Analise dos filtros nao-lineares

Leyza Elmeri Baldo Dorini�, Anderson de Rezende Rocha�

�Unicamp – Disciplina de Introduc¸ao ao Processamento de Imagens Digitais

leyza@inf.unochapeco.rct-sc.br - anderson.rocha@ic.unicamp.br

Resumo. Este trabalho apresenta as conclusoes obtidas sobre a avaliac¸ao dequatro filtros espaciais nao-lineares, sendo eles o filtro da vizinhanc¸a seletiva,o filtro de Nagao, o filtro da ordem K e o filtro dos K vizinhos mais proximos.Inicialmente, apresenta-se alguns conceitos sobre filtros espaciais, bem comouma breve apresentac¸ao de cada um dos filtros abordados. Depois descreve-sea metodologia utilizada (medidas de erro utilizada, tipos e parametros de teste,entre outros) e entao sao apresentadas as conclusoes parciais do trabalho, ouseja, individualmente por figura, por tipo de ruıdo, por degradac¸ao de bordas,entre outros. Para tal sao apresentadas tabelas com todos os dados geradose tambem graficos destes dados para facilitar a visualizac¸ao. Finalmente saoapresentadas as conclusoes finais.

1. Introducao

Segundo Gonzalez;Woods(2000) uma imagem ´e uma func¸ao bidimensional de luz f(x,y),onde x e y denotam coordenadas espaciais e o valor de f em qualquer ponto (x,y) daimageme proporcional `a intensidade de brilho naquele ponto.E importante observar queeste trabalho tratar´a especificamente de imagens em tons de cinza.Uma imagem digital pode ser definida como sendo uma imagem que foi discretizadaem termos de coordenadas espaciais e valor da intensidade no ponto. Sendo assim, umaimagem pode ser vista como uma matriz, onde as coordenadas x e y identificariam alinha e coluna e o valor no ponto indicaria o n´ıvel de cinza (brilho) correspondente. Cadaelemento desta matriz ´e denominadopixel (picture element).De acordo com Rosenfeld;Kak(1982), o processamento de imagens possui como proces-sos principais a digitalizac¸ao, codificac¸ao, realce, restaurac¸ao, segmentac¸ao e descric¸ao.Dentro do item realce encontra-se o processo de suavizac¸ao, o qual visa tornar os pixelsda imagem mais homogˆeneos (uniformes) em relac¸ao a sua vizinhanc¸a (um pixel comum valor nao-homogˆeneo pode representar ru´ıdo na imagem).Este trabalho se limitar´a a trabalhar com suavizac¸ao no dom´ınio espacial, que est´abaseada no deslocamento de m´ascaras (moving windows) pela imagem. Um exemplo ´eapresentado na Figura 1 a seguir, onde h´a uma mascara de dimens˜ao 3x3 e no formato deum quadrado (denominadabox shape). O elemento que est´a na posic¸ao (x,y) receber´aum novo valor que ser´a calculado a partir dos demais elementos da m´ascara (que nestecaso variam de x-1 a x+1 e de y-1 a y+1).

Figure 1: Ilustrac ¸ ao do funcionamento de uma m ascara [9]

Entretanto, a filtragem espacial trabalha com filtros lineares e n˜ao-lineares. Osprimeiros baseiam-se nos conceitos ”que especificam que a func¸ao de tranferˆencia e oimpulso ou func¸ao de espalhamento pontual de um sistema linear s˜ao tranformadas in-versas de Fourier uma da outra” (GONZALEZ;WOODS, 2000, p. 134). Estes filtrosapresentam como principal desvantagem a degradac¸ao de bordas. Um exemplo de filtrolinear seria o filtro da m´edia.Por outro lado, os filtros n˜ao-lineares operam diretamente com os pixels da imagem,alterando-os de acordo com alguma relac¸ao existente entre ele e sua vizinhanc¸a (avizinhanca e tida como os elementos dentro de uma regi˜ao com formato e tamanho pr´e-determinados). Os filtros implementados/analisados neste trabalho s˜ao todos filtros n˜ao-lineares.A diferenca (no que diz respeito `a forma de utilizac¸ao das m´ascaras) entre os filtros n˜ao-lineares e os lineares ´e que, enquanto os primeiros se baseiam nos valores dospixelspertencentes `a vizinhanc¸a dopixel cetral, a filtragem linear utiliza uma m´ascara com co-eficientes. Neste ´ultimo caso, o resultado (resposta) de uma m´ascara ser´a

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onde�� representa o n´ıvel de cinza na posic¸ao e�� o coeficiente da m´ascara (GONZA-LEZ;WOODS, 2000).Em ambos os casos a utilizac¸ao de mascaras causar´a problemas com as bordas, sendoque se fossem colocadas em um limite da imagem, iriam precisar utilizar valores que n˜aoestavam definidos na imagem para c´alculo do novo ponto central.Sendo assim, ´e necess´ario que sejam restringidos os limites de aplicac¸ao da mascara. Notrabalho em quest˜ao foi atribu´ıdo valor zero aos pontos que n˜ao puderam ser calculados(desta forma, a borda ficou preta).

2. Algoritmos implementadosOs algoritmos implementados foram os seguintes:

2.1. Filtro da media com os k vizinhos mais proximos

Enquanto o filtro da m´edia utiliza todos os elementos da m´ascara para c´alculo, causandodegradac¸ao de bordas, este filtro busca selecionar elementos que pertencem ao mesmo

objeto, atrav´es de uma escolha adequada do tamanho da janela e de quantos elementosserao selecionados.Para que sejam selecionados quais ser˜ao os k elementos participantes, ´e utilizada adiferenca absoluta entre cada ponto da m´ascara e o ponto central (desta forma os pontosmais proximos do valor central ser˜ao selecionados, e eles tˆem uma probabilidade maiorde pertencer ao mesmo objeto). Segundo Niblack (1986) um valor t´ıpico de ke seis parajanelas de dimens˜ao 3x3.Em resumo, como o filtro da m´edia trabalha ”bem” apenas em regi˜oes homogˆeneas,buscou-se um aprimoramento que operasse de forma adequada em regi˜oes comtransicoes. Como exemplo, o fitro procura considerar como elementos candidatos aparticipar da m´edia apenas aqueles que estivessem do mesmo lado da borda que oelemento central (ARECO, 1995).

