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Analisis tensorial y geometrıa de Riemann
Nelson Merino Moncada Alfredo Perez Donoso
December 19, 2003
Abstract
El objetivo que motiva a trabajar con el calculo tensorial es conseguir
que la fısica sea independiente del sistema coordenado usado para su de-
scripcion. En otras palabras, se requiere que bajo una transformacion de
coordenadas, las ecuaciones que expresan las leyes de la fısica permanez-
can invariantes. El calculo tensorial nos permitira estudiar la geometrıa
de algun espacio, en particular la geometrıa de Riemann.
1 Introduccion
Un espacio euclidiano se caracteriza por el hecho que admite sistemas coorde-nados cartesianos que lo cubren completamente. Sin embargo, existen espaciosde naturaleza mas general, tal como una superficie curvada, la cual no permitela existencia de un unico sistema coordenado que la cubra completamente.
Iniciamos nuestro estudio generalizando el concepto primitivo de vector, de-bido al siguiente hecho:
Algunas cantidades fısicas como la velocidad y la fuerza son representadasindistintamente como vectores. Sin embargo, bajo una transformacion de co-ordenadas, sus componentes transforman de acuerdo a leyes distintas. Por lotanto, la velocidad y la fuerza son entes de distinto caracter. Esto nos llevara aintroducir el concepto de vector contravariante y de vector covariante.
Luego, se presentan algunas cantidades que para su especificacion requierenmas de un ındice, como por ejemplo la multiplicacion de las componentes dedos vectores (covariantes o contravariantes). Esto motiva a definir el conceptogeneral de tensor como un objeto cuyas componentes transforman segun unadeterminada ley de transformacion. Al introducir los conceptos de conexiony metrica, podremos hacer un estudio de las propiedades geometricas de unespacio dado. En particular, nos concentraremos en aquellos espacios que poseenuna geometrıa de Riemann, como por ejemplos las superficies inmersas en elespacio euclidiano tridimensional.
2 Variedades diferenciables
Definicion: Una variedad diferenciable n-dimensional es un conjunto continuode puntos M, cubierto completamente por un conjunto contable de vecindades
1
abiertas U1, ..., Un sobre los cuales pueden ser definidos sistemas coordena-dos, tales que en las intersecciones de dichas vecindades, sus correspondientessistemas estan relacionados unos a otros por transformaciones de coordenadasdiferenciables.
Una variedad puede ser concebida rusticamente como un espacio de di-mension n, analoga a una superficie n-dimensional. En general, ella no puede sercubierta completamente por un solo sistema coordenado. Curvas y superficiesen el espacio euclıdeo tridimensional En representan ejemplos de variedades.
Figure 1:
Como se ve en la figura 1, sobre cada Ui esta definido un sistema coorde-nado de modo que a cada punto P ∈ Ui es posible asignar unıvocamente unconjunto ordenado de numeros (x1, ..., xn) llamados coordenadas de P . Estemapeo uno a uno debe ser continuo, de modo que, cuando P se mueve en Ui, lacorrespondiente n-upla (x1, ..., xn) se mueve en un dominio D contenido en En.
Consideremos la figura 2. El conjunto M es una variedad diferenciable siadmite una construccion de modo tal que para todo punto P en la interseccionde dos abiertos, U1, U2 ⊆ M , los correspondientes sistemas estan relacionadospor transformaciones de coordenadas diferenciables:
xj = xj(xi), (1)
xi = xi(xj).
Recordemos que:
∂xi
∂xj
∂xj
∂xk= δi
k y∂xj
∂xi
∂xi
∂xl= δj
l , (2)
2
Figure 2:
=⇒ ∂(x1, ..., xn)
∂(x1, ..., xn)
∂(x1, ..., xn)
∂(x1, ..., xn)= 1. (3)
Luego, el jacobiano de la transformacion (1) no se anula sobre U1 ∩ U2.
3 Escalares, vectores y tensores
Presentaremos ahora ciertas entidades matematicas que pueden ser asociadassobre una variedad. El caso mas simple es una propiedad expresada por unnumero asociado a un punto P de la variedad, el cual por definicion no cambiabajo una transformacion de coordenadas (T.C.). Podemos pensar, por ejemplo,en un campo de temperaturas en alguna region del espacio.
Definicion:Una funcion real φ(xi), definida en una region de la variedadM , es llamada campo escalar si bajo una transformacion de coordenadas severifica:
φ(xj) = φ(xi). (4)
Veamos como transforma la diferencial de un campo escalar φ. Tenemos
φ = φ(xj), luego la diferencial del campo es dφ = ∂φ∂xj dxj .
Usando la regla de la cadena y las ecuaciones (1) y (4) tenemos:
∂φ
∂xj=
∂φ
∂xl
∂xl
∂xj, (5)
dxj =∂xj
∂xidxi. (6)
Ası tenemos:
dφ =∂φ
∂xjdxj =
∂φ
∂xl
∂xl
∂xj
∂xj
∂xidxi =
∂φ
∂xl
(
∂xl
∂xj
∂xj
∂xi
)
dxi =∂φ
∂xl
(
∂xl
∂xi
)
dxi. (7)
3
De este modo obtenemos:
dφ =∂φ
∂xidxi = dφ. (8)
Por lo tanto la diferencial de un campo escalar es nuevamente un campoescalar.
El arreglo formado por las cantidades ∂φ/∂xi es un objeto matematico lla-mado gradiente de φ, y otorga el incremento de φ como la suma de los produc-tos ∂φ
∂xi dxi. Esta entidad, que esta asociada a un punto y transforma segun laecuacion (5), es el prototipo de lo que se conoce como vector covariante.
Por otro lado, el arreglo formado por las diferenciales de las coordenadas esun ente cuya ley de transformacion para sus componentes es distinta (ecuacion6) y constituye el prototipo de lo que llamamos vector contravariante.
Definicion: Se dice que un conjunto de cantidades (A1, ..., An) son las com-ponentes de un vector covariante en un punto P de coordenadas (xi), si bajola T.C. xj = xj(xi), dichas componentes obedecen la siguiente ley de transfor-macion:
Ak =∂xi
∂xkAi. (9)
Para hallar la ley de transformacion inversa multiplicamos la ecuacion (9)por ∂xk/∂xl:
∂xk
∂xlAk =
∂xi
∂xk
∂xk
∂xlAi =⇒ ∂xk
∂xlAk = δi
lAi =⇒ ∂xk
∂xlAk = Al. (10)
De este modo, la ley de transformacion (9) posee inversa y esta dada por:
Ak =∂xi
∂xkAi. (11)
Definicion:Se dice que un conjunto de numeros (A1, ..., An), son las com-ponentes de un vector contravariante en un punto P de coordenadas (xi), sibajo la T.C. xj = xj(xi), dichas componentes obedecen la siguiente ley de trans-formacion:
Bk =∂xk
∂xiBi. (12)
Analogamente se muestra que la ley de transformacion inversa esta dadapor:
Bk =∂xk
∂xiBi. (13)
Se debe enfatizar que estos objetos estan asociados a un punto de la variedadpero no son elementos de dicho espacio.
Previamente probamos que la diferencial de un campo escalar es un invari-ante. Pero la diferencial de dicho campo es la suma del producto de las com-ponentes de un vector covariante y uno contravariante. Por lo tanto, se infiereque en general el producto de las componentes de un vector covariante y uno
4
contravariante, AkBk, (ambos definidos en el mismo punto) es un escalar y sele llama producto interno o producto escalar de los vectores A y B.
Consideremos el producto de las componentes Ai de un vector contravariantey las componentes Bk de un vector covariante. Veamos como transforma esteproducto bajo una T. C.:
AiBk =∂xi
∂xlAl ∂xm
∂xkBm =
∂xi
∂xl
∂xm
∂xkAlBm. (14)
Las cantidades AiBk son las componentes de un ente que para ser especifi-cado completamente necesita mas de un ındice y que, bajo una transformacionde coordenadas, sus componentes transforman en forma lineal y homogeneasegun la ecuacion (14). Esto motiva la siguiente definicion:
Definicion:Un conjunto de n2 cantidades T ik son las componentes de un
tensor de rango 2, de tipo ( 11), en un punto P , si bajo una T.C. dichas compo-
nentes transforman segun la ley:
T ik =
∂xi
∂xl
∂xm
∂xkT l
m. (15)
De aquı podemos obtener una definicion mas general de objetos que para suespecificacion requieren varios ındices.:
Definicion:Un conjunto de nr+s cantidades T i1...ir
k1...ksson las componentes de
un tensor de rango r + s, de tipo ( rs), en un punto P si bajo una T.C. dichas
componentes transforman segun la ley:
T i1...ir
k1...ks=
∂xi1
∂xl1...
∂xir
∂xlr
∂xm1
∂xk1
...∂xms
∂xksT l1...lr
m1...ms. (16)
Notemos que T i1...ir
k1...kses un tensor de caracter mixto, contravariante de rango
r y covariante de rango s. Ademas, la definicion nuevamente hace referenciaexplıcita al punto P donde esta definido el tensor, debido a que las coordenadasxk del punto entran como argumento en cada una de las derivadas parciales.
Usando la ecuacion (2), se prueba que la ley de transformacion (16) poseeinversa y esta dada por:
T i1...ir
k1...ks=
∂xi1
∂xl1...
∂xir
∂xlr
∂xm1
∂xk1
...∂xms
∂xksT l1...lr
m1...ms. (17)
Claramente los dos tipos de vectores definidos previamente son casos espe-ciales de tensores. Un vector contravariante es un tensor del tipo (10) y un vectorcovariante es un tensor del tipo (01). Un escalar es llamado tensor de rango cero.
En particular la relacion ∂xj
∂xi∂xi
∂xl = δjl puede ser escrita en la forma:
δjl =
∂xj
∂xi
∂xk
∂xlδik, (18)
lo cual muestra que la delta de Kronecker es un tensor del tipo (11). Pero (18) sereduce a δj
l = δjl , de modo que esta es una de las muy pocas entidades tensoriales
numericamente invariantes que es posible definir en una variedad cualquiera.
5
Verifiquemos la validez de la propiedad transitiva para los tensores. Consid-eremos, por ejemplo, el caso de un vector covariante Ai, pues el razonamiento esgeneral. Por la T.C. xi = xi(xj) se tiene (9) y por el nuevo cambio xi = xi(xj),aplicando la misma regla, resulta:
Ak =∂xi
∂xkAi =
∂xi
∂xk
∂xj
∂xiAj =
∂xj
∂xkAj (19)
Es decir, verificando sucesivamente las transformaciones xi = xi(xj) y xi =xi(xj), se obtiene la misma ley que debe aplicarse para la transformacion xi =xi(xj).
Finalmente, de la ecuacion (16), se desprende que si todas las componentesde un tensor son nulas en un sistema coordenado (S.C.) entonces ellas se anulanen cualquier sistema coordenado. Esto se verifica directamente observando elcaracter lineal y homogeneo de la ley de transformacion de las componentes deun tensor.
4 Algebra tensorial sobre variedades
Consideremos ahora un tratamiento formal de los procesos algebraicos quepueden ser aplicados a tensores en un punto P fijo de la variedad M .
4.1 Adicion
Sea S i1...ir
k1...ksun tensor del tipo (r
s) definido en el punto P . Su ley de transfor-macion, de acuerdo con (16), es:
S i1...ir
k1...ks=
∂xi1
∂xl1...
∂xir
∂xlr
∂xm1
∂xk1
...∂xms
∂xksS l1...lr
m1...ms, (20)
y sea el tensor T i1...ir
k1...kscuya ley de transformacion esta dada por (16). La
suma de los tensores T i1...ir
k1...ksy S i1...ir
k1...kses dada por:12
T i1...ir
k1...ks+ S i1...ir
k1...ks=
∂xi1
∂xl1...
