Matematika

Scanned by Cloud Dancing

Matematika BENDRASIS KURSAS

Vadovėlis X l l klasei

ООО

i ŠVIESA KAUNAS

UDK 51(075.3) Si-139

Idėjos autorė ir projekto sumanytoja VIKTORIJA SIČIŪNIENĖ

Autorės: VIKTORIJA SIČIŪNIENĖ, DAIVA BALEVIČIENĖ, DANGUOLĖ DOBRAVOLSKAITĖ, AIDA MIKALAUSKIENĖ,

RASA ZIMNICKIENĖ

Matematikos istorijos skyrelių autorius JUOZAS BANIONIS

Redaktorė ZITA ŠLIAVAITĖ

Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministerijos rekomenduota

2006 02 27, Nr. 28

Vadovėlis atitinka kalbos taisyklingumo reikalavimus

Pirmasis leidimas 2006

ISBN 5-430-04208-0

© Viktorija Sičiūnienė, 2006 © Daiva Balevičienė, 2006 © Danguolė Dobravolskaitė, 2006 © Aida Mikalauskienė, 2006 © Rasa Zimnickienė, 2006 © Leidykla „Šviesa", 2006

Tu r i n y s

1. STOCHASTIKA

Statistinis tyrimas / 5 Stochastinis bandymas / 12

1.1. Vieno ir kelių etapų bandymai. Baigčių skaičiaus nustatymas / 15 1.2. Su vieno etapo bandymu susiję įvykiai ir jų tikimybės / 20 1.3. Priklausomi ir nepriklausomi atskirų bandymo etapų įvykiai / 24 1.4. Su kelių etapų bandymu susiję įvykiai ir jų tikimybės / 28

Savikontrolė / 36 1 testas / 37

2. GEOMETRIJA

Nuovoka, paremta geometrijos išmanymu / 38 2.1. Tiesių ir plokštumų tarpusavio padėtys / 40 2.2. Daugiakampiai. Skritulys / 44 2.3. Briaunainiai ir sukiniai / 50 2.4. Judesiai (problemų sprendimas) / 54 2.5. Ilgis ir jo matavimas / 58 2.6. Plotas ir jo matavimas / 62 2.7. Tūris ir jo matavimas / 66 2.8. Lygumas ir panašumas (problemų sprendimas) / 70

Savikontrolė / 74 2 testas / 76

3. FUNKCIJOS IR JŲ GRAFIKAI

Grafikų transformacijos / 78 3.1. Grafiko tempimas (spaudimas) / 79 3.2. Grafiko simetrija / 81 3.3. Grafiko postūmis / 85 3.4. Kvadratinė funkcija (problemų sprendimas) / 90

Savikontrolė / 98 3 testas / 99

4. TRIGONOMETRIJA

Situacijų apibūdinimas trigonometrinėmis funkcijomis / 100 4.1. Bet kokio kampo sinusas, kosinusas ir tangentas / 102 4.2. Funkcija y = sin χ / 110 4.3. Funkcija y = cos χ / 114

4.4. Funkcija у = tgx / 118 4.5. Lygties b sin χ + с = O sprendimas / 120 4.6. Lygties b cos χ + C = O sprendimas / 124 4.7. Lygties b tgx + c = O sprendimas / 128 4.8. Kampų matavimas radianais (problemų sprendimas) / 130 4.9. Trigonometrijos taikymas geometrijoje (problemų sprendimas) / 134

Savikontrolė / 140 4 testas / 1 4 1

5. FUNKCIJOS IŠVESTINĖ

Funkcijos ir jų savybės / 142 5.1. Funkcijos išvestinės sąvoka / 144 5.2. Funkcijų išvestinių radimo taisyklės / 148 5.3. Išvestinės taikymas: funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalų

nustatymas / 152 5.4. Išvestinės taikymas: funkcijos ekstremumo taškų nustatymas / 155 5.5. Išvestinės taikymas: didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės uždarajame

intervale radimas / 158 5.6. Išvestinės taikymas: vidutinis ir momentinis judėjimo greitis (problemų spren-

dimas) / 162 Savikontrolė / 164 5 testas / 165

6. KARTOJIMO UŽDAVINIAI

6.1. Algebriniai reiškiniai ir tapatieji jų pertvarkiai / 166 6.2. Lygtys, nelygybės ir jų sistemos / 168 6.3. Funkcijos ir jų grafikai / 172 6.4. Funkcijos išvestinė / 180 6.5. Trigonometrija / 183 6.6. Geometrija / 189 6.7. Stochastika / 195

E . PASIRENKIME EGZAMINUI

Mokyklinio brandos egzamino formulės / 203 1 užduotis / 204 2 užduotis / 208 3 užduotis / 212 4 užduotis / 2 1 6

Testų atsakymai / 221 Panaudotų iliustracijų šaltiniai / 221 Dalykinė rodyklė / 222

Stochastika

STATISTINIS TYRIMAS

Įsivaizduokite, kad atvykote gyventi į naują vietą ir iš dviejų mokyklų turite pasirinkti vieną, kurią lankysite. Nusprendėte apklausti keletą kiek-vienos mokyklos mokinių ir sužinoti jų nuomonę apie mokymo kokybę bei mokinių ir mokytojų tarpusavio santykius.

Tik įėję į pirmąją mokyklą, sutinkate du įtūžusius jaunuolius. Aki-vaizdu, kad, pasikalbėjus su jais, įspūdis apie mokyklą lieka nekoks. Tada pašnekinate dar kelis tos pačios klasės mokinius ir iš jų sužinote, kad ką tik pasibaigusi pamoka buvo neįdomi, o namų darbų uždavė labai daug.

Kitą rytą patraukiate į antrąją mokyklą. Vos pravėrę jos duris, sutin-kate mokyklos direktoriaus pavaduotoją. Sužinojusi apie jūsų ketinimus, ji supažindina jus su mokyklos tarybos nariais. Sie kaip įmanydami giria savo mokyklą ir jos mokytojus, kviečia mokytis būtent čia.

Iš pirmo žvilgsnio patrauklesnė atrodo antroji mokykla. Tačiau statis-tiką išmanantis žmogus neskubėtų daryti išvadų, nes žino, kad geriausias apibendrinimo pamatas yra ne išskirtiniai ir ryškūs atvejai, bet tinkamai surinkti duomenys. Tai nereiškia, kad būtinai turite sužinoti kiekvieno mokinio nuomonę apie mokyklą. Pasirodo, reikiamas išvadas apie visu-mą — populiaciją — galima padaryti ir iš pasirinktos jos dalies — imties.

Populiacija — objektų * arba individų aibė Statistinės išvados apie populiaciją

Visi mokyklos Apklausiami mokyklos mokiniai mokiniai

Nagrinėjama objektų ar individų aibė statistikoje vadinama popu-liacija, o tyrimui atrinkta jos dalis — imtimi.

Kadangi išvados apie populiaciją daromos remiantis ištirta imtimi, svarbu, kad ji gerai atspindėtų visą populiaciją, t. y. būtų reprezentatyvi. Tai pasiekiama tada, kai populiacijos elementai imami atsitiktinai. Apta-riamu atveju iš pradžių būtų galima sudaryti visų mokyklos mokinių sąrašą, paskui apklausti, pavyzdžiui, kas dešimtą mokinį. Tačiau galima

pasitelkti ir kitą statistikoje plačiai taikomą metodą — atsitiktinai ap-klausti po keletą kiekvienos klasės mokinių.

Toliau vartosime šiuos terminus: imties didūmas — imties elementų skaičius, požymis — savybė, padedanti atskirti ar klasifikuoti populiacijos vienetus, imties požymio reikšmė — galimas stebėjimo rezultatas, imties duomuo — požymio reikšmė, gauta kaip atskiro stebėjimo rezul-

tatas, dažnis — tam tikrą požymio reikšmę turinčių imties duomenų skaičius, santykinis dažnis — dažnis, padalytas iš imties didumo.

Pagrindinėje mokykloje mokėtės rinkti duomenis, juos apdoroti gra-finiais ir skaitiniais metodais, daryti išvadas. 36 puslapyje išvardyta, ką turėtumėte gebėti daryti spręsdami statistikos srities uždavinius. Norėda-mi pasitikrinti arba patobulinti pagrindinėje mokykloje įgytus gebėjimus, galite išspręsti 195 puslapyje nurodytus šios srities kartojimo uždavinius. Tačiau manome, kad jums bus įdomiau tai daryti, jeigu grupėse atliksite nedidelį statistinį tyrimą.

1. Numatykite tyrimo tikslą. Pasirinkite požymį, pagal kurį norėtumėte tirti savo mokyklos moki-

nius. Pavyzdžiui, tai galėtų būti jūsų mokyklos mokinių ar/ir mokytojų nuomonė apie vertinimo būdus mokykloje, namų darbų apimtį, mokinių pamokų lankomumą, renginius po pamokų, mokykloje puoselėjamas tradi-cijas, mokytojų ir mokinių tarpusavio santykius.

Suformuluokite ir užrašykite pagrin- / į ^ dinį klausimą, į kurį ketinate atsakyti. ___

Numatykite tarpinius rezultatus, ku- / ^ i e k vidutiniškai p a ž y m i ų N riuos turėtumėte gauti ieškodami atsaky- p e r savaitę gauna X—Xll

mo į šį klausimą. klases mokinys?

2. Sugalvokite, kaip rinksite tikslui pasiekti reikalingus duomenis. Pigiausias duomenų gavimo būdas — pasinaudoti jau surinkta infor-

macija. Galima remtis duomenimis, esančiais mokyklos kompiuterinėse duomenų rinkmenose ar kituose dokumentuose (pavyzdžiui, dienyne, mo-kinių asmens bylose, sąsiuviniuose), arba apklausti mokinius (mokytojus), pateikiant jiems parengtą apklausos lapą.

Jeigu nusprendėte organizuoti apklausą, svarbu gerai apmąstyti, kiek mokinių bei kokius ir kaip reikėtų apklausti. Nepasiduokite pagundai apibendrinti nebūdingus, tačiau ryškius atvejus. Teisingas išvadas galėsite padaryti tik iš pakankamai didelio duomenų kiekio, nes apibendrinimai, kurie remiasi vos keliais atvejais, yra nepatikimi.

Keli naudingi patarimai: apklausos lapo pradžioje pateikite trumpą jos pildymo instrukciją;

klausimai turi būti konkretūs, venkite sudėtingų ar erzinančių; apmąstykite, ar respondentas turi reikiamą informaciją, kad galėtų atsakyti į jūsų klausimą, ar klausimas

nebus suprastas neteisingai, ar ankstesnis klausimas neturės jtakos tolesnio atsakymui; informaciją apdorosite lengviau, jei iš anksto numatysite atsakymų variantus; jie turėtų būti suprantami; pagalvokite, ar kiekvienas

respondentas galės pasirinkti jam tinkantį atsakymą.

Apklausos lapas Prašome pažymėti tik po vieną atsakymą į kiekvieną klausimą.

1. Kurioje klasėje mokaisi? X XI XII

2. Kiek šią savaitę gavai pažymių? Nė vieno Vieną Du Tris Keturis Penkis ir daugiau

3. Surinktą informaciją pateikite apdorotą statistiniais metodais. Surinkti duomenys paprastai apdorojami grafiniais ir skaitiniais meto-

dais. Paprasčiausias duomenų tvarkymo būdas — jų surašymas dažnių lentelėje:

• pirmoje eilutėje (stulpelyje) — galimų požymio reikšmių·, • antroje eilutėje (stulpelyje) — atitinkamų požymio reikšmių dažnių.

Pavyzdys Apklausus 37 dešimtokus, paaiškėjo, kad nė vieno pažymio negavo 7

mokiniai, 1 pažymį gavo 14 mokinių, 2 pažymius — 10 mokinių, 3 pažy-mius — 5 mokiniai, 4 pažymius — 1 mokinys, o 5 ir daugiau pažymių negavo nė vienas mokinys. Surašykime šiuos duomenis dažnių lentelėje.

Pažymių skaičius Dažnis

0 7

1 14

2 10

3 5

4 1

>5 0

Skaičius 7 rodo, - kad 7 apklausti

mokiniai negavo nė vieno pažymio.

Suma = 37

Pasitikrinkite: sudėję dažnius, turite gauti visų apklaustų

mokinių skaičių.

Jeigu duomenis nuspręsite grupuoti intervalais, pirmoje eilutėje (stul-pelyje) surašykite visus pasirinktus intervalus, o antroje eilutėje (stulpe-lyje) — i kiekvieną iš jų patenkančių duomenų skaičių.

Galima apskaičiuoti ne tik kiek kartų pasikartojo kiekviena reikšmė, bet ir kurią visų surinktų duomenų dalį ji sudarė, t. y. rasti požymio reikšmės santykinį dažnį. Jeigu dažnių lentelėje vietoj dažnių įrašysite santykinius dažnius, turėsite santykinių dažnių lentelę1:

Pažymių skaičius O 1 2 3 4 >5

Santykinis dažnis 7

37 14 37

10 37

5 37

1 37

0 Suma = 1

Vietoj santykinių dažnių lentelėje galima rašyti ir procentus. Informacija bus aiškesnė ir vaizdesnė, jeigu surinktus duomenis pateik-

site diagrama. Pirmas klausimas, į kurį turite atsakyti, — kokį duomenų vaizdavimo būdą pasirinkti.

Jeigu požymio reikšmes norėsite lyginti pagal jų dažnį, braižykite stul-pelinę diagramą. Tiesėje vienodais atstumais atidėkite galimas požymio reikšmes, o šiai tiesei statmenoje dažnių (skaičių) ašyje — dažnius (santy-kinius dažnius, procentus):

O Oh

Dažnis

ni Q

Požymio reikšmės

Jeigu duomenis suskirstėte intervalais, duomenų stulpėline diagrama.

vaizduokite juos sugrupuotų

й Q

aI aI a3 aA aS

1 Santykinių dažnių lentelė trumpai dar vadinama imties skirstiniu.

Galbūt jūsų surinkti duomenys atspindi tam tikrą požymio kaitą laikui bėgant, pavyzdžiui, namų darbams kasdien skiriamo laiko kitimą per sa-vaitę. Tokiu atveju juos geriausia pateikti linijine diagrama.

Pateikdami surinktą informaciją, pasinaudokite

informacinėmis kompiuterinėmis technologijomis.

Norėdami pavaizduoti visų reikšmių dažnių (išreikštų procentais) skirs-tinį, rinkitės skritulinę arba stačiakampę diagramą:

Duomenis pateikdami diagrama, neužmirškite užrašyti jos pavadinimo.

Projektas „Imčių vaizdavimo budai" Nagrinėti statistinius grafikus reikia gana atidžiai, nes jie tą patį skir-

tumą gali vaizduoti kaip didelį arba mažą, t. y. išryškinti arba paslėpti tam tikrą informaciją. Paieškokite knygose, žurnaluose ar kituose informacijos šaltiniuose tokių pavyzdžių ir juos pakomentuokite.

Patyrinėkite kitus duomenų vaizdavimo būdus arba išsiaiškinkite, kaip duomenys vaizduojami kompiuteriu.

Surinktus duomenis galima apibūdinti ir skaitinėmis charakteristi-komis, t. y. kurią nors imties savybę nusakančiais skaičiais. Vienos iš jų, kaip antai: moda, vidurkis, mediana — naudojamos duomenų tam tikram centrui nusakyti, kitos — plotis, standartinis nuokrypis — duomenų išsi-barstymui apibūdinti.

Prieš pasirinkdami skaitines charakteristikas duomenų centrui api-būdinti, pamąstykite, ar keli netipiški duomenys jų neiškreipia. Prisimin-kite, kad kiekybinius duomenis galima nusakyti bet kuria skaitine charak-teristika, o kokybinius — tik moda.

Moda — dažniausiai pasitaikiusi duomenų reikšmė. Jei vienodai dažnai pasitaiko visos duomenų reikšmės, sa-kome, kad modos nėra, jei kelios, tai vi-sos jos yra modos.

Vidurkis — skaičius, vidutiniškai ar-timiausias visiems duomenims. Jis žy-mimas χ ir apskaičiuojamas pagal for-mulę:

vidurkis- duomenų reikšmių suma duomenų skaičius

Mediana — vidurinė duomenų, sura-šytų didėjimo tvarka, reikšmė. Kai duo-menų skaičius yra nelyginis, mediana lygi vidurinio duomens reikšmei, kai ly-ginis — dviejų vidurinių duomenų reikš-mių sumos pusei.

Pldtis — skaičius, nurodantis, kokio ilgio intervale išsibarstę duomenys. Jis lygus didžiausios ir mažiausios duome-nų reikšmės skirtumui.

Pavyzdys Duotos tokios duomenų reikš-mės1: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9.

Si imtis turi dvi modas: 5 ir 7.

Apskaičiuokime imties vidurkį:

- = 4 + 5-2 + 6 + 7-2 + 8 + 9 = g 3 7 5 8

Raskime imties medianą: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9. Keturi duomenys Keturi duomenys

I 6 + 7 Mediana =

Plotis = 9 - 4 = 5.

6,5.

Standartinis nuokrypis — skaičius, rodantis duomenų sklaidą apie vi-durkį (žymimas raide s).

Kuo mažesnis yra skaičius s, tuo mažiau duomenys skiriasi nuo imties vidurkio. Jeigu grafiškai pavaizduotu-me, kaip pasiskirsto daugelio atsitikti-nai surinktų duomenų reikšmių daž-niai, tai gautas vaizdas neretai primintų varpo pavidalo kreivę. Papras-tai maždaug du trečdaliai duomenų pa-tenka į vieno standartinio nuokrypio ribas (į abi puses nuo vidurkio), apie 95 % — į dviejų, o beveik visi duome-nys — į trijų standartinių nuokrypių ri-bas.

Vidurkis

1 Duomenų reikšmes įprasta surašyti jų didėjimo tvarka.

Standartinis nuokrypis apskaičiuojamas taip: 1) randamas kiekvieno duomens nuokrypis nuo vidurkio (iš kiekvienos

duomens reikšmės atimamas reikšmių vidurkis); 2) šie nuokrypiai pakeliami kvadratu; 3) apskaičiuojamas jų vidurkis; 4) iš šio vidurkio ištraukiama kvadratinė šaknis.

Duomens reikšmė Nuokrypis nuo vidurkio Nuokrypio kvadratas

4 -2 ,375 5,640625

5 -1 ,375 1,890625

5 -1 ,375 1,890625

6 -0 ,375 0,140625

7 0,625 0,390625

7 0,625 0,390625

8 1,625 2,640625

9 2,625 6,890625

Reikšmių vidurkis = = 51 : 8 = 6,375

Nuokrypių kvadratų suma = 19,875 Nuokrypio kvadrato vidurkis = 19,875 : 8 = = 2,484375

Standartinis nuokrypis = ^/nuokrypio kvadrato vidurkis = 484375 =1,6

4. Padarykite išvadas. Trumpai apibūdinkite, ką jums pavyko sužinoti ieškant atsakymo į ty-

rimo pradžioje suformuluotą klausimą. Parašykite keletą sakinių, kurie atskleistų jūsų atlikto darbo vertingumą. Pasistenkite ne tik atsakyti į pa-grindinį tyrimo klausimą, bet ir aptarti, ar jūsų žingsniai, padaryti sie-kiant trokštamo rezultato, buvo tinkami ir efektyvūs. Kiekvienas grupės narys gali pateikti savo apmąstymus apie tai, ką sužinojo ir išmoko, įver-tinti grupės narių bendradarbiavimo naudą.

5. Pristatykite atliktą darbą. Pristatymui darbą geriausia rengti specialiomis kompiuterių progra-

momis. Informacines technologijas galite naudoti ir pristatydami tik kai kurias savo pranešimo dalis. Pagalvokite, kokia tvarka ir kokia forma pa-teiksite atliktą darbą ar jo fragmentus. Atsižvelkite į auditoriją, kuriai rengiatės pasakoti apie savo tyrimą.

STOCHASTINIS BANDYMAS

Kiekvieną dieną matome vykstant įvairius reiškinius. Vieni iš jų vyks-ta pagal griežtus dėsnius. Pavyzdžiui, šaldydami šaldiklyje vandenį, gali-me būti tikri, kad, temperatūrai nukritus žemiau nulio, jis būtinai užšals. Tačiau ar galime būti tikri, kad, nusipirkę loterijos bilietą, išlošime?

Matematikos sritis — tikimybių teorija — nagrinėja būtent tokius bandymus, kurie turi daugiau negu vieną rezultatą — baigtį. Nors kiek-vieną tokį bandymą būtų galima pakartoti kiek norima kartų, tačiau neįmanoma tiksliai nustatyti, kuo jis kaskart baigsis. Šie bandymai dar vadinami stochastiniais (gr. stochasis — nuspėjimas).

Prisiminkime: Kiekvieną bandymą sudaro tai, kas at-liekama, ir tai, kas stebima.

Galimi stebėjimo rezultatai vadinami bandymo baigtimis, o visos bandymo baigtys sudaro to bandymo baigčių aibę2. Baigties tikėtinumo matas — tikimy-bė3, t. y. tam tikras skaičius, nusakan-tis tos baigties pasirodymo galimy-bę, jeigu bandymas būtų kartojamas daug kartų. Jeigu yra n vienodai galimų bandymo baigčių, tai kiekvienos iš jų pasirody-mo tikimybė lygi Visų bandymo baigčių tikimybių suma lygi 1-

Pavyzdys Pavaizduotas žaidimo ratas pasukamas vieną kartą ir lau-kiama, kol jis sustos. Tada žiūrima, kuris sektorius atsi-duria ties rodykle1

Baigtys: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Baigčių aibė: (1, 2, 3, 4, 5, 6).

P(3) = I 6 Suma

P(4) = — LYGI 1· 6

Ρ(β) = |

1 Ratui sustojus, rodyklė gali atsidurti virš vieno iš šešių sektorių arba virš dviejų sektorių ribos. Susitarkime, kad, rodyklei sustojus ties riba, ratas dar truputį pasukamas laikrodžio rodyklės judėjimo kryptimi, kol rato rodyklė atsiduria gretimame sektoriuje. Šios taisyklės laikysimės ir toliau.

2 Baigtis galima žymėti raidėmis, skaičiais ir kitais simboliais ar jų deriniais. Baigčių aibei užrašyti naudojami riestiniai skliaustai.

3 Baigties tikimybę sutarta žymėti raide P, skliaustuose trumpai nurodant baigtį (įvykį), apie kurios tikimybę kalbama. Jeigu visos bandymo baigtys yra vienodai galimos, dar sakoma, kad bandymas yra klasikinis.

Ne kiekvieno bandymo baigtys yra vienodai galimos. Tarkime, kad žaidimo ratas padalytas į šešis nevienodo dydžio sektorius. 4 sektorius turi daugiau galimybių su-stoti tie rodykle negu kiti sektoriai, nes jis yra didžiau-sias1.

Sakoma, kad įvyksta su bandymu susijęs įvykis, jeigu pasirodo bet kuri jam palanki baigtis. Įvykio, kurio baig-tys yra vienodai galimos, tikimybė apskaičiuojama pagal formulę

P(įvykio) = įvykiui palankių baigčių skaičius visų vienodai galimų baigčių skaičius

Bet kokio bandymo baigties ar su bandymu susijusio įvykio tikimybė visada išreiškiama skaičiumi tarp O ir 1:

\ Įvykis

niekada neįvyks

1 4

0,25 \

Mažai tikėtinas

įvykis

1 2

0,5 \

Įvykis turi tiek pat galimybių

įvykti ir neįvykti

_3 4

0,75

\ Labai

tikėtinas įvykis

\ Įvykis

būtinai įvyks

Vis dėlto, net ir žinodami baigties ar įvykio tikimybę, negalime progno-zuoti konkretaus rezultato. Nenustebkite, jeigu, atlikdami eksperimentą, gausite bet kokias rezultatų sekas, nes kaskart stebimas rezultatas yra atsitiktinis. Jis, kaip ir kitos baigtys, gali pasirodyti arba nepasirodyti.

oso, Projektas „Romėnų fontanas"

Iš viršutinio dubens vanduo krinta į du po juo stovinčius dubenis; kai jie prisipildo — į du žemiau esančius dubenis ir t. t. Į viršutinį fon-tano dubenį vėjas atpūtė lapelį. Schemoje nu- ± r_, x

rodytos tikimybės lapeliui patekti į kiekvieną ^ 2 ^ 2 ^ žemiau esantį dubenį. Kaip jos apskaičiuotos? " ~ ' "

Pagalvokite, kokie jums žinomi žaidimai re-miasi romėnų fontano sudarymo principu.

Ш

T T

Г ' Т ' 1 v- /"fe. ] 2 /"lb'- 1 ssr ·.· — T 7 1 T i T

1Kaip butų galima apskaičiuoti tokių bandymų baigčių tikimybes, aptarsime 1.2 skyrelyje.

o/vicfiutii Wiatenvati-Zc,o-i i&to-vij-o-i

Kaip plėtojosi tikimybių teorija Užuominų apie tikimybės sąvoką galima aptikti jau 533 m. Bizantijos imperato-

riaus Justiniano I digėstuose (susistemintuose Romos teisininkų kūrinių rinkiniuose; lot. digero — suskirstau, sudėstau). Pavyzdžiui, kalbant apie mitybos įstatymą, apčiuo-piama žmogaus gyvybės tikimybės sąvoka.

Viduramžiais italai steigė draudimo draugijas, kurios draudė nuo avarijų, katast-rofų jūroje, kitų nelaimingų atsitikimų. Tam pasitelkiant matematinius skaičiavimus, mėginta kurti draudimo teoriją.

Tolesnį tikimybių teorijos plėtojimą sąlygojo azartiniai lošimai, kurių pasekmės yra atsitiktinės. Gvildenant šiuos klausimus, pasižymėjo italai. Štai net žymusis Alig-jeris Dantė (Alighieri Dante) garsiojoje savo poemoje „Dieviškoji komedija" svarsto apie įvykių, kurie pasitaikys metant tris lošimo kauliukus, skaičių. Matematiškai analizuodami azartinių lošimų problemas, nemažai nuveikė Luka Pačolis (Luca Pacioli, 1445—1514), Nikolas Tartalija (Niccolo Tartaglia, 1500—1557), Jeronimas Kardanas (Geronimo Cardano, 1501—1576).

XVII a. Galilėjas Galilėjus (Galileo Galilei, 1564—1642) išsprendė lošimo uždavinį apie tris kauliukus ir jų akučių sumų dažnumą. Sutvirtindami tikimybių teoriją, kaip atskirą matematikos šaką, daug nusipelnė prancūzai Pjeras Ferma (Pierre de Fermat, 1601—1665), Blezas Paskalis (Blaise Pascal, 1623—1662) ir olandas Kristianas Hei-gensas (Christian Huygens, 1629—1695). Gilindamiesi į azartinių lošimų atskirus atvejus, jie kūrė tikimybių teorijos sąvokas. Be to, Blezas Paskalis paminėtinas kaip pirmasis kombinatorikos kūrėjas.

Naujas tikimybių teorijos raidos etapas susijęs su šveicaru Jakobu Bernuliu (Jacob Bernoulli, 1654—1705). Po jo mirties išleistame veikale (1713 m.) randame apibrėžtą tikimybę: „Tikimybė yra tikrenybės laipsnis ir skiriasi nuo tikrenybės kaip dalis nuo sveikojo vieneto", taip pat paskelbtą vieną svarbiausių tikimybių teorijos dėsnių — didžiųjų skaičių dėsnį.

XVIII ir XIX a. tikimybių teorija buvo sparčiai plėtojama toliau. Ji apėmė vis įvairesnes taikymo sritis: matavimo paklaidų vertinimą, balistiką, statistiką, biologiją, antropologiją, socialinius mokslus. Kartu buvo tobulinama ir pati teorija — kuriami nauji dėsniai, daromos išvados, rašomi apibendrinimai. Siame etape ypač pasižymėjo anglai Abrahamas Muavras (Abraham de Moivre, 1667—1754) ir Tomas Bejesas (Tho-mas Bayes, 1702—1761), prancūzai Pjeras Simonas Laplasas (Pierre Simon Laplace, 1749—1827) ir Deni Puasonas (Denis Poisson, 1781—1840), taip pat vokietis, mate-matikos klasikas Karlas Frydrichas Gausas (Carl Friedrich Gauss, 1777—1855).

Tobulindami tikimybių teorijos metodus, XIX a. pabaigoje—XX a. pradžioje nema-žai nuveikė rusų matematikai Pafnutijus Čebyšovas (1821—1894), Andrejus Markovas (1856—1922) ir Aleksandras Liapunovas (1857—1918).

Tikimybių teorija, kaip tikslusis mokslas, galutinai susiformavo sudarius aksiomų sistemas. Vieną jų XX a. antrajame dešimtmetyje kūrė Sergejus Bernšteinas (1880— 1968), o kitą ketvirtajame dešimtmetyje — Andrejus Kolmogorovas (1903—1987). Pa-staroji sistema prigijo tikimybių teorijoje, nes labiausiai atitiko dabartinės matema-tikos reikalavimus.

Lietuvoje pažintis su tikimybių teorija pradėta XVIII a. Senajame Vilniaus univer-sitete šio dalyko pradmenis dėstė Pranciškus Norvaiša (1742—1819). 1829 m. tikimy-bių teorija tapo savarankiška disciplina ir buvo pradėta kurti šio mokslo katedra. Visus darbus sumaniai vykdė Zigmantas Revkovskis (1807—1893).

Po I pasaulinio karo Kauno universitete tikimybių teoriją dėstė Viktoras Biržiška (1886—1964). XX a. antrojoje pusėje šią teoriją sėkmingai pradėję plėtoti Jonas Kubi-lius (g. 1921) ir Vytautas Statulevičius (1929—2003) sulaukė tarptautinio pripažinimo.

1.1. VIENO IR KELIŲ ETAPŲ BANDYMAI. BAIGČIŲ SKAIČIAUS NUSTATYMAS

1 pavyzdys Žaidimo ratas padalytas į tris sektorius, o šie pažy-

mėti raidėmis A, B ir C. Ratas pasukamas vieną kartą ir stebima, kuris sektorius sustoja ties rodykle.

Tai paprasčiausio — vieno etapo — bandymo pavyzdys. Akivaizdu, kad šis bandymas turi tris baigtis (stebėjimo rezultatus): A, B, C.

Sudėtingesni — kelių etapų — bandymai paprastai atliekami su keletu daiktų arba tas pats daiktas naudojamas keletą kartų. Tokių bandymų baigtis patogu koduoti (žymėti) kelių elementų — skaičių, raidžių ir kt. — rinkiniais.

2 pavyzdys Žaidimo ratas padalytas į tris sektorius, o šie pažymė-

ti skaičiais 1, 2, 3. Ratas pasukamas du kartus ir kaskart užrašomas ties rodykle sustojusio sektoriaus numeris.

Ratą pasukus pirmą kartą, ties rodykle gali sustoti bet kuris iš sek-torių 1, 2 arba 3 (pirmasis etapas), pasukus antrą kartą — taip pat bet kuris iš sektorių 1, 2 arba 3 (antrasis etapas). Šio bandymo baigtis žy-mėsime skaičių, pasirodžiusių po abiejų etapų, rinkiniu. Užrašyti visus baigtis atitinkančius rinkinius bus lengviau, jeigu pasitelksime galimybių medį:

Pirmasis etapas

Antrasis etapas

Bandymobaigtys Il 12 13 21 22 23 31 32 33

Matome, kad mūsų bandymas turi 9 baigtis: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Aišku, kad galimybių medį patogu braižyti tada, kai baigčių skaičius nėra didelis.

Dviejų etapų bandymo baigtis galima surašyti į galimybių lentelę: Antrasis etapas

1 2 3

1 -У

•11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

Ar įmanoma nustatyti bandymo baigčių skaičių, nesudarant viso baig-čių sąrašo? Tam tikrais atvejais taip, pritaikius daugybos taisyklę:

Daugybos taisyklė tinka ir tuo atveju, kai bandymą sudaro daugiau negu du etapai. Be to, ji ypač patogi, kai baigčių aibė yra per didelė, kad ją visą užrašytume. Pavyzdžiui, jeigu žaidimo ratą, padalytą į 12 sektorių, pasuktume 5 kartus ir užrašytume, koks skaičius kiekvieną kartą sustojo ties rodykle, gautume net 248 832 baigtis!

Uždaviniai

Pratimai

2.

1. Užrašykite bandymo baigčių aibę: a) metama 2 ct moneta ir stebima, kuria puse ji nukrito; b) metamas standartinis šešiasienis lošimo kauliukas ir užrašomas iškritusių akučių skaičius;

c) įsukama loterijos rato, pavaizduoto dešinėje, rodyk-lė ir stebima, ties kuriuo simboliu pažymėtu sekto-riumi ji sustojo; d) per pamoką prie lentos atsitiktinai pakviečiamas bet kuris jūsų klasės mokinys. Bandymo kiekvieno etapo rezultatai pavaizduoti galimybių medžiu:

Pirmasis etapas Antrasis etapas β O, b) Pirmasis etapas

Antrasis etapas

1 2 3 4 1 2 3 4 : si,

Užrašykite šio bandymo baigčių aibę. 3. Bandymo kiekvieno etapo rezultatai pavaizduoti galimybių lentele:

a ) Antrasis etapas Antrasis etapas

« S c

S I

H

s -I

•SS

H

5 6 7 8 9 A A5

B C

Užrašykite šio bandymo baigčių aibę. Pirmą kartą ridenamas šešiasienis lošimo kauliukas, antrą kartą ketursienis. Abiejų kauliukų išklotinės pavaizduotos brėžinyje.

2

1 3 5 6

4

Stebima, kokie skaičiai yra ant kiekvieno kauliuko sienos, kuria jis atsivertė, ir užrašomas jų rinkinys. Pavaizduokite situaciją galimybių medžiu ir galimybių lentele.

5. Sugalvokite ir užrašykite dviejų etapų bandymą. Kiekvieno etapo re-zultatus ir baigtis iliustruokite galimybių medžiu arba galimybių len-tele.

6. Užrašykite bandymo baigčių aibę: a) moneta metama du kartus ir stebima, kuria puse ji kaskart nukrito; b) kortelės, ant kurių po vieną užrašytos raidės A, B, C ir D, užver-čiamos ir sumaišomos; tada viena kortelė atverčiama ir dedama ant stalo; paskui atverčiama kita kortelė; ji dedama šalia atverstosios iš dešinės.

7. Apskaičiuokite, kiek baigčių turi šie bandymai: a) standartinis šešiasienis lošimo kauliukas metamas du kartus ir užrašoma, kiek kaskart iškrinta akučių; b) vienoje dėžėje yra trys skirtingų spalvų rutuliai, kitoje — penkios skirtingų spalvų virvelės; iš abiejų dėžių nežiūrint imama po vieną rutulį ir vieną virvelę ir stebima jų spalva.

8. Sigita gali apsivilkti vienu iš trijų skirtingų drabužių, apsiauti basutes arba batelius ir pasipuošti vienu iš ke-turių skirtingų papuošalų:

Drabužiai Papuošalai Avalynė

Kostiumėlis Grandinėlė Basutės Palaidinė ir sijonas Karoliai Bateliai Suknelė Segė

Skarelė Nustatykite: a) kiek gali būti skirtingų drabužių ir papuošalo pasirinkimo būdų; b) keliais skirtingais būdais Sigita gali pasirinkti drabužius ir papuo-šalą, jeigu ji mano, kad skarelė ir karoliai netinka prie kostiumėlio; c) kiek gali būti skirtingų drabužių, avalynės ir papuošalo pasirinki-mo būdų.

9. Kiek skirtingų automobilio numerių galima sudaryti iš trijų raidžių (vartojamos 26 raidės) ir po jų einančių trijų skaitmenų (nuo O iki 9)?

10. Keliais būdais 7 sunumeruotus enciklopedijos tomus galima sustatyti lentynoje?

11. 20 narių klubas turi išsirinkti pirmininką, jo pavaduotoją ir sekretorių. Keliais būdais tai galima padaryti?

12. Kiek skirtingų trispalvių vėliavų su vertikaliomis vienodo pločio juos-tomis galima pasiūti iš penkių skirtingų spalvų audinių?

13*. Kavinė „Vaivos virtuvė" siūlo picų su keturių rūšių priedais: dešrelė-mis, vištiena, grybais ir žuvimi. Kiek skirtingų picų galima pagaminti, jeigu pica gali būti be priedų arba su vienu arba dviem priedais?

Matematika gyvenime

14. Kortelėse po vieną surašyti visi dviženkliai skaičiai. Tai-kydami daugybos taisyklę, apskaičiuokite: a) kiek kortelių yra iš viso;

Sprendimas Kortelių yra tiek pat, kiek ir dviženklių skaičių. Kiekvienas šių skaičių turi du skyrius: dešimčių ir vienetų. Dešimčių skyriuje galime parašyti bet kurį skaitmenį nuo 1 iki 9. Taigi yra 9 galimybės užrašyti dešimčių skaitmenį. Vienetų skaitmenį galime pasirinkti iš 10 skaitmenų, t. y. 10 būdų. Pagal daugybos taisyklę yra 9 · 10 = 90 būdų dviženkliam skaičiui užrašyti. Ats.: 90 kortelių.

b) kiek yra kortelių, kuriose parašyto skaičiaus skaitmenys vienodi; c) kiek yra kortelių, kuriose parašyto skaičiaus skaitmenys skirtingi; d) kiek yra kortelių, kuriose parašyti lyginiai skaičiai; e) kiek yra kortelių, kuriose parašyti skaičiaus 5 kartotiniai.

15. Iš skaitmenų 2, 4, 6 ir 8 sudaromi triženkliai skaičiai. Taikydami daugybos taisyklę, apskaičiuokite: a) kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš šių skaitmenų; b) kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš šių skaitmenų, jų nekar-tojant.

16. Genties „ambo-lubo" kalba turi tik 10 raidžių, o ilgiausią jos žodį sudaro keturios raidės. Kiekvieno šios kalbos žodžio visos raidės yra skirtingos. Keliautojas Ivas kas-dien pajėgia išmokti 50 žodžių. Ar gali jis išmokti šią kalbą per 90 dienų?

17. Yra 4 tiltai. Iš vietovės A reikia nu-keliauti į vietovę B ir sugrįžti atgal. Keliais būdais galima tai padaryti, jeigu iš A į β leidžiama eiti per bet kokį skaičių tiltų po vieną kartą, o grįžti iš β į A reikia kitais tiltais, negu eita pirmyn?

18. Visos miestelio gatvės yra tiesios ir po dvi kertasi. Nustatykite: a) kiek sankryžų turi miestelis, jei-gu gatvių yra 4 (žr. brėžinį); b) kiek sankryžų turi miestelis, jei-gu gatvių yra 8; c)* kiek gatvių yra miestelyje, jeigu sankryžų yra 15; d)* ar miestelyje gali būti 20 san-kryžų.

Matematika matematikoje

Problemos

1.2. SU VIENO ETAPO BANDYMU SUSIJĘ ĮVYKIAI IR JŲ TIKIMYBĖS

Inde yra 7 vienodo dydžio nuo 1 iki 7 sunumeruoti rutuliai. Iš indo atsitiktinai ištraukiamas vienas rutulys ir užrašomas jo numeris.

Bandymo baigtys: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Baigčių aibė: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Inde yra trijų spalvų rutuliai: mėlyni, raudoni ir geltoni. įvykiui palankių baigčių skaičius

Taikydami formulę P(įvykio) = visų vienodai galimų baigčių skaičius apskaičiuokime tikimybes ištraukti iš indo kiekvienos spalvos rutulį:

P(Q)= f , P(Q)= f , P( ) = f

Su šiuo bandymu susijusių įvykių tikimybes galima apskaičiuoti ir kitu būdu — sudedant jiems palankių baigčių tikimybes:

P(I) =

P(2) = > P(Q) = P(I) + P(2),

' P(Q) = P(3) + P(4) + P(5),

P( ) = P(6) + P(7).

Du įvykiai vadinami nesutaikomaisiais, jeigu, atliekant bandymą, jie negali įvykti kartu, kitaip tariant, jeigu nėra nė vienos baigties, kuri būtų palanki abiem įvykiams.

Nagrinėjamame pavyzdyje įvykiai „ištrauktas mėlynas rutulys" ir „iš-trauktas raudonas rutulys" yra nesutaikomi.

Įvykis, kuriam palankių baigčių nėra, vadinamas negalimuoju. Ne-galimojo įvykio tikimybė lygi nuliui, nes nė viena baigtis jam nėra pa-lanki.

Įvykis, kuriam palankios visos baigtys, vadinamas būtinuoju. Bū-tinojo įvykio tikimybė lygi 1.

Įvykis „ištrauktas rutulys, kurio nu-meris 8" yra negalimasis. P(8) = 0.

Įvykis „ištrauktas rutulys, kurio nu-meris mažesnis negu 8" yra būtina-sis. P(mažesnis negu 8) = 1.

Įsivaizduokime, kad inde yra tie patys, tačiau nesunumeruoti rutuliai. Vėl iš indo ištraukiamas vienas rutulys ir užrašoma jo spalva (iš esmės tai jau kitas bandymas, tačiau jis glaudžiai susijęs su ką tik išnagrinėtu skyrelyje).

/C Bandymo baigtys: mėlynas, raudonas, geltonas. Baigčių aibė: ф , K

Atkreipkite dėmesį į tai, kad ne kiekvieno bandymo baigtys (stebė-jimo rezultatai) yra vienodai gali-mos!

Įsivaizdavę šį bandymą kaip bandymą su vienodai galimomis baigtimis (mintyse sunumeravę ru-tulius), nesunkiai apskaičiuosime ir šio bandymo baigčių tikimybes.

Bandymo baigčių tikimybes pa-togu surašyti galimybių medyje net ir tada, kai jos nėra vienodai gali-mos.

Su šiuo bandymu susijusio įvy-kio tikimybę galima apskaičiuoti sudedant jam palankių baigčių tiki-mybes.

Stebimas skaičius Stebima spalva

7 baigtys (vienodai galimos)

3 baigtys (nevienodai galimos)

Sudėkite gautas

tikimybes.

Suma lygi 1.

P(Q arba Э ) = - + - = - . 7 7 7

Uždaviniai.

Pratimai L. Atsitiktinai pasirenkama viena savaitės diena. Apskai-

čiuokite šių įvykių tikimybes: a) P(pirmadienis); b) P(darbo diena); c) P(bet kuri savaitės diena).

2. Inde yra 6 rutuliai: 3 raudoni, 2 žali ir 1 geltonas. Iš indo nežiūrint išimamas vienas rutulys ir stebi-ma jo spalva. Apskaičiuokite: a) P(raudonas); b) P(žalias); c) P(geltonas arba žalias); d) P(juodas); e) P(ne juodas); f) kuris iš anksčiau išvardytų įvykių yra būtinasis, o kuris — negalimasis.

3. Trinkelės nudažytos trimis spalvomis ir sunumeruo-tos nuo 1 iki 8, kaip parodyta brėžinyje. Nežiūrint imama viena trinkelė ir užrašoma jos spalva, a) Kokie skaičiai turėtų būti vietoj klaustukų? Kaip pasitikrinsite, ar neapsirikote?

b) Apskaičiuokite P(numeris mažesnis nei 5). c) Patikrinkite, ar teisinga lygybė P(ne raudona) = 1 - P(raudona). Šešiasienis lošimo kauliukas, kurio išklotinė pa-vaizduota brėžinyje, metamas du kartus ir užra-šomas abu kartus iškritusių skaičių rinkinys.

Antrasis metimas

й B t. S

1 1 1 1 3 3

1 / / 1

1 / / / J 1

3 33 3

1

• i · 3

1

a) Pabaikite pildyti lentelę ir pagrįskite, kodėl P(Il)= - . 9 b) Apskaičiuokite P(13), P(31), P(33).

Matematika gyvenime

i. Žaidėjai dalyvauja loterijoje: vieną kartą meta lošimo kau-liuką ir žiūri, kiek iškrinta akučių. Jeigu iškrinta trys aku-tės, žaidėjas išlošia prizą. Kokia tikimybė, kad žaidėjas: a) išloš prizą; b) neišloš prizo?

6. Saulio pataikymo į taikinį tikimybė lygi 0,8. Kokia tikimybė, kad, šovęs vieną kartą, šaulys nepataikys į taikinį?

7. Metami du standartiniai lošimo kauliukai ir užrašoma iškritusių akučių suma. a) Užpildykite lentelę. b) Apskaičiuokite tikimybę, kad iškritusių akučių suma bus lygi 2. c) Apskaičiuokite tikimybę, kad iškritusių akučių suma bus lygi 3 arba 5. d) Apskaičiuokite tikimybę, kad iškritusių akučių suma bus ne didesnė kaip 15.

Q О (Z) О О (О Θ 2 3

Θ (Z) в

© © (О 10

Matematika matematikoje

8. Ant kiekvienos iš aštuonių kortelių užrašyta po skaičių:

F i z j Q O Q Q Q ; 20 j C B C D D B Ū M j

Kortelės užverčiamos ir sumaišomos. Atsitiktinai atverčiama viena kor-telė ir užrašomas jos skaičius. Užpildykite lentelę:

Įvykis Įvykiui palan-kios baigtys

Įvykiui palankių baigčių skaičius

P(įvykio)

Dviženklis skaičius 12, 17, 20, 51 4 Il Lyginis skaičius Pirminis skaičius Skaičiaus 5 kartotinis Skaičiaus 1000 daliklis

9. Domas pamiršo draugo naujojo telefono numerio paskuti-nius du skaitmenis. Tarkime, kad telefono ragelį draugas pakėlė tuoj pat, kai tik Domas surinko jo telefono numerį·

a) Pagrįskite, kad Domui galėjo tekti surinkti net 100 telefono nume-rių, kol prisiskambino draugui. b) Apskaičiuokite tikimybę, kad, atsitiktinai surinkęs paskutinius du skaitmenis, Domas iš karto atspės telefono numerį. c)* Surašęs 100 galimų telefono numerio variantų, Domas pradėjo juos paeiliui rinkti, nesėkmingą vis išbraukdamas. Po 20 nepavykusių ban-dymų prisiskambinti draugui Domas staiga prisiminė, kad pamirštų skaitmenų suma yra vienaženklis skaičius, o sandauga lygi 8. Kokia tikimybė, kad dabar, teisingai pasinaudojęs šia informacija, Domas iš karto surinks reikiamą telefono numerį?

Problemos

1.3. PRIKLAUSOMI IR NEPRIKLAUSOMI ATSKIRŲ BANDYMO ETAPŲ [VYKIAI

1 bandymas Dėžėje yra 3 vienodo dydžio kubeliai: 2 žali ir 1 geltonas. Iš pradžių

iš dėžės atsitiktinai ištraukiamas vienas kubelis, pažymima jo spalva ir jis grąžinamas1 į dėžę. Tada ištraukiamas kitas kubelis ir pažymima jo spalva.

Antro kubelio traukimo tikimybė nepriklauso nuo pirmo kubelio trau-kimo rezultato.

Pirmasis etapas

Kadangi dėžėje yra 3 kube-liai, iš kurių du žali, tai tiki-mybė, kad pirmas ištrauktas

o

kubelis bus žalias, lygi —, t. y.

P(pirmas Pirmasis etapas

Kokius skaičius reikėtų

įrašyti vietoj daugtaškių?

Antrasis etapas

Pirmajame etape ištrauktas kubelis grąžinamas į dėžę, taigi prieš antrąjį traukimą turime situaciją, analogišką pradinei. Todėl tikimybė, kad antras iš-trauktas kubelis bus žalias, taip pat ly-gi |, t. y. P(antras g j ) = |.

Antrasis etapas

Sakoma, kad du įvykiai yra nepriklausomi, jeigu vieno iš jų įvy-kimas ar neįvykimas neturi įtakos kito įvykio tikimybei.

1 Toks kubelio traukimas iš dėžės vadinamas grąžintiniu ėmimu.

2 bandymas Dėžėje yra 3 vienodo dydžio kubeliai: 2 žali ir 1 geltonas. Iš pradžių

iš dėžės atsitiktinai ištraukiamas vienas kubelis, pažymima jo spalva ir jis negrąžinamas1 į dėžę. Tada traukiamas kitas kubelis ir pažymima jo sP a l v a - •

Kadangi dėžėje yra 3 kubeliai, iš kurių du žali, tai tikimybė, kad pirmas ištrauktas kubelis bus ža-

2 has, lygi —, t. y. P(pirmas O ) = —. Pirmasis etapas

Pirmajame etape ištrauktas kubelis ne-grąžinamas į dėžę, taigi prieš antrąjį trau-kimą joje yra du kubeliai: žalias ir geltonas. Tikimybė, kad antras ištrauktas kubelis bus

žalias, lygi t. y. P(antras " ^ ) =

Antrasis etapas

Kokius skaičius reikėtų

įrašyti vietoj j daugtaškių?/

Antro kubelio traukimo tikimybė priklauso nuo pirmo kubelio traukimo rezultato.

Sakoma, kad du įvykiai yra priklaūsomi, jeigu vieno iš jų įvykimas ar neįvykimas turi įtakos kito įvykio tikimybei.

1 Toks kubelio traukimas iš dėžės vadinamas negrąžintiniu ėmimu.

Uždaviniai.

Pratimai 1. Dviejose dėžėse yra raudoni ir juodi vienodo dydžio rutu-

liai. Iš pirmosios, paskui iš antrosios dėžės atsitiktinai iš-traukiama po vieną rutulį. Kokius skaičius reikia įrašyti vietoj klaustukų?

2. Dėžėje yra 4 juodi ir 4 raudoni rutuliai. Iš jos at-sitiktinai vienas po kito išimami 2 rutuliai (pirmas išimtas rutulys į dėžę negrąžinamas). Atsakykite į klausimus: a) kokie skaičiai turi būti vietoj klaustukų;

b) kaip pasikeistų uždavinio sprendimas, jeigu pirmas ištrauktas ru-tulys būtų grąžintas į dėžę? Sprendimą pavaizduokite schema.

3. Dėžėje yra 3 geltoni ir 6 mėlyni vienodo dydžio rutuliai. Nežiūrint iš dėžės išimamas vienas rutulys ir padedamas į šoną. Kokia tikimybė, kad antras išimtas rutulys bus geltonas, jeigu: a) pirmas buvo geltonas; b) pirmas buvo mėlynas?

4. Moneta metama 3 kartus ir stebima, kuria puse ji kaskart nukrinta. Apskaičiuokite: a) P(pirmą kartą iškrito S); b) P(antrą kartą iškrito S); c) P(trečią kartą iškrito S).

Šešiasienis lošimo kauliukas, kurio išklotinė pavaizduo-ta dešinėje, metamas 2 kartus ir stebima, kuriuo skai-čiumi jis kaskart nukrinta. Apskaičiuokite: a) P(pirmą kartą iškrito 1); b) P(antrą kartą iškrito 1); c) P(antrą kartą iškrito 4).

Matematika gyvenime

6. Iš 25 istorijos bilietų studentas išmoko 19. Laikydamas egzaminą, kiekvienas studentas traukia vis kitą bilietą. Kokia tikimybė, kad jis ištrauks išmoktą bilietą, jeigu: a) trauks pirmas; b) trauks antras, bet vienas iš jo išmoktų bilietų jau bus ištrauktas pirmojo studento?

Matematika matematikoje

7*. Keliais būdais galima nudažyti figūrą ir greta pavaiz-duotą jos išklotinę naudojant tik dviejų spalvų dažus: a)

Problemos 8. Brėžinyje pavaizduotas žaidimas.

β β β β Γ ' Τ ' Π Ί — к T "a o J 8 j s

i ™ ~

Γ ' Τ ' Π -4J 5 b \ 4 "a o J 8 j s M 10

Žaidėjai pradeda žaidimą langelyje, kuriame įrašytas skaičius 6. Jie paeiliui meta šešiasienį lošimo kauliuką ir žiūri, kiek iškrito akučių: lyginis ar nelyginis skaičius. Jeigu akučių skaičius lyginis, paeina vieną langelį į kairę, jeigu nelyginis — du langelius į dešinę. Kokia tikimybė, kad pirmasis žaidėjas, metęs kauliuką, pereis į langelį, pažymėtą skai-čiumi: a) 4; b) 5; c) 6; d) 7; e) 8?

Pirmasis etapas

1.4. SU KELIŲ ETAPŲ BANDYMU SUSIJĘ ĮVYKIAI IR JŲ TIKIMYBĖS

1 bandymas Dėžėje yra 3 vienodo dydžio kube-

liai: 2 žali ir geltonas. Pirmiausia iš dėžės atsitiktinai ištraukiamas vienas kubelis, pažymima jo spalva ir jis grąži-namas į dėžę. Tada ištraukiamas kitas kubelis ir stebima jo spalva.

