Upload
-
View
234
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 9
ÔÏ ÓÕÍÏËÏ R
ÔÙÍ ÐÑÁÃÌÁÔÉKÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ
Ôï óýíïëï � ôùí öõóéêþí áñéèìþí åßíáé ôï { }0,1,2,3,...=� .
To óýíïëï � ôùí áêåñáßùí áñéèìþí åßíáé ôï { }..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...= − − −� .
Áí ðÜíù äåîéÜ ôïõ óõìâüëïõ ôïõ óõíüëïõ õðÜñ÷åé * óçìáßíåé üôé áðü ôï óýíïëï ôùí
áñéèìþí åîáéñåßôáé ôï 0 êáé ãñÜöïõìå ð.÷ { }* 1,2,3,...=� .
Ôï óýíïëï Q ôùí ñçôþí Þ óýììåôñùí áñéèìþí Ý÷åé óôïé÷åßá üëïõò ôïõò áñéèìïýò ðïõ
ìðïñïýí íá ãñáöïýí ìå ôçí ìïñöÞ α,β
üðïõ α∈� êáé β *∈�
×áñáêôçñéóôéêü ôùí Ñçôþí åßíáé üôé áí ãñáöïýí óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ åßíáé “ðåðåñá-
óìÝíïé” äåêáäéêïß Þ áðåéñïøÞöéïé áëëÜ ðåñéïäéêïß äåêáäéêïß áñéèìïß.
ð.÷. 4 1 1
2, 0,25, 0,333... ή 0, 3 κ.λ.π.2 4 3= = =
Ôï óýíïëï ¢ññçôùí Þ áóýììåôñùí áñéèìþí, äçëáäÞ ôùí áñéèìþí ðïõ äåí åßíáé ñçôïß.
×áñáêôçñéóôéêü ôùí ¢ññçôùí åßíáé üôé áí ãñáöïýí óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ åßíáé áðåéñïøÞöéïé ü÷é ðåñéïäéêïß
áñéèìïß. ð.÷. 2 1,41, 3 1,73, π 3,14� � � ê.ë.ð.
Ôï óýíïëï R ðñáãìáôéêþí áñéèìþí Ý÷åé óôïé÷åßá ôïõò ñçôïýò êáé ôïõò
Üññçôïõò áñéèìïýò. Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôá óçìåßá
åíüò Üîïíá, ôïõ Üîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí.
Ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÁ.1
ÂáóéêÜ
óýíïëá
áñéèìþí
Ó÷Ýóåéò êáé
ðñÜîåéò óôï
óýíïëï R
Ãéá äýï áñéèìïýò á, â ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç “=” ôçò éóüôçôáò ùò åîÞò: α β α β 0= ⇔ − =
Ãéá ôçí éóüôçôá éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò:
i. α α= ÁõôïðáèÞò Þ áíáêëáóôéêÞ éäéüôçôá
ii. α β β α= ⇔ = ÓõììåôñéêÞ éäéüôçôá
iii. α β= êáé β γ τότε α γ= = ÌåôáâáôéêÞ éäéüôçôá
Ãéá äýï áñéèìïýò á, â ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç “ ≤ ” äéÜôáîçò Þ áíéóüôçôáò ùò åîÞò:
α β α β 0≤ ⇔ − ≤ (Áíôßóôïé÷á α β α β 0≥ ⇔ − ≥ )
Ãéá ôçí äéÜôáîç éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò: i. α α≤ ÁõôïðáèÞò Þ ÁíáêëáóôéêÞ éäéüôçôá
ii. α β≤ êáé β α τότε α β≤ = ÁíôéóõììåôñéêÞ éäéüôçôá
iii. α β≤ êáé β γ τότε α γ≤ ≤ ÌåôáâáôéêÞ éäéüôçôá
ÁíÜëïãá ïñßæåôáé ç ó÷Ýóç: α β α β 0< ⇔ − < , ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé ìüíï ç ìåôáâáôéêÞ éäéüôçôá.
Óôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ïñßæïíôáé ïé ðñÜîåéò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý.
Ç áöáßñåóç êáé ç äéáßñåóç ïñßæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý, ùò åîÞò:
( )α β α β− = + − êáé α 1
α :β α , β 0β β
= = ⋅ ≠
ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 110
H ðñþôç éäéüôçôá ôïõ ðßíáêá ëÝ-
ãåôáé áíôéìåôáèåôéêÞ áöïý ìáò å-
ðéôñÝðåé íá áíôéìåôáèÝôïõìå ôïõò
üñïõò, äçëáäÞ íá áëëÜæïõìå ôç
óåéñÜ ôïõò.
Ç äåýôåñç éäéüôçôá ôïõ ðßíáêá ëÝ-
ãåôáé ðñïóåôáéñéóôéêÞ áöïý åðé-
ôñÝðåé óôï â íá ðñïóåôáéñßæåôáé,-
äçëáäÞ íá ðáßñíåé êïíôÜ ôïõ,åßôå
ôï á åßôå ôï ã ÷ùñßò íá áëëÜæåé ôï
áðïôÝëåóìá.
Óôçí ðñÜîç, ëüãù ôçò ðñïóåôáéñé-
óôéêÞò éäéüôçôáò, ìðïñïýìå íá êá-
ôáñãïýìå ôéò ðáñåíèÝóåéò.
( ) ( )α β γ α β γ α β γ+ + = + + = + + êáé
( ) ( )α β γ α β γ αβγ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Ç ðñïóåôáéñéóôéêÞ éäéüôçôá ãåíé-
êåýåé ôçí ðñÜîç ãéá ðåñéóóüôåñïõò
áðü äýï áñéèìïýò.
Áí åéäéêÜ ïé áñéèìïß áõôïß åßíáé ßóïé
ìåôáîý ôïõò, ôüôå ïñßæåôáé ôï ðïë-
ëáðëÜóéï åíüò áñéèìïý á ùò åîÞò:
ν φορές
να α α ... α , ν Ν*
−
= + + + ∈�������
êáé áíôßóôïé÷á ç äýíáìç
ν
ν φορές
α α α ... α , ν Ν*
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ∈�����
Áí ν 1= ôüôå ïñßæåôáé: 1 α α⋅ =
êáé 1α α= .
1. α β α γ β γ≤ ⇔ + ≤ +
2. α β αγ βγ, γ 0≤ ⇔ ≤ >
3. α β αγ βγ, γ 0≤ ⇔ ≥ <
Êáíüíáò ôùí ðñïóÞìùí
i. ( )1 α α− = − ii. ( )α β αβ− = − iii. ( )( )α β αβ− − =
iv. ( )α α− − = v. ( )α β α β− + = − −
Éäéüôçôá äéáãñáöÞò
i. α β α γ β γ= ⇔ + = + ii. α β αγ βγ, γ 0= ⇔ = ≠
Ç i. åêöñÜæåé üôé:
ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò éóüôçôáò íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá
äéáãñÜøïõìå ôïí ßäéï áñéèìü.
Ç éäéüôçôá ii. åêöñÜæåé üôé:
ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò éóüôçôáò íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ íá
äéáãñÜøïõìå ôïí ßäéï áñéèìü.
Ç éäéüôçôá 1 åêöñÜæåé üôé:
ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáò íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå (áöáéñÝóïõìå) ôïí ßäéï
áñéèìü. Ïé éäéüôçôåò 2 êáé 3 åêöñÜæïõí üôé:
ìðïñïýìå êáé óôá äýï ìÝëç ìéáò áíéóüôçôáò íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ íá äéáãñÜøïõìå (äéáéñÝóïõìå ìå)
ôïí ßäéï áñéèìü äéáôçñþíôáò ôç öïñÜ áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ äéáéñÝóïõìå ìå èåôéêü êáé íá áëëÜîïõìå ôç
öïñÜ áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå Þ äéáãñÜøïõìå (äéáéñÝóïõìå) ìå áñíçôéêü áñéèìü.
ÐÑÏÓÈÅÓÇ ÐÏËËÁÐËÁÓÉÁÓÌÏÓ
ÁíôéìåôáèåôéêÞ
α β β α+ = + α β β α⋅ = ⋅
ÐñïóåôáéñéóôéêÞ
( ) ( )α β γ α β γ+ + = + + ( ) ( )α β γ α β γ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
ÅðéìåñéóôéêÞ
( )α β γ α β α γ⋅ + = ⋅ + ⋅
ÏõäÝôåñï óôïé÷åßï
α 0 α 0 α+ = = + α 1 α 1 α⋅ = = ⋅
Ôï 0 åßíáé ôï ïõäÝôåñï Ôï 1 åßíáé ôï ïõäÝôåñï óôïé-
óôïé÷åßï ôçò ðñüóèåóçò ÷åßï ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïõ
Óõììåôñéêü óôïé÷åßï
( ) ( )α α 0 α 0+ − = = − + α 1 αα α
1 1⋅ = = ⋅
Ï –á ëÝãåôáé áíôßèåôïò Ï 1
α ëÝãåôáé áíôßóôñïöïò
ôïõ á ôïõ á
ôï óýíïëï R ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 11
ÔÏ ÓÕÍÏËÏ R
ÔÙÍ ÐÑÁÃÌÁÔÉKÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ
4. i. α β= êáé γ δ τότε α γ β δ= + = + êáé ii. α β= êáé γ δ τότε αγ βδ= =
Ïé éäéüôçôåò i êáé ii åêöñÜæïõí üôé:
ìðïñïýìå íá ðñïóèÝôïõìå Þ íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå éóüôçôåò êáôÜ ìÝëç.
iii. α β≤ êáé γ δ τότε α γ β δ≤ + ≤ + êáé iv. α β≤ êáé γ δ τότε αγ βδ≤ ≤ áí α,β, γ,δ 0>
Ïé éäéüôçôåò iii êáé v åêöñÜæïõí üôé:
ìðïñïýìå íá ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç áíéóüôçôåò Þ íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå êáôÜ ìÝëç áíéóüôçôåò áí
Ý÷ïõí èåôéêïýò üñïõò.
ÐÑÏÓÏ×Ç ! ÄÅÍ éó÷ýïõí áíôßóôñïöá.
ÐÑÏÓÏ×Ç ! ÄÅÍ åðéôñÝðåôáé íá áöáéñïýìå Þ íá äéáéñïýìå áíéóüôçôåò êáôÜ ìÝëç.
5. i. α 0 0⋅ =
ii. αβ 0 α 0 ή β 0= ⇔ = =
iii. αβ 0 α 0 και β 0≠ ⇔ ≠ ≠
6. i. β α βα
γ γ γ
±± = ,
γ αδ βγα
β δ βδ
±± = ,β, γ,δ 0≠
ii. γ αγα
β δ βδ⋅ = , γα α δ αδ
:β δ β γ βγ
= ⋅ = ,β, γ,δ 0≠
7. i. Áí α 0> êáé β 0 τότε α β 0> + >
ii. Áí α 0< êáé β 0 τότε α β 0< + <
8. i. Áí á, â ïìüóçìïé αβ 0⇔ > êáé α
0β>
ii. Áí á, â åôåñüóçìïé αβ 0⇔ < êáé α
0β<
9. i. Áí á, â ïìüóçìïé, ôüôå: 1 1
α βα β
< ⇔ >
ii. Áí á, â åôåñüóçìïé, ôüôå: 1 1
α βα β
< ⇔ <
10. Ãéá êÜèå α R∈ éó÷ýåé: 2α 0≥
11. Áí α,β 0> êáé ν Ν*∈ éó÷ýåé:
i. ν να β α β= ⇔ =
ii. ν να β α β< ⇔ <
• Áíáëïãßá êáëåßôáé ç éóüôçôá äýï ëüãùí
êáé Ý÷åé ôç ìïñöÞ:¡
γα
β δ= ìå β,δ 0≠ .
Ïé áñéèìïß á, ä ëÝãïíôáé Üêñïé üñïé êáé ïé
áñéèìïß â, ã ìÝóïé üñïé ôçò áíáëïãßáò.
Áí ç áíáëïãßá Ý÷åé ôç ìïñöÞ:
βα
β γ=
ôüôå ï â ëÝãåôáé ìÝóç áíÜëïãïò Þ ãåùìå-
ôñéêüò ìÝóïò ôùí á, ã.
Éäéüôçôåò áíáëïãéþí
1. γα
αδ βγβ δ= ⇔ =
2. γ β γ βα α δ δ
β δ γ δ β α γ α= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
3. γ α β γ δα
β δ β δ
± ±= ⇔ =
4. γ α β γ δα
β δ α β γ δ
± ±= ⇔ =
∓ ∓
5. ν 1 2 ν1 2
1 2 ν 1 2 ν
α α α ... αα α...
β β β β β ... β
+ + += = = =
+ + +
Áíáëïãßåò
ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 112
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A1. á) Áí á,â èåôéêïß áêÝñáéïé áñéèìïß ìå á
Üñôéï êáé â ðåñéôôü íá äåé÷èåß üôé:
i) α β+ ðåñéôôüò, ii) α β⋅ Üñôéïò
â) Áí á,â,ã äéáäï÷éêïß èåôéêïß áêÝñáéïé,
íá äåé÷èåß üôé ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò åß-
íáé ðïëëáðëÜóéï ôïõ 3.
A2. Áí x
3y= äåßîôå üôé
x 2y 1
3x y 8
−=
−.
A3. Aí α β γ
β γ δ= = äåßîôå üôé:
2 3
3
β δ γ δ δ
α γ
+ +=
A4. Áí α γ< êáé 0 β δ< < íá äåé÷èåß üôé:
1 1α γβ δ
− < −
A5. á) Áí 3 2
x 2 τότε x 2x x 2> > − +
â) Áí x 1 y τότε xy 1 x y< < + < +
A6. ¸óôù ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á,â,ã ìå
α β 0> > êáé γ 0> .
Íá äåßîåôå üôé: α γ α
β γ β
+<
+
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
3
2
Áí ï áñéèìüò ñ åßíáé ñçôüò áñéèìüò êáé ï
á åßíáé Üññçôïò, íá áðïäåßîåôå üôé ïé áñéèìïß
ρ α+ , ñá êáé α, ρ 0ρ
≠ åßíáé Üññçôïé áñéèìïß.
Ëýóç
Áí ï áñéèìüò ρ α+ åßíáé ñçôüò áñéèìüò,Ýóôù ï ñ’,
ôüôå: ρ α ρ΄ α ρ΄ ρ+ = ⇔ = − Üôïðï, áöïý ρ΄ ρ−
åßíáé ñçôüò áñéèìüò êáé ï á Üññçôïò. Ïìïßùò, áí
ρα ρ΄= ñçôüò áñéèìüò, ôüôå ρ΄
αρ
= Üôïðï áöïý
ï áñéèìüò ρ΄
ρ åßíáé ñçôüò êáé ï á Üññçôïò. ÔÝëïò
áí α
ρ΄ρ= ñçôüò áñéèìüò, ôüôå α ρ ρ΄= ⋅ Üôïðï,
áöïý ρρ΄ ρητός= .
Áí åßíáé 0 α β 1< ≤ < íá áðïäåßîåôå üôé:
1 1α β
α β+ ≥ +
Ëýóç
1 1 1 1α β α βα β β α
+ ≥ + ⇔ − ≥ − ⇔
1( )
( ) ( ) ( )( )
α βα β αβ α β α β
αβ
αβ α β α β 0 α β αβ 1 0
−⇔ − ≥ ⇔ − ≥ − ⇔
⇔ − − − ≥ ⇔ − − ≥
¼ìùò áðü õðüèåóç α β α β 0≤ ⇔ − ≤ êáé
α 1, β 1< < ïðüôå αβ 1 αβ 1 0< ⇔ − < .
¢ñá ( )( )α β αβ 1 0− − ≥ .
Áí ê, ë åßíáé áêÝñáéïé èåôéêïß áñéèìïß,
ôüôå éó÷ýåé:
á. x 1> êáé κ λ> ôüôå κ λx x>
â. 0 x 1< < êáé κ λ> ôüôå κ λx x<
Ëýóç
á. ÅðåéäÞ ê > ë, åßíáé κ λ ν= + , ìå í öõóéêü.
Ôüôå:
( )λ ν λ λ ν λ λ νx x x x x 0 x x 1 0
+> ⇔ ⋅ − > ⇔ − >
ðïõ éó÷ýåé áöïý
λx 0 x 0> ⇔ >
êáéν ν
x 1 x 1 x 1 0> ⇔ > ⇔ − >
â. Áðïäåéêíýåôáé üðùò ç (á).
13äõíÜìåéò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü
ÄÕÍÁÌÅÉÓ ÌÅ ÅÊÈÅÔÇ
ÁÊÅÑÁÉÏ ÁÑÉÈÌÏ
ÄõíÜìåéò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìüÁ.2
¸óôù á ðñáãìáôéêüò áñéèìüò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ìå ν 2≥ . Ôüôå ïñß-
æïõìå:
ν
ν παράγοντες
α α α . . . α
−
= ⋅����� , ν 2≥
êáé ãéá 1ν 1 : α α= =
Áí åðéðëÝïí α 0≠ , ôüôå ïñßæïõìå 0α 1= êáé
ν
ν
1α
α
−
=
Ðñïóï÷Þ: Áí α β= ôüôå ðÜíôá éó÷ýåé üôé êáé ν να β= . Ôï áíôßóôñïöï üìùò
äåí éó÷ýåé áí á,â äåí åßíáé èåôéêïß áñéèìïß.
Ð.÷. ( )2 2
3 3− = åíþ 3 3− ≠ .
Ìå ôïõò áíáãêáßïõò ðåñéïñéóìïýò éó÷ýïõí oé åðüìåíåò éäéüôçôåò:
i) ν µ ν µα α α
+⋅ = ii) ν µ ν µ
α : α α−
=
iii) ( )µ
ν ν µα α ⋅= iv) ( )
νν να β αβ⋅ =
v)
νν
ν
α α
ββ
=
vi)
ν να β
β α
−
=
üðïõ í,ì áêÝñáéïé áñéèìïß
ÐáñáôçñÞóåéò:
Ïé éäéüôçôåò áõôÝò äåß÷íïõí ðùò êÜíïõìå ðïëëáðëëáóéáóìïýò êáé äéáéñÝóåéò ìå
äõíÜìåéò êáé ðþò õøþíïõìå äýíáìç óå äýíáìç.
Áðü ôïí ïñéóìü ôçò äýíáìçò να ðñïêýðôïõí Üìåóá ôá åîÞò:
Ïé áñíçôéêÝò äõíÜìåéò ôïõ 0 êáé ç äýíáìç 00 äåí Ý÷ïõí íüçìá
Ïé èåôéêÝò äõíÜìåéò ôïõ 0 åßíáé ßóåò ìå ôï 0. ð.÷. 19600 0=
Ïé Üñôéåò äõíÜìåéò ôïõ α 0≠ åßíáé èåôéêïß áñéèìïß.
ð.÷. ( )4
2− , ( )4
3−
− , 4
7−
åßíáé èåôéêïß áñéèìïß,áöïý ïé åêèÝôåò åßíáé Üñôéïé.
Ïñéóìüò
Éäéüôçôåò
äõíÜìåùí
14 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 2
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A7. Íá õðïëïãéóôïýí ïé áêÝñáéïé áñéèìïß: x, y
ìå x 3, y 2> > áí éó÷ýåé: x 1 y 12 5 20
− −⋅ = .
A8. Áí ν Ν∈ (Öõóéêüò) íá äåé÷èåß üô é :
( ) ( ) ( ) ( )ν ν 1 ν 2 ν 3
1 1 1 1 0+ + +
− + − + − + − = .
A9. Íá ãñáöåß óå äåêáäéêÞ ìïñöÞ ç ôéìÞ
ôçò ðáñÜóôáóçò:
( ) ( )
( )
1 22 6
1 1
2,5 5 2 0,4Α
8 0,1
− −−
− −
⋅ ⋅ ⋅ −=
− ⋅
A10. Áí ÷,y áêÝñáéïé áñéèìïß, íá âñåèïýí ïé
ôéìÝò ôçò ðáñÜóôáóçò
( ) ( )x y3 5
Κ 2 1 12 2
= − − − + .
A11. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áêÝñáéï ÷ þóôå íá
éó÷ýåé:
i) ( )100
x 2
2 1−
− =
iii) ( )4x 6
1 1−
− =
ii) ( )x 1
5
1 1
+
− = −
iv) ( )2x 10
1 1+
− = −
A12. Aí *α Ζ∈ êáé x, y,ω Ζ∈ ôüôå íá áðï-
äåé÷èåß üôé:
x y y ω ω xx y ω
y ω x
α α α1
α α α
+ + +
⋅ ⋅ =
A13. Áí α 0, x, y≠ áêÝñáéïé þóôå xα αx=
êáé x y= − íá áðïäåé÷èåß üôé:
y
1αy
α
= −
A14. Áí 2α α 1 0, α 0+ + = ≠ ôüôå íá áðïäåé÷-
èåß üôé:
i) 3α 1=
ii) 2007 2007α α 2
−+ =
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá åöáñìüóåôå ôéò éäéüôçôåò ôùí äõ-
íÜìåùí óôéò ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò (ôá áðï-
ôåëÝóìáôá íá äïèïýí ìå èåôéêü åêèÝôç).
i) ( )
22 1 2
3 2 4
α β γ
α β γ
−− −
− −
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ii)
3 4
2 2
λ 2λ:
κ 5κ
− −
Ëýóç
i) ( )
22 1 2 4 2 4
7
3 2 4 3 2 4
α β γ α β γα
α β γ α β γ
−− −
−
− − − −
⋅ ⋅= =
ii) 3 4 3 2 3 2
2 2 2 4 2 4
λ 2λ λ 5κ λ 5κ 5λ:
2κ 5κ κ 2λ κ 2λ
− − − −
− −
⋅= ⋅ = =
1Aí ( )
43 2
κ α β γ−
−= êáé
( )3
4 5
2 3 2
α βγλ
α β γ
−
−=
íá âñåßôå ôçí ðáñÜóôáóç 3 2κ : λ
−
Ëýóç
( ) ( )3
4 123 3 2 3 2 36 24 12κ α β γ α β γ α β γ
− −− − − − = = = ⋅
2 212 3 15 10 20
2
2 3 2 13 26
α β γ α αλ
α β γ γ γ
− −− −
−
− −
= = =
¢ñá 36 24 12 26
3 2 16 24 38
20
α β γ γκ : λ α β γ
α
− − −
− − −
−= = ⋅
15ôáõôüôçôåò
ÔÁÕÔÏÔÇÔÅÓ
ÔáõôüôçôåòÁ.3
Ôáõôüôçôá åßíáé ìßá éóüôçôá ðïõ ðåñéÝ÷åé êÜðïéåò ìåôáâëçôÝò êáé éó÷ýåé ãéá
ïðïéåóäÞðïôå ôéìÝò ôùí ìåôáâëçôþí áõôþí. (Óå áíôßèåóç ìå ôçí åîßóùóç
ðïõ éó÷ýåé ãéá ïñéóìÝíåò ìüíï ôéìÝò).
Óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá áíáöÝñïíôáé ïé áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò.
( )2 2 2α β α 2αβ β+ = + +
( )2 2 2α β α 2αβ β− = − +
( )( ) 2 2α β α β α β+ − = −
( )( ) ( )2x α x β x α β x αβ+ + = + + +
( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β+ = + + +
( )3 3 2 2 3α β α 3α β 3αβ β− = − + −
( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β+ = + − +
( )( )3 3 2 2α β α β α αβ β− = − + +
êáé ãåíéêÜ:
( )( )ν ν ν 1 ν 2 ν 2 ν 1α β α β α α β ... αβ β− − − −− = − + + + +
×ñÞóéìåò åßíáé óå ïñéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò êáé ïé ðáñáêÜôù ôáõôüôçôåò:
Ôáõôüôçôá ôïõ Euller
( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 3 1
α β γ 3αβγ α β γ α β β γ γ α2
+ + − = + + − + − + −
ÅéäéêÜ: Áí α β γ 0+ + = Þ 3 3 3α β γ α β γ 3αβγ= = ⇔ + + =
Ôáõôüôçôá ôïõ Lagrange
( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2α β γ δ αγ βδ αδ βγ+ + − + = −
üëåò ïé ôáõôüôçôåò áðïäåéêíýïíôáé åýêïëá ìå åêôÝëåóç ôùí ðñÜîåùí ðïõ
óçìåéþíïíôáé.
ÈÅÙÑÉÁ
Ïñéóìüò
16 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 3
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A15. Ná êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:
i) ( ) ( )2 2
4x 3α 3x 4α+ − −
ii) ( ) ( )3 3
3α 2 3α 2+ − −
iii) ( )( ) ( )2
2 4x 2 4x 4x 1+ − − −
iv) ( )( ) 2x 1 x 1 x 5x− + − − − +
3
2
1 Áí αβγ 0≠ êáé α β γ αβγ+ + = ôüôå
α β β γ γ α3 αβ βγ γα
γ α β
+ + ++ + + = + +
Ëýóç
α β β γ γ α3
γ α β
αβγ γ αβγ α αβγ β3
γ α β
αβ 1 βγ 1 αγ 1 3 αβ βγ αγ
+ + ++ + + =
− − −= + + + =
= − + − + − + = + +
i) Ná äåßîåôå üôé:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
α β β γ γ α
3 α β β γ γ α
− + − + − =
= − − −
ii) Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
( ) ( ) ( )3 3 3
x 2 3x 4 6 4x 0− + − + − =
Ëýóç
i) EðåéäÞ ( ) ( ) ( )α β β γ γ α 0− + − + − = óýìöùíá
ìå ôçí ôáõôüôçôá ôïõ Euller éó÷ýåé üôé:
( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 3 3α β β γ γ α
3 α β β γ γ α
− + − + − =
= − − −
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
ii) Oìïßùò åðåéäÞ
( ) ( ) ( )x 2 3x 4 6 4x 0− + − + − = éó÷ýåé üôé:
( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 3 3x 2 3x 4 6 4x
3 x 2 3x 4 6 4x
− + − + − =
= − − −
¢ñá ç áñ÷éêÞ åîßóùóç åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí:
( )( )( )3 x 2 3x 4 6 4x 0− − − = ⇔
x 2 0− = ή 3x 4 0− = ή 6 4x 0− =
x 2= Þ 4
x3
= Þ 3
x2
=
Áí ( )2 2 2 2
α β γ α β γ+ + = + + êáé
αβγ 0≠ ôüôå 1 1 1
0α β γ+ + =
Ëýóç
Áðü ôç ãíùóôÞ ôáõôüôçôá
( ) ( )2 2 2 2α β γ α β γ 2 αβ βγ αγ+ + = + + + + + ,
ëüãù ôçò õðüèåóçò, ðñïêýðôåé üôé:
αβ βγ αγ 0+ + =
Ïðüôå äéáéñþíôáò ìå αβγ 0≠ Ý÷ïõìå:
1 1 10
α β γ+ + =
A16. Ná áðïäåé÷ôïýí ïé ôáõôüôçôåò:
i) ( ) ( )2 2
x y x y 4xy+ − − =
ii) ( ) ( ) ( )2 2 22α 2α 5 2α 3 α 4+ + − + = +
iii) ( )( ) ( )( )3 4 4α β α β α β 2αβ α β α β− + − + = + −
iv) ( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 2 2 2α β 4αβ α β α β 2αβ+ + − = − +
17ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí
ÐÁÑÁÃÏÍÔÏÐÏÉÇÓÇ ÁËÃÅÂÑÉÊÙÍ
ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ
Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùíÁ.4
Ðáñáãïíôïðïßçóç åßíáé ç äéáäéêáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá ìåôáôñÝðïõìå ìéá
áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç óå ãéíüìåíï üóï ôï äõíáôüí áðëïýóôåñùí ðáñáãü-
íôùí. Áõôü ãßíåôáé óõíÞèùò ìå åöáñìïãÞ ôçò åðéìåñéóôéêÞò éäéüôçôáò, ôùí
ãíùóôþí ôáõôïôÞôùí Þ êáé ìå óõíäõáóìü áõôþí.
( )( )παραγοντοποίηση2
επιµεριστικήx 1 x 1 x 1→− + −←
ð.÷. ( )2x 4 2 x 2− = − . ÊÜíáìå ðáñáãïíôïðïßçóç âãÜæïíôáò êïéíü ðáñÜ-
ãïíôá ôï 2.
ÐáñÜäåéãìá 1. Íá êÜíåôå ãéíüìåíá ôéò ðáñáóôÜóåéò
á. 3 2xy 3xy 2x 6xy− + − â. 2 2
2x y 6xyω 8xy− +
Ëýóç:
á. Ðáñáôçñïýìå üôé åìöáíßæåôáé óå üëïõò ôïõò üñïõò ôï x.
Ìå åöáñìïãÞ ôçò åðéìåñéóôéêÞò éäéüôçôáò Ý÷ïõìå:
( )3 2 3 2xy 3xy 2x 6xy x y 3y 2 6y− + − = − + −
â. ¼ëïé ïé üñïé ôçò ðáñÜóôáóçò Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá ôï 2xy.
Óõíåðþò:
( )2 22x y 6xyω 8xy 2xy x 3ω 4y− + = − +
ÐáñÜäåéãìá 2. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò
á. xy 3x 2y 6− + − â. 3 23x x y 6x 2y− + −
Ëýóç
á. Ç ðáñÜóôáóç ÷ùñßæåôáé óå ïìÜäåò ðïõ Ý÷ïõí êïéíü ðáñÜãïíôá.
