Capítulo 3 Modelos de Sistemas Discretos

Capıtulo 3Modelos de Sistemas Discretos

Diego Palmieri

Control Digital y EstocasticoIng. Automatizacion y Control Industrial

Departamento de Ciencia y TecnologiaUniversidad Nacional de Quilmes

Indice General

1 Modelos de Sistemas Discretos 3

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Representacion en Variables de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Valor entre muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Calculo de las Matrices Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Ejemplo N◦1: Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Ejemplo N◦2: Desarrollo en serie de la matriz exponencial . . . . . . . . . 7

1.3.4 Ejemplo N◦3: Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Evolucion del Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Pasaje de Discreto a Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 Ejemplo N◦4: Sistema de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.2 Ejemplo N◦5: Oscilador Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Muestreo de Sistema con Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6.1 Ejemplo N◦6: Doble integrador con Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.2 Ejemplo N◦7: Maquina de papel con retardo . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Variables de Estados con Otro Bloqueador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7.1 Ejemplo N◦8: Doble Integrador con Bloqueador Diferente . . . . . . . . . 11

1.8 Transformaciones de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8.1 Forma Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8.2 Forma Controlable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9 Modelos de Entrada Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.10 Respuesta Impulsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11 Operador Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.11.1 Operador adelanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.11.2 Operador Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.11.3 Polinomio recıproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.11.4 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.11.5 Ejemplo N◦9: Division con Operador Desplazamiento . . . . . . . . . . . 16

1

INDICE GENERAL 2

1.12 Funcion de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.12.1 Ejemplo N◦10: Funcion de transferencia de un Doble Integrador . . . . . 17

1.12.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.12.3 Polos y Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.12.4 Orden del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.12.5 Funcion de Transferencia en Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.13 Discretizacion de la Funcion de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.14 Relacion de Polos y Ceros Continuos y Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.14.1 Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.14.2 Ejemplo N◦11: Sistema de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.14.3 Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.14.4 Ejemplo N◦12: Sistema continuo sin Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.15 Sistemas con Funcion de Transferencia Inversa Inestable . . . . . . . . . . . . . . 22

1.15.1 Ejemplo N◦13: Sistema Continuo con Inversa Inestable . . . . . . . . . . . 23

1.16 Eleccion del Perıodo de Muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.17 Anexo 1: Tabla de Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Capıtulo 1

Modelos de Sistemas Discretos

1.1 Introduccion

En este capıtulo se veran los modelos matematicos en donde el sistema sera estudiado comovisto desde el computador. Este recibe mediciones del proceso a intervalos discretos y transmiteuna nueva senal de control tambien a intervalos discretos. El objetivo es entonces describir loscambios en las senales de muestra a muestra sin importar el comportamiento entre ellas.Es de recalcar que a pesar de que estos modelos muestran el comportamiento en los puntos demuestreo, el proceso fısico sigue siendo un proceso continuo.

1.2 Representacion en Variables de Estado

No se debe olvidar que la planta a controlar sigue siendo continua y que se observa su compor-tamiento en el instante de muestreo. Sea una planta con una dinamica descripta en variables deestado como la ecuacion siguiente:

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

(1.1)

Una situacion comun en control es encontrar los CDA construidos de tal manera que mantenganla senal analogica constante hasta la llegada de una nueva conversion, es decir que ya incluyanal bloqueador de orden cero. Es natural entonces elegir los instantes de muestreo, tk, comolos instantes en donde el control cambia. Como la senal de control es discontinua, es necesarioprecisar su comportamiento en la discontinuidad. Se adopta por convencion que la senal escontinua por derecha.

Si se lo controla con una senal u reconstruida con un bloqueador de orden cero, esta sera con-stante durante todo el perıodo de muestreo y la evolucion de los estados durante este perıodo sepodra calcular. Dado el valor del estado en el instante de muestreo tk, el estado en un tiempofuturo t se obtiene de resolver 1.1. El estado en el tiempo t, donde tk ≤ t ≤ tk+1, esta dado

3

CAPITULO 1. MODELOS DE SISTEMAS DISCRETOS 4

entonces por

x(t) = eA(t−tk)x(tk) +∫ t

tk

eA(t−τ)Bu(τ)dτ

= eA(t−tk)x(tk) +∫ t

tk

eA(t−τ)dτBu(tk)

= eA(t−tk)x(tk) +∫ t−tk

0eA(τ ′)dτ ′Bu(tk)

= Φ(t, tk)x(tk) + Γ(t, tk)u(tk)

(1.2)

La segunda igualdad resulta de considerar constante u entre instantes de muestreo. El vector deestado en t es una funcion lineal de x(tk) y u(tk). Si los conversores AD y DA estan perfectamentesincronizados y si el tiempo de conversion es despreciable, u e y pueden considerarse comomuestreadas en el mismo instante. La ecuacion del sistema muestreado es,

x(tk+1) = Φ(tk+1,tk)x(tk) + Γ(tk+1,tk)u(tk)y(tk) = Cx(tk) + Du(tk)

(1.3)

con,

Φ(tk+1,tk) = eA(tk+1,tk) Γ(tk+1,tk) =∫ tk+1

tk

et−τdτB (1.4)

