NULA 33
3.3.3. HIPÓTESIS ALTERNATIVA 34
3.4. CUADRO DE OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES 34
V
CAPÍTULO IV: RESULTADOS 39
3.1. TÉCNICAS DE APRENDIZAJE 24
BIBLIOGRAFÍA 27
ANEXOS
ANEXO A: INSTRUMENTO 29
VI
ÍNDICE DE TABLAS, FIGURAS Y GRÁFICOS
INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 4
1.1. DELIMITACIÓN DEL TEMA
VII
INTRODUCCIÓN
La Matemática Discreta es aquella parte del gran universo de las Matemáticas que
se encarga de estudiar los objetos discretos. Definir el concepto de lo discreto resulta
un tanto difícil sin entrar a formalidades, pero con ejemplos matemáticos se puede
llegar a dar una idea respecto a lo que se refiere, o bien, con el hecho de
contraponer el concepto de lo continuo resulta más fácil su entendimiento (Álvarez,
2008).
Por continuo se considera la idea de lo infinito, aquello que no puede ser numerable.
¿Alguna vez se han preguntado cuál es el número que sigue inmediatamente
después del cero? Si su respuesta es 1, ¿acaso no podría ser 0.1? o ¿por qué no
0.01 o 0.001? El concepto de continuo es la idea central de todo curso de Bases
Matemáticas, pero el enfoque de este trabajo concierne a lo discreto.
Lo discreto, a diferencia de lo continuo – que aborda el cálculo infinitesimal
cimentado en los números Reales –, se encarga del estudio de lo finito (conjuntos
numerables), o bien, de no ser finito, aborda el aspecto de los números Naturales u
objetos bien separados entre sí (Álvarez, 2008). Y he aquí el origen de esta
Investigación, la cual alude a uno de los principales tópicos matemáticos: La
Combinatoria.
La Combinatoria constituye uno de los focos tan importantes que se encarga de
estudiar la Matemática Discreta, y se encuentra estrechamente relacionada con la
Teoría de Gráficas o Grafos (siendo ésta su parte más antigua), la Probabilidad,
Teoría de Números y Álgebra; así como con la Geometría, Computación,
Investigación Operativa, Inteligencia Artificial, Topología, etc. (Roa, 2000). Autores
diversos opinan que la Matemática Discreta es la encargada de consolidar estas
primeras cuatro áreas, es más, afirman que van de la mano.
El umbral del Análisis Combinatorio se le atribuye a los trabajos realizados por
Pascal y Fermat (cada uno en su momento), que fundamentan el cálculo de
probabilidades. Poco más tarde, Leibniz publicaría “Disertatio de Arte Combinatoria”.
1
Pero el mayor impulsor de esta rama fue Bernoulli, quien en sus trabajos incluyó una
teoría que reúne principios de permutaciones y combinaciones (Tecnológico de
Monterrey, 2008).
Pero, ¿qué es Combinatoria? Combinatoria es la rama de las Matemáticas
encargada del estudio de conjuntos generalmente finitos (colecciones) de objetos
que cumplen con ciertas características, siendo que el interés primordial de la misma
recae en cuantificarlos (contarlos). Sin duda, expertos considerarán que esta
definición es pobre, pues incluir todos sus campos de aplicación resulta difícil.
Otra acepción es la siguiente, proporcionada por Ian Anderson: “La Combinatoria
trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden
organizarse de una determinada forma.” (1993, 249).
Pero no es para detenerse más en aportar una definición lo mejor completa posible,
pues lo importante es tener una noción del tema central en torno al que gira esta
tesina. Pero cabe hacer énfasis en que, detrás de una idea sencilla que concierne a
las definiciones de Combinatoria facilitadas en este texto, se encuentra un universo
que abarca la misma.
La importancia del estudio de la Combinatoria se fundamenta principalmente en las
siguientes dos preguntas: ¿Cuántos?, ¿de cuántas maneras…? Es decir, en la busca
de la cuantificación. Y esto es de gran valor no solo para áreas de las Matemáticas
como las que se han mencionado anteriormente, sino también por su invaluable
aplicación en ciencias físicas, sociales, diseño de computadoras, etc.
La necesidad de contar es imprescindible. Todos los días, en cualquier momento y
en cualquier lugar la gente cuenta, ya sean números, dinero, las diferentes formas de
acomodar libros en un estante o personas en una mesa, etc., ¿pero qué sucede
cuando se abordan cantidades grandes?, ¿cuándo la solución de un problema de
contar requiere de un análisis minucioso para llegar a la respuesta correcta?
Es normal que en Matemáticas nos encontremos con proposiciones y enunciados
que aparentemente esconden un argumento sencillo, pero cuya solución requiera de
creatividad, ingenio, y de conocimiento previo de la materia a estudiar (en
2
Combinatoria, esencialmente conceptos de orden, combinación, permutación y
repetición); así como de un razonamiento lógico y de un proceso muy cuidadoso.
También, igualmente en el contexto de Combinatoria, es básico tener siempre en
mente otros conceptos como naturaleza del (los) evento (s) (excluyentes, no
excluyentes, dependientes o independientes), si se hace uso del principio de
inclusión y exclusión de elementos (atendiendo aquí a Teoría de Conjuntos en
cuanto a unión e intersección de elementos), entre otros más (solo por mencionar los
elementales).
Los problemas de Combinatoria que se manejan en las Olimpiadas de Matemáticas
ofrecen un verdadero reto, pues su solución requiere de todo lo anteriormente
mencionado. Es por ello que con el presente trabajo se busca desarrollar el
Razonamiento Combinatorio en estudiantes de bachillerato, siendo un beneficio más,
el de su destacado desenvolvimiento en este tipo de Olimpiadas.
Pero resultaría tonto (en el buen sentido de la palabra) limitar este trabajo solo con
fines participativos y competitivos; puesto que de manera global, esta Investigación
se puede extender en la búsqueda del completo desarrollo de las capacidades del
individuo para resolver cualquier tipo de problemática planteada que involucre
técnicas de conteo, preferiblemente en aplicaciones de la vida cotidiana.
3
4
CAPÍTULO I
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. DELIMITACIÓN DEL TEMA
La presente Investigación parte de identificar las dificultades en el aprendizaje y
errores en la solución de problemas combinatorios que presentan los estudiantes de
bachillerato, así como también surge del hecho de considerar como problemática
principal la falta de razonamiento, creatividad e ingenio, en la resolución de ya
mencionados “retos” propuestos.
Por ello es que el objeto de estudio radica en desarrollar, a base de técnicas,
métodos y contenidos bien explicados, el razonamiento combinatorio en estudiantes
de la escuela preparatoria “Ricardo Flores Magón” (ubicada en la ciudad de Xalapa,
Veracruz), que se encuentran próximos a participar en la 30ª Olimpiada Mexicana de
Matemáticas (OMM) en el periodo de 2016 – 2017.
1.1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Profesores de diversos niveles de educación han abordado de alguna u otra manera
el tópico de Combinatoria (inclusive lo han ilustrado quizá sin conocer este término, o
bien, sin indagar a ciencia cierta de todo lo que implica adentrarse en el estudio de
esta temática). Pero cierto es que, como tal, posiblemente llega a enseñarse en
primaria (escasamente) y secundaria, pero es en la preparatoria donde se
implementa este conocimiento.
Todo profesor que tenga o haya tenido un acercamiento con este tema no dejará
mentir, como lo indica Navarro-Pelayo (1991), que resulta de cierta manera difícil
para los estudiantes su comprensión. La problemática comienza, como lo plantea
5
David Ausubel (1983), que los estudiantes se encuentran más orientados hacia el
aprendizaje mecánico y no hacia el aprendizaje significativo, como debería ser.
Ausubel (1983) describe el aprendizaje mecánico como aquel en el que nuevas
informaciones son aprendidas prácticamente sin interacción con conceptos ya
existentes; es decir, en el que la nueva información solamente es almacenada de
manera literal, sin analizarla o depurarla, contribuyendo poco o nada al conocimiento
buscado.
En contraparte, describe al aprendizaje significativo como aquella información que se
ancla a conceptos preexistentes, es decir, en el que la nueva información es retenida
por el individuo, analizada, comprendida y utilizada en beneficio del mismo o de
externos, para la solución de problemas diversos y su aplicación; contribuyendo así
al desarrollo del conocimiento, del aprendizaje y sobre todo del razonamiento.
Una vez aclarado lo anterior, supóngase ahora que los estudiantes ya se encuentran
en el camino del aprendizaje significativo. Pero ello no lo es todo para desarrollar el
razonamiento combinatorio, pues las interrogantes, dudas y técnicas empleadas para
abordar estos problemas (“retos”) combinatorios, son más que nada evidentes.