∂xir
∂xlr
∂xm1
∂xk1
...∂xms
∂xks
(
T l1...lrm1...ms
+ S l1...lrm1...ms
)
, (21)
lo cual muestra que la suma T i1...ir
k1...ks+S i1...ir
k1...ksson las componentes de un tensor de
tipo (rs) en P . De (16) vemos tambien que las multiplicacion de las componentes
de un tensor de tipo (rs) por un escalar conduce a un tensor del mismo tipo. Esto
implica que el conjunto de todos los tensores de tipo (rs) en el punto P de M
constituye un espacio vectorial de dimension nr+s. En particular, el conjuntode todos los vectores contravariantes en P definen un espacio n-dimensionalllamado espacio tangente Tn(P ), mientras que el conjunto de todos los vectorescovariantes en P constituye el espacio tangente dual T ∗
n(P ) n-dimensional.Es importante notar que la suma de tensores de distinto tipo no suministra
un nuevo tensor..
6
4.2 Multiplicacion
La multiplicacion de las componentes de dos tensores de tipo (r1
s1) y (r2
s2), definidos
en P , conduce a un tensor de tipo (r1+r2
s1+s2) en P . Este proceso es llamado pro-
ducto externo o directo.Para ilustrar esto consideramos, por ejemplo, un tensor de tipo (21) y un
tensor de tipo (02), pues el razonamiento es general. Sus leyes de transformacionson respectivamente:
T jlm =
∂xj
∂xi
∂xl
∂xk
∂xp
∂xmT ik
p , (22)
Sqr =∂xu
∂xq
∂xv
∂xrSuv .
El producto de las componentes de estos dos tensores se transforma deacuerdo a:
T jlm Sqr =
∂xj
∂xi
∂xl
∂xk
∂xp
∂xm
∂xu
∂xq
∂xv
∂xrT ik
p Suv (23)
lo cual es obviamente la ley de transformacion de las componentes de un tensorde tipo (23), V ik
puv = T ikp Suv .
El proceso de multiplicacion puede ser combinado con el proceso de adicionde tensores, con tal que sus respectivos tipos sean apropiados. Para estos clara-mente se satisfacen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva.
4.3 Contraccion
Dado un tensor de tipo (rs) es posible seleccionar un superındice y un subındice
y reemplazarlos por dos ındices identicos. Luego, en virtud de la convencion desuma, la suma es implıcita y las cantidades obtenidas constituyen las compo-nentes de un tensor de tipo (r−1
s−1). En efecto:
T i1...i...ir
k1...i...ks=
∂xi1
∂xl1...
∂xi
∂xl...
∂xir
∂xlr
∂xm1
∂xk1
...∂xm
∂xi...
∂xms
∂xksT l1...l...lr
m1...m...ms(24)
T i1...i...ir
k1...i...ks=
(
∂xi
∂xl
∂xm
∂xi
)
∂xi1
∂xl1...
∂xir
∂xlr
∂xm1
∂xk1
...∂xms
∂xksT l1...l...lr
m1...m...ms
T i1...i...ir
k1...i...ks= δm
l
∂xi1
∂xl1...
∂xir
∂xlr
∂xm1
∂xk1
...∂xms
∂xksT l1...l...lr
m1...m...ms
T i1...i...ir
k1...i...ks=
∂xi1
∂xl1...
∂xir
∂xlr
∂xm1
∂xk1
...∂xms
∂xksT l1...l...lr
m1...l...ms,
la cual es la ley de transformacion de un tensor de tipo (r−1s−1). Este proceso es
conocido como contraccion.Claramente, el proceso de contraccion de un tensor de tipo (11) da origen a
un escalar. En particular, para el caso del delta de Kronecker tenemos:
δjj = δ1
1 + ...δnn = n. (25)
7
Ademas, es posible formar el producto de las componentes de tensores detipo arbitrario, referidos al mismo punto, y luego contraerlos (con tal que losprocesos de multiplicacion conduzcan a tensores de tipo (r
s) con r ≥ 1 y s ≥ 1).
4.4 Simetrizacion
Un tensor es llamado simetrico con respecto a un par de superındices, o un parde subındices, si el intercambiarlos no afecta el valor de las componentes dedicho tensor. Si, por otro lado, este proceso afecta a cada componente multi-plicandola por −1, entonces el tensor es llamado antisimetrico en dichos ındices.Finalmente se dice que un tensor es totalmente simetrico (antisimetrico) si lo escon respecto a cualquier par de superındices o a cualquier par de subındices. Engeneral cuando hablemos de tensores simetricos (antisimetricos) nos referimos atensores totalmente simetricos (antisimetricos) salvo que se indique lo contrario.
Por ejemplo, si Aij y Bij son las componentes de tensores de tipo (02), en-tonces Aij es un tensor simetrico si:
Aij = Aji, (26)
y Bij sera un tensor antisimetrico si
Bij = −Bji. (27)
Como consecuencia inmediata de la forma de la ley de transformacion detensores, estas ecuaciones son validas en cualquier sistema coordenado.
Teorema: Todas las propiedades de simetrıa y de antisimetrıa de los ten-sores son independientes de la eleccion del sistema coordenado.
Dado un tensor de tipo (rs) con r > 1 o s > 1, podemos construır a partir de
dicho tensor, un tensor simetrico y un tensor antisimetrico en cualquier par desuperındices o en cualquier par de subındices. Por ejemplo a partir del tensorAij podemos definir:
Sij :=1
2(Aij + Aji) , (28)
Tij :=1
2(Aij −Aji) ,
los cuales son simetricos y antisimetricos respectivamente. El proceso que cor-responde a Sij es referido como simetrizacion.
Vemos tambien que todo tensor de tipo (rs) con r > 1 o s > 1, se puede
expresar como suma de un tensor simetrico y uno antisimetrico en cualquier parde superındices o subındices. En el caso anterior tenemos:
Aij =1
2(Aij + Aji) +
1
2(Aij −Aji) . (29)
8
4.5 Invariancia de las ecuaciones tensoriales
Hemos visto que los tensores pueden ser sumados, restados o, mas generalmente,linealmente combinados con coeficientes escalares. Podemos formar productosentre tensores y luego contraerlos con tal que los procesos de multiplicacionconduzcan a tensores de tipo (r
s) con r ≥ 1 y s ≥ 1. Y todo esto es posible si ysolo si ellos se refieren al mismo punto de M .
Tambien se menciono que un importante tensor de cada tipo es el tensorcero de ese tipo. Dicho tensor es numericamente invariante debido a que su leyde transformacion es lineal y homogenea. Por ejemplo, esto tiene como con-secuencia que una ecuacion como Skl...
pq... = T kl...pq... sea independiente del sistema
coordenado, ya que esto es equivalente a afirmar que Skl...pq... − T kl...
pq... es el ten-sor nulo. Este hecho es el que garantiza el teorema de la invariancia de laspropiedades de simetrıa y antisimetrıa de los tensores. Obviamente si S y T sonde distinto tipo, o bien, si se refieren a puntos distintos, la ecuacion carece detodo sentido invariante.
Consideremos ahora un tensor de tipo (rs), r vectores covariantes, s vectores
contravariantes, y el siguiente producto contraıdo:
Skl...pq...AkBl...F
pGq ... . (30)
Entonces, de acuerdo con las reglas de producto externo e interno, estamultiplicacion es un escalar.
La proposicion inversa es tambien verdadera: Supongamos que no sabemossi un arreglo de numeros S...
... tiene caracter tensorial, pero sabemos que (30) esun escalar para cualquier conjunto arbitrario de vectores A...G.... Entonces S ...
...
son las componentes de un tensor del tipo definido por sus ındices.En efecto, para probar esto consideremos una transformacion particular y
llamemos S...... a las componentes de S transformadas como si fuera un ten-
sor. Llamemos S...... a cualquier conjunto de numeros que comparte con S...
... lapropiedad de hacer (30) un escalar. Es decir tenemos:
Skl...pq...AkBl...F
pGq ... = Skl...pq...AkBl...F
pGq ... , (31)
Skl...pq...AkBl...F
pGq ... = Skl...pq...AkBl...F
pGq ... .
Estas ecuaciones expresan que S...... y S...
... dejan (30) invariante. Restandolasobtenemos:
(
Skl...pq... − Skl...
pq...
)
AkBl...FpGq ... = 0, (32)
Skl...pq... − Skl...
pq... = 0,
Skl...pq... = Skl...
pq... .
Es decir, usando la arbitrariedad de los vectores A...G... hemos probado queestos arreglos son iguales y por lo tanto bajo las hipotesis mencionadas S debeser un tensor.
9
5 Densidades tensoriales.
Consideremos un campo vectorial contravariante Ak y las cuatro integrales:∫
Akdnx, (33)
donde dnx = dx1dx2...dxn y la integral se toma sobre una region dada de M .Observamos que estas integrales no son invariantes bajo T.C. y por lo tanto noson las componentes de algun nuevo vector. Del mismo modo, consideremos laintegral de un campo escalar A:
I =
∫
Adnx. (34)
Veamos como transforma bajo una T.C.. El elemento de volumen queda:
dnx =∣
∣
∣
∂xk
∂xj
∣
∣
∣dnx, donde
∣
∣
∣
∂xk
∂xj
∣
∣
∣es el determinante jacobiano de la transformacion.
Luego:
I =
∫
Adnx =
∫
A
∣
∣
∣
∣
∂xk
∂xj
∣
∣
∣
∣
dnx 6=∫
Adnx = I . (35)
De este modo I no es invariante bajo una T.C. Pero nos interesa que laintegral I sı sea un escalar. Por otra parte, sabemos que si sumamos solocantidades escalares el resultado es un escalar. En nuestro caso tenemos unaintegral en vez de una suma. Luego si Adnx es un escalar entonces I sera unescalar. Para esto la ley de transformacion de A no debe ser A = A, sino:
A =
∣
∣
∣
∣
∂xi
∂xk
∣
∣
∣
∣
A, (36)
de modo que:
I =
∫
Adnx =
∫
A
∣
∣
∣
∣
∂xi
∂xk
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂xk
∂xj
∣
∣
∣
∣
dnx =
∫
Adnx = I . (37)
Ahora I es un escalar, pero A ya no lo es. Esto motiva la siguiente definicion:Definicion: Una cantidad ρ es llamada densidad escalar o pseudoescalar
de peso p si bajo una T.C. esta obdece la ley:
ρ =
∣
∣
∣
∣
∂xi
∂xk
∣
∣
∣
∣
p
ρ. (38)
De lo anterior se concluye que la integral de una densidad escalar de peso 1es un escalar.
Vamos a extender la nocion de densidad a entidades de mas componentes.Definicion: Un conjunto de nr+s cantidades τ i1...ir
k1...ksson las componentes
de una densidad tensorial de peso p y tipo ( rs), en un punto P , si bajo una T.C.
dichas componentes transforman segun la ley:
τ i1...ir
k1...ks=
∣
∣
∣
∣
∂xi
∂xk
∣
∣
∣
∣
p∂xi1
∂xl1...
∂xir
∂xlr
∂xm1
∂xk1
...∂xms
∂xksT l1...lr
m1...ms. (39)
10
No se debe inferir que la integral de las componentes de una densidad ten-sorial es un tensor, pues no lo es (salvo el caso de una densidad escalar).
Consecuencias inmediatas de la definicion de densidades tensoriales son:(i) Si todas las componentes de una densidad son nulas en un S.C., entonces
son nulas en cualquier S.C.(ii) La suma o diferencia de densidades del mismo tipo y referidas al mismo
punto es otra densidad del mismo tipo.(iii) Ecuaciones entre densidades, referidas al mismo punto son independi-
entes del S.C.(iv) El producto de una densidad tensorial por un tensor es una densidad
tensorial.(v) La contraccion de ındices puede realizarse para densidades tensoriales
de tipo (rs) con r, s ≥ 1, igual que para tensores, resultando una densidad de
tipo (r−1s−1).