La relacion entre las senales muestreadas esta dada por la ecuacion lineal en diferencias 1.3. Estano involucra ningun tipo de aproximacion, da el exacto valor de las variables y de la salida en elinstante de muestreo ya que la senal de control es constante durante el perıodo de muestreo. Esllamada Discretizacion Exacta. El modelo 1.3 es llamado modelo de un sistema muestreado conbloqueador de orden cero y es el equivalente al 1.1. En muchos casos D es nula. Una razon esque en los sistemas controlados digitalmente existe un pequeno retardo entre el muestreo de y yla salida de control u. Ademas la respuesta del sistema entre muestreos es parte de la respuestaal escalon. Se puede considerar que el sistema actua a lazo abierto entre dos instantesde muestreo. Si el perıodo de muestreo se lo llama T , si el sistema es invariante en el tiempoy la matriz D es nula, se puede simplificar de la siguiente forma:

xk+1 = Φxk + Γuk

yk = Cxk + Duk

(1.5)

con

Φ = eAT

Γ =∫ T

0eAτdτB

(1.6)

1.2.1 Valor entre muestras

• Con la misma ecuacion, variando t, se calcula el estado entre muestras.

• El calculo del estado entre muestras es como calcular la respuesta al escalon.

• Entre muestras el sistema esta en lazo abierto.


1.3 Calculo de las Matrices Discretas

El calculo del muestreo de un sistema continuo requiere de la evaluacion de matrices exponen-ciales e integracion de estas. Pueden ser calculadas de diferentes maneras. Por ejemplo:

• Desarrollo en serie de la matriz exponencial.

• Transformada de Laplace eAT = `−1 {(sI −A)}

• Teorema de Cayley-Hamilton

• Llevar la matriz a la forma canonica de Jordan

Para sistemas de orden menor o igual a dos o para ordenes superiores con alguna estructuraespecial se pueden hacer calculos manuales. Una posible forma es mediante desarrollo en seriede la matriz,

Ψ =∫ T

0eAτdτ = IT +

AT 2

2!+ · · ·+ AiT i+1

(i + 1)!(1.7)

resultando

Φ = I + AΨΓ = ΨB

(1.8)

Otra forma es utilizar la Transformada de Laplace ya que:

eAT = `−1 {(sI −A)} (1.9)

Una tercera opcion es utilizar el siguiente teorema:

1.3.1 Teorema de Cayley-Hamilton

det(λI −A) = ∆(λ) = λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ + a0 (1.10)

una matriz satisface su polinomio caracterıstico

An + an−1An−1 + · · ·+ a1A + a0 = 0 (1.11)

o que es lo mismo

An = −an−1An−1 − · · · − a1A− a0

An = f(I, A,A2, · · · , An−1)(1.12)

pero si se multiplica por A tambien quedara una funcion,

An+1 = −an−1An − · · · − a1A

2 − a0A

= −an−1(−an−1An−1 − · · · − a1A− a0)− · · · − a1A

2 − a0A

= f(I,A, A2, · · · , An−1)

(1.13)

es decir toda potencia de la matriz original se puede expresar como una combinacion lineal de(I, A,A2, · · · , An−1) y por lo tanto cualquier polinomio f(A) . Tambien A satisface polinomiosde grado menor a n−1. Esto se cumple cuando el polinomio caracterıstico tiene raıces multiples.


En este caso se define el polinomio mınimo que es de menor grado que el caracterıstico y dependedel tamano de los bloques de Jordan. Todo polinomio puede ser expresado como una divisionde polinomios, de la forma,

f(λ) = q(λ)∆(λ) + h(λ) (1.14)

pero el primer termino es nulo, con lo que queda, calculado en A, lo siguiente,

f(A) = h(A) (1.15)

este polinomio es de grado n− 1. La ecuacion 1.14 se cumple para todos los autovalores de A.

En el caso del calculo de eAT se puede considerar como un polinomio de grado infinito y cacularloen base al polinomio caracterıstico de A.

1.3.2 Ejemplo N◦1: Teorema de Cayley-Hamilton

Se desea calcular eAT con la matriz,

A =[

0 1−12 7

](1.16)

su polinomio caracterıstico es,

∆(λ) = |Iλ−A| =[

λ −112 λ− 7

]= λ2 − 7λ + 12 = (λ− 4)(λ− 3) (1.17)

el polinomio a calcular es,

f(λ) = eλT (1.18)

el polinomio h tendra orden 1 y sera de la forma:

h(λ) = α1λ + α0 (1.19)

que calculado para los autovalores de A resulta,

e4T = α14 + α0

e3T = α13 + α0

(1.20)

de donde se deducen los valores de las constantes,

α1 = e4T − e3T

α0 = −3e4T + 4e3T(1.21)

reemplazando,

eAT = α0I + α1A =(−3e4T + 4e3T

)I +

(e4T − e3T

)A

eAT =[

−3e4T + 4e3T e4T − e3T

−12(e4T − e3T

)4e4T − 3e3T

] (1.22)


1.3.3 Ejemplo N◦2: Desarrollo en serie de la matriz exponencial

El doble integrador se describe en variables de estado segun la siguiente ecuacion,

x(t) =[

0 10 0

]x(t) +

[01

]u(t)

y(t) =[

1 0]x(t)

(1.23)

