Funzioni di ammettenza aerodinamica degli edifici tramite integrazione quasi Monte Carlo

Funzioni di ammettenza

aerodinamica degli edifici tramite

integrazione quasi Monte Carlo

Proposta di un nuovo modello matematico per le AAFs

Francesco Parisi

1 24 Maggio 2011

24 Maggio 2011 Francesco Parisi 2

L'AAF è una grandezza adimensionale, funzione della frequenza che agisce come un modulo di trasferimento che converte le velocità del vento in carichi per la struttura → dalle fluttuazioni turbolente alle forze aerodinamiche.

Modello di Davenport

Definizione di ammettenza aerodinamica

D͠(t)

(carico

per la str)

u ͠(t)

(turbolenza)

χ2(f)

(ammettenza

aerodinamica)

|H(f)|2

(ammettenza

meccanica)

x ͠(t)

(risposta

della str)


𝜒𝑆2 𝜑 =

1

𝑈𝑟𝑒𝑓2 𝐵2𝐻2

𝑈 𝑧1 𝑈 𝑧2

𝐻

0

𝐶𝑝 𝑦1, 𝑧1 𝐶𝑝 𝑦2, 𝑧2

𝐵

0

× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2

𝐵

0

𝑑𝑧1 𝑑𝑧2

𝐻

0

Calcolo delle AAFs

Pro

filo

del

le v

elo

cità

med

ie

𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 = 𝑒−2𝜑

𝐶𝑦2× 𝑦1−𝑦2

2+𝐶𝑧2× 𝑧1−𝑧2

2

𝑈 𝑧1 +𝑈 𝑧2

Correlazione spaziale della turbolenza (cioè coerenza) La turbolenza è omogenea ma anisotropa

Dimensioni della facciata su cui incide il vento e coefficienti di

pressione

𝑈 𝑧1 =𝑢∗𝜅𝑙𝑛

𝑧1𝑧0

𝑈 𝑧2 =𝑢∗𝜅𝑙𝑛

𝑧2𝑧0

𝐶𝑦 = 16, 𝐶𝑧 = 10

(Simiu & Scanlan 1996)


Presentazione generale del metodo Monte Carlo #1/2

Perché usare un metodo statistico?

𝑓 𝒙0,1 𝑑

𝑑𝒙 ≈1

𝑛𝑑 … 𝑓 𝑥𝑖1 , … , 𝑥𝑖𝑑 =

𝑛

𝑖𝑑=1

𝑛

𝑖1=1

𝑆𝑛 𝑓

𝑓 ∶ 𝐼 ⊆ 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 Ǝ𝐾 ∈ 𝑅: 𝑓 𝒙1 − 𝑓 𝒙2 ≤ 𝐾 𝒙1 − 𝒙2 ∀ 𝒙1, 𝒙2 ∈ 𝐼

𝜖 = 𝑓 𝒙0,1 𝑑

𝑑𝒙 − 𝑆𝑛 𝑓 ≈𝐾

𝑛𝑑

d K ε n

1 1 0,01 100

2 1 0,01 1002=104

4 1 0,01 1004=108

d K n ε

1 1 106 10-6

2 1 106 10-6/2=10-3

4 1 106 10-6/4≈0,032

Fissando l’errore ε=0,01 all’aumentare delle

dimensioni il numero dei punti necessario a riempire

l’ipercubo cresce esponenzialmente

Fissando il numero dei punti ad n=106

all’aumentare delle dimensioni l’errore commesso cresce esponenzialmente

Curse of dimensionality (Bellman, 1957). Come alternativa, l’integrale può essere stimato tramite il valore atteso della funzione f valutato considerando la variabile indipendente x come una variabile aleatoria X=(X1,…,Xd):

𝑓 𝒙0,1 𝑑

𝑑𝑥 = 𝐸 𝑓 𝑿 ≈1

𝑛 𝑓 𝑿𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑐𝑜𝑛 𝑛 → ∞

Perché la precisione dei metodi deterministici degrada esponenzialmente all’aumentare delle dimensioni del problema

𝑓 𝒙0,1 𝑑

𝑑 𝒙 −1

𝑛 𝑓 𝑿𝑖

𝑛

𝑖=1

≈𝐶

𝑛

dove C è una variabile aleatoria gaussiana avente media nulla e varianza pari a:

2

= 𝐸 𝑓 𝑿 − 𝐸 𝑓 𝑿2


Presentazione generale del metodo Monte Carlo #2/2

Quali numeri casuali?

I generatori di numeri pseudo casuali devono simulare efficacemente un processo aleatorio. Per questa ragione la bontà dei PRNGs è assicurata dal superamento di una serie di test statistici di aleatorietà. Lo scopo delle sequenze di numeri quasi - casuali non è approssimare la reale aleatorietà. L'obbiettivo delle sequenze quasi - aleatorie consiste nel riempire nel modo più uniforme possibile lo spazio di un ipercubo unitario.

Ecco una «buona» distribuzione,

uniforme e con pochi vuoti

Ecco una distribuzione meno buona, i punti sono distribuiti in modo poco omogeneo e ci sono parecchi vuoti

Mersenne Twister PRNG

Sobol set QRNG


Primi test

E’ stato effettuato un confronto operativo fra i vari metodi di integrazione, i migliori risultati sono stati ottenuti applicando il metodo Quasi Monte Carlo, cioè con il generatore di numeri quasi random Halton set. Il test è stato effettuato per B=60 mt, H=120 mt, z0=0,05 m, U10=9,063 m/s.

𝑈 𝑧 =𝑢∗𝜅𝑙𝑛

𝑧

𝑧0 𝑈 𝑧 = 𝑈 𝑧𝑟𝑒𝑓 ×

𝑧

𝑧𝑟𝑒𝑓

𝛼


Presentazione del modello matematico #1/9 - Il fattore di scala K

𝜒 𝜑 =𝑝1𝜑 + 𝑝2

𝜑2 + 𝑞1𝜑 + 𝑞2 𝐾 =

𝑈𝑟𝑒𝑓

𝐵𝐻, 𝐾 = 𝑇−1 → 𝜒 𝜑 =

𝑎𝐾𝜑 + 𝑏𝐾2

𝜑2 + 𝑐𝐾𝜑 + 𝑑𝐾2

𝑎𝐾𝜑 + 𝑏𝐾2

𝜑2 + 𝑐𝐾𝜑 + 𝑑𝐾2=𝑇−2

𝑇−2= 1

Modello matematico dell’AAF.