( ) ( ) ( )( )xy 3x 2y 6 x y 3 2 y 3 y 3 x 2− + − = − + − = − +
â. ( ) ( )3 2 3 23x x y 6x 2y 3x x y 6x 2y− + − = − + − =
( ) ( ) ( )( )2 2x 3x y 2 3x y x 2 3x y= − + − = + −
3á. ÁíÜðôõãìá ôåôñáãþíïõ ( )
( )
2 2 2
2 2 2
α β α 2αβ β
α β α 2αβ β
+ = + +
− = − +
ÐáñÜäåéãìá 3á. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò
i) 2 225x 20xy 4y− + ii) 2 2
9x 24xy 16y− +
iii) 2 216x 40xy 25y+ +
ÄéÜöïñåò
ìïñöÝò
ðáñáãïíôï-
ðïßçóçò
1ç ðåñßðôùóç:
Êïéíüò
ðáñÜãïíôáò
(áðü üëïõò
ôïõò üñïõò)
2ç ðåñßðôùóç:
Ïìáäïðïßçóç
(Êïéíüò
ðáñÜãïíôáò
êáôÜ ïìÜäåò)
3ç ðåñßðôùóç:
×ñÞóç
ôáõôïôÞôùí
18 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4
( ) ( ) ( )2 2 22 2
25x 20xy 4y 5x 2 5x 2y 2y 5x 2y− + = − ⋅ ⋅ + = −
ii) ( ) ( ) ( )2 2 22 2
9x 24xy 16y 3x 2 3x 4y 4y 3x 4y− + = − ⋅ ⋅ + = −
iii) ( ) ( ) ( )2 2 22 2
16x 40xy 25y 4x 2 4x 5y 5y 4x 5y+ + = + ⋅ ⋅ + = +
3â. ÄéáöïñÜ ôåôñáãþíùí ( ) ( )2 2α β α β α β− = + −
ÐáñÜäåéãìá 3â. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò
i) 2 225x 4y− ii) 4 8
16x y−
Ëýóç
i ) ( ) ( ) ( )( )2 22 2
25x 4y 5x 2y 5x 2y 5x 2y− = − = − +
ii) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 24 8 2 4 2 4 2 4
222 4 2 2 4 2 2
16x y 4x y 4x y 4x y
4x y 2x y 4x y 2x y 2x y
− = − = + − =
= + − = + + −
3ã. ¢èñïéóìá - ÄéáöïñÜ êýâùí ( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 2
α β α β α αβ β
α β α β α αβ β
+ = + − +
− = − + +
ÐáñÜäåéãìá 3ã. Íá ðáñáãïíôïðïéÞóåôå ôéò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò
i) 3x 64− ii) 3
8x 27+
Ëýóç
i ) ( )( ) ( )( )3 3 3 2 2 2x 64 x 4 x 4 x 4x 4 x 4 x 4x 16− = − = − + + = − + +
ii) ( ) ( ) ( ) ( )( )33 3 2 2 2
8x 27 2x 3 2x 3 2x 2x 3 3 2x 3 4x 6x 9 + = + = + − ⋅ + = + − +
3ä. Ôñéþíõìï 2ïõ âáèìïý ( ) ( ) ( )2x α β x αβ x α x β+ + + = + +
Èá ãíùñßóïõìå, áñãüôåñá, Ýíá ôñüðï ðéï ãåíéêü üôáí èÝëïõìå íá ðáñáãïíôïðïéÞóïõìå Ýíá
ôñéþíõìï 2ïõ âáèìïý, äçëáäÞ ìßá ðáñÜóôáóç ôçò ìïñöÞò 2αx βx γ, α 0+ + ≠ .
Ðñïò ôï ðáñüí ðåñéïñéæüìáóôå óå ôñéþíõìá ôçò ìïñöÞò: 2x κx λ+ + , ïðüôå ìå ÷ñÞóç ôçò
ôáõôüôçôáò: ( ) ( )( )2x α β x αβ x α x β+ + + = + + , áíáæçôïýìå äýï áñéèìïýò á,â ðïõ íá Ý÷ïõí Ü-
èñïéóìá ê êáé ãéíüìåíï ë.
19ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí
ÐÁÑÁÃÏÍÔÏÐÏÉÇÓÇ ÁËÃÅÂÑÉÊÙÍ
ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ
ÐáñÜäåéãìá 3ä. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá
i) 2x 5x 6− + ii) 2
x 4x 3+ + iii) 2x x 2− −
Ëýóç
i ) Ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 2, 3− − áöïý ( ) ( )2 3 5− + − = − êáé ( ) ( )2 3 6− ⋅ − = .
¢ñá ( )( )2x 5x 6 x 2 x 3− + = − −
ii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 1,3 áöïý 1 3 4+ = êáé 1 3 3⋅ = .
¢ñá: ( )( )2x 4x 3 x 1 x 3+ + = + +
iii) Oé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ïé 2,1− áöïý ( )2 1 1− + = − êáé ( )2 1 2− ⋅ = − .
¢ñá: ( )( )2x x 2 x 2 x 1− − = − +
ÐáñÜäåéãìá 4. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò
i) 2
2x 18− ii) 2 2x 2xy y 9− + − +
iii) 2 2x y x 2xy y− + − + iv) 9 7 5 3
x x x x− − +
Ëýóç
i) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 22x 18 2 x 9 2 x 3 2 x 3 x 3− = − = − = − +
ii) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2 2x 2yx y 9 9 x 2xy y 9 x y 3 x y
3 x y 3 x y 3 x y 3 x y
− + − + = − − + = − − = − − =
= − − + − = + − ⋅ − +
iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2
x y x 2xy y x y x y x y 1 x y x y 1 x y− + − + = − + − = − + − = − + −
iv) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
9 7 5 3 3 6 4 2 3 4 2 2
3 2 4 3 2 2 2
2 23 2
x x x x x x x x 1 x x x 1 x 1
x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1
x x 1 x 1 x 1
− − + = − − + = − − − =
= − − = − + − =
= − + +
ÐáñÜäåéãìá 4â (ÓðÜóéìï Þ Ðñïóèáöáßñåóç üñïõ)
Íá ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò
i) 2 2x 2xy 3y+ − ii)
4 2x 5x 9+ +
Ëýóç
i ) ÓðÜìå ôï 23y− óå 2 2
y 4y−
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 22 2 2 2 2x 2xy 3y x 2xy y 4y x y 2y x y 2y x y 2y
x 3y x y
+ − = + + − = + − = + + + − =
= + −
ii) Ðñïóèáöáéñïýìå ôï 2x
4ç ðåñßðôùóç:
Óõíäõáóìüò
ôùí
ðáñáðÜíù
ðåñéðôþóåùí
20 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 4
( )
( )( ) ( )( )
24 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2
2 2 2 2
x 5x 9 x 5x 9 x x x 6x 9 x x 3 x
x 3 x x 3 x x x 3 x x 3
+ + = + + + − = + + − = + − =
= + + + − = + + − +
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A17. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) ( )4x x 2y x 2y− − +
ii) 2 2 2 25α βx γy γx 5α βy+ − −
iii) 2 236x 49y−
iv) 4 416x y−
v) 225x 20x 4− +
vi) 3 3α β 27−
vii) 2ω ω 2− −
viii) 2y 6y 40+ −
ix) 4 2 2 4x x y y+ +
x) 2 2x 6xy 8y+ +
A18. Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) 2 2y 2x x 1+ − −
ii) 25x 10x 15+ −
iii) ( ) ( ) ( )( )2 2
x 5 x 2 4 x x 5+ − + − +
iv) 5 2x x+
v) ( )( ) ( )2
2x 1 x 1 9 2x 1+ − − +
vi) ( ) ( ) ( )23 2
α 1 2 α 1 α 1− − − − −
A19. Oìïßùò:
i) 2 1λ λ
4− +
ii) ( ) ( )2 2
2 2 2 213x 5y 12x 4y− − +
iii) ( )4 2 2 2 2 2γ 1 α β γ α β− + +
iv) 3 2x 10x 9x− +
v) 7 4 3x 8x x 8+ − −
vi) ( ) ( ) ( ) ( )6 4 2 3
x 5 x 6 2 x 6 x 5+ + − − − +
A20. Ná ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáêÜôù ðá-
ñáóôÜóåéò:
i) ( ) ( ) ( )α α 3y β x α x α 3y− + − − −
ii) 2 2 3αβ 2α 2β 4αβ− + −
iii) 3375x 3−
iv) ( ) ( )3 3
x 2y 2x y+ − −
v) 3 2x x xy x y 1− + + − −
vi) ( ) ( ) ( )3 3 3
x y y z z x− + − + −
A21. Ná ãßíïõí ãéíüìåíá ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
x y z ω x y z ω
z z ω z z ω
− + − − − +
+ − − +
ii) 2 2 2 2 2 2α β αβ β γ βγ γ α γα 2αβγ+ + + + + +
iii) 2 2 2 2 2 2α β αβ β γ βγ γ α γα− + − + −
iv) ( )( )22 2 2 2
x y x y x y+ + +
21êëÜóìá (ñçôÞ ðáñÜóôáóç)
ÊËÁÓÌÁ
(ÑÇÔÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ)
ÊëÜóìá (ÑçôÞ ÐáñÜóôáóç)Á.5
¸íá êëÜóìá Α
ΚΠ
= , Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ìüíïí üôáí ï
ðáñïíïìáóôÞò åßíáé äéáöïñåôéêüò áðü ôï 0 . ( Π 0≠ )
ð.÷. ôï êëÜóìá 2x 1
x 1
−
+ ïñßæåôáé ìüíïí üôáí x 1 0+ ≠ äçë. x 1≠ − .
Ïé ôéìÝò ãéá ôéò ïðïßåò ïñßæåôáé Ýíá êëÜóìá áðïôåëïýí ôï ðåäßï (óýíïëï)
ïñéóìïý ôçò êëáóìáôéêÞò ðáñÜóôáóçò.
¼óïí áöïñÜ óôéò ðñÜîåéò êëáóìáôéêþí ðáñáóôÜóåùí éó÷ýåé üôé êáé óôéò
ðñÜîåéò ôùí áñéèìçôéêþí êëáóìÜôùí. Ãéá íá ðñïóèÝóïõìå Þ íá áöáéñÝó-
ïõìå êëáóìáôéêÝò ðáñáóôÜóåéò ðñÝðåé íá ôéò ìåôáôñÝøïõìå Ýôóé þóôå íá
Ý÷ïõí ôïí ßäéï ðáñïíïìáóôÞ (ïìþíõìåò). Áõôü ãßíåôáé áíáëýïíôáò ôïõò
ðáñïíïìáóôÝò óå ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí.Ôüôå ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí
åßíáé ôï ãéíüìåíï üëùí ôùí ðáñáãüíôùí (êïéíþí êáé ìç êïéíþí), ï êáèÝ-
íáò ìå ôïí ìåãáëýôåñï åêèÝôç ðïõ óçìåéþíåôáé.
ð.÷. ( ) ( ) ( )( )2
3 4 5 3 4 5
2x 2 3x 3 2 x 1 3 x 1 4 x 1 x 14x 4+ + = + − =
+ − + − + −−
(Åäþ Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí åßíáé ( )( )12 x 1 x 1+ − )
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
18 x 1 16 x 1 15
12 x 1 x 1 12 x 1 x 1 12 x 1 x 1
− += + − =
+ − + − + −
( ) ( )
( )( ) ( )( )
18 x 1 16 x 1 15 18x 18 16x 16 15
12 x 1 x 1 12 x 1 x 1
− + + − − + + −= = =
+ − + −
( )( )
( )
( )( )
17 2x 134x 17
12 x 1 x 1 12 x 1 x 1
−−= =
+ − + −
Ðñïóï÷Þ! Âñßóêïõìå ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò êëáóìáôéêÞò ðáñÜóôáóçò óôçí
áñ÷éêÞ ôçò ìïñöÞ, äçëáäÞ ðñéí áðü ïðïéáäÞðïôå ðéèáíÞ áðëïðïßçóç.
ð.÷. ãéá ôï êëÜóìá 2
2x 2
x 1
−
−, ðåäßï ïñéóìïý åßíáé ôï { }R 1,1− − êáé ü÷é áõôü
ðïõ “öáßíåôáé” íá åßíáé ìåôÜ ôçí áðëïðïßçóç
( )
( )( )2
2 x 12x 2 2
x 1 x 1 x 1x 1
−−= =
− + +−
, äçë. ôï { }R 1− − .
ÑçôÞ
ðáñÜóôáóç
22 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 5
A22. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:
i)
2
2 2
4x x 2y,
3y 2x 3y 2x4x 9y
3x y
2
+ +− +−
≠ ±
iv)
x y2
y x, x, y 0 και x y
1 1
x y
+ +
≠ ≠ −
+
A23. Ná ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:
i)
2 2
2 2
x x x 5x 6
x 3x 2 x 3x
+ + +⋅
+ + +
ii)
2 2
2 2 2
x 36 x 6x:
α αy α y
− +
− −
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ïñßæåôáé ç ðá-
ñÜóôáóç
( )
22x x 1
Ax 1 x x 2
+= +
+ −
Ëýóç
H ðáñÜóôáóç Á Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéè-
ìïý üôáí
x 1 0+ ≠ êáé ( )x x 2 0− ≠ ⇔
x 1 0+ ≠ êáé x 0≠ êáé x 2 0− ≠ ⇔
x 1≠ − êáé x 0≠ êáé x 2≠ .
¢ñá ç ðáñÜóôáóç Á ïñßæåôáé ãéá êÜèå
{ }x R 1,0,2∈ − − Þ (ìå ÷ñÞóç äéáóôçìÜôùí)
( ) ( ) ( ) ( )x , 1 1,0 0,2 2,∈ −∞ − ∪ − ∪ ∪ +∞ .
Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò
i) 2
2
x 6x 9
x 3x
+ +
+
ii) 2
2
ω 8ω 16
ω 16
− +
−
Ëýóç
i) ( )
( )
22
2
x 3x 6x 9 x 3
x x 3 xx 3x
++ + += =
++
ii) ( )
( )( )
22
2
ω 4ω 8ω 16 ω 4
ω 4 ω 4 ω 4ω 16
−− + −= =
− + +−
A24. Íá áðëïðïéçèåß ôï êëÜóìá
( ) ( )
( ) ( )
α 5α -9β + 2β α -3β
2β 4α -5β -3α 3β -α
A25. Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3α β γA = + +
α -β α - γ β - γ β -α γ -α γ -β
A26. Áí α +β + γ = 0 , áðïäåßîôå üôé:
2 2 2 2 2 2α -β - 2βγ β - γ - 2αγ γ - α - 2αβΑ = + + = 0
α +β β + γ α + γ
A27. Áí α +β + γ = 0 , áðïäåßîôå üôé:4 4 4
3 3 3 3 3 3
α β γΑ = + + = 0
β + γ -3αβγ γ + α -3αβγ α +β -3αβγ
2
23áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý
ÁÐÏËÕÔÇ ÔÉÌÇ
ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÕ ÁÑÉÈÌÏÕ
Áí ÷ åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, ç áðüëõôç ôéìÞ ôïõ óõìâïëßæåôáé ìå x
êáé ïñßæåôáé ùò åîÞò:
x, αν x 0x
x, αν x 0
≥=
− <
ð.÷. 1 1
3 3, , 0,4 0,42 2
= − = = ê.ë.ð.
Áðü ôïí ïñéóìü ôçò áðüëõôçò ôéìÞò ðñïêýðôåé áìÝóùò üôé:
Áí x 0= ôüôå x 0= , åíþ áí x 0≠ ôüôå x 0> äçëáäÞ x 0≥ ãéá êÜèå
ðñáãìáôéêü áñéèìü.
ÃåùìåôñéêÜ, ç áðüëõôç ôéìÞ åíüò áñéèìïý á ðáñéóôÜíåé ôçí áðüóôáóç
ôçò åéêüíáò ôïõ ðïõ åßíáé óôïí Üîïíá ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí
áðü ôï 0 ôïõ Üîïíá.
Áðüóôáóç äýï áñéèìþí óôïí Üîïíá x x′
Åßíáé öáíåñü üôé ç áðüóôáóç äýï áñéèìþí ðÜíù óôïí Üîïíá x x′ åßíáé
ßóç ìå ôç äéáöïñÜ ôïõ ìéêñüôåñïõ áðü ôïí ìåãáëýôåñï.
¸ôóé ð.÷. ç áðüóôáóç ôùí áñéèìþí 4 êáé -1 åßíáé ßóç ìå ( )4 1 5− − = .
Ìå ôïí ßäéï ôñüðï âëÝðïõìå üôé ç áðüóôáóç d äýï ïðïéoíäÞðïôå áñéè-
ìþí á,â ðÜíù óôïí Üîïíá åßíáé ßóç ìå ôç äéáöïñÜ ôïõ ìéêñüôåñïõ áðü
ôïí ìåãáëýôåñï, äçëáäÞ åßíáé ßóç ìå á-â (áí ìåãáëýôåñïò åßíáé ï á) Þ â-
á (áí ìåãáëýôåñïò åßíáé ï â).
Ôï óõìðÝñáóìá áõôü óõìâïëéêÜ ãñÜöåôáé:
α β, αν α β α β, αν α β 0d
β α, αν α β β α, αν α β 0
− ≥ − − ≥ = =
− < − − <
Áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïýÁ.6
ÈÅÙÑÉÁ
Ïñéóìüò
ÃåùìåôñéêÞ
åñìçíåßá
24 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 6
ÐáñáôçñÞóåéò
i ) EðåéäÞ α 0≥ êáé β 0≥ , óõìðåñáßíïõìå üôé ç ó÷Ýóç: α β 0+ = , åðáëçèåýåôáé üôáí êáé
ìüíï üôáí α 0= êáé β 0= , äçëáäÞ éó÷ýåé: α β 0 α 0+ = ⇔ = êáé β 0= .
Áõôü öõóéêÜ óçìáßíåé üôé ç ðáñÜóôáóç α β+ åßíáé äéáöïñåôéêÞ áðü ôï ìçäÝí üôáí êáé
ìüíï üôáí ïé á êáé â äåí åßíáé ôáõôü÷ñïíá ßóïé ìå ôï ìçäÝí.
ii) Ãéá ôçí ôñéãùíéêÞ áíéóüôçôá éó÷ýåé: x y x y+ = + üôáí ïé áñéèìïß x,y åßíáé ïìüóçìïé,
êáé x y x y− = + üôáí ïé áñéèìïß åßíáé åôåñüóçìïé.
iii) Oé ó÷Ýóåéò x θ= êáé x θ≤ ìå θ 0< åßíáé áäýíáôåò, åíþ ç x θ≥ éó÷ýåé ãéá êÜèå
x R∈ .
Ðáñáôçñïýìå üôé, óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôçò áðüëõôçò ôéìÞò, ï ôýðïò áõôüò ðáßñíåé ôç
ìïñöÞ:
d α β απόσταση των αριθµών α,β= − =
Éäéüôçôåò
Ãéá ôçí áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý áðïäåéêíýïíôáé åýêïëá ïé ðéï êÜôù éäéüôçôåò.
1) x x , x R− = ∈ 2) x x x− ≤ ≤ 3)2 2x x=
4) x y x y , x, y R⋅ = ⋅ ∈ . ÃåíéêÜ: 1 2 ν 1 2 νx x ...x x x ... x⋅ = ⋅
5) *xx, x R, y R
y y= ∈ ∈ 6)
κκ *x x , κ Ζ= ∈
7) x y x y x y− ≤ + ≤ + (ÔñéãùíéêÞ áíéóüôçôá)
ÃåíéêÜ: 1 2 ν 1 2 νx x ... x x x ... x+ + + ≤ + + +
8) x θ, θ 0 x θ ή x θ= > ⇔ = − = 9) x θ, θ 0 θ x θ≤ > ⇔ − ≤ ≤
10) x θ, θ 0 x θ ή x θ≥ > ⇔ ≤ − ≥
25áðüëõôç ôéìÞ ðñáãìáôéêïý áñéèìïý
ÁÐÏËÕÔÇ ÔÉÌÇ
ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏÕ ÁÑÉÈÌÏÕ
3
2
1 Íá áðïäåßîåôå ôçí éóïäõíáìßá:
α α α α α 0+ = − ⇔ =
Ëýóç
( )α α α α+ = − − åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ α
áðü ôï -á
α α α α− = − åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ α áðü
ôï á.
¢ñá ç éóüôçôá α α α α+ = − óçìáßíåé üôé ï
α éóáðÝ÷åé áðü ôï -á êáé ôï á, äçëáäÞ âñß-
óêåôáé óôï ìÝóï ôçò áðüóôáóçò ( )d α,α− êáé
óõíåðþò α 0 α 0= ⇔ = .
Íá ãñÜøåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò
áðüëõôçò ôéìÞò ôéò ðáñáóôÜóåéò:
i) A 1 x x 1= − + − ii) B 2x 1 3x 1= − + −
Ëýóç
i) Aí 1 x 0 x 1− ≥ ⇔ ≤ ôüôå 1 x 1 x− = − êáé
A 1 x x 1 0= − + − =
Áí 1 x 0 x 1− < ⇔ > ôüôå 1 x 1 x− = − + êáé
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
A 1 x x 1 2x 2= − + + − = −
¢ñá 0 , αν x 1
A2x 2, αν x 1
≤=
− >
ii) Aí 1
2x 1 0 x2
− ≥ ⇔ ≥ ôüôå 2x 1 2x 1− = −
êáé B 2x 1 3x 1 5x 2= − + − = −
Áí 1
2x 1 0 x2
− < ⇔ < ôüôå 2x 1 2x 1− = − +
êáé B 2x 1 3x 1 x= − + + − =
¢ñá
15x 2, αν x
2B
1x , αν x
2
− ≥
=
<
Áí α 4
2α 1
+=
+ äåßîôå üôé α 2=
Ëýóç
α 4α 42 2 α 4 2 α 1
α 1 α 1
++= ⇔ = ⇔ + = +
+ +
( )α 4 2 α 1+ = + Þ ( )α 4 2 α 1+ = − + ⇔
α 4 2α 2+ = + Þ α 4 2α 2+ = − − ⇔
α 2 ή α 2 α 2= = − ⇔ =
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A28. Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) 1 x 4
A xx 2 x 3
− −= +
+ − −
, áí 1 x 0− ≤ ≤
ii) 2
2 2
x 2 x 2 xB
x 4 x 4 x 4
+ −= +
− − +
A29. Íá åîåôÜóåôå ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ï-
ñßæåôáé êÜèå ðáñÜóôáóç êáé íá ôç ãñÜ-
øåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò áðüëõôçò
ôéìÞò.
i) x 1
Ax 1 1
−=
− −
ii) 1
Bx 2 3 x
=− −
A30. Áí ( )d x, 2007 3> íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò
ôéìÝò ôïõ x.
26 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 7
Ñßæåò ðñáãìáôéêþí áñéèìþíÁ.7
¸óôù α 0≥ . ÏíïìÜæïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ á êáé óõìâïëßæïõìå ìå α , ôïí
ìç áñíçôéêü áñéèìü â, Ýôóé þóôå 2β α= .
ÄçëáäÞ 2
α β β α , α,β 0= ⇔ = ≥
Ìðïñïýìå åðïìÝíùò íá ðïýìå üôé ç α , α 0≥ ðáñéóôÜíåé ôç ìÞ áñíçôéêÞ ëýóç
ôçò åîßóùóçò 2x α= . Ãåíéêüôåñá:
Áí α 0≥ , ïíïìÜæïõìå íéïóôÞ ñßæá ôïõ á êáé óõìâïëßæïõìå ìå ν α , ôïí ìç áñíçôéêü áñéèìü â þóôå
νβ α= , üðïõ í èåôéêüò áêÝñáéïò äçë. νν
α β β α , α,β 0= ⇔ = ≥ .
¼ðùò êáé ðñïçãïýìåíá, ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé ç ν α , α 0≥ ðáñéóôÜíåé ôç ìç áñíçôéêÞ ëýóç ôçò
åîßóùóçò νx α= . ÓõíÞèùò ãñÜöïõìå: 1 2α α, α α= = , ð.÷.
30 0, 4 2, 27 3= = = ê.ë.ð.
Óôçí Üëãåâñá äåí áíáöåñüìáóôå ìüíï óå ôåôñáãùíéêÝò ñßæåò áñéèìþí áëëÜ êáé áëãåâñéêþí ðáñáóôÜ-
óåùí. ÔÝôïéåò ôåôñáãùíéêÝò ñßæåò åßíáé ð.÷. ïé: x 1+ , 2x 2
x 3
−
−
, x 2y 5− + ê.ë.ð. Óå êÜèå ðåñßð-
ôùóç, ãéá íá Ý÷åé íüçìá ç ôåôñáãùíéêÞ ñßæá, ðñÝðåé ç ðáñÜóôáóç ðïõ âñßóêåôáé ìÝóá óôï ñéæéêü (äçëáäÞ
ç õðüññéæç ðïóüôçôá) íá åßíáé ìåãáëýôåñç Þ ßóç áðü ôï ìçäÝí.
Éäéüôçôåò
1. Áí α 0≥ êáé *ν Ν∈ ôüôå ( )ν
ν α α= êáé ν να α= .
2. 2α α , α R= ∈ . Ãåíéêüôåñá: 2ν 2να α , α R= ∈ êáé
2ν 1 2ν 1α α , α 0+ +
= ≥ .
3. Áí α,β 0≥ êáé *ν Ν∈ ôüôå ννν βα β α ⋅⋅ = .
Áðü ôçí éäéüôçôá áõôÞ ðñïêýðôåé üôé: νν να β α β⋅ = ⋅ êáé ( )κ
ν κ να α= , *
k N∈ .
4. Áí α 0≥ , β 0> êáé *ν Ν∈ ôüôå: ν
ν
ν
α α
β β= .
5. Áí α 0≥ êáé í, ì, ê*Ν∈ ôüôå:
µ νµνα α= êáé
νκ νµκ µα α= .
ÔåôñáãùíéêÞ
ñßæá
í-ïóôÞ
ñßæá
ÄõíÜìåéò ìå ñçôü åêèÝôç
Áí á > 0, ì åßíáé áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ïñßæïõìå:
µ
ν µνα α=
Áí á = 0 ôüôå ãéá ì, í èåôéêïýò áêÝñáéïõò ïñßæïõìå µ
ν0 0= .
27ñßæåò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí
ÑÉÆÅÓ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÙÍ ÁÑÉÈÌÙÍ
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i. 2 2x x 4x 4
Αx x 2
+ += −
+ , áí 2 x 0− < <
ii. ( ) ( )2 44 2B 5 x 2 3 x 3 10 x 2x 1= − − + + + + ,
áí 1 x 2− < <
Ëýóç
i. ( )2x x 2 x x 2
Ax x 2 x x 2
+ += − = −
+ +
Áðü õðüèåóç üìùò x 0 x x< ⇔ = − êáé
x 2 x 2 0 x 2 x 2> − ⇔ + > ⇔ + = +
Üñá x x 2
A 1 1 2x x 2
− += − = − − = −
+
ii. B 5 x 2 3 x 3 10 x 1= − − + + +
Áðü õðüèåóç üìùò Ý÷ïõìå 1 x 2− < < .
Ìå ( )x 2 x 2 0 x 2 x 2< ⇔ − < ⇔ − = − −
Ìå x 1> − ôüôå:
x 3 x 3 0 x 3 x 3> − ⇔ + > ⇔ + = +
x 1 x 1 0 x 1 x 1> − ⇔ + > ⇔ + = +
¢ñá ( ) ( ) ( )B 5 x 2 3 x 3 10 x 1
5x 10 3x 9 10x 10 2x 11
= − − − + + + =
= − + − − + + = +
á. Íá ìåôáôñÝøåôå ôéò ðáñáêÜôù ðáñá-
óôÜóåéò óå éóïäýíáìåò ìå ñçôü ðáñáíïìáóôÞ:
i. 4
3 ii.
3
1
2 iii.
5
2 1− iv.
3
3 2
−
+
â. Íá åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò óôçí ðáñÜóôáóç:
4 5 3
3 2 1 3 2
+ −
− +
Ëýóç
á.i. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéèìç-
ôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå
ôï 3 âñßóêïõìå:
( )2
4 4 3 4 3 4 3
33 3 3 3
= = =⋅
ii. ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéèìçôÞ
êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå ôï
3 22 âñßóêïõìå:
3 3 32 2 2
33 3 23 3
1 2 2 2
22 2 2 2
= = =
⋅
iii. Áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôáõôü÷ñïíá ôïí áñéè-
ìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò ìå
ôï 2 1+ ôüôå èá ìðïñïýìå íá ÷ñçóéìïðïéÞ-
óïõìå óôïí ðáñáíïìáóôÞ ôçí ôáõôüôçôá ôçò
äéáöïñÜò ôåôñáãþíùí. Âñßóêïõìå Ýôóé:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
22
5 5 2 1 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
5 2 15 2 1
2 1
+ += = =
− − ⋅ + −
+= = +
−
.
Ç ðáñÜóôáóç 2 1+ , ðïõ åßíáé âïçèçôéêÞ óôçí
ìåôáôñïðÞ ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ êëÜóìáôïò, ï-
íïìÜæåôáé óõæõãÞò ðáñÜóôáóç ôçò 2 1− .
ÐáñáôçñÞóôå üôé ïé äýï óõæõãåßò ðáñáóôÜóåéò
2 1+ êáé 2 1− äéáöÝñïõí ìüíï êáôÜ ôï
åíäéÜìåóï ðñüóçìï.
iv. Åäþ ç óõæçãÞò ðáñÜóôáóç ôïõ ðáñáíïìáóôÞ
åßíáé ç 3 2− . ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ôïí á-
ñéèìçôÞ êáé ôïí ðáñáíïìáóôÞ ôïõ êëÜóìáôïò
ìå 3 2− âñßóêïõìå:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
3 3 3 2
3 2 3 2 3 2
3 3 2 3 3 2
3 23 2
3 3 2
− − −= =
+ + ⋅ −
− − − −= = =
−−
= − −
28 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 7
â. ×ñçóéìïðïéþíôáò ôá ðáñáðÜíù âñßóêïõìå:
4 5 3
3 2 1 3 2+ − =
− +
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A31. Íá âñåßôå ðüôå ïñßæïíôáé ïé ðáñáêÜôù
ðáñáóôÜóåéò êáé íá ôéò áðëïðïéÞóåôå:
i. 16x 7 x 25x− +
ii. 2 24α β 6 α β 7α β+ −
iii. 2 2x y x 4y 16x y− +
iv. 4 2x 2x 1− +
A32. Íá áðïëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:
i. ( ) ( )2 2
A 2 2 2 2= − + −
ii. ( ) ( )2 2
B 3 2 3 2− −
= − + +
A33. Íá âñåèåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ðáñÜ-
óôáóçò:
2 2A x 4xy y= − + ãéá x 3 2= + êáé
y 2 3= −
A34. i. Õðïëïãßóôå ôéò ðáñáóôÜóåéò:
( )2
2 3 5+ êáé ( )2
2 3 5−
ii. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:
49 12 5 49 12 5− + +
A35. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:
i. 2 8 3 18 4 32 5 50 72− + − +
ii. 3 4 8 3
5 12 27 104 3 9 16− + −
A36. Íá ãñÜøåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò ìå ôç âïÞ-
èåéá ìéáò ìüíï ñßæáò:
i) 233β
4α , α,β 02α
> ii) 4 33 3
iii) 5 332 2 8 2
iv) 2 3
3 4
2 3
x y y, x, y 0
y x x⋅ ⋅ >
A37. Ná õðïëïãßóåôå ôçí ðáñÜóôáóç:
A 18 27 3 3 3 3 3 3= + ⋅ + + ⋅ − +
A38. Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) ( ) ( )2 4 24A 2 x 3 x 2 3 x 4x 4= + − + + − + ,
áí x 2≤
ii) { }2
6 6x 2x 1B 2 x , x R 1
x 1
− += − ∈ −
−
A39. Ná áðïäåßîåôå üôé:
i) 33 2 1 2+ > +
ii) Aí α 0> ôüôå 2 α 1 α 2 α+ > + +
iii) Aí x, y 0> ôüôå: 2 2x y x y
2 2
+ +≥
iv) 112 7 3 16 8 3 3 1
2− + − = −
A40. Ná ìåôáôñÝøåôå ôá ðáñáêÜôù êëÜóìáôá
óå éóïäýíáìá ìå ñçôü ðáñáíïìáóôÞ:
i) 4
3 2 ii)
4
3 3
27 iii)
2
2 2 3−
iv) 1
3 2 1+ − v)
3
33
6
3 2−
( ) ( )4 35 2 1 3 3 2
3
58 2 3 5
3
= + + − − =
= − +
29ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß
ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïßÁ.8
Ïñßæïõìå ùò ôüîï 1ï (ìéáò ìïßñáò) ôï 1
360 ôïõ êýêëïõ êáé
áíôßóôïé÷á, ãùíßá 1ï ôçí åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå
ôüîï 1ï.
