Aula Matrizes

Matrizes

Prof. Raimundo C. Ghizoni Teive

Semestre 2015/01

UNIVERSIDADE DO VALE DO ITAJAÍ – UNIVALI CURSO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA DE ÁLGEBRA

MATRIZES ORIGEM

• Entretanto, bem antes, no século III a. C. , os chineses já desenvolviam um processo de resolução de sistemas lineares em que aparecia implícita a ideia das matrizes.

• Atribui-se o surgimento das matrizes a um artigo publicado pelo matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895), do Trinity College, datado de 1858.

MATRIZES DEFINIÇÃO

EUA França Colômbia

Limite ( g / litro de

sangue) 0,8 0,5 0,4

Mortes no trânsito

(grupo de 100000) 14 (2006) 7 (2007) 12 (2006)

Porcentagem causada

por motorista

alcoolizados

32 34 10

Introdução: Alcool no volante – Menos tolerância, menos mortes

Obs.: 1) Atualmente no Brasil o limite tolerável é de 0,2 g / litro de sangue. 2) Na Colômbia, na lei atual, o limite é ZERO.


Algoritmos Algebra M. Computac.

Aluno x 5,5 6,5 7,5

Aluno y 5,0 4,0 7,0

Introdução: Exemplo Planilha de Notas


Aluno x 6,5 7,5 7,0

Aluno y 4,5 6,0 5,0

a) M1

c) M3


Aluno x 6,0 8,0 7,5

Aluno y 6,0 5,5 5,5

b) M2


Chama-se matriz a uma tabela de números dispostos em linhas e colunas

0,70,40,5

5,75,65,51M

• Linguagem matemática compacta.

M11 M12 M13

M21 M22 M23 Matriz M =

0,70,40,5

5,75,65,5:1

232221

131211

MMM

MMMMparaonde

MATRIZES APLICAÇÕES

• Quantos pontos o aluno x conseguiu em Algoritmos?

• Quantos pontos o aluno y conseguiu em Matemática Computacional?

• Qual aluno passou em Álgebra?

Questões:


• (Vestibular IFSC 2013) Questão 19) Uma loja de doces comercializa três variedades de bombons (recheados, trufados e mesclados) em caixas de três tamanhos diferentes (pequena, média e grande). O valor de cada caixa é dado pela soma dos preços unitários de cada bombom. O quadro abaixo mostra o conteúdo e o valor de cada caixa comercializada: Determine o preço unitário de cada bombom. Resposta: Bombom recheado = R$ 2,0, bombom mesclado = R$ 1,0 e bombom trufado = R$ 2,0.

Caixa Bombons contidos em cada caixa

Pequena – R$ 19,00 5 recheados, 3 mesclados e 3 trufados

Média – R$ 36,00 10 recheados, 4 mesclados e 6 trufados

Grande – R$ 50,00 12 recheados, 18 mesclados e 4 trufados

DETERMINANTES APLICAÇÕES

• (Vestibular IFSC 2013)

Questão 25)

Após assistir uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu codificar sua senha bancária. A

senha é composta pelos números A, B, C e D, justapostos nessa ordem e codificados através dos

determinantes abaixo:

𝐴 = 1 2 43 1 21 2 1

𝐵 =

1 70 3

−1 25−8 32

0 00 0

2 11 0 1

𝐶 =

1 22 4

0 −2 −3 −3

4 8 8 16

−2 −1 0 −2

𝐷 =

−3 0 0 −2 0 0

0 0 00 0 04 0 0

0 00 0

0 1 0 0 0 1

Resposta: A = 15, B = 6, D = 0 e D = 24


• Processamento de imagens e visão computacinal Filtragem de imagens Matriz de pixels Exemplo 8X8 – Valores de 45 a 138 pixels.

Filosofia do software EXCEL – Microsoft Oficce.

NOTAÇÃO

AS MATRIZES SÃO REPRESENTADAS POR LETRAS MAIÚSCULAS E APRESENTADAS NA FORMA DE TABELAS:

Ou: A = ( a i j ) n x m

• Pode ser expressa em forma de [ ] ou ( ).

a . . . a a

. . . . . .

a . . . a a

a . . . a a

A

n mn 2n 1

2 m2 22 1

1 m1 21 1

EXEMPLO

Ex: Em um final de semana, registrou-se o número de fregueses que fizeram compras em uma padaria, bem como o período (manhã, tarde ou noite) da visita. Na matriz a seguir, o elemento aij indica o número de fregueses que foram á padaria no dia i e no período j.

Sabendo-se que sábado e domingo correspondem, respectiva-mente, aos índices 1 e 2 e que manhã, tarde e noite são representados pelos índices 1, 2 e 3, respectivamente, determine:

38 55 82

42 90 64

EXEMPLO

Determine: a) O número de clientes que a padaria recebeu sábado a tarde; b) O número total de clientes no domingo.

CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES QUANTO AOS ELEMENTOS

MATRIZ NULA SE: A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ NULA DE ORDEM n x m NOTAÇÃO O n x m OU SIMPLESMENTE O SE NÃO HOUVER DÚVIDA QUANTO A VARIAÇÃO DOS ÍNDICES

) R ( M a A SEJA mx nj i

N xN j , i , 0 amnj i

EXEMPLO

0 0 0

0 0 0 0

3 X 2

CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES QUANTO A ORDEM

Uma Matriz quadrada: SE n = m A MATRIZ A SE DIZ MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n.