Variabili esogene – dati da fornire in INPUT al modello – velocità del vento in testa all’edificio Uref e dimensioni della

facciata rettangolare su cui incide il vento B ed H, fattore di scala K.

Variabili endogene – dati forniti in OUTPUT dal modello – fattori di

forma: a, b, c e d, valori di χ(φ).

𝜒 𝜑 =𝑎𝐾𝜑 + 𝑏𝐾2

𝜑2+ 𝑐𝐾𝜑 +𝑑𝐾2 =𝐾2 𝑎𝜑

𝐾 + 𝑏

𝐾2(𝜑2

𝐾2+𝑐𝜑

𝐾 +𝑑)

=𝑎Φ + 𝑏

Φ2+𝑐Φ +𝑑

Φ =𝜑

𝐾=𝜑 × 𝐵𝐻

𝑈𝑟𝑒𝑓⇒

Φ =[𝐿]

𝑇×

𝑇

𝐿= 1


Presentazione del modello matematico #2/9 – fattori di forma

Questo approccio aveva senza dubbio un certo fascino, si sono infatti proiettati i piani a=f(z0,√(BH)) sul piano √(BH) – a ottenendo, delle proiezioni che somigliano a delle rette, si è allora seguita la seguente logica: “se i piani a=f(z0,√(BH)) formano effettivamente un fascio proprio nello spazio a- z0 - √(BH), le loro proiezioni su z0 – a sono delle rette tutte convergenti in un punto e formano un fascio di rette”.

𝛽 =1

12 1

6 1

5 1

4 1

3 2

5 4

5 1

2 2

31

14

10 17

10 2 → 𝑁𝛽 = 13;

per le altezze H delle facciate si è imposta una discretizzazione a 5 mt: 𝑁𝐻 =

200 − 10

5+ 1 = 39

Per la velocità del vento, si sono usati NU10=3 valori: 𝑈10 = [10 20 30]; le altezze di rugosità z0 sono Nz0=5:

𝑧0 = [0,01 0,05 0,3 0,7 1]. 𝑇𝑜𝑡𝐴𝐴𝐹 = 𝑁𝛽 × 𝑁𝐻 × 𝑁𝑈10 × 𝑁𝑧0 = 13 × 39 × 3 × 5 = 7605

considerando però: B ≥ 5mt ∧ H ≥ zmin,: 𝑇𝑜𝑡𝐴𝐴𝐹 = 7159 ≡ 119,37ℎ𝑟 ⇒119,317

13≈ 9,18ℎ𝑟!

𝑎 = 𝑓 𝑧0, 𝐵𝐻 ; 𝑏 = 𝑓 𝑧0, 𝐵𝐻 ; 𝑐 = 𝑓 𝑧0, 𝐵𝐻 ; 𝑑 = 𝑓 𝑧0, 𝐵𝐻

Tali funzioni sono state ricavate interpolando punti di coordinate (fatt. forma ,z0, √(BH)), a tal fine è stata effettuata una ricerca sistematica ove:


Presentazione del modello matematico #3/9

Data la situazione si è deciso di concentrare l’attenzione sui coefficienti p, q, s e t dell’equazione del piano:

𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑠𝑧 + 𝑡 = 0

che nella fattispecie assume la seguente forma:

𝑎(𝑧0, 𝐵𝐻) = 𝑝 × 𝑧0 + 𝑞 × 𝐵𝐻 + 𝑡

𝑏(𝑧0, 𝐵𝐻) = 𝑝 × 𝑧0 + 𝑞 × 𝐵𝐻 + 𝑡

𝑐(𝑧0, 𝐵𝐻) = 𝑝 × 𝑧0 + 𝑞 × 𝐵𝐻 + 𝑡

𝑑(𝑧0, 𝐵𝐻) = 𝑝 × 𝑧0 + 𝑞 × 𝐵𝐻 + 𝑡

a questo punto è legittimo chiedersi: ”esiste una relazione che lega i coefficienti del piano a(z0,√(BH)) a β?” la risposta a questa domanda è si.


Presentazione del modello matematico #4/9 - implementazione

Per rendere più chiari i passaggi si riporta di seguito un Flowchart che è peraltro la versione completa del precedente Flowchart riportato alla #1/9. Validazione del modello e stress test Ogni modello matematico dopo essere stato definito e valutato deve essere sottoposto a verifica ed a validazione. La validazione, in generale, deve essere condotta confrontando le previsioni del modello con una serie di risultati sperimentali, se tali risultati sono in accordo con le previsioni il modello va bene, altrimenti deve essere modificato. Nella fattispecie, non avendo a disposizione una galleria del vento, si è pensato di confrontare le previsioni del modello matematico dell’AAF del BSM, con la relazione empirica proposta in (Vickery, 1966). Tale relazione è infatti basata sul fitting di dati sperimentali, il modello matematico qui proposto si basa sul fitting di migliaia di curve AAF ottenute tramite integrazioni QMC-HS. Quindi se i due modelli, basati su presupposti molto diversi, forniscono previsioni molto simili gli obbiettivi di questa tesi possono considerarsi raggiunti.


Presentazione del modello matematico #5/9 - AAF del taglio alla base (Vickery, 1966)

𝜒 𝜑 =1

1 +2𝜑 𝐴𝑈𝑟𝑒𝑓

43

Esiste in letteratura una relazione empirica basata su risultati sperimentali ottenuti da Vickery e Davenport su oggetti aventi le seguenti caratteristiche: • 7 piastre quadrate o rettangolari ove β=B/H=*1/4 1/3 1/2 2/3 1]; • 2 prismi a base quadrata 8’’×8’’×2’’ (β=1/4) e 8’’×8’’×4’’ (β=1/2); • 1 disco circolare avente diametro D=12’’. Come si può notare le geometrie utilizzate non sono particolarmente snelle, sono inoltre presenti le curve teoriche ottenute da Davenport per piastre con β=1 e β=1/4, la maggior parte dei punti si riferisce comunque a geometrie ove β=1. Altre espressioni.