Ψ =∫ T

0eAτdτ = IT +

AT 2

2!+ · · ·

Φ = I + AΨ

Φ =[

1 00 1

]+[

0 T0 0

]+ 0 =

[1 T0 1

]Γ =

∫ T

0

[01

]dτ =

[T 2

2T

](1.24)

el sistema discretizado queda,

xk+1 =[

1 T0 1

]xk +

[T 2

2T

]uk

yk =[

1 0]xk

(1.25)

1.3.4 Ejemplo N◦3: Transformada inversa de Laplace

Un modelo simple, normalizado de un motor de cc es el siguiente,

x(t) =[−1 01 0

]x(t) +

[10

]u(t)

y(t) =[

0 1]x(t)

(1.26)

(sI −A)−1 =[

s + 1 0−1 s

]−1

=1

s(s + 1)

[s 01 s + 1

]=

[1

s+1 01

s(s+1)1s

](1.27)

Φ = eAT =[

e−T 01− e−T 1

]Γ =

∫ T

0

[e−τ

1− e−τ

]dτ =

[1− e−T

T − 1 + e−T

] (1.28)


1.4 Evolucion del Estado

Los sistemas discretos invariantes se pueden describir mediante la ecuacion en diferencias de-scripta anteriormente y por simplicidad se utiliza T = 1 y x(kT ) = xk. Asumiendo conocidosx(ka) = xa y las senales de entrada u(k0), u(k0 + 1), · · · ¿Como evoluciona entonces el estado?

Se puede resolver 1.5 iterativamente:

xka+1 = Φxka + Γuka

xka+2 = Φxka+1 + Γuka+1 = Φ2xka + ΦΓuka + Γuka+1

...

xk = Φk−kaxka + Φk−ka−1Γuka + · · ·+ Γuk−1

= Φk−kaxka +k−1∑j=ka

Φk−j−1Γuj

(1.29)

La solucion tiene dos partes: una que depende de la condicion inicial y otra que es una sumaponderada de las senales de entrada.

1.5 Pasaje de Discreto a Continuo

Con el muestreo de un sistema se define una correspondencia entre un sistema continuo, comoel 1.1 y un sistema discreto como el 1.5. Un ejemplo simple mostrara que esta correspondenciano siempre se puede invertir.

1.5.1 Ejemplo N◦4: Sistema de Primer Orden

No hay ecuacion diferencial de primer orden que despues del muestreo de la ecuacion en diferencia

xk+1 = −0, 5xk + uk (1.30)

eaT = −0.5 (1.31)

Esta ultima ecuacion no tiene solucion real dado que la exponencial es siempre positiva. Elmodelo discreto es mas general que el continuo. Si el sistema discreto no tiene autovalores realesnegativos, si existe inversa.

1.5.2 Ejemplo N◦5: Oscilador Armonico

Existen muchos sistemas continuos que dan el mismo sistema discreto,

x(t) =[

0 β−β 0

]x(t) +

[0β

]u(t)

β = α +2π

Ti i = 0, 1, . . .

xk+1 =[

cos(αT ) sen(αT )−sen(αT ) cos(αT )

]xk +

[1− cos(αT )

sen(αT )

]uk

(1.32)

Pero existe un unico −ωn ≤ β ≤ ωn = πT que es el entorno de la fecuencia de Nyquist.


1.6 Muestreo de Sistema con Retardo

En los modelos matematicos de los procesos industriales es comun encontrar retardos. La teorıade los sistemas continuos con retardo es complicada ya que los sistemas resultan de dimensioninfinita.

Se supone primeramente que el retardo es inferior al perıodo de muestreo td < T :

x(t) = Ax(t) + Bu(t− td)

x ((k + 1)T ) = eAT x(kT ) +∫ (k+1)T

kTeA((k+1)T−τ)Bu(τ − td)dτ

(1.33)

la integral se debera realizar en dos partes ya que la actuacion cambia durante el perıodo demuestreo.

∫ (k+1)T

kTeA((k+1)T−τ)Bu(τ − td)dτ =

∫ kT+td

kTeA((k+1)T−τ)Bdτ u((k − 1)T )︸︷︷︸

actuacion anterior

+

+∫ (k+1)T

kT+td

eA((k+1)T−τ)Bdτ u(kT )︸︷︷︸actuacion actual

+

= Γ1u((k − 1)T ) + Γ0u(kT )

Φ = eAT

Γ1 = eA(T−td)

∫ td

0eAτdτB

Γ0 =∫ T−td

0eAτdτB

(1.34)

se puede usar una representacion de estados para representar al sistema discreto,[x ((k + 1)T )

u(kT )

]=[

Φ Γ1

0 0

] [x(kT )

u ((k − 1)T )

]+[

Γ0

1

]u(kT ) (1.35)

hay una nueva variable u ((k − 1)T ) la que representa el valor pasado de la senal de control. Elsistema continuo 1.33 es de dimension infinita pero el sistema muestreado correspondiente esde dimension finita. Por lo tanto los retardos son considerablemente mas simples de manejar siel sistema es muestreado por la siguiente razon: para definir el estado del sistema, es necesarioalmacenar la entrada por un intervalo de tiempo igual al retardo. Con una reconstruccion conBO0, la senal de entrada puede ser siempre representada por un numero finito de valores.


