BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ

BÀI 9

BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ

1

Giáo viên: TS. Nguyễn Văn Hiệu

Email: [email protected]

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

http://cuuduongthancong.com?src=pdf

https://fb.com/tailieudientucntt

Nội dung

q Giới thiệuq Bài toánq Thuật toán Dijkstraq Thuật toán Bellman-Fordq Thuật toán Floyd – Warshallq Ứng dụng

Nguyễn Văn Hiệu, 2014, Discrete Mathematics 2CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt



Giới thiệu

qĐồ thị trọng số (weighted graph) là đồ thịcó gắn một số (số nguyên hay số thực) chomỗi cạnh hoặc mỗi cung

qSố nguyên hay số thực cho mỗi cạnh:ü cự ly,ü thời gianü chi phí, ü tốc độ.




Bài toán

q Cho đồ thị trọng số G =(V,E,W). Ký hiệuw(u,v) là trọng số của cạnh (u,v)

q Độ dài đường đid=𝑣$ → 𝑣& →…. → 𝑣'($ → 𝑣'

là tổng trọng số𝐿 𝑑 = ∑ 𝑤(𝑣/, 𝑣/1$)'($

/3$




Bài toán

Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics 5

Bài toán 1:Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnha và đỉnh z

Bài toán 2: Tìm đường đi ngắn nhất từđỉnh a đến tất cả các đỉnh còn lại

Bài toán 3: Tìm đường đi ngắn nhất giữamọi cặp đỉnh




Bài toán

q Để chắc chắn tìm được đường đi ngắnnhất thì điều kiệnq Phải tồn tại đường đi

q Đồ thị vô hướng liên thông, đồ thị có hướng liênthông mạnh

q Không tồn tại chu trình âm:q Đồ thị vô hướng không tồn tại cạnh âm




Bài toán

qĐường đi ngắn nhất từ Etna đến Oldtown là:Etna – Bangor – Orono – OldTown

qĐường đi ngắn nhất từ Hermae đến Etna là:Hermae – Hampdea – Bangor - Etna




Bài toán

If ( d[v] > d[u] + c[u,v]) {d[v] = d[u] + c[u,v];T[v] = u;

}CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt



Thuật toán Dijkstra

q Mục tiêu: Tìm đường đi ngắn nhất từđỉnh a đến đỉnh z

q Điều kiện: Trọng số của cạnh w(u,v)>0 với mọi cạnh (u,v)

q L(u) - chiều dài ngắn nhất từ a đến u.q Thuật toán kết thúc thì L(z) – chiều dài

ngắn nhất từ a đến z.





q Input: G = (V,E,W), w(i,j)>0,∀(𝑖, 𝑗) ∈E,𝑎, 𝑧 ∈ V,

qOutput: L(z),đường đi từ a đến z (nếu có)





Step 1L(a)=0, L(x)=∞,∀𝑥 ≠ 𝑎,T=V, P(x) =∅.


Step 2m = min {L(u),u∈ 𝑇}

§ Nếu m=+∞ → 𝐾𝑇, ∄đườ𝑛𝑔đ𝑖𝑡ừ𝑎đê𝑛𝑧§ Nếu m<+∞ →

- chọn v ∈ 𝑇: 𝐿 𝑣 = 𝑚,- T = T- {v}- step 3





Step 3§ Nếu v = z → 𝐾𝑇và L(z), P(z)

(𝑧$ = 𝑃 𝑧 , 𝑧& = 𝑃 𝑧$ ,…., 𝑧' = 𝑃 𝑧'($ , 𝑎 = 𝑃(𝑧'))

§ Nếu v ≠ z → Step 4


Step 4: ∀𝑢 ∈ 𝑇, 𝑘ề 𝑘ề𝑠𝑎𝑢 𝑣𝑁ế𝑢𝐿 𝑢 > 𝐿 𝑣 + 𝑤 𝑣, 𝑢 , 𝑡ℎì

𝐿 𝑢 = 𝐿 𝑣 + 𝑤 𝑣, 𝑢P(u) = v

→ Step 2.