Estas propiedades residen nuevamente en el caracter lineal y homogeneo dela transformacion (39).
A continuacion se presentan algunas consideraciones con respecto a las den-sidades.
(1) Sea Ti1...inun tensor tipo (0n) totalmente antisimetrico. Si denotamos
el valor numerico de T123...n por τ , entonces cualquier otra componente Ti1...in
sera ±τ de acuerdo a si la permutacion i1...in es par o impar, o bien sera nulasi se repite un ındice. Escribamos la ley de transformacion para T12...n:
T12...n =∂xk1
∂x1
∂xk2
∂x2...
∂xkn
∂xnTk1...kn
. (40)
Escribiendo explıcitamente la suma y usando las propiedades antisimetricasde T se obtiene:
T12...n =
∣
∣
∣
∣
∂xk
∂xi
∣
∣
∣
∣
T12...n, (41)
es decir,
τ =
∣
∣
∣
∣
∂xk
∂xi
∣
∣
∣
∣
τ. (42)
Esto significa que un tensor antisimetrico de tipo (0n) puede ser consideradoalternativamente como una entidad con una sola componente, la cual es unpseudoescalar.
(2) Sea A un escalar y £i1...in una entidad que en cualquier S.C. esta definidocomo ±A de acuerdo con el signo de la permutacion i1...in es par o impar, perocero si los ındices no son todos diferentes. Una forma de expresar que A es unescalar es:
£i1...in =
∣
∣
∣
∣
∂xk
∂xi
∣
∣
∣
∣
∂xi1
∂xk1
...∂xin
∂xkn£k1...kn . (43)
Esto se prueba usando las propiedades de definicion del objeto £. Desarrol-lando explıcitamente la suma se obtiene un determinante que se cancela con el
11
del lado derecho de (43):
£i1...in =
∣
∣
∣
∣
∂xk
∂xi
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∂xk
∂xi
∣
∣
∣
∣
£i1...in , (44)
£i1...in = £i1...in . (45)
Esto expresa que A es un escalar. Por lo tanto, £ es una densidad tensorialantisimetrica del tipo (n
0 ). Es costumbre denotar el caso particular A = 1como εi1...in . Esta densidad es una herramienta muy util y recibe el nombre dedensidad tensorial de Levi-Civita.
(3) Consideremos una variedad de 4 dimensiones. A partir de εklmn y untensor antisimetrico de tipo (02), φkl, podemos formar los siguientes productos:
1
8εklmnφklφmn = φ12φ34 + φ23φ14 + φ31φ24, (46)
1
2εklmnφkl = f mn.
los que son una densidad escalar y una densidad tensorial de tipo (20), re-spectivamente. De este modo vemos que podemos obtener densidades a partirde tensores antisimetricos.
(4) Consideremos el tensor antisimetrico Aikl en una variedad de 4 dimen-siones. Entonces se puede probar que, en principio, el numero de componentesindependientes de este tensor es 4. Si formamos la siguiente densidad vectorialcontravariante:
1
6εklmnAklm = £n. (47)
entonces las componentes de £ seran las componentes independientes de A. Porlo tanto, un tensor antisimetrico de tipo (03), Aklm, puede ser mapeado a unadensidad vectorial contravariante, £n, cuya n-esima componente correspondea la componente klm del tensor, donde (k, l, m, n) es una permutacion par de(1, 2, 3, 4).
(5) A partir de un vector covariante Bk se puede formar la siguiente densidadtensorial antisimetrica de tipo (30):
£klm = εklmnBn. (48)
Todo esto nos lleva al siguiente teorema:Teorema: A todo tensor antisimetrico Ti1...ip
de orden p ≤ n se le puede
hacer corresponder una densidad tensorial τ de tipo (n−p0 ) cuyas componentes
contienen las componentes independientes del tensor. Las componentes de τestan dadas por :
τj1 ...jn−p=
1
p!εj1... jn−p i1...ipTi1...ip
, (49)
y recibe el nombre de densidad adjunta o dual del tensor original.
12
(6) Sea gik un tensor de tipo (02) cuya ley de transformacion para sus com-ponentes es:
gik =∂xl
∂xi
∂xm
∂xkglm =
∂xl
∂xiglm
∂xm
∂xk. (50)
Escribamos (49) en forma matricial:
gik = aliglm
(
aT)m
ko bien G = AGAT , (51)
con ali =
∂xl
∂xi
y(
aT)m
k=
∂xm
∂xk.
Calculamos el determinante de ambos lados de la ecuacion (50) tenemos:
det G = det(A) det(G) det(AT ) (52)
det G = det(A) det(G) det(A)
det G = det 2(A) det(G). (53)
Si denotamos det(G) = g, det(G) = g y det(A) =∣
∣
∣
∂xi
∂xk
∣
∣
∣, tenemos:
g =
∣
∣
∣
∣
∂xi
∂xk
∣
∣
∣
∣
2
g. (54)
Ahora calculamos la raız cuadrada y obtenemos:
√g =
∣
∣
∣
∣
∂xi
∂xk
∣
∣
∣
∣
√g. (55)
Por lo tanto, concluimos que:Proposicion: (i) La raız del determinante de cualquier tensor covariante
de rango 2 es una densidad escalar de peso 1.(ii) La raız del determinante de cualquier tensor contravariante de rango 2
es una densidad escalar de peso 1.La afirmacion (ii) se prueba en forma analoga al que usamos para llegar a
(i).De este modo, si gij es un tensor y su menor lo denotamos por M ij , entonces
podemos escribir:
gmkM lk = δlmg (56)
gmk
M lk
g= δl
m
Notemos que (56) es valido en cualquier sistema coordenado siempre queM lk sea el menor de glk en ese sistema. Ahora bien:
(*) las cantidades M lk/g estan completamente determinadas,(*) sabemos que δl
m es un tensor de tipo (11) y gmk es un tensor de tipo (02),
13
(*) la ecuacion (56) es invariante bajo transformaciones coordenadas.Por lo tanto, las cantidades M lk/g deben ser las componentes de un tensor.Teorema: Los menores normalizados de un tensor covariante de rango 2
forman un tensor contravariante de rango 2 denotado por:
glk =M lk
g. (57)
Se puede probar facilmente lo inverso, es decir, si formamos los menoresnormalizados de glk obtenemos un tensor covariante de rango 2. Mas aun, esetensor es justamente glk.
Si multiplicamos (57) por la raız del determinante de gik obtenemos obvia-mente una densidad tensorial contravariante de rango 2:
%lk =M lk
√g
(58)
%lk =√
gglk
Una importante consideracion final tiene que ver con el producto externo. Sieste es puramente externo, es decir, no envuelve contracciones, entonces dichoproducto puede ser nulo si y solo si uno de sus factores es el tensor cero. En otraspalabras, en el algebra de tensores y densidades tensoriales no hay divisores decero.
6 Analisis tensorial
6.1 Derivada ordinaria
Salvo el caso de un escalar, la derivada de las componentes de un tensor notiene sentido invariante (independiente de las coordenadas), ya que resulta dela sustraccion de tensores referidos a puntos distintos. Aquı no importa quelos puntos sean “cercanos” pues precisamente en la derivada se contempla elcambio de la componente del tensor producido por un pequeno cambio de lascoordenadas.
Veamos, por ejemplo, como transforma la derivada de un vector covarianteAk y que se denota por Ak,i. La ley de transformacion de Ak es:
Ak =∂xl
∂xkAl, (59)
de modo que
Ak,i =∂Ak
∂xi=
∂xl
∂xk
∂xm
∂xi
∂Al
∂xm+
∂2xl
∂xi∂xkAl. (60)
Vemos que la derivada parcial de un campo tensorial con respecto a lascoordenadas xi se comporta como un tensor tipo (02) excepto por el segundo. La
14
ley de transformacion es lineal pero no homogenea, lo que implica que si nuestroarreglo de derivadas se anula en un S.C. entonces no se anula necesariamenteen otro.
Un resultado analogo se obtiene cuando uno procede a derivar las compo-nentes de cualquier tensor o pseudotensor. Por ejemplo, la ley de transformacionde un tensor tipo (02) es:
Ajk = ∂jxl ∂kxmAlm , donde ∂i =
∂
∂xi, (61)
luego:
Ajk,i = ∂iAjk = ∂jxl∂kxm∂ix
n∂nAlm +(
∂i∂jxl ∂kxm + ∂jx
l ∂i∂kxm)
Alm.(62)
Hay dos terminos restantes que son combinaciones lineales de las compo-nentes no derivadas, y cuyos coeficientes son segundas derivadas de las coorde-nadas.
Vamos a considerar ahora algunas construcciones que incluyen derivadasparciales y, sin embargo, si son tensores.
(I) Sabemos que la derivada de un campo escalar, φ, es un vector covariante,φ,k. Calculamos ahora φ,ki y φ,ik y formemos lo que se llama rotor del gradientede φ:
φ,k = ∂kxl ∂lφ = ∂kxl φ,l , (63)
φ,i = ∂ixl φ,l , (64)
φ,ki = ∂kxl ∂ixm φ,lm + ∂i∂kxl φ,l ,
φ,ik = ∂ixl ∂kxm φ,lm + ∂k∂ix
l φ,l = ∂ixm ∂kxl φ,ml + ∂k∂ix
l φ,l ,
φ,ki − φ,ik = ∂kxl ∂ixm(φ,lm − φ,ml).
Notar que en la tercera lınea se intercambiaron los ındices mudos m y l. Asıvemos que el rotor es un tensor tipo (02). Claramente el rotor del gradiente deun campo escalar es cero (asumimos que φ es de clase C ≥ 2).
(II) Del mismo modo se verifica que el rotor de un campo vectorial covariantecualquiera Ak: ∂kAi − ∂iAk es un tensor tipo (02):
Ak = ∂kxlAl =⇒ Ai = ∂ixlAl, (65)
∂iAk = ∂kxl ∂ixm ∂mAl + ∂i∂kxl Al,
∂kAi = ∂ixl ∂kxm ∂mAl + ∂k∂ix
l Al,
∂iAk − ∂kAi = ∂kxl ∂ixm (∂mAl − ∂lAm) .
De este modo, el rotor de un vector covariante es un tensor antisimetrico detipo (02).
(III) Formemos ahora lo que llamamos divergencia cıclica de un rotor:
∂l(∂iAk − ∂kAi) + ∂i(∂kAl − ∂lAk) + ∂k(∂lAi − ∂iAl) = 0. (66)
15
Vemos que la divergencia cıclica de un rotor es nula. Veremos a contin-uacion que la divergencia cıclica de cualquier tensor antisimetrico tipo (02) (porsupuesto, el rotor cuenta entre ellos) es un tensor antisimetrico tipo (03). Enefecto, sea Tik un tensor antisimetrico. Entonces:
Tik = ∂ixl ∂kxmTlm. (67)
Queremos mostrar que ∂jTik + ∂iTkj + ∂kTji es un tensor. Para esto cal-culemos dichos sumandos a partir de (67):
∂j Tik = ∂ixl ∂kxm ∂jx
n ∂nTlm +(
∂j ∂ixl ∂kxm + ∂ix
l ∂j ∂kxm)
Tlm, (68)
∂iTkj = ∂kxl ∂jxm ∂ix
n ∂nTlm +(
∂i∂kxl ∂jxm + ∂kxl ∂i∂jx
m)
Tlm, (69)
∂kTji = ∂jxl ∂ix
m ∂kxn ∂nTlm +(
∂k∂jxl ∂ix
m + ∂jxl ∂k∂ix
m)
Tlm. (70)
Si se suman los tres terminos, se combinan adecuadamente los ındices mudosl, m y n, y se usan las propiedades de antisimetrıa de T , se obtiene:
∂j Tik + ∂iTkj + ∂kTji = ∂ixl ∂kxm ∂jx
n (∂nTlm + ∂lTmn + ∂mTnl) (71)
lo cual prueba que la divergencia cıclica de un tensor antisimetrico tipo (02)es un tensor antisimetrico tipo (03).