Ïñßæïõìå ôüîï 1 rad (åíüò áêôéíßïõ) ôï ôüîï ðïõ Ý÷åé
ìÞêïò ßóï ìå ôçí áêôßíá ôïõ êýêëïõ. Áíôßóôïé÷á ïñßæïõ-
ìå ãùíßá 1rad ôçí åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óå
ôüîï 1rad.
Éó÷ýåé: µα
π 180= , üðïõ á: áêôßíéá, ì: ìïßñåò êáé π 3,14�
(áëëÜ äåí ôï áíôéêáèéóôïýìå ðïôÝ).
Áðü ôç ó÷Ýóç áõôÞ åýêïëá ðñïêýðôåé üôé: µ
α π180
= êáé α
µ 180π
= ⋅
ð.÷. Ýíá ôüîï 300 åßíáé 30 π
α π180 6
= = áêôßíéá, åíþ Ýíá ôüîï π
4 áêôéíßùí åßíáé ßóï
ìå
π
4µ 180 45π
= ⋅ = ìïßñåò.
¸óôù è ïîåßá ãùíßá ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ.
Ïñßæïõìå:
Çìßôïíï ôçò ãùíßáò è:
Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράςβηµθ
α Μήκος της υποτείνουσας= =
Óõíçìßôïíï ôçò ãùíßáò è:
Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράςγσυνθ
α Μήκος της υποτείνουσας= =
ÅöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò è:
Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράςβεφθ
γ Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράς= =
ÓõíåöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò è:
Μήκος της προσκείµενης κάθετης πλευράςγσφθ
β Μήκος της απέναντι κάθετης πλευράς= =
ÌïíÜäåò
ìÝôñçóçò
ôüîùí -
ãùíéþí
Ç ó÷Ýóç ðïõ
óõíäÝåé
áêôßíéá êáé
ìïßñåò
Ôñéãùíïìåôñé-
êïß
áñéèìïß
ïîåßáò
ãùíßáò
30 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8
Ãéá ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ìéáò ïîåßáò ãùíßáò (êáé ü÷é ìüíï) áðïäåéêíýåôáé üôé éó÷ýïõí ïé
ðáñáêÜôù âáóéêïß ôýðïé:
á.
2 2
2 2
2 2
ηµ θ 1 συν θηµ θ συν θ 1
συν θ 1 ηµ θ
= −+ = ⇔
= −
â.
1εφθ
σφθεφθ σφθ 1
1σφθ
εφθ
=
⋅ = ⇔
=
ã. ηµθ
εφθσυνθ
= êáé συνθ
σφθηµθ
=
ä. 2
2
11 εφ θ
συν θ+ = êáé
2
2
11 σφ θ
ηµ θ+ =
Áðü ôïõò âáóéêïýò áõôïýò ôýðïõò (ôáõôüôçôåò) ðñïêýðôïõí åýêïëá ïé ðáñáêÜôù ôýðïé ðïõ åêöñÜ-
æïõí ôï çìßôïíï êáé óõíçìßôïíï ìéáò ãùíßáò, óõíáñôÞóåé ôçò åöáðôïìÝíçò êáé ôçò óõíåöáðôïìÝíçò.
i. 2
2
2
εφ θηµ θ
1 εφ θ=
+
ii. 2
2
1συν θ
1 εφ θ=
+
iii. 2
2
1ηµ θ
1 σφ θ=
+
iv. 2
2
2
σφ θσυν θ
1 σφ θ=
+
Áí óå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ ìéá ïîåßá ãùíßá Â åß-
íáé 300 (ó÷. 1) ôüôå α
β2
= êáé áðü Ðõèáãüñåéï èåþ-
ñçìá α 3
γ2
= , åíþ áí 0Β 45= (ó÷. 2) ôüôå
α 2β γ
2= = . Ïðüôå ìå ôç âïÞèåéá ôùí ïñéóìþí, õ-
ðïëïãßæïíôáé ïé ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ôùí 300, 450 êáé 600. Ôá áðïôåëÝóìáôá
âëÝðåôå óôïí åðüìåíï ðßíáêá: Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß ôùí
30ï, 45ï
êáé 60ï
31ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß
ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
Ôñéãùíïìåôñéêü êýêëï ëÝìå ôïí ðñïóáíá-
ôïëéóìÝíï* êýêëï ìå êÝíôñï ôçí áñ÷Þ Ï ôùí
áîüíùí, áêôßíá ßóç ìå ôç ìïíÜäá êáé áñ÷Þ
ìÝôñçóçò ôùí ôüîùí ôï óçìåßï ( )Α 1, 0 .
Óçìåßùóç:
Ãéá ôïí ðñïóáíáôïëéóìü* ôïõ ôñéãùíïìåôñéêïý êý-
êëïõ, ùò èåôéêÞ öïñÜ ëáìâÜíåôáé ç áíôßèåôç ôçò
êßíçóçò ôùí äåiêôþí ôïõ ñïëïãéïý.
Ôñéãùíïìåôñéêü ôüîï �AΜ åßíáé ï äñüìïò
ðïõ äéáíýåé åðß ôïõ êýêëïõ êéíçôü, ðïõ îåêéíÜ áðü ôï Á êéíåßôáé êáôÜ ôç
èåôéêÞ Þ áñíçôéêÞ öïñÜ êáé óôáìáôÜ óôï Ì (áöïý åíäå÷ïìÝíùò äéáãñÜøåé
ðñïçãïýìåíá Ýíáí áñéèìü ðåñéóôñïöþí).
ÔñéãùíïìåôñéêÞ ãùíßá ˆΑΟΜ åßíáé ç åðßêåíôñç ãùíßá ðïõ áíôéóôïé÷åß óôï ôñéãùíïìåôñéêü ôüîï
�AΜ .
Áðü üëá ôá ôüîá �AΜ (Üðåéñá) åðéëÝãïõìå óõíÞèùò ùò “åêðñüóùðï” ôçò åðßêåíôñçò ãùíßáò ôï
ìéêñüôåñï èåôéêü ôüîï �AΜ (÷ùñßò íá åßíáé áðáñáßôçôï) ôï ïðïßï êáëïýìå ðñùôåýïí ôüîï
Áí ôï ðñùôåýïí �AΜ Ý÷åé ìÝôñï á rad Þ ì ìïßñåò, ôüôå ôï ìÝôñï ôïõ ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ �AΜ èá Ý÷åé
ôç ìïñöÞ:
2κπ α+ óå áêôßíéá Þ 0 0
360 κ µ+ óå ìïßñåò , üðïõ κ Ζ∈ .
ÄçëáäÞ áí è rad (óõíçèßæåôáé ùò ìïíÜäá ôï áêôßíéï) ôï ìÝôñï ôïõ ðñùôåýïíôïò �AΜ êáé x ôï
ìÝôñï ôïõ ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ �AΜ ôüôå:
x 2κπ θ, κ Ζ= + ∈
Äýï ôüîá ðïõ Ý÷ïõí ôï ßäéï ôÝëïò äéáöÝñïõí êáôÜ 2êð.
ÅöáñìïãÞ:
Íá âñåèïýí ôá ôüîá ðïõ ôåëåéþíïõí óôï
i. ( )Α 1, 0 ii. ( )Α' 1, 0− iii. ( )Β 0, 1 iv. ( )Β' 0, 1−
Ëýóç
i. ÅðåéäÞ ôï ðñùôåýïí Ý÷åé ìÝôñï 0, ôá æçôïýìåíá ôüîá èá åßíáé ôçò ìïñöÞò 2κπ, κ Ζ∈ .
ii. ÅðåéäÞ ôï ðñùôåýïí Ý÷åé ìÝôñï ð, ôá æçôïýìåíá ôüîá èá åßíáé ôçò ìïñöÞò 2κπ π, κ Ζ+ ∈ .
iii. Ïìïßùò óêåðôüìåíïé âñßóêïõìå üôé:π
2κπ , κ Ζ2
+ ∈ êáé 3π
2κπ , κ Ζ2
+ ∈ ãéá ôï iv.
Ãåíßêåõóç
ôçò Ýííïéáò
ôïõ ôüîïõ
(ãùíßáò)
Ôñéãùíïìå-
ôñéêüò
êýêëïò
* ¼ôáí ëÝìå ðñïóáíáôïëéóìÝíï åííïïýìå üôé Ý÷ïõìå êáèïñßóåé ìå ðïéÜ öïñÜ
ìåôñÜìå ôéò ãùíßåò(Þ ôá ôüîá).
32 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8
ω (µοίρες)
ω (rad)
ηµω
συνω
εφω
σφω
o ο ο o o o o o0 30 45 60 90 180 270 360
π π π π 3π0 π 2π
6 4 3 2 2
1 2 30 1 0 1 0
2 2 2
3 2 11 0 1 0 1
2 2 2
30 1 3 0 0
3
33 1 0 0
3
−
−
− −
− − −
Óå üðïéï ôåôñáãùíÜêé õðÜñ÷åé “–” óçìáßíåé üôé ï ôñéãùíïìåôñéêüò áñéèìüò äåí ïñßæåôáé.
¸óôù ôüîï �AΜ (áíôßóôïé÷á ãùíßá ˆΑΟΜ ) ìå ìÝôñï
è, üðïõ ( )Μ x, y . Áí ( )∆ x,0 ç ðñïâïëÞ ôïõ Ì óôïí
x 'x , ( )Γ 0, y ç ðñïâïëÞ ôïõ Ì óôïí ( )y ' y, E 1, τ ôï
óçìåßï óôï ïðïßï ç ðñïÝêôáóç ôçò áêôßíáò ÏÌ ôÝìíåé
ôïí Üîïíá ðïõ åöÜðôåôáé ôïõ êýêëïõ óôï ( )Α 1, 0
êáé ( )Ζ σ, 1 ôï óçìåßï óôï ïðïßï ç ðñïÝêôáóç ôçò ÏÌ
ôÝìíåé ôïí Üîïíá ðïõ åöÜðôåôáé ôïí êýêëï óôï óç-
ìåßï ( )Β 0, 1 , ôüôå ïñßæïõìå:
ηµθ y, συνθ x, εφθ τ και σφθ σ= = = =
(Ï ïñéóìüò áõôüò ãåíéêåýåôáé êáé ãéá ìç ïîåßåò ãùíßåò).
Áðü ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü ðñïêýðôïõí :
ηµθ 1, συνθ 1, εφθ R, σφθ R≤ ≤ ∈ ∈
Ç εφθ ïñßæåôáé áí π
θ κπ2
≠ + êáé ç σφθ ãéá θ κπ≠ .
Ôï ðñüóçìï ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí óå ó÷Ýóç ìå ôï ôåôáñôçìüñéï óôï ïðïßï âñßóêåôáé
ôï óçìåßï Ì, öáßíåôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá.
Ìðïñïýìå ôþñá íá åðåêôåßíïõìå ôïí ðßíáêá ôùí ôñéã. áñéèìþí ÷áñáêôçñéóôéêþí ôüîùí (ãùíéþí), ùò åîÞò:
33ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß
ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
¸óôù ôüîï è. Ôüîá ðïõ óõíäÝïíôáé ìå ôï è ìå áðëÞ ó÷Ýóç åßíáé ôá:
π π 3π 3πθ, θ, θ, π θ, π θ, θ, θ, 2π θ, 2π θ, 2κπ θ2 2 2 2
− − + − + − + − + ±
Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôïõò ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò áõôþí ôùí ôüîùí åöáñìü-
æïõìå ôïí åîÞò ðñáêôéêü êáíüíá:
×ùñßæïõìå ôá ôüîá óå äýï êáôçãïñßåò.
Êáôçãïñßá 1. 0 θ, π θ, 2π θ, 2κπ θ± ± ± ±
Êáôçãïñßá 2.π 3πθ, θ
2 2± ±
Áí ôá ôüîá áíÞêïõí óôçí êáôçãïñßá 1 ôüôå ïé ôñéã. áñéèìïß äåí áëëÜæïõí. Áí ôá
ôüîá áíÞêïõí óôçí êáôçãïñßá 2 ôüôå ôï çìßôïíï ãßíåôáé óõíçìßôïíï (êáé áíôß-
óôñïöá), ç åöáðôïìÝíç ãßíåôáé óõíåöáðôïìÝíç (êáé áíôßóôñïöá).
ÔÝëïò ôï ðñüóçìï ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôï ôåôáñôçìüñéï óôï ïðïßï ëÞãåé ôï ôüîï.
(âë. ðßíáêá óôçí ðñïçãïýìåíç óåëßäá).
¸óôù ð.÷. üôé Ý÷ïõìå ôï ( )ηµ π θ− . ÅðåéäÞ ôï π θ− áíÞêåé óôçí 1ç Êáôçãïñßá ôï çìßôïíï èá
ðáñáìåßíåé êáé ôï ðñüóçìï åßíáé èåôéêü, áöïý ôï çìßôïíï óôï äåýôåñï ôåôáñôçìüñéï, óôï ïðïßï
ëÞãåé ôï ôüîï, åßíáé èåôéêü. (èåùñþíôáò ÷ùñßò âëÜâç üôé ç è åßíáé ïîåßá ãùíßá).
¸ôóé ( )ηµ π θ ηµθ− = . Ïìïßùò óêåðôüìåíïé âñßóêïõìå üôé:
( )3π 3π πσυν θ ηµθ, εφ π θ εφθ, σφ θ εφθ, ηµ θ συνθ κ.λ.π.
2 2 2
− = − + = + = − + =
ÁíåîÜñôçôá áðü ôïí êáíüíá ðïõ áíáöÝñáìå, êáëü åßíáé íá ãíùñßæïõìå ôïõò ôýðïõò óôéò ðéï óõíç-
èéóìÝíåò ðåñéðôþóåéò, üðùò:
Ìå ôç âïÞèåéá ôùí ðñïçãïýìåíùí ìðïñïýìå ôñéãùíïìåôñéêïýò áñéèìïýò ïðïéïõäÞðïôå ôüîïõ íá
ôïõò áíáãÜãïõìå óå ôñéãùíïìôñéêïýò áñéèìïýò ôüîïõ ôïõ ðñþôïõ ôåôáñôçìïñßïõ.
ð.÷.
Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß ôüîùí
ðïõ
óõíäÝïíôáé
ìå áðëÞ
ó÷Ýóç.
ÁíáãùãÞ
óôï 1ï
ôåôáñôçìüñéï
34 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8
Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß
äéðëÜóéïõ
ôüîïõ
ð.÷
1. ( )( )
20 0
0 0 0
0 0
31
εφ45 εφ30 3 3 3 33εφ75 εφ 45 30 2 39 31 εφ45 εφ30 3 3 3
13
++ + +
= + = = = = = +−− −
−⋅
2. Éó÷ýåé ç ôáõôüôçôá: ( ) ( ) 2 2συν α β συν α β συν α ηµ β+ − = − , ãéá ïðïéáäÞðïôå ôüîá (ãùíßåò) á êáé
â, äéüôé:
( ) ( ) ( ) ( )συν α β συν α β συνα συνβ ηµα ηµβ συνα συνβ ηµα ηµβ+ − = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2συν α συν β ηµ α ηµ β συν α 1 ηµ β 1 συν α ηµ β= ⋅ − ⋅ = − − − =
2 2 2 2 2 2 2 2συν α συν α ηµ β ηµ β συν α ηµ β συν α ηµ β= − ⋅ − + ⋅ = −
Áðü ôïõò ðñïçãïýìåíïõò ôýðïõò, èÝôïíôáò β α= , ðñïêýðôïõí ïé ôýðïé:
ηµ2α 2ηµα συνα= ⋅
2 2 2 2συν2α συν α ηµ α 2συν α 1 1 2ηµ α= − = − = −
2
2εφαεφ2α
1 εφ α=
− êáé
2σφ α 1σφ2α
2σφα
−=
Ãéá ðáñÜäåéãìá, áí 4
ηµα5
= ìå π
α π2< < èá õðïëïãßóïõìå ôï ηµ2α .
Ãéá ôï Üèñïéóìá α β+ êáé ôç äéáöïñÜ α β− äýï ôüîùí éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù
ôýðïé:
( )0 0 0 0 1ηµ750 ηµ 2 360 30 ηµ30
2
17π 17π 16π π π π 2συν συν συν συν 4π συν
4 4 4 4 4 4 2
13π 13π 12π π π π 3εφ εφ εφ εφ 2π εφ κ.λ.π.
6 6 6 6 6 6 3
= ⋅ + = =
− = = + = + = =
− = − = − + = − + = − = −
Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß
áèñïßóìáôïò
êáé äéáöïñÜò
äýï ôüîùí
συν(α + β) = συνασυνβ - ηµαηµβ συν(α - β) = συνασυνβ + ηµαηµβ
ηµ(α + β) = ηµασυνβ + συναηµβ ηµ(α - β) = ηµασυνβ - συναηµβ
εφα εφβ
εφ(α β)1 εφαεφβ
++ =
−
εφα εφβεφ(α β)
1 εφαεφβ
−− =
+
σφασφβ 1
σφ(α β)σφα σφβ
−+ =
+
σφασφβ 1σφ(α β)
σφβ σφα
+− =
−
35ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß
ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
Åßíáé 2 2συν α 1 ηµ α= − , êáé åðåéäÞ óôï äåýôåñï ôåôáñôçìüñéï ôï óõíçìßôïíï åßíáé áñíçôéêü ðñïêýðôåé
2 16 3συνα 1 ηµ α συνα 1
25 5= − − ⇔ = − − = −
¢ñá 4 3 24
ηµ2α 2ηµα συνα 25 5 25
= ⋅ = ⋅ − = −
Áðü ôï 2 2συν2α 2συν α 1 1 2ηµ α= − = − , åýêïëá áðïäåéêíýïíôáé ïé ôýðïé:
2 1 συν2αηµ α
2
−=
2 1 συν2αεφ α
1 συν2α
−=
+
2 1 συν2ασυν α
2
+=
2 1 συν2ασφ α
1 συν2α
+=
−
Åðßóçò éó÷ýïõí ïé ôýðïé:
2
α2εφ
2ηµαα
1 εφ2
=
+ 2
α2εφ
2εφαα
1 εφ2
=
−
2
2
α1 εφ
2συναα
1 εφ2
−
=
+
2 α1 εφ
2σφαα
2εφ2
−
=
ð.÷
i. Íá áðïäåé÷èåß üôé: 2 2π 3πηµ ηµ 1
8 8+ = êáé
ii. Áí 1
εφα2
= íá õðïëïãéóôåß ç ðáñÜóôáóç: ηµ2α συν2α+
Áðüäåéîç
i. 2 2
π 3π π π1 συν 1 συν 2 συν συν
π 3π 4 4 4 4ηµ ηµ 18 8 2 2 2
− − − +
+ = + = =
ii. 2 2
2 2 2
1 1 72 1
2εφα 1 εφ α 2εφα 1 εφ α 72 4 4ηµ2α συν2α1 5 51 εφ α 1 εφ α 1 εφ α 14 4
+ −− + −
+ = + = = = =+ + +
+
Ôýðïé
áðïôåôñá-
ãùíéóìïý
Ôñéãùíïìå-
ôñéêïß
áñéèìïß
åíüò ôüîïõ
óõíáñôÞóåé
ôçò åöáðôïìÝ-
íçò ôïõ ìéóïý
ôüîïõ
36 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 8
3
2
1 á. Íá áðïäåßîåôå üôé:
i. ⋅4 4 2 2
ηµ θ συν θ 1 2ηµ θ συν θ+ = −
ii. ⋅6 6 2 2
ηµ θ συν θ 1 3ηµ θ συν θ+ = −
â. Íá âñåèåß ï λ R∈ þóôå ç ðáñÜóôáóç
( )6 6 4 4Α ηµ θ συν θ λ ηµ θ συν θ= + + + íá åßíáé
áíåîÜñôçóç ôïõ ôüîïõ x.
Áðüäåéîç
á. i. ( ) ( )
( )
224 4 2 2
22 2 2 2
2 2
ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ
ηµ θ συν θ 2ηµ θ συν θ
1 2ηµ θσυν θ
+ = + =
= + − ⋅ =
= −
ii. ( ) ( )
( )
( )
336 6 2 2
32 2 2
2 2 2 2 2
ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ
ηµ θ συν θ 3ηµ θ
συν θ ηµ θ συν θ 1 3ηµ θσυν θ
+ = + =
= + − ⋅
+ = −
â. ( )( )
2 2 2 2
2 2
Α 1 3ηµ θσυν θ λ 1 2ηµ θ συν θ
λ 1 2λ 3 ηµ θ συν θ
= − + − ⋅ =
= + − + ⋅
¢ñá ãéá íá åßíáé áíåîÜñôçóç ôïõ è ðñÝðåé
32λ 3 0 λ
2+ = ⇔ = − .
Íá áðïäåßîåôå üôé:
i. ( )συνx 1
1 εφx 1 2ηµx ηµxσυνx
+ + − =
ii. ηµx1 συνx 2
ηµx 1 συνx ηµx
++ =
+
Áðüäåéîç
i. ( )συνx
1 εφx 1 2ηµx
ηµx συνx1 1 2συνx ηµx
+ + − =
= + + − =
( )2
συνx ηµx ηµx συνx2
συνx ηµx
ηµx συνx2
ηµx συνx
+ += ⋅ − =
+= − =
⋅
2 2ηµ x 2ηµx συνx συν x 2ηµx συνx
ηµx συνx
1
ηµx συνx
+ ⋅ + − ⋅= =
⋅
=
⋅
ii. ( )
( )
( )
2 2
2 2
ηµx 1 συνx ηµ x1 συνx
ηµx 1 συνx ηµx 1 συνx
1 2συνx συν x ηµ x
ηµx 1 συνx
+ +++ = =
+ +
+ + += =
+
( )
( )
( )
2 2συνx 2 1 συνx 2
ηµx 1 συνx ηµx 1 συνx ηµx
+ += = =
+ +
Íá áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i.( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
ο ο ο
ο ο ο ο
ηµ 180 x συν 180 x εφ x σφ 360 xΑ
συν 270 x εφ 90 x ηµ 810 x εφ 180 x
− + − −=
− + − +
ii.
( )
( ) ( )
⋅ ⋅
⋅ ⋅
3π 7πσυν x εφ x π ηµ x
2 2Β
9πσφ x ηµ x 4π συν x 3π
2
+ − −
=
− − −
Ëýóç
i. ( )
( )
( )
( )
ο
ο
ο
ηµ 180 x ηµx
συν 180 x συνx
εφ x εφx
σφ 360 x σφx
− =
+ = −
− = −
− = −
¢ñá ( )( )( )
( )
ηµx συνx εφx σφxΑ 1
ηµx σφx συνx εφx
⋅ − − −= = −
− − ⋅ ⋅
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
( )
( )
( )
( )
ο
ο
ο
0
συν 270 x ηµx
90 x σφxεφ
ηµ 810 x συνx
εφ 180 x εφx
− = −
+ = −
− =
+ =
37ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß
ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
ii.
( ) ( )
3πσυν x ηµx
2
εφ x π εφ π x εφx
7π 4π 3πηµ x ηµ x
2 2 2
3π 3πηµ 2π x ηµ x συνx
2 2
+ =
− = − − =
− = + − =
= + − = − = −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
9π 8π πσφ x σφ x
2 2 2
π πσφ 4π x σφ x εφx
2 2
ηµ x 4π ηµ 4π x
ηµ 2π 2π x ηµ 2π x ηµx
συν x 3π συν 3π x
συν 2π π x συν π x συνx
− = + − =
= + − = − =
− = − − =
= − + − = − − =
− = − =
= + − = − = −
¢ñá ( )
( )
ηµx εφx συνxΒ 1
εφx ηµx συνx
⋅ −= =
⋅ −
Áí π
0 α2
< < êáé ηµα 3συνα 2+ =
ôüôå íá äåé÷èåß üôé π
α6
= .
Áðüäåéîç
πηµα 3 συνα 2 ηµα εφ συνα 2
3
πηµ3ηµα συνα 2π
συν3
+ ⋅ = ⇔ + = ⇔
⇔ + = ⇔
π π πηµα συν ηµ συνα 2συν
3 3 3
π 1ηµ α 2
3 2
⇔ ⋅ + = ⇔
⇔ + = ⋅ ⇔
π0 α
2π π π πηµ α 1 α α
3 3 2 6
< <
⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
4
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A41. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç ðáñÜóôáóç:
( ) ( )6 6 4 4A 2 ηµ x συν x 3 συν x ηµ x= + − +
Ý÷åé ìßá ôéìÞ áíåîÜñôçôç ôïõ ôüîïõ x.
A42. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:
( ) ( )
( ) ( )
πηµ π α συν α εφ 7π α
2A
3πσυν 3π α ηµ α εφ 2π α
2
+ − +
=
− + +
A43. Íá áðïäåé÷èåß üôé:
i) ( )( )
( )( )
ηµx εφx συνx σφx
1 ηµx 1 συνx
+ + =
= + +
ii) ( )( )2
2εφx 2 2εφx 1 5εφx
συν x+ + = +
iii) 2 2
2 2
2 2
συν x ηµ yσφ x σφ y 1
ηµ x ηµ y
−⋅ − =
⋅
A44. Íá áðïäåé÷èåß üôé:
i) ( )
( ) ( )
2ηµ α βεφα εφβ
συν α β συν α β
+= +
+ + −
ii) ( ) ( )ηµx ηµ 120 x ηµ 240 x 0+ ° + + ° + =
iii) ( ) ( )
( )
3 εφα εφ α 30
3 σφα εφα
− ⋅ + ° =
= + ⋅
A45. Íá áðïäåé÷èåß üôé:
i) ηµ2α 1 συνα α
εφ1 συν2α συνα 2
−⋅ =
−
ii) 4 4 4 4π 3π 5π 7π 3ηµ ηµ ηµ ηµ
8 8 8 8 2+ + + =
A46. Áí ïé ãùíßåò åíüò ôñéãþíïõ ÁÂÃ åðá-
ëçèåýïõí ôç ó÷Ýóç: 2 2 2ηµ Α ηµ Β ηµ Γ= + ,
íá áðïäåé÷èåß üôé ôï ôñßãùíï áõôü åßíáé
ïñèïãþíéï.
38 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 9
Äýíáìç ìå åêèÝôç ðñáãìáôéêü áñéèìüÁ.9
Ïñéóìïß
Ôçí ãíùóôÞ Ýííïéá ôçò äýíáìçò ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü åðåêôåßíïõìå êáé
óôç ðåñßðôùóç ðïõ ï åêèÝôçò åßíáé ñçôüò. Äßíïõìå, äçëáäÞ, íüçìá êáé óôï
åêèåôéêü óýìâïëï
µ
να , üðïõ α 0> , ì áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò, ôï
ïðïßï èá ïíïìÜæïõìå äýíáìç ìå ñçôü åêèÝôç.
Ãéá íá Ý÷åé íüçìá äýíáìçò ôï óýìâïëï
µ
να èá ðñÝðåé íá åßíáé èåôéêüò áñéèìüò
(áöïý α 0> ) êáé åðéðëÝïí íá éêáíïðïéåß ôéò ãíùóôÝò éäéüôçôåò ôùí äõíÜìåùí
ð.÷.
νµ µ
νµν να α α
⋅ = =
Áõôü óçìáßíåé üôé
µ
να åßíáé ç èåôéêÞ ñßæá ôçò åîßóùóçò ν µx α= ðïõ åßíáé ç
ν µα .
ÅðïìÝíùò: Áí α 0> , ì áêÝñáéïò êáé í èåôéêüò áêÝñáéïò ôüôå ïñßæïõìå
µ
ν µνα α=
Áí åðéðëÝïí ì,í èåôéêïß áêÝñáéïé ïñßæïõìå
µ
ν0 0= .
ð.÷.
3 1
4 3 3 14 21 1
16 16 2 8 4 44 2
−−
= = = = = =
Ãåíéêüôåñá, ìå ôç âïÞèåéá ôçò äýíáìçò ìå ñçôü åêèÝôç, ïñßæïõìå ôï åêèåôéêü óýìâïëï xα , α 0>
êáé x R∈ . (Ï áêñéâÞò ïñéóìüò îåöåýãåé áðü ôá üñéá áõôïý ôïõ âéâëßïõ).
¸ôóé, áí á,â èåôéêïß ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé x, y R∈ ôüôå:
i)x y x yα α α
+
⋅ = ii)x y x yα : α α
−=
iii) ( )y
x x yα α ⋅= iv) ( )
x x xα β α β⋅ = ⋅ v)
x x
x
α α
β β
=
Óõíïøßæïíôáò ãéá ôï åêèåôéêü óýìâïëï BA , Ý÷ïõìå:
üðïõ ρ ,ρ′ : ñçôïß áñéèìïß ðïõ ðñïóåããßæïõí ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü ÷.
Áêüìá: 0Α 1= ìå Α 0≠ , 1Α Α= êáé 1 Α Α= ìå Α 0> .
