คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏรำไพพรรณ

Introduction To 2nd edition/2016

QUANTUM PHYSICS

ฟสกสเบองตนควอนตม and SPECIAL RELATIVITY

& สมพทธภาพพเศษ

ชวะ ทศนา

ควอนตมฟสกสเบองตนและสมพทธภาพพเศษINTRODUCTION TO QUANTUM PHYSICS AND SPECIAL RELATIVITY

ชวะ ทศนา

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลยมหาวทยาลยราชภฏรำไพพรรณ

2558

ควอนตมฟสกสเบองตนและสมพทธภาพพเศษ

ชวะ ทศนาปร.ด.(ฟสกสประยกต)

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลยมหาวทยาลยราชภฏรำไพพรรณ

2558

คำนำ

ตำราควอนตมฟสกสเบองตนและสมพทธภาพพเศษเลมน ผเขยนเรยบเรยงขนเพอใชเปนสวนหนงของการเรยนการสอนรายวชาฟสกสแผนใหมสำหรบนกศกษาหลกสตรครศาสตรบณฑต สาขาวชาฟสกสและสาขาวชาวทยาศาสตรท วไป นอกจากน ยงเหมาะสำหรบนกศกษา

สาขาวทยาศาสตรบรสทธรวมถงสาขาวทยาศาสตรประยกต เชน วศวกรรมศาสตร โดยมเนอหาประกอบดวย สมบตเชงอนภาคของคลนแมเหลกไฟฟา สมบตเชงคลนของอนภาคและสสาร สมการคลนชเรอดงเงอร บอศกยและกำแพงศกย และสมพทธภาพพเศษ ทงนผเรยบเรยง ไดหลกเลยงศพทหรอขอความททำใหเขาใจยาก แตจะเนนใหผเรยนเกดความรความเขาใจ ในรายวชาฟสกสแผนใหม

เนอหาทงหมดของตำราเลมน ผเขยนไดรวบรวมและเรยบเรยงจากตำราเรยนภาษาไทยและภาษาองกฤษ กอปรกบประสบการณท ไดจากการศกษาในมหาวทยาลยนเรศวรและ สถาบนเทคโนโลยพระจอมเกลาเจาคณทหารลาดกระบง ตลอดจนบรณาการจากประสบการณการสอนในรายวชาฟสกสแผนใหมและฟสกสสำหรบวศวกร 2 ในระดบปรญญาตร มหาวทยาลยราชภฏรำไพพรรณ นอกจากนแลวผเรยนควรไดศกษาเพมเตมจากเอกสารและหนงสอเลมอนๆ

ผเขยนหวงวาตำราเลมนคงอำนวยประโยชนตอการเรยนการสอนตามสมควร หากทานใดทนำไปใชมขอเสนอแนะ ผเขยนยนดรบฟงและขอขอบคณในความอนเคราะหนน ณ โอกาสน

ชวะ ทศนามกราคม 2558

สารบญ

หนา

คำนำ (1)สารบญ (3)สารบญภาพ (5)สารบญตาราง (9)บทท 1 สมบตเชงอนภาคของคลนแมเหลกไฟฟา 1

การแผรงสความรอน 1การเปลงรงส 2การแจกแจงพลงงานการแผรงสเชงสเปกตรม 3ทฤษฎแผนเดมของการแผรงสของวตถดำ 5กฎการแผรงสของพลงค 8ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก 16ปรากฏการณคอมปตน 24

บทท 2 สมบตเชงคลนของอนภาคและสสาร 37สมมตฐานของเดอ บรอยล 37การทดลองเพอยนยนสมมตฐานของเดอ บรอยล 42กลมคลน 50หลกความไมแนนอน 57

บทท 3 สมการชเรอดงเงอร 67สมการชเรอดงเงอรทขนกบเวลา 67ความหมายของฟงกชนคลน 70ฟงกชนคลนปกตและการนอรมอลไลซ 71สมการชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา 72ตวดำเนนการและคาคาดหมาย 74สมการชเรอดงเงอรในระบบพกดฉากสามมต 83

หนา

บทท 4 บอศกยและกำแพงศกย 97อนภาคอสระ 97อนภาคในบอศกยอนนต 101อนภาคในบอศกยจำกด 112กำแพงศกยและทนเนลลง 118ฮารมอนกออสซเลเตอร 128

บทท 5 สมพทธภาพพเศษ 135สมพทธภาพแผนเดม 135การทดลองของไมเคลสน - มอรเลย 141สมมตฐานของไอนสไตน 144การแปลงพกดแบบโลเรนตซ 145ความเรวเชงสมพทธ 150การหดสนของความยาว 154การยดของเวลา 159ความเปนเวลาเดยวกน 162ปรากฏการณดอปเปลอรของแสง 165มวลและโมเมนตมเชงสมพทธ 169กลศาสตรเชงสมพทธ 175

บรรณานกรม 185ภาคผนวก ก คาคงตวทสำคญทางฟสกส 187ภาคผนวก ข คำอปสรรค 189คำตอบสำหรบแบบฝกหดขอคำนวณ 191

(4)

สารบญภาพ

ภาพท หนา

1.1 แบบจำลองวตถดำ 21.2 สเปกตรมของการแผรงสของวตถดำทอณหภมตางๆ 41.3 ความหนาแนนพลงงานเชงสเปกตรมของการแผรงสจาก (ก) กฎของวน และ

(ข) กฎของเรยล-จนส 61.4 ความหนาแนนพลงงานเชงสเปกตรมของการแผรงสจากกฎของพลงค 101.5 การหาผลเฉลยของสมการดวยวธการเขยนกราฟ 141.6 แผนภาพแสดงการทดลองปรากฏการณโฟโตอเลกตรก 161.7 การเปลยนแปลงของกระแสโฟโตอเลกตรอน ตาม (ก) ความเขมแสง (ข) ความถ และ (ค) - (ง) ศกยไฟฟา 181.8 ความสมพนธระหวางพลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนกบความถของรงสตกกระทบ 211.9 ปรากฏการณการกระเจงของคอมปตน 251.10 การเลอนคอมปตนทมมกระเจง θ (ก) 0! (ข) 45! (ค) 90! และ (ง) 135! 27

2.1 การเลยวเบนของคลนแสงผานสลตเดยว 422.2 (ก) แบบจำลองการเลยวเบนของอเลกตรอนและ (ข) การเลยวเบนของรงสเอกซ 432.3 (ก) การเลยวเบนของอเลกตรอนผานผลกเบอรลเลยม และ (ข) การเลยวเบนของรงสเอกซผานผลกทองคำ 442.4 (ก) แผนภาพแสดงการทดลองของเดวสสนและเจอรเมอร และ (ข) ผลการทดลองเมอใชศกยไฟฟา 54 โวลต ลำอเลกตรอนทสะทอนออกมาจาก ผวของนเกลทำมม 50! กบมมตกกระทบ 45

2.5 การเลยวเบนของอเลกตรอนจากผวของผลกซงทำหนาทเปนเกรตตง 452.6 การเลยวเบนของนวตรอนทเขาชนกบผลกโซเดยมคลอไรด 462.7 การเลยวเบนของอนภาคโปรตอน 482.8 (ก) แผนภาพอปกรณทดลองการแทรกสอดและ (ข) รวการแทรกสอดของอเลกตรอน 49

(5)

ภาพท หนา2.9 (ก) แผนภาพแสดงการทดลองการแทรกสอดของนวตรอนผานสลตค และ (ข) รปแบบการแทรกสอดของนวตรอน 502.10 คลนในเสนเชอก 522.11 การซอนทบกนของคลนสองขบวนทมความถแตกตางกนเลกนอย 532.12 (ก) คลนไซนทอยในชวง −∞ ถง ∞ และ (ข) คลนพลส 57

2.13 การวดความยาวคลนของคลน (ก) กลมคลนทมความยาวคลนหนงลกคลน และ (ข) กลมคลนทประกอบดวยคลนจำนวน N ลกคลน 58

3.1 อนภาคถกกกอยในบรเวณ 0 ≤ x ≤ L 0 ≤ y ≤ L และ 0 ≤ z ≤ L 86

3.2 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน เมอ (nX ,nY ,nZ ) (ก) (2,1,1)

(ข) (1,2,1) และ (ค) (1,1,2) 89

3.3 ระดบพลงงานและดเจนเนอเรซ 903.4 ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในบรเวณ 0 ≤ x ≤ L 4 91

4.1 อนภาคในบอศกยอนนตหนงมตทมความกวาง L 101

4.2 ระดบพลงงานของอนภาคในบอศกยอนนตหนงมต 1044.3 (ก) ลกษณะของฟงกชนคลนของอนภาคในนบอศกยอนนตหนงมตทมความกวาง และ (ข) โอกาสทจะพบอนภาคทระดบพลงงานตำสดสามระดบแรก 1084.4 อนภาคในบอศกยหนงมตทกำแพงทงสองขางมพลงงานศกยคงตว U0 112

4.5 (ก) ฟงกชนคลน และ (ข) โอกาสทจะพบอนภาคในบอศกยจำกด 1144.6 กำแพงศกยสง U0 กวาง L 118

4.7 สมประสทธการทะลผานเขาไปในกำแพงศกย 1274.8 (ก) ความนาจะเปนของความหนาแนนของฟงกชนคลนฮารมอนกในสถานะพน ทมจดวกกลบเปน x = ±x0 และ (ข) ระดบพลงงานของฮารมอนกออสซเลเตอร 130

5.1 ผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย ′O ซงเคลอนทสมพทธกบกรอบอางองเฉอย O ดวยความเรว u

! กำลงสงเกตเหตการณเดยวกน 136

(6)

ภาพท หนา

5.2 เหตการณทจด P ทวดจากกรอบอางองเฉอย ′O มพกดเปน ′x , ′y , ′z และ

ในกรอบอางองเฉอย O จะวดพกดไดเปน x = ′x +ut y = ′y และ z = ′z 137

5.3 (ก) ผสงเกตการณหยดนงอยในกรอบอางองเฉอย O และ (ข) ผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย ′O ในรถยนต B 140

5.4 แผนภาพแสดงการทดลองของไมเคลสนและมอรเลย 1415.5 (ก) ไมเคลสนอนเตอรเฟอโรมเตอร และ (ข) รวการแทรกสอด 1445.6 อนภาค A และ B เคลอนทสมพทธกนดวยอตราเรว 0.95c 151

5.7 กระสวยอวกาศเคลอนทสมพทธกบมสไซล 1525.8 การเคลอนของวตถดวยอตราเรวสมพทธกนในสองมต 1535.9 การหดสนของวตถทกำลงเคลอนทสมพทธกบผสงเกตการณ ดวยอตราเรว u 155

5.10 ตวอยางการหดสนของวตถในทศทางเดยวกบการเคลอนท 1555.11 วตถทรงลกบาศก (ก) หยดนง และ (ข) เคลอนทดวยอตราเรว 1575.12 วตถขนาด L0 ทำมม 45! กบทศทางการเคลอนท 158

5.13 การยดของเวลา 160

5.14 ความเปนเวลาเดยวกน 162

5.15 ปรากฏการณดอปเปลอรของคลน 165

5.16 การสงเกตการชนกนของวตถในกรอบอางองเฉอย O และ ′O 170

5.17 การเปลยนแปลงของ (ก) มวลและ (ข) โมเมนตมตามความเรวของการเคลอนท 172

5.18 แผนภาพเวกเตอรในสมพทธภาพ 175

(7)

(8)

สารบญตาราง

ตารางท หนา

1.1 ผลเฉลยของสมการ 5x4 (ex −1)− x5ex = 0 15

1.2 เวรคฟงกชนของโลหะบางชนด 203.1 ปรมาณในกลศาสตรแผนเดม ตวดำเนนการทางกลศาสตรควอนตมและ คาคาดหมายในระบบพกดฉากหนงมต 754.1 ระดบพลงงานควอนไตซของอเลกตรอนทอยภายในบอศกยอนนตและบอศกยจำกด ทมศกยไฟฟา 25 อเลกตรอนโวลต ความกวาง 0.50 นาโนเมตร 1174.2 พลงงานของอเลกตรอน E ความสง U0 และความกวาง L ของกำแพงศกย

และโอกาสทอเลกตรอนจะทะลผานกำแพงศกย T 125

5.1 สมการการแปลงโลเรนตซและการแปลงโลเรนตซผกผน 148

(9)

(10)

บทท 1สมบตเชงอนภาคของคลนแมเหลกไฟฟา

เอกสารบทนเราจะอธบายเกยวกบการแผรงสของวตถดำ ปรากฏการณโฟโตอเลกตรกและปรากฏการณคอมปตนโดยใชกฎและทฤษฎทงในทางฟสกสแผนเดมและทางฟสกสควอนตม ทงนแมวาการศกษาปรากฏการณการแทรกสอด การเลยวเบนและโพลาไรเซชนของแสงไดนำไปส การพฒนาทฤษฎเชงคลนของแสงโดยมการอภปรายถงพฤตกรรมเชงคลนของแสงกนมากขนและ

มการทดลองจำนวนมากทสามารถยนยนไดวาแสงเปนคลนแมเหลกไฟฟาแลวกตาม แตถงกระนนความรความเขาใจเกยวกบการแผรงสและการดดกลนรงสของวตถกยงคงเปนสงเขาใจไดยาก แตความยงยากบางสวนกไดรบการปรบแกโดยพจารณาวาโครงสรางของวตถประกอบไปดวย

อะตอมทอเลกตรอนมการสนภายใตอทธพลของสงเราภายนอก กลาวคอถามคลนแมเหลกไฟฟามาตกกระทบอะตอมจะสงผลใหอเลกตรอนเกดการสนแลวรงสคลนแมเหลกไฟฟาทแผออกมานน

จะมความถเทากบความถของคลนแมเหลกไฟฟาทมาตกกระทบ

เนองจากการศกษาการแผรงสของวตถดำโดยใชทฤษฎในฟสกสแผนเดมไมสามารถ

อธบายผลการทดลองไดทงหมด แตในป ค.ศ. 1901 แมกซ พลงค ไดนำแนวคดใหมมาอธบายการแผรงสของวตถดำโดยการอธบายพลงงานในรปของควอนตม ซงเราจะกลาวถงละเอยดตอไป

การแผรงสความรอน

ชวงปลายศตวรรษท 19 ทฤษฎแมเหลกไฟฟาเปนทยอมรบและถอวาเปนทฤษฎพนฐาน ในการอธบายการแผรงสเพราะสามารถอธบายการแผรงสของวตถไดประสบผลสำเรจเปนอนมาก แตอยางไรกตามนกฟสกสพบวามปรากฏการณบางอยางททฤษฎในฟสกสแผนเดมไมสามารถ

อธบายได อาทเชน (1) เสนสเปกตรมทสสารในสถานะกาซปลดปลอยออกมา (2) การปลดปลอยอเลกตรอนของโลหะเมอมคลนแสงทความถสงมาตกกระทบหรอปรากฏการณโฟโตอเลกตรก และ (3) การกระจายตวของพลงงานสเปกตรมของวตถดำ ดงนนการอธบายปรากฏการณตางๆ ดงกลาวจงจำเปนตองมแนวคดเกยวกบการแผรงสของวตถและโครงสรางของวตถทแตกตาง ไปจากแนวคดเดมซงมองวาแสงมสมบตเปนคลน โดยใชแนวคดวา แสงมสมบตเปนอนภาค ดงนนการแผรงสของวตถจงอธบายไดวาเกดจากกลมอนภาค ทเรยกวา ควอนตา (Quanta)

การเปลงรงส

วตถทกชนดท มอณหภมสงกวาศนยองศาสมบรณจะมการแผรงสความรอนออกมา ซงพลงงานของรงสทแผออกมานนจะขนอยกบองคประกอบและอณหภมของวตถนนๆ ในขณะทความหนาแนนพลงงานและลกษณะของเสปกตรมของรงสทวตถดำ (black body) ปลดปลอยหรอแผออกมานนจะขนอยกบอณหภมเทานน ดงนนจงสามารถเรยกการแผรงสของวตถดำวา การแผรงสความรอน (thermal radiation)

ภาพท 1.1 แสดงแบบจำลองของวตถดำในอดมคตซงมลกษณะเปนโพรงกลวงมรเลกๆ เมอมรงสผานเขาไปภายในโพรงกลวงดงกลาวรงสจะเกดการสะทอนไป–มา ภายในโพรงกลวง โดยการสะทอนแตละครงนนพลงงานบางสวนของรงสจะถกผนงของโพรงกลวงดดกลนเอาไว จนมพลงงานมากพอคาหนงกจะปลดปลอยออกมาในรปของรงสความรอน

ภาพท 1.1 แบบจำลองวตถดำ (Kenneth Krane, 2012, 82)

พลงงานตอหนงหนวยเวลาหรอกำลงของการแผรงสตอหนงหนวยพนทของวตถดำ ในทกทศทาง (ภายใตมมตน 2π ) นน เรยกวา การเปลงรงส (radiant emittance ; R ) ซงรงสทวตถดำปลดปลอยออกมานนจะประกอบไปดวยคลนแมเหลกไฟฟาทมความถ (ความยาวคลน) ทแตกตางกน โดยจะเรยก กำลงทหนงหนวยพนของวตถดำปลดปลอยออกมาภายใตความถ ในชวง dυ (ความยาวคลนในชวง dλ ) วา การเปลงรงสเชงสเปกตรม (spectral radiant emittance) Eυ หรอ Eλ ดงนนจะได

R = Eυ0

∞

∫ dυ หรอ R = Eλ0

∞

∫ dλ (1.1)

การเปลงรงสเชงสเปกตรม E(υ,T ) หรอE(λ,T ) เปนฟงกชนของความถ(ความยาวคลน)

และอณหภม ดงนนการเปลงรงสเชงสเปกตรมจงเปนการแผรงสความรอน

2

ทงนการแผรงสของวตถดำเปนลกษณะเฉพาะของความหนาแนนพลงงานเชงสเปกตรม u(υ,T ) หรอ u(λ,T ) ดงนน ความหนาแนนพลงงานรวม u(T ) ณ อณหภม T สำหรบทกๆ

ความถหรอความยาวคลน จงหาไดจาก

u(T ) = u(υ,T )0

∞

∫ dυ (1.2)

และ

u(T ) = u(λ,T )0

∞

∫ dλ (1.3)

เนองจากวตถดำแผรงสทมความเขมเทากนในทกทศทาง ดงนน การแผรงส (radiance)

จงเปน Le =Eν

4π และจาก Eυ = cu(T ) เมอ c คออตราเรวของการแผรงส ดงนนจะได

Le = 14π

cu(T ) (1.4)

เมอความสมพนธระหวางการเปลงรงสและการแผรงสเปน R=πLe ดงนนในทกๆ ความถ υ

หรอทกๆ ความยาวคลน λ จงมพลงงานการแผรงส R เปน

R = c4

u(υ,T )0

∞

∫ dυ (1.5)

และ

R = c4

u(λ,T )0

∞

∫ dλ (1.6)

การแจกแจงพลงงานการแผรงสเชงสเปกตรม

นกสเปกโตรสโคปผเชยวชาญชาวเยอรมนจำนวนสคนประกอบดวย ลมเมอร (Lummer) พรงซม (Pringsheim) รเบนส (Rubens) และคารลบม (Karlbaum) ไดทำการทดลองการแผรงสความรอนของวตถดำโดยใชสเปกโตรกราฟชนดพเศษในการวดสเปกตรมความหนาแนนพลงงาน

ของวตถทอณหภมตาง ๆ แลวนำมาเขยนเปนกราฟความสมพนธของความหนาแนนของพลงงานกบความยาวคลนทอณหภมใดๆ ไดดงภาพท 1.2 ซงสามารถสรปไดดงน

3

1) เมออณหภมคงตวคาหนงๆ ความหนาแนนพลงงานเชงสเปกตรมจะมคาเพมขนตามความยาวคลนและเพมขนจนมคามากทสด จากนนจะลดลงจนเปนศนยทความยาวคลนมากๆ

2) เมออณหภมเพมขน ความยาวคลนสงสด (λmax ) ทสอดคลองกบความหนาแนน

พลงงานเชงสเปกตรมสงสดจะเปนปฏภาคกบอณหภม กลาวคอพคสงสดของความหนาแนน

พลงงานจะเลอนไปทางดานความยาวคลนทสนกวา นนคอ λmax α 1Tหรอ λmaxT = b

เมอ b คอคาคงตว ซงจากการทดลองของวน พบวา b = 2.898 ×10−3 m ⋅K ดงนนจะได

λmaxT = 2.898 ×10−3 m ⋅K (1.7)

3) ความหนาแนนพลงงานรวม u ของทก ๆ ความยาวคลนจะมคาเทากบพนทเสนโคง ทเปนสดสวนโดยตรงกบกำลงสของอณหภมสมบรณ นนคอ

R = c4

u(λ,T )0

∞

∫ dλ = σT 4 (1.8)

เมอ σ เปนคาคงตว และเรยกสมการ (1.8) วา กฎของสเตฟาน (Stefan’s law)

ภาพท 1.2 สเปกตรมของการแผรงสของวตถดำทอณหภมตางๆ(Serway & Jewelt, 2014, 1235)

4

0 1 2 3 4

ความหนาแนนพลงงาน u(λ)

ความยาวคลน λ (µm )

ทฤษฎแผนเดมของการแผรงสของวตถดำ

ครสตศกราช 1893 วลเฮลม วน (Wihelm Wein, 1864- 1928) นกฟสกสชาวเยอรมน ไดนำกฎทางอณหพลศาสตร (thermodynamics) มาอธบายความหนาแนนพลงงานการแผรงสของวตถดำ และสามารถตงเปนกฏเรยกวา กฎของวน (Wein’s law)

u(λ,T )dλ = C1

4e−C2λT dλ (1.9)

เมอ C1 และ C2 เปนคาคงตวทไดจากการทดลอง อยางไรกตามกฎของวนสามารถอธบาย

การแผรงสของวตถไดดเฉพาะในชวงความยาวคลนสนเทานน ดงแสดงในภาพท 1.3 (ก)นอกจากน วนยงคนพบความสมพนธระหวางความยาวคลนสงสด λmax กบอณหภม T

ซงเรยกวา กฎการกระจดของวน (Wein’s displacement law) นนคอ

λmaxT = 2.898 ×10−3 m ⋅K (1.10)

ลอรดเรยล (Lord Rayleight; 1842-1919) และเจมส จนส (Jame Jeans, 1877-1946) นกฟสกสชาวองกฤษไดพยายามสรางกฎขนมาเพอใชในการอธบายการแผรงสโดยตงสมมตดงน

1) การแผรงสในโพรงกลวงเปนคลนแมเหลกไฟฟาโดยจะพจาณาวาเปนโพรงโลหะท ผนงสามารถสะทอนรงสไดอยางสมบรณและรงสสะทอนไป-มาอย ในโพรงเปนคล นน ง (standing waves) ทมบพ (node) อยทผนงดานในของโพรงโลหะโดยมจำนวนคลนนง หรอโหมดตอหนงหนวยปรมาตรในชวงความถ υ ถง dυ เปน

N(υ)dυ = 8πυ 2

c3 dυ (1.11)

และจาก υ = cλ

จะได dυ = cλ 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dλ ดงนน

N(λ)dλ = 8πλ 4 dλ (1.12)

5

2) ทฤษฎการแบงเทากนของพลงงานคลนแมเหลกไฟฟาจะมพลงงานเฉลยของระบบเปน

ε = 12kBT เมอ T คอ อณหภมของระบบ และ kB คอ คาคงตวของโบลตซมนน

เนองจากคลนนงภายในระบบเปนคลนแมเหลกไฟฟาประกอบดวยสนามแมเหลกและสนามไฟฟา ดงนนพลงงานเฉลยของแตละโหมดของคลนนงจงมคาเทากบ kBT และความหนาแนนพลงงาน

ของการแผรงสในชวง υ ถง υ+dυ ของโพรงกลวงทอณหภมใดๆ จงมเปน

u(υ,T )dυ = 8πυ 2

c3 kBTdυ (1.13)

และความหนาแนนพลงงานในเทอมความยาวคลน เขยนไดเปน

u(λ,T )dλ = 8πλ 4 kBTdλ (1.14)

สมการ (1.13) และ (1.14) จะใชไดดเฉพาะความถตำ ๆ (หรอความยาวคลนสงๆ) เทานน ดงภาพท 1.3 (ข) จะเหนไดวา ความหนาแนนพลงงานในชวงความยาวคลนสงมผลใกลเคยงกบการทดลอง ในขณะทชวงความยาวคลนตำๆ (เชน รงสอลตราไวโอเลต รงสเอกซและรงสแกมมา) ผลคำนวณทไดจากสตรของเรยล-จนสในสมการ (1.11) เมอ λ → 0 จะทำให u(λ,T )→∞

ซงขดแยงกบคา u(λ,T ) ทไดการทดลองซงมคาแนนอนและมคาเปนศนยท λ = 0 เทานน

(ก) (ข) ภาพท 1.3 ความหนาแนนพลงงานเชงสเปกตรมของการแผรงสจาก (ก) กฎของวน และ(ข)กฎของเรยล-จนส

6

ความหนาแนนพลงงาน u(λ)

ความยาวคลน λ

วน

ความหนาแนนพลงงาน u(λ)

ความยาวคลน λ

เรยล-จนส

ตวอยางท 1.1 จงหาความยาวคลนจากการแผรงสของ ก) ผวของมนษยทอณหภม 35 องศาเซลเชยส ข) พนผวดวงอาทตยซงมอณหภม 5800 เคลวน ค) ใสหลอดไฟฟาททำจากทงสเตนทมอณภม 2000 เคลวน

วธทำ กฎการกระจดของวน λmaxT = 2.898 ×10−3 m ⋅K

ก) ผวของมนษยทอณหภม 35 องศาเซลเชยส จาก T (K ) = 273 + T (C) จะได T (K ) = 273 + 35 = 308K

ดงนน λmax = 2.898 ×10−3m ⋅K 308K

= 9.41×10−6 m = 9.41µm

การแผรงสในยานอนฟาเรด ไมสามารถมองเหนไดดวยตาเปลา

ข) ดวงอาทตยอณหภม 5800 เคลวน

λmax = 2.898 ×10−3m ⋅K 5800K

= 5.0 ×10−7 m

= 500 nm

การแผรงสในชวงกลางของยานทมองเหนไดดวยตาเปลาของมนษย ในชวงสเหลอง-เขยว

ค) ใสหลอดไฟฟาททำจากทงสเตนทมอณภม 2000 เคลวน

λmax = 2.898 ×10−3m ⋅K 2000K

= 1.45 ×10−6 m

= 1.45µm

การแผรงสในยานอนฟาเรด ไมสามารถมองเหนไดดวยตาเปลา

7

กฎการแผรงสของพลงค

เนองจากทฤษฎของวนและเรยล-จนส ลมเหลวในการอธบายการแผรงสของวตถดำ ดงนน แมกซ พลงค (Max Plank, 1858- 1947) นกฟสกสชาวเยอรมน จงไดเสนอแนวคดวาผนงของโพรงกลวงนาจะประกอบดวยออสซเลเตอรจำนวนมากซงในสภาวะสมดลออสซเลเตอรจะมอตรา

การดดกลนและการคายรงสเทากบอตราการแผรงส ทงนพลงคไดตงสมมตฐานวาออสซเลเตอรไดรบพลงงานทไมตอเนอง เรยกวา โฟตอน (Photon) โดยพลงงานของแตละโฟตอน จะเปนสดสวนโดยตรงกบความถของการแผรงส นนคอ

ε = hυ = !ω (1.15)

เมอ != h

2π โดยท h ≈ 6.626 ×10−34 จล-วนาท และ ω = 2πυ

เนองจากออสซเลเตอรสามารถดดกลนโฟตอนไดทงหมด ดงนนออสซเลเตอรจงมพลงงานเปน 0, ε , 2ε ,..., nε หรอ 0, hυ, 2hυ,..., nhυ เมอ N0, N1, N2,..., Nn คอจำนวน

ออสซเลเตอรทมพลงงานเปน 0, ε , 2ε ,..., nε ดงนนจำนวนออสซเลเตอรรวม N และ

พลงงานรวม E จงมคาเปน

N = N0 + N1 + N2 + N3 + ...+ Nn = Nnn=0

∞

∑ (1.16)

และ E = 0N0 + εN1 + 2εN2 + ...+ nNn = nεNnn=0

∞

∑ (1.17)

เนองจากจำนวนโหมดของคลนนงในโพรงกลวงจะเทากบจำนวนออสซเลเตอรของผนง

และพลงงานเฉลยตอโหมดของคลนนงจะมคาเทากบพลงงานเฉลยของออสซเลเตอร และ จากสถตของแมกซเวลล-โบลตซมนนจำนวนพลงงานของออสซเลเตอรจะเปนสดสวนโดยตรงกบ

แฟกเตอร exp − εkBT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ดงนนจำนวนออสซเลเตอรทมพลงงาน nε จงหาไดจาก

Nn = Ce− nεkBT (1.18)

เมอ C คอคาคงตว จะไดพลงงานเฉลยของออสซเลเตอรจงเปน

8

ε = EN

= nεEn

n

∞

∑

e− nεkBT

n

∞

∑ =

nεe− nεkBT

n

∞

∑

e− nεkBT

n

∞

∑

ε = n!ωe

− nεkBT

n

∞

∑

e−n!ωkBT

n

∞

∑ (1.19)

กำหนดให x = !ω

kBT= hυ

kBT ดงนนสมการ (1.19) จงเขยนไดเปน

ε = !ωne-nx

n

∞

∑

e-nxn

∞

∑ = hf

ne-nxn

∞

∑

e-nxn

∞

∑ (1.20)

จาก ddx

lnF(x) = 1F(x)

ddxF(x) และ 1

1− x = 1+ x + x2 + .... จะได

ε = − hυ ddx

ln e-nxn

∞

∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − hυ ddx

ln 1+ e− x + e−2x + e−3x + ...( )⎡⎣ ⎤⎦

= − hυ ddx

ln 11+ e− x

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − hυ ddx

ln 1− e− x( )

= hυ e− x

1− e− x⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= hυ 1ex −1

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

9

ดงนน พลงงานเฉลยของออสซเลเตอรจงเปน

ε = hυ

ehυkBT −1

(1.21)

และจะมจำนวนออสซเลเตอรในชวงความถ υ ถง υ+dυ เทากบ

N(υ)dυ = 8πυ 2

c3 dυ (1.22)

ดงนน จะไดความหนาแนนของพลงงาน u(υ,T ) ในชวงความถ υ ถง υ+dυ เปน

u(υ,T )dυ = 8πυ 2

c3hυ

ehυkBT −1

dυ (1.23)

และจะไดความหนาแนนพลงงานในเทอมของความยาวคลน λ เปน

u(λ,T )dλ = 8πhcλ 5

1

ehc

λkBT −1dλ (1.24)

เรยกสมการ (1.23) และ (1.24) วา กฎการแผรงสของพลงค (Plank’s radiation laws)

ภาพท 1.4 แสดงใหเหนวา คาความหนาแนนพลงงานทไดจากกฎการแผรงสของพลงค มคาสอดคลองกบคาจากการทดลอง

ภาพท 1.4 ความหนาแนนพลงงานเชงสเปกตรมของการแผรงสจากกฎของพลงค

10

ความหนาแนนพลงงาน u(λ)

ความยาวคลน λ

กฎของพลงค

การทดลอง

ถา h เขาใกลศนย (h→ 0) แลวสมการ (1.21) จะเขยนไดเปน

ε = limh→0

hυ

ehυkBT −1

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= limh→0

hυ

1+ hυkBT

+ 12

hυkBT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ ...⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−1

= limh→0

hυhυkBT

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

ดงนน เมอ h→ 0 จะไดพลงงานเฉลยของออสซเลเตอรจงเปน

ε = kBT (1.25)

คาเฉลยของพลงงานออสซเลเตอรมคา kBT เทากบคาทคำนวณจากทฤษฎทางฟสกสแผนเดม

นอกจากนแลว กฎการแผรงสของพลงคยงเปลยนรปสมการไปเปนกฎของเรยล-จนส และกฎของวน ไดอกเชนกน เมอรงสทวตถปลดปลอยออกมามความยาวคลนตางๆ ดงน

ถารงสทวตถปลดปลอยออกมามความถตำ (ความยาวคลนสง) จะทำให hυkBT

≪ 1

แลวกฎการแผรงสของพลงคจะมรปแบบของสมการเปนกฎของเรยล-จนส นนคอ

จาก u(υ,T )dυ = 8πυ 2

c3hυ

ehυkBT −1

dυ

จะได u(υ,T )dυ = 8πυ 2

c3hυ

1+ hυkBT

+ 12

hυkBT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ ...⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−1

dυ

= 8πhυ 3

c3kBThυ

dυ

นนคอ

u(υ,T )dυ = 8πυ 2

c3 kBTdυ (1.26)

11

ถารงสทวตถปลดปลอยออกมามความถสง (ความยาวคลนสน) นนคอ

hυkBT

≫ 1

แลวกฎการแผรงสของพลงคจะมรปแบบของสมการเปนกฎของวน

จาก u(υ,T )dυ = 8πυ 2

c3hυ

ehυkBT −1

dυ จะได

u(υ,T )dυ = 8πhυ 3

c3 e− hυkBT dυ (1.27)

และจาก c = λυ จะได dυ = cλ 2 dλ ดงนน

u(λ,T )dλ = 8πhcλ 5 e

− hcλkBT dλ (1.28)

เมอให C1 = 8πhc และ C2 = − hckB

แลวสมการ (1.28) จะสอดคลองกบกฎของวน

u(λ,T )dλ = C1

λ 5 e−C2λT dλ (1.29)

นอกจากนแลวกฎของพลงคยงสามารถเปลยนรปแบบของสมการไปเปนกฎของสเตฟาน

และกฎการกระจดของวนไดอกเชนกน ดงนจากพลงงานของรงสทกความยาวคลนทวตถดำ

ปลดปลอยออกมาตอหนงหนวยพนทตอหนงหนวยเวลา R = cu4

จะได

R = c4

u(υ,T )dυ0

∞

∫

= 2πhυ 3

c21

ehυkBT −10

∞

∫ dυ (1.30)

12

เมอกำหนดให x = hυkBT

แลว dυ = kBThdx ดงนนสมการ (1.30) จงเขยนไดเปน

R = 2πhc2

kBTh

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 x3

ex −10

∞

∫ dx

= 2πhc2

kBTh

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 π 4

15⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 2π 5kB4

15h3c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟T 4

เมอกำหนดให σ = 2π 5kB4

15h3c2 = 5.67 ×10−8 Wattm2 ⋅K4 จะได

R = σT (1.31)

กฎการแผรงสของพลงคสามารถเปล ยนรปแบบสมการเปนกฎการกระจดของวนได

เมอ λmax มความสมพนธกบความหนาแนนของพลงงานสงสด ดงสมการ ddλ

u(λ,T ) = 0

ddλ

8πhcλ 5

1

ehc

λkBT −1

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥λ=λmax

= 0 (1.32)

กำหนดให x = hcλkBT

ในสมการ (1.32) จะได

ddλ

8πk5BT

5

h4c4x5

ex −1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 0 (1.33)

เนองจาก 8πk5BT

5

h4c4เปนคาคงตวทไมเทากบศนย ดงนนเราจงสามารถจดรปสมการ (1.33)

ไดเปน 8πk5BT

5

h4c4ddλ

x5

ex −1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dxdx

= 0 ซงจะได ddx

x5

ex −1⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dxdλ

= 0

13

5x4 (ex −1)− x5ex

(ex −1)2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dxdλ

= 0 (1.34)

เนองจาก dxdλ

≠ 0 ดงนนสมการ (1.34) จะเปนจรงกตอเมอ 5x4 (ex −1)− x5ex = 0 นนคอ

1− e− x = x5

(1.35)

เราสามารถหาผลเฉลยของสมการ (1.35) ไดดวยการเขยนกราฟโดยกำหนดให y1 = 1− e− x

และ y2 = x5

ดงภาพท 1.5 เราจะเหนไดวา y1 และ y2 ตดกนท x ≈ 4.96 นนแสดงวา

hcλmaxkBT

= 4.96 ดงนน

λmaxT = hc4.96kB

(1.36)

เมอแทน h = 6.626 ×10−34 J ⋅s และ kB =1.380 ×10−23 JKลงในสมการ (1.36) แลวจะได

hc4.96kB

≈ 2.90 ×10−8 m ⋅K ซงใกลเคยงกบคาคงตวของวน 2.898 ×10−3 m ⋅K

ภาพท 1.5 การหาผลเฉลยของสมการดวยวธการเขยนกราฟ

14

0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

y2 =x5

y1 = 1− e− x

x ≈ 4.96

x

y

ตารางท 1.1 ผลเฉลยของสมการ 5x4 (ex −1)− x5ex = 0

x y1 = 1− e− x y2 = x 5

4.90 0.993 0.9804.92 0.993 0.9844.94 0.993 0.9884.96 0.993 0.9924.98 0.993 0.9965.00 0.993 1.0005.02 0.993 1.004

ตารางท 1.1 แสดงผลการคำนวณ y1 และ y2 ซงจะเหนไดวาท x = 4.96 นนคาของ

y1 และ y2 นนใกลเคยงกนมากกวาคาทไดจาก x อนๆ

ตวอยางท 1.2 จงหาพลงงานเฉลยออสซเลเตอรของพลงค เมอ hυkBT

เทากบ 0.01 0.10

1.0 และ 10 ตามลำดบ

วธทำ จาก ε = hυehυ kBT −1

= hυ kBTehυ kBT −1

kBT ดงนนเมอ

hυkBT

= 0.01 จะได ε = 0.01e0.01 −1

kBT = kBT

hυkBT

= 0.10 จะได ε = 0.10e0.10 −1

kBT = 0.95kBT

hυkBT

= 1.0 จะได ε = 1.0e1.0 −1

kBT = 0.58kBT

hυkBT

= 10 จะได ε = 10e10 −1

kBT = 0.00045kBT

15

ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก ปรากกฎการณโฟโตอเลกตรก (Photoelectric Effect) คอ การปลดปลอยอเลกตรอน

ของโลหะเมอมแสงตกกระทบทผวของโลหะปรากฏการณโฟโตอเลกตรกถกคนพบในปค.ศ. 1887 โดยนกฟสกสชาวเยอรมน เฮนรซ เฮรซ (Heinrich Hertz , 1857-1894) ซงไดทำการศกษา ทดลองเกยวกบคลนแมเหลกไฟฟา แตอยางไรกตามเฮรซกไมสามารถอธบายปรากฏการณ ดงกลาวไดโดยใชทฤษฎความเปนคลนของแสง

1 การทดลองปรากฏการณโฟโตอเลกตรกการศกษาปรากฏการณโฟโตอเลกตรกอยางาย ๆ สามารถทำไดแสดงในดงภาพท 1.6

เครองมอประกอบดวยหลอดแกวสญญากาศทมชองกระจกควอตซสำหรบรบแสงและมขวโลหะ

สองขวคอขวแอโนดและขวแคโทด ขวโลหะทงสองจะตอกบขวบวกและขวลบของแบตเตอร E เมอมแสงตกกระทบทขวแคโทดจะทำใหอเลกตรอนจำนวนหนงหลดออกมาจากขวแคโทดและ

เคลอนทไปยงขวแอโนด โดยจะเรยกอเลกตรอนดงกลาววา โฟโตอเลกตรอน (Photoelectron)

ภาพท 1.6 แผนภาพแสดงการทดลองปรากฏการณโฟโตอเลกตรก

16

แสง

แอโนด แคโทด

โฟโตอเลกตรอน

แอมมเตอร

A

โวลตมเตอร

R E

สวทซสลบขว

V

เราสามารถตรวจวดกระแสไฟฟาทเกดจากการเคลอนทของอเลกตรอนทหลดออกมาจาก

ขวแคโทดไปยงขวแอโนดไดโดยใชแอมมเตอรและวดศกยไฟฟาโดยใชโวลตมเตอร ทงนสามารถสรปผลการทดลองไดดงน

1) สำหรบศกยไฟฟาระหวางขวแคโทดและแอโนดคงตวคาใดคาหนงแลวปรมาณอเลกตรอนทหลดออกมาจากขวแคโทดจะมจำนวนเพมขนตามความเขมของแสงทตกกระทบ ลงบนขวแคโทด ดงแสดงในภาพท 1.7 (ก)

