Cours de Math IIE onomie et GestionSami Hanna hiINTES Tunis Moez KilaniISG SousseMai 2001

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Table des mati�eresI Analyse 51 Cal ul Int�egral 71.1 Int�egrale d�e�nie R ba f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Int�egrales Ind�e�nies R f(x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Int�egration par partie et par hangement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Cal ul de Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Compl�ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Int�egrales G�en�eralis�ees 252.1 Cas d'un intervalle non born�e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Cas d'une fon tion non born�ee sur un intervalle born�e . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Nature d'une int�egrale g�en�eralis�ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Int�egrales Doubles 313.1 D�e�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Propri�et�es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Th�eor�eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Changement de variables et oordonn�ees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Int�egrales doubles g�en�eralis�ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II Cal ul matri iel 354 Matri es et D�eterminants 374.1 Op�erations sur les matri es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 D�eterminant d'une matri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Matri e Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Autres Matri es parti uli�eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5 Appli ations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 Diagonalisation d'une Matri e 455.1 Valeurs propres, ve teurs propres et matri es semblables . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Diagonalisation d'une matri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 Appli ation : Cal ul de Ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.4 Th�eor�eme Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48A Primitives usuelles 493

4 TABLE DES MATI�ERES

Premi�ere partieAnalyse

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Chapitre 1Cal ul Int�egral1.1 Int�egrale d�e�nie R ba f(x)dxSoit f une fon tion r�eelle d�e�nie ontinue sur un intervalle [a; b℄. Fra tionnons [a; b℄ en n seg-ments su essifs (x0; x1); (x1; x2); :::; (xi; xi+1); :::; (xn�1; xn)tels que : a = x0 < x1 < ::: < xn = b.Soit Æ = maxi=1;:::;n fxi � xi�1g ; 'est �a dire la plus grande longueur des intervalles (xi�1; xi).On dit qu'on a fait une partition de [a; b℄ de diam�etre Æ. Consid�erons la somme de RiemannS(PÆ ) =Pni=1(xi�xi�1)f( i); o�u i est un nombre quel onque hoisit dans [xi; xi�1℄. Cette sommetend vers une limite �nie lorsqu'on hoisit une partition de plus en plus �ne (Æ ! 0); 'est �a direnXi=1(xi � xi�1)f( i)! I lorsque Æ ! 0.Cette limite I est appel�ee int�egrale de f sur l'intervalle [a; b℄. On noteI = Z ba f(x)dx.On a par d�e�nition R ba f(x)dx = � R ab f(x)dx: G�eom�etriquement, l'int�egrale de f entre a et brepr�esente la surfa e omprise entre l'axe des abs isses, la ourbe de f et les deux droites d'�equationsx = a et x = b.

R ba f(x)dxa bf(x)

x1.1.1 Propri�et�es de l'int�egraleSi f et g sont deux fon tions ontinues sur l'intervalle [a; b℄; on a les propri�et�es suivantes :{ R ba �f(x) + �g(x)dx = � R ba f(x)dx+ � R ba g(x)dx;{ Si f(x) � 0; x 2 [a; b℄ alors, R ba f(x)dx � 0,7

8 CHAPITRE 1. CALCUL INT�EGRAL{ Si f(x) � g(x); x 2 [a; b℄ alors R ba f(x)dx � R ba g(x)dx;{ Si f(x) � 0, x 2 [a; b℄ et si R ba f(x)dx = 0 alors f(x) = 0; 8x 2 [a; b℄,{ ���R ba f(x)dx��� � R ba jf(x)j dx,{ Relation de Chasles Z ba f(x)dx = Z a f(x)dx + Z b f(x)dxpour 2 [a; b℄;{ In�egalit�e de Cau hy-S hwartz Z ba f(x)g(x)dx!2 � Z ba f2(x)dx! Z ba g2(x)dx! ;{ Th�eor�eme de la moyenne9 2 [a; b℄ tel que (b� a)f( ) = Z ba f(x)dx:1b�a R ba f(x)dx est appel�ee valeur moyenne de f sur [a; b℄.Le th�eor�eme de la moyenne s'�ennon e de mani�ere plus g�en�erale sous la forme :f et g deux fon tions ontinues sur [a; b℄ et g de signe onstant, alors il �existe 2 [a; b℄tel que R ba f(x)g(x)dx = f( ) R ba g(x)dx.Pour g(x) = 1, 8x 2 [a; b℄, on retrouve l'�enon �e initial.1.2 Int�egrales Ind�e�nies R f(x)dxSoit f une fon tion ontinue sur [a; b℄. F (x) est appel�ee primitive de f si elle F 0 existe et,F 0(x) = f(x); 8x 2 [a; b℄.Soit G(x) une autre primitive de f(x). On a :G(x) = F (x) + C (C une onstante)L'ensemble des primitives de f(x) est not�e R f(x)dx :Z f(x)dx = F (x) + Co�u C est une onstante donn�ee. Le symbole R f(x)dx est appel�ee int�egrale ind�e�nie.Th�eor�eme : 1.1 Soient u et v deux fon tions d�erivables sur R et f une fon tion ontinue surR. La fon tion, G : x 7! Z u(x)v(x) f(t)dtest ontinue et d�erivable sur R, et on a,G0(x) = u0(x) � f (u(x)) � v0(x) � f (v(x)) .(u et v de lasse C1 et f ontinue alors G de lasse C1).

1.3. INT�EGRATION PAR PARTIE ET PAR CHANGEMENT DE VARIABLES 91.3 Int�egration par partie et par hangement de variablesTh�eor�eme : 1.2 (Integration par partie) Soient f et g deux fon tions d�erivables sur [a; b℄ ettelle que f 0 � g et f � g0 soient ontinues sur [a; b℄, alorsZ ba g(t) � f 0(t)dt = [f(t) � g(t)℄ba � Z ba g0(t) � f(t)dt.Remarque : Soient u et v deux fon tions ontinues sur I et telle que u0v et uv0 soient ontinuessur I . Dans le as de al ul de primitives, la formule d'int�egration par partie s'�e rit,Z uv0 � dx = uv � Z u0v � dxou en ore, Z u � dv = uv � Z v � duave , dv = v0dx et du = u0dx.Exemple 1. Soit, I = Z �=20 t sin t dt.On pose u = t! du = dt et dv = sin t dt! v = � os t. On obtient,I = [�t os t℄�=20 � Z �=20 � os t dt = Z �=20 sin t dt = [sin t℄�=20 = 1.Exemple 2. Soit, J = Z x Ar tg(x) dxOn pose u = Ar tg(x)! du = 1=(1 + x2)dx et dv = x dx! v = 1=2 x2.On obtient, J = 12x2Ar tg(x) � 12 Z x21 + x2 dx= 12x2Ar tg(x) � 12 Z dx+ 12 Z 11 + x2 dx= 12x2Ar tg(x) � 12x+ 12Ar tg(x) + C.Th�eor�eme : 1.3 (Changement de Variables) Soit f une fon tion ontinue sur un intervalle[a; b℄ et soit ' une fon tion de lasse C1 sur [�; �℄ telle que '(�) = a et '(�) = b et '([�; �℄) � [a; b℄.Alors, Z �� f ('(t)) � '0(t)dt = Z '(�)'(�) f(u)duExemple 3. Soit, I = Z 10 dt(1 + t2)2 .

10 CHAPITRE 1. CALCUL INT�EGRALOn pose t = tg(u) = '(u) et don dt = (1 + tg2(u)) du. t = 0 ! u = 0 et t = 1 ! u = �=4.Remarquons que ' est de lasse C1sur [0; �=4℄. On obtient,I = Z �=40 1(1 + tg2u)2 �1 + tg2u� du= Z �=40 du1 + tg2u= Z �=40 os2 u du= Z �=40 1 + os 2u2 du= �u2 + 14 sin 2u��=40= �8 + 14 .Exemple 4. Soit, J = 4b Z a0 r1� x2a2 dxOn pose, x = a os t = '(t)! dx = �a sin t dt (1.1)t = 0! x = a et t = �=2! x = 0 (1.2)On obtient, J = 4b Z 0�=2p1� os2 t (�a sin t) dt= 4ab Z �=20 sin2 t dt= 4ab Z �=20 1� os 2t2 dt= 4ab � t2 � sin 2t4 ��=20= �ab.Cal uler les primitives des fon tions suivantes,a. Log(x)x ; b. xLog(x) ; . x ar tan xTh�eor�eme : 1.4 Soit f une fon tion ontinue sur R,{ (i) si f est p�eriodique de p�eriode T; on a8a; b 2 R;8n 2 Z; Z b+nTa+nT f(t) dt = Z ba f(u) du;{ (ii) si f est paire, alors Z a�a f(t) dt = 2 Z a0 f(t) dt;{ (iii) si f est impaire, alors Z a�a f(t) dt = 0:Preuve : (i) on pose u = t � nT ! du = dt. on a u = a ! t = a + nT et u = b ! t = b + nT .d'o�u R b+nTa+nT f(t)dt = R ba f(u + nT )du = R ba f(u)du. (ii) on pose u = �t ! t = �u et don R 0�a f(t)dt =� R 0a f(�u)du = R a0 f(u) or R a�a f(t)dt = R 0�a f(t)dt+ R a0 f(t)dt d'o�u le r�esultat.(iii) Ave le meme hange-ment de variable pr�e �edent, R 0�a f(t)dt = � R 0a f(�u)du = + R a0 �f(u)du = � R a0 f(u)du d'o�u le r�esultat.�

1.4. CALCUL DE PRIMITIVES 111.4 Cal ul de Primitives1.4.1 Primitives de type R e�xP (x)dx (� onstante et P (x) polynome)On a, Z e�xP (x)dx = e�xQ(x) + C (1.3)o�u Q(x) est un polynome de meme degr�e que P (x).Exemple 5. Soit, Z e2x(x2 � 1)dx.On a � = 2 et P (x) = x2 � 1. D'apr�es (1.3),Z e2x(x2 � 1)dx = e2x(ax2 + bx+ ) + C (1.4)En d�erivant (1.4), on obtiente2x(x2 � 1) = e2x(2ax2 + 2bx+ 2 + 2ax+ b)ou en ore x2 � 1 = 2ax2 + (2b + 2a)x + 2 + b. D'o�u, 2a = 1; 2a + 2b = 0, 2 + b = �1.Finalement, a = 1=2, b = �1=2 et = �1=4. L'�equation (1.4) s'�e rit alors,Z e2x(x2 � 1)dx = e2x(12x2 � 12x� 14 ) +Co�u C est une onstante donn�ee.Montrer les deux �egalit�es,Z e�x os(�x)dx = e�x�2 + �2 [� os (�x) + � sin (�x)℄ + Cet, Z e�x sin (�x) dx = e�x�2 + �2 [� sin (�x)� � os (�x)℄ + C.1.4.2 Primitives de type R dxpax2+b1. (a et b positifs) On a, I1 = Z dxpax2 + b = 1pb Z dxq�pabx�2 + 1On pose, t =rab x! dt =rab dxet don I1 = 1pb Z pb=a dtpt2 + 1= 1paLog(t+pt2 + 1) + C= 1paLog�rabx+rab x2 + 1�+ C= 1paLog �pax+p(ax2 + b)�+ C 0o�u C et C 0 sont deux onstantes donn�ees.Exemple 6. V�eri�er,Z dxp2x2 + 3 = 1p2Log �p2x+p2x2 + 3�+ C