2.2. Filtro da ordem K

A ideia deste filtro ´e ordenar de forma ascendente uma lista de elementos que fazem parteda vizinhanc¸a de um determinadopixel (que tera seu valor modificado) e ent˜ao selecionarum valor de uma posic¸ao particular nesta lista para ser utilizado como o novo valor parao pixel central.Se o elemento selecionado for o primeiro, o c´alculo corresponder´a ao filtro m´ınimo, oqual ”enfatiza” regi˜oes mais escuras, correspondendo `a operac¸ao de eros˜ao. Caso seja es-colhido oultimo elemento, ser´a equivalente ao filtro do m´aximo, que ”enfatiza” os pontoscom mais brilho na imagem, tornando-a mais clara (corresponde `a operac¸ao de dilatac¸ao)(NONLINEAR, s.d.).O filtro da mediana se baseia no fato de que se um ponto que ´e ruıdo esta presente entre oselementos da m´ascara, na ordenac¸ao ele se localizar´a nas primeiras ou ´ultimas posic¸oes,e desta forma n˜ao sera selecionado para substituir o valor do pixel central (os pontos decinza de uma regi˜ao tendem a ter uma similaridade e desta forma pontos discrepantes tˆemuma grande possibilidade de serem ru´ıdo).De acordo com Nonlinear(s.d.); Cooper(2004); Ekstrom(1984), em comparac¸ao ao filtroda media, o filtro da mediana ´e eficiente na remoc¸ao de ru´ıdo do tipo impulsivo (salt andpepper noise), alem de nao afetar muito os contornos (podendo desta forma ser aplicadoiterativamente sem causar tanta degradac¸ao). Uma desvantagem ´e que pode degradar ob-jetos com vertices muito agudos.Isto porque como o ru´ıdo do tipo impulsivo muda completamente os valores de cinza, ´emuito pouco prov´avel que um destes valores seja o valor da mediana na vizinhanc¸a es-pecıfica. Uma ilustrac¸ao simples ´e dada abaixo em um filtro da mediana 1x3, denominado�.

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Como esperado, o filtro da mediana elimina valores ”discrepantes”. As outrasduas estruturas de valores de cinza (uma rampa monotonicamente crescente e um con-torno entre dois ”planaltos” de valores de cinza contantes) s˜ao preservadas. Desta forma,

o filtro da mediana elimina de forma eficaz ru´ıdo impulsivo sem borrar de forma signi-ficativa a imagem. O ru´ıdo gaussiano ´e eliminado com menos eficiˆencia (JAHNE, 1993).E relevante considerar, no entanto, os casos em que o valor discrepante dos demais podede fato ser parte do sinal, e desta forma, enquanto em alguns casos a mediana ir´a realizarefetivamente a supress˜ao do ru´ıdo, em outros ele ir´a causar supress˜ao do proprio sinal(PRATT, 1991); (LINDLEY, 1991).Para uma janela de tamanho MxM, com M ´ımpar, o valor da mediana de� � valores podeser obtido por

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comparac¸oes aritmeticas. Para uma janela de tamanho 3x3, por exemplo, cadapixelpodeser processado pelo filtro da mediana com 30 comparac¸oes aritmeticas (EKSTROM,1984).Como o fitro da mediana ´e computacionalmente intensivo (o n´umero de operac¸oes cresceexponencialmente de acordo com o tamanho da janela), Pratt (1984) propˆos um operadorcomputacionalmente mais simples, denominado filtro da pseudomediana. Este filtro ´edescrito com mais detalhes em Pratt (1984).O filtro da mediana ´e considerado o filtro n˜ao linear mais f´acil de se implementar,permitindo um ganho de qualidade mesmo em casos de imagens com bastante ru´ıdo(BRITTO, s.d.).

2.3. Filtro de Nagao

Este filtro, proposto por Nagao e Matsuyama (1979) procura a vizinhanc¸a do ponto centralquee classificada como mais homogˆenea, utilizando-se para tal classificac¸ao o calculo davariancia (o uso da variˆancia se deve ao fato que regi˜oes com bordas bem definidas ten-dem a ter uma variˆancia alta, e desta forma n˜ao devem ser classificadas). O pixel centrale substitu´ıdo pelo valor da m´edia da vizinhanc¸a com menor variˆancia.As vizinhancas sao definidas a partir da definic¸ao de nove m´ascaras distintas (ilustradasna Figura 2(a)), sendo elas um quadrado, quatro pent´agonos e quatro hex´agonos. Paragerar as m´ascaras ´e realizada uma rotac¸ao de uma barra alongada em torno do pixel cen-tral de uma janela de dimens˜ao 5x5, mais a definic¸ao da mascara quadrada no centro dajanela. Uma ilustrac¸ao e apresentada na Figura 2(b)(ARECO, 1995). Entretanto, o filtrode Nagao ´e computacionalmente intensivo. Nove m´ascaras devem ser calculadas para de-terminar a vizinhanc¸a mais homogˆenea. Alem disso, o formato da m´ascara para selec¸aodos pixels vizinhos varia. tudo isso contribui para a complexidade do c´alculo (HUNG,s.d).

(a) (b)

Figure 2: M ascaras utilizadas pelo filtro de Nagao (HUNG, s.d.); (ARECO, 1995)

2.4. Vizinhanca Seletiva

Este algoritmo utiliza cinco m´ascaras quadradas 3x3 sobrepostas em uma janela 5X5, detal forma que o pixel central sempre participa das m´ascaras.Calcula-se a homogeneidade de cada vizinhanc¸a (atraves do calculo da variancia - que foia opcao utilizada no trabalho - ou da soma das diferenc¸as absolutas), e substitui-se o pixelcentral pela m´edia dos elementos da vizinhanc¸a mais homogˆenea. Ressalta-se que cadamascara 3x3 ´e considerada uma vizinhanc¸a.De acordo com Areco (1995), a vizinhanc¸a selecionada geralmente pertence `a mesmaregiao que cont´em o ponto central da janela 5x5. Desta forma, opixel tera seu valorsubstitu´ıdo pela media de uma regi˜ao homogˆenea, resultando na atenuac¸ao do ru´ıdo.

3. Metodologia Utilizada

Para a realizac¸ao dos testes foram utilizadas duas imagens. A primeira delas ´e uma i-magem sint´etica, denominada circulo, e a outra ´e uma imagem natural (possui mais deta-lhes) denominada chess.A primeira, que possui dimens˜ao de 173x171 pixels, foi escolhida por ser simples, possuirregioes homogˆeneas (´e constitu´ıda por um c´ırculo com tons de cinza pr´oximos a 50 sobrefundo em tom de cinza em torno de 150) e ter bordas em todas as direc¸oes. A imagemchess possui dimens˜ao de 181x146, com tons de cinza variando de 0 a 255.Em cada imagem foram aplicados os ru´ıdos gaussiano (com� � ��) e implusivo (com6% de pontos brancos em 4% da imagem). Estes ´ındices foram escolhidos de tal formaque o RMS (este conceito ser´a abordado a seguir ) entre as imagens com ru´ıdo e a originalficasse pr´oximo, com o intuito de facilitar a comparac¸ao. As Figuras 3 e 4 apresentam asimagens originais e estas ap´os a aplicac¸ao dos dois tipos de ru´ıdo.

