1 cours mécanique des fluides

Plan du cours de la

Mécanique des fluides

Chapitre I: Statique des fluides

Chapitre II: Cinématique des fluides

Chapitre III: Dynamique des fluides

Chapitre IV: Analyse dimensionnelle

I. Propriétés physiques des fluides

1. Notion de fluide

La distinction entre solide et fluide semble naturelle, elle définit

différents états de la matière : de l’organisation régulière et stable des

atomes (qui caractérise les solides) à l’agitation libre des molécules

(qui caractérise les gaz). D’un point de vue mécanique, un solide a

une forme propre. Il peut être considéré comme indéformable, ou s’il

est déformable, alors sa déformation finale est constante dans un

champ de sollicitations constant. Les fluides sont des substances

capables de s’écouler et de prendre la forme du récipient qui les

contient : ils continuent à se déformer, même sous sollicitations

constantes.

On peut répartir les fluides en liquides et en gaz. Les liquides

occupent des volumes bien définis et présentent des surfaces libres.

Les gaz se dilatent jusqu’à occuper tout le volume offert. Ils sont très

compressibles.

Chapitre I : Statique des fluides

2. Masse volumique et densité

La masse volumique d’un corps est le rapport entre la masse et le

volume occupé :

, elle s’exprime en Kg.m-3 .Elle est fonction de la température et la

pression

Pour un fluide incompressible, elle est constante :

Pour un fluide barotrope , la masse volumique r ne dépend que de la

pression r(p).

reau =1000 kg.m-3

La densité d’un corps est le rapport de la masse volumique de ce corps

à la masse volumique de l’eau. Il s’agit donc d’une grandeur sans

dimension et la densité de l’eau est égale à deau =1 et celle de mercure

vaut dmercure=13,6

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3. Viscosité

La viscosité se définit comme la résistance opposée par le fluide à sa mise

en mouvement. L’expérience décrite ci-après illustre le phénomène

physique.

On considère l’´ecoulement visqueux dans l’espacement entre deux plaques

planes de grandes envergures, parallèles et séparées par une petite distance δ

comme montré sur la figure ci-dessous. Une plaque est fixe et l’autre mobile

dans son propre plan à une vitesse constante On observe pour des

nombreux fluides, tel que l’air et l’eau, que la vitesse entre les deux plaques

varie linéairement de zéro à U, d’une plaque à l’autre:

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la force Fx nécessaire pour maintenir la plaque mobile en mouvement (ici, la

plaque supérieure) est directement proportionnelle à la vitesse relative ainsi

qu’ à l’aire A de la plaque, et inversement proportionnelle à la distance δ:

Avec un coefficient de proportionnalité qui est la viscosité dynamique, m.

La force qui s’exerce sur la plaque inférieure par le fluide est :

et sur la plaque supérieure :

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Ainsi, tout fluide qui se déforme de cette manière, est appelé, fluide Newtonien.

Il existe des fluides dont le comportement est différent et peuvent, par exemple, supporter

une contrainte de cisaillement τ0 avant de se mettre en mouvement tels que les matières

plastiques et les fluides dénommés fluides de Bingham. Pour la première catégorie la

variation des contraintes de cisaillement est non-linéaire avec les gradients de vitesse tandis

que pour le deuxième elle est linéaire et décrite par :

On appelle fluide non Newtonien toute matière fluide qui n’obéisse pas à la loi de Newton,

tels que des miels, des huiles lourdes, des boues, des solutions de polymère, ainsi que les

poudres comme les sels ou les sables.

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Exemples d’ordres de grandeur :

Eau : m=0,001 Pa.s; huile de graissage : m=0,02 Pa.s ; essence :

m=0,0026 Pa.s et 1 Pa.s= 1 kg/m.s

On définit la viscosité cinématique comme le rapport entre le

coefficient de viscosité absolue m et la masse volumique du

fluide n=m/r ; neau=10-6 m2.s-1

La viscosité peut être sensible au facteur temps, comme fonction

de la vitesse d’écoulement du fluide (peu visqueux à grande

vitesse, très visqueux à faible vitesse).

Pour un fluide parfait, on a m=0 , pour un fluide newtonien,

m=constante

La viscosité varie avec la température et avec la pression.

II. Statique des fluides

La statique des fluides concerne l’étude des fluides au repos ou fluides

uniformément accélérés. Situations dans lesquelles il n’y a pas de

mouvement relatifs entre les particules de fluides . Les contraintes dues

aux frottements (de viscosité) étant nulles. Ainsi, les contraintes se

réduisent aux seules tensions superficielles de pression.

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2. Cas d’un fluide incompressible : l’hydrostatique

L’hydrostatique est la branche qui étudie les équilibres des fluides

incompressibles.

Les surfaces équipression sont donc des plans horizontaux, c'est le cas par exemple

des surfaces libres.

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3. Cas des fluides compressibles :

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Cas particulier d’une paroi plane inclinée:

Soit une paroi plane S immergée dans un liquide comme schématisée sur la figure

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5. Application de la statique des fluides

a. Théorème de Pascal (presse hydraulique)

Toute variation de pression en un point d'un liquide entraîne la même

variation en tous ses points.

Le principe de fonctionnement d'une presse hydraulique repose sur ce

théorème.

Soient par exemple, deux cylindres de sections différentes S et S'

formant des vases communicants :

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Exerçons sur le petit piston Pp une force F perpendiculaire à sa

surface, cela crée une surpression qui vaut : Dp = F / S. En vertu du

théorème de Pascal, sur le Grand piston Pg on a donc la même

variation de pression ce qui produit une force F', et on peut donc

écrire :

Dp = F / S = F' / S'.

On voit donc que si S' > S on a F' > F

mais le déplacement de Pp est plus grand que celui de Pg. Si on

enfonce le Pp de h, le Pg ne monte que de h'.

Il y a conservation du travail (ou de l'énergie) : Fh = F’h’.

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