1.6.1 Ejemplo N◦6: Doble integrador con Retardo

Considerese el doble integrador introduciendo un retardo inferior al muestreo. Entonces,

Φ = eAT =[

1 T0 1

]Γ1 = eA(T−td)

∫ td

0eAτdτB =

[1 T − td0 1

][t2d2td

]=

[td

(T − t2d

2

)td

]

Γ0 =∫ T−td

0eAτdτB =

[(T−td)2

2T − td

] (1.36)

Ahora consideremos el retardo mayor al perıodo de muestreo td = (d− 1)T + t′d:

x ((k + 1)T ) = Φx(kT ) + Γ0 u ((k − d + 1)T )︸︷︷︸actuacion mas nueva

+Γ1 u ((k − d)T )︸︷︷︸actuacion mas antigua

(1.37)

Φ = eAT

Γ1 = eA(T−td′ )

∫ td′

0eAτdτB

Γ0 =∫ T−td′

0eAτdτB

(1.38)

x ((k + 1)T )

u ((k − d + 1)T )...

u ((k − 1)T )u(kT )

=

Φ Γ1 Γ0 · · · 00 0 I · · · 0...

......

...0 0 0 · · · I0 0 0 0 0

x (kT )

u ((k − d)T )...

u ((k − 2)T )u ((k − 1)T )

+

00...0I

u(kT ) (1.39)

En este caso se necesitaran d.r nuevas variables para representar el retardo, siendo r en numerode entradas. El polinomio caracterıstico de la representacion espacial es λdrA(λ) donde A(λ)es el polinomio caracterıstico del sistema sin retardo. El siguiente ejemplo ilustra el uso de laformula general.


1.6.2 Ejemplo N◦7: Maquina de papel con retardo

Dado el siguiente modelo de una Maquina de papel con retardo mayor al muestreo,

x(t) = x(t) + u(t− 2, 5)

T = 1 d = 3 t′d = 0, 5

Φ = e−1 = 0, 37

Γ1 = e−0,5

∫ 0,5

0e−τdτ = e−0,5 − e−1 = 0, 24

Γ0 =∫ 0,5

0e−τdτ = 1− e−0,5 = 0, 39

xk+1

uk−2

uk−1

uk

=

0, 37 0, 24 0, 39 0

0 0 1 00 0 0 10 0 0 0

xk

uk−3

uk−2

uk−1

+

0001

uk

(1.40)

1.7 Variables de Estados con Otro Bloqueador

Para calcular el sistema a partir del original continuo es necesario conocer la forma de la senalde control durante el intervalo de control. El calculo es particularmente facil si se usa un BO0 yaque la senal es constante a trozos. Este bloqueador es tambien el mas comun en la practica yaque es facilmente implementable con un CDA comun. Se da a continuacion un ejemplo usandootros bloqueadores. Un caso tıpico es un sistema con actuadores hidraulicos, donde se necesitansenales de control suaves para evitar transitorios de presion.

En general los sistemas a controlar tienen caracterısticas de pasa bajos por lo que la formade la senal de control durante un intervalo de muestreo no es crucial. Si el perıodo de muestreoes corto comparado con las constantes de tiempo del sistema la respuesta esta esencialmentedada por la integral de la senal de control durante el intervalo de muestreo. De 1.4 resulta queun cambio en la forma de la senal de control cambiara Γ pero no Φ. Esto se ve en el ejemplosiguiente.

1.7.1 Ejemplo N◦8: Doble Integrador con Bloqueador Diferente

Considerese un doble integrador con perıodo de muestreo T . Se asume que el circuito bloqueadores tal que la senal de control es αu(k) durante la primera mitad del perıodo de muestreo y βu(k)en la segunda mitad. Entonces resulta,

Φ = eAT =[

1 T0 1

]Γ = α

∫ T2

0eA(T−τ)Bdτ + β

∫ T

T2

eA(T−τ)Bdτ =12

[3αT 2 + βT 2

4αT + 4βT

] (1.41)


Figura 1.1: Bloqeuador diferente

1.8 Transformaciones de Estados

Tal como sucede en los sistemas continuos, los sistemas discretos tienen diferentes representa-ciones pudiendose introducir nuevas variables como,

xk = Txk (1.42)

siendo T una matriz no singular. Por lo tanto

xk+1 = Txk+1 = TΦxk + TΓuk = TΦT−1xk + TΓuk

= Φxk + Γuk

yk = Cxk + Duk = CT−1xk + Duk

= Cxk + Duk

(1.43)

La ecuacion caracterıstica,

det[λI − Φ] (1.44)

se mantiene invariante ante cambios de estados. Esto se cumple ya que

det[λI − Φ] = det[λTT−1 − TΦT−1] = detTdet[λI − Φ]detT−1

= det[λI − Φ](1.45)

Esto es importante a fin dedar a las diferentes matrices formas adecuadas para trabajar.

1.8.1 Forma Observable

Suponiendo que la ecuacion caracterıstica es,

det[λI − Φ] = λn + a1λn−1 + · · ·+ an = 0 (1.46)

si se construye la matriz

O =

C

CΦ...