(a) (b) (c)

Figure 3: Imagem c´ ırculo - (a)original, (b)ru´ ıdo gaussiano), (c)ru´ ıdo impulsivo

(a) (b) (c)

Figure 4: Imagem chess - (a)original, (b)ru´ ıdo gaussiano), (c)ru´ ıdo impulsivo

O RMS da imagens com ru´ıdo em relac¸ao a imagem original ´e apresentado aseguir na Tabela 1:

Imagem Ruıdo Gaussiano Ruıdo Impulsivochess 19 23

circulo 19 22

Table 1: RMS da imagem com ru´ ıdo em relac ao a imagem original

Quando se trata do caso unidimensional, pode-se avaliar a efic´acia de um filtro atrav´es demedidas de erro derivadas da teoria de processamento digital de sinais. No caso bidimen-sional, tamb´em se pode ter uma avaliac¸ao subjetiva, ou seja, verificar-se visualmente oresultado ap´os a aplicac¸ao do filtro (ARECO, 1995).A avaliacao subjetiva dos filtros foi realizada atrav´es da aplicac¸ao de ru´ıdo em imagense posterior avaliac¸ao visual do resultado da sua filtragem utilizando os quatro algoritmosdescritos anteriormente. Alguns dos itens que podem ser facilmente identificados atrav´esda avaliac¸ao visual s˜ao a degradac¸ao das bordas e a presenc¸a de ru´ıdos na imagem filtrada(indicando a pouca capacidade de filtragem do algoritmo em quest˜ao). Tendo em vista queesta avaliac¸aoe dependente de diferentes fatores e pode variar conforme o observador, ´enecess´ario que tamb´em seja realizada uma avaliac¸ao utilizando m´etodos estat´ısticos.Dentre os m´etodos que podem ser utilizados est˜ao o desvio padr˜ao, o Erro MedioQuadratico (RMS) e a sinalizac¸ao sinal/ru´ıdo (SNR). Cada um tem suas pr´oprias ca-racter´ısticas (o desvio padr˜ao, por exemplo, deve ser utilizado em ´areas homogˆeneas da

imagem, pois a intenc¸ao e medir o poder de eliminac¸ao dos elementos que s˜ao ruıdo, edesta forma n˜ao deve-se ter interferˆencia de bordas).Como estes m´etodos apresentam restric¸oes na avaliac¸ao de imagens que possuem muitosdetalhes (como uma imagem natural, por exemplo), foi utilizada uma abordagem dife-rente neste caso.Procurou-se classificar os pontos da imagem como sendo de alta ou baixa atividade espa-cial, utilizando-se para tal um procedimento baseado nas m´ascaras direcionais de Prewitt.Para determinar a atividade espacial de determinado ponto, a soma da sa´ıda das m´ascarasfoi comparada a um limiar (para definic¸ao deste, foram realizados testes emp´ıricos).Com o intuito de identificar a degradac¸ao de bordas, a imagem original foi nublada eentao aplicou-se as m´ascaras de Prewitt novamente (com a limiarizac¸ao) gerando duasmascaras bin´arias, apresentadas a seguir na Figura 5. Com a nublagem da imagem, ´eposs´ıvel identificar nao somente os pontos de alta atividade espacial, mas tamb´em umavizinhanca desta ´area.

(a) (b)

Figure 5: Imagem chess - (a)regi oes de alta atividade espacial, (b)regi oes debaixa atividade espacial

Os metodos utilizados no trabalho foram:

� desvio padr˜ao: e uma medida de dispers˜ao, e baseia-se nos desvios em torno damedia aritmetica. E considerado um indicador de variabilidade bastante est´avel.A f ormula basicae expressa como:

� �

����� ����

� �A formula est´a utilizando a divis˜ao por n-1 porque no caso espec´ıfico deste tra-balho estar´a se utilizando apenas uma amostra de dados, conforme ser´a expostoposteriormente.

� erro medio quadr´atico (RMS -Root Mean Square): seja��� �� a representac¸aode uma imagem de entrada e seja���� �� a imagem processada. O erro raiz m´ediaquadratica, e a raiz quadrada da m´edia do quadrado das diferenc¸as entre duasimagens, e ´e dado por:

��� �

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em que Me o numero de linhas das imagense N o numero de colunas.Al em do RMS geral (aplicado em todos os pontos da imagem), verificou-se

tambem o RMS das regi˜oes de alta e baixa atividade espacial, denominados RMSHigh e RMS Low, respectivamente. Nestes dois ´ultimos casos, utilizou-se asmascaras apresentadas anteriormente na Figura 5 para ativac¸ao do calculo do erro,sendo que os pontos da imagem da qual est´a se calculando o RMS ser˜ao incluıdosno calculo do erro somente se o ponto respectivo na m´ascara de ativac¸ao tivervalor diferente de zero. Devido `a utilizacao de mascaras, as bordas foram descon-sideradas no c´alculo do RMS.

Para a imagem circulo, o procedimento de teste consistiu na aplicac¸ao iterativa (dez vezes)dos quatro filtros apresentados, e c´alculo do RMS (geral) e do desvio padr˜ao para cadaimagem. Conforme exposto anteriormente, o desvio padr˜ao deve ser utilizado em ´areashomogeneas da imagem. Desta forma, para caracterizar o ´ındice de homogeneidade foiselecionada uma ´area da figura que n˜ao tivesse a interferˆencia das bordas. No caso es-pecıfico deste trabalho foi selecionada uma ´area de dimens˜ao 32x32, com in´ıcio nas co-ordenadas 50x50.Como a imagem chess possui detalhes, foi escolhida para identificar o efeito dedegradac¸ao apos a aplicac¸ao iterativa dos filtros. Foram realizadas cinco iterac¸oes paracada um dos filtros j´a mencionados. Para esta imagem, foram calculados o RMS geral, oRMS High e o RMSLow.Os parametros utilizados para teste foram os seguintes:

Algoritmo Tamanho da JanelaOutrosnagao 5x5 -

vizinhanca seletiva 5x5 -ordem k 3x3 k = 5

k vizinhos 3x3 k = 6

Table 2: Par ametros utilizados para teste na aplicac ¸ ao iterativa dos algoritmos

Nos algoritmos da ordem k e k vizinhos mais pr´oximos optou-se por utilizar umajanela de dimens˜ao 3x3 e k = 5 e k = 6 (respectivamente) porque a intenc¸ao era avaliar odesempenho do filtro quando aplicado iterativamente.Para avaliar o comportamento do algoritmo para diferentes tamanhos de janela e dife-rentes valores de k (para os algoritmos que exigem este parˆamentro) foi realizado maisum tipo de teste. Al´em de variar estes parˆamentros tamb´em variou-se o n´ıvel de ru´ıdoaplicado na imagem. As tabelas a seguir apresentam os diferentes parˆametros e n´ıveis deruıdo utilizados.

