Embed Size (px)
Citation preview
iz'u 1. efvecveefueefKele ef[«eer ceehe kesâ mebiele jsef[Ùeve ceehe%eele keâerefpeS :
(i) 25° (ii) - ° ¢47 30
(iii) 240° (iv) 520°
gy % (i) ∵ ef[«eer ceehe = °25
\ jsef[Ùeve ceehe =°
´p
180 ef[«eer ceehe
=°
´ °p
18025 =
5
36
p
Dele: 25° keâer jsef[Ùeve ceehe =5
36
p jsef[Ùeve Gòej
l (ii) ∵ ef[«eer ceehe = - ° ¢47 30 = - °æ
èç
ö
ø÷
°
4730
60
= -°
471
2 = -
°95
2
\ jsef[Ùeve ceehe =°
´p
180 ef[«eer ceehe
=°
´ -°æ
èç
ö
ø÷
p
180
95
2 = -
19
72
p
Dele: - ° ¢47 30 keâer jsef[Ùeve ceehe = -19
72
p jsef[Ùeve Gòej
l (iii) ∵ ef[«eer ceehe = °240
\ jsef[Ùeve ceehe =°
´p
180 ef[«eer ceehe
=°
´ °p
180240 =
4
3
p
Dele: 240° keâer jsef[Ùeve ceehe =4
3
p jsef[Ùeve Gòej
l (iv) ∵ ef[«eer ceehe = °520
\ jsef[Ùeve ceehe =°
´p
180 ef[«eer ceehe
=°
´ °p
180520 =
26
9
p
Dele: 520° keâer jsef[Ùeve ceehe =26
9
p jsef[Ùeve Gòej
iz'u 2. efvecveefueefKele jsef[Ùeve ceehe kesâ mebiele ef[«eer ceehe
%eele keâerefpeS p =æ
èç
ö
ø÷
22
7keâe ØeÙeesie keâjW :
(i) 11
16(ii) -4
(iii) 5
3
p(iv)
7
6
p
gy % (i) ∵ jsef[Ùeve ceehe =11
16
\ eq[«eer ceehe =°
´180
p jsef[Ùeve ceehe
=°
´180 11
16p =
°´
´
180 11
22
716
=°´ ´
´
180 11 7
22 16 =
°315
8
=°
393
8 = ° ´ ¢39
3
860
= °¢
39 221
2 = ° ¢ ¢¢39 22 30
Dele: 11
16 jsef[Ùeve keâer ef[«eer ceehe = ° ¢ ¢¢39 22 30 Gòej
l (ii) ∵ jsef[Ùeve ceehe = -4
\ eq[«eer ceehe =°
´180
p jsef[Ùeve ceehe
=°
´ -180
4p
( ) =°´ - ´180 4 7
22
( )
=-2520
11 = -
°229
1
11
= - ° ´ ¢2291
1160 = - °
¢229 5
5
11
= - ° ¢ ´ ¢¢229 55
1160
= - ° ¢¢¢
229 5300
11
= - ° ¢ ¢¢229 5 27 27. ueieYeie = - ° ¢ ¢¢229 5 27 3. ueieYeie
Dele: -4 jsef[Ùeve keâer ef[«eer ceehe = - ° ¢ ¢¢229 5 27 3. ueieYeie Gòej
| 1
ØeMveeJeueer 3.1
3f=dks.kferh; Qyu
(Trigonometric Function)
l (iii) ∵ jsef[Ùeve ceehe =5p
3
\ eq[«eer ceehe =°
´180
p jsef[Ùeve ceehe
=°
´ = °180
3300
p
p5
Dele: 5
6
p jsef[Ùeve keâer ef[«eer ceehe = °300 Gòej
l (iv) ∵ jsef[Ùeve ceehe =7
6
p
\ eq[«eer ceehe =°
´180
p jsef[Ùeve ceehe
=°
´ = °180 7
6210
p
p
Dele: 7
6
p jsef[Ùeve keâer ef[«eer ceehe = °210 Gòej
iz'u 3. Skeâ heefnÙee Skeâ efceveš ceW 360 heefj›eâceCekeâjlee nw lees Skeâ meskeâC[ ceW efkeâleves jsef[Ùeve ceehe keâe keâesCeyeveeSiee?
gy % ∵ heefnÙee 1 efceveš Ùee 60 meskeâC[ ceW heefj›eâceCe(Ûekeäkeâj) keâjlee nw = 360
\ heefnÙee 1 meskeâC[ ceW heefj›eâceCe keâjsiee
= =360
606
∵ 1 heefj›eâceCe Ùee Ûekeäkeâj ceW yeveeÙee ieÙee keâesCe = 2p jsef[Ùeve
\ 6 heefj›eâceCe ceW yeveeÙee ieÙee keâesCe = ´6 2p jsef[Ùeve = 12p jsef[ÙeveDele: Skeâ meskeâC[ ceW heefnS Éeje yeveeÙee ieÙee keâesCe
= 12p jsef[Ùeve~ Gòejiz'u 4. Skeâ Je=òe, efpemekeâer ef$epÙee 100 mesceer nw, keâer 22
mesceer uecyeeF& keâer Ûeehe Je=òe kesâ kesâvõ hej efkeâleves ef[«eer ceehe keâe
keâesCe yeveeSieer? (p =22
7 keâe ØeÙeesie keâerefpeS)
gy % Je=òe keâer ef$epÙee ( )r = 100 mesceer, Ûeehe keâer uecyeeF& ( )l = 22 mesceer
\ Ûeehe Éeje Je=òe kesâ kesâvõ hej yeveeÙee ieÙee keâesCe
( )( )
( )q =
Ûeehe
ef$epÙee
l
r =
22
100 jsef[Ùeve
∵ ef[«eer ceehe =°
´180
p jsef[Ùeve ceehe
\ qp
=°
´180 22
100
=°´
´
180 22
22
7100
=´ ´
´
180 7 22
22 100
= °12 6.
\ q = °12 6.