12 CHAPITRE 1. CALCUL INT�EGRAL2. (a positif et b n�egatif) On a,I1 = Z dxpax2 + b = 1p�b Z dxr�q a�bx�2 � 1On pose, t =r a�bx! dt =r a�bdxet don I1 = 1p�b Z p�b=a dtpt2 � 1= 1paLog ���t+pt2 � 1���+ C= 1paLog ����r a�bx+r a�bx2 � 1����+ C= 1pa ln ���pax+p(ax2 � b)���+ C 0Exemple 7. v�eri�er,Z dxp2x2 � 3 = 1p2 ln�p2x+p(2x2 � 3)�+ C3. (a n�egatif et b positif) On a,I1 = Z dxpax2 + b = 1pb Z dxr��q�ab x�2 + 1On pose, t =r�ab x! dt =r�ab dxet don I1 = 1pb Z pb=(�a) dtp�t2 + 1= 1p�a ar sin t+ C= 1p�a ar sin r�ab x!+ CExemple 8. v�eri�er, Z dxp3� 2x2 = 1p2 ar sin r23x!+ C1.4.3 Primitives de type R dxpax2+bx+ ave b2 6= 4a Remarquer que ax2 + bx+ = �pax+ b2pa�2 + � b24a . On �e rit don ,Z dxpax2 + bx+ = Z dxr�pax+ b2pa�2 + � b24aet on ram�ene ette expression �a la forme R dtpt2+1 .

1.4. CALCUL DE PRIMITIVES 13Exemple 9. Soit �a al uler, I1 = Z dxp2x2 + 3x+ 3on a, 2x2 + 3x+ 3 = �p2x+ 32p2�2 + 3� � 32p2�2 = �p2x+ 32p2�2 + 158 et don ,I1 = Z dxr�p2x+ 32p2�2 + 158= 2p2p15 Z dxr� 4p15x+ 3p15�2 + 1on pose, t = 4p15x+ 3p15 ! dt = 4p15dxet don , I1 = 2p2p15 Z p154 dtpt2 + 1= 1p2Log �t+pt2 + 1�+ C= p2Log0� 4p15x+ 3p15 +s� 4p15x+ 3p15�2 + 11A+ C= p2Log�4x+ 3 +q(4x+ 3)2 + 15�+ C0o�u C et C0 sont deux onstantes.1.4.4 Primitives de type R �x+�pax2+bx+ dxOn �e rit �x+�pax2+bx+ omme la somme d'un terme de type f 0(x)pf(x) et d'un autre de type R dxpax2+bx+ .Exemple 10. Soit, I = Z 2x+ 2p2x2 + 3x+ 3dxon a, 2x+ 2p2x2 + 3x+ 3 = 12 4x+ 4p2x2 + 3x+ 3= 12 4x+ 3p2x2 + 3x+ 3 + 12 1p2x2 + 3x+ 3et don , I = 12 Z 4x+ 3p2x2 + 3x+ 3dx+ 12 Z 1p2x2 + 3x+ 3dxLa deuxi�eme primitive a �et�e al ul�ee dans la sous se tion pr�e �edente, etZ 12 4x+ 3p2x2 + 3x+ 3dx =p(2x2 + 3x+ 3)et don , I = Z 2x+ 2p2x2 + 3x+ 3dx= p(2x2 + 3x+ 3) + 12p2Log�4x+ 3 +q(4x+ 3)2 + 15�+ Co�u C est une onstante donn�ee.

14 CHAPITRE 1. CALCUL INT�EGRAL1.4.5 Primitives de type R dxax2+b et R dxb�ax2 (a; b > 0)1. On a, I1 = Z dxax2 + b = 1b Z dx�pabx�2 + 1soit t =rab x! dt =rab dxdon , I2 = 1b Z q badtt2 + 1= 1pab ar tan(t) + C= 1pab ar tan�rab x�+ Co�u C est une onstante donn�ee.2. On a, I2 = Z dxb� ax2 = 1b Z dx1� �pabx�2soit t =rab x! dt =rab dxdon , I2 = 1b Z q badt1� t2= 12pabLog �����1 +pabx1�pabx �����+ Co�u C est une onstante donn�ee.1.4.6 Primitives de type R dxax2+bx+ ave b2 � 4a < 0On utilise en ore l'�egalit�e,ax2 + bx+ = �pax+ b2pa�2 + � b24aa�n d'avoir la forme R dtt2+1 .Exemple 11. Soit, I = Z dx3x2 + x+ 2On a, 3x2 + x+ 2 = �p3x+ 12p3�2 + 2� 112 = �p3x+ 12p3�2 + 2312et don , I = 1223 Z dx� 6xp23 + 1p23�2 + 1on pose, t = 6xp23 + 1p23 ! dt = 6p23dx

1.4. CALCUL DE PRIMITIVES 15d'o�u, I = 1223 Z p236 dtt2 + 1= 2p23Ar tg(t) +C= 2p23Ar tg(6x+ 1p23 ) + Co�u C est une onstante.1.4.7 Primitives de type R �x+�ax2+bx+ dxOn �e rit �x+�ax2+bx+ omme la somme d'un terme de type f 0(x)f(x) et d'un autre de type R dxax2+bx+ .Exemple 12. Soit, I = Z x+ 13x2 + x+ 2dxon a, x+ 13x2 + x+ 2 = 16 6x+ 63x2 + x+ 2= 16 6x+ 13x2 + x+ 2 + 16 53x2 + x+ 2et don , I = 16 Z 6x+ 13x2 + x+ 2dx+ 56 Z dx3x2 + x+ 2or 16 R 6x+13x2+x+2dx = 16Log(3x2 + x+ 2) + C. D'o�u,I = 16Log(3x2 + x+ 2) + 53p23Ar tg(6x+ 1p23 ) +C0o�u C et C0 sont deux onstantes positives.1.4.8 Primitives de type R du(1+u2)m (m entier naturel)Soit, Im = Z du(1 + u2)mPour al uler ette primitive, on �etablit une relation de re urren e entre Im et Im�1 et on it�erejusqu'�a I1 = ar tanx+ C (C une onstante donn�ee).On a, Im = Z du(1 + u2)m�1 � Z u2du(1 + u2)m (1.5)= Im�1 � Z u u du(1 + u2)mOn al ule ensuite le deuxi�eme terme. Faisons une int�egration par partie ave ,dv = u du(1 + u2)m ) v = 12 11�m 1(1 + u2)m�1on obtient, Z u u du(1 + u2)m = 12 11�m u(1 + u2)m�1 � 12 11�m Z du(1 + u2)m�1= 12 11�m u(1 + u2)m�1 � 12 11�mIm�1

16 CHAPITRE 1. CALCUL INT�EGRALEn rempla� ant dans (1.5), on trouve,Im = Im�1 ��12 11�m u(1 + u2)m�1 � 12 11�mIm�1�Apr�es simpli� ation, Im = u2 (m� 1) (1 + u2)m�1 + 2m� 32 (m� 1)Im�1 (1.6)Exemple 13. Soit, I = Z dx(x2 + 2x+ 3)3 :On a, I = 123 Z dx�(x+1p2 )2 + 1�3Soit u = (x+ 1)=p2! du = dx=p2.I s'�e rit alors omme, I = p28 Z du(u2 + 1)3 .En utilisant (1.6), on aZ du(u2 + 1)3 = u2(3� 1)(1 + u2)3�1 + 2� 3� 32(3� 1) Z du(u2 + 1)2= u4(1 + u2)2 + 34 Z du(u2 + 1)2En utilisant en ore une fois (1.6), on aZ du(u2 + 1)2 = u2(1 + u2) + 12 Z duu2 + 1= u2(1 + u2) + 12 ar tanu+ Cd'o�u, I = p28 � u4(1 + u2)2 + 34 � u2(1 + u2) + 12 ar tanu��+C0En�n, en rempla� ant u par x+1p2 ,I = 18 x+ 1(x2 + 2x+ 3)2 + 332 x+ 1x2 + 2x+ 3 + 332p2 ar tan�x+ 1p2 �+C01.4.9 Primitives des Fra tions RationnellesPr�ealable : D�e omposition des polynomes et des fon tions rationnelles1. Un polynome est soit r�edu tible soit non r�edu tible.(a) Les polynomes irr�edu tibles sont de deux types :{ tous les polynomes de premier degr�e : ax+ b.{ les polynomes de se ond degr�e n'admettant pas de ra ines r�eelles : ax2 + bx + ave b2 � 4a < 0.(a) Tout polynome r�edu tible (n'ayant pas une forme des deux it�ees) est d�e omposable enun produit de fa teurs irr�edu tibles :p(x) = an(x� 1)n1 :::(x � p)np(x2 + b1x+ 1)m1 :::(x2 + bnx+ n)mqet ette d�e omposition est unique.