Ruıdo gaussiano RMS em relac¸aoa imagem original10 925 2355 4670 57100 74

Table 3: Diferentes n´ ıveis de ru´ıdo gaussiano utilizados para teste

Ruıdo impulsivo RMS em relac¸aoa imagem original1,1 126,4 24

20,15 4920,20 5530,40 77

Table 4: Diferentes n´ ıveis de ru´ıdo impulsivo utilizados para teste

Algoritmo Tamanho da Janela Outrosnagao 5x5 -

vizinhanca seletiva 5x5 -ordem k 3x3 k = 4, 6 e 8

7x7 k = 6, 20 e 457x7 k = 10, 60 e 110

k vizinhos 3x3 k = 4, 6 e 87x7 k = 10, 25 e 407x7 k = 10, 60 e 110

Table 5: Par ametros utilizados para teste na aplicac ¸ ao para diferentes n´ ıveis deru ıdo

A seguir ser˜ao apresentados os gr´aficos indicando o erro m´edio quadr´atico paracada um dos algoritmos desenvolvidos, para os dois tipos de ru´ıdo. A escala utilizadapara o eixo vertical ´e relativa ao RMS da imagem em relac¸ao a original, e para o eixohorizontal representa a iterac¸ao (considerou-se os dados at´a a terceira iterac¸ao).Foi realizada uma normalizac¸ao com o intuito de comparar o desempenho do algoritmono tratamento das duas imagens, bem como para tratar diferentes tipos de ru´ıdo (conformeexposto, o gaussiano e o impulsivo). Desta forma, o valor 0.5 representa uma reduc¸ao de50% do RMS original.Apos cada conjunto de gr´aficose apresentada uma conclus˜ao parcial sobre o desempenhodos algoritmos. As conclus˜oes ”definitivas” ser˜ao apresentadas no final deste trabalho.

4. Graficos

Figure 6: Imagem chess - Filtro de Nagao - Comparac ¸ ao do RMS por tipo de ru´ ıdo

Figure 7: Imagem chess - Filtro da vizinhanc ¸a seletiva - Comparac¸ ao do RMS portipo de ru´ıdo

Figure 8: Imagem chess - Filtro da ordem k com k = 5 - Comparac ¸ ao do RMS portipo de ru´ıdo

Figure 9: Imagem chess - Filtro dos k vizinhos mais pr oximos com k = 6 -Comparac ao do RMS por tipo de ru´ ıdo

Conforme pode ser observado, todos os filtros trataram melhor o ru´ıdo impulsivo.Devido a abordadem utilizada pelos filtros n˜ao-lineares (buscar a m´edia de uma regi˜aopre-determinada ou ent˜ao pegar o valor ”do meio” como ´e o caso do filtro da mediana),o ruıdo impulsivoe realmente tratado mais eficientemente (isto se deve ao fato de queenquanto o ru´ıdo impulsivo insere valores limite na imagem (0 ou 255) o ru´ıdo gaussiano”mistura” os tons de cinza existentes).Para esta imagem, com os valores de erro especificados, o filtro que melhor tratou o ru´ıdogaussiano foi o filtro dos k vizinhos mais pr´oximos (que alcanc¸ou RMS = 9 e se mantevena faixa de 9 a 11 emtodas as iterac¸oes). J´a para o ru´ıdo impulsivo o filtro da ordemk (com k = 5, equivalente ao filtro da mediana) alcanc¸ou o menor valor de RMS (osRMS’s obtidos foram 5, 8, 11, 14, 16). No entanto, o filtro dos k vizinhos mais pr´oximosse manteve mais contante (RMS = 6, 7, 9, 10, 11), possuindo um RMS m´ınimo muitoproximo ao do filtro de ordem k.

Figure 10: Imagem circulo - Filtro dse Nagao - Comparac ¸ ao do RMS por tipo deru ıdo

Figure 11: Imagem circulo - Filtro da vizinhanc ¸a seletiva - Comparac¸ ao do RMSpor tipo de ru´ ıdo

Figure 12: Imagem c´ ırculo - Filtro da ordem k com k = 6 - Comparac ¸ ao do RMSpor tipo de ru´ ıdo

Figure 13: Imagem circulo - Filtro dos k vizinhos mais pr oximos com k = 6 -Comparac ao do RMS por tipo de ru´ ıdo

Observa-se que assim como para a imagem chess, os filtros foram mais eficientesno tratamento do ru´ıdo impulsivo. A justificativa dada ´e a mesma.Os filtros que apresentaram melhor desempenho para esta imagem foram o filtro de Nagao(com RMS m´ınimo = 5) para o ru´ıdo impulsivo, e o filtro da Vizinhanc¸a Seletiva (comRMS mınimo = 5) para o ru´ıdo gaussiano.O filtro que obteve o pior desempenho neste caso foi o da ordem k, sendo que emboratenha removido de maneira eficiente o ru´ıdo, ocasionou uma grande deformac¸ao nas bor-das do c´ırculo (para o caso do ru´ıdo gaussiano, o filtro chegou a alcanc¸ar o RMS inicialde 19 na d´ecima iterac¸ao). Este ´ultimo fato pode ser observado na Figura 35 (d) (p. 36)onde ja na quinta iterac¸ao o c´ırculo comec¸a a se tranformar em algo ”pr´oximo” de umhexagono.Agora, com o intuito de comparar como os filtros trataram o mesmo tipo de ru´ıdo paraimagens diferentes, ser´a apresentada uma comparac¸ao neste sentido.

Figure 14: Ru´ıdo gaussiano - Filtro de Nagao - Comparac ¸ ao do RMS entre duasimagens

Figure 15: Ru´ıdo impulsivo - Filtro de Nagao - Comparac ¸ ao do RMS entre duasimagens

Figure 16: Ru´ıdo gaussiano - Filtro da vizinhanc ¸a seletiva - Comparac¸ ao do RMSentre duas imagens

Figure 17: Ru´ıdo impulsivo - Filtro da vizinhanc ¸a seletiva - Comparac¸ ao do RMSentre duas imagens

Figure 18: Ru´ıdo gaussiano - Filtro da ordem k com k = 5 - Comparac ¸ ao do RMSentre duas imagens

Figure 19: Ru´ıdo impulsivo - Filtro da ordem k com k = 5 - Comparac ¸ ao do RMSentre duas imagens

Figure 20: Ru´ıdo gaussiano - Filtro dos k vizinhos mais pr oximos com k = 6 -Comparac ao do RMS entre duas imagens

Figure 21: Ru´ıdo impulsivo - Filtro dos k vizinhos mais pr oximos com k = 6 -Comparac ao do RMS entre duas imagens

Os filtros de forma geral foram mais eficientes para a imagem c´ırculo, o que ja eraprevisto. Isto porque por ser uma imagem sint´etica, ela possui regi˜oes com tons de cinzamuito proximos (ou at´e mesmo iguais), fato este que aliado `as caracter´ısticas dos filtrosimplementados (trabalhar com os valores da vizinhanc¸a) tornava o resultado previs´ıvel.A unica excec¸ao foi o filtro da ordem k (conforme exposto, o valor utilizado para k foi5, representando assim o filtro da mediana), obteve valores de RMS semelhantes para asduas imagens.