2) สำหรบความเขมและความถของแสงทตกกระทบขวแคโทดมคาคงตวคาใดคาหนงแลวปรมาณกระแสโฟโตอเลกตรอนจะเปลยนแปลงตามศกยไฟฟา V ระหวางขวแคโทดและ ขวแอโนดโดยจะมคาเพมขนจนถงคาๆ หนงเทานน หลงจากนนจะไมเพมขนตามศกยไฟฟา ดงแสดงในภาพท 1.7 (ค) - (ง) ในทางตรงขาม ถาสลบขวไฟฟาโดยตอขวแอโนดเขากบขวลบและตอขวแคโทดเขากบขวบวกของแบตเตอรแลวจะพบวากระแสโฟโตอเลกตรอนทหลดออกมา

จากขวแคโทดนนจะมจำนวนลดลงตามการเพมขนของศกยไฟฟา เมอศกยไฟฟาเพมจนถงคาหนงแลวพบวากระแสโฟโตอเลกตรอนจะเปนศนยนนคอไมมอเลกตรอนหลดออกจากขวแคโทดไดเลย เรยกศกยไฟฟาดงกลาววา ศกยหยดยง Vs (cut-off potential หรอ stopping potential) ทงน เราสามารถหางานสทธ Wtot ทเกดจากการเคลอนทของโฟโตอเลกตรอนจากขวแคโทดไปยง

ขวแอโนด ไดเปน Wtot = −eV0 ในขณะทโฟโตอเลกตรอนทหลดออกมาจากขวแคโทดนนจะม

พลงงานจลนสงสด Kmax =12mevmax

2แตเมอเคลอนทมาถงขวแอโนด โฟโตอเลกตรอนจะม

พลงงานจลนเปน ศนย และจากทฤษฎงาน-พลงงาน จะได Wtot = ΔK = 0 − Kmax นนคอ

Kmax = 12mevmax

2 = eVs (1.37)

3) ศกยหยดยงและพลงงานจลนสงสดของโฟโตอเลกตรอนจะขนอยกบความถ υ (หรอความยาวคลน λ เนองจาก λ = c υ ) ของแสงทตกกระทบเทานนและจะไมขนกบ ความเขมของแสงทตกกระทบ ดงแสดงในภาพ 1.7 (ข)

4) วตถจะมความถหรอความยาวคลนคาหนงเรยกวา ความถขดเรม υ0 (threshold frequency) หรอความยาวคลนขดเรม λ0 (threshold wavelength) ถาแสงตกกระทบมความถตำกวา υ0 หรอความยาวคลนตำกวา λ0 แลวจะไมมโฟโตอเลกตรอนหลดออกมาจาก

ผวของโลหะไดเลย 5) เมอมแสงตกกระทบผวโลหะจะมอเลกตรอนหลดออกมาจากผวโลหะนนทนท

ภายในชวงเวลาไมเกน 10−9 วนาท

17

(ก) (ข)

(ค) (ง)ภาพท 1.7 การเปลยนแปลงของกระแสโฟโตอเลกตรอนตาม (ก) ความเขมแสง (ข) ความถ และ (ค) - (ง) ศกยไฟฟา

2 ความลมเหลวของทฤษฎฟสกสแผนเดม

ทฤษฎในฟสกสแผนเดมนนประสบความลมเหลวในการนำมาอธบายผลการทดลอง

ของปรากฏการณโฟโตอเลกตรก ทงนเนองมาจากทฤษฎในฟสกสแผนเดมพจารณาวาแสงเปนคลนแมเหลกไฟฟาชนดหนงประกอบไปดวยการสนของสนามไฟฟาและสนามแมเหลกและ ความเขมของแสงจะเปนสดสวนโดยตรงกบกำลงสองของเวกเตอรสนามไฟฟา E

!"ดงน น

แรงทแสงตกกระทบกระทำบนอเลกตรอนทผวของโลหะจงมคาเทากบ eE ฉะนนพลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนทหลดออกมาจงขนอยกบความเขมของแสงทตกกระทบ แตจากการทดลองพบวา พลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนจะขนอย กบความถของแสงทตกกระทบเทาน น แตจะไมขนอยกบความเขมของแสงตกกระทบ

18

V0A V0B ความถ

V03 V02 V01V0 ศกยไฟฟา V

ความเขมแสง u

กระแสโฟโตอเลกตรอน I

ความเขมแสง u1ความเขมแสง u2

กระแสโฟโตอเลกตรอน I

กระแสโฟโตอเลกตรอน

ศกยไฟฟา V

กระแสโฟโตอเลกตรอน

นอกจากนทฤษฎทางฟสกสแผนเดมยงทำนายวา แสงทมความเขมตำ ๆ ชวงเวลาทแสงกระทบผวโลหะจนทำใหอเลกตรอนหลดออกมานนจะใชเวลาคาหนง เพราะอเลกตรอนจะตองใชเวลาในการดดกลนพลงงานจากแสงทตกกระทบจนมพลงงานมากพอทจะหลดออกมาจาก ผวโลหะได แตจากการทดลองพบวาจะมอเลกตรอนหลดออกมาในทนททนใดในทกความเขมแสงทมาตกกระทบกบโลหะโดยใชเวลานอยกวา 1.0 นาโนวนาท ยงไปกวานนฟสกสแผนเดม ยงทำนายวาคลนแสงทกๆ ความถทมความเขมมากพอเมอตกกระทบโลหะแลวจะสามารถทำใหอเลกตรอนหลดออกมาจากผวโลหะไดเสมอ เน องจากพลงงานทโลหะไดรบนนข นอยกบ ความเขมของแสงเพยงเทานนโดยจะไมขนกบความถของแสงตกกระทบ แตจากการทดลองพบวา ถาแสงทตกกระทบผวโลหะมความถตำกวาความถขดเรมแลวอเลกตรอนจะไมสามารถหลด ออกมาจากผวของโลหะไดเลยไมวาแสงจะมความเขมมากหรอนอยเทาใดกตาม

3 ไอนสไตนกบการอธบายปรากฏการณโฟโตอเลกตรก

ปครสตศกราช 1905 อลเบรต ไอนสไตน (Albert Einstein) นกฟสกสชาวเยอรมน ไดเสนอวาการแผรงสของคลนแมเหลกไฟฟาทมความถประกอบไปดวยกลมกอนเลก ๆ ทเรยกวา โฟตอน (Photon) โดยในแตละความถ υ จะมพลงงานเทากบ hυ เมอโฟตอนทมพลงงาน hυตกกระทบลงบนผวของโลหะแลวพลงงานบางสวนของโฟตอนจะถกอเลกตรอนดดกลนกลายเปน

พลงงานจลนของอเลกตรอนและถาอเลกตรอนทผวของโลหะมพลงงานจลนมากกวาเวรคฟงกชน Φ (work function) ซงเปนพลงงานยดเหนยวทมคานอยทสด แลวอเลกตรอนจะหลดออกมาจากผวโลหะกลายเปนอเลกตรอนอสระทมพลงงานจลนสงสด Kmax เปน

Kmax = hυ −Φ (1.38)

ทงนอเลกตรอนทมพลงงานยดเหนยวมากจะมพลงงานจลนตำ ดงนนพลงงานจลนของอเลกตรอนจงขนอยกบชนดของวตถและระดบชนของอเลกตรอน

ถารงสทตกกระทบผวโลหะมความถ υ0 มพลงงานเปน hυ0 ซงเปนพลงงานทมากพอ

ทจะทำใหอเลกตรอนหลดออกมานนมพลงงานจลนเปนศนย (EKmax = 0 ) แลวเราจะได

hυ0 = Φ หรอ hcλ0

= Φ (1.39)

19

ดงนนความถขดเรม υ0 (ความยาวคลนขดเรม λ0 ) ของวตถใด ๆ จงหาไดจากคาเวรคฟงกชน

ของวตถนนๆ และสามารถเขยนเปนสมการโฟโตอเลกตรกของไอนสไตนในเทอมของความถ υและความถขดเรม υ0 ไดเปน

Kmax = hυ − hυ0 (1.40)

เมอ c = λυ จะได

Kmax = hc 1λ− 1λ0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(1.41)

และจากสมการ (1.37) เราจะไดวาความสมพนธระหวางศกยหยดยงกบความยาวคลน เปน

eVS = hc 1λ− 1λ0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(1.42)

สมการ (1.39) และ (1.40) แสดงเหนใหเหนวา พลงงานจลนสงสดของโฟโตอเลกตรอน จะขนอยกบความถ (หรอความยาวคลน) ในขณะทการเพมขนของความเขมแสงจะทำใหมจำนวน โฟโตอเลกตรอนเพมมากขนแตพลงงานโฟตอนไมเพมขน ทงนการเพมขนของความเขมแสง ทแสงตกกระทบจะทำใหโฟตอนและอเลกตรอนเกดการชนกนมากขนจงทำใหโฟโตอเลกตรอน ทหลดออกมามจำนวนมากขนและเนองจากพลงงานของโฟตอนมคามากในบรเวณเลกๆ และ โฟตอนเคลอนทดวยอตราเรวเทาอตราเรวของแสง ดงนนพลงงานของโฟตอนจงถายเทใหแกอเลกตรอนไดในทนททนใดทำใหโฟโตอเลกตรอนหลดออกมาภายในเวลาไมเกน 1 นาโนวนาท

ตารางท 1.2 เวรคฟงกชนของโลหะบางชนด

โลหะ เวรคฟงกชน Φ (eV ) โลหะ เวรคฟงกชน Φ ( eV )

โซเดยม 2.46 เงน 4.73

อลมเนยม 4.08 แพทนม 6.35ทองแดง 4.70 ตะกว 4.14สงกะส 4.31 เหลก 4.50

20

4 การยนยนสมการของไอนสไตนโดยมลลแกนในปครสตศกราช 1916 มลลแกน (Robert Andrews Millikan ; 1868 - 1953)

นกฟสกสชาวอเมรกนไดทำการทดลองโดยใชโลหะตาง ๆ ชนดกนเปนขวแคโทดซงจากการทดลองมลลแกนสามารถยนยนความสมพนธระหวางความถของรงสตกกระทบกบพลงงานจลนสงสด Kmax (eVs ) ของอเลกตรอนทหลดออกจากผวของวตถตาง ๆ นนมความสมพนธแบบเชงเสน

ดงภาพท 1.8 จะเหนไดวากราฟแสดงความสมพนธระหวางความถ υ และพลงงานจลน eVs

เปนเสนตรงทมความชนเทากนในทกโลหะโดยมคาเทากบคาคงตวของพลงค h และจดตดแกน

พลงงานคอคาเวรคฟงกชนของโลหะตาง ๆทงนเวรคฟงกชนของโลหะแตละชนดจะแตกตางกนไป ตวอยางเวรคฟงกชนของโลหะบางชนดดงแสดงในตารางท 1.2

ภาพท 1.8 ความสมพนธระหวางพลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนกบความถของรงสตกกระทบ

ตวอยางท 1.3 จงแสดงใหเหนวา hc = 1240 eV-nm

วธทำ hc = (6.625 ×10−34 J ⋅s)(3.00 ×108m/s)1.60 ×10−19 J eV

= 1.242 ×10−6 eV ⋅m

= 1240 eV ⋅nm

21

พลงงานจลน

ความถ υ

Kmax

ΦA

ΦB

โลหะ A

υ0A υ0B

โลหะ B

ตวอยางท 1.4 ถามแสงทมความยาวคลน 300 นาโนเมตร ตกกระทบผวของโลหะโซเดยม ซงมเวรคฟงกชน 2.46 อเลกตรอนโวลต แลว จงหา (ก) พลงงานสงสดของโฟโตอเลกตรอนทหลดออกมา และ (ข) ความยาวคลนขดเรม

วธทำ (ก) หาพลงงานสงสดของโฟโตอเลกตรอน จาก Kmax = hcλ

− Φ

จะได Kmax = 1240 eV ⋅nm300nm

− 2.46eV = 1.67eV

(ข) หาความยาวคลนขดเรม จาก hυ0 = hcλ0

= Φ

จะได λ0 = hc Φ

= 1240 eV ⋅nm2.46eV

= 504nm

ตวอยางท 1.5 ถาฉายแสงความยาวคลน 200 นาโนเมตร ตกกระทบลงบนผวของโลหะชนดหนงทมเวรคฟงกชน 4.20 อเลกตรอนโวลต แลวจงหา (ก) พลงงานจลนสงสดของโฟโตอเลกตรอน (ข) พลงงานจลนตำสดของโฟโตอเลกตรอน (ค) ความยาวคลนขดเรม และ (ง) ศกยหยดยง

วธทำ (ก) หาพลงงานจลนสงสดของโฟโตอเลกตรอนจาก Kmax = hcλ

−Φ

Kmax = 1240 eV ⋅nm200nm

− 4.20eV = 2.00eV

(ข) พลงงานจลนตำสดของโฟโตอเลกตรอน Kmin = 0

ค) หาความยาวคลนขดเรม จาก hυ0 = hcλ0

= Φ

λ0 = hc Φ

= 1240 eV ⋅nm4.20eV

= 595nm

ง) หาศกยหยดยง จาก Kmax = eΔVs

จะได ΔVs = Kmax

e= 2.00eV

e = 2.00V

22

ตวอยางท 1.6 การทดลองปรากฏการณโฟโตอเลกตรกโดยใชแสงความยาวคลน 400 นาโนเมตร ตกกระทบผวโลหะชนดหนง แลวพบวามศกยหยดยง 2.00 โวลต แตถาฉายแสงความยาวคลน 600 นาโนเมตร พบวามศกยหยดยง 1.00 โวลต จากขอมลดงกลาวจงหาเวรคฟงกชนและ คาคงตวของพลงค

วธทำ กำหนดให λ1 = 400nm ΔV01 = 2.00 V

λ2 = 600nm ΔV02 = 1.00 V

จากสมการโฟโตอเลกตรกของไอนสไตน EKmax = eΔVs = hcλ

−Φ

จะได eΔV01 = hcλ1

−Φ และ eΔV02 = hcλ2

−Φ

จากสมการทงสองจะได e ΔV01 − ΔV02( ) = hc 1λ1

− 1λ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

h = ec

ΔV01 − ΔV02( ) λ1λ2

λ2 − λ1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 1.60 ×10−19 J eV3.00 ×108 m/s

1.00eV( ) 240000(nm)2

200nm⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 6.40 ×10−34 J ⋅s

หาเวรคฟงกชน จาก eΔV01 = hcλ1

−Φ

จะได Φ = hcλ1

− eΔV01 = 1240 eV ⋅nm400nm

− 2.00eV = 1.10eV

หรอหาเวรคฟงกชน จาก eΔV02 = hcλ2

−Φ

จะได Φ = hcλ2

− eΔV02 = 1240 eV ⋅nm600nm

−1.00eV = 1.10eV

23

ปรากฏการณคอมปตน ในหวขอทผาน ๆ มาจะเหนวาทฤษฎความเปนคลนของแสงนนลมเหลวในการอธบาย

เกยวกบการแผรงสของวตถดำและปรากฏการณโฟโตอเลกตรกได ซงตอมา แมกซ พลงค (Max Plank ; 1858-1947) นกฟสกสชาวเยอรมน ไดเสนอแนวคดวา แสงคอกลมกอนพลงงาน ทเรยกวา โฟตอน (photon) และสามารถอธบายการแผรงสของวตถดำไดสอดคลองกบ ผลการทดลอง และไอนสไตนไดนำวธทำของพลงคมาอธบายปรากฏการณโฟโตอเลกตรก ไดสำเรจ ซงใน ป ค.ศ. 1921 อลเบรต ไอนสไตนไดรบรางวลโนเบล

1 สมการการเลอนคอมปตน

ในปครตศกราช 1922 อารเธอร คอมปตน (Arthur Compton ; 1892 -1962) นกฟสกสชาวอเมรกนและเพอนรวมงานของเขาไดทดลองการกระเจงของรงสเอกซในวตถตางๆ โดยการฉายแสงความยาวคลน λ0 ตกกระทบบนวตถแลววตถปลดปลอยรงสความยาวคลน ′λ

ออกมา โดย ′λ > λ0 และเรยกปรากฏการณนวา ปรากฏการณคอมปตน (Compton effect)

เมอ Δλ = ′λ − λ0 คอ การเลอนคอมปตน (Compton’s shift) ซงจะขนอยกบมมของโฟตอน

ทเบยงเบนไปจากแนวเดมภายหลงจากการชนกบอเลกตรอนเทานน ในทางทฤษฎฟสกสแผนเดมอธบายวาคลนแมเหลกไฟฟาประกอบดวยการสนของ

สนามไฟฟาและสนามแมเหลก เมอรงสตกกระทบวตถอเลกตรอนภายในวตถจะดดกลนพลงงานและจะสนดวยความถเดยวกบความถของรงสตกกระทบแลวจะปลดปลอยรงสคลนแมเหลกไฟฟา

ทมความถเทากบความถของรงสตกกระทบออกมาซงไมสอดคลองกบผลจากการทดลอง

การอธบายปรากฏการณคอมปตนโดยใชทฤษฎควอนตมนนเราสามารถทำไดโดย

กำหนดใหความถของแสงสเดยวของรงสเอกซเปน υ (ความยาวคลน λ ) ประกอบดวยโฟตอน

ทมพลงงาน hυ ( !ω ) และมโมเมนตมเปน h λ ( !k ) ทงนเราจะพจารณาวา การกระเจงของ

คอมปตนเกดจากการชนกนแบบยดหยนสมบรณระหวางรงสเอกซกบอเลกตรอนอสระ ซงขณะเกดการชนกนโฟตอนจะถายทอดพลงงานบางสวนใหแกอเลกตรอน แลวโฟตอนทสญเสยพลงงานจะกระเจงออกมาโดยทำมม θ กบแนวรงสตกกระทบ (ความถตำหรอความยาวคลนมาก) และ

อเลกตรอนจะกระเจงออกมาในทศทาง φ กบแนวรงสตกกระทบ ดงแสดงในภาพท 1.9 พลงงาน

และโมเมนตมของโฟตอนทกระเจงออกมาจะมคาเปน h ′υ ( ! ′ω ) และ h ′λ ( ! ′k )

24

ภาพท 1.9 ปรากฏการณการกระเจงของคอมปตน

เมอกอนชนกน อเลกตรอนซงหยดนงจะมพลงงานเปน m0c2และโมเมนตมเปนศนย

ในขณะทโฟตอนมโมเมนตม !p ดงนนจงมขนาดของโมเมนตมเปน p และพลงงานเปน pc

ภายหลงการชนกน โฟตอนจะกระเจงออกมาโดยทำมม θ กบแนวกระทบ และโฟตอนกระเจง มโมเมนตม ′!p (ขนาดของโมเมนตม ′p ) และมพลงงานเปน ′p c ในขณะเดยวกนอเลกตรอน

ซงกระเจงออกมาในมม φ นนจะมโมเมนตมเปน ! ′pe และขนาดของโมเมนตมเทากบ ′pe

ทงนจากหลกอนรกษพลงงาน เราจะได pc+m0c2 = ′p c+ ′Ee และ

! ′pc = !p − ! ′p นนคอ

′Ee2 = (pc − ′p c+m0c

2 )2 = ( ′pec+m0c2 )2 ดงนนอเลกตรอนกระเจงจะมพลงงานเปน

′Ee = ( ′pec)2 + (m0c2 )2 (1.43)

และจากหลกอนรกษพลงงาน เราสามารถเขยนพลงงานในเทอมความถเชงมมไดเปน

!ω +m0c2 = ! ′ω + c ′pe

2 +m02c2 (1.44)

เราสามารถจดรปสมการ (1.44) ใหมไดเปน

′pe

2 +m02c2 = !ω

c− ! ′ω

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +m0c

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2

= !k − ! ′k +m0c[ ]2

ดงนนจะได

′pe

2 = !2 k2 − 2k ′k + ′k 2 + 2m0c!

(k − ′k )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

(1.45)

25

โฟตอน

โฟตอนกระเจง

อเลกตรอนกระเจง

λ

′λ

E = hυ = hc

λ= !ω

p = h

λ= !k pe = 0

Ee = m0c2

อเลกตรอน

′Ee ′pe

′E = h ′υ = hc′λ

′p = h

′λ= ! ′k

θ

!p

! ′p

! ′pe

และจากหลกอนรกษโมเมนตมในรปเวกเตอร จะได

!"k = " ′pe + ! ′

"k (1.46)

จดรปสมการ (1.46) ใหมไดเปน ! ′pe = "

!k − ′!k( ) ดงนนจะได

′pe

2 = !2 "k − ′"k( )2

= !2 k2 + ′k 2 − 2k ′k cosθ( ) (1.47)

จากสมการ (1.45) และ (1.47) จะได

m0c!

k − ′k( ) = k ′k (1− cosθ )

ดงนนจะได

k − ′kk ′k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = !

m0c(1− cosθ ) นนคอ

1k− 1

′k = !

m0c(1− cosθ ) (1.48)

เมอ k = 2πλ0

และ ′k = 2π′λ

จะได ′λ − λ0 = 2π!

m0c(1− cosθ ) ดงนน

Δλ = λc(1− cosθ ) (1.49)

เมอ Δλ = ′λ − λ0 และ λc = 2π!

m0c = 0.00243nm

เรยก λc วา ความยาวคลนคอมปตนของอเลกตรอน คอความยาวคลนของโฟตอน

ทมพลงงานเทากบพลงงานของอเลกตรอนในสถานะหยดนง และจากสมการ (1.49) จะเหนไดวา การเลอนคอมปตน Δλ ไมขนอยกบรงสตกกระทบและชนดของวตถเปา แตการเลอนคอมปตน

Δλ จะขนอยกบมมกระเจง θ เทานน นนคอ ถา θ = 0 แลว Δλ = 0 แตถา θ = π2

แลว Δλ = λc และ ถา θ = π แลวจะได Δλ = 2λc

ภาพท 1.10 แสดงความเขมแสงทกระเจงออกมาจากการเลอนความยาวคลนของ การกระเจงคอมปตนทมมกระเจง θ เปน 0! 45! 90!

และ 135! ตามลำดบ

26

(ก) (ข)

(ค) (ง)

ภาพท 1.10 การเลอนคอมปตนทมมกระเจง θ (ก) 0! (ข) 45! (ค) 90! และ (ง) 135!

2 พลงงานของโฟตอนทกระเจง

เราสามารถหาพลงงานของโฟตอนทกระเจงออกมาหลงจากโฟตอนพงเขาชนกบ

อเลกตรอนไดจาก

′λ − λ = 2π!

m0c(1− cosθ ) (1.50)

เมอ E = hυ = hcλ

′E = hc′λ

และ 2sin2θ = 1− cos2θ จะได

2π!c′E

− 2π!cE

= 2π!m0c

2sin2 θ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (1.51)

27

ความเขมแสง

ความยาวคลนλ = ′λ

θ = 0!

′λ

θ = 45!

λ

θ = 90!

′λλ

θ =135!

′λλ

ความเขมแสง

ความเขมแสง

ความเขมแสง

ความยาวคลน

ความยาวคลนความยาวคลน

จดรปสมการ (1.51) ใหมไดเปน

2π!c(E − ′E )E ′E

= 2π!m0c

2sin2 θ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

E − ′E = E ′Em0c

2 2sin2 θ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

E = ′E + ′Em0c

2 2E sin2 θ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ′E 1 + 2Em0c

2 sin2 θ2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ดงนนโฟตอนทกระเจงออกมาจะมพลงงานเปน

′E = E

1+ 2Em0c

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2 θ2

(1.52)

จากสมการ (1.52) จะเหนวาทมม θ = 0! จะได ′Emax = E

3 พลงงานจลนของคอมปตนอเลกตรอน

เราจะหาพลงงานจลนของอเลกตรอนทกระเจงออกมาหลงจากถกโฟตอนพงเขาชน

ไดจาก Ke = !ω − ! ′ω นนคอ Ke =

2π!cλ

− 2π!c′λ

= 2π!c ′λ − λ

λ ′λ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ จะได

Ke = hcΔλλ0 (λ0 + Δλ)

(1.53)

เมอ E และ ′E คอพลงงานของโฟตอนกอนชนและหลงชนกบอเลกตรอน แลวอเลกตรอนทกระเจงออกมาจะมพลงงานจลน เทากบ

Ke = E − ′E = E − E

1+ 2Em0c

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2 θ2

= 1+ 2E

m0c2 sin2 θ

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟E − E

1+ 2Em0c

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2 θ2

28

หรอ

Ke =

2E2

m0c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2 θ2

1+ 2Em0c

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2 θ2

(1.54)

จากสมการ (1.54) เราจะเหนไดวา อเลกตรอนทกระเจงออกมา (คอมปตนอเลกตรอน) จะไดรบพลงงานจลนสงสดเมอโฟตอนกระเจงกลบมาในมม 180o นนคอ

Ke =

2E2

m0c2

1+ 2Em0c

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

2E2

m0c2

m0c2 + 2Em0c

2

นนคอ

Ke = 2E2

m0c2 +2E

; θ = 180! (1.55)

และคอมปตนอเลกตรอนจะมพลงงานจลนตำสด (Kemin = 0 ) เมอ θ = 0!

4 ทศทางของอเลกตรอนคอมปตน

ถาคอมปตนอเลกตรอนกระเจงออกมาเคลอนทไปในทศทางทำมม φ กบทศทาง

การเคลอนของโฟตอนกอนตกกระทบ ดงแสดงในภาพท 1.9 แลวจากหลกอนรกษโมเมนตมจะได

องคประกอบโมเมนตมในแนวขนาน เปน

′pe cosφ + ′p cosθ = p (1.56)

องคประกอบโมเมนตมในแนวตงฉาก เปน

− ′pe sinφ + ′p sinθ = 0 (1.57)

จากสมการ (1.56) จะได ′pe cosφ = p − ′p cosθ (1.58)

และจากสมการ (1.57) จะได ′pe sinφ = ′p sinθ (1.59)

29

นำสมการ (1.59) มาหารดวยสมการ (1.58) จะได ′pe sinφ′pe cosφ

= ′p sinθ p − ′p cosθ

นนคอ

tanφ = ′pe sinθ′p − ′p

ecosθ

(1.60)

เนองจาก E = pc ดงนน จะได

tanφ = ′E sinθE − ′E cosθ

(1.61)

ตวอยางท 1.7 ถาฉายรงสเอกซความยาวคลน 0.10 นาโนเมตร ตกกระทบแทงคารบอน โดยทรงสกระเจงออกมาในมม 30! 45! 90! และ 180! แลวจงหาความยาวของการเลอนคอมปตนและพลงงานจลนของอเลกตรอนทกระเจงออกมา

วธทำ จาก Δλ = λc(1− cosθ ) และ Ke = hcΔλλ0 (λ0 + Δλ)

จะได

Δλ30! = λc(1− cos 30!) = 0.134λc = 0.0003nm

Ke(30!) = 1240eV-nm

0.100nm0.0003nm0.1012nm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 36.76eV

Δλ45! = λc(1− cos 45!) = 0.293λc = 0.0007nm

Ke(45!) = 1240eV-nm

0.100nm0.0007nm0.1012nm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 85.77eV

Δλ90! = λc(1− cos90!) = 1.00λc = 0.0024nm

Ke(90!) = 1240eV-nm

0.100nm0.0024nm0.1024nm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2900eV

Δλ180! = λc(1− cos180!) = 2.00λc = 0.0048nm

Ke(180!) = 1240eV-nm

0.100nm0.0048nm0.1048nm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 5860eV

30

ตวอยางท 1.8 ถาโฟตอนอนภาคหนงมพลงงาน 1.00 เมกะอเลกตรอนโวลต พงเขาชนกบอเลกตรอนอสระอนภาคหนงซงหยดนงอยแลวจงหาพลงงานจลนของอเลกตรอนทกระเจงออกมา ถาความยาวคลนของโฟตอนทกระเจงออกมาเปลยนแปลงไป 25 เปอรเซนต

วธทำ กำหนดให Δλλ

= η = 0.25 และ E = hcλ

= 1.00MeV

หาพลงงานจลนของอเลกตรอนทกระเจงออกมาไดจาก Ke = hcΔλλ(λ + Δλ)

ดงนนจะได Ke = E Δλ(λ + Δλ)

= E Δλ λ1+ Δ ′λ λ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= E η1+η

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 1.00MeV 0.251+ 0.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 0.20MeV

ตวอยางท 1.9 ถาโฟตอนพลงงาน 250 กโลอเลกตรอนโวลต พงเขาชนกบอเลกตรอนอสระ ซงหยดนงและโฟตอนกระเจงออกมาทำมม 120 องศากบแนวเดมแลว จงหาพลงงานของ โฟตอนทกระเจงออกมา

วธทำ เราสามารถหาพลงงานของโฟตอนทกระเจงออกมาไดจาก

Ke = E

1+ Em0c

2 (1− cosθ ) เมอ E = 0.250 MeV

และ m0c2 =

9.11×10−31kg( ) 3.00 ×108 m/s( )2

1.60 ×10−19 J/eV = 0.510MeV

เมอ cos120! = 0.500 ดงนนจะไดพลงงานของโฟตอนทกระเจงออกมา เทากบ

Ke = 0.250MeV

1+ 0.250MeV0.510MeV

(1− 0.500) = 0.143MeV

31

ตวอยางท 1.10 ถาโฟตอนอนภาคหนงซงมโมเมนตม 1.02MeV c ชนกบอเลกตรอนอสระซง

หยดนงและโฟตอนทกระเจงออกมโมเมนตม 0.255MeV c แลวจงหามมกระเจงของโฟตอน

วธทำ จากโจทย p = 1.02 MeV c และ ′p = 0.255 MeV c

เมอ hp− h

′p = λc 2sin2 θ

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

จะได sin2 θ2

= h2λ c

p − ′pp ′p

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 12m0c

p − ′pp ′p

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 12

0.510 MeVc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1.02MeV c − 0.255MeV c(1.02MeV c)(0.255MeV c)

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 0.7502

เมอ sin θ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0.7502 = 0.860 และจาก sin60! = 0.860 จะได θ = 120!

ตวอยางท 1.11 จงหาพลงงานของโฟตอนทพงชนอเลกตรอนอสระซงหยดนง ถาภายหลงการชนโฟตอนกระเจงออกมาดวยมม 120! และอเลกตรอนมพลงงานจลน 0.45 เมกะอเลกตรอนโวลต

วธทำ จาก Ke = E

1+ 2Em0c

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2 θ2

= m0c2E

m0c2 + 2E sin2 θ 2( )

และจากพลงงานจลนของอเลกตรอน T = E − ′E จะได

Ke = E − m0c2E

m0c2 + 2E sin2 θ 2( ) =

2E2 sin2 θ 2( )m0c

2 + 2E sin2 θ 2( )

จดรปสมการใหมไดเปน E = Ke 2

1+ 1+ 2m0c2

Ke sin2 θ 2( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

เมอแทน Ke = 0.450MeV , m0c2 = 0.510MeV

และ θ = 60! ดงนน จะได E = 0.670MeV

32

สรป

พลงงานการแผรงส (radiant emittance) คอ อตราการแผพลงงานในหนงหนวยพนทของวตถดำทแผออกมาทกทศทาง ซงจากการทดลองพบวาการแจกแจงสเปกตรมพลงงานของการแผรงสจะขนอยกบอณหภม นนคอ R = σT 4 (กฎของสเตฟาน) นอกจากนยงพบวา เมออณหภมเพมขน พคสงสดของความยาวคลนจะแปรผกผนกบอณหภม กลาวคอพคจะเลอนไปดานความยาวคลนลดลงเมอวตถมอณหภมสงขน อยางไรกตามทฤษฎในฟสกสแผนเดม อาทเชน ทฤษฎของวนและทฟษฎของเรยล-จนสกไมสามารถอธบายการแผรงสของวตถดำไดสอดคลองกบผลการทดลอง แตชวงเวลาตอมา แมกซ พลงค นกฟสกสชาวเยอรมน กสามารถอธบายเกยวกบการแผรงสของวตถดำไดประสบผลสำเรจโดยใชแนวคดความไมตอเนองของพลงงาน (ควอนไตซ)

ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก (photoelectric effect) คอการปลดปลอยอเลกตรอนของโลหะเมอมแสงมาตกกระทบผวโลหะ โดยอเลกตรอนทหลดออกมาจะมพลงงานจลนสงสด Kmax = hυ −Φ เมอ υ คอความถของแสงทมาตกกระทบผวโลหะซงจะมพลงงาน E = hυ

และ Φ คอ เวรคฟงกชนซงขนอยกบชนดของโลหะ ปรากฏการณคอมปตน (Compton effect) คอ ปรากฏการณการกระเจงของรงสเอกซ

เมอโฟตอนทมความยาวคลน λ0 ตกกระทบลงบนวตถแลวทำใหวตถนนปลดปลอยรงส (โฟตอน)

ความยาวคลน ′λ ออกมา โดยท ′λ > λ0 เมอ Δλ = ′λ − λ0 คอการเลอนของคอมปตน

ซงจะขนอยกบมม θ ทโฟตอนกระเจงออกมาเทานน นนคอ Δλ = 0.00243nm(1− cosθ )

เมอแสงตกกระทบหรอพงชนกบอนภาคอเลกตรอนทหยดนง แลวทำใหอนภาคอเลกตรอนเกดการเคลอนทไดแสดงวาแสงตองมทงพลงงานและโมเมนตม ดงนน แสงเปนความเปนอนภาค ซงเรยกวา โฟตอน (photon)

33

แบบฝกหดบทท 1

1) จงหาความยาวคลนทปลดปลอยออกมาผวหนงของมนษยมอณหภม 33.0 องศาเซลเซยส

2) ถาฉายแสงความยาวคลน 350 นาโนเมตรตกกระทบลงบนผวโลหะโพแทสเซยมแลวปรากฏวา โฟโตอเลกตรอนทหลดออกมามพลงงานจลนสงสดเปน 1.31 อเลกตรอนโวลต แลวจงหา 2.1) เวรคฟงกชนของโพแทสเซยม2.2) ความยาวคลนขดเรมและความถขดเรม

3) ถาเวรคฟงกชนของโลหะสงกะส เทากบ 4.31 อเลกตรอนโวลต แลวจงหา3.1) ความยาวคลนขดเรม3.2) ความถตำสดททำใหโฟโตอเลกตรอนหลดออกมาจากผวโลหะสงกะส3.3) พลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนทหลดออกมาเมอโฟตอนตกกระทบมพลงงาน เทากบ 5.50 อเลกตรอนโวลต

4) เมอฉายแสงความยาวคลน 4.00 ×102 นาโนเมตร ตกกระทบผวโลหะลเทยม เบรลเลยมและปรอทซงมเวรคฟงกชน 2.30 3.90 และ 4.50 อเลกตรอนโวลต ตามลำดบแลว จงหาวาโลหะใดบางทจะมโฟโตอเลกตรอนหลดออกมาพรอมหาพลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนดงกลาว

5) จงหาความยาวคลนทตกกระทบผวโลหะเบรลเลยมซงมเวรคฟงกชน 3.90 อเลกตรอนโวลต แลวทำใหโฟโตอเลกตรอนทหลดออกมามพลงงานจลน เปน 3.68 ×10−19

จล

6) การทดลองปรากฏการณโฟโตอเลกตรกโดยการฉายแสงความยาวคลน 5.00 ×102 นาโนเมตร ลงบนผวโลหะชนดหนง พบวามศกยหยดยง ΔVS 0.700 โวลต ถาตองการใหโลหะดงกลาวม

ศกยหยดยงเปน 1.50 โวลต แลวจะตองฉายแสงทมความยาวคลนเทาใด

7) การทดลองปรากฏการณโฟโตอเลกตรกโดยฉายแสงความยาวคลน 300 นาโนเมตรตกกระทบผวโลหะชนดหนง พบวามศกยหยดยง 1.85 โวลต แตถาแสงความยาวคลน 400 นาโนเมตร พบวาม ศกยหยดยง 0.82 โวลต จากขอมล ดงกลาวจงหา

7.1) เวรคฟงกชน 7.2) ความยาวคลนขดเรม

34

8) จงหามมททำใหการเลอนความยาวคลนคอมปตนเปน 0.0121 !A

9) จงหาความยาวคลนของโฟตอนทกระเจงออกมาภายหลงจากการทโฟตอนซงมพลงงาน 300 กโลอเลกตรอนโวลต พงเขาชนกบอเลกตรอนอสระทหยดนงภายในอะตอมโดยอเลกตรอนกระเจงออกมาดวยพลงงานจลน 250 กโลอเลกตรอนโวลต

10) ถารงสเอกซความยาวคลน 0.150 องสตรอม เกดการชนแบบคอมปตนกบอเลกตรอนและ มโฟตอนกระเจงออกมาในมม 37 องศา แลว จงหา

10.1) พลงงานและโมเมนตมของโฟตอนตกกระทบ 10.2) พลงงานและโมเมนตมของโฟตอนทกระเจง 10.3) พลงงานจลน พลงงานและโมเมนตมของอเลกตอนทกระเจง

35

36

บทท 2สมบตเชงคลนของอนภาคและสสาร

การอธบายปรากฏการณโฟโตอเลกตรกและปรากกฎการณคอมปตนในบททผานมา กำหนดใหแสงซงเปนคลนแมเหลกไฟฟาสามารถประพฤตตนเสมอนเปนอนภาค (particle-like) ทเรยกวา โฟตอน (photon) และจากการทดลองยงพบวาแสงมสมบตการเลยวเบนและ การแทรกสอดไดเชนกน นนหมายความวา แสงประพฤตตนเปนคลน (wave-like) เชนกน และ จะเรยกสมบตดงกลาววา ทวภาวะของคลนและอนภาค (wave-particle duality) ทงน การอธบายพฤตกรรมของคลนและอนภาคในฟสกสแผนเดมนนจะมพนฐานแนวคดทแตกตางกน กลาวคออนภาคตองมตำแหนงและโมเมนตมทแนนอน แตคลนนนจะเกยวของกบความยาวคลนและความถ นอกจากนกฎทางกลศาสตนวตนซงสามารถอธบายการเคลอนทของอนภาคไดดนนไมสามารถนำมาอธบายการแทรกสอดและการเลยวเบนของคลนได

เนองจากในทางควอนตมฟสกสนนบางสถานการณคลนแมเหลกไฟฟาจะประพฤตตน เปนอนภาคและบางสถานการณประพฤตตนเสมอนคลน ซงในบททผานมาเราไดอธบายพฤตกรรมเชงอนภาคของคลนแมเหลกไฟฟาไปแลวนน ดงนนในบทนจะไดอธบายพฤตกรรม เชงคลนของอนภาคและสสาร โดยเรมจากอธบายถงสมมตฐานของเดอบรอยลและการทดลอง ทพสจนและยนยนใหเหนวาอนภาคและสสารนนสามารถประพฤตตนเสมอนเปนคลนไดเชนกน

สมมตฐานของเดอ บรอยลในป ค.ศ. 1924 เดอ บรอยล (Louis de Broglie ,1892-1987) นกฟสกสชาวฝรงเศส

มแนวคดวา ในเมอจกรวาลประกอบไปดวยสสารและรงสคลนแมเหลกไฟฟา โดยแสงซงเปนคลนแมเหลกไฟฟาสามารถประพฤตเปนอนภาคทเรยกวา โฟตอนได ดงนนสสารซงเปนอนภาค กยอมจะสามารถประพฤตตนเสมอนเปนคลนไดเชนกน

โฟตอนหรอแสงทมความถ υ จะมพลงงานเปน E = hυ และทฤษฎสมพทธภาพพเศษ

แสดงใหเหนถงความสมพนธระหวางพลงงาน E กบโมเมนตม p คอ

E = pc (2.1)

37

ดงนนโมเมนตมของโฟตอนจงหาไดจาก

p = hυc

(2.2)

เมอ c = λυ ดงนน จะไดความสมพนธระหวางความยาวคลนและโมเมนตมของโฟตอน เปน

λ = hp

(2.3)

ทงน โมเมนตม p แสดงถงสมบตเชงอนภาคของโฟตอน และ λ จะอธบายคณสมบตเชงคลน

ของโฟตอน ดงนน โฟตอนจงมสมบตเปนทงอนภาคและคลน

เดอ บรอยล นำสมการ (2.3) มาประยกตใชกบอนภาคหรอสสารอนๆ เชน วตถเคลอนท วาสามารถมสมบตเสมอนเปนคลนไดโดยเรยก คลนวตถวา คลนเดอ บรอยล (de Broglie wave) และเรยกความยาวดงกลาววา ความยาวคลนเดอ บรอยล (de Broglie wavelength) โดยทอนภาคทมโมเมนตมมากจะมความยาวคลนเดอ บรอยลสน