1.4. CALCUL DE PRIMITIVES 172. Les fon tions rationnelles qui appartiennent �a l'un ou l'autre des types suivants :A(x + )p ; Bx+ C(ax2 + bx+ )qo�u ; a; b; ; A;B et C sont des onstantes r�eelles, et p et q des entiers naturels non nuls, sontappel�ees �el�ements simples. Soient P et Q deux polynomes tel que degP < degQ (et n'ayantpas de diviseur ommun). Si Q est irr�edu tible alors la fra tion rationnelle P (x)Q(x)est surementun �el�ement simple. Sinon, P (x)Q(x) s'�e rit, de mani�ere unique, omme produit �ni d'�el�ementssimples. Et on aQ(x) = an(x � 1)n1 :::(x� p)np(x2 + b1x+ 1)m1 :::(x2 + bnx+ n)mqdonne, P (x)Q(x) = pXh=1 nhXi=1 Ah;i(x � h)i!+ qXk=10�mkXj=1 Ak;jx+Nk;j(x2 + bkx+ k)i1A{ Exemple 14. Soit la d�e omposition suivante,x+ 3x2 � 3x+ 2 = x+ 3(x� 1)(x� 2) = Ax� 1 + Bx� 2pour trouver la valeur de A on multiplie haque membre de l'�egalit�e par (x� 1);x+ 3x� 2 = A+ B(x� 1)x� 2on �xe x �a 1, �4 = A:Pour avoir B, on multiplie haque membre de l'�egalit�e par (x� 2);x+ 3x� 1 = A(x� 2)x� 1 +Bet on �xe x �a 2, 5 = B.Et don , x+ 3x2 � 3x+ 2 = 5x� 2 � 4x� 1 .Exemple 15. Soit la d�e omposition suivante,�x+ 5(x� 2)2(x+ 1) = A(x� 1)2 + Bx� 1 + Cx+ 1 :Pour d�eterminer A, On multiplie l'�equation par (x � 1)2 et on �xe x �a 1, pour obtenirA = 1. Pour obtenir C on multiplie par (x+1) et on �xe x �a (�1) pour obtenir C = 2=3.Pour obtenir la valeur de B; on peut,{ soit, donner �a x une valeur parti uli�ere qui soit la plus simple �a al uler. Dans etexemple 'est la valeur x = 0 : 54 = 14 � B2 + 23et don C = 23 .{ soit, multiplier les deux membres par x qu'on fait tendre vers l'1 :0 = 0 +B + 23et don C = 23 :Exemple 16. Soit la d�e omposition suivante,1x3 � 1 = 1(x� 1)(x2 + x+ 1) = Ax� 1 + Mx+Nx2 + x+ 1

18 CHAPITRE 1. CALCUL INT�EGRALpour avoir A on multiplie par (1� x) et on �xe x �a 1, e qui donne A = 13 . Pour M onmultiplie par x que l'on fait tendre vers l'1;0 = 13 +Mdon M = �13 . En�n pour avoir la valeur de C, on �xe x �a 0,�1 = �13 +Ndon N = �23 . D'o�u,1x3 � 1 = 1(x� 1)(x2 + x+ 1) = 13 1x� 1 � 13 x+ 2x2 + x+ 1 :Exemple 17. Soit la d�e omposition,x+ 1(x3 � 1)2 = x+ 1(x� 1)2(x2 + x+ 1)2= Ax� 1 + B(x� 1)2 + Cx+Dx2 + x+ 1 + Ex+ F(x2 + x+ 1)2On multiplie par (x � 1)2 et on �xe x �a 1, on obtient B = 29 . Multiplions ensuite par(x2 + x+ 1)2 et �xons e terme �a 0 (remarquer que ette ondition ne peut etre v�eri��eeque pour un x omplexe). On a,x+ 1(x� 1)2 = Ex+ F0 = (Ex+ F )(x2 � 2x+ 1)� (x+ 1)0 = (Ex+ F )(�x� 1� 2x+ 1)� (x+ 1)0 = (Ex+ F )(�3x)� x� 10 = �3Ex2 � 3Fx� x� 10 = �3E(�x� 1)� 3Fx� x� 10 = 3Ex+ 3E � 3Fx� x� 10 = (3E � 3F � 1)x+ 3E � 1et on obtient deux �equations 3E � 3F � 1 = 0 et 3E � 1 = 0 d'o�u E = 13 et F = 0.Ensuite, on multiplie par x qu'on fait tendre vers l'1;0 = A+ 0 +C + 0don A = �C. Ensuite, pour x = 0; on a1 = �A+ 29 +D + 0et pour x = �1; 0 = A�2 + 236 � C +D � 13 + 0on a don le syst�eme, � �A+D = 7912A+D = 1036ave les solutions D = 49 et A = � 13 : Or C = �A = 13 : Finalement,x+ 1(x3 � 1)2 = 29 (�1 + x)2 � 13 (�1 + x) + 19 4 + 3xx2 + x+ 1 + 13 x(x2 + x+ 1)2 :Remarque : Si la fra tion rationnelle �a d�e omposer est paire ou impaire, ertaines onstantespeuvent etre d�egag�ees rapidement.

1.4. CALCUL DE PRIMITIVES 19Exemple 18. Soit, f(x) = x2(x2 + 1)2 = Ax+Bx2 + 1 + Cx+D(x2 + 1)2= �Ax+Bx2 + 1 + �Cx+D(x2 + 1)2 ar f(x) est paire. Don A = C = 0.Exemple 19. Soit, f(x) = x3(x2 + 1)2 = Ax+Bx2 + 1 + Cx+D(x2 + 1)2f est impaire et don f(�x) = �f(x): Ainsi,�Ax+Bx2 + 1 + �Cx+D(x2 + 1)2 = �Ax�Bx2 + 1 + �Cx�D(x2 + 1)2et don B = D = 0.Cal ul des primitivesUne fra tion rationnelle s'�e rit omme le rapport de deux polynomes : P (x)Q(x) . A�n de al ulerles primitives de telles fon tions on passe par les �etapes suivantes,1. On �e rit, P (x)R(x) = E(x) + R(x)Q(x)o�u E et R sont deux polynomes tels que deg(R) < deg(Q): Toutefois, si deg(P ) < deg(Q); ona E(x) = 0 et on passe dire tement �a l'�etape 2. Pour trouver E et R on applique l'algorithmede la division Eu lidienne de P par Q selon les puissan es d�e roissantes.Exemple 20. Soit P (x) = �2x3 + x2 � 1 et Q(x) = �x2 + 2x+ 1. On a,�2x3 + x2 + 0x� 1 �x2 + 2x+ 1�3x2 � 2x+ 0 E(x) = 2x+ 3R(x) = �8x� 4et don p(x)Q(x) = �2x3+x2�1�x2+2x+1 = 2x+ 3 + �8x�4�x2+2x+1 :2. La primitive de E(x) est �evidente �a al uler. Pour al uler R(x)Q(x) on l'�e rit omme sommed'�el�ements simples omme indiqu�e dans la sous-se tion pr�e �edente.3. On al ule les primitives de haque �el�em�ent simple,{ R Ax�adx = ALog jx� aj+ C{ R A(x�a)n dx = A(1�n)(x�a)n�1 + C{ R �x+�ax2+bx+ dx d�ej�a dis ut�e.{ R �x+�(ax2+bx+ )m dx on essaye de ramener ette expression �a une de type R f 0(x)(f(x))m dx et uneautre de type In = R 1(1+u2)n du. Le al ul de es deux types de primitives est dis ut�e i-haut.1.4.10 Primitives des polynomes trigonom�etriquesUn polynome trigonom�etrique est la somme de terme de type sinp(x) osq(x) o�u p et q sont desentiers naturels. Le al ul de es primitives se r�esume don �a al uler les primitives de type,Ip;q = Z sinp(x) osq(x) dx (1.7)On distingue trois as :

20 CHAPITRE 1. CALCUL INT�EGRAL1er as p impair et q pair. Don p = 2n+ 1 et (1.7) devient,I2n+1;q = Z sin2n(x) osq(x) sin(x) dxon pose t = os(x)! dt = � sin(x)dx; et don I2n+1;q = Z �1� t2�n tq(�dt)= � Z �1� t2�n tqdtExemple 21. soit,I5;2 = Z sin5(x) os2(x)dx= �Z (1� t2)2t2dt= �Z (1� 2t2 + t4)t2dt= Z (�t2 + 2t4 � t6)dt= �13 os3(x) + 25 os5(x)� 17 os7(x) +Co�u C est une onstante donn�ee.2�eme as p pair et q impair (q = 2n+ 1). On pose t = sin(x)! dt = os(x)dx; et don I2n+1;q = Z tp �1� t2�n dt3�eme as p pair et q pair. On lin�earise sinp(x) et osq(x) et on utilise les formules de transformation : osa os b = 12 [ os(a+ b) + os(a� b)℄sina os b = 12 [sin(a+ b) + sin(a� b)℄sin a sin b = 12 [ os(a� b)� os(a+ b)℄Exemple 22. Soit, I2;4 = Z sin2 x os4 x dxOn a, sin2 x = 1� os 2x2 et os2 x = 1 + os 2x2d'o�u, os4 x = 14 �1 + 2 os 2x+ os2 2x�= 14 �1 + 2 os 2x+ 1 + os 4x2 �= 38 + 12 os 2x+ 18 os 4xet, sin2 x os4 x = �132 os 6x� 116 os 4x+ 132 os 2x+ 116don , I2;4 = �1192 sin 6x� 164 sin 4x+ 164 sin 2x+ 116x+ Co�u C est une onstante donn�ee.

1.4. CALCUL DE PRIMITIVES 211.4.11 Primitives des fon tions rationnelles trigonom�etriquesIl s'agit des primitives de type R R(sinx; osx)dx o�u R est une fon tion rationnelle. Posonsf(x)dx = R(sinx; osx)dx (f(x)dx est appel�e l'�el�ement di��erentiel).1er as Si f(�x)d(�x) = f(x)dx; on pose t = osx.2�eme as Si f(� � x)d(� � x) = f(x)dx; on pose t = sinx:2�eme as Si f(� + x)d(� + x) = f(x)dx; on pose t = tg(x)! dt = (1 + t2)dx.4�eme as Si au une des onditions pr�e �edente n'est v�eri��ee on pose t = tg(x=2) ! dt = 12 (1 + t2)dx,et on utilise les transformations suivantes :sinx = 2t1 + t2 osx = 1� t21 + t2tanx = 2t1� t2Exemple 23. Soit, I = Z dx os3 xremarquons que, d(� � x) os3(� � x) = � dx� os3 x = dx os3 xon pose don , t = sinx! dt = os x dx: On a,I = Z osx dx os4 x= Z dt(1� t2)2= Z dt(1� t)2(1 + t)2La primitive de ette fra tion rationnelle donne apr�es al ul,I = � 14 (�1 + sinx) � 14 ln (�1 + sinx)� 14 (1 + sinx) + 14 ln (1 + sinx) + Co�u C est une onstante donn�ee.Exemple 24. Soit, I = Z dxsin2 x+ 3 os2 xremarquons que dxsin2(�+x)+ os2(�+x) = dxsin2 x+ os2 x . On pose don , t = tg(x) ! dt = (1 +t2)dx = dx os2 x : D'o�u I = Z 1sin2 x os2 x + 3 dx os2 x= Z dt3 + t2= Z dtp32 + t2= 1p3 ar tan(t=p3) + C= 1p3 ar tan( tanxp3 ) +C:o�u C est une onstante donn�ee.Exemple 25. Soit, I = Z dx2 + os x