Kokios yra šio bandymo baigtys ir jų tikimybės?

Galime bandyti (mintyse) sunume-ruoti kubelius ir sudaryti vienodai gali-mų baigčių lentelę. Iš jos matome, kad galimos keturios skirtingos kombinaci-jos, t. y. baigtys.

Apskaičiuojame baigčių tikimybes.

Antrasis etapas

Antrasis

4 9 ' p ( 0 f Į l ·

P(

2

9 '

Tas pačias baigčių tikimybes gautume sudauginę šio bandymo kiekvie-no etapo nepriklausomų įvykių atitinkamas tikimybes.

Pirmasis etapas Antrasis etapas Pirmo ir antro kubelio traukimas

P ( ^ F T )

= P ( R R )

P(

Su šiuo bandymu susijusio įvykio tikimybę galima apskaičiuoti sudedant jam palankių baigčių tikimybes.

arba ) =

1

f

Suma lygi 1·

2 bandymas Dėžėje yra 3 vienodo dydžio kube-

liai: 2 žali ir 1 geltonas. Pirmiausia iš dėžės atsitiktinai ištraukiamas vienas kubelis, pažymima jo spalva ir jis ne-grąžinamas į dėžę. Tada traukiamas kitas kubelis ir stebima jo spalva.

Kokios yra šio bandymo baig-tys ir jų tikimybės?

Atsižvelgę į tai, kad nė vieno pir-majame etape ištraukto kubelio nega-lima ištraukti antrajame etape, suda-rome galimų baigčių lentelę. Iš jos matome, kad galimos trys skirtingos kubelių kombinacijos, t. y. baigtys.

Apskaičiuojame baigčių tikimybes.

Pirmasis etapas

Antrasis etapas

Antrasis

0 & 0

I Γ ϊ , Ш m Ϊ

» m Ш ш

O m 0 0 X

P ( f l | 0 ) :

F<00>-P( T-O =

2 6'

2 6'

2 6'

Įsitikinkime, kad tas pačias tikimybes gautume sudauginę šio bandy-mo kiekvieno etapo atitinkamų įvykių tikimybes.

Pirmasis etapas Antrasis etapas Pirmo ir antro kubelio traukimas

= - = P( 2 6 v

= P ( 0 0 )

= P ( 0 0 ) 0 > |

Suma lygi I-

Su šiuo bandymu susijusio įvykio tikimybę galima apskaičiuoti sude-dant jam palankių baigčių tikimybes. Kokius skaičius

reikėtų įrašyti vietoj daugtaškių?

Uždaviniai.

1. Dviejose dėžėse yra mėlyni ir juodi vienodo dydžio rutuliai. Iš pirmosios, paskui iš antrosios dėžės atsitiktinai ištrau-

. kiama po vieną rutulį. a) Kokius skaičius reikia įrašyti vietoj klaustukų?

P ( Q Q ) = ?

P ( Q Q ) - ? P(QQ) = ?

P(QQ) = ? b) Apskaičiuokite P(abu ištraukti rutuliai yra tos pačios spalvos). c) Apskaičiuokite P(ištrauktas bent vienas mėlynas rutulys).

2. Dėžėje yra 4 juodi ir 8 žali rutuliai. Iš jos atsi-tiktinai vienas po kito ištraukiami 2 rutuliai (pirmas ištrauktas rutulys į dėžę negrąžinamas). a) Kokie skaičiai turi būti vietoj klaustukų?

P(juodas ir juodas) = ?

P(juodas ir žalias) = ? P(žalias ir juodas) = ?

P(žalias ir žalias) = ?

b) Apskaičiuokite P(tarp ištrauktų rutulių nėra nė vieno žalio). c) Apskaičiuokite P(ištraukti rutuliai yra skirtingų spalvų).

3. Dėžėje yra tiek pat raudonų ir žalių rutulių. Iš jos atsitiktinai vienas po kito išimami 2 rutuliai (pirmas išimtas rutulys grąžinamas į dėžę). Apskaičiuokite: a) tikimybę, kad pirmas išimtas rutulys bus žalias; b) P(pirmas ir antras žalias); c) P(pirmas ir antras ne žalias).

4. Dėžėje yra 2 užrašytos ir 2 neužrašytos vienodo dydžio kortelės. Atsitik-tinai ištraukiamos dvi kortelės: iš pradžių — viena, paskui, negrąži-nant jos į dėžę, — kita. Kokia tikimybė, kad abi ištrauktos kortelės yra neužrašytos?

5. Metama moneta ir standartinis šešiasienis lošimo kauliukas. Stebima, kuria puse kiekvienas iš jų nukrito. Apskaičiuokite: a) P(S4); b) P(S2); c) P(Hl); d) P(H7).

6. Moneta metama 3 kartus ir stebima, kuria puse ji kaskart nukrinta. Apskaičiuokite: a) P(visus tris kartus iškris S); b) P(pirmą kartą iškris S, o antrą ir trečią kartą — H).

7. Vaidas ir Marius meta kamuolį į krepšį po vieną kartą. Tikimybė, kad į krepšį pataikys Vaidas, lygi 0,8, kad Ma-rius — 0,7. Apskaičiuokite: a) PCVaidas pataikys, o Marius nepataikys); b) P(abu pataikys); c) P(abu nepataikys).

8. Du šauliai po vieną kartą šauna į tą patį taikinį. Tikimybė pataikyti pirmajam lygi 0,95, antrajam — 0,98. Apskaičiuokite: a) kokia tikimybė, kad į taikinį pataikys tik pirmasis šaulys; b) kokia tikimybė, kad į taikinį pataikys tik antrasis šaulys; c) P(pataikys abu šauliai); d) P(abu šauliai nepataikys).

9. Klasėje yra 12 berniukų ir 10 mergaičių. Mokytoja atsitiktinai kviečia vieną po kito 3 mokinius atsakinėti. Kokia tikimybė, kad ji pakvies: a) 3 berniukus; b) 3 mergaites?

10. Loterijoje yra 200 bilietų, iš kurių 50 yra laimingi. Vienas po kito trau-kiami trys bilietai. Kokia tikimybė, kad visi trys bilietai bus: a) laimingi; b) nelaimingi?

Matematika gyvenime

Problemos 11*. Sprendžiant tikimybių uždavinius, nebūtina braižyti

galimybių medį. Įvykių tikimybes galime apskaičiuoti greičiau, pasitelkę du jungtukus. Išnagrinėję pavyzdį, ap-tarkite, kokie tai jungtukai ir kaip jie gali padėti apskai-čiuoti įvykio tikimybę.

Pavyzdys Metamos dvi monetos ir stebima, kuria puse kiekviena jų nukrinta. Kokia tikimybė, kad herbu nukris tik viena moneta?

Pirmasis etapas Antrasis etapas Baigties tikimybė

P(SS)= i 4

P ( S H ) = I 4

P(HS)= į 4

m cd M +J O. Sud M C d

φ • I—1 cd cd

ε >> cd

M ы> 'φ •"—s cd n ai SH S cd cd -a a> "cd 3 Cn cd P(HH)= į

4

Sudauginame, jeigu yra jungtukas „ir" (arba jį galima įterpti). P(SH) = P(S ir H) = P(S) · P(H).

л Я

з со •S cu •w α> Он л II

Vadinasi, spręsdami uždavinį, galėjome samprotauti ir rašyti taip:

P(tik viena moneta nukrito herbu) = P(S ir H arba H ir S) = = P(S) • P(H) + P(H) • P(S) =

1 1 1 1 _ 2 _ 1 2 2 2 2 4 2 '

Darbas grupėmis

13.

12*. Atėjęs iš vietovės A, žaidėjas patenka į labirintą. Toliau jis keliauja labirintu ir, priėjęs kelio išsišakojimą, kas-kart su tokiomis pačiomis tikimybėmis atsitiktinai ren-kasi kairiau arba dešiniau esantį kelią. Taškuose F, G ir i i paspęsti spąstai. Pakliuvęs įjuos, žaidėjas pralošia. Laimi tas, kuris pasiekia tašką L. Kokia tikimybė, kad:

a) b) c) d)* e)*

žaidėjas pateks iš A į β ; žaidėjas iš A per B pateks į E; žaidėjas iš A per C pateks į E\ žaidėjas iš A per B arba per C pateks į E; žaidėjas laimės (pasieks tašką L)?

Naujametei loterijai paruoštos trys vienodos skrynelės. Į pirmą įdėtos dvi vienodos dėžutės, kurių vienoje yra automobilio rakteliai. Į antrą skrynelę įstatyta viena tuščia dėžutė, o į trečią — trys vienodos dė-žutės, kurių dviejose yra po automobilio raktelius. Karolina atsitikti-nai pasirenka skrynelę ir joje esančią dėžutę.

a) Kokius skaičius reikia įrašyti vietoj klaustukų? Pasirinkta skrynelė Pasirinkta dėžutė Pasirinkta skrynelė ir dėžutė

b)* Kokia tikimybė, kad, atsitiktinai pasirinkus skrynelę ir joje esan-čią dėžutę, pavyks laimėti automobilį?

14. Yra trys lošimo kauliukai. Ant kiekvienos jų sienos galima užrašyti po bet kokį vienaženklį skaičių, tačiau visų vieno kauliuko skaičių suma turi būti lygi 18. Šiais kauliukais žaidžiama taip: metami trys kauliukai ir stebima, kokiais skaičiais jie nukrito. Laimi tas žaidėjas, kurio kau-liukas nukrinta didžiausiu skaičiumi. Trys vaikai ant kauliukų sienų užrašė tokius skaičius:

I II III

2 3

4 T l 3 3 ц р р щ p y

5

4

4

3

3

5

5

a) Persibraižykite į savo sąsiuvinius galimybių medį ir jame įrašy-kite tikimybes baigčių, su kuriomis nukrinta kiekvienas kauliu-kas.

P(I) P(5) =

I kauliukas

II kauliukas

III kauliukas

b) Surašykite galimas trijų kauliukų iškritusių skaičių kombinacijas. c) Su kokia tikimybe pasirodo kiekviena skaičių kombinacija? d)* Apskaičiuokite tikimybę laimėti su kiekvienu kauliuku.

1.4. Su kelių etapų bandymu susiję įvykiai ir jų tikimybės 35

15. Parduotuvė paskelbė akciją:

A K C I J A CK

Išsirinką prekes, 3 kartus meskite lošimo kauliuką. Jei šešios akutės iškris 1 kartą, gausite 10 % nuolaidą,

jei 2 kartus -50%, jei 3 kartus, prekes gausite nemokamai.

a) Persibraižykite į savo sąsiuvinius galimybių medį ir jame įrašykite tikimybes baigčių, su kuriomis nukrinta kiekvieną kartą mestas kauliukas.

P(šešios) P(ne šešios) =

P(šešios) =

P( še-šios) =

P(ne šešios) =

Pirmasis etapas

Antrasis etapas

P(ne še- Trečiasis šios) = etapas

b) Pirkėjas, išsirinkęs prekių už 150 Lt, tris kartus metė lošimo kau-liuką. Pirmą kartą iškrito šešios akutės, antrą kartą — trys akutės, o trečią — vėl šešios akutės. Kokio dydžio nuolaidą gavo pirkėjas?

c)* Apskaičiuokite P(10 % nuolaida), P(50 % nuolaida), P(prekės nemo-kamai).

SAVIKONTROLĖ Tikimybių teorija ir kombinatorika

.(AŠ) galiu paaiškinti, pateikti pavyzdį, ką reiškia:

1.1 bandymas (vieno ir kelių etapų), bandymo baigtis, bandymo baigčių 0ibė, baigčių kodavimas elementais ar jų rinkiniais; galimybių medis, galimybių lentelė, daugybos taisyklė;

1.2 vienodai galimos baigtys ir jų tikimybės; su vieno etapo bandymu susijęs įvykis ir jo tikimybės skaičiavimas; būtinasis įvykis, negalimasis įvykis;

1.3 grąžintinis ir negrąžintinis ėmimas; priklaūsomi ir nepriklausomi atskirų bandymo etapų įvykiai;

1.4 nevienčdai galimos baigtys; kelių etapų bandymo baigtys ir jų tikimybės; su kelių etapų bandymu susijęs įvykis ir jo tikimybės skaičiavimas.

1.1.1 paprastais atvejais kelių etapų bandymą išreikšti keleto vieno etapo bandymų seka;

1.1.2 spręsdamas/spręsdama kombinatorikos ir tikimybių teorijos uždavinius, pa-prastais atvejais taikyti galimybių medį, galimybių lentelę ar daugybos tai-syklę;

1.2.1 rasti vieno etapo bandymo vienodai galimų baigčių tikimybes; 1.2.2 apskaičiuoti su vieno etapo bandymu susijusio įvykio tikimybę; 1.2.3 atskirti būtinuosius ir negalimuosius įvykius, žinau, kam lygios jų tikimybės; 1.3.1 atskirti, kada atskirų bandymo etapų įvykiai yra priklausomi, kada — nepri-

klausomi; 1.3.2 apskaičiuoti grąžintinio ir negrąžintinio ėmimo atvejais kiekvieno bandymo

etapo įvykio tikimybę; 1.4.1 apskaičiuoti kelių etapų bandymo baigčių tikimybes kaip atskirų etapų įvykių

tikimybių sandaugą; 1.4.2 paprastais atvejais apskaičiuoti su dviejų etapų bandymu susijusio nesudėtingo

įvykio tikimybę.

Statistika

galiu paaiškinti, pateikti pavyzdį, ką reiškia: imtis, imties didumas, kokybinis ir kiekybinis požymis, požymio reikšmė; duomuč, dažnis, santykinis dažnis; dažnių (santykinių dažnių) lentelė; diagrama; vidurkis, mediana, moda, plotis, standartinis nuokrypis.

Θ surinkti nurodyto dydžio imtį pagal vieną požymį, pateikti duomenis dažnių lentele; sugrupuoti kiekybinio dydžio imties duomenis; perskaityti įvairių rūšių diagramas ir iš diagramos rasti požymio reikšmės dažnį bei imties dydį; nesudėtingais atvejais pavaizduoti imties duomenis tinkamos rūšies diagrama; paprastais atvejais apskaičiuoti imties vidurkį, medianą ir modą.

1 TESTAS1

1. 25 abiturientai apsikeitė nuotraukomis. Kiekvienas padovanojo savo nuotrauką kiekvienam klasės draugui. Kiek iš viso nuotraukų buvo padovanota? A 50 B 100 C 300 D 600 E 800 (1 taškas)

2. Du draugai Tomas ir Simas laiko egzaminą. Jei kiekvienas iš jų nepri-g

klausomai vienas nuo kito gali išlaikyti egzaminą su tikimybe, lygia —, 9

tai tikimybė, kad egzaminą išlaikys abu, lygi:

A — B — C — D — E i (1 taškas) 9 9 18 81 9

3. Kelioninio lagamino užrakto kodą sudaro keturi skirtingi skaitmenys. Kiek daugiausia lagaminų gali turėti skirtingus užrakto kodus?

(1 taškas)

4. Dėžėje yra 2 juodi ir 5 balti vienodo dydžio rutuliai. Iš pradžių atsitiktinai ištraukiamas vienas rutulys, pažymima jo spalva ir rutulys grąžinamas į dėžę, paskui traukiamas kitas rutulys ir pažymima jo spalva. Kokia tikimybė, kad: a) pirmas ištrauktas rutulys bus baltas; (1 taškas) b) antras ištrauktas rutulys bus baltas; (1 taškas) c) abu ištraukti rutuliai bus balti? (1 taškas)

5. 15 žmonių buvo paprašyti įvertinti 1,5 kg arbūzo masę. Jų įvertinimai (0,5 kg tikslumu) buvo tokie: 2,5; 3,5; 1,0; 2,0; 1,0; 3,5; 2,0; 3,5; 3,0; 3,0; 1,5; 1,5; 2,5; 3,5; 2,0. Apskaičiuokite šių įvertinimų: a) vidurkį; (1 taškas) b) medianą; (1 taškas) c) modą. (1 taškas)

6. Biologijos projektui du berniukai individualiai rinko duomenis apie šikš-nosparnių sparnų ilgį. Deja, Tomas netyčia nutrynė vieną savo duomenį, o Jonas užmiršo įrašyti savo surinktų duomenų vidurkį. 1. Kokie skaičiai turėtų būti vietoj klaustukų?

Berniukas Sparnų ilgis (cm) Vidurkis (cm)

Tomas 12 10 16 14 ? 15 10 13

Jonas 11 14 15 12 10 12 10 ?

(2 taškai) 2. Abiejų berniukų surinktus duomenis pateikite viena dažnių lentele ir stulpeline diagrama. ( 3 t a š k a i )

1 Dauguma testo uždavinių paimta iš šių leidinių: Matematika: Brandos egzaminų užduočių pavyzdžiai. V.: EC, 1999. Matematika: 1999—2003 metų brandos egzaminų medžiaga. V.: TEV, 2004. Kai kurie uždaviniai adaptuoti atsižvelgiant j atitinkamo skyrelio specifiką.

Geometrija

NUOVOKA, PAREMTA GEOMETRIJOS IŠMANYMU

Įsivaizduokite, kad ant stalo stovi stiklinis indas ap-skritu plokščiu dugnu. Į jį įpilta šiek tiek skysčio. Jums reikia nustatyti šio indo tūrį. Turite tik liniuotę, o skys-čio iš indo išpilti negalima.

Sunkios sąlygos! Betjuo įdomiau nugalėti sunkumus. Patikrinkite savo nuovoką ir pasiūlykite šios proble-

mos sprendimą, tik tada skaitykite toliau. Išmatuojame inde esančio skysčio stulpelio aukštį H. Kadangi indo dugnas yra skritulio formos, tai jo plo-

tą S apskaičiuosime išmatavę dugno skersmenį. Tada tos indo dalies, kurią užima skystis, tūris bus lygus S • H.

Apverčiame indą dugnu į viršų ir išmatuojame atstu-mą h nuo dugno iki skysčio paviršiaus. Tuščios indo da-lies tūris lygus S • h. Likusią indo dalį užima skystis, kurio tūrį jau nustatėme — jis lygus S • H. Iš čia išeina, kad viso indo tūris lygus V=S • H + S • h.

Siame skyriuje prisiminsite, susisteminsite ir api-bendrinsite žemesnėse klasėse įgytas geometrijos žinias, kurios gali praversti sprendžiant įvairiausias problemas.

Kaip išmatuoti skritulio skersmenį, jei centras nepažymėtas?

Ct/itu/iutii matemati/cai t i t o-vijai

Prie geometrijos mokslo ištakų Pirmuosius geometrijos žinių bylojimus patvirtina neolito (naujojo akmens am-

žiaus, prasidėjusio apie IV tūkstantmetį pr. Kr.) radiniai: keramikos dirbinių šukės su geometriniais ornamentais, buvusių gyvenviečių pastatų planų (taisyklingų geo-metrinių figūrų) pėdsakai ir pan. Rašytinės geometrijos žinios tiesiogiai atsispindi Babilonijos dantiraščiuose ir Egipto papirusuose. Pavyzdžiui, II tūkstantmečio pr. Kr. molio lentelėje aprašytas geometrijos uždavinys apie kvadratą, padalytą į įvairias figūras, kurių plotą reikia rasti. Babilonijoje mokėta skaičiuoti ne tik sta-čiakampio, kvadrato, trapecijos bei trikampio plotus, bet ir skritulio plotą, imant apytikslę π reikšmę, lygią 3, ieškota prizmės, ritinio tūrio. Suprantama, tokia „geo-

metrija" tarnavo vien praktiniams tikslams, joje nebuvo nei aksiomų, nei teoremų, nei įrodymų.

Egipto geometrijos turinys buvo panašus. Kadangi Nilas nuolat užliedavo dirba-mos žemės sklypus ir dėl to kišdavo jų matmenys, tekdavo dažnai perskaičiuoti skly-pų plotus. Mėginta ieškoti ne tik įvairių plokščiųjų figūrų, tarp jų ir skritulio, ploto, bet ir erdvinių kūnų — stačiakampio gretasienio, piramidės — tūrio. Antai 4000 metų senumo papiruse aptikta nupjautinės piramidės tūrio skaičiavimo formulė.

Tolesnė geometrijos plėtra susijusi su senovės Graikija. Cia daugiausia pasidar-bavo Talis (Thales, apie 625—547 pr. Kr.), susisteminęs babiloniečių ir egiptiečių žinias ir padėjęs pagrindus mokymui apie tieses bei trikampius. Kiek vėliau geomet-rijos ribas praplėtė Pitagoras (Pythagoras, apie 570—500 pr. Kr.), sukūręs garsiąją savo pasekėjų mokyklą. Jų tyrinėjimų objektas buvo trikampio, stačiakampio ir kitų plokščiųjų figūrų savybės. Tačiau visus darbus vainikavo dar nuo Babilonijos ir Egip-to laikų žinomas teoremos, įamžinusios patį Pitagoro vardą, įrodymas. Taip geomet-rija ėmė įgyti mokslo požymių — teoremos imtos įrodinėti loginiu būdu.

Geometrijos, kaip savarankiško mokslo, atsiradimas susijęs su didžiu Aleksand-rijos mokslo vyru Euklidu (Euklides, apie 365—300 pr. Kr.). Savo veikale „Pradme-nys" jis apibendrino daugiau nei 300 metų Antikos matematikų patyrimą ir sukūrė pagrindus tolesnei plėtotei. Medžiaga čia buvo susisteminta taip sėkmingai, kad nedaug pakeista ja remtasi dar 2000 metų. Trylikoje knygų Euklidas išdėstė svar-biausius matematikos teiginius, kurie apėmė planimetriją, proporcijų teoriją, figūrų panašumą, skaičių teoriją, iracionaliuosius dydžius ir stereometriją.

Nors amžiams bėgant matematikai vis tobulino geometrijos teoriją — kai ką keitė, tikslino, bet pagrindinė medžiaga išliko. Todėl geometrija, kurios šiandien mokomės mokykloje, pagerbiant Euklidą, dar vadinama euklidine geometrija. Neat-sitiktinai šumerai „Pradmenis" gretina su Biblija.

Tikėtina, kad Lietuvoje pažinties su Euklido „Pradmenimis" pradžia susijusi su jėzuitu Jokūbu Bosgrave, Vilniaus kolegijoje matematiką dėsčiusiu nuo 1576 m. Jis palaikė glaudžius ryšius su Euklido komentatoriumi Kristopu Flavijumi (Christoph Flavius, 1537—1612), kuris 1574 m. Romoje „Pradmenis" išleido su komentarais.

Antikoje pradėta domėtis ir apvaliųjų kūnų — rutulio, nuopjovos, sukinių — paviršiaus ploto ir tūrio skaičiavimu. Jų formules pateikė graikų mokslininkas Ar-chimedas (Archimedes, apie 287—212 pr. Kr.).

Geometrijos mokslas buvo tobulinamas ir sulaukus naujųjų amžių. XVII a. pran-cūzų matematikas Renė Dekartas (Rene Descartes, 1596—1650) sukūrė koordinačių metodą, kuris, sprendžiant geometrijos uždavinius, leido įvesti algebrines lygtis. Taip nuo geometrijos atsiskyrė jos atšaka — analizinė geometrija. Šimtmečius trukę ir matematikams ramybės nedavę svarstymai apie Euklido V postulato (lygiagrečių tiesių aksiomos) reikalingumą XIX a. pagaliau nutrūko. Čia atskirai vienas nuo kito tašką padėjo du matematikai: rusas Nikolajus Lobačevskis (1792—1856) ir vengras Janošas Bojajus (Janos Bolyai, 1802—1860). Jų dėka atsirado neeuklidinė geomet-rija, apimanti bendresnį mus supančios Visatos atvejį.

XIX a. matematikos naujovės palietė ir euklidinę geometriją. Airis Viljamas Ha-miltonas (William Hamilton, 1805—1865) ir vokietis Hermanas Grasmanas (Her-mann Grassmann, 1809—1877) geometrijoje pradėjo vartoti vektorius, kurie buvo minimi Archimedo ir Galilėjo Galilėjaus darbuose ir turėjo mechaninę prasmę. Dabar tai leido supaprastinti teoremų įrodymus ir uždavinių sprendimą.

Prasidedant XX a., Euklido geometrijos modernumui pasitarnavo vokiečio Felik-so Kleino (Felix Klein, 1849—1925) pasiūlyta geometrinių transformacijų teorija.

Pirmasis lietuviškas geometrijos vadovėlis Petro Vileišio „Trumpa geometrija" pasirodė 1900 m. Tilžėje ir padėjo formuoti lietuviškus šio dalyko terminus. 1920 m. Kaune įsikūrus Aukštiesiems kursams, čia pradėta dėstyti analizinė geometrija, o 1922 m. universitete įsteigta Geometrijos katedra. 1932 m. Petras Katilius (1903— 1995) parengė „Analizinės geometrijos paskaitas" aukštųjų mokyklų studentams.

2.1. TIESIŲ IR PLOKŠTUMŲ TARPUSAVIO PADĖTYS

Pavyzdžiai Tiesės, kurios nesikerta ir

yra vienoje plokštumoje, vadi-namos lygiagrečidsiomis.

a ir b — lygiagrečiosios tiesės (α||6). Kampas tarp α ir δ lygus 0°.

Prisiminkime: Lygiagrečiųjų tiesių savybės Jei a Il b, o c — jų kirstinė, tai: atitinkamieji kampai priešiniai kampai yra lygūs; yra lygūs;

Tr Z

vienašalių kampų suma lygi 180°.

cX b

Δ1 = Δ2

Tiesės, kurios turi tik vieną sankirtos tašką, vadi-namos susikertančiosiomis.

Катрй tarp susikertan-čiųjų tiesių vadinamas ma-žesnis iš kampų, susidariu-sių tarp tų tiesių.

Jeigu kampas tarp tiesių yra status, sakoma, kad tos tiesės yra statmenos.

Prisiminkime: Kryžminiai kampai yra lygūs.

Δ1 = Δ2 Tiesės, kurios nesikerta ir

nėra vienoje plokštumoje, vadi-namos prasilenkiančiosiomis.

Kampas tarp prasilenkian-čiųjų tiesių a ir b nustatomas taip. Vienoje iš tų tiesių, pavyz-

/ Zl =/C2

Ž E Z ~ 7

Z1 + Z2 = 180'

α ir b — susikertančiosios tiesės, α — kampas tarp jų.

aLb b

a

Gretutinių kampų suma lygi 180°. 2

Z1 + Z2 = 180°

b, b / V y^y—

—л 1 ••"•«iSSL." л

a ir b — prasilenkiančiosios tiesės, džiui, a, pasirenkamas taškas (A) ir per jį brėžiama tiesė (6^, lygiagreti su kita tiese (6). Kampas tarp tiesių α ir & suprantamas kaip kampas tarp tiesių a ir bx (b Hb1).

Tiesė a ir plokštuma a, kurios nesi-kerta, vadinamos lygiagrečiosiomis.

Tiesė a lygiagreti su plokštuma α (α Il α).

Tiesė a ir plokštuma α, kurios turi tik vieną sankirtos tašką, vadinamos susi-kertančiosiomis.

Tiesė, kuri kerta plokštumą stačiuoju kampu, vadinama statmeniu plokštumai. Kitos šią plokštumą kertančios tiesės va-dinamos pasvirosiomis.

Kampti tarp pasvirosios ir plokštu-mos vadinamas kampas tarp pasvirosios ir jos projekcijos plokštumoje.

Tiesė a kerta plokštumą a.

Dvi plokštumos, kurios nesikerta, va-dinamos lygiagrečiosiomis.

α ir β — lygiagrečios plokštumos (α|| β).

Jeigu plokštumos nėra lygiagrečios, tai jos kertasi tiese. Kampas tarp šių plokštumų vadinamas dvisieniii kampii. Jis nustatomas taip. Plokštumų sankir-tos tiesėje pasirenkamas bet kuris taš-kas ir iš jo nubrėžiami du statmenys: α ir β — statmenosios vienas — vienoje iš susikertančių plokš- plokštumos (a 1 β), tumų, kitas — kitoje. Kampas tarp šių statmenų suprantamas kaip dvisienis kampas.

Jeigu kampas tarp plokštumų yra status, sakoma, kad tos plokštumos yra statmenos.

Kampas tarp pasvirosios

ir plokštumos

Plokštumų sankirtos

tiesė

Uždaviniai.

Pratimai

D1

^ ^ / B1

D

/

c,

1. Brėžinyje pavaizduotas stačiakampio gretasienio modelis. Kiekviena gretasienio briauna yra tiesės atkarpa erdvėje. Nurodykite: a) kurios iš pavaizduotų tiesių

kerta tiesę DB, kurios yra su ja lygiagrečios, o kurios — prasilenkiančios; b) kurios plokštumos yra lygiagrečios su tie-se BBv o kurios jai statmenos; c) lygiagrečių ir statmenų plokštumų poras.

2. Brėžinyje pavaizduotas kubas. Remdamiesi brėžiniu, apskaičiuokite, kokio dydžio kampą sudaro: a) tiesės AD ir A1B1; b) tiesės AA1 ir DC1; c) tiesės BB1 ir C1A1; d) tiesė AA1 ir plokštuma ABC; e) tiesė B1D1 ir plokštuma ABC; f) plokštumos ABB1 ir CBB1; g) plokštumos A1B1C1 ir ABC.

3. Piramidės SABCD modelyje parodykite: a) tieses, lygiagrečias su tiese AB; b) tieses, statmenas tiesei AB; c) tieses, prasilenkiančias su tiese AB; d) kampą tarp tiesės AS ir pagrindo plokštumos ABC; e) kampą tarp pagrindo įstrižainių; f) kampą tarp sienos BSC ir pagrindo plokštumos ABC; g) kampą, kurį briauna SA sudaro su pagrindo briauna AB; h) šoninės sienos BSC kampą prie viršūnės; i) šoninės sienos BSC kampą prie piramidės pagrindo.

4. Remdamiesi brėžinio duomenimis, nustatykite: a) kurios dvi tiesės yra statmenos tiesei NC; b) kuri atkarpa yra atkarpos SC pro-jekcija plokštumoje ABC; c) kurios atkarpos projekcija plokštu-moje ABC yra atkarpa MC; d) kokiu kampu briauna SC pasvirusi į plokštumą ABC; e) kokio dydžio yra dvisienis kampas tarp plokštumų ABS ir ABC.

Matematika gyvenime

6.

>. Schemoje pavaizduotos trys Vilniaus miesto gatvės. Kam-pas tarp Dzūkų ir Kaminkelio gatvių yra 2 kartus didesnis

už kampą tarp Dzūkų ir Liepkalnio gatvių, o Liepkalnio ir Kaminkelio gatvės sudaro 87° kampą. Apskaičiuokite kampų tarp minėtų gatvių didumus.

Kompasas lėktuvo piloto kabinoje rodo 67°. Kiek laipsnių pasisuks lėktuvas, jeigu jo pilotui nurodyta skristi: a) j pietus; b) j vakarus; c) į rytus?

Matematika matematikoje

Apskaičiuokite, kokiu kampu susikerta šios tiesės: a) v b) c)

8. Apskaičiuokite gretutinių kampų didumus, kai yra žinoma, kad: a) vienas iš tų kampų 3 kartus didesnis už kitą; b) vienas iš tų kampų 40° mažesnis už kitą.

9. Duota a \\b. Apskaičiuokite x: a) , b)

5*+ 27°

Problemos 10. Iš pradžių užlenkite vieną stačiakampio lapo kampą (žr.

1 brėž.), paskui — gretimą taip, kad viena jo kraštinė Iies-tųsi su anksčiau užlenkto kraštine (žr. 2 brėž.). Tada abu kampus atlenkite ir išmatuokite kampą tarp susidariusių

lenkimo linijų (žr. 3 brėž.). Bandymą pakartokite su keletu kitų lapų, jų pirmąjį kampą užlenkdami vis kitaip. Įsitikinkite, kad kampas tarp lenkimo linijų visada yra to paties didumo. Koks tai kampas ir kodėl jo didumas nesikeičia?

2.2. DAUGIAKAMPIAI. SKRITULYS

Daugiakampiu (n-kampiu) vadiname plokščiąją figūrą, kurią iš visų pusių riboja atkarpos. Jos vadinamos daugiakampio kraštinėmis. Jeigu daugiakampis turi n kraštinių, tai jis turi ir n kampų, kurių suma lygi (n -2) 180°.

Daugiakampiai, kurių visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs, vadi-nami taisyklingaisiais.

Prisiminkime trikampius. Bet kurios trikampio kraštinės ilgis yra mažesnis už kitų dviejų jo

kraštinių ilgių sumą. Trikampio kampų suma lygi 180°.

Aukštinė

Smailūsis

Pusiaukraštinė Pusiaukampinė Kraštinės vidu- Vidurinė rio statmuo linija

Trikampio Trikampio Trikampio Trikampio pusiaukrašti- pusiaukampi- kraštinių vidurinė nių sankirtos nių sankirtos vidurio stat- linija yra taškas dalija taškas yra menų sankir- lygiagreti kiekvieną jų įbrėžto į tos taškas yra su viena santykiu trikampį apibrėžto apie trikampio 2 :1, skai- apskritimo trikampį kraštine ir čiuojant nuo centras. apskritimo lygi jos trikampio centras. pusei. virsunes.

Trikampių klasifikavimas pagal kampus

Statūsis Bukasis

Statinis

Įvairia-kraštis

pagal kraštines Lygiakraštis

Lygiaš5nis (taisyklingasis)

Šoninė kraštinė

Pagrindas

Prisiminkime keturkampius. Keturkampio kampų suma lygi 360°.

Keturkampių klasifikavimas pagal priešingų kraštinių lygiagretumą

Trapecija — ketur-kampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagre-čios, o kitos dvi — nelygiagrečios.

Trapecijos vidurinė linija yra lygiagreti su pagrin-dais ir lygi jų sumos pusei.

Lygiagretainis — ketur-kampis, kurio kiekvienos dvi priešingosios kraštinės yra lygiagrečios.

Lygiagretainis

Stačiakampis Rombas

Kvadratas (taisyklingasis ketūrkampis)

Kiti keturkampiai neturi lygiagrečių kraštinių porų.

Kokios savybės būdingos lygiagretainiui,

stačiakampiui, rombui ir kvadratui?

Apibrėžtinio ketūrkampio savybė Įbrėžtinio ketūrkampio savybė a

a+d=b+c Z1 + Z4 = Z2 + Z3 = 180°

Prisiminkime skritulį. Apskritimas yra skritulio kontūras.

Styga

Skersmuo

Spindulys

Lankas

Liestinė

Kirstinė

Išpjova Skritulys

Nuopjova

Centrinis kampas

Įbrėžtinis kampas

Įbrėžtinis kampas yra perpus mažesnis už tą patį lanką atitinkantį centrinį kampą.

Įbrėžtiniai kampai, kurie remiasi į tą patį lanką, yra lygūs.

Įbrėžtinis kampas, kuris remiasi į skersmenį, yra status.

Prie apskrito stalviršio reikia pritvirtinti koją. Kaip rasti stalviršio centrą, turint tik didelį kartono lapą, kurio vienas kampas status? Kartono lapą galima padėti ant stalviršio taip, kaip parodyta 1 brėžinyje, paskui per lapo ir stalviršio krašto sankirtos taškus A ir B nubrėžti atkarpą AB (žr. 2 brėž.). Tą patį veiksmą reikia pakartoti priglaudžiant statųjį kartono lapo kampą kitame stalo krašto taške (žr. 3 brėž.). Nubrėžtų atkarpų AB ir A1B1 sankirtos taškas ir bus stalviršio centras (žr. 4 brėž.).

1 2 3 4

Šis skritulio centro radimo būdas gana dažnai taikomas braižyboje ir gyve-nime. Kokiomis savybėmis čia remiamasi?

Uždaviniai

1. Ar trikampio kraštinės gali būti atkarpos, kurių ilgis yra: Pratimai a) 4 dm, 7 dm ir 11 dm;

b) 4 dm, 7 dm ir 12 dm; c) 4 dm, 7 dm ir 2 dm?

2. Apskaičiuokite: a) visų šešiakampio kampų sumą; b) taisyklingojo šešiakampio vieno kampo didumą; c) visų aštuoniakampio kampų sumą; d) kiek kraštinių turi daugiakampis, kurio kampų suma lygi 180°.

3. Raskite lygiašonio trikampio kampus, jeigu yra žinoma, kad vienas iš jų lygus 36°. Išnagrinėkite du atvejus.

4. Lygiakraščio trikampio kraštinė lygi 6 cm. Raskite į šį trikampį įbrėžto ir apie jį apibrėžto apskritimo spindulį. Išnagrinėkite du atvejus.

5. Vienas lygiagretainio kampas lygus 56°. Apskaičiuokite kitus kampus. 6. Stačiosios trapecijos1 vienas kampas yra dvigubai didesnis už kitą. Ras-

kite trapecijos kampus. 7. Remdamiesi brėžinio duomenimis, apskaičiuokite χ:

8. Raskite nežinomas apibrėžtinio keturkampio kraštines: b) χ

9. Raskite nežinomus keturkampio kampus: b) a) χ + 80° JOAO

.y-10°

1 Trapecija, kurios vienas kampas status (beje, status ir kitas kampas), vadinama staciqja trapecija.

11. Taškas A nutolęs nuo apskritimo centro 13 cm. Iš jo nubrėžta apskriti-mo liestinė. Atstumas nuo taško A iki lietimosi taško lygus 12 cm. Ras-kite apskritimo spindulį.

didesnis?

Kopėčių pakopos prikaltos prie dviejų atramų lygiagre-čiai ir vienodais tarpais viena nuo kitos. Apskaičiuokite pakopų BB1 ir DD1 ilgius.

10. Raskite kampą χ: a)

kampų yra

13. Matematika gyvenime

14. Algis, Bronius ir Domantas stebi objektą atitinkamai iš taškų A, B ir D. Palyginkite kampų, kuriais vaikinai mato objektą, didumus.

15. Kaip, turint tik virvelę, nustatyti keturkampio rūšį, kai tas ketur-kampis yra: a) rombas; b) stačiakampis; c) kvadratas; d) lygiagretainis?

Matematika matematikoje

16. Iš vienodų lygiakraščių trikampių lioti:

galima sudė-

ΔΔ7Δ7ΔΑ lygiakraštį lygiagre- rombą, trapeciją, taisyklin-trikampį, tainį, gąjį

šešiakampį. Nubraižykite žinomas figūras, kurias galima sudėlioti iš vienodų sta-

čiųjų lygiašonių trikampių

17. Į kvadratą, kurio kraštinės ilgis 4 cm, įbrėžti keturi skrituliai. Paeiliui sujungus kvadrato ir skritulių lietimosi taškus, gautas aštuoniakampis. Nustatykite: a) kokios rūšies yra daugiakampis, kurio viršūnės — skritulių centrai; b) ar gautas aštuoniakampis yra taisyk-lingasis. Atsakymą pagrįskite.

( 4 • (. y

4 cm

Problemos 18. Iš daugiakampių, skritulių ar jų dalių galima konstruoti

įvairias plokščiąsias figūras. Pavyzdžiui, figūra Į Q| gau-nama iš stačiakampio išpjovus skritulį O · Paaiš-kinkite, kaip, turint tik kvadratus ir skritulius, būtų ga-lima gauti šias figūras:

b)

d)

2.3. BRIAUNAINIAI IR SUKINIAI

Briaunainiu vadi-namas erdvinis kūnas, kurį iš visų pusių riboja daugiakampiai. Jie vadi-nami briaunainio sieno-mis.

Jeigu du iš briaunainį ribojan-čių lygių daugiakampių yra lygia-grečiose (nesikertančiose) plokštu-mose, o kiti — lygiagretainiai, tai briaunainis vadinamas prizme.

Trikampė Keturkampė prizmė prizmė

O i

Lygiagrečios prizmės sienos va-dinamos pagrindais, o lygiagretai-niai — šoninėmis sienomis.

Jei vienas iš briaunainį ribo-jančių daugiakampių yra bet koks, o kiti — trikampiai, turin-tys bendrą viršūnę, tai briaunai-nis vadinamas piramide.

Trikampė piramidė

Keturkampė piramidė

Bet koks daugiakampis vadi-namas piramidės pagrindu, o tri-kampiai — šoninėmis sienomis.

Kiek viršūnių, briaunų ir sienų turi

pavaizduoti briaunainiai?

Taisyklingoji prizmė — briaunainis, kurio šoninės sienos stačiakam-piai, o pagrindai — taisyklingieji daugiakampiai.

Stačiakampis gretasienis — briaunainis, kurio visos sienos yra stačia-kampiai.

Kiibas — briaunainis, kurio visos sienos yra kvadratai. Taisyklingoji piramidė — briaunainis, kurio pagrindas yra taisyklin-

gasis daugiakampis, o aukštinė eina per jo centrą.

Sukiniu vadinamas erdvinis kūnas, kurį iš visų pusių riboja sukimosi pavir-šius.

Tiesė, apie kurią sukama kokios nors kreivės ribojama plokštumos dalis, vadi-nama sukimosi ašimi.

Ritiniu vadinamas sukinys, gautas apsukus stačiakampį apie vieną jo kraštinę.

Kūgiu vadinamas sukinys, gautas apsu-kus statųjį trikampį apie vieną jo statinį.

Rutuliu vadina-mas sukinys, gautas apsukus pusskritulį apie jo skersmenį.

Kai kurių briaunainių ir sukinių išklotinės1

Stačiakampio gretasienio Tetraedro Kubo

5 л :

Ritinio n U "

Kažin kaip atrodytų rutulio

išklotinė?

1 Išklotinė yra plokščioji figūra, kurią gauname išlankstę erdvinį kuną plokštumoje.

Uždaviniai

Pratimai

2. Nubraižykite taisyklingąją trikampę piramidę. Brėžinyje pavaizduokite: a) piramidės aukštinę ir apotemą1; b) kampą tarp apotemos ir pagrindo plokštumos.

3. Kurios iš pavaizduotų figūrų yra kubo išklotinės? A l — B C — — D E

Brėžinyje pavaizduoti trijų kūgių šoniniai paviršiai. Kuris iš šių kūgių yra aukščiausias, o kuris — žemiausias?

Matematika gyvenime

5. Stačiakampio gretasienio formos dėžutės matmenys yra 12 cm χ 5 cm χ 4 cm. Ar tilps šioje dėžutėje 13 cm ilgio lazdelė? Atsakymą pagrįskite.

6. Palapinė yra taisyklingosios keturkampės piramidės formos. Jos pagrin-do kraštinė yra 3 m ilgio, o šoninė briauna pasvirusi į pagrindą 45° kampu. Apskaičiuokite palapinės aukštį. Atsakymą pateikite dešimtųjų tikslumu.

7. Iš vielos norime pagaminti kubo formos karkasą, kurio briaunos ilgis 7 cm. Kiek centimetrų vielos mums prireiks?

1 Apotema — taisyklingosios piramidės šoninės sienos aukštinė.

Brėžinyje pavaizduotas erdvinis kūnas. Nurodykite: a) koks tai kūnas; b) kokios figūros yra jo pagrindai; c) kiek šoninių sienų turi šis kūnas; d) kiek jis turi briaunų.

8. Kugio sudaromoji113 cm, o aukštinė 12 cm. Raskite kūgio Matematika 6 . , . .

matematikoje pagrindo skersmenį.

12 cm

13 cm

9. Taisyklingosios keturkampės piramidės aukštinė 8 cm, o pagrindo briauna 6 cm. Apskaičiuokite: a) piramidės šoninės briaunos ilgį; b) apotemos ilgį.

6 cm

Problemos 10. Kaip galima iš šešių degtukų sudėlioti keturis lygiakraš-

čius trikampius?

11. Jau Platono laikais buvo nustatyta, kad yra tik penki briaunainiai, kurių visos sienos — lygūs taisyklingieji daugiakampiai. Tie briaunai-niai yra taisyklingasis tetraėdras (piramidė, kurios visos sienos yra ly-giakraščiai trikampiai), kubas (heksaėdras), aštuonsienis (oktaėdras), dvylikasienis (dodekaėdras) ir dvidešimtsienis (ikosaėdras).

TaisyUingasis tetraedras Heksaedras Oktaedras Dodekaedras Ikosaėdras (4 sienos) (6 sienos) (8 sienos) (12 sienų) (20 sienų)

a) suskaičiuokite, kiek briaunų turi kiekvienas šių kūnų; b) suskaičiuokite, kiek viršūnių turi kiekvienas pavaizduotas briau-nainis; c)* pagaminkite šių kūnų modelius.

1 Sudaromoji — atkarpa, jungianti kūgio viršūnę su bet kuriuo pagrindo apskritimo tašku.

54 GEOMETRIJA

2.4. JUDESIAI

Problemų sprendimas

Įsivaizduokite, kad keliaudami priėjote gilų tarpeklį. Norėdami per-sikelti į kitą jo pusę, turite nusikirsti ant kranto augantį medį taip, kad krisdamas jis pasiektų kitą krantą. Ieškodami tinkamo medžio, jo aukštį lyginate su tarpeklio pločiu, taigi at-stumą tarp krantų bandote tarsi per-kelti, atvaizduoti į kitą vietą (į medžio aukštį).

Atvaizdį, nekeičiantį atstumų tarp figūros taškų, vadinsime jūdesiu. Jis pradinę figūrą visada atvaizduoja į jai lygią figūrą. Judesys gali būti keleto rūšių: ašinė simetrija, centrinė simetrija, posūkis, postūmis.

Ašinė simetrija nusakoma nurodant simetrijos ašį. Pradinės ir gau-tosios figūros1 atitinkami taškai yra vienodai nutolę nuo simetrijos ašies.

Pradinė figūra A

Gautoji figūra A,

Figūra, kuri ašine simetrija at-vaizduojama pati į save, vadinama simetriška figūra.

Simetriškų ašies atžvilgiu figū-rų pavyzdžiai:

H M E Dvi simetrijos Viena simetrijos Viena simetrijos

ašys ašis ašis

Centrinė simetrija nusakoma nurodant simetrijos centrą. Pradinės ir gautosios figūros atitinkami taškai yra vienodai nutolę nuo simetrijos

Simetrijos ašis

centro. A Pradinė figūra

Simetrijos centras

A, Gautoji figūra

Simetriškų centro atžvilgiu figū-rų pavyzdžiai:

S4 Q β Qltnptninc / AnfrQC' Simetrijos centras

Ar pastebite, kad kiekviena pavaizduota raidė

turi savo simetrijos centrą, be to, raidės O simetrijos centras yra ir viso

užrašo simetrijos centras?

1 Gautoji figūra kartais vadinama pradinės figūros vaizdu..

Posūkis nusakomas nurodant posūkio centrą ir posūkio kampą. Posū-kio kampas matuojamas laipsniais. Jis gali būti kiek norima didelis arba mažas. Posūkio kampą prieš laikrodžio rodyklę laikysime teigiamuoju, o pagal laikrodžio rodyklę — neigiamuoju. Posūkis 180° kampu yra centri-nė simetrija.

/ Postūmis / priešinga

Ox ašiai kryptimi

Uždaviniai

Pratimai 1. Nubraižykite visas šių taisyklingųjų figūrų simetrijos ašis:

a) trikampio; b) keturkampio; c) šešiakampio. 2. Kiek simetrijos ašių turi:

a) stačiakampis; b) rombas; c) apskritimas? 3. Nubraižykite figūrą, simetrišką duotajai:

a) Ox ašies atžvilgiu; b) Oy ašies atžvilgiu; c) tiesės y=x atžvilgiu.

Я

4. Kurios tiesės atžvilgiu lygiašonis trikampis atvaizduojamas pats į save? 5. Ašine simetrija trikampio MNK taškas M buvo M

atvaizduotas į tašką M1. Raskite: Г a) simetrijos ašį; J b) taško N vaizdą; c) trikampio MNK vaizdą.

6. Nubraižykite figūrą, simetrišką duotajai koordinačių pradžios atžvilgiu: c)

N

M1

\ H K K į „..,

O 7. Centrine simetrija trikampio MNK taškas M bu-

vo atvaizduotas į tašką Mv Raskite: a) simetrijos centrą; b) taško N vaizdą; c) trikampio MNK vaizdą.

8. Trikampį OAB pasukus apie tašką O, gautas trikampis OA1B1. Nustatykite, kokiu kampu bu-vo pasuktas trikampis, jeigu: a) teigiamasis posūkio kampas mažesnis už 360°; b) teigiamasis posūkio kampas didesnis už 360°, bet mažesnis už 540°; c) neigiamasis posūkio kampas mažesnis už -360°.

M

N

M. i ·

\ y\ B1

χ A \ \ O B X

9. Kokiu mažiausiu teigiamuoju kampu reikia pasukti apie tašką O nu-braižytą figūrą, kad ji būtų atvaizduota pati į save?

10. Kokiu mažiausiu teigiamuoju kampu reikia pasukti apie tašką O lygiakraštį trikampį, kad jis būtų atvaizduotas pats į save?

11. Kuria kryptimi ir per kiek langelių buvo pastumta pra-dinė figūra? a)

Gautoji figūra

X Z .

b) Pradinė figūra

X Z

y Pradinė figūra

Gautoji figūra O X

C)* Gautoji figūra

•

Ш . Г Pradinė figūra

12. Nubraižykite figūrą, kurią gausite pastūmę duotąją figūrą: a) Ox ašies kryptimi per 3 vienetus; b) priešinga Ox ašiai kryptimi per 4 vienetus; c) Oy ašies kryptimi per 2 vienetus; d) priešinga Oy ašiai kryptimi per 5 vienetus; e)* iš pradžių priešinga Ox ašiai kryptimi per 4 vienetus, paskui Oy ašies kryptimi per 2 vie-

r

O X

netus.

Projektas „Judesiai aplink mus" Braižyba, dailė, architektūra, muzika, šokis, foto-

grafija — tai tik kelios sritys, kuriose nuolatos tenka susidurti su judesiais. Pasirinkite vieną iš šių sričių ar kurią nors kitą sritį ir atskleiskite jose pasitaikan-čius judesius arba jų derinius.

O gal norėtumėte parašyti apie judesius gamtoje?

2.5. ILGIS IR JO MATAVIMAS

Vartydamas leidinį apie istorinius Vilniaus statinius, Vytenis rado rotušės, kurią 1785—1799 m. rekonstravo vienas žymiausių Lietuvos ar-chitektų Laurynas Stuoka-Gucevičius, nuotrauką.

Šalia buvo nupieštas rotušės bei į ją ve-dančių laiptų pagrindų planas ir nurodyti kai kurie jų matmenys.

Žinodami, kad pastato ir laiptų pagrin-dai yra stačiakampiai, o patys laiptai rotu-šės pagrindo atžvilgiu išsidėstę simetriškai, apskaičiuokime rotušės pagrindo perimet-rą, t. y. jo kraštinių ilgių sumą:

AD = BC = 33,5 m, AB = DC = 26,5 + 4 + 4 = 34,5 (m),

D

H 7 m

ABCD = (33,5 + 34,5)-2 = 136 (m). 26,5 m

4 m

33,5 m

Jeigu norėtume sužinoti viso rotušės pastato pagrindo (su laiptais) perimetrą, tai galėtume jį apskaičiuoti sudedami kraštinių AD, DC, CB, BH, HF, FE, EG ir AG ilgius.

Kaip būtų galima greičiau apskaičiuoti viso rotušės pastato pagrindo (su laiptais) perimetrą?

¢^¾ u f i-u tii 'm a te m a ti/s> o i i i t o-r-ij. o i·

1791 m. pirmą kartą metro sąvoka buvo apibrėžta kaip Paryžiaus dienovidinio ilgio 1/40 ООО ООО dalis, o 1799 m. pagamintas archyvinis metras. Pagal jį iš platinos ir iridžio lydinio išlieti trys metro etalonai. Po 90 metų vienas tų etalonų buvo pa-tvirtintas kaip tarptautinis metro prototipas.

1960 m. patvirtintas dabar naudojamas kriptoninis metro etalonas. Metras api-brėžiamas lyginant šio etalono ilgį su kriptono išspinduliuojamos šviesos bangos ilgiu.

Išmatuoti atkarpos ilgį reiškia rasti, kiek tų pačių ilgio vienetų telpa matuojamoje atkarpoje.

