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CAPITULO 8
Flexão
Resistência dos Materiais
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Sumário: Flexão
Competências: Determinar o diagrama de esforços internos de flexão e cortantes. Relacionar as
tensões com as deformações. Relacionar as tensões normais com os esforços de flexão e propriedades
geométricas dos corpos deformáveis. Calcular as tensões relacionadas com a flexão pura, carregamento
axial excêntrico, flexão simétrica e assimétrica para diferentes geometrias. Perceber o significado físico
de linha neutra e superfície neutra. Determinar a localização da linha neutra. Desenhar a distribuição dos
vectores tensão na secção transversal do corpo solicitado.
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Resistência dos Materiais
Esforços internos de flexão e cortantes
Flexão pura
Equação matemática para cálculo das tensões normais
Distribuição das tensões normais nos corpos solicitados
Superfície neutra e linha neutra
Carregamento axial excêntrico
Flexão simétrica e não simétrica
Momentos de Inércia e eixos principais de Inércia
Diagramas de Esforços Internos Cortantes e de Flexão
• A determinação das tensões normais e tangenciais máximas requer a identificação dos esforços internos cortantes e de flexão máximos.
• Os esforços internos cortantes e de flexão num ponto podem ser determinados seccionando a viga pela secção transversal correspondente e realizando uma análise de equilíbrio estático na porção da viga à esquerda ou à direita desse ponto, tal como ilustrado nas figuras (a) e (b) (Método das Secções).
• Convenção de sinais positivos para os esforços cortantes V e V’ e esforços de flexão M e M’:
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Resistência dos Materiais
Para a viga de madeira e para o carregamento indicado, desenhe os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão.
Método das Secções:
• Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios.
• Represente graficamente a distribuição dos esforços internos cortantes e de flexão em função do comprimento da viga.
• Seccione a viga junto aos apoios e pontos de aplicação de cargas. Aplique as equações de equilíbrio estático nos diagramas de corpo livre assim obtidos, de modo a determinar os esforços internos cortantes e de flexão.
Exercício Resolvido 1
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Resistência dos Materiais
• Cálculo das reacções nos apoios:
kNRkNRMF DBBy 1446:0
• Análise de equilíbrio estático:
00m0kN200
kN200kN200
111
11
MMM
VVFy
mkN500m5.2kN200
kN200kN200
222
22
MMM
VVFy
0kN14
mkN28kN14
mkN28kN26
mkN50kN26
66
55
44
33
MV
MV
MV
MV
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Resistência dos Materiais
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Resistência dos Materiais
• Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão:
xwV
xwVVVFy
0:0
D
C
x
xCD dxwVV
wdx
dV
• Relação entre carregamento e esforço cortante:
221
02
:0
xwxVM
xxwxVMMMMC
D
C
x
xCD dxVMM
Vdx
dM
• Relação entre esforço cortante e esforço de flexão:
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Resistência dos Materiais
Relação entre Carregamento, Esforço Cortante e Esforço de Flexão
• Aplique a relação entre carregamento e esforço cortante para representar o diagrama de esforços internos cortantes.
• Aplique a relação entre esforço cortante e esforço de flexão para representar o diagrama de esforços internos de flexão.
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Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 2
Para a viga e para o carregamento indicado, represente os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão.
Método Gráfico:
• Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios.
kips18
kips12kips26kips12kips200
0F
kips26
ft28kips12ft14kips12ft6kips20ft240
0
y
y
y
A
A
A
D
D
M
dxwdVwdx
dV
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Resistência dos Materiais
• Cálculo das reacções nos apoios:
• Representação gráfica do diagrama de esforços internos cortantes:
dxVdMVdx
dM
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Resistência dos Materiais
• Representação gráfica do diagrama de esforços internos de flexão:
Exercício de Esforços Internos 1
Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos:
a) método das secções;
b) método gráfico.