CΦn−1

(1.47)


y resulta no singular, se puede encontrar el nuevo estado de la forma,

xk+1 =

−a1 1 0 · · · 0−a2 0 1 · · · 0

...−an−1 0 0 · · · 1−an 0 0 · · · 0

xk +

b1

b2...

bn−1

bn

uk

yk =[

1 0 0 · · · 0]xk

(1.48)

resulta de esta manera muy facil encontrar la realcion entre variable de estado y relacion entrada-salida

1.8.2 Forma Controlable

Se construye la matriz:

Co =[

Γ ΦΓ · · · Φn−2Γ Φn−1Γ]

(1.49)

Si resulta no singular, se puede encontrar el nuevo estado de la forma,

xk+1 =

−a1 −a2 · · · −an−1 −an

1 0 · · · 0 00 1 · · · 0 0...0 0 · · · 1 0

xk +

100...0

uk

yk =[

b1 b2 b3 · · · bn

]xk

(1.50)

1.9 Modelos de Entrada Salida

Un sistema dinamico se puede describir bien por su modelo interno o por su modelo externo.Los modelos internos, como el modelo en variables de estado, describen toda relacion entre lasvariables del sistema. Los modelos externos dan solo la relacion entre la entrada y la salida delsistema.

En esta seccion se vera primero que la relacion entrada - salida para un sistema lineal puedeexpresarse por una funcion de respuesta impulsional. Tambien se mostrara que el operadordesplazamiento puede usarse para obtener directamente la relacion entrada salida, la cual llevaa caracterizar el comportamiento entrada salida en terminos de los operadores de la respuestaimpulsional, en forma similar a lo que ocurre en los sistemas continuos.

1.10 Respuesta Impulsional

Tanto la entrada como la salida de un sistema discreto son secuencias de numeros que, en unintervalo finito de muestras, seran secuencias finitas. O expresadas en forma de vectores resultan,

U =[

u0 · · · uN−1

]TY =

[y0 · · · yN−1

]T (1.51)


Un modelo lineal que relacione salida con entrada se puede escribir,

Y = HU + Yp (1.52)

siendo H una matriz N x N e Yp las condiciones iniciales.Si Y es causal, H es triangular inferior.En este caso,

yk =k∑

m=0

h(k,m)um + yok (1.53)

La funcion h es la respuesta impulsional, funcion de peso o secuencia de ponderacion. La fun-cion respuesta impulsional es una representacion muy conveniente, ya que es facilmente medibleexitando al sistema con un pulso de amplitud unitaria y de un perıodo de muestreo de duraciony registrando la salida. Para condiciones iniciales nulas el valor h(k, m) da la salida del sistemaal tiempo tk para un pulso unitario en el instante tm. Para sistemas con muchas entradas ysalidas la respuesta impulsional h es de forma matricial.

Se puede calcular h a partir de variables de estado, utilizando la formula de evaluacion delestado vista anteriormente.

yk = Cxk

yk = CΦk−k0xk0︸︷︷︸y0k

+k−1∑j=k0

CΦk−j−1Γuj︸︷︷︸∑km=0 h(k,m)um

yk =k∑

m=0

h(k, m)um + yok

(1.54)

Para un impulso

hk =0 −→ k < 1

CΦk−1Γ −→ k ≥ 1(1.55)

La respuesta impulsional no varıa con las transformaciones

hk = CΦk−1Γ =(CT−1

) (TΦT−1

)k−1TΓ

=(CT−1

)TΦk−1T−1TΓ = CΦk−1Γ = hk

(1.56)

1.11 Operador Desplazamiento

E1 uso del operador diferencial p = ddt es adecuado para el trabajo con ecuaciones lineales

diferenciales a coeficientes constantes. Un operador analogo se definira para sistemas expresadosen ecuaciones en diferencias lineales a coeficientes constantes. En la definicion de este operadorlos sistemas son vistos como operadores que relacionan senales de entrada con senales de salida.Es necesario especificar el rango de validez del operador es decir definir la clase de senal deentrada y que tipo de actuacion tiene el operador sobre las senales. Para los calculos con esteoperador todas las senales son consideradas como secuencias doblemente infinitas, debe ir desde−∞a+∞ . Por conveniencia el perıodo de muestreo es elegido como la unidad de tiempo T = 1.


1.11.1 Operador adelanto

El operador desplazamiento hacia adelante se llama q. Tiene la propiedad,

qfk = fk+1 (1.57)

Este operador desplazamiento tiene norma unitaria. Esto significa que las operaciones con eloperador desplazamiento son mas simples que el calculo diferencial ya que el operador diferenciales no acotado.

1.11.2 Operador Retardo

La inversa del operador desplazamiento hacia adelante es llamado operador desplazamiento haciaatras y su notacion es q−1. Resulta

q−1fk = fk−1 (1.58)

Notemos la importancia de definir el rango del operador para secuencias doblemente infinitasdado que de otra manera el operador desplazamiento hacia atras no podrıa existir. En problemasrelacionados con la ecuacion caracterıstica del sistema, como estabilidad y orden del sistema esmejor utilizar el operador desplazamiento hacia adelante. En cambio en problemas relacionadoscon la causalidad es conveniente usar el operador desplazamiento hacia atras.

El calculo con estos operadores da una compacta descripcion de los sistemas y hace muy facilrelacionar variables ya que el manejo de ecuaciones en diferencias se reduce a un problema pu-ramente algebraico. En muchos textos se usa z como el operador desplazamiento al igual que lavariable compleja de la transformada en Z. Esta diferenciacion es la misma que se hace entrela variable compleja s de la transformada de Laplace y el operador diferencial p = d

dt .