39Äýíáìç ìå åêèÝôç ðñáãìáôéêü áñéèìü
ÄÕÍÁÌÅÉÓ
ÌÅ ÅÊÈÅÔÇ ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÏ
4
3
2
1 Íá õðïëïãéóôåß ç ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:
( ) ( )3
3 1 2
2 12 2 3A α β αβ α− − −
− −
= ⋅ ⋅
ãéá êÜèå
2α
2= êáé
3
1β
2
=
Ëýóç
3 32 43 1
23 32 2
6
6 43 24 6
4 4 2 4
4
Α α β α β α α β
1 1
β 22 2α β 1α 2 2
2
22
−− −
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = = = = =
Íá áðïäåé÷èåß üôé:
i) 1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3x y x x y y x y
+ − ⋅ + = +
ii)
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3x y x x y y x y
− + ⋅ + = −
üðïõ x,y 0>
Ëýóç
i)
( )( )
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
2 23 3 33 3 3
3 33 3
x y x x y y
x y x x y y
x y x y
+ − ⋅ + =
= + − ⋅ + =
= + = +
ii)
( )( )
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
2 23 3 33 3 3
3 33 3
x y x x y y
x y x x y y
x y x y
− + ⋅ + =
= − + ⋅ + =
= − = −
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Ná áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i) 5
2,5627 3−
⋅
ii) ( ) ( )1 1
2 42 2α 3α β 12α β , α,β 0+ >
iii) ( ) ( ) ( )1 1 1
6 3 4 6 43 3 3β 8α β 4α α β 125α β ,
α,β 0
+ −
>
iv)
11 11 9 32 22 2
3 1 3 38 12 3 24 2 4 16
+ − −
Ëýóç
i) 5 5
6 6 65 5 15 156 2
6 0 6
27 3 27 3 3 3
3 1 1
−− −⋅ = ⋅ = ⋅ =
= = =
ii) 2 4 2 2
2
α 3α β 12α β α 3β 2α 3β
3α 3β
+ = + =
=
iii) 6 3 4 6 43 3 3
2 2 2 23 3 3 3
β 8α β 4α α β 125α β
2α β β 4α β β 5α β β α β β
+ − =
= + − =
iv)
3
2
3
3 1 3 312 3 28
4 2 4 16
8 3 3 2 33 3
2 4 4
9 3 94 3 3 3 3
4 2 4
+ − − =
= + − − =
= + − − =
Ná áðëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò
i) 2 4 2 2 2 43 3α α β β α β⋅ + ⋅ üðïõ α,β 0>
ii)
1 1
2 4
11
84
x 2x 1
x 2x 1
− +
− +
, x 0>
40 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 9
A47. Íá âñåèïýí ïé áñéèìïß:
i) ( )2 31
23 52x 27 4 3 32 0,25
−
= + − ⋅ +
ii) ( )5
0,25 1 7 324 4 5 3 2
1y 2 24 54 4 8 25
16
−
= + ⋅ − − +
A48. Íá âñåèïýí ôá åîáãüìåíá
i) ( )5
631
0,54
−
⋅
ii) 3 64 27 7 7
−⋅ ⋅
A49. Íá áðïëïðïéçèïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:
i)
1 1 1 1
2 4 4 2
3 1 1 1 1
4 2 4 2 2
x y x y x yΑ
x x y x y
− + ⋅= ⋅
+ ⋅ +
ii)
3 1 1 1 3
2 2 2 2 4 4
1 1
2 2
α α β 2α β 2βB
α β
− − +=
−
A50. Íá âñåèåß ïé ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí:
i) ( )6
221
3 32Α x y y x−
−
= ⋅ ⋅ ,
áí 31x και y 2
2
= =
ii) ( )1
4 22 1 3
1 13 2B x y x y− −
= ,
áí
61 1
x και y8 3
= =
A51. Íá äåé÷èåß üôé:
i) ( ) ( )3
26 2 5 8 5 2− = −
ii) ( )( ) ( )1 1 1 1
2 2 2 2αβ α β
α β α βαβ
− − −− + =
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ëýóç
i) 3 32 4 2 2 2 4
4 2 2 4
2 23 3 3 3
10 2 2 10
3 3 3 3
2 25 1 1 5
3 3 3 3
5 1 1 5
5 53 33 3 3 3
2 23 3
α α β β α β
α α β β α β
α β α β
α β α β
α β α β α β α β
α α β β αβ
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
= ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
= +
ii)
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
1 1
42 4
11 84
84
242
4 4
2 28 8 8
22 2 28 8 8
2 28 8
28
x 2x 1 x 2 x 1
x 2 x 1x 2x 1
x 1x 2 x 1
x 2 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
− + − += =
− +− +
−− += = =
− + −
− − +
= = =
− −
= +
41ëïãÜñéèìïé
ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ
ËïãÜñéèìïéÁ.10
¸óôù èåôéêüò áñéèìüò á, äéÜöïñïò ôïõ 1 êáé θ 0> . Ôüôå ç åîßóùóç xα θ=
áðïäåéêíýåôáé üôé Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç. Ôç ëýóç áõôÞ óõìâïëßæïõìå ìå α
log θ
êáé êáëïýìå:
ëïãÜñéèìï ôïõ è ìå âÜóç ôï á
¢ñá, áí α 0, α 1> ≠ êáé θ 0> ôüôå: x
αlog θ x α θ= ⇔ =
Ç éóïäõíáìßá áõôÞ óõíäÝåé ôï åêèåôéêü êáé ëáãáñéèìéêü óýìâïëï.
¸ôóé, ð.÷. 2
log 8 3= áöïý 3
32 8, log 9 2= = áöïý 2
3 9= ê.ë.ð.
Áðü ôïí ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ðñïêýðôïõí Üìåóá ïé ðéï êÜôù âáóéêÝò ó÷Ý-
óåéò:¡
i) αlog θθ α= ii) x
αlog α x=
iii)α
log α 1= iv)α
log 1 0=
Áí ç âÜóç åßíáé α 10= ôüôå áíôß ôïõ óõìâüëïõ 10
log θ ÷ñçóéìïðïéïýìå
ôï óýìâïëï logθ ôï ïðïßï ïíïìÜæïõìå äåêáäéêü ëïãÜñéèìï ôïõ è.
äçë. xlogθ x 10 θ= ⇔ = . ð.÷. log100 2, log0,1 1= = − ê.ë.ð.
Áí ç âÜóç åßíáé α e= , üðïõ e 2,71� , ôüôå áíôß ôïõ óõìâüëïõ e
log θ
÷ñçóéìïðïéïýìå ôï óýìâïëï nθ� ôï ïðïßï ïíïìÜæïõìå öõóéêü (Þ íå-
ðÝñéï) ëïãÜñéèìï ôïõ è.
äçë. x
nθ x e θ= ⇔ =� . ð.÷. 3 1ne 3, n 1
e= = −� � ê.ë.ð.
Ãéá 1 2
α,β 0, α,β 1, θ,θ ,θ 0> ≠ > êáé κ R∈ éó÷ýïõí ïé ðáñáêÜôù éóü-
ôçôåò (éäéüôçôåò ëïãáñßèìùí):
1) ( )α 1 2 α 1 α 2log θ θ log θ log θ⋅ = +
2) 1
α 1 α 2
2
θlog log θ log θθ
= −
3) κ
α αlog θ κ log θ= ⋅
4) β
α
β
log θlog θ
log α= (Ôýðïò áëëáãÞò âÜóçò)
ÈÅÙÑÉÁ
Ïñéóìüò
Äåêáäéêïß
Öõóéêïß
ËïãÜñéèìïé
Éäéüôçôåò
Ëïãáñßèìïõ
42 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 10
ÅöáñìïãÝò: Íá áðïäåé÷èåß üôé
i) ν
α α
1log θ log θ, ν Ν, ν 2
ν= ∈ ≥
ii)α α
1log log θ
θ= −
iii)β α
log α log β 1⋅ =
iv)α α
logθ nθlog θ , log θ
logα nα= =
�
�
Áðüäåéîç
i )1
ν να α α
1log θ log θ log θ
ν= =
ii)α α α α α
1log log 1 log θ 0 log θ log θ
θ= − = − = −
iii) α
β β β α
α α
log α 1log α log α log α log β 1
log β log β= ⇔ = ⇔ ⋅ =
iv) Ðñïêýðôïõí áðü ôïí ôýðï áëëáãÞò âÜóçò ãéá β 10= êáé β e= áíôßóôïé÷á.
43ëïãÜñéèìïé
ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ
3
21
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá õðïëïãéóôïýí ïé ëïãÜñéèìïé:
á. 4
log 32 â. 0,1log 100 ã.
8
2log
4
ä. 3
1
9
log 3 å. 0,2log 625 óô. log 10 10
Ëýóç
á. ¸óôù 4
log 32 x= .
Ôüôå x 2x 5 54 32 2 2 2x 5 x
2= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
â. ¸óôù 0,1
log 100 x= . Ôüôå
( ) ( )xx 1 x 2
0,1 100 10 100 10 10
x 2 x 2
− −= ⇔ = ⇔ = ⇔
⇔ − = ⇔ = −
ã. ¸óôù 8
2log x
4= . Ôüôå
1 3
x 3x 2 3x2 22
8 2 2 2 2 24
3 13x x
2 2
−
= ⇔ = : ⇔ = ⇔
− −⇔ = ⇔ =
ä. ¸óôù 3
1
9
log 3 x= . Ôüôå
x 1
2x3 31 1 1
3 3 3 2x x9 3 6
− = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
å. ¸óôù 0,2
log 625 x= . Ôüôå
( )x x
2
x 4
2 10,2 625 625
10 5
625 5 5 x 4 x 4−
= ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
óô. ¸óôù log 10 10 x= . Ôüôå
x 2x 4x
2 4x 3
10 10 10 10 10 10 10
310 10 10 10 4x 3 x
4
= ⇔ = ⇔ =
= ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Áí 3
log 2 α= íá õðïëïãßóåôå ôïí
8log 12 .
Ëýóç
Áöïý 3
log 2 α= èá åßíáé α3 2= .
¸óôù 8
log 12 x= . Ôüôå
( )
( )
3xx 3x 2 α
2α 3αx 2α 1
α 0
8 12 2 2 3 3
3 3 3 3
2α 13αx 2α 1 x
3α
+
≠
= ⇔ = ⋅ ⇔ =
= ⋅ ⇔ = ⇔
+⇔ = + ⇔ =
Íá âñåèåß ï ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ÷ áí:
á. x
log 1000 6= − â. x
2log 16
3=
ã. x
16log 4
81=
Ëýóç
á. 6
x
6
6 33
x 1000log 1000 6
0 x 1
111x1010
x 10x
0 x 1 0 x 10 x 1
− == − ⇔ ⇔
< ≠
=== ⇔ ⇔ ⇔ < ≠ < ≠< ≠
¢ñá 10
x10
= .
â.
2 3
3 2
x
2 x 16x 16log 163 0 x 10 x 1
=== ⇔ ⇔ ⇔
< ≠< ≠
( )3
1
2x 16
0 x 1
=⇔
< ≠
. ¢ñá x 64= .
44 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 10
Aí 1 2x ,x ïé ñßæåò
ôïõ ôñéùíýìïõ
( ) = + +2φ x ax βx γ
ôüôå:
−= + =1 2
βS x x
α
êáé = ⋅ =1 2
γΡ x x
α
5
4
ã.
4
4 4
x
16 2x16 x
log 4 81 381
0 x 1 0 x 1
= =
= ⇔ ⇔
< ≠ < ≠
¢ñá 2
x3
= .
Íá âñåèåß ï áêÝñáéïò ÷ Ýôóé þóôå íá
Ý÷ïõí Ýííïéá óôï R ôá óýìâïëá:
á. ( )x
log 3 x− â. x
1 xlog
5 x
+
−
Ëýóç
á. 3 x 0 x 3
0 x 1 0 x 1
3 x 3 0 x 3
0 x 1 x 1
− > <⇔ ⇔
< ≠ < ≠
− < < < < ⇔ ⇔
< ≠ ≠
¢ñá x 2= (äéüôé x Z∈ ).
â. ( )( )
( )( )
1 x0 1 x 5 x 0
5 x0 x 1
0 x 1
1 x 5x 1 x 5 0
0 x 10 x 1
0 x 5
x 1
+> + − >
⇔ ⇔− < ≠ < ≠
− < < + − < ⇔ ⇔ ⇔
< ≠< ≠
< <⇔
≠
¢ñá x 2 ή x 3 ή x 4= = = (äéüôé x Z∈ ).
Íá áðïäåßîåôå üôé:
á. 3 3 3
3log 2 2log 6 log 32 2+ − =
â. 5 5 5
2 3log 2 2log 10 log 2+ − =
Ëýóç
á.
( )
3 3 3
3 2
3 3 3
3 2
3 3
3 3
3log 2 2log 6 log 32
log 2 log 6 log 32
log 2 6 log 32
8 36log log 9 2
32
+ − =
= + − =
= ⋅ − =
⋅= = =
2ïò ôñüðïò
( )
3 3 3
5
3 3 3
3log 2 2 log 6 log 32
3log 2 2 log 2 3 log 2
+ − =
= + ⋅ − =
3 3 3 3
3
3log 2 2log 2 2log 3 5log 2
2 log 3 2 1 2
= + + − =
= ⋅ = ⋅ =
â.
( )
5 5
2 3 2
5 5 5
2 3 2
5 5
5 5
2 3log 2 2log 10
log 5 log 2 log 10
log 5 2 log 10
25 8log log 2
100
+ − =
= + − =
= ⋅ − =
⋅= =
2ïò ôñüðïò
( )
5 5
5 5
2 3log 2 2log 10
2 3log 2 2log 2 5
+ − =
= + − ⋅ =
5 5 5
5 5
2 3log 2 2 log 2 2log 5
2 log 2 2 1 log 2
= + − − =
= + − ⋅ =
Áí log 2 log5 α=⋅ íá áðïäåßîåôå üôé
ïé áñéèìïß log 2 êáé log5 åßíáé ïé ñßæåò
ôçò åîßóùóçò 2x x α 0− + = .
Ëýóç
Ðáñáôçñïýìå üôé:
( )log 2 log5 log 2 5 log10 1+ = ⋅ = =
Áöïý ëïéðüí
log 2 log5 1+ =
êáé log 2 log5 α⋅ =
ïé áñéèìïß log 2 êáé log5
èá åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò
2x x α 0− + = .
Íá áðïäåßîåôå üôé:
á.
1
logαα 10= â. logβ logαα β=
Ëýóç
Áðü ôïí ïñéóìü,
ç éóüôçôá
=alog x y
Ý÷åé Ýííïéá ãéá:
> < ≠x 0, 0 a 1
êáé ∈y R
6
7
45ëïãÜñéèìïé
ËÏÃÁÑÉÈÌÏÉ
10
9
8
á. Åßíáé
1
logα 1logα logα 1
logα= ⋅ = .
¢ñá
1
log αα 10= .
â. Ï ëïãÜñéèìïò ìå âÜóç â ôïõ áñéèìïý logβα
åßíáé:
logβ
β β
logαlog α logβ log α logβ logα
logβ= ⋅ ⋅ = ⋅ =
Áöïý logβ
βlog α logα= áðü ôïí ïñéóìü ôïõ
ëïãáñßèìïõ ðñïêýðôåé: logβ log αα β= .
Ná õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜ-
óôáóçò: ( )2 3 6
2 3
log 5 log 5 log 5Κ
log 5 log 5
+ ⋅=
⋅
Ëýóç
Óýìöùíá ìå ôçí åöáñìïãÞ (iii) Ý÷ïõìå:
5 5 5
5 5
5 5
5 5 5
5 5
5 5 5
5 5
1 1 1
log 2 log 3 log 6K
1 1
log 2 log 3
log 3 log 2 1
log 2 log 3 log 6
1
log 2 log 3
log 3 log 2 log 61
log 6 log 6
+ ⋅
= =
⋅
+⋅
⋅= =
⋅
+= = =
Áí log 2 0,3� íá õðïëïãßóåôå ôçí
ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:
( )
( ) ( )
1 1A log 2 log 2 2
2 2
1 1log 2 2 2 log 2 2 22 2
= + + +
+ + + − +
Ëýóç
( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
1A log 2 log 2 2
2
log 2 2 2 2 2 2
1log 2 log 2 2 log 4 2 2
2
1log 2 log 2 2 log 2 2
2
1log 2 log 2 2 2 2
2
1log 2 log 4 2
2
1 1log 2 log 2 2log 2 log 2 0,3
2 2
= + + +
+ + − + =
= + + + − + =
= + + + − =
= + + − =
= + − =
= + = = �
Áí α 1, β 1> > êáé 2 2α β 7αβ+ = , íá
áðïäåßîåôå üôé:
( )α β 1
log logα logβ logα logβ3 2
+= + ≥ ⋅
Ëýóç
( )
2 2 2 2
22
α β 7αβ α β 2αβ 9αβ
α βα β 9αβ αβ
3
+ = ⇔ + + = ⇔
+ ⇔ + = ⇔ =
ïðüôå êáé
( )
( )
2α β
log log αβ3
α β2log logα logβ
3
α β 1log logα logβ
3 2
+ = ⇔
+⇔ = + ⇔
+⇔ = +
.
ÅîÜëëïõ:
( )1logα logβ logα logβ
2
logα logβ 2 logα logβ
+ ≥ ⋅ ⇔
⇔ + ≥ ⋅ ⇔
( )
( )
2
2
logα logβ 4 logα logβ
logα logβ 0
+ ≥ ⇔
⇔ − ≥ ðïõ éó÷ýåé.
46 ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 10
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A52. Íá âñåèåß ï x áðü ôéò ðáñáêÜôù ó÷Ý-
óåéò:
á. 3
1
9
log 3 x= â. 5
0,1log 100 x=
ã. x
3log 27
2= ä.
x
2log 4
3= −
å. 8
1log x
3= − óô. ( )4 x
3log log 25
2=
A53. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x R∈ Ý÷åé íüçìá ï
2x
x 1log
3 x
+
−
.
A54. Áí log 2 α= êáé log3 β= , íá âñåèïýí
ïé ëïãÜñéèìïé ôùí áñéèìþí:
4, 5, 6, 12, 15, 30, 36, 72
50.
A55. Íá áðïäåßîåôå üôé:
á. 5 3 40 105
2log log log log 02 11 77 32+ − − =
â. 2 2 2
75 5 32log 2 log log 1
16 9 243− + =
A56. Íá áðïäåßîåôå üôé:
á. ( ) ( )
( )
7log 3 2 2 4log 2 1
16
25log 2 1
8
+ − + =
= −
â. 3 2
log 2 log 3 2+ >
ã. log 125 log 27 log 8 3
log15 log 2 2
+ −=
−
A57. Íá áðïäåßîåôå üôé:
á. 1
3log 2 log 210 4
−+
=
â. 1
1 log 254100 20
−
=
A58. á. Ãéá êÜèå *α,β R , α 1∈ ≠ êáé *ρ R∈
íá äåé÷èåß üôé: ρ αα
1log β log β
ρ= .
â. Íá õðïëïãéóèåß ï áñéèìüò 325log 174 .
A59. Íá áðïäåßîåôå üôé:
á. 2 2
3 log log 2
= −
â. 2 2
ν ριζικά
ν log log ... 2
−
= −
�����
A60. Áí α 1> êáé β 1> , íá õðïëïãéóèåß ç
ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2Α log α 1 log β 1 log αβ 1 α β = − + − − + − +
A61. Áí *α,β, γ R∈ ìå β 1≠ êáé αβ 1≠ íá
áðïäåßîåôå üôé:
β
αβ
β
log γlog γ
1 log α=
+
åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý 47
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ
Ç åîßóùóç αx β 0+ =
Åßíáé åýêïëï íá äïýìå üôé:
• Áí α 0≠ ôüôå ç åîßóùóç αx β 0+ = Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç, ôçí β
xα
= − ,äéüôé:
βαx β 0 αx β x
α+ = ⇔ = − ⇔ = −
• Áí α 0= êáé β 0≠ ôüôå ç åîßóùóç αx β 0+ = åßíáé áäýíáôç, äçëáäÞ äåí
åðáëçèåýåôáé ãéá êáíÝíá x,äéüôé ãñÜöåôáé:
αx β 0 0x β 0+ = ⇔ = − ≠
• Áí α 0= êáé β 0= ôüôå ç åîßóùóç αx β 0+ = åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ åðáëç-
èåýåôáé ãéá ïðïéïäÞðïôå x,äéüôé ãñÜöåôáé:
αx β 0 0x 0+ = ⇔ =
Ôá ðáñáðÜíù óõìðåñÜóìáôá âëÝðåôå óôïí åðüìåíï ðßíáêá:
α 0≠ á=0
ÌïíáäéêÞ β 0≠ β 0=
ëýóç β
xα
= − Áäýíáôç Ôáõôüôçôá
1 Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:
á. ( )( ) ( )( )2x - 7 6x + 5 = 4x - 3 3x +1
â. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
x 1 x 2 2x 1 3 2x+ − + = + − −
Ëýóç
ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò
×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.
ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-
ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ = â
á. Åßíáé: ( )( ) ( )( )2x 7 6x 5 4x 3 3x 1− + = − + ⇔
2 212x 10x 42x 35 12x 4x 9x 3⇔ + − − = + − − ⇔
32x 35 5x 3 27x 32 0⇔ − − = − − ⇔ + = ⇔
3227x 32 x
27⇔ = − ⇔ = −
â. ¸÷ïõìå:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22
x 1 x 2 2x 1 3 2x+ − + = + − − ⇔
( )2 2x 2x 1 x 4x 4⇔ + + − + + =
Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïýÂ.1
A2
A3
Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç
êá éêá éêá éêá éêá é
äéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóç
åî ßóùóçòåî ßóùóçòåî ßóùóçòåî ßóùóçòåî ßóùóçò
1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ
âáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïý
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 148
5
4
3
2
( )2 24x 4x 1 9 12x 4x= + + − − +
2 2x 2x 1 x 4x 4⇔ + + − − − =
2 24x 4x 1 9 12x 4x= + + − + −
18
5x5x18
83x16x28x163x2
=⇔−=−⇔
−=−−⇔−=−−⇔
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
x + 2 2x +1 2x - 3- = - x
3 2 6
Ëýóç
ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëáóéÜ-
æïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí êáé ôá äýï ìÝëç.
ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò
×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.
ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞãïõ-
ìå óôç ìïñöÞ á÷ = â
x 2 2x 1 2x 3x
3 2 6
x 2 2x 1 2x 36 6 6 6x3 2 6
+ + −− = − ⇔
+ + −− = − ⇔
( ) ( )2 x 2 3 2x 1 2x 3 6x
2x 4 6x 3 2x 3 6x 0x 4
+ − + = − − ⇔
+ − − = − − ⇔ =
åßíáé áäýíáôç.
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
( ) ( ) ( )4x 5 x 2 1 x 0− − − =
Ëýóç
αβγ 0
α 0 ή β 0 ή γ 0
= ⇔
= = =
( )( )( )4x 5 x 2 1 x 0− − − = ⇔
4x 5 0 5x
ή 4
x 2 0 x 2
ή x 1
1 x 0
− = = ⇔ − = ⇔ =
=− =
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
( ) ( ) ( )3 33
1 x 2x 3 x 2 0− + − + − + =
Ëýóç
Áí α β γ 0,+ + = ôüôå:
3 3 3α β γ 3αβγ+ + =
Áí αβ 0 α 0 ή β 0= ⇔ = =
ÅðåéäÞ ( ) ( ) ( )1 x 2x 3 x 2 0− + − + − + =
éó÷ýåé: ( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 331 x 2x 3 x 2
3 1 x 2x 3 x 2
− + − + − + =
− − − +
¢ñá ( ) ( ) ( )
( )( )( )
3 331 x 2x 3 x 2 0
3 1 x 2x 3 x 2 0
1 x 0 ή 2x 3 0 ή x 2 0
3x 1 ή x ή x 2
2
− + − + − + = ⇔
− − − + = ⇔
− = − = − + =
= = =
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
2
x 2 2 4
2x 2 x x 2x
−= +
− −
Ëýóç
Ìéá åîßóùóç ëÝãåôáé ñçôÞ Þ êëáóìáôéêÞ åÜí
Ý÷åé ôïí Üãíùóôï óôïí ðáñïíïìáóôÞ.
Ãéá íá ëýóù ìéá êëáóìáôéêÞ åîßóùóç êÜíù ôá
åîÞò:
Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí (áöïý ôïõò
ðáñáãïíôïðïéÞóù) êáé ôï èÝôù äéÜöïñï ôïõ ìç-
äåíüò.
ÐïëëáðëáóéÜæù êáé ôá äýï ìÝëç ôçò åîßóùóçò ìå
ôï Å.Ê.Ð ãéá íá êÜíù áðáëïéöÞ ôùí ðáñïíïìá-
óôþí .
Áðü ôéò ñßæåò ðïõ èá âñþ äÝ÷ïìáé åêåßíåò ðïõ
êÜíïõí ôï Å.Ê.Ð äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò.
Ôï Å.Ê.Ð åßíáé ôï ãéíüìåíï ðïõ Ý÷åé ôïõò êïéíïýò
êáé ìç êïéíïýò ðáñÜãïíôåò êáé êáèÝíá ìå ôïí
ìåãáëýôåñï åêèÝôç.
A2
A3
A5
åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý 49
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ
Å.Ê.Ð. ( )
x 0
: 2x x 2 0 και
x 2 0 x 2
≠
− ≠ ⇔
− ≠ ⇔ ≠
( )
( )( )
2
x 2 2 4
2x 2 x x 2x
x 2 2 4
2x 2 x x x 2
x 2 2 41
2x x 2 x x 2
−= + ⇔
− −
−= + ⇔
− −
−= − +
− −
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
x 21 2x x 2
2x
2 42x x 2 2x x 2
x 2 x x 2
x 2 x 2 4x 8
−⇔ − =
− − + − ⇔
− −
− − = − + ⇔
( )2 2
2
x 2 4x 8 x 4x 4 4x 8
x 4x 4 4x 8 0
⇔ − = − + ⇔ − + = − + ⇔
⇔ − + + − = ⇔
( )( )2x 4 0 x 2 x 2 0
x 2 0 x 2 απορρίπτεται
ή
x 2 0 x 2 δεκτή
⇔ − = ⇔ − + = ⇔
− = ⇔ =
⇔
+ = ⇔ = −
Â1. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. ( ) ( )2 2
3x 5 - 9x - 25 6x 10 0+ + + =
â. x 3 2x 3
x 4 -3 3
+ ++ =
Â2. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
x -1 - x - 2 1- 2x - 3 - 2x=
â. ( ) ( ) ( )( )
2 2
x -1 x 3 x - 2 x -1
3 6 2
++ =
Â3. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. 19 2x 7x 11
4x - 15 -5 4
+ +=
â. ( ) ( ) ( )2 22
x - 4 - x 2 5x 4 0+ + =
Â4. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. 2
x 31-x 3 9 x
=
− −
â.
2
2
x 6 41
x 2 x 2x 4+ = +
+ −−
Â5. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. x 3 x 2
2x 2 x 1
− −+ =
− −
â. 1 1
x 2 x 5=
+ +
Â6. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. x x 4
x 3 x 5
+=
− −
â. 2 2 2
x 1 x 4
x 4 x 2x x 2x
−− =
− − +
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Á2
Á3
Á5
ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 150
6 Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. ( )− =2
λ 1 x λ -1 â. ( ) 2λ 2 x λ 2− = +
ã. 2
λ x – 2 4x λ= +
Ëýóç
á. Ç åîßóùóç åßíáé óôç ìïñöÞ áx = â, ìå
)1λ, β1λ(α2–=−= , ïðüôå Ý÷ïõìå:
1ç ðåñßðôùóç
Áí 1λ01λ ≠⇔≠− , ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíá-
äéêÞ ëýóç:
ÐáñáìåôñéêÞ åîßóùóç ïíïìÜæåôáé êÜèå åîßóùóç, ðïõ ïé óõíôåëåóôÝò ôùí á-
ãíþóôùí Þ ï óôáèåñüò üñïò åêöñÜæïíôáé ìå ôç âïÞèåéá ãñáììÜôùí êáé ü÷é
óõãêåêñéìÝíùí áñéèìþí.
Ãéá ðáñÜäåéãìá, ïé åîéóþóåéò
( ) 1xβα, 1µ-7x4, 71λx3 =+==+
åßíáé ðáñáìåôñéêÝò.
Ôá ãñÜììáôá (á, â, ë, ì ...) ïíïìÜæïíôáé ðáñÜìåôñïé ôçò åîßóùóçò.
ÊáôÜ ôç äéåñåýíçóç ìéáò ðáñáìåôñéêÞò åîßóùóçò ôçò ìïñöÞò αx β 0+ = , ðñï-
óðáèïýìå íá äéáêñßíïõìå ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ç åîßóùóç Ý÷åé ìï-
íáäéêÞ ëýóç, ãéá ðïéåò ôéìÝò åßíáé áäýíáôç êáé ãéá ðïéåò ôéìÝò åßíáé ôáõôüôçôá.
¸ôóé, äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò:
• Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α 0≠ . Ãéá ôéò ôéìÝò áõôÝò ç
åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç.
• Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α 0 και β 0= ≠ . Ãéá ôéò ôéìÝò
áõôÝò ç åîßóùóç åßíáé áäýíáôç.
• Âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝôñùí ãéá ôéò ïðïßåò åßíáé α 0 και β 0= = . Ãéá ôéò ôéìÝò
áõôÝò ç åîßóùóç åßíáé ôáõôüôçôá.
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1λx1λ
)1)(λ1(λ–x
1λ–
1–λx
2
+=⇔−
+=⇔=
2ç ðåñßðôùóç
Áí 1λ01λ =⇔=− , êÜíïíôáò áíôéêáôÜóôá-
óç óôçí åîßóùóç,ðñïêýðôåé:
( ) 0x01-1x112
=⇔=⋅−
ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé
Üðåéñåò ëýóåéò.
â. Ç åîßóùóç åßíáé óôç ìïñöÞ áx = â, ìå2(α λ 2, β λ 2)= − = + ïðüôå Ý÷ïõìå:
Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-Ðáñáìåôñé-ê Ý òê Ý òê Ý òê Ý òê Ý ò
å î é óþóå é òå î é óþóå é òå î é óþóå é òå î é óþóå é òå î é óþóå é ò1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý1ïõ âáèìïý
åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý 51
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ
Â7. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôá á êáé â Ýôóé þóôå ïé
ðáñáêÜôù åîéóþóåéò íá åßíáé áäýíáôåò Þ
áüñéóôåò.
á. ( ) 2α 1 x α 1− = − â. ( )α β x β 1+ = −
Â8. Íá ëõèïýí ïé ðáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò:
á. ( )3 2λ 4λ x λ 2λ− = −
â. ( )2λ λ x 3λx 5λ 6− = − −
ã. ( ) ( )2λ x 1 µ λx µ− = +
ä. ( ) ( )λ λx 2 6 µ λx 1− + = +
Â9. Íá ëýóåôå ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:
á. x x
1 1α 1 α 1
− = +
− + â.
x x2
α β α β+ =
− +
Â10. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç
( )2 2λ x 3λ 2 λx -1 λ 8x+ + = + ,
ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ðáñáìÝôñïõ ë.
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â11. Íá ëõèïýí ïé ðáñáìåôñéêÝò åîéóþóåéò:
á. ( )2 2λ -9 x λ 3λ= +
â. ( ) ( )3 λ 1 x 4 2x 5 λ 1+ + = + +
ã. ( ) ( )( )2λ -1 x λ λ 1 λ 2= + +
ä. ( ) ( ) ( )2λ 2 x 4 2λ 1 λ 4 x -1+ + + = +
Â12. Íá ëõèïýí ïé ðáñáêÜôù åîéóþóåéò:
á. ( ) ( )2λ 3x λ 7 - 2λ λ 3 1 κx+ + = + +
â. ( )2 2µ - 4 x µ - 2µ=
ã. ( )x µ 99x x
-1 -µ20µ 20 20
++ =
Â13. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ë êáé ì ç åîßóùóç
λx -µ x3x - λ
3 2+ =
i. åßíáé áäýíáôç, ii. åßíáé áüñéóôç
1ç ðåñßðôùóç
Áí 2λ02λ ≠⇔≠− , ôüôå ç åîßóùóç Ý÷åé
ìïíáäéêÞ ëýóç:
2λ 2x
λ 2
+=
−
2ç ðåñßðôùóç
Áí 2λ02λ =⇔=− , ôüôå ìå áíôéêáôÜóôá-
óç óôçí åîßóùóç ðñïêýðôåé:
6x022x0 2=⇔+=
ðïõ åßíáé áäýíáôç.