Exemplo:

) R ( M A SEJA mx n

3 33 23 1

2 32 22 1

1 31 21 1

a a a

a a a

a a a

A

DIAGONAL PRINCIPAL

MATRIZES QUADRADAS

Se a matriz é quadrada de ordem n, então os elementos aij tal que i=j são chamados de diagonal principal e os elementos aij tal que i + j = n + 1 são os elementos da diagonal secundária.

MATRIZ LINHA E MATRIZ COLUNA

SE n = 1 A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ LINHA DE ORDEM m EXEMPLO SE m = 1 A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ COLUNA DE ORDEM n EXEMPLO

a . . . a a a A m 1132 11 1

1 n

1 3

1 2

1 1

a

.

.

.

a

a

a

A

MATRIZ IDENTIDADE

NOTAÇÃO

EXEMPLO

SE:

j i se 0

j i se 1 a e m n

j i

A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ IDENTIDADE DE ORDEM n

I n OU SIMPLESMENTE I SE NÃO HOUVER DÚVIDA QUANTO A VARIAÇÃO DOS ÍNDICES

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I3

MATRIZ TRANSPOSTA

Dada uma matriz A do tipo nxm chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de linhas de A serão as colunas de At e vice-versa

201

435A

24

03

15tA

Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At .

d MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR E INFERIOR

SE:

A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

j i 0 a e m nj i

EXEMPLO

3 32 31 3

3 22 22 1

3 12 11 1

a a a

a a a

a a a

A

3 3

3 22 2

3 12 11 1

a 0 0

a a 0

a a a

A →

DE FORMA SEMELHANTE, SE:

j i 0 a e m nj i

A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

d MATRIZ SIMÉTRICA

SE:

A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ SIMÉTRICA

EXEMPLO

→

SE:

mni jj i

N xN j , i a a e m n

3 32 31 3

3 22 22 1

3 12 11 1

a a a

a a a

a a a

A

3 3

2 2

1 1

a δ β

δ a α

β α a

A

MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA

mni jj i

N xN j , i a- a e m n

A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA EXEMPLO

3 32 31 3

3 22 22 1

3 12 11 1

a a a

a a a

a a a

A

0 δ β-

δ- 0 α

β α- 0

A →

LEI DE FORMAÇÃO DE UMA MATRIZ

Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:

jisejib

jisejia

ij

ij

3

2

927

651

32.32.2212.3

31.321.31.21

232221

131211

A

aaa

aaaA

IGUALDADE DE DUAS MATRIZES

Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos:

A = B <=> aij=bij

OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO

Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij + bij

Exemplo:

212

1113

231

061

423

152BABA

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES

RM C , B , A m xn

A1) COMUTATIVA

A + B = B + A

A2) ASSOCIATIVA

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

A3) ELEMENTO NEUTRO (MATRIZ NULA)

A + O n x m = A

A4) ELEMENTO OPOSTO

:RM a- A- , R M a A m xnj im xnj i

m xn

OA-A

OPERAÇÕES COM MATRIZES SUBTRAÇÃO

Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij - bij

Exemplo:

51

24

32

10

52

23

41

32

51

BABA

OPERAÇÕES COM MATRIZES MULTIPLICAÇÃO

Dada duas matrizes A do tipo n x m e B do tipo m x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz n x p definida por

Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj

Observações:

1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

2. Se as matrizes A e B são do tipo n x m e m x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz do tipo n x p,

OPERAÇÕES COM MATRIZES MULTIPLICAÇÃO

Exemplo:

Dadas as matrizes:

2422

13

1412

4.51.42.53.4

4.01.12.03.1

4.31.22.33.2

.

42

13

54

01

32

BAC

BeA

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que:

85

56tXX

Solução:

85

56

2

2

85

56

dcb

cba

db

ca

dc

batemosdoSubstituín

db

caXe

dc

baXdeChamaremos t

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Solução:

2a = 6 a=3

2d = 8 d=4

b + c = 5

1 e 4 = 5 2 e 3 = 5 5 e 0 = 5 6 matrizes!

PRODUTO DE MATRIZES IDENTIDADE

Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero.

100

010

001

10

01

3

2

I

I Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja:

A.I=I.A=A

PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO

Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada.

1590

12363

530

412

A

A

Exemplo

OBSERVAÇÕES

O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A.B = B.A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam.

Quando A . B for diferente de B . A temos que (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2

Quando A e B se comutam temos (A+B)2 = A2 + 2AB +B2

MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL

SEJAM:

R α e RM A m xn

DENOMINAMOS MATRIZ PRODUTO DE α POR A E INDICAMOS POR α.A, A MATRIZ:

) R (M Cm xn

TAL QUE:

mnj ij iN xN j , i , b . α c

6.1 EXEMPLO

2 31 3

2 21 2

2 11 1

2 31 3

2 21 2

2 11 1

α.a α.a

α.a α.a

α.a α.a

a a

a a

a a

. α A . α

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL

1)

2)

3)

R β , α e RM B , A m xn

A. β . α A . β . α

B . α A . α B A . α

A. β A . α A . β α

4) A A . 1

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