Presentazione del modello matematico #6/9 – le previsioni corrispondenti

β=1, B=H=120 mt, U10=20 m/s, z0=0,7mt, u*=2,81 m/s, Ur=36,21 m/s;

β=0,9, B=135 mt, H=150 mt, U10=16 m/s, z0=0,3 mt, u*=1,82 m/s, Ur=28,36 m/s; β=2/5=0,4, B=40 mt, H=100 mt, U10=18 m/s, z0=0,7 mt, u*=2,53 m/s, Ur=31,43 m/s;

Per valori di β=1 e β=1/2 (e per valori prossimi ad 1 e ad ½) le differenze fra i modelli sono esigue, le differenze maggiori sono comunque dell’ordine di 10-2 ÷10-3.

β=1/2, B=60 mt, H=120 mt, U10=18 m/s, z0=0,05 mt, u*=1,36 s/s, Ur=26,44 m/s:


Presentazione del modello matematico #7/9 – gli andamenti differenti

β=1/4, B=25 mt, H=100 mt, U10=25 m/s, z0=0.3 mt, u*=2,85 m/s, Ur=41,42 m/s;

β=1/3, B=30 mt, H=90 mt, U10=25 m/s, z0=0,7 mt, u*=3,52 m/s, Ur=42,73 m/s;

β=1/6, B=20 mt, H=120 mt, U10=28 m/s, z0=0,7 mt, u*=3,94 m/s, Ur=50,7 m/s;

β=1, B=H=200 mt, U10=30 m/s, z0=1mt, u*=4,33 m/s, Ur=57,33 m/s;


Presentazione del modello matematico #8/9 – le altre AAFs

Per ciò che concerne le AAFs del momento ribaltante alla base, del momento torcente alla base e delle forze modali si era pensato di elaborare dei modelli matematici in modo analogo a quanto fatto per l’AAF del taglio alla base, non disponendo però di dati o modelli sperimentali con cui poter effettuare una validazione/comparazione si è preferito non approfondire la questione. Quel che ad oggi comunque si può dire è che per quanto riguarda l’AAF del momento ribaltante alla base e delle forze modali un modello basato su un’interpolante di questo tipo:

𝜒 𝜑 =𝑎𝐾𝜑 + 𝑏𝐾2

𝜑2 + 𝑐𝐾𝜑 + 𝑑𝐾2

sarebbe adatto a descrivere gli andamenti delle corrispondenti curve ricavate col QMC-HS, mentre per l’AAF del momento torcente alla base sarebbe necessario usare un’interpolante di complessità appena superiore:

𝜒 𝜑 =𝑎𝜑2 + 𝑏𝐾𝜑 + 𝑐𝐾2

𝜑2 + 𝑑𝐾𝜑 + 𝑒𝐾2

B=30 mt, H=120 mt, U10=11,75 m/s, z0=0,3 mt, u*=1,34 m/s, Ur=20,07 m/s


Presentazione del modello matematico #9/9 – Conclusioni

Conclusioni e possibili miglioramenti del BSM La proprietà dei piani che esprimono i fattori di forma a disporsi su un fascio deve essere meglio indagata. E cioè piani relativi a valori di β prossimi fra loro formano effettivamente un fascio di piani? 7159 AAFs sono numero veramente elevato di curve, ciononostante per rispondere a questa domanda, questo numero dovrebbe essere incrementato. Al fine di aumentare in modo significativo il numero delle osservazioni:

• incrementare il numero dei parametri β da impiegare nella ricerca

sistematica specialmente per valori superiori all’unità;

• infittire la discretizzazione delle altezze H passando da 5 mt ad 1mt;

• prestare particolare attenzione a quei valori di β (1/12, 2/3 e 4/5) ove è stato necessario usare equazioni non lineari per esprimere i fattori forma.

Per fare tutto ciò in tempi ragionevoli ritengo che si dovrebbe ricorrere al calcolo parallelo.


Applicazione del modello ad un caso di progettazione – Volete che ve ne parli?


Progettazione di un edificio in acciaio con controventi eccentrici (EBF) #1/9

I modi di vibrazione degli edifici alti hanno frequenze tali che essi temono molto di più l’eccitazione dinamica dovuta al vento che quella dovuta al sisma, per esempio un edificio molto rigido con un modo di vibrazione avente un periodo pari a T=0,5 s (φ=2Hz) sarà solo leggermente influenzato dal carico da vento, ma l’effetto di un terremoto su un edificio di questo genere può essere molto significativo. D’altra parte, un edificio alto e flessibile, con un modo di vibrazione avente un periodo pari a T=5 s (φ=0,2Hz), non dovrebbe avere particolari problemi nel sostenere l’azione trasmessa dai terremoti di moderata intensità, gli effetti più significativi sono legati, in questo caso, all’azione da vento.

I pesi propri sono il carico più importante per un edificio. Tuttavia, se si considera un edificio alto, esso deve avere un’adeguata resistenza e rigidezza per resistere ai carichi verticali dovuti all’azione del vento ed ai terremoti moderati. Più l’altezza di un edificio è elevata maggiore sarà la richiesta di rigidezza (e non di resistenza delle singole membrature) per controllare la deflessione. Edifici con più di 10 piani, progettati per resistere ai carichi dovuti alla gravità, possono resistere ai carichi laterali senza alcun incremento di dimensione delle membrature. Oltre i 10 piani, la quantità di materiale addizionale richiesta per resistere ai carichi laterali cresce non linearmente.