Pagrindinis ilgio matavimo vienetas yra metras1. Ilgio matavimo vienetų sąryšiai:

10 10 10 10 10 10

km Q Q m dm cm mm Ilgio savybės: 1) lygių atkarpų ilgiai yra lygūs; 2) laužtės — figūros, susidedančios iš keleto

nuosekliai sujungtų atkarpų, ilgis lygus ją su- L a u ž t ė s i l g i s l y g u s darančių atkarpų ilgių sumai. a + b + c

Daugiakampi ribojančių atkarpų ilgių suma vadinama jo perimetru. Apskritimo ilgis yra skritulio perimetras.

Jeigu figūras, kurių perimetrai yra P1 ir P2, sujungsime, kaip paro-dyta brėžinyje, tai gautosios figūros perimetras nebus lygus pradinių fi-gūrų perimetrų sumai:

Λ P*Px + P2

Kai kurių figūrų perimetrą galime apskaičiuoti greičiau — taikydami formules:

lygiakraščio trikampio P = 3a:

lygiašonio trikampio P = a + 2b;

apskritimo C = nd = 2nr,

kvadrato ir rombo P = 4a;

lygiagretainio ir stačiakampio P = 2(a + b).

1 Kai kuriose šalyse vartojami kitokie ilgio matavimo vienetai, pavyzdžiui, colis, pėda, jardas, mylia.

Uždaviniai.

Pratimai Kokius skaičius reikia įrašyti vietoj daugtaškių: a) 0,009 km = ... m = ... dm = ... mm; b) 20 000 mm = ... cm = ... m = ... km?

2. Apskaičiuokite perimetrą: a) stačiakampio, kurio vienos kraštinės ilgis 2 dm, o kitos — 35 cm;

b) taisyklingojo šešiakampio, kurio kraštinės ilgis 3™ m; 6

3 c) rombo, kurio kraštinės ilgis 2— cm.

7 3. Apskaičiuokite apskritimo ilgį, kai yra žinoma, kad:

a) jo skersmens ilgis 2,8 cm; b) jo spindulio ilgis 9,5 dm. 4. Apskaičiuokite stačiakampio perimetrą, žinodami, kad viena kraštinė

yra 4 m ilgio, o kita: a) 1,5 karto ilgesnė;

5. Apskaičiuokite: a) stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgį, kai α = 9, b = 24, o c = 17;

b) 1,5 m ilgesnė.

b) kūgio sudaromosios ilgį, kai pagrindo spindulys 15 cm, o aukštinė 20 cm.

j \

X —

Matematika gyvenime

6. Stačiojo lygiašonio trikampio formos žemės sklypą planuo-jama aptverti tvora. Kokio ilgio bus tvora, jeigu vienos sklypo kraštinės ilgis lygus 400 m? Išnagrinėkite du atve-jus:

И

400 m 400 m

7. Mūsų šalies vėliavos pločio ir ilgio santykis yra 1 :2 . Vėliavos kraštams apsiūti turime 4 m juostelės. Kokių matmenų vėliavą galėtume apsiūti, jei panaudotume visą juostelę? Atsakymą pateikite 1 cm tikslumu.

8. MokyHos stadiono futbolo aikštę nuo bėgimo tako nuspręsta atskirti trinkelių juosta. Kiek 20 cm ilgio trinkelių reikės sukloti į šią juostą?

Matematika matematikoje

IOOm

60 m

z Trinkelių juosta /

9. Sudarykite formulę pavaizduoto daugiakampio perimetrui apskaičiuoti:

£ 7 b ) / ' \ a) c) X X

10. Lygiašonio trikampio viena kraštinė yra 3 cm ilgesnė už kitą, o peri-metras lygus 42 cm. Apskaičiuokite visų to trikampio kraštinių ilgius.

11. Lygiašonės trapecijos1 ABCD perimetras lygus 18 cm. Apskaičiuokite jos šoninių kraštinių ilgius.

B 3 cm C

A 7 cm D

12. Lygiašonės trapecijos vidurinė linija yra 12 cm ilgio, o šoninės kraštinės ilgis lygus 9 cm. Apskaičiuokite trapecijos perimetrą.

13. Apskaičiuokite pavaizduotos figūros perimetrą. Pastaba. Apskritimo lanko ilgis I apskaičiuojamas pa

To-gai formulę I = • 180°

išpjovos kampas, r

a; čia α — tą lanką atitinkančios

- išpjovos spindulys.

14. Figūrą sudaro stačioji trapecija ir stačiakampis. Remdamiesi brėžinyje pateiktais duomenimis, ap-skaičiuokite figūros perimetrą.

Problemos

1 L

8

/ 15. Stačiakampio perimetras lygus 14. Vieną stačiakampio kraštinę pažy-mėję raide x: a) kitos kraštinės ilgį išreikškite dydžiu x; b) nustatykite, kiek yra skirtingų stačiakampių, kurių kraštinių ilgis išreiškiamas tik sveikaisiais skaičiais. Vi-sus galimus atvejus pavaizduokite brėžinyje.

1 Trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios, vadinama lygiašonė trapecija.

2.6. PLOTAS IR JO MATAVIMAS

Brėžinyje pavaizduotas Vilniaus rotu-šės ir į ją vedančių laiptų pagrindų planas, taip pat nurodyti kai kurie jų matmenys. Ap-skaičiuokime, kokį plotą užima visas stati-nys.

40,5 m

I strategija

Nubraižytą figūrą padalykime į du sta-čiakampius ir apskaičiuokime kiekvieno jų plotą:

51 = 33,5 · 34,5 = 1155,75 (m2), 52 = 26,5 · 7 = 185,5 (m2). Sudėję šiuos plotus, sužinosime visos fi-

gūros, t. y. rotušės pagrindo, plotą: S = S1 + S2 = 1155,75 + 185,5 = 1341,25 (m2). Ats.: 1341,25 m2.

Il strategija

Papildykime brėžinį iki stačiakampio. Iš pradžių apskaičiuokime didžiojo sta-

čiakampio plotą: 40,5-34,5 = 1397,25 (m2),

paskui — mažųjų stačiakampių plotus: S3 = 4 · 7 = 28 (m2), S =28 m2.

4

Dabar iš didžiojo stačiakampio ploto at-imkime mažųjų plotus. Taip sužinosime ro-tušės pagrindo plotą: S = 1397,25-28-28 = 1341,25 (m2).

Ats.: 1341,25 m2.

Išmatuoti figūros plotą reiškia nustatyti, kiek tų pačių ploto vienetų telpa matuojamoje figūroje.

Pagrindinis ploto matavimo vienetas yra kvadratinis metras, t. y. plo-tas kvadrato, kurio kraštinės ilgis lygus 1 m.

Ploto matavimo vienetų sąryšiai: 100 100 100 100 100 100

km2 ha a m2 dm2 cm2 mm2

Ploto savybės: 1) lygių figūrų plotai yra lygūs (stumiant arba apverčiant figūrą, jos

plotas nekinta); 2) figūros plotas lygus jos dalių plotų sumai. Jeigu figūras, kurių plotai S1 ir S2, sujungsime, kaip parodyta brė-

žinyje, tai gautosios figūros plotas bus lygus pradinių figūrų plotų sumai:

S = S1 +S1

Kai kurių figūrų plotą galime apskaičiuoti greičiau — taikydami for-mules: й

stačiakampio S = a • b;

trikampio

S=-a h, 2

lygiagretainio S = a h = b • h.: a b'

trapecijos S = — (a + b) h; 2

skritulio S = Tir2;

- • c яг2 ispjovos >S = a;

360° čia α — centrinis kampas,

atitinkantis išpjovą. Briaunainio viso paviršiaus plotas lygus jo sienų plotų sumai. Sukinio paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal formules:

kūgio Sion = Krl, S . = Krl + кг2; visas '

ritinio S, =2krh, Son ' S. =2кгк + 2кг2; visas

rutulio S = 4кг2.

Uždaviniai

Pratimai 1. Kokius skaičius reikia įrašyti vietoj daugtaškių:

a) 0,0007 km2 = ... ha = ... a=... m2; b) 600 000 000 mm2 = ... cm2 = ... a = ... ha; c) IO'8 km2 = ... m2 = ... mm2?

2. Apskaičiuokite šių trikampių plotą, kai Z1IU2: a) trikampio ABC; b) trikampio DBC\ c) trikampio EBC.

3. Apskaičiuokite trapecijos plotą:

a) 12

b) / , \ c

' 4 / л 4

4. Apskaičiuokite koordinačių plokštumoje pavaizduoto lygiagretainio plotą: a) b) У

Ι-Ι-

Ο X • -2

5. Apskaičiuokite figūros plotą: a)

10 - q

12

6. Brėžinyje pavaizduotos dvie-jų erdvinių kūnų išklotinės. Remdamiesi brėžinio duo-menimis: a) nustatykite, kokie erdvi-niai kūnai čia pavaizduoti; b) apskaičiuokite kiekvieno kūno viso paviršiaus plo-tą.

II

H O

Matematika gyvenime

7. Mus supančiame pasaulyje yra labai daug netaisyklingos formos daiktų, kurių plotui apskaičiuoti naudojama paletė. Ji panaši j sąsiuvinio lapą, tik yra permatoma. Palete ma-tuodami figūros plotą, atskiras jos da-lis bandome vizualiai perkelti į kitą

vietą taip, kad jomis užpildytume kuo daugiau langelių. Remdamiesi brėžiniu: a) suskaičiuokite, kiek maždaug langelių užima nupiešta figūra; b) įvertinkite tos figūros plotą, tardami, kad 4 lan-geliai atitinka 1 cm2.

Ą

Iy

fct

8. Dainių šeimos žemės sklypo plo-tas 6 a. Taką, vedantį į namą, šeimininkai nusprendė iškloti trinkelėmis, o likusią sklypo dalį užsėti veja. Kiek kilogramų sėk-lų jie turės nusipirkti vejai, jei-gu yra žinoma, kad 1 m2 reikia 25—35 g sėklų?

3(1 m

S m

20 m

Matematika matematikoje

9. Lygiagretainio plotas 24 m2, o vienos jo kraštinės ilgis 80 dm. Apskaičiuokite į tą kraštinę nuleistos aukštinės ilgį·

10. Figūra sudaryta iš 9 vienodų kvadratėlių. Jos plotas lygus 144 cm2. Apskaičiuokite šios figūros perimetrą.

Problemos 11. Iš 16 degtukų sudedamas kvadratas (žr. 1 brėž.). Panau-

dojant dar 11 degtukų, jis padalijamas į 4 lygiaplotes dalis, kurių kiekviena liečiasi su kitomis trimis (žr. 2

brėž.). Su 12 degtukų tą patį kvadratą galėtume padalyti ne tik į 4 ly-giaplotes, bet ir į vienodos formos dalis (žr. 3 brėž.).

Iš 24 degtukų sudėtas kvadratas, kurio centre yra kvad-ratinė skylė. a) Su dar 18 degtukų padalykite šį kvadratą į 6 lygiaplotes ir vienodos formos dalis. b) Su dar 20 degtukų padalykite šį kvadratą į 8 lygiaplotes ir vienodos formos dalis.

16 12

•

Ritinio turis apskaičiuojamas pagal formulę V =S . -H = TUa h. ritimo pagrindo

2.7. TURIS IR JO MATAVIMAS

Rimas ir Gintas nusprendė apskai-čiuoti, kiek skysto betono reikėtų užsa-kyti, norint iš jo išlieti vieną Vilniaus rotušės koloną. Tarkime, kad betoną galima užsakyti vieno kubinio metro tikslumu.

I O m

—щщиэ Spręsdami šį uždavinį, abu berniukai suklydo. Išnagrinėkite jų sprendimus ir aptarkite, kokią klaidą padarė kiekvienas berniukas. Užrašykite teisingą šio uždavinio sprendimą.

0,33

Rimo sprendimas V = v i + y2 + y3 =

= π· 0,952 0,33 + π 0,852· 10 + + π·0,92·0,3 = 24,4 (m3).

Ats.: kolonai išlieti reikėtų užsa-kyti 24 m3 skysto betono.

Ginto sprendimas

V1 = π • 0,952 • 0,33 = 0,9 (m3), = π·0,852·10 = 22,7 (m3), = π · 0,92 · 0,3 = 0,8 (m3); = V1+ V2+ V 3 -0 ,9+ 22,7+ 0,8 = - 24,6 (m3).

Ats.: kolonai išlieti reikėtų užsa-kyti 25 m3 skysto betono.

V,

V

Išmatuoti kūno tūrį reiškia nustatyti, kiek tų pačių tūrio vienetų telpa matuojamame kūne.

Pagrindinis tūrio matavimo vienetas yra kubinis metras, t. y. tūris kubo, kurio briaunos ilgis lygus 1 m.

Tūrio matavimo vienetų sąryšiai: 1000 1000 1000 1000 1000 1000

km3 • • m" dm3 cnr mm"

Gyvenime, ypač kalbėdami apie skysčius, be tūrio sąvokos, vartojame talpos sąvoką. Talpa dažniausiai matuojama litrais arba mililitrais:

I U l d m 3 , I m l = I c m 3 . Tūrio savybės: 1) lygių erdvinių kūnų tūriai yra lygūs (stumiant arba apverčiant

kūną, jo tūris nekinta); 2) kūno tūris lygus jo dalių tūrių sumai. Jeigu kūnus, kurių tūriai V1 ir V2, sujungsime, kaip parodyta brėži-

nyje, tai gautojo kūno tūris bus lygus pradinių kūnų tūrių sumai:

les:

К Ъ v= V1 + v, Kai kurių kūnų tūrį galime apskaičiuoti greičiau — taikydami formu-

-

h

V

stačiakampio gretasienio V=S pagrindo h = a b e·,

prizmes ^ pagrindo ^'

ritinio ^ pagrindo ^

piramidės

^ ^ pagrindo ^'

kūgio

V = I s . ·Λ = ΙπΓ2Λ; β pagrindo ^

rutulio V= 4 яг3.

Uždaviniai

Pratimai 1. Kokius skaičius reikia įrašyti vietoj daugtaškių:

a) 0,000000013 km3 =... m3= ... cm3; b) 5 700 000 000 cm3=... dm3 = ... m3;

c) - 1 =... ml = ... cm3=... dm3? 4

2. Apskaičiuokite pavaizduoto kūno tūrį: a) ^ b)

A ^ T f ^ / i48 \ T l I 20

1 — m — ^ ™

3. Patalynės dėžės tūris 216 dm3, o pagrindo plotas 36 dm2. Apskaičiuokite šios dėžės aukštį.

4. Skardinė yra ritinio formos. Jos pagrindo skersmuo lygus 6 cm. Kokio aukščio turi būti ši skardinė, kad joje tilptų 0,5 1 gėrimo?

5. Iškastas ritinio formos tunelis, kurio ilgis 10 km, o skersmuo 6 m. Nu-statykite: a) kiek kubinių metrų grunto buvo iškasta (imkite π = 3,14); b) kokio aukščio kūgio formos kalną, kurio pagrindo plotas 1 ha, būtų galima supilti iš šio grunto. Atsakymą pateikite metrų tikslumu.

6*. Krepšinio kamuoliai būna įvairių dydžių. Tarptau-tinės krepšinio federacijos FIBA nutarimu, nuo 2004 m. spalio 1 d. moterys žaidžia mažesniu ka-muoliu, kurio matmenys (didžiojo apskritimo il-gis) yra apie 730 mm. Apskaičiuokite šio kamuolio tūrį.

7. Braškiniai ledai užima visą kūgio formos vaflinį krepšelį. Ant jų uždėta pusrutulio formos vanilinių ledų. Remdamiesi brėžinio duomenimis, nustaty-kite, kurių ledų yra daugiau.

Matematika gyvenime

Braškiniai ledai IOcm

8*. Įrengiant namo šildymo sistemą, svarbu parinkti tinkamą katilą. Dėl to reikia žinoti namo tūrį. Apskaičiuokite brėžinyje pavaizduoto viena-

9. Ritinio pagrindo plotas 24π cm3. Kokio aukščio yra šis ri-tinys, kai jo tūris lygus 120π cm3?

10. Kūgio sudaromoji 20 dm, o pagrindo spindulys 1 m. Ap-skaičiuokite to kūgio tūrį.

11. Taisyklingosios keturkampės piramidės apotemos ilgis 5 cm, o pagrindo briaunos ilgis 0,8 dm. Apskaičiuokite piramidės tūrį.

12. Kubo viso paviršiaus plotas lygus 54 cm2. Koks yra šio kubo briaunos ilgis?

13*. Iš popieriaus gaminamas kūgis. Jo šoninio paviršiaus išklotinės spindu-lys 9 cm, o pagrindo spindulys 3 cm. Apskaičiuokite: a) kokio aukščio kūgis bus pagamin-tas; b) koks bus pagaminto kūgio tūris.

14. Sakykime, kubo briauna, kūgio aukštinė ir pagrindo skersmuo, ritinio aukštinė ir pagrindo skersmuo bei ru-tulio skersmuo yra to paties ilgio:

Matematika matematikoje

Problemos

a) Neskaičiuodami palyginkite šių kūnų tūrį· Spėkite, kurio kūno tū-ris yra mažiausias, o kurio — didžiausias. b) Pasirinkę dydžio χ skaitinę reikšmę, apskaičiuokite kiekvieno kūno tūrį. Ar jūsų spėjimas pasitvirtino? c)* Ar su visomis χ reikšmėmis šių kūnų tūrio reikšmes būtų galima išdėstyti ta pačia didėjimo tvarka?

70 GEOMETRIJA

2.8. LYGUMAS IR PANAŠUMAS

roblemų spr

Dvi vienodos kubo formos dėžės iki viršaus glaudžiai prikrautos ru-tulių, pagamintų iš tos pačios medžiagos. Kiekvienos dėžės atskiruose sluoksniuose yra po tiek pat rutulių. Pirmoje dėžėje iš viso yra 8 vienodi didesni, antroje — 27 vienodi mažesni rutuliai. Kuri dėžė sunkesnė?

I dėžė И dėžė

Masė ir tūris yra proporcingi dydžiai, todėl lyginsime dėžėse esančių rutulių tūrį. Pirmos dėžės kiekviename sluoksnyje yra po 4 rutulius, ant-ros — po 9 rutulius:

Apskaičiuokime mažesnio ir didesnio rutulio spindulių ilgių santykį: a

R2 Q a 4 4 2 R1 ~ a ~ 6 a ~ 6 ~ 3'

4

Ilgių santykis lygus panašumo D

koeficientui: — = k. R1

Apskaičiuokime mažesnio ir didesnio rutulio tūrių santykį:

Ys. V1

—nRo

-TiRf 3 1

Rl R2 я

ί 2 1 Rf R1

_8_

27'

Tūrių santykis lygus pa-našumo koeficiento ku-

V bui: ^ = k3.

VI

Dabar raskime visų pirmoje ir antroje dėžėje esančių rutulių tūrių santykį:

27У2 _ 27 27 _8_ 8V; ~ 8 ' V1 ~ 8 ' 27 ~

Jis rodo, kad dėžėse esančių rutulių tūriai yra lygūs, vadinasi, abiejų dėžių masė vienoda.

Plokščiosios figūros vadinamos lygiomis, jei uždėtos viena ant kitos (gal ir apvertus) sutampa. Apie erd-vinius kūnus sakome, kad jie yra ly-gūs, jeigu nesiskiria nei dydžiu, nei forma.

Rašome: Fl = Fr

Trikampių lygumo požymiai 1.

2.

3.

к 1 ^ b b

sv , A > b ъ

a a Jr Vc Jr Vc Il A — H A

Lygiųjų figūrų atitinkamosios at-karpos ir atitinkamieji kampai yra ly-gūs.

Lygių objektų ilgių santykis lygus 1:

= 1. a P,

Lygių objektų plotų santykis lygus 1:

S1 = 1.

S,

Lygių objektų tūrių santykis lygus 1:

^ - = 1. V1

Plokščiosios figūros vadinamos pa-našiomis, jei vieną jų sumažinę (pa-didinę) gauname kitą. Apie erdvi-nius kūnus sakome, kad jie yra pa-našūs, jeigu skiriasi dydžiu, bet ne forma. Rašome: F 1 - F r

Trikampių panašumo požymiai 1.

2.

3.

b s\

bk . \ \

b bk , I lt / \ck

b bk Panašiųjų figūrų atitinkamieji kam-

pai yra lygūs, o atitinkamosios atkar-pos — proporcingos, t. y. skiriasi tą pa-tį skaičių kartų. Šis skaičius vadina-mas panašūmo koeficientu,.

Panašių objektų ilgių santykis ly-gus panašumo koeficientui:

4 ak 4a

= k.

Panašių objektų plotų santykis ly-gus panašumo koeficiento kvadratui:

(akf 2,2 a k • k1.

Panašių objektų tūrių santykis ly-gus panašumo koeficiento kubui:

V2 M 3

V1 a3

3,3 a k k\

ak V2

Uždaviniai.

Pratimai 1. Brėžinyje pavaizduota lygiašonė

trapecija ABCD. a) Suskaičiuokite, kiek lygių tri-kampių porų matote brėžinyje.

Išvardykite atitinkamai lygius jų kampus ir atitinkamai lygias kraštines. b) Pagrįskite, kodėl AABC = AABD. c) Nurodykite panašių trikampių porą. d) Pagrįskite, kodėl trikampiai AOB ir COD yra panašūs.

2. Nubraižykite du trikampius, kurie yra: a) tokios pačios formos, bet ne lygūs, ir nurodykite, kaip jie vadinami; b) tokio paties ploto, bet ne lygūs, ir nurodykite, kaip jie vadinami.

3. Raskite figūrų panašumo koeficientą: a ) Pradinė figūra Gautoji figūra b) Pradinė figūra Gautoji figūra

3,4 я Ш 5,95

Trikampio ABC viduje nubrėžta atkarpa ED, lygiagreti su kraštine AB. Pagrįskite, kodėl trikampiai CED ir CAB yra panašūs.

5. Duota: SABCD — piramidė, ABCD — kvadratas, SA = SB = SC = SD.

Įrodykite: AABS = ABCS.

Matematika gyvenime

6. Atstumas tarp Šiaulių ir Mažeikių žemėlapyje, kurio mas-telis 1: 2 ООО 000, lygus 3,5 cm. Apskaičiuokite tikrąjį at-stumą tarp šių vietovių.

7. Saulė ir Jupiteris yra tos pačios formos. Saulės skersmuo lygus maž-daug 1385 000 km, o Jupiterio — 141000 km. Kiek kartų Saulės pavir-šiaus plotas didesnis už Jupiterio? Atsakymą pateikite dešimčių tiks-lumu.

8. Raskite x, kai trikampio viduje nubrėžta atkarpa yra ly-giagreti su viena to trikampio kraštine:

9. Trikampio kraštinės lygios 6 cm, 8 cm ir 10 cm. Į jį panašaus trikampio perimetras lygus 12 m. Kokio ilgio yra antrojo trikampio kraštinės?

10. Pirmojo stačiakampio vienos kraštinės ilgis 4 cm, į jį panašaus antrojo stačiakampio atitinkamos kraštinės ilgis 24 cm. Apskaičiuokite: a) stačiakampių panašumo koeficientą; b) antrojo stačiakampio plotą, kai pirmojo plotas lygus 28 cm2.

11. Panašių lygiakraščių trikampių plotų santykis lygus 24 :6. Apskai-čiuokite didesniojo trikampio kraštinės ilgį, kai mažesniojo kraštinės ilgis lygus 5,5 mm.

12. Duoti du kubai, kurių panašumo koeficientas lygus 8. Didesniojo kubo tūris 64 cm3. Kokio ilgio yra mažesniojo kubo briauna?

Problemos 13. Apžiūrinėdamas Vilniaus katedrą, Vytenis susidomėjo jos

aukščiu. Grįžęs namo, jis pavartė leidinį apie Vilniaus statinius ir ten rado katedros priekinio fasado nuotrauką, planą ir mastelį. Tačiau jokių duomenų apie aukštį ne-buvo. Kaip Vytenis galėtų apskaičiuoti katedros aukštį?

Nurodymai: 1) remdamiesi plano masteliu, apskaičiuokite realų katedros fasado ilgį; 2) apskaičiuokite katedros fasado tikrojo ilgio ir ilgio nuotraukoje pana-šumo koeficientą; 3) išmatuokite statinio aukštį nuotraukoje; 4) apskaičiuokite tikrąjį katedros aukštį.

galiu paaiškinti, pateikti pavyzdį, ką reiškia: smailusis, bukasis, statusis, ištiestinis, pilnasis kampas; gretutiniai, kryžminiai kampai, jų savybės; atitinkamųjų, priešinių, vienašalių kampų prie lygiagrečiųjų tiesių savybės; statmenosios, lygiagrečiosios, susikertančiosios, prasilenkiančiosios tiesės, kampai tarp jų; pasviroji, statmu5 plokštumai, pasvirosios projekcija plokštumojė; kampas tarp pasvirosios ir plokštumos, dvisienis kampas; daugiakampis (taisyklingasis), daugiakampio kampų sumos radimo formulė; statusis, lygiašonis, lygiakraštis trikampis, trikampio nelygybė; trikampio aukštinė, pusiaukraštinė, pusiaukampinė, kraštinės vidurio stat-muo; Pitagoro teorema; keturkampis, lygiagretainis, rombas, stačiakampis, kvadratas, trapecija; trikampio ir trapėcijos vidurinės linijos ir jų savybės; įbrėžtinis ir apibrėžtims keturkampiai, jų savybės; apskritimas, skritulys, spindulys, skersmuo, apskritimo lankas, liestinė, kirs-tinė; skritulio išpjova ir nuopjova; centrinis ir įbrėžtinis kampai, jų savybės; briaunainis, prizmė (stačioji, taisyklingoji), stačiakampis gretasienis, kūbas, piramidė (taisyklingoji), tetraėdras (taisyklingasis), sukinys, ritinys, kūgis, rutulys; ašinė simetrija (simetrijos ašis), centrinė simėtrija (simetrijos centras), posū-kis (posūkio cėntras, teigiamasis ir neigiamasis posūkio kampas), postūmis (postūmio kryptis, postūmio nuotolis); ilgis, ilgio matavimo vienetai, perimetras, apskritimo ilgis; plotas, ploto matavimo vienetai; erdvinio kūno šoninis ir visas paviršius, išklotinė; tūris, tūrio matavimo vienetai; lygiosios ir panašiosios figūros, panašumo koeficientas; panašiųjų figūrų atitinkamų ilgių, plotų ir tūrių santykių savybės.

taikyti gretutinių ir kryžminių kampų, taip pat kampų, gautų perkirtus dvi lygiagrečias tieses trečiąja, savybes, spręsdamas/spręsdama įvairaus turinio paprastus uždavinius; stačiosios prizmės (ar piramidės) modelyje ir brėžinyje parodyti lygiagrečią-sias, statmenąsias, susikertančiąsias bei prasilenkiančiąsias tieses ir lygiagre-čiąsias, statmenąsias, susikertančiąsias plokštumas; parodyti kampus tarp stačiakampio gretasienio įstrižainės ir pagrindo, taip pat taisyklingosios piramidės dvisienius kampus prie pagrindo; paprastais atvejais taikyti daugiakampio kampų sumos formulę; taikyti trikampio nelygybę, spręsdamas/spręsdama paprastus uždavinius; taikyti Pitagoro teoremą, spręsdamas/spręsdama įvairaus turinio paprastus uždavinius;

2.2.4 remtis lygiašonio ir lygiakraščio trikampio, lygiagretainio, stačiakampio, rom-bo, kvadrato ir lygiašonės trapecijos savybėmis, spręsdamas/spręsdama pa-prastus uždavinius;

2.2.5 taikyti trikampio ir trapecijos vidurinių linijų savybes, spręsdamas/spręsdama paprastus uždavinius;

2.2.6 atskirti centrinį kampą nuo įbrėžtinio, rasti vieno jų didumą, kai žinomas kito didumas;

2.2.7 naudotis apskritimo liestinės savybe, įbrėžtinių kampų, kurie remiasi į tą patį lanką, lygumu, įbrėžtinio kampo, kuris remiasi į skersmenį, savybe, įrody-damas/įrodydama arba paneigdamas/paneigdama paprasčiausius teiginius, spręsdamas/spręsdama nesudėtingo praktinio turinio uždavinius;

2.2.8 apskaičiuoti apie taisyklingąjį trikampį apibrėžto ir į jį įbrėžto apskritimo spindulio ilgį;

2.2.9 taikyti įbrėžtinio ir apibrėžtinio keturkampio savybes, spręsdamas/spręsdama paprastus uždavinius;

2.3.1 brėžinyje pavaizduoti stačiąją prizmę, piramidę, ritinį, kūgį, paprastais at-vejais apskaičiuoti jų elementus;

2.4.1 spręsti paprastus uždavinius, kuriuose vartojamos su ašine ar centrine si-metrija, posūkiu arba postūmiu susijusios sąvokos;

2.4.2 iš pateikto funkcijos grafiko nustatyti jo simetrijos ašį ar centrą, atpažinti lyginę (nelyginę) funkciją;

2.4.3 iš brėžinio nustatyti figūros postūmio kryptį ir nuotolį, nubrėžti figūrą, į kurią atvaizduojama pradinė figūra postūmiu išilgai Ox ar Oy ašies nurodytu atstu-mu;

2.5.1 paprastais atvejais apskaičiuoti trikampio, žinomų keturkampių, skritulio ar jų dalių elementus, šių figūrų, jų dalių ar junginių perimetrą;

2.5.2 smulkinti ir stambinti ilgio matavimo vienetus;

2.6.1 užrašyti trikampio, žinomų keturkampių bei skritulio ploto formules, papras-tais atvejais apskaičiuoti šių figūrų, jų dalių ar jų junginių plotą, palyginti trikampių, turinčių bendrą aukštinę (pagrindą), plotą;

2.6.2 paprastais atvejais apskaičiuoti stačiosios prizmės, piramidės, kūgio bei riti-nio šoninio ir viso paviršiaus plotą, rutulio paviršiaus plotą, žinomų briau-nainių ir sukinių junginių paviršiaus plotą;

2.6.3 smulkinti ir stambinti ploto matavimo vienetus; 2.7.1 paprastais atvejais apskaičiuoti stačiosios prizmės, piramidės, kūgio, ritinio,

rutulio, jų dalių ar junginių tūrį; 2.7.2 smulkinti ir stambinti tūrio ir talpos matavimo vienetus; 2.8.1 atpažinti lygias ir panašias figūras, paprastais atvejais remtis trikampių lygu-

mo ar panašumo požymiais, apskaičiuodamas/apskaičiuodama nežinomus tri-kampių elementus ir spręsdamas/spręsdama praktinio bei matematinio turi-nio uždavinius;

2.8.2 susieti panašių objektų ilgius, plotus ir tūrius, šias žinias taikyti spręsdamas/ spręsdama paprastus uždavinius.

2 TESTAS

1. Trikampis ABC yra lygiašonis, jo AB = = BC. Kampas BCD lygus 150°. Apskai-čiuokite kampo ABC didumą. A 30° B 60° C 75° D 120° E 150°

C D (1 taškas)

2. Iš vielos reikia išlankstyti trikampį, kurio dvi kraštinės turi būti 7 cm ir 9 cm ilgio. Trikampiui galima panaudoti ne daugiau kaip 40 cm vie-los. Kokio ilgio gali būti trečioji trikampio kraštinė? (1 taškas) A 24 cm B 16 cm C 40 cm D Bet kuris skaičius iš intervalo (2; 16) E Bet kuris skaičius iš intervalo (16; 24)

3. Keturkampio kampai proporcingi skaičiams 1, 2, 3 ir 4. Apskaičiuokite keturkampio kampų didumą. (1 taškas) A 1°, 2°, 3°, 4° B 10°, 20°, 30°, 40° C 20°, 40°, 60°, 80° D 36°, 72°, 108°, 144° E 18°, 36°, 54°, 72°

4. Taip papildykite figūrą mažiausiu skaičiumi spalvotų kvadratėlių, kad ji būtų simetriška tiesės a atžvilgiu.

(1 taškas)

5. Kvadratas ABCD susideda iš vieno viduryje esančio kvadrato ir keturių stačiakampių. Kiekvieno stačia-kampio perimetras lygus 40 cm. 1. Parodykite, kad kvadrato ABCD perimetras lygus 80 cm. (1 taškas) 2. Apskaičiuokite kvadrato ABCD plotą. (1 taškas)

6. Stankevičių šeima sumanė namo pastogėje įsirengti dar vieną kambarį. Dėl to jiems pertvaros siją AB (1 brėž.) reikia pakelti aukštyn iki CD (2 brėž.). Žinodami, kad ši sija turi išlikti lygiagreti su lubomis, apskai-čiuokite naujosios sijos CD ilgį.

i 2 (3 taškai) >4K

4,5 ш

EB EB

7. Apskaičiuokite nuspalvintos figūros plotą. Imkite π = 3,14.

(3 taškai)

8. Palapinės ilgis 3 m, plotis 2 m, aukštis 1,5 m. Ar šiai palapinei pasiūti užtektų 20 m2 medžiagos (palapinė yra su dugnu, į siūles nekreipkite dėmesio)? .

. (4 taškai)

9. Į kiek ritinio formos puodelių, kurių aukštis 7 cm, o skersmuo 8 cm, galima išpilstyti 20 1 sulčių?

(4 taškai) 10. Cheopso piramidė (pastatyta 2600 m. pr. Kr.) yra taisyklingosios ketur-

kampės piramidės formos. Iš pradžių jos pagrindo kraštinė buvo 233 m, o aukštinė — 147 m ilgio.

1. Apskaičiuokite ką tik pastatytos piramidės tūrį. Atsakymą pateikite suapvalintą iki šimtų kubinių metrų.

(2 taškai) 2. Nustatykite, kiek kubinių metrų amžiams bėgant sumažėjo pira-midės tūris, jei yra žinoma, kad dabar jos tūris lygus 2 353 200 m3.

(1 taškas)

3 Funkcijos ir jų grafikai

GRAFIKŲ TRANSFORMACIJOS

Funkcijos savybes patogiausia tirti, kai ji išreikšta grafiku. Norėdami nubraižyti formule išreikštos funkcijos grafiką, galime pasirinkti kelias nepriklausomojo kintamojo reikšmes, pagal formulę apskaičiuoti atitinka-mas priklausomojo kintamojo reikšmes, tada gautų reikšmių poras pažy-mėti koordinačių plokštumoje taškais ir sujungti juos kreive.

Jeigu žinome, kaip atrodo paprasčiausių funkcijų grafikai, tai nemažai sudėtingesnių funkcijų grafikų galime gauti greičiau. Tereikia pasinaudoti taisyklėmis, nusakančiomis būdingus grafikų pokyčius (transformacijas).

Siame skyriuje apžvelgsime kai kurias šių taisyklių, o dabar pateikia-me keleto paprasčiausių funkcijų formules ir grafikus, kuriuos pravartu įsidėmėti. y = const

y У 7 1- / 1-/

/ O X

/ /

У J l \ У f

Ll-Ll-

O 1 JC

y 1 1 1 " X

ί-_

ί-ο X

\ \

У y=2

Ι-Ι-

Ο X

y= a', a>O, α * 1 У

-..-.f... 3 y / v —

1 -- / У=

( i ) ' V=2 1 - У=

( i ) ' V=2

O X N N O X

y = Iog χ, a> O, a Φ 1, a:>0

3.1. GRAFIKO TEMPIMAS (SPAUDIMAS)

Jeigu funkcijos y=fix) grafiko kiekvieno taško ordinatę padaugin-sime iš skaičiaus k, k>l, gausime funkcijos y = kf{x) grafiką, kuris, pa-lyginti su funkcijos y= fix) grafiku, tarsi išsitempia išilgai Oy ašies.

Jeigu funkcijos y= fix) grafiko kiekvieno taško ordinatę padaugin-sime iš skaičiaus k, 0<k<l, gausi-me funkcijos y = kf(x) grafiką, kuris, palyginti su funkcijos y =f{x) grafiku, tarsi susispaudžia išilgai Oy ašies.

Uždaviniai

1. Aprašykite, kaip reikia nubraižyti funkcijos y = kf[x) (čia Pratimai k > 1) grafiką, kai žinomas funkcijos y= fix) grafikas.

2. Duotas funkcijos у =fix) grafikas:

a) y b) У c) y

1-r

1 į. / ° 1 X 2 V У

O X

/ У 1 O 1 X / _ L J

Nubraižykite funkcijos y = tZfix) grafiką. 3. Pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Vienos iš tų funkcijų formulė yra

žinoma. Parašykite kitos funkcijos formulę, atsižvelgdami į tai, kad tos funkcijos grafikas gautas iš pirmojo, jį ištempus.

4. Aprašykite, kaip reikia nubraižyti fiką, kai žinomas funkcijos y=fix)

5. Duotas funkcijos y= fix) grafikas:

funkcijos y = kfix) (čia 0<k<l) gra-grafikas.

a) y b) y c) У

\ / 2 N \ / / / N, S. 7 \ / / \

O X O 2 X O X

Nubraižykite funkcijos y = —fix) grafiką.

6. Pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Vienos iš tų funkcijų formulė yra žinoma. Parašykite kitos funkcijos formulę, atsižvelgdami į tai, kad tos funkcijos grafikas gautas iš pirmojo, jį suspaudus.

7. Toje pačioje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijų y=fix), y =

= 2fix) ir y = j-fix) grafikus, kai:

a) fix) = x2; b) fix)=x; c) fix) = - 2 ; d) fix) = Iog3Jc. 8. Toje pačioje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijų y=fix), y =

= 3fix) ir y = -i-Дх) grafikus, kai: a) fix) = x3; b) fix)=x; c) fix) = T; d) fix) = Iog5 χ.

3.2. GRAFIKO SIMETRIJA

Prisiminkime: Jeigu žinomas funkcijos y= fix)

grafikas, tai, atvaizdavę jį simetriš-kai Oy ašies atžvilgiu, gausime funkcijos y=fi-x) grafiką.

y y =/(-*) y=f(x)

O X

Jeigu žinomas funkcijos y= fix) grafikas, tai, atvaizdavę jį taško 0(0; 0) atžvilgiu (arba ašių Ox ir Oy atžvilgiu), gausime funkcijos y = = - f i - x ) grafiką.

Jeigu žinomas funkcijos y= fix) grafikas, tai, atvaizdavę jį simetriš-kai Ox ašies atžvilgiu, gausime funkcijos y = - fix) grafiką.

y=№

y=/(-*)

y=-/(*)

Uždaviniai

Pratimai 1. Aprašykite, kaip turite atvaizduoti funkcijos y= fix) grafi-

ką, norėdami gauti funkcijos y= f i - x ) grafiką. 2. Duotas funkcijos y= fix) grafikas:

Nubraižykite funkcijos y= f i - x ) grafiką.

3. Pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Vienos iš jų formulė yra žinoma. Parašykite kitos funkcijos formulę.

4. Toje pačioje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijų y= fix) ir y=fi-x) grafikus, kai: a) f{x) = x2; b) fix)=x; c) fix) = —.

5. Aprašykite, kaip turite atvaizduoti funkcijos y= fix) grafiką, norėdami gauti funkcijos y = - fix) grafiką.

6. Duotas funkcijos y= fix) grafikas:

a) y b) y \ c) У \ Ι-

1 v / Ι-

\ / Ο \ X O X O 2

X

Nubraižykite funkcijos y = - fix) grafiką.

7. Pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Vienos iš jų formulė yra žinoma. Parašykite kitos funkcijos formulę.

a) У b) У I y= Iog2 X a) ί- —

—i— y I

χ3, x>C — Ι-1 • V -

ο 4 1 8 X Ο / \ 4 X y=?

y = ?

8. Toje pačioje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijų y= fix) ir y = - fix) grafikus, kai: a) fix)=χ2; b) fix) = 2*; с) Дх) = >/£.

9. Aprašykite, kaip turite atvaizduoti funkcijos y= fix) grafiką, norėdami gauti funkcijos y = - f i~x ) grafiką.

10. Duotas funkcijos y=fix) grafikas:

a) y b) y

Ι-1

Ι-

O X Ο 3 X

Nubraižykite funkcijos y = -fi~x) grafiką.

11. Funkcijos y = -—χ2 grafiką braižome taip. Pirmiausia nubraižome funk-cijos y =x2 grafiką, paskui jį 2 kartus suspaudžiame išilgai Oy ašies, galiausiai atvaizduojame simetriškai Ox ašies atžvilgiu:

У V = I 2 У

1 2 / У

y = V I / \ /Ь X

/ = E >

V V O 1

X O X J=-LA

Aprašykite, kaip braižytumėte šios funkcijos grafiką, ir jį nubraižyki-te:

a) fix) = -4x2; b)f(x)=--^; c) fix) = 2 log2(-x); d) fix)= --. 2 χ

Matematika matematikoje

12. Jeigu funkcijos y = = fix) grafikas yra simetriškas Oy ašies

atžvilgiu, tai teisinga lygybė fi-x) =fix). Funkcija, kuriai bū-dinga ši savybė, vadinama lygine.

/(-2)

/X-2) = (-2)2 = 4 = = 22=/-(2);

Ц-Х) = i-x)2=x2= fix)', /("2)i y= fix) =X2 yra lyginė funkcija.

Kurios iš pavaizduotų funkcijų yra: a) lyginės; b) nelyginės;

Jeigu funkcijos y = fix) grafi-kas yra simetriškas taško (0; 0) atžvilgiu, tai teisinga lygybė f(-x) = - fix). Funkcija, kuriai būdinga ši savybė, vadinama nelygine.

у Iх

/(2)

D >•

O

n-2) = (-2)3 = = - 8 = - 2 3 = -Д2); f[-x) = (-xf = = -X3= -fix)·, y= fix)=X3 yra nelyginė funkcija.

c) nei lyginės, nei nelyginės? C

13. Pabaikite braižyti funkcijos grafiką, žinodami, kad funkcija yra: a) lyginė; b) nelyginė; c) nei lyginė, nei nelyginė.

Problemos 14. Išnagrinėję pavyzdį, nustatykite, ar funkcija y=fix) yra

lyginė, ar nelyginė, ar nei lyginė, nei nelyginė: a) fix) = x3 + 3; d) flx)=x + x3;

b) flx) = 2x·, e) fix) = 2-х3

c) fix) = 2-х2·, f) fix) = 2 + x.

Pavyzdys. Nustatykime, ar funkcija fix) = x2-2x yra lyginė, ar nelyginė, ar nei lyginė, nei nelyginė. Sprendimas. Randame fl-x): fi-x) = (-x)2-2-i-x)=x2 + 2x. Kadangi β-χ) Φ fix), tai funkcija fix)= χ2- 2x nėra lyginė. Gal ji nelyginė, t. y. gal teisinga lygybė fi-x)= - fix)? Patikrinkime. Gautajai fi-x) išraiškai suteikime tokį pavidalą: fi-x) = x2 + 2x= -i-x2-2x). Deja, fi-x) Φ-fix), todėl nagrinėjamoji funkcija nėra nelyginė. Vadinasi, funkcija fix) = x2-2x yra nei lyginė, nei nelyginė.

3.3. GRAFIKO POSTŪMIS

Jeigu žinomas funkcijos y= fix) grafikas, tai, pastūmę jį Ox ašies kryptimi per a vienetų (čia o > 0), gausime funkcijos y= fix-a) grafi-ką.

Jeigu žinomas funkcijos y = fix) grafikas, tai, pastūmę jį priešinga Ox ašiai kryptimi per α vienetų (čia a>0), gausime funkcijos y= fix+ a) grafiką.

Jeigu žinomas funkcijos y=fix) grafikas, tai, pastūmę jį Oy ašies kryptimi per α vienetų (čia α > 0), gausime funkcijos y= fix)+ a grafi-ką.

У =f(x) * 2

Jeigu žinomas funkcijos y= fix) grafikas, tai, pastūmę jį priešinga Oy ašiai kryptimi per α vienetų (čia a>0), gausime funkcijos y= fix)-a grafiką.

У= fW-2

Uždaviniai

Pratimai 1. Aprašykite, kaip turite atvaizduoti funkcijos у= Дх) grafi-

ką, norėdami gauti funkcijų y=fix-a) ir y= fix + a) gra-fikus; čia a — teigiamasis skaičius.

2. Nubraižykite grafiką, jeigu yra žinoma, kad jis gautas pastūmus brė-žinyje pavaizduotą grafiką Ox ašies kryptimi per 2 vienetus.

- 3

3. Duotas funkcijos y= fix) grafikas:

a) \ y / b ) y c) У \ / 1 . 1 \

K / Ι- 4 K V Ι- O \ X

o 1 X Ο X

Nubraižykite funkcijos y= fix-2) grafiką.

4. Duotas funkcijos y= fix) grafikas:

a ) y b ) y C) У

Ι- / \ Ι- \

Ι- / \ Ι- Ο 1 X Ο X O X

Nubraižykite funkcijos y=fix + 2) grafiką. 5. Toje pačioje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijų y=fix), y =

=fix)-l ir y= fix) + 1 grafikus, kai: 1

a) fix) = X2 ; b) Дх) = χ2; с) Дх) = Vx; d) Дх) = Iog1 χ. 2

6. Aprašykite, kaip turite atvaizduoti funkcijos y= fix) grafiką, norėdami gauti funkcijų у =Дх)- a ir y= fix)+ a grafikus; čia a — teigiamasis skai-čius.

7. Duotas funkcijos y= fix) grafikas:

Nubraižykite funkcijos y= fix)- 2 grafiką.

8. Duotas funkcijos y= fix) grafikas. Nubraižykite funkcijos y=fix)+ 2 gra-fiką.

9. Nustatykite, kuria kryptimi ir kokiu atstumu pastumtas funkcijos y= fix) grafikas:

y=m

b) , ψ J y=Αχ)

\ 1A ,/ Ψ 10. Pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Vienos iš jų formulė yra žinoma.

Parašykite kitos funkcijos formulę.

11. Toje pačioje koordinačių plokštumoje nubraižykite funkcijų y=fix), y = =Дх-1) ir y = Дх + 1) grafikus, kai: а) Дх) = χ2; b) Дх) = χ; с) Дх) = 2; d) Дх) = Iog2 χ.

12. Funkcijos Дх) = (х-2)2 + 3 grafiką galima gauti iš funkcijos Дх) = х2 gra-fiko, pastumiant jį pirma Ox ašies kryptimi per 2 vienetus, paskui Oy ašies kryptimi per 3 vienetus:

Aprašykite, kaip iš funkcijos Дх)=х2 grafiko galėtumėte gauti šių funk-cijų grafikus: а) Дх) = (х + 2)2 + 3; b) Дх) = (х + 2)2-3; с) Дх) = (x - 2)2 - 3.

13. Ieškomosios funkcijos grafikas gautas pastūmus funkcijos fix) = X2 gra-fiką iš pradžių išilgai Ox ašies, paskui išilgai Oy ašies. Išreikškite ieškomąją funkciją formule:

14. Pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai, kurie skiriasi tik padėtimi koor-dinačių plokštumoje. Vienos funkcijos formulė yra žinoma. Parašykite kitos funkcijos formulę:

3.3. Grafiko postūmis

Darbas Funkcijos fix) = X2 grafiką galima transformuoti į funkcijos grupėmis fix) = - (χ + 1) + 2 grafiką tokia seka:

Remdamiesi duotuoju grafiku ir nurodyta jo transformacijų seka, nu-braižykite transformuotos funkcijos grafiką: a)

- » y = 2x2 y= -2x2 y= -2x2 + l; У y = 2

\ / V / O 1

b) y=xj —» y = Ax —» y = - 4x —» y = - 4x - 2;

c) y У-

L· O ! *

d)

y = 2 1 -> y= -2 - x -> y = - 2 - + 1 ;

7

1-o Į jf

'= \ Jx -> У= ^ J x 7 4 y =-| Vx+ 4 -2 .

Jūs galite pasitelkti į pagalbą mokomąją kompiuterių programą!

90 FUNKCIJOS IR JŲ GRAFIKAI Problemų sprendimas

3.4. KVADRATINĖ FUNKCIJA

Prisiminkime: Funkcija, nusakoma formule

y = ax2 + bx + c, a Φ O, vadinama kvadratine. Si funkcija kas-dieniame gyvenime pasitaiko itin dažnai. Ja galima apibūdinti tiltų ar pastatų skliautų formą, įstrižai mesto sviedinuko judėjimo trajektoriją, aukštyn mesto kū-no pakilimo aukščio priklausomybę nuo lėkio trukmės ir t. t.

Kvadratinės funkcijos grafikas vadinamas parabole. Norėdami jį nubraižyti, galime sudaryti funkcijos reikšmių lentelę. Tada gautas atitinkamų reikšmių poras koordinačių plokštumoje pažymėti taškais ir per juos nubrėžti ieškomąją kreivę.

Tačiau sugaištume nepalyginamai mažiau laiko, jeigu iš anksto nu-statytume parabolės šakų kryptį ir grafiką brėžtume per būdingus parabolės taškus:

Parabolės ir Ox ašies sankirtos taškai (* , ; 0) ir ( x į 0)

X1 ir x2 — kvadratinės lygties ax2 + bx + c = 0 sprendiniai.

Parabolės viršūnę ir parabolės bei Oy ašies sankirtos tašką galima rasti visada, tačiau ne visada pavyksta nustatyti jos ir Ox ašies san-kirtos taškus. Jeigu kvadratinis trinaris ax2 + bx + c neturi šaknų, pa-rabolė nekerta Ox ašies. Tada pravartu atsižvelgti į parabolės šakų kryptį ir rasti keleto papildomų taškų koordinates.

1. Išnagrinėkite 1 pavyzdį, iliustruojantį, kaip galima nubraižyti funkcijos y = ax2 + bx + c grafiką, ir atlikite šio skyrelio 1 pratimą (p. 95).

1 pavyzdys Nubraižykime funkcijos y = x 2 - 4x + 3 grafiką. Sprendimas. 1. Randame taškus, kuriuose

nagrinėjamos funkcijos grafi-kas kerta Ox ašį:

x2 - 4x + 3 = O, X 1 = 1, x 2 = 3.

Reikšmių poras (1; 0) ir (3; 0) pažymime ko-ordinačių plokštumoje taškais.

2. Randame parabolės viršūnės koordinates:

xn = —— = - = 2 (viršūnės abscisė), 0 2α 2

y0 = Дх0) = 2 2 - 4- 2 + 3= - 1 (viršūnės ordina-tė). Koordinačių plokštumoje pažymime parabo-

lės viršūnę (2; -1 ) . 3. Ieškome parabolės ir Oy ašies sankirtos

taško. Kai χ = 0, tai y = 3. Vadinasi, gauname taš-ką (0; 3).

Per jį, simetrišką jam parabolės simetrijos ašies atžvilgiu tašką ir anksčiau gautus taškus brėžiame parabolę.

Prisiminkime: Be minėtos išraiškos y = ax2 + bx + c, dažnai naudojamos dar dvi kvad-ratinės funkcijos išraiškos:

y = OiX-X1KX-X2); cia X^j — kvadratinės lygties ax2 + 6x + c = 0 sprendiniai;

y = a(x-x0)2+y0; čia (x0; y0) — kvadratinės funkcijos grafiko viršūnės koordinatės. Norėdami nubraižyti taip išreikštų funkcijų grafiką, galime iš pradžių pertvarkyti jų išraišką į y = αχ2 + bx + c ir tada braižyti grafiką. Tačiau jį galima gauti ir greičiau.

y

ί-ί-ο 1 t i

I-

L _ J

x = 2 Parabolė bus

simetriška šios tiesės atžvilgiu

4 1 1— 2 3 4

-4—

-4*+3

IlIM 2. Išnagrinėkite 2 pavyzdį, iliustruojantį, kaip galima nubraižyti funkcijos y = a(x - xt)(x - x2) grafiką, ir atlikite šio skyrelio 2 bei 3 pratimus (p. 95).

2 pavyzdys Nubraižykime funkcijos y = (x - l)(x - 3) grafiką. Sprendimas. 1. Randame taškus, kuriuose grafikas

kerta Ox ašį: Gc-IXac-3) = 0, x - l = 0, χ - 3 = 0, X1 = 1, X2 = 3.

Reikšmių poras (1; 0) ir (3; 0) pažymime koordinačių plokštumoje taškais.

2. Randame parabolės viršūnės koordinates: 1 + 3

y

ί-ο 1 1 -

: 2 (viršūnės abscisė), 2 2

^o=Дхо) = Д2) = (2 - 1)(2 - 3) = - 1 (viršūnės ordinatė). Koordinačių plokštumoje pažymime parabolės viršū-

nę (2; -1 ) . 3. Ieškome parabolės ir Oy ašies sankirtos taško.