วตถมวล m เคลอนทดวยความเรว v จะมโมเมนตมเปน p = mv ดงนนเราจะสามารถหา

ความยาวคลนเดอ บรอยล ไดจาก

λ = hmv

(2.4)

ถาวตถ มวล m เเคลอนทดวยอตราเรวมากๆ แลว มวลของวตถจะมการเปลยนแปลง

เรยกวา มวลสมพทธหรอมวลยงผล (effective mass) m = m0

1− v2

c2

เมอ m0 คอมวลนง

ทงนเราจะไมสามารถตรวจสอบพฤตกรรมหรอสมบตสมบตเชงอนภาคและสมบตเชงคลน ของวตถทกำลงเคลอนทไดในเวลาเดยวกนไดเพราะในบางสถานการณวตถทกำลงเคลอนท จะประพฤตตนเปนอนภาค แตบางสถานการณจะมพฤตกรรมเสมอนเปนคลน ซงพฤตกรรมหรอสมบตเชงอนภาคและคลนนนจะขนอยกบความยาวคลนเดอ บรอยล ทเปรยบเทยบกบมตหรอขนาดและขอบเขตของอะไรกตามทมปฎสมพนธกบวตถนนๆ

38

ตวอยางท 2.1 จงหาความยาวคลนเดอบรอยลของ ก) รถยนตมวล 2,000 กโลกรม ทกำลงเคลอนทดวยอตราเรว 30.0 เมตรตอวนาท ข) ลกปนมวล 10.0 กรม ทกำลงเคลอนทดวยอตราเรว 400 เมตรตอวนานาท ค) โปรตอนเคลอนทดวยอตราเรว 3,000 เมตรตอวนาท ง) อเลกตรอนทมพลงงานจลน 1.00 อเลกตรอนโวลต จ) อเลกตรอนทมพลงงานจลน 200 เมกะอเลกตรอนโวลต

วธทำ ก) เนองจาก v = 30.0m/s ≪ 3.00 ×108 m/s

ดงนน λ = hmv

เมอ m= 2.00 ×103kg

จะได λ = 6.625 ×10−34 J ⋅s(2.00 ×103kg)(30.0m/s)

= 1.10 ×10−38 m

เราจะเหนวา ความยาวคลนเดอบรอยลมคานอยมากๆ จนไมสามารถวดได

ข) เนองจาก v = 400m/s ≪ 3.00 ×108 m/s

ดงนน λ = hmv

เมอ m=1.00 ×10−2 kg

จะได λ = 6.625 ×10−34 J ⋅s(1.00 ×10−2 kg)(400m/s)

= 1.66 ×10−34 m

เราจะเหนวา ความยาวคลนเดอบรอยลมคานอยมากๆ จนไมสามารถวดได

ค) เนองจาก v = 3.00 ×103m/s ≪ 3.00 ×108 m/s

ดงนน λ = hmv

เมอ m=1.67 ×10−27 kg

จะได λ = 6.625 ×10−34 J ⋅s(1.67 ×10−27 kg)(3.00 ×103m/s)

= 1.32 ×10−10 m

เราจะเหนวา ความยาวคลนเดอบรอยลมคาอยในยานของรงสเอกซ ดงนนจงสามารถวดได

39

ง) เนองจากพลงงานของมวลนงของอเลกตรอน E =m0c2 = 5.12 ×105 eV

พลงงานจลน 1.00eV มคานอยกวาพลงงานของมวลนง ดงนนจงไมจำเปนตองใชทฤษฏสมพทธภาพ

เมอพลงงานจลน K = 12mv2 = p

2

2m

จะได p = mv = 2m0K

= 2(9.11×10−31kg)(1.00eV)(1.60 ×10−19J/eV)

= 5.40 ×10−25 kg-m/s

ดงนนจะได λ = hp

= 6.625 ×10−34 kg-m2 /s5.40 ×10−25 kg-m/s

= 1.23×10−9 m = 1.23nm

เราจะเหนวา ความยาวคลนเดอบรอยลมคายานทมเครองมอสามารถวดได นอกจากน เรายงสามารถคำนวณความยาวคลนไดโดยใช

p = 2m0K และ hc = 1240eV-nm

นนคอ pc = c 2m0K = 2m0c2K

= 2(5.12 ×105 eV)(1.0eV) = 1.00 ×103 eV

และ λ = hp

= hcpc= 1240eV-nm

1.0 ×103eV = 1.24nm

จ) เนองจาก K = 200MeV มคามากกวา พลงงานจลนของมวลนง

ดงนน K ≅ E ≅ pc = 200MeV

และ λ = hcpc

= 1.24 ×10−6 eV-m2.00 ×108 eV

= 6.20 ×10−15m

40

ตวอยางท 2.2 จงหาพลงงานจลนททำใหอเลกตรอนมความยาวคลน 600 นาโนเมตร

วธทำ จาก λ = hp

และ p = 2mK

จะได K = h2

2mλ 2 = (6.625 ×10−34 J ⋅s)2

2(9.11×10−31kg)(6.00 ×10−7m)2 = 6.69 ×10−25 J

หรอ K = 6.69 ×10−25 J1.60 ×10−19 J/eV

= 4.18 ×10−6 eV

ตวอยางท 2.3 จงแสดงใหเหนวาความยาวคลนของอเลกตรอนทถกเรงดวยความตางศกยไฟฟา

ΔV โวลต จะมความยาวคลนเดอบรอยล เปน λ = 1.23ΔV

nm

วธทำ จากพลงงานจลน K = p2

2m และ K = eΔV จะได p = 2meΔV

ดงนน λ = hp

= h2meΔV

= 6.625 ×10−34 J ⋅s2(9.11×10−31kg)(1.60 ×10−19C)ΔV

= 1.23×10−9

ΔV m

= 1.23ΔV

nm

ตวอยางท 2.4 จงหาความยาวคลนเดอบรอยลของเทอรมอลนวตรอนทอณหภม 300 เคลวน

วธทำ จาก K = 32kBT เมอ kB คอ คาคงตวของโบลตซมนน จะได

K = 32

1.38 ×10−23 JK

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (300K) = 6.21×10−21J

ดงนน λ = h2mK

= 6.625 ×10−34 kg-m2 /s2(1.67 ×10−27 kg)(6.21×10−21kg-m2 /s2 )

= 1.45 ×10−10 m

41

การทดลองเพอยนยนสมมตฐานของเดอ บรอยลการเลยวเบนและการแทรกสอดเปนสมบตเชงคลนของคลนกลและคลนแมเหลกไฟฟา

ซงในคลนกล เชน คลนนำสามารถทำการทดลองการเลยวเบนและการแทรกสอดใหเหนไดงายๆ เนองจากมความยาวคลนมาก เมอหนาคลนเคลอนทผานสงกดขวางหรอชองแคบเลกๆ จงเกดการเลยวเบนและการแทรกสอด แตกาารทดลองการแทรกสอดของลำอนภาคของอะตอมและคลนแมเหลกไฟฟาทมความยาวคลนสนมากๆ นนทำไดยาก แตอยางไรกตามในชวงเวลาตอๆ มา กมการทดลองทยนยนสมมตฐานเชงคลนของสสสาร ของเดอ บรอยล

1 การทดลองการเลยวเบนของอนภาคเมอคลนแสงทมความยาวคลน λ เคลอนทผานสลตเดยวกวาง a โดยท a < λ แลว

จะเกดการเลยวเบน ดงภาพท 2.1 โดยการเลยวเบนทเกดนนขนสามารถอธบายไดดวยสมการ

asinθ = nλ ; n = 1, 2, 3,... (2.5)

ถงแมวาการเลยวเบนของอเลกตรอน (electron diffraction) ซงเปนการทดลองทสามารถยนยนสมมตฐานของเดอบรอยลนน เราจะไมสามารถสงเกตเหนการเลยวเบนของอเลกตรอนโดยใชสลตเดยว เนองจากความกวางของสลตเดยวมขนาดโตกวาความยาวคลนของอเลกตรอนมากๆ แตอยางไรกตาม การศกษาการเลยวเบนของอเลกตรอนนนสามารถทำไดโดยใชอะตอมของผลกแทนสลตเดยวเชนเดยว กบการเลยวเบนของรงสเอกซ (X-ray diffraction)

ภาพท 2.1 การเลยวเบนของคลนแสงผานสลตเดยว (Kenneth Krane, 2012, 104)

42

คลนแสง

หนาคลนระนาบ

ฉากรบภาพ

(ก) (ข)

ภาพท 2.2 (ก) แบบจำลองการเลยวเบนของอเลกตรอนและ (ข) การเลยวเบนของรงสเอกซ (Kenneth Krane, 2012, 105)

ภาพท 2.2 (ก) แสดงแบบจำลองการทดลองการเลยวเบนของอเลกตรอนเมออเลกตรอน ซงหยดนงถกเรงใหเคลอนทดวยศกยไฟฟา ΔV แลวอเลกตรอนจะมพลงงานจลน K = eΔV

และโมเมนตม p = 2mK โดยอเลกตรอนจะมความยาวคลน λ = hp

หลงจากอเลกตรอน

พงชนผลกแลวอเลกตรอนจะกระเจงออกมาโดยมรปแบบการเลยวเบนเหมอนกบการเลยวเบน

ของรงสเอกซดงภาพท 2.2 (ข) ดงนนจงสรปไดวา อเลกตรอนมพฤตกรรมเสมอนเปนคลนในป ค.ศ. 1927 จพ ทอมสน (George Paget Thomson , 1892 - 1975) นกฟสกส

ชาวองกฤษผซงเปนลกชายของ เจ เจ ทอมสน ไดทำการเรงอนภาคอเลกตรอนใหพงเขาชนกบผลกของเบอรลเลยมแลวพบวาอเลกตรอนเกดการเลยวเบนเปนรปวงแหวน ดงภาพท 2.3 (ก) ซงมรปรางเหมอนกบการเลยวเบนกบรงสเอกซในภาพท 2.3 (ข) จงเปนการยนยนอยางชดเจนวา อนภาคอเลกตรอนสามารถประพฤตตนเสมอนเปนคลนได ทงนการคนพบดงกลาวทำให ทอมสนไดรบรางวลโนเบลในป 1937 ในขณะท เจ เจ ทอมสน (Sir Joseph John Thomson; 1856-1940) ผเปนบดาไดคนพบอเลกตรอนและสามารถวดอตราสวนของประจตอมวลและ ไดรบรางวลโนเบลในป 1906 ดงนนจงสามารถกลาวไดวาตระกลทอมสนคนพบสมบตเชงอนภาคและสมบตเชงคลนของอเลกตรอน

43

ฉากรบภาพ

ผลก

ลำอเลกตรอน

(ก) (ข)

ภาพท 2.3 (ก) การเลยวเบนของอเลกตรอนผานผลกเบอรลเลยม (Kenneth Krane, 2012, 105) และ (ข) การเลยวเบนของรงสเอกซผานผลกทองคำ (Kenneth Krane, 2012, 75)

ในป ค.ศ. 1926 คลนตน โจเซฟ เดวสสน (Clinton Joseph Davission ; 1881-1958) และ เลสเตอร ฮลเบรต เจอรเมอร (Lester Halbert Germer ; 1896-1971) สองนกฟสกส ชาวอเมรกนแหงหองปฏบตการเบลเทเลโฟน ไดทำการศกษาลำอเลกตรอนทสะทอนออกมาจากผวของผลกนเกลดวยอปกรณดงแผนภาพในภาพท 2.4 (ก) เมอใหความรอนแกลวดฟลาเมนต จะมอเลกตรอนหลดออกมา แลวทำการเรงอเลกตรอนดวยความตางศกยไฟฟา ΔV ใหเคลอนทผานชองเปดเลกๆ เขาชนกบผลกนเกล ภายหลงการชนกบอะตอมของนเกลอเลกตรอนจะกระเจงออกมาทกทศทาง โดยอเลกตรอนทกระเจงออกมาบางสวนจะชนเครองตรวจวดทสามารถเคลอนททำมม φ สมพทธกบลำของอเลกตรอนตกกระทบและทำการตรวจวดความเขมหรอ

จำนวนของลำอเลกตรอนกระเจงออกมา ดงภาพท 2.4 (ข) แสดงผลการทดลองของเดวสสนและเจอเมอ เมอทำการเรงอเลกตรอนดวยศกยไฟฟา 54 โวลต พบวาอเลกตรอนกระเจงออกจำนวนมากทสดทมม φ = 50

!

ภาพท 2.5 แผนภาพแสดงการทดลองของเดวสสนและเจอเมอซงใชผลกนเกลทมระยะหางระหวางอะตอมเทากนคอ a เปนเกรตตงในการศกษาการเลยวเบนของอเลกตรอนเพอตรวจสอบสมมตฐานของเดอ บรอยล เนองจากอเลกตรอนมพลงงานตำจงทำใหไมสามารถทะลผานเขาไปในผลกไดลกมาก ดงนนการเลยวเบนของอเลกตรอนจงเกดขนทระนาบของอะตอมทอยผวนอกสดเทานนและรวการเลยวเบนจะสงสดทมมφ ตางๆ ของระยะตางวถของรงสเลยวเบนสองรงส

ทอยตดกน asinφ จะตองมคาเทากบจำนวนเทาของความยาวคลน นนคอ

asinφ = nλ (2.6)

44

(ก) (ข)

ภาพท 2.4 (ก) แผนภาพแสดงการทดลองของเดวสสนและเจอรเมอร และ (ข) ผลการทดลองเมอใชศกยไฟฟา 54 โวลต ลำอเลกตรอนทสะทอนออกมาจากผวของนเกลทำมม 50! กบมมตกกระทบ (Kenneth Krane, 2012, 105)

ภาพท 2.5 การเลยวเบนของอเลกตรอนจากผวของผลกซงทำหนาทเปนเกรตตง(Kenneth Krane, 2012, 106)

เมอระยะหางของอะตอมแตแถว ๆในผลกนเกล d มขนาดเทากบ 0.215 นาโนเมตร และพคของมมเลยวเบน φ พคแรก (n =1) เทากบ 50! ดงนนจะไดความยาวคลนของอเลกตรอน

λ = d sinθ = (0.215nm)sin50! = 0.165nm

45

ผลกนเกล

ลำอเลกตรอน

ฟลาเมนต

ตวตรวจวด

รงสตกกระทบ

รงสเลยวเบน

ความยาวคลนของอเลกตรอนจากทฤษฏเดอบรอยล อเลกตรอนทเคลอนทดวยความเรงภายใตศกยไฟฟา 54 โวลตจะมพลงงานจลน K 54 อเลกตรอนโวลต ดงนนจะมโมเมนตมเปน

p = 2mK = 1c

2mc2K = 1c

2(5.11×105 eV)(54eV)

= 1c

(7430eV)

เมอความยาวคลนเดอบรอยล λ = hp

= hcpc

และ hc = 1240eV-nm ดงนน

λ = hcpc

= 1240eV-nm7430eV

= 0.167nm

เราจะเหนไดวาความยาวคลนทคำนวณจากการเลยวเบนของอเลกตรอนมคาสอดคลองกบ

กบความยาวคลนเดอบรอยล ดงนนการทดลองของเดวสสน-เจอเมอจงเปนการยนยนสมมตฐานของเดอบรอยล ซงในป ค.ศ. 1937 เดวสสนกไดรบรางวลโนเบลรวมกบจพ ทอมสน

ทงนสมบตเชงคลนของอนภาคไมไดมแตเฉพาะแตอเลกตรอนเทานน อนภาคอนๆ ทมโมเมนตม p จะมความยาวคลนเดอ บรอยล h p เชนกน เชน อนภาคนวตรอนทเกดจาก

เตาปฏกรณปรมาณทมพลงงานจลนสอดคลองกบความยาวคลนประมาณ 0.10 นาโนเมตร เขาชนกบผลกเกลอโซเดยมจะมรวของการเลยวเบนของนวตรอนดงภาพท 2.6 เราจะเหนไดวาร วของการเล ยวเบนของนวตรอนมลกษณะเหมอนกบร วการเล ยวเบนของอเลกตรอนและ รวการเลยวเบนของรงสเอกซ

ภาพท 2.6 การเลยวเบนของนวตรอนทเขาชนกบผลกโซเดยมคลอไรด(Kenneth Krane, 2012; 106)

46

ตวอยางท 2.5 จงหามมเลยวเบนสามอนดบแรกทมความสวางนอยทสดของอนภาคโปรตอน ทมพลงงานจลน 1.00 จกะอเลกตรอนโวลต เมอโปรตรอนเขาชนกบนวเคลยสของออกซเจน ซงมรศม 3.0 เฟมโตเมตร

วธทำ พลงงานรวมสมพทธของโปรตอน E = K +m0c2

E = 1.00GeV+ (1.67 ×10−27 kg)(2.998 ×108m/s)2

(1.60 ×10−19 kg-m2 /s2 -eV)

= 1.00GeV+ 0.94GeV = 1.94GeV

ดงนนจะไดโมเมนตม p = 1c

E2 − (m0c2 )2 = 1

c(1.94GeV)2 − (0.94GeV)2

pc = 1.70GeV = 1700MeV

และจะไดความยาวคลนเดอ บรอยล λ = hp

= hcpc

= 1240MeV-fm1700MeV

= 0.73fm

เราสามารถกำหนดใหนวเคลยสของออกซเจนมลกษณะเปนวงกลมดงนนสตรการเลยวเบน

จงเปน asinθ = 1.22nλ (เนองจากคลนระนาบตกกระทบบนเกรตตงรปทรงวงกลม) เมอ aคอเสนผานศนยกลางของเกรตตง ดงนนจะไดรวการเลยวเบนทมความสวางนอยทสดอนดบแรก (n =1 ) ไดเปน

sinθ = 1.22(0.73fm)6.0fm

= 0.148

นนคอ θ = sin-1(0.148) = 8.5!

เนองจาก sin ของมมเลยวเบนเปนสดสวนกบดชนหกเห n ดงนนท n = 2 จะได sinθ = 2(0.148) = 0.296

นนคอ θ = sin-1(0.296) = 17.2!

และท n = 3 จะได sinθ = 3(0.148) = 0.444

นนคอ θ = sin-1(0.444) = 26.4!

47

เราจะเหนวา มมเลยวเบนของโปรตอนจากการคำนวณมคาสอดคลองกบคาจากการทดลองคอมมมเลยวเบนประมาณ 10! 18! และ 27! ดงแสดงในภาพท 2.7

ภาพท 2.7 การเลยวเบนของโปรตอน (Kenneth Krane, 2012, 106)

2 การทดลองการแทรกสอดของอนภาคผานสลตคป ค.ศ. 1801 โทมส ยงก (Thomas Young ; 1773-1829) นกฟสกสชาวองกฤษ

ทำการทดลองและพบวาเมอแสงเดนทางผานสลตคจะเกดการแทรกสอดกนขน เนองจากปรากฏการณการแทรกสอดเปนสมบตของคลน ดงนนจงสรปวาแสงเปนคณสมบตเปนคลน ซงจากหลกการณดงกลาวทำใหสามารถเชอไดวาอนภาคจะเกดการแทรกสอดผานสลตคไดเชนกน แตอยางไรกตามเทคโนโลยในขณะนนยงมความยงยากทจะสรางเกรตตงสำหรบใชทดลอง การแทรกสอดของอนภาค จนกระทงปครตศกราช 1961 จงไดมการสรางเกรตตงสำหรบทดลองการแทรกสอดของอเลกตรอนโดยแผนภาพการทดลองดงแสดงในภาพท 2.8 (ก) เมออเลกตรอนทเกดจากการใหความรอนแกลวดฟลาเมนตถกเรงดวยศกยไฟฟาขนาด 50 เมกะอเลกตรอนโวลต (λ = 5.4pm ) ใหเคลอนทผานสลตคทหางกน 2.0 ไมโครเมตร และแตละชองของสลตกวาง

0.50 ไมโครเมตร แลวจะเกดรวการแทรกสอดทม รปแบบเหมอนกบรวการแทรกสอดของแสง ดงแสดงในภาพท 2.8 (ข)

48

มมกระเจง (องศา)

ความเขมของพลงงานโปรตอนกระเจง

(ก) (ข)ภาพท 2.8 (ก) แผนภาพอปกรณทดลองการแทรกสอด และ(ข) รวการแทรกสอดของอเลกตรอน (Kenneth Krane, 2012, 107-108)

เมอนำการทดลองการแทรกสอดมาใชกบอนภาคนวตรอนทไดจากเตาปฏกรณปรมาณ ทอณหภมหองจงมพลงงานจลนตำ (เทอรมอลนวตรอน) K ≈ kT ≈ 0.24meV คลนเดอบรอยลมความยาวคลน 1.85 นาโนเมตร เคลอนทผานชองวางทมเสนผานศนยกลาง 148 ไมโครเมตร ดงภาพท 2.9 (ก) เมอศนยกลางของชองวางมลวดโบรอน (วสดทสามารถดดกลนนวตรอนไดสง) เสนผานศนยกลาง 104 ไมโครเมตร ดงนนนวตรอนจงเคลอนทผานชองวางทงสองดานของลวดโบรอนทมความกวาง 22 ไมโครเมตร ไปยงสลตทมตวตรวจวดจำนวนนวตรอน (scanning slit) ซงผลการวดจำนวนนวตรอน เกดเปนรวการแทรกสอดดงแสดงในภาพท 2.9 (ข)

เราสามารถหา ความยาวคลนไดจาก λ = dΔyD

เมอ Δy = yn+1 − yn คอระยะหาง

ระหวางแถบทมจำนวนนวตรอนมากทอยตดกน ซงจากภาพท 2.9 (ข) จะได Δy = 75µm

ดงนนจะได

λ = dΔyD

= (126µm)(75µm)5.0m

= 1.89nm

เราจะเหนวา ความยาวคลนทไดมคาสอดคลองกบความยาวคลนเดอบรอย 1.85 นาโนเมตร

49

ฟลม

ฉากฟออเรสเซนต

อเลกตรอน

50kV

(ก)

(ข)ภาพท 2.9 (ก) แผนภาพแสดงการทดลองการแทรกสอดของนวตรอนผานสลตค และ (ข) รปแบบการแทรกสอดของนวตรอน (Kenneth Krane, 2012, 108)

กลมคลน

ในบทท 1 และหวขอทผานมา สรปไดวา บางสถานการณคลนจะประพฤตตนเปนอนภาค เรยกวา โฟตอน(photon) และบางสภานการณอนภาคหรอสสารจะประพฤตตนเสมอนเปนคลน เรยกวาคลนเดอบรอยล (de Broglie wave) ดงนนจงกลาวไดวาคลนและสสารมสมบตทวภาวะของคลนและอนภาค แตอยางไรกตาม คลนและสสารจะไมสามารถประพฤตตนเปนอนภาคหรอคลนไดในเวลาเดยวกน และทงคลนและอนภาคกมความแตกตางกนอยางชดเจนกลาวคอ อนภาคมตำแหนงทอยทแนนอน แตคลนจะแผขยายไปทวบรเวณ ไมมทอยทแนนอน ดงนนจงมแนวทางทจะรวมสมบตทวภาวะความเปนคลน-อนภาค เขาดวยกน คอการจำกดบรเวณคลน ในลกษณะ ทเรยกวา กลมคลน (wave packet)

50

ลำนวตรอน

ตวเลอกความยาวคลน

สลตเดยว สลตค

สลตตรวจวด

ตวตรวจวด

ตำแหนงของสลตตรวจวด

ความเขมของพลงงาน

กลมคลนเปนแนวคดทมความสำคญเปนอยางมากในกลศาสตรควอนตมเพราะเปนแนวคด

ทสามารถอธบายสมบตทวภาวะความเปนคลน-อนภาคของสสารและการแผรงสไดอยางชดเจน ทงนกลมคลนคอคลนทสามารถแผขยายไปในบรเวณทจำกดและกลมคลนเกดจากการซอนทบกน ของคลนจำนวนมากทมเลขคลน (ความยาวคลน) และแอมพจดทแตกตางกน เนองจากการขยายบรเวณอยางจำกดของกลมคลนจะเหมอนกบพฤตกรรมเชงอนภาคและพฤตกรรมเชงคลน ดงนนจงมความสมเหตสมผลทแทนอนภาคดวยกลมคลน

1 ฟงกชนคลน

คลนนำมการเปลยนระดบความสงของผวนำแบบขน-ลงในลกษณะเปนคาบ ในขณะทคลนเสยงเกดจากการเปลยนแปลงของความดนและแสงคอการเปลยนแปลงสนามแมเหลกและ

สนามไฟฟา แตสำหรบคลนเดอบรอยลซงเปนคลนสสารนนปรมาณทเปลยนแปลง เรยกวา ฟงกชนคลน (wave function) เขยนแทนดวยสญลกษณ Ψ โดยจะเปนฟงกชนของตำแหนงและเวลา นนคอ Ψ=Ψ(r,t) ทงนคาของฟงกชนคลน Ψ ในปรภมตำแหนง r = (x,y,z) ณ

เวลา t จะสมพนธกบโอกาสทจะพบวตถ ณ จด r ทเวลา t ซงหาไดจาก Ψ(r,t) 2

พจารณาเชอกเสนทวางอยในแนวแกน x เมอเราทำใหปลายเชอก ( x = 0 ) สนขน ลง ในแนวแกน y ดงแสดงในภาพท 2.10 ถาสมมตวาการสนของเชอกเปนการสนแบบฮารมอนก

แลวจะไดการกระจดของเชอกท x = 0 เปน y = Acos(2π ft) เมอ f คอ ความถของการสน

และ A คอแอมพลจดของคลน ทงนถาคลนเคลอนทไปตามแนวแกน x ดวยความเรว v แลวการกระจดตามแนวแกน ทตำแหนง P ใดๆ จะเขยนไดเปน

y = Acos2π f t − x v( ) (2.7)

และจาก v = fλ ω = 2π f และ k = 2πλ

จะได y = Acos 2π ft − 2π xλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ หรอ

y = Acos ωt − kx( ) (2.8)

ดงนนเราจะไดคลนเดอบรอยลหรอคลนสสารทอยในแนวแกน x มฟงกชนคลนเปน

Ψ(x,t) = Acos(ωt − kx) (2.9)

51

ในกรณปรภมสามมต จะแทน k ดวยเวกเตอร k! ซงปกตแลวจะเปนหนาคลนและจะแทน x

ดวยเวกเตอรรศม !r ดงนน kx จงแทนดวยผลคณเชงสเกลาร k!⋅ !r = kr

ภาพท 2.10 คลนในเสนเชอก (Serway & Jewett, 2014, 484)

2 ความเรวเฟสและความเรวกลมพจารณาการซอนทบกนของคลนสสาร Ψ สองขบวนทมแอมพลจดเทากน แตมความถ

แตกตางกนเลกนอย และเคลอนทอยในแนวแกน x ดงภาพท 2.11 (ก) โดยมฟงกชนคลนเปน

Ψ1(x,t) = Acos(ω1t − k1x) (2.10)

Ψ2 (x,t) = Acos(ω 2t − k2x) (2.11)

เมอ ความเรวเฟส vp (phase velocity) ของฟงกชนคลน Ψ ทงสองหาไดจาก

vp1 =ω1

k1 และ vp2 =

ω 2

k2 ตามลำดบ ทงนจากการซอนทบกนของคลนจะได

Ψ = Ψ1+Ψ2 = Acos(ω1t − k1x)+ Acos(ω 2t − k2x)

= 2Acos ω1 −ω 2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ t −

k1 − k2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥cos ω1 +ω 2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ t −

k1 + k2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

52

กำหนดให Δω = ω1 −ω 2 และ Δk = k1 − k2

ω = (ω1 +ω 2 )2

และ k = (k1 + k2 )2

ดงนนจะได

Ψ(x,t) = 2Acos Δω2t − Δk

2x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ cos(ωt − kx) (2.12)

ภาพท 2.11 แสดงการซอนทบ (superposition) ของคลนสองขบวน Ψ1 และ Ψ2

ซงมความถแตกตางกนเลกนอย

ภาพท 2.11 การซอนทบกนของคลนสองขบวนทมความถแตกตางกนเลกนอย

เมอการเปลยนแปลงอยางชาของพจนแรกของสมการ (2.12) แทน แอมพลจดของคลน โมดเลตทกำลงเคลอนทดวยความเรว

vg = ΔωΔk

(2.13)

เสนประในภาพท 2.11 แทน คลนโมดเลต ซงจะเหนไดอยางชดเจนวา คลนลพธจะถกแบงออกเปนกลม และเรยกความเรวในการเคลอนทของกลมคลนวา ความเรวกลม vg (group velocity)

53

Ψ1 = Acos(ω1t − k1x)

Ψ2 = Acos(ω 2t − k2x)

Ψ(x,t) = 2Acos Δω2t − Δk

2x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ cos(ωt − kx)

ถาคลนทมความถทตางๆ กนเพยงเลกนอยและมการแผขยายอยางคงตว จำนวนมากๆ เกดการซอนทบกน แลว เราจะหาความเรวกลมของคลนลพธ ไดจาก

vg = dωdk

(2.14)

ความเรวกลมจะขนอยกบความสมพนธระหวางความถและความยาวคลนของคลนทเกด

การซอนทบกนหรอคลนองคประกอบ ทงนถาความเรวเฟสของคลนองคประกอบทงหมดมคา เทากนและไมขนอยกบความถหรอความยาวคลน (อาทเชน คลนแสงในสญญากาศ) แลว ความเรวกลมจะมคาเทากบความเรวเฟส และกลมคลนจะคงรปรางเหมอนเดมตลอดการเคลอนท

กรณทวไป การแผขยายของคลนจะขนอยกบคณสมบตของตวกลางและคลนองคประกอบแตละคลนจะเคลอนทดวยอตราเรวทแตกตางกน ตวอยางเชน อตราเรวของคลนแสงในแกวหรอคลนเสยงในของแขงนนจะทข นอยกบความถหรอความยาวคลนดงนนรปรางของกลมคลน จงมการเปลยนแปลงตามการเคลอนทกลมคลนนนเอง และโดยทวไปแลวคลนเดอบรอยล จะมอตราเรวเฟสทตางกน ดงนน กลมคลนจงมการแผขยายไปตามการเคลอนทของคลน

ตวอยางท 2.6 จงหาความเรวกลมคลนของคลนทะเลซงเคลอนทดวยความเรวเฟส

vp =gλ2π

เมอ g คอ คาความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก

วธทำ จาก k = 2πλ

จะได vp = gλ2π

= gk

และจากความเรวเฟส vp = ωk

จะได ωk= g

k นนคอ ω = gk

หาความเรวกลมจาก vg = dωdk

= ddk

gk

= 12

gk

= 12

gλ2π

นนคอ ความเรวกลมของกลมคลนจะมคาเพมขนตามการเพมขนของความยาวคลน

54

3 ความเรวกลมของคลนเดอบรอยลสมมตวาอนภาคถกแทนดวยกลมคลนเดอบรอยล สำหรบทกๆ คลนองคประกอบ

พลงงานของอนภาคจะสมพนธกบความถของคลนเดอบรอยล นนคอ E = hυ = !ω ดงนนจะได dE = !dω และ p = !k ดงนน dp = !dk จะไดความเรวกลมของคลนเดอบรอยล

vg = dω

dk= dE !

dp ! นนคอ

vg = dEdp

(2.15)

สำหรบกรณทอนภาคมเฉพาะพลงงานจลน E = K = p2

2m แลวเราจะหา dE

dp ไดเปน

dEdp

= ddp

p2

2m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= pm

และ p = mv จะได

dEdp

= v (2.16)

สมการ (2.16) คอ ความเรวของอนภาค vparticle และจากสมการ (2.15) และ (2.16) จะได

vg = vparticle (2.17)

สมการ (2.17) แสดงใหเหนวา ความเรวของอนภาคมคาเทากบความเรวกลมของกลมคลน นนแสดงวา กลมคลนและอนภาคจะเคลอนทไปดวยกน หรอกลาวไดวา อนภาคเคลอนทไปทใหน กลมคลนเดอบรอยลจะตามตดเสมอนเปนเงาของอนภาค ดงนนถาทำการทดสอบอนภาคดวยการทดลองทางคลน กลมคลนเดอบรอยลของอนภาคจงแสดงตนเสมอนเปนคลนดวยเสมอ ทงนจงกลาวไดวา อนภาคไมเคยหลกหน ธรรมชาตเชงคลนของตวมนเองไดเลย ทงนเราสามารถหาความเรวเฟสของคลนเดอบรอยล vp ไดจาก vp = λυ เมอความยาวคลนเดอบรอยล คอ

λ = h mv และเราจะหาความถ υ ไดจาก E = hυ ซงสมพทธกบ E =mc2 ดงนนจะได

υ = mc2 h ซงจะไดความเรวเฟสของคลนเดอบรอยล เปน

vp = λυ = mc2

h⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

hmv

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = c

2

v

55

ทงน vp > c ไมขดแยงกบทฤษฎสมพทธภาพพเศษ เพราะวา vp คอการเคลอนทของ

เฟสของกลมคลน ไมใชการเคลอนทของคลนแตละขบวนทซอนทบกนทำใหเกดเปนกลมคลน ดงนนความเรวเฟสจงไมใชการเคลอนทของอนภาค

ตวอยางท 2.7 จงหาพลงงานจลน ความเรวกลมเฟสและความเรวกลมของอเลกตรอนทมความยาวคลนเดอบรอยล 2.0 ×10−12 เมตร

วธทำ จาก K = E − E0 และ E = (pc)2 − E02

เมอ E0 = m0c2 = 8.2 ×10−14 J

และ pc = hcλ= (6.625 ×10−34 J-s)(3.0 ×108 m/s)

2.0 ×10−12 m = 9.9 ×10−14 J

E = ( 9.9 ×10−14 )2 − (8.2 ×10−14 )2 = 1.3×10−13 J

ดงนน K = E − E0 = 1.3×10−13 J − 0.82 ×10−13 J = 4.8 ×10−14 J

หรอ K = 300keV

หาความเรวของอเลกตรอน v จาก vc

= vc

mcmc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = mvc

mc2 = pcE

นนคอ vc

= pcK +E0

= 9.9 ×10−14 J (9.9 ×10−14 )2 + ( 8.2 ×10−14 )2

= 0.77

ดงนนจะไดความเรวกลม vg = v = 0.77c

และหาความเรวเฟส จาก vp = c2

v ดงนนจะได

vp = c2

0.77c = 1.3c

56

หลกความไมแนนอน

ความไมนอนหรอความผดพลาดจากการวดขอมลและปรมาณตางๆ ทางวทยาศาสตรนนอาจจะเกดจากผทำการวดขาดประสบการณ ความชำนาญในการใชอปกรณ เครองมอการทดลอง นอกจากนแลว ความไมแนนอนของการวดยงอาจเกดจากประสทธภาพของเครองมอหรออาจจะเกดจากวธการทใช ทงนเราสามารถควบคม แกไขความไมแนนอนทเกดขนได แตอยางไรกตามยงมความไมแนนนอนอกชนดหนงทเกดขนตามธรรมชาต เราไมสามารถควบคมได เพราะการวด บางปรมาณใดๆ ปรมาณหนงเปนการรบกวนระบบทำใหปรมาณอน ๆ เกดการเปลยนแปลง ดงนนเราจงไมสามารถทำการวดปรมาณทางวทยาศาสตรไดถกตองแมนยำ

ในกลศาสตรควอนตมนนจะอธบายพฤตกรรมของอนภาคไดจากคลนซงแอมพลจดของ

คลนนนจะบอกถงตำแหนงของอนภาค ดงภาพท 2.12 (ก) แสดงคลนไซนทแผขยายอยในชวง −∞ ถง ∞ ทำใหไมสามารถบอกหรอระบตำแหนงทแนนอนของอนภาคได แตสำหรบการวดความยาวคลนจะมความถกตองแมนยำขนนนคอการวดโมเมนตมจะมความแมนยำมากขนเชนกน ในขณะทคลนในภาพท 2.12 (ข) ซงเปนสญญาณพลสแคบๆ นน เราสามารถวดหรอบอกตำแหนงทแนนอนของอนภาคไดแมนยำ แตความแมนยำในการวดโมเมนตมจะลดลง เนองจากการวดความยาวคลนมความแมนยำลดลง

(ก) (ข)

ภาพท 2.12 (ก) คลนไซนทอยในชวง −∞ ถง ∞ และ (ข) คลนพลส

1 ความไมแนนอนของการวดในฟสกสแผนเดม

การอธบายความไมแนนอนของการวดตำแหนงและความยาวคลนในฟสกสแผนเดม ดงภาพท 2.13 (ก) แสดงกลมคลนขนาดเลกมาก ๆ การกระจายตวอยในบรเวณแคบๆ Δx ซงในการวดความยาวคลนของกลมคลนนนจะทำไดยากเนองจากไมสามารถบอกตำแหนงเรมตน

และสนสดทแนนอนของกลมคลนได ดงนนการวดความยาวคลนจงมความไมแนนอนเลกๆ Δλ

57

กำหนดใหความไมแนนอนของวดเปนสวนยอย ε ของความยาวคลน ดงนน Δλ ∼ ελ โดยท εตองมคานอยกวา 1 แตเชอไดวามคามากกวา 0.01 ดงนนเราจงประมาณวา ε ∼ 0.1 เทาของขนาดหรอคด 10% ของความยาวคลน (การอธบายถงความไมแนนอนนนจะใชสญลกษณ ∼ แทนการประมาณของลำดบขนาด หรอ order of magnitude)

กำหนดใหกลมคลนมขนาดประมาณหนงความยาวคลนนนคอ Δx ≈ λ แลวจะไดผลคณของขนาดของกลมคลนกบความไมแนนอนของความยาวคลน เมอ Δx ≈ λ และ Δλ ∼ ελ เปน

ΔxΔλ ∼ ελ 2 (2.18)

จากสมการ (2.18) แสดงใหเหนวา ถาขนาดของกลมคลนมขนาดเลกลงๆ แลวความไมแนนอนของความยาวคลนจะมคาเพมมากขน

(ก)

(ข)

ภาพท 2.13 การวดความยาวคลนของคลน (ก) กลมคลนทมความยาวคลนหนงลกคลน และ (ข) กลมคลนทประกอบดวยคลนจำนวน N ลกคลน(Kenneth Krane, 2012, 111)

58

ภาพท 2.13 (ข) แสดงกลมคลนเดอบรอยลทมความยาวคลนเทากนจำนวน N ลกคลน นนคอ Δx ≈ Nλ ทงนเราสามารถหาความยาวคลนไดโดยการวดขนาดของความยาวคลน ทง N ลกคลน แลวหารดวยจำนวน N ลกคลน ในขณะทยงคงกำหนดใหความไมแนนอน ของความยาวคลนเปน ελ แตเมอหารดวย N แลวจะไดความไมแนนอนของความยาวคลนหนง

ลกคลนเปน Δλ ∼ ελ

Nเมอนำขนาดของกลมคลนมาคณกบความไมแนนอนของความยาวคลน

หนงลกคลนแลว จะได ΔxΔλ ∼ (Nλ) ελ

N⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ นนคอ ΔxΔλ ∼ ελ 2

เราจะเหนวาผลคณมคาเหมอนกบกรณกลมคลนขนาดเลกๆ ดงนนจงสามารถสรปไดวา สมการ (2.18) เปนสมบตพนฐานของคลนในฟสกสแผนเดม โดยจะไมขนอยกบชนดของคลนหรอวธทใชในการวด

ตวอยางท 2.8 ถาการวดความยาวคลนของคลนนำในระยะ 196 เซนตเมตร พบวามคลนนำจำนวน 10 ลกคลนแลวจงหาคาความไมแนนอนทนอยทสดของความยาวคลนของคลนนำดงกลาว

วธทำ เนองจากระยะ 196 เซนตเมตร มคลนจำนวน 10 ลกคลน

ดงนน หนงลกคลนจะมความยาวคลนประมาณ λ = 19610

= 19.6 เซนตเมตร

เนองจากคาความไมแนนอนจากการวดความยาวคลนควรมคาประมาณ 10% ของความยาวคลน เมอ λ =19.6 เซนตเมตร ดงนนเราจงกำหนดให ε = 0.1

และ ΔxΔλ ∼ ελ 2 จะได

Δλ ∼ ελ2

Δx = (0.1)(19.6cm)2

196cm

= 0.2 cm

เนองจากความไมแนนอนของความยาวคลนมคาเทากบ 0.2 เซนตเมตร นนแสดงวาคลนจะมความยาวคลนอยระหวาง 19.5 เซนตเมตร ถง 19.7 เซนตเมตร ดงนนเราจะบนทกผลการทดลอง ไดเปน 19.6 ± 0.1 เซนตเมตร

59

2 ความไมแนนอนของไฮเซนเบอรก

ในหวขอทผานมาเปนการอธบายความไมแนนอนทเกดขนกบคลนทกชนด และ ในหวขอนเราจะนำประยกตใชกบคลนเดอบรอยล ซงเราจะใชความสมพนธพนฐานของเดอบรอย

p = hλ

ในการหาความสมพนธของความไมแนนอนของโมเมนตม Δp กบความไมแนนอน

ของความยาวยาวคลน Δλ จาก p = hλ

จะไดผลตางเชงอนพนธเปน dp = − hλ 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dλ

เมอเปลยนเครองหมายผลตางเชงอนพนธ (d ) เปนความแตกตาง(Δ )และทไมคดเครองหมายลบ จะได

Δp = hλ 2 Δλ (2.19)

ความไมแนนอนของโมเมนตมของอนภาคมความสมพนธโดยตรงกบความไมแนนอนของ

ความยาวคลนของอนภาคทสอดคลองกบกลมคลนเดอบรอยล ซงเมอรวมสมการ (2.19) เขากบสมการ (2.18) แลวจะได

ΔxΔp ∼ εh (2.20)

สมการ (2.20) แสดงใหเหนวาความสมพนธของ Δx กบ Δp เปนสวนกลบซงกนและกน

นนคอ ถากลมคลนของอนภาคมขนาดเลกลงๆ แลวความไมแนนอนของโมเมนตม (ความเรว) ของอนภาคจะมคาเพมมากขน ทงนในกลศาสตรควอนตมมสตรสำหรบคำนวณ Δx และ Δp

ของกลมคลนทสอดคลองกบสถานการณทางกายภาพทแตกตางกน และกรณทอนภาคถกจำกดใหอยในบรเวณทแคบมาก ๆ แลว ΔxΔp ทไดจากการคำนวณจะมความเปนไปไดทนอยทสด

เปน h4π

ดงนนจะได ε = 14π

และสำหรบกลมคลนอนๆ จะมคาของ ΔxΔp ทมากกวาน

ในกลศาสตรควอนตมจะพบเทอม h2πบอยๆ จงนยมเขยนแทนดวย ! (h -bar )

! = h

2π = 1.05 ×10−34 J ⋅s = 6.58 ×10−16 eV ⋅s (2.21)

60

เราสามารถเขยนความสมพนธของความไมแนนอนในเทอมของ ! ไดเปน

ΔxΔpx ≥ 1

2! (2.22)

เมอ px คอ โมเมนตมของกลมคลนเดอบรอยลทมทศทางในแนวแกน x และสมพนธกบ

ความไมแนนอนของตำแหนงและความไมแนนอนของโมเมนตมของกลมคลน ในขณะเดยวกน

จะได ΔyΔpy ≥ !