Es verdad que, aunque el docente goce de una amplia experiencia respecto el tema
de Combinatoria y dominio del mismo, no lo es todo si no sabe explicarlo o
transmitirlo a sus educandos, de modo que, lo que enseña y el cómo lo plantea,
puede resultar confuso para estos aprendices; y peor aún, si se llegase a dar el caso
de caer en errores o malos resultados que se tomen por correctos (propiciando la
desconfianza del procedimiento, de las bases y del argumento en general).
El sistema cognitivo de los sujetos es una totalidad organizada y compleja. Más
aún, a causa de la naturaleza inobservable del conocimiento, la caracterización
de la capacidad de los alumnos, respecto a un campo conceptual matemático, tal
como la Combinatoria, debe realizarse a través de un proceso de inferencia, a
partir del sistema de respuestas observables de los alumnos a los problemas
planteados (Navarro-Pelayo, Bataner y Godino, 1996, 28).
6
La inferencia de la que hablan estos tres exponentes conduce a la problemática
principal que se aborda en esta indagación. Partiendo de la teoría y elementalmente
de las definiciones, ¿cómo saber cuándo aplicar una fórmula de combinación o
permutación?, ¿en qué caso el orden importa y en qué caso no?, ¿en qué momento
hay repeticiones de objetos?, ¿todo lo describe una simple fórmula?, ¿realmente el
estudiante desarrolla el razonamiento combinatorio o lo hace mecánicamente?
Esta última pregunta está a tan solo un paso de la pregunta fundamental en la que se
basa la problematización de esta tesina: ¿cómo saber si se está contando bien, de
más, o de menos? La verdad es que no hay respuesta exacta a la interrogante, es
decir, no hay forma alguna de corroborarlo (excepto para casos pequeños), pero sí
una aproximación universal.
La esencia de la solución de problemas de Combinatoria se encuentra en la
estructura del argumento. La confianza de todo resultado está en cada paso lógico
que se haya realizado, en toda esa cadena de procesos minuciosos, en la forma de
razonar y de no dejar abismos lógicos o cabida para el error.
A lo que se desea llegar es que, como se mencionaba hace unas líneas, comprobar
un resultado de conteo (de problemas avanzados de Combinatoria e incluso en
problemas elementales que involucran conjuntos numerables grandes) llega a
resultar tan difícil por la razón de no poder sustituir valores directamente como se
haría en algún problema tradicional de Teoría de Números (por mencionar).
Así es que, lo que se busca mediante la presente, es reducir el margen de error en
problemas de este tipo, con el desarrollo del razonamiento combinatorio y no
mediante una mecanización de fórmulas, las cuales, si se llegarán a utilizar
eventualmente, pero que no son lo más importante, sino el mismo razonamiento.
1.2. JUSTIFICACIÓN
7
El tema de esta Investigación ha surgido por motivos diferentes, principalmente se
debe a dos de ellos (los cuales tienen como base inmediata la problemática de la
misma). El primero recae en el hecho de ser un tema de apariencia sencilla, que
pareciera no presentar complejidad o dificultad alguna si se aborda con suficiente
cautela y de manera organizada.
Pero ciertamente es que, después de trabajar en este campo y profundizar más
hacia problemas que requieren un alto grado de dificultad, llega el punto en el que la
cuestionante se hace evidente: ¿Es correcto este razonamiento? Porque, como se
mencionaba en un principio, al no haber forma inmediata de corroborar un resultado
en esta rama, la estructura del argumento es lo que más importa; es decir, el cómo
se llegó al resultado y mediante qué razonamiento y/o procedimiento.
Y muchas veces se suele creer estar en lo correcto y resultan inconsistencias en
cuanto a viabilidad de un resultado (múltiples ideas de solución entran en conflicto al
haber resultados que difieren), lo que genera confusión. ¿Acaso no es una belleza
esto? Precisamente este punto encanta, pues representa un verdadero reto abordar
temas como éste que, cuyo conocimiento, aunque infinito, se aspira a comprender.
Y el segundo motivo, no menos importante, recae en la enseñanza. Ser maestro no
implica saberlo todo, en sí, nadie sabe todo de algo (especialmente hablando de la
Matemática que, como Paul Erdös lo menciona, es infinita). Pero el punto es que el
profesor debe estar preparado para casi cualquier duda que pueda surgir de entre
sus educandos, así como en lo que explica y el cómo lo explica.
Esta parte resulta meramente difícil, pero se puede lograr con la práctica,
perseverancia y trabajo arduo por querer siempre ir más allá de lo que se sabe
(indagando, así como en esta Investigación); pero ello no exime a cualquier persona
de caer, inclusive, en el error. Pero sería peor aún que el instructor, creyendo estar
bien, transmita a generaciones futuras conocimientos erróneos, una mecanización
(apegada a fórmulas) o bien, que no desarrolle el razonamiento en los demás.
Por ello es que, mediante la presente, se busca desarrollar e implementar el
razonamiento combinatorio en estudiantes de nivel bachillerato (en el contexto ya
8
mencionado), pues el mismo tema resulta ser hasta cierto punto confuso y difícil de
comprender; de modo que estén capacitados para resolver problemas que impliquen
técnicas de conteo, conjuntos, series, etc., o bien, que presenten aptitudes hacia la
solución de los mismos (evitando en todo momento la mecanización del aprendizaje).
Así, lo anteriormente expuesto se puede sintetizar en un conjunto de intereses
principales en los que está inspirado este estudio (acorde al tema del desarrollo del
razonamiento combinatorio), los cuales se presentan enseguida de manera breve:
- Promover el estudio de las Matemáticas en forma creativa, sin caer en la
memorización y automatismo, y buscando desarrollar el razonamiento y la
imaginación de los jóvenes estudiantes.
- Moldear la forma de pensar de los estudiantes a su beneficio; es decir, con el fin
de que amplíen su pensamiento crítico.
- Hacer ver a éstos que la Combinatoria es una bella rama de las Matemáticas y
que su magnificencia reside en la manera de razonar las diferentes técnicas de
conteo existentes (el fundamento de éstas).
- Abordar nuevas técnicas, métodos y estrategias que permitan a los estudiantes
acceder al conocimiento y razonamiento combinatorio, y aplicarlo en situaciones
de la vida diaria.
- Enfrentarse a problemas que la mayoría de la gente no domina, para la accesible
transmisión de este conocimiento adquirido a nuevas generaciones, mejorando
así el nivel de análisis de las personas.
Ahora bien, también es de esperarse que se obtengan múltiples beneficios con esta
Investigación, tales como: La motivación de ya mencionados estudiantes, la mejora
de su capacidad comprensiva, el aumento de la participación en cuanto a
proporcionar soluciones diferentes a un solo problema, el apremio de su facultad
argumentativa, la validación de conclusiones (resultados), entre otras más.
1.3. OBJETIVOS DEL PROYECTO
9
1.3.1. Objetivo General:
Desarrollar, a base de técnicas, métodos y contenidos bien explicados, el
razonamiento combinatorio en estudiantes de la escuela preparatoria “Ricardo
Flores Magón” (ubicada en la ciudad de Xalapa, Veracruz), que se encuentran
próximos a participar en la 30ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas (OMM) en el
periodo de 2016 – 2017.
1.3.2. Objetivos Específicos:
Mencionar, de acuerdo a la perspectiva de los estudiantes, cuáles son las posibles causas que los inducen a cometer errores en problemas de Combinatoria, o bien, los conflictos con los que se topan al momento de abordar un problema de esta índole.
Fomentar en los estudiantes el análisis riguroso de los problemas abordados en
cuanto a la naturaleza del (los) evento (s), si el orden de los objetos estudiados
importa o no; si se trata de una permutación o combinación; en qué momento hay
repetición de dichos objetos o no; si se presenta inclusión o exclusión de
elementos, etc.
Probar que, si es verdad que hay un buen dominio del tema y que se están
alcanzando los fines previstos, entonces el individuo es capaz de abordar y
explicar de forma correcta un fenómeno relacionado a dicho tópico sin la
necesidad de recurrir a apuntes, notas, etc.
1.4. CASOS EJEMPLARES (ANTECEDENTES)
Bien es cierto que muchas personas, años atrás, también se han interesado en el
desarrollo del razonamiento combinatorio en los individuos, y prácticamente resulta
ser éste más efectivo si se induce a una edad temprana, como lo es en el nivel de
estudios secundario, o bien, preparatorio (como en este caso). Por ello es que se
citan a las siguientes tres personas, cuyo trabajo es de gran relevancia para esta
tesina, mencionando su contribución a la misma de manera breve:
10
- Piaget. Realizó investigaciones sobre el desarrollo cognitivo de la capacidad
combinatoria, guiando su proyecto mediante etapas; así como también analizó el
papel de los esquemas combinatorios en el desarrollo formal. De igual forma
aportó teoría y conocimientos en cuanto al estudio de dificultades y errores en la
resolución de problemas combinatorios, y de las estrategias más utilizadas a la
hora de abordar este tipo de problemas (Roa, 2000).
