Upload
kutlu-merih
View
90
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Türev Fiyatlaması ve Difuzyon Matematiği
Türev Fiyatlamaları Stokastik Süreç olarak bilinen matematik teknikleri gerektirir. Stokastik süreçler dinamik
rastgeleliğin matematik modelidir.
Myron Scholes (Matematikçi)ve Fischer Black (Fizikçi)
Black-Scholes Matematiğine Giriş
Sunumda John C. HULL tarafından geliştirilen yaklaşım ve teknoloji kullanılmıştır.
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
)( 1dSNC )( 2dNKe RT
Cash Inflow Cash Outflow
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Notasyonlar
C Call Opsiyonun Fiyatı ya da Pirmi
P Put Opsiyonun Fiyatı ya da Primi
S Opsiyona Dayanak Oluşturan Varlığın Spot Fiyatı
X Opsiyonun Anlaşma Fiyatı
r Yerli Para Risksiz Faiz Oranı
R Yabancı Para Risksiz Faiz Oranı
σ Dayanak Varlığın Volatilitesi
T Opsiyonun Vade Tarihi
t Opsiyonun Hesaplanma Tarihi (Başlangıç Tarihi)
N(X) Normal Dağılım Fonksiyonu
d1 Kümülative Distribution function
d2 Kümülative Distribution function
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Arka Plan:
Türev Güvencesi:
Örnek: Avrupa Call Opsiyonu.
Burada opsiyon sahibinin belirli bir tarihte (the maturity date).Belirlenmiş bir fiyat K dan (the maturity date) bir finansal varlığı satın alma hakkı olması fakat yükümlülüğü olmaması.
Bir türev (veya türev güvencesi) değeri diğer bir daha temel dayanak aktife bağlı olan bir finansal araçtır. ([Hull, 1999]).
Arbitraj:
Yatırım gerektirmeyen risksiz bir kazanç olanağı (Bedava yemek - A free lunch)
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Geçerli Varsayımlar
•İşlem maliyetleri (transaction costs) yok. Pazarlar sürtüşmesiz (frictionless)
•İşlemler sürekli olarak gerçekleştirilebilir.
•Açığa satış engeli yok.
•Risksiz faiz oranı borç alma ve verme için aynı.
•Aktifler mükemmel olarak bölünebilir.
Bunlar “standart varsayımlarımız” olacak.
Bunlardan sapılması gerektiğinde durum özellikle belirtilecek. Aksi halde bunlar hep geçerli sayılacak.
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Türevsel Aktifler için Formül Geliştirmek
Üç adımlı bir yaklaşım uygulayacağız
(1) Ticari türevlerin getirisi için dinamikfaktör modelleri oluştur. (genellikle Ito’nun lemması uygulanır)
(2) Arbitraj durumu yok.
(3) Sınır koşullarını uygula ve çöz.
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Ön Tanımlar:
Varlıkların Dinamikleri:
Tahvil: rBdtdB
Senet: SdzSdtdS
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
2
4
6
8
10
12
14
Tahvil:-Deterministik-Exponential Büyür-Sürekli bileşik faiz
rtt eBB 0
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Ön Tanımlar:
Varlıklar:
Tahvil: rBdtdB
Senet: SdzSdtdS
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
Senet:-Geometrik Brown Hareketi-Log-Normal Dağılım-Daima Pozitif Değer Alır
tztt eSS )(
0
221
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Geometrik model gerçekçi değil ama çözülebilir
Grafikten geometrik Brown Hareketinin Gerçekte neden uygun olmadığı görülebiliyor.
Diferansiyel S ile orantılı Olduğundan S ile birlikte volatilite de büyüyor veya küçülüyor.
Bu gerçekçi değil ama elegant bir analitik çözüme olanak sağlıyor
Doç. Dr. Kutlu MERİH
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Ön Tanımlar:
Şimdi c fiyatı St ve t değerlerine bağlı olan bir türev olsun.
Bunun tanımı: ),( tSc t
Varlıklar:
Tahvil: rBdtdB
Senet: SdzSdtdS
Ito’nun lemması ile:
dzScdtcSSccdc SSSSt )( 2221
Burada cx gösterimi c fiyatının x değişkenine göre kısmi türevleridir.
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Şimdi 3 fiyat süreci modellensin:
Tahvil:rBdtdB Senet:SdzSdtdS
dzScdtcSSccdc SSSSt )( 2221 Türev:
Black-Scholes Kabulleri :
İki aktiften oluşan bir portföyümüz olsun ve bu üçüncüyü tamamen yansıtsın.