Telai controventati eccentricamente (EBF) In un telaio controventato eccentricamente, l’asse del controvento è eccentrico rispetto al collegamento tra le colonne. Il segmento corto di trave tra i collegamenti trave-controvento o tra i collegamenti trave-colonna è chiamato active link. La forza assiale nel controvento è trasmessa alla colonna attraverso il taglio e la flessione nel link. Durante terremoti di intensità severa questo link si snerva a taglio per dissipare energia e prevenire l’instabilità del controvento. Per cui per i sistemi EBF, ogni controvento è connesso all’altro almeno tramite un link che serve a prevenire grandi spostamenti e l’instabilità del controvento. Un ulteriore vantaggio rispetto agli altri sistemi controventati consiste inoltre nel fatto che gli EBF possono accogliere finestre e porte con minori interferenze.



La struttura oggetto del presente studio, è un edificio a di 30 piani destinato ad uffici, localizzato presso il Comune di Nola (NA) alle coordinate φ = 40° 56' 39.985'' e λ = 14°29' 04.665'' secondo il sistema di coordinate geografico WGS 84 e ad un'altezza s.l.m. pari ad h = 28 mt. La pianta dell'edificio è costituita da due elementi rettangolari B1 = 40 mt, D1 = 30 mt, B2 = 20 mt , D2=10 mt, l'altezza complessiva dell'edificio è pari ad H = 120 mt. L'altezza del piano tipo è pari a 4 mt, la copertura è piana ed è praticabile.



Modi di vibrazione della struttura Con grande soddisfazione di chi scrive, la modellazione della struttura effettuata con il software FEM Straus7 è stata così realistica da riuscire a rispecchiare i primi due modi di vibrazione proposti dalla norma con un'approssimazione di qualche centesimo o addirittura millesimo di Hz, e gli ultimi due modi con un'approssimazione di qualche decimo di Hz. Il modello FEM è stato inoltre in grado di cogliere il modo di vibrazione torsionale φm proposto dalla norme con un approssimazione di qualche millesimo. Infatti il CNR DT 207/2008, propongono alcune formule per calcolare le frequenze di oscillazione degli edifici in acciaio, ad esempio la frequenza naturale del primo modo flessionale diminuisce all'aumentare dell'altezza H dell'edificio e può essere approssimata con la seguente relazione valida per edifici in acciaio.

𝜑1 =1

0,024𝐻; 𝜑2 = 3,05 × 𝜑1; 𝜑3 = 5,46 × 𝜑1; 𝜑4 = 7,69 × 𝜑1; 𝜑𝑚 = 1,35 × 𝜑1

Mode Frequency Modal Mass PF-X PF-Z PF-Y

(Hz) (Engineering) (%) (%) (%)

→ 1 0,334945768 1768000 0,209 0 57,539

→ 2 0,366655851 1635000 57,82 0 0,219

→ 3 0,524900237 610200 0,484 0 0,018

→ 4 1,09266198 2220000 0,001 0 25,275

→ 5 1,17792935 2332000 24,777 0 0

6 1,64596065 814800 0,156 0 0,058

→ 7 2,17222123 2281000 0,006 0 8,465

→ 8 2,33190941 2580000 8,27 0 0,009

9 3,24671058 799300 0,034 0 0,003

→ 10 3,3857816 1866000 0,008 0 3,204

→ 11 3,6393636 2659000 3,096 0 0,006

12 4,59724372 3082000 0,003 0 1,676

13 4,96324219 3242000 1,615 0 0,011

14 5,04630595 953800 0,087 0 0,047

15 5,71854778 3181000 0,003 0,001 0,986

TOTAL MASS PARTICIPATION FACTORS 96,57 0,001 97,52

Modo Frequenza

1 0,347222

2 1,05903

3 1,89583

4 2,67014

m (tors) 0,46875





Previsione delle velocità del vento di progetto Stabilire delle velocità del vento appropriate, sia per quanto riguarda l'intensità che la direzione, è il primo, fondamentale, passo per determinare i carichi da vento di progetto per la struttura ed è, probabilmente la parte più aleatoria ed incerta dell'intero processo di progetto. A tale scopo sono necessarie analisi statistiche sulle serie storiche delle registrazioni delle velocità del vento, in altre parole è necessario che in prossimità del luogo in cui si intende edificare siano presenti delle stazioni anemometriche che abbiano registrato le velocità del vento per un certo numero di anni.



Previsione delle velocità del vento di progetto Le velocità di progetto nelle quattro direzioni principali (N, S, E ed O) sono state stimate tramite un’analisi statistica con il metodo di Gumbel, con il metodo POT (Peaks over a threshold) e con l’approccio spettrale alle velocità massime ove le velocità medie si considerano distribuite con una funzione densità di probabilità di Weibull (c è il fattore di scala e k è il fattore di forma).

y = 0,1955x - 3,9064

R² = 0,8305

y = 0,2566x - 5,2122

R² = 0,8222

0

20

40

60

80

100

120

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

15 20 25 30

T [

ann

i]

-ln

{ln

[1/f

.c.(

Q)]

}

V [m/s]

Valori degli estremi di velocità geostrofica per il

primo settore nominale

Gumbel con

Weibull

Gumbel con

Gringorten

V - T

y = -0,206x + 2,9721

R² = 0,9334

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 2 4 6 8 10

Serie1

Lineare (Serie1)

𝑃𝑉 𝑈 =𝑘

𝑐𝑘× 𝑈𝑘−1 × 𝑒

−𝑈𝑐

𝑘



Previsione delle velocità del vento di progetto Il confronto fra i tre metodi ha mostrato che le previsioni sono poco discoste fra loro, per andare a vantaggio di sicurezza si sono utilizzati macro-settori nominali (caratterizzati in termini di rugosità z0) da 90°.

Secondo l'approccio Gumbel si hanno i seguenti valori

macro settori da 90° U(10mt;0,05mt) TR=50 anni

0° 90° 180° 270°

Acerra 13,59294 8,796472 7,707263 11,97228

Marigliano 7,116125 5,60413 5,93665 6,472445

Santa Maria a Vico 8,70273 6,58775 5,863825 7,676702

Media 10,19757 7,160139 6,685568 9,062685



I carichi aerodinamici e la risposta della struttura Una volta determinati i modi di vibrazione della struttura e le velocità del vento di progetto nelle quattro direzioni fondamentali, sia per quanto riguarda le componenti medie che le componenti turbolente, è stato possibile applicare tutte le procedure per determinare gli spettri di carico aerodinamico ed i carichi aerodinamici di picco.