- Fischbein. Analizó el efecto de la instrucción sobre las intuiciones combinatorias
de los niños y adolescentes, ideando para ello experimentos de enseñanza.
Prácticamente destacó la importancia del estudio de la Combinatoria y sus
contenidos en individuos a temprana edad, relacionándolo con el aprendizaje a
partir de los 12 años aproximadamente. Fischbein consideró que la intuición es un
componente primordial para la desarrollar la inteligencia (Roa, 2000).
- Gazit. Apoyado en la investigación de Fischbein, retomó el valor de las variables
a considerar para desarrollar plenamente la capacidad combinatoria, siendo,
entre ellas, el tipo de operación combinatoria, la naturaleza de los eventos, las
ideas (abstractas o concretas), los elementos que componen el problema, y
principalmente, la edad del niño (Roa, 2000).
Prácticamente se enfocó en la base del concepto combinatorio y el cómo
abordarlo, estableciendo así que, el origen de éste, está consolidado a partir de
los conocidos “diagramas de árbol”. Introdujo términos propios de la materia.
11
12
CAPÍTULO II
METODOLOGÍA
13
2.1. ENFOQUE METODOLÓGICO
La presente investigación está determinada bajo un paradigma mixto. “La meta de la
investigación mixta no es reemplazar a la investigación cuantitativa ni a la
investigación cualitativa, sino utilizar las fortalezas de ambos tipos de indagación,
combinándolas y tratando de minimizar sus debilidades potenciales” (Hernández,
Fernández y Baptista, 2010:544).
Se considera que el presente trabajo posee ya mencionada orientación metodológica
dado que es necesario identificar los resultados arrojados por el instrumento con
base a datos con posibilidad de análisis como texto y aquellos con la posibilidad de
que sean interpretados numéricamente con fines estadísticos (por practicidad y
generalización); determinando así las dificultades presentadas por los estudiantes de
bachillerato tras resolver problemas de Combinatoria.
También, se puede decir que este trabajo no recae en un enfoque centrado en la
objetividad ni en la subjetividad, sino en un punto medio, es decir, en la
intersubjetividad; con lo cual se verá favorecida la investigación por presentar una
visión amplia y profunda del fenómeno a estudiar, así como por aportar datos – ricos
y variados – que satisfagan a los objetivos planteados.
2.2. MÉTODO
El método empleado en este trabajo es el analítico. Método, de acuerdo a su
definición etimológica, significa camino hacia algo. Por su parte, Acorde al libro El
Método Analítico, que tiene como autores a Lopera, Ramírez, Zuluaga y Ortiz (2010),
ellos abordan la concepción del análisis como la descomposición de un fenómeno en
sus elementos constitutivos.
El método analítico (opuesto al método sintético) se encarga de examinar un todo –
generalizado – en cuanto a la descomposición de sus partes integradoras, con el fin
de simplificar una problemática dada bajo la esencia que la unifican. Se distingue por
observar (y ciertamente por experimentar) un determinado objeto mediante sus
componentes, lo cual es base para este estudio.
14
Este trabajo se objeta en promover un mejor razonamiento combinatorio en
estudiantes de preparatoria encaminados hacia la Olimpiada Mexicana de
Matemáticas (el todo), pero para lograrlo, es necesario identificar las dificultades que
presentan hacia la solución de problemas de Combinatoria (las partes integradoras
del todo). Siendo así que la problemática se está descomponiendo en unidades más
pequeñas para su análisis, y por ende, este método resulta ser el más apropiado.
2.2.1. DISEÑO Y TIPO DE INVESTIGACIÓN
Como ya se mencionaba anteriormente, esta investigación está orientada hacia el
prototipo mixto, dado que ello permite establecer un orden explicativo, descriptivo y
cuantificado de orden interpretativo respecto a los resultados recabados; siendo este
tipo de investigación uno de los más utilizados en pequeños grupos de objetos de
estudio.
El instrumento del cual se vale este trabajo consiste en un cuestionario de 32
preguntas cerradas y un par de problemas afines a la temática; pues según Roa
(2000), para obtener un índice respecto a la dificultad que presentan estudiantes de
nivel medio superior al resolver problemas combinatorios, no basta con solo plantear
un cuestionario, pues no todas las habilidades y enfoques se miden con éste.
También aclara que es necesario, en ocasiones y dependiendo del tema de estudio,
recurrir a problemas sencillos como prueba, con la intención de identificar ciertos
puntos que no pueden ser medidos de manera teórica, sino práctica. Resumiendo, lo
que Roa menciona es que no todo se mide con base a un solo diseño, y menos aún
por tratarse este estudio de un método mixto con enfoque hacia técnicas de conteo.
Por lo que termina concluyendo que este tipo de prueba resulta ser el más eficaz
dado los objetivos propuestos en un principio.
Dichos objetivos recaen en identificar puntos específicos y factores negativos que
influyen en el no pleno desarrollo combinatorio de estudiantes de bachillerato, así
como también porque este tipo de pruebas permite un mejor control de la información
y resulta ciertamente fácil generalizar el análisis obtenido por la investigación.
15
2.3. ALCANCE DE ESTUDIO
Dadas las características, estructura y objetivos planteados en este trabajo, la
presente investigación manifiesta un alcance explicativo. Este alcance es ideal para
la investigación no experimental que tiene como fundamento la prueba de hipótesis y
que busca que las conclusiones conduzcan a la formulación de leyes o principios
científicos (Citado por Martínez, 2013:sp). Este tipo de magnitud lo presentan
aquellas investigaciones en que el investigador se plantea estudiar el porqué de las
cosas, hechos, fenómenos, y se analizan causas y efectos.
Este trabajo, dado que tiene la función de identificar el buen o mal razonamiento
combinatorio en estudiantes de bachillerato tras resolver problemas de Combinatoria,
donde para ello previamente se tiene que analizar las dificultades que presentan para
así poder concluir al respecto, encaja perfectamente en el modelo explicativo; puesto
que cumple con ser un estudio bien estructurado que implica la exploración,
descripción, correlación y asociación de las variables a medir (Hernández et al.,
2010).
2.4. CORTE DE ESTUDIO
Como el alcance explicativo es un método experimental (Citado por Martínez, 2013)
se tienen entonces dos subdivisiones o cortes de estudio, que son: cuasi-
experimental, de poco control, y Experimental Pura, de alto grado de control. Siendo
que esta investigación presenta el corte Experimental Puro, pues las variables a
medir pueden ser manipuladas intencionalmente (dependiendo de lo que se busque),
así como por el hecho de poder comparar datos (control alto de los objetos de
estudio) y con base a ello poder establecer un control y validez (Matronas, 2008).
2.5. POBLACIÓN
En esta investigación se tomó como población a los estudiantes de la Escuela de
Bachilleres Ricardo Flores Magón (Oficial B) de Xalapa, Veracruz, durante el periodo
escolar 2016 – 2017, ya que de acuerdo con el problema planteado, se considera
16
que esta población cuenta con las características necesarias para recabar la
información óptima para el estudio. Esta población fue determinada por la cercanía
de la información, así como por ser una escuela de excelencia académica, pero que
aun así, su comunidad estudiantil presenta problemas para el análisis de ciertas
temáticas (en este caso, en cuanto a técnicas y procesos de conteo).
2.6. MUESTRA
Se tomó como muestra al conjunto de estudiantes representantes de ya mencionada
institución en la categoría de Olimpiada de Matemáticas, en el periodo ya
mencionado. Por lo tanto, la muestra está compuesta por 7 alumnos tanto de
segundo semestre como de cuarto semestre (ya en conjunto). Este grupo se
considera lo suficientemente representativo como para recabar los resultados de la
investigación y alcanzar las expectativas planteadas, dado que dichos individuos ya
cuentan con experiencia en las Olimpiadas de Matemáticas y por ende con una
familiarización en cuanto al tópico de Combinatoria.
Pero para ello fue necesario previamente visualizar que aún con esta gama de
conocimientos y experiencia en el tema, aún hay presencia de dificultades entre los
estudiantes tomados como muestra (y más aún en el resto de la población) que
deben ser identificadas para su posterior corrección, o al menos intentar no cometer
los mismos errores (siendo este uno de los objetivos de la presente tesina).
De acuerdo con Carlos Ochoa (2015), no siempre es necesario establecer una
muestra con base a un método analítico, o bien estadístico, pues depende de lo que
se desee estudiar y del tipo de muestreo; pero si aclara que es una manera confiable
de obtener a dicha selección de individuos base para el análisis de variables, puesto
que intervienen factores estrechamente vinculados como la población,
heterogeneidad, margen de error y nivel de confianza (esto para una investigación de
alto grado y especializada).
17
2.7. TIPO DE MUESTREO
Para la presente investigación se aplicó un muestreo no probabilístico, para ser más
específico, un muestreo propositivo. El muestreo no probabilístico es “aquel que
supone un procedimiento de selección informal” (Hernández et al., 2010:544). El
muestreo propositivo, también llamado “de expertos” o “por conveniencia”, es aquel
en donde es necesaria la opinión de individuos expertos en un tema o más
representativos.