G – đồ thị liên thông có trọng số với n đỉnhf(n) – số lần thuật toán Dijkstra khảo sát mộtcạnh của G:

f(n) = 0(n*n)


Thuật toán Dijkstra là tối ưuKn - có số cạnh là n(n-1)/2Tìm đường đi ngắn nhất từ a đến z phải khảo sátqua mỗi cạnh một lần.Thuật giải khảo sát ít nhất 0(n*n)




a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

8 a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

∞,∅ ∞,∅

∞,∅ ∞,∅

∞,∅

Ví dụ thuật toán Dijkstra (1)




a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

∞,∅ ∞,∅

∞,∅ ∞,∅

∞,∅ a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

4,a ∞,∅

2,a ∞,∅

∞,∅

Ví dụ thuật toán Dijkstra(2)




a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

4,a ∞,∅

2,a ∞,∅

∞,∅ a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

3,d 10,d

2,a 12,d

∞,∅





a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

3,d 8,b

2,a 12,d

∞,∅a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

3,a 10,d

2,a 12,d

∞,∅





a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

3,d 8,b

2,a 10,𝑐

14, 𝑐a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

3,a 8,b

2,a 12,d

∞,∅

Ví dụ thuật toán Dijkstra(5)




a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

3,d 8,b

2,a 10,𝑐

13, 𝑒a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

80,∅

3,a 8,b

2,a 10,c

14, 𝑐





Phương pháp lập bảng ghi nhãn

q Bản chất là thuât toán Dijkstraq Các cột tương ứng với các đỉnhq Các hàng tương ứng với số lần tính nhãn

(bước 4)q Các nhãn “gạch dưới” tương ứng với

nhãn nhỏ nhất ở (bước 2)q Số đỉnh được cố định chính là số đỉnh

loại ra (bước 2)




a

b c

z

d e

41

2

56

32

10

8

Ví dụ lập bảng tính nhãn (1)

a b c d e z

𝟎, ∅ ∞, ∅ ∞, ∅ ∞, ∅ ∞, ∅ ∞, ∅ a

𝟒, 𝒂 ∞, ∅ 𝟐, 𝒂 ∞, ∅ ∞, ∅ d

- 3,d 10,d - 12,d ∞, ∅ b

- - 8,b - 12,d ∞, ∅ c

- - - - 10.c 14,c e

- - - - - 13,e z

- - - - - -




k 1 2 3 4 5 6

0,o oo,o oo,o oo,o oo,o oo,o

1 - 1,1 oo,o 2,1 oo,o oo,o

2 - 6,2 2,1 oo,o 8,2

3 3,4 - 6,4 8,2

4 - 6,4 4,3

6,4 -


1

2 3

6

4 5

1

1

2

5

3

12

4

7

2








Thuật toán Bellman-Ford

q Dijkstra cho kết quả sai nếu đồ thị có trọng sốâm

q Bellman-Ford khắc phục kết quả trênq Belman-Ford giúp xác định đồ thị có chu trình

âm hay không


s

b

z

3

2

-2






q Input: G = (V,E,W), s ∈ V,

qOutput: L(v),P(v) – đỉnh kề trước v (s---v)Đồ thị có chu trình âm qua đỉnh khảnối với s




Step 1L(s)=0, L(v)=+∞,∀𝑣 ≠ 𝑠,P(v) = nil, ∀𝑣 ∈ 𝑉,


Step 2For i:=1 to n do // |V| = n

For (u,v) ∈ 𝐸𝑑𝑜if L(v)>L(u)+w(u,v) then {

L(v)=L(u)+w(u,v);P(v)= u;

}





Step 3If ∃ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸: 𝐿 𝑣 > 𝐿 𝑢 + 𝑤 𝑢, 𝑣 𝑡ℎ𝑒𝑛

→ 𝐾𝐿(1)Else {

L(v); P(v);}



Độ phức tạp của thuật toán Bellman – Ford0(n*m)






s

b

z

3

2

-2

Bước s b z1 0 +∞,nil +¥ ,nil

2 0 3,s 2 ,s

0 3,s 1,b3 ∄ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸: 𝐿 𝑣 > 𝐿 𝑢 + 𝑤 𝑢, 𝑣