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Resistência dos Materiais
8 kN
12 kN.m
2 kN/m
1 m 1 m 1 m 2 m 2 m
Exercício de Esforços Internos 2
Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos:
a) método das secções;
b) método gráfico.
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Flexão Pura
Flexão Pura: Membros prismáticos sujeitos a dois momentos, iguais e de sentidos opostos, actuando no mesmo plano longitudinal.
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Resistência dos Materiais
Outros Tipos de Carregamento
• Princípio da Sobreposição: Combinar as tensões originadas pela carga com as tensões provocadas pela flexão pura.
• Carregamento excêntrico: Um carregamento axial excêntrico à secção considerada, origina esforços internos equivalentes a uma força normal e a um momento flector.
• Carregamento transversal: Uma carga concentrada na extremidade livre A origina esforços internos equivalentes a uma força igual, e de sentido oposto, e a um momento flector.
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Resistência dos Materiais
Análise das Tensões na Flexão Pura
MdAyM
dAzM
dAF
xz
xy
xx
0
0
• O momento flector M consiste em duas forças iguais e de sentidos opostos.
• A soma das componentes dessas forças em qualquer direcção é igual a zero.
• O momento flector, em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu plano, é sempre o mesmo.
• O momento flector, em relação a qualquer eixo contido no seu plano, é igual a zero.
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Resistência dos Materiais
Deformações na Flexão Pura Barra prismática que contém um plano de simetria, em flexão pura:
• a barra permanece simétrica em relação ao plano;
• flecte uniformemente formando um arco de circunferência;
• qualquer secção plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana;
• a linha AB diminui de comprimento e a linha A’B’ aumenta;
• deve existir uma superfície neutra, paralela às faces superior e inferior, para a qual o comprimento não varie;
• tensões e deformações são negativas (compressão) acima da superfície neutra, e positivas (tracção) abaixo dela.
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Resistência dos Materiais
Deformações na Flexão Pura
Considere uma barra prismática de comprimento L.
Depois da deformação, o comprimento da superfície neutra permanece igual a L. Nas outras secções,
mx
mm
x
c
y
cρ
c
yy
L
yyLL
yL
or
e)linearment varia(extensão
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Resistência dos Materiais
Tensões e Deformações no Regime Elástico
• Para um material homogéneo,
e)linearment varia(tensãom
mxx
c
y
Ec
yE
• A partir da estática,
dAyc
dAc
ydAF
m
mxx
0
0
A linha neutra passa pelo centro geométrico da secção.
• Do equilíbrio estático,
I
Myc
yS
M
I
Mcc
IdAy
cM
dAc
yydAyM
x
mx
m
mm
mx
em doSubstituin
2
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Resistência dos Materiais
resistente módulo
inércia de momento
c
IS
IS
M
I
Mcm
Ahbhh
bh
c
IS
613
61
3121
2
Tensões e Deformações no Regime Elástico
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Resistência dos Materiais
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Resistência dos Materiais
Propriedades dos Perfis
Deformações numa Secção Transversal
• A deformação da barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra.
EI
M
I
Mc
EcEccmm
11
yy
xzxy
caanticlásti curvatura 1
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Resistência dos Materiais
Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à acção do momento flector M = 3 kN.m. Sabendo-se que E = 165 GPa e desprezando o efeito da curvatura das arestas do perfil, determinar:
(a) as máximas tensões de tracção e compressão;
(b) o raio da curvatura.
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Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 3
Calcular a localização do centro geométrico da secção e o momento de inércia.
mm 383000
10114 3
A
AyY
3
3
3
32
101143000
104220120030402
109050180090201
mm ,mm ,mm Area,
AyA
Ayy
49-3
2312123
121
231212
m10868 mm10868
18120040301218002090
I
dAbhdAIIx
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Resistência dos Materiais
• Calcular as máximas tensões de tracção e compressão.
49
49
mm10868
m038.0mkN 3mm10868
m022.0mkN 3
I
cM
I
cMI
Mc
BB
AA
m
MPa 0.76A
MPa 3.131B
• Calcular a curvatura.