Por ello es que este tipo de muestreo resulta ser el más apropiado para la
investigación, pues para obtener la información que se busca con ésta, es
indispensable enfocarse únicamente en aquellas personas con experiencia sobre el
tema, y qué mejor que Olímpicos Matemáticos de bachillerato; siendo así un
muestreo por conveniencia el más apto debido a las características previstas.
2.8. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LEVANTAMIENTO DE INFORMACIÓN
La presente investigación se efectuó bajo el siguiente procedimiento:
- Se seleccionó la institución (Escuela de Bachilleres Ricardo Flores Magón, de la
ciudad de Xalapa, Veracruz) de la que se extrajo la población a considerar como
universo. Ésta se escogió tomando en cuenta el nivel de estudios (medio
superior), excelencia académica de la escuela y por sus destacadas
participaciones en la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
- Se obtuvo una muestra para la evaluación de los campos requeridos, siendo que
ésta consistió en conjunto de 7 estudiantes representantes de ya mencionada
institución en la categoría de Olimpiada de Matemáticas, en el periodo 2016 –
2017.
- Anticipadamente se elaboró un instrumento que midiera las capacidades de
razonamiento combinatorio en estos estudiantes de nivel medio superior, así
como también se sometió a prueba y validación.
18
- Previamente se habló con el grupo selecto de estudiantes – a los que se les
aplicaría el instrumento – de la fecha y hora en que se les haría llegar.
- El día de aplicación, se explicó a los estudiantes en qué consistía el trabajo de
investigación, los objetivos, y se aclararon ciertas instrucciones pertinentes
referentes a la prueba.
- Se entregó un cuestionario a cada persona. Cada una de ellas devolvió el
instrumento cuando hubo finalizado.
2.8.1. TÉCNICA E INSTRUMENTO
La presente investigación utiliza la técnica de encuesta. Se considera a la encuesta
como “una técnica que permite explorar sistemáticamente lo que otras personas
saben, sienten, profesan o creen” (Lazarsfeld, 1982:sp). La encuesta, prácticamente
consiste en obtener información de los sujetos de estudio, con el fin de conocer
acerca de opiniones, actitudes o sugerencias. Se tiene que hay dos maneras de
obtener información sobre este método: la entrevista y el cuestionario.
Se utilizó esta técnica debido a que es una manera de recabar más información de
sujetos de una manera individual, así como por considerarse un método válido y
confiable en cuanto a estabilidad, consistencia y exactitud de los resultados
obtenidos mediante el instrumento. Por último, cabe resaltar que la encuesta nos
ayuda con las investigaciones explicativas (Ibarra, 2013), lo cual congruente al
alcance y corte de estudio de este trabajo.
En lo correspondiente al instrumento, éste será un cuestionario. Un cuestionario es
“un documento que recoge en forma organizada los indicadores de las variables
implicadas en el objetivo de la encuesta” (Casas, Repullo y Donado, 2003:528). El
instrumento de esta investigación está compuesto por un total de 34 ítems, de los
cuales, los dos primeros corresponden a un par de problemas afines a la temática
donde no se busca su solución, sino identificación de unos cuantos aspectos básicos
y propios de la Combinatoria.
19
El resto de los ítems se trata de preguntas cerradas con dos opciones de respuesta
(sí o no). A su vez, todos estos ítems corresponden a ciertos indicadores (con el fin
de evaluarlos), los cuales son 12, así como todos estos indicadores conjuntan a 5
dimensiones, y éstas a 2 variables. Este cuestionario se aplicó a una selección de 10
estudiantes de preparatoria, tanto de segundo semestre como de cuarto,
participantes en la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Sintetizando, esta herramienta empleada permite al aplicador (analista) recoger gran
variedad de información y de opiniones por parte de los objetos de estudio (los
encuestados), así como también nos permite identificar otras características y puntos
específicos por el hecho de incluir formatos o interrogantes abiertas y cerradas,
desde luego que con un control total de las variables.
2.8.2. VALIDACIÓN DE INSTRUMENTO
Para la validación del instrumento, éste fue facilitado el día 9 de mayo de 2016 a dos
profesores que imparten clases en la Escuela de Bachilleres Ricardo Flores Magón
(Oficial B) de la ciudad de Xalapa, Veracruz; quienes tienen un acercamiento íntimo
con el tema de Combinatoria, e incluso, de cierta manera ahondan en el ámbito de
las Matemáticas educativas.
El profesor José Luis Munzón Méndez, quien imparte la asignatura de Matemáticas,
realizó las observaciones respecto a que las preguntas abiertas resultan ser muy
teóricas e imprácticas, inclusive, que no ve la necesidad de que éstas aparezcan en
el instrumento.
Propuso la idea de aplicar un par de ejercicios donde el estudiante muestra
identifique ciertos caracteres para su resolución, y a partir de los resultados, inferir lo
que se buscaba mediante las preguntas abiertas; es decir, analizar si el estudiante
sabe identificar lo que se pide o no, como principio básico para resolver un problema
de Combinatoria.
Por su parte, la profesora Regina Becerra Serrano, quien imparte la asignatura de
Probabilidad y Estadística, asimismo de Informática, coincidió con las observaciones
20
realizadas por el profesor José Luis. Ella consideró que existen muchas preguntas
abiertas, así como también que era más viable – sobre todo por la interpretación y
manejo de datos –, aplicar un examen exploratorio a los individuos, con fin de
asignar un valor numérico a su desempeño.
También, propuso que hacía falta un mayor rigor en la distribución de las preguntas
del cuestionario, en su organización y en la clasificación del instrumento de la
encuesta (nuevamente con propósitos de facilitar el reporte de resultados en cuanto
a las variables recabadas). Fuera de ello, ambos profesores coincidieron en que las
preguntas cerradas están bien planteadas y que aparentan un indicio de resultados
prometedor.
2.8.3. TIEMPO Y ZONA GEOGRÁFICA
El instrumento se aplicó el día martes 31 de mayo de 2016 a las 12:00 horas de la
mañana en las instalaciones de la Escuela de Bachilleres Ricardo Flores Magón en
la ciudad de Xalapa, Veracruz, ubicada en Insurgentes No. 49, Col. Centro (Oficial B,
2014). Tuvo una duración de 20 minutos aproximadamente.
En lo correspondiente a la Escuela Preparatoria Ricardo Flores Magón, ésta cuenta
con 14 aulas, 2 laboratorios (física y química), auditorio para 96 personas, biblioteca,
centro de cómputo con 16 computadoras, taller de dibujo técnico, cafetería, cancha
de usos múltiples, sala de maestros, baños de alumnos, alumnas y del personal
administrativo, y áreas administrativas (Oficial B, s.f.).
Dentro de estos espacios se alberga un total de 523 estudiantes dentro de los
siguientes semestres: 204 de segundo semestre, 165 de cuarto semestre, y 154 de
sexto semestre (Oficial B, 2016). En cuanto a profesores, directivos, y administrativo
y de servicios, laboran 54 y 16 respectivamente, siendo que este último dato no se
encuentra disponible (Oficial B, 2014).
Mencionado el marco contextual de la investigación (por así expresarlo), y sabiendo
que la escuela es de excelencia por los maestros especializados en el área de la
asignatura que imparten (y ello ratificado en la calidad de perfil de egreso de los
21
estudiantes de la escuela), se consuma que la zona geográfica es muy factible para
la aplicación del instrumento y su posterior análisis.
2.9. PROCEDIMIENTO PARA REPORTAR RESULTADOS
Una vez que cada estudiante entregó el instrumento cuando hubo finalizado de
contestarlo:
- Se evaluaron los cuestionarios y se identificaron los problemas que presentaba
cada estudiante en la solución de problemas de Combinatoria.
- Cada problema identificado se clasificó acorde a la tabla de operacionalización de
variables, es decir, se ordenaron conforme a dimensiones e indicadores (para un
análisis más práctico).
- Se concentraron los datos recabados en una hoja de cálculo de Microsoft Excel
2013, atendiendo a los diferentes tipos de variables estimadas: Cualitativas y
Cuantitativas.
- Se representó la información en forma tanto textual como en gráficos; se analizó
e interpretaron los resultados obtenidos.
2.10. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
- Los datos arrojados por el instrumento se vaciaron en tablas y posteriormente en
gráficos (el empleo de éstos fue dependiendo del tipo de variable utilizada).
- Se interpretaron los gráficos de manera textual y se compararon con los objetivos
planteados (observando el cumplimiento de éstos), concluyendo así con la
comprobación o verificación de alguna de las hipótesis enunciadas.
2.11. RECURSOS
2.11.1. MATERIALES
- Computadora (con Internet). - Impresora (con tinta a color y negra).