ã. Ç åîßóùóç äåí åßíáé ôçò ìïñöÞò áx = â, ãé’áõ-
ôü ëïéðüí êÜíïõìå ðñÜîåéò êáé ðñïóðáèïýìå
íá ôç öÝñïõìå óôçí ðéï ðÜíù ìïñöÞ.
⇔+=− λx42xλ2
�
βα
22λx)2)(λ2(λ2λx4x–λ +=+−⇔+=
������� (1)
1ç ðåñßðôùóç
Áí ( ) ( )λ 2 λ 2 0 λ 2 0 και
λ 2 0 λ 2 και λ 2
− ⋅ + ≠ ⇔ − ≠
+ ≠ ⇔ ≠ ≠ −
Ôüôå ç åîßóùóç Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç:
2λ
1
)2)(λ2(λ
2λx
−=
+
+=
–
2ç ðåñßðôùóç
Áí (λ 2) (λ 2) 0 λ 2 ή λ -2− ⋅ + = ⇔ = = , Ý÷ïõ-
ìå:
i. Ãéá ë = 2, áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (1), ðñïêýðôåé:
4x022x0 =⇔+=
ðïõ åßíáé áäýíáôç.
ii. Ãéá ë = – 2, áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (1), ðñï-
êýðôåé:
0x022x0 =⇔+−=
ðïõ åßíáé ôáõôüôçôá, äçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé
Üðåéñåò ëýóåéò.
Á2
Á3
Á5
52 ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2
Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç Åðßëõóç
êá éêá éêá éêá éêá é
äéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóçäéåñåýíçóç
áíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçò
1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ
âáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïý
¼ôáí óôéò áíéóþóåéò αx β 0, αx β 0+ > + < ôá á, â äåí åßíáé óõãêåêñéìÝíïé
áñéèìïß ôüôå ïé áíéóþóåéò áõôÝò ïíïìÜæïíôáé ðáñáìåôñéêÝò.
Ç äéáäéêáóßá ðñïóäéïñéóìïý ôùí ëýóåùí ìéáò ðáñáìåôñéêÞò áíßóùóçò ïíï-
ìÜæåôáé äéåñåýíçóç.
Áðü ôç äéåñåýíçóç ôçò áíßóùóçò αx β 0,+ > üðïõ á, â åßíáé ðáñÜìåôñïé,
ðñïêýðôïõí ôá åîÞò:
• Áí á > 0 ôüôå β
αx β 0 αx β xα
+ > ⇔ > − ⇔ > −
äçëáäÞ ç áíßóùóç αx β 0+ > Ý÷åé ôéò ëýóåéò β
xα
> − .
• Áí á < 0 ôüôå β
αx β 0 αx β xα
+ > ⇔ > − ⇔ < −
äçëáäÞ ç áíßóùóç αx β 0+ > Ý÷åé ôéò ëýóåéò β
xα
< − .
• Áí á = 0 êáé â > 0 ôüôå ç áíßóùóç ãßíåôáé:
0 x β 0 β 0⋅ + > ⇔ >
ðïõ éó÷ýåé. ¢ñá ç áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x.
• Áí á = 0 êáé β 0≤ ôüôå ç áíßóùóç ãßíåôáé:
0 x β 0 β 0⋅ + > ⇔ >
ðïõ åßíáé áäýíáôç. ¢ñá ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç.
á > 0 á < 0 á=0
β 0> β 0≤
ÁäýíáôçÅðáëç-
èåýåôáé
ãéá êáèå x
Åðáëçèåýåôáé
ãéá
βx
α< −
Åðáëçèåýåôáé
ãéá
βx
α> −
Ëýóåéò ôçò áíßóùóçò áx+â<0
á > 0 á < 0 á=0
β 0≥ β 0<
ÁäýíáôçÅðáëç-
èåýåôáé
ãéá êáèå x
Åðáëçèåýåôáé
ãéá
βx
α> −
Åðáëçèåýåôáé
ãéá
βx
α< −
Ìå ôïí ßäéï ôñüðï äéåñåõ-
íïýìå ôçí áíßóùóç
αx β 0+ < . Ðñïêýðôåé Ýôóé ï
åðüìåíïò ðßíáêáò.
Ìå üìïéï ôñüðï ãßíåôáé ç
äéåñåýíçóç ôùí áíéóþóåùí
αx β 0+ ≥ êáé αx β 0+ ≤ .
Áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïýÂ.2
Ôá óõìðåñÜóìáôá áõôÜ óõíïøßæïíôáé óôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá.
53áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ
ÄéáóôÞìáôáÄéáóôÞìáôáÄéáóôÞìáôáÄéáóôÞìáôáÄéáóôÞìáôá
ÃñáöéêÞÃñáöéêÞÃñáöéêÞÃñáöéêÞÃñáöéêÞðáñÜóôáóçðáñÜóôáóçðáñÜóôáóçðáñÜóôáóçðáñÜóôáóç
ôùí ëýóåùíôùí ëýóåùíôùí ëýóåùíôùí ëýóåùíôùí ëýóåùí
áíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçòáíßóùóçò
1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ1ïõ
âáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïýâáèìïý
á. Êëåéóôü äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â
ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x
ìå:
α x β≤ ≤
â. Áíïé÷ôü äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â ïíïìÜ-
æïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå:
α x β< <
ã. Áíïé÷ôü áñéóôåñü äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â
ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x
ìå:
α x β< ≤
ä. Áíïé÷ôü äåîéÜ äéÜóôçìá ìå Üêñá á, â
ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x
ìå: α x β≤ <
Óõìâïëßæåôáé: [á, â]
ÐáñéóôÜíåôáé:
Óõìâïëßæåôáé: (á, â)
ÐáñéóôÜíåôáé:
Óõìâïëßæåôáé: (á, â]
ÐáñéóôÜíåôáé:
Óõìâïëßæåôáé: [á, â)
ÐáñéóôÜíåôáé:
å. Ï óõìâïëéóìüò ( ,α]−∞ åêöñÜæåé ôï óý-
íïëï ôùí áñéèìþí x ìå x α≤
Åíþ ï óõìâïëéóìüò ( ,α)−∞ åêöñÜæåé
ôï óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x α<
óô. Ï óõìâïëéóìüò [ )α,+∞ åêöñÜæåé ôï
óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x α≥
Åíþ ï óõìâïëéóìüò (α, )+∞ åêöñÜæåé ôï
óýíïëï ôùí áñéèìþí x ìå x α>
æ. Ôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí R ìå ôç ìïñöÞ äéáóôÞìáôïò ãñÜöå-
ôáé: ( ),−∞ +∞ , äçëáäÞ R = ( ),−∞ +∞ .
54 ÌÝñïò Â - ÊåöÜëáéï 2
4
3
2
1 Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:
á. ( ) ( ) ( )4 x 1 3 2x 7 5 3 x 3 x+ − − ≥ − + −
â. ( ) ( ) ( ) ( )2 1 4x 4 1 2x 3 2x 3 2 3x 3− − − > − − +
Ëýóç
ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò
×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.
ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-
ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ > â Þ á÷ < â.
á. 4x 4 6x 21 5 3x 9 x
292x 29 x
2
+ − + ≥ − − − ⇔
≥ − ⇔ ≥ −
â. 2 8x 4 8x 6x 9 6x 6 0x 13− − + > − − − ⇔ > −
¢ñá éó÷ýåé ãéá êÜèå x ðñáãìáôéêü.
Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç:
3x 1 9x 3 6x 55x 2
2 2 3
− − −+ − < +
Ëýóç
ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëá-
óéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí êáé ôá äýï ìÝëç.
ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò
×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.
ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-
ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ > â Þ á÷ < â.
Åßíáé: 3x 1 9x 3 6x 5
5x 22 2 3
− − −+ − < + ⇔
( ) ( ) ( )3 3x 1 6 5x 12 3 9x 3 2 6x 5⇔ − + ⋅ − < − + − ⇔
15 19⇔ − < − ðïõ åßíáé áäýíáôç.
Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò
óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:
2x x -14x + 3 -
5 4≥ êáé
2x -1 2x-1 <
3 5
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Ëýóç
Ãéá íá âñïýìå ôéò êïéíÝò ëýóåéò áíéóþóåùí:
Ëýíïõìå êÜèå ìßá ÷ùñéóôÜ.
ÐáñéóôÜíïõìå ôéò ëýóåéò ôçò êÜèåìéÜò óôïí ßäéï
Üîïíá.
Ðñïóäéïñßæïõìå Ýôóé ôï êïéíü äéÜóôçìá ëýóåùí.
Åßíáé
2x x 14x 3 80x 60 8x 5x 5
5 4
−+ − ≥ ⇔ + − ≥ − ⇔
6567x 65 x
67⇔ ≥ − ⇔ ≥ −
( )
2x 1 2x 2x 1 2x1 15 15
3 5 3 5
2x 1 15 6x 10x 5 15 6x
2010x 6x 20 4x 20 x x 5
4
− −− < ⇔15 − < ⇔
5 − − < ⇔ − − < ⇔
− < ⇔ < ⇔ < ⇔ <
Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïß-
åò óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:
x 2 0 και 5x 8 3x− ≥ − ≤
Ëýóç
Åßíáé:
( ) ( )
( )
( )
x 2 0 και 5x 8 3x x 2 και 5x 3x 8
x 2 και 2x 8
x 2 και x 4
− ≥ − ≤ ⇔ ≥ − ≤
⇔ ≥ ≤
⇔ ≥ ≤
Óôï ó÷Þìá ðáñáêÜôù ðáñéóôÜíåôáé ôï óýíïëï óôï
ïðïßï óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò.
55áíéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ 1ÏÕ ÂÁÈÌÏÕ
5Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç
( ) ( ) ( )λ -1 x + 3λ x - 2 > 2 - λ x ãéá ôéò äéÜ-
öïñåò ôéìÝò ôçò ðáñáìÝôñïõ ë.
Ëýóç
ÊÜíïõìå ôéò ðñÜîåéò
×ùñßæïõìå ãíùóôïýò áðü áãíþóôïõò.
ÊÜíïõìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí êáé êáôáëÞ-
ãïõìå óôç ìïñöÞ á÷ > â Þ á÷ < â.
Ðñþôá ãñÜöïõìå ôçí áíßóùóç óôç ìïñöÞ:
αx β 0+ > Þ αx β 0+ < .
Åßíáé ( ) ( ) ( )λ 1 x 3λ x 2 2 λ x− + − > − ⇔
( ) ( )λ 1 x 3λx 6λ 2 λ x⇔ − + − > − ⇔
( ) ( )[ ]λ 1 3λ 2 λ x 6λ 0⇔ − + − − − > ⇔
( )5λ 3 x 6λ 0⇔ − − >
ÂëÝðïõìå ëïéðüí üôé ç áíßóùóç ãñÜöåôáé óôç
ìïñöÞ:
αx β 0+ > , üðïõ α 5λ 3, β 6λ= − = − .
Äéáêñßíïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò:
• Áí 5λ 3 0− > , äçëáäÞ áí 3
λ5
> , ôüôå
( ) ( ) 6λ5λ 3 x 6λ 0 5λ 3 x 6λ x
5λ 3− − > ⇔ − > ⇔ >
−
• Áí 5λ 3 0− < , äçëáäÞ áí 3
λ5
< , ôüôå
( ) ( ) 6λ5λ 3 x 6λ 0 5λ 3 x 6λ x
5λ 3− − > ⇔ − > ⇔ <
−
• Áí 5λ 3 0− = , äçëáäÞ áí 3
λ5
= , ôüôå ç áíßóù-
óç ãßíåôáé: 3 18
0 x 6 0 05 5
⋅ − ⋅ > ⇔ − > üðïõ åß-
íáé áäýíáôï.
¢ñá óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç áíßóùóç åßíáé áäý-
íáôç.
Â14. Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:
á. 3x 7x
5 14 3− ≥ − â.
6 x 3x 2
8 6
− +≤
Â15. Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:
á. ( ) ( ) ( )3 x 1 x 3 4 2 x 3− − + ≤ − −
â. x 2 x 1 3x
15 2 10
− +− ≥ −
Â16. Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:
á. x 1 x 1 2x 4 x 6
4 5 5 20
− + + ++ ≤ +
â. 6 3x 2x 8 4x 21x 14
x 34 3 3 12
− + +− + + ≤ −
Â17.Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò x ãéá ôéò ïðïßåò óõ-
íáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:
x 2 x1
4 3
+− ≤ (1),
x x 10
5 15
+− < (2)
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â18. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: ( )λ x 1 1 2x+ ≥ − ãéá
ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ ðñáãìáôéêïý á-
ñéèìïý ë.
Â19. Íá ëýóåôå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù áíé-
óþóåéò ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôçò ðñáã-
ìáôéêÞò ðáñáìÝôñïõ ë.
á. λx 2 x λ− ≤ +
â. ( ) ( )3 λx 1 2 2λ x x− + − <
Â20. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:x 1 3x 2 5x
2 4 4
− ++ ≥
Â21. Äßíåôáé ç áíßóùóç
( ) ( )2x 5 λx 2µ 3λ 2 x 3− + ≤ − +
Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáìÝ-
ôñùí ë, ì ãéá ôéò ïðïßåò ç áíßóùóç åðá-
ëçèåýåôáé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x.
56 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3
2
1Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:
x 4014 x 0− − =
Ëýóç
Ç åîßóùóç ëýíåôáé ðéï åýêïëá áí ôçí åñìçíåý-
óïõìå ãåùìåôñéêÜ. ¸÷ïõìå üôé:
• x 4014− åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ x áðü ôï 4014.
• x åßíáé ç áðüóôáóç ôïõ x áðü ôï 0.
¢ñá ç åîßóùóç x 4014 x 0− − = ⇔
x 4014 x− = ëÝåé üôé ï x éóáðÝ÷åé áðü ôï 4014
êáé áðü ôï 0, äçëáäÞ âñßóêåôáé óôï ìÝóï ôçò
áðüóôáóçò d(0, 4014) êáé óõíåðþò x 2007= .
Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:
5 x 1 2x+ − =
Ëýóç
Åßíáé öáíåñü üôé ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç åîßóùóç ðñÝ-
Eîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõÂ.3
Ãéá ôç ëýóç åîéóþóåùí ìå áðüëõôá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôá åîÞò:
1. x α, α 0 x α ή x α= > ⇔ = = −
2. x α x α ή x α= ⇔ = = −
3. 2 2x x=
4. x α, α 0= < åßíáé áäýíáôç.
Ëýóç
åîéóþóåùí
ìå
áðüëõôá
ðåé íá éó÷ýåé x 0≥ . Ìå áõôüí ôïí ðåñéïñéóìü
Ý÷ïõìå éóïäýíáìá:
5 x 1 2x 5 x 1 2x+ − = ⇔ + − = ⇔
x 1 2x 5⇔ − = −
Ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç x 1 2x 5− = − ðñÝðåé íá éó÷ýåé:
52x 5 0 x
2− ≥ ⇔ ≥
¸ôóé, Ý÷ïõìå ôáõôü÷ñïíá äýï ðåñéïñéóìïýò, ôïõò
5x 0, x
2≥ ≥ , ïé ïðïßïé óõíáëçèåýïõí ãéá
5x
2≥ .
¢ñá ãéá íá ãßíåé äåêôÞ êÜðïéá ëýóç ôçò åîßóùóçò
x 1 2x 5− = − ðñÝðåé íá áíÞêåé óôï äéÜóôçìá
5,2
+∞
.
¸÷ïõìå:
x 1 2x 5 x 1 2x 5 ή x 1 2x 5
x 4 ή 3x 6
x 4 ή x 2
− = − ⇔ − = − − = − + ⇔
⇔ = = ⇔
⇔ = =
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Á6
57åîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÁÐÏËÕÔÅÓ ÔÉÌÅÓ
ÔÏÕ ÁÃÍÙÓÔÏÕ
5
4
3
Ç x 2= üìùò äåí âñßóêåôáé óôï äéÜóôçìá
5,2
+∞
êáé åðïìÝíùò áðïññßðôåôáé. ¢ñá ç ëýóç
ôçò åîßóùóçò x 1 2x 5− = − Üñá êáé ôçò áñ÷éêÞò
åßíáé ç x 4= .
Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:
2 x 3 12x x 3 7
3
− +− = − +
Ëýóç
ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëá-
ðëáóéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð áõôþí.
Åäþ åßíáé ôï 3.
Åßíáé: 2 x 3 1
2x x 3 73
2 x 3 1 6x 3 x 3 21
x 3 6x 20
− +− = − + ⇔
⇔ − + − = − + ⇔
⇔ − = − −
Ôþñá åßíáé öáíåñü üôé ãéá íá Ý÷åé ëýóç ç åîßóù-
óç áõôÞ ðñÝðåé íá éó÷ýåé:
106x 20 0 6x 20 x
3− − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ −
Õðü ôïí ðåñéïñéóìü áõôü Ý÷ïõìå:
x 3 6x 20− = − − ⇔
x 3 6x 20 ή x 3 6x 20⇔ − = − − − = + ⇔
7x 17 ή 5x 23⇔ = − = − ⇔
17 23x ή x
7 5⇔ = − = −
Ðáñáôçñïýìå üôé áðü ôéò äýï áõôÝò ëýóåéò, ç
17x
7= − äåí éêáíïðïéåß ôïí ðåñéïñéóìü
10x
3≤ −
êáé åðïìÝíùò áðïññßðôåôáé. ¢ñá ç ìïíáäéêÞ ëýóç
ôçò åîßóùóçò åßíáé ç 23
x5
= − .
Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 12x2x +=+
Ëýóç
Åßíáé:
( )
x 2 2x 1 (1)x 2 2x 1
x 2 2x 1 (2)
+ = ++ = + ⇔
+ = − +
Äýï áñéèìïß Ý÷ïõí ßóåò áðüëõôåò ôéìÝò üôáí
êáé ìüíïí üôáí åßíáé ßóïé ç áíôßèåôïé. Ç éóï-
äõíáìßá áõôÞ óõìâïëéêÜ ãñÜöåôáé:
α β α β ή α β= ⇔ = = −
¼ôáí α β= ôüôå ìåñéêÝò öïñÝò ëÝìå üôé ïé
áñéèìïß, á, â åßíáé ßóïé êáô’ áðüëõôç ôéìÞ.
(1) x 2 2x 1 x 2x 2 1
x 1 x 1
⇔ + = + ⇔ − = − + ⇔
− = − ⇔ =
(2) x 2 2x 1 x 2x 2 1
3x 3 x 1
⇔ + = − − ⇔ + = − − ⇔
= − ⇔ = −
ÅðïìÝíùò ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò
åßíáé x = 1 Þ x = -1.
Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:
x 2 1 x 3 x 1− − = + + −
Ëýóç
Åßíáé x 2 1 x 3 x 1
x 2 1 x 3 x 1 0
− − = + + − ⇔
− − − + − − =
Ðñþôá âãÜæïõìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôçò ðáñÜ-
óôáóçò x 2 1 x 3 x 1− − − + − − êáôáóêåõÜæï-
íôáò ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá:
¢ñá åßíáé:
x 3, αν x 3
x 3, αν 3 x 1x 2 1 x 3 x 1
3x 1, αν 1 x 2
x 5, αν x 2
+ < −
− − − ≤ <
− − − + − − = − − ≤ ≤
− − >
58 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â22. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:
á. 4x 8 2− + = â. x 2 2x 3+ = +
Â23. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:
á. x x 3= − â. x 1 x 2− = −
Â24. Íá ëýóåôå ôéò åîéóþóåéò:
á. x 1
1 2 x 1 12
−− = − +
â. 3 x 1 2 x 1 x 2
2 3 4
+ − ++ =
B25. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò :
i. 2x 1 3+ = ii. 2x 1 4 0+ + =
iii. 2x 1 0+ = iv. 2x 1 3 0+ − − =
B26. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
i. x 2 2x 1+ = +
¸ôóé, áðü ôçí åîßóùóç
x 2 1 x 3 x 1 0− − − + − − =
ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò:
Áöïý ãñÜøïõìå ôïí ôýðï ÷ùñßò ôéò áðüëõôåò
ôéìÝò, ëýíïõìå ôçí êÜèå ìßá åîßóùóç êáé äå-
÷üìáóôå ôç ëýóç ôçò , áí áíÞêåé óôï áíôß-
óôïé÷ï äéÜóôçìá.
• x 3 0 x 3+ = ⇔ = −
ìå ôïí ðåñéïñéóìü x 3< − ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç.
• x 3 0 x 3− − = ⇔ = −
ìå ôïí ðåñéïñéóìü 3 x 1− ≤ < .
ii. 3 x 1 x 6+ = +
iii. x 1 2x 4 0+ + + =
B27. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
x 1 1 x2x 2
3 2
− −+ = − + (1)
B28. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
i. x 3 2x 4− = − ii. 2 2x 2 x− =
B29. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. x 1 2 3− + = â. x x 4 3 x− = −
B30. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
3 x 2 x 1 2 x 0+ − + + = (1)
• 1
3x 1 0 x3
− − = ⇔ = −
ìå ôïí ðåñéïñéóìü 1 x 2≤ ≤ , ïðïßá åßíáé áäý-
íáôç.
• x 5 0 x 5− − = ⇔ = −
ìå ôïí ðåñéïñéóìü x > 2, ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç.
ÅðïìÝíùò ç ìïíáäéêÞ ëýóç ôçò åîßóùóçò:
x 2 1 x 3 x 1− − = + + − ,
åßíáé ç x 3= − .
59åîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÁÐÏËÕÔÅÓ ÔÉÌÅÓ
ÔÏÕ ÁÃÍÙÓÔÏÕ
8
7
6
Óôéò áíéóþóåéò ðïõ ðåñéÝ÷ïõí áðüëõôá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôéò éäéüôçôåò:
1. x θ, θ 0 θ x θ≤ > ⇔ − ≤ ≤
2. x θ, θ 0 x θ ή x θ≥ > ⇔ ≤ − ≥
Áí θ 0< :
Ç áíßóùóç x θ< åßíáé áäýíáôç (áöïý x 0≥ )
Ç áíßóùóç x θ> , éó÷ýåé ãéá êÜèå x R∈
ÃåíéêÜ ï ôñüðïõò ðïõ ëýíïõìå áíéóþóåéò ìå áðüëõôá öáßíåôáé óôá åðüìåíá ðá-
ñáäåßãìáôá.
Áíéóþóåéò
ìå
áðüëõôá
Åðßëõóç áíéóþóåùí ðïõ ðåñéëáìâÜíïõí áðüëõôåò ôéìÝò
Á6Íá ëýóåôå ôéò áíéóþóåéò:
á. 3 2x 8− < â. 7x 1 12+ ≥
Ëýóç
á. Åßíáé: 3 2x 8 8 3 2x 8
11 511 2x 5 x
2 2
− < ⇔ − < − < ⇔
⇔ − < − < ⇔ > > −
â. Åßíáé: 7x 1 12 7x 1 12 ή 7x 1 12
7x 13 ή 7x 11
13 11x ή x
7 7
+ ≥ ⇔ + ≤ − + ≥ ⇔
⇔ ≤ − ≥ ⇔
⇔ ≤ − ≥
Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïõò ðñáãìáôéêïýò
áñéèìïýò x ãéá ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé:
2 5x - 6 < 8≤
Ëýóç
Áñêåß íá óõíáëçèåýóïõìå ôéò áíéóþóåéò
5x 6 2
5x 6 8
− ≥
− <
• Åßíáé: 5x 6 2 5x 6 2 ή 5x 6 2
x 4 ή 5x 8
4 8x ή x
5 5
− ≥ ⇔ − ≤ − − ≥ ⇔
⇔ 5 ≤ ≥ ⇔
⇔ ≤ ≥
• Åßíáé: 5x 6 8 8 5x 6 8
2 5x 14
2 14x
5 5
− < ⇔ − < − < ⇔
⇔ − < < ⇔
⇔ − < <
Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ç
2 5x 6 8≤ − < åðáëçèåýåôáé áðü ôá x åêåßíá ãéá
ôá ïðïßá éó÷ýïõí ôáõôü÷ñïíá ïé:
4 2 14 8 2 14x , x ή x , x
5 5 5 5 5 5≤ − < < ≥ − < <
¢ñá, üðùò ðñïêýðôåé áðü ôï ðáñáðÜíù äéÜãñáì-
ìá, ãéá íá åðáëçèåýåôáé ç 2 5x 6 8≤ − < ðñÝðåé
íá éó÷ýåé 2 4 8 14
x ή x5 5 5 5
− < ≤ ≤ < .
Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç: x 3 4x 1− ≤ +
Ëýóç
Áí 4x 1 0+ < ôüôå ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç.
60 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3
10
9
¢ñá ðñÝðåé êáôáñ÷Üò íá éó÷ýåé:
14x 1 0 x
4+ ≥ ⇔ ≥ −
Õðü áõôüí ôïí ðåñéïñéóìü Ý÷ïõìå:
x 3 4x 1 4x 1 x 3 4x 1− ≤ + ⇔ − − ≤ − ≤ +
• Áðü ôçí 4x 1 x 3− − ≤ − ðñïêýðôåé:
24x 1 x 3 5x 2 x
5− − ≤ − ⇔ ≥ ⇔ ≥
• Áðü ôçí x 3 4x 1− ≤ + ðñïêýðôåé:
4x 3 4x 1 3x 4 x
3− ≤ + ⇔ ≥ − ⇔ ≥ −
Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ïé ëýóåéò
ôçò áíßóùóçò x 3 4x 1− ≤ + åßíáé ôá x åêåßíá ãéá
ôá ïðïßá éó÷ýïõí ôáõôü÷ñïíá ïé:
1 2 4x , x , x
4 5 3≥ − ≥ ≥ −
¼ðùò öáßíåôáé óôï äéÜãñáììá ïé áíéóþóåéò áõ-
ôÝò óõíáëçèåýïõí ãéá 2
x5
≥
Óõ÷íÜ, üôáí Ý÷ïõìå íá ëýóïõìå ìéá áíßóùóç ìå
áðüëõôåò ôéìÝò, ìáò óõìöÝñåé íá âãÜëïõìå ðñþ-
ôá ôéò áðüëõôåò ôéìÝò, üðùò áêñéâþò êÜíáìå êáé
óôçí ðåñßðôùóç ôùí åîéóþóåùí.
Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç:
x 3 x 2 x+ − − ≥
Ëýóç
Åßíáé: x 3 x 2 x x 3 x 2 x 0+ − − ≥ ⇔ + − − − ≥
Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáðÜíù ðßíáêá ãñÜöïõìå
ôçí ðáñÜóôáóç x 3 x 2 x+ − − −
÷ùñßò áðüëõôåò ôéìÝò ùò åîÞò:
x 5, αν x 3
3x 1, αν 3 x 0x 3 x 2 x
x 1, αν 0 x 2
5 x, αν x 2
− < −
+ − ≤ <
+ − − − = + ≤ ≤
− >
ÅðïìÝíùò áðü ôçí áíßóùóç x 3 x 2 x 0+ − − − ≥
ðñïêýðôïõí ïé áíéóþóåéò:
• x 5 0− ≥ êáé x 3< − , ïé ïðïßåò äåí óõíáëç-
èåýïõí ãéá êáíÝíá x.
• 3x 1 0+ ≥ êáé 3 x 0− ≤ < , ïé ïðïßåò óõíáëç-
èåýïõí ãéá 1
x 03
− ≤ < .
• x 1 0+ ≥ êáé 0 x 2≤ ≤ , ïé ïðïßåò óõíáëçèåý-
ïõí ãéá 0 x 2≤ ≤ .
• 5 x 0− ≥ êáé x 2> , ïé ïðïßåò óõíáëçèåýïõí
ãéá 2 x 5< ≤ .
Áðü ôá ðáñáðÜíù óõìðåñáßíïõìå üôé ç áñ÷éêÞ
áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ãéá:
1x 0
3− ≤ < Þ 0 x 2≤ ≤ Þ 2 x 5< ≤ ,
äçëáäÞ ãéá 1
x 53
− ≤ ≤ .
Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
( ) ( )5 4 x x 2 1− < −
Ëýóç
á. Áí x 2 0 x 2− ≤ ⇔ ≤ ôüôå
( ) ( )1 5 4 x x 2 20 5x x 2⇔ − < − + ⇔ − < − + ⇔
5x x 20 2 4x 18
18 9x x
4 2
⇔ − + < − + ⇔ − < − ⇔
−⇔ > ⇔ >
−
áðïññßðôåôáé äéüôé x 2≤ .
â. Áí x 2 0 x 2− > ⇔ > ôüôå
( ) ( )1 5 4 x x 2 20 5x x 2⇔ − < − ⇔ − < − ⇔
61åîéóþóåéò ìå áðüëõôåò ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ ÌÅ ÁÐÏËÕÔÅÓ ÔÉÌÅÓ
ÔÏÕ ÁÃÍÙÓÔÏÕ
11
5x x 20 2 6x 22
22 11x x δεκτή
6 3
⇔ − − < − − ⇔ − < − ⇔
−⇔ > ⇔ >
−
Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
x 3 1 x 3 1 x 3 52
6 4 6
− − − − − ++ < +
Ëýóç
x 3 1 x 3 1 x 3 52
6 4 6
− − − − − ++ < + ⇔
x 3 1 x 3 1 x 3 512 12 12 2 12
6 4 6
− − − − − +⇔ + < ⋅ + ⇔
( ) ( ) ( )2 x 3 1 3 x 3 1 24 2 x 3 5⇔ − − + − − < + − + ⇔
2 x 3 2 3 x 3 3 24 2 x 3 10⇔ − − + − − < + − + ⇔
3 x 3 2 3 24 10 3 x 3 39⇔ − < + + + ⇔ − < ⇔
x 3 13 13 x 3 13⇔ − < ⇔ − < − < ⇔
13 3 x 3 3 13 3 10 x 16⇔ − + < − + < + ⇔ − < <
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â31. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i. x -1 3< ii. x 2 -2+ <
iii. x 7 0+ ≤
Â32. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i. x 1 2+ ≥ ii. x 3 -1+ >
iii. x 1
1x 2
−>
−
Â33. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
2 x 1 4< − ≤
Â34. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
2 x 1 3− − <
Â35. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
x 1 x 2 2x+ − − > (1)
Â36. i. Íá ãñÜøåôå ôçí áíßóùóç: á < x < â ùò
áíßóùóç ìå áðüëõôï.
ii. Íá óõìðëçñùèåß ï ðßíáêáò üðùò äåß-
÷íåé ç ðñþôç ãñáììÞ.