22 CHAPITRE 1. CALCUL INT�EGRALles trois tests sont n�egatifs. On pose don , u = tan(x=2)! du = 12 (1+u2)dx! dx = 2du1+u2 et osx = 1�u21+u2 . Don , I = Z 12 + 1�u21+u2 2du1 + u2= Z 2du3 + u2= 2p3 ar tan� tan(x=2)p3 �+ C:o�u C est une onstante donn�ee.1.4.12 Primitives des fon tions ontenant une ra ine arr�eePour les expressions de type pax+ b on pose t = pax+ b, et pour les expressions de typeqax+b x+d on pose t =qax+b x+d .Exemple 26. Soit, I = Z x2px+ 1dxon pose t = px+ 1! t2 = x+ 1 et dx = 2 t dt. On obtient,I = Z (t2 � 1)2t 2tdt= 2 Z (t2 � 1)2dt= 25 t5 � 43 t3 + 2t+ C= 25px+ 15 � 43px+ 13 + 2px+ 1 + C:Exemple 27. Soit, I = Z xr1 + x1� xdxon pose t =q 1+x1�x ! t2 = 1+x1�x et x = ��t2+1t2+1 = t2�1t2+1 ! dx = 4t(t2+1)2 dt. On obtient,I = Z t2 � 1t2 + 1 t 4t(t2 + 1)2 dt= 2 t(t2 + 1)2 � 3 tt2 + 1 + ar tan t+ C= 2 t(t2 + 1)2 � 3 tt2 + 1 + ar tan t+ Co�u C est une onstante donn�ee. On rempla e ensuite t par q 1+x1�xpour trouver,I = 12p(�x2 + 1)x+p(�x2 + 1) + ar tan 1�1 + xp(�x2 + 1) + C1.5 Compl�ements1.5.1 Limite d'une s�erie de type b�an Pn�1k=0 f(a+ (b� a) kn)Soit une s�erie qui s'�e rit omme,Sn = b� an n�1Xk=0 f(a+ (b� a)kn ): (1.8)Alors, limn!1Sn = Z ba f(x)dx

1.5. COMPL�EMENTS 23Exemple 28. Soit �a al uler la somme,Sn = n+ 1n2 + 12 + n+ 2n2 + 22 + :::+ n+ nn2 + n2Sn s'�e rit aussi omme,Sn = 1n � 1 + 1=n1 + (1=n)2 + 1 + 2=n1 + (2=n)2 + :::+ 1 + n=n1 + (n=n)2�= 1n nXk=1 1 + (k=n)1 + (k=n)2Soit, f(x) = 1+x1+x2 , a = 0 et b = 1. Sn s'�e rit alors omme (1.8), et on alimn!+1Sn = Z 10 1 + x1 + x2 dx = �4 + Logp2.1.5.2 Approximation de l'int�egralSi la primitive d'une fon tion ne peut etre exprimer expli itement, on peut al uler une valeurappro h�ee de l'int�egrale en utilisant des te hniques num�eriques. Les plus simples sont la m�ethodedes re tangles et elle des trap�ezes.M�ethodes des re tanglesOn fait une partition de l'intervalle [a; b℄ en n sous intervalles de memes longueur b�an , eten �evalue ensuite f au milieu de haque intervalle. La moyenne de es valeurs est retenue pourl'approximation de l'int�egrale. On aZ ba f(x)dx � b� an nXi=1 f �a+ (2i� 1)b� a2n �M�ethode des trap�ezesOn fait une partition de l'intervalle [a; b℄ en n sous intervalles de memes longueur b�an , et en�evalue ensuite f au d�ebut et �a la �n de haque intervalles. La moyenne de es valeurs est retenuepour l'approximation de l'int�egrale. On aZ ba f(x)dx � b� an n�1Xi=1 12 �f �a+ i b� an �+ f �a+ (i+ 1)b� an ��1.5.3 D�eveloppement limit�e ave reste int�egralSoit une fon tion f admettant une d�eriv�ee d'ordre n ontinue sur [a; b℄: On a la formule deTaylor-Lagrange suivante :f(x) = f(x0) + x� x01! f 0(x0) + (x� x0)22! f 00(x0) (1.9)+(x� x0)n�1(n� 1)! f (n�1)(x0) + 1(n� 1)! Z xx0 (x� t)n�1f (n)(t)dt8x; x0 2 [a; b℄.Appli ation Nous utilisons ette formule pour her her un majorant pour l'erreur de l'approxi-mation d'une int�egrale par la m�ethode des trap�ezes.Soit f une fon tion qui admet une d�eriv�ee se onde sur [a; b℄. Soit � la fon tion d�e�nie par,�(x) = Z x� f(t)dt� (x� �)f(x) + f(�)2 (1.10)

24 CHAPITRE 1. CALCUL INT�EGRALave x; � 2 [a; b℄. On a, �0(x) = 12 [f(x)� f(�)� (x� �)f 0(x)℄et �00(x) = �12 (x� �)f 00(x).Il s'ensuit don , �(�) = 0 et �0(�) = 0. Le d�eveloppement de Taylor-Lagrange pour � �a l'ordre 2entre � et x s'�e rit don omme,�(x) = Z x� (x� t)�00(t)dt = �12 Z x� (x� t)(t� �)f 00(t)dt (1.11)Soit xk = � et xk+1 = x (les xk sont les bornes de la partition de [a,b℄ en n intervalles, i.e.xk = a+ k(b� a)=n). (1.10) et (1.11) impliquent,Z xk+1xk f(t)dt� b� an � f(xk) + f(xk+1)2 = �12 Z xk+1xk (xk+1 � t)(t� xk)f 00(t)dt (1.12)Ensuite, soit M = max[a;b℄ jf 00(x)j, et remarquer����12 Z xk+1xk (xk+1 � t)(t� xk)f 00(t)dt���� � M2 Z xk+1xk (xk+1 � t)(t� xk)dt = M(b� a)312n3 .En�n faisons la somme de (1.12) de k = 0 jusqu'�a k = n� 1, on obtientM(b� a)312n2 omme majorant de l'approximation de R ba f(x)dx par la m�ethode des trap�ezes.

Chapitre 2Int�egrales G�en�eralis�ees2.1 Cas d'un intervalle non born�eSoit f une fon tion d�e�nie et ontinue sur l'intervalle [a;+1[ et soit,I(x) = Z xa f(t)dt , 8x 2 [a;+1[.Si I(x) tend vers une limite �nie lorsque x tend vers +1; ette limite est not�ee R +1a f(t)dt et ondit que ette int�egrale g�en�eralis�ee est d�e�nie ou onvergente. On �e rit,Z +1a f(t)dt = I:De la meme mani�ere on d�e�nit R a�1 f(t)dt.Exemple 29. Soit, Z +10 e�xdx.On a F (x) = Z x0 f(t)dt = ��e�t�x0 = 1� e�x.Don , limx!+1F (x) = limx!+1 �1� e�x� = 1:Cette int�egrale est don onvergente.Exemple 30. �Int�egrale de type R +1a dtt� � Soit,I� = Z +1a dtt�o�u a est un r�eel positif.1. Si � = 1; on a, F (x) = Z xa dtt = [Log(t)℄xa = Log(x)� Log(a)et, limx!+1F (x) = limx!+1 (Log(x)� Log(a)) = +1et ette int�egrale est divergente.2. Si � 6= 1; nous avons, F (x) = Z xa dtt� = � 11� �t1���xa= 11� � �x1�� � a1���= 11� � � 1x��1 � 1a��1�25

26 CHAPITRE 2. INT�EGRALES G�EN�ERALIS�EESet, limx!+1F (x) = limx!+1� 11� � � 1x��1 � 1a��1��= � 11� � 1a��1 si � > 1+ 1 si � < 1.Nous avons le r�esultat (�a retenir) suivant (a > 0),Z +1a dxx� est ( onvergente si � < 1divergente si � � 1 (2.1)Exemple 31. Soit, Z +11 dxx3=2 :Cette int�egrale g�en�eralis�ee est de la forme R +1a dxx� ave � = 32 > 1 et don elle est onvergente.Propri�et�esSoient f et g deux fon tions r�eelles ontinues sur [a;+1[. On a,{ R +1a jf(x)j dx d�e�nie) R +1a f(x)dx d�e�nie. On dit que R +1a f(x)dx est absolument onver-gente.{ 0 � f(x) � g(x) et R +1a g(x)dx d�e�nie ) R +1a f(x)dx d�e�nie.{ Si f(x) et g(x) sont de signe onstant pour tout x 2 [a;+1[, et si f(x) x!+1� g(x), alors lesint�egrales g�en�eralis�ees portant sur f et g sont de meme nature (soit elles onvergent toutesdeux, soit elles divergent toutes deux).D�e�nition : Soit, Z +1�1 f(x)dx.Cette int�egrale est onvergente si les deux int�egralesZ +1a f(x)dx et Z a�1 f(x)dx (2.2)sont onvergentes (a est un r�eel donn�e).Exemple 32. Soit, I = Z +1�1 xe�x2dx.On a, I1 = Z +10 xe�x2dx = ��12e�x2�+10 = 12 don I1 onvergente,et, I2 = Z 0�1 xe�x2dx = ��12e�x2�0�1 = �12 don I2 onvergente,Il s'ensuit don que I est onvergente.Exemple 33. Soit, I = Z +1�1 x dx.On a, I1 = Z 0�1 x dx = �12x2�0�1 = �1 don I1 n'est pas onvergente.Il s'ensuit que I n'est pas onvergente.Remarque : Dans l'exemple pr�e �edent I n'est pas onvergente malgr�e que,I = Z x�x t dt = �12t�x�x = 0.