Figure 22: Imagem chess - Ru´ ıdo gaussiano - Filtro de Nagao - RMS geral, RMSHigh e RMS Low

Figure 23: Imagem chess - Ru´ ıdo impulsivo - Filtro de Nagao - RMS geral, RMSHigh e RMS Low

O filtro de Nagao apresentou um comportamento muito semelhante no ”trata-mento” dos dois tipos de ru´ıdo. Um fato interessante ´e que o RMS High (que representaas altas freq¨uencias) n˜ao diminui do seu valor inicial em nenhum caso (se mant´em cons-tante apenas na primeira iterac¸ao do ru´ıdo impulsivo). O RMS Low, por sua vez diminuide forma intensiva na primeira iterac¸ao e depois tende a ficar constante. Sendo assim,conclui-se que deve-se aplicar este filtro apenas uma vez, sendo que a partir da segundaiteracao os tres tipos de RMS tendem a crescer.Apresentou um RMS High melhor para o ru´ıdo gaussiano e um RMS Low melhor para oruıdo impulsivo, o que leva a concluir que degrada menos as bordas quando est´a tratandoo ruıdo gaussiano. O RMS geral apresentou valores semelhantes para os dois tipos deruıdo.

Figure 24: Imagem chess - Ru´ ıdo gaussiano - Filtro da vizinhanc ¸a seletiva - RMSgeral, RMS High e RMS Low

Figure 25: Imagem chess - Ru´ ıdo impulsivo - Filtro da vizinhanc ¸a seletiva - RMSgeral, RMS High e RMS Low

Este filtro apresentou basicamente o mesmo comportamento que o filtro de Na-gao. O RMS geral, o RMS Low e o RMS High apresentaram seus menores valores naprimeira iterac¸ao, levando `a afirmac¸ao de que a realizac¸ao de mais de uma iterac¸ao naoe aconselh´avel (pelos mesmos motivos descritos no filtro anterior). Al´em disso, tamb´emdegradou menos as bordas quando tratava o ru´ıdo gaussiano (apresentou valores menoresde RMS High para o ru´ıdo gaussiano e valores menores de RMS Low para o ru´ıdo impul-sivo). O RMS geral apresentou valores muito pr´oximos.

Figure 26: Imagem chess - Ru´ ıdo gaussiano - Filtro da ordem k com k = 5 - RMSgeral, RMS High e RMS Low

Figure 27: Imagem chess - Ru´ ıdo impulsivo - Filtro da ordem k co m k = 5 - RMSgeral, RMS High e RMS Low

O filtro da ordem k (representando o filtro da mediana devido ao valor de k) apre-sentou um resultado muito superior na filtragem da imagem com ru´ıdo impulsivo, com-provando a sucinta fundamentac¸ao teorica apresentada na subsec¸ao 2.2.No entanto, assim como nos dois filtros anteriores os menores ´ındices de RMS (para ostres tipos) foram obtidos na primeira iterac¸ao.

Figure 28: Imagem chess - Ru´ ıdo gaussiano - Filtro dos k vizinhos mais pr oximoscom k = 6 - RMS geral, RMS High e RMS Low

Figure 29: Imagem chess - Ru´ ıdo impulsivo - Filtro dos k vizinhos mais pr oximoscom k = 6 - RMS geral, RMS High e RMS Low

Conforme pode-se constatar atrav´es da observac¸ao do primeiro gr´afico, quandotrabalha com ru´ıdo gaussiano, o erro m´edio quadr´atico tende a se estabilizar, inclusive oRMS High. Isto leva a confirmar que a estrat´egia de tentar selecionar apenas os elemen-tos que pertencem ao mesmo objeto (ao inv´es de fazer a m´edia com todos os elementosda vizinhanc¸a como faz o filtro da m´edia) realmente traz o resultado esperado (menosdegradac¸ao de bordas).Mas isso desde que sejam escolhidos valores adequados do tamanho da janela e da quanti-dade de elementos (vizinhos) que ser˜ao incluıdos no calculo. Foram utilizados os valoresde k = 6 e ajanela de dimens˜ao 3x3 devido ao fato de estes valores estarem sugeridos naliteratura (como em Niblack(1986), por exemplo).Entretanto, quando se trabalha com ru´ıdo impulsivo o RMS tende a crescer ap´os aprimeira iterac¸ao.

5. Tabelas

A seguir ser˜ao apresentadas as tabelas com os dados obtidos a partir dos testes realiza-dos. Como algumas destas tabelas foram convertidas em gr´aficos (apresentados anterior-mente), ser˜ao discutidos apenas alguns dados.

Aplicacao NG VS OK KV0 19 19 19 191 14 12 12 102 15 14 14 93 16 15 17 104 16 15 19 115 16 16 21 11

Table 6: Erro M edio Quadr atico - Imagem chess - Ru´ ıdo gaussiano

Aplicacao NG VS OK VS0 15 15 15 151 7 6 8 72 6 6 8 63 6 6 9 64 6 6 9 65 6 6 10 7

Table 7: Erro M edio Quadr atico Low - Imagem chess - Ru´ ıdo gaussiano

Aplicacao NG VS OK VS0 10 10 10 101 12 10 9 72 13 12 11 73 14 14 14 84 14 14 16 85 15 14 19 9

Table 8: Tabela x - Erro M edio Quadr atico High - Imagem chess - Ru´ ıdo gaussiano

Aplicacao NG VS OK KV0 23 23 23 231 13 12 5 62 15 14 8 73 15 15 11 94 16 16 14 105 16 16 16 11

Table 9: Erro M edio Quadr atico - Imagem chess - Ru´ ıdo Impulsivo

Aplicacao NG VS OK VS0 21 21 21 211 4 4 2 32 4 4 3 43 4 4 4 54 4 5 4 65 5 5 5 6

Table 10: Erro M edio Quadr atico Low - Imagem chess - Ru´ ıdo impulsivo

Aplicacao NG VS OK VS0 12 12 12 121 12 11 4 52 14 13 7 63 15 14 10 74 15 15 13 85 15 15 15 9

Table 11: Erro M edio Quadr atico High - Imagem chess - Ru´ ıdo impulsivo

Aplicacao NG VS OK VS0 19 19 19 191 8 7 11 92 6 6 12 73 6 5 13 74 6 5 14 75 6 5 15 76 6 5 16 77 6 5 17 78 6 5 17 79 6 5 18 710 6 5 19 7

Table 12: Erro M edio Quadr atico - Imagem circulo - Ru´ ıdo gaussiano

Aplicacao NG VS OK VS0 22 22 22 221 5 5 6 52 4 5 7 53 4 5 9 54 4 5 10 55 4 5 11 56 4 5 12 57 4 5 13 58 4 5 14 59 4 5 14 510 4 5 15 5

Table 13: Erro M edio Quadr atico - Imagem circulo - Ru´ ıdo gaussiano

Iteracao VS NG OK KV0 19 19 19 191 8 7 8 82 5 5 6 63 5 4 5 54 5 4 5 55 5 4 4 46 5 4 4 47 5 4 4 48 5 4 3 39 5 4 3 3

Table 14: Imagem circulo - desvio padrao - ru´ ıdo gaussiano

Iteracao VS NG OK KV0 26 26 26 261 3 3 2 22 0 1 2 03 0 1 2 04 0 0 2 15 0 0 1 06 0 0 1 07 0 1 1 08 0 0 1 09 0 0 1 0