Kai x = 0, tai y = 3. Vadinasi, tas taškas yra (0; 3). Per jį ir anksčiau gautus taškus brėžiame parabolę.

У

O i

y У =

ί-ί-ο -1- y / X ο -1- į

•1U4 3. Išnagrinėkite 3 pavyzdį, iliustruojantį, kaip galima nubraižyti funkcijos y = a(x-x0)2+y0 grafiką, ir atlikite šio skyrelio 4 bei 5 pratimus (p. 95).

3 pavyzdys Nubraižykime funkcijos y = (x - 2)2 - 1 grafiką. Sprendimas. Pastebime, kad šios funkcijos grafiką galima gauti iš

funkcijos y = x2 grafiko, pastumiant jį iš pradžių Ox ašies kryptimi per 2 vienetus, paskui priešinga Oy ašiai kryptimi per 1 vienetą:

У y\ У \ У =X2I \ У= (x 2)2 , y= --(Χ-2) 1 X y

(x 2)2 , --(Χ-2) 1

\ => \ \ ί-л Ι-\ ί- \ Ι-O 1 X ο I χ Ο

-I- KJ У * Ο -I-

— Д ^ Д Д ^

4. Palyginkite funkcijų y = x2 - 4x + 3 , y = Ge - l)Ge - 3 ) ir y = Ge - 2) 2 - 1 grafi-kus, nubraižytus sprendžiant 1—3 pavyzdį. Kaip, nebraižant grafikų, galima nustatyti, kad jie bus vienodi?

5*. Grupėse išnagrinėkite 4 pavyzdį, iliustruojantį, kaip galima užrašyti kvadra-tinės funkcijos formulę, kai žinomas jos grafikas, ir atlikite personažų siūlomas užduotis.

4* pavyzdys Tilto arka yra parabolės lanko

formos. Didžiausias arkos aukštis lygus 4 m, o atkarpos, jungiančios jos galus, ilgis lygus 12 m.

Raskime formulę, kuria butų nusakoma brėžinyje pavaizduotos tilto arkos forma.

I būdas Strategijos pasirinkimas

Strategijos įgyvendinimas

Remsimės kvadratinės funkcijos formule y = ax2 + bx + c. Rasime koeficientų a, 6 ir c skaitines reikšmes. Iš brėžinio nustatome trijų parabolės taškų koordinates: (0; 4), ( - 6 ; 0) ir (6; 0). Įrašome jas į pasirinktą formulę ir sudarome lygčių sistemą:

4 = a-02 + 6-0 + c, 0 = α · ( - 6)2 + 6 · ( - 6 ) + c, 0 = a • 62 + b • 6 + c;

4 = c, 0 = 36a -Qb+ c, 0 = 36a + 66 + c.

Išsprendę šią lygčių sistemą,

Išvados darymas

94 FUNKCIJOS IR JŲ GRAFIKAI

II būdas

Strategijos Pasinaudosime kvadratinės funkcijos formule y = Ci(X-X1)X pasirinkimas χ Oe -X 2 ) .

Rasime a, X1 ir x2 skaitines reikšmes.

Strategijos Iš brėžinio nustatome, kad X 1 = - 6 , o x 2 = 6. Šias reikšmes įgyvendinimas įrašome į funkcijos formulę:

y = a(x - ( - 6))(x - 6), y = a(x + 6)(x-6). Į gautą lygtį įrašome dar vieno žinomo taško — viršūnės — koordinates (0; 4): 4 = a(0 + 6)(0-6), 4= -36a,

1 a = — .

9 Išvados Brėžinyje pavaizduotos tilto arkos forma apibūdinama for-darymas 1

mule y = — (x + 6)(x - 6). 9

III būdas Strategijos Remsimės kvadratinės funkcijos formule y = a (x -X 0 ) 2 +y 0 . pasirinkimas Rasime a, X0 ir y0 skaitines reikšmes.

Strategijos Iš brėžinio nustatome, kad X0 = 0, o y0 = 4. Šias reikšmes įra-jgyvendinimas šome į funkcijos formulę:

y = a(x-0)2 + 4, y = αχ2+ 4. Į gautą lygtį įrašome dar vieno žinomo taško, pavyzdžiui, taško (6; 0), koordinates: 0 = α·62 + 4,

1 α = — .

9 Išvados Brėžinyje pavaizduotos tilto arkos forma apibūdinama for-darymas -į i

mule y = — (x - O)2 + 4, arba y = — x 2 + 4.

Uždaviniai

Pratimai 1. Nubraižykite funkcijos grafiką:

a) y = x2-3x + 2; b) y = - x 2 + 3x-2; c) y = x2 -2x+ 1; d) y = - x 2 - 3 x - 2 .

2. Nubraižykite funkcijos grafiką: a) y = (x + 2)(x + 3); b) y = (x - 2)(x + 3); c) y = (x + 2)(x - 3); d) y = (x - 2)(x - 3).

3. Suteikę funkcijai pavidalą Дх) = (X-X1)(X-X2), nubraižykite jos grafiką: a) y=x2-3x; b) y = x2 + 3x; c) y = -X2-3x; d) y =x2-3x + 2.

4. Nubraižykite funkcijos grafiką: a) y = (x + 2)2 + 3; b) y = (x-2)2 + 3; c) y = (x + 2)2-3; d) y = - ( x - 2 ) 2 - 3 .

5. Suteikę funkcijai pavidalą Дх) = а(х-х0)2+у0, raskite jos grafiko viršūnės koordinates ir nubraižykite grafiką: a) y=x2 + 3; b ) y = (x-2)2; c ) y = _ ( x + 2)2; d) y = - (x + 3)2 + 3.

Matematika gyvenime

z*

6. Iš bokšto balkono įžambiai į viršų paleista strėlė. Jos skriejimo aukščio h (m) priklausomybė nuo laiko t (s) iš-reiškiama formule h{t) = -5t2 + 501 + 20. Remdamiesi šiais duomenimis:

a) nubraižykite funkcijos h{t)= -5č2 + 50č + 20 grafiką; b) įrodykite, kad didžiausias strėlės pakilimo aukštis lygus 145 m; c) apskaičiuokite, kokiame aukštyje yra bokšto balkonas, iš kurio pa-leista strėlė; d) nustatykite, ar per 10 s strėlė pa-sieks Žemės paviršių. Išilgai upės supiltas pylimas, saugantis gyvenvietę nuo potvynių. Pylimo skerspjūvis yra parabolės formos, o jo aukščio h (m) priklausomybė nuo

pločio χ (m) išreiškiama formule h(x) = - — x2 + 2x. Remdamiesi šiais duo-Δ

menimis:

a) nubraižykite funkcijos h(x) = - -i- x2 + 2x grafiką;

b) įrodykite, kad didžiausias šio pylimo aukštis yra 2 m; c) apskaičiuokite pylimo plotį, kai aukštis lygus 2 m; d) apskaičiuokite pylimo plotį 1 m aukštyje.

8. Kiek taškų, kurių koordinatės — natūralieji skaičiai, yra žemiau parabolės y = -x 2 + 4 x - l ?

9. Funkcijos y = (x-3)2 grafikas kerta koordinačių ašis taš-kuose A ir B. Užrašykite tiesės AB lygtį.

10. Parabolės lygtis yra y = x2- 5x + 4. Užrašykite ją tokia išraiška: a) y = a(x-x0)2+y0; b) y = O(X-X1)(X-X2) .

11*. Funkcijos Дх)=х2 grafiką galima transformuoti į funkcijos Дх) = 3 + (χ + 2)2 grafiką, pastumiant jį: • išilgai Ox ašies per m vienetų; • išilgai Oy ašies per n vienetų. Užrašykite πι ir n reikšmes.

Matematika matematikoje

12*. Prisiminkite grafikų transformacijas: jeigu ta pati kreivė vaizduojama skirtingose koordinačių plokštumos vietose, tai vieną tų kreivių galima gauti iš kitos postūmiu (žr. p. 85). Pavyzdžiui, skyrelyje nagrinėtos

funkcijos y = —i(x-6)2 + 4 grafikas gaunamas iš funkcijos y = --^x2 + 4 grafiko, pastumiant jį per 6 vienetus Ox ašies kryptimi.

y 4

-6 1 1 1 'o 6 12 x

Užrašykite formulę funkcijos, kurios grafikas gaunamas pastumiant

funkcijos y = -—χ2+ 4 grafiką per 6 vienetus priešinga Ox ašiai kryp-9

timi. У

Problemos 13*. Jeigu skyrelyje nagrinėto tilto arką koordinačių plokštu-

moje pavaizduotume taip, kaip parodyta dešinėje, tai jos formą apibūdintų kita formulė, negu buvo surasta. Bent dviem skirtingais būdais užrašykite šiame brėžinyje pa-vaizduotos kvadratinės funkcijos formulę.

14*. Viršutinė brėžinyje pavaizduotų vartelių dalis BC yra parabolės for-mos. Pasirinkę koordinačių sistemą, vartelių dalis AB, BC ir CD api-būdinkite lygtimis.

B S X 6 cm

5 cm

A 4 cm

15*. Vartininko smogtas kamuolys pakilo į 10 m aukštį ir už 40 m nuo vartininko atsitrenkė į žemę. Parašykite kamuolio trajektorijos lygtį, tardami, kad ji nusakoma kvadratine funkcija. (Pasirinkite koordinačių

SAVIKONTROLĖ

galiu paaiškinti, pateikti pavyzdį, ką reiškia: 5.1 grafiko tempimas išilgai ašies; 5.2 grafiko simetrija tiesės ir taško atžvilgiu;

lyginė ir nelyginė funkcija; 5.3 grafiko postūmis išilgai ašies; 5.4 kvadratinė funkcija, parabolė.

5.1.1 nubraižyti funkcijos y = kfix) (čia & > 1 arba O < & < 1) grafiką, kai žinomas funkcijos y = fix) grafikas;

5.2.1 nubraižyti grafiką, simetrišką funkcijos y= fix) grafikui nurodytos tiesės ar taško atžvilgiu;

5.2.2 nubraižyti funkcijos y = - fix) arba y=fi-x) grafiką, kai žinomas funkcijos y = =fix) grafikas;

5.2.3 paprastais atvejais nustatyti grafiku arba formule išreikštos funkcijos Iygi-numą;

5.3.1 pastumti funkcijos grafiką nurodytu atstumu Ox ar/ir Oy ašies arba priešinga Ox ar/ir Oy ašiai kryptimi;

5.3.2 nubraižyti funkcijų y=f[x±a) ir y=f\x)±a grafikus, kai žinomas funkcijos y= fix) grafikas;

5.4.1 rasti būdingus parabolės taškus, kai kvadratinė funkcija (a = ±l) išreikšta formule y = ax2 + bx + c (a Φ 0), y = a(x - xj(x - x2), y = a(x-x0)2+y0, nubraižyti jos grafiką;

5.4.2 spręsti nesudėtingus praktinio ir matematinio turinio uždavinius su kvad-ratine funkcija.

3 TESTAS

1. Pateiktos dvi grafiko y = X2 transformacijos: y-1

Kiekvienu atveju užrašykite kreivės lygtį. 2. Funkcija y= fix) išreikšta dešinėje pavaiz-

duotu grafiku.

=Ax)- 1 grafikas yra: B y

\

C ^ , \ I

V / V, / V A x -i O i -v -1 S

3. Nubraižykite funkcijos y= fix-1)-2 grafiką, kai funkcijos y= fix) grafikas yra toks, koks pavaiz-duotas dešinėje.

Ц taškas)

4. Nubraižykite funkcijos y=x2-6x + 5 grafiką. 5. Žmogus nusipirko 30 m virvės ir ketina ja ap-

juosti stačiakampį žemės sklypą. Vieną stačia-kampio kraštinę pažymėję χ (m): a) parodykite, kad sklypo plotą S galima apskai-

(2 taškai)

(2 taškai)

y

\ i O 1 X

Ц taškas)

(3 taškai) J . . . ,

"1 r

čiuoti pagal formulę S = 15x-x ; b) nubraižykite sklypo ploto priklausomybės nuo kraštinės ilgio χ gra-fiką; (3 taškai) c) nustatykite, su kuria χ reikšme sklypo plotas yra didžiausias. Atsaky-mą pagrįskite. (2 taškai)

4 SITUACIJŲ APIBŪDINIMAS TRIGONOMETRINĖMIS FUNKCIJOMIS

Saulėtekis ir saulėlydis, Mė-nulio fazių ar metų laikų kaita, planetų užtemimai ir judėjimas dangaus skliautu, širdies plaki-mas, bet kokio rato ar palydovo sukimasis, vandenyno potvyniai ir atoslūgiai, gripo epidemijos — visi šie procesai periodiškai kartojasi. Kaip atrodo tokius procesus api-būdinančių funkcijų grafikai?

Pavyzdžiui, jeigu vertikaliai įtaisytos spyruoklinės svyruoklės pasvarą pakelsime iš pusiausvyros padėties ir paleisime, jis ims svyruoti žemyn aukštyn. Tarkime, kad ši svyruoklė juda veikiama tik tamprumo bei sun-kio jėgų, bet neveikiama trinties jėgos. Tada spyruoklės ilgio y priklauso-mybę nuo laiko t per tam tikrą laikotarpį T galėsime pavaizduoti tokia bangą primenančia kreive:

Šios, kaip ir kiekvienos kitos periodinės funkcijos, grafikas primena neribotą skaičių kartų atsikartojančią bangą. Vienos bangos intervalo ilgis vadinamas funkcijos periodu.

Šiame skyriuje susipažinsime su keletu periodinių funkcijų: sinusu, kosinusu ir tangentu.

Trigonometrija

Su sinuso, kosinuso ir tangento sąvoko-mis jau esate ne kartą susidūrę. Antai va-žiuojate keliu ir matote dešinėje pavaizduotą kelio ženklą, įspėjantį, kad teks kilti stačion įkalnėn. Šiuo atveju įkalnės matas yra ne kampas, o jo tangentas (išreikštas procen-tais). Tačiau praktikoje įprasta vartoti ne tik tangentą, bet ir kitus stačiojo trikampio kraš-tinių santykius — sinusą bei kosinusą.

Prisiminkime: Kampo a sinusas = statinis prieš kampą a

įžambinė α sin α = —; с

kampo α kosinusas = statinis prie kampo α įžambinė

cos α= —; с

, а tg α = - . b

Įžambinė

IOOm

a Statinis prieš kampą α

Statinis prie kampo α

kampo α tangentas = s t a t i n i s P ^ š kampą α . statinis prie kampo α

Periodiškai pasikartojančią situaciją galėsime apibūdinti, kai, argu-mento reikšmę padidinę arba sumažinę tam tikru skaičiumi (dydžiu), gausime tą pačią funkcijos reikšmę. Tai įmanoma, jeigu argumentu pasi-renkamas posūkio kampas.

Iš tiesų yra labai daug kampų, kuriais pasukę spindulį OA apie tašką O, gausime periodiškai atsikartojantį vaizdą:

α+ 360° α+2-360° α-360°

Taigi 4.1 skyrelyje apibrėšime, ką vadiname bet kokio dydžio kampo sinusu, kosinusu ir tangentu.

4.1. BET KOKIO KAMPO SINUSAS, KOSINUSAS IR TANGENTAS

Nusibraižykime tris apskritimus, kurių centras yra koordinačių pradžios taškas 0(0; 0), o spinduliai atitinkamai lygūs R, 2R ir 3R. Sutarkime, kad vi-sų trijų apskritimų taškas A atitiks 0° posūkio kampą. Visais trimis atvejais tašką A pasukime prieš laikrodžio rodyklę tuo pačiu kampu α ir gautą ap-skritimo tašką pažymėkime raide Ay Kiekviename brėžinyje iš šio taško nuleidę statmenį į Ox ašį, gausime tris panašiuosius trikampius, kurių statinių ilgis atitiks taško A1 koordinates. Kiekvienu atveju išreikškime kampo α sinusą, kosinusą ir tangentą:

Apskritimo У spindulys lygus ~

Apskritimo У spindulys lygus 2 R

у 2 Д Λ α I 1 I O 2χ JA X

Apskritimo У spindulys lygus 3R

k1

7 \ ш/ 3A 1 ° 3* JA X

cos α = —, R

tg α = —; χ

tg α

2y У sin α = 3у У 2 R R'

sin α = 3 R R'

2x 2 R

Il SJ

JH

cos α = Зх 3R

Il

2y = X tg α = Зу = :У_ 2x > X

tg α = Зх ~ X

sin α =

cos α = — = —

Pastebime, kad to paties kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmės nepriklauso nuo apskritimo spindulio ilgio. Todėl labai patogu imti apskritimą, kurio spindulio ilgis lygus vienetui.

Apskritimas, kurio spindulio ilgis lygus vienetui, o centras yra koor-dinačių pradžios taškas, vadinamas vienetiniu. Bet kokio kampo α sinusas bus šį kampą kosinusas — atitinkančio vienetinio taško A abscise, apskritimo taško A ordinatė,

tangentas — taško A ordinatės ir abscises santykis:

sin α = — = y, 1 -7

cos α = — = χ, 1

tg α = f , kai α * 90°, 270°,..

Kadangi apskritimo spindulį galima pasukti bet kokiu kampu, tai taškas A1 gali atsidurti bet kuriame iš keturių ketvirčių (apskritimo lankų, esančių tarp koordinačių ašių) arba koordinačių

čio kampas ir nagrinėjamas. Kampai ±0°, ±90°, ±180°, +270°, ... nepri-

klauso jokiam ketvirčiui. Kiekvieną I ketvirčio tašką koordinačių ašių

arba centro atžvilgiu galima atvaizduoti į kitą to paties apskritimo tašką, todėl kituose ketvirčiuose esančių taškų koordinatės (taigi ir atitinkamos kampų sinusų, kosinusų bei tangentų skaitinės reikšmės) nuo simetriškų I ketvirčio taškų koordinačių gali skirtis tik ženklais.

90°

II ketvirtis I ketvirtis \ 1800I

\ IIIketvirtis IV ketvirtis J

270°

II ketvirtis I ketvirtis

Prisiminkime lygybes, kuriomis nusakomas sinuso, kosinuso ir tangento sąryšis:

sin2 α+ cos2 a = 1, tga = cos a Jos yra teisingos su bet kuriomis α reikšmėmis.

Uždaviniai 5

1. Pavaizduokite du posūkio kampus, kurių didumas yra: a) 30° ir -30°; b) 60° ir -60°; c) 45° ir -45°; d) 180° ir -180°.

2. Nurodykite, kuriam ketvirčiui priklauso pavaizduotas kampas:

3. Kuriam ketvirčiui priklauso šis kampas: a) 4°; b) -102°; c) -51°; d) 135°?

4. Nurodykite posūkio kampą, nepriklausantį nė vie-nam iš ketvirčių.

5. Taškas A atitinka 30° posūkio kampą. Kokį ma-žiausią teigiamąjį posūkio kampą atitinka taškas, simetriškas taškui A: a) koordinačių pradžios atžvilgiu; b) abscisių ašies atžvilgiu; c) ordinačių ašies atžvilgiu?

6. Taškas A atitinka 60° posūkio kampą. Kokį ma-žiausią neigiamąjį posūkio kampą atitinka taškas, simetriškas taškui A: a) koordinačių pradžios atžvilgiu; b) abscisių ašies atžvilgiu; c) ordinačių ašies atžvilgiu?

7. Naudodami vienetinį apskritimą, pažymėkite taškus, atitinkančius šiuos posūkio kampus: a) 0°; 90°; 180°; 270°; b) 30°; 120°; 210°; 330°; c) 60°; 150°; 240°; 330°; d) 45°; 135°; 225°; 315°.

8. Pavaizduokite posūkio kampus α ir α+180°, kai α lygus: a) 30°; b) 45°; c) 60°; d) 90°.

9. Pavaizduokite posūkio kampus α, a+ 360° ir a-360°, kai α lygus: a) 30°; b) 45°; c) 60°; d) 90°.

Pratimai

10. Brėžinyje pavaizduotas posūkio kampas a. Persibraižykite brėžinį ir ja-me pavaizduokite posūkio kampo sinusą bei kosinusą:

11. Raskite posūkio kampo sinusą, kosinusą ir tangentą, kai žinomos tą kampą atitinkančio taško koordinatės:

a) i Уз 2 ' 2

b) £ 5 c) i 2У2 d) 12 13'

_5_4

13 12. Nustatykite posūkio kampo sinuso, kosinuso ir tangento ženklus:

a) 124°; b) 345°; c) 41°; 13. Nustatykite reiškinio ženklą:

a) sin 5° · cos 123°; b) sin 182° · tg 322°; 14. Apskaičiuokite:

a) sin 0°; b) sin 90°; c) sin 180°; e) sin 360°; f) sin ( - 90°); g) sin (-180°);

15. Apskaičiuokite cos α, kai α lygus: a) 0°; b) 90°; c) 180°; e) 360°; f) -90°; g) -180°;

d) -151°.

c) cos 149° • tg 269°.

d) sin 270°; h) sin (-270°).

d) 270°; h) -270°.

16. Kokią didžiausią ir mažiausią reikšmę gali įgyti posūkio kampo sinusas? 17. Ar gali kosinuso skaitinė reikšmė būti lygi:

a) 0,87; b) 1,3; c) -3,5; d) -0,45? 18. Raskite didžiausią neigiamąjį kampą, kurio sinusas lygus - 1 . 19. Raskite mažiausią teigiamąjį kampą, kurio kosinusas lygus - 1 .

\ 20. Remdamiesi sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių lentele, apskaičiuo-kite: a) 2 sin 30° + Уз sin 60°; b) 5cos 60°-tg 45°; c) 2 cos 60°+ 6 sin 30°; d) Уз tg 30°-tg 60°; e) 5 tg 60°-sin 60°; f) 4 cos 45°-2 sin 45°.

α 30° 45° 60°

sin a 1 2

VĮ 2

VĮ 2

cos α VĮ 2

VĮ 2

1 2

tg α Уз 3 1 Уз

21. Yra žinoma, kad šios lygybės teisingos:

sin ( -Ot) = - sin a, cos ( - a ) = cos a, t g ( - a)=--tga.

Šias lygybes pravartu įsidėmėti!

У

яп 30°

1 Ч О j ,

sin (-30°) * /

Kaip tuo įsitikinti?

I būdas Vietoj α pasirinkime bet kokią reikšmę, pa-vyzdžiui, α = 30°. Vienetiniame apskritime pa-vaizduokime sin 30° bei sin ( - 30°) ir įsitikin-kime, kad sin(-30°)= - sin 30°.

II būdas Pasinaudokime skaičiuotuvu. Surinkę reikiamą kampo reikšmę ir pa-spaudę mygtuką [siia], skaičiuotuvo ekrane išvysime sinuso reikšmę. Tačiau, prieš rinkdami kampo reikšmės skaitmenis, patikrinkime, ar kairėje ekrano pusėje yra užrašas DEG. a) Padiskutuokite apie šių būdų privalumus ir trūkumus. b) Apskaičiuokite:

1) л/3 tg ( - 30°); 2) 5 tg 60° · sin ( - 60°); 3) 4 cos ( - 45°). 22. Kaip galima įsitikinti, kad šios lygybės yra teisingos:

a) sin (α + 360°) = sin α; b) cos (α + 360°) = cos α; c) tg (α + 180°) = tg а?

23. Remdamiesi 22 uždavinyje pateiktomis lygybėmis, apskaičiuokite šių reiškinių reikšmes: a) sin 390°; b) tg 225°; c) cos 420°.

24. Suprastinkite:

a) l -s in 2x;

d) tgx-cos χ;

b) l - cos 2 x;

e) ( l - s inx) ( l + sinx);

c) cos2 X

1 · 2 ' 1-sin χ f) ( l - cosx) ( l + cosx).

25. Duota cos a=—. Apskaičiuokite sin α, kai:

a) 0° < а < 90°; b) 270° < а < 360°.

26. Duota sin α=-—. Apskaičiuokite cos α, kai:

a) 180°<а<270°; b) 270° < а < 360°.

27. Saulius su tėčiu stovyklavo prie Ančios ežero. Saulius pa-noro jį perplaukti, nes lanko baseiną ir nesunkiai įveikia 400 m. Tačiau tėtis jį sustabdė siūlydamas įsitikinti, kad atstumas yra saugus. Saulius nustebo — kaip tai pada-

ryti? Tėtis prie pat ežero kranto pasirinko du taškus Axr B taip, kad medis, augantis kitame krante prie vandens, iš taško A būtų matomas 90° kampu, o iš taško B — 60° kampu. Išmatavus atstumą nuo A iki B, paaiškėjo, kad jis lygus 300 m. Nustatykite, ar Saulius nerizikuos plaukdamas į kitą ežero krantą.

Matematika gyvenime

Matematika matematikoje

28. Brėžinyje pavaizduotas vienetinis apskritimas. Remdamiesi brėžinio duomenimis:

-Я a) pagrįskite, kodėl taško P koordinatės yra — . ^ 2

b) raskite taškų A, B ir C koordinates. 29. Remdamiesi brėžinio duomenimis, raskite pažy-

mėtų vienetinio apskritimo taškų koordinates.

y

r

^ 3 0 ° I , i .--''O \ ί I1

s \ Vd

30. Vienas stačioj o trikampio kampas lygus 30°. Remdamiesi brėžinio duo-menimis, raskite nežinomas trikampio kraštines (nurodymas: statinio, esančio prieš 30° kampą, ilgis lygus pusei įžambinės ilgio): a) b) c)

31. Koordinačių plokštumoje pavaizduotas tiesinės funkcijos grafikas. Ži-nome, kad tiesės, einančios per taškus А(хд; yA) ir B(xB; yB), krypties

koeficientą galima apskaičiuoti pagal formulę k = ———.

Pasirinkime pavaizduotoje tiesėje du taškus, pa-vyzdžiui, A(2; 0) ir B(4; 4), ir apskaičiuokime tie-

4 - 0 sės krypties koeficientą k •

Dabar išnagrinėkime statųjį trikampį ABC. Taš-ko B ir taško A ordinačių skirtumas atitinka sta-tinio BC ilgį, o abscisių skirtumas — statinio AC ilgį. Trikampio statinių BC ir AC ilgių santykis lygus kampo ВАС tangentui, t. y. tg Z A =

= BC=± = 9 AC 2

Vadinasi, tiesės krypties koeficientas lygus kam-po, kuriuo tiesė pasvirusi į Ox ašį, tangentui:

Ув-УА OC D — X A

= tga.

1. Apskaičiuokite kampo, kuriuo brėžinyje pavaizduota tiesė pasvirusi į Ox ašį, tangentą:

2*. Apskaičiuokite kampo, kuriuo brėžinyje pa-vaizduota tiesė pasvirusi į Ox ašį, tangentą. (Nu-rodymas: iš pradžių apskaičiuokite tangentą kampo, kurį nagrinėjama tiesė sudaro su prie-šinga Ox ašiai kryptimi, paskui pritaikykite formulę tg (180° + x) = tg x.)

Problemos 32. Mokytojas paprašė mokinių skaičiuotuvu nustatyti reiš-

kinio sin 4 ženklą.

Silvija paspaudė mygtukus Į 4 j ir savo skaičiuotuvo ekrane sm

išvydo užrašą 0,0697564737:

Ę _ 0 , 0 6 Э Т 5 6 Ч 7 3 Т 7

Užrašas DEG rodo, kad įvedamo kampo didumas matuojamas laipsniais (°).

1° centrinis kampas

atitinka — a p s k r i t i m o . 360

Vilija irgi paspaudė tokius pačius mygtukus, tačiau jos skaičiuotuvo ekrane atsirado kitas užrašas:

iRfiDeQ iiai iiiiM ^

Užrašas RAD rodo, kad įvedamo kampo didumas matuojamas radianais (rad).

1 rad centrinis kampas atitinka ap-skritimo lanką, kurio ilgis lygus

apskritimo spinduliui.

Kaip susiję abu kampų matavimo vienetai — laipsnis ir radianas? Jeigu apskritimo spindulį, kurio ilgis R, pasuksime 360° kampu apie tašką O, jo galas nubrėš apskri-timą, kurio ilgis lygus 2kR. Taigi viso apskritimo ilgis atitinka pilnutinį kampą. To paties apskritimo spindulys, sukamas 1 rad kam-pu apie tašką O, nubrėš lanką, kurio ilgis lygus R. Vadinasi, ilgio R lankas atitinka 1 rad kampą. Nesunku pastebėti, kad 2π rad sudaro 360°,

π rad — 180°.

Susitarta žymenį rad praleisti. Taigi jeigu prie skai-tinės kampo reikšmės neparašytas laipsnio ženklas, tai rodo, kad kampas matuojamas radianais.

Palyginkite: a) sin 6° ir sin 6;

2 π# — 360°

R — 1 rad

2π rad = 360° π rad =180° 4 3,14...

π =180°

b) cos 60° ir cos 60; c) tg 12° ir tg 2.

4.2. FUNKCIJA y = sin χ

Kiekvieną vienetinio apskritimo tašką atitin- у kančiam kampui vieninteliu būdu priskiriamas jo sinusas. Tai rodo, kad priklausomybė, siejanti kampą ir jo sinusą, yra funkcija. Kampo reikšmės laikomos argumento reikšmėmis, o jo sinuso reikš-mės — funkcijos reikšmėmis.

Kadangi kiekviena sinuso reikšmė atsikartoja kas 360°, tai nagrinėjama funkcija yra periodinė, o mažiausias teigiamas jos periodas lygus 360°. \

Iš pradžių pabandysime nusibraižyti šios funkcijos grafiko dalį, kampo α reikšmes imdami nuo 0° iki 360°, tada pasvarstysime, kaip galėtų atrodyti visas funkcijos grafikas.

Sudarome funkcijos reikšmių lentelę. Kampo reikšmes pasirenkame iš intervalo [0°; 360°], o atitinkamas sinuso reikšmes apskaičiuojame skaičiuo-tuvu:

α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

sin α 0 0,5 = 0,7 = 0,9 1 = 0,9 = 0,7 0,5 0 - 0 , 5 = - 0 , 7 = - 0 , 9 - 1 = - 0 , 9 = - 0 , 7 - 0 , 5 0

Gautų reikšmių poras koordinačių plokštumoje pažymime taškais ir su-jungiame juos kreive. Gauname deši-nėje esantį vaizdą1.

Tokį patį grafiką galime nubraižyti ir nesudarydami reikšmių lentelės. Už-tenka koordinačių plokštumoje nubrėž-ti vienetinį apskritimą ir kintančias posūkio kampo reikšmes nuosekliai atidėti horizontaliojoje ašyje, o tą kampą atitinkančio sinuso reikšmes — vertikaliojoje ašyje. Sujungę pažymėtus taškus, gausime nagrinėjamos funkcijos grafiką, beje, kiek tikslesnį:

Periodas T= 360'

90° α

1 Paprastumo dėlei Ox ašyje atidėtų kampų reikšmes žymėsime laipsniais. Tačiau turėkime galvoje, kad kiekviena iš jų atitinka skaitinį argumentą, t. y. 180° atitinka π ~ 3 ir 1.1.

Visą funkcijos grafiką nubraižysime pastūmę gautą bangą ±360°, ±720°, išilgai horizontaliosios ašies j abi puses:

sin α

/ ^ N 4 / / - 3 6 0 -21Q° - 180°Ч -90° о 90° 1 8 0 ° \ 270° У"збо° α

Išraiška lentele

Kai kurias tikslias sinuso funkcijos reikšmes intervale [0°; 360°] galime pateikti lentele:

χ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

sin χ 0 1 2

V Į 2 2

1 7з 2

JĮ 2

1 2

0 1 2 2

-Я 2

- 1 2 2

1 2

0

Išraiška grafiku

Sinuso funkcijos grafikas vadinamas sinusoide.

Funkcijos savybės: apibrėžimo sritis χ e ( - o o ; + o o )

reikšmių sritis Д*)е [ — 1; 1] periodiškumas mažiausias teigiamas funkcijos periodas

T= 360°, t. y. sin (x + 360¾) = sin x, k e Z lyginumas funkcija yra nelyginė, t. y. sin (-ж) = - sin χ didėjimo intervalai χ e ( - 90° + 360¾; 90° + 360¾), k e Z mažėjimo intervalai χ e (90° + 360¾; 270° + 360¾), ke Z

Uždaviniai

Pratimai 1. Apskaičiuokite naudodamiesi skaičiuotuvu (atsakymą pa-

teikite 0,001 tikslumu): a) sin 5°; b) sin (-100°); c) sin 255°; d) sin ( - 351°); e) sin 290°; f) sin 117°.

2. Duota funkcija Дх) = sin χ. Remdamiesi tikslių jos reikšmių intervale [0°; 360°] lentele, raskite: а) Д30°); b) Д135°); с) Д210°); d) Д225°).

3. Kokio dydžio kampas turėtų būti vietoj klaustuko? \ a) v

c) i

e)

b) y

' -30° o

-360° -270" -180о>Ч -90° 1I 2 1

4. Ar gali funkcija y = sin χ įgyti reikšmę, lygią: л 5 a) - ;

6 ы 8 b) y ; , 5

C) " I 5 d) ^ 7

2 5. Naudodamiesi funkcijos y = sin χ grafiku, palyginkite:

a) sin 2° ir sin 3°; b) sin 30° ir sin 120°; c) sin (-25°) ir sin 200°. 6. Kuris iš skaičių sin 30°, sin 60°, sin 85°, sin 100° yra mažiausias? Su-

rašykite šiuos skaičius jų mažėjimo tvarka. 7. Nubraižykite funkcijos y = sin χ grafiką intervale [ - 360°; 360°]. Remda-

miesi juo, nustatykite: a) su kuriomis χ reikšmėmis funkcija įgyja reikšmę, lygią 1; 0,5; 0 ; - l ; b) funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus.

8. Remdamiesi intervale [0°; 360°] nu- у braižytu funkcijos y = sin χ grafiku, nu- 1

statykite: a) su kuriomis χ reikšmėmis funkcija ~o įgyja reikšmę, lygią 0; 0,5; -0,5; - 1 ; b) funkcijos reikšmių didėjimo ir ma-žėjimo intervalus; c) didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę; d) keliuose taškuose susikerta funkcijų y = sin χ ir y = - 1 grafikai; e) keliuose taškuose susikerta funkcijų y = sin χ ir y = - 0,5 grafikai.

9. Apie žvakę keletą kartų apsukite popieriaus lapą. Jo riti-nėlį kartu su žvake atsargiai perpjaukite įstrižai. Iš-vynioję perpjautą popierių, pamatysite, kad jo kraštas banguotas, panašus į sinusoidę. Įdomu, nuo ko priklauso bangos aukštis ir ilgis?

Matematika gyvenime

10. Duota sin a = — — . Apskaičiuokite cos a, kai 270°<a< <360°.

11. Kaip, remiantis funkcijos y = sin χ grafiku, galima patik-rinti, ar lygybė sin ( - a) = - sin a yra teisinga?

12. Apskaičiuokite: a) S sin 60° - sin ( - 30°); b) 5 sin 270° - sin ( - 360°).

13*. Brėžinyje pavaizduoti trijų funkcijų grafikai. Kuris iš jų yra funkcijos (žr. 3.2 ir 3.3 skyrelį):

4 a)y = 2 + sin x; b)y = 2sinx; c)y = sinx-2?

Matematika matematikoje

Problemos

4.3. FUNKCIJA y = cos χ

Kiekvieną vienetinio apskritimo tašką atitinkan-čiam kampui vieninteliu būdu priskiriamas ir jo kosi-nusas, todėl priklausomybė, siejanti kampą ir jo ko-sinusą, taip pat yra funkcija. Norėdami nubraižyti jos grafiką intervale [0°; 360°], galime sudaryti reikšmių lentelę ir, pasitelkę skaičiuotuvą, ją užpildyti:

χ 0° 30° 45° W 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

COS X 1 =0,9 =0,7 0,5 0 - 0 , 5 = - 0 , 7 = - 0 , 9 - 1 = - 0 , 9 = - 0 , 7 - 0 , 5 0 0,5 - 0 , 7 =0,9 1

Pastūmę šią kreivę ± 360°, ± 720°,... išilgai Ox ašies į abi puses, nubraižy-tume visą kosinuso grafiką. Jis būtų simetriškas ordinačių ašies atžvilgiu, o kiekviena jo banga pasikartotų kas 360°:

Gautų reikšmių poras koordinačių y plokštumoje pažymėję taškais ir sujungę juos kreive, gautume tokį vaizdą:

X

Funkcijų y = cos χ ir y = sin χ grafikus nubraižę toje pačioje koordinačių plokštumoje, pamatytume, kad funkcija y = cos χ įgyja tokias pat reikšmes, kaip ir funkcijay = sin x, tik pavėluodama vienu ketvirčiu periodo. Pavyzdžiui, funkcijos y = sin χ reikšmė lygi 1, kai χ = 90°, o funkcija y = cos χ šią reikšmę

Taigi funkcijos y = cos χ grafikas gaunamas pastumiant funkcijos y = sin χ grafiką per 90° į kairę. Tai reiškia, kad su bet kuria χ reikšme yra teisinga to130 cos χ = sin (χ + 90°).

Priklausomybė, kuri sieja vienetinio apskritimo tašką ati-tinkantį posūkio kampą su jo kosinusu, vadinama kosi-nuso funkcija. Kaip ir sinuso funkcija, ji yra periodinė. Mažiausias teigiamas jos periodas lygus 360°.

Kosinuso funkcija reiškiama formule

fix) = cos χ; čia χ — bet kokio dydžio kampas.

Kai kurias tikslias kosinuso funkcijos reikšmes intervale [0°; 360°] galime pateikti lentele:

* 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

C O S I 1 S β 1

0 1 S β

- 1 β β 1

0 1 β Js 1 C O S I 1

2 2 2 0 2 2 2 - 1

2 2 2 0 2 2 2 1

Kosinuso funkcijos grafikas vadinamas kosinusoide.

y 1

-360° - 2 7 0 ° \ -180° y/-90° O -] 9 0 ° \ 180° /гж 360° χ

Funkcijos savybės: apibrėžimo sritis χ e (-oo; +oo) reikšmių sritis fix) e [- 1; 1] periodiškumas mažiausias teigiamas funkcijos periodas

T= 360°, t. y. co Or + 360¾) = cosx,k e Z lyginumas funkcija yra lyginė, t. y. cos ( -χ) = cos χ didėjimo intervalai χ e i-180° + 360¾; 360¾), k e Z mažėjimo intervalai χ e (360¾; 180°+ 360¾), k e Z

Išraiška grafiku

Uždaviniai-

Pratimai 1. Apskaičiuokite naudodamiesi skaičiuotuvu (atsakymą pa-

teikite 0,001 tikslumu): a) cos 7°; b) cos ( - 105°); c) cos 263°; d) cos ( - 359°); e) cos 280°; f) cos 115°.

2. Duota funkcija Дх) = соэх. Remdamiesi tikslių jos reikšmių intervale [0°; 360°] lentele, raskite: а) Д30°); b) Д135°); с) Д150°); d) Д225°).

3. Kokio dydžio kampas turėtų buti vietoj klaustuko?

a)

c)

y 1

• ё 2

-180° y A 9 0 ° °

— -1

30° 90°Ч

fly У I

л/2 2

-180° у/-90° ? О

— -1

45° 9θΧ 180°*

b)

d)

e) У

1 1 2

-180° У90° ? О 60° 90Х. 180°1

f)

4. Ar gali funkcija y = cos χ įgyti reikšmę, lygią: , 3

a ) Ϊ « ί -ο Ą

2 d) - - ?

2 5. Naudodamiesi funkcijos y = cos χ grafiku, palyginkite:

a) cos 5° ir cos 8°; b) cos 30° ir cos 150°; c) cos (-25°) ir cos 290°. 6. Kuris iš skaičių cos 10°, cos 100°, cos 200°, cos 300° yra didžiausias? Su-

rašykite šiuos skaičius jų didėjimo tvarka. 7. Remdamiesi intervale [0°; 360°] nubraižy-

tu funkcijos y = cos χ grafiku, nustatykite: a) su kuriomis χ reikšmėmis funkcija įgy-ja reikšmę, lygią 0; 0,5; -0,5; - 1 ; b) funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėji-mo intervalus; c) didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę; d) keliuose taškuose susikerta funkcijų y = cos χ ir у = 1 grafikai; e) keliuose taškuose susikerta funkcijų y = cos χ ir y = 0,5 grafikai.

8. Nubraižykite funkcijos y = cos* grafiką intervale [-360°; 360°]. Remda-miesi juo, nustatykite: a) su kuriomis χ reikšmėmis funkcija įgyja reikšmę, lygią 1; 0,5; 0; - 1 ; b) funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Matematika matematikoje

7з 9. Duota cos a= . Apskaičiuokite sin a, kai 90°<a< < 180°.

10. Kaip, remiantis funkcijos y = cos χ grafiku, galima patikrinti, ar lygybė cos ( - α) = cos α yra teisinga?

11. Apskaičiuokite: а) л/3 cos 30° - cos ( - 60°); b) 5 cos 360° - sin ( - 360°).

Problemos

A > 3·

2· 1

12*. Brėžinyje pavaizduoti trijų funkcijų grafikai. Kuris iš jų yra funkcijos (žr. 3.2 ir 3.3 skyrelį): a) y = 1,5 cos χ; b) y = 1,5 + cos χ; c) y = cos х - 1,5?

90° 180° 270° 360° 450° х

В 90° 180° 270° 360° 450°

13. Koordinačių plokštumoje pavaizduoti funkcijų Да;) = cos я ir g(x) = = 3,5 cos χ grafikai, kai χ e [-360°; 360°]. Nustatykite: a) kuris grafikas yra kurios funkcijos; b) kuri reikšmė didesnė: Д150°) ar £(150°); c) kurios iš šių funkcijų reikš-mė taške χ = - 50° yra didesnė; d) su kuriomis χ reikšmėmis teisinga lygybė cos χ = 3,5 cos χ; e) su kuriomis χ reikšmėmis tei-singa nelygybė cos χ < 3,5 cos χ.

У 4 У 4

/ 2 Į ι

-270° -360° N s - 1 8 0 ° / " 90° O 9QO Ns 180 v /7 270° 360° x

-2 2

4.4. FUNKCIJA y = tg χ

Kiekvieną vienetinio apskritimo tašką atitinkančiam kampui vieninteliu būdu priskiriamas ir jo tangentas. 4.1 skyrelyje sužinojome, kad tangento reikšmės kartojasi kas 180°. Jeigu sudarytume tangento reikšmių intervale [0°; 360°] lentelę ir pradėtume ją pildyti pasitelkę skai-čiuotuvą, netruktume įsitikinti, kad su kai kuriomis kam-po reikšmėmis skaičiuotuvo ekrane atsiranda užrašas „Error". Tai rodo, kad su tomis kampo reikšmėmis tangen-tas yra neapibrėžtas.

tg a = i , kai α * 90°.

χ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

tgx 0 =0,6 1 -1,7 Error = - 1 , 7 - 1 = - 0 , 6 0 =0,6 1 =1,7 Error = - 1 , 7 - 1 = - 0 , 6 0

Žodinė išraiška

Išraiška formule

Priklausomybė, kuri sieja vienetinio apskritimo tašką ati-tinkantį posūkio kampą su jo tangentu, vadinama tangen-to funkcija. Kaip ir sinuso bei kosinuso funkcija, ji yra periodinė. Tačiau mažiausias teigiamas tangento funkcijos periodas lygus 180°. Tangento funkcija reiškiama formule

Дя) = tg x; čia χ — bet kokio dydžio kampas.

Išraiška lentele

Kai kurias tikslias tangento funkcijos reikšmes intervale [0°; 360°] galime pateikti lentele:

χ 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

tgx 0 S 3

1 S — - V i - 1 Л 3

0 V i

3 1 V i — - V i - 1 Л

3 0

Išraiška grafiku

Tangento funkcijos grafikas vadinamas tangentoide.

Fiuikcijos savybės: apibrėžimo sritis χ e R, išskyrus 90°+180¾, k e Z reikšmių sritis fix) e ( - oo; + oo) periodiškumas mažiausias teigiamas funkcijos periodas

T = 180°, t. y. tg (x +180°¾) = tg χ, k e Z lyginumas funkcija yra nelyginė, t. y. tg ( - x ) = - tgx didėjimo intervalai χ e ( - 90° + 180°¾; 90° +180°¾), k e Z mažėjimo intervalai —

Uždaviniai

1. Apskaičiuokite naudodamiesi skaičiuotuvu (atsakymą pa-teikite 0,001 tikslumu): a) tg 10°; b) tg (-103°); c) tg 215°; d) tg ( - 340°); e) tg 275°; f) tg 117°.

2. Duota funkcija /(:r) = tg:x:. Remdamiesi tikslių jos reikšmių intervale [0°; 360°] lentele, raskite: а) Д60°); b) Д225°); с) Д-45°); d) Д150°).

3. Naudodamiesi funkcijos y = tgx grafiku, palyginkite: a) tg 15° ir tg 28°; b) tg 60° ir tg 120°; c) tg (-15°) ir tg 280°.

4. Kuris iš skaičių tg 10°, tg 100°, tg 200°, tg 300° yra didžiausias? Surašy-kite šiuos skaičius jų didėjimo tvarka.

5. Remdamiesi intervale [0°; 360°] nubraižytu funkcijos y = tgx grafiku, nustatykite: a) su kuriomis χ reikšmėmis funkcija įgyja reikšmę, lygią 0; 0,5; - 0,5; - 1 ; b) funkcijos reikšmių didėjimo intervalus; c) keliuose taškuose susikerta funkcijų y = tgx ir y = 2 grafikai.

Pratimai

Matematika gyvenime

6. Kai Saulė pakilusi virš horizonto 60° kampu, kaktusas meta ant že-mės 3 m ilgio šešėlį. Koks yra kaktuso aukštis?

I

C J \ i

7. Girininkas mokiniams pažadėjo Kalėdoms padovanoti tą eglę, kurios aukštį jie nustatys tiksliausiai. Mokiniai išsirinko miško gražuolę. Ko-kių duomenų jiems reikia, kad galėtų apskaičiuoti išrinktos eglės aukštį?

8. Apskaičiuokite: а) л/3 tg 30° - tg ( - 45°); b) cos 60° - tg ( - 360°); c) sin 60° · tg 60°; d) 2 tg 180° - cos ( - 30°); e) y/2 sin ( - 45°) + tg 135°; f) tg ( - 60°) + 2 sin 60°.

9*. Nubraižykite funkcijos grafiką: a) y = tgx + 1; b) y = - t g x ; c) y = tg (χ - 90°).

Matematika matematikoje

Problemos

4.5. LYGTIES b sin χ + c = 0 SPRENDIMAS

Atėjusi į klasę mokytoja lentoje užrašė lygtį sin χ = — ir pasiteiravo mokinių, kaip jie pasiūlytų ieškoti kampo, kai žinomas jo sinusas. Gintas — tikras skaičiuotuvo mėgėjas — nedelsdamas e 3n U rekomendavo pasitelkti būtent šią priemo-nę. Suspaudę Ginto nurodytus mygtukus (sin-1) (ojDGD - V ieni k l a s ė s draugai ekrane [ 0 ^ 5 8 3 5 9 8 1 1 5 8 išvydo užrašą 30, kiti — 0,5235987756. Nė ~ """" kiek nesutrikęs vaikinas priminė, kad kampai matuojami ne tik laipsniais, bet ir radianais. Jis patarė klasės draugams, prieš spaudžiant skaičiuotuvo mygtukus, patikrinti, ar jų ekranuose yra užrašas DEG.

Kai visų mokinių skaičiuotuvų ekranuose švietė užrašas 30, Ginto suolo draugė Snieguolė paklausė:

— O kaip reikėtų rasti kitus kampus, kurių sinusas lygus — ? — Mergina Z prisiminė, kad išspręsti lygtį reiškia rasti visus jos sprendinius.

Dainius pasiūlė atsakymą užrašyti taip: χ = 30° + 360¾, k e Z, nes sinusas yra periodinė funkcija, o jos periodas lygus 360¾. Kadangi tarp klasės draugų atsirado abejojančių, Dainius nusprendė pavaizduoti lygties sprendinius gra-

sin χ ir y = — grafikus braižyti kuo tiksles-fiškai. Mokytoja patarė funkcijųy nius, nes kitaip bus sunku rasti reikiamas sankirtos taškų abscises. Baigęs braižyti grafiką, Dainius netruko įsitikinti, kad užrašas χ = 30° + 360¾, k e Z, iš tikrųjų atspindi tik dalį lentoje užrašytos lygties sprendinių. Kitus spren-dinius mokiniai pasiūlė užrašyti dar viena formule: χ= 150°+ 360¾, k e Z.

1 X " X 1

/ \ 2 O / \ - 4 5 0 ° / з б 0 ° - 2 7 0 ° - 1 8 0 ° \ - 9 0 ° / 30° 90° l s V V ^ 270° У 3 6 0 ° 450° 5 4 0 ° Ч X - 4 5 0 ° / з б 0 ° - 2 7 0 ° - 1 8 0 ° \ - 9 0 ° /

Taigi galiausiai jų atsakymas buvo toks: χ = 30° + 360¾, k e Z, χ= 150° + 360¾, k e Z.

Mokytoja pagyrė mokinius už tai, kad jie puikiai susidorojo su užduotimi. Tada ji parodė, kaip galima rastus lygties sprendinius užrašyti glausčiau — viena formule: —

x = (- 1)* · 30° + 1 8 0 ¾ , k e Z. / Kai k=0, tai x=30°, kai Ar=I, tai x=150° kai k=2, tai

Bendruoju atveju lygties sin χ = α sprendinius, kai α e [ - 1 ; 1], galima užrašyti formule

л: = (-1)* arcsin a + 180°A, k e Z. Žymeniu arcsin α sutarta žymėti bet kurį intervalui [ - 90°; 90°] priklausantį kampą, kurio sinusas lygus a. Kai a £ [ - 1 ; 1], lygtis sin χ = a sprendinių neturi.

Kai kurias tikslias arksinuso reikšmes nesunku rasti naudojantis sinuso reikšmių lentele

a 0° 30° 45° 60° 90°

sin α 0 1 2

β 2 Vi 2

- 1

Arksinuso reikšmes galima ap-skaičiuoti ir skaičiuotuvu, paspaudus mygtuką (sin"1).

Jeigu tikslios kampo reikšmės rasti nepavyksta, tai lygties sin χ = a sprendiniai užrašomi su žymeniu arcsin.

Ieškodami neigiamojo skaičiaus, priklausančio intervalui [ - 1 ; 1], ark-sinuso, pasinaudojame formule

arcsin ( - a) = - arcsin a. Ji yra teisinga, nes kiekvienas si-

nuso grafiko taškas intervale [ - 90°; 90°] turi simetrišką centro atžvilgiu tašką. Ϋ

1

-arcsin α -t

Norėdami išspręsti b sin χ + c = 0 išraiškos lygtį, iš pradžių turime suteikti jai pavidalą sin χ = a, t. y. iš pradinės lygties išreikšti sin x, paskui pritaikyti lygties sin x = a bendrojo sprendinio formulę.

Pavyzdžiai

1. Išspręskime lygtį sin χ -- 1 2'

χ = ( - 1)* arcsin jr + 180°/¾, k e Z;

arcsin — =30°, nes intervale [ -90° ; 90°] 2

sinusas įgyja reikšmę — , kai α = 30°. 2

χ = (-1)*-30°+180¾, k e Z. Ats.:x = (-l)*-30°+180 °k,keZ.

2. Išspręskime lygtį sin χ = 0,6. x = (-1)* arcsin 0,6 + 180¾, k e Z. Ats.: x = (- l)k arcsin 0,6 +180¾, k e Z.

3. Išspręskime lygtį sin χ = - i .

x = (-l)k arcsin + 180¾, k e Z·,

arcsin

r \ 1 2

= - arcsin — = - 30°; 2

x = (-lf -(-30°) + 180¾, k e Z, χ = ( - 1 ) 4 - 1 ) - 3 0 ° + 180¾, k e Z, x = ( - 1)*+1·30°+ 180¾, k e Z. Ats.:x = (-l)*+1-30°+180°/j, k & Z.

4. Išspręskime lygtį 5 sin χ - 2 = 0. 5 sin χ = 2, sin χ = 0,4. χ = ( - 1)* arcsin 0,4 + 180¾, k e Z. Ats.: χ = (— 1)* arcsin 0,4 + 180¾, k e Z.