Debemos tener cuidado si queremos continuar. Si formamos las derivadasparciales de las componentes de un tensor antisimetrico tipo (03) y sumamos laspermutaciones cıclicas, debemos incluır un signo (−) cuando la permutacion seaimpar.
Estos son casos en que combinaciones lineales de las primeras derivadas detensores tiene caracter tensorial. Ası:
-Si el gradiente de un campo escalar φ es nulo, entonces φ es constante.-Si el rotor de un vector covariante es nulo, entonces el vector es un gradiente
de alguna funcion escalar.Todo esto no es suficiente para establecer un analisis tensorial exhaustivo so-
bre una variedad. Una simple pregunta aun no tiene respuesta: ¿Que condicioncaracteriza un campo vectorial covariante constante? Obviamente la respuestano es Ak,i = 0, pues esta ecuacion no es invariante bajo T.C.
6.2 Derivada invariante de tensores
Queremos establecer cuanto varıa un tensor de un punto al siguiente. Consid-eremos nuevamente el caso de la derivada de un vector covariante:
∂Ak
∂xi=
∂xl
∂xk
∂xm
∂xi
∂Al
∂xm+
∂2xl
∂xi∂xkAl. (72)
Supongamos que tenemos razon para afirmar que Ak es constante si ∂Ak/∂xi =0. En otro S.C. esto se expresa como:
∂Ak
∂xi− ∂2xl
∂xi∂xkAl = 0. (73)
16
Pero, Al = ∂xn
∂xl An. Luego para expresar (73) consistentemente escribimos:
∂Ak
∂xi− ∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xkAn = 0. (74)
Si definimos:
Γnki =
∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk, (75)
entonces (74) se escribe:
∂Ak
∂xi− Γn
kiAn = 0, (76)
la cual expresa en un S.C. arbitrario que el arreglo de derivadas parciales∂Ak/∂xi se anula en el S.C. original. Puesto que la T.C. xk = xk(xi) es arbi-traria, en particular puede ser la transformacion identidad. Entonces (43) nosdice que, necesariamente en el S.C. original, Γn
ki = 0. En realidad, Γnki = 0 en el
S.C. original y en todos los que se relacionen con el mediante transformacioneslineales de coordenadas, ya que para estas se anulan las segundas derivadas en(42). Pero el hecho de que estos sistemas sean distinguidos, por el hecho deque los Γn
ki sean nulos, es un problema que milita contra la idea de invarianzageneral. Sin embargo, esto se supera de una manera muy simple: abandonamostal suposicion. Esto nos lleva al concepto de conexion afın.
Definicion: Llamamos conexion afın o afinidad, Γnki, a un arreglo de n3
funciones para las cuales:(i) Asumimos un conjunto de valores arbitrarios en un S.C. particular y(ii) Estan sujetos a una ley de transformacion que hace a la siguiente ex-
presion un tensor:44Ak,i −AnΓn
ki ≡ Ak;i (77)
donde Ak,i es la derivada ordinaria de Ak y Ak;i es llamado derivada in-variante de Ak con respecto a la conexion Γn
ki.Se debe notar que Γn
ki esta impuesta sobre nuestra variedad, y es una nuevaentidad.
Nuestra consideracion inicial es un caso particular de (i) donde elegimosΓn
ki = 0.Inferimos que (ii) se satisface si adoptamos para Γn
ki la siguiente ley detransformacion:
Γnik =
∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xkΓl
rs +∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk. (78)
El termino adicional es independiente de Γnki, depende solo de la transfor-
macion de coordenadas. Esto es coherente con el hecho de que la conexion Γ noes nula en todos los S.C. aun cuando puede serlo en algunos. Notamos que laconexion no es un tensor, puesto que (77) es lineal pero no homogenea. Ademas,es claro de (77) que la conexion es simetrica con respecto a los subındices.
Ahora bien, el hecho de que la parte no homogenea sea la misma paracualquier afinidad tiene consecuencias relevantes. Consideremos dos afinidades,
17
Γklm y Γk
lm, en la misma variedad. Entonces la diferencia es un tensor. En efecto,bajo una T.C. se tiene:
Γnik − Γ
n
ik =∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xkΓl
rs +∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk− ∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xkΓl
rs −∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk,
(79)
Γnik − Γ
n
ik =∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xk
(
Γlrs − Γl
rs
)
.
Luego la diferencia Γklm − Γk
lm es un tensor.Si ahora pensamos en una conexion Γk
lm y una variacion infinitesimal de esta,Γk
lm + δΓklm, entonces la diferencia δΓk
lm es un tensor. De este modo concluimosque la suma de una afinidad y un tensor es una afinidad. Veamos que sucede sisumamos dos afinidades, Γk
lm y Γklm:
Γnik + Γ
n
ik =∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xkΓl
rs +∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk+
∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xkΓl
rs +∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk,
(80)
Γnik + Γ
n
ik =∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xk
(
Γlrs + Γl
rs
)
+ 2∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk.
Luego la suma de dos afinidades no es una afinidad. Pero si λ y µ sonnumeros tales que λ + µ = 1 entonces tenemos:
λΓnik + µΓ
n
ik = λ∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xkΓl
rs + λ∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk+ µ
∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xkΓl
rs + µ∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk
(81)
λΓnik + µΓ
n
ik =∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xk
(
λΓlrs + µΓl
rs
)
+ λ∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk+ µ
∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk
λΓnik + µΓ
n
ik =∂xn
∂xl
∂xr
∂xi
∂xs
∂xk
(
λΓlrs + µΓl
rs
)
+∂xn
∂xl
∂2xl
∂xi∂xk.
Por lo tanto, λΓlrs + µΓl
rs es una afinidad si y solo si λ + µ = 1.Las conexiones afın o afinidades son un tipo relevante de entidades, ademas
de los tensores y densidades. La nocion de derivada invariante introducida es(76) no es un concepto absoluto sino que se refiere a una cierta afinidad, lacual debe ser indicada. Si se han introducido mas que una, entonces debemosdistinguir las derivadas tomadas con respecto a afinidades distintas.
Se extendera ahora la nocion de derivada invariante a otros tensores. Parecenatural exigir a la derivacion invariante lo siguiente:
(i) que la regla ordinaria de la derivacion de un producto se mantenga en laderivacion invariante del producto de tensores,
(ii) que la derivada invariante de un escalar sea la derivacion ordinaria.Desde la igualdad Ak = δl
kAl, la regla del producto nos dice que:
Ak;m = δlk;mAl + δl
kAl;m, (82)
18
y puesto que (82) debe mantenerse para cualquier S.C. se debe tener que δlk;m =
0. Es decir, la derivada invariante del tensor delta de kronecker consideradocomo un campo debe ser cero con respecto a cualquier afinidad.
Consideremos ahora el invariante AkBk. De acuerdo con (i) y (ii) tenemos:
(
AkBk)
,i=(
AkBk)
;i, (83)
AkBk,i + Ak,iB
k = AkBk;i + Ak;iB
k = AkBk;i + (Ak,i −AnΓn
ki) Bk.
Por cancelacion de terminos obtenemos:
AkBk;i = AkBk
,i + AnBkΓnki. (84)
Si escribimos (84) intercambiando los ındices mudos n y k del ultimo termino,tenemos:
AkBk;i = AkBk
,i + AkBnΓkni , (85)
Ak
(
Bk;i −Bk
,i −BnΓkni
)
= 0,
pero Ak es arbitrario, luego:
Bk;i = Bk
,i + BnΓkni. (86)
Esta ultima ecuacion expresa la derivada invariante de un vector contravari-ante donde obviamente Bk
,i = ∂Bk/∂xi. Para verificar que Bk;i es un tensor
miramos la ecuacion (83) donde tenıamos(
AkBk)
,i= AkBk
;i + Ak;iBk. El vec-
tor Ak es arbitrario y todos los terminos, salvo el primero del lado derecho, sonvectores. Luego Bk
;i es un tensor.
¿Es Bk,i + BnΓk
in un tensor? (notar que se intercambiaron los subındices i,n) Obviamente sı, si Γ es simetrico. Sin embargo si Γ es antisimetrico entoncesdicha expresion tambien es un tensor, pero es la derivada invariante de Bk conrespecto a otra afinidad que resulte de intercambiar los subındices de la primera.
Para un tensor general T kl...pq... aplicamos consideraciones similares al invarinte:
T kl...pq...AlBl...F
pGq , (87)
con Al, Bl, ..., F p, Gq vectores arbitrarios. Se obtiene entonces que para laderivada ordinaria hay terminos adicionales, uno por cada ındice de T , cadauno de los cuales consta de una contracion entre las componentes de T y Γ.Siguiendo el modelo anterior se obtiene:53
T kl...pq...;i = T kl...
pq...,i + T nl...pq...Γ
kni + T kn...
pq... Γlni + ...− T kl...
nq...Γnpi − T kl...
pn...Γnqi − ... (88)
Notar que el ındice de diferenciacion es siempre el segundo ındice covariantede Γ y los restantes lugares son ocupados para asignar el que falta de T .
19
6.3 Transporte paralelo
Una forma interesante de introducir el concepto de derivada invariante y conexiones la siguiente. Hemos visto que la derivada ordinaria de un campo vectorialcovariante tiene problemas:
Ai,j = limdxj
→0
Ai(xk + dxk)−Ai(x
k)
dxj. (89)
Para que la definicion sea consistente debemos transportar paralelamenteAi(x
k) desde el punto de coordenadas xk hasta xk + dxk y luego realizar ladiferencia. Denotamos por δAi al cambio en las coordenadas de Ai luego detransportarlo paralelamente a lo largo de dxk, como se ve en la figura.
Figure 3:
Es de esperar que δAi sea proporcional al desplazamiento dxk y tambien aAl. Por lo tanto suponemos:
δAi = ΓlikAldxk. (90)
donde los Γlik son funciones de las coordenadas y caracterizan el “desplaza-
miento paralelo”. Estas funciones son las componentes de lo que llamamos unaconexion.
Ahora sı podemos hacer la diferencia en (89):
limdxj
→0
Ai(xk + dxk)−Ai(x
k)− δAi
dxj(91)
limdxj
→0
Ai(xk + dxk)−Ai(x
k)
dxj− Γk
ilAk
dxl
dxj
limdxj→0
Ai(xk + dxk)−Ai(x
k)
dxj− Γk
ijAk
Ai,j − ΓkijAk.
20
Esto nos lleva a la definicion de la derivada invariante de un vector covariantemediante la siguiente ecuacion:
Ai;j := Ai,j − ΓkijAk. (92)
Para encontrar la expresion de la derivada invariante de un vector contravari-ante, debemos determinar el transporte paralelo de este vector.
Para esto consideramos que el transporte paralelo del escalar AiBi es nulo:
δ (AiBi) = 0, (93)
δAiBi + AiδB
i = 0,
ΓjikAjdxkBi + AiδB
i = 0,
Ai
(
ΓijkdxkBj + δBi
)
= 0.
Usando la arbitrariedad de Ai tenemos:
δBi = −ΓijkdxkBj . (94)
Por lo tanto, la derivada invariante de un vector contravariante utilizandola idea del transporte paralelo es:
Bi; j := Bi
,j + ΓkijAk. (95)
Para un tensor general, T kl...pq... , aplicamos consideraciones similares al escalar
T kl...pq...AkBl...F
pGq ..., con Ak, Bl, ...,F p, Gq ...,vectores arbitrarios. Lo que ahorapedimos es que la expresion que determina el desplazamiento paralelo de dichoescalar, δT kl...
pq..., sea nulo. Siguiendo el modelo anterior se obtiene:
T kl...pq...; i = T kl...
pq..., i + T nl...pq...Γ
kni + T kn...
pq... Γlni + ...− T kl...
nq...Γpni − T kl...
pn...Γqni − ... . (96)
7 Torsion
Dada una conexion es posible definir el tensor de torsion.Definicion:
Se define el tensor de torsion como:
T kij := Γk
ij − Γkji. (97)
Notemos que este transforma como tensor debido a que al hacer la diferenciade las conexiones, se anula el termino no homogeneo de la ley de transformacion.