Coefficienti di pressione e distribuzione delle pressioni in altezza Dopo aver effettuato una mappatura delle pressioni in pianta si è proceduto con la mappatura delle pressioni in elevazione, tal proposito si sono applicate le prescrizioni presenti nel (Eurocodice 1 parte 4, 2005) al § 7.2.2 ottenendo le mappe di pressione di seguito riportate:


Diapositive di scorta, ovvero un’appendice di diapositive utile per rispondere alle domande del contro-relatore


𝜒𝑆2 𝜑 =

1



𝐻

0


𝐵

0

× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2

𝐵

0

𝑑𝑧1 𝑑𝑧2

𝐻

0

Espressioni delle AAFs

𝜒𝑀2 𝜑 =

1


𝑧1𝑈 𝑧1 𝑧2𝑈 𝑧2

𝐻

0


𝐵

0

× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2

𝐵

0

𝑑𝑧1 𝑑𝑧2

𝐻

0

𝜒𝑇2 𝜑 =

1



𝐻

0

𝑦1 𝑦2𝐶𝑝 𝑦1, 𝑧1 𝐶𝑝 𝑦2, 𝑧2

𝐵/2

−𝐵/2

× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2

𝐵/2

−𝐵/2

𝑑𝑧1 𝑑𝑧2

𝐻

0

𝜒𝜇2 𝜑 =

1



𝐻

0

𝜇(𝑦1, 𝑧1) 𝜇(𝑦2, 𝑧2)𝐶𝑝 𝑦1, 𝑧1 𝐶𝑝 𝑦2, 𝑧2

𝐵

0

× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2

𝐵

0

𝑑𝑧1 𝑑𝑧2

𝐻

0

AAF del taglio alla base:

AAF del momento ribaltante alla base:

AAF del momento torcente alla base:

AAF delle forze modali:


Il profilo delle velocità medie

In letteratura esistono tre espressioni matematiche del profilo delle velocità medie:

𝑈 𝑧 =𝑢∗𝜅𝑙𝑛

𝑧

𝑧0

𝑈 𝑧 =𝑢∗𝜅

𝑙𝑛𝑧

𝑧0+ 5,75

𝑧

𝑧𝑔− 1,88

𝑧

𝑧𝑔

2

− 1,33𝑧

𝑧𝑔

3

+ 0,25𝑧

𝑧𝑔

4

𝑈 𝑧 = 𝑈 𝑧𝑟𝑒𝑓 ×𝑧

𝑧𝑟𝑒𝑓

𝛼

Profilo logaritmico, adottato in Europa, valido fino a 200 mt di quota dal piano di campagna:

Profilo logaritmico corretto, adottato nel Regno Unito, in Australia ed in Nuova Zelanda, valido fino a quota geostrofica:

Profilo di potenza, adottato negli Stati uniti, in Canada ed in Giappone, espressione puramente empirica proposta da Hellman nel 1916, esso è un buon modello per quote z∈[30, 300], alle basse quote è poco accurato (Cook, 1997):

𝑧𝑔 = 𝑐𝑢∗

𝑓 zg è la quota geostrofica, u* è la velocità di attrito, c=1/6 ed f=2Ωsen(φ) è il coefficiente di Coriolis


In particolare il profilo logaritmico è stato adottato dall’Eurocodice con la seguente formulazione:

𝑈 𝑧 = 𝑈𝑟𝑒𝑓𝑘𝑇𝑙𝑛𝑧

𝑧0 𝑠𝑒 zmin ≤ 𝑧 ≤ 200 𝑚

𝑈 𝑧 = 𝑈 zmin 𝑠𝑒 𝑧 < zmin

Categoria del terreno kT z0 [m] zmin [m] α

I Fascia costiera 0,17 0,01 2 0,12

II Aperta campagna con rari ostacoli

isolati 0,19 0,05 4 0,16

III Zona suburbana 0,22 0,3 8 0,22

IV Area urbana 0,24 1 16 0,3

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30

È opportuno precisare che la lunghezza di rugosità z0 non è "la rugosità" del terreno in senso stretto, essa è piuttosto la dimensione media dei vortici che si formano a causa dell'attrito fra l'aria e la superficie del terreno, si tratta quindi di un parametro fluido-dinamico e non geometrico.

𝑧0 =0,5ℎ𝐴𝑟𝐴𝑡

Dove h è l’altezza dell’elemento di rugosità, Ar è l’area dell’elemento normale alla direzione del vento, ed At è l’area di terreno per elemento di rugosità.


La superficie terrestre esercita sull’aria in movimento prossima ad essa una forza d’attrito che ne ritarda il flusso. In particolare, la velocità delle particelle fluide al suolo è praticamente nulla, mentre lontano dalla superficie terrestre la velocità delle masse d’aria tende a quella della corrente indisturbata. La regione dell’atmosfera in cui il vento risente di questi fenomeni prende il nome di strato limite atmosferico, lo spessore di tale regione si estende per un’altezza che varia da poche centinaia metri a qualche chilometro, in base all’intensità del vento, alla rugosità del terreno, e all’angolo di latitudine.

L’altezza di gradiente, detta anche quota geostrofica zg si definisce come la distanza fra il suolo ed il punto dove la velocità del vento raggiunge il 99% di quella del flusso indisturbata. La quota geostrofica assume valori pari ad alcune centinaia di metri.