Bu portföy üçüncü ile aynı fiyata sahip olmalıdır.
Portföy için herhangi iki aktifi seçebiliriz. Bir senet ve türev seçelim ve bunları tahvil ile dengeleyelim.
Senedin değeri Geometrik Brown hareketine uygun olarak Log-normal dağılsın
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Tahvil:rBdtdB Senet:SdzSdtdS
dzScdtcSSccdc SSSSt )( 2221 Türev:
Portföyümüzde pay senet ve pay türev olsun.
ttttt cSP
Şimdi 3 fiyat süreci modellensin:
Bir tahvil yaratmak için and öyle seçilmelidir ki, portföyümüz risksiz olsun. (yani. dP içinde dz terimi olmasın).
Volatilite yok
Portföy risksiz olacağı için tahvil ile aynı oranda getiri sağlamalıdır. Buna göre
dP=rPdt olmalıdır. (Aksi halde küçük getirili üzerinde arbitraj yaparakYüksek getirili satın alırız ve para koymadan para kazanırız.
Şimdi bu hesapları gerçekleştirelim
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
TahvilrBdtdB Senet:SdzSdtdS
dzScdtcSSccdc SSSSt )( 2221 Türev:
Portföyümüz pay senet ve pay türevden oluşuyor.
dP yi hesaplamak için, Ito’nun lemmasından yararlanabiliriz:
......)()( cddcSddScdSddP
Ayrıca portföyümüzün kendi kendine finanslanmasını da istiyoruz. Bunu da hesaba katalım.
Şimdi 3 fiyat süreci modellensin:
İlk yapacağımız şey, dP değerini hesaplamak ve ve değerlerini dz teriminiElimine edecek şekilde bulmaktır.
Volatilite yok
ttttt cSP
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Senetten t pay ve Türevdent pay aldınız
dt donemi
Bakalım bir portföy nasıl çalışır?
Portfoyünüzün değeri
ttttt cSP
Şimdi portfoyün değeri
dtttdtttdtt cSP
İsterseniz portföyü yeniden dengeleyebilirsiniz.Şayet yeni para koymaz veya çekmez iseniz
dttdttdttdtt
dtttdtttdtt
cS
cSP
)( ttttdtttdttttdttt cScSPPdP
)()( tdttttdttt ccSS
tttt dcdS
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Şimdi 3 fiyat süreci modellensin:
Tahvil:rBdtdB Senet:SdzSdtdS
dzScdtcSSccdc SSSSt )( 2221 Türev:
dP denklemi oto-finans kısıtı (self-financing constraint) olarak bilinir.
Portföye para eklenemedciği veya çekilmediği sürece verilen dinamikler geçerli olacaktır.
Portföyümüz pay senet ve pay türevden oluşuyor.
cSP dcdSdP
Buna göre dP:
Volatilite yok
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Tahvil:rBdtdB Senet:SdzSdtdS Türev:
+
dzScSdtcSSccSdP SSSSt )())(( 2221
Volatilite yok
dzScdtcSSccdc SSSSt )( 2221
0 SScS
Şimdi 3 fiyat süreci modellensin:
cSP dcdSdP
Diferansiyel bağıntılar:
Şimdi biraz aritmetik ile dP değerini hesaplayalım.
Portföyün riskten bağımsız yapmak için dz stokastik terimini elimine edelim
ScDenkleme yerleştirelim
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Tahvil:rBdtdB Senet:SdzSdtdS Türev:
+
Volatilite yok
dzScdtcSSccdc SSSSt )( 2221
dtcScdP SSt )( 2221 Volatilite kalmadı
rPdt Tahvil ile aynı olmalı
dtcSr )( Yerine koy cSP
ScdtSccr S )( Yerine koy
)( 2221
SSt cSc )( Sccr S
rccSrScc SSSt 2221 Ve işte Black-Scholes Equation Dif. Denklemi
Şimdi 3 fiyat süreci modellensin:
Denklemdeki terimleri normal sırasına koy
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Bu hangi türden türev olsun?
Şayet Avrupa call opsiyonu ise ve strike K ve maturity T ise:
Şayet Avrupa put opsiyonu ise ve strike K ve maturity T ise:
Genel olarak ne türden türev olduklarını hudut şartları tayin eder.
)(),( KSTScHudut şartıdır.
0),0( tc
)(),( SKTScHudut şartıdır.
0),( tc
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Black-Scholes Denklemi (Avrupa Call Opsiyonu İçin)
Çözüm (Verilen hudut şartlarına göre) :
)()(),( 2)(
1 dNKedSNtSc tTr
tT
tTrKSd
))(()/ln( 221
1
tTdd 12
Burada;
)(N standard Normal dağılımı (yani. N(0,1)) gösterir.