2.2. CAS D'UNE FONCTION NON BORN�EE SUR UN INTERVALLE BORN�E 272.2 Cas d'une fon tion non born�ee sur un intervalle born�eSoit f une fon tion d�e�nie ontinue sur un intervalle [a; b[ et non born�ee lorsque x! b�. Soit,I(x) = Z xa f(t)dt , 8x 2 [a; b[:Si I(x) tend vers une limite �nie lorsque x tend vers b�, alors I(x) est d�e�nie ou onvergente eton �e rit, I = Z ba f(x)dx.De fa� on analogue, on d�e�nie R ba f(x)dx o�u f est non born�ee en a.Exemple 34. Soit, Z 10 Log(x)dx.la fon tion Log n'est pas born�ee �a droite de 0.On a, Z 1x Log(x)dx = �1� xLog(x) + x 8x 2℄0; 1℄.Or, limx!0+ (�1� xLog(x) + x) = �1.Don l'int�egrale g�en�eralis�ee I est onvergente.Exemple 35. �Int�egrale de type R ba dt(b�t)� � Soit,I = Z ba dt(b� t)� :ave � un r�eel positif.1. Si � = 1; on a, I(x) = Z xa dt(b� t)= [�Log(b� t)℄xa= �Log(b� x) + Log(b� a)et, limx!b� (� ln (b� x) + ln (b� a)) = +1et don I est divergente.2. Si � 6= 1, on a I(x) = Z xa dt(b� t)�= � �11� � (b� t)1���xa= �11� � � 1(b� x)��1 � 1(b� a)��1�et, limx!b� I(x) = ( 11�� 1(b�a)��1 si � < 11 si � > 1:Nous avons le r�esultat (�a retenir) suivant (a > 0),Z ba dt(b� t)� est ( onvergente si � < 1divergente si � � 1

28 CHAPITRE 2. INT�EGRALES G�EN�ERALIS�EESDe la meme mani�ere, on a Z ba dt(t� a)� est ( onvergente si � < 1divergente si � � 1En parti ulier, Z 10 duu�est onvergente si � < 1 et elle est divergente si � � 1.Exemple 36. Soit, I1 = Z 31 dt(3� t)2 et I2 = Z 31 dt(3� t)1=3 .Ces deux int�egrales sont de la forme, Z ba dt(b� a)�ave � = 2 > 1 pour I1 et � = 1=3 < 1 pour I2: Don I1 est divergente et I2 est onvergente.Exemple 37. Soit, Z 10 dtpt ette int�egrale est de la forme R 10 dtt� ave � = 1=2 < 1, et don elle est onvergente.2.3 Nature d'une int�egrale g�en�eralis�eeLes propri�etes mentionn�ees i-haut permettent souvent de d�eterminer la nature ( onvergenteou divergente) d'une int�egrale sans la al uler. Nous examinons quelques exemples.Exemple 38. Soit, I = Z 20 expxdx.remarquons que, expx v0 1x1=2don I est onvergente.Exemple 39. Soit, Z 10 dxpx(1� x) .Le probl�eme se pose aux points 0 et 1. On onsid�ere les deux int�egrales,I1 = Z 1=20 dxpx(1� x) et,I2 = Z 11=2 dxpx(1� x) .Remarquons que, 1px(1� x) v0+ 1x1=2 ) I1 est onvergente, et1px(1� x) v1� 1(1� x)1=2 ) I2 est onvergente.don I est onvergente.Exemple 40. Soit, I = Z +11 e�x2dx:On a, e�x2 < e�x , 8x > 1: Or, R +11 e�xdx = 1=e d�e�nie: Don I est d�e�nie.

2.3. NATURE D'UNE INT�EGRALE G�EN�ERALIS�EE 29Exemple 41. Soit, I = Z +11 sinxx2 dxOn a, 0 � �� sinxx2 �� � 1x2 . Or R +11 1x2 dx est onvergente, don I est (absolument) onvergente.Remarque : La onvergen e absolue implique la onvergen e mais le ontraire n'est pas(toujours) vrai.Exemple 42. Soit, I = Z +11 sinxx dx.On a, Z X1 sinxx dx = h� osxx iX1 + Z X1 sinxx2 dxet es deux quantit�es tendent vers des limites �nies lorsque X tend vers +1. Don I est onvergente. Montrons ensuite que I n'est pas absolument onvergente. On a,0 � sin2 xx � ���� sinxx ����d'o�u, 0 � 12x � os 2x2x � ����sin xx ���� .Or, Z +11 os 2x2x dx est onvergente, et Z +11 12xdx est divergente.Don , Z +11 ���� sinxx ���� dxest divergente.

30 CHAPITRE 2. INT�EGRALES G�EN�ERALIS�EES

Chapitre 3Int�egrales Doubles3.1 D�e�nitionSoit � une partie de R2 et f une fon tion r�eelle d�e�nie ontinue et born�ee sur �. Soit lepavage de � en parties �el�ementaires !i et soit Æ(!i) le diam�etre du pav�e !i et Æ(P ) = supi fÆ(!i)g.Soit A(!i) l'air du pav�e !i. Consid�erons la somme S(P ) = Pi f(Mi) � A(!i), ave Mi un pointquelquonque de !i. Cette somme tend vers une limite �nie lorsqu'on hoisi un pavage de plus enplus �n. On a, Xi f(Mi) � A(!i)! I lorsque Æ(P )! 0.La limite I est appel�ee int�egrale double de f sur �. On note,I = Z Z� f(x; y)dxdy3.2 Propri�et�esSoient f et g deux fon tions r�eelles ontinues et born�ees sur un domaine � de R2 ; � et � deuxr�eels. On a les propri�et�es suivantes :{ Si �1 et �2 forment une partition de �, alorsZ Z� f(x; y)dxdy = Z Z�1 f(x; y)dxdy + Z Z�2 f(x; y)dxdy:{ R R� [�f(x; y) + �g(x; y)℄ dxdy = � R R� f(x; y)dxdy + � R R� g(x; y)dxdy.{ f(x; y) � g(x; y) 8(x; y) 2 �) R R� f(x; y)dxdy � R R� g(x; y)dxdy.{ ��R R� f(x; y)dxdy�� � R R� jf(x; y)j dxdy:{ 9M0 2 � tel que R R� f(x; y)dxdy = A(�) � f(M0), ave A(�) l'air du domaine �.3.3 Th�eor�eme de FubiniSoit [a; b℄; la proje tion de � sur l'axe des abs isses. Soit y = '1(x) et y = '2(x) respe tivementles deux ourbes fronti�eres inf�erieures et sup�erieures de �. On a,Z Z� f(x; y)dxdy = Z ba Z '2(x)'1(x) f(x; y)dy! dxPar un al ul analogue on peut projetter sur l'axe des ordonn�ees.Exemple 43. Soit, I = Z Z�(1 + x)y dx dy31

32 CHAPITRE 3. INT�EGRALES DOUBLESave � = f(x; y) 2 R2=0 < x < 1 et 2 < y < 3g. On a '1(x) = 2 et '2(x) = 3. Don ,I = Z 10 �Z 32 (1 + x)y dy�dx= Z 10 �52 + 52x�dx= 154 .Exemple 44. Soit, I = Z Z�(1 + x)y dx dyave � = f(x; y) 2 R2=0 < x < 1 et x < y < 1g: On a '1(x) = x et '2(x) = 1. Don ,I = Z 10 �Z 1x (1 + x)y dy� dx= Z 10 �12 + 12x� 12x2 � 12x3�dx= 1124 .3.4 Changement de variables et oordonn�ees polaires1. (Ja obien d'une transformation) Soit une int�egrale double exprim�ee en fon tion des variablesx et y. Supposons ensuite que (x; y) = '(u; v) o�u ' est une appli ation de R2 dans R2 .Autrement dit, x est fon tion de u et v et de meme pour y, 'est �a dire, x = x(u; v) ety = y(u; v). Si x et y admettent des d�eriv�ees partielles ontinues par rapport �a u et v, onappele le Ja obien de ' (not�e J(')),J(') = �x�u �y�v � �y�u �x�v : (3.1)Exemple 45. Soit, ' : (u; v)! (x; y) = (u+ v; u� v):On a, �x�u = 1, �x�v = 1; �y�u = 1 et �y�v = �1. D'apr�es l'expression du Ja obien dans (3.1) ona J(') = �2.2. (Formule de hangement de variable) Soit une int�egrale double exprim�ee �a partir des variablesx et y, I = Z Z� f(x; y) dx dy.Ensuite, soient u et v deux variables telles que '(u; v) = (x; y) o�u ' est une appli ation deR2 dans R2 . On a x = x(u; v) et y = y(u; v). Pour exprimer I en fon tion de u et v on utilisela formule de hangement de variable suivante;I = Z ZD f (x(u; v); y(u; v)) jJ(')j du dvo�u D = '�1(�).Exemple 46. Soit, I = Z Z� e yx+y dxdyave � = f(x; y) : x � 0; y � 0 et x+ y � 1g. Cette int�egrale double est plus simple �a al uler �a partir du hangement de variables :� x = u� uvy = uv (3.2)On a d'apr�es (3.1), J = (1� v)u� (�u)v = u

3.5. INT�EGRALES DOUBLES G�EN�ERALIS�EES 33Ensuite, les relations (3.2) impliquent que D = '�1(�) = f(u; v) : 0 � u � 1; 0 � v � 1g.Ainsi, I = Z ZD e uvu�uv+uv ududv= Z 10 Z 10 u evdu dv= 12(e� 1).3. (Coordonn�ees polaires) Soit M(x; y) un point du plan. Les oordonn�ees du point M peuvents'exprimer omme x = � os � et y = � sin �; o�u � est l'angle (�!Ox;��!OM) et � =px2 + y2. Ledomaine � peut etre d�e rit en faisant varier � entre deux valeurs �1 et �2, et � entre deuxbornes qui d�ependront de �. Soient �1 = '1(�1) et �2 = '2(�2) es deux bornes. D'apr�es(3.1), le Ja obien de ette transformation est J = �. En passant aux oordonn�ees polaires,on a Z Z� f(x; y) dx dy = Z Z� f (� os �; � sin �) � d� d�= Z �2�1 "Z '2(�)'1(�) � � f(� os �; � sin �) d�# d�.Exemple 47. Soit, I = Z Z�(x+ y) dx dyave � = f(x; y)=x2 + y2 � 1; y � 0g. Il est lair que � varie entre 0 et 1, et que � varieentre 0 et � (repr�esenter � sur le plan). On a don ,I = Z �0 �Z 10 �2( os � + sin �) d�� d�= Z �0 �13 os � + 13 sin ��d�= 23 .Exemple 48. Soit, I = Z Z� dxdyp1� x2 � y2ave � = f(x; y) : x2 + y2 � x � 0g: Remarquons que � est l'�equation d'un disque de entre (0; 12 ) et de rayon 12 (en e�et .x2+y2�x � 0) (x� 12 )2+y2 � � 12 �2). En passant,aux oordonn�ees polaires � varie entre ��=2 et �=2 et � varie entre deux bornes qu'ond�etermine �a partir de, �2 os2 �+�2 sin2 ��� os � = 0 qui implique �(�� os �) = 0; d'o�u� = 0 ou � = os �.I = Z �=2��=2 Z os �0 �p1� �2 d�d�= � Z �=2��=2 Z os �0 �2�2p1� �2 d�! d�= � Z �=2��=2 �p(1� os2 �)� 1� d�= � Z �=2��=2 (sin � � 1) d� ( ar � �=2 � � � �=2)= �.3.5 Int�egrales doubles g�en�eralis�eesLa ara t�erisation d'une int�egrale double g�en�eralis�ee est similaire �a elle d'une int�egrale simple.Ainsi,