k 1 2 3 4 51 0,1 1,1 ¥ ,0 ¥ ,0 3,1

2 0,1 1,1 4,2 4,2 3,1

3 0,1 1,1 4,2 4,2 -1,3

5 0,1 1,1 4,2 3,5 -1,3

Ví dụ thuật toán Bellman-Ford

1

2 3

4

1 2

3

3

4

-58 31

5




k 1 2 3 4 5 6

0,1 1,1 ¥ ,1 ¥ ,1 ¥,1 ¥,1

1 0,1 1,1 6 ,2 3 ,2 7,4 7,3

2 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 7,4 5,3

3 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 6,6 5,3

4 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 6,6 5,3S = 1

Ví dụ thuật toán Bellman-Ford




Thuật toán Floyd- Warshall

q Mục tiêu: Tìm đường đi ngắn nhất giữamọi cặp đỉnh của đồ thị (có hướng) cótrọng số

q Giải pháp– Dijkstra nhiều lần– Floyd- Warshall





q Input: G = (V, E, W), V = {1,2,…,n}

qOutput: D = {d[i,j]}nxn,

d[i,j] độ dài đường đi ngắn nhất từ i đến j

P = {p[i,j]}nxn,,p[i,j] – đỉnh đi trước j trên đường đi

ngắn nhất từ i đến j





Step 1

D0 = {d0 [i,j]} , d0 [i,j] = p𝑤 𝑖, 𝑗 , ∃(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸+∞, 𝑖, 𝑗 ∉ 𝐸

P0 = {p0 [i,j]}, p0 [i,j] = p𝑗, ∃(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸∄, 𝑖, 𝑗 ∉ 𝐸







Step 2For k:=1 to n do // |V| = n

// Tính Dk và Pk theo Dk-1, Pk-1For n:=1 to n do

For m:=1 to n do if dk -1[i,j]> dk -1[i,k]+ dk -1[k,j] then {

dk[i,j]=dk -1[i,k]+dk -1[k,j];pk[i,j]= pk -1[i,k];

}else {

dk[i,j]=dk -1[i,j]; pk[i,j]= pk -1[i,j];}


//∀ i, j ∈ 𝐸





Step 3D = DnP = Pn

// Phương pháp xác định đường đi ngắn nhất từ i đến j// Đường đi ngắn nhất từ i đến j là các đỉnh:

i→ 𝑖$ → 𝑖& → ⋯ → 𝑖v → 𝑖v1$ → 𝑖' → 𝑗 :𝑖$ = 𝑝 𝑖, 𝑗 , 𝑖& = p(𝑖$, j),…., 𝑖v1$ = p(𝑖v, j),

𝑗 = p(𝑖v1$, j),


Độ phức tạp của thuật Floyd Warshall0(n*n*n)





Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall (1)

1

2 4

3

7

117

4

5

6

1

7 57 611

4 1

¥ ¥é ùê ú¥ ¥ê úê ú¥ ¥ ¥ê ú¥ ¥ë û

1 2 3 4

1

2

34

2 33 4

41 2

¥ ¥é ùê ú¥ ¥ê úê ú¥ ¥ ¥ê ú¥ ¥ë û

1 2 3 4

1

2

34

Ma trận D0 Ma trận P0CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt





1

2 4

3

7

117

4

5

6

1

7 57 611

4 1 9

¥ ¥é ùê ú¥ ¥ê úê ú¥ ¥ ¥ê ú¥ë û

1 2 3 4

1

2

34

2 33 4

41 2 1

¥ ¥é ùê ú¥ ¥ê úê ú¥ ¥ ¥ê ú¥ë û

1 2 3 4

1

2

34

Cập nhật qua đỉnh 1





Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall(3)

1

2 4

3

7

117

4

5

6

1

7 5 137 611

4 1 8 7

¥é ùê ú¥ ¥ê úê ú¥ ¥ ¥ê úë û

1 2 3 4

1

2

34

2 3 23 44

1 2 2 2


1 2 3 4

1

2

34







1

2 4

3

7

117

4

5

6

1

7 5 137 611

4 1 8 7


1 2 3 4

1

2

34

2 3 23 44

1 2 2 2


1 2 3 4

1

2

34







1

2 4

3

7

117

4

5

6

1

17 7 5 1310 7 7 615 12 19 114 1 8 7

é ùê úê úê úê úë û

1 2 3 4

1

2

34

2 2 3 24 4 3 44 4 4 41 2 2 2


1 2 3 4

1

2

34







1

2 4

3

7

117

4

5

6

1

17 7 5 1310 7 7 615 12 19 114 1 8 7


1 2 3 4

1

2

34

2 2 3 24 4 3 44 4 4 41 2 2 2


1 2 3 4

1

2

34

Kết quả: 4 → 3+ 8+ 4 –2 --3p(4,3) = 2p(2,3) = 3





10

2

1

563

10 6 210 5 36 5 12 3 1

¥é ùê ú¥ê úê ú¥ê ú¥ë û

2 3 41 3 41 2 41 2 3


Ma trận D0

Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall (2.1)