Table 15: Imagem circulo - desvio padrao - ru´ ıdo impulsivo

Conforme exposto anteriormente, o desvio padr˜ao deve ser utilizado em ´areas ho-mogeneas da imagem. Sendo assim, os valores de desvio padr˜ao sao referentes `a apenasumaarea da figura (neste caso, uma ´area de dimens˜ao 32X32 com in´ıcio nas coordenadas50,50), nao envolvendo bordas.Pelos dados obtidos, percebe-se novamente a maior efic´acia dos filtros em relac¸ao aotratamento de ru´ıdo impulsivo, sendo que praticamente todos os filtros obtiveram o valorde desvio padr˜ao igual a zero.E importante ressaltar que o desvio padr˜ao tem como intenc¸ao medir o poder deeliminacao dos elementos que s˜ao ruıdo, nao considerando o efeito do filtro sobre asbordas. Esta observac¸ao fica clara quando observa-se a Figura 35(d)(p. 36), que emboratenha resultado em um desvio padr˜ao igual a 1, trasformou o c´ırculo em um hex´agono (eum caso extremo... os outros filtros n˜ao tiveram este efeito).

Nıvel do ruıdo Tamanho da janela K RMS10 3 4 7

6 68 9

7 10 825 840 11

11 10 860 9110 22

25 3 4 156 118 12

7 10 1925 1440 13

11 10 2060 14110 22

55 3 4 306 228 20

7 10 3925 2840 19

11 10 4260 30110 24

70 3 4 366 268 24

7 10 4825 3540 21

11 10 5160 37110 26

100 3 4 486 358 33

7 10 6425 4740 27

11 10 6860 49110 30

Table 16: Erro M edio Quadr atico - Imagem chess - Diferentes n´ ıveis de ru´ıdogaussiano - Filtro K Vizinhos

Nıvel do ruıdo Tamanho da janela K RMS1,1 3 4 6

6 58 10

7 10 725 840 12

11 10 760 10110 22

6,4 3 4 76 68 13

7 10 1125 1040 12

11 10 1660 12110 23

20,15 3 4 166 138 23

7 10 2925 1840 16

11 10 4060 22110 25

20,20 3 4 216 178 26

7 10 3725 2240 18

11 10 4760 26110 27

30,40 3 4 386 308 37

7 10 6025 3640 27

11 10 7060 40110 33

Table 17: Erro M edio Quadr atico - Imagem chess - Diferentes n´ ıveis de ru´ıdo im-pulsivo - Filtro K Vizinhos

Nıvel do ruıdo Tamanho da janela K RMS10 3 4 6

6 208 32

7 6 4720 1845 54

11 10 6460 16110 66

25 3 4 116 248 48

7 6 5120 1845 63

11 10 7060 18110 72

55 3 4 226 418 84

7 6 6620 2345 91

11 10 8160 24110 93

70 3 4 276 498 99

7 6 7120 2645 104

11 10 8760 26110 105

100 3 4 376 668 126

7 6 8520 3145 128

11 10 9960 28110 127

Table 18: Erro M edio Quadr atico - Imagem chess - Diferentes n´ ıveis de ru´ıdogaussiano - Filtro Ordem k

Nıvel do ruıdo Tamanho da janela K RMS1,1 3 4 4

6 208 27

7 6 4820 2045 52

11 10 6460 16110 65

6,4 3 4 56 208 35

7 6 4920 2145 52

11 10 6660 16110 65

20,15 3 4 106 198 83

7 6 7820 2445 61

11 10 10660 21110 67

20,20 3 4 136 198 92

7 6 9420 2745 70

11 10 11060 24110 68

100 3 4 286 378 128

7 6 11220 3545 136

11 10 11160 30110 123

Table 19: Erro M edio Quadr atico - Imagem chess - Diferentes n´ ıveis de ru´ıdo im-pulsivo - Filtro Ordem k

Nıvel do ruıdo (� �) NG VS10 11 1225 15 1355 25 2170 29 24100 36 30

Table 20: Erro M edio Quadr atico - Imagem chess - Diferentes n´ ıveis de ru´ıdogaussiano

Nıvel do ruıdo NG VS1,1 11 106,4 13 12

20,15 19 1920,20 22 2230,40 32 31

Table 21: Erro M edio Quadr atico - Imagem chess - Diferentes n´ ıveis de ru´ıdo im-pulsivo

A seguir ser˜ao apresentados as conclus˜oes obtidas da an´alise do comportamentodos filtros para diferentes tipos de ru´ıdo e tamb´em utilizando diferentes parˆametros nocaso espec´ıfico dos filtros dos k vizinhos mais pr´oximos e da ordem k. Foi realizadaapenas uma iterac¸ao para cada tipo de filtro.E importante ressaltar que para estes parˆametros foi calculado apenas o RMS geral eapenas para a imagem chess. Os dados das tabelas 16 a 21 indicam os seguintes itens:

� o ruıdo impulsivoe tratado de maneira mais eficaz em todos os casos;� nos filtros de Nagao e da vizinhanc¸a seletiva quanto maior o n´ıvel de ru´ıdo maior

o RMS calculado. Isto era um resultado previs´ıvel, sendo que o tamanho da janelacontinua sendo o mesmo para todos os casos (isto ´e, como o ´unico parametroalteradoe o nıvel do erro, o RMS tende a ser maior);

� para o filtro de ordem k, o k-´esimo elemento que melhor apresentou resultadosem todos os casos ´e o elemento ”do meio”, representando desta forma o filtro damediana. Isto porque o princ´ıpio de funcionamento do filtro da mediana realmenterepresenta a melhor escolha de k, sendo ´e muito pouco prov´avel que um ru´ıdo sejaselecionado para substituic¸ao dopixel central. Esta caracter´ıstica foi abordadasucintamente na sec¸ao 2.2;

� no filtro de ordem k, quando o tamanho da janela e o n´ıvel de ru´ıdo aumentam, oRMS tende a ficar com valores mais baixos. No entanto a quantidade de c´alculosrealizada ´e muito superior. Desta forma, embora o RMS obtido seja menor, valea pena utilizar tamanhos maiores de janela apenas se a aplicac¸ao exigir o melhordesempenho poss´ıvel (como, por exemplo, em uma aplicac¸ao que busca identificarcelulas com anomalias em imagens m´edicas);

� o filtro dos k vizinhos mais pr´oximos nao apresentou um comportamento padr˜aode tal forma que se possa afirmar o valor de k para tamanhos de janela maiores quetres (considerando que para janelas de dimens˜ao 3x3 o valor de k sugerido pelaliteraturae 6). No entanto, observou-se que quanto maior o tamanho das janelas,

maior foi o valor do RMS (em praticamente todos os casos). Prefere-se no entantonao afirmar nada de forma geral (sendo que para tal seriam necess´arios estudosmais aprofundados), mas sim apenas que para a imagem chess, com os valores deruıdo determinados, n˜ao se justificaria a adoc¸ao de um tamanho de janela maiorque 3x3. Alem do valor do RMS ser crescente, a quantidade de c´alculos tamb´eme superior.