Á6
62 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4
Ç åîßóùóç 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠B.4
Ìéá åîßóùóç ìå Ýíáí Üãíùóôï x åßíáé 2ïõ âáèìïý áí ìåôÜ áðü ìéá óåéñÜ ìåôáó-
÷çìáôéóìþí ìðïñåß íá áíá÷èåß óôç ìïñöÞ
2αx βx γ 0+ + = , ìå α 0, β, γ R≠ ∈
ð.÷. ç åîßóùóç 22x 3x 4 0− + = åßíáé 2ïõ âáèìïý ìå α 2, β 3= = − êáé γ 4= .
2 2 β γαx βx γ 0 x x 0
α α+ + = ⇔ + + = [áöïý α 0≠ ]
2 2β γ β γx x x 2 x
α α 2α α⇔ + = − ⇔ + ⋅ = − ⇔ [äéáéñïýìå ìå α 0≠ ]
2 2 2 22
2
β β γ β β γ βx 2x x
2α 2α α 2α 2α α 4α
+ + = − + ⇔ + = − + ⇔
2 2
2
β β 4αγx2α 4α
− + =
Áí èÝóïõìå 2∆ β 4αγ= − ôüôå ç ôåëåõôáßá åîßóùóç ãßíåôáé:
2
2
β ∆x2α 4α
+ =
(1)
Äéáêñßíïõìå ôþñá ôéò ðåñéðôþóåéò:
• Áí Ä > 0 , áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå:
2 2
β ∆ β ∆x ή x2α 2α4α 4α
+ = + = − ⇔
β ∆x
2α 2α= − + Þ
β ∆ β ∆ β ∆x x ή x
2α 2α 2α 2α
− + − −= − − ⇔ = =
ÄçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé äýï ëýóåéò (Þ ñßæåò) Üíéóåò ôéò:
1
β ∆x
2α
− += , 2
β ∆x
2α
− −=
• Áí ∆ 0= , áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå:
2β β β
x 0 x 0 x2α 2α 2α
+ = ⇔ + = ⇔ = −
Åîßóùóç
äåõôÝñïõ
âáèìïý
63äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç
ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ
ÄçëáäÞ ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá äéðëÞ ñßæá ôç 0
βx
2α= − .
• Áí Ä < 0 ,ç åîßóùóç (1) Üñá êáé ç 2αx βx γ 0+ + = , äåí Ý÷åé ðñáãìáôéêÝò
ñßæåò.
Ôá ðñïçãïýìåíá óõìðåñÜóìáôá ôá ðáñïõóéÜæïõìå óôïí åðüìåíï ðßíáêá:
Ç ðáñÜóôáóç 2∆ β 4αγ= − ëÝãåôáé äéáêñßíïõóá ôçò åîßóùóçò.
Ãéá íá Ý÷ïõìå ëéãüôåñåò ðñÜîåéò ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí Ä’ =∆
4 áí ï â åßíáé Üñ-
ôéïò.
Ëýóç ôçò
åîßóùóçò
2αx βx γ 0,+ + =
α 0≠
ÐáñáôçñÞóåéò
• Áí αγ 0< , ôüôå ∆ 0> ïðüôå ç 2αx βx γ 0+ + = Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò.
• Áí ç åîßóùóç Ý÷åé ñçôïýò óõíôåëåóôÝò êáé ç Ä åßíáé ôÝëåéï ôåôñÜãùíï ôüôå Ý÷åé ñßæåò ñçôÝò, áëëéþò
Ý÷åé ñßæåò Üññçôåò.
• Áí ç åîßóùóç åßíáé åëëåéðÞò, ôç ëýíïõìå ìå ðáñáãïíôïðïßçóç, Þ áðïìïíþíïõìå ôïí Üãíùóôï êáé
ðáßñíïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá.
ð.÷
( )24x 16x 0 4x x 4 0 x 0 ή x 4− = ⇔ − = ⇔ = =
2 23x 27 0 3x 27+ = ⇔ = − , åßíáé áäýíáôç.
2 2 24x 64 0 4x 64 x 16 x 4 x 4 ή x 4− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −
2 2 26x 96 0 6x 96 x 16 x 16 x 4 ή x 4− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −
• Ïé åîéóþóåéò:2αx β x γ 0+ + = êáé
2
α x β x γ 0+ + =
ìå ôçí áíôéêáôÜóôáóç x y= ãñÜöïíôáé: 2αy βy γ 0+ + =
ç ïðïßá ëýíåôáé óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá.
ð.÷. Ç åîßóùóç 22
x 8 x 15 0 x 8 x 15 0− + = ⇔ − + = Þ 2y 8y 15 0− + = ìå x y 0= ≥
Åßíáé 58 4 8 2
y32 2
± ±= = =
. ¢ñá x 5 x 5= ⇔ = ± Þ x 3 x 3= ⇔ = ± .
64 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4
B37. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. ( )24x 2 5 1 x 5 0− + + =
â. ( )23αx 3α β x β 0− − − =
B38. Äßíåôáé ç åîßóùóç
2 2 2 2 2 2x 2(α β )x (α β ) 0− + + − = .
Ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôùí á, â íá âñåßôå
ðüóåò ñßæåò Ý÷åé ç åîßóùóç (áí Ý÷åé).
B39. Äßíåôáé ç åîßóùóç
2 2x 2(λ 2)x 2λ 17 0− + + − = .
Íá âñåßôå ôï ë þóôå ç åîßóùóç íá Ý÷åé
ìßá ñßæá äéðëÞ. ÌåôÜ íá âñåßôå áõôÞ ôç ñßæá.
B40. Äßíåôáé ç åîßóùóç 2x 3x λ 2 0− + + = .
Áí ç åîßóùóç Ý÷åé ñßæá ôï 5 íá âñåèåß ç
Üëëç ñßæá.
B41. Äßíåôáé ç åîßóùóç:
(ë - 1)x2 + (2ë + 1)x + ë = 0.
Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ë ç åîßóùóç:
á. ¸÷åé ìßá ìüíï ñßæá; Ðïéá åßíáé áõôÞ;
â. ¸÷åé ìéá ñßæá äéðëÞ; Ðïéá åßíáé áõôÞ;
B42. Áí ç åîßóùóç 2αx 2βx γ 0, α 0+ + = ≠
Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò, íá
áðïäåßîåôå üôé ôï ßäéï óõìâáßíåé êáé ãéá
ôçí:
2x 2(α β γ)x 2β(α γ) 3αγ 0+ + + + + + =
2
1 Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
( )2x 2 1 x 2 0+ − − =
Ëýóç
( ) ( )
( )
2 2
222
∆ 2 1 4 1 2 2 2 2 1 4 2
2 2 2 1 1 2 1 0
= − − ⋅ − = − + +
= + ⋅ + = + >
( ) ( ) ( )2
1,2
2 1 2 1 2 1 2 1x
2 1 2
2 1 2 11
2
2 1 2 12
2
− − ± + − + ± += = =
⋅
− + + +=
=
− + − − = −
Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ïé ðáñáêÜôù åîé-
óþóåéò Ý÷ïõí ßóåò ñßæåò;
á. ( )2λx λ 1 x 2λ 2 0− − + − =
â. ( )2 2x 2 λ 1 x λ 2λ 1 0− − + − + =
ã. ( ) ( )2λx 3 λ 3 x 2λ 10 0− − − + =
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Ëýóç
Ãéá íá Ý÷ïõí ïé åîéóþóåéò ßóåò ñßæåò, èá ðñÝðåé íá
Ý÷ïõí äéáêñßíïõóá Ä = 0.
á. Åßíáé ( ) ( )2 2∆ λ 1 4λ 2λ 2 7λ 6λ 1= − − − = − + + .
Èá ðñÝðåé ëïéðüí 27λ 6λ 1 0− + + = .
Áí ëýóïõìå ôçí åîßóùóç áõôÞ, âñßóêïõìå λ 1=
êáé 1
λ7
= − .
â. Åßíáé ( ) ( )2 2∆ λ 1 λ 2λ 1 0′ = − − − + = ãéá êÜèå
ôéìÞ ôïõ ë.
¢ñá ãéá ïðïéáäÞðïôå ôéìÞ ôïõ ë ç åîßóùóç èá
Ý÷åé ßóåò ñßæåò.
ã. Åßíáé:
( ) ( )2 2∆ 9 λ 3 4λ 2λ 10 17λ 14λ 81= − + + = − +
Èá ðñÝðåé 2
17λ 14λ 81 0− + = . Ç åîßóùóç
üìùò áõôÞ äåí Ý÷åé ñßæåò óôï R. Óõíåðþò ç
áñ÷éêÞ åîßóùóç äåí Ý÷åé ñßæåò ßóåò ãéá êáìéÜ
ôéìÞ ôïõ ë.
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
65äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç
ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ
¢èñïéóìá
êáé
ãéíüìåíï ñéæþí
¸óôù ÷1, ÷
2 ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò
2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ (1)
Åßíáé: 1 2
βS x x
α= + = − êáé
1 2
γP x x
α= ⋅ = [ôýðïé ôïõ Vieta]
ð.÷. Áí äýï áñéèìïß Ý÷ïõí Üèñïéóìá 1 2
βx x
α+ = − êáé 1 2
γx x
α= åßíáé ñßæåò ôçò 2
αx βx γ 0+ + =
ÐñÜãìáôé, áöïý ïé 1 2x , x åßíáé ñßæåò ôçò ( )( )1 2
x x x x 0− − = ðïõ éóïäýíáìá ãñÜöåôáé:
( )2
1 2 1 2x x x x x x 0− + + =
2 β γx x 0
α α+ + =
2αx βx γ 0+ + =
ð.÷. Íá ó÷çìáôßóåôå åîßóùóç ðïõ íá Ý÷åé ñßæåò ôïõò 3 êáé -4.
Ôï Üèñïéóìá åßíáé ( )3 4 1+ − = −
Ôï ãéíüìåíï åßíáé ( )3 4 12− = −
ÅðïìÝíùò ç åîßóùóç åßíáé 2x x 12 0+ − =
ð.÷. Íá âñåèïýí äõï áñéèìïß áí ãíùñßæïõìå üôé Ý÷ïõí Üèñïéóìá -3 êáé ãéíüìåíï 4
Ïé æçôïýìåíïé áñéèìïß åßíáé ñßæåò ôçò:
( )2x 3 x 4 0− − − =
2x 3x 4 0+ − =
2x 3x 4 0+ − =
Åßíáé( )2
1
3 3 4 1 4 3 5x 1
2 2
− + − ⋅ ⋅ − − += = = êáé
( )2
2
3 3 4 1 4 3 25 3 5x 4
2 2 2
− − − ⋅ ⋅ − − − − −= = = = −
66 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4
43
B43.¸óôù ç åîßóùóç ( )2x - λ 1 x λ 0+ − = . Áí
ôá x1, x
2 åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò íá âñåß-
ôå ôï ë þóôå:
2 2 2 2
1 1 2 1 2 23x -7x x -7x x 3x 2+ =
B44.¸óôù ç åîßóùóç 2x 3x 2λ 1 0− − + = . Íá
âñåèåß ôï ë, þóôå ç åîßóùóç íá Ý÷åé äýï
ñßæåò ðïõ ç ìßá íá åßíáé ôåôñáðëÜóéá ôçò
Üëëçò.
B45. Áí á, â åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò
2x x 3 0− + + = íá õðïëïãßóåôå ôçí ðá-
ñÜóôáóç
2 2 2 2
3 3
2α 3αβ 2β 3α βA
4α 5αβ 4β
− + −=
− +
B46.¸óôù üôé ç åîßóùóç
( )2 32x λ 19 x 8 0− + − − =
Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò.
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Íá âñåèåß ï λ R∈ , áí ç ìßá ñßæá ôçò
åîßóùóçò 2x λx 8 0+ + = éóïýôáé ìå ôï
ôåôñÜãùíï ôçò Üëëçò.
Ëýóç
Êáôá áñ÷Þí ðñÝðåé :
( ) ( ) ( )
2 2∆ 0 λ 4 1 8 0 λ 32 0
λ , 32 32, α
> ⇔ − ⋅ ⋅ > ⇔ − > ⇔
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
åßíáé: ( )1 2x x λ 1+ = − ( )
1 2x x 8 2⋅ = ( )2
1 2x x 3=
( )( )
( )
2 3
2 2 2
3
2 2
2 x x 8 x 8
x 8 x 2 4
3
⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔
⇔ = ⇔ =
( )( )
( )2
1 13 x 2 x 4 5
4
⇔ = ⇔ =
( )( )( )5
1 4 2 λ 6 λ λ 64
⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = −
äåêôÞ ëüãù ôçò (á)
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Áí ï á åßíáé ìç ìçäåíéêüò ñçôüò á-
ñéèìüò íá äåßîåôå üôé ç åîßóùóç Ý÷åé2
αx (α 2)x 2 0+ + + = ñçôÝò ñßæåò. Ðïéá
ç ôéìÞ ôïõ á þóôå ôï Üèñïéóìá ôùí
äýï ñéæþí íá åßíáé ßóï ìå 3;
Ëýóç
Ç äéáêñßíïõóá ôçò åîßóùóçò åßíáé:
( )
( )
2 2
22
∆ α 2 4 α 2 α 4α 4 8α
α 4α 4 α 2
= + − ⋅ ⋅ = + + − =
= − + = −
Áöïý ç Ä åßíáé ôÝëåéï ôåôñÜãùíï ôïõ ñçôïý á-
ñéèìïý á-2, êáé ïé óõíôåëåóôÝò ôçò åîßóùóçò åß-
íáé ñçôïß áñéèìïß, óõìðåñáßíïõìå üôé ïé ñßæåò åß-
íáé ñçôÝò. Ãéá íá åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí ñéæþí
ßóï ìå 3 ðñÝðåé α 2 1
3 αα 2
+− = ⇔ = − .
Áí ç ìßá ñßæá åßíáé ç x1 = 2, ôüôå:
á. íá õðïëïãßóåôå ôçí Üëëç ñßæá x2 ÷ùñßò
íá áíôéêáôáóôÞóåôå ôçí x1 óôçí åîßóù-
óç.
â. íá âñåßôå ôç Ä ã. íá âñåßôå ôï ë.
B47. Äßíåôáé üôé ç åîßóùóç 2x βx γ 0+ + = Ý÷åé
ñßæåò ðñáãìáôéêÝò.
á. Áí ôï Üèñïéóìá ôùí ôåôñáãþíùí ôùí
ñéæþí åßíáé 2 íá áðïäåßîåôå üôé
2β 2γ 2= +
â. Áí ôï Üèñïéóìá ôùí áíôéóôñüöùí ôùí
ñéæþí åßíáé 2 íá áðïäåßîåôå üôé
β 2γ 0+ =
B48. Áí x1, x
2 å ßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò
2x 2x γ 0+ + = êáé 2
1x
, 2
2x åßíáé ñßæåò
ôçò 2x βx 3 0+ + = íá áðïäåßîåôå üôé â =
2ã - 4.
67äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç
ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ
5
Ôñéþíõìï
ÄåõôÝñïõ
âáèìïý
ÌïñöÝò ôñéùíýìïõ äåýôåñïõ âáèìïý
Ôï ðïëõþíõìï ( ) 2f x αx βx γ= + + , ìå α 0≠ (1)
ïíïìÜæåôáé ôñéþíõìï äåýôåñïõ âáèìïý.
Ïé ëýóåéò ñ1, ñ2 ôçò åîßóùóçò 2αx βx γ 0+ + = ëÝãïíôáé ñßæåò ôïõ ôñéù-
íýìïõ êáé ç äéáêñßíïõóÜ ôçò 2∆ β 4αγ= − ëÝãåôáé äéáêñßíïõóá ôïõ ôñéù-
íýìïõ. Ïé ñßæåò ôïõ ôñéùíýìïõ õðÜñ÷ïõí, üôáí ∆ 0≥ .
Åéäéêüôåñá:
• Áí ∆ 0> êáé 1 2ρ , ρ åßíáé ïé ñßæåò ôïõ, ôüôå
( ) ( )( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2
β γαx βx γ α x x
α α
α x ρ ρ x ρ ρ α x ρ x ρ
+ + = + + =
= − + + = − −
Üñá ( )( )2
1 2αx βx γ α x ρ x ρ+ + = − − (2)
• Áí ∆ 0= , åßíáé 1 2
βρ ρ ρ
2α= = = − , ïðüôå:
( )2
22 βαx βx γ α x ρ α x
2α
+ + = − = +
(3)
• Áí ∆ 0< , ôüôå ç (1) ãñÜöåôáé
2
2
2
β ∆αx βx γ α x
2α 4α
+ + = + +
(4)
êáé äåí áíáëýåôáé óå ãéíüìåíï.
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá:
á. ( ) ( ) ( )2f x x k λ 2 x 2 k λ= − + + + +
â. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2
g x x 3 x 4 x 5 x 6= + + + + + − +
Ëýóç
á. Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò åîßóùóçò ( )f x 0= .
Åßíáé:
( ) ( )2
1,2
k λ 2 k λ 2 8 k λρ
2
+ + ± + + − += =
( )2k λ 2 2 k λ
2
+ + ± − −= =
( )k λ 2 2 k λ
2
+ + ± − −= =
1
1
k λ 2 2 k λρ 2
2
k λ 2 2 k λρ k λ
2
+ + + − −= =
= + + − + +
= = +
¢ñá åßíáé ( ) ( )( )( )( )
1 2f x α x ρ x ρ
x 2 x k λ
= − − =
= − − −
â. Åßíáé ( ) 2 2 2
2 2
g x x 6x 9 x 8x 16 x
10x 25 x 12x 36 2x 12x 14
= + + + + + + +
+ + − − − = + +
Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò ( )g x 0= , ïé ïðïßåò
åßíáé:
Á3
68 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4
7
6
1,2
6 36 2 14 6 8 6 2 2ρ
2 2 2
− ± − ⋅ − ± − ±= = = =
1
2
ρ 3 2
ρ 3 2
= − +=
= − −
¢ñá åßíáé ( ) ( )( )g x 2 x 3 2 x 3 2= + − + + .
Íá ãßíåé ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí ç ðá-
ñÜóôáóç ( ) 2α α 1 x x 1+ + − .
Ëýóç
Áí ( )α α 1 0 α 0 ή α 1+ = ⇔ = = − ôüôå ç ðáñÜ-
óôáóç ãßíåôáé ÷-1 êáé äåí ðáñáãïíôïðïéåßôáé.
Áí ( )α α 1 0 α 0 ή α 1+ ≠ ⇔ ≠ ≠ − ôüôå ç ðáñÜ-
óôáóç åßíáé ôñéþíõìï 2ïõ âáèìïý ìå
( )( )
( )
( )
2
22
2
∆ 1 4α α 1 1 1 4α 4α
4α 4α 1 2α 2 2α 1 1
2α 1 0
= − + − = + + =
= + + = + ⋅ ⋅ + =
= + ≥
( )
( )
( )
( )
2
1,2
1 2α 1 1 2α 1x
2α α 1 2α α 1
− ± + − ± += = =
+ +
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 2α 1 2α 1
2α α 1 2α α 1 α 1
1 2α 1 2α 2 2 α 1 1
2α α 1 2α α 1 2α α 1 α
− + += =
+ + +
= − − − − − − +
= = = −
+ + +
¢ñá ( ) 2α α 1 x x 1+ + − =
( )
( )( )( )
1 1α α 1 x x
α 1 α
α 1 x 1 αx 1
= + − + =
+
= + − +
Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:
2
2 2
x αx βx αβ
x 3αx 2α
− + −
− +
Ëýóç
Ï áñéèìçôÞò ãñÜöåôáé:
2x αx βx αβ− + − =
( ) ( ) ( )( )x x α β x α x α x β= − + − = − +
Ï ðáñïíïìáóôÞò Ý÷åé äéáêñßíïõóá
( )2 2 2 2 2∆ 3α 4 1 2α 9α 8α α 0= − − ⋅ ⋅ = − = ≥
êáé ñßæåò
2
1,2
2α3α α 3α αx
α2 1 2
± ±= = =
⋅
¢ñá ãñÜöåôáé ( )( )2 2x 3αx 2α x 2α x α− + = − − .
ÅðïìÝíùò 2
2 2
x αx βx αβ
x 3αx 2α
− + −=
− +
( )( )( )( )
x α x β x β
x 2α x α x 2α
− + += =
− − − ìå x α≠ êáé x 2α≠ .
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
B49. Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ôá ôñéþíõìá:
i. 2x 6x 5− + ii.
23x 4x 1− +
iii. 25p 25− iv. ( )2
x α β x αβ− + +
B50. Íá áðëïðïéçèïýí ôá êëÜóìáôá:
i. 2
2
x x 6
x 3x 2
− −
+ +
ii. ( )2
2 2
x 2κ λ x 2κλ
x λ
+ + +
−
B51. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:
3 2
2
6x x xA
4x 4x 1
− −=
− +
B52. Íá áðëïðïéçèåß ôï êëÜóìá:
( ) ( )
( ) ( )
2 22 2
3 2
x 3x 4 x xΚ
x 1 x x 2
+ − − −=
− − + −
B53. Íá áðëïðïéçèåß ç ðáñÜóôáóç:
4 2 2 4
2 2
4x 13α x 9αK
2x αx-3α
− +=
+
Á3
A4
69äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç
ÄÅÕÔÅÑÏÂÁÈÌÉÁ ÅÎÉÓÙÓÇ
Ðñüóçìï
ôïõ ôñéùíýìïõ
( ) 2f x αx βx γ= + +
¸óôù ( ) 2f x αx βx γ 0, α 0= + + = ≠ .
Äéáêñßíïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò:
1. Ä > 0, ôüôå åßíáé ( ) ( )( ) ( )1 2
f x α x x x x 1= − − .
• Aí 1 2
x x x< < åßíáé 1
x x 0− < êáé 2
x x 0− < ïðüôå:
( )( )1 2x x x x 0− − > êáé óõíåðþò ëüãù ôçò ó÷Ýóçò (1), ôï f(x) åßíáé
ïìüóçìï ôïõ á.
• Aí 1 2x x x< < åßíáé
1x x 0− > êáé
2x x 0− < , ïðüôå:
( )( )1 2x x x x 0− − < êáé óõíåðþò ëüãù ôçò (1), ôï f(x) åßíáé åôåñüóçìï
ôïõ á.
• Aí 1 2x x x< < , åßíáé
1x x 0− > êáé
2x x 0− > , ïðüôå :
( )( )1 2x x x x 0− − > êáé óõíåðþò ëüãù ôçò (1) ôï f(x) åßíáé ïìüóçìï
ôïõ á.
2. Áí Ä = 0 ôüôå ( )2
βf x α x
2α
= +
ïðüôå ôï f(x) åßíáé ïìüóçìï ôïõ á ãéá
êÜèå β
x2α
−≠ .
3. Áí Ä < 0 ôüôå ( )2
2
β ∆f x α x
2α 4α
= + +
êáé åðåéäÞ ç ðáñÜóôáóç óôçí
áãêýëç åßíáé èåôéêÞ ãéá êÜèå x R∈ , ôï f(x) åßíáé ïìüóçìï ôïõ á óå üëï
ôï R.
70 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4
Ìéá áíßóùóç äåýôåñïõ âáèìïý ìå Üãíùóôï x R∈ åßíáé ôçò ìïñöÞò
2αx βx γ 0+ + > Þ 2αx βx γ 0+ + < ( )α 0≠
Ãéá íá ëýóïõìå ìéá ôÝôïéá áíßóùóç, ðñÝðåé íá âñïýìå ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò
ïðïßåò ôï ôñéþíõìï 2αx βx γ+ + ãßíåôáé èåôéêü Þ áñíçôéêü áíôßóôïé÷á.
¢ñá ç ëýóç ìéáò áíßóùóçò äåýôåñïõ âáèìïý áíÜãåôáé óôçí åýñåóç ôïõ ðñïóÞ-
ìïõ ôïõ ôñéùíýìïõ.
ð.÷. Áò äïýìå ðüôå åßíáé2x 6x 8 0− + − > .
Åäþ æçôÜìå ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò ôï ôñéþíõìï 2x 6x 8− + − åßíáé èåôéêü, äçëáäÞ
åôåñüóçìï ôïõ óõíôåëåóôÞ ôïõ ìåãéóôïâÜèìéïõ üñïõ ôïõ ( α 1= − ).
ÅðåéäÞ Ý÷åé äéáêñßíïõóá ( )( )∆ 36 4 1 8 4 0= − − − = > , ôï ôñéþíõìï 2x 6x 8− + − åßíáé åôåñüóçìï
ôïõ α 1= − ãéá ôéìÝò ôïõ ÷ ðïõ åßíáé ìåôáîý ôùí ñéæþí ôïõ 2 êáé 4, üðùò öáßíåôáé óôïí ðáñáêÜ-
ôù ðßíáêá.
Óõíåðþò ôï óýíïëï ôùí ëýóåùí ôçò áíßóùóçò åßíáé ôï äéÜóôçìá (2,4).
Áí åß÷áìå ôçí áíßóùóç 2x 6x 8 0− + − ≥ , ôüôå óôï óýíïëï ëýóåùí èá ðñÝðåé íá õðÜñ÷ïõí êáé ïé
ôéìÝò ôïõ ÷, ïé ïðïßåò ìçäåíßæïõí ôï ôñéþíõìï, äçëáäÞ ïé ñßæåò ôïõ. Óõíåðþò ôüôå ôï óýíïëï
ëýóåùí èá Þôáí ôï êëåéóôü äéÜóôçìá [2,4].
ð.÷. Áò äïýìå ðüôå åßíáé2x 6x 12 0− + > .
Åäþ æçôÜìå ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò ôï ôñéþíõìï åßíáé èåôéêü, äçëáäÞ ïìüóçìï ôïõ α 1= .
ÅðåéäÞ üìùò åßíáé ∆ 36 4 12 12 0= − ⋅ = − < , ôï ôñéþíõìï åßíáé ðÜíôïôå ïìüóçìï ôïõ á êáé óõíå-
ðþò ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .
ð.÷. Áò äïýìå ðüôå åßíáé 24x 12x 9 0− + < .
¸÷ïõìå ∆ 36 4 9 0′ = − ⋅ = ∆
∆4
′ =
. ¢ñá ôï ôñéþíõìï Ý÷åé äéðëÞ ñßæá ôçí 12 3
8 2= êáé åßíáé
ïìüóçìï ôïõ α 4= , äçëáäÞ èåôéêü, ãéá êÜèå 3
x2
≠ . Óõíåðþò ç áíßóùóç äåí Ý÷åé ëýóç.
Áíéóþóåéò
äåýôåñïõ
âáèìïý
÷ −∞ 2 4 +∞
2x 6x 8− + − – 0 + 0 –
71äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç
ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ 2ïõ ÂÁÈÌÏÕ
10
9
8 Ná ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i. 2x 3x 5 0− + ≥ ii.
2x 2x 5 0− + − >
iii. 2
2x x 2 0− + − <
Ëýóç
i. Åßíáé ( )2
∆ 3 4 1 5 11 0= − − ⋅ ⋅ = − < êáé α 1 0= >
Üñá èá åßíáé 2x 3x 5 0− + > , ãéá êÜèå x R∈ .
ii. Eßíáé 2∆ 2 4( 1)( 5) 16 0= − − − = − < êáé
α 1 0= − < Üñá èá åßíáé 2x 2x 5 0− + − < ãéá
êÜèå x R∈ . ¢ñá ç áíßóùóç åßíáé áäýíáôç .
iii. Eßíáé 2∆ 1 4( 2)( 2) 15 0= − − − = − < . ¸ôóé áöïý
α 2 0= − < èá Ý÷ïõìå 2
2x x 2 0− + − < ãéá êÜèå
x R∈ . ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .
Ná ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i. 2
4x 8x 4 0− + > ii. 2x 4x 4 0− + − ≤
iii. 2x 2x 1 0− + − ≥
Ëýóç
i. Eßíáé 2∆ ( 8) 4 4 4 0= − − ⋅ ⋅ = . Áöïý α 4 0= >
èá åßíáé 2
4x 8x 4 0− + ≥ ãéá êÜèå x R∈ . Åð-
åéäÞ üìùò èÝëïõìå 2
4x 8x 4 0− + > èá áöáé-
ñÝóïõìå ôçí ôéìÞ β 8
x 12α 8
−= − = − = ðïõ ìç-
äåíßæåé ôï ôñéþíõìï. ¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá
êÜèå { }x R 1∈ − .
ii. Eßíáé ∆ 16 4 1 4 0= − ⋅ ⋅ = . Áöïý α 1 0= − < èá
åßíáé 2x 4x 4 0− + − ≤ ãéá êÜèå x R∈ . ¢ñá ç
áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .
iii. Eßíáé ∆ 4 4( 1)( 1) 0= − − − = . Áöïý α 1 0= − <
èá åßíáé 2x 2x 1 0− + − ≤ ãéá êÜèå x R∈ .
ÅðåéäÞ üìùò èÝëïõìå 2x 2x 1 0− + − ≥ ç ìüíç
ôéìÞ ðïõ áëçèåýåé ôçí áíßóùóç åßíáé ç
β 2x 1
2α 2= − = − =
−
Ná ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i. 2x 4x 3 0+ + ≤ ii.
23x 7x 2 0− + − <
iii. 2x 16 0− ≥
Ëýóç
i. Åßíáé ∆ 16 12 4 0= − = > .
Áöïý α 1 0= > èá Ý÷ïõìå 2x 4x 3 0+ + ≤ ãéá
êÜèå ÷ áíÜìåóá óôéò ñßæåò ôïõ. Oé ñßæåò åßíáé
1,2
14 2x
32
−− ±= =
−
¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå x∈ [-3, -1].
ÃñáöéêÜ ç ëýóç ôçò áíßóùóçò öáßíåôáé óôïí å-
ðüìåíï ðßíáêá:
• Ãéá ôçí 2
3x 7x 2 0− + − < , ïé ñßæåò ôïõ ôñéùíý-
ìïõ åßíáé 2 êáé 1
3. ¸ôóé Ý÷ïõìå:
Áðü áõôÞ âëÝðïõìå üôé ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå
( )1
x , 2,3
∈ −∞ ∪ +∞
.
• Ãéá ôçí 2x 16 0− ≥ ïé ñßæåò ôïõ ôñéùíýìïõ åßíáé -
4 êáé 4. ¸ôóé Ý÷ïõìå:
¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå
( ] [ )x , 4 4,∈ −∞ − ∪ +∞ .