Ùee 12 0 6 60° + ´ ¢. = ° ¢12 36
Dele: efoS ieS Ûeehe Éeje kesâvõ hej yeveeÙee ieÙee keâesCe = ° ¢12 36 Gòej
ç'u 5. Skeâ Je=òe, efpemekeâe JÙeeme 40 mesceer nw, keâer SkeâpeerJee 20 mesceer uecyeeF& keâer nw lees Fmekesâ mebiele Úesšs Ûeehe keâeruecyeeF& %eele keâerefpeS~
gy % ceevee peerJee kesâ mebiele Ûeehe keâer uecyeeF& l Deewj peerJeeÉeje Je=òe kesâ kesâvõ hej Devleefjle keâesCe q nw~∵ Je=òe keâe JÙeeme = 40 mesceer \ Je=òe keâer ef$epÙee ( )r = 20 mesceer Deewj peerJee keâer uecyeeF& ( )c = 20 mesceerleye peerJee ( )AB Deewj Je=òe keâer ef$epÙeeSB (OA Je OB)efceuekeâj meceyeeng ef$eYegpe yeveeSBieer efpemekeâe keâesCe AOB= = °q 60 nesiee~
\ q = °60 =°
´ °p
18060 =
p
3 jsef[Ùeve
∵ peerJee kesâ mebiele Ûeehe AB keâer uecyeeF& l nw Deewj l r= q
\ l = ´203
p = ´
´20
22
7 3
=440
21 = 20 95. mesceer
Dele: Ûeehe keâer uecyeeF& = 20 95. mesceer~ Gòejiz'u 6. Ùeefo oes Je=òeeW kesâ meceeve uecyeeF& Jeeues Ûeehe
Deheves kesâvõeW hej ›eâceMe: 60° leLee 75° kesâ keâesCe yeveeles neW leesGvekeâer ef$epÙeeDeeW keâe Devegheele %eele keâerefpeS~
gy % ceevee Skeâ Je=òe keâer ef$epÙee r1 leLee otmejs Je=òe keâeref$epÙee r2 mesceer nw~
Skeâ Je=òe kesâ Ûeehe Éeje kesâvõ hej Devleefjle keâesCe q1 = °60
= ´°
60180
p =
p
3 jsef[Ùeve
leye Ûeehe keâer uecyeeF& l r1 1 1= q
= ´r1 3
p =
p r1
3 mesceer
2 |
BA
O
θ
ef$epÙee
(r) =
20 mesc
eer ef$epÙee
(r) = 20 mesceerpeerJee = 20 mesceer
Ûeehe keâer uecyeeF&
otmejs Je=òe kesâ Ûeehe Éeje kesâvõ hej Devleefjle keâesCe q2 = °75
= ´°
75180
p =
5
12
p jsef[Ùeve
leye Ûeehe keâer uecyeeF& l r2 2 2= q = ´r25
12
p
=5
122p r mesceer
∵ ØeMve kesâ Devegmeej ÛeeheeW keâer uecyeeF& meceeve nw~
\ p r1
3 =
5
122p r
Þ r
r1
2 = ´
5
12
3p
p =
5
4
Dele: Je=òe keâer ef$epÙeeDeeW ceW Devegheele r r1 2 5 4: := Gòejç'u 7. 75 mesceer uecyeeF& Jeeues Skeâ oesueeÙeceeve oesuekeâ
keâe Skeâ efmejs mes otmejs efmejs lekeâ oesueve keâjves mes pees keâesCeyevelee nw, Gmekeâe ceehe jsef[Ùeve ceW %eele keâerefpeS, peyeefkeâ Gmekesâ veeskeâ Éeje yeveeS ieS Ûeehe keâer uecyeeF& efvecveefueefKele nQ :
(i) 10 mesceer (ii) 15 mesceer(iii) 21 mesceergy % (i) oesuekeâ keâer uecyeeF& ( )r = 75 mesceer, oesuekeâ keâer veeskeâ Éeje yeves Ûeehe keâer uecyeeF& ( )l = 10 mesceer~ceevee oesueve keâesCe q nw~
leye q =l
r
Ùee q =10
75 jsef[Ùeve =
2
15 jsef[Ùeve
Dele: oesueeÙeceeve oesuekeâ kesâ oesueve mes yevee keâesCe =2
15
jsef[Ùeve~ Gòejl (ii) oesuekeâ keâer uecyeeF& ( )r = 75 mesceer,
oesuekeâ keâer veeskeâ Éeje yeves Ûeehe keâer uecyeeF& ( )l = 15 mesceer~ceevee oesueve keâesCe q nw~
leye ∵ q =l
r
Ùee q =15
75 jsef[Ùeve =
1
5 jsef[Ùeve~
Dele: oesueeÙeceeve oesuekeâ kesâ oesueve mes yevee keâesCe
=1
5 jsef[Ùeve~ Gòej
l (iii) oesuekeâ keâer uecyeeF& ( )r = 75 mesceer, oesuekeâ keâer veeskeâ Éeje yeves Ûeehe keâer uecyeeF& ( )l = 21 mesceer~ceevee oesueve keâesCe q nw~
leye ∵ q =l
r
Ùee q =21
75 jsef[Ùeve =
7
25 jsef[Ùeve~
Dele: oesueeÙeceeve oesuekeâ kesâ oesueve mes yevee keâesCe
=7
25 jsef[Ùeve~ Gòej
= efvecveefueefKele ØeMveeW ceW heeBÛe DevÙe ef$ekeâesCeefceleerÙe heâueveeWkeâe ceeve %eele keâerefpeS :
ç'u 1. cos ,x= -1
2 x leermejs ÛelegLeeËMe ceW efmLele nw~
gy % %eele nw efkeâ cosx = -1
2 Deewj x leermejs ÛelegLeeËMe ceW
nw~∵ sin cos2 2 1x x+ =
\ sin221
21x+ -
æ
èç
ö
ø÷ =
Þ sin2 1
41x+ =
Þ sin2 11
4x = - =
3
4
Þ sin x = ±3
2
hejvleg x leermejs ÛelegLeeËMe ceW efmLele nw,
Dele: sin x = -3
2
leye tansin
cosx
x
x= =
-
-
3 2
1 2
/
/
= - ´ -æ
èç
ö
ø÷=
3
2
2
13
\ tanx= 3
∵ cottan
xx
=1
\ cotx =1
3
seccos
xx
=1
\ sec x=
-
1
1
2
= ´- = -12
12
\ sec x =-2
∵ cosec xx
=1
sin
\ cosec x =
-
1
3
2
= ´-12
3 = -
2
3
| 3
ØeMveeJeueer 3.2
\ cosec x =-2
3
Dele: sin ,x =- 3
2
tan ,x = 3 cot , secx x= = -1
32
Deewj cosec x = -2
3. Gòej
ç'u 2. sin ,x x=3
5 otmejs ÛelegLeeËMe ceW efmLele nw~
gy % %eele nw efkeâ sinx =3
5 leLee x otmejs ÛelegLeeËMe ceW
efmLele nw~
∵ sin x =3
5
\ cosec xx
=1
sin =
1
3 5 = ´1
5
3 =
5
3
Deye sin cos2 2 1x x+ =
Ùee 3
51
22æ
èç
ö
ø÷ + =cos x Ùee
9
2512+ =cos x
Ùee cos2 19
25x= - Ùee cos2 16
25x =
Ùee cosx = ±4
5
hejvleg x efÉleerÙe ÛelegLeeËMe ceW nw~