6. Imagens apos a aplicacao dos filtros

Embora tenham sido geradas uma grande quantidade de imagens, optou-se por apresentarapenas algumas delas. Para a imagem chess, para a qual foram realizadas cinco iterac¸oesde cada filtro, ser˜ao apresentadas as imagens resultantes da primeira e segunda iterac¸oes.Mesmo que os dados n˜ao estejam presentes nas tabelas anteriores, optou-se por mostraras imagens geradas pelo filtro da ordem k com k iguala 2 e kigual a 8, representando asoperac¸oes de eros˜ao e dilatac¸ao, respectivamente, com o intuito de veficar visualmente oefeito destas filtragens.As Figuras 30 e 31 apresentam, respectivamente, a primeira e segunda iterac¸ao para afiltragem da imagem com ru´ıdo gaussiano, e as Figuras 32 e 33 a primeira e segundaiteracao para filtragem da imagem com ru´ıdo impulsivo.Para a imagem c´ırculo foram realizadas dez iterac¸oes, e optou-se por mostrar as imagensresultantes ap´os a primeira e quinta iterac¸oes. As Figuras (34 e 35) e (36 e 37) apresentama primeira e quinta iterac¸ao dos filtros para as imagens com ru´ıdo gaussiano e impulsivo,respectivamente.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figure 30: Imagem chess - (a)Ru´ ıdo Gaussiano, (b)Vizinhanc ¸a seletiva, (c)Nagao,(d)Ordem k (k = 2, 5 e 8 ) e (e)K vizinhos (k = 4, 6, e 8). Primeiraaplicac ao

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figure 31: Imagem chess - (a)Ru´ ıdo Gaussiano, (b)Vizinhanc ¸a seletiva, (c)Nagao,(d)Ordem k (k = 2, 5 e 8 ) e (e)K vizinhos (k = 4, 6, e 8). Segundaaplicac ao

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figure 32: Imagem chess - (a)Ru´ ıdo Impulsivo, (b)Vizinhanc ¸a seletiva, (c)Nagao,(d)Ordem k (k = 2, 5 e 8 ) e (e)K vizinhos (k = 4, 6, e 8). Primeiraaplicac ao

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figure 33: Imagem chess - (a)Ru´ ıdo Impulsivo, (b)Vizinhanc ¸a seletiva, (c)Nagao,(d)Ordem k (k = 2, 5 e 8 ) e (e)K vizinhos (k = 4, 6, e 8). Segundaaplicac ao

(a) (b) (c)

(d) (g)

Figure 34: Imagem circulo - (a)Ru´ ıdo Gaussiano, (b)Vizinhanc ¸a seletiva,(c)Nagao, (d)Ordem k (k = 5) e (e)K vizinhos (k = 6). Primeira aplicac ¸ ao

(a) (b) (c)

(d) (g)

Figure 35: Imagem circulo - (a)Ru´ ıdo Gaussiano, (b)Vizinhanc ¸a seletiva,(c)Nagao, (d)Ordem k (k = 5) e (e)K vizinhos (k = 6). Quinta aplicac ¸ ao

(a) (b) (c)

(d) (g)

Figure 36: Imagem circulo - (a)Ru´ ıdo Impulsivo, (b)Vizinhanc ¸a seletiva, (c)Nagao,(d)Ordem k (k = 5) e (e)K vizinhos (k = 6). Primeira aplicac ¸ ao

(a) (b) (c)

(d) (g)

Figure 37: Imagem circulo - (a)Ru´ ıdo Impulsivo, (b)Vizinhanc ¸a seletiva, (c)Nagao,(d)Ordem k (k = 5) e (e)K vizinhos (k = 6). Quinta aplicac ¸ ao

7. Consideracoes sobre a implementac¸ao

Tendo em vista que a exposic¸ao de cada um dos c´odigos-fonte tornaria-se muito extensa,optou-se por apresentar uma esp´ecie de ”algoritmo” com os principais passos realizados.Os codigos-fonte est˜ao disponibilizados em anexo, e est˜ao devidamente comentados.O primeiro algoritmo discutido ser´a o filtro da vizinhanc¸a seletiva:

vizinhancaSeletiva(imagemEntrada, imagemSaida)imprimir informacoesImagemna imagemEntrada

encontrar janela 5x5na janela 5x5

encontrar subjanelas 3x3calcular vari ancias das subjanelas

na imagemSaidapixel central = m edia da subjanela com menor vari ancia

nagao(imagemEntrada, imagemSaida)imprimir informacoesImagemna imagemEntrada

encontrar janela 5x5na janela 5x5

encontrar 9 subjanelas 3x3calcular vari ancia da subjanela centralexcluir pontos (para formar os hex agonos e ospent agonos)

calcular vari ancias da subjanelas sem os pontosexclu ıdos

na imagemSaidapixel central = m edia da subjanela com menor vari ancia

ordemK(imagemEntrada, imagemSaida, tamanhoJanela, k- esimoElemento)imprimir informacoesImagemna imagemEntrada

encontrar janela de dimens ao tamanhoJanelana janela de dimens ao tamanhoJanela

ordenar os elementos em ordem crescentena imagemSaida

pixel central = k- esimoElemento da lista ordenada

kvizinhos(imagemEntrada, imagemSaida, tamanhoJanela,qtdeElementosSelecionar)

imprimir informacoesImagemna imagemEntrada

encontrar janela de dimens ao tamanhoJanelaencontrar os k elementos mais pr oximos do elementocentralcalcular a m edia dos k elementos selecionados

na imagemSaidasubstituir o pixel central pela m edia dos k elementosselecionados

rms(imagemEntrada, imagemProcessada, tamanhoJanela)imprimir informacoesImagemsomar a diferenc ¸a entre cada pixel da imagemEntrada emrelac ¸ ao a imagemProcessada, exceto as bordas (calculadasatrav es do tamanho da janela)calcular o erro ra ız m edia quadr aticaimprimir valor rms

rms2(imagemEntrada, imagemProcessada, imagemBinaria tamanhoJanela)imprimir informacoesImagemse valor no ponto da imagem bin aria e diferente de zero

somar a diferenc ¸a entre cada pixel da imagemEntrada emrelac ¸ ao a imagemProcessada, exceto as bordas (calculadasatrav es do tamanho da janela)calcular o erro ra ız m edia quadr atica

imprimir valor rms

desvioP(imagemEntrada)imprimir informacoesImagemna imagem

selecionar janela de dimensao 32x32 iniciando nascoordenadas (50,50)calcular o desvio padr ao desta janela

imprimir valor do desvio padr ao

prewitt2(imagemEntrada, imagemSaida)imprimir informacoesImagemna imagem

definir operador para a verticaldefinir operador para a horizontalaplicar operadores na imagemsomar a sa ıda da aplicac ¸ ao dos operadoresse a soma for maior que um limiar