2 และ

ΔzΔpz ≥ !

2

เรยกสมการ (2.22) วา ความไมแนนอนของไฮเซนเบอรก (Heisenberg uncertainty) และเปนตวกำหนดขอบเขตทดทสดของความเปนไปไดทจะวดตำแหนงและโมเมนตมของอนภาค

พรอมๆ กน

เนองจาก

!2

เปนคาทนอยทสดของ ΔxΔpx และสวนใหญแลว ผลคณของ ΔxΔpx

มคามากกวา

!2

ดงนนเราจงประมาณความสมพนธระหวางความไมแนนอนของตำแหนงกบ

ความไมแนนอนของโมเมนตม ไดเปน

ΔxΔpx ∼ " (2.23)

และจะได ความสมพนธระหวางความไมแนนอนของพลงงานกบความไมแนนอนของเวลา เปน

ΔEΔt ∼ " (2.24)

ความสมพนธระหวางความไมแนนอนของไฮเซนเบอรกเปนคณตศาสตรทใชในการอธบาย หลกความไมแนนอนของไฮเซนเบอรก (Heisenberg uncertainty principles) ซง แวเนอร ไฮเซนเบอรก (Werner Heisenberg ; 1901 - 1976) นกฟสกสชาวเยอรมนไดเสนอขน ในป ค.ศ. 1927 เพอนำไปใชกบกลศาสตรเมตรกซ

61

ตวอยางท 2.9 จงหาความไมแนนอนในการวดตำแหนงของอเลกตรอนซงเคลอนทไปในแนวแกน x ดวยอตราเรว 3.60 ×106 เมตรตอวนาท เมอการวดความเรวมความไมแนนอน 1.0%

วธทำ โมเมนตมของอเลกตรอน px = mxv = 3.30 ×10−24 kg-m/s

ความไมแนนอนของโมเมนตม 1.0% จะได Δpx = 3.30 ×10−26 kg-m/s

และเราสามารถหาความไมแนนอนของตำแหนง Δx ไดจาก ΔxΔpx ∼ "

Δx ∼ "

Δpx = 1.05 ×10−34 J-s

3.30 ×10−26 kg-m/s= 3.20 ×10−9 m

ตวอยางท 2.10 จงหาความไมแนนอนในการวดตำแหนงของลกเทนนส 0.150 กโลกรม ซงกำลงเคลอนทดวยอตราเรว 40.0 เมตรตอวนาทเมอการวดความเรวมความไมแนนอน 1.00 %

วธทำ โมเมนตมของลกเทนนส px = mxv = (0.150kg)(40.0m/s) = 6.00 kg-m/s

ความไมแนนอนของโมเมนตม 1.0% จะได Δpx = 6.00 ×10−2 kg-m/s

และเราสามารถหาความไมแนนอนของตำแหนง Δx ไดจาก ΔxΔpx ∼ "

Δx ∼ "

Δpx = 1.05 ×10−34 J-s

6.00 ×10−2 kg-m/s = 0.175 ×10−33 m

ตวอยางท 2.11 ถาวตถอนหนงมวล 0.500 กโลกรม เคลอนทอยในบรเวณจำกด 1.00 เมตร แลว จงประมาณความเรวทนอยทสดทจะไดวดได

วธทำ จากโจทย จะได Δx = 1 m และจาก ΔxΔpx ∼ "

จะได Δpx ∼ "

Δx = 1.05 ×10−34 J-s

1.00 m = 1.00 ×10−34 kg-m/s

และ Δvx = Δpxm

= 1.00 ×10−34 kg-m/s0.500 kg

= 2.00 ×10−34 m/s

ทงนเราจะเหนวา ผลทางควอนตมนนจะไมมผลตอการวดหรอการสงเกตในระบบมหภาพ

62

สรป

ในควอนตมฟสกส แสงมสมบตทวภาวะของคลนและอนภาค (wave-particle duality) กลาวคอบางกรณแสงจะประพฤตตนเปนคลนแมเหลกไฟฟาและบางครงแสงจะประพฤตตน

เสมอนเปนอนภาค เรยกวาโฟตอน (Photon) ดงนนเดอ บรอยล เสนอแนวคดวา อนภาคและสสารยอมสามารถประพฤตตนเสมอนคลนไดเชนกน เรยกวา คลนเดอ บรอยล (de Broglie)

ซงคลนเดอ บรอยลจะมความยาว เปน λ= hp

และมการทดลองยนยนทฤษฎของเดอบรอยล

เชน มการคนพบการเลยวเบนของรงสเอกซ (X-ray diffraction) และการเลยวเบนของอเลกตรอน (electron diffraction) หรอการแทรกสอดของอเลกตรอน เปนตน

ความสมพนธระหวางความไมแนนอนของตำแหนงและความไมแนนอนของความยาวคลน ในฟสกสแผนเดม คอ ΔxΔλ ∼ ελ 2 ในขณะทความไมแนนอนของตำแหนงและโมเมนตมของไฮเซนเบอรก คอ ΔxΔpx ∼ "

63

แบบฝกหดบทท 2

1) จงหาความยาวคลนเดอ บรอยล ของ1.1) โปรตอนทมพลงงานจลน 5.00 เมกะอเลกตรอนโวลต1.2) อเลกตรอนทมพลงงานจลน 30.0 จกะอเลกตรอนโวลต1.3) อเลกตรอนทเคลอนทดวยความเรว 2.00 ×106 เมตรตอวนาท1.4) ลกบอลมวล 0.500 กโลกรม ทเคลอนทดวยความเรว 30.0 เมตรตอวนาท

2) ถานวตรอนซงเกดจากเตาปฏกรณนวเคลยร (เทอรมอลนวตรอน) ปลดปลอยพลงงานลดลง จนมพลงงานจลน K = 3

2 kBT เมอ T คออณหภม 300 เคลวน แลว จงหา

2.1) พลงงานจลนของนวตรอน 2.2) ความยาวคลนเดอบรอยล

3) ถาการทดลองการเลยวเบนวดความยาวคลนเดอบรอยลของโปรตอนไดเปน 9.16 เฟมโตเมตร แลวจงหาอตราเรวของโปรตอนและศกยไฟฟาทใชเรงใหอนภาคโปรตอนดงกลาว

4) จงหาความยาวคลนเดอบรอยลของโปรตอนทถกเรงจากหยดนงดวยศกยไฟฟา 250 กโลโวลต

5) จงหาศกยไฟฟาทใชในการเรงอเลกตรอนใหเคลอนทผาน5.1) ไวรส เสนผานศนยกลาง 12.0 นาโนเมตร5.2) อะตอมเสนผานศนยกลาง 0.120 นาโนเมตร5.3) ควารก เสนผานศนยกลาง 1.20 เฟมโตเมตร

6) ในการศกษานวเคลยสของอะตอมโดยการเลยวเบนของอนภาคซงมความยาวคลนเดอบรอยล เทากบขนาดของเสนผานศนยกลางของนวเคลยสซงนวเคลยสของธาตหนก อาทเชน ตะกว จะมขนาดประมาณ 14 เฟมโตเมตร แลวจงหาพลงงานจลนของอนภาค

6.1) อเลกตรอน 6.2) นวตรอน 6.3) อลฟา

7) จงหาความยาวคลนเดอบรอยลของอเลกตรอนทกำลงเคลอนทดวยอตราเรว 0.999c

64

8) ถาอเลกตรอนอนภาคหนงถกกกอยในบรเวณชองวางของอะตอมซงมขนาด 0.100 นาโนเมตร แลวจงหาความไมแนนอนของโมเมนตมและพลงงานจลนของอเลกตรอน

9) จงหาความแมนยำหรอความไมแนนอนในการวดตำแหนงของวตถทกำลงเคลอนทดวยอตราเรว 1000 เมตรตอวนาท และมความแนนยำในการวด 0.01% เมอวตถดงกลาวเปน 9.1) ลกปนมวล 0.05 กโลกรม 9.2) อเลกตรอน

10) จงใชหลกความไมแนนอนในการประมาณพลงงานจลนทนอยทสดของอเลกตรอนในอะตอมไฮโดรเจนรศม 5.3×10−11 เมตร

65

66

บทท 3สมการชเรอดงเงอร

แมวากฎและทฤษฎในฟสกสแผนเดมนนจะสามารถอธบายถงพฤตกรรมของอนภาค

หรอสสารในระบบมหภาคซงเปนระบบทปราสาทสมผสของมนษยหรออปกรณและเครองมอ

ทางวทยาศาสตรสามารถสงเกตหรอวดไดถกตองและแมนยำ ตวอยางเชน กฎการเคลอนทของนวตนหรอทฤษฎแมเหลกไฟฟาของแมกซ เวลล เปนตน แตอยางไรกตามในระบบจลภาค ซงเปนระบบทมขนาดเลกมากๆ นนกฎและทฤษฎในฟสกสแผนเดมไมสามารถนำมาอธบายปรากฏการณบางอยางได เชน การแผรงสของวตถดำและปรากฏการณโฟโตอเลกตรก เปนตน อยางไรกตาม แอรวน ชเรอดงเงอร (Erwin Schrödinger ; 1887 - 1961) นกฟสกสทฤษฎชาวออสเตรย ไดเสนอแนวคดการทดลองในจนตนาการและ ไดสรางสมการชเรอดงเงอรขนมาใชในการอธบายเกยวกบคลนสสาร ซงทำใหเขาไดรบรางวลโนเบลสาขาฟสกสในป ค.ศ. 1933

การศกษากลศาสตรควอนตมดวยกลศาสตรของคลนนนเราจำเปนตองมความเขาใจถงทมา

และความหมายของสมการชเรอดงเงอรกอนท จะนำไปประยกตใชในการอธบายลกษณะ การเคลอนทและพฤตกรรมของอนภาค นอกจากนแลวเราควรตองมความร ความเขาใจเกยวกบตวดำเนนการ (operator) ทางควอนตม ซงเปนเครองมอทสำคญทใชในการศกษาหรอการวดปรมาณทางฟสกส เชน ตำแหนง โมเมนตมและพลงงานของคลนอนภาค

สมการชเรอดงเงอรทขนกบเวลา

สมการคลนในระบบพกดฉากหนงมตในแนวแกน +x โดยทวไปมกจะเขยนอยในรปของ

ฟงกชนตรโกณมต Ψ(x,t) = Asin(kx −ωt) แตเพอใหงายในการคำนวณ สวนมากแลว

จะนยมเขยนอยในรปฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

Ψ(x,t) = Aei(kx−ωt ) (3.1)

เมอ A คอ แอมพลจดของคลน และ k คอ เลขคลน (wave number) ω คอ ความถเชงมม (angular frequency )

เนองจากพลงงานควอนไตซ E = hυ โมเมนตม p = hλ

เลขคลน k = 2πλ

และ

!= h

2π ดงนนจะได

E = !ω และ p = !k (3.2)

นำสมการท (3.1) มาหาอนพนธยอยเทยบกบ x จะได

∂∂x

Ψ(x,t) = ∂∂x

Aei(kx−ωt )

= Aei(kx−ωt ) ∂∂xi(kx −ωt)

= ikAei(kx−ωt )

และจะได ∂2

∂x2 Ψ(x,t) = i2k2Aei(kx−ωt )

เนองจาก i2 = −1 ดงนนจะได

− ∂2

∂x2 Ψ(x,t) = k2Ψ(x,t) (3.3)

ในขณะเดยวกน สมการ (3.1) จะมอนพนธยอยเทยบกบ t เปน

∂∂t

Ψ(x,t) = ∂∂tAei(kx−ωt )

= Aei(kx−ωt ) ∂∂ti(kx −ωt)

= − iωAei(kx−ωt )

หรอ

i ∂∂t

Ψ(x,t) = ωΨ(x,t) (3.4)

68

กรณทอนภาคเคลอนทดวยความเรวตำมาก ๆ เมอเทยบกบความเรวแสง เราจะได พลงงานรวม E คอผลบวกของพลงงานจลนกบพลงงานศกยนนคอ

E = 12mv2 +U(x) (3.5)

ซงเราสามารถเปลยนพลงงานจลนใหอยในรปโมเมนตมไดเปน

12mv2 = 1

2mv2 m

m = m

2v2

2m = p

2

2m

และจากสมการ (3.2) p = !k จะได

12mv2 = p

2

2m = !

2k2

2m (3.6)

เมอนำสมการ (3.2) และ (3.6) ไปแทนในสมการ (3.5) แลวคณดวยฟงกชนคลน Ψ(x,t) จะได

!ωΨ(x,t) = !

2k2

2mΨ(x,t)+U(x)Ψ(x,t) (3.7)

และจากสมการ (3.3) และ (3.4) จะได

i! ∂∂t

Ψ(x,t) = − !2

2m∂2

∂x2 Ψ(x,t)+U(x)Ψ(x,t) (3.8)

เรยกสมการ (3.8) วา สมการคลนชเรอดงเงอรทขนอยกบเวลา (time dependent Schrodinger wave equation)

69

ความหมายของฟงกชนคลน

ในกลศาสตรแผนเดมนนเราสามารถอธบายการเคลอนทโดยการบอกหรอระบตำแหนง

และโมเมนตมทแนนอนของวตถหรออนภาคไดดวยกฎการเคลอนทของนวตน แตอยางไรกตาม ในทางกลศาสตรควอนตมและจากหลกความไมแนนอนของไฮเซนเบอรก เราจะไมสามารถบอกตำแหนงและโมเมนตมของอนภาคพรอมๆ กนได ทงนในการวดปรมาณทางกลศาสตรควอนตมจะใชฟงกชนคลน Ψ (wave function) แทนขนาดหรอแอมพลจลของการวดทเปนไปไดของการวดในแตละครงซงฟงกชนนนเปนจำนวนเชงซอน ซงแมกซ บอรน (Max Born, 1882-1970) นกฟสกสชาวเยอรมน เสนอวา ความนาจะเปน (probability) ของผลทเปนไปไดจากการวด จะมคาเทากบกำลงสองของแอมพลจด นนคอ probability = (amplitude)2

เนองจากการอธบายพฤตกรรมของอนภาคดวยฟงกชนคลนΨ ในกลศาสตรควอนตมนนจะนำฟงกชนคลนทไดจากการแกสมการคลนของชเรอดงเงอรมาบอกความนาจะเปนทจะพบ

อนภาคในบรเวณใดๆ ณ เวลา t เนองจากฟงกชนคลนΨ นนอาจจะเปนคาบวก ลบ จำนวนจรงหรอจำนวนเชงซอนกได แต Ψ*Ψ = Ψ 2 นน จะมคาเปนบวกเสมอ

ตวอยางท 3.1 กำหนดให Ψ= a+ib เมอ a,b เปนจำนวนจรงใดๆ และ i = −1 แลว

จงแสดงใหเหนวา Ψ*Ψ= Ψ 2 มคาเปนบวกเสมอ

วธทำ ΨΨ* = (a+ib)(a − ib) = a2 − iab + iba − i2b2 = a2 + b2

เนองจาก a2 และ b2 เปนบวกเสมอ (a2 ≥ 0 ; b2 ≥ 0 )

ดงนน a2 + b2 จงมคาเปนบวกเสมอ เชนกน เมอ a,b ตองไมเปนศนยพรอมกน

ตวอยางท 3.2 กำหนดให Ψ(x,t) = Aei(kx−ωt ) ฟงกชนคลนและ A เปนจำนวนจรง แลว

จงแสดงวา Ψ*Ψ มคาเปน บวกเสมอ

วธทำ จาก Ψ(x,t) = Aei(kx−ωt ) จะได Ψ(x,t) = Aei(kx−ωt )

ดงนน Ψ*Ψ = Ae− i(kx−ωt )( ) Aei(kx−ωt )( ) = A2

เนองจาก A เปนจำนวนจรง ดงนน A2 > 0 เสมอ

70

ฟงกชนคลนปกตและการนอรมอลไลซ

ปรมาณ Ψ*Ψdx = Ψ(x,t) 2 dx ในระบบพกดฉากหนงมตหมายถงโอกาสทจะพบ

อนภาคหรอความหนาแนนของอนภาคในชวง dx เวลา t แตถาตองการหาความนาจะเปนหรอ

โอกาสทจะพบอนภาคในชวง x1 ถง x2 นนจะทำไดโดย Ψ 2

x1

x2

∫ dx

เนองจากความนาจะเปนหรอโอกาสทจะพบอนภาคทตำแหนงใดๆ ในปรภมจะเทากบหนง นนคอ

Ψ 2

−∞

+∞

∫ dx = 1 (3.9)

เรยกสมการ (3.9) วา ฟงกชนคลนปกต (Normalized wave function)

ฟงกชนคลนอาจมคาความนาจะเปนไมเทากบหนงเสมอไป อาทเชน

′Ψ 2

−∞

∞

∫ dx = N (3.10)

เราสามารถทำใหฟงกชนคลนในสมการ (3.10) เปนฟงกชนคลนปกตไดดวยการนำคาคงตว 1N

มาคณกบสมการ (3.10) ซงเราจะเรยกวธการดงกลาวนวา การนอรมอลไลซ (normalization)

1N

′Ψ 2

−∞

∞

∫ dx = 1 (3.11)

ดงนนจะได Ψ(x,t) = 1N

′Ψ (x,t) เปนวา ฟงกชนคลนปกต

71

สมการชเรอดงเงอรไมขนกบเวลา

สมการคลนของชเรอดงเงอรเปนสมการเชงอนพนธทเปนฟงกชนของตำแหนงและเวลา ในขณะทพลงงานศกยเปนฟงกชนของตำแหนงเทานน นนคอ U =U(x) ดงนนเพอใหงาย

ในการแกสมการชเรอดงเงอร เราจะใชวธการแยกตวแปรโดยจะแยกฟงกชนคลนออกเปนฟงกชน ทขนกบตำแหนงอยางเดยว ψ (x)และฟงกชนทขนกบเวลาอยางเดยว f (t) นนคอ

Ψ(x,t) = ψ (x) f (t) (3.12)

แทนสมการ (3.12) ลงในสมการ (3.8) จะได

i!ψ (x) d

dtf (t) = − !

2

2mf (t) d 2

dx2ψ (x)+U(x)ψ (x)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (3.13)

หารสมการ (3.13) ดวย ψ (x) f (t) ดงนนจะได

i! 1f (t)

ddtf (t) = − !

2

2m1

ψ (x)d 2

dx2ψ (x)+U(x)ψ (x)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (3.14)

เราจะเหนไดวาทางดานซายของสมการ (3.14) เปนฟงกชนของเวลาอยางเดยวเทานน ในขณะเดยวกนทางดานขวาเปนฟงกชนทขนกบตำแหนงอยางเดยวเทานนดวยเชนกน ดงนนสมการ (3.14) จะเปนจรงไดกตอเมอทงสองดานของสมการจะตองมเทากบคาคงตวคาใดคาหนงเทานน นนคอ

i! 1f ( f )

ddtf (t) = C (3.15)

− !

2

2m1

ψ (x)d 2

dx2 +U(x)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ (x) = C (3.16)

จดรปสมการ (3.15) ใหม และอนทเกรตทงสองขาง จะได

df (t)f (t)

∫ = − i C!

dt0

t

∫

ซงมผลเฉลยเปน

f (t) = e− iCt! (3.17)

72

และเนองจาก e− iωt = cos(ωt)− isin(ωt)

ดงนน e− iCt! = cos C

!⎡⎣⎢

⎤⎦⎥t⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− isin C

!⎡⎣⎢

⎤⎦⎥t⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

จะได

C!

= ω หรอ C = !ω = E

นนคอ คาคงตว C คอ พลงงานรวม E ดงนนจะได

f (t) = e− iEt! = คาคงตว (3.18)

และสมการ (3.8) จงเขยนใหมไดเปน

− !

2

2md 2

dx2 +U(x)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ (x) = Eψ (x) (3.19)

และฟงกชนคลนเปน

Ψ(x,t) = ψ (x)e− i E!t (3.20)

เรยกสมการ (3.19) วา สมการคลนชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา (Time-independent Schrodinger wave equation)

ฟงกชนคลน Ψ ทไดมาจากการแกสมการชเรอดงเงอรนนจะเปนฟงกชนคลนทสามารถ ใชแทนอนภาคไดนน จำเปนตองมสมบต ดงน

1) ฟงกชนคลน Ψ และ dΨdx

ตองมคาตอเนอง ทกบรเวณ

2) ฟงกชนคลน Ψ ตองเปนคาทแนนอน ซงทำให Ψ 2∫ dx มคาแนนอน

3) ฟงกชนคลน Ψ ทตำแหนงหนงๆ ตองมคาเดยว (single value)

นอกจากนแลว ฟงกชนคลน Ψ ยงมสมบตการแทรกสอด ซงเปนสมบตเชงคลนของอนภาค

73

ตวดำเนนการและคาคาดหมาย

แมวาฟงกชนคลนจะประกอบไปดวยขอมลทางฟสกสของอนภาคอยางมากมายกตาม แตถงกระนนเรากยงไมสามารถสงเกตหรอทำการวดปรมาณในทางกลศาสตรควอนตมเหลานน ไดโดยตรง อยางไรกตามเราสามารถใชตวดำเนนการทสอดคลองกบปรมาณตางๆ นน มาชวย ในการวดหรอสงเกตทางฟสกสของอนภาคได

1 ตวดำเนนการ

กำหนดใหโอเปอเรเตอร A! เปนตวดำเนนการทสอดคลองกบปรมาณทสงเกตได aแลวเราจะไดสมการคาไอเกน (eigenvalue equation) เปน

A!Ψ = aΨ (3.21)

เรยกฟงกชนคลน Ψ วา ฟงกชนไอเกน (eigenfunction)

และเรยกปรมาณทสงเกตได a วา คาไอเกน (eigenvalue) พจารณาสมการชเรอดงเงอรไมขนกบเวลาในระบบพกดฉากหนงมต

− !

2

2md 2

dx2 +U(x)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ (x) = Eψ (x) (3.22)

กำหนดให T! = − "

2

2md 2

dx2 และ U! =U(x) แลวจะได

H! = T!+U!

เมอ T! คอ ตวดำเนนการพลงงานจลน (Kinetic energy operator) U! คอ ตวดำเนนการพลงงานศกย (Potential energy operator)และ H! คอ ตวดำเนนการแฮมลโทเนยน (Hamiltonian operator)

ดงนนเราจงสามารถเขยนสมการ (3.22) ไดเปน

H!ψ (x) = Eψ (x) (3.23)

74

2 คาคาดหมาย

การวดปรมาณจากการทดลองทางวทยาศาสตรนนจำเปนตองทำการวดหลายๆ ครง แลวนำคาทไดจากการวดมาหาคาเฉลย ในทางกลศาสตรควอนตมกเชนกน เมอทำการวดปรมาณทสงเกตไดหลายๆ ครง กจะนำคาทไดจากการวดมาหาคาเฉลยแตจะเรยกคาเฉลยนนวา “คาคาดหมาย”(expectation value) เขยนแทนดวย

ตวอยางเชน ถา a เปนปรมาณทสงเกตไดซงสอดคลองกบตวดำเนนการ A! ทอยใน

สถานะ Ψ แลว จะไดวา

a = Ψ*A!Ψdr∫Ψ*Ψdr∫

(3.24)

แตถา Ψ เปนฟงกชนคลนปกต (normalized wave function) แลว จะได

a = Ψ*A!Ψdr∫ (3.25)

ตารางท 3.1 แสดงตวดำเนนการทสำคญในกลศาสตรควอนตมทสอดคลองกบปรมาณในกลศาสตรแผนเดมในระบบพกดฉากหนงมตในแนวแกน x

ตารางท 3.1 ปรมาณในกลศาสตรแผนเดม ตวดำเนนการทางกลศาสตรควอนตมและคาคาดหมายในระบบพกดฉากหนงมต

ปรมาณใน

กลศาสตรแผนเดม

ปรมาณใน

กลศาสตรแผนเดม

ตวดำเนนการทาง

กลศาสตรควอนตม

คาคาดหมาย

ตำแหนง

(Position) x x = x x = Ψ*xΨdx∫

โมเมนตม

(Momentum)px

px = − i! ∂

∂x px = Ψ* −i! ∂Ψ

∂x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx∫

พลงงาน

(Energy)E

E! = i" ∂

∂t E = Ψ* i! ∂Ψ

∂t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ dx

75

ตวอยางท 3.3 กำหนดให Ψ(x,t) = Asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

− iE0t!เปนฟงกชนคลนปกต

ภายใตเงอนขอบเขต 0 ≤ x ≤ a แลวจงหา ก) คาคงตว ข) คาคาดหมายตำแหนง x

ค) คาคาดหมายโมเมนตม px

ง) คาคาดหมายพลงงาน E

วธทำ ก) หาคาคงตว A จากการนอรมอลไลซ Ψ*Ψdx∫ = 1

เมอ Ψ(x,t) = Asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

−iE0t ! จะได Ψ*(x,t) = A* sin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t !

ดงนน Ψ*Ψdx∫ = A* sin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t! Asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

− iE0t! dx

0

a

∫ = 1 (3.26)

เนองจาก A* = A และ eiE0t! i e

− iE0t! = e0 = 1

ดงนนจะได A 2 sin2 π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫ = 1 (3.27)

เนองจากเราไมสามารถอนทเกรต sin2 π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫ ไดโดยตรง

แตเนองจาก sin2θ = 1− cos2θ2

ดงนน เราจงสามารถเขยนสมการ (3.27) ใหมไดเปน

12A 2 1− cos 2π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥dx

0

a

∫ = 1

12A 2 dx

0

a

∫ − cos 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫ ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 1

76

12A 2 x 0

a − a2π

sin 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x=0

a⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= 1

12A 2 (a − 0)− a

2πsin2π − a

2πsin0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 1

และจาก sin2π = sin0 = 0 จะได 12A 2 a = 1

นนคอ A = 2a

(3.28)

ดงนนจะไดฟงกชนคลนเปน Ψ(x,t) = 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

− iE0t! (3.29)

ข) หาคาคาดหมายตำแหนง x จาก x = Ψ*xΨdx∫ = Ψ*xΨdx∫

x = 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t! x 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

− iE0t! dx

0

a

∫

= 2a

xsin2 π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫

= 2a

x2

1− cos 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥dx

0

a

∫

= 1a

xdx0

a

∫ − xcos 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= 1a

x2

2 x=0

a

− ax2π

sin 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x=0

a

+ a2π

sin 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= 1a

a2

2− 0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− a2

2πsin 2πa

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − 0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

a2π

sin 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= 1a

a2

2− 0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− a2

2πsin 2π( )− 0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

a2π

sin 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

77

x = 1a

a2

2− 0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− 0 − 0[ ]+ a

2πsin 2π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= a2+ 1

2πsin 2π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫

= a2− a

4π 2 cos 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x=0

a⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= a2− a

4π 2 cos 2πaa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − cos0⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= a2

ดงนนจะได คาคาดหมายตำแหนงของ x เทากบ a2

ค) คาคาดหมายโมเมนตมในแนวแกน x : px

จาก px = Ψ* pxΨdx∫ = Ψ* −i! ∂Ψ

∂x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx∫

px = 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t! −i! ∂

∂x 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

− iE0t!

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟dx

0

a

∫

= 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t! 2

ae− iE0t!

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−i! ddx

sin π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟dx

0

a

∫

= − i! 2

a sin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t! e

− iE0t!

ddx

sin π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟dx

0

a

∫

= − i! 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ddx

sin π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

a

∫ dx

= − i! 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ddx

π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

a

∫ dx

78

px = − i! 2

a πa

sin π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫

= − i! 2

a sin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dsin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

a

∫

= − i! 2

a 1

2sin2 π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥x=0

a

= − i! 2

a 1

2sin2 πa

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − 0⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= 0

ดงนน คาคาดหมายโมเมนตมในแนวแกน x เทากบ 0

ง) หาคาคาดหมายพลงงาน E

จาก E = Ψ*E!Ψ∫ dx

= Ψ* i! ∂Ψ

∂t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ dx

E = 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t! i! ∂

∂t 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

− iE0t!

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟dx

0

a

∫

= i! 2

asin π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2a

sin π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t! d

dt e

− iE0t!

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

0

a

∫

= i! 2

asin2 π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t! − iE0

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

− iE0t! dx

0

a

∫

= i! 2

a− iE0

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ sin2 π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

iE0t! e

− iE0t! dx

0

a

∫

= 2E0

a sin2 π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫

79

E = 2E0

a 12

1− cos 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥dx

0

a

∫

= E0

adx

0

a

∫ − cos 2π xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

0

a

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= E0

ax x=0a − a

2πsin 2π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥x=0

a⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= E0

a(a − 0)− a

2πsin 2π( )− 0( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= E0

ดงนน คาคาดหมายของพลงงาน เทากบ E0

ตวอยางท 3.4 กำหนดให ψ (x) = Ax เปนฟงกชนคลนของอนภาคทเคลอนทอยในชวง

0 ≤ x ≤1.00 แลวจงหา ก) คาคงตว A ข) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวง 0.300 ≤ x ≤ 0.400 ค) คาคาดหมายตำแหนง x

วธทำ ก) หาคาคงตวA จาก ψ *ψ dx∫ = 1 เมอ ψ *(x) = ψ (x) = Ax

จะได A 2 x2

0

1.00

∫ dx = 1

A 2 x2

0

1.00

∫ dx = A 2 x3

3 0

1.00

= (1.00)3 − 03

3A 2 = 1

ดงนน A = 3 และ ψ (x) = 3x

80

ข) หาความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวง 0.300 ≤ x ≤ 0.400

จาก P(x1, x2 ) = ψ (x) 2

x1

x2

∫ dx

จะได P(0.300, 0.400) = ( 3x)2

0.300

0.400

∫ dx

= x30.300

0.400

= (0.400)3 − (0.300)3

= 0.037

= 3.70%

ค) หาคาคาดหมายตำแหนง x

จาก x = ψ *xψ dx∫ = ψ *xψ dx∫

จะได x = ( 3x)0

1.00

∫ x( 3x)dx

= 3 x3

0

1.00

∫ dx

= 3 x4

4 0

1.00

= 3 (1.00)4 − 04

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 0.75

= 75%

81

ตวอยางท 3.5 กำหนดให ψ (x) = 2L

sin π xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ เปนฟงกชนคลนของอเลกตรอนทเคลอนท

อยในชวง 0 ≤ x ≤ L แลวจงหาความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวง L4≤ x ≤ 3L

4

วธทำ หาความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวง L4≤ x ≤ 3L

4

จาก P(x1, x2 ) = ψ (x) 2

x1

x2

∫ dx

จ ะได P L4

,3L4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2

Lsin2 π x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L/4

3L/4

∫ dx

= 1L

1− cos 2π xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥L/4

3L/4

∫ dx

= 1L

dxL/4

3L/4

∫ − cos 2π xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

L/4

3L/4

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= 1L

x − L2π

sin 2π xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥x=L

4

3L4

= 1L

3L4

− L4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

12π

sin 3π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − sin π

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 12+ 1π

≈ 0.82 ≈ 82%

82

สมการชเรอดงเงอรในระบบพกดฉากสามมต

ในหวขอทผานๆ เราไดอธบายถงสมการชเรอดงเงอรและการประยกตใชในการแกปญหาในระบบพกดฉากหนงมต แตเพอใหเขาใจถงโครสรางของอะตอมซงเปนสามมต ดงนนในหวขอนเราจงจะไดอธบายถงสมการชเรอดงเงอรในระบบพกดฉากสามมตและการประยกตใช

กำหนดให Ψ เปนฟงกชนคลนทเปนฟงกชนของเวลาและปรภม (x,y,z) แตพลงงานศกย

เปนฟงกชนของปรภมเทานน นนคอ U(x, y, z) เมอ − !

2

2m∂2Ψ∂x2

คอพลงงานจลนของ

อนภาคทอธบายดวยฟงกชนคลน Ψ เชน Ψ(x,t)= Aeikxe− iωt เปนฟงกชนคลนของอนภาค

ทมขนาดของโมเมนตม เปน p = !k และพลงงานจลน K = p2

2m แลวจะได

!2k2

2mAeikxe− iωt = p

2

2mΨ(x,t) = KΨ(x,t) (3.30)

ถาอนภาคเคลอนทอยในระบบพกดฉากสามมตแลวอนภาคจะมโมเมนตมองคประกอบ

เปน (px , py , pz ) และพลงงานจลนเปน

K = px2

2m+py

2

2m+pz

2

2m (3.31)

ดงนนจะไดสมการคลนชเรอดงเงอรในระบบพกดฉากสามมตเปน

− !2

2m∂2

∂x2 Ψ(x, y, z,t)+ ∂2

∂y2 Ψ(x, y, z,t)+ ∂2

∂z2 Ψ(x, y, z,t)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+U(x, y, z)Ψ(x, y, z,t) = i! ∂∂t

Ψ(x, y, z,t) (3.33)

เมอ ∇2 = ∂2

∂x2 +∂2 ∂y2 +

∂2 ∂z2

และ r = x, y, z จะได

− !

2

2m∇2Ψ(r,t)+U(r)Ψ(r,t) = i! ∂

∂tΨ(r,t) (3.34)

เรยกสมการ (3.34) วา สมการชเรอดงเงอรในระบบพกดฉากสามมต

83

ทงนเราสามารถการอธบายฟงกชนคลนสามมต Ψ(x,y,z,t) ไดเชนเดยวกบฟงกชน

คลนหนงมต นนคอ ถาฟงกชนคลนเปนจำนวนเชงซอนซงประกอบดวยสวนจรงและสวนจนตภาพแลว Ψ(x, y, z,t) 2 ซงเกดการผลคณของ Ψ(x,y,z,t) กบสงยคของตวมนเอง Ψ*(x,y,z,t)

จะเปนจำนวนจรงบวกหรอศนย เสมอ ในขณะท Ψ(x,y,z,t) 2 dV คอความนาจะเปนหรอ

โอกาสทจะพบบอนภาคในปรมาตรเลก dV ทมจดศนยกลางอยท (x,y,z) ณ เวลา t ใดๆ

ดงนน Ψ(x, y, z,t) 2 จงเปนการแจกแจงฟงกชนความนาจะเปนในระบบพกดสามมต และกา

รนอรมอลไลซในปรภมตำแหนงจงเทากบ 1

Ψ(x, y, z,t) 2∫ dV = 1 (3.35)

ถาฟงกชนคลน Ψ(x, y, z,t) แทนสถานะของพลงงานทแนนอน E ซ งเปนสถานะหยดนง

แลวเราจะสามารถเขยนผลคณของฟงกชนคลนทเปนฟงกชนปรภมตำแหนง ψ (x, y, z) และ

ฟงกชนเวลา exp − iEt

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ไดเปน

Ψ(x,y,z,t) = ψ (x,y,z)e− iEt! (3.36)

และจะไดสมการชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลาของสถานะหยดนงในระบบพกดฉากสามมตเปน

− !

2

2m∂2

∂x2ψ + ∂2

∂y2ψ + ∂2

∂z2ψ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+U(x, y, z)ψ = Eψ (3.37)

เมอ ψ = ψ (x, y, z)

ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนของสถานะหยดนงจะเทากบกำลงสองของคาสมบรณของฟงกชนตำแหนง

ψ (x,y,z)e

− iEt!

2

= ψ *(x,y,z)eiEt!ψ (x,y,z)e

− iEt! = ψ (x,y,z) 2 (3.38)

84

อยางไรกตาม ฟงกชนพลงงานศกยของอเลกตรอนในอะตอมซงมลกษณะเปนทรงกลม โดยทพลงงานศกยจะขนอยกบระยะ r = x2+y2+z2 ดงนนเพอใหงายในการคำนวณจงตอง

ใชระบบพกดทรงกลม (r,θ ,φ ) แทนระบบพกดฉาก (x, y, z ) ซงลาปลาเซยน ∇2 เปน

∇2 = 1r∂ ∂r

r ∂ ∂r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

1r2 sinφ

∂2 ∂θ 2 +

1r2 sinφ

∂∂φ

sinφ ∂∂φ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(3.39)

เอกสารเลมนเราไมไดอธบายถงรายละเอยดเกยวกบการนำพกดทรงกลมมาใชในสมการ ชเรอดงเงอร แตทงนผเรยนสามารถศกษาเพมเตมไดจากตำราหรอหนงสอกลศาสตรควอนตม

1 อนภาคในกลองลกบาศก

พจารณาอนภาคทถกลอมดวยกลองลกบาศกทแตละดานกวาง L อนภาคดงกลาว

สามารถเคลอนทอยภายในในกลองไดอยางอสระแตไมสามารถทะลผานผนงของกลองออกมาได ทงนเราจะเลอกมมดานใดดานหนงของกลองเปนจดกำเนดของแกน x y และ z ตามลำดบ

ดงแสดงในภาพท 3.1 แลวอนภาคจะถกขงอยในบรเวณ 0 ≤ x ≤ L 0 ≤ y ≤ L และ 0 ≤ z ≤ L

เมอกำหนดใหพลงงานศกยภายในกลองมคาเปนศนยและดานนอกกลองมพลงงานศกยเปนอนนต ดงนนฟงกชนคลนในปรภมตำแหนง ψ (x, y, z) บรเวณดานนอกของกลองตองเปนศนย เพอทวา

U(x, y, z)ψ (x, y, z) จะไมเปนอนนตและฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน ψ (x, y, z) 2

บรเวณดานนอกของกลองจะเปนศนย นนคอ ความนาจะเปนหรอโอกาสทจะพบอนภาคดานนอกของกลองกมคาเปนศนย ดวยเชนกน

ฟงกชนคลนของปรภมตำแหนงสำหรบสถานะหยดนงของอนภาคทอยภายในกลอง ลกษาศกซงมพลงงานศกย U(x, y, z) = 0 จะเปนไปตามสมการชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา

− !