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
72 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 4
1211
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
B54.Íá âñåèåß ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë
Á.á. ôï ôñéþíõìï
2f(x) (λ 2)x 2(2λ-3)x 5λ-6= − + +
åßíáé èåôéêü ãéá êÜèå x R∈
â. ç áíßóùóç
( ) ( )2f(x) λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6 0= − + − + − >
áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈
Â.ã. ôï ôñéþíõìï
( ) ( )2f(x) λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6= − + − + −
åßíáé áñíçôéêü ãéá êÜèå x R∈
ä. ç áíßóùóç
( ) ( )2λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6 0− + − + − <
áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .
Ã. ôï ôñéþíõìï
( ) ( )2f(x) λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6= − + − + −
äéáôçñåß ôï ßäéï ðñüóçìï ãéá üëá ôá x R∈
Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ λ R∈ ãéá ôéò
ïðïßåò ç áíßóùóç ( ) 2λ 2 x 2λx 3λ 0+ − + <
áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .
Ëýóç
ÐñÝðåé ( ) ( )2
λ 2λ 2 0
∆ 0 2λ 4 λ 2 3λ 0
< −+ < ⇔ ⇔
< − − + <
2 2 2
λ 2 λ 2
4λ 12λ 24λ 0 8λ 24λ 0
< − < − ⇔ ⇔ ⇔
− − < − − <
( ) ( )
λ 2 λ 2
8λ λ 3 0 λ λ 3 0
< − < − ⇔ ⇔ ⇔
− + < + >
λ 2λ 3
λ 3 ή λ 0
< −⇔ ⇔ < −
< − >
Ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ λ R∈ íá
åîåôáóèåß áí ç åîßóùóç
( )2λx λ 3 x λ 0+ − + =
Ý÷åé ñßæåò êáé ðüóåò.
Ëýóç
Ãéá λ 0= ç åîßóùóç ãßíåôáé: 3x 0 x 0− = ⇔ =
äçëáäÞ ãéá λ 0= ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá ñßæá ôç x 0= .
Ãéá λ 0≠ ç åîßóùóç åßíáé 2ïõ âáèìïý ïðüôå:
( )2 2 2 2 2∆ λ 3 4λ λ 6λ 9 4λ 3λ 6λ 9= − − = − + − = − − +
( )2 2∆ 0 3λ 6λ 9 0 3 λ 2λ 3 0= ⇔ − − + = ⇔ − + − = ⇔
2λ 2λ 3 0 λ 3 ή λ 1⇔ + − = ⇔ = − =
ÅðïìÝíùò
á. ãéá λ 3< − Þ λ 1> − ç åîßóùóç äåí Ý÷åé ñßæåò
ðñáãìáôéêÝò
â. ãéá 3 λ 1− < < ìå λ 0≠ ç åîßóùóç Ý÷åé äýï
ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò.
ã. ãéá λ 3 ή λ 1= − = ç åîßóùóç Ý÷åé ìéá äéðëÞ ñßæá.
B55. Íá áðïäåßîåôå üôé ç åîßóùóç2
-x (2λ-1)x 3λ 10 0+ + + =
Ý÷åé ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé Üíéóåò ãéá êÜèå
λ R∈ .
Â56. Íá âñåèåß ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ç áíßóùóç
( ) ( )2λ 2 x 2 2λ 3 x 5λ 6 0− + − + − >
áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ .
B57. Äßíåôáé ç åîßóùóç 2 2x (λ 1)x λ -1 0+ + + =
á. Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ λ R∈ þóôå ç
åîßóùóç íá Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò
ôéò x1, x
2.
â. Ãéá ðïéåò áðü ôéò ðáñáðÜíù ôéìÝò ôïõ
ë ðïõ âñÞêáôå óôï á) åñþôçìá éó÷ýåé:2 2
1 2 1 2x x 3x x+ ≥
Â58. Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ ÷, ãéá ôéò ïðïßåò
óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:2x 3x 2 0− + > 2
x 5x 50 0− − <
2x 2x 15 0− − >
73ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá
ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ
1
KÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò
áx + ây = ã
ëÝãåôáé ãñáììéêÞ åîßóùóç ìå äýï áãíþóôïõò.
Ëýóç ôçò ïíïìÜæïõìå êÜèå æåýãïò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí (x,y) ðïõ ôçí åðáëçèåýåé.
á. ¸íá ðëÞèïò äýï ãñáììéêþí åîéóþóåùí ìå äýï áãíþóôïõò ïíïìÜæåôáé
ãñáììéêü óýóôçìá 2x2 ð.÷
=+
=+
222
111
γyβxα
γyβxα åßíáé Ýíá 2x2 óýóôçìá
â. Ëýóç åíüò óõóôÞìáôïò ïíïìÜæåôáé êÜèå æåýãïò (x,y) ðñáãìáôéêþí áñéèìþí
ðïõ åðáëçèåýåé êáé ôéò äýï åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò.
Åðßëõóç åíüò óõóôÞìáôïò ïíïìÜæåôáé ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôïõ óõíüëïõ
ôùí ëýóåùí ôïõ óõóôÞìáôïò.
¸íá óýóôçìá ìðïñïýìå íá ôï åðéëýóïõìå ìå ôéò åîÞò ìåèüäïõò:
1. ÌÝèïäïò ôçò áíôéêáôÜóôáóçò
2. ÌÝèïäïò ôùí áíôßèåôùí óõíôåëåóôþí Þ ôçò áðáëïéöÞò
3. ÌÝèïäïò ôçò óýãêñéóçò
4. ÌÝèïäïò ôùí ïñéæïõóþí Þ ìÝèïäïò Cramer
ÃñáììéêÜ ÓõóôÞìáôáB.5
Ïñéóìïß
Åðßëõóç
Ëýóç
óõóôÞìáôïò
ÌÝèïäïé
åðßëõóçò
ÃñáììéêÜ óõóôÞìáôá 2÷2
Íá ëýóåôå ôï óýóôçìá:
( )
( )
2x 3y 7 1
4x 6y 14 2
− =
− + = −
Ëýóç
(1)⇔7 3y
2x 7 3y x2
+= + ⇔ = (3)
(2)⇔)3(
7 3y4 6y 14
2
+− ⋅ + = − ⇔
2(7 3y) 6y 14
14 6y 6y 14
⇔ − + + = − ⇔
⇔ − − + = −
6y 6y 14 14 0y 0− + = − + ⇔ = , áüñéóôç.
¢ñá êáé ôï óýóôçìá åßíáé áüñéóôï äçëáäÞ Ý÷åé
Üðåéñåò ëýóåéò.
Áðü ôçí (3) Ý÷ïõìå:7 3y
x2
+= .
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
74 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 5
Åðßëõóç - äéåñåýíçóç ôïõ óõóôÞìáôïò
′ ′ ′
αx + βy = γ
α x + β y = γ
á. Èåùñïýìå ôï óýóôçìá (Ó):
′=′+′
=+
γyβxα
γβyαx
á. • ÏíïìÜæïõìå ïñßæïõóá ôïõ óõóôÞìáôïò ôçí ðáñÜóôáóç
αD=
α′ β=αβ -α β
β′ ′
′ (1)
• Óõìâïëßæïõìå ìå Dx ôçí ïñßæïõóá ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí ïñßæïõóá D áí
óôç èÝóç ôùí óõíôåëåóôþí ôïõ x èÝóïõìå ôïõò óôáèåñïýò üñïõò.
Dx =
γ
γ′ γβγββ
β′−′=
′ (2)
• Óõìâïëßæïõìå ìå Dy ôçí ïñßæïõóá ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí ïñßæïõóá D áí
óôç èÝóç ôùí óõíôåëåóôþí ôïõ y èÝóïõìå ôïõò óôáèåñïýò üñïõò.
Dy =
α
α
′ γαγαγ
γ′−′=
′ (3)
â. Äéáêñßíïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò:
1. Áí D 0≠ ôüôå ôï óýóôçìá Ý÷åé ôç ìïíáäéêÞ ëýóç:
yxDD
(x, y) ,D D
=
2. Áí D = 0 êáé (Dx ≠ 0 Þ D
y ≠ 0 ) ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï.
3. Áí D = Dx = D
y =0 ôüôå ôï óýóôçìá èá åßíáé áüñéóôï åêôüò áí
á = á’ =â = â’= 0 êáé ã ≠ 0 Þ ã’ ≠ 0 , ïðüôå èá åßíáé áäýíáôï.
á. ÏìïãåíÝò ëÝãåôáé ôï óýóôçìá ôïõ ïðïßïõ ïé óôáèåñïß üñïé åßíáé ìçäÝí
ð.÷ ôï óýóôçìá
=′+′
=+
0yβxα
0βyαx åßíáé ïìïãåíÝò.
Äéåñåýíçóç
óõóôÞìáôïò
¢ñá ôï (Ó) Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ðïõ åßíáé ïé:
(3) 7 3y(x, y) ( , y)
2
+
= , y R∈ åëåýèåñïò Üãíùóôïò.
ÐáñáôÞñçóç:
Áí èÝóïõìå y = k ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå ôéò
Üðåéñåò ëýóåéò êáé ùò åîÞò:
+,k
2
k37 , Rk∈ åëåýèåñïò Üãíùóôïò.
75ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá
ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ
2
â. Ôï ïìïãåíÝò óýóôçìá Ý÷åé ðÜíôá ôç ìçäåíéêÞ ëýóç (0,0).
ÄçëáäÞ, äåí åßíáé ðïôÝ áäýíáôï. Ìðïñåß üìùò íá åßíáé áüñéóôï, äçë., íá Ý÷åé
Üðåéñåò ëýóåéò åê ôùí ïðïßùí ç ìßá åßíáé ç ìçäåíéêÞ
(x, y) = (0,0).
ã. Áí D 0≠ ôï ïìïãåíÝò óýóôçìá èá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ç ïðïßá ðñïöáíþò èá
åßíáé ç ìçäåíéêÞ
(x, y) = (0,0).
ä. Áí D = 0 ôüôå ôï óýóôçìá åßíáé áüñéóôï (ìéáò êáé äåí ìðïñåß íá åßíáé áäýíá-
ôï) äçëáäÞ, Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò (ìéá åê ôùí ïðïßùí èá åßíáé ç ìçäåíéêÞ
(x, y) = (0, 0) )
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá ëõèåß ôï óýóôçìá :
x -1 y- 2x = -1
3 2
-2(1 + y) + 3 = -3(x - 2) + 2y
ìå ôç ìÝèïäï ôùí ïñéæïõóþí (Þ ìÝèïäï
Grammer)
Ëýóç
Ó÷üëéï:
Ãéá íá ëýóïõìå Ýíá 2÷2 óýóôçìá ìå ôç ìÝèïäï
ôùí ïñéæïõóþí ôï ãñÜöïõìå óôç ìïñöÞ :
αx + βy = γ
α΄x + β΄y = γ΄
¸÷ïõìå:
(1) yx 1 x 1
2x 1 6 6 2x3 2 3
− −⇔ − = − ⇔ − ⋅ =
y6 6 1 2(x 1) 12x 3y 6 2x 2 12x2
= − ⋅ ⇔ − − = − ⇔ − − =
3y 6 2x 12x 3y 6 2= − ⇔ − − = − + ⇔
-10x - 3y = -4 (3)
(2) ⇔+−−=++−⇔ y2)2(x33y)1(2
2 2y 3 3x 6 2y⇔ − − + = − + + ⇔
326y2x3y2 −+=−+−⇔
4y 3x 5 ⇔ − + = ⇔ 3x - 4y = 5 (4)
Ó÷üëéï :
¼ôáí D 0= êáé xD 0≠ , ôüôå äå ÷ñåéÜæåôáé íá
âñïýìå ôçí Dy . Ôï óýóôçìá èá åßíáé áäýíáôï.
Áí üìùò åßíáé Dx = 0 äåí ìðïñïýìå íá óõ-
ìðåñÜíïõìå ôßðïôá ãéá ôï óýóôçìá ãé’ áõôü
ðñï÷ùñïýìå êáé óôçí åýñåóç ôçò Dy .
Áðü ôéò (3) êáé (4) Ý÷ïõìå ôï óýóôçìá:
10x 3y 4
3x 4y 5
− − = −
− =
•10 3
D 10( 4) 3( 3) 40 9 49 03 4
− −= = − − − − = + = ≠
−
• Dx =
4
5
−
3
4( 4) 5( 4) 16 20 364
−= − − − − = + =
−
• Dy=
10 4( 10) 5 3( 4) 50 12 38
3 5
− −= − ⋅ − − = − + = −
ÅðåéäÞ D = 49 0≠ ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ
ëýóç ôçí
x
y
D 36x
D 49
D 38y
D 49
= =
= = −
ÄçëáäÞ: (x,y) =36 38
49 49, -
76 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 5
4
3 Áí ãéá Ýíá óýóôçìá äýï ãñáììéêþí
åîéóþóåùí ìå áãíþóôïõò x,y éó÷ýïõí:
( )
( )
x y
x y
2D 3D D 1
4D 7D 11D 2
+ = −− + = −
êáé ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç,íá
ëõèåß ôï óýóôçìá.
Ëýóç
Áöïý ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç èá éó÷ýåé
0D ≠ . ¢ñá D
Dx
x= êáé
D
Dy
y= .
Äéáéñïýìå ôéò åîéóþóåéò (1) êáé (2) ìå 0D ≠ êáé
Ý÷ïõìå:
x y
x y
2D 3D D
D D D 2x 3y 1
4D 7D 11D 4x 7y 11
D D D
−+ =
+ = −
⇔ − − + = −− + =
Ëýíïõìå ôï óýóôçìá êáé ðñïêýðôåé:
• 4
2D
−= 02612143)4(72
7
3≠=+=⋅−−⋅=
x
1 3D ( 1) 7 ( 11) 3
11 7
7 33 26
−• = = − ⋅ − − ⋅ =
−
= − + =
• y
2 1D 2( 11) ( 4)( 1)
4 11
22 4 26
−= = − − − − =− −
= − − = −
ÅðïìÝíùò
x
y
D 26x 1
D 26
D 26y 1
D 26
= = =
− = = = −
¢ñá ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç
(x,y) = (1,-1)
Íá ëõèåß êáé íá äéåñåõíçèåß ôï
(Ó) :
=++
=+−
122)y(λ3x
2λλy2)x(λ
üðïõ Rλ∈ (ðáñÜìåôñïò).
Ëýóç
Åßíáé
( )( ) ( )2 2
λ – 2 λD (λ 2)(λ 2) 3λ
3 λ 2
λ 4 3λ λ 3λ 4 λ 1 λ 4 1
= = − + − =+
− − = − − = + −
( ) ( )
x
2
2λ λD 2λ (λ 2) 12λ
12 λ 2
2λ 8λ 2λ λ 4 2
= = ⋅ + − =+
= − = −
( )
y
λ - 2 2λD 12(λ 2) 3 2λ 12λ 24 6λ
3 12
6λ 24 6(λ 4) 3
= = − − ⋅ = − − =
= − = −
Äéáêñßíïõìå ôéò åîÞò ðåñéðôþóåéò:
1ç ðåñßðôùóç:
Áí: (1)
D 0 (λ 4)(λ 1) 0
λ 4 0 λ 4
και και
λ 1 0 λ 1
≠ ⇔ − + ≠ ⇔
− ≠ ≠
⇔ ⇔
+ ≠ ≠ −
ôï (Ó) Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç (x , y ) ìå
+
=
+−
−==
+
=
+−
−==
1λ
6
)1)(λ4(λ
)4(λ6
D
Dy
1λ
λ2
)1)(λ4(λ
)4λ(λ2
D
Dx
y
x
2ç ðåñßðôùóç:
Áí 1-λή4λ0D ==⇔=
á. ìå ë = 4 Ý÷ïõìå:
008)44(42D
)2(
x =⋅=−⋅=
êáé 006)44(6D
)3(
y =⋅=−= .
ÄçëáäÞ áí ë = 4 ôüôå 0DDD yx === êáé åðåéäÞ õ-
ðÜñ÷åé óõíôåëåóôÞò ôïõ áãíþóôïõ x óôçí 2ç åîßóùóç
0≠ (ôï 03 ≠ ) ôï (Ó) åßíáé áüñéóôï äçë. Ý÷åé Üðåéñåò
ëýóåéò ôéò ïðïßåò êáé èá âñïýìå.
Ãéá íá âñïýìå ôéò Üðåéñåò ëýóåéò óôï ðáñáìåôñéêü óý-
óôçìá èÝôïõìå ë = 4 óå ìßá áðï ôéò äýï åîéóþóåéò
ôïõ (Ó) êáé ìåôÜ ëýíïõìå ôçí åîßóùóç ùò ðñïò Ýíáí
77ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá
ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
B59. Íá ëõèåß êáé äéåñåõíçèåß ôï (Ó)
2
4
λx y λ
x λy λ
− =
− =
ãéá êÜèå ôéìÞ ôçò ðáñáìÝôñïõ λ R∈
B60. á. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá λx-y 3
x λy -2
=
+ =
â. Ãéá ôçí ëýóç (x0,y0) ðïõ èá âñåßôå íá
ëýóåôå ôçí áíßóùóç 0 02x 3y 9+ ≥ −
B61. Ãéá Ýíá ãñáììéêü óýóôçìá 2x2 (äýï åîé-
óþóåéò ìå äýï áãíþóôïõò) éó÷ýïõí:
2 2x y
x yD 2D D D
και
2x-y 3
= − −
=
Áí ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç íá
âñåèåß ç ëýóç áõôÞ.
Üãíùóôï.
Ãéá ë = 4 ç ðñþôç åîßóùóç ôïõ (Ó) ãßíåôáé::2
(4 2)x 4y 2 4 2x 4y 8
x 2y 4 x 4 2y
− + = ⋅ ⇔ + = ⇔
⇔ + = ⇔ = −
¢ñá ïé Üðåéñåò ëýóåéò åßíáé
Ryy,y),24((x,y) ∈−= .
â. ìå ë = -1 Ý÷ïõìå:
010)5(2)41)(1(2D)2(
x ≠=−−=−−−=
ÄçëáäÞ, áí ë = -1 ôüôå D = 0 êáé 0Dx ≠ ïðüôå
ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï.
ÓõìðÝñáóìá
1. Áí 4λ ≠ êáé 1λ −≠ ôï (Ó) Ý÷åé ìïíáäéêÞ
ëýóç ôçí
++=
1λ
6,1λ
λ2(x,y)
2. Áí ë = 4 ôï (Ó) Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ôéò
Ryy,y),24((x,y) ∈−=
3. Áí ë = –1 ôï (Ó) åßíáé áäýíáôï.
B62. Äßíåôáé Ýíá 2÷2 ãñáììéêü óýóôçìá ìå Üãíù-
óôïõò x,y ãéá ôï ïðïßï éó÷ýåé:
x y
x y
2D D 4D
D 3D 5D
+ =
− = − .
Íá âñåßôå ôç ìïíáäéêÞ ëýóç, áí ãíùñßæåôå
üôé õðÜñ÷åé.
B63. Äßíåôáé Ýíá ãñáììéêü 2÷2 óýóôçìá ìå Ü-
ãíùóôïõò x,y ðïõ Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç åíþ
áêüìá éó÷ýåé,
x y x yD D 3D 2D 3D 4D 0− − + + + = .
Íá âñåèåß ç ìïíáäéêÞ ëýóç ôïõ ãñáììéêïý
óõóôÞìáôïò
B64. Íá ëõèåß ôï ãñáììéêü 2÷2 óýóôçìá ìå
Üãíùóôïõò x,y ðïõ Ý÷å é ìïíáäéêÞ
ëýóç êáé ãéá ôï ïðïßï éó÷ýïõí:
2x y 18+ = êáé 2 2
x y x yD D 2D D+ =
78 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 5
5
ÓõóôÞìáôá
ãñáììéêþí
åîéóþóåùí
ìå ðåñéóóüôå-
ñïõò áðü äýï
áãíþóôïõò.
ÃñáììéêÜ óõóôÞìáôá 3÷3
á) ÃñáììéêÞ åîßóùóç ìå 3 áãíþóôïõò ïíïìÜæåôáé êÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò:
áx + ây +ãù = ä
â) Ãñáììéê;ü óýóôçìá 3 ÷ 3 ïíïìÜæåôáé êÜèå óýóôçìá ôçò ìïñöÞò
=++
=++
=++
3333
2222
1111
δωγyβxα
δωγyβxα
δωγyβxα
ä) ÊÜèå äéáôåôáãìÝíç ôñéÜäá (x,y,ù) ðïõ åðáëçèåýåé êáé ôéò ôñåéò åîéóþóåéò ôïõ
óõóôÞìáôïò ëÝãåôáé ëýóç ôïõ óõóôÞìáôïò
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:
+ − =
− + − =
− + = −
2x 3y 5ω 10
3x 2y ω 0
4x y 7ω 4
Ëýóç
Ãéá íá ëýóïõìå Ýíá 3x3 óýóôçìá êÜíïõìå ôá åîÞò âÞìáôá.
ÂÞìá ðñþôï:
Áðü ôçí ðñþôç êáé äåýôåñç åîßóùóç ôïõ
óõóôÞìáôïò êÜíïõìå áðáëïéöÞ åíüò áãíþóôïõ
(üðïéïí èÝëïõìå) ð.÷. ôïí x ìå ôç ìÝèïäï ôùí
áíôßèåôùí óõíôåëåóôþí.
¸÷ïõìå: 2x 3y 5 10
3x 2y 0
+ − ω =
− + − ω =
(3)
(2)
⋅
⋅
=−+−
=−+⇔
0ω2y4x6
30ω15y9x6
ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðñïêýðôåé: 13y - 17ù = 24 (5)
ÂÞìá äåýôåñï:
Áðü ôçí ðñþôç êáé ôçí ôñßôç åîßóùóç ôïõ
óõóôÞìáôïò êÜíïõìå áðáëïéöÞ ôïõ ßäéïõ
áãíþóôïõ.
¸÷ïõìå:
−=+−
=−+
4ω7yx4
10ω5y3x2 (2)
( 1)
⋅
⋅ −
=−+−
=−+⇔
4ω7yx4
20ω10y6x4
ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðñïêýðôåé: 7y - 17ù = 30 (4)
ÂÞìá ôñßôï:
Ëýíïõìå ôï óýóôçìá ôùí (4) êáé (5) .
Áðü (4) êáé (5) Ý÷ïõìå
=−
=−
24ω17y7
30ω17y13
Må áöáßñåóç êáôÜ ìÝëç ðáßñíïõìå: 6y = 6 Þ y = 1,
ïðüôå ù = -1.
ÄçëáäÞ (y,ù) = (1,-1)
ÂÞìá ôÝôáñôï:
Ôá y = 1 êáé ù = -1 ðïõ âñÞêáìå óôï ôñßôï âÞìá
ôá áíôéêáèéóôïýìå óôçí ðñþôç åîßóùóç êáé
âñßóêïõìå ôï x.
ÄçëáäÞ:
( ) ( )1 2x 3y 5ω 10 2x 3 1 5 1 10
2x 3 5 10 2x 2 x 1
⇔ + − = ⇔ + ⋅ − − = ⇔
⇔ + + = ⇔ = ⇔ =
¢ñá ôï óýóôçìá Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ôçí
(x,y,ù) = (1,1,-1)
79ãñáììéêÜ óõóôÞìáôá
ÃÑÁÌÌÉÊÁ ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ
6
B65. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá
x 2y ω 0
3x 5y 2ω 0
2x y ω 0
− + − =− + − = − − =
B66. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá
x y z 2
y z ω 5
y z ω 3
ω x y 8
+ + =
+ + =
+ + = −
+ + =
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
B67. Íá ëõèïýí ôá óõóôÞìáôá:
1 2
1 1 xy 12
x y x y 2
1 1 yω 1α) (Σ ): 3 , β) (Σ )
y ω y ω 3
1 1 xω 115
ω x x ω 15
+ = =
+
+ = =
+
+ = =
+
Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:
2y xy y 24
y x 1
+ + =
= −
Ëýóç
Áí áíôéêáôáóôÞóïõìå áðü ôçí y=x-1 ôï x=y+1
óôçí ðñþôç âñßóêïõìå äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç.
¸ôóé ç ðñþôç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ãñÜöåôáé:
( ) 2y y y 1 y 24+ + + = Þ 2 2
y y y y 24+ + + = .
Ëýíïõìå ôç äåõôåñïâÜèìéá åîßóùóç
Ëýóç óõóôç-
ìÜôùí ðïõ
áíÜãïíôáé óå
åîéóþóåéò
â âáèìïý
Óôçí åðßëõóç óõóôçìÜôùí 2ïõ êáé áíùôÝñïõ âáèìïý ìðïñïýí íá ìáò âïçèÞ-
óïõí ôá üóá ãíùñßóáìå óôéò ðñïçãïýìåíåò ðáñáãñÜöïõò ãéá ôç ëýóç ôùí äåõ-
ôåñïâÜèìéùí åîéóþóåùí.
ÊïéíÞ åðéäßùîç êáôÜ ôç ëýóç ôÝôïéùí óõóôçìÜôùí ðñÝðåé íá åßíáé ï ó÷çìáôéóìüò
ìéáò ôïõëÜ÷éóôïí äåõôåñïâÜèìéáò åîßóùóçò áðü ôéò åîéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò.
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
22y 2y 24 0+ − = Þ ôçí 2
y y 12 0+ − =
ÅðåéäÞ ( )∆ 1 4 12 49 0= − ⋅ − = > ïé äýï ñßæåò ôçò
åßíáé:
1,2
3β ∆ 1 49 1 7y
42α 2 2
− ± − ± − ±= = = =
−
¸ôóé ôï óýóôçìá åßíáé éóïäýíáìï ìå ôá óõóôÞìáôá:
y 3
x y 1
=
= +
êáé y 4
x y 1
= −
= +
áð’ ôá ïðïßá Ý÷ïõìå (x, y) = (4, 3) êáé (x, y) = (-3, -4).
B68. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá 2xy 1 11
x y 1
+ = −
+ =
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
B69. Íá ëõèåß ôï óýóôçìá
2 2x y 73
xy 24
+ =
=
80 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 6
ÐïëõùíõìéêÝò
åîéóþóåéò
ÐïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéòB.6
2 -3 -1 -2 2
4 2 2
2 1 1 0
Ãéá íá åðéëýóïõìå ìéá ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç P(x) 0= ðáñáãïíôïðïéïýìå ôï
ðïëõþíõìï P(x) ôïõ ðñþôïõ ìÝëïõò.
Ãéá ôçí ðáñáãïíôïðïßçóç ôïõ ðïëõùíýìïõ ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå ôá åîÞò:
1. Óå ðïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò ìå áêÝñáéïõòóõíôåëåóôÝò ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò
åßíáé ïé äéáéñÝôåò ôïõ óôáèåñïý üñïõ0
α 0≠ .
2. Áí Ýíáò áñéèìüò ñ åßíáé ñßæá ôçò åîßóùóçò P(x) = 0 , ôüôå êáé ìüíïí ôüôå:
( ) ( )P(ρ) 0 P x (x ρ)Π x= ⇔ = − ⇔
Ôï x - ñ åßíáé ðáñÜãïíôáò ôïõ P(x).
3. Ó÷Þìá Horner (×üñíåñ)
Ç äéáßñåóç ôïõ ðïëõùíýìïõ ( ) 3 2P x 2x 3x x 2= − − + ìå ôï x 2− ìðïñåß íá ðá-
ñïõóéáóôåß åðïðôéêÜ ìå ôï áêüëïõèï ó÷Ýäéï, ðïõ åßíáé ãíùóôü ùò ó÷Þìá Horner.
ÓõíôåëåóôÝò Ðçëßêïõ
Õðüëïéðï
Óôçí ðñþôç óåéñÜ ãñÜöïõìå ôïõò óõíôåëåóôÝò ôïõ P(x).
Ôï 2 åßíáé ï áñéèìüò ðïõ ìçäåíßæåé ôï äéáéñÝôç x–2. Ï ðñþôïò áñéèìüò ôçò ôñßôçò
óåéñÜò åßíáé ï ðñþôïò óõíôåëåóôÞò ôïõ P(x).
Ïé áñéèìïß ôçò äåýôåñçò óåéñÜò ðñïêýðôïõí ìå ðïë/óìü ôïõ áìÝóùò ðñïçãïýì-
åíïõ áñéèìïý ôçò ôñßôçò óåéñÜò åðß ôïí áñéèìü 2.
ÊÜèå áñéèìüò (åêôüò ôïõ ðñþôïõ) ôçò ôñßôçò óåéñÜò ðñïêýðôåé ùò Üèñïéóìá ôùí
áíôßóôïé÷ùí áñéèìþí ôçò ðñþôçò êáé äåýôåñçò óåéñÜò.
Ï ôåëåõôáßïò áñéèìüò ôçò ôñßôçò óåéñÜò åßíáé ôï õðüëïéðï, åíþ ïé Üëëïé áñéèìïß
áõôÞò ôçò óåéñÜò åßíáé ïé óõíôåëåóôÝò ôïõ ðçëßêïõ ôçò äéáßñåóçò.
Ôïíßæïõìå üôé, óôï ó÷Þìá Horner óõìðëçñþíïõìå óôçí ðñþôç óåéñÜ ìå 0 ôïõò
óõíôåëåóôÝò üóùí åíäéÜìåóùí üñùí äåí õðÜñ÷ïõí óôï ðïëõþíõìï P(x). ¸ôóé ôï
ðïëõþíõìï ãñÜöåôáé:
( ) ( )( )3 2 2P x 2x 3x x 2 x 2 x x 1= − − + = − + +
Ó÷üëéï
Ïé ãíùóôÝò ìÝèïäïé ðáñáãïíôïðïßçóçò, ( êïéíüò ðáñÜãïíôáò, ïìáäïðïßçóç,
óõìðëÞñùóç ôåôñáãþíïõ, äéáöïñÜ ôåôñáãþíùí, ê.ô.ë.) äåí ìðïñïýí íá åöáñ-
ìïóôïýí ðÜíôïôå, üìùò üôáí åßíáé äõíáôÞ ç ÷ñÞóç ôïõò, ðñïôéìþíôáé äéüôé
äéåõêïëýíïõí ðïëý ôç äéáäéêáóßá.
• ¸ôóé ìåôÜ ôçí ðáñáãïíôïðïßçóç, ôï ðïëõþíõìï P(x) ãñÜöåôáé :
1 2 κP(x) P (x) P (x) ... P (x)= ⋅ ⋅ ⋅
81ðïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò
ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ
Tüôå:
1 2 κ
1 2 κ
P(x) 0
P (x) P (x) ... P (x) 0
P (x) 0 ή P (x) 0 ή . . . ή P (x) 0
= ⇔
⋅ ⋅ ⋅ = ⇔
= = =
ÄçëáäÞ ç ëýóç ôçò ðïëõùíõìéêÞò åîßóùóçò P(x) 0= , áíÜãåôáé óôç ëýóç ôùí åîéóþóåùí
iP (x) 0= , üðïõ i= 1 , 2 , . . . , ê , ôá ïðïßá ðñïóðáèïýìå íá åßíáé ðïëõþíõìá ðñþôïõ Þ
äåõôÝñïõ âáèìïý.