Este operador desplazamiento es usado para simplificar el manejo de las ecuaciones en difer-encias de un alto orden. Sea la ecuacion,

yk+na + a1yk+na−1 + · · ·+ anayk = b0uk+nb+ · · ·+ bnb

uk

na > nb

(qna + a1qna−1 + · · ·+ ana)yk = (b0q

nb + b1qnb−1 + · · ·+ bnb

)uk

A(q) = qna + a1qna−1 + · · ·+ ana

B(q) = b0qnb + b1q

nb−1 + · · ·+ bnb

A(q)yk = B(q)uk

(1.59)

expresado en funcion del operador retardo

yk + a1yk−1 + · · ·+ anayk−na = b0uk−d + · · ·+ bnbuk−d−nb

(1.60)

con d = na − nb exceso de polos

1.11.3 Polinomio recıproco

El siguiente polinomio, llamado Polinomio Recıproco se obtiene de revertir el orden de los coe-ficientes

A∗(q) = 1 + a1q + · · ·+ anaqna = qnaA(q−1) = qna(q−na + a1q

−na+1 + · · ·+ ana) (1.61)


La ecuacion 1.60 se puede escribir,

A∗(q−1)yk = B∗(q−1)uk−d (1.62)

Donde d es el retardo del sistema y A∗(q−1),B∗(q−1) tienen la siguiente forma.

A∗(q−1) = 1 + a1q−1 + · · ·+ anaq

−na

B∗(q−1) = b0q−d + b1q

−1 + · · ·+ bnbqk−d−nb

(1.63)

Hay que tener especial cuidado al operar con el polinomio recıproco, ya que A∗∗ no necesaria-mente es A. El polinomio A(z) = z tiene como recıproco A∗(z) = qq−1 = 1. El recıproco de A∗

es A∗∗ = 1, el cual es diferente a A. Un polinomio A(z) es llamado auto-recıproco si

A∗(z) = A(z) (1.64)

1.11.4 Propiedades

El objetivo del algebra de los sistemas es transformar el manejo de ecuaciones en diferenciasen problemas algebraicos puros. Resulta de la definicion del operador desplazamiento que laecuacion en diferencias 1.59 se puede multiplicar por potencias de q lo que significa simplementeun corrimiento hacia adelante en el tiempo. La ecuacion desplazada en distintos tiempos se puedemultiplicar por numeros reales y sumada. Esto es equivalente a multiplicar dicha ecuacion porun polinomio en q.

Para obtener un algebra adecuada es conveniente poder dividir una ecuacion como la 1.59 porun polinomio en q. Un ejemplo mostrara que no es posible dividir por un polinomio en q salvocasos especiales.

1.11.5 Ejemplo N◦9: Division con Operador Desplazamiento

yk+1 − ayk = uk |a| < 1(q − a)yk = uk

(1.65)

con valor inicial y0 escribimos segun 1.54

yk = aky0 +k−1∑j=0

ak−j−1uj = aky0 +k∑

j=1

aj−1uk−j (1.66)

Si la division funciona, se puede escribir

yk =1

q − auk =

q−1

1− aq−1uk (1.67)

Esto es la convergencia de la serie

yk = q−1(1 + aq−1 + a2q−2 + · · · )uk =∞∑

j=1

aj−1uk−j (1.68)

1.68 y 1.66 son equivalentes excepto que las entradas y salidas sean nulas para instantes negativos.


Es posible desarrollar un algebra que permita la division por un polinomio arbitrario en qsi se asume que hay algun ko tal que todas las secuencias son ceros para todo k menor o iguala ko. En estas condiciones el algebra permite multiplicacion, division, suma y resta de ecua-ciones con polinomios en el operador desplazamiento. Esta condicion lleva implıcito el considerarcondiciones iniciales nulas (ver ejemplo).

1.12 Funcion de Transferencia

El calculo con el operador desplazamiento permite expresar la relacion entrada salida como unafuncion racional del operador desplazamiento tanto hacia adelante como hacia atras. A estafuncion se la denomina funcion de transferencia y es facilmente obtenible de la descripcion delsistema eliminando las variables internas usando operaciones algebraicas.

Considerese, por ejemplo, un modelo en variables de estado. Para obtener la relacion entra-da salida se debe eliminar el vector de estado:

xk+1 = qxk = Φxk + Γuk

(qI − Φ)xk = Γuk

yk = Cxk + Duk ={C(qI − Φ)−1Γ + D

}uk

(1.69)

La funcion transferencia queda definida,

H(q) = C(qI − Φ)−1Γ + D (1.70)

Hay que tener en cuenta que no considera condiciones iniciales. Expresada con el operadorretardo,

H∗(q−1) = C(q−1I − Φ)−1q−1Γ + D = H(q) (1.71)

Para sistemas SISO

H(q) = C(qI − Φ)−1Γ + D =B(q)A(q)

(1.72)

Si el sistema es de orden n, A y B no tiene factores comunes, A es de grado n.

A es el polinomio caracterıstico del sistema lo que implica que el sistema se puede escribir:

yk + a1yk−1 + · · ·+ anayk−na = b0uk−d + · · ·+ bnbuk−d−nb

(1.73)

generalmente b0 = 0.