34 CHAPITRE 3. INT�EGRALES DOUBLES{ S'il s'agit de l'int�egrale double I d'une fon tion f(x; y) sur un intervalle non born�ee �, on ommen e par �evaluer une int�egrale similaire I� mais sur un intervalle born�e �� (�� est onstruit de mani�ere �a e que �� ! � lorsque � tend vers l'in�nie). Si I� tend vers unelimite �nie lorsque � tend vers +1; on dit que I est onvergente ou d�e�nie. Sinon I estdivergente.{ De meme, s'il s'agit de l'int�egrale double I d'une fon tion f(x; y) sur un intervalle non born�ee�, ave f non born�ee sur �, on ommen e par �evaluer une int�egrale similaire I� mais surun intervalle �� sur lequel f est born�ee (�� est onstruit de mani�ere �a e que �� ! �lorsque � tend vers un nombre donn�e). Si I� tend vers une limite �nie lorsque �� tend vers�; on dit que I est onvergente ou d�e�nie. Sinon I est divergente.Exemple 49. On se propose de montrer que,I = Z +1�1 1p2� e�x2=2dx = 1qui ara t�erise la densit�e de probabilit�e de la loi normale entr�ee r�eduite.Nous onsid�erons d'abord les int�egrales,I1 = Z +1�1 e�x2dx; etI2 = Z ZR2 e�x2�y2dx dy:Soit, I2(�) = Z Z�(�) e�x2�y2dx dyave �(�) = f(x; y) : x2 + y2 � �2g: Remarquons que �(�) est le er le de entre (0; 0) et derayon �. Ainsi, lorsque �! +1; �(�)! R2 . En passant aux oordonn�ees polaires,I2(�) = Z 2�0 Z �0 � e��2d� d�= ��e��2 � 1��et, lim�!+1 I2(�) = �:Don I2 est onvergente et on a I2 = �:Ensuite, I2 = �Z +1�1 e�x2=2dx�2d'o�u I1 = p�Faisons le hangement de variables x = t=p2! dx = dt=p2. On obtient,I1 = Z +1�1 e�t2=2 dtp2 = p�et �nalement Z +1�1 1p2� e�t2=2dt = 1.

Deuxi�eme partieCal ul matri iel

35

Chapitre 4Matri es et D�eterminants4.1 Op�erations sur les matri es4.1.1 Addition des matri esSoit deux matri es A et B de dimensions m�n: La somme de es deux matri es est une matri eC de dimension m � n tel que ses �el�ements soient d�e�nis par ij = aij + bij . La somme de deuxmatri es n'est d�e�nie que si elles ont la meme dimension.Exemple 50. 24 8 2 �50 8 32 �2 0 353�3 + 24 1 0 12 1 03 5 0 353�3 = 24 9 2 �42 9 35 3 0 353�3L'addition des matri es est ommutative et asso iative :1. A+B = B +A2. A+ (B + C) = (A+B) + C = A+B + CLa soustra tion des matri es suit le meme prin ipe que l'addition.4.1.2 Multipli ation des matri esSoient deux matri es Am�p et Bp�n. Le produit de es deux matri es est une matri e Cm�n telque ses �el�ements soient d�e�nis par ij =Ppk=1 aikbkj : Le produit de deux matri es n'existe que sile nombre de olonnes de la premi�ere matri e est �egal au nombre de lignes de la deuxi�eme matri e.Exemple 51. � a11 a12 a13a21 a22 b23 �(2�3) 24 b11 b21b21 b22b31 b32 35(3�2)= � a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b21 + a12b21 + a13b31a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b21 + a22b21 + a23b31 �(2�2)Lorsque le produit AB existe et lorsque A et B sont arr�ees le produit BA existe. Toutefois,l'existen e de es deux produits n'implique pas leurs �egalit�e. Dans le as parti uliers o�u AB = BAon dit que les matri es A et B ommutent.Exemple 52. Soit A = � 2 50 �1 � et B = � 5 2�4 0 �AB = � �10 44 0 � et BA = � 10 23�8 �20 � et on a AB 6= BA.La multipli ation des matri es est asso iative et distributive :1. A(BC) = (AB)C = ABC2. A(B + C) = AB +AC. 37

38 CHAPITRE 4. MATRICES ET D�ETERMINANTS4.1.3 Transpos�e d'une matri eSoit A une matri e de dimensionm�n. Le transpos�e de A, not�e tA; est obtenu en inter hangeantles lignes et les olonnes de A: Autrement dit, si tA = [taij ℄, on a taij = aji, pour i = 1; 2; :::;m etj = 1; 2; :::; n.On a les propri�et�es suivantes :1. t(tA) = A2. t(A+B) = tA+ tB3. t(AB) = tB tA.4.1.4 Matri es Parti uli�eresMatri es DiagonalesUne matri e arr�ee A est dite diagonale lorsque, aij = 0 si i 6= j.Exemple 53. 24 1 0 00 �3 00 0 2 35Matri e Identit�eeLa matri e identit�ee est une matri e diagonale ave aij = 1 lorsque i = j:Exemple 54. La matri e identit�ee d'ordre 3 est,I3 = 24 1 0 00 1 00 0 1 35La multipli ation d'une matri e A par la matri e identit�ee donne la meme matri e : AI = IA =A.Matri e NulleUne matri e Am�n dont tous les �el�ements sont nuls (aij = 0; 8i; j) est appel�ee matri e nulle eton note A = Om�n. La matri e nulle est neutre pour l'addition.4.2 D�eterminant d'une matri eLe d�eterminant d'une matri e A (not�e det(A) ou jAj) est un s alaire d�e�nie lorsque A est arr�ee.4.2.1 Matri es 2�2Soit la matri e A = � a11 a12a21 a22 � :On a jAj = a11a22 � a21a12.4.2.2 Matri es 3�3 et n� nSoit la matri e A = 24 a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 35.On a jAj = a11 ���� a22 a23a32 a33 ����� a12 ���� a21 a23a31 a33 ����+ a13 ���� a21 a22a31 a32 ���� (4.1)Cette formule orrespond �a un d�eveloppement par rapport �a la premi�ere ligne de A. Ce hoixn'est pas unique et l'on peut d�evelopper par rapport �a n'importe quelle ligne ou olonne de A.L'�e riture de (4.1) peut etre plus ompa te en introduisant les notions deMineurs et Cofa teurs.

4.3. MATRICE INVERSE 39D�e�nition : Soit A une matri e arr�ee donn�ee. On appelle mineur de l'�el�ement aij ; et on notejMij j, le d�eterminant obtenu �a partir de jAj en �eliminant la ligne i et la olonne j. Le ofa teur del'�el�ement aij est d�e�nie par, jCij j = (�1)i+j jMij j.Ainsi (4.1) devient, jAj = a11 jC11j+ a12 jC12j+ a13 jC13j (4.2)Puisque le d�eterminant peut se al uler en d�eveloppant par rapport �a n'importe quelle ligne ou olonne de A (A est une matri e de dimension n� n), on peut �e rire,1. jAj =Pni=1 aij jCij j pour j = 1; 2; :::; n, ou en ore,2. jAj =Pnj=1 aij jCij j pour i = 1; 2; :::; n.La premi�ere �e riture orrespond �a un d�eveloppement par rapport �a la olonne j, et la deuxi�eme�e riture �a un d�eveloppement par rapport �a la ligne i.4.2.3 Quelques propri�et�es du d�eterminant1. jABj = jAj jBj2. jtAj = jAj3. La permutation de deux lignes ou de deux olonnes d'une matri e hange le signe mais n'alt�erepas la valeur du d�eterminant.4. Soit A une matri e arr�ee et soit B une matri e obtenue en multipliant une ligne (ou une olonne) quel onque de A par un s alaire k: On a jBj = k jAj.5. Soit A une matri e arr�ee et soit B une matri e obtenue en ajoutant (ou en retran hant) �a uneligne (ou olonne) de A une ombinaison lin�eaire quel onque d'autres lignes (ou olonnes) ;On a jBj = jAj.6. Soit A une matri e arr�ee quel onque. Si une ligne (ou olonne) de A est ombinaison lin�eaired'autres lignes (ou olonnes), alors jAj = 0. En parti ulier, e r�esultat s'obtient si une ligneou olonne est multiple d'une autre ligne ou olonne.1. V�eri�er les propri�et�es des d�eterminants pour la matri e � a b d �.2. Utiliser le d�eterminant ������ 2 0 �11 1 73 3 9 ������ pour v�eri�er les propri�et�es �evoqu�ees i-dessus.4.3 Matri e InverseD�e�nition : Soit A une matri e arr�ee de dimension n� n. On dit que A est non singuli�eresi et seulement s'il existe une matri e B tel que AB = BA = In. La matri e B, lorsqu'elle existe,sera not�ee A�1 et on l'appelera matri e inverse de A. Lorsque B (ou A�1) n'existe pas, on dit queA est singuli�ere.4.3.1 Propri�et�es de la matri e InverseSoit A une matri e arr�ee. Si A�1 existe, on a1. A�1 est unique.2. A�1 est de meme dimension que A.3. A est la matri e inverse de A�1.Aussi, nous avons1. A inversible et B inversible , AB inversible (lorsque e produit existe).2. Lorsque AB est inversible, (AB)�1 = B�1A�1.3. A inversible , Ap inversible (p 2 N�) et (Ap)�1 = �A�1�p.