Una interesante interpretacion geometrica de la torsion es la siguiente:
21
Figure 4:
Consideremos tres puntos P , Q , S de la variedad, infinitesimalmente cer-canos, tal que las coordenadas de P son xk , dxk
1 es la diferencia de las coor-denadas de los puntos P y Q, y dxk
2 es la diferencia de las coordenadas delos puntos P y S (ver figura 4). Si transportamos las diferenciales dxk
1 y dxk2 ,
ambos vectores definidos en P , de tal manera que se forme un paralelogramo,encontremos la condicion para que el paralelogramo se cierre.
(1) Desplacemos primero el vector dxk2(P ) a traves de dxk
1 .Ası tendremosque
dxk2(Q) = dxk
2 + δdxk2 = dxk
2 − Γkijdxi
2dxj1 (98)
es el nuevo vector transportado en Q. Este nos permite definir las coorde-nadas de un nuevo punto R1, cuyas coordenadas son: xk+dxk
1+dxk2−Γk
ijdxi2dxj
1.
(2) Desplacemos el vector dxk1(P ) a traves de dxk
2 .Ahora encontramos:
dxk1(S) = dxk
1 + δdxk1 = dxk
2 − Γkijdxi
1dxj2. (99)
Este nuevo vector transportado en S nos permite definir las coordenadas deun nuevo punto R2 cuyas coordenadas son: xk + dxk
2 + dxk1 − Γk
ijdxi1dxj
2.
Si queremos que el paralelogramo se cierre es necesario que los puntos R1 yR2 coincidan. Igualando las coordenadas de ambos puntos, encontramos:
xk + dxk2 + dxk
1 − Γkijdxi
1dxj2 = xk + dxk
1 + dxk2 − Γk
ijdxi2dxj
1, (100)
Γkij − Γk
ji = 0. (101)
Por lo tanto la condicion para que el paralelogramo se cierre es que la torsionsea nula, o equivalentemente que la conexion sea simetrica en sus ındices covari-antes. Notemos que esta condicion es independiente del sistema coordenadodebido a que la torsion es un tensor.
22
Figure 5:
8 Integrabilidad y Curvatura
Anteriormente definimos el transporte paralelo de un tensor desde un punto Pde coordenadas xj a un punto Q de coordenadas xj + dxj . Podemos hacer unasucesion de transportes comenzando desde un punto P de tal manera de volveral mismo punto original P, formando un circuito cerrado. La pregunta naturalque surge es si el vector transportado coincide con el vector original, es decir, siel transporte entre dos puntos es independiente de la trayectoria.
Figure 6:
Definicion:
Decimos que una conexion Γkij es integrable si el transporte paralelo asociado
a ella es independiente de la trayectoria.
23
Encontremos las condiciones que debe satisfacer una conexion para que seaintegrable.
Para ello, consideremos un vector contravariante Ak asociado a un punto Pde coordenadas xj . Definamos un campo vectorial tal que el vector asociado aun punto Q coincida con el vector Ak transportado desde P a Q, es decir,
Ak + dAk = Ak + δAk, (102)
como dAk = ∂Ak
∂xj dxj y δAk = −ΓkijA
idxj tenemos que
∂Ak
∂xj+ Γk
ijAi = 0. (103)
Esta es la condicion que debe satisfacer un vector contravariante Ak en elcaso que Γk
ij sea integrable.
Las segundas derivadas parciales cruzadas de Ak deben ser iguales, es decir:
∂2Ak
∂xm∂xj=
∂2Ak
∂xj∂xm. (104)
De las ecuaciones (103) y (104) se obtiene la condicion:
∂
∂xm
(
ΓkijA
i)
− ∂
∂xj
(
ΓkimAi
)
= 0. (105)
Esta condicion tambien se puede obtener imponiendo la condicion que δAk
sea una diferencial exacta. De esta forma, si transportamos Ak a traves deuna curva continua, obtenemos por el teorema fundamental del calculo queel transporte es independiente de la trayectoria. Apliquemos la condicion deexactitud. Como δAk = −Γk
ijAidxj , entonces se debe satisfacer:
∂
∂xm
(
ΓkijA
i)
=∂
∂xj
(
ΓkimAi
)
,
que corresponde a la ecuacion (105). Desarrollando obtenemos que
Ai∂mΓkij + Γk
ij∂mAi −Ai∂jΓkim − Γk
im∂jAi = 0. (106)
Como δAk = −ΓkijA
idxj es una diferencial exacta, tenemos que ∂jAk =
−ΓkijA
i. Reemplazando ∂jAk en (106) tenemos:
Ai∂mΓkij −Ai∂jΓ
kim + Γk
lmΓlijA
i − ΓkljΓ
limAi = 0, (107)
Ai(
∂mΓkij − ∂jΓ
kim + Γk
lmΓlij − Γk
ljΓlim
)
= 0. (108)
Como Ai es un vector arbitrario, la condicion de integrabilidad es:
∂mΓkij − ∂jΓ
kim + Γk
lmΓlij − Γk
ljΓlim = 0. (109)
Definicion:
24
Figure 7:
Se define el tensor de curvatura como:
Rkimj := ∂mΓk
ij − ∂jΓkim + Γk
lmΓlij − Γk
ljΓlim. (110)
Teorema:
Una conexion es integrable si y solo si su curvatura es igual a cero.
Una interpretacion geometrica de la curvatura es la siguiente:
Consideremos cuatro puntos P, Q, R, S como en la figura (??), donde lascoordenadas de P son xk, dxk
1 es la diferencial que une los puntos P y Q, dxk2 la
diferencial que une los puntos P y S. Si consideramos una conexion simetrica,es decir con torsion nula, el paralelogramo que se obtiene al transportar lasdiferenciales es cerrado. Esto nos permite definir un circuito cerrado.
Sea Ak(P ) un vector contravariante definido en el punto P . Traslademos estevector a traves del circuito hasta volver el punto P y obtengamos la diferenciaentre el vector transportado y el vector original: Ak −Ak.
(1) Transportemos Ak de P a Q:
Bk(Q) = Ak + δAk = Ak − Γkli(x
j)Aldxi1. (111)
(2) Transportemos Bk de Q a R:
Ck (R) = Bk + δBk = Bk − Γkmn(Q)Bm(dxn
2 + δ (dxn2 )), (112)
donde transportamos Bk a traves del vector dxn2 + δ (dxn
2 ) que corresponde adxk
2 transportado hasta el punto Q. Como la conexion esta evaluada en el puntoQ, de coordenadas xk + dxk
1 , debemos hacer una expansion en serie, es decir:
Γkmn(xi + dxi
1) = Γkmn(xi) +
∂Γkmn(xi)
∂xjdxj
1, (113)
25
donde despreciamos los terminos de segundo orden. Reemplazando en la ecuacion(112) y utilizando (111) obtenemos:
Ck(R) = Ak − ΓkliA
ldxi1 − Γk
mnAmdxn2 + Γk
mnΓnrsA
mdxs1dxr
2 (114)
− ∂jΓkmnAmdxj
1dxn2 + Γk
mnΓmli Aldxi
1dxn2 .
(3) Traslademos el vector Ck(R) al punto S realizando el mismo proced-imiento anterior, pero a traves del vector −(dx1 + δ(dx1))(R),tal que Dk(S) =Ck + δCk.
(4) Finalmente, traslademos el vector Dk hasta el punto P . Ası, finalmentese obtiene:
Ak −Ak =(
∂sΓkqr − ∂rΓ
kqs + Γk
msΓmqr − Γk
prΓpqs
)
Aqdxr1dxs
2. (115)
Pero el termino entre parentesis corresponde a la curvatura. Por lo tantopodemos escribir:
Ak −Ak = Rkrsqdxr
1dxs2A
q . (116)
Es decir, la diferencia entre el vector transportado y el original es propor-cional a la curvatura.
Notemos de la ecuacion (116) que Rkimj debe transformar como un tensor,
por lo tanto si la curvatura se anula en un sistema coordenado, entonces seanulara en todos los demas.
En el caso de un plano con coordenadas cartesianas, sabemos que el trans-porte no modifica el vector, es decir Γk
ij
∗
= 0 ( utilizamos el sımbolo∗
= paradenotar que esta igualdad es valida en un sistema coordenado paricular ). Eneste caso, segun (110), tenemos que la curvatura se anula, Rl
ijk = 0, por lotanto, la conexion es integrable.
En general, si existe un sistema coordenado donde Γkij ≡ 0 en todo punto de
una region dada, entonces la curvatura es identicamente cero Rlijk ≡ 0 en esa
region. Ademas, como la curvatura es un tensor, esta se anulara en cualquiersistema coordenado.
El contrarecıproco tambien es valido. Si existe un sistema coordenado en elcual la curvatura sea distinto de cero, Rl
ijk 6= 0 , entonces no existira ningunsistema coordenado en el cual la conexion se anule identicamente en la regiondada.
Podemos expresar esto diciendo que la condicion necesaria y suficiente paraencontrar un sistema coordenado donde la conexion se anule identicamente Γk
ij ≡0, es que Rl
ijk ≡ 0 y T kij ≡ 0.
Al considerar la derivada covariante de un tensor se encuentra que esta, engeneral, no es independiente del orden de derivacion. Al estudiar las condicionespara que esta sea independiente del orden de derivacion encontramos que ellatambien esta relacionada con la curvatura y la torsion.
La derivada covariante de un vector contravariante es:
∇λAν = ∂λAν + AαΓναλ. (117)
26
Consideremos la segunda derivada covariante de Aν :
∇µ∇λAν = ∂µ∂λAν+∂µAαΓναλ+Aα∂µΓν
αλ+∂λAαΓναµ+AαΓβ
αµΓνβλ−∂αAνΓα
λµ−AαΓναβΓβ
µλ.(118)
Permutemos los ındices µ←→ λ, obtenemos
∇λ∇µAν = ∂λ∂µAν+∂λAαΓναµ+Aα∂λΓν
αµ+∂µAαΓναλ+AαΓβ
αλΓνβµ−∂αAνΓα
µλ−AαΓναβΓβ
λµ.(119)
Haciendo la diferencia entre (118) y (119) obtenemos:
∇µ∇λAν −∇λ∇µAν = RναλµAα +
(
Γβλµ − Γβ
µλ
)
∂βAν . (120)
Por lo tanto, la derivada covariante es independiente del orden de derivacionsi y solo si Rν
αλµ = 0 y T βµλ = 0.
9 La geodesica de una conexion afın
Figure 8:
Consideremos dos puntos infinitesimalmente cercanos P (xk) y P ′(xk + dxk)en una variedad provista de una conexion Γ. Como se ve en la figura (??), elvector dxk que une dichos puntos se transporta paralelamente a P ′ resultandoel vector dx′k . Con el punto P ′ y el vector dx′k podemos construir el nuevopunto P ′′(xk + dxk + dx′k) y luego transportar dx′k desde P ′ a P ′′ resultandoel vector dx′′k, y ası sucesivamente.
De este modo, se obtiene una lınea poligonal que se aproxima a una curvaen el lımite infinitesimal, es decir, cuando dxk es realmente infinitesimal y elnumero de pasos se incrementa sin lımite. Esta curva se denomina geodesica
afın y posee la siguiente propiedad:(*) Si Ak(xi) es un vector tangente a la curva en P y se transporta de acuerdo
a la conexion Γ al punto P ′, entonces el vector resultante en P ′ tambien esparalelo a la curva.