1.12.1 Ejemplo N◦10: Funcion de transferencia de un Doble Integrador

H(q) =[

1 0] [ q − 1 −1

0 q − 1

]−1 [ 0, 51

]=

0, 5(q + 1)(q − 1)2

0, 5(q−1 + q−2)1− 2q−1 + q−2

(1.74)


1.12.2 Propiedades

H(q) es independiente de las transformaciones:

H(q) = C(qI − Φ)−1Γ = CT−1(qTT−1 − TΦT−1)−1TΓ

= CT−1[T (qI − Φ)T−1

]−1TΓ

= CT−1T (qI − Φ)−1T−1TΓ

= C(qI − Φ)−1Γ

(1.75)

1.12.3 Polos y Ceros

Los polos de un sistema son las raıces del denominador de H o sea del polinomio caracterıstico.Los ceros son las raıces del numerador de H y se obtienen haciendo B(z) = 0, son los polos dela inversa de H. En el ejemplo del doble integrador, el sistema tiene un cero en -l.

Los retardos en un sistema introducen polos en el origen. El sistema en el ejemplo del dobleintegrador con retardo tiene 3 polos: dos en 1 y uno en el origen y tiene dos ceros en −3±

√8.

1.12.4 Orden del Sistema

El orden de un sistema es la dimension de su representacion en el espacio de estado o el numerode polos en su modelo entrada salida.

Se debe hacer notar la importancia de utilizar el operador desplazamiento hacia adelante paradeterminar el orden del sistema debido a los retardos. El uso de este operador es importantepara determinar polos, ceros y orden del sistema.

1.12.5 Funcion de Transferencia en Transformada Z

Veremos un ejemplo. Dada la siguiente rampa,

yk = Kt

Y (z) = 0 + Tz−1 + 2T 2z−2 + · · · = Tz

(z − 1)2(1.76)

Usando variables de estado,

xk+1 = Φxk + Γuk

yk = Cxk

(1.77)

aplicando Transformada en Z

∞∑k=0

z−kxk+1 = z

( ∞∑k=0

z−kxk − x0

)

=∞∑

k=0

Φz−kxk +∞∑

k=0

Γz−kuk

z(X(z)− x0) = ΦX(z) + ΓU(z)

X(z) = (zI − Φ)−1 [zx0 + ΓU(z)]

Y (z) = C(zI − Φ)−1zx0 + C(zI − Φ)−1ΓU(z)

(1.78)


donde

H(z) = C(zI − Φ)−1Γ (1.79)

La transformada Z tiene en cuenta las condiciones iniciales.

1.13 Discretizacion de la Funcion de Transferencia

Es posible calcular la funcion de transferencia H(z) directamente a partir de la funcion detransferencia del sistema continuo G(s) . Se supone un sistema continuo con una funcion detransferencia G(s) con un BOC.

La funcion de transferencia se determina por la respuesta a una senal dada y es unica. Consid-eremos una entrada escalon unitario. La secuencia {u(kh)} es una secuencia de unos y la senalu(t) es tambien un escalon. La salida y(t), expresada en transformada de Laplace es Y (s):

Y (s) =G(s)

s(1.80)

Si consideramos que la salida {y(hk)} tiene una transformada en Z

Y (z) = Z(y) = Z(L−1(Y (s))

)(1.81)

Para obtener la Funcion de Transferencia se divide por la Transformada en Z de la entrada, elescalon en este caso.

H(z) = (1− z−1)Y (z) (1.82)

Pasos a seguir:

1. Antitransformar G(s)s

2. Calcular la Transformada en Z (de una tabla)

3. Multiplicar por (1− z−1)

1.14 Relacion de Polos y Ceros Continuos y Discretos

Una forma adecuada de caracterizar una funcion de transferencia racional es en terminos de suspolos y ceros. Por lo tanto es interesante conocer la relacion entre la ubicacion de los polos delsistema continuo y los del equivalente discreto.

1.14.1 Polos

Dado que Φ = eAT , los autovalores de Φ y de A se relacionan:

λi(Φ) = eλi(A)T (1.83)

Por ejemplo el semiplano negativo de S corresponde al interior del cırculo unidad del plano Z.La relacion no es bidireccional ya que muchos puntos del plano S corresponden a un unico puntodel plano Z (ver segunda figura). Esta es otra ilustracion del efecto de asociacion de frecuenciaso aliasing. La transformacion es z = esT


Figura 1.2: Relacion entre polos continuos y discretos


Figura 1.3: Relacion entre polos continuos y discretos

1.14.2 Ejemplo N◦11: Sistema de Segundo Orden

ω20

s2 + 2ζω0 + ω20

(1.84)

Los polos en Z son las raıces de

z2 + a1z + a2 = 0 (1.85)

con,

a1 = −2e−ζω0T cos(ω0

√1− ζ2T

)a2 = e−2ζω0T

(1.86)

Los polos varıan con T , pero no son afactados por el tipo de bloqueador utilizado.

1.14.3 Ceros

No existe una formula para relacionar los ceros continuos y discretos. Si el sistema continuo esuna funcion racional tiene ceros donde se anula el numerador y d = r−1 ceros en infinito, donder es el exceso de polos en la funcion de transferencia continua, es decir la diferencia entre polosy ceros.

Para perıodos de muestreo cortos un sistema discreto tendra los ceros en z ≈ esi . Dondelos si son los ceros del sistema continuo. Los r−1 ceros correspondientes a los ceros infinitos delsistema continuo se convierten en los ceros de los polinomios Zr presentados en la tabla siguientea medida que el muestreo tienda a cero ya que para s muy grande la funcion de transferencia seaproxima a G(s) = s−r .