Ma trận P0

1 2

34

1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4





10

2

1

563

10 6 210 5 36 5 12 3 1


2 3 41 3 41 2 41 2 3


Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall (2.2)

1 2

34

1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4

Ma trận D1 Ma trận P1





10

2

1

563

10 6 210 5 36 5 12 3 1


2 3 41 3 41 2 41 2 3


Ví dụ thuật toán Floyd- Warshall(2.3)

1 2

34

1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4






10

2

1

563

10 6 210 5 36 5 12 3 1


2 3 41 3 41 2 41 2 3



1 2

34

1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4






10

2

1

563

5 3 25 4 33 4 12 3 1


4 4 44 4 44 4 41 2 3



1 2

34

1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 41

2

3

4






10

2

1

563

5 3 25 4 33 4 12 3 1


4 4 44 4 44 4 41 2 3



1 2

34

1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 41

2

3

4





Ứng dụng

qBài toán chọn địa điểm đặt cơ sở dịch vụ, sao chohiệu quả nhất về mặt kinh tếqBài toán cực tiểu tổng

§ Tìm vị trí để đặt cơ sở sao cho khoảng cách giữa các vùng đếncơ sở là nhỏ nhất

§ Vị trí đặt trường học, bưu điện, bệnh viện.

qBài toán cực tiểu trị lớn nhất§ Tìm vị trí đặt cơ sở sao cho khoảng cách từ cơ sở đến điểm xa

nhất của cộng đồng là nhỏ nhất§ Vị trí đặt cơ quan phòng cháy chữa cháy.




Ứng dụng

qBài toán cực tiểu tổngG=(V, E, W), V={1,2,…,n},w(i,j)>0,∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸D={d[i,j]} là ma trận khoảng cách ngắn nhất của G (Floyd-Warshall)∀𝑖 ∈ 𝑉, 𝑠 𝑖 − 𝑡ổ𝑛𝑔𝑐á𝑐𝑝ℎầ𝑛𝑡ử𝑡𝑟ê𝑛 hàng i của ma trận DĐỉnh j gọi là cực tiểu tổng nếu 𝑠 𝑗 ≤ 𝑠 𝑖 , ∀𝑖 ∈ 𝑉.q Tập tất cả các đỉnh tâm gọi là tâm đồ thị




Ứng dụng

qBài toán cực tiểu trị lớn nhấtG=(V, E, W), V={1,2,…,n},w(i,j)>0,∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸D={d[i,j]} là ma trận khoảng cách nhỏ nhất của G (Floyd-Warshall)∀𝑖 ∈ 𝑉, 𝑒 𝑖 − 𝑝ℎầ𝑛𝑡ử𝑙ớ𝑛𝑛ℎấ𝑡(độ𝑙ệ𝑐ℎ𝑡â𝑚)𝑡𝑟ê𝑛ℎà𝑛𝑔i của ma trận DĐỉnh j gọi là đỉnh tâm tổng nếu e 𝑗 ≤ 𝑒 𝑖 , ∀𝑖 ∈ 𝑉




Ứng dụng

1 1

1

11 2 431 5

6

70 1 2 3 4 4 41 0 1 2 3 3 32 1 0 1 2 2 23 2 1 0 1 1 14 3 2 1 0 2 24 3 2 1 2 0 24 3 2 1 2 2 0

é ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

- Đỉnh 4 là đỉnh cực tiểu- Đỉnh 3 là tâm đồ thị




q Lập trình thực hiện các thuật toán mô tả:q Thuật toán Dijkstraq Thuật toán Floyd-Warshallq Thuật toán Bellman-Ford

q Xác định độ phức tạp của 3 thuật toán trên


Bài tập




THAT’S ALL; THANK YOU

What NEXT?




Documents

BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