En general, una curva es representada dando sus coordenadas como fun-ciones de un parametro continuo λ (“en general” quiere decir que en lugar de
27
λ podemos escoger cualquier funcion continua de λ). Ası tenemos la curva rep-resentada por xi = xi(λ) y Ak = dxk/dλ el vector que indica en cada punto ladireccion de la curva. Para que esta curva tenga la propiedad (*) se exige queel vector Ak transportado de P a P ′ sea proporcional a Ak(P ′):
Ak(xi + dxi) = MAk(xi + dxi), (121)
Ak(xi) + δAk = M[
Ak(xi) + d(
Ak)]
,
donde M es una constante de proporcionalidad, que en general depende deλ. Pero
d(Ak) = d(dxk
dλ) =
d2xk
dλ2dλ, (122)
y
δAk = −ΓklmAldxm = −Γk
lm
dxl
dλdxm = −Γk
lm
dxl
dλ
dxm
dλdλ, (123)
de modo que (121) queda:
Md2xk
dλ2dλ + Γk
lm
dxl
dλ
dxm
dλdλ = (1−M)
dxk
dλ, (124)
[
Md2xk
dλ2+ Γk
lm
dxl
dλ
dxm
dλ
]
dλ = (1−M)dxk
dλ.
Resulta natural que la diferencia entre M y la unidad debe ser del ordende dλ, por lo cual podemos reemplazar M por 1 en el primer termino de(124). Ademas, esta diferencia puede cambiar de un punto a otro, de modoque podemos dejar el factor 1 −M dependiendo de λ. Para esto escribimos1−M = φ(λ)dλ, de modo que:
[
d2xk
dλ2+ Γk
lm
dxl
dλ
dxm
dλ
]
dλ = φ(λ)dλdxk
dλ, (125)
d2xk
dλ2+ Γk
lm
dxl
dλ
dxm
dλ= φ(λ)
dxk
dλ.
Bajo el cambio de parametro s = s(λ), la ecuacion (125) se transforma en:
d2xk
ds2+ Γk
lm
dxl
ds
dxm
ds=
φs′ − s′′
s′2dxk
ds, (126)
donde s′ = ds/dλ. El segundo miembro de esta ecuacion se anula si y solosi φs′ − s′′ = 0, es decir, si:
s =
∫ λ
exp
[
∫ λ′
φ(u)du
]
dλ′. (127)
28
De este modo, siempre es posible escoger un parametro tal que el segundomiembro de (127) se anule:
d2xk
ds2+ Γk
lm
dxl
ds
dxm
ds= 0. (128)
Se verifica directamente que esta ecuacion se mantiene bajo cualquier trans-formacion lineal de parametro (s = as+b, con a, b constantes). De este modo, lassoluciones de la ecuacion (128), xi = xi(s), son representaciones parametricasde las geodesicas afın.
10 Metrica
La metrica es el instrumento matematico que permite introducir el concepto dedistancia.
Definicion: Se denomina espacio metrico al espacio que cuenta con unaley para medir distancias.
Sean xk y xk+dxk las coordenadas de dos puntos infinitesimalmente cercanosen una variedad. La expresion para la distancia entre estos puntos puede sermuy general, pero se le debe exigir que sea un escalar, es decir, que su valor seaindependiente del sistema coordenado. El caso mas estudiado es el que suponeque la distancia elemental entre dichos puntos esta dada por una expresion dela forma:
ds2 ≡ gµνdxµdxν , (129)
donde las gµν son funciones de las coordenadas xα. Ademas, por definicion, lasgµν son las componentes de un tensor covariante de segundo orden, simetrico yrecibe el nombre de tensor metrico. Esto asegura que ds sea efectivamenteun escalar y se denomina elemento de lınea.
A continuacion veremos que una metrica introducida sobre la variedad esuna poderosa herramienta.
Definicion: Longitud de una curva:
Definition 1 Sea C una curva en la variedad dada por xi = xi(λ), con λi ≤λ ≤ λf . Definimos la longitud de la curva como el escalar
L :=
∫ λf
λi
ds =
∫ λf
λi
√
gµνdxµdxν =
∫ λf
λi
√
gµν
dxµ
dλ
dxν
dλdλ. (130)
Definicion: Longitud de un vector:
Definition 2 Sea Aµ un vector contravariante definido en un punto P de lavariedad. Llamamos modulo de Aµ al escalar:
|A|2 ≡ gµνAµAν . (131)
Obviamente en la ecuacion (131) gµν , Aµ y Aν deben estar evaluados en elmismo punto P .
Definicion: Producto escalar:
29
Definition 3 Sean Aµ y Bµ dos vectores contravariantes definidos en un puntoP de la variedad. Se define el producto interno entre dichos vectores como:
A ·B ≡ gµνAµBν . (132)
Definicion: Angulo entre vectores:
Definition 4 Se define el angulo ^(A, B) entre los vectores Aµ y Bµ mediantela relacion:
cos^(A, B) :=A · B|A| |B| =
gµνAµBν
√
gµνAµAν√
gµνBµBν. (133)
Definicion: Los espacios metricos en los cuales la distancia elemental se
define por una expresion de la forma (129) con det(gµν) ≡ g 6= 0 se llamanespacios de Riemann.
Ademas si det(gµν) 6= 0 se dice que gµν es ”no-degenerada”.Por ejemplo, en el espacio euclidiano n-dimensional y en coordenadas carte-
sianas la metrica es gµν = δµν , de modo que:
ds2 =∑
µ
dxµdxµ, (134)
donde µ = 1, 2, ..., n. La longitud de una curva C esta dada por:
L =
∫ λf
λi
√
∑
µ
dxµ
dλ
dxµ
dλdλ, (135)
el modulo de un vector A, el producto escalar de dos vectores A y B y elangulo entre ellos estan dados por:
|A|2 ≡∑
µ
AµAµ, (136)
A · B ≡∑
µ
AµBµ,
cos^(A, B) =
∑
µ AµBµ
√∑
ν AνAν√∑
λ BλBλ.
Ahora bien, si det(gµν) ≡ g 6= 0, entonces existe gµν(xi) un tensor con-travariante gµν tal que:
gµνgνλ = δµλ . (137)
y recibe el nombre de metrica inversa de gµν .Consideremos ahora un vector contravariante Aµ. Es posible definir un vec-
tor covariante A′
µ como:A′
µ ≡ gµνAv . (138)
30
Con gµν podemos definir un vector A′′µ como:
A′′µ ≡ gµνA′
ν . (139)
De este modo vemos que usando la metrica podemos mapear vectores con-travariantes (en el espacio tangente) en vectores covariantes (en el espacio cotan-gente) y viceversa.
Ademas, si usamos (138) en (139) obtenemos:
A′′µ = gµνA′
ν = gµνgνλAλ = δµλAλ = Aµ, (140)
lo cual prueba que hay una relacion uno a uno entre vectores del espaciotangente y cotangente. En espacios en que g 6= 0 se puede hablar por tantode vectores como objetos geometricos, cada uno de los cuales puede definirsetanto por sus componentes covariantes como contravariantes. Por ejemplo, elespacio Euclidiano es un espacio de Riemann en el cual gµν
∗
= δµν , de modo quelas componentes covariantes y contravariantes de cualquier vector coinciden ennumericamente en coordenadas cartesianas. De aquı que no sea necesaria taldistincion en espacios euclidianos estudiados en coordenadas cartesianas.
Figure 9:
La utilidad del tensor metrico para “subir” o “bajar” ındices tambien valepara tensores en general. Por ejemplo, a partir del tensor T λρ
µν podemos definirel tensor:
T µλρν = gµαT λρ
αν . (141)
10.1 La geodesica metrica
Consideremos dos puntos P y Q en una variedad provista de metrica. Se definela geodesica como la curva de longitud mınima entre P y Q.
31
Si C es una curva representada parametricamente por xµ = xµ(λ), entoncesC es una geodesica entre P y Q si y solo si
L =
∫ λf
λi
ds (142)
es extremal, es decir, si y solo si:
δL = 0. (143)
Pero (143) es equivalente a las ecuaciones de Lagrange:
δL
δxµ=
∂S
∂xµ− d
dλ
(
∂S
∂(
∂xµ
∂λ
)
)
= 0, (144)
donde
S =
√
gµν
dxµ
dλ
dxν
dλ. (145)
Se puede probar que (144) es equivalente a la ecuacion:
d2xµ
dλ2+ { u
να}dxν
dλ
dxα
dλ= f(λ)
dxµ
dλ, (146)
donde{
βµλ
}
≡ 1
2gνβ [∂λgµν + ∂µgνλ − ∂νgλµ] , (147)
es llamado sımbolo de Christoffel de segunda especie. La funcion f , analoga ala funcion φ(λ) de la ecuacion (125), siempre puede ser elegida f = 0 eligiendoun parametro s adecuado:
d2xµ
ds2+ { µ
να}dxν
ds
dxα
ds= 0. (148)
Obvservamos que (148) tiene la misma forma que la ecuacion (128) para lageodesica afın, de donde se deduce que { µ
να} debe ser una conexion.
Por ejemplo, en el espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas { µνα}
∗
= 0,de modo que segun (148) las geodesicas de este espacio son rectas con ecuacionesxµ(λ) = xµ
o + uµλ, con xµo y λ constantes.
11 Introduccion a la geometrıa de Riemann
Para empezar vamos a demostrar dos importantes teoremas.Teorema: Sea Mn una variedad con una metrica gµν y una conexion Γλ
µν .Entonces, la longitud de un vector bajo transporte paralelo es conservada si ysolo si:
∇λgµν = 0. (149)
32
En efecto, sea Aµ(xα) un vector definido en P (xα) y Aµ(xα + dxα) el vectorque resulta de transportar Aµ desde P a Q(xα + dxα), es decir:
Aµ(Q) =(
Aµ − ΓµαβAαdxβ
)
P. (150)
Las longitudes de Aµ y Aµ son respectivamente:
|A|2 = (gµνAµAν)P
, (151)
∣
∣A∣
∣
2=(
gµνAµAν)
Q, (152)
perogµν(Q) = (gµν + ∂αgµνdxα)
P, (153)
por lo tanto:
∣
∣A∣
∣
2= [gµν + ∂αgµνdxα]
[
Aµ − ΓµαβAαdxβ
]
[
Aν − ΓναβAαdxβ
]
. (154)
Desarrollando el producto y despreciando los terminos de segundo orden endxα, se obtiene:
∣
∣A∣
∣
2= gµνAµAν − gµνΓν
λγAµAλdxγ − gµνΓµαβAαAνdxβ + ∂ρ (gµν) AµAνdxρ.
(155)Igualando (151) y (155) se obtiene:
−gµνΓνλγAµAλdxγ − gµνΓµ
αβAαAνdxβ + ∂ρ (gµν) AµAνdxρ = 0. (156)
Intercambiando adecuadamente los ındices mudos se obtiene:
∂λ (gµν) AµAνdxλ − gµρΓρνλAµAνdxλ − gρνΓρ
µλAµAνdxλ = 0 (157)(
∂λgµν − gµρΓρνλ − gρνΓρ
µλ
)
AµAνdxλ = 0.