Differenza fra spessore dell’ABL e quota geostrofica


Il vento, in quanto turbolento, può essere inteso come un processo stocastico in cui ciascun vortice contribuisce a caratterizzarne l’energia (densità spettrale), in base alle proprie dimensioni e al proprio periodo (o alla propria frequenza). Generalmente, nei vortici più grandi prevalgono le forze fluide inerziali, mentre quelli più piccoli sono caratterizzati dalle forze fluide viscose. Quest’ultimi tendono a dissipare maggiore energia, che viene di volta in volta rifornita dai vortici più grandi. In definitiva, nel vento turbolento vi è un continuo trasferimento di energia dai vortici più grandi a quelli più piccoli. La valutazione della risposta strutturale diviene così molto complessa, tuttavia alcune evidenze sperimentali permettono di semplificare in parte il problema. Un grafico che riassume i vari fenomeni coinvolti nella circolazione atmosferica è dato dallo spettro di Van der Hoven:

Nella zona caratterizzata dalle basse frequenze, si hanno i fenomeni macro meteorologici. Tale regione dello spettro presenta due picchi, uno corrispondente alla periodicità del vento giornaliera (brezze di periodo pari a 12 ore), l´altro relativo al normale periodo di sviluppo di una burrasca o tempesta, ossia circa 4 giorni (100 ore). Alle alte frequenze è possibile osservare un ulteriore picco intorno a fenomeni della durata di 1-2 minuti e da attribuire alla turbolenza atmosferica. Quest’ultima non influenza la circolazione atmosferica ma invece è importante nelle pratiche progettuali. Lo spettro è una misura della varianza statistica del vento longitudinale inteso come un processo stocastico. Nella zona centrale del grafico di varianza risulta minima e pressoché costante in un periodo di tempo compreso tra 10 minuti ed un’ora. Tale periodo di tempo prende il nome di gap spettrale e fornisce un’utile informazione per la valutazione della velocità di riferimento di un determinato sito. Poiché la velocità media è stazionaria all’interno del gap spettrale, è possibile considerare la componente fluttuante longitudinale del vento come somma del valor medio ottenuto su un periodo di 10-60 minuti e della componente fluttuante di origine turbolenta. Quindi il gap spettrale garantisce la stazionarietà del valor medio della velocità eolica su un periodo di tempo compreso tra dieci minuti ed un’ora. È dunque possibile trattare separatamente la componente fluttuante turbolenta del vento e quella media che induce una risposta strutturale di tipo statico.

Componente media e turbolenta della velocità del vento


Componente media e turbolenta della velocità del vento

Riassumendo, il vento atmosferico può essere inteso come un processo Gaussiano (bastano i primi due momenti a caratterizzarlo completamente) stazionario, ergodico (media e varianza sono stazionari rispetto al tempo) a media nulla.

𝑈 𝑧, 𝑡= 𝑈 𝑧 𝒊 + 𝑢 (𝑧, 𝑡)𝒊 + 𝑣 𝑧, 𝑡 𝒋 + 𝑤 𝑧, 𝑡 𝒌

Tralasciando la componente media, una completa descrizione fisica del fenomeno è data dalla caratterizzazione dell’intensità di turbolenza, delle scale integrali della componente fluttuante della velocità del vento, dalla densità spettrale di potenza e dalla coerenza che ne identifica la correlazione spaziale. I vortici generati dall’azione del vento che soffia sopra gli ostacoli causa la turbolenza. In generale, la velocità del vento può essere rappresentata in forma vettoriale come:

𝑝 𝑥 =1

𝜍 2𝜋𝑒−12𝑥−𝜇𝜎

2

𝐼𝑢 𝑧 =𝜍𝑢𝑈 𝑧

𝐿𝑢𝑥 = 𝐶𝑧𝑚 𝐿𝑢

𝑦≈ 0,3𝐿𝑢𝑥 𝐿𝑢

𝑧 ≈ 0,2𝐿𝑢𝑥 ∨ 𝐿𝑢𝑧 = 6 𝑧


Spettri di turbolenza della velocità del vento La turbolenza può essere intesa come la sovrapposizione di vortici caratterizzati da un periodo e da una frequenza angolare ω = 2πφ. L’energia totale del processo è quindi la somma dei vari contribuiti energetici associati ad ogni singolo vortice. Dall’equazione di moto del flusso turbolento si evince che i termini inerziali sono associati ad un trasferimento di energia dai vortici più grandi a quelli più piccoli, mentre i termini viscosi si riferiscono ad una dissipazione di energia che interessa principalmente i vortici più piccoli. A causa dei questa dissipazione, la turbolenza tenderebbe ad estinguersi, tuttavia la corrente viene rifornita di energia dai vortici maggiori. Il flusso turbolento è dunque garantito da un equilibrio energetico tra l’energia introdotta nella corrente dai vortici più grandi, e l’energia dissipata da quelli più piccoli. Prima ipotesi di Kolmogorov Il moto dei vortici minori è governato dalla quantità di energia fornita (e quindi dissipata per l’equilibrio), e dalla viscosità. Da tale ipotesi, deriva che i piccoli vortici sono indipendenti dalle condizioni al contorno, a tal punto che questi non hanno una direzione preferenziale, ossia loro flusso è un flusso isotropo. Seconda ipotesi di Kolmogorov I vortici maggiormente responsabili della dissipazione energetica sono i vortici molto piccoli aventi cioè delle lunghezze d’onda molto piccole. Conseguenza di quest’ipotesi è che i vortici più grandi aventi, lunghezze d’onda maggiori, si muovono indipendentemente dalla viscosità, e pertanto il loro moto è determinato soltanto dalla quantità di energia fornita che per l’equilibrio sarà uguale a quella dissipata. La seconda ipotesi di Kolmogorov è valida nel cosiddetto sotto-intervallo inerziale e fornisce l’espressione generale della componente longitudinale della velocità del vento:

𝑆𝑢 𝐾 = 𝐸 𝐾 = 𝑐 × 𝜀23 × 𝐾−

53

Si trovato sperimentalmente che c≈1/2, ε è la quantità di energia trasferita (o dissipata) e K=2×π/λ è il numero d'onda con λ lunghezza d'onda, E(K) è l'energia associata ai vortici. L’intertial sub-range è un intervallo intermedio di lunghezze d’onda (o scale di turbolenza) più piccolo dell’intervallo contenente i vortici maggiori (che forniscono energia) ma più grande di quello contenete i vortici minori viscosi (che dissipano energia).