40 CHAPITRE 4. MATRICES ET D�ETERMINANTS4.3.2 Cal ul de l'inverse d'une matri e : M�ethode des ofa teursLorsque le d�eterminant d'une matri e A arr�ee est di��erent de z�ero, elle- i est non singuli�ereet A�1 existe. Le al ul de A�1 peut se faire �a partir de jAj et d'une matri e parti uli�ere qu'ond�e�nie ainsi,D�e�nition : Soit A une matri e arr�ee de dimension n�n et soit C la n�n�matri e obtenueen rempla� ant haque �el�ement aij de A par le ofa teur jCij j. On appelle matri e adjointe de A(et on note adj(A)), le transpos�e de C: Ainsi,adj(A) � tC � 2664 jC11j jC21j ::: jCn1jjC12j jC22j ::: jCn2j:::::::: :::::::: ::: ::::::::jC1nj jC2nj ::: jCnnj 3775 :L'inverse de A est, A�1 = 1jAjadj(A) (4.3)Exemple 55. Soit la matri e, M = 24 4 1 �10 3 23 0 7 35On a jM j = 99 6= 0, don M�1 existe et elle est donn�ee par,M�1 = 1jM j 26666664 ���� 3 20 7 ���� � ���� 1 �10 7 ���� ���� 1 �13 2 ����� ���� 0 23 7 ���� ���� 4 �13 7 ���� � ���� 4 �10 2 �������� 0 33 0 ���� � ���� 4 13 0 ���� ���� 4 10 3 ����37777775= 199 24 21 �7 56 31 �8�9 3 12 35On peut v�eri�er e r�esultat en al ulant M�1M = I3:4.3.3 Rang d'une matri eSoit Am�n une matri e donn�ee. Le rang de A orrespond �a la dimension de la plus grandematri e arr�ee qu'on peut extraire de A et qui soit de d�eterminant non nul.Exemple 56. Soit les matri es suivantes,M1 = 24 2 4 1 13 6 0 10 0 1 0 35 ; M2 = 24 2 0 40 1 20 1 2 35 ; M3 = � 4 12 �82 6 �4 �.On v�eri�e que rang(M1) = 3, rang(M2) = 2 , rang(M3) = 1.4.4 Autres Matri es parti uli�eres4.4.1 Matri es IdempotentesUne matri e A est idempotente si AA = A. La matri e identit�e est idempotente.4.4.2 Matri es Sym�etriques et Anti-sym�etriquesUne matri e arr�ee An�n est sym�etrique lorsque aij = aji. Une matri e Bm�m est anti-sym�etrique lorsque bij = �bji.Exemple 57. Soit A = 24 1 0 80 2 38 3 �5 35 , B = 24 0 �1 51 0 3�5 �3 0 35 et C = 24 2 �1 51 3 3�5 �3 4 35.La matri e A est sym�etrique et la matri e B est anti-sym�etrique. La matri e C n'est nisym�etrique ni anti-sym�etrique.

4.5. APPLICATIONS 41Soit A une matri e sym�etrique et B une matri e anti-sym�etrique, on a1. tA = A, et2. tB = �B.4.4.3 Matri es TriangulairesUne matri e arr�ee A est triangulaire si aij = 0 pour i < j ou pour i > j.Exemple 58. A = 2664 1 0 0 0�1 2 0 08 6 5 0�5 0 2 �5 3775.A est triangulaire. De meme tA est triangulaire.4.4.4 Matri es OrthogonalesUne matri e A est orthogonale si, A�1 = tAIl s'ensuit que si A est orthogonale alors, tAA = I:Soient A et B deux matri es orthogonales, on a1. AB = C (lorsque le produit existe); et C est une matri e orthogonale.2. jAj = �1Exemple 59. V�eri�er que la matri e suivante est orthogonale,0� 1 0 00 os � � sin �0 sin � os � 1A .1. Montrer qu'une matri e diagonale est idempotente si et seulement si les �el�em�ents aiiprennent les valeurs 0 ou 1.2. Montrer que la somme (resp. di��eren e) d'une matri e arr�ee et de son transpos�e donneune matri e sym�etrique (resp. anti-sym�etrique). En d�eduire que toute matri e arr�ees'�e rit omme la somme d'une matri e sym�etrique et d'une matri e anti-sym�etrique.3. Donner la forme g�en�erale du d�eterminant d'une matri e diagonale et d'une matri e tri-angulaire.4. Soit la matri e A = I�X(tXX)�1 tX ; (a) est- e que A existe quelque soit la dimensionde X ? (b) montrer que A est idempotente.5. V�eri�er les propri�et�es des op�erations �evoqu�ees dans e paragraphe �a l'aide de quelquesexemples.4.5 Appli ations4.5.1 Simpli� ation d'un d�eterminantAvant de al uler un d�etermiant, il est parfois possible de simpli�er le al ul en se basant surles propri�et�es d�ej�a mentionn�ees. En parti ulier, la valeur d'un d�eterminant reste la meme lorsqu'onajoute �a une ligne ( olonne) quel onque une ombinaison lin�eaire d'autres lignes ( olonnes).Exemple 60. Le d�eterminant suivant se simpli�e ainsi,D = �������� a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a ��������ajoutant la somme des trois derni�eres olonnes �a la premi�ere olonne on obtient,D = �������� 3 + a 1 1 13 + a a 1 13 + a 1 a 13 + a 1 1 a ��������

42 CHAPITRE 4. MATRICES ET D�ETERMINANTSen fa torisant par rapport �a la premi�ere olonne on a,D = (3 + a) �������� 1 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a ��������en retran hant la premi�ere ligne des trois autres, on aD = (3 + a) �������� 1 1 1 10 a� 1 0 00 0 a� 1 00 0 0 a� 1 ��������et en utilisant une propri�et�e des matri es diagonales, on aD = (3 + a)(a� 1)3.4.5.2 D�eterminant de Van der MondeSoit Dn d�e�ni par, Dn = �������� 1 x0 x0 ::: xn01 x1 x21 ::: xn1::: ::: ::: ::: :::1 xn x2n ::: xnn ��������Ce d�eterminant a une stru ture parti uli�ere qui donne une expression r�e ursive de Dn :Dn = (xn � x0)(xn � x1):::(xn � xn�1)Dn�1Cette relation r�e ursive permet de retrouver la forme g�en�erale de Dn,Dn = Yn�j>i�0(xj � xi) (4.4)Exemple 61. Soit le d�eterminant de Van der Monde d'ordre 4,Dfa;b; ;dg = �������� 1 a a2 a31 b b2 b31 2 31 d d2 d3 ��������En appliquant (4.4) �a D on obtient Dfa;b; ;dg = (d� )(d� b)(d� a)( � b)( � a)(b� a):D�emontrons le r�esultat pour e as parti ulier : En multipliant la troisi�eme olonne deDfa;b; ;dgpar d et en la retran hant de la quatri�eme on obtient,�������� 1 a a2 a2(a� d)1 b b2 b2(b� d)1 2 2( � d)1 d d2 0 ��������On multiplie ensuite la deuxi�eme olonne par d et on la retran he de la troisi�eme et on multipliela premi�ere par le meme s al aire et on la retran he de la deuxi�eme, on trouve,Dfa;b; ;dg = �������� 1 a� d a(a� d) a2(a� d)1 b� d b(b� d) b2(b� d)1 � d ( � d) 2( � d)1 0 0 0 ��������En d�eveloppant par rapport �a la derni�ere ligne, on a,Dfa;b; ;dg = (�1)4+1 ������ a� d a(a� d) a2(a� d)b� d b(b� d) b2(b� d) � d ( � d) 2( � d) ������= (�1)4+1(a� d) ������ 1 a a2b� d b(b� d) b2(b� d) � d ( � d) 2( � d) ������

4.5. APPLICATIONS 43= (�1)4+1+3(�a+ d)(�b+ d)(� + d) ������ 1 a a21 b b21 2 ������et don ,Dfa;b; ;dg = (d� a)(d� b)(d� ) �Dfa;b; gde meme,Dfa;b; g = ( � b)( � a) �Dfa;bget,Dfa;bg = b� a.Ainsi on obtient,Dfa;b; ;dg = (d� )(d� b)(d� a)( � b)( � a)(b� a):4.5.3 Matri es en Blo sLorsqu'une matri e omporte un grand nombre de lignes et de olonnes, il peut se r�eveler plussimple de travailler ave des blo s de elle- i. Un blo d'une matri e A est une sous matri e extraitede A et dont les �el�ements sont Adja ents dans A: Il est �evident que la d�e omposition d'une matri en'est pas unique et que le hoix d�epend de la stru ture parti uli�ere de elle- i.Exemple 62. Soit la matri e A donn�ee par,A = 266664 1 5 3 �4 2 3 7�8 8 2 0 1 8 60 0 0 �5 2 6 50 0 0 �6 7 3 �60 0 0 7 3 1 �20 377775Cette matri e peut etre r�ee rite omme A = � A11 A12A21 A22 �o�u, A11 = � 1 5 3�8 8 2 �, A12 =� �4 2 3 70 1 8 6 �, A21 = 24 0 0 00 0 00 0 0 35 etA22 = 24 �5 2 6 5�6 7 3 �67 3 1 �20 35.Dans et exemple, plusieurs d�e ompositions sont possibles. La ondition a respe ter est que lesblo s d'une meme olonne doivent avoir le meme nombre de olonnes et les blo s d'une meme lignedoivent avoir le meme nombre de lignes. Ainsi, Ai1 et Ai2 doivent avoir le meme nombre de ligneset A1j et A2j doivent avoir le meme nombre de olonnes pour i = 1; 2 et = 1; 2.Op�erations sur les blo sSoit A et B deux matri es d�e ompos�ees en blo s :A = � A11 A12A21 A22 � ;B = � B11 B12B21 B22 � (4.5)AdditionL'addition A + B peut se faire sur les blo s a ondition qu'elles soient ompatibles (leursd�e ompositions aussi) pour ette op�eration. Dans e as on a,A+B = � A11 +B11 A12 +B12A21 +B21 A22 +B22 �Multipli ationLa multipli ation AB peut aussi se faire �a partir de blo s des deux matri es �a onditions qu'ellessoient ompatibles (leurs d�e ompositions aussi) pour la multipli ation. Dans e as on a,AB = � A11B11 +A12B21 A11B12 +A12B22A21B11 +A22B21 A21B12 +A22B22 � (4.6)Ainsi, la d�e omposition en blo s doit se faire de telle mani�ere que les multipli ations dans (4.6)soient faisables.