Usando la arbitrariedad de Aµ y dxµ obtenemos:
∂λgµν − gµρΓρνλ − gρνΓρ
µλ = 0 (158)
∇λgµν = 0,
lo cual demuestra el teorema.Teorema: La unica conexion que satisface:(i) T λ
µν = 0 (torsion nula o equivalentemente Γ simetrico)(ii) ∇λgµν = 0 (o equivalentemente que conserva la longitud de un vector
bajo transporte paralelo)es el sımbolo de Christoffel:
{
βµλ
}
≡ 1
2gνβ [∂λgµν + ∂µgνλ − ∂νgλµ] . (159)
33
En efecto, de (ii) tenemos:
∇λgµν = ∂λgµν − gµρΓρνλ − gρνΓρ
µλ = 0. (160)
Luego:∂λgµν = gρνΓρ
µλ + gµρΓρνλ. (161)
Escribamos las ecuaciones que se obtienen por permutacion circular de losındices λ, µ, ν:
∂µgνλ = gρλΓρνµ + gνρΓ
ρλµ (162)
∂νgλµ = gρµΓρλµ + gλρΓ
ρµν . (163)
Sumando (161) a (162) y restando (163) se obtiene:
∂λgµν +∂µgνλ−∂νgλµ = gρν
(
Γρµλ + Γρ
λµ
)
+gµρ
(
Γρνλ − Γρ
λµ
)
+gρλ
(
Γρνµ − Γρ
µν
)
.
(164)Usando la condicion (ii) tenemos:
∂λgµν + ∂µgνλ − ∂νgλµ = 2gρνΓρµλ, (165)
gρνΓρµλ =
1
2[∂λgµν + ∂µgνλ − ∂νgλµ] ≡ [νµλ] . (166)
Los sımbolos [νµλ] se denominan sımbolos de Christoffel de primera especie.Multiplicando por gνβ, obtenemos:
δβρ Γρ
µλ =1
2gνβ [∂λgµν + ∂µgνλ − ∂νgλµ] , (167)
Γβµλ =
1
2gνβ [∂λgµν + ∂µgνλ − ∂νgλµ] ≡
{
βµλ
}
.
Esta particular conexion, se denomina sımbolo de Christoffel de segundaespecie. Si suponemos que existe otra conexion Γ 6= Γ que satisface las hipotesisdel teorema se llega a una contradiccion, pues se obtiene que Γ es un sımbolo
de Christoffel. De este modo,{
βµλ
}
es la unica conexion que satisface (i) y (ii).
Es directo verificar que la derivada covariante de la metrica con respecto a laconexion metrica (sımbolo de Christoffel) es identicamente nula. Para la inversatambien se tiene ∇λgµν = 0. En efecto, gµνgνλ = δµ
λ =⇒ ∇ρ (gµνgνλ) = 0 =⇒∇ρg
µν = 0. Sin embargo, de la derivada covariante de la metrica con respectoa otras conexiones no podemos decir nada.
Un espacio posee geometrıa de Riemann si satisface:
T λµν = 0 (168)
y∇λgµν = 0. (169)
Corolario: Si en un espacio de Riemann existe un sistema coordenado en elcual las componentes de la metrica son constantes, entonces el espacio es plano,es decir tiene curvatura cero.
34
En efecto, gµν = cte =⇒{
βµλ
}
= 0 =⇒ Rρµνλ = 0. Ejemplos de estos
espacios son el espacio de Minkowsky de la relatividad especial o el espacioeuclidiano.
Por supuesto el contrarrecıproco es verdadero:Si Rρ
µνλ 6= 0 entonces no existe un sistema coordenado donde gµν = cte y
Γλµν = 0.
12 Metrica y conexion inducidas
Sea MN una variedad de dimension N y sea Sn una variedad de dimensionn ≤ N tal que Sn este contenida en MN . Representaremos la subveriedadparametricamente por xµ = xµ(zi), µ = 1, 2, .., N , i = 1, 2, .., n. Utilizaremosletras griegas cuando los ındices corren hasta N , y letras latinas cuando losindices corren hasta R.
Si MN posee una metrica gµν y una conexion Γλµν , deseamos encontrar la
metrica y la conexion que se induce sobre SR.
Figure 10:
12.1 Induccion de la metrica
Un elemento de lınea en MN esta dado por:
ds2 = gµνdxµdxv . (170)
Como xµ = xµ(zi), tenemos que dxµ = ∂xµ
∂zi dzi. Por lo tanto, sobre SR elelemento de lınea inducido es
ds2 = gµν
∂xµ
∂zi
∂xν
∂zjdzidzj = g∗ijdzidzj , (171)
35
con
g∗ij = gµν
∂xµ
∂zi
∂xν
∂zj(172)
donde g∗ij corresponde al tensor metrico inducido sobre SR.
12.2 Induccion de la conexion
Sea Ai un vector contravariante definido sobre SR tal que dzi = λAi. Necesita-mos una expresion para el vector asociado a Ai sobre MN .
Como dxµ = ∂xµ
∂zi dzi tenemos dxµ = ∂xµ
∂zi λAi. Esto induce un vector Bµ enMN
Bµ =∂xµ
∂ziAi (173)
donde Bµ corresponde al vector asociado a Ai en MN .Como tenemos una conexion definida sobre MN podemos transportar el
vector Bµ desde el punto P de coordenadas xµ al punto Q de coordenadasxµ + dxµ, el cual esta dado por:
Bµ(Q) = Bµ − ΓµνλBνdxλ. (174)
Reemplazando la ec. (173) tenemos que el vector transportado es:
Bµ(Q) =∂xµ
∂ziAi − Γµ
νλ
∂xν
∂zi
∂xλ
∂zjAidzj . (175)
Como deseamos encontrar la conexion de SR transportemos el vector Ak
desde el punto P de coordenadas zi al punto Q de coordenadas zi + dzi con laconexion Γ∗k
ij que deseamos encontrar.
Ai(Q) = Ai − Γ∗ijkAjdzK . (176)
Ahora debemos proyectar el vector Bk(Q) sobre SR e igualarlo con Ai(Q).Pero vemos de la ec. (173) que no podemos obtener directamente un vectorsobre SR a partir de un vector en MN , pues aparece un factor ∂xµ
∂zi , el cual noes invertible por ser una matriz no cuadrada.
Por lo tanto, debemos definir algun tipo de proyeccion, de tal manera depoder recuperar la ec. (173). Esta proyeccion nos permitirıa obtener un vectoren SR a partir de un vector en MN .
Dado un vector Bµ en MN definimos su proyeccion Ai sobre SR como:
Ai = g∗ij ∂xµ
∂zjgµνBν , (177)
donde g∗ij corresponde a la inversa de la metrica inducida.Veamos si podemos recuperar la ec. (173). Para ello multipliquemos a ambos
lados por g∗
ik
Aig∗ik = δjk
∂xµ
∂zjgµνBν . (178)
36
Reemplazando la ec. (171) tenemos:
Aigνµ
∂xν
∂zi
∂xµ
∂zk=
∂xµ
∂zkgµνBν , (179)
Ai ∂xν
∂zi= Bν . (180)
Donde la ec. (180) es igual a la ec. (173). Por lo tanto nuestra definicion deproyeccion satisface la condicion requerida. Notemos que para esta definicionde proyeccion es necesario utilizar la metrica. Por lo tanto, en espacios que noposeen metrica no podemos realizar este procedimiento.
Proyectemos ahora el vector Bµ sobre SR.Si Ci corresponde a la proyeccion de Bµ satisface:
Ci(Q) = g∗ij(Q)∂xµ
∂zj(Q)gµν(Q)Bν . (181)
Igualemos Ci con Ai
g∗ij(zk + dzk)Aj = gµν(Q)
∂xν
∂zi(Q)Bµ. (182)
Expandiendo en serie gµν(xλ + dxλ) y ∂xν
∂zi (zk + dzk),encontramos:
gµν(xλ + dxλ) = gµν(xλ) + ∂αgµνdxα, (183)
∂xν
∂zi(zk + dzk) =
∂xν
∂zi(zk) +
∂2xν
∂zj∂zidzj . (184)
Reemplazando en (182) y expandiendo en serie g∗
ij(zk + dzk) obtenemos:
(g∗ij + ∂sg∗
ijdzs)(Aj − Γ∗jlmAldzm) = (gµν + ∂αgµνdxα)
(
∂xν
∂zi+
∂2xν
∂zj∂zidzj
)
Bµ,
(185)(
g∗ijAj − g∗ijΓ
∗jlmAldzm + ∂sg
∗
ijAjdzs
)
=
(
gµν
∂xν
∂zi+ gµν
∂2xν
∂zj∂zidzj + ∂αgµν
∂xν
∂zidxα
)
Bµ.
(186)
Reemplazando Bµ de (175) y multiplicando tenemos:
(
g∗ijAj − g∗ijΓ
∗jlmAldzm + ∂sg
∗
ijAjdzs
)
= gµν
∂xν
∂zi
∂xµ
∂zlAl + gµν
∂2xν
∂zj∂zi
∂xµ
∂zlAldzj
(187)
+ ∂αgµν
∂xν
∂zi
∂xµ
∂zlAldxα − Γµ
αβgµν
∂xν
∂zi
∂xα
∂zm
∂xβ
∂znAmdzn.
37
Desarrollando la expresion ∂sg∗
ij , llegamos a :
∂sg∗
ij = ∂s
(
gµν
∂xµ
∂zi
∂xν
∂zj
)
(188)
=
(
∂αgµν
∂xµ
∂zi
∂xν
∂zj
∂xα
∂zs+ gµν
∂2xµ
∂zs∂zi
∂xν
∂zj+ gµν
∂2xν
∂zs∂zj
∂xµ
∂zi
)
.
Reemplazando en (187) y reduciendo los terminos semejantes, encontramos
g∗ijΓ∗jlmAldzm = gµν
∂2xν
∂zs∂zj
∂xµ
∂ziAjdzs + Γµ
αβgµν
∂xν
∂zi
∂xα
∂zm
∂xβ
∂znAmdzn. (189)
Cambiando algunos ındices mudos y factorizando, llegamos a
g∗ijΓ∗jlmAldzm = gµν
∂xµ
∂zi
(
∂2xν
∂zm∂zl+ Γν
αβ
∂xα
∂zl
∂xβ
∂zm
)
Aldzm, (190)
g∗ijΓ∗jlm = gµν
∂xµ
∂zi
(
∂2xν
∂zm∂zl+ Γν
αβ
∂xα
∂zl
∂xβ
∂zm
)
. (191)
Finalmente despejando Γ∗jlm, encontramos
Γ∗klm = g∗kigµν
∂xµ
∂zi
(
∂2xν
∂zm∂zl+ Γν
αβ
∂xα
∂zl
∂xβ
∂zm
)
. (192)
La ecuacion anterior nos entrega la conexion inducida sobre SN .
13 Resultados de la conexion y metrica induci-das
13.1 Aplicacion a la teorıa de superficies
En la teorıa de superficies, consideramos una variedad bidimensional sumergidaen R
3, por lo tanto, debemos ser capaces de encontrar la teorıa de superficies apartir de los resultados anteriores.
Para ello debemos considerar el hecho que la conexion de R3 en coordenadas
cartesianas es cero, y la metrica es la metrica euclidiana δµν . En este caso losındices griegos toman los valores 1, 2, 3 y los ındices latinos 1, 2. Apliquemosestas condiciones primero al caso de la metrica y luego al de la conexion.
13.1.1 Primera forma fundamental
Sabemos por la ecuacion (171) que la metrica inducida es
g∗ij = gµν
∂xµ
∂ui
∂xν
∂uj(193)
38
Utilizando la notacion vectorial, y considerando los subındices como derivadastenemos:
g∗ij = xi · xj . (194)
Por lo tanto, el elemento de lınea sobre la superficie es:
I = ds2 = (xi · xj) duiduj (195)
que corresponde a la primera forma fundamental de la teorıa de superficies.
13.1.2 Ecuaciones de Gauss
Utilicemos la ecuacion (191), en notacion vectorial toma la forma:
xi · xml = (xi · xj) Γ∗jml. (196)
si existe N tal que xi ·N =0 podemos escribir la ecuacion anterior como:
xml = Γ∗jmlxj + bmlN, (197)
que corresponden a las ecuaciones de Gauss de la teorıa de superficies.