22
- Libros. - 21 hojas blancas.
2.11.2. HUMANOS
- Propiamente yo.
- Docente encargada de hacer
observaciones y correcciones al
presente trabajo.
- Una muestra de 7 estudiantes (a
quienes se les aplicó el instrumento).
- 2 profesores, quienes validaron el
instrumento utilizado.
2.12. COSTOS (RECURSOS FINANCIEROS)
Por concepto de: Costo Impresión y reproducción del instrumento. $ 21.00
Impresión completa del trabajo. $ 100.00
Empastado del trabajo. $ 27.00
TOTAL $ 148.00
2.13. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
ActividadesMeses
Ene Feb Mar AbrMay
Jun
Elección del Tema ✓Identificación del Problema ✓
Formulación de la Pregunta de Investigación ✓Desarrollo del Planteamiento del Problema ✓
Desarrollo de la Metodología ✓Elaboración y Validación del Instrumento ✓
Desarrollo del Marco Teórico ✓Aplicación del Instrumento ✓
Recolección e Interpretación de Resultados ✓
23
Formulación de Conclusiones ✓Entrega Final ✓
24
CAPÍTULO III
MARCO TEÓRICO25
Investigaciones realizadas desde hace muchos años han demostrado la importancia
del estudio del razonamiento combinatorio en estudiantes que van desde una edad
temprana, hasta aquellos que posen de una preparación media o avanzada,
inclusive, hasta especialistas en el tema (Navarro-Pelayo, Batanero y Godino, 1996).
Con el paso del tiempo, se llegó a un punto en el que se hacían muy evidentes las
dificultades que el estudiante presentaba durante la resolución de problemas de
Combinatoria, problema que comenzó a llamar la atención de los profesores de esta
área enfocada hacia las técnicas de conteo y así, volverse este ámbito un objeto de
estudio primordial con la intención de analizar los procesos de resolución de
problemas combinatorios (Roa, Batanero, 2001).
En este trabajo se analiza la resolución de un par de ejercicios propuestos con
intenciones de identificar los errores más cometidos por los estudiantes al resolver
problemas de conteo, así como también se establecen preguntas cerradas afines al
mismo campo, igualmente con objetivos de estandarizar medidas y cuestiones con
un mayor control de datos.
3.1. Técnicas de Aprendizaje
El término de técnica, que alude a todo aquello de lo cual el individuo se vale para
alcanzar el conocimiento (Sistema de Biblioteca, 2016), se ve estrechamente ligado
al concepto de estrategia, que como lo define el Diccionario de la Lengua Española
(RAE, 2014a), es un “proceso bajo el cual se siguen ciertas reglas o lineamientos
que aseguran una decisión óptima en cada momento”.
Con base a las técnicas de aprendizaje se busca que los estudiantes las identifiquen
y desarrollen plenamente porque resultan ser la base o el sustento para un correcto
análisis combinatorio; es decir, se pretende que el educando sea capaz de equiparar
alternativas de solución para los problemas propuestos y que desenvuelva un
proceso viable y aceptable.
26
3.1.1. Búsqueda de Información / Argumentación
La búsqueda de información es indispensable, pues por medio de ésta se obtiene el
conocimiento. Buscar requiere de un proceso exhaustivo, de indagar en fuentes
confiables y de formar una base teórica, práctica y de aprendizaje, este último como
resultado a corto o mediano plazo. Ahora bien, en Combinatoria, éste se consigue
con la búsqueda íntegra de contenido respecto al tema y se complementa mediante
la práctica; por lo que una buena base teórica vislumbra resultados prometedores
durante la práctica.
Argumentar significa avalar una conclusión con una serie de razones y de
pruebas de apoyo. No significa afirmar o disputar. Un argumento es un vehículo
para indagar o argüir, para intentar descubrir o probar algo. Dar argumentos en el
lenguaje científico es una herramienta básica y esencial ya que es la buena
forma de ofrecer razones y pruebas para defender la tesis que se propone. El
estudiante, en su trabajo de fin de máster o en cualquier ensayo que se le pida,
tiene que defender su tesis con argumentos, el objetivo básico del trabajo es
fundamentar de forma teórica y empírica su tesis (Lasa-Aristu, Amor, 2001:38).
En Combinatoria (y propiamente de las Matemáticas) el argumento es la base de
todo razonamiento, de todo pensamiento, análisis y procedimiento; puesto que en él
recae el fundamento del resultado obtenido, es decir, en el proceso lógico seguido
(paso a paso) para llegar a éste último. Por ello es que argumentar es indispensable,
tanto que si no hay argumento no hay Matemáticas.
3.1.1.1. Interés
El interés es una cualidad o afinidad que presenta una persona hacia algún objeto o
tarea determinada (WordReference, 2016); siendo así que ello le llama la atención, le
provoca gusto, satisfacción y que desde luego generará un provecho o beneficio.
Para lograr un buen desempeño en una determinada área (con enfoque principal en
el tópico matemático de Combinatoria), lo primordial de lo que debe atañer al
individuo es el gusto y pasión por lo que hace, por lo que realiza. Y es aquí donde
27
sobresale el interés. Si no hay interés ni disposición o afinidad por el tema de conteo,
por mucho que el educando indague, no comprenderá cabalmente lo que estudia.
Por ello mismo es que se tiene como un derivado de los objetivos el examinar si
realmente hay interés en los individuos por la materia; siendo que si resulta ser
negativa la respuesta a esta interrogante, entonces se podría visualizar un factor
nocivo que contribuye al estrecho desarrollo del razonamiento combinatorio en los
estudiantes.
3.1.1.2. Justificación
Justificación es un término estrechamente vinculado con la argumentación (inclusive,
para el matemático puro, su justificación se encuentra en la demostración), sin
embargo, este par de conceptos tienden a confundirse con explicación. “En la
argumentación se trata de mostrar el carácter de verdad de una proposición,
mientras que en la explicación los enunciados tienen una intención descriptiva de un
fenómeno, resultado o comportamiento” (Duval, 1999:sp).
Balacheff (1982) realizó una gran cantidad de aportes a la Matemática, y
consideraba, tal y como se tiene la idea actual de justificación, que ésta era la clave
para determinar un rigor en el problema en que se trabaja, así como para mantener
un orden de las ideas y sobre todo de redactar el procedimiento que se sigue, el
porqué de lo que se hace y de qué manera.
3.1.2. Análisis
Se refiere al estudio detallado de algo, de una obra, escrito, trabajo, etc.,
especialmente de la información (RAE, 2014b). En sí, es una excelente concepción y
muy rica en lo que quiere dar a entender. El análisis, tal y como lo manejan Giménez
y Machín (2003), en cuanto a un análisis matemático, es un proceso cognitivo
relacionado con el aprendizaje de conceptos matemáticos y métodos de aprendizaje
afines.
28
Recurrir a un proceso de análisis minucioso de una estructura matemática como lo
es un problema de Combinatoria, facilitará en cierto aspecto la manera de abordar un
problema, así como también la forma de pensar y razonar su solución. Este apartado
se debe poner en práctica, ya que también es considerado como básico para un
buen desempeño en los problemas de conteo.
3.1.2.1. Razonamiento
El razonamiento está asociado a la comunicación y resolución de problemas.
Mediante éste se justifica, prueba, explica y predice la manera de pensar, lógica y
raciocinio de un individuo. Duval (1999) considera que cualquier proceso que admita
sacar nueva información de información preexistente, se considera un razonamiento.
Ahora bien, en cuanto al desarrollo der razonamiento combinatorio (y por ende
matemático) en los estudiantes, se puede decir que básicamente consiste en una
habilidad para producir e interpretar diferentes tipos de información (principalmente
cuantitativa), logrando ampliar el conocimiento de la temática y fomentar entonces un
hábito de análisis, inferencias y deducciones.
3.1.2.2. Comprensión
“Comprender es un proceso que tiene lugar en la mente del estudiante y es el
resultado de una larga secuencia de actividades de aprendizaje durante las cuales
ocurren e interactúan una gran cantidad de procesos mentales” (Dreyfus, 1991:25).
En otras palabras, la comprensión consiste en identificar (codificar) cierta información
y visualizarla de una manera determinada, como si fuese una imagen.
Si ello se está logrando, se puede afirmar que el individuo comprende y mejor aún,
que está cada vez más cerca de la interpretación de un nuevo conocimiento; puesto
que no basta con solo percibirlo, sino apoderarse de él y hacerlo propio.
29
3.1.2.3. Procedimiento
Se refiere al método de ejecutar cualesquiera cosas (RAE, 2014c). Esta definición,
apoyada por lo expuesto por Balacheff (1982) en sus investigaciones, respecto a las
necesidades de satisfacer un proceso enfocado al desarrollo de las estrategias de
enseñanza-aprendizaje, insisten en que es muy práctico plantear a lo que se desea
llegar desde un principio (tener un objetivo y no perderlo de vista).