44 CHAPITRE 4. MATRICES ET D�ETERMINANTSTranspos�eLe transpos�e d'une matri e A d�e ompos�ee en blo s omme dans (4.5) est,tA = � tA11 tA21tA12 tA22 �Exemple 63. Soit deux matri es A et B donn�ees par,A = 266664 2 �8 0 3�5 1 �2 2�9 2 0 06 �7 0 02 5 0 0 377775 et B = 2664 1 0 �11 3 20 2 3�1 1 0 3775Pour al uler le produit AB; la matri eA peut etre d�e ompos�ee en blo s faisant appara�tre les 0ensembles. La d�e omposition deB doit ensuite etre faite de telle mani�ere que les multipli ationssur les blo s aient un sens. Ce hoix donne la d�e omposition de A en quatre blo s,A11 = � 2 �8�5 1 �, A12 = � 0 3�2 2 �, A21 = 24 �9 26 �72 5 35 et A22 = 24 0 00 00 0 35.La d�e omposition de B peut se faire aussi en quatre blo s,B11 = � 1 01 3 �, B12 = � �12 �, B21 = � 0 2�1 1 � et B22 = � 30 �.Montrer qu'on peut refaire le meme al ul en d�e omposant B en deux blo s seulement.4.5.4 R�esolution d'un syst�eme d'�equations lin�eairesUn syst�eme d'�equations lin�eaires omprenant m �equations et n in onnues peut etre �e rit sousforme matri ielle de type, A � x = b (4.7)o�u A est une m� n�matri e, x un n�ve teur olonne et b un m�ve teur olonne.Exemple 64. Soit le syst�eme lin�eaire de 3 �equations et 3 in onnues suivant,2x1 + 5x2 � x3 = 25x1 � x2 + 3x3 = 1x1 + 3x2 + 2x3 = 5Ce syst�eme peut s'�e rire sous la forme,24 2 5 �15 �1 31 3 2 3524 x1x2x3 35 = 24 215 35 (4.8)et l'on retrouve ainsi une forme de type (4.7).Lorsque la matri e A dans (4.7) est non singuli�ere, A�1 existe (et unique dans e as) et lasolution du syt�eme s'obtient en multipliant (4.7) par A�1, e qui donne,x = A�1 � bDans l'exemple pr�e �edent, (4.8) devient,24 x1x2x3 35 = 24 2 5 �15 �1 31 3 2 35�1 � 24 215 35Remarque : En utilisant les prori�et�es des d�eterminants, la m�ethode de Cramer (qu'on nepr�esente pas i i) permet de simpili�er le al ul de la solution.Remarque : Lorsque le d�eterminant est di��erent de z�ero, la solution est unique. Lorsque led�eterminant est �egal �a z�ero, soit la solution n'existe pas, soit elle est multiple. En pati ulier pourle syst�eme (appel�e homog�ene) suivant, A � x = 0x = 0 est toujours une solution. Pour que e syst�eme admette une solution non nulle il faut que led�eterminant de A soit nul.Donner la solution du syst�eme de l'exemple.

Chapitre 5Diagonalisation d'une Matri e5.1 Valeurs propres, ve teurs propres et matri es semblablesSoit A une matri e arr�ee d'ordre n. Le polynome d�e�nie par le d�eterminant�(�) = det(A� �In)est appel�e polynome ara t�eristique de A. Les ra ines de e polynome seront appel�ees valeurspropres de A.Exemple 65. Soit, A = 0� 2 1 10 �1 �10 �2 1 1A .Don , �(�) = ������ 2� � 1 10 �1� � �10 �2 1� � �������(�) = (2� �) ��3 + �2�. Les ra ines de e polynome sont �1 = 2, �2 = p3 et �3 = �p3.Proposition : 5.1 �i valeur propre de A , 9 un n-ve teur olonne non nul tel que AXi = �iXi(Xi est dit ve teur propre de A asso i�e �a la valeur propre �i).D�e�nition : Soit une matri e arr�ee A d'ordre n. On dit que B est semblable �a A s'il existeune matri e inversible P telle que, B = P�1AP (5.1)P est appel�ee matri e de passage.Th�eor�eme : 5.1 Si A et B sont semblable, alors elles ont le meme polynome ara t�eristique.5.2 Diagonalisation d'une matri eOn her he �a �e rire (5.1), o�u B est une matri e diagonale.5.2.1 Cas d'une matri e ayant n valeurs propres distin tesTh�eor�eme : 5.2 Soit A une matri e ayant ses n valeurs propres �1; �2; :::; �n distin tes. AlorsA est semblable �a la matri e diagonale,D = 0BB� �1 0 ::: 00 �2 ::: 0::: ::: ::: :::0 0 ::: �n 1CCA :45

46 CHAPITRE 5. DIAGONALISATION D'UNE MATRICEEnsuite, a�n de d�eterminer P dans (5.1), on her he, pour haque valeur �i le ve teur olonneXi tel que, (A� �iIn) Xi = OLa matri e P serait la olle tion des ve teurs Xi dispos�e l'un �a ot�e de l'autre.Exemple 66. Considerer la matri e de l'exemple pr�e �edent. Elle admet trois valeurs propresdistin tes �1 = 2, �2 = p3 et �3 = �p3 et don elle est diagonalisable. Cher hons ensuiteX1; X2 et X3.Pour �1 = 2;On a, A� �1I3 = 0� 0 1 10 �3 �10 �2 �1 1Aon r�esout le syst�eme suivant,0� 0 1 10 �3 �10 �2 �1 1A0� xyz 1A = 0� 000 1A .don , 8<: 0 y +z = 00 �3y �z = 00 �2y �z = 0Il est lair que la solution �a e syst�eme est (x; y; z) = (x; 0; 0) = x(1; 0; 0): On aX1 = 0� 100 1A :Pour �2 = p3 on a,(A� �2I3)X2 = 0� 2�p3 1 10 �1�p3 �10 �2 1�p3 1A0� xyz 1A = 0d'o�u le syst�eme, 8<: (2�p3)x+ y + z = 0(�1�p3)y � z = 0�2y + (1�p3)z = 0Si on �xe z dans e syst�eme, on a ; y = 12z � 12zp3 et x = � 32 z � 12zp3. Don ,0� xyz 1A = 0� � 32z � 12zp312z � 12zp3z 1A = 12z0� �3�p31�p32 1Ad'o�u, X2 = 0� �3�p31�p32 1A .Pour �3 = �p3, on a le syst�eme,8<: (2 +p3)x+ y + z = 0(�1 +p3)y � z = 0�2y + (1 +p3)z = 0En �xant z; on a y = 12z + 12 zp3 et x = � 32z + 12zp3et don ,X3 = 0� �3 +p31 +p32 1A .Ainsi, la matri e de passage s'�e rit,P = 0� 1 �3�p3 �3 +p30 1�p3 1 +p30 2 2 1A

5.2. DIAGONALISATION D'UNE MATRICE 47On v�eri�e que, P�1AP = 0� 2 0 00 p3 00 0 �p3 1A .5.2.2 Cas d'une matri e ayant des valeurs propres multiplesTh�eor�eme : 5.3 Soit une matri e An�n ayant des valeurs propres �i; i = 1; :::; p. Soit ni l'ordrede la valeur propre i. A sera diagonalisable si et seulement si :rang(A� �iIn) = n� ni pour i = 1; :::; p.Exemple 67. Soit la matri e, A = 0� 3 2 42 0 24 2 3 1ALe polynome ara t�eristique de elle i est, �(�) = (�� 8)(�+1)2. Ainsi, A admet les valeurspropres �1 = 8 et �2 = �3 = �1 (�1 est une valeur propore ave un ordre de multipli it�e 2).Pour que A soit diagonalisable, il faut que,:rang(A� 8I3) = 3� 1 = 2rang(A+ I3) = 3� 2 = 1Or, A� 8I3 = 0� �5 2 42 �8 24 2 �5 1Ade rang 2, et A+ I3 = 0� 4 2 42 1 24 2 4 1Ade rang 1: Il s'ensuit don que A est diagonalisable.D�eterminons la matri e de passage P .Pour �1 = 8; on a le syst�eme, 8<: �5x+ 2y + 4z = 02x� 8y + 2z = 04x+ 2y � 5z = 0dont les solutions s'expriment omme, x = z ; y = 12z et z un r�eel donn�e. Le ve teur propreasso i�e �a ette solution est don , 0� 11=21 1A :Pour �2 = �3 = �1, on a le syst�eme suivant,8<: 4x+ 2y + 4z = 02x+ y + 2z = 04x+ 2y + 4z = 0dont les trois �equations sont �equivalentes. Les solutions �a e syst�eme s'�expriment omme,z = �x� 12y et don ,0� xyz 1A = 0� xy�x� 12y 1A = x0� 10�1 1A+ y0� 01�1=2 1A .Ainsi P s'�e rit, P = 0� 1 1 01=2 0 11 �1 �1=2 1A :

48 CHAPITRE 5. DIAGONALISATION D'UNE MATRICE5.3 Appli ation : Cal ul de AkSoit, D = P�1APOn a, A = PDP�1et, Ak = PDkP�1. (5.2)Lorsque D est une matri e diagonale, omme dans (5.1), le al ul de Dk est simple.Exemple 68. Consid�erons la matri e,A = 0� 3 2 42 0 24 2 3 1A .Dans l'exemple pr�e �edent on a �etablit, D = P�1APave , P = 0� 1 1 01=2 0 11 �1 �1=2 1A et D = 0� 8 0 00 �1 00 0 �1 1AOr, P�1 = 19 0� 4 2 45 �2 �4�2 8 �2 1Aet Dk = 0� 8k 0 00 (�1)k 00 0 (�1)k 1Ad'o�u (5.2), s'�e rit omme,Ak = 0� 1 1 01=2 0 11 �1 �1=2 1A �0� 8k 0 00 (�1)k 00 0 (�1)k 1A � 19 0� 4 2 45 �2 �4�2 8 �2 1Aou sous une forme plus ompa te,Ak = 29 0� 2� 8k + 52 (�1)k 8k � (�1)k 2� 8k � 2 (�1)k8k � (�1)k 128k + 4 (�1)k 8k � (�1)k2� 8k � 2 (�1)k 8k � (�1)k 2� 8k + 52 (�1)k 1A :Remarque : Si A est inversible, on obtient A�1 en posant k = �1 dans (5.2).5.4 Th�eor�eme Cayley-HamiltonTh�eor�eme : 5.4 Soit A une matri e arr�ee donn�ee, et �(�) son polynome ara t�eristique. Ona, �(A) = On.Exemple 69. Soit, A = � 1 32 �1 �de polynome ara t�eristique �(�) = �2 � 7. On v�eri�e que,� 1 32 �1 �2 � 7� 1 00 1 � = � 0 00 0 � .

Annexe APrimitives usuellesFon tion Primitivexa ; � 6= 1 x�+1�+1 + C1x Log jxj+ Cex ex + Cax axLog(a) , a > 0 et a 6= 1sinx � os x + C os x sinx+ C1 os2 x = 1 + tan2 x tanx + C, x 6= �2 + k�1sin2 x �1tanx + C; x 6= k�11+x2 ar tanx + C1p1+x2 Log �x +px2 + 1�+ C1p1�x2 ar sinx + C; jxj < 11px2�1 Log ��x +px2 � 1�� + C, jxj > 111�x2 12Log ��1+x1�x ��+ C; �1 < x < 1.

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