2

2m∂2

∂x2ψ (x, y, z)+ ∂2

∂y2ψ (x, y, z)+ ∂2

∂z2ψ (x, y, z)⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= Eψ (x, y, z) (3.40)

85

เนองจากฟงกชนคลนภายในและนอกกลองมตองมความตอเนองกนนนคอฟงกชนคลน ψ (x, y, z) ทผนงกลองจงตองมคาเปนศนย ดงนน ภายใตเงอนไขขอบเขต x = 0 x = L

x = 0 y = L z = 0 และ z = L จะม ψ (x, y, z)= 0

ภาพท 3.1 อนภาคถกกกอยในบรเวณ 0 ≤ x ≤ L 0 ≤ y ≤ L และ 0 ≤ z ≤ L

2 ฟงกชนคลนของอนภาคในกลองลกบาศก

เราสามารถใชเทคนคการแยกตวแปรเชนเดยวกบ Ψ(x, y, z,t)=ψ (x, y, z)e− iEt!

ดงนนฟงกชนคลนของปรภมตำแหนง ψ (x, y, z) จงเปนผลคณของฟงกชน X Y และ Z

ซงเปนฟงกชนทขนอยกบ x y และ z ตามลำดบ เทานน นนคอ

ψ (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) (3.41)

เมอแทนสมการ (3.41) ลงใน (3.40) แลวเราจะได

− !

2

2mY (y)Z(z) d

2X(x)dx2 + X(x)Z(z) d

2Y (y)dy2 + X(x)Y (y) d

2Z(z)dz2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= EX(x)Y (y)Z(z) (3.42)

อนพนธยอยในสมการ (3.40) กลายเปนอนพนธสามญดงสมการ (3.42) ไดเนองจากเปนฟงกชนทมตวแปรเดยว และเมอนำ X(x)Y (y)Z(z) ไปหารสมการ (3.42) ตลอด แลวจะได

− !

2

2m1

X(x)d 2X(x)dx2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ − !

2

2m1

Y (y)d 2Y (y)dy2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ − !

2

2m1Z(z)

d 2Z(z)dz2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= E (3.43)

86

x = Ly = L

z = L

Oy

x

z

เราจะเหนวาทางขวาของสมการ (3.43) คอพลงงานของสถานะหยดนงซงจะไมขนกบคาของ x y และ z และสมการ (3.43) จะเปนจรงไดกตอเมอทางซายของสมการ (3.43)

ไมขนกบคาของ x y และ z ดวยเชนกน ดงนน พจนแรกในวงเลบทางซายของสมการ (3.43)

จงตองมคาเทากบคาคงตว EX ซงทไมขนกบ x และพจนทสองในวงเลบกขนอยกบคาคงตว

EY ซงไมขนกบ y และพจนสดทายในวงเลบกเทากบคาตว EZ ซงทไมขนกบ z ดวยเชนกน

ดงนน เราจงสามารถแยกสมการ (3.43) ออกเปนสามฟงกชน คอ

− !

2

2md 2X(x)dx2 = EXX(x) (3.44)

− !

2

2md 2Y (y)dy2 = EYY (y) (3.45)

− !

2

2md 2Z(z)dz2 = EZY (z) (3.46)

เพอใหสอดคลองกบเงอนไขขอบเขต ψ (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z)= 0 ทผนงของกลอง

เราตองกำหนดให X(x)= 0 ท x = 0 และ x = L Y (y)= 0 ท y = 0 และ y = L

Z(z)= 0 ท z = 0 และ z = L อยางไรกตามเราสามารถอธบายคาคงตว EX EY และ EZ

ในสมการ (3.44) - (3.46) ไดเปน

EX +EY +EZ = E (3.47)

พลงงานรวม E ในสมการ (3.47) คอผลรวมของพลงงานจลนของอนภาคทไดจากโมเมนตมองคประกอบตามแกน x y และ z ตามลำดบ ดงนนคาคงตว EX EY และ EZ

จงเปนคาทบอกถงคาของพลงงานของอนภาคทเคลอนทอยในแตละแนวแกนภายในกลอง นนเอง (พลงงานศกยภายในกลองมคาเปนศนย ดงนนพลงงานของอนภาคจงเปนพลงงานจลนเทานน)

87

เราจะเหนวาสมการ (3.44) - (3.46) เปนสมการเชงอนพนธสามญอนดบสอง ดงนน จงมผลเฉลยเปน

XnX (x) = CX sin nXπ xL

; (nX = 1,2,3,..) (3.48)

YnY (y) = CY sin nYπ yL

; (nY = 1,2,3,..) (3.49)

ZnZ (z) = CZ sin nZπzL

; (nZ = 1,2,3,..) (3.50)

เมอ CX CY และ CZ คอคาคงตว

เนองจาก ψ (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) ดงนนเราจะไดฟงกชนคลนในสถานะหยดนง

ของอนภาคในกลองสามมตทรงลกบาศก เปน

ψ nX ,nY ,nZ(x, y, z) = C sin nXπ x

Lsin nYπ y

Lsin nZπz

L (3.51)

เมอ C = CXCYCZ ซงเราสามารถหาคาคงตว C ไดโดยการนอรมอลไลซ ดงตวอยางเชน

พจารณากรณ (nX ,nY ,nZ )= (2,1,1) จะมฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน

ψ 2,1,1(x, y, z)2

= C 2 sin2 2π xL

sin2 π yL

sin2 πzL

(3.52)

ภาพท 3.2 (ก) แสดงฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนมคาเปน ศนย ทระนาบ x = L2

เมอ sin2 2π xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = sin2 π = 0 และเราจะเหนวา อนภาคเกอบทงหมดจะอยในบรเวณใกลๆ

(x, y, z) = L4

, L2

, L2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ หรอ (x, y, z) = 3L

4, L2

, L2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ในขณะทภาพท 3.2 (ข) - (ค)

แสดงแสดงฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนในกรณท (nX ,nY ,nZ ) = (1,2,1) และ

(nX ,nY ,nZ ) = (1,1,2)

88

(ก) ψ 2,1,12 (ข) ψ 1,2,1

2 (ค) ψ 1,1,22

ภาพท 3.2 ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน เมอ (nX ,nY ,nZ ) เปน (ก) (2,1,1)

(ข) (1,2,1) และ (ค) (1,1,2)

3 ระดบพลงงานและดเจนเนเรซ

เราจะหาคาคงตว EX EY และ EZ ไดโดยการแทนสมการ (3.48) - (3.50) ลงใน

สมการ (3.44) - (3.46) ตามลำดบ จะได

EX = nX

2π 2!2

2mL ; (nX = 1,2,3,..) (3.53)

EY = nY

2π 2!2

2mL ; (nY = 1,2,3,..) (3.54)

EZ = nZ

2π 2!2

2mL ; (nZ = 1,2,3,..) (3.55)

เมอแทนสมการ (3.53) - (3.55) ลงในสมการ (3.47) เราจะไดระดบพลงงานของสถานะหยดนงของอนภาคในกลองลกบาศกสามมต เปน

EnX ,nY ,nZ

= (nX2 + nY

2 + nZ2 )π 2!2

2mL2 (3.56)

89

x x xy y y

z z z

ระดบพลงงานของอนภาคในกลองสามมตมขนาดของดานทแตกตาง เปน LX LY และ LZ

EnX ,nY ,nZ

= nX2

LX2 + nY

2

LY2 + nZ

2

LZ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟π 2!2

2m (3.57)

เมอ nX = 1,2,3,.. : nY = 1,2,3,.. : nZ = 1,2,3,..

ภาพท 3.3 แสดงระดบพลงงานตำสด 6 ระดบซงไดจากสมการ (3.56) เราจะเหนไดวาระดบพลงงานจะสอดคลองกบเซตของเลขควอนตม (nX ,nY ,nZ ) มากกวาหนงเซต และ

มมากกวาหนงสถานะควอนตม ทงนจะเรยกสถานะควอนตมทแตกตางกนตงแตสองสถานะขนไปแตอยในระดบพลงงานเดยวกนวา ดเจนเนอเรซ (degeneracy) และเรยกสถานะทมระดบพลงงานเทากนวา ดเจนเนอเรต (degenerate)

ภาพท 3.3 ระดบพลงงานและดเจนเนอเรซ

90

(3,2,1), (3,1,2), (1,3,2)(2,3,1), (1,2,3), (2,1,3)

(3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

(2,1,1), (1,2,1), (1,1,2)

(2,2,2)

(1,1,1)

(2,2,1), (2,1,2), (1,2,2)

E = 0

E1,1,1

2E1,1,1

4E1,1,1

3E1,1,1

113 E1,1,1

143 E1,1,1

ตวอยางท 3.6 กำหนดให ψ nX ,nY ,nZ(x, y, z) = C sin nXπ x

Lsin nYπ y

Lsin nZπz

L

เปนฟงกชนคลนในสถานะหยดนงของอนภาคในกลองสามมตทรงลกบาศก แลวจงหาก) คาคงตว C

ข) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในบรเวณ 0 ≤ x ≤ L4

ดงภาพท 3.4 ในกรณท

1) (nX ,nY ,nZ )= (1,2,1)

2) (nX ,nY ,nZ )= (2,1,1)

3) (nX ,nY ,nZ )= (3,1,1)

ภาพท 3.4 ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในบรเวณ 0 ≤ x ≤ L 4

วธทำ ก) หาคาคงตว C จาก ψ nX ,nY ,nZ(x, y, z) = C sin nXπ x

Lsin nYπ y

Lsin nZπz

L

และการนอรมอลไลซ ψ nX ,nY ,nZ(x, y, z)

2dV∫ = 1

ψ nX ,nY ,nZ(x, y, z)

2dV∫ = C 2 sin2 nXπ x

Lsin2 nYπ y

Lsin2 nZπz

Ldxdydz = 1

x=0

L

∫y=0

L

∫z=0

L

∫

= C 2 sin2 nZπzL

dz sin2 nYπ yL

dy sin2 nXπ xL

dxx=0

L

∫y=0

L

∫z=0

L

∫ = 1

เราสามารถใชเอกลกษณ sin2θ = 12

1− cos2θ( ) ซงจะได

91

x = Ly = L

z = L

yx

z

x = L 4

O

sin2 nXπ xL

dxx=0

L

∫ = 12

1− cos 2nXπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dx

x=0

L

∫

= L2nXπ

nXπ xL

− 12

sin 2nXπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= x2− L

4nXπsin 2nXπ x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥x=0

L

= L − 02

− L4nXπ

sin2nXπ − sin0( )

= L2

(เมอsin0 = 0 และ sin(nXπ ) = 0 )

ในขณะเดยวกน เรากจะได sin2 nYπ yL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dy

y=0

L

∫ = L2

และ sin2 nZπzL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dz

z=0

L

∫ = L2

ดงนนจะได C 2 L2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1 หรอ C 2 = 2

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

ถา C เปนจำนวนจรงบวกแลวจะได C = 2L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

ข) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในบรเวณ 0 ≤ x ≤ L4

P(0 ≤ x ≤ L 4) = ψ nX ,nY ,nZ(x, y, z)

2

x=0

L/4

∫ dV

= 2L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

sin2 nXπ xL

dxx=0

L/4

∫ sin2 nYπ yL

dy sin2 nZπzL

dzz=0

L

∫y=0

L

∫

92

เมออนทเกรตตามแนวแกน x เปน

sin2 nXπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dx

x=0

L/4

∫ = x2− L

4nXπsin 2nXπ x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥x=0

L4

= L8− L

4nXπsin nXπ

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ดงนนโอกาสหรอความนาจะเปนทจะพบอนภาคในบรเวณ 0 ≤ x ≤ L4

จงเปน

P(0 ≤ x ≤ L 4) = 2L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 L8− L

4nXπsin nXπ

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥L2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 14− 1

2nXπsin nXπ

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

เนองจากโอกาสทจะพบอนภาคขนอยกบคาของ nX เทานน ไมขนอยกบคาของ nY หรอ nZ

ดงนนจะได

1) (nX ,nY ,nZ )= (1,2,1)

nX = 1 : P = 14− 1

2(1)πsin π

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1

4− 1

2π(1) = 0.091

2) (nX ,nY ,nZ )= (2,1,1)

nX = 2 : P = 14− 1

2(2)πsin 2π

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1

4− 1

4πsinπ = 1

4 = 0.250

3) (nX ,nY ,nZ )= (3,1,1)

nX = 3 : P = 14− 1

2(3)πsin 3π

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1

4− 1

6π(−1) = 1

4+ 1

6π= 0.303

93

สรป

กำหนดให Ψ(x,t) = Ae−(kx−ωt ) คอฟงกชนคลนในระบบพกดฉากหนงมตทเคลอนท

ตามแนวแกน x แลวจะได ∂2

∂x2 Ψ(x,t) = − k2Ψ(x,t) และ ∂∂t

Ψ(x,t) = − iωΨ(x,t)

เนองจาก E = p2

2m+U เมอ E = !ω และ p = !k ดงนนจะไดสมการชเรอดงเงอร

ทขนกบเวลา เปน i! ∂∂t

Ψ = − !2

2m∂2

∂x2 Ψ +U(x)Ψ เมอ Ψ=Ψ(x,t) แตเนองจาก

พลงงานศกย U(x) ขนอยกบตำแหนงเทานน ดงนนจะไดสมการชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา

เปน − !

2

2md 2

dx2 +U(x)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ (x) = Eψ (x)

การอธบายพฤตกรรมของอนภาคดวยฟงกชนคลน Ψ ในกลศาสตรควอนตมซงบรรจ

ขอมลและพฤตกรรมของอนภาค อาทเชน ตำแหนง โมเมนตมและพลงงานของอนภาค นน เราตองทำการแกสมการชเรอดงเงอร แตอยางไรกตามเนองจากฟงกชนคลนนนบรรจขอมลทางฟสกสของอนภาคอยางมากมายและเรากไมสามารถสงเกตหรอวดปรมาณเหลานนไดโดยตรง ทงนในทางกลศาสตรควอนตมนนจะใชตวดำเนนการหรอโอเปอเรเตอร เปนเครองมอในการวดปรมาณตางๆ ทางฟสกส และคาทวดไดนนจะเปนคาทบอกถงโอกาสหรอความนาจะเปน เทานน

94

แบบฝกหดบทท 3

1) กำหนดให Ψ(x,t) = Asin(nπ x b)e− iE0t! เปนฟงกชนคลนปกต

ในชวง 0 ≤ x ≤ b เมอ n∈I+ แลวจงหา

1.1) คาคงตว A1.2) คาคาดหมายตำแหนง x และโมเมนตม px

1.3) คาคาดหมายพลงงาน E

2) จงหาโอกาสทจะพบอนภาคของฟงกชนคลน ψ (x) = 3.50e− x

2 ในชวง x =1 ถง x = 2

3) ถา ψ (x) = Asin π x L( ) เปนฟงกชนคลนปกต ในชวง −L ≤ x ≤ L แลว

จงแสดงใหเหนวา A= 1L

4) กำหนดให ψ (x) = 2L

sin 2π xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ เปนฟงกชนคลนของอนภาคอเลกตรอนทเคลอนท

อยในชวง 0 ≤ x ≤ L แลวจงหา

4.1) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวง 0.450L ≤ x ≤ 0.550L

4.2) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวงใกล 0.240L ≤ x ≤ 0.260L

5) กำหนดให ψ (x) = sin 3π xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ เปนฟงกชนคลนของอนภาคในชวง 0 ≤ x ≤ L แลวจงหา

5.1) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวง 0 ≤ x ≤ L3

5.2) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวงใกล L3≤ x ≤ 2L

3

5.3) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวงใกล L6≤ x ≤ L

2

95

6) ถา ψ (x) = Ae−ax2 เมอ a∈R+ เปนฟงกชนคลนปกตในชวง −∞ ≤ x ≤ +∞ แลวจงหา

6.1) คาคงตว A6.2) คาคาดหมายตำแหนง x

7) กำหนดให ψ (x) = Acos 2π xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ เปนฟงกชนคลนของอนภาคซงทเคลอนทอยในบรเวณ

− L2≤ x ≤ L

2 แลวจงหา

7.1) คาคงตว A 7.2) คาคาดหมายโมเมนตม px

7.3) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวง − L8≤ x ≤ L

8

8) ถา Ψ(x,t) = Bcos π x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

−3iE0t! เปนฟงกชนคลนปกตในชวง −L ≤ x ≤ L แลวจงหา

8.1) คาคงตว B

8.2) ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวง − L2≤ x ≤ L

2

8.3) คาคาดหมายพลงงาน E

9) ถา ψ (x) = 2xAi เปนฟงกชนคลนปกต ในชวง x = 0 ถง x = 2.00 แลวจงหา

9.1) คาคงตว A9.2) คาคาดหมาย px

10) อนภาคหนงมฟงกชนคลนเปน ψ (x)=Acos 2π x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ; − L

4≤ x ≤ L

4

0 ;− L4> x : x > L

4

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

แลวจงหาคาคงตว A และโอกาสทจะพบอนภาคในบรเวณ 0 ≤ x ≤ L8

96

บทท 4 บอศกยและกำแพงศกย

ในบททผานมาเปนการอธบายถงความหมายของฟงกชนคล นและการสรางสมการ คลนของชเรอดงเงอรทงทขนกบเวลาและไมขนกบเวลา การนอรมอลไลซฟงกชนคลน ตลอดจนตวดำเนนการ (operator) ทสำคญในทางกลศาสตรควอนตมประกอบดวยตวดำเนนการตำแหนง ตวดำเนนการโมเมนตมและตวดำเนนการพลงงาน ซงเปนเครองมอทใชในการวดปรมาณทางฟสกสทบรรจอยในฟงกชนคลนของอนภาคและสสาร อยางไรกตามขอมลหรอปรมาณทางฟสกส (ตำแหนง โมเมนตมและพลงงาน) ทวดนนจะเปนเพยงคาคาดหมาย (expectation value) หรอคาความนาจะเปนของความหนาแนน (probability density) เทานน

ในบทนเราจะอธบายการหาระดบพลงงาน ฟงกชนคลนและโอกาสทจะพบอนภาค คาคาดหมายตำแหนง คาคาดหมายโมเมนตมและคาคาดหมายพลงงานของอนภาคอสระ อนภาคทเคลอนทอยในบอศกยอนนตและบอศกยจำกด รวามถงกำแพงศกย โดยสมการคลนของ ชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา นอกจากนแลวเรายงอธบายถงการหาคาสมประสทธการสะทอนและสมประสทธการทะลผานของอนภาคในระบบพกดฉากหนงมต

อนภาคอสระ ถาอนภาคตวหนงเคลอนทในระบบพกดฉากหนงมตตามแนวแกน x ภายใตพลงงานศกย

ซงเปนฟงกชนของตำแหนงเพยงอยางเดยวเทานน U(x) และพลงงานศกยเปนคาคงตวแลวจะได

F(x) = − ddxU(x) = 0 นนหมายความวา ไมมแรงภายนอกมากระทำกบอนภาคดงกลาว

ทำใหอนภาคเคลอนทไดอยางอสระ โดยจะเรยกอนภาคนนวา อนภาคอสระ (free particle) ทงนในกลศาสตรแผนเดมจะอธบายพฤตกรรมของอนภาคอสระวาอนภาคดงกลาวอาจจะหยดนง

หรอเคลอนทดวยความเรวคงท (โมเมนตมคงท) และมพลงงานรวม E เปนคาคงตว ดวยเชนกน แตอยางไรกตามในหวขอนเราจะศกษาพฤตกรรมของอนภาคอสระดวยกลศาสตรควอนตม

97

1 พลงงานและฟงกชนคลน

พจารณาอนภาคตวหนงกำลงเคลอนทอยในบรเวณทไมมพลงงานศกย U(x) = 0

ซงเราจะหาฟงกชนคลน ψ (x) ของอนภาคอสระไดโดยใชสมการคลนชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา

ในระบบพกดฉากหนงมตตามแนวแกน x

− !

2

2md 2

dx2 +U(x)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ (x) = Eψ (x) (4.1)

เนองจาก U(x) = 0 ดงนน − !

2

2md 2

dx2ψ (x) = Eψ (x)

d 2

dx2ψ (x) = − 2mE!2 ψ (x) (4.2)

จาก E = p2

2m และ p = !k จะไดพลงงานของอนภาคอสระทสอดคลองกบฟงกชนคลนψ (x)

E = !

2k2

2m (4.3)

และจากสมการ (4.3) จะได

2mE!2 = k2 เมอ i2 = −1 จะได

d2

dx2ψ (x) = i2k2ψ (x) (4.4)

เราจะเหนไดวาสมการ (4.4) เปนสมการเชงอนพนธสามญอนดบสอง และ E ≥ 0 เสมอ ดงนนคำตอบหรอผลเฉลยทวไปของสมการจงเปน ψ (x) = Ae± ikx เมอ A คอคาคงตวใดๆ

เพอใหงาย ในทนเราจะกำหนดให A = 1 ดงนนจะไดผลเฉลยหรอคำตอบของสมการเปน

ψ (x) = e± ikx (4.5)

เมอ ψ (x) = eikx และ ψ (x) = e− ikx คอฟงกชนคลนของอนภาคอสระซงเคลอนทไป

ตามแนวแกน +x และ −x ตามลำดบ ดงนน อนภาคอสระจะมพลงงานรวมเปน E = p2

2m

และมฟงกชนคลนเปน Ψ(x,t) = exp ±ikx − iEt

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ หรอ Ψ(x,t) = ψ (x)e

− iEt!

98

2 โอกาสทจะพบอนภาคอสระ

เราสามารถหาโอกาสหรอความนาจะเปนทจะพบอนภาคอสระซงกำลงเคลอนทอย ณ บรเวณใดๆ ตามแนวแกน x ไดจาก

Ψ*(x,t)Ψ(x,t)dx −∞

∞

∫ = ψ (x) 2 = e∓ ikx ⋅e± ikx = 1 (4.6)

โอกาสทจะพบอนภาคอสระ Ψ(x,t) 2 = 1 แสดงใหเหนวาโอกาสทจะพบอนภาคทบรเวณใดๆ

มคาเทากนจงเปนผลทำใหเราไมสามารถระบหรอบอกตำแหนงท แนนอนของอนภาคไดวา อยบรเวณใดซงสอดคลองกบหลกความไมแนนอนของไฮเซนเบอรก ΔpΔx ∼ " ทงนเนองจาก

ψ (x) = e± ikx คอฟงกชนคลนของอนภาคอสระทมโมเมนตมเปนคาคงตว p = !k ดงนน

Δp = 0 ทำให Δx→∞ นนคอเราไมสามารถวดตำแหนงทแนนอนของอนภาคได

3 คาคาดหมายตำแหนงในหวขอทผานมาจะพบวาถาเราสามารถวดโมเมนตมทแนนอนของอนภาคอสระได

เราจะไมสามารถวดตำแหนงทแนนอนของอนภาคอสระนนไดหรอเราไมสามารถคาดหมาย

ตำแหนงทแนนอนของอนภาคอสระได ซงในหวขอนเราจะพสจนโดยการหาคาคาดคาดหมายตำแหนงของอนภาคอสระในแนวแกน x ซงสามารถทำไดดงน

จาก x = Ψ*xΨdx∫ = Ψ*xΨdx∫

จะได x = e− ikx−∞

∞

∫ xeikxdx

= 2 xdx0

∞

∫

= x20

∞

= ∞

ดงนนจงสรปไดวา เราไมสามารถระบตำแหนงทแนนอนของอนภาคอสระไดสอดคลองกบโอกาสทจะพบอนภาคอสระในหวขอ 2

99

4 คาคาดหมายโมเมนตม

การพสจนวาโมเมนตมของอนภาคอสระ p = !k นนเราสามารถทำไดโดยการหา

คาคาดหมายโมเมนตม px = Ψ* pxΨdx∫ เมอ Ψ(x,t) = exp ±ikx − iEt

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

จะได Ψ*(x,t) = exp ±ikx+iEt

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ และ

px = e

− ikx+ iEt! i! d

dxeikx− iEt

!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−∞

∞

∫ dx

= − i! e

− ikx+i Et! ike

ikx−i Et!

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−∞

∞

∫ dx

= − i! ik( ) e

− ikx+i Et! e

ikx−i Et!

−∞

∞

∫ dx

= − i! ik( ) Ψ*Ψ

−∞

∞

∫ dx

และจากสมการ (4.6) Ψ*Ψ−∞

∞

∫ dx = 1 ดงนนะได px = !k

ดงนน โมเมนตมของอนภาคอสระจงเทากบ !k

100

อนภาคในบอศกยอนนต

พจารณาอนภาคมวล m ทเคลอนทในแนวแกน x อยภายในบอศกยอนนต(infinite well) หนงมตกวาง L โดยเคลอนทอยระหวาง 0 < x < L และมกำแพงศกยทสงอนนต U(x) = ∞

(infinite potential) ดานหนงอยท x ≤ 0 และอกดานอยท x ≥ L ดงภาพท 4.1

ภาพท 4.1 อนภาคในบอศกยอนนตหนงมตทมความกวางของบอ L

เราสามารถสรปเงอนไขพลงงานศกยไดดงสมการ

U(x) =0 ; 0 < x < L

∞ ; x ≤ 0, x ≥ L

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(4.7)

เนองจากพลงงานศกย U(x) เปนฟงกชนของตำแหนงเทานน ดงนนเราจงใชสมการคลน

ของชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลาเปนสมการในการหาฟงกชนคลนของอนภาคในบอศกยอนนต

หรออนภาคทเคลอนทอยภายในบรเวณทมพลงงานศกยอนนตเปนกำแพงกนทงสองดาน ทงนในกลศาสตรแผนเดมหรอกลศาสตรนวตนไดอธบายวา อนภาคจะเคลอนทอยภายใน

บอศกยเทานน จะไมมอนภาคใด ๆทะลผานกำแพงศกยไดออกมาได ดงนนโอกาสทจะพบอนภาคภายนอกบอศกย (บรเวณ x ≤ 0 และ x ≥ L ) จงเปน ศนย ( Ψ*Ψ

2= 0 ) แตอยางไรกตาม

ในหวขอนเราจะอธบายพฤตกรรมของอนภาคในบอศกยดวยกลศาสตรควอนตมนน ซงสามารถหาระดบของพลงงาน และโอกาสทจะพบอนภาคในบรเวณตางๆ ไดดงน

101

1 ระดบพลงงานของอนภาค

เราสามารถหาพลงงานและฟงกชนคลนของอนภาคทเคลอนทอยในบอศกยอนนต ในระบบพกดฉากหนงมตไดจากสมการคลนของชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา

− !

2

2md 2

dx2 +U(x)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ (x) = Eψ (x)

และจากภาพท 4.1 เราจะแยกออกเปน 3 บรเวณ คอ I II และ III

พจารณาบรเวณ I และ III ซงพลงงานศกยมคาอนนต U(x) = ∞ ดงนนจะได

d 2

dx2ψ (x) = 2m!2 (∞− E)ψ (x) (4.8)

เนองจาก คา E มคานอยมากๆ เมอเทยบกบ U(x) = ∞ ดงนนจะได ψ (x) = 0

นนคอ ψ I (x ≤ 0) = 0 และ ψ III (x ≥ L) = 0 (4.9)

พจารณาบรเวณ II หรอภายในบอศกยอนนต ซงพลงงานศกยมคาเปนศนย U(x) = 0

ดงนนสมการคลนซเรอดงเงอทไมขนกบเวลา (4.1) จงเขยนใหมไดเปน

d 2

dx2ψ II (x) = 2mE!2 ψ II (x) (4.10)

และจาก k2 = 2mE

!2 เมอ m คอ มวลของอนภาค และ E คอ พลงงานรวมของระบบ

ดงนนจงเขยนสมการ (4.10) ใหม ไดเปน

d 2

dx2ψ II (x) = k2ψ II (x) (4.11)

สมการ (4.11) เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบสอง ดงนนจงมผลเฉลยทวไป เปน

ψ II (x) = Aeikx +Be− ikx (4.12)

หรอ ψ II (x) = Acos(kx)+Bsin(kx) (4.13)

เมอ A และ B คอ คาคงตวใดๆ

102

0 L x

เราสามารถหาคาคงตว A และ B ได โดยใชเงอนไขขอบเขตทอนภาคถกจำกดใหเคลอนท

อยภายในบอศกยเทานน ซงจะไมมโอกาสทจะพบอนภาคในบรเวณขอบบอศกยอนนต x = 0 และ x = L ดงนน ฟงกชนคลนในบรเวณทงสองจงมคาเปน ศนย

ψ I (0) = 0 และ ψ III (L) = 0 (4.14)

และจากสมบตของฟงกชนคลนทตองมความตอเนองกนในทกๆ จดในปรภมตำแหนง ดงนนฟงกชนคลนของรอยตอบรเวณ I และ II ณ x = 0 จงเปน ψ II (x) = ψ I (x)

เมอแทนคา x = 0 และ ψ I (0) = 0 ลงในสมการ (4.13) แลวเราจะได

Acos(0)+Bsin(0) = 0 (4.15)

แตเนองจาก cos(0) = 1 และ sin(0) = 0

ดงนน A จำเปนตองเปนศนยเทานน (A = 0 ) จงจะทำใหสมการ (4.14) เปนจรง

และสมการ (4.13) จงเปน

ψ II (x) = Bsin(kx) (4.16)

และฟงกชนคลนบรเวณรอยตอ II และ III ( x = L ) จะได ψ II (x) = ψ III (x)

Bsin(kL) = 0 (4.17)

แตเนองจาก B ≠ 0 ดงนน sin(kL) = 0 จงจะทำใหสมการ (4.17) เปนจรง

เนองจาก sin(nπ )= 0 ดงนน kL = nπ เมอ n =1, 2, 3,... คอระดบพลงงานของอนภาค

k = nπL

(4.18)

และจาก k2 = 2mE

!2 ดงนนคาพลงงาน E ของอนภาค เปน

En = !

2k2

2m = n

2!2π 2

2mL2 (4.19)

103

และจาก ! = h

2π จะได En = n

2h2

8mL2 (4.20)

เมอ n = 1 คอ ระดบพลงงานตำสดของอนภาค หรอ สถานะพน (ground states) เราสามารถหาคาพลงงานตำสดของอนภาคไดเปน

E1 = h2

8mL2 (4.21)

และเรยกระดบพลงงานตงแตระดบท 2 (n ≥ 2 ) วา สถานะกระตน (exited states) ซงเราสามารถหาคาพลงงานทระดบตางๆ ของอนภาคในบอศกยอนนตไดดงน

สถานกระตนท 1 (n = 2 ) อนภาคจะมพลงงานเปน E2 = 4h2

8mL2 = 4E1

สถานกระตนท 2 ( n = 3 ) อนภาคจะมพลงงานเปน E3 = 9h2

8mL2 = 9E1

และทระดบพลงงาน n ใดๆ อนภาคจะมพลงงานทเขยนในเทอมของ E1 ไดเปน

En = n2E1 (4.22)

ภาพท 4.2 แสดงระดบพลงงานสามอนดบแรกของอนภาคในบอศกยอนนต เราจะเหนวา พลงงานของอนภาคมลกษณะไมตอเนอง (ควอนไตซ : Quantize)

ภาพท 4.2 ระดบพลงงานของอนภาคในบอศกยอนนตหนงมต

104

ตวอยางท 4.1 จงหาระดบพลงงานในสถานะพนและในสถานะกระตนอนดบแรกของอเลกตรอน ซงเคลอนทอยในบอศกยอนนต กวาง 5.0 ×10−10

เมตร (เมอ me = 9.11×10−31kg )

วธทำ พลงงานในสถานะพน E1

E1 = h2

8meL2 = (6.625 ×10−34 J-s)2

8(9.11×10−31kg)(5.0 ×10−10 m)2

= 2.4 ×10−19 J

หรอ E1 = 2.4 ×10−19 J1.6 ×10−19 J eV

= 1.5eV

และจาก En = n2E1 ดงนน E2 = 4(1.5eV ) = 6.0eV

ตวอยางท 4.2 ถาอเลกตรอนอนภาคหนงกำลงเคลอนทอยในบอศกยอนนตทมความกวางเทากบ 0.300 นาโนเมตร แลว จงหา ก) พลงงานของระดบชนพลงงาน n = 1, 2, 3

ข) อตราเรวของอเลกตรอนทอยในสถานะพน (n = 1 ) ค) ความยาวคลนทอเลกตรอนปลดปลอยออกมาเมอตกกลบมายงระดบชนพลงงานทตำกวา

วธทำ ก) หาพลงงานของระดบชนพลงงาน n = 1, 2, 3 จาก En = n2h2

8mL2

จะได E1 = (1)2h2

8mL2 = (6.625 ×10−34 J-s)2

8(9.11×10−31kg)(0.300 ×10−9 m)2

= 6.69 ×10−19 J

= 4.18eV

และ En = n2E1 จะได E2 = 4(4.18eV ) = 16.7eV

E3 = 9(4.18eV ) = 37.6eV

105

L0

E1

4E1

9E1

n = 1

n = 2

n = 3

ข) หาอตราเรวของอเลกตรอนทอยในสถานะพน จากพลงงานจลน EK = 12mv2

จะได v = 2EK

me

= 2(6.69 ×10−19 kg-m2 /s2 )9.11×10−31kg

= 1.21×106 ms

ค) ความยาวคลนทอเลกตรอนปลดปลอยออกมาเมอตกกลบมายงระดบชนพลงงานทตำกวา

เมออเลกตรอนจากระดบชนพลงงาน n = 3 ตกลงมายง ระดบชนพลงงาน n = 2 จะปลดปลอยพลงงานออกมา เทากบ

ΔE3→2 = E3 − E2 = 37.6eV−16.7eV = 20.9eV

ดงนนจะไดความยาวคลน เปน

λ3→2 = hcΔE3→2

= 1240eV-nm20.9eV

= 59.3 nm

เมออเลกตรอนจากระดบชนพลงงาน n = 3 ตกลงมายง ระดบชนพลงงาน n =1 จะปลดปลอยพลงงานออกมา เทากบ

ΔE3→1 = E3 − E1 = 37.6eV− 4.18eV = 33.4eV

ดงนนจะไดความยาวคลน เปน

λ3→1 = hcΔE3→1

= 1240eV-nm33.4eV

= 37.1 nm

เมออเลกตรอนจากระดบชนพลงงาน n = 2 ตกลงมายง ระดบชนพลงงาน n =1 จะปลดปลอยพลงงานออกมา เทากบ

ΔE2→1 = E2 − E1 = 16.7eV− 4.18eV = 12.5eV

ดงนนจะไดความยาวคลน เปน

λ2→1 = hcΔE2→1

= 1240eV-nm12.5eV

= 99.2 nm

106

ตวอยางท 4.3 ลกบอลมวล 0.500 กโลกรมเคลอนทอยระหวางกำแพงทอยหางกน 100 เมตร แลวจงหา อตราเรวทตำทสดของลกบอลดงกลาว

วธทำ หาพลงงานตำสด (n = 1 ) จาก E1 = h2

8mL2 จะได

E1 = (6.625 ×10−34 J-s)2

8(0.500kg)(100m)2 = 1.10 ×10−71J

หาอตราเรวตำสดของลกบอลจาก จาก EK = 12mv2

v = 2EK

m = 2(1.10 ×10−71kg-m2 /s2 )

0.500kg = 6.63×10−36 m

s

2 ฟงกชนคลนของอนภาคเราจะหาฟงกชนคลนของอนภาคทระดบพลงงาน n ใดๆ ไดจากสมการ (4.16) และ

จาก k = nπL

ดงนนะได

ψ n (x) = Bsin nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (4.23)

เนองจากอนภาคเคลอนทอยภายบอศกย ดงนนเราจงมโอกาสทจะพบอนภาค ณ บรเวณใดๆ ภายในบอศกยอยางแนนอน นนคอ ψ n

*∫ (x)ψ n (x)dx = ψ n (x)∫2dx = 1

ดงนนเราจงสามารถหาคาคงตว B ของฟงกชนคลน ψ n (x) ภายใตเงอนไข 0< x < L ไดดงน

B 2 sin2 nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

L

∫ dx = 1

B 2 12

1− cos 2nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥0

L

∫ dx = 1

12B 2 dx − cos 2nπ x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

L

∫ dx0

L

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 1

107

12B 2 x 0

L − L2nπ

sin 2nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x=0

L⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= 1

12B 2 (L − 0)− L

2nπsin2nπ − sin0( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= 1

และจาก sin(0) = 0 และ sin(2nπ ) = 0 เสมอ ในทกๆ คา n

ดงนนจะได 12B 2 L = 1 นนคอ B = 2

L

ดงนน ฟงกชนคลนปกต (normal wave function) ของอนภาคในบอศกยอนนต เปน

ψ n (x) = 2L

sin nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (4.24)

และจาก Ψ(x,t) = ψ (x)e− iEt!

ดงนนฟงกชน Ψn (x,t) ทระดบพลงงาน n ใดๆ จงเปน

Ψn (x,t) = 2

Lsin nπ x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ e

− iEt! (4.25)

ภาพท 4.3 แสดงลกษณะของฟงกชนคลนของอนภาค Ψ(x,t) จากสมการ (4.25) และ

โอกาสหรอความนาจะเปนทจะพบอนภาคในบอศกยอนนต Ψ(x,t) 2

(ก) (ข)

ภาพท 4.3 (ก) ลกษณะของฟงกชนคลนของอนภาคในบอศกยอนนตหนงมตทมความกวาง L และ (ข) โอกาสทจะพบอนภาคทระดบพลงงานตำสดสามระดบแรก

108

เราเรยกจดหรอตำแหนงทฟงกชนคลนมคาเปน ศนย ดงภาพท 4.3 (ก) วา โนด (node) และจะเรยก n วา เลขควอนตม (quantum number) ภาพท 4.3 (ข) แสดงใหเหนถงโอกาสหรอความนาจะเปนทจะพบอนภาค ณ ตำแหนงใด ๆ ภายในบอศกยอนนตนนจะเปลยนไปตามระดบพลงงาน n ทเพมขน โดยทระดบชนพลงงาน n = 1 หรอทสถานะพน (ground state) นนโอกาสทจะพบอนภาคจะอยทกงกลางบอศกยจะมคามากทสด แตทระดบพลงงานกระตนแรก n = 2 (first exited state ) นน โอกาสทจะพบอนภาคทกงกลางบอศกยจะมคาเทากบ ศนย นนหมายถง ไมมอนภาคอยในบรเวณกงกลางบอศกยทระดบพลงงานน แตอยางไรกตาม

เราจะพบวา บรเวณ L4และ 3L

4 นน มโอกาสทจะพบอนภาคเทา ๆกนและมากกวาบรเวณอนๆ

ในขณะทระดบพลงงานกระตนทสอง n = 3 (second exited stated) นนเราจะเหนวา บรเวณ L6

L2

และ 5L6

นนมโอกาสทจะพบอนภาคเทา ๆกน และความนาจะเปนทจะพบอนภาค

ไดมากกวาบรเวณอนๆ

ตวอยางท 4.4 จงหาคาคาดหมายตำแหนงของอนภาคมวล m ทถกขงอยในบอศกยหนงมต เมอ

อนภาคดงกลาวเคลอนทอยระหวาง x = 0 ถง x = L และ ψ n (x) = 2L

sin nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

วธทำ หาคาคาดหมายตำแหนง จาก x = ψ n*xψ n dx

−∞

∞

∫

จะได x = x 2L

sin nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

0

L

∫2

dx

= 2L

xsin2 nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

L

∫ dx

= 2L

x2

1− cos 2nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥0

L

∫ dx

109

0 0L L xx

x = 1L

xdx − xcos 2nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

L

∫0

L

∫⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dx

= 1L

x2

2 x=0

L

− xL2nπ

sin 2nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x=0

L

+ L2nπ

sin 2nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

L

∫ dx⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= 1L

L2 − 02

− 0 − L2nπ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

cos 2nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x=0

L⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= 1L

L2

2− L

2nπ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

cos2nπ − cos0( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= 1L

L2

2− L

2nπ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

1−1( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= 1L

L2

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= L2

ตวอยางท 4.5 อนภาคมวล m เคลอนทอยภายในบอศกยอนนต ถาบอศกยมความกวาง L แลวจงหาโอกาสทจะพบอนภาคในชวง 0.450L ถง 0.550L เมออนภาคอยใน ก) สถานะพน ข) สถานะกระตนอนดบแรก

วธทำ โอกาสทจะพบอนภาคในชวง x1 ถง x2 หาไดจาก P(x1, x2 ) = ψ n2 dx

x1

x2

∫

P(x1, x2 ) = 2L

sin2 nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x1

x2

∫ dx = 1L

dx − cos 2nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x1

x2

∫x1

x2

∫ dx⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= xL− 1

2nπsin 2nπ x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥x=x1

x2

110

เมอ x1 = 0.450L และ x2 = 0.550L

ก) สถานะพน n =1 จะได

P = xL− 1

2πsin 2π x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥x=0.450L

0.550L

= 0.550L − 0.450LL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

12π

sin 2π (0.550L)L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − sin 2π (0.450L)

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 0.100 − 12π

sin 1.10π( )− sin 0.900π( )⎡⎣ ⎤⎦

= 0.198

= 19.8%

ข) สถานะกระตนอนดบแรก n = 2 จะได

P = xL− 1

4πsin 4π x

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥x=0.450L

0.550L

= 0.550L − 0.450LL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

14π

sin 4π (0.550L)L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − sin 4π (0.450L)

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 0.100 − 12π

sin 2.20π( )− sin 1.80π( )⎡⎣ ⎤⎦

= 0.0065

= 0.65%

111

อนภาคในบอศกยจำกด

พจารณาอนภาคมวล m ซงกำลงเคลอนทในแนวแกน x ภายในบอศกยจำกดหนงมต (one dimension finite square well) ททงสองดานมพลงงานศกย (potential energy) U0

ดงภาพท 4.4 ถาอนภาคดงกลาวมพลงงานจลนนอยกวาพลงงานศกยแลวอนภาคจะเคลอนทอยในบรเวณ 0 < x < L เทานน

U(x) = U0 ; x ≤ 0 0 ; 0 < x < LU0 ; x ≥ L

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(4.26)

ภาพท 4.4 อนภาคในบอศกยหนงมตทกำแพงทงสองขางมพลงงานศกยคงตว U0

การหาคาพลงงานและฟงกชนคลนของอนภาคในบอศกยจำกดนนจะขนอยกบวาอนภาค ดงกลาวมพลงงานจลนมากกวาหรอนอยกวาพลงงานศกยของกำแพง อยางไรกตามในหวขอน เราจะเรมจากการหาระดบพลงงาน ฟงกชนคลนและโอกาสทจะพบอนภาคภายในบอศกย ดงนนเราจงพจารณาเฉพาะกรณทอนภาคมพลงงานนอยกวาพลงงานศกยของกำแพงเทานน E < U0 ซงจากสมการคลนของชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา เราจะสรางสมการคลนไดเปน

− !