Figura 1.4: Ceros del sistema discreto

1.14.4 Ejemplo N◦12: Sistema continuo sin Ceros

2(s + 1)(s + 2)

(1.87)

antitransformando el cero se ubica,

z =(1− e−2T )e−T − 2(1− e−T e−2T )

2(1− e−T )− (1− e−2T )(1.88)

cuando el perıodo de muestreo se hace pequeno z ≈ −1 + 3T .

1.15 Sistemas con Funcion de Transferencia Inversa Inestable

Un sistema continuo con funcion de transferencia racional no es de mınima fase si sus cerosestan en el semiplano positivo o tiene retardos. Analogamente un sistema discreto es de faseno mınima si sus ceros estan fuera del cırculo unidad. Esta definicion no condiciona a queun sistema con retardos no sea de fase mınima. En otras palabras, un retando no provoca losmismos problemas en un sistema discreto y en el equivalente continuo. En los sistemas discretoses mejor hablar de sistemas con o sin inversa estable que se define como sigue:

Definicion: Inversa estable. Un sistema discreto tiene inversa inestable si tiene algun cero fueradel cırculo unidad.

Un sistema continuo con inversa estable puede transformarse en un sistema discreto con in-versa inestable. De la tabla antes vista se desprende que el sistema inverso es siempre inestablesi el exceso de polos del sistema continuo es mayor a dos y el perıodo de muestreo es lo suficien-temente corto. Mas aun, un sistema continuo sin fase mınima no siempre se transforma en unsistema discreto con inversa inestable. Esto se muestra en el siguiente ejemplo:

Un sistema continuo con inversa estable puede transformarse en discreto con inversa inestableo viceversa.


1.15.1 Ejemplo N◦13: Sistema Continuo con Inversa Inestable

G(s) =6(1− s)

(s + 2)(s + 3)(1.89)

antitransformando el cero se ubica

z =8e−2T − 9e−3T + e−5T

1− 9e−2T + 8e−3T(1.90)

para T ≈ 1, 25 , z ≈ −1 y para perıodo de muestreo mayores la inversa es siempre estable.

1.16 Eleccion del Perıodo de Muestreo

Ya se discutio la importancia de la correcta eleccion del perıodo de muestreo. Un perıodo muylargo hara imposible la reconstruccion y uno muy corto incrementara innecesariamente la cargadel computador. Se discutira aquı la relacion entre el perıodo de muestreo y los polos del sistemacontinuo.

Es util caracterizar el perıodo de muestreo con una variable adimensional que tenga algunainterpretacion fısica adecuada. Para sistemas oscilatorios es comun normalizarlo con respectoal perıodo de oscilacion; para sistemas no oscilantes, se lo hace con respecto al tiempo de crec-imiento.

Una buena medida es expresar el muestreo en funcion del tiempo de crecimiento Tr introduciendo

Nr =Tr

T(1.91)

es el numero de muestras en el tiempo de crecimiento.

El teorema del muestreo de Shannon otorga el lımite inferior resultando Nr ≈ 0, 32 para unasenal senoidal pura. La reconstruccion de Shannon es, por supuesto excesivamente complicada.

Para sistemas de primer orden el tiempo de crecimiento coincide con la constante de tiem-po. Es razonable entonces elegir Nr = 2 − 4 (2 a 4 muestras).

Para sistemas de segundo orden con amortiguamiento ζ y frecuencia natural ω0, el tiempode crecimiento es Tr = 1

ω0e

ϕtanϕ ξ = cosϕ, donde ζ = cosϕ.

Para un amortiguamiento de ζ = 0, 7 resulta T = 0, 5 − 1. Tambien se elije Nr ≈ 2 − 4.

Recordar que el sistema muestreado es mas deficiente que el continuo. La eleccion del perıodode muestreo depende de :

• Comportamiento requerido

• Dinamica propia del sistema

• Perturbaciones

• Actuadores

• Sensores


• Como fue modelado

Un perıodo de muestreo muy grande:

• Imposibilita la reconstruccion

• Mucho tiempo a lazo abierto

Un perıodo de muestreo muy corto:

• Incrementa la carga del computador

• Introduce errores numericos

Si el sistema tiene retardo T ≈ 14 − 1

8 td.

Una eleccion racional del perıodo de muestreo para control en lazo cerrado debe basarse enuna comprension acabada de su influencia en la performance del sistema de control. Parecerazonable pensar que la mas alta frecuencia de interes debera estar cerca del ancho de banda delsistema en lazo cerrado. Se puede calcular a partir del ancho de banda o lo que es su equivalentedel tiempo de crecimiento del sistema en lazo cerrado. Generalmente se usa una frecuencia demuestreo de 6 a 10 veces el ancho de banda, o de 2 a 3 veces en el tiempo de crecimiento. Estosvalores parecen mucho menores que los usados en el procesamiento de senales. Los perıodos demuestreo son comparativamente mas bajos en los problemas de control ya que su dinamica esgeneralmente de tipo pasa bajos.

1.17 Anexo 1: Tabla de Transformada Z


Figura 1.5: Tabla de Transformada Z

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Capítulo 3 Modelos de Sistemas Discretos