In questo sotto-intervallo il bilancio energetico è in equilibrio. Per questa ragione la pendenza del dello spettro di turbolenza rimane costante. Kolmogorov ha dimostrato che tale pendenza è pari a −5/3.Le dimensioni fisiche dello spettro (che è l'ordinata) possono essere desunte da un'analisi dimensionale, le dimensioni del numero d'onda sono [L-1], la varianza del processo è l'area sottesa alla curva ed è una velocità al quadrato: Area =[L2 × T-2]= [S × L-1] → [S]= [L3 × T -2]e quindi per la seconda ipotesi di Kolmogorov si può scrivere F[S(K),K,ε]=0 → *ε+ =[L2 × T -3].

𝜑𝑆𝑢 𝜑

𝑢∗2

= 4 ×1200𝜑

𝑈10

2

×1

1 +1200𝜑𝑈10

243

24 Maggio 2011 Francesco Parisi

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Cos’è un coefficiente di pressione

Premessa: In un corpo tozzo con spigoli pronunciati (o in un corpo aerodinamico per valori alti della velocità del fluido incidente o dell’angolo di attacco) il flusso tende a staccarsi dal contorno del corpo, creando zone con flusso separato (scie vorticose). L’aria è un fluido viscoso per cui il distacco dei vortici dipende dal valore del numero di Reynolds:

𝑅𝑒 =𝜌𝑈𝐷

𝜇=𝑈𝐷

𝜈

Nei fluidi viscosi gli effetti della viscosità si limitano ad uno strato fluido, in genere molto sottile, intorno alla superficie, detto strato limite. L’equazione di Bernoulli è applicabile in assenza di viscosità e di moto irrotazionale, oppure all’esterno dello strato limite:

𝑝 +1

2𝜌𝑎𝑉

2 = 𝑝0 +1

2𝜌𝑎𝑉0

2 →

p0 e v0 sono pressione e velocità al di fuori della zona influenzata dalla presenza del corpo.

nel punto di stagnazione (linea di simmetria del corpo) V=0 e tutta la pressione cinetica si trasforma in sovrappressione sul corpo.

𝑝 − 𝑝0 =1

2𝜌𝑎𝑉0

2

il valore della pressione in termini adimensionali può essere espresso introducendo il concetto di coefficiente di pressione:

𝑐𝑝 =𝑝 − 𝑝012𝜌𝑎𝑉0

2=

12𝜌𝑎 𝑉0

2 − 𝑉2

12𝜌𝑎𝑉0

2= 1 −

𝑉2

𝑉02

nel punto di stagnazione (linea di simmetria del corpo) V=0 e cp=1. nella zona in cui il flusso accelera la pressione si riduce V>V0 e cp<0.


Coefficienti di pressione, l’approccio sperimentale e quello dell’EC1

Zona A B C D E

h/d Cpe,10 Cpe,1 Cpe,10 Cpe,1 Cpe,10 Cpe,1 Cpe,10 Cpe,1 Cpe,10 Cpe,1

5 -1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 0,8 1 -0,7

1 -1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 0,8 1 -0,5

≤ 0,25 -1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 0,7 1 -0,3

Suddivisione delle pareti verticali di edifici a pianta rettangolare in zone di egual pressione, pianta (sinistra) e prospetto (destra).

(a) distribuzione di pressione su un cubo in un campo di velocità costante;

(b) distribuzione di pressione su un cubo in un campo di velocità turbolento;

(c) distribuzione di pressione su un prisma alto in un campo di velocità turbolento.

(a) (b)

(c)


Letteratura e normative a confronto #1/2

AAF delle forze modali (Dyrbye & Hansen, 1996)

Questo modello si basa sull’ipotesi di turbolenza omogenea ed isotropa, infatti la funzione di coerenza, valida per facciate di modeste dimensioni vale:

𝜓𝑃 𝜙, 𝑟, 𝑈 = 𝑒−𝐶𝑟×𝜑𝑟𝑈

Cr=4,5. Assumendo che lo spettro del carico da vento non dipenda dalle coordinate (z1,z2), l’AAF può essere calcolata così:

𝜒2 𝜙1, 𝜙2 =

1𝑙1

1𝑙2 𝑘 𝑟1, 𝑟2 𝜓𝑃 𝑟1, 𝑟2, 𝑛, 𝑈 𝑑𝑟2𝑑𝑟1

𝑙20

𝑙10

1𝑙1

1𝑙2 𝐼𝑅 𝑧1, 𝑧2 𝑑𝑧2𝑑𝑧1

𝑙20

𝑙10

2

la funzione di co-influenza normalizzata k(r1,r2) è data da:

𝑘 𝑟1, 𝑟2 =2

𝑙1𝑙2 𝐼 𝑧1, 𝑧2, 𝑟1, 𝑟2 𝑑𝑧2𝑑𝑧1

𝑙2−𝑟2

0

𝑙1−𝑟1

0

𝐼 𝑧1, 𝑧2, 𝑟1, 𝑟2 = 𝐼𝑅 𝑧1, 𝑧2 𝐼𝑅 𝑧1+𝑟1, 𝑧2 +𝑟2 + 𝐼𝑅 𝑧1, 𝑧2 + 𝑟2 𝐼𝑅 𝑧1+𝑟1, 𝑧2

𝜙1 =𝐶𝑃𝑛𝑙1𝑈

, 𝜙2 =𝐶𝑃𝑛𝑙2𝑈

Funzioni di risposta-influenza IR Funzioni di co-influenza k(r) Uniforme: 𝐼R 𝑧 = 1 2(1 − 𝑟)

Lineare: 𝐼R 𝑧 = 𝑧 1

3(2 − 3𝑟 + 𝑟3)

Mensola: 𝐼R 𝑧 = 2𝑧 − 1 2

3(2 − 3𝑟 + 𝑟3)

Sinusoidale: 𝐼R 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑧) 1 − 𝑟 cos 𝜋𝑟 +1

𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑟)

𝜒2 𝜙1, 𝜙2 =1

1 + 𝐺1𝜙12 + 𝐺2𝜙2

2 +2𝜋𝐺1𝜙1𝐺2𝜙2

2

L’AAF può essere approssimata tramite la seguente espressione:

molte normative adottano una formulazione simile ad essa, se la funzione di risposta-influenza è uniforme, entrambe le costanti G1 e G2 sono pari ad ½. In alternativa si può usare un filtro interpolante basato sulla media mobile (Lawson, 1980) ove CT=1,5(=Cr/3):