2

2md 2

dx2 +U0⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ (x) = Eψ (x) (4.27)

การหาฟงกชนคลนของอนภาคนนเจะแบงออกเปน 3 บรเวณเชนเดยวกนกบกรณบอศกยอนนต

112

1 ฟงกชนคลนของอนภาค

พจารณาบรเวณ I และ III ของบอศกยจำกด ดงภาพท 4.4 เมอ E < U0

แลวสมการคลนชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา จะเปน

d 2

dx2ψ (x) − 2m!2 ( U0 − E)ψ (x) = 0 (4.28)

กำหนดให k1 =

2m(U0 − E)!

ดงนนสมการ (4.28) จงเขยนไดเปน

d2

dx2ψ (x) − k12ψ (x) = 0 (4.29)

เราจะเหนไดวา สมการ (4.29) เปนสมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบสอง ดงนน ผลเฉลยทวไปของสมการคลนของบรเวณท I (x ≤ 0) และบรเวณ III (x ≥ L) จงเปน

ψ I (x) = C1e

k1x +C2e−k1x

ψ III (x) = C3ek1x +C4e

−k1x

(4.30)

เมอ C1 C2 C3 และ C4 คอ คาคงตวใด ๆ โดยท ψ I และ ψ III ตองไมเปนอนนต

เมอ x เขาสอนนต และเนองจาก E <U0 จงทำให k1 เปนจำนวนจรงบวก (k1 > 0 เสมอ)

แตอยางไรกตาม เมอ x→−∞ ฟงกชนคลน ψ I จำเปนตองมคาทแนนอน นนคอ C2 = 0

และ เมอ x→∞ ฟงกชนคลน ψ III จำเปนตองมคาทแนนอน นนคอ C3 = 0 ดงนน

สมการ (4.30) จงเขยนไดเปน

ψ I (x) = C1e

k1x

ψ III (x) = C4e−k1x

(4.31)

พจารณาบรเวณ II ซง U(x) = 0 จะไดสมการคลนชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา เปน

d 2

dx2ψ (x) + 2mE!2 ψ (x) = 0 (4.32)

113

0 L x

กำหนดให k2 = 2mE

! ดงนนจะไดผลเฉลยทวไปของสมการเปน

ψ II (x) = Aeik2x + Be− ik2x (4.33)

หรอ

ψ II (x) = Acos(k2x)+ Bsin(k2x) (4.34)

กรณทอนภาคมระดบพลงงานมากกวาพลงงานศกย U0 (E > U0 ) อนภาคทงภายใน

บรเวณบอศกย ( 0< x < L ) และนอกบอศกย ( x ≤ 0 ; x ≥ L ) จะมฟงกชนคลนและ

พฤตกรรมคลายกบอนภาคอสระ ในขณะท E <U0 ฟงกชนคลนจะคลายคลงกบอนภาคใน

บอศกยอนนตซงภายในบอศกยมฟงกชนคลนเปน ψ II (x) = Asin(k2x)+ Bcos(k2x)

แตบรเวณขอบหรอกำแพงของบอศกยจำกดนนฟงกชนคลนไมเปนศนย แตจะลดลงอยางรวดเรวตามสมการ ψ I (x) = C1e

k1x และ ψ III (x) = C4e−k1x ดงแสดงในภาพท 4.5 (ก)

ในขณะทโอกาสหรอความนาจะเปนทจะพบอนภาคในบอศกยจำกดทระดบพลงงานตางๆ จะเปนดงภาพท 4.5 (ข)

(ก) (ข)

ภาพท 4.5 (ก) ฟงกชนคลน และ (ข) โอกาสทจะพบอนภาคในบอศกยอนนต (R.A. Serway and J.W. Jewett , 2014, 1280)

114

2 พลงงานควอนไตซ

การหาคาระดบพลงงานของอนภาคทเคล อนทอย ในบอศกยจำกดนนจำเปนตอง

กำหนดใหฟงกชนคลน ψ (x) และ ddx

ψ (x) มคาตอเนองทตำแหนง x = 0 และ x = L

นนคอ ψ I (0) = ψ II (0) และ d

dxψ I (0) = d

dxψ II (0) (4.35)

และ

ψ II (L) = ψ III (L) และ ddx

ψ II (L) = ddx

ψ III (L) (4.36)

เมออนพนธสมการ (4.31) และ (4.34) เทยบ x ไดเปน

ddx

ψ I (x) = k1C1ek1x

ddx

ψ III (x) = − k1C4e−k1x

(4.37)

ddx

ψ II (x) = − k2Asin(k2x)+ k2Bcos(k2x) (4.38)

พจารณาบรเวณขอบบอศกย ณ x = 0 ซงจากเงอนไขตามสมการ (4.35) เราจะได

C1e0 = Acos(0)+ Bsin(0) นนคอ C1 = A

และ k1C1e0 = − k2Asin(0)+ k2Bcos(0) นนคอ k1C1 = k2B

ดงนนจะได B = k1

k2

C1 = k1

k2

A (4.39)

พจารณาบรเวณขอบบอศกย ณ x = L ซงจากเงอนไขตามสมการ (4.36) เราจะได

Acos(k2L)+ Bsin(k2L) = C4e−k1L (4.40)

และ −k2Asin(k2L)+ k2Bcos(k2L) = − k1C4e

−k1L (4.41)

115

นำ −k1 คณสมการ (4.40)

−k1Acos(k2L)− k1Bsin(k2L) = − k1C4e−k1L (4.42)

จากสมการ (4.41) และ (4.42) จะได

−k1Acos(k2L)− k1Bsin(k2L) = − k2Asin(k2L)+ k2Bcos(k2L) (4.43)

เราสามารถจดรปสมการ (4.43) ใหมไดเปน

−k1Acos(k2L)− k2Bcos(k2L) = − k2Asin(k2L)+ k1Bsin(k2L)

− k1A+k2B( )cos(k2L) = k1B − k2A( )sin(k2L)

และจากสมการ (4.39) จะได

− k1+k1( )Acos(k2L) = k12

k2

− k2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Asin(k2L)

2k1Acos(k2L) = k2 −k1

2

k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Asin(k2L)

sin(k2L)cos(k2L)

= 2k1k2

k22 − k1

2

เมอ k1 =

2m(U0 − E)!

k2 = 2mE

! และ tanθ = sinθ

cosθ จะได

tan 2mE

!L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 2 (U0 − E)E

2E −U0

(4.44)

จากสมการ (4.44) จะพบวามพลงงานเฉพาะบางคาเทานนทยอมใหฟงกชนคลนและอนพนธของฟงกชนคลนนน ๆ มคาตอเนอง ดงนน ในการหาระดบพลงงานยนยอมททำใหเกด การควอนไตซ (ไมตอเนอง) ท E <U0 คอพลงงาน E ททำใหสมการ (4.44) เปนจรง

116

ตารางท 4.1 แสดงพลงงานควอนไตซของอเลกตรอนทเคลอนทอยในบอศกยอนนตและบอศกยจำกดความลก 25 อเลกตรอนโวลต โดยบอศกยทงสองมความกวาง 0.50 นาโนเมตร ทงนเราสามารถคำนวณพลงงานของอเลกตรอนในบอศกยจำกดไดจากสมการ (4.44) และ

คำนวณพลงงานของอเลกตรอนในบอศกยอนนตไดจากสมการ (4.21) En = n2h2

8mL2

ซงจากตารางเราจะเหนวาพลงงานของอเลกตรอนในบอศกยจำกดมคาตำกวาพลงงานของ

อเลกตรอนในบอศกยอนนต

ตารางท 4.1 ระดบพลงงานควอนไตซของอเลกตรอนทอยภายในบอศกยอนนตและบอศกยจำกด ทมศกยไฟฟา 25 อเลกตรอนโวลต ความกวาง 0.50 นาโนเมตร

ระดบพลงงาน nพลงงานของอนภาค (eV)พลงงานของอนภาค (eV)

ระดบพลงงาน nบอศกยอนนต บอศกยจำกด

1 1.5056 1.1158

2 6.0223 4.4338

3 13.5502 9.8467

4 24.0893 17.1831

5 37.6395 24.7125

6 54.2008 -

117

กำแพงศกยและทนเนลลง

อนภาคมวล m เคลอนทผานกำแพงศกยจำกดสง U0 มความกวาง a ดงภาพท 4.6

อนภาคจะเคลอนทขามหรอทะลผานกำแพงศกยหนงมตสงจำกดโดยทกำแพงเปนพลงงานศกย

เปนฟงกชนของตำแหนงเทานน ตามเงอนไข

U(x) = 0 ; x ≤ 0 , x ≥ L

U0 ; 0 < x < L

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(4.45)

ภาพท 4.6 กำแพงศกยสง U0 กวาง L (R.A. Serway and J.W. Jewett , 2014 ; 1281)

การหาฟงกชนคลนของอนภาคนน เราจะกำหนดใหอนภาคเคลอนทจากทางซายไปขวา และจะพจารณาเปน 2 กรณ คอ E <U0 และ E >U0

1 กรณพลงงานจลนของอนภาคมคานอยกวากำแพงศกย พจารณากรณทอนภาคมพลงงานนอยกวากำแพงศกย (E <U0 ) ซงฟสกสแผนเดม

ทำนายวา อนภาคจะเกดการสะทอนกลบหมด เมอเคลอนทชนกบกำแพงศกยท x = 0 แตในหวขอนเราจะใชกลศาสตรควอนตมในการทำนายการสะทอนกลบของอนภาค ซงเราจะแบงบรเวณในการพจารณาเปน 3 บรเวณคลายๆ กบอนภาคในบอศกย ดงน

118

พจารณาบรเวณ I ( x < 0 และ U(x) = 0 ) จะไดสมการคลนชเรอดงเงอร เปน

− !

2

2md 2

dx2ψ I (x) = Eψ I (x) (4.46)

เมอ k1 = 2mE

! จะไดผลเฉลยทวไปเปน

ψ I (x) = C1eik1x +C2e

− ik1x (4.47)

C1 คอ คาคงตวของคลนตกกระทบ ek1x ซงเคลอนทไปตามแกน +x

C2 คอ คาคงตวของคลนสะทอน e−k1x ซงเคลอนทไปตามแกน −x

พจารณาบรเวณ II (0 < x < a และ V (x) =U0 ) จะมสมการคลนชเรอดงเงอร เปน

d 2

dx2ψ II (x)− 2m(U0 − E)!2 ψ II (x) = 0 (4.48)

เมอ k2 =

2m(U0 − E)!

จะไดผลเฉลยทวไปเปน

ψ II (x) = C3ek2x +C4e

−k2x (4.49)

C3 คอ คาคงตวของคลนตกกระทบ ek2x ซงเคลอนทไปตามแกน +x

C4 คอ คาคงตวของคลนสะทอน e−k2x ซงเคลอนทไปตามแกน −x

พจารณาบรเวณ III (x > L และ U(x) = 0 ) จะมสมการคลนชเรอดงเงอร เปน

− !

2

2md 2

dx2ψ III (x) = Eψ III (x) (4.50)

ซงมผลเฉลยทวไป เปน ψ III (x) = C5eik1x +C6e

− ik1x (4.51)

แตเนองจาก C6 = 0 เพราะทบรเวณ III ไมมคลนสะทอน

ψ III (x) = C5ek1x (4.52)

119

พจาณารอยตอ I กบ II ทตำแหนง x = 0 และรอยตอ II กบ III ท x = L เนองจากฟงกชนคลนและอนพนธของฟงกชนคลนตองมความตอเนอง ดงนนจะได

ψ I (0) = ψ II (0) และ ddx

ψ I (0) = ddx

ψ II (0) (4.53)

ψ II (L) = ψ III (L) และ ddx

ψ II (L) = ddx

ψ III (L) (4.54)

เราสามารถหาคาคงตว C2 C3 C4 และ C5 ในเทอม C1 ไดเชนเดยวกบกรณอนภาคในบอศกย

แตในหวขอน เราจะหาคาสมประสทธการทะลผานของอนภาค T (transmission coefficient) และคาสมประสทธการสะทอนของอนภาค R (reflection coefficient) ซงเปนไปตามสมการ T + R = 1 เมอ

T = C5

2

C12 และ R =

C22

C12 (4.55)

เราสามารถหา คาสมประสทธการทะลผาน T และคาสมประสทธการสะทอน R ไดดงน

จากสมการ (4.47) (4.49) และ (5.53) เมอ x = 0 จะได C1 +C2 = C3 +C4 และ

ik1(C1 −C2 ) = k2 (C3 −C4 ) ซงเราสามารถสรางเปนสมการเมตรกซไดเปน

1 1ik1 −ik1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C1

C2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= 1 1k2 −k2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C3

C4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(4.56)

ดงนนจะได C1

C2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= 1 1ik1 −ik1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−11 1k2 −k2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C3

C4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − 12ik1

−ik1 −1−ik1 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 1k2 −k2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C3

C4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − 12ik1

−ik1 − k2 −ik1 + k2

−ik1 + k2 − ik1 − k2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C3

C4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

120

นนคอ C1

C2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − 12ik1

−ik1 − k2 −ik1 + k2

−ik1 + k2 − ik1 − k2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C3

C4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(4.57)

และจากสมการ (4.49) (4.51) และ (4.44) เมอ x = L จะได C3ek2L +C4e

−k2L = C5eik1L

และ k2C3ek2L − k2C4e

−k2L = ik1C5eik1L ซงเราสามารถสรางเปนสมการเมตรกซไดเปน

ek2L e−k2L

k2ek2L −k2e

−k2L

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C3

C4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= eik1L e− ik1L

ik1eik1L −ik1e

− ik1L

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C5

0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(4.58)

ดงนน C3

C4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= ek2L e−k2L

k2ek2L −k2e

−k2L

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−1

eik1L e− ik1L

ik1eik1L −ik1e

− ik1L

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C5

0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − 12k2

−k2e−k2L −e−k2L

−k2ek2L ek2L

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

eik1L e− ik1L

ik1eik1L −ik1e

− ik1L

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C5

0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

จะได

C3

C4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − 12k2

(−k2 − ik1)e(−k2+ik1 )L (−k2 + ik1)e(−k2−ik1 )L

(−k2 + ik1)e(k2+ik1 )L (−k2 − ik1)e(k2−ik1 )L

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C5

0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ (4.59)

แทนสมการ (4.59) ลงใน (4.57) จะได

C1

C2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − 14ik1k2

−ik1 − k2 −ik1 + k2

−ik1 + k2 − ik1 − k2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(−k2 − ik1)e(−k2+ik1 )L (−k2 + ik1)e(−k2−ik1 )L

(−k2 + ik1)e(k2+ik1 )L (−k2 − ik1)e(k2−ik1 )L

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C5

0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

เราสามารถหาความสมพนธระหวาง C1 กบ C5 ไดเปน

C1 = 14ik1k2

C5 (− k2 − ik1)2e(−k2+ik1 )L − (k2 − ik1)2e(k2+ik1 )L⎡⎣ ⎤⎦

= eik1L

4ik1k2C5 (k2

2 + 2ik1k2 − k12 )e(−k2+ik1 )L − (k2

2 − 2ik1k2 − k12 )e(k2+ik1 )L⎡⎣ ⎤⎦⎡⎣ ⎤⎦

121

C1 = eik1L

4ik1k2

C5 (k22 + 2ik1k2 − k1

2 )e−k2L − (k22 − 2ik1k2 − k1

2 )ek2L⎡⎣ ⎤⎦

= eik1L

4ik1k2

C5 k22e−k2L + 2ik1k2e

−k2L − k12e−k2L − k2

2ek2L + 2ik1k2ek2L + k1

2ek2L⎡⎣ ⎤⎦

= eik1L

4ik1k2

C5 k22e−k2L − k1

2e−k2L − k22ek2L + k1

2ek2L + 2ik1k2e−k2L + 2ik1k2e

k2L⎡⎣ ⎤⎦

= eik1L

4ik1k2

C5 (k22 − k1

2 )e−k2L − (k22 − k1

2 )ek2L + 2ik1k2 (e−k2L + ek2L )⎡⎣ ⎤⎦

= eik1L

4ik1k2

C5 (k22 − k1

2 ) e−k2L − ek2L⎡⎣ ⎤⎦ + 2ik1k2 ek2L + e−k2L⎡⎣ ⎤⎦⎡⎣ ⎤⎦

= eik1LC5k2

2 − k12

4ik1k2

e−k2L − ek2L( ) + 2ik1k2

4ik1k2

e−k2L + ek2L( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ดงนนจะได

C1 = eik1LC5 i k22 − k1

2

2k1k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ek2L − e−k2L

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ e−k2L + ek2L

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (4.60)

ในขณะเดยวกน ความสมพนธระหวาง C2 กบ C5 คอ

C2 = 14ik1k2

eik1LC5 (k2 − ik1)(−k2 − ik1)e−k2L + (− k2 − ik1)(−k2 + ik1)ek2L⎡⎣ ⎤⎦

= 14ik1k2

eik1LC5 −(k22 + k1

2 )e−k2L + (k22 + k1

2 )ek2L⎡⎣ ⎤⎦

= eik1LC5 −i k22 + k1

2

2k1k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ek2L − e−k2L

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (4.61)

และ sinhθ = eθ − e−θ

2 และ coshθ = e

θ + e−θ

2 ดงนนสมการ (4.60) และ (4.61) จงเปน

122

C1 = eik1LC5 i k22 − k1

2

4k1k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinh(k2L)+ cosh(k2L)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (4.62)

C2 = eik1LC5 −i k22 + k1

2

2k1k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinh(k1L)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (4.63)

จากสมการ (4.62) จะได C12 = C5

2 k22 − k1

2

2k1k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

sinh2 (k2L)+ cosh2 (k2L)⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

C52

C12 = 1

k22 − k1

2

2k1k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

sinh2 (k2L)+ cosh2 (k2L) (4.64)

และจากสมการ (4.55) T = C5

2

C12 จะได

T = 1k2

2 − k12

2k1k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

sinh2 (k2L)+ cosh2 (k2L)

= 1

1+ 4k12k2

2 + k24 + k1

4 − 2k12k2

2

4k12k2

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinh2 (k2L)

ดงนน จะได สมประสทธการทะลผาน (transmission coefficient) เปน

T = 4k12k2

2

4k12k2

2 + k22 + k1

2( )2sinh2 (k2L)

(4.65)

เมอ k1

2 = 2mE!2 และ

k1

2 = 2m(U0 − E)!2 โดยท E <U0 จะได

T = 1

1+ U02

4E(U0 − E)sinh2 (k2L)

= 1+U02 sinh2 (k2L)

4E(U0 − E)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−1

(4.66)

123

และจากสมการ (4.63) จะได

C22

C52 = k2

2 + k12

2k1k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

sinh2 (k1L) (4.67)

เมอนำ C52

C12 มาคณกบสมการ (4.67) แลวเราจะได

C22

C12 =

C22

C52 C5

2

C12 = k2

2 + k12

2k1k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

sinh2 (k1L) 4k12k2

2

4k12k2

2 + k22 + k1

2( )2sinh2 (k2L)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= k2

2 + k12( )2

sinh2 (k1L)

4k12k2

2 + k22 + k1

2( )2sinh2 (k2L)

และจาก R = C2

2

C12 จะได สมประสทธการสะทอน (Reflection coefficient) R เปน

R = k2

2 + k12( )2

sinh2 (k1L)

4k12k2

2 + k22 + k1

2( )2sinh2 (k2L)

(4.68)

เมอ k1

2 = 2mE!2 และ

k2

2 = 2m(U0 − E)!2 โดยท E <U0 จะได

R = 1

1+ 4E(U0 − E)U0

2 sinh2 (k2L) = 1+ 4E(U0 − E)

U02 sinh2 (k2L)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−1

(4.69)

ในทางฟสกสแผนเดม กำหนดให h→ 0 ซงทำให k1 →∞ และ k2 →∞ นนคอ

T → 0 และ R→1 ซงหมายความวา ความนาจะเปนของการทะลผานจะเทากบ ศนย แตความนาจะเปนของการสะทอนจะเทากบหนง

124

เมอกำแพงศกยมความสงมากขนและความกวางมากขน จะทำให k2L ≫ 1 และ

sinh(k2L)→ 12ek2L ซงภายใตการประมาณน สมการ (4.64) จะกลายเปน

T = 4E(U0 − E)

U02 1

2ek2L⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2 = 16EU0

1− EU0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e−2k2L (4.70)

เทอม e−2k2L ในสมการ (4.70) จะมผลตอสมประสทธการทะลผานมากกวาเทอม 16EU0

1− EU0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ซงมคาเขาใกล 1 ดงนนในการหาสมประสทธการทะลผานจงประมาณไดเปน

T ≅ e−2k2L (4.71)

ในกลศาสตรควอนตมนน อนภาคมโอกาสทจะทะลผานกำแพงศกยไดโดยจะขนอยกบความกวางของกำแพงศกยและความแตกตางของความสงของกำแพงศกยกบพลงงานของอนภาค ดงตวอยางในตารางท 4.2 แสดงโอกาสทอเลกตรอนจะทะลผานกำแพงศกยกวาง L ศกยสง U0

ตารางท 4.2 พลงงานของอเลกตรอน E ความสง U0 และความกวาง L ของกำแพงศกย และ

โอกาสทอเลกตรอนจะทะลผานกำแพงศกย T

E (eV ) U0 (eV ) L (nm)

k2 =2m(U0 − E)!

×109 m-1

2k2L T

1.0 4.0 0.10 8.91 1.78 0.1681.0 4.0 0.20 8.91 3.56 0.028

2.0 4.0 0.10 7.27 1.45 0.234

3.0 4.0 0.10 5.14 1.03 0.358

ขอมลในตารางท 4.2 เราจะเหนวา เมอความกวางของกำแพงศกย L เพมขนเปนสองเทา แลวโอกาสทอนภาคจะทะลผานลดลงประมาณหกเทา ในขณะทพลงงาน E เพมขนเปนสองเทาโอกาสทอนภาคจะทะลผานกำแพงศกยมคาเพมขนประมาณ 1.3 เทา ดงนน โอกาสทอนภาค จะทะลผานกำแพงศกยจงขนอยกบความกวางของกำแพงศกย

125

2 พลงงานจลนของอนภาคมคามากกวากำแพงศกย

ถาอนภาคมพลงงานมากกวากำแพงศกย (E >U0 ) แลวในฟสกสแผนเดมทำนายวา

อนภาคจะสามารถขามกำแพงไปยงบรเวณ x > 0 ไดทงหมด แตในกลศาสตรควอนตม พบวา มอนภาคบางสวนเกดการสะทอน ทงนเราสามารถหาฟงกชนคลนไดเปน

ψ (x) C1e

ikx +C4e− ikx ; x ≤ 0

C3eβx +C4e

−βx ; 0 < x < L

C5ekx ; x ≥ L

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(4.72)

เมอ k2 = 2mE

!2 และ β 2 = 2m(E −U0 )

!2 โดยท E >U0

เราสามารถหาคาคงตว C2, C3, C4 , C5 ในเทอม C1 และสมประสทธการสะทอน R

และสมประสทธการทะลผาน T ไดเชนเดยวกน โดยใชเงอนไขขอบเขต x = 0 และ x = L

R = 1

1+ 4E(E −U0 )U0

2 sin2 (βL)

= 1+ 4E(E −U0 )U0

2 sin2 (βL)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−1

(4.73)

T = 1

1+U02 sin2 (βL)

4E(E −U0 )

= 1+U02 sin2 (βL)

4E(E −U0 )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−1

(4.74)

พจารณากรณอนภาคมพลงงานใกลเคยงกบความสงของกำแพงศกย (E→U0 ) จะทำให

β → 0 ดงนน sinβL ≈ βL และจะได

T = 1

1+ mU0L2

!2

ถาอนภาคมพลงงาน E มากขนจนมคามากกวา U0 แลว (E >U0 ) แลวโอกาส

ในการทะลผานกำแพงศกยจะกลายเปนออสซเตอร เนองจาก sinβL และกำแพงศกยจะไมม

ผลตอการทะลผานของอนภาค ( T =1 ) เมอ βL = nπ , n = 1,2,3,... นนคอ

2m(E −U0 )L2

!2 = n2π 2 (4.75)

126

เมอความยาวคลนเดอบรอยลของอนภาค λ = h2m(E −U0 )

ดงนน 2L = nλ

นนคอกำแพงศกยมความกวางเปนจำนวนเทาของครงหนงของความยาวคลนเดอบรอยล λ แลว

กำแพงศกยจะกลายเปนตวกลางโปรงแสง (T =1 ) อนภาคสามารถผานกำแพงศกยไดทงหมด ดงแสดงในภาพท 4.7 และจะเรยกปรากฏการณทอนภาคสามารถเคลอนททะลผานกำแพงศกยไดทงหมดวา การกระเจงเรโซเนนซ (resonance scattering) และจะหาพลงงานของอนภาค E

ไดจาก β 2 = 2m(E −U0 )

!2 = n2π 2

L2 ซงจะได

E = U0 1+ n2π 2!2

2mU0L2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (4.76)

และสมประสทธการทะลผานหรอโอกาสทอนภาคจะทะลผานกำแพงศกยจะมคาตำสด Tmin

เมอ sinβL = 1 นนคอ βL = (2n +1)π2

ดงนนพลงงานของอนภาค E จงเปน

E = U0 1+ (2n +1)2π 2!2

8mU0L2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ (4.77)

Tmin = 1+ 14EU0

EU0

−1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

−1

(4.78)

ภาพท 4.7 สมประสทธการทะลผานเขาไปในกำแพงศกย

127

สมประสทธการทะลผาน T

แผนเดม

ควอนตม

E U0

ฮารมอนกออสซเลเตอร

พจารณาการสนแบบฮารมอนกอยางงายของวตถมวล m ทผกตดกบสปรงทมคาคงตว kซงในฟสกสแผนเดม(กฎของนงตน) อธบายวา จะมแรงดงกลบ F = −kx เมอ x คอระยะกระจดจากตำแหนงสมดล ( x = 0 ) โดยการสนจะมความถเชงมม (angular frequency ; ω 0 )

เปน ω 0 = km

และคาบ T = 2π mk

โดยแอมพลจด (amplitude) ของการสน x0

คอระยะทางทมากทสดจากตำแหนงสมดล( x = 0 ) ซงทตำแหนงสมดลจะมพลงงานจลนสงสด ในขณะทตำแหนงวกกลบ ( x = ±x0 ) วตถจะหยดนงชวครกอนจะเคลอนทกลบทศทางตรงขาม

ดงนนทตำแหนงวกกลบ พลงงานจลนขของการสนของวตถจงเทากบศนย และทำใหวตถเคลอนทอยในบรเวณจำกดในชวง −x0 ถง +x0 เทานน (−x0 ≤ x ≤ +x0 )

ในกลศาสตรควอนตม เราจะสมมตวาอะตอมภายในโมเลกลมการสนแบบฮารมอนกวตถ

ดวยแรง F = −kx ซงทำใหมพลงงานศกย เปน U = 12kx2 ดงนนเราจงสามารถเขยน

สมการคลนชเรอดงเงอรไดเปน

− !

2

2md 2ψdx2 + 1

2kx2ψ = Eψ (4.79)

เมอ U และ ψ เปนฟงกชนของตำแหนง x เทานน และฟงกชนคลนจะตองเปนศนย

(ψ = 0 ) เมอ x→−∞ และ x→+∞ ซงจากเงอนไขดงกลาวจะมฟงกชนทงายทสด

ทสอดคลองกบฟงกชนคลนในสถานะพน (ground state wavefunction) เปน ψ = Ae−ax2

ทงนเราสามารถหาคาของ คาคงตว a และพลงงาน E ไดโดยการนำ ψ = Ae−ax2 ไปแทน

ในสมการ (4.79) ซงเราจะเรมจากหา d2ψdx2

d2ψdx2 = d

dxdψdx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = d

dx ddxAe−ax

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ddx

−2ax Ae−ax2( )⎡

⎣⎤⎦

128

E U0

d2ψdx2 = − 2ax d

dxAe−ax

2

+ Ae−ax2 ddx

−2ax[ ]

= − 2ax(−2axAe−ax2

) + − 2aAe−ax2

ดงนนจะได

d2ψdx2 = 4a2x2 − 2a( )Ae−ax2 (4.80)

แทนสมการ (4.80) ลงในสมการ (4.79) โดยตดเฟกเตอร Ae−ax2 ออก จะได

− !

2 (4a2x2 − 2a)2m

+ 12kx2 = E

หรอ

− 2!2a2

m+ 1

2k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x2 = E − !

2am

(4.81)

อยางไรกตาม เราไมตองการแกสมการ (4.81) เพอหาคา x แตเราตองการผลเฉลยทเปนทยอมรบในทกๆ คา x และเราตองการหาคาคงตว a และพลงงาน E ดงนนสมการท (4.81)

จะเปนจรงไดกตอเมอ

2!2a2

m+ 1

2k = 0 และ

E − !

2am

= 0 นนคอจะได

a = km

2! และ

E = !

2km

(4.82)

และจาก ω 0 = km

เราจงสามารถเขยนพลงงาน E ในเทอมของความถเชงมม ω ไดเปน

E = 1

2!ω 0 (4.83)

เราสามารถหาคาสมประสทธ A ของฟงกชนคลนไดจากการนอรมอลไลซ ψ = Ae−ax2 จะได

A = mω 0

!π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14 (4.84)

129

ดงนนฟงกชนคลนของสถานะพน (ground state wave function) จงเปน

ψ (x) = mω 0

!π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14e− km

2!⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x2

(4.85)

ฟงกชนคลนทวไปของฮารมอนกออสซเลเตอรจะอยในรปของ ψ n = Afn (x)e−ax2

เมอ

fn (x) คอพหนามทกำลงอนดบสงสดของ x เปน xn ซงสอดคลองกบพลงงาน

En = n+1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ !ω 0 ; n = 0, 1, 2,... (4.86)

ภาพท 4.8 (ก) แสดงความนาจะเปนของความหนาแนนของฟงกชนคลน เราจะเหนไดวา กรณทพลงงานศกยมคาจำกด จะทำใหความนาจะเปนของความหนาแนนจะซมผานเขาไปใน บรเวณตองหาม (forbidden region) เกนกวาจดวกกลบ x = ±x0 (บรเวณทมพลงงานศกย

มากกวา E ) และภาพท 4.8 (ข) แสดงระดบพลงงานภายใตพลงงานศกย U = 12kx2

เราจะเหนวาของระดบแตละระดบจะแตกตางกน เทากบ !ω 0 เสมอ ซงแตกตางกบระดบ

พลงงานจากบอศกยอนนต

ภาพท 4.8 (ก) ความนาจะเปนของความหนาแนนของฟงกชนคลนฮารมอนกในสถานะพนทมจดวกกลบเปน x = ±x0 และ (ข) ระดบพลงงานของฮารมอนกออสซเลเตอร

(Kenneth Krane ; 2012 , 157 - 157)

130

ตวอยางท 4.6 ถาอเลกตรอนอนภาคหนงถกกกอยในบรเวณทวางดวยแรงคลายๆ กบสปรง

ทมคาคงตว k = 90.5 eVnm2 แลว จงหา

ก) พลงงานในสถานะพน ข) พลงงานทใชในการเปลยนระดบพลงงานของอเลกตรอนจากสถานะพนไปยง สถานะกระตนอนดบทสอง

วธทำ

ก) หาพลงงานในสถานพน E = 1

2!ω 0 เมอ ω 0 = k

me

E = 1

2!ω 0 = 1

2!

kme

= 14π

hc kmec

2

= 14π

1240eV ⋅nm( ) 90.5eV/nm2

0.511×106 eV

= 1.31 eV

ข) จาก En = n+1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ !ω 0 เมอ n = 0, 1, 2,... คอระดบพลงงาน

เราจะเหนวา ระดบพลงงานทอยตดกนจะมพลงงานตางกน En และ En−1

En − En−1 = n+1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ !ω 0 − n −1+1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ !ω 0 = !ω 0 เสมอ

ดงนน พลงงานทใชในการเปลยนระดบพลงงานของอเลกตรอนจากสถานะพน (n = 0 ) ไปยงสถานะถกกระตนทสอง (n = 2 ) จงเปน ΔE = 2!ω 0 = 2(2.62eV) = 5.24eV)

131

สรป

ฟงกชนคลนของอนภาคอสระ คอ ψ (x) = e± ikx จะมพลงงานเปน E = !

2k2

2m

ในขณะทอนภาคในบอศกยอนนตจะมฟงกชนคลนเปน ψ n (x) = 2L

sin nπ xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

และอนภาคในแตระดบชนพลงงาน n จะมพลงงานเปน En = n2h2

8mL2 เมอ n =1,2,3,...