13.2 Caracterısticas de una variedad que esta contenidadentro de un espacio con geometrıa de Riemann
Queremos ver que sucede con la conexion inducida si MN posee una geometrıade Riemann. Es decir, queremos saber si SR posee tambien una geometrıade Riemann. Para ello supongamos que la conexion de MN es el sımbolo deChristoffel:
Γναβ =
1
2gνλ(∂αgβλ + ∂βgαλ − ∂λgαβ). (198)
Reemplazando en (192), obtenemos:
Γ∗klm = g∗kigµν
∂xµ
∂zi
∂2xν
∂zm∂zl+
1
2g∗kigµν
∂xµ
∂zigνλ (∂αgβλ + ∂βgαλ − ∂λgαβ)
∂xα
∂zl
∂xβ
∂zm
(199)
= g∗kigµν
∂xµ
∂zi
∂2xν
∂zm∂zl+
1
2g∗ki ∂xµ
∂zi(∂αgβµ + ∂βgαµ − ∂µgαβ)
∂xα
∂zl
∂xβ
∂zm
(200)
= g∗ki ∂xµ
∂zi
[
gµν
∂2xν
∂zm∂zl+
1
2(∂αgβµ + ∂βgαµ − ∂µgαβ)
∂xα
∂zl
∂xβ
∂zm
]
. (201)
Si SR posee una geometrıa de Riemann debe satisfacer que su conexion esel sımbolo de Christoffel, es decir:
Γ∗klm =
1
2g∗ki(∂lg
∗
mi + ∂mg∗li − ∂ig∗
lm) (202)
39
Desarrollemos esta expresion e intentemos llegar a (201). Si g∗
ij = gµν∂xµ
∂zi∂xν
∂zj
entonces
∂g∗mi
∂zl=
∂gµν
∂xα
∂xα
∂zl
∂xµ
∂zm
∂xν
∂zi+ gµν
∂2xµ
∂zl∂zm
∂xν
∂zi+ gµν
∂2xν
∂zl∂zi
∂xµ
∂zm(203a)
∂g∗li∂zm
=∂gµν
∂xα
∂xα
∂zm
∂xµ
∂zl
∂xν
∂zi+ gµν
∂2xµ
∂zm∂zl
∂xν
∂zi+ gµν
∂2xν
∂zm∂zi
∂xµ
∂zl(203b)
∂g∗lm∂zi
=∂gµν
∂xα
∂xα
∂zi
∂xµ
∂zl
∂xν
∂zm+ gµν
∂2xµ
∂zi∂zl
∂xν
∂zm+ gµν
∂2xν
∂zi∂zm
∂xµ
∂zl(203c)
Reemplazando en (202) obtenemos:
Γ∗klm = g∗ki ∂xµ
∂zi
[
gµν
∂2xν
∂zm∂zl+
1
2(∂αgβµ + ∂βgαµ − ∂µgαβ)
∂xα
∂zl
∂xβ
∂zm
]
(204)
que corresponde a la ec. (201).Por lo tanto la conexion de SR es (202), que es el sımbolo de Christoffel
asociado a la metrica inducida sobren SR. Ası, hemos demostrado el siguienteteorema.
Teorema:
Si una variedad dada posee una geometrıa de Riemann, entonces cualquiervariedad que este contenida en ella tambien tendra una geometrıa de Riemann.
Esto explica el hecho de que la conexion asociada a una superficie inmersaen R
3 es el sımbolo de Christoffel y que no es posible encontrar una superficieque posea otro tipo de conexion, respetando la proyeccion definida en (177)
13.3 Proyeccion sobre un vector.
Podemos definir la proyeccion de un vector en MN sobre un vector en SR de lasiguiente forma:
Si Bµ es un vector en MN y Ci es un vector en SR, entonces la proyeccionde Bµ sobre Ci esta dada por:
Bip =
[
gµνBµ ∂xν
∂zm Cm]
[
gλδ∂xλ
∂zm∂xδ
∂zj CmCj
]Ci. (205)
Probemos que a partir de esta definicion podemos recuperar la expresion(177).
Si queremos que Bip coincida con Ci tenemos:
40
Ci
[
gλδ
∂xλ
∂zm
∂xδ
∂zjCmCj
]
=
[
gµνBµ ∂xν
∂zmCm
]
Ci, (206)
g∗mjCmCj = gµνBµ ∂xν
∂zmCm, (207)
g∗mjCj = gµνBµ ∂xν
∂zm, (208)
Ck = g∗kmgµνBµ ∂xν
∂zm. (209)
Es decir, a partir de la proyeccion definida por (205), podemos reobtener(177).
14 Isometrıas (simetrıas de la metrica)
Figure 11:
Sean P y Q dos puntos cercanos de coordenadas xµ y xµ + dxµ respectiva-mente y ξµ = ξµ(xν) un campo vectorial sobre una cierta variedad con metrica.Como se ve en la figura, podemos construir dos nuevos puntos R y S cuyascoordenadas estan dadas por:
R : xµ + λξµ(P ) (210)
S : xµ + dxµ + λξµ(Q),
donde λ es un parametro infinitesimal. Se dice entonces que ξµ(xν) describeuna isometrıa de la variedad, si para puntos arbitrarios P y Q se cumple:
dl2PQ = dl2RS . (211)
41
Ahora, veremos que condicion debe satisfacer el campo ξµ para que describauna isometrıa. Tenemos:
dl2PQ = gµν(P )dxµdxν , (212)
dl2RS = gµν(R) [dxµ + λ (ξµ(Q)− ξµ(P ))] [dxν + λ (ξν(Q)− ξν(P ))] ,
donde
gµν(R) = (gµν + λξα∂αgµν)P
, (213)
ξµ(Q) =(
ξµ + dxβ∂βξµ)
P.
Reemplazando (213) en (212), desarrollando el producto y despreciandoterminos de orden superior, obtenemos:
dl2RS = gµνdxµdxν + λ [gµνdxµdxγ∂γξν + gµνdxγdxν∂γξµ + ξγdxµdxν∂γgµν ] .(214)
Cambiando adecuadamente los ındices mudos, la ecuacion (214) toma laforma:
dl2RS = gµνdxµdxν + λ [gµγ∂νξγ + gγν∂µξγ + ξγ∂γgµν ] dxµdxν , (215)
de modo que la condicion (211) nos queda:
λ [gµγ∂νξγ + gγν∂µξγ + ξγ∂γgµν ] dxµdxν = 0. (216)
Aquı λ, dxµ y dxν son infinitesimales, pero arbitrarios. Por lo tanto:
gµγ∂νξγ + gγν∂µξγ + ξγ∂γgµν = 0. (217)
Esta es una ecuacion diferencial parcial que debe satisfacer ξγ para describiruna isometrıa. Si esta ecuacion tiene mas de una solucion linealmente indepen-diente, entonces existe mas de una direccion de isometrıa, y los vectores ξγ sedenominan vectores de Killing.
15 Aplicaciones
15.1 Plano euclidiano: Metrica, curvatura, geodesicas ysimetrıas
En el plano euclidiano y en coordenadas cartesianas (x1 = x, x2 = y), la metrica
es gµν∗
= δµν . Luego, de la ecuacion (147) tenemos que los sımbolos de Christoffelson nulos y por lo tanto la curvatura tambien es nula.
La ecuacion de las geodesicas (148) es
d2xµ
dλ2= 0.
Por lo tanto, las geodesicas en el plano son rectas.
42
Para las simetrıas tenemos que la ecuacion (217) queda:
δµγ∂νξγ + δγν∂µξγ = 0, (218)
∂νξµ + ∂µξν = 0.
Escribimos explıcitamente estas ecuaciones:
∂1ξ1 + ∂1
1ξ = 0, (219)
∂1ξ2 + ∂2ξ
1 = 0, (220)
∂2ξ2 + ∂2ξ
2 = 0. (221)
De (219) y de (221) se obtiene respectivamente que ξ1 = ξ1(y) y ξ2 = ξ2(x).De este modo la ecuacion (220) toma la forma:
dξ2
dx+
dξ1
dy= 0. (222)
Usando el hecho de que x e y son coordenadas independientes, vemos queesta ecuacion se satisface si y solo si:
dξ1
dy= α = cte, (223)
dξ2
dx= −α,
de modo que:
ξ1 = αy + β, (224)
ξ2 = −αx + γ.
Esta solucion se puede expresar como combinacion lineal de tres solucionesindependientes:
ξµ =(
ξ1, ξ2)
= (αy + β,−αx + γ) , (225)
ξµ = α (y,−x) + β (1, 0) + γ (0, 1) ,
ξµ = αξµ
(1) + βξµ
(2) + γξµ
(3),
donde
ξµ
(1) := (y,−x) , (226)
ξµ
(2) := (1, 0) ,
ξµ
(3) := (0, 1) .
43
Figure 12:
15.2 La esfera: Metrica inducida, curvatura, geodesicas ysimetrıas
Consideremos como segundo ejemplo la metrica que el espacio euclidiano tridi-mensional E3 induce sobre la esfera unitaria. Sabemos que en coordenadascartesianas la metrica de E3 es gµν = δµν y la restriccion a los puntos de laesfera es:
x1 = sin θ cosφ, (227)
x2 = sin θ sin φ,
x3 = cos θ,
de modo que las coordenadas sobre la esfera son θ y φ. Usamos (172) paracalcular gθθ:
gθθ = δµν
∂xµ
∂θ
∂xν
∂θ=
∂xµ
∂θ
∂xµ
∂θ= 1. (228)
Analogamente, se obtienen las otras componentes:
gij =
(
1 00 sin θ
)
, (229)
donde i, j = θ, φ. Usando (147) obtenemos que las componentes no nulasdel sımbolo de Christoffel son:
{
θφφ
}
= − sin θ cos θ, (230){
φθφ
}
={
φφθ
}
= cot θ.
De este modo, se obtiene directamente que las ecuaciones para las geodesicassobre la esfera son:
d2θ
dλ2− sin θ cos θ
(
dφ
dλ
)2
= 0, (231)
d2φ
dλ2+ 2 cot θ
dθ
dλ
dφ
dλ= 0.
44
Tambien, mediante un calculo directo, encontramos que las componentes nonulas de la curvatura de la esfera son:
Rθφθφ = −Rθ
φφθ = sin2 θ, (232)
Rφθθφ = −Rφ
θφθ = −1.
A continuacion se estudiaran las simetrıas de la esfera. El sistema de ecua-ciones para los vectores de Killing sobre la esfera unitaria, segun (217) es:
g1γ∂1ξγ + gγ1∂1ξ
γ + ξγ∂γg11 = 0, (233)
g1γ∂2ξγ + gγ2∂1ξ
γ + ξγ∂γg12 = 0,
g2γ∂2ξγ + gγ2∂2ξ
γ + ξγ∂γg22 = 0.
Puesto que la metrica sobre la esfera es:
gµν =
(
1 00 sin θ
)
, (234)
tenemos:
g11∂1ξ1 + g11∂1ξ
1 + ξγ∂γg11 = 0, (235)
g11∂2ξ1 + g22∂1ξ
2 + ξγ∂γg12 = 0,
g22∂2ξ2 + g22∂2ξ
2 + ξγ∂γg22 = 0.
Luego:
∂1ξ1 + ∂1ξ
1 = 0, (236)
∂2ξ1 + sin θ∂1ξ
2 = 0,
2 sin θ∂2ξ2 + ξ1∂1(sin θ) = 0.
La primera ecuacion nos dice que ξ1 = ξ1(φ), de modo que la segunda ytercera ecuacion nos queda:
∂2ξ1 + sin θ∂1ξ
2 = 0, (237)
2 sin θ∂2ξ2 + cos θξ1 = 0.
Se puede verificar, reemplazando directamente en estas ecuaciones, que elsistema tiene por solucion:
ξµ =(
ξ1, ξ2)
= (0, α) = α (0, 1) , (238)
donde α es una constante. Esta solucion representa una rotacion en la di-reccion φ.
45