Çözümlerin elde edilmesi rutin fakat karmaşık bir entegrasyon işlemi gerektiriyor.(Bu işlemler matematiğe meraklı olanlar için ekte verilmektedir.)
rccSrScc SSSt 2221
)(),( KSTSc 0),0( tc
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Genel Olarak:
Avrupa Alış (Calls) ve Satışları (Puts)
rccSrScc SSSt 2221
)(),( KSTSc 0),0( tc
rppSrSpp SSSt 2221 )(),( SKTSp )(),0( tTrKetp
Çözüm:
)()(),( 2)(
1 dNKedSNtSc tTr
tT
tTrKSd
))(()/ln( 221
1
tTdd 12
Burada:
)(N Standard Normal dağılımı ( N(0,1) ) gösterir.
)()(),( 12)( dSNdNKetSp tTr
Bu formüller Black-Scholes analizinin temelini oluştururMutlaka ezberlenilmelidir.
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
)()(),( 2)(
1 dNKedSNtSc tTr )()(),( 12)( dSNdNKetSp tTr
Bu bağıntıları hareketin bir geometric Brown hareketi olduğu varsayımı ile elde ettik. Fakat bu denklemler ortalama getiriyi yansıtmazlar..
Dayanak aktifler;
SdzdttSdS ),( 0),0( tand
Genel olarak:
Avrupa Alış (Calls) ve Satışları (Puts)
Şeklinde zamanla değişen ortlama getiri şeklinde verilse dahi Black-Scholes formülasyonu geçerlidir.
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 1250
5
10
15
20
25
75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 1250
5
10
15
20
25
30
S S
c p
Call fiyatı Put fiyatı
)25.0%,20%,5,100( TrK
Avrupa Alış (Calls) ve Satışları (Puts)
)()(),( 2)(
1 dNKedSNtSc tTr )()(),( 12)( dSNdNKetSp tTr
Genel olarak:
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Black-Scholes çözümünün diğer özellikleri:
-Çözüm senedin ortalama getirisine (bağlı değildir.
Bu özellikleri ilerde daha kapsamlı inceleyeceğiz...
]|),([),( )(tT
tTrt STScEetSc
SdzrSdtdS
Çözümü aşağıdaki gibi de yazabiliriz:
Burada;
Risk Nötral Fiyatlama.
Risk nötral faiz oranına bağlı. Senedin gerçek dinamikleri değil!
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Amerikan Alış (Calls) ve Satış (Puts) Opsiyonları:Burada opsiyonu süresinden önce işleme koymak söz konusudur.
Buna göre aşağıdaki koşullara göre opsiyon geçerli tutulur:
)0,max(),( KStSc Call için
)0,max(),( SKtSp Put için
Temettü ödemeyen bir aktife bağlı bir Amerikan call opsiyonun hiçbir zaman optimal olmayacağı ve Avrupa call ile aynı değeri alacağı gösterilebilir.
Buna karşılık bir put erken işlemde optimal olabilir.
Genel olarak Amerikan opsiyonların çözümü için nümerik teknikler gerekecektir. Verilen sınır koşulları sorun çıkartabilir.
Genel Olarak:
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Terminoloji:
Avrupa ve Amerika alış (call) ve satış (put) genellikle plain vanilla opsiyonları Olarak adlandırılır.
Diğer türevler ise exotikler olarak bilinirler. Bunlara “exotik” denmesi zor oldukları anlamına gelmez. Bunlar sadece Black-Scholes denklemleri için farklı sınır şartlarına sahiptirler.
Bunların sayısı (oldukça) fazladır:Binary veya digital opsiyonlarBariyer opsiyonlarıBileşik opsiyonlarseçmeli opsiyonlar v.s....
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Bu sunum temel Black-Scholes modeli için ilk yaklaşım idi.
Eğitim programında bu modelin arkasında yatan temel Matematik teknikler ve bunlardan kaynaklanan alternatif
Modeller daha yakından ve kapsamlı incelenecektir..
Bu modeller temel bir matematik-istatistik bilgisinin yanındaKısmi diferansiyel/diferans denklemleri konusunda da yeterli
Bir bilgi düzeyi gerektirmektedir.
DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
SC
Rho Changes in the risk-free borrowing rate
Theta Decay of time to maturity
Vega Changes in volatility of share values
Gamma: orChanges in delta(convexity)
Delta: orChanges in the value of underlying shares
Greek orFormulaRisk Factor
2SC
C
TC
rC