คอ ระดบชนพลงงาน โดยจะเรยกวาระดบพลงงาน n =1 วา สถาะพน (ground state) และเรยกระดบพลงาน n = 2,3,.. วา สถานะกระตน (exited state)

เราสามารถหาพลงงานอนภาคซงกำลงเคลอนทอยภายในบอศกยจำกด (E <U0 ) ไดจาก

tan 2mE

!L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

2 (U0 − E)E2E −U0

อยางไรกตามกลศาสตรแผนเดมไมสามารถอธบาย

ปรากฏการณการทะลผานกำแพงศกยของอนภาคไดแตในกลศาสตรคอนตมแสดงใหวาอนภาค

สามารถทะลผานเขากำแพงศกยไดกลาวคอสามารถหาคาสมประสทธการทะลผานกำแพงศกย

กวาง L และมศกยสง U0 ไดเปน T ≅ exp − 2L

!2m(U0 − E)⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

132

แบบฝกหดบทท 4

1) กำหนดให ψ (x) = A1eikx + A2e

− ikx เปนฟงกชนคลนของอนภาคอสระ และ k > 0 แลว

จงหาพลงงานในสถานะหยดนงของอนภาคอสระทสอดคลองกบฟงกชนคลนดงกลาว

2) ถาอเลกตรอนอนภาคหนงเคลอนทอยในบอศกยอนนต กวาง 1.10 นาโนเมตรแลว จงหา2.1) พลงงานของอเลกตรอนสามสถานะแรก 2.2) ความยาวคลนของโฟตอนทอเลกตรอนปลดปลอยออกมาทระดบชนพลงงานตางๆ

3) จงหาพลงงานสถานะพนของอนภาคโปรตอนทอยในบอศกยอนนตกวาง L เมอ3.1) L = 0.10 นาโนเมตร (ขนาดของโมเลกล)3.2) L = 1.0 เฟมโตเมตร (ขนาดของนวเคลยส)

4) จงหาความกวางของบอศกยอนนตททำใหอเลกตรอนเปลยนสถานะจากระดบพลงงาน n = 2 ลงมายงระดบพลงงาน n =1 แลวปลดปลอยโฟตอนทมความยาวคลน 660 นาโนเมตร

5) ถาอเลกตรอนอนภาคหนงเคลอนทอยในบอศกยอนนตหนงมตและมสถานะพลงงาน n = 5 แลวจงหา ความนาจะเปนทจะพบอนภาคในชวง x = 0.2L ถง x = 0.4L

6) จงหาความกวางของบอศกยจำกดททำใหอเลกตรอนทอยในบอศกยจำกดดงกลาวมพลงงาน ทสถานะพนเทากบ 0.5 อเลกตรอนโวลต เมอบอศกยมกำแพงศกย 8.0 อเลกตรอนโวลต

7) จงหาพลงงานหกสถานะแรกของอเลกตรอนทเคลอนทในแนวแกน x ภายในบอศกยจำกด

หนงมตภายใตเงอนไข U(x) =0 ; 0 < x <12nm

25eV ; x ≤ 0 , x ≥12nm⎧⎨⎪

⎩⎪

8) ถาอเลกตรอนอนภาคหนงมพลงงานจลน 5.00 อเลกตรอนโวลต พงเขาชนกำแพงศกยทม ความกวาง 0.200 นาโนเมตรและมความสง 10.0 อเลกตรอนโวลต แลวจงหาโอกาสท อเลกตรอนจะทะลผานกำแพงศกยดงกลาว

133

9) ถา ψ (x) = Axe−bx2 เปนฟงกชนคลนฮารมอนกออสซเลเตอร แลวจงหาคาคงตว b และ A

10) ถา ψ (x) = Ae−ax2 เมอ a = mω

2! ปนฟงกชนคลนฮารมอนกออสซเลเตอรหนงมต แลว

จงแสดงใหเหนวา A = mω 0

!π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14

134

บทท 5สมพทธภาพพเศษ

ทฤษฎสมพทธภาพมผลตอผสงเกตการณทอยในกรอบอางองทเคลอนทดวยอตราเรวคงตว หรอกรอบอางองเฉอย (inertial frame of reference) ทแตกตางกน โดยจะมผลทำให ผสงเกตการณทอยในแตละกรอบอางองเฉอยมองเหนเหตการณทแตกตางกนออกไป ตวอยางเชน ถามรถยนตคนหนงจอดนงอยขางถนนใกลกบตนไมใหญตนหนงแลวผสงเกตการณในรถดงกลาว

จะมองเหนตนไมใหญนนหยดนงอยกบทเชนเดยวกน ขณะทผสงเกตการณทอยในรถอกคนหนงซงกำลงเคลอนทไปตามถนนจะมองเหนตนไมดงกลาวเคลอนทไปในทศทางตรงขามกบรถของเขา ดงนนในการบอกหรอระบวาวตถหยดนงหรอกำลงเคลอนทนนจะขนอยกบกรอบอางองเฉอย

การถอกำเนดของทฤษฎสมพทธภาพพเศษของไอนสไตนและทฤษฎควอนตมของพลงค ในชวงตนศตวรรษท 20 ไดทำใหเกดการเปลยนแปลงครงยงใหญของทฤษฎพนฐานทางฟสกส ซงในบทนเราจะธบายทฤษฎสมพทธภาพพเศษ เรมจากการทบทวนทฤษฎสมพทธภาพแผนเดมของกาลเลโอและนวตน รวมถงการทดลองของไมเคลสน-มอรเลย หลงจากนนจะอธบายเกยวกบ สมมตฐานและทฤษฎสมพทธภาพพเศษของไอนสไตน รวมถงคณตศาสตรทใชในการคำนวณ

สมพทธภาพแผนเดม

สมมตวากรอบอางองเฉอย O และ ′O มผสงเกตการณทสามารถทดสอบกฎของนวตนได

กลาวคอผสงเกตการณสามารถบอกไดวาวตถกำลงหยดนงหรอกำลงเคลอนทดวยความเรวคงตว โดยไมมแรงภายนอกมากระทำ (กฎการเคลอนทของนวตนขอหนงหรอกฎของความเฉอย) และเนองจากโลกหมนรอบตวเองดวยอตราเรวประมาณ v ≈ 3.0 ×104 เมตรตอวนาท ซงเปนคา ทนอยมาก ๆ เมอเปรยบเทยบกบอตราเรวของแสงในสญญากาศ c ≈ 3.0 ×108 เมตรตอวนาท ดงนนจงประมาณไดวา โลกเปนกรอบอางองเฉอย

135

ภาพท 5.1 ผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย ′O ซงเคลอนทสมพทธกบกรอบอางองเฉอย Oดวยความเรว u

! กำลงสงเกตเหตการณเดยวกน (Kenneth Krane, 2012, 26)

ภาพท 5.1 แสดงผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย O และ ′O ในระบบพกดคารทเชยน หรอระบบพกดฉาก (Cartesian or rectangular coordinate) เมอกรอบอางองเฉอยทงสองเคลอนทสมพทธกนดวยความเรว !u แลวผสงเกตการณทหยดนงอยในกรอบอางองเฉอยทงสอง จะมองเหนเหตการณ (event) เดยวกนทพกดของตำแหนงและเวลาในกรอบอางองเฉอย O เปน x , y , z ,t และในกรอบอางองเฉอย ′O เปน ′x , ′y , ′z , ′t

การหาความสมพนธของพกด x , y , z ,t และ ′x , ′y , ′z , ′t นนสมพทธภาพแผนเดม

จะใชการแปลงพกดแบบกาลเลโอ(Galilean transformation) โดยสมมตวาเวลาทผสงเกตการณ ในแตละกรอบอางองเฉอยวดไดมคาเทากน นนคอ t = ′t และเพอใหงายในการคำนวณ เราจะกำหนดใหเวลาเรมตน t = 0 พจารณาวตถในกรอบอางองเฉอย ′O ทมพกด ′x , ′y , ′z

ดงภาพท 5.2 และกำหนดใหพกด y และ z ในกรอบอางองเฉอย O มพกดเดยวกนกบ ′y

และ ′z ในกรอบอางองเฉอย ′O แตในแนวแกน x ของกรอบอางองเฉอย O วตถจะอยทพกด x = ′x +ut ดงนนเราจะไดการแปลงพกดกาลเลยนเปน

′x = x − ut′y = y ′z = z

(5.1)

136

ภาพท 5.2 เหตการณทจด P ทวดจากกรอบอางองเฉอย ′O มพกดเปน ′x , ′y , ′z

และในกรอบอางองเฉอย O จะวดพกด ไดเปน x = ′x +ut y = ′y และ z = ′z

(Kenneth Krane, 2012, 27)

เราสามารถหาความเรวและความเรงของวตถในกรอบอางองเฉอย O และ ′O ไดโดย การทำการอนพนธสมการ (1.1) เทยบกบเวลา โดยทางซายเทยบกบ ′t และทางขวาเทยบกบ t

d ′xd ′t

= ddt

x − ut( ) d ′yd ′t

= dydt

d ′zd ′t

= dzdt

เมอ u คอ อตราเรวสมพทธของกรอบอางองเฉอย ซงเปนคาคงตว

และ vx = dxdt

, vy = dydt

, vz = dzdt

, ′vx = d ′xd ′t

, ′vy = d ′yd ′t

, ′vz = d ′zd ′t

แลวจะได

การแปลงความเรวแบบกาลเลโอ (Galilean velocity transformation) เปน

′vx = vx − u ′vy = vy ′vz = vz (5.2)

ในทำนองเดยวกน เมออนพนธสมการ (5.2) เทยบกบเวลา จะไดการแปลงความเรงแบบกาลเลโอ (Galilean acceleration transformation) เปน

′ax = ax ′ay = ay ′az = az (5.3)

สมการ (5.3) แสดงใหเหนวา ผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอยทงสองยงคงสามารถใช กฎของนวตนได โดยผสงเกตการณในแตละกรอบอางองเฉอยสามารถวดความเรงของวตถ ไดเหมอนกนและมคาเทากน

137

พจารณาความยาวของวตถทอยในกรอบอางองเฉอย O และ ′O ซงเคลอนทสมพทธกน โดยกำหนดใหความยาวของวตถทวดไดจากกรอบอางองเฉอย O มคาเทากบ ℓ = x2 − x1 แลว

ความยาวในกรอบอางองเฉอยซงทำการวดพรอมกนจะเปน ′ℓ = ′x2 − ′x1 และจากสมการ

การแปลงพกดแบบกาลเลโอจะได ′ℓ = (x2 − vt)− (x1 − vt) = x2 − x1 = ℓ ดงนน

เราจงสรปไดวาความยาวของวตถทวดจากรอบอางองเฉอยทงสองมคาเทากน

ตวอยางท 5.1 จงแสดงใหเหนวาโมเมนตมเชงเสนและพลงงานจลนของอนภาคสองอนภาคซงเกดการชนกนแบบยดหยนนนวาเปนไปตามหลกอนรกษ ภายใตการแปลงพกดแบบกาลเลโอ

วธทำ กำหนดใหในกรอบอางองเฉอย O วตถมวล m1 และ m2 ชนกนแบบยดหยน

โดยกอนชนวตถทงสองเคลอนทดวยอตราเรว u1 และ u2 และหลงชนกนมอตราเรวเปน v1

และ v2 ตามลำดบ แลว ตามหลกอนรกษโมเมนตม จะได

m1u1 +m2u2 = m1v1 +m2v2 (5.4)

ในขณะเดยวกนในกรอบอางองเฉอย ′O ซงเคลอนทสมพทธกบกรอบอางองเฉอย O ดวยอตราเรว u จะเหนการชนกนดงกลาว ตามหลกอนรกษโมเมนตม เปน

m1 ′u1 +m2 ′u2 = m1 ′v1 +m2 ′v2 (5.5)

เมอความเรวของวตถทงสองกอนชนในกรอบอางองเฉอย ′O เปน

′u1 = u1 − u และ ′u2 = u2 − u (5.6)

และความเรวของวตถทงสองหลงชนในกรอบอางองเฉอย ′O เปน

′v1 = v1 − u และ ′v2 = v2 − u (5.7)

แทนสมการ (5.6) และ (5.7) ลงในสมการ (5.5) จะได

m1(u1 − u)+m2 (u2 − u) = m1(v1 − u)+m2 (v2 − u)

m1u1 −m1u +m2u2 −m2u = m1v1 −m1u +m2v2 −m2u

138

นนคอ m1u1 +m2u2 = m1v1 +m2v2

และจากหลกอนรกษพลงงานจลน จะได

12m1u1

2 + 12m2u2

2 = 12m1v1

2 + 12m2v2

2 (5.8)

แทนสมการ (5.6) และ (5.7) ลงในสมการ (5.8) จะได

12m1( ′u1 + v)2 + 1

2m2 ( ′u2 + v)2 = 1

2m1( ′v1 + v)2 + 1

2m2 ( ′v2 + v)2 (5.9)

เมอเทอมทางขวาของสมการ (5.9)

12m1( ′u1 + v)2 + 1

2m2 ( ′u2 + v)2 = 1

2m1( ′u 2

1 + v2 + 2 ′u1v)+ 1

2m2 ( ′u 2

2 + v2 + 2 ′u2v)

จะได

12m1 ′u 2

1 +12m1v

2 +m1 ′u1v +12m2 ′u 2

2 +12m2v

2 +m2 ′u2v (5.10)

และเทอมทางซายของสมการ (5.9) คอ 1

2m1( ′v1 + v)2 + 1

2m2 ( ′v2 + v)2 = 1

2m1( ′v 2

1 + v2 + 2 ′v1v)+ 1

2m2 ( ′v 2

2 + v2 + 2 ′v2v)

จะได 1

2m1 ′v 2

1 +12m1v

2 +m1 ′v1v +12m2 ′v 2

2 +12m2v

2 + 12m2 ′v2v (5.11)

จากสมการทสมการ (5.9) (5.10) และ (5.11) จะได

12m1 ′u1

2 + 12m2 ′u2

2 = 12m1 ′v1

2 + 12m2 ′v2

2

ดงนนเราจงสามารถสรปไดวาภายใตการแปลงพกดแบบกาลเลโอนนทงโมเมนตมและ

พลงงานจลนยงคงเปนไปตามหลกอนรกษ

139

ตวอยางท 5.2 รถยนตสองคนกำลงเคลอนทดวยอตราเรวคงตวในทศทางเดยวกนไปตามถนน ถาผสงเกตการณ O ยนนงอยทรมถนนสามารถวดอตราเรวของรถยนต A และ B เทยบกบพนดนไดเปน 60 และ 40 กโลเมตรตอชวโมง ตามลำดบ ดงภาพท 5.3 (ก) แลว จงหาอตราเรวของ A สมพทธกบ B

(ก)

(ข)

ภาพท 5.3 (ก) ผสงเกตการณหยดนงอยในกรอบอางองเฉอย O และ (ข) ผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย ′O ในรถยนต B (Kenneth Krane, 2012, 28)

วธทำ กำหนดใหผสงเกตการณ O อยบนพนวดอตราเรวของ A ไดเปน vx = 60 kmh

และกำหนด ′O กำลงเคลอนทดวยอตราเรวเทากบอราเรวของ B นนคอ u = 40 kmh

จาก ′vx = vx − u

จะได ′vx = 60 kmh

− 40 kmh

= 20 kmh

140

การทดลองของไมเคลสน-มอรเลยในปครตศกราช 1887 ไมเคลสน (Albert Abraham Michelson ; 1852 - 1931) และ

ผชวยของเขา มอรเลย (Edward Williams Morley ; 1838 - 1923) สองนกฟสกสชาวอเมรกนไดทำการทดลองโดยใช ไมเคลสนอนเตอรเฟอโรมเตอร (Michelson interferometer) ซงออกแบบเปนพเศษสำหรบการศกษาและพสจนวาโลกเคลอนทสมพทธกบตวกลางหยดนง ทเรยกวาอเธอร (Ether) ซงในเวลาตอมานกฟสกสทงสองทานกสรปวา ไมมตวกลางอเธอรอยจรง

ภาพท 5.4 แสดงแผนภาพไดอะแกรมการทดลองของไมเคลสน-มอรเลย ประกอบดวยแหลงกำเนดลำแสงเอกรงค (monochromatic beam) และกระจกสองอนคอ M1 และ M2 ทวางอยในแนวตงฉากกนและวางหางจากบมสปตเตอร (Beam splitter) เปนระยะ L เทากน เมอแสงสวนหนงจะเคลอนทไปยงกระจก M1 และอกสวนหนงจะเคลอนทไปยงกระจก M2 แลว

ลำแสงทงสองจะสะทอนกลบ ถาสมมตวาตวกลางอเธอรเคลอนทดวยอตราเรว v ในทศสวนทางกบทศการเคลอนทของโลกซงหมนรอบตวเองดวยอตราเรว 3.0 ×104 เมตรตอวนาท ดงนนลำแสงทเคลอนทไปยงกระจก M1 ซงขนานไปกบการเคลอนทของโลกจงมความเรวเทากบ c − v แลวสะทอนกลบมาดวยอตราเรว c+v ในขณะทลำแสงทเคลอนทไปยงกระจก M2

ซงเคลอนทไปในแนวตงฉากกบอเธอร จงมความเรวเปน c2 − v2

ภาพท 5.4 แผนภาพไดอะแกรมการทดลองของไมเคลสนและมอรเลย

141

กำหนดให tM1 และ tM2 คอ เวลาทลำแสงเดนทางไปกลบระหวางบมสปตเตอรกบกระจก

M1 และ M2 ตามลำดบ จะได

tM1 = Lc − v

+ Lc + v

= L(c + v)+ L(c − v)c2 − v2

= 2Lcc2 − v2

= 2Lc

1

1− v2

c2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

ดงนนจะได tM1 = 2Lc

1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

(5.12)

และ tM2 = Lc2 − v2

+ Lc2 − v2

= 2Lc2 − v2

= 2Lc

1

1− v2

c2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

ดงนนจะได tM2 = 2Lc

1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−12

(5.13)

จากสมการ (5.12) และ (5.13) จะไดความแตกตางของเวลา Δt เปน

Δt = tM1 − tM 2 = 2Lc

1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

− 2Lc

1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−12

= 2Lc

1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

− 1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−12⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

(5.14)

142

จากการกระจายทวนาม (binomial expansion)

(1± x)n = 1± nx ± n(n −1)x2

2!± n(n −1)(n − 2)x3

3!± ... (5.15)

เมอ x < 1 และเนองจาก v2

c2 = (3.0 ×104 )2

(3.0 ×108 )2 = 10−8 ซงมคานอยกวา 1

ดงนนจะได 1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

= 1+ v2

c2 −v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

− ... (5.16)

และ 1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−12

= 1+ 12v2

c2 −38

v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ 1548

v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

− ... (5.17)

พจารณาเฉพาะสองเทอมแรกในแตละสมการ จะได

Δt = 2Lc

1+ v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 1+ 1

2v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 2L

c12v2

c2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ดงนนจะได Δt = Lv2

c3 (5.18)

และจะไดผลตางของระยะทางทแสงเดนทางไดหรอระยะตางวถ (path difference , Δx )

Δx = cΔt = Lv2

c2 (5.19)

พจารณาเครองมอในภาพท 5.5 (ก) ถาหมนไปจากแนวเดม 90! แลวระยะตางวถของแสงจะเปลยนแปลงไป

Δxrot = 2Lv2

c2 (5.20)

เมอระยะตางวถทเปลยนปลงไปจะทำใหตำแหนงของรวการแทรกสอดของแสง ดงภาพท 5.5 (ข) เลอนไปจากตำแหนงเดม ซงการเลอนของรวจากการหมนเครองมอคอ

Δn = Δxrot λ

= 2Lv2

λc2 (5.21)

เมอ L = 11 เมตร และ λ = 590 นาโนเมตร (แสงสสม) จะได

143

Δn = 2(11m)(3.0 ×104 m/s)2

(590 ×10−9 m)(3.0 ×108 m/s)2 = 0.37

ทงนเครองมอของไมเคลสนสามารถวดการเลอนของรวการแทรกสอดไดละเอยดถง 0.01 แตในการทดลองของไมเคลสนและมอรเลยในหลายๆ ครง ทงในชวงฤดทแตกตางกนออกไป กยงคงไมสามารถตรวจพบการเลอนของรวแทรกสอดไดดงนนทงสองจงสรปวา อเธอรไมมอยจรง

(ก) (ข)

ภาพท 5.5 (ก) ไมเคลสนอนเตอรเฟอโรมเตอร และ (ข) รวการแทรกสอด (Kenneth Krane 2012, 30-31)

สมมตฐานของไอนสไตน

อลเบรต ไอนสไตน (Albert Einstein, 1879 - 1955) นกฟสกสชาวเยอรมนไดวเคราะหผลการทดลองและทฤษฎตาง ๆทางฟสกส แลวพบวา กฎการเคลอนทของนวตนสามารถใชไดผลในเฉพาะกรณทวตถเคลอนทดวยควมเรวทตำมาก ๆ เมอเทยบกบความเรวของแสงทเคลอนทในสญญากาศ ดงนนในป ค.ศ. 1905 ไดเสนอทฤษฎสมพทธภาพพเศษ โดยมรากฐานจากสจพจนทสำคญสองขอ คอ

1. หลกของสมพทธภาพ (The Principle of Relativity) กฎตางๆ ในทางฟสกสจะมรปแบบของสมการเหมอนกนในทกๆ กรอบอางองเฉอย

2. อตราเรวแสงสากล (The Universal Speed of Light) อตราเรวของแสงทวดจากกรอบอางองเฉอยทกกรอบมคาเทากบอตราเรวของแสง

ในสญญากาศและไมขนกบความเรวของผสงเกตหรอความเรวของแหลงกำเนดแสง

144

การแปลงพกดแบบโลเรนตซ การแปลงพกดแบบโลเรนตซ (Lorentz transformation) คอชดสมการกาล-อวกาศ

(space-time equation) ของเหตการณทวดจากกรอบอางองเฉอยทเคลอนทสมพทธกน ถากรอบอางองเฉอย O และ ′O เคลอนทสมพทธกนดวยอตราเรว u ไปในทศ x - ′x และเวลาเรมตนของทงสองกรอบเปนศนย ( t = ′t = 0 ) และกาล-อวกาศของอนภาคทสงเกตหรอ วดไดจากกรอบอางองเฉอย O และ ′O เปน x,y,z,t และ ′x , ′y , ′z , ′t ตามลำดบ และเนองจาก

เรากำหนดใหกรอบอางองเฉอยเคลอนทสมพทธกนไปตามแกน x เทานน ดงนนในแนวแกน y

และ z จงไมมการเปลยนแปลงนนคอ ′y = y และ ′z = z และสมมตใหการแปลงพกดแบบ

โลเรนตซเปนสมการเชงเสน ดงนนสมการการแปลงจงเปน

′x = a1x+a2t และ ′t = a3x+a4t (5.22)

เมอ a1, a2, a3 และ a4 คอ คาคงตวใดๆ และถาอนภาคในกรอบอางองเฉอย O

เปลยนระยะทางไป dx ตามแนวแกน x ในชวงเวลา dt แลวระยะทาง d ′x และเวลา d ′t ในกรอบอางองเฉอย ′O จะเปน

d ′x = a1dx+a2dt (5.23)

d ′t = a3dx+a4dt (5.24)

หารสมการ (5.23) ดวยสมการ (5.24) จะได

d ′xd ′t

= a1dx+a2dta3dx+a4dt

= a1

dxdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +a2

a3dxdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +a4

เมอความเรวในกรอบ O และ ′O เปน v = dxdt

และ ′v = d ′xd ′t

แลวจะได

′v = a1v+a2

a3v+a4

(5.25)

เราสามารถหาคาคงตว a1, a2, a3 และ a4 ไดจากสมการ (5.25) โดยกำหนดเงอนไขดงน

145

1) สมมตใหอนภาคหยดนง เมอวดจากกรอบอางองเฉอย O นนคอ v = 0 และ ′v = − u จะได a2 = − a4u (5.26)

2) สมมตใหอนภาคหยดนง เมอวดจากกรอบอางองเฉอย O นนคอ ′v = 0 และ v = u จะได a2 = − a1u (5.27)

แทนสมการ (5.27) ลงใน (5.26) จะได a1 = a4 (5.28)

3) สมมตใหอนภาคเปนโฟตอนซงจากสจพจนขอสอง ′v = v = c จะได c = a1c+a2a3c+a4

และจากสมการ (5.27) และ (5.28) จะได c = a1c − a1ua3c+a1

a3c2 +a1c = a1c − a1u

a3 = − uc2 a1 (5.29)

แทนคาคงตว a1, a2, a3 และ a4 ลงในสมการ (5.22) จะได

′x = a1(x − ut) (5.30)

′t = a1 t − uxc2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (5.31)

4) สจพจนขอหนงของไอนสไตน เราสามารถอธบายปรากฏการณทางกายภาพในกรอบอางองเฉอย O และ ′O

ซงเคลอนทสมพทธกนดวยอตราเรว u ไดดวยสมการการแปลงผกผน

x = a1( ′x +ut) และ t = a1 ′t + u ′xc2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (5.32)

146

แทนสมการ (5.32) ลงในสมการ (5.30)

′x = a1 a1 ′x +u ′t( )− va1 ′t + u ′xc2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= a12 ′x +u ′t − u ′t − u

2 ′xc2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= a12 ′x 1− u

2

c2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 = a12 1− u

2

c2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

ดงนนจะได a1 = 1

1− u2

c2

(5.33)

เมอนำสมการ (5.33) ไปแทนใน (5.30) - (5.32) จะไดสมการการแปลงพกดแบบโลเรนตซ เปน

′x = x − ut

1− u2

c2

และ ′t = t − ux

c2

1− u2

c2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

(5.34)

x = ′x + u ′t

1− u2

c2

และ t = ′t +u ′x

c2

1− u2

c2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

(5.35)

เมอกำหนดให β = uc

และ γ = 11− β 2

แลวเราจะเขยนสมการการแปลงพกดแบบโลเรนตซ

และสมการการแปลงพกดแบบโลเรนตซผกผนไดดงตารางท 5.1

147

ตารางท 5.1 สมการการแปลงโลเรนตซและการแปลงโลเรนตซผกผน

สมการการแปลงพกดแบบโลเรนตซ สมการการแปลงพกดแบบโลเรนตซผกผน

′x = γ x − βct( ) x = γ ′x +βc ′t( )′y = y ′z = z y = ′y z = ′z

′t = γ t − βxc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ t = γ ′t +β ′x

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

จากตารางท 5.1 จะเหนไดวา กรณท u << c จะทำให β → 0 แลวการแปลงโลเรนตซ

จะเปลยนรปเปนการแปลงพกดแบบกาลเลโอ ดงนนจงสามารถสรปไดวาสมการการแปลงพกดแบบโลเรนตซเปนสมการท วไป ในขณะทการแปลงแบบกาลเลโอจะเปนกรณเฉพาะของ การแปลงพกดแบบโลเรนตซ ถา u > c แลวตำแหนงและเวลาจากการแปลงพกดแบบโลเรนตซจะกลายเปนจนตภาพ นนหมายความวาเปนการเคลอนทเรวกวาอตราเรวของแสง ซงเปนไมไปไดนอกจากน จะเหนไดวาตำแหนงและเวลาจากการแปลงพกดแบบโลเรนตซน นเปนปรมาณ ทไมสามารถแยกออกจากกนได

ตวอยางท 5.3 ถามเหตการณหนงเกดขนในกรอบอางองเฉอย O ท x = 50.0 เมตร

y = 20.0 เมตร และ z = 10.0 ณ เวลา t = 50.0 ×10−9 วนาท แลว จงหาตำแหนงและเวลา

ของเหตการณทเกดขนดงกลาว ถาผสงเกตการณหยดนงอยในกรอบอางองเฉอย ′O ซงเคลอนทสมพทธกบกรอบอางองเฉอย O ดวยความเรว 0.600c ไปตามแนวแกน x - ′x

วธทำ จากสมการการแปลงโลเรนตซ เมอ β = uc

= 0.600cc

= 0.600

จะได γ = 11− β 2

= 11− (0.60)2

= 10.80

= 1.25

ดงนน ′x = 1.25 50.0m − 0.600 3.00 ×108 ms

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 50.0 ×10−9 s⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= 51.2 m

148

′y = 20.0 m และ ′z = 10.0 m

′t = 1.25 (50.0 ×10−9 s)− 0.60 50.0m3.00 ×108 m / s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − 62.5 ×10−9 s

= − 62.5 ns

ตวอยางท 5.4 ถากรอบอางองเฉอย O มเหตการณ A เกดขนท 20.0 เมตร ณ เวลา 2.00 ×10−8 วนาทและเหตการณ B ท 60.0 เมตร ณ เวลา 3.00 ×10−8 วนาท แลวจงหาผลตางของตำแหนงและผลตางของเวลาของเหตการณทงสองทวดโดยผสงเกตการณทหยดนงอย

ในกรอบอางองเฉอย ′O ซงเคลอนทสมพทธกบ O ดวยอตราเรว 0.60c ไปตามแนวแกน x ′x

วธทำ หาผลตางของตำแหนงของเหตการณทงสอง ไดจาก ′x2 − ′x1 = γ x2 − x1( )− u t2 − t1( )⎡⎣ ⎤⎦

= 1.25 (60.0 − 20.0)m − 0.60c(3.0 − 2.0)×10−8 s⎡⎣ ⎤⎦

= 47.8 m

หาผลตางของเวลาของเหตการณทงสอง ไดจาก

′t2 − ′t1 = γ t2 − t1( )− u x2 − x1

c2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= 1.25 (3.0 − 2.0)×10−8 s− 0.60(60.0 − 20.0)m3.00 ×108 m / s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − 8.75 ×10−8 s

= − 87.5 ns

149

ความเรวเชงสมพทธ

ถาอนภาคเคลอนทในกรอบอางองเฉอย O เปนระยะทาง dx ภายในชวงเวลา dt แลวพกดตำแหนงและเวลาของอนภาคทถกวดโดยผสงเกตการณหยดนงอยในกรอบอางองเฉอย ′O จะเปน

d ′x = γ (dx − udt)

d ′y = dy (5.36)

d ′z = dz

d ′t = γ dt − udxc2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (5.37)

หารสมการ (5.36) ดวย (5.37) จะไดความเรวสมพทธตามแนวแกน ′x ′y และ ′z เปน

′vx = d ′xd ′t

= dx − udt

dt − udxc2

=

dxdt

− u

dt − uc2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dxdt

ดงนนจะได

′vx = vx − u

1− uvxc2

(5.38)

ในทำนองเดยวกน จะได ′vy =

vy 1− β 2

1− uvxc2

(5.39)

′vz = vz 1− β 2

1− uvx c2 (5.40)

และจากการแปลงผกผนจะได

vx = ′vx + u

1+ u ′vxc2

: vy = ′vx 1− β 2

1+ u ′vxc2

: vz = ′vz 1− β 2

1+ u ′vxc2

(5.41)

150

ถาอนภาคในกรอบอางองเฉอย O คอโฟตอนทกำลงเคลอนทดวยความเรวแสง (vx = c ) แลว

ความเรวของโฟตอนทวดโดยผสงเกตการณทหยดนงอยในกรอบอางองเฉอย ′O จะเปน

′vx = vx − u1− uvx c2 = c − u

1− u c = c(c − u)

c − u = c

เราจะเหนวา ความเรวของแสงทวดไดจาก ′O มคาเทากบความเรวของแสงทวดไดจาก O

ตวอยางท 5.5 ถานกฟสกสคนหนงวดความเรวของอนภาคฮกสสองอนภาคซงกำลงเคลอนทเขาหากนไดเปน 0.95c สมพทธกบหองปฏบตการ ดงภาพท 5.6 แลวจงหาความเรวเชงสมพทธของอนภาคทงสอง

ภาพท 5.6 อนภาค A และ B เคลอนทสมพทธกนดวยอตราเรว 0.95c

วธทำ กำหนดใหหองปฏบตการเปนกรอบอางองเฉอย O จะได vA = 0.95c และ vB = −0.95c

กรอบอางองเฉอย ′O เคลอนทดวยความเรว u = vA จะได ′vA = 0

จาก ′vx = vx − u

1− uvxc2

จะได ′vB = vB − vA1− vAvB

c2

= −0.95c − 0.95c1− (0.95c)(−0.95c) c2

= 0.999c

151

ตวอยางท 5.6 ถาผสงเกตการณบนพนโลกวดความเรวของกระสวยอวกาศอนดเพนเดนซ และกระสวยอวกาศฟรดอมซงเคลอนทไปในทศทางเดยวกนไดเปน 0.80c และ 0.60c แลว จงหาความเรวสมพทธทนกบนในกระสวยทงสองจะวดได

วธทำ กำหนดให v1 = 0.80c และ u = v2 = 0.60c จาก ′vx = vx − u

1− uvxc2

จะได ′v2 = v2 − v1

1− v1v2

c2

= 0.80c − 0.60c

1− (0.80c)(0.60c)c2

= 0.385c

ในขณะท ฟสกสแผนเดม ′v2 = v2 − v1 = 0.80c − 0.60c = 0.200c

ตวอยางท 5.7 กระสวยอวกาศเคลอนทออกจากโลกดวยอตราเรว 0.80c พรอมกบยงมสไชลออกไปในทศทางเดยวกน ดงภาพท 5.7 ถามสไชลเคลอนทสมพทธกบกระสวยอวกาศดวยอตราเรว 0.60c แลว จงหาอตราเรวของมสไซลทวดโดยผสงเกตการณบนโลก

ภาพท 5.7 กระสวยอวกาศเคลอนทสมพทธกบมสไซล (Kenneth Krane, 2012, 38)

วธทำ กำหนดใหกระสวยอวกาศเปนกรอบอางองเฉอย ′O และโลกเปนกรอบอางองเฉอย O เมอ ′O เคลอนทสมพทธกบ O ดวย u = 0.80c และมสไซลถกยงออกไปดวยอตราเรว ′v = 0.60c สมพทธกบ ′O แลวจะได

v = ′v +u

1+u ′vc2

= 0.60c+0.80c

1+ (0.80c)(0.60c)c2

= 0.95c

152

ตวอยางท 5.8 มอเตอรไซดสองคนอลฟาและบตากำลงเคลอนทดวยอตราเรวสมพทธกน ในทศทางตงฉากกน ถาจาแมคเคนซงยนนงททางแยกวดอตราเรวของมอเตอรไซดทงสองไดเปน 0.75c และ 0.90c ดงภาพท 5.8 (ก) แลวจงหาอตราเรวของบตาทอลฟาวดได

(ก) (ข)

ภาพท 5.8 การเคลอนของวตถดวยอตราเรวสมพทธกนในสองมต (R.A. Serway, C.J. Modes & C.A. Moyer : 2005 , 31)

วธทำ จากภาพท 5.8 (ก) จะไดอตราเรวของอลฟาและบตาในแนวแกน x และ y เปน

อลฟา vx = 0.75c : vy = 0

บตา vx = 0 : vy = − 0.90c

กำหนดใหอลฟากำลงเคลอนทอยในกรอบ ′O ดงภาพท 5.8 (ข) จะได u = vx = 0.75c

เราสามารถคำนวณ ′vx และ ′vy ของบตาทอลฟาวดไดเปน

′vx = vx − u

1− vxuc2

= 0 − 0.75c

1− (0)(0.75c)c2

= − 0.75c

′vy = vy 1− u

2

c2

1− vxuc2

= −0.90c( ) 1− (0.75c)2

c2

1− (0)(0.75c)c2

= − 0.60c

ดงนนจะไดอตราเรวสมพทธของบตากบอลฟา เปน

′v = ( ′vx )2 + ( ′vy )

2 = (−0.75c)2 + (−0.60c)2 = 0.96c

153

การหดสนของความยาว

ถาผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย ′O วดขนาดของความยาวของวตถทวางนงอยใน

กรอบอางองเฉอย ′O ตามแนวแกน ′x ไดเปน L0 = ′x2 − ′x1 แลวผสงเกตการณในกรอบ

อางองเฉอย O จะวดความยาวของวตถดงกลาวซงกำลงเคลอนทสมพทธกบเฉอย O ดวย

ความเรว u ไปในทศทางตามแนวแกน x ดงภาพท 5.9 ไดเปน Lx = x2 − x1 ซงจากสมการ

การแปลงพกดแบบโลเรนตซ ′x1 = γ (x1 − ut) และ ′x2 = γ (x2 − ut) จะได

L0 = ′x2 − ′x1 = γ (x2 − ut) −γ (x1 − ut)

= γ (x2 − x1)

= γ L

เมอ γ = 1

1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 จะได L0 = L

1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

หรอ L = L0 1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

(5.42)

กรณทวตถเคลอนทดวยอตราเรวเขาใกลอตราเรวของแสงในสญญากาศ (u→ c )

จะได 1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

< 1 เสมอ ดงนน L < L0 เสมอ เชนกน

ทงนเราจะเรยกปรากฏการณทขนาดของวตถตามแนวการเคลอนทของวตถนนหดสนนวา การหดสนของโลเรนตซ-ฟตซเจอราลด (Lorentz-Fitzgerald contraction)

154

ภาพท 5.9 การหดสนของวตถทกำลงเคลอนทสมพทธกบผสงเกตการณ ดวยอตราเรว u

ดงนนเราจงสามารถสรปไดวา ถาผสงเกตการณทอยในกรอบอางองเฉอยเดยวกบวตถสามารถวดความยาวของวตถไดเปน L0 แลวผสงเกตการณอน ๆ ทเคลอนทสมพทธกบกรอบ

อางองเฉอยดงกลาวจะวดความยาวของวตถในทศทางเดยวกบทศเคลอนทของผสงเกตการณ ไดสนกวาเสมอ แตขนาดของวตถในแกนทตงฉากกบทศการเคลอนทของผสงเกตการณนนจะมคาเทาเดมเสมอ ดงตวอยางในภาพท 5.10

(ก) (ข) (ค)

ภาพท 5.10 ตวอยางการหดสนของวตถในทศทางเดยวกบการเคลอนท(Kenneth Krane, 2012 , 34)

155

กรณทวตถเคลอนทดวยอตราเรวตำมากๆ เมอเทยบกบอตราเรวของแสงในสญญากาศ

( u≪ c ) จะได 1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

→ 1 ดงนน L ≈ L0 เชน กระสวยอวกาศลำหนงยาว 100 เมตร

เคลอนทออกจากโลกดวยอตราเรว 10 กโลเมตรตอวนาท ผสงเกตการณบนพนโลกจะวด ความยาวของกระสวยอวกาศดะงกลาวไดเปน 100 เมตร เชนกน

ตวอยางท 5.9 ถากระสวยอวกาศลำหนงมความยาวขณะจอดนงเทากบ 100 เมตร แลว จงหาความยาวของกระสวยอวกาศลำดงกลาวขณะเคลอนทดวยอตราเรว ก) 0.99c และ ข) 0.01000c

วธทำ จาก L = L0 1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

และ L = 100m เมอ

ก) u = 0.99c จะได L = (100m) 1− 0.99cc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 14 m

ข) u = 0.01000c จะได L = (100m) 1− 0.01000cc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 99.99 m

ตวอยางท 5.10 ผสงเกตการณบนพนโลกมองเหนกระสวยอวกาศทความสง 435 เมตร กำลงเคลอนทลงสพนโลกดวยอตราเรว 0.970c แลวจงหาความสงของกระสวยอวกาศทนกบนอวกาศทอยในกระสวยอวกาศดงกลาววดได

วธทำ จาก L = L0 1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

เมอ L0 = 435m และ u = 0.970c

จะได L = (435m) 1− 0.970cc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 106 m

156

ตวอยางท 5.11 วตถทรงลกบาศกซงขนาดของแตละดานยาว 5.00 เมตร ลอยนงอยในอากาศ ดงภาพท 5.11 แลวจงหารปรางของวตถดงกลาวเมอเคลอนทในทศทางดวยอตราเรว 0.950c

(ก) (ข)ภาพท 5.11 วตถทรงลกบาศก (ก) หยดนง และ (ข) เคลอนทดวยอตราเรว

วธทำ จาก L = L0 1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

และเนองจากวตถเคลอนทไปในแนวแกน y จะได ′y = y 1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

เมอ y = 5.00 m และ u = 0.950c

จะได ′y = (5.00m) 1− 0.950cc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 1.56 m

ทงน ในแนวแกน x และ z วตถจงมขนาดเทาเดม

ดงนนวตถจงมรปรางเปนลกบาศกทมขนาด เปน 5.00m ×1.56m × 5.00 m

157

ตวอยางท 5.12 วตถยาว 1.00 เมตร วางหยดนงทำมม 45 องศากบแกน ′x ในกรอบ ′O ถาวตถดงกลาวเคลอนทดวยอตราเรว 0.30c ไปตามแนวแกน x ดงแสดงในภาพท 5.12 แลว จงหาความยาวและมมทวดโดยผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย O

ภาพท 5.12 วตถขนาด L0 ทำมม 45! กบทศทางการเคลอนท

วธทำ จาก L = L0 1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

เมอ L0 = 1.00 m และ ′θ = 45!

ความยาวในแนวแกน x : Lx = L0x 1− uxc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

และ ux = 0.30c

L cosθ = L0 cos ′θ 1− uxc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

(5.43)

ความยาวในแนวแกน y : Ly = L0y 1−uyc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

และ uy = 0

L sinθ = L0 sin ′θ (5.44)

ยกกำลงสองสมการ (5.43) และ (5.44) แลวนำมาบวกกน จะได

L2 cos2θ + L2 sin2θ = L02 1− ux

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥cos2 ′θ + L0

2 sin2 ′θ

158

L2 (cos2θ + sin2θ ) = L02 1− ux

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟cos2 ′θ + sin2 ′θ

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

L2 = (1.00m)2 (1− (0.30)2 )cos2 45! + sin2 45!⎡⎣ ⎤⎦

L = 0.977 m

หารสมการ (5.32) หารดวย (5.31) จะได tanθ = tan ′θ1− β 2

θ = tan−1 tan 45!

1− (0.30)2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 46.4!