Esto, específicamente del objetivo, y en el método que se siga para alcanzarlo, es lo
que se conoce como procedimiento, y resulta ser más cómodo y práctico si se
establece desde un principio (como si se tuviese un prototipo), puesto que el divagar
en lo que se desea hacer y en el cómo son factores principales (distractores) para
perder de vista el objetivo. Ello es una problemática muy común que presentan los
estudiantes al enfrentarse a problemas de conteo.
3.1.3. Interpretación
Es una habilidad intelectual de gran importancia sobre todo en el proceso de lectura,
siendo ésta el instrumento mediante el cual se obtiene el entendimiento de cualquier
tipo de problema; es decir, para comprender un problema de Matemáticas es
indispensable leer el problema más de una vez hasta que se comprenda o al menos
se tenga alguna idea de lo que hay que hacerle para llegar al resultado.
Y he aquí el trabajo de la interpretación, de entendimiento, de descifrar lo que no se
ve a simple vista en un problema de Combinatoria. Interpretar consiste en encontrar
las ideas adentradas en el texto; es decir, radica en descubrir la información
profunda, aquella que el autor no expresa claramente, pero que se puede deducir
(Castellano, 2014).
Una acepción más la proporciona el Diccionario de la Real Academia Española
(2014d), quien señala que interpretar es “concebir, ordenar o expresar de un modo
personal la realidad”.
30
3.1.3.1. Traducción
Hay muchas asimilaciones de traducción, pero el enfoque que se le da en este
trabajo de investigación es el considerado como el estudio de un procedimiento que
consiste en replantear un determinado problema que resulta a primera impresión
difícil, de otra manera, desde otra perspectiva. Esta traducción es la ideal para
convertir algo difícil en algo sencillo con el hecho de replantearlo, de traducirlo a un
contexto accesible y moldeable.
Para esto se necesita de mucha experiencia y habilidad que se desarrolla conforme
el tiempo. “La traducción es una ciencia, una habilidad y un arte; no hay duda de que
la capacidad de traducir es una pericia, destreza o habilidad, y al mismo tiempo es un
arte” (Nida, 1996:54). Precisamente el concepto de “arte” encaja perfectamente en
las Matemáticas, y este tipo de traducción facilita de gran medida la solución de
problemas de conteo (por su interpretación de diferentes maneras).
3.1.3.2. Comparación
La comparación establece semejanzas y diferencias entre dos conceptos, dos
objetos, dos elementos o dos situaciones o contextos. De acuerdo a la experiencia,
la comparación se podría considerar como un método de Matemáticas no exclusivo
en el área de la Combinatoria que consiste en resolver un problema partiendo desde
dos perspectivas diferentes. Este método facilita mucho la solución de problemas de
conteo.
Las comparaciones ayudan a simplificar muchos problemas de combinatoria dado
que la importancia recae en la interpretación que se da a lo que desea contar; de
esta manera, es cómo surge la utilidad de emplear conteos indirectos, con base en
los cuales, como ya se mencionaba, se comparan dos ideas o enfoques, y se cuenta
de dos maneras diferentes, llegando a un eslabón que las relaciona (Seguí, 2014).
Cabe aclarar que este es un arreglo más empleado para la demostración.
31
3.2. Desempeño Académico
El rendimiento académico (sinónimo de desempeño) es un factor muy importante en
los estudiantes, más bien considerado como un indicador que muestra el producto de
la asimilación del contenido de los programas de estudio vistos en las clases, y que
es evaluado mediante diversas pruebas y expresado en calificaciones dentro de una
escala convencional (Gutiérrez y Montañez, 2012) (Recuperado de Brito, 2013).
Nótese que una prueba (examen) no siempre refleja el completo desempeño
académico ni mucho menos el conocimiento de un estudiante; ésta se puede ver
influenciada por muy diversos factores que se oponen a un resultado aceptable en
muchas ocasiones, sin embargo, el desempeño académico está determinado por la
perseverancia y trabajo arduo del estudiante. Por ello mismo es que un examen no
recabaría datos certeramente confiables (habría más cabida al error) aun así siendo
de Combinatoria, por lo que el instrumento utilizado fue un cuestionario.
3.2.1. Aptitudes
Las aptitudes son las que determinan el éxito de un estudiante, pues son las
capacidades y habilidades las que marcan la diferencia entre los individuos en
cuanto a logros. Aptitud es aquella capacidad que posee cada persona para realizar
actividades de cualquier índole, desde físicas hasta mentales o intelectuales, y
cognitivas, y abarca diversos procesos, tales como características emocionales y de
personalidad (Enríquez, 2013).
Un estudiante que cuanta con aptitudes bien marcadas y diferenciadas del resto,
tendrá más posibilidades de desarrollar plenamente lo que se proponga y en el
ámbito en que se encuentre. Por mencionar, la aptitud que destaca dentro de los
objetivos buscados en la presente investigación es el autodidactismo (término que se
analizará más adelante).
32
3.2.1.1. Dominio del Tema
El dominio del tema puede considerarse como aquella capacidad que presenta un
individuo de retención de una cuestión específica o ámbito; siendo que alude tanto a
una buena preparación por parte del estudiante en cuanto a lo visto en el aula,
incluso en lo estudiado propiamente fuera de ésta. El dominio del tema de
Combinatoria no solo se logra con teoría, es más, en Matemáticas eso no es factible,
sino que la práctica es lo que desarrolla el dominio del tema (claro, apoyada
fuertemente de la teoría) (Seguí, 2014).
Hay muchas maneras de medir el dominio del tema combinatorio, tal y como lo
expresaba la profesora Regina Becerra Serrano, un buen instrumento sería un
examen exploratorio, o bien, es una buena medida la aplicación de preguntas
cerradas enfocadas a puntos pertinentes y sensatos de lo que se desea obtener.
3.2.1.2. Práctica
Toda disciplina que ha sido creada por el ser humano se beneficia de la práctica (sin
excepción alguna). La práctica se considera como un medio para evitar los fracasos.
Toma poder cuando se califica como consistencia en un determinado trabajo,
organización y perseverancia (Barajas, 2010). Ayuda a reforzar los conocimientos
aprendidos y a aprender nuevos, con el fin de estar en constante movimiento.
En Matemáticas, la práctica es la clave para obtener un buen desempeño, ahora que
si se enfoca específicamente en Combinatoria, por medio de la práctica es como se
identifican todos esos indicadores requeridos para la solución de cualquier problema
de conteo planteado, tales como: principios de orden, inclusión y exclusión de
elementos, etc. La práctica conlleva a la experiencia, y es por medio de ésta donde
muchas veces se alcanza el éxito (por ahondar en temas diversos).
33
3.2.1.3. Autodidactismo
Actualmente la sociedad se encuentra con una disponibilidad inmensa y muy
accesible a información por todos lados, basta solo con ver cuánta tecnología está al
alcance de cualquier persona. El autodidactismo es la forma en que un individuo es
capaz de forjar su propia educación, o bien, se considera como el arte de aprender
por sí mismo (López, García, Chávez y Porras, 2010).
El problema no está en esa accesibilidad a la información, sino en el estudiante
mismo. La disposición por parte del individuo de querer investigar, de indagar por su
propia cuenta, es baja, y peor aún aquí en México. Esa cultura de indagación y
búsqueda con fines satisfactorios propios de conocimiento no están del todo
cimentada o inculcada entre la población. Por ello es que anteriormente se
mencionaba que el camino al éxito se encuentra en ser autodidacta.
3.2.2. Identificación
Identificar involucra aquellas cosas que se pueden parecer o son consideradas
diferentes, pero que tienden a concurrir en una misma realidad (RAE, 2014e). Esta
definición resulta ser un tanto compleja de entender, sin embargo, quiere decir que
identificar es un proceso mediante el cual se analizan y observan ciertas
peculiaridades de un objeto que le interesan al observador.
El proceso de identificación, en esta investigación, está orientado hacia el
reconocimiento de las dificultades que presentan los estudiantes de preparatoria para
resolver problemas de conteo, así como también, en un segundo plano, para
determinar (dentro de los problemas abordados) el tipo de orden que presentan los
objetos estudiados, método de solución, etc.
3.2.2.1. Problemas y Dificultades
Un problema es un conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución
de algún fin, de tener complicaciones o aprietos para lograr una meta (RAE, 2014f).
34
Por su parte, una dificultad es un embarazo, inconveniente, oposición o contrariedad
que impide conseguir, ejecutar o entender algo bien y pronto, puesto que es aquello
que se tiene como objetivo pero que no se puede alcanzar de manera directa o
inmediata (RAE, 2014g).
Juntando ambos términos y relacionándolos con el presente trabajo de investigación,
se tiene que el fin está en la solución de los problemas de Combinatoria, siendo que
se prevé identificar los problemas que le atañen para su posterior análisis y así evitar
cometerlos nuevamente.
3.3. SISTEMA DE HIPÓTESIS
3.3.1. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN
Los estudiantes de la Escuela de Bachilleres Ricardo Flores Magón (Oficial B) del
periodo 2016 – 2017 próximos a participar en la 30ª Olimpiada Mexicana de
Matemáticas, en la ciudad de Xalapa, Veracruz, aprehenderán y comprenderán
mejor los problemas que involucren de un razonamiento combinatorio si identifican
los errores que frecuentemente cometen en la resolución de los mismos; evitando así
recurrir a las mismas faltas.
3.3.2. HIPÓTESIS NULA
Los estudiantes de la Escuela de Bachilleres Ricardo Flores Magón (Oficial B) del
periodo 2016 – 2017 próximos a participar en la 30ª Olimpiada Mexicana de
Matemáticas, en la ciudad de Xalapa, Veracruz, no aprehenderán ni comprenderán
mejor los problemas que involucren de un razonamiento combinatorio si identifican
los errores que frecuentemente cometen en la resolución de los mismos; siendo así
que recurrirán a las mismas faltas.
35
3.3.3. HIPÓTESIS ALTERNATIVA
El 90% de los estudiantes de la Escuela de Bachilleres Ricardo Flores Magón (Oficial
B) del periodo 2016 – 2017 próximos a participar en la 30ª Olimpiada Mexicana de
Matemáticas, en la ciudad de Xalapa, Veracruz, aprehenderán y comprenderán
mejor los problemas que involucren de un razonamiento combinatorio si identifican
los errores que frecuentemente cometen en la resolución de los mismos; evitando así
recurrir a las mismas faltas.
3.4. CUADRO DE OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES
Variable 1: Técnicas de Aprendizaje“Las estrategias metodológicas, técnicas de aprendizaje andragógico y recursos que varían de acuerdo con
los objetivos y contenidos del estudio, y aprendizaje de la formación previa de los participantes,
posibilidades, capacidades y limitaciones personales de cada quien” (Sistema de Biblioteca, 2016),
Dimensión 1: Búsqueda de Informa-
ción / Argumentación
Indicador 1:Interés
Ítems
¿Combinatoria es tu tópico
matemático favorito?
¿Todos los días te enfrentas a por lo
menos un problema de conteo?
¿Te gustaría abordar problemas
avanzados de Combinatoria?
La Universidad de Alcalá
(2015) define la búsqueda
de información como el
conjunto de operaciones o
tareas que tienen por
objeto poner a disposición
de un usuario la
información que dé
respuesta a sus preguntas.
Argumentar significa avalar
una conclusión con una
serie de razones y de
pruebas de apoyo (Lasa-
Aristu, Amor, 2001:38).
Es la afinidad o tendencia de una
persona hacia otro sujeto, cosa o
situación; así como también
puede traducirse como una
utilidad o conveniencia que busca
una determinada persona a nivel
moral o material (WordReference,
2016).
Indicador 2:Justificación
Ítems
¿Te gusta escribir (justificar) tu
manera de pensar y de razonar
la solución de un problema?
¿Se te facilita?
Clave para determinar un rigor en el
problema en que se trabaja, así como
para mantener un orden de las ideas
y sobre todo de redactar el
procedimiento que se sigue, el
porqué de lo que se hace y de qué
manera (Balacheff, 1982).
Dimensión 2: Indicador 1: Ítems
36
Análisis Razonamiento ¿Se te dificulta el por dónde
comenzar a abordar un
problema de conteo?
¿La mayoría de tus soluciones
son creativas, es decir,
diferentes a la de los demás?
¿Sientes pasión por lo
abstracto?
Estudio detallado de algo,
especialmente de una obra
o de un escrito (RAE,
2014b).
Es cualquier proceso que admita
sacar nueva información de
información preexistente (Duval,
1999).
Indicador 2:Comprensión
Ítems
¿Comprendes a fondo los
problemas de conteo y su
solución?
¿Aclaras dudas con el profesor?
“Comprender es un proceso que tiene
lugar en la mente del estudiante y es
el resultado de una larga secuencia
de actividades de aprendizaje durante
las cuales ocurren e interactúan una
gran cantidad de procesos mentales”
(Dreyfus, 1991:25).
Indicador 3:Procedimiento
Ítems¿Simplificas los problemas?
¿Posees orden y claridad de tus
ideas?
“Método de ejecutar algunas cosas”
(RAE, 2014c).
Dimensión 3:Interpretación
Indicador 1:Traducción
Ítems
¿Conviertes un problema de
conteo difícil en uno fácil al
plantearlo de una nueva
manera?
¿Se te facilita esta visualización
y/o perspectiva diferente del
problema?
Interpretar consiste en
encontrar las ideas
adentradas en el texto; es
decir, radica en descubrir
la información profunda,
aquella que el autor no
expresa claramente, pero
que se puede deducir
(Castellano, 2014).
“La traducción es una ciencia, una
habilidad y un arte; no hay duda de
que la capacidad de traducir es una
pericia, destreza o habilidad, y al
mismo tiempo es un arte” (Nida,
1996:54).
Indicador 2:Comparación
Ítems
¿Interpretas de diferentes
formas lo que deseas contar?
¿Consideras que es útil hacer
conteos indirectos?
“La comparación establece
semejanzas y diferencias entre dos
conceptos, dos objetos, dos
elementos o dos realidades. Nos
permite dar a entender e imaginar”
37
(Seguí, 2014).
Variable 2: Desempeño Académico
“Es el producto de la asimilación del contenido de los programas de estudio, expresado en
calificaciones dentro de una escala convencional (Gutiérrez y Montañez, 2012)” (Recuperado de
Brito, 2013).
Dimensión 1:Aptitudes
Indicador 1:Dominio del Tema
Ítems¿Se te facilita el tema de
Combinatoria?
¿Puedes explicar un problema y
su solución sin ver tu libreta
(apuntes)?
¿Entiendes la notación
empleada en Matemáticas,
específicamente en
Combinatoria?
Aptitud es “la capacidad
que se posee para realizar
actividades de cualquier
índole, desde físicas hasta
mentales o intelectuales, y
cognitivas, y abarca
procesos como caracterís-
ticas emocionales y de
personalidad” (Enríquez,
2013).
Es aquella capacidad que presenta
un individuo de retención de una
cuestión específica o ámbito (Seguí,
2014).
Indicador 2:Práctica
Ítems¿Consideras que practicar lleva
al éxito?
¿Te consideras constante y
perseverante en tu preparación
como Olímpico de Matemáticas?
Se califica como la consistencia en un
determinado trabajo, organiza-ción y
perseverancia (Barajas, 2010).
Indicador 3:Autodidactismo
Ítems¿Aprendes mejor cuando alguien
te explica un contenido o por tu
propia cuenta investigando y
leyendo?
¿Te consideras autodidacta?
¿Consideras que podrías
obtener un alto desempeño en
las Olimpiadas de Matemáticas
si solo te quedaras con el
conocimiento aprendido en la
escuela?
Es la forma en que un individuo es
capaz de forjar su propia educación,
o bien, es el arte de aprender por sí
mismo” (López, García, Chávez y
Porras, 2010:sp).
Dimensión 2:Identificación
Indicador 1:Problemas y Dificultades
ÍtemsEn Combinatoria:
38
¿Sabes en qué casos importa el
orden de los objetos y en cuáles
no?
¿Comprendes el planteamiento
de un problema a primera
instancia?
¿Empleas fórmulas aun sin
saber de dónde provienen las
mismas, cómo aplicarlas, en qué
momento o qué significan?
¿Se puede comprobar
fácilmente?
¿Te ocurre a menudo que
cuentas mal, es decir, de más o
de menos?
¿Divagas durante la solución del
problema?
¿Conoces pocas fórmulas?
¿Consideras que tu aprendizaje
es mecanizado (dependiente en
su mayoría de fórmulas)?
* Los presentes dos problemas
son con el fin de visualizar si el
estudiante identifica: Si el orden
importa o no, si su solución se
sustenta por combinación o
permutación.
1.- Un grupo de 15 personas
quiere dividirse en 3 equipos de
5 personas cada uno. Cada uno
tendrá una labor específica a las
demás. ¿De cuántas formas
distintas es posible hacer la
distribución?
2.- Un grupo de 15 personas
quiere dividirse en 3 equipos de
Identificar se define como:
“Dicho de dos o más cosas
que pueden parecer o
considerarse diferentes:
Ser una misma realidad”
(RAE, 2014e).
Un problema es un conjunto de
hechos o circunstancias que dificultan
la consecución de algún fin (DRAE,
2016); por su parte, una dificultad es
un embarazo, inconveniente,
oposición o contrariedad que impide
conseguir, ejecutar o entender algo
bien y pronto (RAE, 2014f).
39
5 personas cada uno. Todos los
equipos tendrán la misma labor.