𝜒𝑇2 𝑛, 𝑇𝑙 =

𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑛𝑇𝑙𝜋𝑛𝑇𝑙

2

, 𝑇𝑙 =𝐶𝑇 × 𝑙

𝑈

Tutto ciò premesso la risposta alla azione del vento R(t) all’istante t è data da:

𝑅 𝑡 = 𝐼𝑅 𝑧1, 𝑧2 𝐹 𝑧1, 𝑧2, 𝑡 𝑑𝑧2𝑑𝑧1

𝑙2

0

𝑙1

0


Letteratura e normative a confronto #2/2

ASCE 7-98

(USA)

𝑓 = 𝑅𝐻𝑅𝐵 0,53 + 0,47𝑅𝐷

𝑅𝑖 =1

𝜂𝑖−

1

2𝜂𝑖2 × 1 − 𝑒−2𝜂𝑖

, 𝑅𝑖 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝜂𝑖

= 0; 𝑖 = ℎ, 𝑏, 𝑑

𝜂𝑕 =4,6 × 𝑓 × 𝐻

𝑈 𝑧, 𝜂𝑏=

4,6 × 𝑓 × 𝐵

𝑈 𝑧, 𝜂𝑑

=15,4 × 𝑓 × 𝐷

𝑈 𝑧

AS1170.2

(Australia) 𝜒 𝑓 =

1

1 +3,5𝑓𝐻𝑈 𝑧

× 1 +4𝑓𝐵𝑈 𝑧

NRCC

(Canada) 𝜒 𝑓 =

1

1 +8𝑓𝐻3𝑈 𝑧

× 1 +10𝑓𝐵𝑈 𝑧

RLB-AIJ

(Giappone) 𝜒 𝑓 =

0,84

1 +2,1𝑓𝐻𝑈 𝑧

× 1 +2,1𝑓𝐵𝑈 𝑧

Eurocode 𝜒 𝑓 = 𝑅𝐻𝑅𝐵

B=60 mt, H=120 mt e D=30mt; si ha inoltre: z0=0,05 mt e Ur=13,31 m/s

I risultati ottenuti con Mathematica7 sono del tutto confrontabili con quelli ottenuti eseguendo degli script realizzati in proprio da chi scrive, il che, ovviamente, non può che confermare il lavoro sinora svolto. Mathematica7 è certamente un software di calcolo valido, ma si è preferito continuare a lavorare con Matlab per una serie di ragioni che non è banale elencare in questa sede: • non è possibile conoscere quale è il generatore di numeri pseudo

random o quasi random che il software adotta per effettuare i calcoli, mentre invece con Matlab ciò è possibile e, cosa ancora più importante, è possibile trovare dei riscontri in letteratura in modo da orientare le proprie scelte in modo consapevole;

• le funzioni utilizzate da Mathematica7 sono criptate, in Matlab esse sono in chiaro e possono essere studiate oltre che semplicemente usate;


Alcune considerazioni sui test Si vogliono fare infine alcune considerazioni, la prima considerazione riguarda l’hardware. Si è riscontrato che i tempi di calcolo dipendono dall’hardware con cui gli script vengono eseguiti, infatti i tempi di calcolo precedentemente indicati sono stati ottenuti eseguendo il Codice su un PC con CPU Intel Quad Core Q8300 @ 2.5 GHz ed 8 Gb di memoria RAM, eseguendo gli stessi script su un PC Intel Mobile Pentium IV @ 2,4 GHz ed 1 Gb di RAM, si è riscontrato che i tempi di calcolo risultano quasi triplicati. La seconda considerazione concerne il software. Si è voluto riscontrare il lavoro svolto con MATLAB R2010b della Mathworks utilizzando un altro software di calcolo, specificamente si è utilizzato Mathematica 7 della Wolfram per calcolare l’AAF del taglio alla base per la seguente geometria: B=60 m; H=120 m; z0=0,05 m; Cy=16 e Cz=10; U10=9,063 m/s.

• non è possibile sapere per quanti punti sia stata effettivamente svolta l’integrazione, ad esempio indicando 105 o 108 punti di integrazione i tempi di calcolo restano praticamente invariati, il che lascia supporre che l’uso di una regola adattiva, giochi un ruolo importante. Una volta che il software raggiunge la convergenza, l’esecuzione dello lo script termina e vengono restituiti dei risultati, ma non si può sapere esattamente con quanti punti sia stata raggiunta la convergenza;

• anche per ciò che concerne la regola adattiva, non è possibile sapere di cosa effettivamente si tratti, essa è presumibilmente l’applicazione di una o più tecniche di riduzione della varianza dei numeri pseudo random, ma non lo si può stabilire con certezza.

Mathematica7 è sostanzialmente una “scatola nera”, che fornisce dei risultati in base agli input che gli vengono forniti, sui passaggi intermedi (dagli input agli output) nulla si può dire.


Un caso in cui i dati sperimentali sono stati comparati con Vickery 1966

Nel 2007 il Midwest Transportation Consortium ha pubblicato un report riguarda la crisi per fatica dovuta alle azioni da vento di aste per segnali ed illuminazioni stradali ed auto stradali. Si sono strumentate con anemometri e strain gauges due aste lunghe circa 45 mt a pianta dodecagonale, in modo da ottenere misurazioni in scala reale, dopodiché sono stati effettuati opportuni test in galleria del vento:

𝑘 =𝜑𝜋𝑙

𝑈

Come si può notare, dopo aver ottenuto un’espressione sperimentale dell’AAF, il confronto è stato effettuato con l’espressione empirica di Vickery, sebbene le due espressioni fossero state calibrate con corpi aventi geometrie completamente diverse.

𝐾 =2𝜋𝜑 𝐴

𝑈

Career

Funzioni di ammettenza aerodinamica degli edifici tramite integrazione quasi Monte Carlo