Uždaviniai

Pratimai 1. Apskaičiuokite skaičiuotuvu (1° tikslumu):

a) arcsin 0,8; b) arcsin 0,5; c) arcsin ( - 0,4). 2. Apskaičiuokite naudodamiesi lentele:

a) arcsin—; 2

b) arcsin—; 2 , . s c) arcsin—;

2

e) arcsin v 2 ,

; f) arcsin V2 2 g) arcsin V3

2

d) arcsin 1;

h) arcsin ( -1) .

3. Koks turi buti skaičius a, kad lygybė butų teisinga: a) arcsin a = 60°; b) arcsin α = 90°; c) arcsin a = 45°; c) arcsin a = - 60°; e) arcsin a = - 90°; d) arcsin a = - 45°?

4. Išspręskite lygtį: л/2 л/3 a) sin χ=—; b) sin χ = 0,5; с) sin χ= -0,5; d) sin*= ; 2 2

e) sin χ= -л/3; f) sin χ= i ; g) sin χ = 0,1; h) s inx=-10. 5

5. Raskite lygties sprendinius nurodytame intervale:

a) sinx=l, χ e [0°; 720°];

c) sinx= — , χε [-90°; 90°]; 2

b) s i n x = - , χ e [-180°; 180°]; 2 /я d) s i n x = - — , χ e [-180°; 180°]. 2

6. Duota lygtis sinx=l. a) Raskite jos sprendinius. b) Įsitikinkite, kad lygties sin χ = 1 sprendinius galima užrašyti papras-čiau: χ = 90°+ 360¾, k e Z.

7. Duota lygtis sinx = 0. a) Raskite jos sprendinius. b) Įsitikinkite, kad lygties sin χ = 0 sprendinius galima užrašyti papras-čiau: χ = 180¾, k e Z.

Matematika gyvenime

8. Stulpas įtvirtintas keturiomis vie-nodo ilgio virvėmis. Kiekviena jų su žeme sudaro 30° kampą. Kiek met-rų virvės sunaudota, jei yra žino-ma, kad viršutinis visų virvių galas įtaisytas 1,5 m aukštyje, o tvirtini-mo kilpoms prireikė 7 % vienos vir-vės ilgio?

9*. Ant kalno stovi pilis, kurios aukštis 80 m. Kalno papėdė-je gulintis akmuo A iš pilies aukščiausio taško P mato-mas 45° kampu, o iš pagrin-do (taško D) — 30° kampu horizonto atžvilgiu. Apskai-čiuokite kalno aukštį H.

Matematika matematikoje

10. Raskite kampą a.

11. 1° tikslumu raskite stačiojo trikampio smailiuosius kampus, kai: a) α = 100, c = 125; b) δ = 65, c = 169; c) α = 20,8, c = 39,4; d) a = 39,7, c = 68,3.

12. Išspręskite lygtį:

a) sinx + 1 = 0; b) sinx =0; 9

c) 6 sin χ = 3; d) 5 sin χ = 10.

13. Ar susikerta funkcijų y = sin χ ir y = 2 grafikai? Atsakymą pagrįskite. 14. Apskaičiuokite pavaizduoto ritinio šoninio pa-

viršiaus plotą, tardami, kad π = 3,14 (žr. p. 63).

Problemos 15. Išnagrinėję pavyzdį, nežinomojo

keitimo būdu išspręskite lygtį: a) sin2x +2 s inx -3 = 0; b) 2 sin2x +5 sinx +2 = 0; c)* sin2 χ + 4 sin x = 0.

VL

60°

8 cm

Pažymėję sin χ raide t, gauname kvad-ratinę lygtį. Randame jos sprendinius. Kadangi t = sin x, tai toliau sprendžia-me dvi lygtis. Pirmoji lygtis sprendinių neturi, o ant-rosios sprendinius galima užrašyti pa-prastesne išraiška.

Pavyzdys Išspręskime lygtį sin2 χ + 4 sin χ + 3 = 0. ί2 + 4ί+ 3 = 0, J1=-3, t2 = - 1; s i n x = - 3 , s i n x = - l ;

sprendinių nėra, χ = - 90° + 360¾, k e Ζ.

Ats.: - 9 0 ° + 360¾, k e Z.

4.6. LYGTIES b cosx+ C = O SPRENDIMAS

Jau žinome, kad lygties sin x = a sprendinius, kai a e [ - 1 ; 1], galima rasti pagal formulę χ = ( - 1);' arcsin a +180¾, k e Z. O kaip sužinoti lygties cos χ = a sprendinius?

Tarkime, kad norime rasti lygties cos χ = sprendinius. Naudodamiesi skaičiuotuvu arba kosinuso reikšmių lentele, iš pradžių raskime mažiausią

teigiamąjį kampą1, kurio kosinusas lygus —. Šis kampas lygus 60°. Tada toje 2 1 pačioje koordinačių plokštumoje nubraižykime funkcijų y = cos χ ir y = —

2 grafikus ir įsitikinkime, kad dalis sprendinių užrašoma taip: χ = 60° + 360¾, k e Z, o dalis — taip: χ = - 60° + 360¾, k e Z.

У 1

X \ / f / \ / 2

- 4 5 0 ° - 3 6 0 ° - 2 7 0 \ - 1 8 0 ° У ^ - б О 0 0

\ ' - 1 60° 180° у / г ж 360° 4 5 0 ° Ч 540° / χ - 4 5 0 ° - 3 6 0 ° - 2 7 0 \ - 1 8 0 ° У ^ - б О 0 0

\ ' - 1

Pastebime, kad visus sprendinius galima pateikti viena formule χ = ±60°+ 360¾, k e Z.

Bendruoju atveju lygties c o s * = α sprendinius, kai α e t - 1 ; 1], galima užrašyti formule

a: = ± arccos a + 360°¾, k e. Z. Žymeniu arccos o sutarta žymėti bet kurį intervalui [0°; 180°] priklausantį kampą, kurio kosinusas lygus a. Kai ag [ - 1 ; 1], lygtis cos x = a sprendinių neturi.

1 Primename: jeigu, žinodami kosinuso reikšmę ^pavyzdžiui, i j , kampo ieškote

skaičiuotuvu, iš pradžių įsitikinkite, kad ekrane yra užrašas DEG. Tada spauskite mygtukus (cos-1) (Д5) Q . Ekrane įsižiebs užrašas 60.

Kai kurias tikslias arkkosinuso reikšmes nesunku rasti naudojantis kosinuso reikšmių lentele

α 0° 30° 45° 60° 90°

cos α 1 £ β 1 0 2 2 2

Jeigu tikslios kampo reikšmės rasti nepavyksta, tai lygties cos χ = a sprendiniai užrašomi su žymeniu arccos.

Norėdami apskaičiuoti neigia-mojo skaičiaus, priklausančio inter-valui [ - 1; 1], arkkosinusą, pasinau-dojame formule

arccos (- a) = 180° - arccos a.

У

1 ГЧл 80° arccos «

-90° О - а

arccos а \ Т 180° У 2 7 0 ° *

Spręsdami b cos χ + с = O išraiš-kos lygtį, iš pradžių turime suteikti jai pavidalą cos χ = a, paskui pritai-kyti lygties cos χ = a bendrojo spren-dinio formulę.

4.6. Lygties b cos χ + с = O sprendimas 125

Pavyzdžiai

1. Išspręskime lygtį cos χ = .

χ = + arccos — + 360¾, k e Z; 2

arccos = 60°, nes intervale [0°; 180°] Zi

kosinusas įgyja reikšmę —, kai α = 60°; Zi

χ= ±60°+ 360¾, k e Z. Ats.: χ = ± 60° + 360¾, k e Z.

2. Išspręskime lygtį cos χ = —.

χ = + arccos - +360¾, k e Z. 3

Ats.: χ = ± arccos—h 360¾, k e Z. 3

3. Išspręskime lygtį cos χ = — .

χ = ± arccos

arccos v 2 y

+ 360¾, k e Z;

: 180° - arccos — = 2

= 1 8 0 ° - 6 0 ° = 1 2 0 ° ;

x = ± 120° + 360¾, k s Z. Ats.: χ = ± 120° + 360¾, k e Z.

4. Išspręskime lygtį 7 cos χ - 1 = 0. 7 cos χ = 1,

cosx= —, 7 '

χ= ±arccos i - + 360¾, k e Ζ.

Ats.: χ = + arccos-i-+ 360¾, k e Z.

Uždaviniai.

Pratimai 1. Apskaičiuokite skaičiuotuvu (1° tikslumu):

a) arccos 0,4; b) arccos ( - 0,8); c) arccos 0,5.

a) arccos

e) arccos

b) arccos 1; c) arccos v 2, 2. Apskaičiuokite naudodamiesi lentele: Vs 2 '

v

d) arccos—; 2

f ΚΛ f) arccos—; g) arccos ( -1 ) ; h) arccos

2 >/3

v 2 j

3. Koks turi buti skaičius a, kad lygybė būtų teisinga: a) arccos a = 30°; b) arccos a = 60°; c) arccos a = 45°; d) arccos a = 0°; e)* arccos a = 120°; f)* arccos a = 135°?

4. Išspręskite lygtį: V2 a) cos χ = 0,5; b) cos Jt=—; c) cos ж=-0,5; 2

s d) Cosx= - 4 ;

1 v 3 e) cosx=—; f) COSx=-л/2; g) cosx = ; h) cos χ = 0,2. 4 2

5. Pateikite pavyzdį cos χ = α išraiškos lygties, kuri neturi nė vieno spren-dinio.

6. Duota lygtis c o s x = - l . a) Raskite jos sprendinius. b) Įsitikinkite, kad lygties cos χ = - 1 sprendinius galima užrašyti pa-prasčiau: χ = 180° + 360°&, k e Z.

7. Raskite lygties sprendinius nurodytame intervale:

a) cosx = l, χ e [-90°; 540°];

c) C O S x = — , χ e [-90°; 180°]; 2

b) C O S X = - , χ e [-180°; 180°]; 2 /ч d) C O S x = — , χ e [-180°; 180°]. 2

8. Duota lygtis cos χ = 1. a) Raskite jos sprendinius. b) Įsitikinkite, kad lygties cos χ = 1 sprendinius galima užrašyti papras-čiau: χ = 360°&, k e Z.

9. Duota lygtis cosx = 0. a) Raskite jos sprendinius. b) Įsitikinkite, kad lygties cos χ = O sprendinius galima užrašyti papras-čiau: χ = 90°+ 180°¾, k e Z.

Matematika gyvenime

10*. Kai šviesos spinduliai krinta į paviršių statmenai, jo apšvieta E apskaičiuojama pagal formulę E = —, o kai

r I cos ос kampu α — pagal formulę E = —; čia I — šviesos stipris, r —

r atstumas nuo šviesos šaltinio iki apšviečiamo paviršiaus. Kokiu kampu reikia pasukti plokštelę, kad jos apšvieta būtų perpus mažesnė negu spinduliams krintant statmenai?

Matematika matematikoje

11. Išspręskite lygtį: a) cos χ +1 = 0; b ) C O S X - — = 0 ;

7 c) cos χ + 3 = 0;

f) 3 COSx = 1. d) 6 cos χ = 12; e) 10 cos χ = 5; 12. Ar susikerta funkcijų y = cos χ ir у = 10 grafikai? Atsakymą pagrįskite.

Problemos 13. Išnagrinėję pavyzdį, nežinomojo keitimo budu išspręskite

lygtį: a) Cos2X+ 4 cosx - 5 = 0; b) 2 cos2 χ+ cos χ - 1 = 0; с)* cos2 x + 3 cosx = 0; d) cos2x + 4 cos χ +4 = 0.

Pažymėję cos χ raide t, gauname kvad-ratinę lygtį. Randamejos sprendinius. Kadangi t = cos χ, tai toliau sprendžia-me dvi lygtis. Antroji lygtis sprendinių neturi, o pir-mosios sprendinius galima užrašyti paprastesne išraiška.

Pavyzdys Išspręskime lygtį cos2 χ - 2 cos χ - 3 = 0. ί2 — 2ί — 3 = О, t1= - 1, t2 = 3; cos x = - l , cos x = 3;

χ = 180° + 360¾, k e Z, sprendinių nėra.

Ats.: 180° + 360¾, k e Z.

Kada lygties cos χ = a sprendinius galima užrašyti

paprastesne išraiška?

4.7. LYGTIES btg χ + c = O SPRENDIMAS

Kaip ir kitas trigonometri-nes lygtis, lygtį tgx = α galima išspręsti grafiškai arba taikant sprendinių formulę. Pavyzdžiui, lygtį tg χ = 1 išsprendę grafi-niu būdu, sužinotume, kad jos sprendiniai yra

χ = 45°+180¾, k e Z. Mažiausią teigiamąjį kampą

(45°), kurio tangentas lygus 1, patogu nustatyti skaičiuotuvu.

Bendruoju atveju lygties tg x = a sprendiniai užrašomi formule χ = arctg a +180°¾, k e Z.

Žymeniu arctg α sutarta žymėti bet kurį intervalui (-90°; 90°) pri-klausantį kampą, kurio tangentas lygus a.

Pavyzdžiai 1. Išspręskime lygtį tgx = l.

χ = arctg 1 + 180¾, k e Z; arctg 1 = 45°, nes intervale (-90°; 90°) tangentas įgyja reikšmę 1, kai α = 45°; χ = 45°+180¾, k e Z. Ats.: χ = 45°+180¾, k e Z.

2. Išspręskime lygtį tg χ = — . 5

χ = arctg į +180¾, k e Z. 5 1 Ats.: χ = arctg - + 180¾, k e Z.

3. Išspręskime lygtį tgx = - 1 . χ = arctg ( - 1) + 180¾, k e Z; arctg ( - 1) = - arctg 1 = - 45°; χ = -45°+180¾, k e Z. Ats.: χ = -45°+180¾, k e Z.

4. Išspręskime lygtį 4 t gx -16 = 0. 4 tgx = 16, tgx = 4, χ = arctg 4+ 180¾, k e Z. Ats.: χ = arctg 4+ 180¾, k e Z.

Kai kurias tikslias arktangento reikšmes galima rasti naudojantis tan-gento reikšmių lentele

α 0° 30° 45° 60° 90°

tg α 0 S 3 1 S —

Jeigu tikslios kampo reikšmės ras-ti nepavyksta, lygties tgx = a sprendi-niai užrašomi su žymeniu arctg.

Norėdami apskaičiuoti neigiamojo skaičiaus ark-tangentą, remiamės formule

arctg(-a)= -arctga. Kai reikia išspręsti

b tg χ + c = O išraiškos lygtį, iš pradžių suteikiame jai pavidalą tgx = a, paskui taikome lygties tg x = a bendrojo sprendinio formu-le.

Uždaviniai

Pratimai

a > a r c t g f ; O

1. Apskaičiuokite skaičiuotuvu (1° tikslumu): a) arctg 0,5; b) arctg(-2); c) arctg 10.

2. Apskaičiuokite naudodamiesi lentele:

Vs 3 4

f) arctg ( -1 ) ;

b) arctg c) arctg л/3; d) arctg ( -7з j ;

e) arctg 1; f) arctg ( -1 ) ; g) arctg 0. 3. Koks turi būti skaičius a, kad lygybė būtų teisinga:

a) arctg α = 60°; b) arctg a = - 30°; c) arctg a = 0°; d) arctg a = 30°? 4. Išspręskite lygtį:

a) tgx = л/3; b) tgx = 5; c) tgx = -0,4; d) t g x = - ^ . 3

5. Raskite lygties sprendinius nurodytame intervale: a) tgx = 1, χ e [0°; 360°]; b) tgx = л/з, χ e [-180°; 180°];

c) tgx = O, χ e [-90°; 360°]; /я d) tgx = - — , χ e [0°; 180°]. 3

Matematika gyvenime

6. Paskui 1,8 m ūgio žmogų nu-tįsta 3 m ilgio jo šešėlis. Kokio dydžio kampą α (1° tikslumu) у т saulės spinduliai sudaro su Že-mės paviršiumi?

7. 1,7 m ūgio žmogus, stovintis už 50 m nuo kalvos, ant jos augančią eglę mato 40° kam-pu. Apskaičiuokite kalvos aukštį.

Matematika matematikoje

8. Išspręskite lygtį: a) t g x - 3 = 0; c) 3 tgx = 24;

b) tgx+ 15 = 0; d) 15 tgx +5 = 0.

9. Lygiagretainio smailiojo kampo tangentas lygus 1,2. Apskaičiuokite to lygiagretainio bukąjį kampą 1° tikslumu.

Problemos 10. Nežinomojo keitimo budu išspręskite lygtį:

a) 6 tg2x + t g x - 1 = 0; b) 7 tg 2 x-8 tgx -15 = 0; c) tg2χ + 3 tgx = 0; d)* tg 2 x-3 tgx = 4.

130 TRIGONOMETRIJA

4.8. KAMPŲ MATAVIMAS RADIANAIS

Problemų sprendimas

4.1—4.7 skyreliuose sprendėte įvairius uždavinius, kuriuose kampas buvo išreikštas laipsniais. Neretai praktinio ir matematinio turinio užda-viniuose tenka susidurti ir su radianiniu kampo matu.

Prisiminkime (žr. p. 109):

1° centrinis kampas 1 atitinka 360 apskritimo.

1° = = 0,0175 rad. 180

1 rad centrinis kampas atitinka apskritimo lanką, kurio ilgis lygus

apskritimo spinduliui.

1 rad = ~ 57°. π

Pravartu įsidėmėti:

Laipsniai 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

Radianai 0 π π π π π 3 7Γπ 2π 6 4 3 2 2 2π

Jeigu uždaviniai, kuriuose nurodytas radianinis kampo matas, jums pasirodys sunkūs, atsiminkite, kad, prieš spręsdami juos, šį matą galite pakeisti Iaipsniniu

ir tada spręsti uždavinį.

Projektas „Saulelė" Ibje pačioje koordinačių plokštumoje nubrai-

žykite du grafikus. Pirmuoju pavaizduokite sau-lės tekėjimo laiko priklausomybę nuo mėnesio ir dienos, antruoju — saulės laidos laiko priklau-somybę nuo mėnesio ir dienos. Ox ašyje žymėkite kiekvieno mėnesio 10, 20 ir 30 dieną (pradėkite nuo birželio 20 d.), Oy ašyje — saulės tekėjimo (laidos) laiką. Kuris grafikas panašus į sinusoidę, o kuris — į kosinusoidę?

Uždaviniai

Pratimai 1. Pažymėtų kampų didumą užrašykite radianais:

2. Į vienetinį apskritimą įbrėžtas taisyklingasis daugiakampis. Nustatykite jo viršūnių abscises (radianais):

didumas lygus: a) -π ; b) - b c) d) - M .

4 2 2 4. Nurodytą kampą išreikškite laipsniais ir nustatykite, kuriam ketvirčiui

jis priklauso:

6. Apskaičiuokite skaičiuotuvu (atsakymą užrašykite 0,1 tikslumu): a) sin 2; b) sin 10; c) cos 5; d) tg 3.

7. Palyginkite: a) sin 3 ir sin 4; b) cos 3 ir cos 0°; c) tg 1 ir tg 1°.

8. Kurie iš taškų A π. 7з v 3 ' 2

priklauso šios funki a) J = Sinx;

B л /

ir D π з;

7з 2

cijos grafikui: b) y = cosx;

Matematika gyvenime

c) y = tgx?

9. Jūros gylį d uoste laiko momentu t po vidurnakčio galima

apskaičiuoti pagal formulę d = 10 + 1,8 cos —t, O < t < 24. 6

Šios priklausomybės grafikas yra toks:

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Pasinaudodami grafiku, nustatykite: a) pirmąjį laiko momentą, kuriuo jūros gylis uoste lygus 10 m; b) tolesnį laiko momentą, kuriuo jūros gylis vėl lygus 10 m; c) laiko tarpus, kuriais jūros gylis yra mažesnis kaip 10 m.

10. Jūrinio kompaso skritulys padalytas į 32 lygias dalis, vadinamas rum-bais. Išreikškite rumbą laipsniais ir radianais.

Matematika matematikoje

11. Apskaičiuokite: ч . π . π a) sin— + sin- ; 4 3 \ · π r, ^ 2 7 1

c) s i n - - 3 t g 2 - ; 6 4

f JO + 4 cos / 3π^ COS + 4 cos

I 3 j v 2 ) r . ^ π π

d) 2 tg —• cos—. 6 4

12. Apskaičiuokite reiškinio 1-s in α · cos α • tg α reikšmę, kai α=—. 3

13. Išspręskite lygtį ir jos sprendinius išreikškite radianais: 7з a) COSx = — ; 2

b) sinx = — ; 2

с) tg χ = 7з;

14. Raskite lygties sprendinius, priklausančius intervalui [0; π]:

a) s i n x = - l ; b) cosx = 0; c) tgx = 2; 15. Duota lygtis sinx= - 1 .

,n ^ d) Cosx = — . 2

d) COSX = - . 2

a) Raskite jos sprendinius. b) Įsitikinkite, kad lygties sin χ = - 1 sprendinius galima užrašyti pa-prasčiau: X = π ~ + 2nk, k e Z.

2

Problemos 16. Koordinačių plokštumoje pavaizduoti funkcijų f[x) = sin χ

ir g(x) = - sin χ grafikai:

Nustatykite: a) kuris grafikas kurią funkciją vaizduoja;

b) kuri reikšmė yra didesnė: f I f 7π) (7n) — ar g U J ar g U J 5π c) kuri iš šių funkcijų taške χ = — įgyja mažesnę reikšmę; 6

d) su kuriomis χ reikšmėmis teisinga lygybė sin χ= - sin χ, kai χ e e [~2π; 2π],

17. Nubraižyti funkcijų у = sin χ, у = cos χ ir y = 2χ-3 grafikai. Remdamiesi jais, raskite apytikslius tokios lyg-ties sprendinius: a) sin я = 2*-3 ; b) cos я = 2jc - 3.

Mano nuodėmių kreivė vingiuoja Per gyvenimą tarsi per dykumą Kerta iksų ir ygrekų ašj — Gyvenu kilimu, kritimu.

Laimonas Kudžma. Sinusoidė

Projektas „Bioritmai" Egzistuoja teorija, kuri aiškina, kad fizinę, emocinę ir intelektualiąją

žmogaus būseną (F, E ir I bioritmus) galima apibūdinti sinusoidėmis. Jeigu žmogaus gimimo dieną sutapatinsime su koordinačių pradžios tašku, tai funk-

cijos F(t) = sin / \ 2π , v 23

2 к grafikas atspindės jo sveikatos kreivę, E(t)= sin| — t 28

grafikas — emocijų kreivę, o I(t)= sin| —t j grafikas 2π intelekto kreivę (čia

t — dienų, praėjusių nuo gimimo momento, skaičius). Teigiamos funkcijos reikšmės reiškia gerą žmogaus savijautą, neigiamos — blogą.

Jeigu susidomėjote, kompiuteriu nubraižykite savo bioritmų kreives.

4.9. TRIGONOMETRIJOS TAIKYMAS GEOMETRIJOJE

Stiklo pjovimo meistro mokinys gavo užduotį — pagal jam pateiktus duomenis išpjauti trikampio formos spalvotą stiklą: dviejų jo kraštinių ilgis turėtų būti lygus 1 m ir 4 m, o stiklo plotas — 1 m2, be to, trečioji kraštinė — ilgiausia.

Norėdamas atlikti užduotį, mokinys su- c manė apskaičiuoti kampą tarp žinomų kraštinių. Žinyne jis rado penkias trikam-pio ploto formules ir iš jų išsirinko tą, kuri turimus dydžius siejo su ieškomu dydžiu.

/ Trikampio ploto formulės

1. S = įa / i 2 r — 2. S = — ab sin Z C

—? > 3. S = yjp(p-a)(p ,v \ v* a+b+c -b)(p-c); cia p=

4. S abc. = 4R' c i a R -— apibrėžto apie trikampį apskritimo spindulys

5. S

P

=pr; čia r — a + b + c

2

įbrėžto į trikampį apskritimo spindulys,

Į pasirinktą formulę įrašęs žinomų dy-džių skaitines reikšmes, mokinys sudarė lygtį ir iš jos išreiškė ieškomo kampo sinu-są.

Nusibraižęs funkcijų y = sin Z C ir y = grafikų eskizus ir pasitelkęs skaičiuotuvą, mokinys nustatė, kad ieškomas kampas gali būti lygus 30° arba 150°.

Kadangi trečioji trikampio kraštinė tu-rėtų būti ilgiausia, tai priešais ją esantis kampas taip pat turėtų būti didžiausias, to-dėl Z C = 150°.

1= λ -1-4-sinZC, 2

s i n Z C = ! . 2

150° 180° *

Z C = 150°

Nors šių duomenų pakako trikampio for-mos stiklui išpjauti, tačiau mokiniui parūpo sužinoti, koks yra trečiosios kraštinės ilgis. Jis turėjo pritaikyti kosinusų teoremą, ta-čiau prieš tai jam teko apskaičiuoti cos Z C, prisiminus, kad sin2 α + cos2 α = 1, ο ieškoma-sis kampas yra bukasis.

Įsitikinęs, kad trečioji kraštinė tikrai yra ilgiausia, mokinys išpjovė reikiamo dydžio stiklą.

sin2 Z C + cos2 Z C = I ,

+ Cos2ZC=I, T 2

v2y cos 2 ZC= - .

4 Kadangi Z C yra bukasis,

,n ^ tai cos Z C = . 2

c2 = I2 + 42 - 2 • 1 ·4 · Vs 2

Vl7 + 4VŠ =4,9 (m).

Trikampių sprendimas Pitagoro teorema c2 = a2 + b2

Kosinusų teorema c2 = a2+ b2-2ab cosZC

Sinusų teorema a b • = 2 R;

b A

sinZA sin Z β sin Z С

čia R — apibrėžto apie trikampį apskritimo spindulys

Uždaviniai

Pritaikę sinusų teoremą, a) 7^7

apskaičiuokite sin a: b)

Matematika gyvenime

5. Du automobiliai, esantys taškuose A ir B, nutolę nuo ežero pakraščio C atstumais, lygiais 6 km ir 16 km. Apskai-čiuokite atstumą AB tarp šių automobilių, kai α lygus: a) 60°; b) 90°; c) 120°.

3. Raskite χ: a)

X

4. Pritaikę kosinusų teoremą, raskite nežinomą

Matematika matematikoje

7. Brėžinyje pavaizduotas trikampis f ABC, kurio Z ВАС = 60°, ZACB = 75°, /\ o AC = 8 cm. / \ a) Apskaičiuokite kampo ABC didumą. / \

b) Remdamiesi sinusų teorema, parodykite, kad д / \ BC= 4V6cm. / o ^ ^ i c) Apskaičiuokite trikampio ABC plotą. Atsakymą A g cm c pateikite dešimtųjų tikslumu. d)* Trikampio ABC kraštinėje AB taškas D pasirinktas taip, kad 2AD = CD. Apskaičiuokite atkarpos AD ilgį dešimtųjų tikslumu.

6*. Vietovės A, β ir C išsidėsčiusios taip, kaip parodyta brėžinyje. a) Remdamiesi brėžinyje pateiktais duo-menimis, apskaičiuokite atstumą nuo vie-tovės C iki vietovės B. b) Sakykime, Tomas iškeliavo iš vietovės A į vietovę B 7 km/h greičiu. Tuo pačiu metu iš C į B v km/h greičiu išėjo Jonas. Žinodami, kad Tomas ir Jonas atėjo į vie-tovę B tuo pačiu metu, apskaičiuokite v reikšmę.

8. Trikampio plotas lygus 3 cm2. Dviejų trikampio kraštinių ilgiai yra 2 cm ir 6 cm. Raskite kampą tarp šių trikampio kraštinių, jeigu yra žinoma, kad jis: a) smailusis; b) bukasis.

9. Žinomi trijų trikampių kraštinių ilgiai:

Apskaičiuokite: a) kiekvieno trikampio didžiausio kampo kosinusą (remkitės kosinusų teorema); b) kiekvieno trikampio didžiausio kampo didumą (atsakymą pateikite 1° tikslumu).

Problemos 10*. Koks yra trikampis (smailusis, statusis ar bukasis), kurio

kraštinių ilgiai tokie: a) 4, 4 ir 5; b) 7, 8 ir 12; c) 10, 24 ir 26?

Г7Уг aft f tii· шa te m ati/cab iitar-iiai·

Iš trigonometrijos istorijos Žodis „trigonometrija" pirmą kartą pavartotas baigiantis XVI amžiui (1595 m.

vokiečių teologas ir matematikas Bartolomėjus Pitiskas išleido knygą, kurios pava-dinime minimas šis žodis), tačiau jos mokslo gijos nusidriekia į senovės istoriją. Trigonometrijos užuomazgų aptikta Babilonijoje, Egipte, Indijoje. Pavyzdžiui, babilo-niečiai, stebėdami regimąjį Saulės kelią, užfiksavo, kad ji tarp žvaigždynų brėžia apskritimą, o į tą pačią vietą sugrįžta maždaug po 360 dienų. Iš čia ir atsirado ap-skritimo dalijimas į 360 lygių dalių, vadinamų laipsniais. Be to, buvo žinoma, kad spindulio ilgio stygą atitinka 60° lankas. Neatsitiktinai Babilonijoje skaičius 60 tapo skaičiavimo sistemos pagrindu. Senovės Egipte trigonometrijos žinios taikytos archi-tektūroje, o raštuose minima sąvoka „segt", reiškusi tam tikrą trigonometrinę funk-ciją.

Susidomėję astronomija, senovės graikai ėmėsi sisteminti trigonometrijos žinias. II a. pr. Kr. Hiparchas (Hipparchos, apie 190—125 pr. Kr.) sudarė trigonometrines lenteles, kuriose nurodė įvairius centrinius kampus atitinkančių stygų ilgius. Šioje srityje ypač daug nuveikė Aleksandrijos mokslininkai. I a. Menelajus (Menelaos, I— II a.) plėtojo ir sistemino sferinę trigonometriją, о II a. žinomas astronomas ir ma-tematikas Klaudijas Ptolemėjas (Ptolemaios, apie 90—168) paskelbė garsųjį veikalą „Almagestas", susidedantį iš 13 knygų. Jame buvo pateiktos apskritimo, kurio spin-dulio ilgis lygus 60 vienetų, stygų ilgio lentelės ir paaiškinta, kaip jos buvo suda-romos.

Dar senovės Indijoje žinotos tam tikros linijos, kurių santykis su spinduliu atitiko sinusą ir kosinusą. Toms linijoms indai buvo suteikę pavadinimus, pavyzdžiui, vieną jų vadino „džiba". Arabai šį žodį pakeitė į „džaib". XII a., paraidžiui išverstas į lotynų kalbą, jis virto žodžiu „sinus". Analogiškai sanskrito „kotidžiba" (t. y. sinuso liekana iki 90°) buvo pavadinta „sinus complementi" (sinuso papildinys), o ši XVII a. pradžio-je sutrumpėjo iki „cosinus". Tuo tarpu tangentas (lot. tangens — liečiantis) Europoje įsitvirtino XVI a. pabaigoje. Kotangentas buvo sukurtas panašiai kaip kosinusas. Viduramžiais ženklių laimėjimų trigonometrijoje pasiekė islamo šalys. IX a. persų matematikas Muchamedas al Chorezmis (780—850) sudarė sinusų ir kosinusų reikš-mių lenteles. XII a. mokslininkas Nasyras ad Dinas Tusis (1201—1274) trigono-metriją išdėstė kaip atskirą matematikos dalį, parodydamas plokščiųjų ir sferinių trikampių sprendimą. XV a. pradžioje Samarkando (pasaulyje garsėjančio savo ob-servatorija) mokslininkas Jamšidas Masudas al Kašijus (?—1429) paskelbė labai tiks-lias (0,000 000 001 tikslumo) trigonometrines lenteles.

Europoje didelę reikšmę trigonometrijos raidai turėjo vokiečių matematikas Re-giomontanas (Regiomontanus, tikr. Johanas Miuleris, 1436—1476), kilęs iš Kara-liaučiaus. Savo knygoje „Apie visų rūšių trikampius" jis, nors ir vartodamas sudė-tingus bei keistus žymenis, sistemingai išdėstė trigonometrijos kursą. Medžiagos pateikimui įtakos turėjo Nasyro ad Dino paskelbtas darbas. Tobulindami trigono-metrijos mokslą, daug pasidarbavo ir vėliau gyvenę Europos matematikai: prancūzas Fransua Vietas (Viete, 1540—1603), šveicaras Johanas Bernulis (Johannes Bernoulli, 1667—1748). Anglas Džonas Volis (John Wallis, 1616—1703) siūlė supaprastinti tri-gonometrinių kampų simbolius, pavyzdžiui, sinusą žymėti S, kosinusą — σ, tangen-tą — T, kotangentą — τ ir pan. Tačiau jo žymenys neprigijo.

Trigonometrijai, kaip mokslui, daug nusipelnė šveicaras Leonardas Oileris (Leo-nardo Euler, 1707—1783), dėstęs Peterburge. Jis įvedė funkcijos sąvoką ir sinusą, kosinusą bei tangentą nagrinėjo kaip kampo funkcijas. Jo dėka atsirado ir nusistovėjo santrumpos cos ir tg, o trigonometrija įgavo tokį pavidalą, koks yra šiandien.

Lietuvoje trigonometrijos žinios dėstytos Vilniaus akademijoje (universitete) jau XVII a. pirmojoje pusėje. Tai žinoma iš Andriaus Milevskio to meto rankraščio „Ma-tematinių mokslų pradmenys". Nors dar XVIII a. Žanas Rosinjolis buvo sumanęs išleisti trigonometrijos vadovėlį (tai liudija išlikęs rankraštis), bet sumanymas buvo įgyvendintas tik XIX a. (Vilniuje). 1816 m. Mykolas Polinskis-Peka išleido „Plokštu-mos trigonometrijos pradmenis", o 1818 m. Jonas Sniadeckis — ,Analizinę sferinę trigonometriją" (abu vadovėliai parašyti lenkų kalba).

Pirmuosius lietuviškus trigonometrijos vadovėlius parašė ir išleido Pranas Mašio-tas (1863—1940) ir Adomas Jakštas (tikr. Aleksandras Dambrauskas, 1860—1938). Mašioto vadovėlis „Plokštumos trigonometrija" pasirodė 1919 m., o Jakšto „Plokštinė trigonometrija. Pilnas sistemiškas kursas" — 1920 m.

Įžymus Vidurio Rytų mokslininkas al Birunijus (793— 1048) Žemės spindulį siūlė skaičiuoti tokiu būdu. Jis išma-tavo Indijos kalno, į kurį buvo įkopęs, aukštį h bei kampą α (žr. brėžinį) ir pasinaudojo sinuso apibrėžimu:

sin (90° - a) = ———. R + h

Iš čia jis rado Žemės spindulį R. Tarkime, kad Indijos kalno aukštis h = 1,3 km, o išma-

tuotasis kampas α = 1°. Pasinaudoję al Birunijo formule R sin (90°-α) = , įsitikinkite, kad Žemės spindulys R -

R + h » 6400 km.

galiu paaiškinti, pateikti pavyzdį, ką reiškia: 4.1 kampo sinusas, kosinusas ir tangentas trikampyje bei vienetiniame apskriti-

me, to paties argumento sinuso, kosinuso ir tangento sąryšiai, pirmojo ketvir-čio kampų sinuso, kosinuso ir tangento reikšmių lentelė, bet kokio kampo sinuso, kosinuso ir tangento reikšmės bei jų ženklai, sinuso, kosinuso ir tan-gento periodiškumas vienetiniame apskritime;

4.2 sinuso funkcija, jos savybės, sinusoidė; 4.3 kosinuso funkcija, jos savybės, kosinusoidė; 4.4 tangento fūnkcija, jos savybės, tangentoidė; 4.5 lygties sin χ = a sprendinių formulė, arksinusas; 4.6 lygties cos χ = a sprendinių formulė, arkkosinusas; 4.7 lygties tgx = α sprendinių formulė, arktangentas; 4.8 radianas, laipsnio ir radiano sąryšis; 4.9 sinusų teorema, kosinusų teorema, trikampio ploto formulė S = — ab sin α.

4.1.1 spręsti paprastus matematinio ir praktinio turinio uždavinius, kai reikia pritaikyti sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimus;

4.1.2 taikyti formules sin2 α + cos2 α = 1 ir tg α = , atsižvelgdamas/atsižvelgdama į ketvirtį, kuriame yra kampas a;

4.1.3 nustatyti sinuso, kosinuso ir tangento kitimą, apytiksles reikšmes ir ženklus; 4.2.1 iš sinuso reikšmių lentelės ir skaičiuotuvu rasti laipsniais išreikšto kampo sinuso

reikšmes; 4.2.2 nubraižyti funkcijos y = sin χ grafiką (grafiko eskizą), pasinaudoti šios funkcijos

savybėmis, aiškindamas/aiškindama paprastų uždavinių sprendimą; 4.3.1 iš kosinuso reikšmių lentelės ir skaičiuotuvu rasti laipsniais išreikšto kampo

kosinuso reikšmes; 4.3.2 nubraižyti funkcijos y = cos χ grafiką (grafiko eskizą), pasinaudoti šios funkcijos

savybėmis, aiškindamas/aiškindama paprastų uždavinių sprendimą; 4.4.1 iš tangento reikšmių lentelės ir skaičiuotuvu rasti laipsniais išreikšto kampo

tangento reikšmes; 4.4.2 nubraižyti funkcijos y = tg χ grafiką (grafiko eskizą), pasinaudoti jos savybėmis,

aiškindamas/aiškindama paprastų uždavinių sprendimą; 4.5.1 iš sinuso reikšmių lentelės ir skaičiuotuvu apskaičiuoti arksinuso reikšmę; 4.5.2 spręsti b sin χ + с = 0 išraiškos lygtis, rasti jų sprendinius nurodytame intervale; 4.6.1 iš kosinuso reikšmių lentelės ir skaičiuotuvu apskaičiuoti arkkosinuso reikšmę; 4.6.2 spręsti b cos χ + с = 0 išraiškos lygtis, rasti jų sprendinius nurodytame intervale; 4.7.1 iš tangento reikšmių lentelės ir skaičiuotuvu apskaičiuoti arktangento reikšmę; 4.7.2 spręsti b tg χ + c = 0 išraiškos lygtis, rasti jų sprendinius nurodytame intervale; 4.8.1 apskaičiuoti laipsninį kampo matą, kai žinomas radianinis matas ir atvirkščiai; 4.8.2 spręsti paprastus praktinio ir matematinio turinio uždavinius, kuriuose kampas

išreikštas radianais; 4.9.1 paprastais atvejais taikyti kosinusų ir sinusų teoremas, formulę S = — ab sin α;

4.9.2 trigonometrinėmis funkcijomis apibūdinti paprastas praktines situacijas.

π 1. Apskaičiuokite: cos — + cos 6 ' £ v

(1 taškas)

n/2 + Л/З λ V2+VŠ P V2-V3

2. Funkcijos у = 2jc grafikas yra tiesė 05 , kuri pasvirusi į Ox ašį kampu a. AB = 4, be to, AB ± Ox. Raskite: a) atkarpos OA ilgį; (1 taškas) b) tg a. (1 taškas)

3. Funkcijos fix) = sin χ grafikas intervale

2 1 y 1

π O "2 -1

1 v 2 ^ π Ил* ^ 2

4 У 1 -JL 2 Зж 2 17 A l B 2 C 3 D 4 E 5

У У = 2х/

'В

4 / « г

h О χ

(1 taškas)

4. Duota lygtis sin χ = — . 1. Išspręskite ją. (1 taškas) 2. Raskite šios lygties sprendinius, priklausančius intervalui [180°; 360°].

(2 taškai) 5. Pavaizduoto stačiakampio plotas lygus:

A150 В 100л/3 C 200 D 200л/з E 600 (1 taškas)

6. Brėžinyje pavaizduota dviejų laivų padėtis prie Klaipėdos švyturio. Nuo švyturio C IaivasA nutolęs 7 km, o laivas B —10 km. Kampo ACB didumas yra 30°. Apskaičiuokite atstumą tarp laivų.

(2 taškai)

5 Funkcijos išvestinė

_ ι

FUNKCIJOS IR JŲ SAVYBĖS

KD

5-4-3-

2-

Ι-Ο 1 3 S 1 1 1 1 S '

Sakykime, į tolį mesto kamuoliuko pakilimo aukščio h (m) priklausomybė nuo laiko t (s) nu-sakoma funkcija h{t) = 2 + l,75č-0,25i2, kurios t e [0; 8]. Šios funkcijos grafikas pateiktas de-šinėje. Žiūrėdami į jį, galime nesunkiai apibū-dinti kamuoliuko judėjimą.

Pastebime, kad laikotarpiu t e [0; 3,5) ka-muoliuko atstumas iki Žemės paviršiaus pama-žėle didėjo: pradiniu momentu kamuoliukas bu-vo 2 m aukštyje (h(0) = 2), o po 3,5 s pakilo į aukščiausią tašką (/i(3,5) = 5,0625). Čia Žemės trauka privertė jį kristi žemyn. Laikotarpiu t e (3,5; 8] kamuoliukas vis labiau artėjo prie Žemės, kol galiausiai pasiekė jos paviršių (h(8) = 0). Vadinasi, turėdami funkcijos grafiką, galime plačiau tyrinėti ir šia funkcija nusakomą procesą.

Tačiau funkcijos, kaip ir gyvenime vykstantys procesai, vienos nuo kitų skiriasi, o jų grafikai gali būti įvai-rios formos. Kaip nubraižyti bet ko-kios funkcijos y=f(x) grafiko eskizą, jeigu žinoma funkcijos išraiška for-mule, tačiau ji neprimena nė vienos iš mums pažįstamų funkcijų?

Pasirodo, tai galima padaryti ži-nant funkcijos savybes. Taigi pir-miausia prisiminkime, kokių savybių gali turėti funkcija.

Sakykime, duotas toks funkcijos grafikas (žr. dešinėje). Įsivaizduokite, kad jo nematančiam draugui turite nupasakoti šio grafiko ypatumus taip, kad draugas nusibraižytų tokį patį vaizdą.

Aišku, tai padaryti galima įvai-riai, tačiau patogiausia būtų nusakyti funkcijos savybes:

1) funkcijos apibrėžimo sritis χ e [-2; 16];

Kokių funkcijų grafikus jus mokate braižyti?

v

3

- 2 O h 8\ 1 n 2 14 16 X

- T - T

y. •5 •5

3

-2 O k 8X 1 0 12 14 1 6 1

-3·

3) sankirtos su Oy ašimi taškas (0; 3);

4) sankirtos su Ox ašimi taškai ( - 2 ; 0), (2; 0), (6; 0), (8; 0), (12; 0), (16; 0);

5) funkcijos reikšmių didėjimo in-tervalai

χ e [ - 2 ; 0), (4; 7), (10; 14); funkcijos reikšmių mažėjimo inter-

valai χ e (0; 4), (7; 10), (14; 16];

Z. j X •5

/ (7; 5) •5 (7; 5)

№3) (14; 3)

/ \ \ j ( O / 7 \ I l 4 i6 i

-j (4; -3) 0; 3)

6) kritiniai funkcijos taškai. Maks,mLimo,aftai

Tai taškai, kuriuose pasikeičia funkcijos reikšmių kitimo pobūdis.

Vienuose kritiniuose taškuose funkcijos reikšmės pereina iš didėji-mo į mažėjimą. Jie vadinami maksi-mumo taškais. Šių taškų koordina-tes žymėsime (xmax; ymax). Tai tarsi grafiko kalneliai.

Kituose kritiniuose taškuose funk-cijos reikšmės pereina iš mažėjimo į didėjimą. Jie vadinami minimumo taškais. Šių taškų koordinates žymė-sime (xmin; ymin). Tai tarsi grafiko duo-butės.

Maksimumo ir minimumo taškai dar vadinami ekstremumo taškais.

Šiame skyriuje susipažinsime su funkcijos išvestinės sąvoka. Pasirodo, ji padeda nustatyti funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus, taip pat ekstremumo taškų koordinates, jeigu žinoma funkcijos išraiška formule. Išvestinė taikoma ne tik funkcijos savybėms tirti. Tuo netrukus įsitikinsite.

Minimumo taškai

Įsidėmėkite: kai prašoma nurodyti funkcijos

reikšmių didėjimo (mažėjimo) intervalus, ^ turite nurodyti χ reikšmių intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės didėjf

(mažėja).

5.1. FUNKCIJOS IŠVESTINĖS SĄVOKA

Sakykime, traktorius važiuoja į kal-ną keliu — kreive, esančia vienoje plokš-tumoje. Kelio atkarpa, einanti per taškus A(xa", У a) ir B(xB; yB), primena tiesės at-karpą. Kadangi tiesės kryptį nurodo jos krypties koeficientas, tai ir traktoriaus ju-dėjimo kryptį galima nusakyti šiuo dydžiu (žr. p. 108).

Ar įmanoma nustatyti traktoriaus ju-dėjimo kryptį, kai jis juda kreive? Taip.

Susitarta, kad kreivės kryptį bet ku-riame jos taške nurodo per tą tašką nu-brėžtos kreivės liestinės kryptis.

У у = кх + Ь

2-5(2; IY^S

A( 1 ; ¾ Ά—ή

1 K

к У»~У* 2-1,5 ^ 5 XB~XA 2 - 1 1

/ T a o

I 1 2 *

= 0,5

У Kreivė I

/ Liestinė

О χ

Akivaizdu, kad kreivės kryptį kiekviename jos taške nusakys vis kita liestinė, nes kreivės kryptis nuolat kinta.

Panagrinėkime, kaip rasti per pasirinktą kreivės tašką nubrėžtos lies-tinės krypties koeficientą. Tarkime, kad yra nubraižytas funkcijos f{x)=x2

grafikas. Pabandykime per jo tašką A(l; 1) iš akies nubrėžti liestinę ir iš grafiko įvertinti krypties koeficiento skaitinę reikšmę.

Iš taško A nuleidžiame statmenį į Ox ašį ir nagrinėjame trikampį AA1B. Tarę, kad taško A1 koordinatės yra (0,5; 0), ap-skaičiuojame per tašką A nubrėžtos lies-tinės krypties koeficientą 2--

1 - 0 OC d ОС л 1-0,5

Bet tai tik spėjimas!

= 2.

У' -X2 j/

Liest inė

А

Aa В 1 1 X1 = 1

Žinomas tikslesnis šios problemos spren-dimo būdas. Iš pradžių pasirinkime dar vie-ną kreivės tašką (β) ir per taškus A ir β nu-brėžkime tiesę AB, kurią pavadinkime kreivės kirstinė.

Tarkime, kad taško A koordinatės yra A(x0; Дх0), o taško B skiriasi nuo jų atitin-kamai dydžiais1 Δχ ir Af, t. y. Β(χ0 + Δχ; Дх0) + Af). Dydį Δχ įprasta vadinti argumen-to reikšmės pokyčiu, o dydį Af — funkci-jos reikšmės pokyčiu.

Užrašykime tiesės AB krypties koeficien-to apskaičiavimo formulę:

f(x0+Ax)-·

Funkcijos Af — reikšmės

pokytis

Argumento reikšmės

y -y k= B A f(x0 + Ax) - f(x0) X л Ό

Af Δχ

Mūsų nagrinėjamos funkcijos y = χ2 grafikas eina per tašką A(l; 1). Bet kurio kito kreivės taško B koordinates galima užrašyti taip: (1 + Δχ; (1+Δχ)2).

Užrašykime tiesės AB krypties koeficiento apskaičiavimo formulę:

y - У -7B jA Xa X л

(1 + Δχ)2 - I ^ 1 + 2·1·Δχ + (Δχ) 2 -1 (1 + Δχ) -1 ~ Ι + Δ χ - 1

= 2 + Δχ.

Nesunku pastebėti, kad, mažėjant argu-mento reikšmės pokyčiui Δχ, atitinkamos kirstinių krypties koeficientų reikšmės vis labiau artėja prie 2, o grafiko kirstinė tampa vis artimesnė funkcijos Дх) = х2 grafiko Kes-tinei, einančiai per tašką A.

Galima sakyti: kai Δχ artėja prie nulio, reiškinio k = 2+ Ax reikšmė artėja prie 2. Tai rodo, kad funkcijos Дх) = х2 grafiko liestinės, nubrėžtos per tašką A(l; 1), krypties koefi-cientas k = 2.

IllM Raskite funkcijos f{x) = x2 grafiko liestinės, einančios per nurodytą tašką, kryp-ties koeficientą: a) B(2; 4); b) C(10; 100); c) 0(0; 0).

1 Užrašą Δχ skaitome taip: „delta iks".

Funkcijos grafiko Kestinės krypties koefi-ciento skaičiavimas vadinamas funkcijos y = fix) išvestinės taškė A radimu, arba funkcijos diferencijavimu.

Taškas A gali būti bet koks, todėl funkcijos išvestinę bet kuriame taške, kurio absicė lygi χ, įprasta žymėti f'{x), o išvestinės apibrėžimą matematiniais simboliais užrašyti taip: JV-

Γ (χ) -l i m /Хх + АхЬ/Хх) = l i m Af &x->0 T

Sx ax^o AX

y =Λχ) I

by=y-yv = bf

Ax = X - X 0

Хц" Х + Хо Ax--O Simbolis lim reiškia, kad ieškoma, prie ko artėja

funkcijos ir argumento reikšmių pokyčių santykis, kai argumento reikšmės pokytis artėja prie nulio.

Remdamiesi šiuo apibrėžimu, apskaičiuokime skyrelyje nagrinėtos funkcijos Дх) = x2 išvestinę bet kuriame taške, kurio abscisė lygi x:

f'(x) = lim f(x + Δχ) - fix) Ax

= lim Δ*->0 (χ + Δχ)2 - χ2

χ2+2χ·Δχ + (Δχ) - χ 2 Iim — = Iim Δ*->0 Av Δχ->0

Δχ

2χ·Δχ + (Δχ)2

Iim Δχ—>0

Δχ

Δχ·(2χ + Δχ) Δχ

Δχ

1ίπι(2χ + Δχ) = 2χ.

Taigi f'(χ) = (χ2)' = 2χ.

Norėdami apskaičiuoti funkcijos у =Дх) išvestinę konkrečiame taške, iš pradžių randame funkcijos išvestinę bet kuriame taške, paskui į gautą išraišką įrašome taško abscises skaitinę reikšmę ir apskaičiuo-jame gauto reiškinio skaitinę reikšmę.

Raskime funkcijos Дх)=х2 išvestinę taške (1; 1). Jau žinome, kad fix) = 2x. Tada vietoj χ įrašome 1 ir apskaičiuojame:

/"(1) = 2- 1 = 2.

KAIP ATSIRADO IŠVESTINĖ

Išvestinių skaičiavimo taisykles ir taikymą nagrinėja diferencialinis skaičiavi-mas. Nors kai kurie šio dalyko uždaviniai buvo sprendžiami dar Antikos laikais (pavyzdžiui, Archimedas sukūrė liestinės brėžimo metodą), tačiau pagrindinė sąvoka — išvestinė — atsirado tik XVII a. Kėmbridžo universiteto profesorius Izaokas Barou (Isaac Barrow, 1630—1677) pirmasis parodė, kad kreivių liestinių skaičiavimas ir kreivinių plotų ieškojimas yra vienas kitam atvirkštiniai veiksmai.

Vis dėlto, kuriant diferencialinio skaičiavimo ir atitinkamai atvirkštinės ope-racijos — integralinio skaičiavimo — pagrindus, labiausiai nusipelnė anglas Izaokas Niutonas (Isaac Newton, 1643—1727) ir vokietis Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (Gott-fried Wilhelm Leibnitz, 1646—1716). Niutonas matematikos ėmėsi norėdamas išsa-miau ištirti fizikos dėsnius. Jis nagrinėjo kreivių liestinių brėžimo bei kreivinių figūrų plotų uždavinius ir pateikė šių uždavinių sprendimus. Funkciją jis įvardijo kaip fliuentą (lot. fluere — tėkmė), o išvestinę — kaip fliuksiją (kil. iš to paties žodžio). Niutonas kintamuosius žymėjo paskutinėmis lotyniškosios abėcėlės raidėmis χ, y, z, o jų išvestines laiko atžvilgiu — atitinkamai χ, y, i. Matome, kad kintamąjį jis laikė judančiu tašku ir vadino fliuenta, o to taško judėjimo greitį įvardijo kaip fliuksiją, atitinkančią mūsų vartojamą išvestinę. Visus šiuos samprotavimus Niutonas 1671 m. išdėstė traktate „Fliuksijų ir begalinių eilučių metodas", kuris anglų kalba buvo išspausdintas 1736 m., o lotyniškai — dar vėliau, 1779 m.

Atskirai nuo Niutono diferencialinio skaičiavimo pagrindus sukūrė vokietis Leib-nicas, nagrinėdamas be galo mažus dydžius ir funkcijos kitimą. Tą dalį, kuria padi-dėja arba sumažėja kintamasis dydis, jis vadino diferencialu (iš lot. differens — besiskiriąs, skirtingas) ir žymėjo d*. Taigi pagrindine sąvoka Leibnicas laikė dife-rencialą. Šiuos rezultatus 1684 m. jis paskelbė moksliniame žurnale „Actą eredito-rum". Todėl diferencialo idėja greičiau išplito Europos žemyne.

Žodis „išvestinė" (pranc. derivėe) pirmą kartą pavartotas 1800 m. Paryžiuje iš-leistoje Luiso Arbogasto (Louis Arbogast, 1759—1803) knygoje „Išvestinių skaičiavi-mas". Šiuolaikinį išvestinės žymenį y' įvedė irgi prancūzas Žozefas Luji Lagranžas (Joseph Louis Lagrange, 1736—1813). Tai padėjo pagrindus aukštosios matematikos, tiksliau, matematinės analizės, plėtotei.

Lietuvoje diferencialinį skaičiavimą 1753 m. Vilniaus akademijoje (universitete) pradėjo dėstyti matematikas Tomas Žebrauskas (1714—1758). Netrukus, 1759 m., Vilniuje pasirodė Jokūbo Nakcijonavičiaus (1725—1795) vadovėlis „Matematikos pa-skaitos" (lotynų kalba), kuriame nemažai dėmesio skiriama ir diferencialiniam skai-čiavimui. Lietuviškai „Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo pagrindus" Kaune 1928 m. išleido Zigmas Žemaitis (1884—1969), nors pats dalykas buvo dėstomas nuo 1921 m.

148 FUNKCIJOS IŠVESTINĖ

5.2. FUNKCIJŲ IŠVESTINIŲ RADIMO TAISYKLĖS

Daugelis įvairių funkcijų išvestinių radimo taisyklių išvedama remian-tis išvestinės apibrėžimu. Mus labiau domina ne pačių taisyklių gavimas, o jų taikymas, todėl toliau pateikiame tik funkcijų išvestinių radimo tai-sykles, kurias turėtume atsiminti ir gebėti taikyti.

Taisyklės Pavyzdžiai Pastoviosios funkcijos išvestinė Jei fix) = c (čia c = const), tai f'(x) = (c)' = 0.

Jei fix) = 6, tai /"(x) = (6)'=0; jei fix)= - 6 , tai f'(χ) = (-6)'=0; jei Дх) = л, tai f'(x) = (n)' = 0 (π yra skaičius);

jei Λ * ) = | , tai f'(x)-. Z 1 V

= 0.

Jei Дх) = х21, tai f'(x) = (x21)'=21x21~1 = 21л20; jei f(x) = x~ 10°, tai f'(x) = (x' 100Y = - ЮОх"100"1:

= -IOOx-101; jei Дх) = х, tai f'(x) = (x)'= (Z1X=Z^demekite1 = 1 · χ1-1 = 1 · χ0= 1; kad x' = l.

jei Ax)= - j , tai f ' (x)= f - j j = (x"2)'

= -2X'2'1=-2-x~3 =--=-•, χ3

jei Дх) = ^ , tai f'(x)= ($£)' = / o

X3

V У 1 --i 1 -f -X3 =—X 3. 3 3

Funkcijos Дх) = k • g(x) išvestinė Jei Дх) = k • g(x) (čia k e R), tai f'(x) = (k -g(x))' = = kg'(x).

Jei Дх) = 3x2, tai /"(x) = (3x2)' = 3 · (x2)' = = 3 · 2x2 1 = 6x;

jei Дх)=—χ, taif'(x) = —χ v 2 y

1 ^ i ' 1 = —· χ = —. 2 2

Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė Jei f(x)=g(x)±h(x), tai r(x) = (g(x)±h(x))' = =g'(x)±h'(x).

Jei f[x) = x2- 2, tai f'(x) = (x2-2)' = (x2)' - (2)' = = 2x2 _ 1 -0 = 2x; jei Дх) = 3x4 + 2x, tai f'(x) = (3x4 + 2x)' =

= (3x4)'+ (2x)' = 3 · (x4)' + 2 · (x)' = = 3 · 4x4_1 + 2 1 = 12x3 + 2.

Laipsninės funkcijos išvestinė Jei Дх) = χα (čia a * 0), tai f\x) = (xa)' = αχα~λ.

5.2. Funkcijų išvestinių radimo taisyklės 149

Uždaviniai

1. Raskite f'(x), kai: 91 а) Дх) = 10; b) Дх) = - 0,5; с) Дх) = 2,(3); d) Дх) = — ; 26

e) Дх) = 1; f) Дх) = π; g) Дх) = sin 3; h) Дх) = Ig 15.

2. Raskite funkcijos Дх) išvestinę: a) fix) = xa; b) fix)=x6; с) Дх) = х0'5; d) Дх) = х"5.

3. Pirma išreikškite laipsniu su trupmeniniu rodikliu, paskui apskaičiuo-kite f'(x), kai: а) Дх)= Vx; b) Дх)= ^x; с) Дх) = V ? ; d)* Дх) = χ Vi.

4. Pirma išreikškite laipsniu su neigiamuoju rodikliu, paskui apskaičiuo-kite f'(.χ), kai:

а) Дх) = - ; b) Дх) = - Ь с) Дх) = ; d)* Дх) = - - r . χ χ Vx xVx

5. Raskite /"'(χ), kai:

а) Дх) = 10*; b) Дх) = IOx2; с) Дх) = ^x3; d)* Дх) = χ Ig 2. 3

6. Suteikę funkcijai Дх) išraišką k • g(x) (čia g(x) — laipsninė funkcija), apskaičiuokite jos išvestinę:

a) fix) =^-; b ) Д х ) = ^ 1 ; с ) Д х ) = ^ ; d)* Дх)= - . 10 9 5 χ

7. Raskite /'(л;), kai: a) fix)=x2 + 2; b) Дх) = Зх2 - 5х; с) Дх) = х7 + 2х3;

d) Дх)=х4-Зх2+1; е) fix)=-χ3+ 2х; f) Дх)= - ^ x 4 + 2; 3 2

g) Дх) = кх+10х3; h) Дх) = —+ 3. 5

8. Išnagrinėję pavyzdį, apskaičiuokite f'{0), kai Дх) = 2х3 -х2 -3х. Pavyzdys. Apskaičiuokime f ' (4) , kai Дх) = 2х3. Sprendimas. Iš pradžių randame funkcijos Дх) išvestinę: f'(x) = (2x3)' = 6x2. Paskui į gautą reiškinį vietoj χ įrašome 4 ir apskaičiuojame: /"'(4) = 6 · 42 = 96.

9. Apskaičiuokite/''^-•ij, kai Дх) = Зх3-5.

10. Apskaičiuokite g '(V2 j, kai g(x) = x3 + x 2 -2 . 11. Apskaičiuokite /'(4), kai:

а) Дх) = Зх2 + 1; b) Дх)= χ 3 +Ιχ 2 +χ; с)Дх) = 2х6 + 1.

Pratimai

Matematika matematikoje

12. Išnagrinėję pavyzdį, raskite f Xx), kai: a) fix) = x(x + x2); b) Дх) = (χ - I)2; с) Дх) = 2(х + З)2; d) Дх) = (х - 2)(х + 2); е) Дх) = (3 - х)(х + 3); f) Дх) = х2(х + 2); g) Дх) = (х - 2)(х2 + 1); h) Дх) = (х + 3)(2х -1 ) .

Pavyzdys. Raskime f \х), kai f (χ) = (χ - 3)(χ +1). Sprendimas. Funkcijos išraišką pirmiausia pertvarkome į daugianarį: (x-3)(x + l )=x 2 + x - 3 x - 3 = x 2 - 2 x - 3 , tada ieškome jo išvestinės: fXx) = 2x-2.

Ats.: fXx) = 2x-2.

13. Duota funkcija Дх) = 8х-х2. Nustatykite, su kuriomis χ reikšmėmis: a) f Xx) = 2; b) f'(x) = 0; c) fXx)>0; d) fXx)<0. Pavyzdys. Duota funkcija Дх) = 2x3. Nustatykime, su kuriomis χ reikšmėmis f Xx) = 24. Sprendimas. Randame funkcijos išvestinę: f'{x) = (2x3)' = 6x2. Kadangi f Xx) = 24, tai sudarome lygtį 6x2 = 24. Ją išsprendę, gauname: x = 2 arba x = - 2.

Ats.: f Xx)= - 2 ; 2.

14. Duota funkcija g(x)-x3 - 12x + 5. Nustatykite, su kuriomis χ reikšmė-mis: a) £'(*) = (); h) g'(x) = 3; c) £'(*)<0; d) g'(x) >6.

15. Išspręskite lygtį f'(x) = 0, kai: а) Дх) = 1 - 2x2; b) Дх) = x3 + 2x2 + 2; с) Дх) = (1 + χ)2; d) Дх) = 8x -χ4.

Problemos 16*. Išnagrinėję pavyzdį, raskite f'(x), kai:

X2 + 1 χ2 + 1 а)Д Х )=±_1£; b) Дх) = 2 χ

λ „ λ х - 3 (х + 2) с) Дх) = —7^; d) Дх) = - i — ^

л/х X

2

X2 ~

х + 1 Pavyzdys. Raskime f'(χ), kai Дх) = χ

Sprendimas. Funkcijos išraišką pirma pertvarkome į daugianarį, paskui ieš-kome jo išvestinės: x + l X l 1 I 1 _i =—+—=1+—=l+x ;

X X X X (1 + χ"1)' = 1' + (x -1)' = 0 + ( - 1 ) • χ Iv _1 ' , _Л,/· 11 į_

2

Ats.: / " (x )= χ2

17*. Raskite p, kai Дх) = px2 - 2x +1 ir /"(1) = 3. 18*. Raskite k, kai g(x) = kx2- 2 ir g'{3) = 5.

Išnagrinėję pavyzdį, išspręskite toliau pateiktus uždavinius. Pavyzdys. Duota funkcija Дх) = x2. Per jos grafiko tašką A(l; 1) nubrėžta liestinė. Remdamiesi šiais duomenimis:

a) apskaičiuokime liestinės krypties koeficientą k; b) užrašykime liestinės, einančios per tašką A, lygtį; c) nustatykime, kokiu kampu (0,1° tikslumu) ši lies-tinė pasvirusi į Ox ašį. Sprendimas a) Liestinės krypties koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę k =f'(x0). Šiuo atveju X0= 1, todėl /"(*) = Oc2)' = 2x ir k= f'(1) = 2 1 = 2. Ats.: k = 2. b) Liestinė yra tiesė, todėl jos lygties bendroji išraiška tokia: y = kx + b. Lies-tinės krypties koeficientą jau žinome: k = 2, taigi tereikia rasti b reikšmę. Kadangi liestinė eina per tašką (x; y) = (1; 1), tai šio taško koordinates įrašome vietoj χ ir y į formulę y = 2x + b. Gauname lygtį 1 = 2· 1 + 6. Iš čia 6 = 1 - 2 = - 1. Vadinasi, funkcijos f(x) = x2 grafiko liestinės, einančios per tašką A(l; 1), lygtis yra y = Ix-1. Ats.: y = 2x-l. c) Prisiminkime, kaip liestinės posvyrio į Ox ašį kampas susijęs su jos krypties koeficientu:

У

2-y = X2 I /

Liestinė

j . A

/Vх O

/ X0 = 1 X

f'(x0) = k = tga; čia k — liestinės, nubrėžtos per tašką x0, krypties koefi-cientas, α — kampo, kurį liestinė sudaro su Ox ašimi, didumas.

Žinome, kad k = 2, taigi tga = 2. Tada α = arctg 2 = 63,4°. Ats.: =63,4°.

19*. Raskite funkcijos h(x) = 4x + 2 grafi-ko liestinės, einančios per tašką (1; 3), krypties koeficientą.

20*. Duota funkcija Дх)=х2 + 4х. Žinodami, kad jos grafiko liestinė eina per tašką (1; 5): a) apskaičiuokite liestinės krypties koeficientą; b) užrašykite liestinės lygtį.

21*. Raskite kampą, kuriuo funkcijos Дх) = =X 2 - I grafiko liestinė, nubrėžta per tašką (1; 0), pasvirusi į Ox ašį.

У y = x + Ax y = x + Ax

Liestinė Liestinė

1-1-

Oi I χ _

\ I

5.3. IŠVESTINĖS TAIKYMAS: FUNKCIJOS REIKŠMIŲ DIDĖJIMO IR MAŽĖJIMO INTERVALŲ NUSTATYMAS

Koordinačių plokštumoje pavaizduotas funkcijos y = x2 + 2 grafikas.

Nulis padalija funkcijos apibrėžimo sritį ( - со; + со) į du intervalus. Intervale ( - oo; 0) funkcijos reikšmės mažėja (grafikas leidžia-si žemyn), o intervale (0; + oo) — didėja (gra-fikas kyla aukštyn).

Taškas A(0; 2) yra kritinis, nes jame keičiasi funkcijos reikšmių kitimo pobūdis: iki argumento reikšmės χ = 0 funkcijos reikš-mės mažėja, o už reikšmės χ = 0, didėjant χ reikšmėms, funkcijos Дх) = х2 + 2 reikšmės didėja.

Nubrėžkime tris grafiko liestines ir pa-nagrinėkime, kaip funkcijos reikšmių didė-jimo ir mažėjimo intervalai susiję su liesti-nes krypties koeficiento ženklu.

Iš grafiko nesunku pastebėti, kad funkci-jos reikšmės kuriame nors intervale didėja, kai liestinės krypties koeficientas k=f'(x) šiame intervale yra teigiamas, ir mažėja, kai tas koeficientas intervale yra neigiamas.

Šiuos intervalus skiria tokia χ reikšmė iš funkcijos apibrėžimo srities, su kuria funkcijos išvestinė lygi nuliui.

Įsitikinkime, kad mūsų pastebėjimas yra teisingas. Raskime kritinio taško abscisę. Iš pradžių apskaičiuokime nagrinėjamos funkcijos išvestinę: f\x) = {x2 + 2)' = 2x. Paskui raskime χ reikšmę, su kuria f'(x) lygi nuliui: 2x = 0, x = 0.

Rastoji χ reikšmė padalija apibrėžimo sritį į du intervalus, kuriuose funkcijos išvestinės ženklas yra pastovus. Išvestinės ženklą kuriame nors intervale nustatome taip: pasirenkame bet kurį to intervalo tašką ir patik-riname, koks yra išvestinės ženklas. Išves-tinės ženklus patogu žymėti schemoje. Iš

y

V y = x2 + 2

AJ

Ifj

\ 2 A — Sis taškas

"1 yra kritinis.

O, *

Šiame intervale funkcijos reikšmės

mažėja. Šiame intervale

funkcijos reikšmės didėja.

У

\\ y = x2 + 2

U

mažėja\ j didėja

'Λ Jk> 0

J * = 0

Kai f ' ( x ) < 0, ° funkcijos reikšmės

mažėja.

Kai / ' (x ) > O, funkcijos reikšmės

didėja.

/'W=0

tikrųjų funkcijos reikšmės didėja, kai χ > 0, ir mažėja, kai x<0.

/ ' W /W

Jei funkcijos Дх) išvestinė intervale (a; 6) yra: • teigiama, tai šiame intervale funkcija yra didėjanti; • neigiama, tai šiame intervale funkcija yra mažėjanti. Norėdami rasti χ reikšmes, su kuriomis keičiasi funkcijos kitimo po-

būdis, turime sudaryti ir išspręsti lygtį f'(x) = 0.

Uždaviniai

Pratimai 1. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y= fix) grafikas. Nuro-

dykite šios funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo inter-valus.

2. Nurodykite χ reikšmes, su kuriomis 1 pratime pavaizduotos funkcijos y= fix) išvestinė: a) yra teigiama; b) yra neigiama; c) lygi nuliui.

3. Ką galima pasakyti apie funkciją, jeigu yra žinoma, kad visoje jos api-brėžimo srityje funkcijos išvestinė: a) yra teigiama; b) yra neigiama; c)* lygi nuliui?

4. Raskite funkcijos fix) = 2x+l išvestinę ir, remdamiesi ja, pagrįskite, kodėl šios funkcijos reikšmės visoje jos apibrėžimo srityje didėja.

5. Raskite funkcijos g(x) = 3 - x išvestinę ir, remdamiesi ja, pagrįskite, kodėl šios funkcijos reikšmės visoje jos apibrėžimo srityje mažėja.

6. Išspręskite lygtį f'(x) = 0, kai: a) fix) = 5 - 5x2; b) fix) = IOx - 5x2; c) fix) = 2x3 - 3x2.

7. Išspręskite nelygybę f'ix)> 0, kai:

a) fix) = 2x2 - 5; b) fix) = 6x - - x2; c) fix) = X2 - 9x + 8. 2

8. Išspręskite nelygybę f'ix)< 0, kai:

a) fix) = 0,5x2 + 8; b) fix) = 3x+ ix 2 ; c) fix) = χ2 + Зх + 4. 4

9. Raskite funkcijos y= fix) išvestinę ir, remdamiesi ja, nustatykite χ reikšmių intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės didėja, o kuriuose — mažėja: a) fix) = x-x2; b) fix) = χ2 + 6x + 5; c) fix) = 2x2-3x + 2.

Matematika gyvenime

10. Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn. Praėjus laikui t, jis pakyla į aukštį hit) = 9,81 - 0,4912 (čia t reiškiamas se-kundėmis, be to, č>0, h — metrais). Apskaičiuokite:

a) po kiek sekundžių kamuolys nukris ant žemės; b) kiek sekundžių jis kils aukštyn; kris žemyn.

Matematika matematikoje

11. Nubraižykite funkcijos у= Дх) grafiko eskizą ir nurodykite jos reikšmių didėjimo bei mažėjimo intervalus: а) Дх) = χ2; b) Дх) = (χ - 2)2; с) Дх) = χ2 - 2;

d) Дх) = ; e) Дх)=х3; 12. Išspręskite lygtį:

a) χ2 - 4 = 0; 13. Išspręskite nelygybę:

a) χ2 - 4 < 0; d) χ 2 -4>0;

14. Raskite funkcijos у= Дх) išvestinę ir, remdamiesi ja, nustatykite χ reikš-mių intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės didėja, o kuriuose — ma-žėja: а) Дх) = χ3 - 12x; b) Дх) = χ3 - 6x2; с) Дх)

b) χ2 - 4x = 0;

b) χ2 - 4x > 0; e) x 2 -4x<0;

f) Дх) = 2x -10.

c) χ2 - 3x - 4 = 0.

c) χ2 - 3x - 4 < 0; f) χ2 - 3x - 4 > 0.

1 -3 3 2 - X d χ - 4 x + 2. 3 2

Pavyzdys. Duota funkcija Дх) = X3 - 6 x 2 - 15x+ 1. Raskime intervalus, kuriuo-se jos reikšmės didėja, o kuriuose — mažėja.

Sprendimas. Randame funkcijos Дх) išvestinę. Randame χ reikšmes, su kuriomis funkcijos išvestinė lygi nuliui.

Pažymime šias reikšmes skaičių tie-sėje ir nustatome išvestinės ženklą -i kiekviename iš susidariusių intervalų.

Ats.: kai χ e ( - o o ; - 1 ) ir χ e (5; +°o), funkcijos reikšmės didėja, o kai χ e ( - 1; 5) — mažėja.

f' (x) = (x3 - 6x2 - 15x + 1)' = = 3 x 2 - 1 2 x - 15.

f ( x ) = 0, 3 x 2 - 1 2 x - 15 = 0, χ2 - 4x - 5 = 0, x = - l , x = 5.

/ 'W

/ W

Problemos 15*. Paveiksle pavaizduotas funkcijos išvestinės grafikas. Nu-

rodykite intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės didėja; mažėja:

a) y

1

O •-1 24. \ / X O •-1

b) y

z

O I X

16*. Pateikite pavyzdį funkcijos у=Дх), kurios išvestinė su visomis χ reikš-mėmis: a) yra teigiama; b) yra neigiama; c) lygi nuliui.

5.4. IŠVESTINĖS TAIKYMAS: FUNKCIJOS EKSTREMUMO TAŠKŲ NUSTATYMAS

Jau žinome, kad funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus galima nustatyti pasitelkiant išvestinę. Pasirodo, ji padeda ir ieškant kritinių funkcijos taškų, taip pat nustatant, ar tarp jų yra maksimumo bei minimumo taškų.

Išnagrinėkime žemiau nubraižytą funkcijos grafiką. Maksimumo taško koordinatės

Minimumo taško koordinatės

Matome, kad nagrinėjama funkcija turi du ekstremumo taškus. Jeigu per juos nubrėžtume funkcijos grafiko liestines, jos būtų lygiagrečios su Ox ašimi. Vadinasi, šių liestinių krypties koeficientas lygus nuliui, t. y. funkcijos išvestinė šiuose taškuose lygi nuliui: Z v ( X m a x ) = O ir /'(Xmin) = O.

Vis dėlto ne visos χ reikšmės, su kuriomis funkcijos išvestinė lygi nu-liui, yra ekstremumo taškų abscises. Pavyzdžiui, kai x = 0, funkcijos Дх) = = X3 išvestinė /''(x) = (x3)' = 3x2 lygi nuliui, tačiau šis taškas nėra ekstremumo taškas.

Nors jame funkcijos reikšmių kitimas šiek tiek pasi-keičia (tai nesunku pamatyti įsižiūrėjus į mums pažįsta-mos funkcijos Ax) = X3 grafiką), tačiau visoje apibrėžimo srityje funkcijos reikšmės tik didėja.

Taigi χ reikšmės, su kuriomis funkcijos išvestinė lygi nuliui, yra tik kandidatės į X m i n ir xmax. Kad jos taptų X m i n

ir xmax, funkcijos išvestinė, kai χ pereina jas, turėtų pa-keisti ženklą.

y = x

(0; o)

Norėdami rasti X k r i t , turėtume apskaičiuoti funkcijos išvestinę ir nu-statyti, su kuriomis χ reikšmėmis ji lygi nuliui.

Jeigu funkcijos išvestinės ženklas, kai χ pereina per xkrit, pasikeičia iš + į - (žiūrint iš kairės į dešinę), tai X k r i t yra xmax.

Jeigu funkcijos išvestinės ženklas, kai χ pereina per xkrit, pasikei-čia iš - į +, tai X k r i t yra xmin.

Jeigu funkcijos išvestinės ženklas, kai χ pereina per X k r i t , nepasikei-čia, tai X k r i t nėra nei xmax, nei xmin.

Uždaviniai

Pratimai

a)

1. Brėžinyje yra pavaizduotas funkcijos y= fix) grafiko es-kizas. Nurodykite šios funk-cijos:

b) minj C) ymax? d) ymįn.

y

/

yfU)

/ 1 1 1 1 O 1 V 2. Parodykite, kad funkcijos fix) = χ3 - Зх + 5

kritinių taškų abscises yra x = - l i r x = l . 3. Raskite funkcijos Дх) = 2 + 6x2 - x3 kritinių taškų koordinates (x; y). 4. Raskite f\x) ir nustatykite funkcijos Дх) maksimumo bei minimumo

taškų koordinates (x; y), kai: а) Дх) = 2x2 - χ + 6; b) Дх) = χ3 + 6x2 - 1 ;

с) Дх) = - χ 3 +2x2 +5x; d)* Дх) = x4 + 4x2.

Pavyzdys. Raskime f'{x) ir nustatykime funkcijos maksimumo bei minimumo taškų koordinates, kai Дх) = х3 + 3х2+1. Sprendimas. Apskaičiuojame funkcijos f(x) iš-vestinę. Prilyginę ją nuliui, randame xkrit.

Atidedame šias χ reikšmes skaičių tiesėje ir nustatome išvestinės ženklą kiekviename iš susidariusių intervalų. Remdamiesi išvesti-nės ženklu, randame intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės didėja ir kuriuose — ma-žėja, taip pat nustatome, kurie kritiniai taš-kai yra maksimumo, o kurie — minimumo taškai. Apskaičiuojame ymax ir ymin.

f ( x ) = (x3 + 3x2 + 1)' = 3x2 + 6x.

W = O; 3x2 + 6x = 0, kai x = - 2 ir x = 0.

- 2 max

O min

_ /'W /W

= Д - 2 ) = 5; y . = Д 0 ) = 1 . Ϊ ' > J mm /

Ats.: ( - 2 ; 5) yra maksimumo taško koordinatės, o (0; 1) — minimumo taško koordinatės.

Matematika matematikoje

5. Remdamiesi funkcijos y= fix) išvestine, nustatykite tos funkcijos grafiko (parabolės) viršūnės koordinates: а) Дх) = х 2 -5х + 2; b) Дх) = 1 - 2x - Зх2;

1 с) Дх) = —χ2 + 7x + 10; 2

d ) Д х ) = Х 2 - 7 3 Х + 2 .

Parabolės viršūnė yra kvadratinės funkcijos maksimumo arba

minimumo taškas, todėl jos koordinates galime rasti ir naudodamiesi išvestine.

6. Prekių paklausą (parduotų prekių kiekio K priklausomy-bę nuo vienos prekės kainos χ litais) tam tikru laikotar-piu galima apibūdinti funkcija K{x) = 300 - 20x; čia x>0. Remdamiesi jos išraiška:

a) parodykite, kad firmos pajamas, gautas už parduotas prekes, ga-lima apibūdinti funkcija P(x) = -20x2 + 300x; b) nustatykite, kokia turi būti prekės kaina, kad firmos pajamos būtų lygios nuliui; c) nustatykite, kokia turi būti prekės kaina, kad firmos pajamos būtų didžiausios, ir apskaičiuokite šių didžiausių pajamų dydį (Lt); d) nubraižykite pajamų funkcijos P(x) = -20x2 + 300x grafiką (atkreip-kite dėmesį į tai, kad χ > 0).

7. Duota funkcija: а) Дх) = 4 - 3x - χ2; b) g(x) = 2x2 - 6x;

c) h(x)= - χ 3 - - χ 2 ; d) f(x)=--χ3+-χ2. 3 2 3 2

1. Raskite funkcijos grafiko ir Ox bei Oy ašių sankirtos taškų koor-dinates. 2. Nustatykite funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus. 3. Apskaičiuokite ekstremumo taškų koordinates (x; y). 4*. Pagal 1—3 užduočių duomenis nubraižykite funkcijos Дх) grafiko eskizą. Pavyzdys. Nubraižykime funkcijos f[x) = x3 + 6x2 grafiko eskizą. Sprendimas 1. Raskime funkcijos grafiko ir Ox bei Oy ašių sankirtos taškų koordinates. Kai x = 0, tai Д0) = 03 + 6 • O2 = O. Kai y = 0, tai x3 + 6x2 = 0, x2(x+ 6) = 0, x = 0 arba x = - 6 . Gavome du taškus: (0; 0) ir ( - 6 ; 0). Pažymime juos koordinačių plokštumoje. 2. Dabar ieškome kritinių taškų: f (x) = (x3 + Qx2)' = 3x2 + 12x = 0, + V - V + / ' « 3x(x+ 4) = 0, x = 0 arba x = - 4. Šias χ reikšmes atidedame skaičių tiesėje ir nustatome išvestinės ženklą kiekvie-name iš susidariusių intervalų. Remda-miesi išvestinės ženklu, randame inter-valus, kuriuose funkcijos reikšmės didėja ir kuriuose mažėja, taip pat išsiaiškina-me, kurie kritiniai taškai yra maksimu-mo, o kurie — minimumo taškai.

3. Apskaičiuojame ymax ir ymin:

Ушах =/ " ( -4) = 32; ymin = f(0) = 0. 4. Gautus taškus (x; y) taip pat atide-dame koordinačių plokštumoje. Nubrai-žome funkcijos grafiko eskizą.

Matematika gyvenime

Problemos

5.5. IŠVESTINĖS TAIKYMAS: DIDŽIAUSIOS IR MAŽIAUSIOS FUNKCIJOS REIKŠMĖS UŽDARAJAME INTERVALE RADIMAS

Langų gamintojai gavo keistoką užsa-kymą — padirbinti stačiakampio formos lan-gą, kurio rėmo ilgis (perimetras) būtų 14 m, o kiekviena kraštinė — ne trumpesnė kaip 1 m. Kokius lango matmenis reikėtų pasirinkti gamintojams?

Gal lango ilgis ir plotis turėtų sudaryti dieviškąją proporciją1 (ilgio ir pločio santykis būtų lygus skaičiui Φ ~ = 1,618)? Sakoma, kad tokie stačiakampiai malonesni žmogaus akiai. Vis dėlto langų gamintojai nusprendė gaminti tokių matmenų langą, kuris praleistų kuo daugiau šviesos, t. y. kurio plotas būtų didžiausias.

Jei lango ilgis ir plotis būtų reiškiamas tik natūraliaisiais skaičiais, tai, perrinkę visus ilgio ir pločio derinius (o jų yra tik trys) ir apskaičiavę juos atitinkančias lango ploto reikšmes, įsitikintume, kad reikėtų gaminti langą, kurio matmenys 3 m ir 4 m.

S1 = 1 6 = 6 (m2) -

i 6

1

Tačiau gal galėtume padaryti dar didesnį negu 12 m2 ploto langą, jeigu tartume, kad jo matmenys gali būti bet kokie teigiamieji realieji skaičiai?

1 Zr. Tannenbaumas P, Arnoldas R. Kelionės į šiuolaikinę matematiką. — V.: TEV, 1995, p. 266.

Pažymėkime stačiakampio ilgį raide x. Ilgio ir pločio suma lygi 14:2 = 7, todėl stačiakampio plotis bus 1 - х . Tada stačiakampio plotą galėsime apskaičiuoti pagal formulę S(x) = a • b=x(7-x) = 7x-x2; čia χ e [1; 6].

Raskime funkcijos S(x) = 7x-x2 didžiausią reikšmę intervale [1; 6].

I būdas Jeigu nubraižytume šios funkcijos grafiko eskizą,

pamatytume, kad didžiausią reikšmę ji įgyja, kai x = = 3,5. Vadinasi, lango plotas didžiausias tada, kai jo ilgis lygus pločiui (3,5 m χ 3,5 m), t. y. kai langas yra kvadrato formos. Tadajo plotas S(3,5) = 7-3 ,5-3 ,5 2 = = 12,25 (m2).

3,5 m

3,5 m

II būdas Apskaičiuokime funkcijos S(x) = 7x-x2 didžiausią reikšmę intervale [1;

6], taikydami išvestinę. Randame kritinio taško abscisę: S'{x) = (7χ-χ2)' = 7 - 2x; S'(x) = O, kai 7 - 2 * = O, arba χ = 3,5.

Apskaičiuojame S(x) reikšmes, kai x = l , χ = 3,5 ir χ = 6: S(I) = 7 · 1 - I2 = 6, S(3,5) = 7-3,5-3,52 = 12,25, S(6) = 7 - 6 - 6 2 = 6. Matome, kad didžiausią reikšmę, lygią 12,25, funkcija įgyja, kai χ = 3,5. Vadinasi, lango plotas didžiausias tada, kai langas yra kvadrato for-

mos, t. y. 3,5 m χ 3,5 m.

Ieškodami didžiausios (mažiausios) funkcijos reikšmės uždarajame intervale:

• randame χ reikšmes, su kuriomis funkcijos išvestinė lygi nuliui (kritinių taškų abscises);

• apskaičiuojame funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir intervalo galuose;

• iš šių reikšmių išrenkame didžiausią ir mažiausią funkcijos reikš-mę.

Uždaviniai.

Pratimai 1. Nustatykite didžiausią ir ma-

žiausią pavaizduotos funkci-jos reikšmę intervale:

a) χ e [ - 2 ; 2]; b) χ e t - l ; 5]; c) χ e [1; 5]; d) χ e [ - 1 ; 3,5].

2. Apskaičiuokite didžiausią ir mažiausią funkcijos Дх) = 3х-х3 reikšmę intervale: a) χ e [ - 2 ; 0]; b ) x e [ - 2 ; 3 ] ; c) χ e [ - 2 ; 1]; d ) x e [ - 3 ; 3 ] ,

3. Su kuria χ reikšme reiškinys x -x 2 intervale [ - 2 ; 1] įgyja didžiausią reikšmę?

Matematika gyvenime

4*. Vieno gaminio kaina yra χ (Lt). Firmos savaitės pelnas apskaičiuojamas pagal formulę P(x)=-x2 + 22x-40. Ko-kia turi būti gaminio kaina, kad firma gautų didžiausią pelną?

5*. Tam tikros įmonės finansų skyrius nustatė, kad savaitės pelną (arba nuostolį) p(x) (tūkstančiais litų) galima apskaičiuoti pagal tokią for-mulę: p(x)= -X 2 +I lx -28 ; čia χ — vieno gaminio kaina litais. Išsi-aiškinkite, kokia turi būti gaminio kaina, kad įmonė gautų didžiausią pelną.

6*. Kartono lapo, kurio matmenys 30 χ 50, kampuose išpjovus kvadratė-lius, reikia pagaminti dėžutę. Koks turėtų būti išpjauto kvadratėlio kraštinės ilgis, kad dėžutės: a) šoninio paviršiaus plotas būtų didžiausias; b) tūris būtų didžiausias?

A Atkreipkite dėmesį tai, kad 0 < χ < 15.

Matematika matematikoje

7*. Stačiojo trikampio ABC statinių AC ir CB ilgių suma lygi 6 cm. a) Parodykite: jei AC = x, tai trikampio ABC plotą galima išreikšti formule S(x)= 3x-—x2.

2 b) Raskite didžiausią galimą trikampio ABC ploto reikšmę.

Problemos 8*. Koordinačių plokštumoje pavaizduotas

funkcijos Дх) = 8 - 2x grafikas ir stačia-kampis OABC. Dvi stačiakampio kraš-tinės yra Ox ir Oy ašyse, o viršūnė B priklauso funkcijos Дх) grafikui. Rem-damiesi šiais duomenimis:

a) apskaičiuokite stačiakampio OABC plotą, kai OC = 3; b) užrašykite stačiakampio OABC ploto priklauso-mybės nuo χ formulę, kai taško C koordinatės yra Ge; 0 ) ; c) nustatykite, su kuria χ reikšme stačiakampio plotas bus didžiau-sias.

9*. Dviejų skaičių suma lygi 12. Raskite tuos skaičius, jeigu yra žinoma, kad: a) jų sandauga įgyja didžiausią reikšmę; b) jų kvadratų suma įgyja mažiausią reikšmę.

Darbas 10*. Į šiltnamį ketinama įstatyti stačiakampio formos duris grupėmis (žr. brėžinį apačioje kairėje).

y 2

y = 2-х2

J Ι- V 1 r1 1 -2 -V2 -1 Ο X ί -i/2 I х

Atsižvelgdami į tai, kad priekinės šiltnamio dalies kraštas yra parabo-lės y = 2 -χ 2 formos: a) parodykite, jog durų perimetrą galima apskaičiuoti pagal formulę P(x) = 4 + 2x - 2x2; čia χ — dešinėje pavaizduotos atkarpos ilgis, be to, 0 <χ< л/2; b) nustatykite, su kuria χ reikšme funkcija P(x) įgytų didžiausią reikš-mę; c) apskaičiuokite didžiausią galimą durų perimetrą; d) parodykite, jog durų plotą galima apskaičiuoti pagal formulę S(x) = = 4x-2x3; čia χ — dešinėje pavaizduotos atkarpos ilgis, be to, 0<x< < 72; e) nubraižykite funkcijos S(x) = 4x-2x3, kurios 0<x< Vž , grafiką; f) nustatykite, su kuria χ reikšme (0,1 tikslumu) funkcija S(x) įgytų didžiausią reikšmę; g) apskaičiuokite didžiausią galimą durų plotą.

5.6. IŠVESTINĖS TAIKYMAS: VIDUTINIS IR MOMENTINIS JUDĖJIMO GREITIS

Darbovietė Namai

5,904 km R

Radaras

Jei, važiuodami automobiliu iš Vilniaus į Kauną (maždaug 100 km), užtrukome 2 h, tai galime sakyti, kad vidutinis mūsų greitis buvo Vvili =

= y= ^2 ^ m = 50 km/h. Tačiau kiekvienu laiko momentu judėti tokiu grei-čiu kažin ar teko: vienais kelio ruožais, matyt, važiavome 100 km/h greičiu, kituose ruožuose vyko remonto darbai ir greitį teko sumažinti iki 30 km/h, o gal net ir pastovėti. Taigi vidutinis judėjimo greitis neatspindi automobilio greičio atskiru laiko momentu.

Išnagrinėkime kitą pavyzdį. Tar-kime, kad Jonas gyvena už 10 km nuo savo darbovietės. 19 h jis baigė darbą ir automobiliu išvažiavo į namus. Po 15 min Jonas jau buvo savo namų kie-me. Praėjus keletui dienų, jis gavo iš policijos pranešimą, kuriame nurodoma, kad anądien pažeidė eismo tai-sykles. Kelyje stovintis radaras tąkart užfiksavo, kad Jono automobilis viršijo 50 km/h leistiną greitį (radaras stovi 5,904 km atstumu nuo Jono darbovietės). Jonui tai atrodė keista, nes jis prisiminė, kad 10 km tą dieną jis įveikė per 15 min = 0,25 h, taigi važiavo 40 km/h vidutiniu greičiu.

Pabandykime įvertinti Jono automobilio greitį ties radaru (R), žinoda-mi, kad Jono nuvažiuotas atstumas s (km) nuo darbovietės (JD) iki namų (N) kiekvienu laiko momentu t (h) apskaičiuojamas pagal formulę

s(t) = 320£2 - 2560i4; čia t e [0; 0,25]. Šios funkcijos grafikas pavaizduo-

tas dešinėje. Iš pradžių nustatykime, kuriuo

momentu Jonas pravažiavo pro rada-rą. Kadangi s = 5,904, tai sudarome lygtį 320*2 - 2560£4 = 5,904. Ją išspren-dę gauname: t = 0,15 h.

s(l) = 3 2 0 ( - 2 5 6 0 ( 4

0,15 0,25 '.h

Išsiaiškinkime, koks buvo viduti-nis automobilio greitis tuo laikotar-piu, kai Jonas važiavo nuo radaro iki namų:

vid 1: ΔS0 10-Δ , 0 , 2 5 - 0 , 1 5

5,904 =40,96 (km/h). 0,25 ' .h

Asn 9 . 4 9 1 - 5 . 9 0 Vvid 2

yVid 4 —

y v i d 6 -

As2 9,491- 5,904 3,587 At2 0,22- 0,15 0,07

As3 8,704--5,904 2,8 At3 0,20- 0,15 0,05 :

As4 7,399- 5,904 1,495 At4 1,175--0,15 0,025

As5 6,874- 5,904 0,97 At5 0,166--0,15 0,016

A S6 6,088--5,904 0,184 Ai6 0,153 -0,15 0,003

0,22 0,25 '.h

= 59,8 (km/h); s(t), km

10-= 60,625 (km/h); 8,704--

5,904

= 61,33 (km/h). 0,15 0,20 0,25 ' ,h

Nesunku pastebėti: kuo mažesnį laiko tarpą pasirenkame, tuo didesnis yra vidutinis greitis ir tuo labiau artėjame prie greičio skaitinės reikšmės laiko momentu 0,15 h.

Prisiminę išvestinės apibrėžimą, šį procesą galėtume užrašyti taip: As lim— = s'(i) = yW-

Δί->0 At Iš tikrųjų s ' (t) = v(t) = 320 · 21 - 2560 · 413. Apskaičiuokime išvestinės reikšmę laiko momentu i = 0,15 h (momenti-

nį greitį, kurį užfiksavo radaras): s ' (0,15) = υ (0,15) = 320 · 2 • 0,15-2560 · 4 · 0,153 = 61,44 (km/h). Taigi Jonas, važiuodamas pro radarą, iš tiesų viršijo 50 km/h greitį.

Jeigu kelias, kurį materialusis taškas nueina per laiko tarpą t, api-būdinamas funkcija y = s(t), tai taško momentinis greitis v(t) lygus tos funkcijos išvestinei: v(t) = s'(t).

Darbas 1· Materialusis taškas juda tiese pagal dėsnį, reiškiamą for-grupėmis* mule s(t) = 212 - 2t - 1 ; čia s(t) — nueitas kelias metrais,

t — laikas sekundėmis. Koks bus šio taško greitis po 4 s? 2. Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn. Praėjus laiko tarpui t (s), jis

pakyla į aukštį h(t) = 1 + 20i - 5t2 (m). Apskaičiuokite: a) po kiek sekundžių kamuolys nukris ant žemės; b) v(t), žinodami, kad kamuolio greitis v(t) laiko momentu t lygus h'(t); c) po kiek sekundžių kamuolio greitis v(t) bus lygus nuliui.

3. Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn. Praėjus laiko tarpui t (s), jis pakyla į aukštį h(t) = 4,1 + 19,4ί-4,9ί2 (m). Nustatykite: a) kada kamuolio greitis lygus nuliui (apskaičiuokite, kiek sekundžių kamuolys kyla aukštyn; atsakymą užrašykite 0,1 s tikslumu); b) kamuolio greitį praėjus 1 s ir 3 s nuo išmetimo momento.

galiu paaiškinti, pateikti pavyzdį, ką reiškia: 5.1 argumento reikšmės pokytis, funkcijos reikšmės pokytis, funkcijos išvestinė,

funkcijos grafiko liestinė; 5.2 funkcijų išvestinių radimo taisyklės; 5.3 funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalai; 5.4 funkcijos kritiniai, ekstrėmumo (minimumo ir maksimumo) taškai; 5.5 didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė uždarajame intervale; 5.6 vidutinis ir momentinis judėjimo greitis.

5.1.1 susieti funkcijos grafiko liestinės krypties koeficientą su tos funkcijos išves-tinės reikšme konkrečiame taške (geometrinė išvestinės prasmė);

5.2.1 pritaikyti šias išvestinių skaičiavimo taisykles: f' (x) = (c)' = O, f'(x) = (x")' = nx»-\ f'(x) = (kg(x))' = kg\x), f (χ) = (g(x) ± h(x))'= g'(x) ±h'{x)·

5.2.2 apskaičiuoti funkcijos y=f(x) išvestinę, kai žinoma konkreti χ reikšmė; 5.3.1 taikyti išvestinę nustatydamas/nustatydama funkcijos, išreikštos ne aukš-

tesnio kaip trečiojo laipsnio daugianariu, reikšmių didėjimo ir mažėjimo in-tervalus;

5.4.1 taikyti išvestinę ieškodamas/ieškodama funkcijos, išreikštos ne aukštesnio kaip trečiojo laipsnio daugianariu, ekstremumo taškų koordinačių;

5.4.2 žingsnis po žingsnio tirti funkcijas, išreikštas ne aukštesnio kaip trečiojo laips-nio daugianariu, ir nubraižyti jų grafikų eskizus;

5.4.3 taikyti išvestinę spręsdamas/spręsdama paprastus uždavinius; 5.5.1 taikyti išvestinę apskaičiuodamas/apskaičiuodama didžiausią ir mažiausią

funkcijos reikšmę uždarajame intervale; 5.5.2 taikyti išvestinę spręsdamas/spręsdama paprastus uždavinius; 5.6.1 susieti kūno nueitą kelią su to kūno momentiniu greičiu, t. y. su nueito kelio

funkcijos išvestine laiko atžvilgiu (mechaninė išvestinės prasmė).

1. Funkcijos Дх) = ( х - I)2 išvestinė lygi: A - 2 ( x - l ) B 2 x - 2 C x - I D x 2

/ 1\ 2. Apskaičiuokite f' -— , kai Дх) = Зх3 - 5.

E 2x - 1 (1 taškas)

(2 taškai)

5 3*. Nustatykite, su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos Дх) = Зх išvestinė χ

lygi 48. (4 taškai) 4. Raskite funkcijos Дх) = 5 - Зх2 reikšmių didėjimo ir mažėjimo interva-

lus. (2 taškai) 5. Duota funkcija Дх) = - x 3 + 3x. Nustatykite:

a) ar šios funkcijos grafikas eina per tašką A(2; - 2) (atsakymą pa-grįskite); (1 taškas) b) funkcijos kritinių taškų koordinates (x; y); (3 taškai) c) ar funkcijos reikšmės intervale ( - 1 ; 1) mažėja (atsakymą pagrįs-kite). (1 taškas)

6. Funkcijos Дх) = х3 -3х2 grafikas kerta Ox ašį taš-kuose O ir B. Taškas A yra funkcijos minimumo taškas. Nustatykite: a) taško B abscisę; (2 taškai) b) taško A koordinates. (4 taškai)

7. Apskaičiuokite funkcijos Дх)= ^x3 - χ 2 -Зх ekstremumo taškų koor-dinates. (3 taškai)

8. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos Дх) = 1 + 3х-х3 reikšmę in-tervale [0; 2]. (4 taškai)

9*. Raskite realųjį skaičių, iš kurio atėmus jo paties kvadratą, skirtumas būtų didžiausias. , , Y, „ (4 taškai)

6 Kartojimo uždaviniai

I 6.1. ALGEBRINIAI REIŠKINIAI IR TAPATIEJI JŲ PERTVARKIAI

1. Pastebėję taisyklę, pagal kurią sudaryta skaičių seka, raskite trūksta-mus jos narius: a) 2, 5, 8, 11, ?, 17; b) 3, - 1 , - 5 , ?, ?, -17;

1 1 1 ο i, -2> T - g , ?, ?; d) i, Vš, 3, зл/з, ?, ?.

2. Parašykite pirmuosius penkis «-tojo nario formule užrašytos sekos na-rius:

a) an = n + 4;

e) an= - ra2; b) a„ = — ;

2 ra c) an = n3\ d) a„ = 5 + 2ra;

f) a„ = 3ra; g) an = |2 — ra|; h) a„ = 3-ra. 3. Atskliauskite ir sutraukite panašiuosius narius:

a) 3,6 +(1,4-jc); b) 6 - ( 9 - 6 ) ; c) 2(3x + 4)-5; d) 0,4y-3(y-1,5); e) 4(ra - 2) - (5 + Зга) · 2; f) 7δ(ί-VŠj-VŠi; g) α(6 + α -3 ) -2α6 ; h) x(x3-x2) + x3; i) Iog2 χ - (Iog2 χ - 3); j) 3-(2-+1); k) sin2χ-(2-sin2*); 1) π+ (2-π).

4. Atskliauskite taikydami greitosios daugybos formules: a) (x + 4)(x-4); b) (l,2 + 3y)(l,2-3y); c) (8 + x)2; d) (u-2)2; e) (2& - 7ra)(2& + 7ra); f) (9c-O,I)2;

Π f g) ~ + t ; h) Vii У

j)(3* + l)2; k) (lgx-2)(lgx + 2); 5. Išskaidykite daugikliais:

f 2 \ f 2 λ — -y U y U J

( Г) \ i) —a-3

{ 7 1) (π +1)2.

a) χ2-0,09; b) 16x2-25; c) 1-0,25a2;

e) 5 - i 2 ; f) 36-jc4; g) 0,0064-a2; 6. Kvadratinį trinarį išreikškite dvinario kvadratu:

a) α2 + 8α + 16; b) 9* 2 -6*+l ; 7. Patikrinkite, ar lygybė yra tapatybė:

d) — - 6 2 ; 49

h) 4x2-9.

c)* 25-y +O,Oly2. a) χ2 + 2x + 4 = Ge + 2)2;

c) χ2-8* + 7 = Gc-IX*-7);

b) χ2 - 4x + 4 = Oe - 2)2;

d)* 2*2 - 5x + 2 = 2(x - 2) V l 4 2

a)

e)

8x

7 u2 [x-y)

b) 15ay W

14u2 { x - y ) '

9. Apskaičiuokite:

a) 0,23; e) 0,7-1;

i) 92;

χ4

f) χ3

b)

c) g)

-24a3

16a26 ;

3 a ( l - 6 ) 9a2 (6 - I ) 2

ί , ι Ί 2 ' 2N

1 - ; c)

Oi ; c)

d)

h)*

d)

3 x(a + bf 9 χ2 (a+ b)'

3x2 +Axy 9jc2 - 16y3

\ 3

• 2 -3

f) -0,9-2 ; g) (-0,9)"2 ; h) 2 3 -3 3 + 4°;

j) 83; k) ' 9 v i v!6y 1) 27

m) 100 2

10. Apskaičiuokite:

f ι Λ - ; n) 92 (0,001)5; 0) 2"3 0,001 3; p) 0,012 : 6 v 25 y

a) VOД6; , 7

b) J2-; c) JŪ)2; d) S e) л/4 • 36. 9' - VŠO'

11. Apskaičiuokite: a) |-6| + |-3|; b) |4|-|б|; с) |2-л/з|-|ТЗ-2|.

12. Užrašykite laipsniu, kurio pagrindas yra skaičius 5:

а) 5л/б;

e> VV5;

b) 25^5;

f) VŠTf;

c) 125

g) 25^/5;

d , W ;

1 h) 54-V5'

13. Su kuriomis kintamojo reikšmėmis trupmeninis reiškinys turi pras-mę:

a. i ; X b) c)

b + 5' " X2-4

14. Nustatykite reiškinio apibrėžimo sritį:

a) Vū-7 ; b) ^ 7 ; c) ^ 7 ;

15*. Nustatykite reiškinio apibrėžimo sritį:

a) \lx-l + yJx + 3\ b) —~yjx + 3; , 1 1 c) χ 2-х'

ω 4 4 ? U2+1

d) [u - 7 ) š .

d) \j3-2x

16. Valties greitis prieš srovę lygus 15 km/h, o upės tėkmės greitis 1 m/s. Atsakykite į klausimus: a) kiek kilometrų per 1 h šia upe nuplauktų plaustas; b) kiek kilometrų per 1 h ši valtis nuplauktų ežere?

6.2. LYGTYS, NELYGYBĖS IR JŲ SISTEMOS

17. Išspręskite lygtį:

a) 6x = 2; b) — = 3; с ) - 5 х = 4^; 1 3

d) --χ+-χ = 5; e) 4 - ( * - 2 ) = £ ; f) 2 (x -4 ) -0 ,5= -7 ,5x ; 5 5 11

. χ χ л , . X - I 3 .. x-2 5-х g) = 1; h) + — = x·, i) X = . 6 3 2 5 4 4 2

18. Išspręskite lygtį: a) 5y + 3(3y + 7) = 35; b) 5 = 8x-(7x + 8); c) 7 б - 3 х = ч/2(ч/2х + 7з); d) | + y =

e) (2x - l)(3x - 4) = 6x(x - 1); f) (x - l)(3x - 2) = 3(x2 - 1 ) .

19. Išspręskite nelygybę:

a) 3x < - 12; b) - < - 2 0 ; c) §x<0,14; 4 7

d) - x > —; e) - - < - 2 ; f) — > - 1 ; 11 9 75

If V χ —

, 2 j g) 2 - ( x - 5 ) < 7; h) - •4 χ > —X, i) — > - x .

13 20. Virvelė, kurios ilgis 1,4 m, perkirpta į dvi dalis taip, kad viena jų yra

30 cm trumpesnė už kitą. Apskaičiuokite trumpesnės dalies ilgį. 21. Raskite tris iš eilės einančius natūraliuosius skaičius, kurių suma

lygi 81. 22. Raskite du iš eilės einančius natūraliuosius skaičius, kurių sandauga

lygi 56.

23. Vasarą vaikai pas ūkininką skynė braškes. Eglė per dieną priskynė dviem dėželėmis mažiau negu Vaida, o Karolis — 3 kartus daugiau negu Eglė. Žinodami, kad Vaida priskynė a dėželių braškių: a) algebriniu reiškiniu užrašykite, kiek tokių dėželių priskynė Karolis; b) sudarykite lygtį ir apskaičiuokite, kiek dėželių braškių per dieną pri-skynė kiekvienas vaikas, jei iš viso buvo priskinta 87 dėželės braškių.

24. Pradinį skaičių padidinę 15 %, o gautą rezultatą — dar 10 %, gauna-me skaičių, 630 vienetų didesnį už pradinį. Koks yra pradinis skai-čius?

25. Sugalvotą skaičių sumažinę 22 %, o gautą rezultatą — dar 25 %, gau-name skaičių, 8,3 mažesnį už sugalvotą. Koks skaičius buvo sugal-votas?

26. Pirmame sandėlyje yra 2 kartus daugiau dėžių negu antrame. Kai iš pirmo sandėlio buvo išvežta 80 dėžių, o į antrą atvežta 20 dėžių, abiejuose sandėliuose jų pasidarė po lygiai. Kiek dėžių abiejuose san-dėliuose buvo iš pradžių?

g 27. Su kuria kintamojo χ reikšme reiškinio 4-—χ reikšmė yra 3 vienetais

mažesnė už reiškinio — x - 4 reikšmę? 18

28. Dviejų skaičių suma lygi 45. Vienas tų skaičių pusantro karto mažes-nis už kitą. Raskite tuos skaičius.

29. Išspręskite lygtį:

а) |ж| = б; b) Į*| = 0,7; c)|x| = 0; d)|x| = |;

e) 3|x| = 21; f) |x| + 2 = 6; g) |x| = - 3 ; h) |*|-7 = 2. 30. Išspręskite nelygybę:

a) |*Į >7; b) |*| <3; c) |x|<6; d) |*|>4; e) |*| < - 9 ; f) j*| > - 1 ; g) |x|>0; h) |χ|<0.

31. Ar skaičius - 3 yra lygties sprendinys:

a) |* + 7| = 4; b ) ( V ^ ) 2 = - 3 ; c ) V ? = 3; d ) V ? + |x| = 9?

32. Išspręskite lygtį: a ) * - 8 = *; b) 0 · χ - 3 = 0; c) O y + 2 = 2; d) 7* = 0.

33. Raskite lygties sprendinius:

a ) ^ = 0; b) ^ = 0; c) - ^ - = 0; 4 3* * - 4

^ * 2 - 1 6 n ч * 2 + 3 n _ χ2 - 25 „ d) — = 0; e) = 0; f)* — = 0. x+2 χ x - 5

7—b 35. Su kuria b reikšme =0? 9

36. Išspręskite lygtį: a) л/х=9; b) 3=3; c) л/х-3 = - 3 ; d) ^x + 7=2 ;

e) = f) 7 ^ 1 = 2 ; g) 7 ^ 5 = 0 ; h) 7 T ^ = -0,3.

37. Koks turi būti skaičius 6, kad iš jo ištraukę ketvirtojo laipsnio šaknį gautume 0,3?

38. Raskite kvadratinės lygties sprendinius: a) x2 + 2 x - 15 = 0; b) 5 x 2 - 2 x - 3 = 0; c) 3x2 + 5 x - 2 = 0; d) -2x2+17x + 30 = 0; e) 4x2-12x + 9 = 0; f) - x 2 - 5 x + 6 = 0.

39. Išspręskite lygtį: a) χ 2 -χ = 6; b) x 2 - 4 = 3x; c) 14x = x2 + 49; d) χ 2 -25 = 0; e) x2+ 16 = 0; f) x 2 - 5x = 0.

40. Vienas skaičius yra 2 vienetais didesnis už kitą, o jų sandauga lygi 15. Raskite tuos skaičius.

41. Išspręskite lygtį, keisdami nežinomąjį: a) (x2)2-5x2 + 4 = 0; b) 2y4-5y2 + 2 = 0; (:)7^ + 6-7^ + 5 = 0; d) 3 ^ - 2 -3^-3 = 0; e) lg2x + 41gx + 4 = 0.

42. Raskite lygties sprendinius: i л Λ а) (х-3) —х + 6 =0; b) х(х - 4)(3х + 1) = 0; с) (2х-л/з)(х-5) = 0.

43. Išspręskite lygtį, pakeisdami ją A(x) - B (χ) = 0 išraiškos lygtimi: a) χ2 = 16; b) 16x + x2 = 0; c) x2 = 16x; d) χ 3 -9x = 0; e) Iog χ+Iog5x = 0; $ 2 ^ - 2 ^ = 0.

44. Išspręskite lygtį:

a) Vx2 - 4 = л/5; b) V x 2 - 2 = V^; c) 3 + V2x + l = l ;

d) л/х2 + X - I = л/х; e)* л/х2 + x - 1 =x; f)* 4 x = x - 2 .

45. Išspręskite nelygybę intervalų metodu: a) (x + 3 ) ( x - l )>0 ; b) x (5 -x )<0 ; c ) x ( 3 x - l ) > 0 ;

x + 8 4 - х

d) - x ( x - 2 ) < 0 ; e)* > q. f ) * £ ± 8 < 0

46. Išspręskite nelygybę: a) χ2 - 4x > 0; d) l - * 2 > 0 ;

b) χ2 + 4x > 0; e) Oc + 3)2 > 0;

c) x2-x<0; D x2 + 4x + 3<0.

47. Su kuriomis χ reikšmėmis reiškinio * (5 -* ) reikšmės yra didesnės už nulį?

48. Su kuriomis y reikšmėmis reiškinio y2 + 7 reikšmės yra mažesnės už reiškinio 3y2 - 11 reikšmes?

49. Išspręskite lygčių sistemą:

a)

d)

g)

j)

50. Duoti du skaičiai. Pirmąjį skaičių padvigubinę ir sudėję su antruoju, gauname 17. Jei padvigubiname antrąjį skaičių ir pridedame prie pir-mojo, gauname 19. Raskite tuos skaičius.

51. Kiek sprendinių turi lygčių sistema: \x + y = 5, c ) jy = x2 +1, \x-y = 1;

л; = - 8 , b. I [3* = 7,

c) • \3x + IOy = 86,

4x - 8y = -27; b. I !6* - 4y = 39; c) • [5y =16;

2x -Zy = It 6* - 9y = - n , 2x - 2y = - 2 , 3x + y = l; 9* + 3y = 8; -10* + 5y = 0,5;

Ix + Iy = -I, h, j f * - 2 y = --7, "1 \3x-y = -1, 10;c+ 2y = 5,2;

h, j [4* + 5y = i i ; "1 [~2* + 3y = -11 ;

χ = y + 2, « I ^ 2 + 2 y = 18, Ή i 2*2 - 3y2 = 24, X2 - 2y2 = 7;

« I |3я - 2y; Ή [2* - 3y = 0.

a) У = 4x, У + * = 3;

b)

52. Kuriame brėžinyje pavaizduotas lygčių sistemos nys?

B

2y + x = 5?

y = x + 3, y = -2x

sprendi-

У 4-Ъ

' l-1-

У 4-Ъ

' l-1-

У 4-Ъ

' l-1-

У 4-Ъ

' l-1-

У 4-Ъ

' l-1-

S-3 -2 -1 \o

2 -

- 3 --A .

- 1 2 * \o

2 -

- 3 --A .

/ į

\o

2 -

- 3 --A .

У \ 4

' \ P X2'

У \ 4

' \ P X2'

У \ 4

' \ P X2'

У \ 4

' \ P X2'

•1 •1

y 3 -2 -I O -1 -V i 2 x 1

- 2 -_1 .

1

- 2 -_1 . \ - 4 - \

I •

I i -

I •

I i -

I •

I i -

I •

I i -

1

-2 -I O -I--2·

\ 1 2/ъ 4 -2 -I O -I--2·

-2 -I O -I--2·

-

6.3. FUNKCIJOS IR JŲ GRAFIKAI

53. Funkcijos Дх) = x - 3

+ Vx-2 apibrėžimo sritis yra:

B (2; 3)U(3; +<*>) E (3; +oo)

C [2; 3)U(3; +oo) A (2;+ oo) D ( - o o ; + o o )

54. Sviedinio pakilimo aukščio h (m) priklausomybė nuo laiko t (s) apibū-dinama formule h(t) = 9t-2t2. Tardami, kad sviedinys buvo mestas aukštyn nuo Žemės paviršiaus: a) nustatykite, kuriuo momentu sviedinys buvo aukščiausiame taške; b) nubraižykite funkcijos h(t) = 91-212 grafiką; c) grafiškai išspręskite lygtį h{t) = 6; d) išspręskite nelygybę h(t)> 6; e) nustatykite, kada sviedinio pakilimo aukštis buvo mažesnis nei 6 m.

2 55. Kurie iš šių taškų nepriklauso funkcijos Дх) = — χ grafikui: 3

A(-1,5; 1,5), B(-40; 30), C(15; -10), 2)(-36; -24)? 56. Apskaičiuokite pavaizduotos funkcijos y = kx koeficientą k\

a) y\ c) y

57.

58.

Mildos kambario lubos yra stačiakampio formos. Jų plotis 3 m, o ilgis 5 m. Mergaitė šias lubas popieriaus lape pavaizdavo stačiakampiu, kurio matmenys 6 cm χ 10 cm. Koks yra Mildos piešinio mastelis? Vaida ketina savaitgalį aplankyti atosto-gaujančią draugę. Į kelionę ji rengiasi vyk-ti su broliu dviračiais. Žemėlapyje, kurio mastelis 1: 50 000, keliauninkai pasižymė-jo maršrutą ir išmatavo jo ilgį. Paaiškėjo, kad jis lygus 14,2 cm. Kokį atstumą nuva-žiuos Vaida su broliu, vykdami pas draugę?

59. Verdant mėlynių uogienę, 1 kg uogų paprastai imama 0,5 kg cukraus ir 50 g vandens. Kiek cukraus ir kiek vandens reikės įpilti turint 8,5 kg šių uogų?

2 60. Kurie iš šių taškų nepriklauso funkcijos Дх) = — grafikui:

A ( - l ; -2 ) , B(0,5; 6), C(10; -5 ) , D J i 8

61. Pavaizduotosfunkcijos y = — grafikas eina

per tašką

ciento k reikšmę

- i ; 60 2

. Apskaičiuokite koefi-

62. Senelė augina 15 vištų. Joms ji nupirko le-salo, kurio užteks 14 dienų. Kiek dienų šiuo lesalu būtų galima penėti 6 vištas?

63. Mama davė Laurai pinigų šokoladiniams batonėliams. Už gautus pinigus mergaitė galėjo nusipirkti 4 batonėlius po 75 ct, ta-čiau ji nusipirko 5 „Nomedos" saldainius. Kiek kainavo vienas „Nomedos" saldainis?

64. Kuri formulė atitinka pavaizduotą tiesinę funkciją: a) >-J A y = 4 + 2x

B y = - 2x + 4 C y = - 2x D y=-4-2x

65. Apskaičiuokite Д-4), kai: а) Дх) = - χ 2 + 9; b) Дх) = ( -х ) 2 + 9;

66. Funkcijos Дх) grafikas kerta koordinačių ašis taškuose A ir β . Remdamiesi grafiku, nustatykite: a) taškų A ir β koordinates; b) su kuriomis χ reikšmėmis Дх)>0; c) su kuria χ reikšme funkcijos reikšmė lygi nuliui; d) funkcijos apibrėžimo sritį; e) funkcijos reikšmių sritį; f) intervalą, kuriame funkcijos reikšmės mažėja.

У ( -»/ ·

s / 20-

-2 -I О i 2 * С

A y = 20 - 0,5x B y = 20 + 0,5x C y = 0,5x-20 D y = - 20-0,5x

с) Дх) = (χ - 9)2.

67. Kelias h (m), kurį įveikia iš sraigtasparnio išmestas ryšulys, priklauso Rt2 nuo kritimo laiko t (s) ir yra apskaičiuojamas pagal formulę h(t) = ——; 2

čia g ~ 10 m/s2. Apskaičiuokite: a) kiek metrų ryšulys nukris per pirmąją sekundę; b) kiek metrų jis nukris per pirmąsias 2 s; c) kiek metrų ryšulys nukris, pradedant 4-ąja ir baigiant 6-ąja se-kunde; d) kiek laiko kris ryšulys, išmestas iš sraigtasparnio, esančio 650 m aukštyje.

68. Suprastinkite taikydami veiksmų su laipsniais savybes:

(^5)2. a) b) „o ' c) χ18: χ2 • x - 5 .

69. Nustatykite, su kuriomis kintamojo reikšmėmis funkcija g(x) yra ne-apibrėžta:

a) g(x) = 3 · χ2; b) g(x) =

70. Raskite funkcijos Дх) apibrėžimo sritį:

а) Дх) = \[χ^~5·, b) Дх)-

c) g(x) = 2x х - З '

71. Apskaičiuokite funkcijos Дх) =

4 - х ' χ

с) Дх) = yfx-2+—. X

2 9 x + 3 reikšmę, kai χ = 70,1.

72. Lygtį X2 = 4 išspręskite: a) algebriniu būdu; b) grafiniu būdu.

73. Nelygybę x2 < 9 išspręskite: a) algebriniu būdu; b) grafiniu būdu.

74. Kuri funkcija pavaizduota brėžinyje? А Дх) = 200х

В Дх) = 6 х

С Дх) = 0,6х

D Дх) =

У

L· О X 200

75. Kurios funkcijos grafikas nesutampa su funkcijos Дх) =

А Дх) = - 9х В Дх) = 9~х С Дх) = v9y 1

grafiku?

76. Išspręskite lygtį:

a) 4* = 64; b) 4*= —; 64 c) v4y

J_ 16; d)

v4y = 1.

77. Kuris iš šių taškų nepriklauso funkcijos y = 3* grafikui:

-1; - S(3; 81), C(0; 1), D / -1 Λ i r s

78. Išreikškite laipsniu, kurio pagrindas lygus 10: a) 0,001; b) 0,01"1; c) i/ΐθ;

Г i V 1

e) 1000

f) ν/ΪΟ ' ' UOO

79. Išspręskite lygtį:

a) S3x-1=--, d) 5*= 1;

80. Išspręskite nelygybę:

g) IO4

1 0 - 0 , 0 1

b) 24(l+3) = л/2; e) 16*-5 = 0,125;

a) 3*<9; b) <i ;

Z1V e)

v5y <5* f) 82-(3+x) > 2х;

c) g)

X

f5' 1-

U,

V2;

2 Л 5'

d) ΙΟΟλ/ΙΟ;

h ) Ο,ΟΟΓ3

IOO0

c) 8^=162*"7; f) 7 · 3* = 21.

d) 3 ^ 3 * " 6 ;

81. „Sandraugos" banke kliento indėlio dydis po t metų apskaičiuojamas pagal formulę St = S0- 1,04'; čia S0 — pradinis indėlis. Nustatykite: a) šio banko mokamų metinių palūkanų normą; b) kliento indėlio dydį po 5 metų, jeigu pradinis indėlis yra 4000 Lt.

82. Užrašykite lygties sprendinį, vartodami logaritmo žymenį:

a) 3* = 8, b) 4* = 7, X = Iog3 8; χ = ...

83. Apskaičiuokite: a) Iog61; b) Iog5 5;

• Ч Я 1 e) Iog1 V I o g 3 - ;

3 27

c) 10*=- , 9

c) Iogi 1; 4

g) Iog^ 49;

d) I - I =5. X= ...

d) Ig 10;

h) Ig 0,001.

84*. Apskaičiuokite:

a) log i + Iog7 21; O

c) Iog4 6 - Iog4 24;

b) Iog3 (л/ΪΟ - y/7) + Iog3 (VlO + V7);

d) l g V 3 0 - l g ^ .

85. Kuris iš šių taškų nepriklauso funkcijos y = Iog2 χ grafikui:

' 1 16'

A(64; 8), B( 1; 0), C(8; 3), D

86. Kurią funkciją vaizduoja grafiko eskizas?

A y = Iogi χ 3

B y = Iog3 χ

C y = Iog1 χ 8

D y = Iogj^ χ 20

87. Kuris grafikas vaizduoja funkciją y = Iog1 x?

88. Išspręskite lygtį: a) Iog2 ж = 3; d) Iog0j3 (2 + 3x) = 0;

b) l og 0 i 7 x=- l ; e) lg(3+x) = lg 8;

c) Iog3 ( 2 -х ) = 1; f) Igx + 1 = Ig 7;

g) Iog2(3-х) = 4 Iog21;

i)* Ig

h)* Iog1 ( x 2 - 5*+ 8) =

' 5Л χ

6 = Igx2; j)* Igχ2 = 1.

89. Išspręskite nelygybę:

a) Ig χ < Ig 10; b) Iog0,2 χ < Iog0,2 5;

d) Iog6 (5x - 2) > 2; e) Iog1 (4* - 1 ) > - 1 ;

c) Iog1 χ < Iog1 (3 -4*) ; 4 4

f) Iog2 (2 - 5x) < 0;

X g) Iog0i5 (6x) < 1; h) Iog4 (3 - 6x) > Iog4 x; i) log 1 (1 - x) < log x —. ТГ4

90. Išspręskite lygtį, pertvarkydami ją į kvadratinę: a) l g 2 x -7 Igx + 12 = 0;

c) Iog2 χ + 4 к ^ χ + 4 = 0; 3 3

b) 2 Iog2 χ -Iog3 x - 3 = 0;

d) 2 Iog2X-Iog5X = O.

91. Nubraižykite funkcijos Дх) = х2 + 3 grafiką. Pavaizduokite gautajai krei-vei simetrišką Ox ašies atžvilgiu kreivę.

92. Koordinačių plokštumoje pavaizduotas funkcijos y Дх) = x2 grafikas. Savo sąsiuviniuose pavaizduokite \ • I funkcijų \ / a) fix) = x2 + 4, \ I b) fix) = ix- 3)2, \ c) fix) = (χ + 2)2 - 1 V / grafikus, kuriuos galima gauti pastumiant funkcijos O 1 Дх)=X2 grafiką išilgai Ox ir Oy ašių.

93. Aprašykite, kaip reikėjo pastumti funkcijos y= fix) grafiką, braižant šios funkcijos grafiką: a) y= fix + 1); b) y= f{x-5); с) у = Дх) + 4; d) y= fix)-3.

94. Nubraižykite funkcijų y= fix), y= fix- 1), у=Дх + 3), у = Д х ) - 4 , у = = Дх) + 2 grafikų eskizus, kai: a) fix) = χ2·, b) fix) = x3; с) Д х ) = - χ ; d) fix)= Vx;

e) Дх) = V^; f)* Дх) - Iog2 χ; g)* Дх) = /-į v

h)* fix)=-. χ

95. Brėžinyje pavaizduotas pastumtas funkcijos Дх) = х2 grafikas. Užrašy-kite kreivės lygtį:

96. Nubraižykite funkcijos y = Д - x ) grafiką, kai žinomas funkcijos y = fix) grafikas:

b)

1--2 1

' O I x

'-2

c) y

A l

O x

98. Kurios iš pavaizduotų funkcijų yra: a) lyginės; b) nelyginės; c) nei lyginės, nei nelyginės? A B C

99. Nubraižykite funkcijos grafiką: а) y = ( x - l X x - 3 ) ; c) y = (x + l)Ge-3);

100. Suteikę funkcijai išraišką Дх) = (χ fiką: а) Дх) = x 2 - 5x; с) Дх) = - χ 2 - 5 x ;

b) y = (x - l)(x + 3); d) y = (x+l)(x + 3).

- X 1 K X - X 2 ) , nubraižykite jos gra-

fo) Дх) = х2 + 5х; d) Дх) = х 2 -5х + 4.

b) y = Oc- D2+ 3; d) y= — (x — I)2 — 3.

101. Nubraižykite funkcijos grafiką: a) y = Ge + D2+ 3; c) y = Oe + D 2 - 3 ;

102. Suteikę funkcijai išraišką Дх) = а(х-х0)2+у0, nustatykite jos grafiko viršūnės koordinates ir nubraižykite grafiką: a) Дх) = х2 + 2; b) Дх) = (х-3)2 ; с) Дх)=- (x + 3)2; d) Дх)=- (x + 3)2 + 2.

103. Nubraižykite funkcijos grafiką: a) y = χ2 - 5x + 4; b) y = - x2 + 5x - 4; c )y = x2 + 2x+l ; d) y= - x 2 - 5 x - 4 .

97. Vienos iš pavaizduotų funkcijų formulė yra žinoma, funkcijos formulę. a) y > b) y c)

Parašykite kitos

y

104. Nubraižykite transformuotos funkcijos grafiką, laikydamiesi nurody-tos grafiko transformacijų sekos: a)

1 2 -> y = - - X У Z 1 t . ч2

- ^ x - 1 )

- ^ = - - ( * - ! ) +3;

b)

y = 3x y = - 3x y = - 3x + 2;

d)

—> y = 2y[x y = 2-Jx + l

-> y = 2л/х + 1 - 4 .

105. Apskaičiuokite / " ( - 1), kai fix) = 9x2 + 24x + 16. 106. Raskite f'ix), kai:

b) Дх) = 7x2 - 6x; 7

e) Дх)= -х 3 +4х ; O

h) Д х ) = £ - б .

a) fix) = x2 + 5;

d) Дх) = х5-5х3 + 20;

g) Дх) - Ilx5 - πχ;

107*. Raskite f (x), kai:

а) Дх) = — + 2x; χ

108. Raskite f (x), kai: а) Дх) = х(х2 + х); d) Дх) = (χ - 7)(x + 7); g) Дх) = (х + 4)(Зх-2); h) Дх)= Τ ί ( χ - 2 ) .

109. Išspręskite lygtį f (x) = 0, kai:

с) Дх) = χ9 + 2x4;

f) Дх) = 0,6x4 - X-

b) Дх)=2л/^ + 3; с ) Д х ) = ^ - Л ·

b) Дх) = (χ - 3)2; e) Дх) = х2(х + 5);

с) Дх) = 3(х + I)2; f) Дх) = (χ-1)(х2+ 4);

а) Дх) = 3 -х 2 ; b) Дх) = (2+х)2; 1 з с) Дх) = —χ - 2х2 + Зх. о

110. Raskite funkcijos Дх) = Зх-1 išvestinę. Remdamiesi ja, pagrįskite, kodėl šios funkcijos reikšmės visoje jos apibrėžimo srityje didėja.

111. Raskite funkcijos Дх) = 5 - 2 х išvestinę. Remdamiesi ja, pagrįskite, kodėl šios funkcijos reikšmės visoje jos apibrėžimo srityje mažėja.

112. Raskite funkcijos y= fix) išvestinę ir, remdamiesi ja, nustatykite χ reikšmių intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės didėja, o kuriuo-se — mažėja: a) fix) = Зх-χ2; b) Дх) = 5 + 7х-х2 ; с) Дх) = Зх2-х + 4;

f) fix)= —χ3 -Ь—χ2 +2. d) Дх) = х3 -4х; e) fix) = χ3 - 5x2;

113*. Yra žinoma, kad f'ix)>0, kai x < 0 , ir f'ix)<0, kai x > 0 . Kuris iš pateiktų eskizų galėtų būti funkcijos y= fix) grafiko eskizas? Atsa-kymą pagrįskite.

B ,

r C I ^

V - A

D ,

\ j r

\ JC O h' Vj U'

115.

116.

117.

118*. 119.

120. Nustatykite didžiausią ir mažiausią funkcijos Дх) = χ3 - 3x reikšmę intervale: a) χ e [ - 2 ; 0]; b) ж e [ - 2 ; 3]; c) xe [ - 2 ; 1]; d) χ e [ - 3 ; 3].

121. Funkcijos Дх) = 3x2 - x 3 grafikas kerta Ox ašį taškuose O ir B. Taškas A yra funkcijos maksimumo taškas. Nustatykite: a) taško B abscisę; b) taško A koordinates.

122. Raskite f'(x), kai: а) Дх) = x8; b) Дх) = χ8 + χ2 + χ; c) Дх) = 3x8; d) Дх) = Зх8 + 2х + 1.

123. Apskaičiuokite f' kai:

а) Дх) = 2х - 3; b) Дх) = (2х + 5)2. 124. Su kuriomis χ reikšmėmis f'(χ) = 36, kai Дх) = 4х3+1?

Parodykite, kad funkcijos Дх) = х3-3х2 kritinių taškų abscises yra x = 0 ir χ = 2. Remdamiesi funkcijos у=Дх) grafiko eskizu, nurodykite: a ) b ) •^min? ' J max5 d ) J m r n 1

Raskite funkcijos Дх) = 1 - 4 χ + ·ίχ3

kritinių taškų koordinates (x; y). Raskite f'{x) ir nustatykite funkcijos maksimumo bei minimumo taškų ko-ordinates, kai: а) Дх) = х 2 -8х+12; b) Дх) = х3-9х2 + 24х; с) Дх)= ^x3 -2x2 .

3 Įrodykite, kad funkcija Дх) = х3 + Зх neturi kritinių taškų. Nustatykite didžiausią ir ma-žiausią pavaizduotos funkcijos reikšmę intervale: a) χ e [ - 2 ; 0]; b) χ e [1; 6]; c) χ e [3; 4,5]; d) χ e [0; 5].

125. Duota funkcija g(x)=x3- 12x + 5. Su kuriomis kintamojo χ reikšmė-mis g'(x)< O?

126. Raskite funkcijos f[x) = 2 - 6x + x2 reikšmių didėjimo ir mažėjimo in-tervalus.

127. Duota funkcija g(x)=x3 - 12x + 1. Remdamiesi jos išraiška: a) nustatykite, su kuriomis χ reikšmėmis g'OxO = O; b) parodykite, kad funkcija gOe) = X3 - 12x + 1 turi maksimumo tašką, kai χ = - 2 .

128. Nustatykite mažiausią ir didžiausią funkcijos f{x) = x4-8x2 +12 reikšmę, kai χ e [ - 3; 1].

129*. Įrodykite, kad funkcijos fix) = — reikšmės didėja su visomis χ reikš-X

mėmis iš jos apibrėžimo srities (x * 0). 130*. Pateikite pavyzdį funkcijos, kurios reikšmės visoje jos apibrėžimo

srityje didėja (mažėja). 131. Materialusis taškas juda tiese pagal dėsnį, reiškiamą formule s(t) =

= 2t3 +1 - 1 (čia s matuojamas centimetrais, o t — sekundėmis). Žino-dami, kad momentinį taško greitį galima rasti pagal formulę s'{t) = = v{t), apskaičiuokite to taško greitį, kai t = 3 s.

132. Nuo Žemės paviršiaus mestas kamuoliukas po laiko tarpo t (s) pa-kilo į aukštį h (m). Kamuoliuko pakilimo aukščio priklausomybė nuo laiko reiškiama formule h(t) = 51t-l,7t2. Apskaičiuokite: a) į kokį didžiausią aukštį pakilo kamuoliukas; b) po kiek sekundžių išmestas kamuoliukas nukrito ant žemės; c) kiek laiko kamuoliukas kilo ir kiek leidosi.

133. Materialusis taškas juda tiese pagal dėsnį, reiškiamą formule s(t) =

= - i i 3 +3i2; čia laikas matuojamas sekundėmis, o nueitas kelias — 3

metrais. Remdamiesi ja: a) užrašykite formulę taško greičiui v{t) laiko mo-mentu t apskaičiuoti; b) apskaičiuokite didžiausią taško greitį laikotar-piu [0; 5].

134. Iš 50 cm ilgio vielos gabalo reikia išlankstyti di-džiausio ploto stačiakampį. Koks turi būti šio stačiakampio kraštinių ilgis?

135. Laipsnius išreikškite radianais ir nustatykite, kuriam ketvirčiui pri-klauso kampas: a) 25°; b) 150°; c) -60°; d) 270°.

136. Radianus išreikškite laipsniais ir nustatykite, kuriam ketvirčiui pri-klauso kampas:

7 π . 5π . . 4π a ) b ) с) d) 5.

137. Pavaizduokite posūkio kampą a, lygų: а) 20°; b) 45°; c) 360°; ч π

O f . 2 π

g ) T '

d) -60°;

h) 4

138. Duotas vienetinio apskritimo taškas A, atitinkantis kampą a: 3π a) a = 240°; b) a= 135°; c) a = — ; d) α = π. 2

Kokio dydžio kampą atitiks apskritimo taškas B, jei yra žinoma, kad taškai A ir β simetriški: 1) koordinačių pradžios atžvilgiu; 2) abscisių ašies atžvilgiu; 3) ordinačių ašies atžvilgiu?

139. Vienetinio apskritimo taškas P atitinka 60° posūkio kampą. Remdamiesi brėžinio duome-nimis, apskaičiuokite: a) taško P koordinates; b) taško A, simetriško taškui P koordinačių pradžios atžvilgiu, koordinates; c) taško B, simetriško taškui P abscisių ašies atžvilgiu, koordinates; d) taško C, simetriško taškui P ordinačių ašies atžvilgiu, koordinates.

140. Užpildykite lentelę:

α α+ 90° α +2-90° α + 3 · 90° 0°

30° 45° 60°

— ^ Iw \

I о I l *

У

2·90°Χ^ / X

а*90° ^ N \

1 S \ • \ • V / /

Я i Ч /

S / Ч / ч /

ч /

у ' Ч

6.5. TRIGONOMETRIJA 6.5. TRIGONOMETRIJA

pavaizduotų 30°, 120°, 240° ir - - kampų 6

apytiksles sinuso, kosinuso ir tangento reikš-mes.

142. Nustatykite posūkio kampo sinusą, kosinusą ir tangentą, kai žinomos tą kampą atitinkan-čio vienetinio apskritimo taško koordinatės:

a) 9 40 b) ( -0 ,6 ; 0,8); c) 41 41

143. Ar kampo kosinusas gali būti lygus:

a) -2,1; b)

g) 0,999; h)

7Ϊ5 4

d)

1 з ;

d) 11 _ J θ) V7. f) 75. 1

з ; 9 3 ' 2 ' 1

J) 1 к) 1) ^27

5' J) з ' к)

7 з ' 1)

4 144. Kokią didžiausią ir kokią mažiausią reikšmę gali įgyti posūkio kampo

kosinusas? 145. Nustatykite posūkio kampo sinuso, kosinuso ir tangento ženklus:

a) 155°; b) 405°; c) — ; 3

d) - 6 * 4

146. Nustatykite reiškinio ženklą: a) sin 51°-cos 51°-tg 51°; c) sin ( - 34°) • cos 162° · tg 213°;

b) sin 151° · cos (-12°) · tg (-104°); d) sin ( - 208°) · cos ( - 26°) • tg 17°;

e) sin ( - 51°) · cos ( - 51°) · tg ( - 51°); f) sin 318° • cos ( - 256°) · tg 304°. 147. Nustatykite reiškinio ženklą:

tg 150°· sin 200° a) cos 320°· tg 140°

148. Palyginkite:

b) cos 100° · tg 250° sin 300° · tg 100°

π v 2/

a) sin — ir sin 2

. . 3π . . f 3πΛ c) sin — ir sm 2

149. Palyginkite: π / J0 cos — ir cos *

2 \ 2 J 3π { 3πλ cos ir cos 2 I 2 >

b) sin π ir sin ( - π);

d) sin (2π) ir sin ( - 2π).

b) cos π ir cos ( -π ) ;

d) cos (2π) ir cos ( - 2π).

3π с) 4 cos 0 - 3 sin—; 2

151. Apskaičiuokite: a) 72 cos 45° + sin 90°; с) 4л/з sin —· cos—;

3 3

e) 2 t g | tg|;

b) 2 sin 90° - 4 cos 0° + 5 tg 180°; K d) 2 tg 0 - 3 sin π + 5 cos —. 2

b) 12 sin 30° · tg 45°

J4 C • K 4- π d) 6 sm — - tg —;

6 4 π π f) sin cos —.

152. Žinodami, kad lygybės sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β ir cos (α + β) = = cos α cos β - sin α sin β yra teisingos, apskaičiuokite:

a) sin ' π πλ —+ — 6 4

b) sin 'π πλ —+ — 3 4 ν

с) cos 6 + 4 /

153. Apskaičiuokite: a) sin ( -30°)+ cos 420°;

c) cos ( -45°) tg 210°;

b) sin 405° - tg ( - 60°);

d) 3 tg cos ( -3π) ;

r π> со

S sin -cos I 2 ; I 2 )

f) tg2 (πλ 2 Ί 5 Τ 0 + COS I E J

CO

154. Suprastinkite: a) sin2 70° + cos2 70°; b) cos2 α - 1;

d) 1 - cos2 ( - a); e) tg ( - a) · cos a; f)

c) (sin a - l)(sin a + 1); cos2 a - 1

sina 155. Pasinaudoję lygybe sin2α+ cos2α= 1, patikrinkite, ar yra toks kam-

pas a, kurio: a) sin a = 0,2, o cos a = 0,5; b) sin a = 0,6, o cos a = - 0 , 8 ; c) sin a = - 0,7, o cos a = - 0,3; d) sin a = 1, o cos a = - 1?

156. Raskite sina, kai cos a= - — , o 90°<a< 180°. 2

157. Raskite cos α, kai sin α = - — , ο π < α < — . 13 2

158. Duota lygybė 1 + tg2 α = -cos α

a) Įsitikinkite, kad ji yra teisinga. b) Apskaičiuokite cos α, kai tg α = 2, o 90° < α < 180°.

c) Apskaičiuokite tg a, kai cos a = — , o 180° < α < 270°. 3

159. Klaipėdos švyturio aukštis 44 m, jo atstumas iki jūros 500 m. Švyturio signalas matomas 33 km spinduliu. Kokiu didžiausiu at-stumu nuo jūros kranto gali plaukti laivas, kad dar matytų švyturį?

160. Remdamiesi brėžinio duomenimis, raskite χ:

163. Apskaičiuokite naudodamiesi skaičiuotuvu (šimtųjų tikslumu): a) sin 57°; b) cos 115°; c) tg 260°; d) cos ( - 10°); e) tg ( - 13°); f) sin 58°;

g) tg 9°; h)* sin ( - 6); i)* cos

krypties koeficientą:

c)

Raskite stačioj o trikampio smailiuosius kam-pus 1° tikslumu, kai: a) a = 15, 6 = 20; b) α = 3, 6 = л/3; c) α = 1,2, 6 = 1,6.

Apskaičiuokite brėžinyje pavaizduotos tiesės

b)

ir D π ~4' 2

π V ^ ) f π. л/2 4 ' 2 ' 4 ' 2 ч У V

priklauso šios funkcijos grafikui: a) y = sin χ; b) y = cos χ; c) y = tg χ?

165. Palyginkite: a) sin 15° ir cos 15°; b) sin 110° ir tg 110°; c) cos 75° ir tg 75°.

166. Duotas funkcijos Дх) = sin л; grafikas intervale [~3π; 3π]:

Užrašykite radianais: a) χ reikšmes, su kuriomis funkcija igyja reikšmę, lygią 0,5; b) χ reikšmes, su kuriomis funkcija igyja reikšmę, lygią nuliui; c) funkcijos reikšmių didėjimo intervalus; d) funkcijos reikšmių mažėjimo intervalus; e) didžiausią funkcijos reikšmę; f) mažiausią funkcijos reikšmę; g) intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės yra teigiamos; h) intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės yra neigiamos.

167. Nubraižykite funkcijos Дх) = cos χ grafiką intervale [ - 180°; 360°] ir užrašykite: a) χ reikšmes, su kuriomis funkcija įgyja reikšmę, lygią nuliui; b) χ reikšmes, su kuriomis Дх) = -0 ,5 ; c) funkcijos reikšmių didėjimo intervalus; d) funkcijos reikšmių mažėjimo intervalus; e) didžiausią funkcijos reikšmę; f) mažiausią funkcijos reikšmę; g) intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės yra teigiamos; h) intervalus, kuriuose funkcijos reikšmės yra neigiamos.

168. Koordinačių plokštumoje pavaizduoti funkcijų Дх) = э т х ir g(x) = = 3,5 sin χ grafikai, kai xe [ -360° ; 360°]. Nustatykite: a) kuris grafikas yra kurios funk-cijos; b) kuri reikšmė didesnė: Д100°) ar £(100°); c) kurios iš šių funkcijų reikšmė taške χ = - 40° yra didesnė; d) su kuriomis χ reikšmėmis teisin-ga lygybė sin χ = 3,5 sin χ; e) su kuriomis χ reikšmėmis teisin-ga nelygybė sin χ > 3,5 sin χ.

169. Nubraižykite funkcijos y = tgx grafiką intervale [0; 360°] ir užrašy-kite: a) argumento reikšmes, su kuriomis funkcijos reikšmė lygi nuliui; b) taškų, kuriuose susikerta funkcijų y = tg χ ir y = 1 grafikai, koor-dinates (x; y).

170. Nubraižykite funkcijos grafiką (žr. 3.2 skyrelį): a) y = sin (x - 90°); b) y = sin χ+1; c) y = s i n x - l .

171. Nubraižykite funkcijos grafiką (žr. 3.3 skyrelį):

a) y = 2 sin x; b) y = - sin x;

172. Nubraižykite funkcijos grafiką (žr. 3.2 skyrelį): a) y = cos χ + 2; b) y = cos (χ - 90°); с) у = cos χ - 1 ; d) у = cos (χ + 90°).

173. Nubraižykite funkcijos grafiką (žr. 3.3 skyrelį):

c) y = — sin χ. 2

a) y = 2 cos χ; b) у = - cos χ; с) у = — cos χ; 2

d) ν = — c o s χ. 2

y

3

ι 2·

\ 1

3

ι 2·

\ 1

3

ι 2·

\ 1

\ -π / l О \ / 2

π УЗя 2 \ 2

χ

174. Keliuose taškuose susikerta šių funkcijų grafikai: a) y = cos χ ir y = 1, kai χ e [ - π; π]; b) у = cos χ ir у = 8, kai χ e R ?

175. Remdamiesi dešinėje nubrai-žytais funkcijų y = cos χ ir y = = X2 grafikais, raskite: a) taškų, kuriuose susikerta abu grafikai, apytiksles koor-dinates; b) apytikslius lygties cosx = = X2 sprendinius.

176. Remdamiesi pavaizduotais funkcijų y = sin χ ir y = Iog4 χ grafikais, raskite: a) taškų, kuriuose susikerta abu grafikai, apytiksles koor-dinates; b) apytikslius lygties sinx = = Iog4X sprendinius.

177. Išspręskite lygtį:

a) ^s inx = O; b) c o s x = - 0 , 4 ; c ) tgx + 7 = 2,5; d) 2 sinx-л /з =0. Z

178. Išspręskite lygtį: a) 3 s in 2 x -2 s i n x - 5 = 0; b) tg2x + 3 t g x - 4 = 0; c) 2 cos2 χ - 5 cos χ - 3 = 0.

У 2 1

У 2 1

У 2 1

]У O S 2 3V 5 Λ 7 9 * 1

a) sinx= -——, kai χ e [90°; 360°]; b) cosx=l , kai χ e [ - 2π ; 2π]. 2

180. Suprastinkite: a) cos α-tg a - s in a; b) sin2 a + cos2 a - tg 45°; c )tg( -a) +

181. Duotos lygtys: l)cos χ = 0,99, 2) cos χ= l-л/з, 3) sin χ = - π , 4) tg (χ-2) = O, 5) S i n x = V n - I . Kurios iš jų neturi sprendinių? A3) ir 5) B l ) i r 2) C 4) D 3) E 2) ir 4)

sma cos a '

6.6. GEOMETRIJA

182. Duota α||δ. Raskite kampus χ ir y:

a) α „ b )

183. Sudarę ir išsprendę lygtį, raskite nežinomąjį dydį x:

a) b) c) b

2x +30°

184. Sudarę ir išsprendę lygtį, raskite nežinomąjį dydį x:

а) П 7 b) P P 4 c) 1Tx

185. Figūrą sudaro trys lygūs rombai ir lygia-kraštis trikampis. Rombo kraštinė yra 6 cm ilgio ir lygi trikampio kraštinei. Ap-skaičiuokite figūros perimetrą.

И B1 y

[o /

186. Brėžinyje pavaizduotas stačiakampio gretasienio modelis. Nurodykite: a) plokštumą, kuri susikerta su plokštuma AA1B1; b) plokštumą, kuri yra statmena plokštumai ABC;

' D. r

c) plokštumą, kuri yra lygiagreti su plokštu-ma CDD1; d) kampą tarp briaunos CC1 ir plokštumos A1B1C1; e) kampą tarp plokštumų ABC ir ABC1.

187. Taisyklingosios keturkampės piramidės SABCD modelyje nurodykite: a) taške S susikertančias tieses; b) tieses, prasilenkiančias su tiese AB; c) plokštumą, statmeną tiesei SO; d) plokštumas, susikertančias su plokštuma ABC; e) plokštumą, statmeną plokštumai ABC; f) kampą tarp briaunos BS ir pagrindo plokš-tumos; g) kampą tarp plokštumų ABC ir CBS.

188. Raskite nežinomą kraštinę χ:

ID l.\ л /' '""-JiL--A"V-/ . . - - e

-V Λ c

189. Raskite χ:

a)

190. Kvadratas, kurio kraštinės ilgis b (cm), įbrėžtas į kvadratą, kurio kraštinės ilgis a (cm). Raskite nu-spalvintos figūros plotą.

191. Nubraižykite keturkampį, turintį: a) keturias simetrijos ašis; b) dvi simetrijos ašis; c) vieną simetrijos ašį; d) simetrijos centrą.

192. Brėžinyje pavaizduoto žmogaus ūgis 1,75 m, o jo šešėlio AB ilgis 3,5 m. Medžio šešėlio ilgis 6,2 m. Apskaičiuokite medžio aukštį.

y ' 1 193. Stovėdama priešais medį, augantį

kitapus upės, Aušra sugalvojo, kaip išmatuoti upės plotį. Pažymėjusi sa-vo stovėjimo vietą (tašką P), ji palei krantą nuėjo 10 žingsnių, įsmeigė lazdelę (taške O) ir vėl nuėjo 10 žingsnių (iki taško S). Tada pasisu-ko stačiuoju kampu ir žingsniavo tol (iki taško T), kol įsmeigtoji lazdelė ir medis atsidūrė vienoje tiesėje. Kurios atkarpos ilgis bus lygus upės pločiui? Atsakymą pagrįskite.

194. Duota: AB\\CD, CB = BE = 8 m, AB = 100 dm.

Raskite: ED.

195. Duota: AABC — lygiakraštis. Raskite: ZADC.

196. Su kuria χ reikšme stačiakampio plotas lygus trikampio plotui?

197. Raskite χ ir y: a) c)

198. Koordinačių plokštumoje nubraižykite keturkampį, kurio viršūnių koordinatės yra A(0; 0), 5(1; 2), C(4; - 1) ir D(l; - 3). Paskui nubrai-žytą keturkampį: a) atvaizduokite į jam simetrišką keturkampį Oy ašies atžvilgiu; b) atvaizduokite į jam simetrišką keturkampį taško A(0; 0) atžvilgiu; c) pasukite 90° kampu pagal laikrodžio rodyklę; d) pastumkite per 3 vienetus Oy ašies kryptimi.

199. Į apskritimą, kurio spindulio ilgis 4 cm, įbrėžtas taisyklingasis trikampis. Apskai-čiuokite jo kraštinės ilgį.

200. Apie lygiakraštį trikampį, kurio kraštinės ilgis 5 cm, apibrėžtas apskritimas. Apskai-čiuokite jo spindulio ilgį.

201. Skritulio spindulio ilgis 4 cm, o kampo ABC didumas 25°. Apskaičiuokite skritulio išpjo-vos AOC plotą. Atsakymą pateikite 0,1 cm2

tikslumu, tardami, kad π = 3,14.

202. Didesniojo skritulio skersmens ilgis 6 dm, mažesniojo — 4 dm. Apskaičiuokite nuspal-vintos dalies plotą.

203. Nuo kvadrato atkirpus 73 cm2 ploto trikam-pį, likusios dalies plotas bus 96 cm2. Apskai-čiuokite kvadrato kraštinės ilgį.

204. Du skriemuliai, kurių kiekvieno skersmuo 40 cm, sujungti diržu. Atstumas tarp skrie-mulių centrų lygus 1,8 m. Apskaičiuokite diržo ilgį. 0

1 1,8 m 1

K čiuoti pagal formulę V= — 4

D J 2 ,

— + d2 h 3

čia V —

kūno tūris, D — pusrutulio skersmuo, d — ri-tinio skersmuo, h — ritinio aukštinė. Apskai-čiuokite: a) kūno tūrį, kai D = 1,5 m, d = 9 dm, h = 120 cm; b) ritinio skersmens ilgį, kai V= 3π m, D = 3 m, h pateikite 1 dm tikslumu.

1 m. Atsakymą

206. Vaisių konservai supilti į ritinio formos dėžutes, kurių kiekvienos skersmuo 11 cm, o aukštis 14 cm. Apskaičiuokite: a) kiek skardos reikia tokiai dėžutei pagaminti (π = 3,14); b) kokia yra dėžutės talpa (0,1 1 tikslumu); c) koks turi būti mažiausias stačiakampio gretasienio formos karto-ninės dėžės, į kurią pakuojamos vaisių konservų dėžutės, plotis, kad joje tilptų 20 dėžučių. Dėžės ilgis 55 cm, o aukštis 15 cm.

207. Stačiosios keturkampės prizmės pagrindas yra lygiašonė trapecija. Remdamiesi brėžinyje pateiktais duomenimis, apskaičiuokite prizmės tūrį.

208. Taisyklingosios keturkampės piramidės pagrin-do kraštinė lygi a, o aukštinė lygi b. Remdamie-si šiais duomenimis, atlikite tokias užduotis: a) parodykite, kad piramidės tūrį galima užra-

šyti reiškiniu V= b) apskaičiuokite piramidės tūrį, kai a = 3 cm, o b = 7 cm.

209. Apskaičiuokite pavaizduotos prizmės tūrį: a) ^ t b)

210. Taisyklingosios trikampės prizmės pagrin-do plotas lygus 16л/з cm2, o šoninės sienos įstrižainė su pagrindo kraštine sudaro 60° kampą. Apskaičiuokite prizmės: a) pagrindo kraštinės ilgį; b) aukštinės ilgį; c) viso paviršiaus plotą.

211. Kūgio sudaromoji lygi 4 cm ir su pagrindo plokštuma sudaro 60° kampą. Apskaičiuo-kite: a) kūgio aukštinės ir pagrindo spindulio il-gių santykį; b) kūgio viso paviršiaus plotą; c) kūgio tūrį.

212. Pritaikę sinusų teoremą, apskaičiuokite sin a: а) K

213. Pritaikę kosinusų teoremą, apskaičiuokite kraštinės ilgį:

L Л 5V3

214. Apskaičiuokite trikampio plotą:

nežinomos trikampio 8

215. Remdamiesi brėžinyje pateiktais duomeni-mis, apskaičiuokite sin a.

216. Brėžinyje pavaizduotas trikampis ABC, kurio kampas ACB lygus 100°, CB = 3 cm, AB = = 4 cm. Apskaičiuokite: a) kampo α didumą (remkitės sinusų teorema); b) kampo ABC didumą; c) trikampio ABC plotą (atsakymą pateikite 1 cm2 tikslumu).

217. Trikampio dviejų kraštinių ilgis 15 cm ir 40 cm, o plotas 225 cm2. Apskaičiuokite smailiojo kampo tarp tų kraštinių sinusą.

C 3 cm B

218. Duotas lygiagretainis ABCD, kurio AB = 5, AD = 8, o ZA = = 30°. a) Apskaičiuokite trikampio ABD plotą. b) Apskaičiuokite lygiagretai-nio plotą. c) Įsitikinkite, kad lygiagretainio plotą galima apskaičiuoti pagal for-mulę S = ab sin α, kai a ir b — gretimosios lygiagretainio kraštinės, o α — kampas tarp jų.

6.7. STOCHASTIKA

219. Grupės žmonių buvo klausiama, kiek „Teleloto" bilietų jie nusipirko praėjusią savaitę. Apklausos duomenys pateikti stulpeline diagrama. Remdamiesi ja, nustatykite: a) kiek iš viso žmonių buvo apklausta; b) po kiek bilietų dažniausiai buvo per-kama; c) kiek vidutiniškai bilietų nupirko žmo-gus per savaitę; d) sudarykite duomenų dažnių lentelę.

•g.s o Ή e яз

15 14 13 1 2 - -11 --10-9--

8 7 6 5--4--3 -2 1 о

1 2 3 4 Nupirktų bilietų skaičius

220. Matematikos kontrolinį darbą rašė 26 mokiniai. Visi jų gauti pažymiai (išsky-rus dešimtukus) pavaizduoti diagrama. |:| 3 Remdamiesi ja: S a) apskaičiuokite, kelių mokinių darbai buvo įvertinti dešimtukais, ir pabaikite braižyti diagramą; b) apskaičiuokite matematikos kontroli-nio darbo pažymių vidurkį.

7 6-5

2 1 --O 7 8

Pažymiai

221. Lentelėje pateikti Ila klasės mokinių pirmojo semestro lietuvių kal-bos rezultatai:

Pažymys 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dažnis 1 0 1 2 4 7 8 6 1

Remdamiesi lentele: a) pavaizduokite duomenis diagrama; b) nustatykite, kelių mokinių trimestro pažymys yra mažesnis kaip 7; c) raskite trimestro rezultatų modą; d) apskaičiuokite trimestro rezultatų medianą; e) apskaičiuokite trimestro rezultatų vidurkį.

222. Šešiasienis lošimo kauliukas buvo metamas 25 kartus ir kaskart užrašomas iškritusių akučių skaičius: 2, 6, 3, 3, 3, 6, 1, 4, 6, 5, 2, 1, 2, 5, 1, 5, 3, 6, 1, 1, 4, 4, 5, 2, 2. a) Pabaikite pildyti lentelę:

Akučių skaičius 1 2 3 4 5 6

Dažnis 5

Santykinis dažnis 0,2

b) Nubraižykite imties santykinių dažnių diagramą. 223. Ant buteliuko su vitaminų žirneliais užrašyta, kad kiekviename žir-

nelyje yra 15 mg kalcio. Chemiškai ištyrus 20 tablečių, jose rastas toks kiekis kalcio (miligramais): 13 19 15 12 16 14 14 16 18 19 15 14 17 13 12 16 15 15 17 15 a) Pabaikite pildyti imties elementų dažnių ir santykinių dažnių len-telę:

Kalcio kiekis 12 13 14 15 16 17 18 19

Dažnis 2

Santykinis dažnis 0,1

b) Apskaičiuokite vidutinį kalcio kiekį vitamino žirnelyje. 224. Surašymo metu keturiose vietovėse užregistruota tiek gyventojų:

I vietovėje — 10 123, II vietovėje — 620, III vietovėje — 1524, IV vietovėje — 7352. Pavaizduokite šiuos duomenis horizontalia stulpeline diagrama.

225. Pasverta 30 atsitiktinai išrinktų slyvų. Gauti tokie duomenys (gra-mais): 7,4 10,0 1,9 8,3 2,4 2,4 12,4 11,4 4,9 1,7 8,4 5,0 9,6 1,8 8,4 5,4 5,5 2,4 2,3 2,2 11,8 3,5 5,2 5,2 4,8 11,0 5,6 6,2 10,4 7,8 Sugrupuokite šiuos duomenis ir nubraižykite diagramą:

Intervalas Nuo 1,0 iki 3,5

Nuo 3,5 iki 6,0

Nuo 6,0 iki 8,5

Nuo 8,5 iki 11,0

Nuo 11,0 iki 13,5

Registracija

Dažnis

b) Intervalas Nuo 1 iki 4 Nuo 4 iki 7 Nuo 7 iki 10 Nuo 10 iki 13

Registracija

Dažnis

226. Diagrama vaizduoja, kaip per dešimtmetį kito mokinių skaičius „Vy-turių" ir „Pelėdų" mokyklose:

1994 1996 1998 2000 2002 2004 Metai

Remdamiesi šia diagrama, nustatykite: a) kurioje mokykloje nurodytu laikotarpiu mokinių skaičius mažėjo, o kurioje — didėjo; b) kuriais metais mokinių skaičius abiejose mokyklose buvo vienodas; c) kuriais metais mokinių skaičiaus skirtumas abiejose mokyklose buvo didžiausias; d) maždaug kiek procentų sumažėjo mokinių skaičius „Vyturių" mo-kykloje 2004 metais, palyginti su 1994 metais; e) pavaizduokite bendro mokinių skaičiaus abiejose mokyklose kiti-mą nurodytu laikotarpiu.

227. Vilma turi tris istorijos pažymius, kurių vidurkis lygus 7. Parašykite: a) kokia yra visų trijų pažymių suma; b) kokius pažymius turi Vilma, jeigu visi jie yra vienodi; c) visus galimus Vilmos pažymių trejetus, jei yra žinoma, kad vieno-dų pažymių ji neturi (į pažymių eilę nekreipkite dėmesio); d) visus galimus Vilmos pažymių trejetus, jei yra žinoma, kad ji turi vienodų pažymių.

228. Diagramos vaizduoja, kaip maždaug pasiskirsto Sigitos ir Broniaus šeimų metinės išlaidos:

Sigitos šeimos metinės išlaidos

3 2 % Maistas

2 8 % Būstas

10 % Pramogos, laikraščiai 10 % Mokymosi reikmenys 15 % Drabužiai ir avalynė 5 % Kita

Ateinančiais metais Sigitos šeima planuoja gauti 60 500 Lt, o Bro-niaus — 74 200 Lt pajamų. Remdamiesi pateiktais duomenimis, nu-statykite: a) kokioms reikmėms Sigitos ir Broniaus šeima išleidžia daugiausiai pinigų; b) kuri šeima daugiau pinigų planuoja išleisti mokymosi reikmenims; c) kuri šeima daugiau pinigų ir kiek daugiau planuoja išleisti būstui.

229. Vienoje klasėje mokosi 26 mokiniai, kitoje — 22. Pirmosios klasės kontrolinio darbo pažymių vidurkis lygus 6,5, antrosios to pa-ties kontrolinio darbo — 7,2. Atsakykite į klausimus: a) kokia yra pirmosios klasės visų mokinių pažymių suma; b) kokia yra antrosios klasės visų mokinių pažymių suma; c) kokia yra abiejų klasių visų mokinių pažymių suma; d) kiek mokinių mokosi abiejose klasėse; e) koks yra abiejų klasių kontrolinio darbo pažymių vidurkis?

230. Šeimoje auga du dvynukai ir trejais metais už juos vyresnis brolis. Visų vaikų amžiaus vidurkis lygus 12 metų. Kiek metų turi vyres-nysis brolis?

231. Vienuolikos tenisininkų klubo narių amžiaus vidurkis yra 22 metai. Į treniruotę atvyko 10 narių, kurių amžiaus vidurkis 21 metai. Ap-skaičiuokite, kokio amžiaus tenisininkas neatvyko į treniruotę.

232. Gerovės gatvės individualių namų gyventojų buvo klausiama, kiek naminių gyvūnų jie augina. Gauti tokie duomenys:

Gyvūnų skaičius name 0 1 2 3 4

Namų skaičius 9 15 6 4 3

Remdamiesi lentelės duomenimis, nustatykite: a) kelių namų šeimininkai dalyvavo apklausoje; b) kiek naminių gyvūnų iš viso užregistruota; c) kokia yra naminių gyvūnų skaičiaus viename name mediana; d) kokia yra naminių gyvūnų skaičiaus viename name moda.

Broniaus šeimos metinės išlaidos

233. Raskite imties, pateiktos dažnių lentele, medianą, modą ir vidurkį.

Reikšmė 5 6 7 8 Dažnis 3 7 10 12

234. Raskite imties, pateiktos stulpeline diagrama, medianą, modą ir vi-durkį: a) pasėtų pupų dygimo b) pasėtų agurkų dygimo

rezultatai rezultatai J5...

.2 ιο-ί 5 O

20 24 25 26 30 Išdygusių pupų skaičius

— — I I 15 16 17 18 19

Išdygusių agurkų skaičius

235. Kavinėje parduodami trijų rūšių ledai: bananiniai, vaniliniai ir šoko-ladiniai. Juos galima paskaninti arba uogiene, arba riešutais, arba šokoladu. Keliais skirtingais būdais galima užsisakyti vienos rūšies ledų su vienu priedu?

236. Kiek yra skirtingų dviženklių skaičių, sudarytų iš nelyginių skait-menų, jei: a) skaitmenys skaičiuje nesikartoja; b) skaitmenys skaičiuje kartojasi?

237. 24 abiturientai apsikeitė nuotraukomis. Kiekvienas padovanojo savo nuotrauką kiekvienam klasės draugui. Kiek iš viso nuotraukų buvo padovanota?

238. Praėjus 10 metų po mokyklos baigimo, susitiko 15 klasės draugų ir apsikeitė vizitinėmis kortelėmis. Kiek vizitinių kortelių buvo išda-lyta?

239. Rankinio finaliniame turnyre dalyvauja keturios mokinių komandos. Keliais būdais jos gali pasiskirstyti vietomis?

240. Rita dėžutėje turi tokių figūrėlių: 20 , 15 { S } ir 7 <y>. Ji ketina pasidaryti vėrinį ir iš dėžutės nežiūrėdama ima vieną figūrėlę. Kokia tikimybė, kad ši figūrėlė yra <f-Į>?

241. Draudimo bendrovė apskaičiavo, kad per metus vidutiniškai dvylikai klientų iš 1000 ji išmoka visą draudimo sumą, dvidešimt trims — dalinę sumą, kitiems — visai nemoka. Apskaičiuokite tikimybę, kad atsitiktinai parinktam draudimo bendrovės klientui buvo išmokėta: a) visa draudimo suma; b) dalinė draudimo suma.

242. Loterijos organizatoriai parengė tris skirtingus prizus ir pardavė 250 bilietų. Kokia tikimybė, nusipirkus vieną bilietą, laimėti: a) pirmąjį prizą; b) kurį nors vieną iš trijų prizų?

243. Automobilių stovėjimo aikštelėje iš 120 automobilių 24 yra mėlyni ir 36 raudoni. Kokia tikimybė, kad pirmasis iš šios aikštelės išvažiuos ne mėlynas ir ne raudonas automobilis?

244. Tomas ir Simona prie kompiuterio laiko vairavimo egzaminą. Tiki-mybė, kad kiekvienas iš jų, nepriklausomai vienas nuo kito, gali

Q išlaikyti egzaminą, lygi —. Kokia tikimybė, kad abu mokiniai egza-

V/ miną išlaikys iš pirmo karto?

245. Keturiose vienodose kortelėse surašytos raidės A, L, S, U. Kortelės atsitiktinai sudėliojamos viena šalia kitos. Apskaičiuokite tikimybę, kad bus sudėtas žodis SULA.

246. Krepšyje yra 50 trijų rūšių vaisių: 19 bananų, 23 persikai, kiti — mandarinai. Apskaičiuokite tikimybę, kad iš krepšio atsitiktinai iš-trauktas vaisius bus: a) bananas; b) persikas; c) mandarinas.

247. Šešiasienis lošimo kauliukas, kurio išklotinė pavaizduota brėžinyje, metamas du kartus ir užrašomas abu kartus iškritusių skaičių rinki-nys. Pabaikite pildyti lentelę ir apskaičiuokite nurodytas tikimybes: a) Antrasis metimas

1

I 3 1

1

3

1 1 1 1 3 3 1 / / 1 1 1 3 J / 3

P(II), P(13), p(3i), P(33).

Antrasis metimas b )

1

5 3 5

1

3

1 1 3 3 5 5 1 / / 1 Ί3 3 3 5 5

p( i i ) , P(13), P(15), p(3i), P(35), P(51), P(55).

248. 9 kortelėse surašyti skirtingi skaitmenys: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kortelės užverčiamos ir sumaišomos. Paskui atsitiktinai imama vie-na kortelė ir žiūrima, koks skaitmuo joje parašytas. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes: a) ištrauktas skaitmuo yra lyginis; b) ištrauktas skaitmuo yra nelyginis; c) ištrauktas skaitmuo dalus iš 5; d) ištrauktas skaitmuo yra skaičiaus 3 kartotinis; e) ištrauktas skaitmuo yra ne mažesnis už 4.

249. Ant stalo padėtos šešios užverstos kortelės su skaičiais 37, 77, 6, 172, 757, 777. Atsitiktinai traukiama viena kortelė ir stebima, kiek kartų jos skaičiuje pasikartoja skaitmuo 7. Apskaičiuokite šių įvykių tikimybes: a) skaitmens 7 skaičiuje nėra; b) skaitmuo 7 skaičiuje parašytas vieną kartą; c) skaitmuo 7 skaičiuje pasikartojo du kartus; d) skaitmuo 7 skaičiuje pasikartojo tris kartus; e) skaitmuo 7 skaičiuje pasikartojo keturis kartus.

250. Metami du skirtingi šešiasieniai lošimo kauliukai ir užrašomos iškri-tusių akučių poros. 1. Nusibraižykite ir užpildykite galimybių lentelę. 2. Remdamiesi lentele, apskaičiuokite: a) P(iškrito du septynetai); b) P(iškrito skirtingi skaičiai); c) P(iškrito abu nelyginiai skaičiai); d) P(iškrito abu sudėtiniai skaičiai).

251. Milda ir Eglė nusipirko po dėžutę balionų. Mildos dėžutėje yra 2 raudoni, 3 žali ir 5 geltoni balionai, o Eglės dėžutėje — 3 raudoni, 4 žali ir 3 geltoni balionai. Kiekviena mergaitė iš savo dėžutės ne-žiūrėdama ima po balioną. Nurodykite tikimybes, su kuriomis kiek-viena mergaitė paims kiekvienos spalvos balioną:

252. Lošimo ratas padalytas į lygias dalis. Vienos jų nuspalvintos geltonai (G), kitos — raudonai (R), trečios — mėlynai (M). Ratas pasukamas vieną kartą ir stebima, kurios spalvos sektorius sustoja ties rodykle. Apskaičiuokite: a) P(R); b) P(M); c) P(R arba M); d) P(ne G).

253. Dėžėje yra 5 mėlyni ir 9 geltoni rutuliai. Iš jos atsitiktinai vienas po kito išimami 2 rutuliai (pirmas išimtas rutulys atgal negrąžinamas). Kokia tikimybė, kad: a) pirmas išimtas rutulys yra geltonas; b) antras išimtas rutulys yra mėlynas, jei pir-mas buvo geltonas; c) tarp išimtų rutulių nėra nė vieno mėlyno; d) išimti rutuliai yra skirtingų spalvų?

254. Ant 9 kortelių užrašyta po vieną vaiko vardą ir kortelės užverstos. Visi vardai yra skirtingi, o vienas iš jų — Dainius. Paeiliui traukiamos dvi kortelės, jų negrąžinant. Vaikas, kurio vardas bus ištrauktas pir-mas, dovanų gaus meškiną, kurio antras — šuniuką. Kokia tikimybė: a) kad Dainius dovanų gaus meškiną; b) kad Dainius, negavęs meškino, dovanų gaus šuniuką?

255. Dėžėje yra 8 žali ir 6 raudoni rutuliai. Iš jos atsitiktinai vienas po kito išimami 2 rutuliai (pirmas išimtas rutulys grąžinamas atgal). Ko-kia tikimybė, kad: a) pirmas išimtas rutulys yra raudonas; b) antras išimtas rutulys yra raudonas; c) abu išimti rutuliai yra žali; d) išimti rutuliai yra ne žali?

256. Tikimybė, kad šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį, lygi 0,6. Šaulys šauna du kartus. Tardami, kad šūviai yra nepriklausomi, apskai-čiuokite: a) P(šaulys abu kartus pataiko į taikinį); b) P(šaulys abu kartus nepataiko į taikinį); c) P(pirmu šūviu šaulys nepataiko, o antru pataiko į taikinį).

257. Jonas nusipirko dvi poras naujų batų. Tikimybė, kad per mėnesį suplyš pirmoji pora, lygi 0,07, kad antroji — 0,03. Kokia tikimybė, kad per mėnesį: a) suplyš abi poros batų; b) nesuplyš nė viena pora?

258. Draudimo bendrovė apskaičiavo, kad vidutiniškai aštuoniasdešimt penkiems iš 10 000 klientų per metus ji išmoka visą draudimo sumą, šimtui penkiasdešimčiai — dalį tos sumos, kitiems nemoka nieko. Apskaičiuokite tikimybę, kad atsitiktinai parinktam draudimo bend-rovės klientui: a) buvo išmokėta visa draudimo suma; b) buvo išmokėta dalis draudimo sumos; c) nebuvo nieko išmokėta.

Pasirenkime egzaminui

MOKYKLINIO BRANDOS EGZAMINO FORMULĖS 1

Trikampis, a2 = b2+ c2- 2 be cos A, —— = = _ L _ = 2R, sin A sin B sin С

S = —ab sin C = ^jp(p-a)(p-b)(p-c) = rp = - ^ - ; čia a, b, c — trikampio kraš-2 4 R

tinės, A, B, C — prieš jas esantys kampai, p — pusperimetris, r ir R — įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų spinduliai, S — plotas.

Skritulio išpjova. S = n^ a, I= ^rc^ · a; čia α — centrinio kampo didumas 360° 360°

laipsniais, S — išpjovos plotas, I — išpjovos lanko ilgis, R — apskritimo spindulys.

Ritinys. Tūris V=TIR2H, šoninio paviršiaus plotas S = 2KRH.

Kūgis. Tūris V= ^KR2H, šoninio paviršiaus plotas S = TTRL O

Piramidė. V= —SH; čia S — pagrindo plotas, H — piramidės aukštinė. 3

Rutulys. S = AnR2, V=įnR\ O

Trigonometrinės funkcijos ir lygtys. l + tg2a=—\—, l + ctg2a = — \ — . cos α sin α

sin χ = α, χ = ( - 1)* arcsin a + nk, keZ, 1 < a < 1; cos χ = α, χ = ± arccos a + 2 nk, keZ, - 1 < α < 1 ; tgx = a, x = arctga + nk, k e Z. Išvestinių skaičiavimo taisyklės. (cu)' = cu'; (u±v)' = u'±v'; čia u ir v — taške diferencijuojamos funkcijos, c — konstanta.

а 0° 30° 45° 60° 90°

sin a 0 1 2

S 2

л/3 2 1

cos а 1 2 S 2

1 2 0

tg Ot 0 7з 3 1 S —

1 Egzamino užduotyje šis formulių rinkinys gali buti papildytas.

1 UŽDUOTIS

1. Pagal brėžinyje pateiktus duomenis apskaičiuokite kampo χ didumą. (1 taškas)

A 100° χ B 80° -^ 5 . А л -C 60° 100° D 50° E 40°

2. Funkcijos y = - 2x + 3 grafikas yra: (1 taškas) A ,

Л , B ,

1,5

Си 3'

к И / e^

/ J0 χ O З х о l A * / О χ О /1,5 *

3. Iš 25 mokinių reikia išrinkti du klasės atstovus į mokyklos tarybą. Kiek gali būti skirtingų rinkimų rezultatų? il taškas)

A 50 B 49 C 600 D 300 E 2

4. Iog2 (4V2) = (1 taškas)

A l B 2 C 2,5 D 3 E 3,5

5. Išspręskite lygtį Oe-2)(1-я) = 0. (2 taškai)

6. Remdamiesi brėžinyje pateiktais duomenimis, apskaičiuokite trikam-pio plotą.

(2 taškai)

•—-tj

7. Jei sugalvotą skaičių padauginsime iš 3, prie sandaugos pridėsime 2, paskui gautą skaičių padauginsime iš 5, gausime skaičių, 25 kartus didesnį už sugalvotą. Koks skaičius sugalvotas?

(2 taškai)

8. Apskaičiuokite f'i2), kai fix) = x4 - 2x2 + 1. (2 taškai)

9. Raskite m reikšmę, su kuria būtų teisinga lygybė 235 • 420 = 2" (2 taškai)

10. Jonas turėjo pavaizduoti savo klasės vaikinų ir merginų skaičių skri-tuline diagrama. Jo atliktas darbas atrodė taip:

Mokinių skaičius Kampo didumas skritulinėje diagramoje

Vaikinai 10 150°

Merginos ? 210°

11.

12

Į £ M M I • Vaikinai 4 I • Mergmos

Remdamiesi pateiktais duomenimis: a) parodykite, kad Jono klasėje mokosi 14 merginų; (1 taškas) b) apskaičiuokite, kiek procentų vaikinų mo-kosi Jono klasėje. Atsakymą pateikite svei-kojo skaičiaus tikslumu. (2 taškai)

Remdamiesi intervale [-180°; 180°] nubraižytu funkcijos y = cos χ grafi-ku, nustatykite: a) funkcijos reikšmių didėjimo inter-valą; (1 taškas) b) su kuriomis χ reikšmėmis funk-cija y = cos χ įgyja reikšmę, lygią 0,5.

(2 taškai)

26 cm

30 cm 30 cm

38 cm

28 cm

Brėžinyje pavaizduoti stačiakampio gretasienio ir ritinio formos indai. Naudodamiesi brėžinyje pateiktais duomenimis, nustatykite: a) kiek litrų vandens įpilta į stačia-kampio gretasienio formos indą;

(2 taškai) b) ar tilptų šis vanduo ritinio formos inde. Atsakymą pagrįskite.

(2 taškai) 13. Duota kvadratinė lygtis x2 - 8x + m = 0. Jos sprendinių X1 ir x2 kvadratų

suma lygi 60. a) Vieto teorema teigia: „Jei kvadratinė lygtis x2+px + q = O turi du sprendinius tai jų suma lygi lygties koeficientui prie χ su priešingu ženklu (X1+ X2 = -p), o jų sandauga lygi laisvajam nariui Cx1 • X2 = g)". Pritaikę Vieto teoremą duotajai lygčiai, apskaičiuokite X1+X2 ir X1 · x2. (1 taškas) b) Parodykite, kad lygybė 12 + x% = (X1 + x2)2 - 2xxx2 yra teisinga.

(1 taškas) c) Pasinaudodami a ir b užduočių rezultatais, raskite skaičių m.

(2 taškai)

Iš viso 28 taškai

Nr. Sprendimas Taš-kai Komentarai ir nurodymai

1 Atsakymas: B. • 1 Pasinaudokite gretutinių kampų savy-be, lygiašonio trikampio kampų prie pagrindo ir kryžminių kampų lygumu.

2 Atsakymas: C. • 1 Nustatykite tiesės ir koordinačių ašies sankirtos taškų koordinates: taške (0; 3) tiesė kerta Oy ašį, taške (1,5; 0) — Ox ašį.

3 Atsakymas: D. • 1 2 5 2 4 = 300. 2

4 f

Iog2(4V2) = Iog2 22 -22 =

= Iog2 22·5 = 2,5.

Atsakymas: C.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

5 I būdas, (x-2)(1 -x) = 0, χ-2 = 0 arba l - x = 0, χ = 2 arba χ = 1 II būdas, (x-2)(1 -x) = 0, -ж2 + Зх-2 = 0, χ = 2 arba x=l. Atsakymas: 2 arba 1.

• 1

• 1

Už tinkamo lygties sprendimo būdo pa-sirinkimą. Už gautą teisingą atsakymą.

6 1 [4

S. = — · 2 • 1 · sin 60° = — . 4 2 2

Atsakymas: f .

• 1

• 1

Už tinkamo lygties sprendimo būdo pa-sirinkimą.

Už gautą teisingą atsakymą.

7 Sugalvotą skaičių pažymė-kime X. Tada (3¾ + 2 ) -5 = 25x; x=l. Atsakymas: 1.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą.

Už gautą teisingą atsakymą.

8 f'{x) = {x4-2x>+T)' = = 4x3 - 4¾; /"(2) = 4 - 2 3 - 4 - 2 = 24. Atsakymas: f ( 2 ) = 24.

• 1

• 1

Už teisingai surastą funkcijos išvestinę.

Už gautą teisingą atsakymą.

9 2 3 5 . 420 _ 2m

235. (2^)20=2"1, 2 3 5 . 240 = 2m, 275 = 2m, m = 75. Atsakymas: 75.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą.

Už gautą teisingą atsakymą.

Nr. Sprendimas Taš-kai Komentarai ir nurodymai

IOa ж 210 10 ~ 150'

jc = 14.

• 1 Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą ir gautą teisingą atsakymą.

IOb 100 % — 24 mokiniai, χ % — 10 vaikinų,

ж 10 100 ~ 24'

x~A2 %. Atsakymas: 42%.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą. Už gautą teisingą atsakymą.

Ila Atsakymas: χ e (-180°;0°). • 1 Už gautą teisingą atsakymą.

l i b cos л: = 0,5, χ = ± arccos 0,5 + 360°¾, k e Z,

X= +60°+ 360°/¾, k e Z. Tinka tik ж = 60° arba ж = -60°. Atsakymas: -60° arba 60°.

• 1

• 1

Už teisingai sudarytą lygtį.

Už gautą teisingą atsakymą.

12a V= 26 • 30 · 30 = = 23 400 (cm3),

• 1 Už teisingai apskaičiuotą stačiakampio gretasienio tūrį.

V= 2 3 4 0 0 =23,4 (1). 1000

Atsakymas: 23,4 1.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą. V= 2 3 4 0 0 =23,4 (1). 1000

Atsakymas: 23,4 1.

12b V=Ttr2Zi = Tt- 142 · 38 = - 23 398,58 (cm3). 23 398,58 cm3 < 23 400 cm3, todėl vanduo tilptų. Atsakymas: tilptų.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą (į ritinio tūrio formulę teisingai įra-šomos skaitinės reikšmės). Už teisingai apskaičiuotą ritinio tūrį ir teisingą išvadą.

13a Atsakymas: Jr1+^ = 8, X1-X2 = m.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

13b (X1+X2)2-2X1X2 =

— Χγ 4" 2X^X2 Χ2 2XĮXQ —

= X21+X22.

• 1 Už teisingai pertvarkytą reiškinį.

13c Xj Ι" I X^ "f" XQ j 2 JC1X2 f 60 = 82 - 2 m , - 4 = - 2 m , m = 2.

Atsakymas: 2.

• 1 • 1

Už teisingai sudarytą lygtį. Už gautą teisingą atsakymą. Spręsdami c dalį, galėjote pasinaudoti a ir b užduočių rezultatais.

208 PASIRENKIME EGZAMINUI

2 UŽDUOTIS

1. Kuris grafikas yra funkcijos fix) = Iog2X? B

(1 taškas) D > E

o y ,/i X

2. Kiek skirtingų triženklių natūraliųjų skaičių galima sudaryti iš skait-menų O, 1, 5, 6, 8, jei skaitmenys skaičiuje nesikartoja?

(1 taškas) A 125 B 60 C 48 D 11 E 15

3. Čiaupo pajėgumas yra toks, kad stačiakampio gretasienio formos ba-seinas, kurio matmenys dxbxc, prisipildo per 1 h 30 min. Per kiek laiko iš to paties čiaupo bus pripildytas stačiakampio gretasienio for-mos baseinas, kurio matmenys 2d χ 2b χ 2c? (1 taškas)

A 3 h B 6 h C 9 h D 10 h

4. Apskaičiuokite: cos — + cos — = 6 4

A — 2

л/2 + Тз 72-Л/з D л/2+Тз

E 12 h

(i taškas)

E i 5. Pagal brėžinyje pateiktus duomenis raskite kampo α

didumą. (1 taškas)

A 30° B 35° C 40° D 45° E 50°

6. Raskite funkcijos f[x) = —x3 - 18x + 1 išvestinę. 3

(1 taškas)

7. Išspręskite lygtį 0,2*+1 = 0,0016. (2 taškai)

8. Viename kilograme vandens yra 3,346 · IO22 molekulių. Kiek moleku-lių yra 1 g vandens? Atsakymą pateikite standartine išraiška.

(2 taškai)

9. Sraigtasparnio pilotas pranešė iš stebė-jimo bokšto 12° kampu jį matantiems stebėtojams, kad skrenda 800 m aukš-tyje virš ieškomo objekto. Apskaičiuokite atstumą nuo stebėjimo bokšto iki ieško-mo objekto. Atsakymą pateikite sveikojo skaičiaus tikslumu.

(2 taškai) 10. Grafikos darbų paroda veikė 20 dienų. Žurnale buvo registruojama,

kiek žmonių kasdien joje apsilankė: 85, 90, 85, 85, 90, 92, 100, 100, 95, 100, 95, 80, 80, 85, 90, 92, 100, 100, 80, 90. a) Pateikite duomenis dažnių lentele. (2 taškai) b) Apskaičiuokite duomenų vidurkį. (2 taškai)

11. Gėlių parduotuvės matmenys pateikti brėžinyje. Jos pagrindas — stačiakampis, o šoninė siena — stačioji trapecija. Remdamiesi brėžinio duomenimis:

4,2 m

a) parodykite, kad šoninės sienos plotas lygus 7,41 m2; (1 taškas) b) apskaičiuokite gėlių parduotuvės tūrį. (1 taškas)

12. Referendume dalyvavo 65 % visų šalies rinkėjų. Į referendumo klau-simą „Taip" atsakė 90 % jame dalyvavusių rinkėjų. Kiek procentų visų šalies rinkėjų atsakė „Taip" į referendumo klausimą? (2 taškai)

13. Degalų kiekio K{v), kurį automobilis sudegina nuvažiuodamas 100 km, priklausomybė nuo greičio v apibūdinama formule K(v) =

1 2

= - 80) + 6; čia v — automobilio greitis kilometrais per valandą

ir u >20, o K — degalų kiekis litrais. Remdamiesi formule: a) parodykite, kad ВД=—-u2-—o + — ; (1 taškas)

625 125 25 b) apskaičiuokite, kiek degalų sudegina automobilis, 100 km nuva-žiuodamas 30 km/h greičiu; (2 taškai) c) apskaičiuokite, kokiu greičiu važiavo (100 km) automobilis, jei sude-gino 6,16 1 degalų. (3 taškai)

Iš viso 26 taškai

Nr. Sprendimas Taškai Komentarai ir nurodymai

1 Atsakymas: E. • 1 Prisiminkite, kaip atrodo logaritmi-nės funkcijos grafikas, kai logaritmo pagrindas didesnis už 1.

2 Atsakymas: C. • 1 Pasinaudokite kombinatorine daugy-bos taisykle, prieš tai nustatę, kiek skaitmenų galėtų būti šimtų, dešim-čių ir vienetų skyriuose. 4 - 4 - 3 = 48.

3 Atsakymas: E. • 1 Stačiakampio gretasienio, kurio briaunos dvigubai ilgesnės, tūris ly-gus 2a • 2b • 2c = 8abc, todėl didesnis baseinas bus pildomas 8 kartus il-giau.

4 Atsakymas: D. • 1 Pasirinkite iš lentelės tinkamas kam-pų kosinusų reikšmes ir teisingai su-dėkite iracionaliuosius skaičius. Galite pasitelkti į pagalbą skaičiuo-tuvą ir pabandyti įvertinti, kuris iš pasirenkamųjų atsakymų yra tinka-miausias.

5 Atsakymas: A. • 1 Pasinaudokite įbrėžtinių kampų, ku-rie remiasi į tą patį lanką, lygumu. Beje, šiame uždavinyje vienas duo-muo (70°) yra pašalinis.

6 f'(x) = I ^x3 - 18* +1 j =

= § ( * 3 ) ' - 18 (* ) '+ ( l ) ' =

= — · 3*2 - 1 8 - 1 + 0. 3

Atsakymas: f'(x) = 2x*-18.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

7 0,2*+1 = 0,0016, 0,2I+1 = 0,24, * +1 = 4, * = 3. Atsakymas: x = 3.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasirin-kimą. Už gautą teisingą atsakymą.

0,2*+1 = 0,0016, 0,2I+1 = 0,24, * +1 = 4, * = 3. Atsakymas: x = 3.

8 3,346 IO22 _ 3,346 -1022

1000 IO3 • 1 Už tinkamai pasirinktą veiksmą.

= 3,346-1019. Atsakymas: 3,346 · IO19.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą. Nepamirškite, kad 1 kg =1000 g.

Nr. Sprendimas Taškai Komentarai ir nurodymai

9 800

I badas, tg 12°= , X

800 , ч ж= = 3764 (m).

tg 12° v '

800 χ II būdas. - ,

sin 12° sin 78° 800 sin 78° „ „ „ , , ,

* = = 3764 (m). sin 12°

Atsakymas: 3764 m.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasi-rinkimą (stačiojo trikampio smai-liojo kampo tangento apibrėžimo arba sinusų teoremos pritaikymą).

Už gautą teisingą atsakymą.

IOa Žmonių skaičius 80 85 90 92 95 100 • 1

• 1

Už teisingai sudarytą dažnių lente-lę-Už teisingai užpildytą dažnių lentelę.

IOa

Dažnis 3 4 4 2 2 5

• 1

• 1

Už teisingai sudarytą dažnių lente-lę-Už teisingai užpildytą dažnių lentelę.

IOb 80-3 + 85-4 + 90-4 + 92-4 + 95 -2+ 100 5 90,7. • 1

• 1

Už teisingai pritaikytą vidurkio formulę. Už gautą teisingą atsa-kymą.

IOb 20

Atsakymas: 90,7.

90,7. • 1

• 1

Už teisingai pritaikytą vidurkio formulę. Už gautą teisingą atsa-kymą.

I la s = 3,2 + 2 , 5 . 2 ; 6 = 7 4 1 ( m 2 )

2 • 1 Už teisingai apskaičiuotą trapeci-

jos plotą.

l i b V=S Л = 7,41-4,2 = 31,122 (m3). Atsakymas: 31,122 m3.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

12 Šalies rinkėjų skaičių pažymė-kime raide R. (R • 0,65) · 0,9=R • 0,585 => 58,5 %. Atsakymas: 58,5 °/c.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasi-rinkimą. Už gautą teisingą atsakymą.

13a Κ(υ) = — ( i ) - 8 0 f + 6 = 625V '

= — (v2 - 160v + 6400) + 6 = 625v '

1 2 32 406 ~ 625 V 125 V + 25 '

• 1 Už teisingai pertvarkytą reiškinį.

13b K(30) = — (30 - 80 )2 + 6 = 10 (1). 625 v '

Atsakymas: 10 1.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasi-rinkimą (į kurią nors formulę įra-šoma i> = 30). Už gautą teisingą atsakymą.

13c 1 2 32 406 v v + = 6,16,

625 125 25 v2 - 160υ + 6300 = 0, V1 = 70 arba υ2 = 90. Atsakymas: 70 km/h arba 90 km/h.

• 1

• 1

• 1

Už teisingai sudarytą lygtį.

Už pradinės lygties pertvarkymą į lygtį v2 - 160u + 6300 = 0. Už gautą teisingą atsakymą.

3 UŽDUOTIS

1. Studentas turėjo 80 Lt. Parduotuvėje jis išleido 35 % šios sumos. Kiek pinigų jam liko? (1 taškas) A 28 Lt B 35 Lt C 40 Lt D 45 Lt E 52 Lt

2. Kurios funkcijos grafikas pavaizduotas koordina-čių plokštumoje? A y = ( x - l ) 2 + 2 B y = (x+ I)2+ 2 C y = (x + I)2 - 2 D y= - C e - l ) 2 + 2 E y = Oe + 2)2 + 1

(1 taškas)

3. 3 -V27 + 3 = (1 taškas)

A 3 В З-ТЗ С Зл/З D 6-3л/з E л/З-З

4. Kuris taškas priklauso funkcijos /Ox;) = sinx grafikui?

A (0°; 1) B (90°; 1) C (120°; 0,5) D 150°; S'

(1 taškas)

E ( -30° ; 0,5)

5. c į \3x

A xe

>4, kai

2 —

3

(1 taškas)

B χ e (-00; +00) C xe 2 —; +00 3

D xe 2 4

- ; +00 3

E X€ — ; +00 3

6. Raskite tiesių y = 3 x - 2 ir y = 0,5x + 3 sankirtos taško koordinates (x; y). (2 taškai)

7. Tam tikru momentu gamyklos kaminas meta 40 m ilgio šešėlį, o šalia kamino stovintis vertikalus 4,5 m aukščio stulpas — 6 m ilgio šešėlį. Apskaičiuokite gamyklos kamino aukštį.

(2 taškai)

40 m 6 m

8 . Išspręskite lygtį V 9 - X 2 = 0 . (2 taškai)

9. Kubo tūris lygus 64 cm3. Apskaičiuokite šio kubo viso paviršiaus plotą. (2 taškai)

10. Nustatykite funkcijos Дх) = Iog2 (2 - χ ) apibrėžimo sritį. (2 taškai) 11. Duota funkcija Дх) = (х-2)2 -2х2 .

a) Parodykite, kad jos išraiška tapati išraiškai Дх) = - x 2 - 4 x + 4. (1 taškas)

b) Raskite /'(x). (1 taškas) 12. Suprastindami reiškinį (1 - sin x)(l + sin χ) - cos2 χ, parodykite, kad jo

reikšmė su visomis χ reikšmėmis lygi nuliui. (2 taškai)

13. Brėžinyje parodytas namo kiemelis, kurį reikia apsėti veja. Kiemelis yra stačiosios trapecijos formos. Remdamiesi brėžinio duomenimis: a) parodykite, kad trapecijos aukštinės CE ilgis lygus 8 m; (2 taškai) b) apskaičiuokite kiemelio plotą; (2 taškai) c) nustatykite, kiek kilogramų sėklų reikės vejai apsėti žole, jei 1 kg sėklų užtenka 23 m2 plotui. Atsakymą pateikite 0,01 tikslumu. (1 taškas)

14. Duotos penkios raidės: A, Ė, I, L, M. Apskaičiuokite: a) keliais skirtingais būdais tas raides galima užrašyti vienoje eilu-tėje; (2 taškai) b) tikimybę, kad atsitiktinai parašytos raidės sudaro žodį LAIMĖ.

(1 taškas)

Iš viso 27 taškai

Nr. Sprendimas Taš-kai Komentarai ir nurodymai

1 Atsakymas: E. • 1 80 -0,65 = 52 (Lt).

2 Atsakymas: A. • 1 Prisiminkite: jei kvadratinė funkcija iš-reikšta formule y = a(x-x0)2+y0, tai (X0; y0) yra parabolės viršūnės koordina-tės. Siuo atveju jos yra (1; 2). Kadangi parabolės šakos eina į viršų, tai a > 0.

3 Atsakymas: C. • 1 |3-V27Į = л/27-3, nes 3 - >/27 < 0.

Todėl j3 - л/271 + 3 = V27 - 3 + 3 = V27 =

= л/<Гз = Зл/З. 4 Atsakymas: B. • 1 Skaičiuotuvu galite apskaičiuoti sinuso

reikšmes nurodytuose taškuose ir išsi-rinkti tinkamą porą.

5 Atsakymas: A. • 1 > 4 => 2"3* > 22 =>

=>-Зл;>2=>:х:< -—. 3

6 3x - 2 = 0,5* + 3, 2, 5x — δ, χ — 2 j y = 3 2 - 2 = 4. Atsakymas: (2; 4).

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą (tiesinės lygties sudarymą). Už gautą teisingą atsakymą.

7 Kamino aukštį pažymėki-me raide x.

χ 4,5 4,5-40 40 6 ' X 6 '

• 1 Už tinkamo sprendimo būdo pasirin-kimą.

χ = 30 (m). Atsakymas: 30 m.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

8 \į9-x2 =0, 9-x2 = 0,

• 1 Už tinkamo lygties sprendimo būdo pa-sirinkimą.

χ= - 3 arba x = 3. Atsakymas: - 3 ; 3.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

9 V= a3 = 64 cm3, a = 4 cm. S . = 6 - 4 4 = 96 (cm2). visas 4

Atsakymas: 96 cm2.

• 1

• 1

Už teisingai apskaičiuotą kubo krašti-nės ilgį. Už gautą teisingą atsakymą.

10 2 -ж > 0, χ <2. Atsakymas: χ e (-oo; 2).

• 1 • 1

Už teisingos nelygybės sudarymą. Už gautą teisingą atsakymą.

Nr. Sprendimas Taš-kai Komentarai ir nurodymai

Ila Дх) = (ж - 2)2 - 2x2 = = x 2 -4x + 4 -2x 2 = = -χ2 - 4x + 4.

• 1 Už teisingai pertvarkytą reiškinį.

l i b f'(x) = (-x2-4x + 4)' = = -2x-4. Atsakymas: f'(x)= -2л?-4.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

12 (1 - sin x)(l + sin χ) - cos2 χ = = 1 - sin2 χ - cos2 χ = = C O S 2 X - C O S 2 X = O .

• 1

• 1

Už reiškinio (1 - sin x)(l + sin χ) per-tvarkymą į reiškinį l - s in 2 x. Už formulės sin2 χ + cos2 χ = 1 pritaiky-mą ir gautą teisingą atsakymą.

13a Δ CED yra status ir lygiašonis, nes ZEDC = 45° ir ZECD = = 180°-90°-45° = 45°. ED = 14 - 6 = 8 (m). Todėl ED = CE = 8 m.

• 1

• 1

Už pagrindimą, kad ACED yra lygia-šonis.

Už gautą teisingą atsakymą.

13b St - 6 + 1 4 . 8 = 80(m2) trap 2

аГЬа Str*P = S ACED +SABCE = = 1 . 8 - 8 + 8 - 6 = 80 (m2),

o

• 1 Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą.

Atsakymas: 80 m2. • 1 Už gautą teisingą atsakymą.

13c ^ = 3,48 kg. 23 B

Atsakymas: 3,48 kg.

• 1 Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą ir gautą teisingą atsakymą.

14a Pasinaudokime daugybos taisykle 5 4 - 3 2 1 = 120. Atsakymas: 120 skirtingų būdų.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą.

Už gautą teisingą atsakymą.

14b Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą

P(LAIMĖ) = — 120

arba pagal daugybos taisyklę

P(LAIMĖ) - 1 1 · 1 · 1 · 1 -5 4 3 2 1

1 120

Atsakymas:

• 1 Už tinkamo sprendimo būdo pasirinki-mą ir gautą teisingą atsakymą.

216 PASIRENKIME EGZAMINUI

4 UŽDUOTIS

1. Lygčių sistemos sprendinys yra: I Y = YL-X,

[2x-y = 10 A (6; -11) B (6; 11) C (9; 8) D (6; 2)

2. Kubo, kurio briauna lygi 10, paviršiaus plotas lygus: A 40 B 100

3. >/20+780 = A 13,4 B 6л/б

C 400 D 600

4. Funkcijos fix) = 4-х

C 10 D 40

apibrėžimo sritis yra:

(1 taškas)

E (27; -10 ) (1 taškas)

E 1000

(1 taškas) E бл/ϊθ

(1 taškas)

A ( - 2 ; 2) B (-oo; 2)11(2; +oo) C (2; +oo) D (-oo; -2)11(-2; 2)U(2; +oo) E 2 arba - 2

5. Nubrėžkite tiesę, simetrišką duotajai Oy ašies atžvilgiu.

У

4i 4i

Ι-Ι-

/- 3 Ο X

6. Apskaičiuokite Iog2 8 + Iog2 —.

(1 taškas)

(2 taškai)

7. Stačiojo trikampio statinių ilgiai yra 6 cm ir 8 cm. Apskaičiuokite trikampio perimetrą.

(2 taškai) 8. Atstumas nuo namų iki ežero lygus 80 m, o nuo namų iki mokyklos —

5 km. Kiek kartų atstumas nuo namų iki ežero trumpesnis už atstumą nuo namų iki mokyklos?

(2 taškai)

n/2 9. Raskite lygties cos χ = — sprendinius, kai χ e [0; 360°]. (3 taškai)

10. Dėžėje yra baltų, raudonų ir žalių rutulių. Tikimybė ištraukti iš jos baltą rutulį lygi 0,3, raudoną — 0,4. Atsitiktinai traukiamas vienas rutulys ir stebima jo spalva. a) Kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas arba raudonas?

(1 taškas) b) Apskaičiuokite tikimybę ištraukti žalią rutulį. (i taškas)

11. Duota funkcija Дх)=х 2 -6х -5 . Remdamiesi jos išraiška: a) raskite f'(x); (1 taškas) b) apskaičiuokite f'(2); (1 taškas) c) nustatykite, su kuria χ reikšme f'(x) = 0; (2 taškas) d) raskite funkcijos y= Дх) grafiko tes.

parabolės — viršūnės koordina-

(1 taškas)

12. Sunkvežimyje yra 12 dėžių, kurių masės vidurkis lygus 77 kg. Iš sunkvežimio buvo išimta viena 66 kg masės dėžė. Koks yra sunkve-žimyje likusių dėžių masės vidurkis?

(2 taškai)

13. Pasinaudoję nubraižytais funkcijų Дх) = 2х ir g(x)= - 2 x + 4 grafikais, nustatykite: a) lygties 2* = - 2 x + 4 sprendinį;

(1 taškas) b) su kuriomis χ reikšmėmis funkcijos Дх) = 2х

reikšmės yra mažesnės už funkcijos g(x)~ = - 2 x + 4 reikšmes.

(1 taškas)

. У

Ai Ai

\

O \ X

14. Parduotuvėje obuolių džemas parduodamas dviejų dydžių ritinio for-mos indeliais. IndelisA 2 kartus aukštesnis už indelį B, tačiau indelio A pagrindo skersmuo perpus mažesnis negu indelio B. Indelis B kai-nuoja 2,79 Lt, o indelis A — 1,49 Lt. Kurį indelį pirkti būtų ekono-miškiau? .4

(3 taškai)

Iš viso 27 taškai

Nr. Sprendimas Taškai Komentarai ir nurodymai

Atsakymas: C. • 1 Lygčių sistemą galima spręsti kei-timo būdu arba tiesiog patikrinti, kuri iš pateiktų skaičių porų tenki-na abi sistemos lygtis.

Atsakymas: D. • 1 Kubo paviršiaus plotas lygus šešių jo sienų (kvadratų) plotų sumai.

л/20 + л/80 = л/4 5 + л/16 · 5 = 2л/5 + 4 л/25 = 6л/5.

Atsakymas: B.

• 1 Nenusiminkite, jei pamiršote veiks-mų su šaknimis savybes. Pasitelki-te į pagalbą skaičiuotuvą ir paban-dykite įvertinti, kuris iš pasirenka-mųjų atsakymų yra tinkamiausias.

Atsakymas: D. • 1 Nustatykite, su kuriomis χ reikšmė-mis trupmeninio reiškinio vardiklis nelygus nuliui.

У У f

\

O -4 X j

X

• 1 Pasirinkite du duotosios tiesės taš-kus, raskite jiems simetriškus Oy ašies atžvilgiu taškus ir per juos nu-brėžkite tiesę.

Iog2 8+ I o g 2 - = Iog2 23 +

+ Iog2 2 1 = 3 - 1 = 2.

Atsakymas: 2.

• 1

• 1

Už teisingai apskaičiuotą bent vie-no logaritmo skaitinę reikšmę.

Už gautą teisingą atsakymą.

Trikampio perimetras ly-gus jo kraštinių ilgių su-mai. 1. Įžambinės c ilgį ap-skaičiuosime pritaikę Pi-tagoro teoremą: c 2 = 62 + 82, C2=IOO, c=10 (cm). 2. ΡΔ =6 + 8 + 1 0 = 24 (cm). Atsakymas: 24 cm.

• 1

• 1

Už teisingai apskaičiuotą trikampio įžambinės ilgį.

Už teisingai apskaičiuotą trikampio perimetrą.

5 km _ 5000 m _ 80 m ~ 80 m = 62,5 (karto). Atsakymas: 62,5 karto.

• 1 • 1

Už tinkamai pasirinktą veiksmą. Už gautą teisingą atsakymą.

Nr. Sprendimas Taškai Komentarai ir nurodymai

9 C O S X = ,

χ = iarccos — + 360° k, 2

k e Z, χ = ±45° + 360° k, k e Z.

Kai k = 0°, tai X1 = 45° (tinka), X2 = -45° (netinka); kai k = l, tai X1= -405° (netinka), X2 = 315° (tinka).

Atsakymas: 45°, 315°.

• 1

• 2

Už teisingai pritaikytą bendrojo sprendinio formulę.

Po vieną tašką už kiekvieną tei-singai surastą sprendinį. Nurodytam intervalui priklausan-čius lygties sprendinius nesunkiai atrinksite, jeigu nubraižysite funk-cijų У = cos χ ir y = grafikus in-tervale χ e [0°; 360°].

IOa P(baltas arba raudonas) = = P(baltas) + P(raudonas) = = 0,3 + 0,4 = 0,7. Atsakymas: 0,7.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

10b P(žalias) = 1 - 0,4 - 0,3 = 0,3. Atsakymas: 0,3.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

I la f'(x) = (x2-6x-5Y = (x2y-- (6x)' - (5)' = 2x - 6. Atsakymas: 2 x - 6 .

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

l i b /vGe) = 2 - 2 - 6 = - 2 . Atsakymas: -2x.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

l i e f'(x) = 0, 2 x - 6 = 0, x = 3. Atsakymas: 3.

• 1 Už gautą teisingą atsakymą.

l i d Kadangi parabolės viršūnė yra kvadratinės funkcijos ekstremumo taškas, tai, remdamiesi c dalies spren-dimu, galime teigti, kad x = 3. Tada у=ДЗ) = 3 2 - 6 - 3 - 5 = - 1 4 . Atsakymas: (3; - 1 4 ) .

• 1 Ųž gautą teisingą atsakymą. Šią uždavinio dalį buvo galima tei-singai išspręsti net nesiremiant a ir c dalių sprendiniu. Reikėjo tie-siog pasinaudoti parabolės viršū-nės koordinatės χ radimo formule:

2 a 2 -1 уу = ДЗ) = 3 2 - 6 - 3 - 5 = - 1 4 .

12 12 dėžių masė lygi 77 · 12 = = 924 (kg). Kai išimama vie-na dėžė, sunkvežimyje liku-sių 11 dėžių masė sudaro 9 2 4 - 6 6 = 858 (kg). Tada sunkvežimyje likusių dėžių masės vidurkis lygus 858: 11 = 78 (kg). Atsakymas: 78 kg.

• 1

• 1

Už tinkamo sprendimo būdo pasi-rinkimą (iš pradžių ieškoma 12 dė-žių masės, paskui — sunkvežimyje likusių 11 dėžių masės).

Už gautą teisingą atsakymą.

Nr. Sprendimas Taškai Komentarai ir nurodymai

13a Atsakymas: 1. • 1 Už gautą teisingą atsakymą. Funkcijų grafikų sankirtos taško abscisė yra lygties 2* = - 2x + 4 sprendinys, todėl x=l.

13b Atsakymas: л;<1. • 1 Už gautą teisingą atsakymą.

14 Išreiškiame kiekviename in-delyje esančio džemo tūrį: VB = n(2r)2 • h, Va = Π R2 (2h). Apskaičiuojame jų santykį: Vb _π·4r 2 h_n

Va n-r2-2 h Indelyje B telpa 2 kartus daugiau džemo negu inde-lyje A, tačiau jo kaina, palyginti su indelio A kaina, didesnė mažiau nei 2 kartus:

k* = 2 , 7 9 =1,872. K 1,49

Vadinasi, ekonomiškiau pirkti indelį B. Atsakymas: indelį B.

• 1

• 1

• 1

Už teisingą kiekvieno indelio tūrio išraišką.

Už tinkamai pasirinktą strategiją ekonomiškumui įvertinti.

Su mokytoju/mokytoja aptarkite galimas šios problemos sprendimo strategijas.

Už padarytą teisingą išvadą.

1 TESTAS 5 5 . 25

1. D. 2. D. 3. 10 000. 4. a) - ; b) - ; c) — . 5. a) 2,4; b) 2,5; c) 3,5. 6. 1. 14 ir 12. 7 7 49

2. Sparnų ilgis (cm) 10 11 12 13 14 15 16

Dažnis 4 1 3 0 3 2 1

2 TESTAS

1. D. 2. D. 3. D. 4.

10 U 12 13 14 IS 16 Sparnų ilgis (cm)

5. 1. Kvadrato ABCD kraštinės ilgis lygus pusei

stačiakampio perimetro, t. y. 20 cm. PABCD = 4· 20 = 80 (cm). 2. 400 cm2. 6. 5,6 m. 7. 4,86. 8. Užteks (S-19,8 m2). 9. Į 57 puodelius. 10. 1. 2 660 200 m3. 2. 307 000 m3.

3 TESTAS

1. I y = (x-2)2, II y = (x-2)2+l. 2. B. 3.

5. a) S = x(15-x)=15x-x2; b) c) 7,5 m.

4 TESTAS 1. C. 2. a) 2; b) 2. 3. D. 4. 1. χ = (-1)η+1·30° + 180°д, ne Z; 2. 210°; 330°. 5. B.

6. «5,3 km.

5 TESTAS

1. b. 2. 1. 3. ± —. 4. Didėjimo intervalas (-<*> ; 0), mažėjimo intervalas (0; + °°). 3

5. a) Ne; b) ( - 1 ; -2 ) , (1; 2); c) ne. 6. a) 3; b) (2; - 4 ) . 7. ( - 1 ; 1) — maksimumo taško koordinatės, (3; - 27) — minimumo taško koordinatės. 8. Didžiausia — 3, mažiausia — - 1 . 9. 0,5.

PANAUDOTŲ ILIUSTRACIJŲ ŠALTINIAI p. 58, 66, 73 Dovilio Paliuko nuotraukos. p. 77 Cattaneo M., Trifoni J. The world heritage sites of Unesco. Ancient civilizations: White

star publishers, 2004. p. 100 http://homepage.ntlworld.com/dwiseman/ p. 130 http://www.ldm.lt

DALYKINĖ RODYKLĖ

Apskritimas 46 Arksinusas 121 Arkkosinusas 124, 125 Arktangentas 128

Bandymo baigčių aibė 12 Bandymo baigtys 12

nevienodai galimos — 21 vienodai galimos — 21, 28

Briaunainis 50

ažnis 6 santykinis — 6

Daugiakampis 44 taisyklingasis — 44

Daugybos taisyklė 16 Diagrama 8

linijinė — 9 skritulinė — 9 stačiakampė — 9 stulpelinė — 8

sugrupuotų duomenų 8

Ėmimas grąžintinis — 24 negrąžintinis — 25

Figūros lygiosios — 71 panašiosios — 71

Funkcija kosinuso — 115 kvadratinė — 90 lyginė — 84 nelyginė — 84 sinuso — 111 tangento — 118

Funkcijos diferencijavimas 146 Funkcijos išvestinė 145, 146, 147 Fūnkcijos reikšmė

didžiausioji — 159 mažiausioji — 159

Galimybių medis 15

Ilgis 58 Imties didumas 6 Imties duomu5 6 Imties mediana 10

Imties moda 10 Imties plotis 10 Imties skirstinys 8 Imties vidurkis 10 Imtis 5 Intervalai

fūnkcijos reikšmių didėjimo — 111, 115, 118, 152 fūnkcijos reikšmių mažėjimo — 111, 115, 152

Įvykiai nepriklaūsomieji — 24 nesutaikomieji — 20 priklaūsomieji — 25

Įvykis būtinasis — 21 negalimasis — 21

Judėjimo greitis momentinis — 163 vidutinis — 160, 163

Judesys 54

Kampai atitinkamieji — 40 gretutiniai — 40 kryžminiai — 40 priešiniai — 40 vienašaliai — 40

Kampas centrinis — 46 dvisienis — 41 įbrėžtinis — 46

Kampo sinusas 101, 102 Kampo kosinusas 101, 102 Kampo tangentas 101, 102 Keturkampis 45

apibrėžtims — 45 įbrėžtinis — 45

Kirstinė 46, 145 Kosinusas 102 Kosinusoidė 115 Kritinis taškas 143, 152 Kūgis 51

Laipsnis 109, 130 Lentelė

dažnių — 7 santykinių 8

galimybių — 16

Liestinė 46 apskritimo — 46 funkcijos grafiko — 144

Lygiagretainis 45

Parabolė 90 Pasviroji 41 Piramidė 50 Plokštumos

lygiagrečiosios — 41 susikertančiosios — 41

Plotas 62 Plotis 10 Pokytis

argumento reikšmės — 145 funkcijos reikšmės — 145

Populiacija 5 Postūmis 55

grafiko — 85 Posūkis 55 Požymio reikšmė 7 Požymio reikšmių dažnis 7 Požymis 6 Prizmė 50

Radianas 109, 130 Ritinys 51 Rutulys 51

Simetrija ašinė — 54 centrinė — 54 grafiko — 81

Sinusas 102 Sinusoidė 111 Skaitinės duomenų charakteristikos 9 Skritulys 46 Standartinis nuokrypis 10, 11 Statmuo plokštumai 41 Stochastinis bandymas 12

kelių etapų — 15 vieno etapo — 15

Sukinys 51

angentas 102 Tangentoidė 118 Taškai

ekstremumo — 143 maksimumo — 143 minimumo — 143

Tiesės lygiagrečiosios — 40 prasilenkiančiosios — 40 statmenosios — 40 susikertančiosios — 40

Tikimybė 12 įvykio — 13

Tikimybių teorija 12, 14 Trapecija 45

lygiaščnė — 61 stačioji — 47

Trikampis 44 Tūris 66

\ ienetinis apskritimas 102

Matematikos mokymosi rezultatai ir sėkmė nuo motyvacijos priklauso daug labiau, negu mano dauguma besimokančiųjų. Požiūris į tai, ko ir kodėl

mokomasi, svarbesnis už bet kokius gerus norus. Susidūrę su sunkumais, nedelskite, o veikite. Tik čiurlenantis upelis įsilieja į plačiąjūrą.

Viktorija Sičiūnienė

ISBN 5-430-04208-0