ponto recebe valor 255senao

ponto recebe valor 0gravar imagemSaida

8. Conclusoes

Durante a apresentac¸ao dos dados, tanto em forma de gr´aficos quanto de tabelas, os prin-cipais resultados j´a foram abordados. Desta forma, esta conclus˜ao se limitara a apresentaruma s´ıntese destas conclus˜oes parciais.Um dos fatos observados ´e que todos os filtros trataram mais eficientemente o ru´ıdo dotipo impulsivo. Acredita-se que isto se deve a dois itens principais: a caracter´ıstica doruıdo e a caracter´ıstica do funcionamento dos filtros espaciais n˜ao-lineares.Isto porque ao mesmo tempo que o ru´ıdo impulsivo insere valores limite empixelsdaimagem, os filtros n˜ao-lineares buscam encontrar um valor que tenha uma certa relac¸aode homogeneidade (m´edia dos elementos da vizinhanc¸a, por exemplo) para substituir ovalor dopixel central. Ee de fato muito pouco prov´avel que um ”valor ru´ıdo” atenda aeste requisito.De acordo com J¨ahne (1993), os filtros lineares ´e que s˜ao mais eficientes no tratamentodo ruıdo gaussiano (pois que estes filtros n˜ao eliminam pixels que tiveram seus valoresdistorcidos, que ´e o que ocorre com o ru´ıdo impulsivo).Os filtros de forma geral foram mais eficientes para a imagem c´ırculo, do que para a im-agem chess, o que j´a era previsto. Isto porque por ser uma imagem sint´etica, ela possuiregioes com tons de cinza muito pr´oximos (ou at´e mesmo iguais), fato este que aliado `ascaracter´ısticas dos filtros implementados tornava o resultado previs´ıvel. A unica excec¸aofoi o filtro da ordem k, o qual obteve valores de RMS semelhantes para as duas imagens.Em relacao ao RMS (geral, High e Low), observou-se que em praticamente todos casosos filtros obtiveram o valor m´ınimo ja na primeira iterac¸ao.Na aplicac¸ao iterativa dos filtros, o principal ”contribuinte” para o RMS geral foi o RMSHigh, que refere-se ao erro em relac¸ao as regioes de alta freq¨uencia. Isto leva a concluirque mesmo degradando menos as bordas que os filtros lineares, os filtros n˜ao-linearesapresentam como dificuldade a preservac¸ao de bordas.No entanto, ´e fato que alguns algoritmos apresentaram um ´otimo desempenho na reduc¸aodo ruıdo e ao mesmo tempo na preservac¸ao das bordas, como foi o caso dos algoritmosda ordem k e dos k vizinhos mais pr´oximos no tratamento do ru´ıdo impulsivo na imagemchess (obtiveram um RMS High m´ınimo de 4 e 5,respectivamente).O calculo do desvio padr˜ao em uma amostra da imagem c´ırculo demonstrou novamentea maior eficacia dos filtros no tratamento do ru´ıdo impulsivo, sendo que todos os filtrosalcancaram o desvio padr˜ao igual a zero (exceto o da ordem k que atingiu desvio padr˜aomınimo de um). Ressalta-se, no entanto, que as bordas n˜ao foram consideradas nestaanalise espec´ıfica.Nos testes realizados com diferentes parˆametros (n´ıveis de ru´ıdo, tamanho da janela evalor de k, quando poss´ıvel) as duas principais conclus˜oes obtidas foram:

� para o filtro de ordem k, o k-´esimo elemento que melhor apresentou resultadosem todos os casos ´e o elemento ”do meio”, representando desta forma o filtro damediana;

� no filtro de ordem k, quando o tamanho da janela e o n´ıvel de ru´ıdo aumentam, oRMS tende a ficar com valores mais baixos. No entanto a quantidade de c´alculosrealizada ´e muito superior.E necess´ario uma avaliac¸ao da aplicac¸ao em quest˜aopara decidir se o custo computacional vale a pena;

� o filtro dos k vizinhos mais pr´oximos nao apresentou um comportamento padr˜aode tal forma que se possa determinar o valor de k (para janelas com dimens˜ao

maior que 3x3);� no entanto, observou-se que quanto maior o tamanho das janelas, maior foi o valor

do RMS (em praticamente todos os casos). Prefere-se no entanto n˜ao afirmar nadade forma geral (sendo que como n˜ao foi encontrado material referente ao assuntona literatura, seriam necess´arios estudos mais aprofundados para a conclus˜ao),mas sim apenas que para a imagem chess, com os valores de ru´ıdo determinados,nao se justificaria a adoc¸ao de um tamanho de janela maior que 3x3. Al´em dovalor do RMS ser crescente, a quantidade de c´alculos tamb´eme superior.

Finalmente, com base nos testes realizados, pode-se afirmar que:

� para a imagem chess, o filtro que melhor tratou o ru´ıdo gaussiano foi o dos kvizinhos mais pr´oximos. Para o ru´ıdo impulsivo, o filtro da ordem k atingiu omenor RMS (5), por´em durante as aplicac¸oes iterativas o filtro dos k vizinhosmais proximos se apresentou mais constante (enquanto este ´ultimo apresentou umRMS de 11 na quinta iterac¸ao, o primeiro apresentou RMS igual a 16). As mesmasclassificac¸oes foram apresentadas na an´alise do RMS High;

� na imagem c´ırculo, o ruıdo gaussiano foi tratado mais eficientemente pelo filtroda vizinhanc¸a seletiva. Entretanto, os algoritmos de Nagao e dos k vizinhos maisproximos tiveram um RMS muito semelhante ao primeiro (vizinhanc¸a seletivaficou com RMS em torno de 5, Nagao em torno de 6 e k vizinhos em torno de 7).Em relacao ao ru´ıdo impulsivo, o filtro de Nagao ficou com RMS em 4 (excetona primeira aplicac¸ao que ficou com 5), o da ordem k em 5 (todos os casos) e odos k vizinhos entre 5 e 6. Embora o filtro de Nagao seja o melhor classificado, ´eimportante analisar que os outros dois foram pr´oximos a ele.

E importante ressaltar que as conclus˜oes deste trabalho foram baseadas quando poss´ıvelna literatura dispon´ıvel. No demais, baseou-se nos testes realizados com as duas ima-gens especificadas. Neste ´ultimo caso, as conlus˜oes poderiam em casos espec´ıficos serdiferentes, como por exemplo, se fossem escolhidas outras imagens para teste.

9. Referencias

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GONZALEZ, Rafael C; WOODS, Richard E.Processamento de imagens Digitais. SaoPaulo. Edgard Blucher: 2000.

HUNG, Robin; YARKHAN, Asim. Parallel Processing for Multi-spectral Image Smoothing Filters. Disponıvel em http://www-jics.cs.utk.edu/research/hung.html

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LINDLEY, Craig A.. Practical Image Processing in C. John Wiley & Sons:1991.NIBLACK, Wayne.An Introduction to Digital Image Processing. Prentice Hall: 1986PRATT, Wlliam K.Digital Image Processing. New York. John Wiley & Sons[6]: 1991.QUENOT G.; COUTELLE C.; SEROT J.; ZAVIDOVIQUE C.Implementing Image

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