Dele: cosx = -4
5
leye ∵ sec xx
=1
cos
\ sec x =-
1
4 5 = ´
-æ
èç
ö
ø÷1
5
4 =
- 5
4
Deewj tansin
cosx
x
x= =
-
3 5
4 5 = ´
-æ
èç
ö
ø÷
3
5
5
4
= -3
4 leye cotx = -
4
3
Dele: cosec x x= = -5
3
4
5,cos ,
sec ,x = -5
4 tanx = -
3
4
Je cotx = -4
3 Gòej
ç'u 3. Ùeefo cot x=3
4 leLee x le=leerÙe ÛelegLeeËMe ceW
efmLele nw~
gy % efoÙee nw efkeâ cot x =3
4
\ tancot
xx
= =1 4
3
leLee cos cotec 2 21x x= +
= +é
ëêù
ûú= +1
3
41
9
16
2
=+
=16 9
16
25
16
cosec x = ±5
4
hejvleg x le=leerÙe ÛelegLeeËMe ceW nw~ FmeefueS cosec x $e+Ceelcekeâ nesiee~
Dele: cosec x =- 5
4
\ sincos
xx
= =-1 4
5ec
Deye, coscos
sinsinx
x
xx= ´
= ´cot sinx x
= ´-é
ëêù
ûú3
4
4
5 =
- 3
5
leLee seccos
xx
= =-1 5
3Gòej
ç'u 4. Ùeefo sec x=13
5 leLee x ÛelegLe& ÛelegLeeËMe ceW
nw~
gy % efoÙee nw efkeâ sec x =13
5
\ cos x = =1 5
13sec x
leLee tan sec2 2 1x x= -
=é
ëêù
ûú- = -
13
51
169
251
2
=-
=169 25
25
144
25
hejvleg x ÛelegLe& ÛelegLeeËMe ceW nw~ FmeefueS tan x $e+Ceelcekeânesiee~
Dele: tan x = -144
25 = -
12
5
\ cot x = = -1 5
12tan x
leLee sinsin
coscosx
x
xx= ´ = tan cosx x´
= - ´ = -12
5
5
13
12
13
leLee cosec x = = -1 13
12sin x
Dele: cos ,x =5
13 tan ,x = -
12
5
4 |
cot , sinx x= - = -5
12
12
13
leLee cosec x = -13
12Gòej
ç'u 5. Ùeefo tan x= -5
12 leLee x efÉleerÙe ÛelegLeeËMe
ceW nw~
gy % efoÙee nw efkeâ tan x = -5
12
\ cot x = = -1 12
5tan x
leLee sec tan2 21x x= +
= + -é
ëêù
ûú1
5
12
2
= +125
144
=+
=144 25
144
169
144
hejvleg x efÉleerÙe ÛelegLeeËMe ceW nw~ FmeefueS sec x $e+Ceelcekeânesiee~
Dele: sec x = - = -169
144
13
12
Deye cos x = = -1 12
13sec x
leLee sin x = ´sin
coscos
x
xx
= ´tan cosx x
= -é
ëêù
ûú´ -
é
ëêù
ûú=
5
12
12
13
5
13
\ cosec x = =1 13
5sin x
Dele: cot ,x = -12
5 sec x = -
13
12,
cos x = -12
13, sin x =
5
13
leLee cosec x =13
5Gòej
l ØeMve mebKÙee 6 mes 10 kesâ ceeve %eele keâerefpeS~ç'u 6. sin 765°
gy % sin 765° = ° + °sin ( )720 45
= ´ ° + °sin ( )2 360 45
= ° =sin 451
2Gòej
ç'u 7. cosec ( )- °1410
gy % cosec ( )- °1410
= - °cosec 1410
= - ° - °cosec ( )1440 30
= - ´ ° - °cosec ( )4 360 30
= - - °( )cosec 30
= ° =cosec 30 2 Gòej
ç'u 8. tan19
3
p
gy % tan19
3
p = +
é
ëêù
ûútan 6
3p
p
= ´ +é
ëêù
ûútan 3 2
3p
p
= =tanp
33 Gòej
ç'u 9. sin -é
ëêù
ûú11
3
p
gy % sin -é
ëêù
ûú11
3
p
= - = - -é
ëêù
ûúsin sin
11
34
3
pp
p
= - ´ -é
ëêù
ûúsin 2 2
3p
p
= - -é
ëêù
ûú= =sin sin
p p
3 3
3
2Gòej
ç'u 10. cot -é
ëêù
ûú15
4
p
gy % cot -é
ëêù
ûú15
4
p
= - = - -é
ëêù
ûúcot cot
15
44
4
pp
p
= - ´ -é
ëêù
ûúcot 2 2
4p
p
= - -é
ëêù
ûú= =cot cot
p p
4 41 Gòej
efmeæ keâerefpeS :
ç'u 1. sin cos2 2 2
6 3 4
1
2
p p p+ - = -tan
gy % L.H.S.
= + -sin cos2 2 2
6 3 4
p p ptan
=°
+°
-°
sin cos tan2 2 2180
6
180
3
180
4
(keäÙeeWefkeâ p = °180 )= ° + ° - °( ) ( ) ( )sin cos tan30 60 452 2 2
=æ
èç
ö
ø÷ +
æ
èç
ö
ø÷ -
1
2
1
21
2 22( ) = + -
1
4
1
41 = -
1
2
= R.H.S.
| 5
ØeMveeJeueer 3.3
ç'u 2. 26
7
62 2sin
p p+ cosec cos 2
3
3
2
p=
gy % L.H.S.
= +26
7
6 32 2 2sin cos
p p pcosec
=æ
èç
ö
ø÷ +
é
ëêù
ûú2
6
7
6 3
2 2
sin cosp p p
cosec
=æ
èç
ö
ø÷ + +
æ
èç
ö
ø÷
é
ëêù
ûú2
6 6 3
2 2
sin cosp
pp p
cosec
=°æ
èç
ö
ø÷ + -
°é
ëêù
ûú2
180
6 6
180
3
2 2
sin coscosecp
(keäÙeeWefkeâ p = °180 )
= ° + - ° °2 30 30 602 2(sin ) [ cos ]cosec
=æ
èç
ö
ø÷ + - ´
é
ëêù
ûú2
1
22
1
2
2 2
= ´ + -21
41 2( )
= +1
21 =
3
2
= R.H.S.
ç'u 3. cot2
6
5
6
p p+ +cosec 3
662tan
p=
gy % L.H.S.
= + +cot tan2 2
6
5
63
6
p p pcosec
= + -æ
èç
ö
ø÷
é
ëêù
ûú+cot tan2 2
6 63
6
pp
p pcosec
=æ
èç
ö
ø÷ +
æ
èç
ö
ø÷+cot
p p
6 6
2
cosec 36
2
tanpæ
èç
ö
ø÷
=°æ
èç
ö
ø÷ +
°æ
èç
ö
ø÷+
°æ
èç
ö
ø÷cot tan
180
6
180
63
180
6
2 2
cosec
(keäÙeeWefkeâ p = °180 )= ° + °+(cot )30 302 cosec 3 30 2(tan )°
= + +æ
èç
ö
ø÷( )3 2 3
1
3
22
= + +3 2 1 = 6
= R.H.S.
ç'u 4. 23
42
42
3102 2 2sin cos
p p p+ + =sec
gy % L.H.S.
= + +23
42
42
32 2 2sin cos
p p psec
= + +é
ëêù
ûú2
3
4 4 32 2 2sin cos
p p psec
= -æ
èç
ö
ø÷+ +
é
ëêù
ûú2
4 4 32 2 2sin cosp
p p psec
= +æ
èç
ö
ø÷+
é
ëêù
ûú2
4 4 32 2 2sin cos
p p psec
= +°æ
èç
ö
ø÷
é
ëê
ù
ûú2 1
180
3
2
sec
(keäÙeeWefkeâ sin cos2 2 1x x+ = leLee p = °180 )
= + °2 1 60 2[ ( ) ]sec = +2 1 2 2[ ( ) ]
= +2 1 4[ ] = 10
= R.H.S.
ç'u 5. ceeve %eele keâerefpeS :(i) sin75° (ii) tan15°
gy % (i) sin 75° = °+ °sin( )45 30 (keäÙeeWefkeâ 75 45 30°= °+ °)
= +sin( )A B peneB A B= ° = °45 30,
= +sin cos sinA B A Bcos
= ° °+ ° °sin cos cos sin45 30 45 30
(keäÙeeWefkeâ A B= ° = °45 30, )
= × + ×1
2
3
2
1
2
1
2
= +3
2 2
1
2 2 =
+3 1
2 2Gòej
l (ii) tan15° = °- °tan( )45 30
=° - °
+ ° °
tan tan
tan tan
45 30
1 45 30
=-
+
=-
+
11
3
1 11
3
3 1
3 1.
=-
-=
+ -
-
( )
( )
3 1
3 1
3 1 2 3
3 1
2
2
=-
= -2 2 3
22 3
( )Gòej
l efvecveefueefKele keâes efmeæ keâerefpeS :
ç'u 6. cos . cosp p
4 4-
é
ëêù
ûú-
é
ëêù
ûú-x y
sin . sinp p
4 4-
é
ëêù
ûú-
é
ëêù
ûú=x y sin ( )x y+
gy % nce peeveles nQ efkeâcos .cos sin .sinA B A B- = +cos ( )A B
\ L.H.S. = -é
ëêù
ûú-
é
ëêù
ûú-cos .cos
p p
4 4x y
sin .sinp p
4 4-
é
ëêù
ûú-
é
ëêù
ûúx y
= -ìíî
üýþ
+ -ìíî
üýþ
é
ëêù
ûúcos
p p
4 4x y
= - +é
ëêù
ûúcos ( )
p
2x y
= + =sin ( )x y R.H.S.
6 |
ç'u 7. tan
tan
p
p
4
4
+æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
x
x
=+
-
æ
èç
ö
ø÷
1
1
2tan
tan
x
x
gy % ∵ tanp
4+
æ
èç
ö
ø÷x =
+
-
tan tan
tan .tan
p
p4
14
x
x
met$e mestan( )tan tan
tan .tanA B
A B
A B+ =
+
-
é
ëê
ù
ûú
1
=+
-
1
1
tan
tan
x
x...(1)
Fmeer Øekeâej, tantan
tan
p
4
1
1-
æ
èç
ö
ø÷=
-
+x
x
x...(2)
meceerkeâjCe (1) keâes meceerkeâjCe (2) mes Yeeie osves hej,
\ L.H.S. =
+æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
tan
tan
p
p
4
4
x
x
=
+
--
+
1
11
1
tan
tantan
tan
x
xx
x
=+
-´
+
-
1
1
1
1
tan
tan
tan
tan
x
x
x
x
=+
-
æ
èç
ö
ø÷ =
1
1
2tan
tan
x
xR.H.S.
ç'u 8. cos( ). cos( )
sin( ). cos
p
pp
+ -
- +æ
èç
ö
ø÷
x x
x x2
= cot2 x
gy % L.H.S. =+ -
- +æ
èç
ö
ø÷
cos( ). cos( )
sin( ). cos
p
pp
x x
x x2
=-
-
cos .cos
sin .( sin )
x x
x x
[∵ cos( ) cos- =x x leLee cosp
2+
æ
èç
ö
ø÷x = - sinx
leLee cos( ) cosp + = -x x Deewj sin( ) sinp - =x x]
=-
-
cos
sin
2
2
x
x
= =cot2 x R.H.S.
ç'u 9. cos cos( )3
22
pp+
æ
èç
ö
ø÷ +x x
cot cot ( )3
22 1
pp-
æ
èç
ö
ø÷+ +
é
ëêù
ûú=x x
gy % L.H.S.
= +æ
èç
ö
ø÷ +cos cos( )
3
22
ppx x
cot cot( )3
22
pp-
æ
èç
ö
ø÷+ +
é
ëêù
ûúx x
= +æ
èç
ö
ø÷ +cos cos( )2
22p -
ppx x
cot cot( )22
2p -p
p-æ
èç
ö
ø÷+ +
é
ëêù
ûúx x
keäÙeeWefkeâ 3
22
2
pp
p= -
= +æ
èç
ö
ø÷cos cos-
p
2x x
cot cot-p
2-
æ
èç
ö
ø÷+
é
ëêù
ûúx x
[keäÙeeWefkeâ efkeâmeer Yeer Devegheele kesâ efueS ( ) ( )2p ± = ±x x ]
= - -æ
èç
ö
ø÷
ìíî
üýþ
cos cosp
2x x
cot cot- +æ
èç
ö
ø÷
ìíî
üýþ
+é
ëê
ù
ûú
p
2x x
= -æ
èç
ö
ø÷cos cos
p
2x x
- +æ
èç
ö
ø÷+
é
ëêù
ûúcot cot
p
2x x
(keäÙeeWefkeâ cot ( ) cot- = -q q) [ ]= - - +sin cos ( tan ) cotx x x x
keäÙeeWefkeâ cos sinp
2-
æ
èç
ö
ø÷=
é
ëêx x
Deewj cot tanp
2+
æ
èç
ö
ø÷= -
ù
ûúx x
= +sin cos [tan cot ]x x x x
= +sin cos .tan sin cos .cotx x x x x x
= +sin cos .sin
cossin cos .
cos
sinx x
x
xx x
x
x
= +sin cos2 2x x
= =1 R.H.S.
ç'u 10. sin ( ) sin ( )n x n x+ + +1 2
cos ( ) cos ( ) cosn x n x x+ + =1 2
gy % L.H.S.
= + + +cos ( ) cos ( )n x n x1 2
sin ( ) sin ( )n x n x+ +1 2
= + + +cos ( ) cos ( )n x n x2 1
sin ( ) sin ( )n x n x+ +2 1 (Note)
= +cos cos sin sinA B A B peneB ( )n x A+ =2 leLee ( )n x B+ =1
= -cos ( )A B
| 7
æ
èçç
ö
ø÷÷
= + - +cos{( ) ( ) }n x n x2 1
= cosx = R.H.S.
ç'u 11. cos cos3
4
3
4
p p+
æ
èç
ö
ø÷- -
æ
èç
ö
ø÷x x
= - 2 sinx
gy % L.H.S.
= +é
ëêù
ûú- -
é
ëêù
ûúcos cos
3
4
3
4
p px x
= -é
ëêù
ûú-cos cos sin sin
3
4
3
4
p px x
cos . cos sin sin3
4
3
4
p px x+ ×
é
ëêù
ûú
= - ×23
4sin sin
px = - ´ ×2
1
2sin x
= - =2 sin x R.H.S.
ç'u 12. sin sin2 26 4x x-
= sin sin2 10x x
gy % L.H.S. = -sin sin2 26 4x x
= - - -( cos ) ( cos )1 6 1 42 2x x
= -cos cos2 24 6x x
= + -sin ( ) sin ( )6 4 6 4x x x x
[ cos cos sin( ) sin ( )]∵ 2 2A B B A B A- = + -
= sin sin10 2x x
= sin sin2 10x x
= R.H.S.
ç'u 13. cos cos2 22 6x x-
= sin sin4 8x x
gy % L.H.S. = -cos cos2 22 6x x
= + -sin ( ) sin ( )6 2 6 2x x x x
(ØeMve 12 keâer YeeBefle) = =sin sin sin sin8 4 4 8x x x x
= R.H.S.
ç'u 14. sin sin sin2 2 4 6x x x+ +
= 4 42cos sinx x
gy % L.H.S.
= + +sin sin sin2 2 4 6x x x
= + +2 4 6 2sin (sin sin )x x x
= +2 4sin x 26 2
2
6 2
2sin cos
x x x x+ -é
ëêù
ûú
(met$e: sin sin sin cosC DC D C D
+ =+ -
22 2
mes)= +2 4 2 4 2sin sin cosx x x
= +2 4 1 2sin [ cos ]x x
= + -2 4 1 2 12sin [ cos ]x x
= 2 4 2 2sin . cosx x = 4 42cos .sinx x
= R.H.S.
ç'u 15. cot (sin sin )4 5 3x x x+
= -cot (sin sin )x x x5 3
gy % L.H.S.
= +cot ( sin sin )4 5 3x x x
= +cos
sin.( sin )
4
45 3
x
xx xsin
=+ -æ
èç
ö
ø÷
cos
sin. cos
4
42
5 3
2
5 3
2
x
x
x x x xsin
=cos
sin. .cos
4
42 4
x
xx xsin
= 2 4cos cosx x ...(1)
Deye R.H.S.
= cot (sin sin )x x x5 3-
= × -cos
sin( sin )
x
xx xsin5 3
=+ -æ
èç
ö
ø÷
cos
sin.cos sin
x
x
x x x x2
5 3
2
5 3
2
=cos
sin. cos .sin
x
xx x2 4
= 2 4cos cosx x ...(2)
meceerkeâjCe (1) Deewj meceerkeâjCe (2) mes,L.H.S. = R.H.S.
ç'u 16. cos cos
sin sin
9 5
17 3
x x
x x
-
- = -
sin
cos
2
10
x
x
gy % L.H.S.
=-
-
cos cos
sin sin
9 5
17 3
x x
x x
=
+æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
+æ
èç
ö
ø÷
29 5
2
5 9
2
217 3
2
sin sin
cos s
x x x x
x xin
17 3
2
x x-æ
èç
ö
ø÷
(met$e: cos cosC D-
=+
22
sinC D
sinD C-
2 Deewj sin sinC D-
=+ -
22 2
cos sinC D C D
mes
=-2 7 2
2 10 7
sin sin( )
cos sin
x x
x x =
-sin( )
cos
2
10
x
x
=- sin
cos
2
10
x
x
[ met$e: sin( ) sin- = -q q mes ]= R.H.S.
ç'u 17. sin sin
cos costan
5 3
5 34
x x
x xx
+
+=
gy % L.H.S.
=+
+
sin sin
cos cos
5 3
5 3
x x
x x
8 |
=
+æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
+æ
èç
ö
ø÷
25 3
2
5 3
2
25 3
2
sin cos
cos co
x x x x
x xs
5 3
2
x x-æ
èç
ö
ø÷
(met$e : sin sinC D+
=+ -
22 2
sin cosC D C D
Je cos cosC D+
=+ - ö
ø÷2
2 2cos cos
C D C Dmes
=2 4
2 4
sin cos
cos cos
x x
x x =
sin
cos
4
4
x
x = tan4x
= R.H.S.
ç'u 18. sin sin
cos costan
x y
x y
x y-
+=
-
2
gy % L.H.S. =-
+
sin sin
cos cos
x y
x y
=
+æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
+æ
èç
ö
ø÷
-æ
22 2
22 2
cos sin
cos cos
x y x y
x y x y
èç
ö
ø÷
=
-æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
sin
cos
x y
x y
2
2
=-æ
èç
ö
ø÷tan
x y
2
= R.H.S.
ç'u 19. sin sin
cos costan
x x
x xx
+
+=
3
32
gy % L.H.S. =+
+
sin sin
cos cos
x x
x x
3
3
=
+æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
+æ
èç
ö
ø÷
-
23
2
3
2
23
2
sin cos
cos cos
x x x x
x x x 3
2
xæ
èç
ö
ø÷
=
+æ
èç
ö
ø÷
+æ
èç
ö
ø÷
sin
cos
x x
x x
3
2
3
2
=sin
cos
2
2
x
x = tan2x
= R.H.S.
ç'u 20. sin sin
sin cossin
x x
x xx
-
-=
32
2 2
gy % L.H.S.
=-
-
sin sin
sin cos
x x
x x
32 2
=
+æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
- -
23
2
3
22 2
cos sin
(cos sin )
x x x x
x x
met$e :sin sin cosC DC D
- =+æ
èç 2
2
sinC D- ö
ø÷
2mes
=-
-
2 2
2
cos sin( )
cos
x x
x
(met$e : cos sin cos2 2 2x x x- = mes)
=-
-
2 2
2
cos sin
cos
x x
x[keäÙeeWefkeâ = - = -sin( ) sinx x]
= 2sinx = R.H.S.
ç'u 21. cos cos cos
sin sin sin
4 3 2
4 3 2
x x x
x x x
+ +
+ + = cot 3 x
gy % L.H.S. =+ +
+ +
cos cos cos
sin sin sin
4 3 2
4 3 2
x x x
x x x
=+ +
+ +
cos (cos cos )
sin (sin sin )
3 4 2
3 4 2
x x x
x x x
=
++æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
+
cos cos
cos
sin sin
3 24 2
2
4 2
2
3 24
xx x
x x
xx+æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
2
2
4 2
2
x
x xcos
=+
+
cos cos cos
sin sin cos
3 2 3
3 2 3
x x x
x x x
=+
+
cos ( cos )
sin ( cos )
3 1 2
3 1 2
x x
x x
(DebMe mes cos3x Deewj nj mes sin3x meeJe& uesves hej)
=cos
sin
3
3
x
x = cot3x
= R.H.S.
ç'u 22. cot cot cotx x x2 2-
cot cot cot3 3 1x x x- =
gy % ∵ cot3x = +cot( )2x x
Ùee cotcot cot
cot cot3
2 1
2x
x x
x x=
-
+
Ùee cot (cot cot )3 2x x x+ = -cot cotx x2 1
Je»eiegCeve mesÙee cot cot cot cot2 3 3x x x x+ = -cot cotx x2 1
Ùee - +cot cot cot cotx x x x2 2 3 + = -cot cot3 1x x
| 9
Ùee - - -(cot cot cot cotx x x x2 2 3 cot cot )3 1x x = -
Dele: cot cot cot cotx x x x2 2 3- -
cot cot3 1x x =
Proved.
ç'u 23. tan4x =-
- +
4 1
1 6
2
2 4
tan ( tan )
tan tan
x x
x x
gy % ∵ tan tan . ( )4 2 2x x=
= tan2A ceevee 2x A=
=-
2
1 2
tan
tan
A
A
met$e: mestantan
tan2
2
1 2A
A
A=
-
æ
èç
ö
ø÷
=-
2 2
1 22
tan
tan
x
x(A x= 2 jKeves hej)
= -
-
22
1
1 2
2
2
.tan
tan
(tan )
x
x
x
=-
--
æ
èç
ö
ø÷
4
1
12
1
2
2
2
tan
( tan )
tan
tan
x
x
x
x
=-
--
4
1
14
1
2
2
2 2
tan
( tan )
tan
( tan )
x
x
x
x
=-
- -
-
4
1
1 4
1
2
2 2 2
2 2
tan
( tan )
( tan ) tan
( tan )
x
x
x x
x
=-
4
1 2
tan
( tan )
x
x
´-
- -
( tan )
( tan ) tan
1
1 4
2 2
2 2 2
x
x x
=-
- + -
4 1
1 2 4
2
2 4 2
tan ( tan )
( tan tan ) tan
x x
x x x
=-
- +
4 1
1 6
2
2 4
tan ( tan )
tan tan
x x
x x
Dele: tantan ( tan )
tan tan4
4 1
1 6
2
2 4x
x x
x x=
-
- +
ç'u 24. cos sin cos4 1 8 2 2x x x= -
gy % L.H.S. = cos4x
= -1 2 22sin ( )x
= -1 2 2 2[sin ]x
= -1 2 2 2[ sin cos ]x x
= -1 2 4 2 2( sin cos )x x
= -1 8 2 2sin cosx x
= R.H.S.
ç'u 25. cos cos6 32 6x x= -
48 18 14 2cos cosx x+ -
gy % L.H.S.
= cos6x = cos ( )3 2x
= cos3A ceevee 2x A=
= -4 33cos cosA A
= -cos ( cos )A A4 32
= -cos [ (cos ) ]A x4 2 32 (keäÙeeWefkeâ A x= 2 )= - -cos [ ( cos ) ]A x4 2 1 32 2
(keäÙeeWefkeâ cos cos2 2 12x x= - )= - + -cos [ ( cos cos ) ]A x x4 4 4 1 34 2
= - +cos [ cos cos ]A x x16 16 14 2
= - +cos [ cos cos ]2 16 16 14 2x x x
(∵ A x= 2 )
= - - +( cos ) ( cos cos )2 1 16 16 12 4 2x x x
= - + -32 32 26 4 2cos cos cosx x x
16 16 14 2cos cosx x+ -
= - + -32 48 18 16 4 2cos cos cosx x x
= R.H.S.
= efvecveefueefKele meceerkeâjCeeW keâe cegKÙe leLee JÙeehekeâ nue%eele keâerefpeS :ç'u 1. tan x= 3
gy % ∵ tanx = 3 = ° =tan tan603
p
DeLeJee tan tan tanx = +æ
èç
ö
ø÷=p
p p
3
4
3
Dele: meceerkeâjCe tanx = 3 keâe cegKÙe nue
=p p
3
4
3; Gòej
hegve: tanx= 3 = tanp
3
Þ x keâe JÙeehekeâ ceeve = +npp
3 peneB n ZÎ
Dele: efoS ieS meceerkeâjCe keâe JÙeehekeâ nue
x n= +pp
3 , n ZÎ Gòej
10 |
ØeMveeJeueer 3.4
ç'u 2. sec x= 2
gy % sec x = 2 = secp
3 DeLeJee sec 2
3p
p-
æ
èç
ö
ø÷
Þ x =p
3 DeLeJee 2
3p
p-
æ
èç
ö
ø÷
Þ x =p
3 DeLeJee
5
3
p
leye meceerkeâjCe sec x = 2 keâe cegKÙe nue
x =p
3 DeLeJee
5
3
p
leLee JÙeehekeâ nue x n n Z= ± Î23
pp , Gòej
ç'u 3. cot x= - 3
gy % ∵ cotp
63=
Þ - = -36
cotp
= -æ
èç
ö
ø÷cot p
p
6
Ùee cot 26
pp
-æ
èç
ö
ø÷ Dele: cot x = - 3
Þ cot cotx = -æ
èç
ö
ø÷p
p
6 DeLeJee cot cotx = -
æ
èç
ö
ø÷2
6p
p
Þ cot cotx =5
6
p DeLeJee cot
11
6p
Þ x =5
6
p DeLeJee
11
6
p
Dele: meceerkeâjCe cotx = - 3 keâe cegKÙe nue x =5
6
p
DeLeJee 11
6
p nw Deewj JÙeehekeâ nue x n= p ± Î
5
6
p,n Z
Gòejç'u 4. cosec x= -2
gy % ∵ cosecp
62=
Þ - = -2 cosec p
6= cosec p
p+
æ
èç
ö
ø÷
6
Ùee cosec 26
pp
-æ
èç
ö
ø÷
Þ cosec x = +æ
èç
ö
ø÷cosec p
p
6 Ùee cosec 2
6p
p-
æ
èç
ö
ø÷
Þ cosec x =æ
èç
ö
ø÷cosec
7
6
p Ùee cosec
11
6
pæ
èç
ö
ø÷
Þ x=7
6
p DeLeJee
11
6
p
Dele: meceerkeâjCe cosec x = - 2 keâe cegKÙe nue x =7
6
p
DeLeJee 11
6
p nw leLee JÙeehekeâ nue
x n= p +- × Î( ) ,17
6n n Z
pGòej
l efvecveefueefKele ØelÙeskeâ meceerkeâjCeeW keâe JÙeehekeâ nue %eelekeâerefpeS :ç'u 5. cos cos4 2x x=
gy % efoÙee ieÙee meceerkeâjCe : cos cos4 2x x=
Þ cos cos ( )4 2 2x n x= ±p
[ cos ( ) cos ]∵ 2 np q q± =
\ 4 2 2x n x= ±( )p
leye ‘+’ efÛeÖ uesves hej, 4 2 2x n x= +p
Ùee 4 2 2x x n- = p Ùee 2 2x n= p
Þ x n= p, n ZÎ
Deewj ‘-’ efÛeÖ uesves hej, 4 2 2x n x= -p
Ùee 4 2 2x x n+ = p Ùee 6 2x n= p
Þ xn
n Z= Îp
3,
Dele: efoS ieS meceerkeâjCe keâe JÙeehekeâ nue
x n= p DeLeJee n
n Zp
3, Î Gòej
ç'u 6. cos cos cos3 2 0x x x+ - =
gy % efoÙee ieÙee meceerkeâjCe : cos cos cos3 2 0x x x+ - =
Ùee 23
2
3
22 0cos cos cos ,
x x x xx
+ -- =
Ùee 2 2 2 0cos cos cos ,x x x- =
Ùee cos .( cos ) ,2 2 1 0x x - =
leye Ùee lees cos2 0x = Ùee efheâj 2 1 0cosx- =
Ùeefo cos2 0x = lees 2 2 12
x n= +( )p
Þ x n= +( )2 14
p peneB n ZÎ
Deewj Ùeefo 2 1 0cosx- = Ùee 2 1cosx =
Ùee cos cosx = =1
2 3
p
leye, cos cosx n= ±æ
èç
ö
ø÷2
3p
p
Þ x n= ±23
pp
peneB n ZÎ
Dele: efoS ieS meceerkeâjCe keâe JÙeehekeâ nue
x n= +( )2 14
p DeLeJee 2
3np
p± , n ZÎ nw~ Gòej
ç'u 7. sin cos2 0x x+ =
gy % efoÙee ieÙee meceerkeâjCe : sin cos2 0x x+ = ,
Ùee 2 0sin cos cos ,x x x+ =
Ùee cos ( sin ) ,x x2 1 0+ =
leye Ùee lees cosx = 0 Ùee efheâj 2 1 0sinx+ =
Ùeefo cosx = 0 lees x n= +( )2 12
ppeneB n ZÎ ;
Deewj Ùeefo 2 1 0sinx+ =
| 11
Ùee sin sinx = - = +æ
èç
ö
ø÷
1
2 6p
p
Þ sin sinx = +æ
èç
ö
ø÷p
p
6
Þ sin sinx =æ
èç
ö
ø÷
7
6
p
Þ x n n= + -pp
( )17
6 peneB n ZÎ
Dele: efoS ieS meceerkeâjCe keâe JÙeehekeâ nue
x n n= + -pp
( )17
6 DeLeJee ( ) ,2 1
2n +
p n ZÎ
Gòejç'u 8. sec2 2 1 2x x= - tan
gy % efoÙee ieÙee meceerkeâjCe : sec2 2 1 2x x= - tan ,
Ùee 1 2 1 22+ = -tan tan ,x x
Ùee tan tan2 2 2 0x x+ =
Ùee tan ( tan )2 1 2 0x x+ =
leye Ùee lees tan2 0x = Ùee efHeâj 1 2 0+ =tan x Ùeefo tan2 0x = lees 2x n= p
Þ xn
=p
2 peneB n ZÎ ;
Deewj Ùeefo 1 2 0+ =tan x Ùee tan2 1x = -
Ùee tan tan24
x = -æ
èç
ö
ø÷p
p
tan tan23
4x =
p
Þ 23
4x n= +p
p
Þ xn
= +p p
2
3
8 peneB n ZÎ
Dele: efoS ieS meceerkeâjCe keâe JÙeehekeâ nue :
xn
=p
2 DeLeJee
n p p
2
3
8+ , n ZÎ Gòej
ç'u 9. sin sin sinx x x+ + =3 5 0
gy % efoÙee ieÙee meceerkeâjCe : sin sin sinx x x+ + =3 5 0,
Ùee sin ( sin )3 5 0x x x+ + =sin ,
Ùee sin sin cos ,3 25
2
5
20x
x x x x+
+ -=
Ùee sin sin cos ,3 2 3 2 0x x x+ =
Ùee sin ( cos ) ,3 1 2 2 0x x+ =
leye Ùee lees sin3 0x = Ùee efheâj 1 2 2 0+ =cos x
Ùeefo sin3 0x = lees 3x n= p
Þ xn
=p
3 peneB n ZÎ
Deewj Ùeefo 1 2 2 0+ =cos x
Þ cos21
2x = - = - cos
p
3
= -æ
èç
ö
ø÷=cos cosp
p p
3
2
3
Þ cos cos22
3x=
p Þ 2 2
2
3x n= ±p
p
Þ x n= ±pp
3 peneB n ZÎ
Dele: efoS ieS meceerkeâjCe keâe JÙeehekeâ nue : xn
=p
3
DeLeJee npp
±3
, n ZÎ Gòej
= efmeæ keâerefpeS :
ç'u 1. 213
9
13cos cos
p p+
cos cos3
13
5
130
p p+ =
gy % L.H.S.
= + +213
9
13
3
13cos cos cos
p p p cos
5
13
p
= +213
9
132cos cos cos
p p
5
13
3
132
5
13
3
132
p p p p+
æ
è
çççç
ö
ø
÷÷÷÷
-æ
è
çççç
ö
ø
÷÷÷÷
cos
= +213
9
132
4
13 13cos cos cos cos
p p p p
= +æ
èç
ö
ø÷2
13
9
13
4
13cos cos cos
p p p
=+
æ
è
çççç
ö
ø
÷÷÷÷
é
ë
êêê
-2
132
9
13
4
132
9
13
4
1cos cos cosp
p p p p
32
æ
è
çççç
ö
ø
÷÷÷÷
ù
û
úúú
=é
ëêù
ûú2
132
2
5
26cos cos cos
p p p
= ´413
5
26 2cos cos cos
p p p
= ´413
5
260cos cos
p pcos
p
20=
æ
èç
ö
ø÷
= 0= R.H.S.ç'u 2. (sin sin ) sin3 x x x+ +
(cos cos ) cos3 0x x x- =gy % L.H.S. = + +(sin sin ) sin3x x x
(cos cos ) cos3x x x-
12 |
efJeefJeOe ØeMveeJeueer
=+æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
é
ëêù
ûú2
3
2
3
2sin cos
x x x x
sin sin sin cosxx x x x
x++æ
èç
ö
ø÷
-æ
èç
ö
ø÷
é
ëêù
ûú2
3
2
3
2
= [ sin cos ]sin2 2x x x
+ -[ sin sin( )]cos2 2x x x
= 2 2sin sin cosx x x
+ -[ sin sin ] cos2 2x x x
[keäÙeeWefkeâ sin( ) sin- = -x x]
= 2 2sin sin cosx x x
- 2 2sin sin cosx x x
= 0
= R.H.S.
ç'u 3. (cos cos ) (sin sin)x y x+ + -2 2
=+
42
2cosx y
gy % L.H.S.
= (cos cos ) (sin sin )x y x y+ + -2 2
=+ -æ
èç
ö
ø÷2
2 2
2
cos cosx y x y
++ -æ
èç
ö
ø÷2
2 2
2
cos sinx y x y
=+ -
+42 2
2 2cos cosx y x y
42 2
2 2cos sinx y x y+ -
=+ -æ
èç
ö
ø÷
é
ëê+
-æ
èç
ö
ø÷ù
ûú4
2 2 22 2 2cos cos sin
x y x y x y
=+
42
12cos [ ]x y
(keäÙeeWefkeâ sin cos2 2 1q q+ = )
=+
42
2cosx y
= R.H.S.
ç'u 4. (cos cos )x y- +2
(sin sin ) sinx yx y
- =-2 242
gy % L.H.S.
= (cos cos ) (sin sin )x y x y- + -2 2
=+ -æ
èç
ö
ø÷2
2 2
2
sin sinx y y x
++ -æ
èç
ö
ø÷2
2 2
2
cos sinx y x y
= -+ -æ
èç
ö
ø÷2
2 2
2
sin sinx y x y
++ -æ
èç
ö
ø÷2
2 2
2
cos sinx y x y
=+ -
42 2
2 2sin sinx y x y
++ -
42 2
2 2cos sinx y x y
=-
42
2sinx y
sin cos2 2
2 2
x y x y++
+é
ëêù
ûú
=-
42
12sin [ ]x y
(keäÙeeWefkeâ sin cos2 2 1q q+ = )
=-
42
2sinx y
= R.H.S.
ç'u 5. sin sin sin sinx x x x+ + +3 5 7
= 4 2 4cos cos sinx x x
gy % L.H.S. = sin sin sin sinx x x x+ + +3 5 7
= + +(sin sin )7x x (sin sin )5 3x x+
=+ -
27
2
7
2sin cos
x x x x
++ -
25 3
2
5 3
2sin cos
x x x x
= +2 4 3 2 4sin cos sin cosx x x x
= +2 4 3sin [cos cos ]x x x
=+ -é
ëêù
ûú2 4 2
3
2
3
2sin cos cosx
x x x x
= 2 4 2 2sin [ cos cos ]x x x
= 4 2 4cos cos sinx x x
= R.H.S.
ç'u 6.
(sin sin )
(sin sin )
(cos cos )
(cos co
7 5
9 3
7 5
9
x x
x x
x x
x
+ +
+
+ +
+ s )
tan
3
6
x
x=
gy % L.H.S.
=+ + +
+ + +
(sin sin ) (sin sin )
(cos cos ) (cos c
7 5 9 3
7 5 9
x x x x
x x x os )3 x
=
+ -+
+ -
+
27 5
2
7 5
2
29 3
2
9 3
2
27 5
2
sin cos
sin cos
cos
x x x x
x x x x
x xcos
cos cos
7 5
2
29 3
2
9 3
2
x x
x x x x
-+
+ -
=+
+
2 6 2 6 3
2 6 2 6 3
sin cos sin cos
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
=+
+
2 6 3
2 6 3
sin (cos cos )
cos (cos cos )
x x x
x x x =
sin
cos
6
6
x
x
= tan 6x
= R.H.S.
| 13
ç'u 7. sin sin sin3 2x x x+ -
= 42
3
2sin cos cosx
x x
gy % L.H.S.
= + -sin sin sin3 2x x x
= ++ -
sin cos sin3 22
2
2
2x
x x x x
= +23
2
3
22
3
2 2sin cos cos sin
x x x x
= +é
ëêù
ûú2
3
2
3
2 2cos sin sin
x x x
=
+æ
èç
ö
ø÷ -
æ
èç
ö
ø÷ù
û
úúúú
é
ë
23
22
3
2 2
2
3
2 2
2cos sin .cos
x
x x x xêêêê
=é
ëêù
ûú2
3
22
2
2 2cos sin cos
x x x
=é
ëêù
ûú2
3
22
2cos sin cos
xx
x
= 42
3
2sin cos cosx
x x
= R.H.S.
l efvecveefueefKele ØelÙeskeâ ØeMve ceW sin , cosx x
2 2 leLee
tanx
2 %eele keâerefpeS :
ç'u 8. tan ,x x= -4
3 efÉleerÙe ÛelegLeeËMe ceW nw~
gy % ∵ tanx = -4
3
\ 2
2
12
2
tan
tan
x
x-
= -4
3
Ùee - + =4 42
62
2tan tanx x
(Je»eiegCeve mes)
Ùee 42
62
4 02tan tan ,x x
- - = (he#eevlejCe mes)
Ùee 22
32
2 02tan tan ,x x
- - =
Ùee 22
42 2
2 02tan tan tan ,x x x
- + - =
Ùee 22 2
2tan tanx x
-æ
èç
ö
ø÷+ 1
22 0tan
x-
æ
èç
ö
ø÷=
Ùee 22
12
2 0tan tanx x
+æ
èç
ö
ø÷ -æ
èç
ö
ø÷=
leye Ùee lees 22
1 0tanx
+æ
èç
ö
ø÷= Ùee efheâj tan
x
22 0-
æ
èç
ö
ø÷=
Ùeefo 22
1 0tanx
+ = lees tanx
2
1
2= - ;
Deewj Ùeefo tanx
22 0- = lees tan
x
22=
Deye ÛetBefkeâ x efÉleerÙe ÛelegLeeËMe ceW nw
DeLee&led p
p2
< <x
2 mes Yeeie keâjves hej p p
4 2 2< <
x
Dele: x
2 ØeLece ÛelegLeeËMe ceW nesiee Deewj FmeerefueS
x
2 kesâ meYeer
ef$ekeâesCeefceleerÙe Devegheele Oeveelcekeâ neWies~
\ tanx
2
1
2= - DeceevÙe nw Dele: tan
x
22=
Deye sec 2 2
21
2
x x= + tan
= +æ
èç
ö
ø÷1
2
2
tanx
= + =1 2 52( )
Þ sec x
25= (Oeveelcekeâ ceeve nesiee)
Þ cosx
2
1
5=
leLee sin cos2 2
21
2
x x= - = - =1
1
5
4
5
Þ sinx
2
2
5=
Dele: sin , cosx x
2
2
5 2
1
5= =
leLee tanx
22= Gòej
ç'u 9. cos ,x x= -1
3 le=leerÙe ÛelegLeeËMe ceW nw~
gy % ∵ cosx = -1
3
\ 22
11
32cos
x- = -
Ùee 22
11
3
2
32cos
x= - =
Ùee cos2
2
1
3
x=
Ùee cosx
2
1
3
3
3=± = ±
∵ x le=leerÙe ÛelegLeeËMe ceW nw~
Þ x keâe ceeve p Je 3
2
p kesâ yeerÛe nesiee
DeLee&le pp
< <x3
2
14 |
leye 2 mes Yeeie keâjves hej
p p
2 2
3
4< <
x
leyex
2 otmejs ÛelegLeeËMe ceW heÌ[siee efpememes sin
x
2 Oeveelcekeâ nesiee
peyeefkeâ cosx
2 Je tan
x
2 $e+Ceelcekeâ neWies~
Dele: cosx
2
3
3= -
leLee sin cos2 2
21
2
x x= -
= - -æ
èçç
ö
ø÷÷ = - =1
3
31
3
9
2
3
2
\ sinx
2
2
3= =
6
3
leLee tansin
cos
/
/
xx
x22
2
2 3
3 3= =
-
= ´ -æ
èç
ö
ø÷2
3
3
3 = - 2
Dele: sin , cosx x
2
6
3 2
3
3= = -
Je tanx
22= - Gòej
ç'u 10. sin ,x x=1
4 efÉleerÙe ÛelegLeeËMe ceW nw~
gy % sinx =1
4 Deewj sin cos2 2 1x x+ =
\ 1
41
22æ
èç
ö
ø÷ + =cos x
\ cos2 11
16
15
16x = - =
\ cosx = -15
4
(keäÙeeWefkeâ x otmejs ÛelegLeeËMe ceW nw~)
∵ cosx = -15
4
Þ 22
115
42cos
x- =-
Þ 22
2cosx = -1
15
4 =
-4 15
4
Þ cos2
2
4 15
8
x=
-
Þ cosx
2 =±
-4 15
8 =±
-8 2 15
16
Þ cosx
2 = ±
-8 2 15
4
∵ x efÉleerÙe ÛelegLeeËMe ceW nw~ Þ p
p2
< <x
\ 2 mes Yeeie keâjves hej, p p
4 2 2< <
x
leyex
2 henues ÛelegLeeËMe ceW nesiee efpememes meYeer Devegheele
meowJe Oeveelcekeâ neWies~
\ cosx
2 =
-8 2 15
4
\ cos2
2
8 2 15
16
x=
-
leye sin cos2 2
21
2
x x= -
Ùee sin2
2
x = -
-1
8 2 15
16
Ùee sin2
2
x =
+8 2 15
16
Ùee sinx
2 =
+8 2 15
16
Ùee sinx
2 =
+8 2 15
4
Deye tansin
cos
xx
x22
2
=
=
+
-
8 2 15
4
8 2 15
4
=+
-
8 2 15
8 2 15
=+
-´
+
+
8 2 15
8 2 15
8 2 15
8 2 15
=+
-
( )
( ) ( )
8 2 15
8 2 15
2
2 2
=+
-
8 2 15
64 60 =
+8 2 15
2
= +4 15
Dele: sin ,x
2
8 2 15
4=
+ cos
x
2
8 2 15
4=
-
leLee tanx
24 15= + Gòej
| 15