การยดของเวลา

ปรมาณตาง ๆทางฟสกส อาทเชน ตำแหนง ความเรว ความยาว และ เวลา ตามสมมตฐานของทฤษฎสมพทธภาพถอวาปนปรมาณทไมคงตว สามารถเกดการเปลยนแปลงไดขนอยกบลกษณะการเคลอนทของวตถหรอผสงเกตการณ สมมตวาในกรอบอางองเฉอย ′O ทเวลา ′t1

มเหตการณ A เกดขนทตำแหนง ′x0 และทเวลา ′t2 มเหตการณ B เกดขนทตำแหนงเดม

ดงภาพท 5.13 แลวผสงเกตการณ ซงหยดนงอยในกรอบอางองเฉอย ′O จะวดชวงเวลาของ

เหตการณทงสองไดเปน Δ ′t = ′t2 − ′t1 ในขณะทผสงเกตทหยดนงอยในกรอบอางองเฉอย O

ทกำลงเคลอนทสมพทธกบกรอบอางองเฉอย ′O ดวยอตราเรว u จะวดชวงเวลาของเหตการณ

ทงสองไดเปน Δt = t2 − t1 และจากการแปลงโลเรนตซจะได t1 = γ ′t1 +u ′x0

c2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ และ

t2 = γ ′t2 +u ′x0

c2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ดงนนจะได Δt = t2 − t1 = γ ′t2 +

u ′x0

c2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −γ ′t1 +

u ′x0

c2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= γ ′t2 − ′t1( ) = γΔ ′t

= γΔ ′t

159

เมอ γ = 11− β 2

และ β = uc

จะได

Δt = Δ ′t1− β 2

(5.4ถ)

เรยกปรากกฎการณทชวงเวลา Δt > Δ ′t วา การยดของเวลา (Time Dilation)

ภาพท 5.13 การยดของเวลา

ตวอยาง 5.13 อนภาคเลปตอนมชวงชวตเฉลย 1.00 ×10-6 วนาท เมอเคลอนทดวยความเรว 2.00 ×108 เมตรตอวนาท ในกรอบอางองเฉอย ′O แลวจงหา ก) ชวงชวตของอนภาคเลปตอนทวดไดจากผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย O ข) ระยะทางทอนภาคแลปตอนเคลอนทไดกอนสลายตว

160

วธทำ ก) หาชวงชวตของอนภาคทวดไดจากผสงเกตการณทหยดนงอยในกรอบอางองเฉอย O

Δt = Δ ′t

1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 = 1.00 ×10−6 s

1− 2.00 ×108m/s3.00 ×108m/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 1.73×10−6 s

= 1.73µs

ข) ระยะทางทแลปตอนเคลอนทไดกอนสลายตว

d = uΔt = (2.00 ×108m/s)(1.73×10−6 s) = 346 m

ตวอยางท 5.14 อนภาคมวออนมชวงชวตเฉลยในกรอบอางองเฉอย ′O เปน 2.20 ×10−6

วนาท ถาอนภาคมวออนเคลอนทดวยอตราเรว 0.998c ในทศทางพงเขาสพนโลก แลว จงหา ก) ชวงชวตเฉลยของมวออนทวดจากผสงเกตการณบนพนโลก ข) ระยะทางทมวออนเคลอนทไดกอนสลายตว

วธทำ ก) ชวงชวตเฉลยของมวออนทวดจากผสงเกตบนโลก

Δt = Δ ′t

1− uc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 = 2.20 ×10−6 s

1− 0.998cc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 3.48 ×10−5 s

= 34.8µs

ข) ระยะทางทมวออนเคลอนทไดกอนสลายตว

d = uΔt = 0.998(3.00 ×108m/s)(3.48 ×10−5 s)

= 1.04 ×104 m = 10.4 km

161

ความเปนเวลาเดยวกน

ถากรอบอางองเฉอย O มเหตการณ A และ B เกดขนท x1, y1, z1,t1 และ x2, y2, z2,t2

ดงภาพท 5.14 แลวตำแหนงและเวลาทวดโดยผสงเกตการณทอยในกรอบอางองเฉอย ′O ซง

เคลอนทสมพทธกบ O ดวยอตราเรว u ในทศตามแนวแกน x ′x จะมสมการการแปลงพกดแบบ

โลเรนตซเปน

′x1 = γ (x1 − ut) และ ′t1 = γ t1 −ux1

c2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′x2 = γ (x2 − ut) และ ′t2 = γ t2 −ux2

c2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ภาพท 5.14 ความเปนเวลาเดยวกน

ผลตางของตำแหนง Δ ′x และผลตางของเวลา Δ ′t ทผสงเกตการณในกรอบ ′O วดได คอ

Δ ′x = ′x2 − ′x1 = γ (x2 − x1)− u(t2 − t1)[ ] (5.46)

Δ ′t = ′t2 − ′t1 = γ (t2 − t1)− uc2 (x2 − x1)⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

(5.47)

162

ถาสมมตใหเหตการณ A และ B เกดขนพรอมกน (t2 − t1 = 0 ) ในกรอบอางองเฉอย O

แลวเหตการณทงสองไมจำเปนตองเกดขนพรอมกนในกรอบอางองเฉอย ′O ( ′t2 − ′t1 ≠ 0 )

นนคอ

Δ ′t = ′t2 − ′t1 = γ uc2 (x1 − x2 )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ (5.48)

สมการท (5.36) แสดงวาเหตการณ A และ B จะเกดขนพรอมกนในกรอบอางองเฉอย ′O ได กตอเมอเหตการณทงสองเกดขนทตำแหนงเดยวกนเทานน (x2 − x1 = 0)

ตวอยาง 5.15 ถาในกรอบอางองเฉอย O มเหตการณ A เกดขนทตำแหนง x0 และหลงจากนน

1.00 ×10−6 วนาทตอมา มเหตการณ B เกดขนทตำแหนงเดยวกน โดยในขณะทผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย ′O วดความตางของเวลาของเหตการทงสองไดเทากบ 4.00 ×10−6

วนาท แลวจงหาความตางของตำแหนงทผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย ′O วดได

วธทำ จาก x2 − x1 = 0 t2 − t1 = 1.00 ×10−6 s และ ′t2 − ′t1 = 4.00 ×10−6s

เมอ ′x2 − ′x1 = γ (x2 − x1)− u(t2 − t1)[ ]

จะได ′x2 − ′x1 = − uγ (1.00 ×10−6 s)

และจาก ′t2 − ′t1 = γ (t2 − t1)− uc2 (x2 − x1)⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

จะได 4.00 s = γ

เมอ γ = 11− β 2

และ β = uc

จะได 4.00 s = 11− β 2

β = 154

ดงนนจะได ′x2 − ′x1 = − uγ = −γβc = − 15c เมตร

163

′A ( ′x1, ′y1, ′z1)

A(x1, y1, z1)t1

′t1

B(x2, y2, z2 )

′t2

t2

′B ( ′x2, ′y2, ′z2 )

ตวอยางท 5.16 ถามเหตการณ A และ B เกดขนในกรอบอางองเฉอย O ท xA = 24.0 เมตร

ณ เวลา tA = 4.0 ×10−8 วนาท และท xB = 48.0 เมตร เมอ tB = 8.0 ×10−8วนาท แลว

จงหาความเรวในการเคลอนทของกรอบอางองเฉอย ′O ททำใหเหตการณทงสองเกดขนพรอมกน

วธทำ จาก Δ ′t = ′t2 − ′t1 = γ t2 − t1( )− uc2 x2 − x1( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

จะได Δ ′t = ′tB − ′tA = γ tB − tA( )− uc2 xB − xA( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

เนองจากผสงเกตการณใน ′O มองเหนเหตการณ A และ B เกดขนพรอมกบเหตการณ

นนคอ ′tB − ′tA = 0 ดงนนจะได

γ (tB − tA )− uc2 (xB − xA )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= 0

(8.00 − 4.00)×10−8 s − uc2 (48.0 − 24.0)⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= 0

24 uc2 = 4.00 ×10−8 s

u = (4.00 ×10−8 s)(3.00 ×108 s)2

24

= 1.50 ×108 ms

164

ปรากฏการณดอปเปลอรของแสง

ปรากฏการณดอปเปลอร (Doppler’s effect) คอปรากฏการณการเปลยนแปลงความถของคลนเนองจากการเคลอนทสมพทธระหวางแหลงกำเนดคลนและผสงเกต

1 ปรากฏการณดอปเปลอรเชงสมพทธ

ถาแหลงกำเนดแสงเอกรงคอยทจดกำเนดของกรอบอางองเฉอย ′O ปลอยคลนระนาบ ในระนาบ xy โดยทำมม ′θ กบแกน ′x ดงภาพท 5.15 แลวจะได ′Ψ = ′Ψ (x, y,t) เปน

′Ψ = ′A cos( ′ω ′t − ′kx ′x − ′ky ′y ) (5.49)

เมอ ′kx = ′k cos ′θ ′ky = ′k sin ′θ และ ′k = 2π′λ

จะได

′Ψ = ′A cos( ′ω ′t − ′k ′x cos ′θ − ′k ′y sin ′θ ) (5.50)

จากสจพจนขอหนงของไอนสไตนจะไดสมการคลนในกรอบอางองเฉอย O เปน

Ψ = Acos(ωt − kxcosθ − kysinθ ) (5.51)

ภาพท 5.15 ปรากฏการณดอปเปลอรของคลน

เนองจากเฟสของคลน φ เปนปรมาณคงตว นนคอ φ = ′φ ดงนนการเปลยนแปลงเฟส

ของคลนจากกรอบอางองเฉอย ′O ไปยง O จากสมการ (5.50) จงเขยนไดเปน

φ = ′ω γ t − uxc2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ′k γ x − ut( )cos ′θ − ′k ysin ′θ

165

φ = ′ω γ t − ′ω γ uxc2 − ′k γ xcos ′θ + ′k γ ut cos ′θ − ′k ysin ′θ

= γ ′ω + ′k u cos ′θ( )t −γ ′ω uc2 − ′k cos ′θ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ x − ′k ysin ′θ

เมอ ′k = 2π′λ

= 2π′λ

′υ′υ = ′ω

c จะได

φ = γ ′ω + ′k u cos ′θ( )t −γ ′k β − ′k cos ′θ( )x − ′k sin ′θ( )y (5.52)

เปรยบเทยบสมการ (5.52) กบเฟสของคลนในสมการ (5.50) จะได

ω = γ ′ω + ′k u cos ′θ( ) (5.53)

k cosθ = γ ′k β + ′k cos ′θ( ) (5.54)

k sinθ = ′k sin ′θ (5.55)

เนองจาก ′k = ′ωc

และ β = uc

ดงนนสมการ (5.53) จงเปน

ω = γ 1+ β cos ′θ( ) ′ω (5.56)

จากการแปลงผกผนจะได ′ω = γ 1− β cosθ( )ω (5.57)

ดงนนจะได ω = ′ω

γ 1− β cosθ( ) = ′ω 1− β 2

1− β cosθ (5.58)

แทน ω = 2πυ ลงในสมการ (5.58) จะไดการเปลยนแปลงความถสมพทธ เปน

υ = ′υ1− β 2

1− β cosθ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ (5.59)

เรยกสมการ (5.59) วา การเลอนดอปเปลอรเชงสมพทธ (relativistic Doppler’s shift)

166

สมการท (5.59) แสดงใหเหนวา ความถของคลนแสงทผสงเกตการณวดไดนนขนอยกบมมของหนาคลน θ จากแหลงกำเนดกบทศทางการเคลอนทของผสงเกตการณ ซงเราสามารถแบงความสมพนธระหวางผสงเกตการณกบแหลงกำเนดคลนแสงไดตามลกษณะการเคลอนท

สมพทธกนไดเปนสามกรณ โดยกำหนดให υob =υ คอ ความถของคลนแสงทผสงเกตการณวดได

และ υso = ′υ คอ ความถของคลนแสงจากแหลงกำเนด

1) แหลงกำเนดคลนแสงและผสงเกตการณเคลอนทไปในทศทางเดยว ( θ = 0! )

จะได υob = 1− β 2

1− β⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟υso = (1− β )(1+β )

1− β 1− β⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟υso

υob = 1+β1− β

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟υso (5.60)

ถา θ = 0! แลว υob >υso เสมอ นนคอ ความถของคลนแสงทผสงเกตการณวดได จะมคามากกวาความถของแหลงกำเนด และเรยกปรากฏการณนวา blue shift

2) แหลงกำเนดคลนแสงและผสงเกตการณเคลอนทในทศตรงกนขาม ( θ = 180! )

จะได υob = 1− β 2

1+β⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟υso = (1− β )(1+β )

1+β 1+β⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟υso

υob = 1− β1+ β

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟υso (5.61)

กรณ θ = 180! จะได υob < υso นนคอ ความถของคลนแสงทผสงเกตการณวดได

จะมคานอยกวาความถของแหลงกำเนด และเรยกปรากฏการณนวา red shift

3) แหลงกำเนดคลนแสงและสงเกตการณคลอนทในแนวตงฉากกน ( θ = 90! )

ถาแหลงกำเนดคลนแสงและผสงเกตการณเคลอนทไปในทศทางทตงฉากกนแลว

ความเรวสมพทธของแหลงกำเนดคลนแสงและผสงเกตการณจะเปนศนย แตอยางไรกตามความถของคลนแสงทผสงเกตการณวดไดกมการเปลยนแปลงไปจากความถแหลงกำเนด นนคอ υob = υso 1− β (5.62)

ความถทผสงเกตการณวดไดจะมคานอยกวาความถของแหลงกำเนดเสมอ โดยเราจะเรยกวา ปรากฏการณดอปเปลอรตามขวาง (transverse Doppler’s effect)

167

2 ปรากฏการณดอปเปลอรยคเกาพจารณากรณทผ สงเกตการณหรอแหลงกำเนดคลนแสงเคลอนทสมพทธกนดวย

อตราเรวทตำกวาอตราเรวแสงมนสญญากาศมากๆ (v << c ) ซงจะทำให β 2 = vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

→ 0

ดงนน υ = 1− β 2

1− β cosθ′υ = 1

1− β cosθ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1+ β cosθ1+ β cosθ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′υ = 1+ β cosθ1− β 2 cos2θ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′υ

จะได υ = ′υ (1+ β cosθ ) (5.63)

กรณ θ = 0! จะได υ = ′υ (1+ β ) หรอ λ − ′λλ

= − vc

(blue shift)

กรณ θ =180! จะได υ = ′υ (1− β ) หรอ λ − ′λλ

= vc

(red shift)

กรณ θ = 90! จะได υ = ′υ หรอ λ = ′λ

เราจะเหนวากรณผสงเกตและแหลงกำเนดแสงเคลอนทในแนวตงฉากกน ( θ = 90! ) ความถทผสงเกตการณวดไดจะมคาเทากบความถของแหลงกำเนด ซงจะไมตรงกบการอธบายดวยปรากฏการณดอปเปลอรเชงสมพทธทผสงเกตจะวดความถไดตำกวาความถของแหลงกำเนด

3 ความคลาดแสงความคลาดแสง (aberration of light) คอ มมของหนาคลนแสงทเบยงเบนไปจาก

แนวการเคลอนทเดม โดยเราสามารถหาความคลาดแสงไดจากสมการ (5.54) และ (5.55) นนคอ

tanθ = sinθcosθ

= ′k sin ′θγ ( ′k β + ′k cos ′θ )

= sin ′θ 1− β 2

cos ′θ + β (5.64)

จากการแปลงผกผน จะได

tan ′θ = sinθ 1− β 2

cosθ − β (5.65)

เมอ θ และ ′θ คอมมทวดจากกรอบอางองเฉอย O และ ′O ตามลำดบ

168

มวลและโมเมนตมเชงสมพทธ

โมเมนตมของอนภาค ในกลศาสตรนวตน คอผลคณของมวลและความเรวของอนภาคนนๆ

!p = m!v เมอ m ไมขนอยกบความเรวของการเคลอนทของอนภาคซงจากการแปลงพกดแบบ

กาลเลโอนนกฎของนวตนจะไมเปลยนแปลง ดงนนถาตามนยามโมเมนตมในกลศาสตรแผนเดมแลวกฎอนรกษโมเมนตมจะไมเปลยนแปลงภายใตการแปลงพกดแบบกาลเลโอดวยเชนกน ในขณะทกฎของนวตนจะมการเปลยนแปลงภายใตการแปลงพดแบบโลเรนตซ ทงนเนองจาก กฎการอนรกษโมเมนตมเปนรากฐานมากกวากฎของนวตน เพอใหกฎอนรกษโมเมนตมภายใตการแปลงพกดแบบโลเรนตซคงตว ไมเปลยนแปลง ดงนนจงตองมการนยามโมเมนตมขนมาใหม

พจารณาการชนแบบไมยดหยนของวตถมวล ′m ในกรอบอางองเฉอย ′O ดงแสดงในภาพท 5.16 (ก) ถากอนชนกนวตทงสองเคลอนทเขาหากนในแนวแกน x ดวยอตราเรว ′u และหลงชนกนวตถทงสองตดกนและหยดนง ดงภาพท 5.16 (ข) ในขณะเดยวกนผสงเกตการณ ทอยในกรอบอางองเฉอย O ซงเคลอนทสมพทธกบกรอบอางองเฉอย ′O ดวยอตราเรว ′u นน

จะมองเหนวตถอนหนงหยดนงและความเรวของวตถอกอนหนง ดงภาพท 5.16 (ค) จะหาไดจากกฎของความเรวเชงความสมพทธ

u = ′u + ′u

1+ u2

c2

= 2 ′u

1+ u2

c2

(5.66)

สามารถจดรปสมการใหม ไดเปน สมการกำลงสอง

′u 2 − 2c2

u′u + c2 = 0 (5.67)

ดงนนจะได ′u = c2

u± c2

u⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− c2 หรอ

′u = c2

u± c

2

u1− c

2

u (5.68)

เพอหลกเลยง ′u = 2c ในกรณ u2

c2→ 0 ดงนน

169

′u = c2

u− c

2

u1− c

2

u

และ u − ′u = u − c2

u− c

2

u1− c

2

u⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= c2

uu2

c2 −1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 1− c

2

u⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= c2

u1− u

2

c2 1− 1− c2

u⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(5.69)

(ก) (ข)

(ค) (ง)

ภาพท 5.16 การสงเกตการชนกนของวตถในกรอบอางองเฉอย O และ ′O

170

การชนกนของวตถในกรอบอางองเฉอย O โดยทกอนชนวตถมวล m เคลอนทดวย

ความเรว u เขาชนกบวตถ m0 ซงหยดนงอย ทงนภายหลงการชนกนวตถทงสองจะตดกนและ

ผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย ′O จะสงเกตเหนวตถมวล M 0 หยดนง ดงภาพ 5.16 (ข)

ในขณะทผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย O จะเหนวตถเคลอนทดวยความเรว U = ′u ดงภาพท 5.16 (ง) ซงจากกฎทรงมวลและกฎอนรกษโมเมนตมจะได M = m +m0 และ

mu = MU = (m +m0 ) ′u ดงนน

mm0

= ′uu − ′u

(5.70)

แทนสมการ (5.68) และ (5.69) ลงในสมการ (5.70)

mm0

=

c2

u1− 1− u

2

c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

u − c2

u1− 1− u

2

c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= 1

1− u2

c2

ดงนนจะได

m = m0

1− β 2 = γ m0 (5.71)

เรยก m0 วา มวลนง (rest mass)

และ m วา มวลยงผล (effective mass) หรอ moving mass

ในกรณทวไป ถาวตถหรออนภาคทมมวลนง m0 เคลอนทดวยความเรว v สมพทธกบ

ผสงเกตการณแลวมวลยงผลหรอมวลของวตถขณะเคลอนท จะปน

m = m0

1− v2

c2

= m0

1− β 2 = γ m0 (5.72)

171

u = 2 ′u1+ u2 c2

กอนชน

หยดนง

กอนชน

หลงชน

หลงชน

หยดนง

พจารณาโมเมนตมของวตถ ( !p = m!v ) ในกลศาสตรนวตน ซงมวลของวตถไมขนอยกบ

ความเรว ดงน นภายใตการแปลงพกดแบบกาลเลโอจงเปนไปตามหลกอนรกษโมเมนตม แตเนองจากภายใตการแปลงพกดแบบโลเรนตซ โมเมนตมจะไมเปนไปตามหลกอนรกษ เพราะวามวลของวตถมเปลยนแปลงตามความเรว ดงนนเพอใหเปนไปตามหลกอนรกษจงตองนยามโมเมนตมใหมเปน โมเมนตมเชงสมพทธ (Relativistic Momentum) ไดเปน

!p = m!v = m0!v

1− β 2 = γ m0

!v (5.73)

ภาพท 5.17 แสดงการเปลยนแปลงโมเมนตมตามกฎของนวตนและโมเมนตมเชงสมพทธของวตถซงขเนอยกบความเรวของการเคลอนท

ภาพท 5.17 การเปลยนแปลงของ (ก) มวลและ (ข) โมเมนตมตามความเรวของการเคลอนท

ตวอยางท 5.17 จงหาโมเมนตมของโปรตอนทกำลงเคลอนทดวยอตราเรว v = 0.86c

วธทำ จาก p = m0v

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 เมอ m0 = 1.67 ×10−27 kg

จะได p = (1.67 ×10−27 kg)(0.86 × 3.00 ×108 m/s)1− (0.86)2

= 8.45 ×10−19 kg ⋅ms−1

172

ตวอยางท 5.18 จงหาอตราเรวในการเคลอนทของอเลกตรอนททำใหอเลกตรอนมมวลยงผล เปนสามเทาของมวลนง

วธทำ จาก m = m0

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 เมอ m= 3m0

จะได 3m0 = m0

1− v2

c2

1− v2

c2 = m0

3m0

ดงนน v = c 1− 13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 0.943c = 2.83×108 ms

ตวอยางท 5.19 จงแสดงใหเหนวาอตราเรวของอนภาคทมโมเมนตมเทากบ p คอ

v = pcp2 +m0

2c2

วธทำ จาก p = m0v

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 จะได p2 = m0

2v2

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

p2c2 − p2v2 = m02v2c2

p2c2 = m02c2 + p2( )v2

ดงนน จะได v = pcm0

2c2 + p2

173

ยคเกา ยคเกา

ตวอยางท 5.20 จงหาอตราเรวในการเคลอนทของอนภาคททำใหอนภาคมโมเมนตมของนวตน มความแตกตางกบโมเมนตมเชงสมพทธ 2.00%

วธทำ โมเมนตมของนวตน pN = m0v

โมเมนตมเชงสมพทธ pR = m0v1− β 2

เมอ β = vc

จะได pR − pN pR

=

m0v1− β 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −m0v

m0v1− β 2

2100

=

m0v −m0v 1− β 2

1− β 2

m0v1− β 2

2100

= m0v(1− 1− β 2 )1− β 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1− β 2

m0v⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0.02 = 1− 1− β 2

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 1− 0.02 = 0.98

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= (0.98)2

vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 1− 0.96 = 0.04

v = 0.04c

ดงนน v = 0.20c = 6.0 ×107 ms

174

กลศาสตรเชงสมพทธ

1 กฎพนฐานของพลศาสตรสมพทธ

เนองจากกฎการเคลอนทขอสองของนวตน F!"

= m dv"

dt ไมสามารถนำมาใชไดกบ

การแปลงพกดแบบโลเรนตซ ดงนนจงตองมการปรบแกสมการใหม เพอใหใชไดกบการแปลงพกด

แบบโลเรนตซ โดยสามารถเปลยนรปเปนกฎของนวตนได เมอ β 2 = v2

c2 → 0

F!"

= ddt

m0v"

1− v2

c2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

(5.74)

และเนองจาก F!"

= ma" ไมสามารถนำมาใชในสมพทธภาพได เพราะเวกเตอรความเรง a

! ของอนภาคไมเหมอนกบความเรงในกรณทวๆ ไป ซงความเรงจะมทศทางเดยวกบทศทางของแรง F

!"

กฎของนวตนในทฤษฎสมพทธภาพจะเขยนอยในรป F!"

= d"pdt

= ddtm"v หรอ

F!"

= m ddt"v + "v dm

dt (5.75)

จากสมการ (5.75) เราสามารถเขยนเปนแผนภาพเวกเตอรไดดงภาพท 5.18 จะเหนไดวาแรงและความเรงไมอยในทศทางเดยวกน

ภาพท 5.18 แผนภาพเวกเตอรในสมพทธภาพ

175

ความสมพนธระหวางทศทางของความเรงกบทศทางของแรง แบงออกเปน 2 กรณ คอ

1) แรงมทศตงฉากกบความเรว เมอความเรวเปนคาคงตว

F!"

= m0

1− v2

c2

dv"

dt

= m0!a

1− v2

c2

จะได !a = F

"!

m0

1− v2

c2 (5.76)

2) แรงมทศทางขนานกบความเรว

F!"

= ddt

m0"v

1− v2

c2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

= m0

1− v2

c2dv!

dt− !v d

dt1− v

2

c2

1− v2

c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

= m01

1− v2

c2

+

v2

c2

1− v2

c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

dv!

dt

= m0

1− v2

c2 +v2

c2

1− v2

c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

dv!

dt

176

F!"

= m0"a

1− v2

c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

จะได

!a = F"!

m0

1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32 (5.77)

2 สมดลมวล- พลงงาน

การเพมขนของพลงงานจลน dK คอ งานอนเนองมาจากแรงกระทำตออนภาค ตลอดเสนทางการเคลอนท d

!r (= !vdt) นนคอ dK = F!"⋅d"r = F

!"⋅ "vdt

และจาก F!"

= ddtm"v จะได

dK = d

dt(m!v) ⋅ !vdt = d(m!v) ⋅ !v

= dm!v ⋅ !v +m!v ⋅d!v

= v2dm +mvdv (5.78)

เนองจากมวลเปลยนแปลงตามความเรว m= m0

1− v2

c2

จะได m2c2 = m2v2 +m02c2 ซงจะมผลตางเชงอนพนธเปน

2mc2dm = 2mv2dm + 2m2vdv (5.79)

นำ 2m หารสมการ (5.79) จะได

c2dm = v2dm +mvdv (5.80)

จากสมการ (5.78) และ (5.80) จะได

dK = c2dm (5.81)

177

เราสามารถหาพลงงานจลนรวมไดโดยการอนทเกรตสมการ (5.81)

dK 0

K

∫ = c2 dmm0

m

∫

K = mc2 −m0c2 (5.82)

= γ m0c2 −m0c

2

= (γ −1)m0c2

ดงนนจะได พลงงานจลนเชงสมพทธ (relativistic kinetic energy) เปน

K = 1

1− v2

c2

−1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

m0c2 (5.83)

กรณทอนภาคหรอวตถเคลอนทดวยความเรวตำๆ มาก vc→ 0 พลงงานจลนจะลดรปสมการ

ไปเปนrพลงงานจลนแผนเดม (classical kinetic energy) ไดเปน

K = 1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−12−1

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥m0c

2

= 1+ 12v2

c2 +38v4

c4 + ...⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥m0c

2

= 12m0v

2 (5.84)

และเราจากสมการ (5.82) จะได mc2 = K+m0c2

ไอนสไตน เรยกเทอม mc2 นวา พลงงานรวม (total energy)

ดงนนจะได E = mc2 = 12m0v

2 +m0c2 (5.85)

178

จากสมการ (5.85) จะเหนไดวาอนภาคทอยในสถานะหยดนงจะมพลงงานจลนเปนศนย แตพลงงานรวมของอนภาคจะเทากบ m0c

2 ซงจะเรยก m0c2 วาพลงงานนง (rest energy)

ดงนนจงสรปไดวาพลงงานรวมของอนภาคในสมพทธภาพหมายถงผลรวมของพลงงานจลนกบ

พลงงานสถานะหยดนง

สมการแสดงความสมพนธระหวางมวลและพลงงาน หรอสมการพลงงานของไอนสไตนคอ E = mc2 ซงในทางสมพทธภาพแลว มวลเปนปรมาณทไมคงตวแตจะเปลยนแปลงตามความเรวของการเคลอนทของอนภาค ดงนนพลงงานรวม E ของอนภาคจงเปน

E = m0c2

1− v2

c2

= γ m0c2 (5.86)

3 พลงงานและโมเมนตมเชงสมพทธ`จากโมเมนตมเชงสมพทธ p = mv = γ m0v จะได pc = γ m0vc ดงนน

p2c2 = γ 2m02v2c2 (5.87)

และจากสมการ (5.86) จะได E2 = γ 2m02c4 (5.88)

นำสมการ (5.88) ลบดวย (5.87) จะได

E2 − p2c2 = γ 2m02c4 −γ 2m0

2v2c2 = γ 2m02c4 1− v

2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 1

1− v2

c2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟m0

2c4 1− v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= m02c4 (5.89)

ดงนนจะไดสมการแสดงความสมพนธระหวางพลงงานและโมเมนตมเชงสมพทธ เปน

E2 − p2c2 = m0c2( )2 (5.90)

เนองจาก m0c2( )2 เปนคาคงตว ดงนน E2 − p2c2 จงเปนคาคงตว ดวยเชนกน

179

ตวอยางท 5.21 จงหาความเรวในการเคลอนทของอนภาคฮกสททำใหอนภาคมพลงงานรวมเปนหาเทาของพลงงานสถานะหยดนง

วธทำ กำหนดให E = mc2 = 5m0c2 จะได m = 5m0

และจาก m = m0

1− v2

c2

จะได 5m0 = m0

1− v2

c2

1− v2

c2 = m0

5m0

1− v2

c2 = 125

v = 1− 125

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟c = 0.98c

v = 2.94 ×108 ms

ตวอยางท 5.22 ถาอนภาคเลปตอนมพลงงานรวมเปนสามเทาของพลงงานในสถานะหยดนง ของตวมนเองแลว จงหาโมเมนตมของอนภาคดงกลาว

วธทำ จากโจทย กำหนดให E = mc2 = 3m0c2

และจาก E2 − p2c2 = m0c2( )2

ดงนนจะได p2c2 = 3m0c2( )2

− m0c2( )2

pc = 8m02c4

pc = 2 2m0c2

p = 2 2m0c kg ⋅ms−1

180

ตวอยางท 5.23 จงหาพลงงานจลนสมพทธและพลงงานรวมสมพทธของโปรตอน (E0 = 938MeV ) ซงกำลงเคลอนทดวยอตราเรว v = 0.860c

วธทำ จาก p = m0v

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 เมอ m0 = 1.67 ×10−27 kg และ v = 0.925c

จะได p = (1.67 ×10−27 kg)(3.00 ×108 m/s)2 (0.860)1− (0.860)2

= 8.45 ×10−19 kg-m/s

pc = (8.45 ×10−19 kg-m/s)(3.00 ×108m/s)1.60 ×10−19 J eV

= 1.58 ×109 eV

= 1580 MeV

จาก E2 − p2c2 = m0c2( )2 จะได E = m0c

2( )2+p2c2

= (938MeV)2 + (1580 MeV)2 = 1840 MeV

จาก K = mc2 −m0c2 = E − E0 จะได K = 1840 MeV− 938 MeV = 902 MeV

ตวอยางท 5.24 จงหาความเรวและโมเมนตมของอเลกตรอนทมพลงงานจลน 10.0 MeV

วธทำ พลงงานรวม E = K + E0 = 10.0MeV+ 0.511MeV = 10.51 MeV

และจาก E = m0c2

1− v2

c2

จะได v = 1− m0c2

E⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

c = 1− 0.511MeV10.51MeV

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

c

= 0.999c

และหาโมเมนตม จาก E2 − p2c2 = m0c2( )2

จะได p = 1c

E2 − m0c2( )2

= 1c

(10.51MeV)2 − (0.511MeV)2 = 10.5 MeVc

181

สรป

การแปลงพกดแบบกาลเลโอใชไดดในสมพทธภาพแผนเดมหรอกลศาสตรนวตนซงสามารถ

อธบายการเคลอนของวตถทมอตราเรวตำกวาอตราเรวของแสงในสญญากาศมาก ๆ (v << c)

แตในกรณคลนแมเหลกไฟฟาหรออนภาคทเคลอนทดวยอตราเรวเขาใกลอตราเรวของแสงนนเรา

ไมสามารถใชการแปลงพกดแบบกาลเลโอมาอธบายได การทดลองไมเคลสนและมอรเลยแสดงใหเหนวาตวกลางเทอรไมมอยจรง ในป ค.ศ. 1905

ไอนสไตนไดเสนอทฤษฎสมพทธภาพพเศษโดยตงสมมตฐานสองขอคอ กฎตางๆ ทางฟสกสจะมรปแบบสมการเหมอนกนในทกกรอบอางองท เคล อนทสมพทธกนและอตราเรวของแสงใน

สญญากาศเปนคาคงตวไมขนกบอตราเรวของผสงเกตการณหรอแหลงกำเนดแสง ทงนโลเรนตซไดนำสมมตฐานสองขอนไปสรางสมการการแปลงพกดและการแปลงความเรวของกรอบอางอง

เฉอย ทเคลอนทสมพทธกนดวยอตราเรวคงตว ซงผลของการแปลงพกดแบบโลเรนตซ พบวาความยาวของวตถจะหดสนลงกวาตอนหยดนงและเขมนาฬกา(เวลา) เดนชาลงนนคอมการยดออกของเวลา

ความสมพนธระหวางพลงงาน โมเมนตมและพลงงานนงในทฤษฎสมพทธภาพ คอ E = (pc)2 + (m0c

2 ) เมอ E = mc2 คอพลงงานรวม และ E0 =m0c2 คอ พลงงานนง

โดยท m0 และ m คอ มวลนงและมวลสมพทธ ตามลำดบ

182

แบบฝกหดบทท 5

1) ถาผสงเกตการณซงอยนงในกรอบอางองเฉอย ′O มองเหนเหตการณ A เกดขนทตำแหนง 60.0 เมตร ณ เวลา 5.00 ×10−8 วนาท แลวจงหาตำแหนงและเวลาของเหตการณ A ทวดโดยผสงเกตการณในกรอบอางองเฉอย O ซงกำลงเคลอนทสมพทธดวยอตราเรว 0.600c

2) ถานกฟสกสในหองปฏบตการซนโครตรอนวดอตราเรวของอนภาคฮกสโบซอนสองอนภาค ซงกำลงเคลอนทเขาหากนไดเปน 0.90c แลวจงหาความเรวสมพทธของอนภาคทงสอง

3) เครองบนลำหนงกำลงเคลอนทไปในทศตะวนออกดวยอตราเรว 320 กโลเมตรตอชวโมง สมพทธกบอากาศทหยดนง ถาในขณะนนผสงเกตการณบนพนโลกวดอตราเรวของลมพด ซงพดไปทางทศเหนอไดเปน 65 กโลเมตรตอชวโมง แลวผสงเกตการณบนพนโลกดงกลาว จะวดอตราเรวของเครองบนไดเปนเทาใด

4) จรวดสองลำเคลอนออกจากสถานอวกาศในแนวตงฉากกน ถาผสงเกตการณในสถานอวกาศวดอตราเรวของจรวดลำทหนงได 0.60c และวดอตราเรวของจรวดลำทสองได 0.80c แลวจงหาอตราเรวของจรวดลำทสองทวดโดยผสงเกตในจรวดลำทหนง

5) ถานกบนอวกาศวดความยาวของระเบดปรมาณทอยในกระสวยอวกาศซงทเคลอนทดวยอตราเรว 0.980c สมพทธกบพนโลกเปน 15.0 เมตร แลวจงหาความยาวของปรมาณดงกลาว เมอหยดนงอยบนพนโลก

6) จงหาความเรวของกระสวยอวกาศททำใหเวลาทวดโดยผสงเกตการณบนพนโลกมเวลา เปนสามเทาของเวลาทนกบนอวกาศในกระสวยอวกาศวดได

7) จงหาอายเฉลยของอนภาคไพรเมซอนซงกำลงเคลอนทดวยอตราเรว 0.73c ถาอายเฉลยของอนภาคไพรเมซอนในสถานะหยดนงมคาเทากบ 2.5 นาโนวนาท

8) นายลโอและนายสงหเปนพนองฝาแฝด ปจจบนมอาย 12.0 ป ถานายลโอเปนนกบนอวกาศตองออกเดนทางไปยงดาวนาวซงอยหางจากโลกประมาณ 4.20 ปแสงดวยกระสวยอวกาศ ฟรดอมซงสามารถเคลอนทดวยอตราเรว 0.800c แลว จงหาอายของนายลโอและนายสงหขณะทกระสวยอวกาศเดนทางถงดาวนาวพอด

9) กาแลกซไฮดราอยหางจากโลก 200 ลานปแสง ปลดปลอยคลนความยาว 475 นาโนเมตร แลวจงหาอตราเรวของกาแลกซไฮดราเทยบกบโลกทวดความยาวคลนไดเปน 394 นาโนเมตร

10) จงหาพลงงานรวมและพลงงานจลนของอเลกตรอนท กำลงเคล อนท ด วยอตราเรว v = 0.850c ในหนวย เมกะอเลกตรอนโวลต

183

184

บรรณานกรม

กตต วสทธวเศษ. (2538). กลศาสตรควอนตม. กรงเทพฯ : สำนกพมมแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย

ธำรง เมธาศร. (2540). ฟสกสแผนใหม. พมมครงท 5. กรงเทพฯ : สำนกพมมแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย

สทธชย โภไคยอดม. (2552). กลศาสตรควอนตมพนฐาน. กรงเทพฯ : สำนกพมมแหงมหาวทยาลยเทคโนโลยมหานคร

A. Belser.(2003). Concept of Modern Physics. 6th ed. NY : McGraw-Hill.H.D. Young & R.A. Freedman. (2012). University Physics with Modern Physics.

13th ed. CA : Addison-Wesley.J.D. Cutnell & K.W. Johnson. (2012). Physics. 9th ed. NY : Wiley & Sons, Inc.Jeremy I. Pfeffer & Sublime Nir. (2000). Modern Physics. An Introductory Test.

London : Imperial College Press.John Dirk Wallace. (2008). Introduction to Modern Physics. Theoretical

Foundations. Singapore : World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.Kenneth Krane. (2012). Modern Physics. 3rd ed. NY : John Wiley & Sons Inc.P.A. Tipler & R.A. Llewellyn. (2008). Modern Physics. 5th ed. NY : W.H. Freeman

and company.Randy Harris. (2008). Modern Physics. 2nd ed. CA : Addison-Wesley.R.A. Serway & C.Vuille. (2012). College Physics. 9th ed. MA : Brooks/Core.R.A. Serway, C.J. Moses & C.A. Moyer. (2005). Modern Physics. 3rd ed. CA :

Thomson Brook/Core.R.A. Serway & J.W. Jewelt, Jr. (2014). Physics for Scientists and Engineers with

Modern Physics. 9th ed. MA : Brooks/Cole.R.A. Serway & J.W. Jewelt, Jr. (2013). Principles of Physics. A Calculus-Based Text.

5th ed. MA : Brooks/Cole.R.B. Sigh. (2009). Introduction to Modern Physics. Volume 1, Second edition.

New Delhi : Age International (P) Ltd.S.T. Thornton & A.R. (2013). Modern Physics for Scientists and Engineers.

4th ed. MA : Brook/Core.

185

186

ภาคผนวก ก คาคงตวทสำคญทางฟสกส

ปรมาณ สญลกษณ คา

ประจไฟฟา e 1.602176487 ×10−19C

คาคงตวของพลงค

h

!

6.62606896 ×10−34 J ⋅s

1.054572 ×10−34 J ⋅s

คาคงตวของโบลตซมนน kB 1.380650 ×10−23 J/K

ความยาวคลนคอมปตน λc 0.00243nm

มวลของโปรตอนmp 1.672621637 ×10−27 kg

มวลของนวตรอน mn 1.674927211×10−27 kg

มวลของอเลกตรอน me 9.10983215 ×10−31kg

อตราเรวของแสงในสญญากาศ c 2.99792458 ×108m/s

อเลกตรอนโวลต eV 1.0eV = 1.602176487 ×10−19J

อณหภมสมบรณK 0K = − 273.15 !C

พลงงานนง m0c2 0.510998910 MeV

หนวยมวลอะตอม u 1.0u = 1.660538782 ×10−27 kg = 931.494028 MeV/c2

187

188

ภาคผนวก ข คำอปสรรค

ตวพหคณ ชอ ตวยอ ความหมาย

10−24โยคโต (yocto) y หนงสวนลานลานลานลาน

10−21เซบโต (zepto) z หนงสวนพนลานลานลาน

10−18อตโต (atto) a หนงสวนลานลานลาน

10−15เฟมโต (femto) f หนงสวนพนลานลาน

10−12พโค (pico) p หนงสวนลานลาน

10−9นาโน (nano) n หนงสวนพนลาน

10−6ไมโคร (micro) µ

หนงสวนลาน

10−3มลล (milli) m หนงสวนพน

10−2เซนต (centi) c หนงสวนรอย

10−1เดซ (deci) d หนงสวนสบ

101 เดคา (deca) da สบ

102 เฮกโต (hecto) h รอย

103 กโล (kilo) k พน

106 เมกะ (mega) M ลาน

109 จกะ (giga) G พนลาน

1012 เทระ (tera) T ลานลาน

1015 เพตะ (peta) P พนลานลาน

1018 เฮกซะ (exa) E ลานลานลาน

1021 เซตะ (zeta) Z พนลานลานลาน

1024 โยทตะ (yotta) Y ลานลานลานลาน

189

190

คำตอบสำหรบแบบฝกหดขอคำนวณ

บทท 1 สมบตเชงอนภาคของคลนแมเหลกไฟฟา1) 9.47µm

2) 2.1) 2.23eV 2.2) 540THz3) 3.1) 288nm 3.2) 1.04 PHz 3.3) 1.19 eV

4) 0.800 eV

5) 152 nm

6) 378 nm

7) 7.1) 2.28eV 7.2) 544 nm

8) 59.9!

9) 0.248 !A

10) 10.1) 82.7 keV และ 4.42 ×10−23 kg-ms−1 10.2) 80.0 keV และ 4.27 ×10−23 kg-ms−1 10.3) 2.03MeV และ 1.38 ×10−21 kg-ms−1

บทท 2 สมบตเชงคลนของอนภาคและสสาร1) 1.1) 12.8fm 1.2) 7.08fm 1.3) 3.64 !A 1.4) 4.42 ×10−35 m

2) 2.1) 38.8meV 2.2) 1.03 !A

3) 4.41×107 ms−1 และ 9.73MV4) 572 fm

5) 5.1) 0.010V 5.2) 105V 5.3) 105GV6) 6.1) 76.9GeV 6.2) 4.29 MeV 6.3) 1.06 MeV

7) 109fm8) 1.00 ×10−24 kg-ms−1 และ 3.43eV

9) 9.1) 2.10 ×10−34m 9.2) 11.5µm10) 336MeV

191

บทท 3 สมการชเรอดงเงอร

1) 1.1) 2b

1.2) b2

: 0 1.3) E0

2) 81.4%4) 4.1) 0.645 % 4.2) 3.99%5) 5.1) 33.3% 5.2) 33.3% 5.3) 33.3%

6) 6.1) aπ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14 6.2) 1

2 aπ

7) 7.1) 2L

7.2) 0 7.3) 40.9%

8) 8.1) 1L

8.2) 50.0% 8.3) 3E0

9) 9.1) 12

9.2)

!2i

10) 7.80%

บทท 4 บอศกยและกำแพงศกย1)

E = !

2k2

2m

2) 2.1) 31.1eV ,124eV , 280eV

2.2) 4.98 nm , 7.95 nm , 13.3 nm

3) 3.1) 20.5meV 3.2) 205MeV

4) 775pm

5) 20% 6) 1.4 !A7) 2.58meV , 10.3meV , 23.3meV , 41.3meV , 64.5meV , 93.0meV8) 36.8%

9)

mω2!

และ

3!ω2

192

บทท 5 สมพทธภาพพเศษ

1) 86.2m , 0.212µs

2) 2.98 ×108 ms

3) 3.3×102 kmh

4) 0.88c5) 75.4m

6) 2.83×108 ms

7) 1.7ns

8) อายของนายลโอ 17 ป 4 เดอน และ อายของนายสงห 20 ป 8 เดอน

9) 3.54 ×107 ms

10) 0.970MeV และ 0.459MeV

193

มหาวทยาลยราชภฏรำไพพรรณ 41 ม. 5 ต.ทาชาง อ.เมอง จ.จนทบร 2200

ภาควชาฟสกสและวทยาศาสตรทวไป

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย