1

PENDEKATAN APOS DALAM PEMBELAJARAN

MATEMATIKA PADA MATERI LOGARITMA

MAKALAH SEMINAR PENDIDIKAN

Oleh :

AGUSTIN TIKA MAYA

11030174058

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PENDIDIKAN MATEMATIKA

2014

1

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ..............................................................................................................................1

PENDAHULUAN.......................................................................................................................1

A. Latar Belakang...................................................................................................................1

B. Pertanyaan..........................................................................................................................3

C. Tujuan.................................................................................................................................3

PEMBAHASAN...........................................................................................................................4

A. Pembelajaran Matematika...................................................................................................4

B. Pendekatan APOS...............................................................................................................4

C. Pembelajaran dengan Pendekatan APOS............................................................................9

D. Teori yang Mendukung Pendekatan APOS........................................................................11

E. Materi Logaritma................................................................................................................12

F. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran dengan Pendekatan APOS Dalam Materi Logaritma

13

PENUTUP.....................................................................................................................................16

DAFTAR PUSTAKA...................................................................................................................19

1

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pendidikan merupakan sesuatu yang wajib didapatkan oleh setiap manusia. Mutu

dalam pendidikan dipengaruhi oleh proses pembelajaran yang berlangsung secara efektif,

dan peserta didik mengalami proses pembelajaran yang bermakna, serta ditunjang oleh

sumber daya manusia, sarana dan prasarana yang memenuhi. Secara logis, proses yang

berkualitas maka akan menghasilkan produk yang berkualitas juga. Oleh karena itu,

dalam proses pembelajaran harus memilih pendekatan pembelajaran yang tepat.

Pendekatan pembelajaran merupakan suatu pandangan terhadap proses pembelajaran

yang mendasari metode pembelajaran yang digunakan dengan suatu teori tertentu.

Pemilihan pendekatan pembelajaran harus disesuaikan dengan tujuan pembelajaran dan

sifat materi yang akan diajarkan.

Dalam membelajarkan matematika, pembelajaran yang harus dilakukan adalah

pembelajaran yang melibatkan keaktifan siswa dalam kegiatan belajar mengajar. Serta

mengaitkan kehidupan sehari-hari siswa dengan materi yang akan dipelajari oleh siswa.

Sehingga materi matematika yang akan diajarkan mudah diterima dan dipahami. Oleh

karena itu, seorang guru matematika harus merancang sebuah pembelajaran yang

menyenangkan dan melibatkan siswa dalam menyelesaikan maupun menentukan suatu

masalah.

Berdasarkan pengalaman saat PPL di salah satu SMA di Sidoarjo, pembelajaran

matematika di kelas menggunakan pembelajaran konvensional dengan metode

ekspositori. Dimana pada awal pembelajaran guru menjelaskan tentang definisi dan

konsep materi pelajaran, kemudian guru memberikan contoh soal serta pemecahan

masalahnya. Setelah itu, guru memberikan latihan soal kepada siswa dan yang terakhir

memberikan tes. Pembelajaran tersebut memperlihatkan bahwa peran guru lebih

mendominasi kegiatan pembelajaran di kelas.

Dalam kurikulum 2013, untuk membelajarkan matematika guru harus merancang

pembelajaran yang mendorong siswa untuk mencari tahu materi apa yang akan

dipelajari, mendorong siswa untuk bisa merumuskan suatu masalah dari materi yang akan

dipelajari, melatih siswa untuk berfikir analitis dalam menyelesaikan permasalahan

matematika, serta menekankan kepada siswa tentang pentingnya kerjasama dan

kolaborasi dalam menyelesaikan masalah matematika. Siswa dituntut untuk

mengkonstruk pengetahuannya sendiri dengan bantuan guru sebagai fasilitator. Oleh

karena itu, pembelajaran dengan pendekatan APOS merupakan salah satu alternatif yang

bisa digunakan untuk merealisasikan kurikulum 2013.

APOS merupakan singkatan dari aksi (Action), proses (Process), objek (Object),

dan skema (Schema). Dalam pendekatan APOS, pemahaman tentang konsep matematika

merupakan hasil konstruksi atau rekonstruksi dari objek-objek matematika. Dimana

konstruksi dan rekonstruksi tersebut dilakukan melalui aksi-aksi matematika, proses-

proses, dan objek-objek yang diorganisasikan dalam suatu skema untuk menyelesaikan

suatu permasalahan. Karakteristik pembelajaran matematika dengan pendekatan APOS

yaitu; menganalisa pengkonstruksian mental dalam memahami suatu konsep matematika,

penggunaan lembar kerja siswa dalam pembelajaran, siswa belajar dalam kelompok kecil,

dan pembelajaran menggunakan siklus ACE. Implementasi pendekatan APOS dengan

menggunakan siklus ACE terdiri dari tiga fase yaitu aktivitas (Activities), diskusi kelas

(Class discussion), dan latihan soal (Exercises).

Suryadi (2012), mengungkapkan bahwa seorang anak dapat mengonstruksi konsep

matematika dengan baik apabila anak tersebut mengalami suatu aksi, proses, obyek, dan

skema. Arnawa (2006), juga menyatakan bahwa skema yang matang dari suatu konsep

matematika adalah suatu sistem yang koheren dari aksi, proses, obyek, dan skema lain

yang telah dibangun sebelumnya, yang dikoordinasikan serta disintesis oleh individu

dalam bentuk struktur yang digunakan untuk menghadapi situasi permasalahan tertentu.

Berdasarkan pengalaman saat mengajar, materi logaritma merupakan materi yang

sering dianggap sulit oleh siswa. Hal ini dikarenakan sifat materi logaritma yang abstrak

dan pembelajarannya membutuhkan pemahaman konseptual yang tinggi. Serta dibuktikan

dengan hasil ulangan harian siswa tentang materi logaritma yang masih rendah dan belum

mencapai nilai KKM (Kriteria Ketuntasan Minimal). Salah satu cara yang dapat

digunakan untuk mengubah anggapan tersebut yaitu dengan merancang sebuah

pembelajaran yang dapat meningkatkan pemahaman siswa tentang logaritma, seperti

penerapan pendekatan APOS.

Pendekatan APOS dapat diterapkan dalam pembelajaran materi logaritma untuk

meningkatkan pemahaman siswa. Karena pendekatan APOS dapat digunakan untuk

mengetahui kesulitan siswa dalam memahami materi logaritma, serta mengetahui

konstruksi mental siswa dalam membangun pengetahuan tentang konsep logaritma

melalui tindakan, proses, objek, dan skema.

Dengan demikian penulis ingin mengkaji lebih lanjut tentang pendekatan APOS

dalam pembelajaran matematika materi logaritma.

2

B. Pertanyaan

Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka rumusan masalah yang dapat

dikemukakan adalah :

1. Bagaimanakah pendekatan APOS dalam pembelajaran matematika?

2. Apakah teori yang mendukung pendekatan APOS dalam pembelajaran

matematika?

3. Bagaimanakah rancangan pelaksanaan pembelajaran dengan pendekatan

APOS dalam pembelajaran matematika materi logaritma?

C. Tujuan

Sesuai dengan pertanyaan di atas, maka tujuan makalah ini adalah :

1. Mendeskripsikan pendekatan APOS dalam pembelajaran matematika.

2. Mendeskripsikan teori yang mendukung pendekatan APOS dalam

pembelajaran matematika.

3. Mendeskripsikan contoh rencana pelaksanaan pembelajaran dengan

pendekatan APOS pada pembelajaran matematika materi logaritma.

3

4

PEMBAHASAN

A. Pembelajaran Matematika

Pembelajaran merupakan suatu proses memberikan informasi kepada siswa sehingga

siswa mendapatkan informasi baru. Menurut Dimyanti dan Mudjiono (2006:157)

pembelajaran adalah proses yang diselenggarakan oleh guru untuk membelajarkan siswa

dalam belajar bagaimana belajar memperoleh dan memproses pengetahuan, ketrampilan,

dan sikap. Sedangkan menurut konsep komunikasi (dalam Suherman, 2003:8)

pembelajaran adalah proses komunikasi fungsional antara siswa dalam rangka perubahan

sikap dan pola pikir yang akan menjadi kebiasaan bagi siswa yang bersangkutan.

Sedangkan pembelajaran menurut Corey (dalam Sagala, 2006:61) adalah suatu proses

dimana lingkungan seseorang sengaja dikelola untuk memungkinkan ia turut serta dalam

tingkah laku tertentu dalam kondisi-kondisi khusus atau menghasilkan respon terhadap

situasi tertentu.

Berdasarkan pendapat tentang pengertian pembelajaran di atas, maka penulis

menyimpulkan bahwa pembelajaran merupakan suatu proses membelajarkan

pengetahuan, ketrampilan, dan sikap baru kepada siswa.

Pembelajaran matematika merupakan suatu proses membelajarkan pengetahuan

dan ketrampilan matematika pada siswa. Menurut Muhseto (2006), pembelajaran

matematika merupakan suatu proses dalam suatu kegiatan yang dilaksanakan berdasarkan

rencana untuk memperolah pengetahuan matematika yang dipelajari. Di dalam

pembelajaran matematika, pengetahuan dan keterampilan baru yang diberikan dikaitkan

dengan pengetahuan yang sudah dimiliki oleh siswa. Siswa dilibatkan aktif dalam

pembelajaran sehingga siswa dapat menerima dan memahami konsep matematika yang

diajarkan. Perubahan acuan psikologis menghasilkan perubahan pandangan tentang

pembelajaran di kelas, yaitu dari berpusat pada guru menjadi berpusat pada siswa.

Dengan kata lain siswa terlibat secara langsung dalam proses pembelajaran baik secara

emosional maupun secara sosial, sedangkan guru bertindak sebagai fasilitator.

B. Pendekatan APOS

Dubinsky (2009) mengemukakan sebuah teori untuk mempelajari bagaimana

seorang belajar konsep matematika. Teori ini disebut teori APOS (Action, Process,

Object, Schema). Teori ini hadir sebagai upaya untuk memahami mekanisme abstraksi

reflektif, yang diperkenalkan oleh Piaget untuk menggambarkan perkembangan berfikir

logis anak, dan memperluas ide ini untuk konsep-konsep matematika lanjut. Menurut

teori APOS, seorang anak dalam mengkonstruksi konsep matematika melalui empat

tahap yaitu aksi, proses, objek, dan skema.

Teori APOS kemudian digunakan dalam pembelajaran yang disebut dengan

pendekatan APOS. Pendekatan APOS merupakan suatu teori konstruksivis tentang

bagaimana proses pencapaian atau pembelajaran suatu prinsip atau konsep dalam

matematika. Pembelajaran menggunakan pendekatan APOS menekankan pada perolehan

pengetahuan melalui konstruksi mental (Nurlaelah, 2009). Menurut Suryadi (2012),

konstruksi mental dalam pendekatan APOS adalah terbentuknya suatu aksi, yang

kemudian direnungkan menjadi sebuah proses, dan dirangkum menjadi objek, dimana

objek tersebut dapat diuraikan kembali menjadi proses.

Empat tahapan dalam pendekatan APOS adalah:

1. Tahap Aksi (Action)

Menurut Dubinsky (2000 : 2), “An action is tranformation of object perceived

by the indivudual as assentially external and as requiring, either explicity or from

memory, step by step instructions on how to perform the operation”, yang bahwa

aksi adalah tranformasi objek yang dilakukan oleh seseorang sebagai kegiatan

eksternal, dengan melakukan perhitungan secara bertahap.

Menurut Weyer (2010 : 10), mengatakan bahwa :

An action is any repeateble physical or mental manipulation that tranform (mental or physical) to obtain other object. An action conception is a form understanding of a concept that involves a mental or physical object in reaction to stimuli that the subject perceives as relatively external. In the action stage, the transformation of object thought of as external, and the student only knows how to perform an operation from memory or clearly given instructions.

Kutipan di atas bermakna, aksi adalah manipulasi fisik atau mental yang dapat

diulang dalam mentransformasikan (fisik atau mental) untuk memperoleh objek

lain. Konsepsi tentang aksi merupakan suatu bentuk pemahaman tentang konsep

matematika yang melibatkan transformasi mental atau fisik terhadap objek mental

atau fisik sebagai reaksi terhadap rangsangan dari luar. Pada tahap aksi,

transformasi objek didapat dari kegiatan eksternal, dan siswa hanya mengetahui

bagaimana melakukan operasi jika diberikan perintah yang jelas.

Sedangkan menurut suryadi (2012), menyatakan aksi adalah suatu transformasi

objek-objek mental untuk memperoleh objek mental lainnya. Suryadi juga

mengatakan bahwa seseorang akan mengalami suatu aksi apabila orang tersebut

fokus dalam proses mental untuk memahami suatu konsep. Selanjutnya Suryadi

juga menyatakan bahwa pada tahap aksi, seorang siswa belum mampu

5

menginterpretasikan suatu situasi sebagai sebuah fungsi kecuali memiliki sebuah

formula tunggal serta mampu menentukan nilai fungsi tersebut. Dengan demikian

dapat dikatakan bahwa kinerja siswa dalam tahap aksi berupa aktivitas prosedural.

2. Proses (Process)

Menurut Dubinsky (2000 : 3) mengungkapkan bahwa :

When an action is repeated and the individual reflects upon it, he or she can make an internal mental construction called a “process” which the individual can think of as performing the same kind of action, but no longer with the need of external stimuli.

Makna dari kutipan tersebut adalah, ketika aksi dilakukan berulang-ulang dan

dilakukan refleksi terhadap aksi yang dilakukan sehingga seseorang dapat

membangun konstruksi mentalnya, ini disebut dengan proses. Pada tahap ini

seseorang dapat berfikir tentang aksi yang sama, tanpa memerlukan stimulus dari

luar.

Menurut Weyer (2010 : 10) mengatakan bahwa :

A process conception is defined as a form of understanding of a concept thet involes imagining a transformation of mental or physical objects that the subject perceives as relatively internal and totally under her or his control. In the stage, student an perform the same action or tranformation without external stimuli. Student in the stage can also think of performing a process without actually doing it.

Makna dari kutipan di atas adalah, konsepi tentang proses didefinisikan

sebagai bentuk pemahaman dari suatu konsep matematika yang melibatkan

imajinasi dalam mentransformasikan objek mental atau fisik sebagai aktivitas

internal dan terkontrol. Pada tahap proses, siswa dapat melakukan aksi yang

sama atau transformasi tanpa rangsangan dari luar. Pada tahap ini, siswa juga

dapat melakukan perhitungan tanpa melakukannya secara aktual.

Sedangkan menurut Suryadi (2012), ketika suatu aksi diulangi dan kemudian

terjadi refleksi atas aksi yang dilakukan maka selanjutnya akan masuk dalam fase

proses. Berbeda dengan aksi yang dapat terjadi melalui manipulasi benda atau

sesuatu yang bersifat konkrit, proses terjadi secara internal di bawah kontrol

individu yang melakukannya. Selanjutnya Suryadi juga menyatakan bahwa, pada

tahap proses seorang siswa telah mampu berfikir tentang masukan yang bisa

diterima, memanipulasi masukan tersebut dengan cara-cara tertentu, serta mampu

6

menghasilkan keluaran yang sesuai. Dengan demikian, pada tahap proses seorang

siswa akan mampu menjelaskan tahapan pengerjaan dari tahap aksi dengan

penjelasan dan kata-kata sehingga siswa memiliki pemahaman secara prosedural.

3. Objek (Object)

Menurut Dubinsky (2000:3) mengungkapkan bahwa “An object in constructed from a process when the individual become aware of the process as a totality and realizes that transformations can act on it”, yang berarti bahwa abjek adalah konstruksi dari sebuah proses ketika seseorang menyadari bahwa proses merupakan totalitas dan menyadari bahwa transformasi tertentu dapat berlaku pada proses tersebut. Menurut Weyer (2010:10) mengatakan bahwa :

An object conception is a form of understanding of a concept that sees it as something to which actions and processes may be applied. The student in the stage sees the procedure as a whole and understands that tranformations can be performed on it. Encapsulation is the term used to describe the mental construction of a process (transformed by some action)into a cognitive object that can be seen as a total entity (or coherent totality) and which can be acted upon (mentally) by actions or process. The only way to mentally construct a mathematical object.

Maksud dari pernyataan di atas adalah konsepsi tentang objek merupakan suatu

bentuk pemahaman terhadap suatu konsep matematika sebagai suatu penerapan dari

aksi dan proses. Pada tahap ini, siswa memahami keseluruhan prosedur dan

memahami transformasi yang dapat dilakukan. Enkapsulasi merupakan suatu istilah

yang digunakan untuk mendeskripsikan konstruksi mental pada suatu proses

(transformasi oleh beberapa aksi) ke dalam sebuah objek kognitif yang dapat dilihat

sebagai entitas keseluruhan (totalitas koheren) dan yang dapat ditindaklanjuti oleh aksi

atau proses. Satu-satunya jalan untuk mengkonstruksi secara mental sebuah objek

matematika.

Sedangkan menurut Suryadi (2012), mengungkapkan bahwa seseorang

dikatakan telah memiliki konsepsi objek dari suatu konsep matematika, apabila ia

telah mampu memperlakukan ide atau konsep tersebut sebagai objek kognitif yang

mencakup kemampuan untuk melakukan aksi dari objek tersebut, serta memberikan

alasan atau peenjelasan tentang sifat-sifatnya. Sehingga bisa dikatakan bahwa pada

tahap ini siswa bisa menunjukkan pemahaman konseptual.

4. Skema (Schema)

Menurut Dubinsky (2000:3) mengungkapkan bahwa :

7

A schema for a certain mathematical concept is an individual’s collection of actions, proseses, object, and other schemas which are linked by some general principle to form a framework in the individual’s mind that may be brought to bear upon a problem situastion involving that concept.

Kutipan di atas bermakna bahwa skema pada konsep matematika adalah kumpulan

aki, proses, objek dan skema lain yang mana saling berkaitan untuk konsep tertentu

dalam pikiran seseorang yang mungkin digunakan untuk memecahkan masalah.

Menurut weyer (2010:10) mengungkapkan bahwa : A schema is a collection of actions, processes, object and other schemas, together with their relationship, that the individual understand in connection with some topic of study. In the schema stage a student is capable of jumping back and forth among the four stage.

Pernyataan tersebut berarti bahwa skema merupakan kumpulan yang mengaitkan

aksi, proses, objek, dan skema lain, individu paham tentang hubungan suatu topik

dengan mata pelajaran lain. Pada tahap skema ini, seorang siswa mampu

mengulang kembali empat tahap yang telah ditempuh.

Sedangkan menurut Suryadi (2012), mengungkapkan bahwa sebuah skema dari

suatu materi matematika tertentu adalah suatu koleksi aksi, proses, objek, dan

skema lainnya yang saling terhubung sehingga membentuk suatu kerangka kerja

saling terkait di dalam pikiran seseorang. Suryadi menyatakan bahwa indikator

seseorang telah memiliki skema adalah apabila orang tersebut telah memliliki

kemampuan untuk mengkonstruk contoh-contoh suatu konsep matematika sesuai

dengan sifat-sifat yang dimilliki konsep tersebut. Dengan demikian dapat dikatakan

bahwa pada tahap skema siswa mampu mengaitkan aksi, proses, dan obyek untuk

menyelesaikan suatu permasalahan.

Berdasarkan penjelasan di atas, dapat disimpulkan empat tahap kemampuan

matematika dalam pendekatan APOS pada konsep logaritma adalah seperti berikut

ini.

Tabel 2.1 Kriteria kemampuan siswa berdasarkan pendekatan APOS

Materi Tahapan APOS Indikator

Logaritma Aksi

(Action)

- Siswa dapat menuliskan bentuk logaritma dari sebuah eksponen

- Siswa dapat menghitung nilai logaritmaProses

(Process)

- Siswa dapat membuktikan sifat-sifat logaritma

8

- Siswa dapat menghitung nilai logaritma dengan menggunakan sifat-sifat logaritma

Objek

(Object)

- Siswa dapat menjelaskan konsep logaritma

- Siswa dapat mensketsa grafik fungsi logaritma

Skema

(Schema)

- Menghubungkan aksi, proses, dan objek untuk mensketsa grafik fungsi logaritma

- Menghubungkan aksi, proses, dan objek untuk menerapkan berbagai sifat logaritma dalam pemecahan masalah

C. Pembelajaran dengan Pendekatan APOS

Menurut Asiala ada beberapa hal yang dapat dipandang sebagai karakteristik

pembelajaran dengan pendekatan APOS (dalam Arnawa, 2006), yaitu pembelajarannya

menggunakan: (1) pengetahuan dikonstruksi siswa melalui konstruksi mental APOS, (2)

menggunakan LKS, (3) siswa belajar dalam kelompok kecil, (4) menggunakan siklus

ACE (activity, class discussion, excercise). Berikut ini adalah deskripsi untuk masing-

masing karakteristik tersebut.

1. Pengetahuan dikonstruksi melalui konstruksi mental APOS

Teori APOS mengasumsikan bahwa pengetahuan matematika yang dimiliki oleh

seseorang merupakan hasil interaksi dengan orang lain dan hasil konstruksi-

konstruksi mental orang tersebut dalam memahami ide-ide matematika. Konstruksi-

konstruksi mental tersebut adalah: aksi (action), proses (process), objek (object),

dan skema (schema) yang disingkat dengan APOS.

2. Menggunakan LKS (lembar kerja siswa)

Dalam memahami suatu konsep matematika, siswa melakukan konstruksi-

konstruksi mental aksi, proses, objek, dan skema. Konstruksi-konstruksi mental ini

dapat dibantu melalui aktivitas yang menggunakan LKS (Nurhayati, 2013). Dalam

mengkonstruksi pengetahuan, guru dapat membantu siswa melalui pendekatan

pembelajaran yang didesain untuk menstimulasi terjadinya konstruksi-konstruksi

mental yang diharapkan.

3. Siswa belajar dalam kelompok kecil

Konteks sosial yang merupakan acuan teori APOS, diimplementasikan dalam

pembelajaran melalui belajar dalam kelompok kecil. Siswa dikelompokkan di awal

pembelajaran kedalam kelompok-kelompok kecil yang terdiri dari 2 sampai 4 orang

9

untuk mengerjakan semua tugas-tugas yang di berikan seperti lembar diskusi kelas,

pekerjaan rumah, dan latihan-latihan soal secara bersama-sama (Asiala dalam Elda,

2013). Ketertarikan yang utama dari belajar dalam kelompok kecil adalah

tersedianya kesempatan bagi siswa untuk melakukan refleksi, yaitu terjadi melalui

bentuk-bentuk interaksi komunikasi yang berupa negosiasi, penjelasan,

pembenaran, setuju, tidak setuju, dan pertanyaan-pertanyaan. Bentuk-bentuk

interaksi ini dapat terjadi karena siswa pada umumnya lebih terbuka terhadap

rekan-rekannya jika dibandingkan terhadap gurunya (Vidakovic dalam Dubinsky et

al.,2000).

4. Menggunakan siklus ACE (activity, class discussion, exercise)

Strategi pembelajaran dalam teori APOS juga dimaksudkan agar siswa mencoba

untuk melakukan refleksi pada apa yang mereka kerjakan melalui keseluruhan

struktur pembelajaran. Pendekatan pedagogi yang diperkirakan mendukung maksud

ini adalah silklus pembelajaran ACE, yaitu: aktivitas (activities), diskusi kelas

(class discussion), dan latihan (exercise).

4.1 Aktivitas

Kegiatan ini merupakan aktivitas siswa untuk memperoleh pengalaman yang

berhubungan dengan ide-ide matematis yang akan dipelajari dalam

pembelajaran.

4.2 Diskusi kelas

Diskusi kelas dilakukan secara berkelompok, siswa mengerjakan tugas-tugas

yang diberikan oleh guru. Keterlibatan guru dalam diskusi pada masing-masing

kelompok dimaksudkan untuk memberi kesempatan kepada siswa untuk

melakukan refleksi pada apa yang sudah mereka kerjakan dan pada tugas yang

sedang mereka kerjakan. Dalam diskusi kelas ini juga, guru memberikan

definisi, penjelasan, dan tinjauan untuk mengaitkan dengan apa-apa yang siswa

telah pikirkan (Asiala dalam Elda, 2013). Peran utama guru dalam diskusi kelas

adalah sebagai fasilitator/intervensi tidak langsung (Tall dalam Suryadi, 2012).

4.3 Latihan

Pada siklus ini, siswa diberikan latihan-latihan untuk dikerjakan secara

berkelompok, sebagian besar dari latihan-latihan ini diharapkan dikerjakan

diluar kegiatan kelas. Latihan-latihan ini bisa juga berupa pekerjaan rumah

tentang tugas yang sudah dipelajari. Maksud dari latihan-latihan ini adalah

untuk mengokohkan konsep-konsep matematika yang telah dikonstruksi,

10

menerapkan konsep-konsep yang sudah dipelajari, dan siswa mulai diajak

berpikir tentang hal-hal yang akan dipelajari pada pertemuan berikutnya

(Asiala dalam Elda, 2013).

D. Teori yang Mendukung Pendekatan APOS

Pendekatan APOS merupakan suatu pendekatan pembelajaran yang mengacu pada

konstruksi mental aksi, proses, objek dan skema. Pendekatan ini didukung oleh beberapa

teori yaitu; teori konstruktivisme Piaget dan teori konstruktivisme Vigotsky.

Menurut pandangan konstruktivisme, pengetahuan itu merupakan hasil dari

konstruksi mental, berupa suatu rumusan yang diciptakan oleh orang yang sedang

mempelajarinya. Pengetahuan itu diperoleh dengan mencocokkan informasi baru yang

diperoleh dengan informasi lama yang sudah diketahui. Pengetahuan yang diperoleh akan

baik apabila pengetahuan itu adalah konstruksi dari pemahaman kita sendiri. Belajar

merupakan kegiatan aktif untuk memperoleh suatu pengetahuan.

Menurut Piaget (dalam Mulyono, 2010), pengetahuan seseorang diperoleh melalui

abstraksi suatu objek atau hal. Piaget menyebutkan bahwa terdapat dua macam abstraksi,

yaitu: abstraksi sederhana dan abstraksi reflektif.

Abstraksi sederhana adalah refleksi yang didasarkan pada objek itu sendiri. Dalam

abstraksi ini, orang menemukan sifat-sifat objek itu sendiri secara langsung. Pengetahuan

tersebut merupakan abstraksi langsung atas objek itu. Inilah yang juga disebut

pengetahuan eksperimental atau empiris.

Abstraksi reflektif adalah abstraksi yang didasarkan pada koordinasi, relasi, operasi, dan

penggunaan yang tidak langsung keluar dari sifat-sifat dari objek itu sendiri, tetapi dari

tindakan terhadap objek itu. Inilah yang disebut abstraksi logis atau matematis.

Implikasi teori ini pada pendekatan APOS adalah abstraksi reflektif, dimana abstraksi

refleksif digunakan sebagai dasar oleh Dubinsky untuk menciptakan sebuah pendekatan

untuk mempelajari konsep matematika. Pendekatan APOS hadir sebagai cara untuk

memahami bagaimana abstraksi reflektif dalam pemikiran seseorang.

Menurut suryadi (2012) salah satu landasan yang digunakan dalam pendekatan

APOS adalah teori konstruktivisme dari Vigotsky. Vigotsky mengungkapkan bahwa

apabila siswa mengkonstruksi suatu konsep maka lingkungan sosial perlu diperhatikan.

Dua konsep yang digunakan dalam teori Vigotsky yaitu, ZPD dan scaffolding. ZPD (zone

of proximal development) merupakan sebuah daerah antara tingkat perkembangan

sesungguhnya atau kemampuan pemecahan masalah secara mandiri dan tingkat

11

alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1

perkembangan potensial atau kemampuan pemecahan masalah di bawah bimbingan orang

dewasa melalui kerjasama dengan sejawat yang lebih mampu. Scaffolding merupakan

pemberian sejumlah bantuan kepada peserta didik selama tahap-tahap awal pembelajaran,

kemudian mengurangi bantuan dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk

melakukan tanggungjawab yang semakin besar. Scaffolding merupakan bantuan yang

diberikan kepada siswa untuk memecahkan masalah.

Implikasi teori ini dalam pendekatan APOS yaitu penggunaan teori ZPD pada proses

pembentukan skema yang terjadi pada saat diskusi kelas. Pada saat diskusi kelas maka

siswa akan membutuhkan bantuan dari guru atau dari temannya yang lebih mampu untuk

menyelesaikan permasalahan yang diberikan. Selain itu pada saat diskusi kelas guru bisa

memberikan scaffolding untuk membantu siswa menyelesaikan permasalahan yang

muncul pada saat diskusi.

E. Materi Logaritma

Materi logaritma merupakan materi yang diajarkan pada jenjang SMA kelas X

semester 1. Logaritma adalah invers dari perpangkatan , yaitu mencari pangkat dari suatu

bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai

berikut:alog x = n x = an

dengan:

a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;

x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0

n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.

( alog x dibaca"logaritma x dengan basis a")

Dalam logaritma ada beberapa sifat yang sering digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan tentang logaritma, sifat-sifat tersebut yaitu:

a. Sifat 1Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:

b. Sifat 2Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:

12

Secara umum: Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an.

alog x + alog y = alog xy

alog x-alog y = alogxy

❑am

log xn = nm

a log x

alog x = ❑p log x❑p log a

= 1

❑x log a

a❑a ❑logx❑

= x

ana ❑log x❑

=xn

c. Sifat 3Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:

d. Sifat 4Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:

e. Sifat 5

Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:

f. Sifat 6Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:

g. Sifat 7Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:

h. Sifat 8Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

i. Sifat 9Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:

F. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran dengan Pendekatan APOS Dalam Materi

Logaritma

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat disusun rencana pembelajaran dengan

pendekatan APOS pada materi logaritma, sebagai berikut :

1. Kegiatan pendahuluan13

alog xn = n alog x

alog x · xlog y = alog y

a. Guru membuka pelajaran dengan mengucapkan salam.

b. Guru mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan

perlengkapan dan peralatan yang diperlukan (buku siswa dan alat tulis).

c. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya memahami tentang logaritma

dalam pembelajaran matematika.

d. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, siswa

diajak memecahkan masalah mengenai bagaimana mendapatkan nilai xdari

2x=5.

Siswa dapat menghitung nilai x (tahap aksi)

Siswa dapat menjelaskan secara lisan tentang cara yang digunakan untuk

menghitung nilai x (tahap proses)

e. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.

2. Kegiatan inti (penggunaan siklus ACE)

(Activity)

a. Guru membagi siswanya dalam kelompok-kelompok kecil.

b. Guru membagikan LKS kepada setiap kelompok.

(class discusion)

c. Guru memberikan waktu kepada setiap kelompok untuk menyelesaikan

permasalahan di LKS.

Siswa dapat menuliskan bentuk logaritma dari sebuah eksponen (tahap

aksi)

Siswa menghitung nilai logaritma (tahap aksi)

Siswa dapat membuktikan sifat-sifat logaritma (tahap proses)

Siswa dapat menghitung nilai logaritma dengan menggunakan sifat-sifat

logaritma (tahap proses)

Siswa dapat mensketsa grafik fungsi logaritma (tahap objek)

Siswa dapat menyelesaikan permasalahan tentang logaritma (tahap skema)

d. Guru meminta beberapa kelompok untuk mempresentasikan hasil kerjanya di

depan kelas.

Siswa mampu menjelaskan cara-cara membuktikan sifat-sifat logaritma

(tahap proses)

Siswa mampu menjelaskan cara-cara menghitung nilai logaritma dengan

menggunakan sifat-sifat logaritma (tahap objek)

14

e. Guru memberikan kesempatan kepada kelompok lain yang ingin bertanya atau

memberi tanggapan kepada kelompok yang presentasi.

(exercise)

f. Guru memberikan berapa latihan soal untuk mengetahui pemahaman siswa.

Siswa dapat menyelesaikan soal yang diberikan oleh guru (tahap skema)

3. Kegiatan penutup

a. Guru bersama siswa menyimpulkan tentang konsep logaritma, fungsi logaritma

dan sifat-sifat logaritma.

b. Guru memberikan tugas(PR) lima soal mengenai logaritma.

c. Guru menginformasikan kepada siswa tentang materi yang akan dibahas untuk

dipertemuan yang akan datang.

d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan salam.

15

PENUTUP

1. Teori APOS merupakan suatu teori konstrukstivis tentang bagaimana

kemungkinan berlangsungnya pencapaian atau pembelajaran suatu konsep atau

prinsip matematika. Teori APOS mengamsusikan bahwa pengetahuan

matematika yang dimiliki oleh seseorang merupakan hasil interaksi dengan orang

lain dan hasil konstruksi-konstruksi mental orang tersebut dalam memahami ide-

ide matematika. Konstruki-konstruksi mental tersebut adalah aksi (action), proses

(process), objek (object), dan skema (schema).

Pembelajaran dengan pendekatan APOS memiliki beberapa karakteristik, yaitu :

a. Pengetahuan dikonstruksi melalui konstruksi mental APOS

b. Menggunakan lembar kerja siswa

c. Siswa belajar dalam kelompok kecil

d. Menggunakan siklus ACE (activity, class discussion, exercise)

2. Teori yang mendukung pendekatan APOS dalam pembelajaran adalah teori

konstruktivisme oleh Piaget dan teori konstruksivisme oleh Vigotsky (teori ZPD

& scaffolding).

3. Untuk rencana pelaksanaan pembelajaran dengan pendekatan APOS dalam

pembelajaran matematika materi logaritma, diuraikan berikut ini :

Langkah

pembelajaran

Tahapan APOS Kegiatan Guru

Pendahuluan a. Guru membuka pelajaran dengan mengucapkan salam.

b. Guru mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan perlengkapan dan peralatan yang diperlukan (buku siswa dan alat tulis).

c. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya memahami tentang logaritma dalam pembelajaran matematika.

d. Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, siswa diajak memecahkan masalah mengenai bagaimana mendapatkan nilai xdari 2x=5.

Siswa dapat menghitung nilai x (tahap aksi)

Siswa dapat menjelaskan secara

16

lisan tentang cara yang digunakan untuk menghitung nilai x (tahap proses)

e. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.

Inti aktivitas (activities) a. Guru membagi siswanya dalam kelompok-kelompok kecil.

b. Guru membagikan LKS kepada setiap kelompok.

c. Guru meminta siswa untuk menyelesaikan permasalahan dalam LKS Siswa dapat menuliskan bentuk

logaritma dari sebuah eksponen (tahap aksi)

Siswa menghitung nilai logaritma (tahap aksi)

diskusi kelas

(class discussion)

a. Guru memberikan waktu kepada setiap kelompok untuk menyelesaikan permasalahan di LKS.

Siswa dapat membuktikan sifat-sifat logaritma (tahap proses)

Siswa dapat menghitung nilai logaritma dengan menggunakan sifat-sifat logaritma (tahap proses)

Siswa dapat mensketsa grafik fungsi logaritma (tahap objek)

Siswa dapat menyelesaikan permasalahan tentang logaritma (tahap skema)

b. Guru meminta beberapa kelompok untuk mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas.

Siswa mampu menjelaskan cara-cara membuktikan sifat-sifat logaritma (tahap proses)

Siswa mampu menjelaskan cara-cara menghitung nilai logaritma dengan menggunakan sifat-sifat logaritma (tahap objek)

c. Guru memberikan kesempatan kepada kelompok lain yang ingin bertanya atau memberi tanggapan kepada kelompok yang presentasi.

latihan (exercise) a. Guru memberikan berapa latihan soal untuk mengetahui pemahaman siswa.

Siswa dapat menyelesaikan soal yang diberikan oleh guru (tahap

17

skema)b. Guru memberikan tugas (PR) lima soal

mengenai logaritma.

Penutup a. Guru bersama siswa menyimpulkan tentang konsep logaritma, fungsi logaritma dan sifat-sifat logaritma.

b. Guru memberikan tugas(PR) lima soal mengenai logaritma.

c. Guru menginformasikan kepada siswa tentang materi yang akan dibahas untuk dipertemuan yang akan datang.

d. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan salam.

18

DAFTAR PUSTAKA

Arnawa, M. 2006. Meningkatkan Kemampuan pembuktian Mahasiswa dalam Aljabar

Abstrak melalui pembelajaran berdasarkan teori APOS, (online)

(http://jurnalwidyatech.files.wordpress.com/2012/10/artikel-april9-2012.pdf, diakses

pada 4 november 2014 )

Dimyanti dan Mudjiono. 2006. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Rineka Cipta

Dubinsky, E. And M. McDonald, APOS: A Constructivist Theory of Learning, in

Undergraduates Mathematics Education Research, in Holton, D. (Eds.), 2000, The

Teaching and Learning of Mathematics at University Level, Kluwer Academic

Publisher, Dordrecth, 275-282.

Herlina, Elda. 2013. Meningkatkan Disposisi Berfikir Kreatif Matematis Melalui Pendekatan

APOS, (online) (http://download.portalgaruda.org/article.php?

article=133718&val=5628 , diakses pada 4 November 2014)

Nurhayati, dkk. 2013. Peningkatan Keaktifan Belajar Siswa Kelas XI SMK Nurussalaf

Kemiri dengan Model Pembelajaran M-APOS, (online)

(http://ejournal.umpwr.ac.id/index.php/ekuivalen/article/view/1062/1007 , diakses

pada 4 November 2014)

Sagala, S. 2003. Konsep dan Makna Pembelajaran. Bandung: Alfabeta.

Suherman, Erman, dkk. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung:

Jica.

Suryadi, D. 2012. Membangun Budaya Baru dalam Berfikir Matematika. Bandung: Rizqi

Press

Weyer, Sarah R. 2010. APOS Theory as a Conceptualization for Understanding

Mathematical Learning. Jurnal Pendidikan Matematika. [Online].

(http://www.ripon.edu/academics/macs/summation/2010/articles/S.%20Weyer%20-

%20APOS%20Theory.pdf , diakses tanggal 21 November 2014)

Widada, Wahyu. 2003. Struktur Representasi Pengetahuan Mahasiswa Tantang

Permasalahan Grafik Fungsi dan Kekonvergenan Deret Tak Hingga pada Kalkulus.

Disertasi . Tidak Dipublikasikan. Surabaya: Universitas Negeri Surabaya