49- m10868GPa 165
mkN 3
1
EI
M
m 7.47
m1095.201 1-3
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Resistência dos Materiais
I
My
A
P
xxx
flexãocentrada força
Carregamento Axial Excêntrico num Plano de Simetria
• Carregamento excêntrico,
PdM
PN
• Os resultados só são válidos quando as condições de aplicação do princípio da sobreposição e de Saint-Venant forem satisfeitas.
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Resistência dos Materiais
N
A peça mostrada é feita de ferro fundido e tem tensões admissíveis de 30 MPa à tracção e de 120 MPa à compressão. Determinar a maior força P que pode ser aplicada à peça.
Do exercício resolvido 3,
49
23
m10868
m038.0
m103
I
Y
A
Exercício Resolvido 4
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Resistência dos Materiais
• Força e momento flector aplicados em C.
flector momento 028.0
centrada força
m028.0010.0038.0
PPdM
P
d
• Máxima força que pode ser aplicada.
kNPMPaP
kNPMPaP
B
A
0.771201559
6.7930377
kN 0.77P
• Sobreposição.
P
PP
I
Mc
A
P
PPP
I
Mc
A
P
BB
AA
155910868
038.0028.0
103
37710868
022.0028.0
103
93
93
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Resistência dos Materiais
Flexão Fora do Plano de Simetria
• Em geral, a linha neutra da secção não coincide com eixo do momento flector.
• Não podemos supor que a barra vá flectir no plano de simetria.
• A linha neutra da secção transversal coincide com o eixo do momento flector.
• Permanecem simétricas e flectem no plano de simetria.
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Flexão Fora do Plano de Simetria
•
inérciadeprodutoIdAyz
dAc
yzdAzM
yz
mxy
0ou
0
MMMF zyx 0
•
linha neutra passa pelo centro geométrico.
dAy
dAc
ydAF mxx
0ou
0
•
define a distribuição de tensões.
inérciademomentoIIc
Iσ
dAc
yyMM
zm
mz
Mou
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Resistência dos Materiais
• Decompor o vector M em dois vectores, segundo z e y,
sincos MMMM yz
• Sobrepor,
y
y
z
zx I
zM
I
yM
• Obtém-se,
tgI
I
z
ytg
I
zM
I
yM
I
zM
I
yM
y
z
yzy
y
z
zx
sincos
0
• Aplicação do princípio da sobreposição.
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Resistência dos Materiais
Flexão Fora do Plano de Simetria
Um momento flector de 1600 lb.in é aplicado a uma viga de madeira de secção rectangular, num plano que forma um ângulo de 30º com a vertical. Determinar:
(a) A tensão máxima na viga;
(b) O ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.
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Exercício Resolvido 5
• Determinar a tensão máxima na viga.
psi
in
ininlb
I
zM
psiin
ininlb
I
yM
inininI
inininI
inlbinlbM
inlbinlbM
4y
y
4z
z
4y
4z
y
z
5.6099844.0
75.0800
6.452359.5
75.11386
9844.05.15.3
359.55.35.1
80030sin1600
138630cos1600
2
1
3121
3121
• A maior tensão de tracção devida ao carregamento combinado ocorre em A.
5.6096.45221max psi1062max
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Resistência dos Materiais
• Determinar o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.
143.3
309844.0
359.5
tgin
intg
I
Itg
4
4
y
z
o4.72
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Resistência dos Materiais
Caso Geral de Carga Excêntrica
• A força excêntrica é equivalente a um sistema constituído por uma força centrada e dois momentos flectores.
PbMPaM
P
zy centrada força
• Aplicando o princípio da sobreposição,
y
y
z
zx I
zM
I
yM
A
P
• Se x = 0, obtém-se a equação de uma
recta, que representa a linha neutra da secção.
A
Pz
I
My
I
M
y
y
z
z
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