¿De cuántas formas distintas es
40
CAPÍTULO IV
RESULTADOS
41
En este capítulo se muestran los resultados obtenidos por el cuestionario aplicado a
los estudiantes de la Escuela Preparatoria Ricardo Flores Magón próximos a
participar en la 30ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas en la ciudad de Xalapa,
Veracruz, durante el periodo escolar 2016 – 2017.
Se describen los datos recuperados por medio de un gráfico para cada indicador, el
cual a su vez engloba los ítems evaluados, y en conjunto nos brindan detalles
sobresalientes respecto a cada dimensión, y globalmente respecto a cada variable.
Esto se decidió de dicha manera dado que desde un principio se consideraron a los
indicadores como las estructuras que median la información esperada mediante el
instrumento aplicado, siendo que estos apartados son los que ciertamente miden las
dimensiones y variables, y se sustentan en los ítems (como ya se mencionaba
anteriormente).
Los resultados fueron elaborados mediante una hoja de cálculo, utilizando el
programa Microsoft Excel 2013. Éstos aparecen vaciados primeramente en una
tabla, y posteriormente mediante un gráfico de barras (columnas) dado los datos a
cuantificar. Se requirió de una escala equivalente al 100% considerando el total de 7
alumnos encuestados, de aquí la distribución de los porcentajes de acuerdo a las
respuestas bidimensionales (Sí o No).
Posteriormente se prosiguió al análisis e interpretación de la información
esquematizada de manera textual (para un mejor entendimiento), como una
traducción de lo que se representa gráficamente.
4.1. Análisis de Resultados
Variable 1: Técnicas de Aprendizaje.
Dimensión 1: Búsqueda de Información / Argumentación.
En este apartado se analiza la capacidad de indagación, fundamentación y
perseverancia que presentan los estudiantes en afecto al tópico combinatorio.
42
Indicador 1: Interés.
Cada persona presenta una afinidad o tendencia por diferentes cosas que les llama
la atención, qué les gusta y qué les atrae. Muchas veces se puede tener vocación
por la materia de Matemáticas, en específico por temas de Combinatoria; inclusive se
puede ser bueno en ello o no tanto, pero lo importante es el interés que se tenga por
aprender.
Como se puede observar, 14.29% de los estudiantes afirma que Combinatoria es su
tópico matemático preferido, lo que corresponde a un solo estudiante de un total de
7. Por otra parte, se tiene que 6 estudiantes (el 85.71%) se enfrentan todos los días a
por lo menos un problema de conteo. Comparando estos dos primeros resultados se
deduce que no importa si el tema es de prioridad para los estudiantes o no, sin
embargo, ellos se involucran en el mismo.
Por otra parte se tiene que el 100% de los educandos de la muestra seleccionada
afirma que les gustaría abordar problemas avanzados de Combinatoria, ello sin
importar su afición o no al tópico matemático, lo cual refleja un muy buen y
satisfactorio resultado porque quiere decir que muestran un gran interés por el tema
(cualidad principal para desarrollar un buen aprendizaje).
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Indicador 2: Justificación.
La esencia de la solución de problemas de Combinatoria se encuentra en la
estructura del argumento. De esto trata la justificación, siendo que resulta ser más
importante el hecho de razonar y justificar el porqué del resultado de un problema al
que se ha llegado (aunque este sea incorrecto), que llegar simplemente al resultado
ignorando si el procedimiento seguido está bien o mal (principio de coincidencia).
4.2. Conclusiones
La búsqueda de información es indispensable, pues por medio de ésta se obtiene el
conocimiento. Buscar requiere de un proceso exhaustivo, de indagar en fuentes
confiables y de formar una base teórica, práctica y de aprendizaje, este último como
resultado a corto o mediano plazo. Ahora bien, en Combinatoria, éste se consigue
con la búsqueda íntegra de contenido respecto al tema y se complementa mediante
la práctica; por lo que una buena base teórica vislumbra resultados prometedores
4.3. Propuesta
El interés es una cualidad o afinidad que presenta una persona hacia algún objeto o tarea determinada (WordReference, 2016); siendo así que ello le llama la atención, le provoca gusto, satisfacción y que desde luego generará un provecho o beneficio. Para lograr un buen desempeño en una determinada área (con enfoque principal en
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el tópico matemático de Combinatoria), lo primordial de lo que debe atañer al individuo es el gusto y pasión por lo que hace, por lo que realiza. Y es aquí donde sobresale el
4.4. Recomendaciones
El interés es una cualidad o afinidad que presenta una persona hacia algún objeto o tarea determinada (WordReference, 2016); siendo así que ello le llama la atención, le provoca gusto, satisfacción y que desde luego generará un provecho o beneficio. Para lograr un buen desempeño en una determinada área (con enfoque principal en el tópico matemático de Combinatoria), lo primordial de lo que debe atañer al individuo es el gusto y pasión por lo que hace, por lo que realiza. Y es aquí donde sobresale el
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ANEXOSANEXO A: INSTRUMENTO
Investigación sobre el Razonamiento Combinatorio en estudiantes de la Escuela Preparatoria Ricardo Flores Magón próximos a participar en la 30ª Olimpiada Mexicana de Matemáticas, en la ciudad de Xalapa, Veracruz (periodo 2016 –
2017).
El presente cuestionario forma parte de un trabajo de investigación de la materia “Metodología de la Investigación”, con un enfoque hacia el desarrollo del razonamiento combinatorio en estudiantes de bachillerato. Las respuestas serán confidenciales, y datos personales (como edad y sexo) solo se tomarán con fines demográficos. Se agradece de antemano su participación y colaboración a este proyecto.
Edad: ____ Sexo: ____ M ____ F
Instrucciones. Tacha el recuadro que consideres correcto.
ProblemaImporta el
OrdenNo Importa el
Orden
El valor del problema recae en combinación
El valor del problema recae en permutación
Un grupo de 15 personas quiere
dividirse en 3 equipos de 5 personas cada
uno. Cada uno tendrá una labor específica a
50
las demás. ¿De cuántas formas
distintas es posible hacer la distribución?
Un grupo de 15 personas quiere
dividirse en 3 equipos de 5 personas cada
uno. Todos los equipos tendrán la misma labor.
¿De cuántas formas distintas es posible
hacer la distribución?* Pregunta de Control. Rellena el círculo que contenga la letra A.
Instrucciones. Tacha el círculo de la parte derecha según sea tu respuesta.
1. ¿Combinatoria es tu tópico matemático favorito?
2. ¿Todos los días te enfrentas a por lo menos un problema de conteo?
3. ¿Te gustaría abordar problemas avanzados de Combinatoria?
4. ¿Te gusta escribir (justificar) tu manera de pensar y de razonar la solución de un problema?
5. ¿Se te facilita?
6. ¿Posees orden y claridad de tus ideas?
7. ¿Se te dificulta el por dónde comenzar a abordar un problema de conteo?
8. ¿La mayoría de tus soluciones son creativas, es decir, diferentes a la de los demás?
9. ¿Sientes pasión por lo abstracto?
10.¿Comprendes a fondo los problemas de conteo y su solución?
11.¿Aclaras dudas con el profesor?
12.¿Simplificas los problemas?
51
13.¿Conviertes un problema de conteo difícil en uno fácil al plantearlo de una nueva manera?
14.¿Se te facilita esta visualización y/o perspectiva diferente del problema?
15.¿Interpretas de diferentes formas lo que deseas contar?
16.¿Consideras que es útil hacer conteos indirectos?
17.¿Se te facilita el tema de Combinatoria?
* Pregunta de Control. Rellena el (los) círculo (s) que no contengan la letra B.
18.¿Puedes explicar un problema y su solución sin ver tu libreta (apuntes)?
19.¿Entiendes la notación empleada en Matemáticas, específicamente en Combinatoria?
20.¿Consideras que practicar lleva al éxito?
21.¿Te consideras constante y perseverante en tu preparación como Olímpico de Matemáticas?
22.¿Aprendes mejor cuando alguien te explica un contenido? o ¿por tu propia cuenta investigando y leyendo?
23.¿Te consideras autodidacta?
24.¿Consideras que podrías obtener un alto desempeño en las Olimpiadas de Matemáticas si solo te quedaras con el conocimiento aprendido en la escuela?
En Combinatoria:
25.¿Sabes en qué casos importa el orden de los objetos y en cuáles no?
26.¿Comprendes el planteamiento de un problema a primera instancia?
27.¿Empleas fórmulas aun sin saber de dónde provienen las mismas, cómo aplicarlas, en qué momento o qué significan?
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28.Al llegar a un resultado, ¿éste lo puedes comprobar fácilmente?
29.¿Te ocurre a menudo que cuentas mal, es decir, de más o de menos?
30.¿Divagas durante la solución del problema?
31.¿Conoces pocas fórmulas?
32.¿Consideras que tu aprendizaje es mecanizado (dependiente en su mayoría de fórmulas)?
¡Muchas Gracias!
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