Ãéá ôçí åðßëõóç ðïëõùíõìéêÞò åîßóùóçò áêïëïõèïýìå ôá åðüìåíá âÞìáôá:
ÂÞìá 1: Áí ç åîßóùóç P(x) 0= , Ý÷åé ñçôïýò óõíôåëåóôÝò, êÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí
êáé êáôáëÞãïõìå óå åîßóùóç ìå áêÝñáéïõò óõíôåëåóôÝò.
ÂÞìá 2: Âñßóêïõìå ôéò ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò ñi, ðïõ åßíáé ïé áêÝñáéïé äéáéñÝôåò ôïõ óôáèåñïý
üñïõ.
ÂÞìá 3: Âñßóêïõìå ðïéá áðï ôéò ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò ìçäåíßæåé ôï ðïëõþíõìï P(x) .
ÂÞìá 4: Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner, ãéá ôç ñßæá ñ1 ðïõ âñÞêáìå êáé ãñÜöïõìå ôï ðïëõþíõ-
ìï óôç ìïñöÞ: 1 1
P(x) (x ρ ) Π (x)= − ⋅ , üðùò ðñïêýðôåé áð’ôï ó÷Þìá Horner.
ÂÞìá 5: ÊÜíïõìå ôçí åñãáóßá áðï ôï âÞìá 2 åþò ôï âÞìá 4 ãéá ôï ðïëõþíõìï 1
Π (x) êáé óõíå-
÷ßæïõìå ôçí ßäéá äéáäéêáóßá ìÝ÷ñé ôï áñ÷éêü ðïëõþíõìï P(x) íá ãßíåé ãéíüìåíï ðñùôï-
âÜèìéùí êáé äåõôåñïâÜèìéùí ðïëõùíýìùí.
ÂÞìá 6: Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôïõ äåõôåñïâÜèìéïõ i
Π (x) , áí õðÜñ÷ïõí, ìå ôç ìÝèïäï ôçò äéá-
êñßíïõóáò. ÃñÜöïõìå ôï P(x) óå ìïñöÞ ãéíïìÝíïõ ðáñáãüíôùí, ïðüôå Ý÷ïõìå ìßá
ðñïò ìßá ôéò ñßæåò.
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
4 2x x 4x 4 0− − − =
Ëýóç
Ç åîßóùóç Ý÷åé áêÝñáéïõò óõíôåëåóôÝò ìå óôáèå-
ñü üñï 0α 4= − . ¸ôóé ïé ðéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò
åßíáé : 1, 2, 4± ± ±
Äéáðéóôþíïõìå: 4 2P(1) 1 1 4 1 4 8 0= − − ⋅ − = − ≠
(Üñá ï áñéèìüò 1 äåí åßíáé ñßæá ôïõ P(x) )
4 2P( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 1) 4 0− = − − − − ⋅ − − = (Üñá ï á-
ñéèìüò - 1 åßíáé ñßæá ôïõ P(x) )
1 0 -1 -4 -4 -1
-1 1 0 4
1 -1 0 -4 0
Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner ãéá 1
ρ 1= −
Ïðüôå 3 2P(x) (x 1)(x x 4)= + − −
Ãéá ôï 3 2
1Π (x) x x 4= − − , Ý÷ïõìå:
ÐéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò: 1, 2, 4± ± ±
(Ó÷üëéï: Åö’üóïí ï áñéèìüò 1 äåí åßíáé ñßæá
ôïõ P(x) , äåí ìðïñåß íá åßíáé ñßæá ïýôå ôïõ
82 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 6
ÐïëõùíõìéêÝò
áíéóþóåéò
Ãéá ôçí åðßëõóç ðïëõùíõìéêÞò áíßóùóçò áêïëïõèïýìå ôá åðüìåíá âÞìáôá:
ÂÞìá 1: Ðáñáãïíôïðïéïýìå ôï ðïëõþíõìï P(x) ôïõ ðñþôïõ ìÝëïõò ìå ôïí
ôñüðï ðïõ áíáöÝñåôáé óôç ìÝèïäï ëýóçò ðïëõùíõìéêÞò åîßóùóçò.
ÂÞìá 2: Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôïõ êáèåíüò ðáñÜãïíôá êáé óôç óõíÝ÷åéá ôï ðñü-
óçìü ôïõ.
ÂÞìá 3: Ó÷çìáôßæïõìå Ýíáí ðßíáêá, üðùò âëÝðïõìå ðáñáêÜôù, ôïðïèåôþíôáò
ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò êÜôù áðü ôï x, êáé óçìåéþíïõìå óôï
ôÝëïò ôçò ðñþôçò óôÞëçò ôï ãéíüìåíï ôùí ðáñáãüíôùí ôçò áíßóùóçò.
1Π (x) , êáé åðïìÝíùò äåí åßíáé áðáñáßôçôç ç
äïêéìÞ ìå ôï 1.)
1Π ( 1) 6 0− = − ≠ ,(Üñá ï áñéèìüò -1 äåí åßíáé ñßæá
ôïõ 1
Π (x) )
3 2
1Π (2) 2 2 4 0= − − = (Üñá ï áñéèìüò 2 åßíáé
ñßæá ôïõ 1
Π (x) )
Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner ãéá 2
ρ 2=
¸ôóé Ý÷ïõìå : 2P(x) (x 1)(x 2)(x x 2)= + − + +
Â70. Íá ëõèoýí ïé åîéóþóåéò :
i. 3 21 1 1 1x x x 0
3 2 3 6⋅ − ⋅ + ⋅ − =
ii. 3 2x αx x α 0− − + =
iii. 4 3 23x 8x 12x 32x 0− − + =
iv. ( ) ( )( )2 23x x 3x 2 27 x 1 x 2− + = − −
v. 4 3 22x 7x 3x 18x 0− − + =
Ãéá ôï 2
2Π (x) x x 2= + + , åðåéäÞ
2∆ 1 4 1 2 7 0= − ⋅ ⋅ = − < ôï
2Π (x) äåí Ý÷åé ñßæåò
óôï R.
¸ôóé ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò åßíáé:
1 2ρ 1 και ρ 2= − = .
ÐáñáôÞñçóç
Ç ðñïçãïýìåíç áðüäåéîç Ýãéíå ãéá íá öáíïýí ôá
âÞìáôá ðïõ áíáöÝñïõìå óôç ìÝèïäï.
Ìéá óýíôïìç ëýóç ãéá ôï óõãêåêñéìÝíï åßíáé:
( ) ( )
( )( )
24 2 4
2 2
x x 4x 4 0 x x 2 0
x x 2 x x 2 0 x 1, x 4
− + + = ⇔ − + = ⇔
− − + + = ⇔ = − =
1 -1 0 -4 2
2 2 4
1 1 2 0
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
vi. 4 3 2x 4x x 16x 12 0− − + − =
vii. 4 3 26x 5x 19x 15x 3 0− + − + =
viii. 3 22 5 17x x x 0
3 2 6− + − =
ix. 3 22x 7x 3x 18 0− − + =
x. ( )( )2 22x x x 2 2x 1 x 5x 6− + − + = − +
83ðïëõùíõìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò
ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ
2 Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
4 3 2x 4x 4x 3x 0− + − + ≤
Ëýóç
ÏíïìÜæïõìå 4 3 2P(x) x 4x 4x 3x= − + − + ôï ðï-
ëõþíõìï ôïõ ðñþôïõ ìÝëïõò ôï ïðïßï èá ðáñá-
ãïíôïðïéÞóïõìå.
Ôï P(x) Ý÷åé ðñïöáíþò ðáñÜãïíôá ôïí x. (ñ1= 0)
¸ôóé
1
3 2
Π (x)
P(x) x ( x 4x 4x 3)= ⋅ − + − +���������
ÐéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò ãéá ôï
( ) 3 2
1Π x x 4x 4x 3= − + − + : 1, 3± ± .
1Π (1) 2 0= ≠ ,
1Π ( 1) 12 0− = ≠ ,
1Π (3) 0= ,
Üñá ï ñ2 = 3 åßíáé ñßæá .
Åöáñìüæïõìå ôï ó÷Þìá Horner óôï 1
Π (x) ãéá ñ2=3.
¸ôóé 2P(x) x (x 3) ( x x 1)= ⋅ − ⋅ − + −
Ãéá ôï 2
2Π (x) x x 1= − + − åßíáé
2∆ 1 4( 1) ( 1) 3 0= − − ⋅ − = − < Üñá äåí Ý÷åé ñßæåò.
ÊÜíïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí ãéá ôïõò ðáñÜãïíôåò
ôïõ ãéíïìÝíïõ :
2P(x) x (x 3) ( x x 1)= ⋅ − ⋅ − + −
ÅðïìÝíùò ( ] [ )x ,0 3,∈ −∞ +∞∪ .-1 4 -4 3 3
-3 3 -3
-1 1 -1 0
Ó÷çìáôéóìüò ðßíáêá ðñïóÞìùí*:
Óôçí ðñþôç ãñáììÞ âÜæïõìå ìå äéÜôáîç ôéò ôéìÝò ôïõ x ðïõ ìçäåíßæïõí ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóù-
óçò, êáé öÝñíïõìå êáôáêüñõöåò åõèåßåò êÜôù áð' áõôÝò. Ôïðïèåôïýìå ôï ðñüóçìï (+) óôá äéáóôÞìá-
ôá ðïõ Ý÷ïõìå âñåß üôé ïé ðáñÜãïíôåò åßíáé èåôéêïß.
Óôá õðüëïéðá äéáóôÞìáôá ïé ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóùóçò Ý÷ïõí ðñüóçìï (-). Åêôåëïýìå êÜèÝôá ôï
ãéíüìåíï ôùí ðñïóÞìùí êáé óõìðëçñþíïõìå ôçí ôåëåõôáßá ãñáììÞ ôïõ ðßíáêá.
Óôéò ôéìÝò ðïõ ïé ðáñÜãïíôåò ìçäåíßæïíôáé êáé ðÜíù óôéò êáôáêüñõöåò ãñáììÝò öÝñïõìå ìéêñïýò
êýêëïõò.
Ôá ãñáììïóêéáóìÝíá äéáóôÞìáôá åßíáé áõôÜ óôá ïðïßá ïé ôéìÝò ôïõ x åðáëçèåýïõí ôçí áñ÷éêÞ áíßóù-
óç.
B.71 Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i. (1 x)(x 2) (x 3)x− + ≤ −
ii. 3 2x 4x 3x 0− + − ≥
iv. 3 2x 6x 11x 6 0− + − ≤
vi. 3 2x 2x x 2 0− + − >
vii. ( ) ( )3x x 1 2 x x 1+ − > −
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
12345678901231234567890123123456789012312345678901231234567890123
1234567812345678123456781234567812345678
x −∞ 0 3 +∞
x - 0 + +
x 3− - - 0 +
2x x 1− + − - - -
( )P x - 0 + 0 -
84 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7
1
ÄéôåôñÜãùíç
åîßóùóç
Ïé åîéóþóåéò ôçò ìïñöÞò 4 2αx βx γ 0+ + = ìå α,β, γ R∈ êáé α 0≠
ëÝãïíôáé äéôåôñÜãùíåò êáé ôéò åðéëýïõìå ùò åîÞò:
1ï: ÈÝôïõìå 2x y= , y 0≥ (1) ïðüôå ðñïêýðôåé ç äåõôåñïâÜèìéá ùò ðñïò y
åîßóùóç 2αy βy γ 0+ + = , ðïõ ëÝãåôáé åðéëýïõóá.
2ï: Âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò åðéëýïõóáò (áí õðÜñ÷ïõí).
3ï: Áðü ôçí (1) âñßóêïõìå ôéò ñßæåò ôçò äéôåôñÜãùíçò (áí õðÜñ÷ïõí).
ÅéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùíB.7
Óôï êåöÜëáéï áõôü ìáèáßíïõìå íá åðéëýïõìå :
1. ÄéôåôñÜãùíåò åîéóþóåéò
2. ÑçôÝò åîéóþóåéò
3. ¢ññçôåò åîéóþóåéò
4. Äéþíõìåò - ôñéþíõìåò åîéóþóåéò
5. Áíôßóôñïöåò åîéóþóåéò
Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç
4 2x 5x 4 0− + =
Ëýóç
ÈÝôïõìå 2x y, y 0= ≥ (1) , ïðüôå ç åîßóùóç ãñÜ-
öåôáé: 2y 5y 4 0 y 1 ή y 4− + = ⇔ = =
Â72. Óå ðïéåò ðåñéðôþóåéò ç äéôåôñÜãùíç
4 2αx βx γ 0, α 0+ + = ≠ åßíáé áäýíáôç
óôï R;
Â73. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. 4 24x 3x 1 0+ − = â.
4 24x 4x 1 0− + =
ã. 4 25x 2x 3 0− + =
Â74. Íá ëõèåß ç åîßóùóç 2
2 2
2
1 βx αβ
α x− = −
üðïõ á > 0, â > 0.
Â75. Áí ç åîßóùóç
4 3 2(κ λ)x (2κ - λ -10)x 2x - (κ - λ - 7)x 6 - κ 0+ + + + =
åßíáé äéôåôñÜãùíç íá âñåèïýí ïé ñßæåò ôçò.
Â76. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:4 2
64x 52x 9 0− + = (1)
Â77. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:4 2x 10x 169 0− + = (1)
Â78. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:4 2x 3x 4 0+ − = (1)
Ôüôå áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå: • 2x 1 x 1= ⇔ = ±
• 2x 4 x 2= ⇔ = ±
¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åßíáé ïé:
x 1= ± Þ x 2= ± .
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
85åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
2
ÑçôÝò
åîéóþóåéò
1 0 -7 - 6 - 1
-1 1 6
1 -1 - 6 0
Ìéá åîßóùóç ëÝãåôáé ñçôÞ åÜí Ý÷åé ôïí Üãíùóôï óôïí ðáñïíïìáóôÞ.
Ãéá íá ëýóù ìéá ñçôÞ åîßóùóç êÜíù ôá åîÞò:
Âñßóêù ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñïíïìáóôþí (áöïý ôïõò ðáñáãïíôïðïéÞóù).
Tï âÜæù äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò êáé ðïëëáðëáóéÜæù êáé ôá äýï ìÝëç ôçò
åîßóùóçò ìå ôï Å.Ê.Ð ãéá íá êÜíù áðáëïéöÞ ôùí ðáñïíïìáóôþí .
Áðü ôéò ñßæåò ðïõ èá âñþ äÝ÷ïìáé åêåßíåò ðïõ êÜíïõí ôï Å.Ê.Ð äéÜöïñï
ôïõ ìçäåíüò.
Ôï Å.Ê.Ð åßíáé ôï ãéíüìåíï ðïõ Ý÷åé ôïõò êïéíïýò êáé ìç êïéíïýò ðáñÜãï-
íôåò êáé êáèÝíá ìå ôïí ìåãáëýôåñï åêèÝôç.
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
2
x 7 6x
x 1 x x
+= +
+ +
Ëýóç
Ôï Å.Ê.Ð. ôùí ðáñáíïìáóôþí åßíáé ( )x x 1+ .
ÐñÝðåé: x 1 0 x 1+ ≠ ⇔ ≠ − êáé
2
x 0
x x 0 x (x 1) 0 και
x 1
≠
+ ≠ ⇔ ⋅ + ≠ ⇔ ≠ −
ÊÜíïõìå áðáëïéöÞ ðáñïíïìáóôþí ðïëëáðëá-
óéÜæïíôáò ìå ôï Å.Ê.Ð.
2
x 7 6x (x 1) x x (x 1) x (x 1)
x 1 x x
+⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇔
+ +
3 2 3x x x (x 7) 6 x 7x 6 0⇔ + = ⋅ + + ⇔ − − = (1)
Ëýíïõìå ôçí ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç (1):
3P(x) x 7x 6 0= − − =
ÐéèáíÝò áêÝñáéåò ñßæåò åßíáé ïé äéáéñÝôåò ôïõ óôá-
èåñïý üñïõ: 1, 2, 3, 6± ± ± ± .
ÅðåéäÞ åßíáé 3P( 1) ( 1) 7 ( 1) 6 0− = − − ⋅ − − = ôï
1ρ 1= − åßíáé ñßæá .
Ó÷Þìá Horner ìå ôï -1
¢ñá 2P(x) (x 1) (x x 6)= + ⋅ − − . Ìå ôç ìÝèïäï
ôçò äéáêñßíïõóáò âñßóêïõìå üôé ïé ñßæåò ôïõ
2Π(x) x x 6= − − åßíáé : 2ρ 2= − êáé
3ρ 3= .
¼ìùò ç ñßæá 1ρ 1= − áðïññßðôåôáé ,äéüôé äåí é-
êáíïðïéåß ôïõò áñ÷éêïýò ðåñéïñéóìïýò
¸ôóé ïé ëýóåéò åßíáé : x 2 ή x 3= − = .
Á5
Â79. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. 2
2 2
2 3 x1
x x x 2x 1
++ =
− − +
â. 2
2x x 1 34
x 1 2 x x 3x 2
+− = +
− − − +
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
ã. 2
2
2x 1 x 3x 6
x 3 x 2 x 5x 6
− −+ =
− − − +
ä. ( )
2 2
2
2 x 1 x 2x 12 5
x x 4x 4x
− − ++ =
−−
86 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7
1ç ÌÏÑÖÇ :
( ) ( )f x g x=
Ôñüðïò åðßëõóçò : ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )2
f x 0 , g x 0f x g x
f x g x
≥ ≥
= ⇔ =
3 Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 5 x x 1− − =
Ëýóç
Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:
5 x x 1 5 x x 1− − = ⇔ − = + (1)
ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí:
5 x 0 x 5− ≥ ⇔ ≤ êáé x 1 0 x 1+ ≥ ⇔ ≥ −
¸ôóé ôåëéêÜ ðñÝðåé: [ ]x 1,5∈ −
Õøþíïõìå ôá ìÝëç ôçò (1) óôï ôåôñÜãùíï êáé
Ý÷ïõìå: ( )2
2 25 x (x 1) 5 x x 2x 1− = + ⇔ − = + + ⇔
2x 3x 4 0⇔ + − = ⇔ x 1= Þ x 4= − .
Ç ëýóç x 4= − , áðïññßðôåôáé ëüãù ôùí ðåñéïñé-
óìþí , åíþ ç ëýóç x 1= åðáëçèåýåé ôçí áñ÷éêÞ
åîßóùóç, Üñá åßíáé ç ìïíáäéêÞ ëýóç.
Ðñïóï÷Þ: Áí õøþíïõìå ôá ìÝëç åîéóþóåùò
óå äýíáìç ÷ùñßò íá èÝôïõìå ôïõò êáôÜëëç-
ëïõò ðåñéïñéóìïýò, äåí ðñïêýðôåé óõíÞèùò
éóïäýíáìç åîßóùóç . ¸ôóé üôáí õøþíïõìå ôá
ìÝëç åîßóùóçò óå äýíáìç ÷ùñßò íá èÝôïõìå
ðåñéïñéóìïýò ôüôå èá âÜæïõìå óõíåðáãùãÞ
(⇒ ) êáé ü÷é éóïäõíáìßá (⇔ ).
ð.÷. áí ( ) ( )2 2
x 2 1 1 x 2 1− = ⇒ − =
( ) 2 2
1 2
2 x 4x 4 1 x 4x 3 0
x 1 και x 3
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔
= =
êáé ç åîßóùóç (1) ðïõ Ý÷åé ñßæá ôçí x 3= äåí
åßíáé éóïäýíáìç ìå ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç ðïõ
Ý÷åé ñßæåò 1 2x 1, x 3= = .
Ãé’ áõôü ðñÝðåé íá èÝôïõìå ôéò ëýóåéò ðïõ âñß-
óêïõìå ôåëéêÜ óôçí áñ÷éêÞ åîßóùóç êáé íá äå-
÷üìáóôå ìüíï üóåò ôçí åðáëçèåýïõí.
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:2x x 1 1 2x− + = −
Ëýóç
ÐñÝðåé
2x R επειδή ∆ 0
x x 1 0 1x1
2x1 2x 02
∈ < − + ≥ ⇔ ⇔ ≤
≤− ≥
Ôüôå Ý÷ïõìå:
( )
2
22
2 2
1x
2x x 1 1 2x
x x 1 1 2x
1x
2
x x 1 1 4x 4x
≤
− + = − ⇔ ⇔ − + = −
≤
− + = − +
¢ññçôåò
Åîéóþóåéò
¢ññçôç åîßóùóç , ëÝãåôáé ç åîßóùóç ðïõ ï Üãíùóôïò åßíáé óå ñéæéêü.
Ãéá íá ëýóïõìå Üññçôç åîßóùóç:
• ÈÝôïõìå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôéò õðüññéæåò ðáñáóôÜóåéò. (Íá åßíáé ìåãáëýôåñåò Þ
ßóåò ôïõ ìçäåíüò).
• Ðñïóáñìüæïõìå êáôÜëëçëá ôá äýï ìÝëç , (Ýôóé þóôå õøþíïíôáò óå êáôÜëëç-
ëç äýíáìç, íá áðáëåßøïõìå ôéò ñßæåò) êáé õøþíïõìå óå êáôÜëëçëç äýíáìç.
• Ëýíïõìå ôçí ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç ðïõ ðñïêýðôåé , êáé åëÝã÷ïõìå áí ïé ñßæåò
éêáíïðïéïýí ôïõò ðåñéïñéóìïýò , áëëá êáé ôçí áñ÷éêÞ åîßóùóç.
Á7
4
87åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
5
2ç ÌÏÑÖÇ:
( ) ( ) ( )F x G x H x+ =
ÈÝôïõìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò: ( )
( )
( )
F x 0
G x 0
H x 0
≥
≥
≥
õøþíïõìå êáé ôá äýï ìÝëç óôï ôåôñÜãùíï.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2
2
2
22
F x G x H x
F x G x 2 F x G x H x
2 F x G x H x F x G x
H x F x G x 0
4F x G x H x F x G x ...
+ = ⇔
+ + = ⇔
= − − ⇔
− − ≥
= − − ⇔
Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 32 x 16+ + =
Ëýóç
ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí:x 32 0 x 32
x 0x 0 x 0
+ ≥ ≥ − ⇔ ⇔ ≥
≥ ≥
Må äåäïìÝíï üôé x 0≥ Ý÷ïõìå:
( )x 32 x 16 x 32 x 2 x x 32 256+ + = ⇔ + + + + = ⇔
( ) ( )( ) ( )
2
112 x 02 x x 32 224 2x x x 32 112 x
x x 32 112 x
− ≥⇔ + = − ⇔ + = − ⇔
+ = −
( ) 2 2 2
x 112 x 112
x x 32 12.544 224x x x 32x x 224x 12544
x 112 x 112x 49
256x 12544 x 49
≤ ≤ ⇔
+ = − + − = − +
≤ ≤ ⇔ ⇔ =
= =
( )2 3x x 1 x 0 ή x 13x 3x 0
x 011 1xx x
22 2
− = = − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ≤≤ ≤
88 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7
6
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â80. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 2 x 3 2 0− − − =
Â81. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 2 x 5 13 x+ − = −
Â82. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 3 x 10+ =
Â83. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: x 32 16 x+ = −
Â84. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
α. x 2 x 1 1+ − − =
β. 2x 2 3 x+ + =
γ. 2x 8 x 5 1+ − + =
δ. x 1 x 2 2x 5− + + = +
Íá ëõèåß ç åîßóùóç: ( )x 1 x 4 x 4 I− + − = +
Ëýóç
ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí :
x 1 0 x 1
x 4 0 x 4 x 4
x 4 0 x 4
− ≥ ≥
− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ + ≥ ≥ −
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
2 2 2 2
2
x 1 x 4 2 x 1 x 4 x 4 2 x 1 x 4 9 x
9 x 0 x 9
4 x 1 x 4 9 x 4 x 1 x 4 9 x
x 9 x 9
4x 20x 16 81 18x x 4x 20x 16 81 18x x
x 9x 9 13
x 5 ή x133x 5 ή x3x 2x 65 0
3
− + − + − − = + ⇔ − − = − ⇔
− ≥ ≤ ⇔ ⇔
− − = − − − = −
≤ ≤ ⇔ ⇔
− + = − + − + = − +
≤≤
⇔ ⇔ = = − = = −− − =
3ç ÌÏÑÖÇ:
( ) ( ) ( )F x G x H x+ =
ÈÝôïõìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò: ( )
( )
( )
F x 0
G x 0
H x 0
≥
≥
≥
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
2 2
F x G x H x
F x G x 2 F x G x H x
+ = ⇔
+ + =
Á7
89åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
Äéþíõìåò
åîéóþóåéò
Ç äéþíõìç åîßóùóç : νx α, α 0, α R, ν 2= ≠ ∈ ≥
(Á) Ëýóåéò ôçò åîßóùóçò óôï C
¸÷åé í ñßæåò óôï óýíïëï ôùí ìéãáäéêþí C.
(âñßóêïíôáé ìå ìÝèïäï ðïõ áíáðôýóåôáé óôï êåöÜëáéï ôùí ìéãáäéêþí)
(Â) Ëýóåéò óôï R
Áí ν 2κ 1, κ Ν= + ∈ ç åîßóùóç: 2κ 1x α+
=
Ý÷åé 2κ 1+ ñßæåò áðü ôéò ïðïßåò ìéá ìüíï åßíáé ðñáãìáôéêÞ ç:
2κ 12κ 1
2κ 1
x α α , αν α 0
x α , αν α 0
++
+
= − = − − <
= >
(Ïé õðüëïéðåò 2ê ñßæåò åßíáé ìéãáäéêÝò).
ð.÷. Íá ëõèåß óôï R ç åîßóùóç 5x 32= − .
( )x R
5 55 5x 32 x 32 32 32 x 2∈
= − ⇔ = − − = − − − = − ⇔ = −
Áí ν 2κ= (Üñôéïò) ôüôå :
Ìå α 0> ç åîßóùóç: 2κx α 0= >
Ý÷åé 2ê ôï ðëÞèïò ñßæåò áðü ôéò ïðïßåò äýï ìüíï åßíáé ðñáãìáôéêÝò ïé: 2κ
x α= ±
ð.÷. Íá ëõèåß óôï R ç 16x 2007=
Eßíáé x R
1616x 2007 x 2007
∈
= ⇔ = ±
Ìå α 0< ç åîßóùóç: 2κx α 0= <
Ý÷åé 2ê ôï ðëÞèïò ñßæåò (ìéãáäéêÝò) êáìßá ðñáãìáôéêÞ.
ð.÷. ç 6x 5= − , åßíáé áäýíáôç óôï R.
Äéþíõìåò
åîéóþóåéò
Ç äéþíõìç åîßóùóç : κ λAx Βx 0, Α,Β R, κ,λ Ν+ = ∈ ∈
Ãéá ôç ëýóç ôçò ðáñáðÜíù åîßóùóçò:
ÕðïèÝôïõìå üôé κ λ, Α 0> ≠ . Ìå åîáãùãÞ êïéíïý ðáñÜãïíôá Ý÷ïõìå:
λ
κ λ λ κ λ
κ λ κ λ
x 0 x 0Β
Ax Βx 0 Αx x 0 Β ΒΑ x 0 x
Α Α
−
− −
= ⇔ =
+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
90 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7
87 Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 5 2x 5x 0− =
Ëýóç
( )5 2 2 3
3
3 3
x 0
x 5x 0 x x 5 0 ή
x 5 0
x 0 x 0
ή ή
x 5 x 5
=
− = ⇔ − = ⇔ ⇔
− =
= =
⇔ ⇔
= =
i. Áí κ λ− (Üñôéïò)
κ λ κ λB B Bµε 0 είναι x , x
A A A
Bµε 0 είναι αδύνατη στο R
A
− −− > = − = − −
− <
ii. Áí κ λ− (ðåñéôôüò)
κ λ
κ λ
B Bµε 0 είναι x
A A
B Bµε 0 είναι x
A A
−
−
− > = −
− < = − − −
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 9 5 4x x x 1 0− + − =
Ëýóç
( )
( )( )
9 5 4 5 4 4
4
4 5
5
4 4
5 5
x x x 1 0 x x 1 x 1 0
x 1 0
x 1 x 1 0 ή
x 1 0
x 1 0 x 1 x 1
ή ή ή
x 1x 1 0 x 1
− + − = ⇔ − + − = ⇔
− =
⇔ − − = ⇔ ⇔
− =
− = = = ±
⇔ ⇔ ⇔
=− = =
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â85. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò
i. 6x 1 0− = ii. 4
x 16 0+ =
iii. 3x 1 0+ = i v. 3
8x 125 0+ =
Â86. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò
i. 3
8x 125 0− = ii.7
3x 2x 0− =
Â87. Âñåßôå ôá á, â þóôå ç åîßóùóç:
3x 24x 72 0− − =
ìðïñåß íá ðÜñåé ôç ìïñöÞ
3x α α
x β β
− =
−
êáé óôç óõíÝ÷åéá íá ôç ëýóåôå.
91åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
9
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 10 7 4x 26x 27x 0− − =
Ëýóç
( )10 7 4 4 6 3
6 3
x 0x 26x 27x 0 x x 26x 27 0
x 26x 27 0
=− − = ⇔ − − = ⇔
− − =
ÈÝôù 3x y= ïðüôå: 6 3 2
y 27
x 26x 27 0 y 26y 27 0 ή
y 1
=
− − = ⇔ − − = ⇔ = −
3 3x 27 x 27 3= ⇔ = =
3x 1 x 1= − ⇔ = −
Ôñéþíõìåò
åîéóþóåéò
Ôñéþíõìç åîßóùóç ëÝãåôáé êÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöÞò:
κ λ µΑx Βx Γx 0+ + =
üðïõ Α,Β,Γ R, κ,λ,µ Ν∈ ∈ .
ÅîåôÜæïõìå ôçí ðåñßðôùóç üðïõ :
κ λ λ µ− = − ìå κ λ µ> >
Áöïýλ µ ν
κ λ λ µ νκ λ ν µ ν ν µ 2ν= +
− = − = ⇔= + = + + = +
Ý÷ïõìå
κ λ µ µ 2ν µ ν µΑx Βx Γx 0 Αx Βx Γx 0+ ++ + = ⇔ + + = ⇔
( )( )
µ 2ν ν
2ν ν
x 0
x Αx Βx Γ 0
Ax Βx Γ 0 Ι
=
⇔ + + = ⇔
+ + =
Aí ôþñá èÝóïõìå óôçí (É) νx y= êáôáëÞãïõìå óå äéôåôñÜãùíç ùò ðñïò y.
Â88. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: ( )
2 3
3
x x 2
3 x x 2
+=
−
Â89. Íá ëõèåß ç åîßóùóç: 4 7 3x 4x 3x 0− + =
Â90. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 13 7x 5x 6x 0− + >
92 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7
1110
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Åîéóþóåéò ðïõ
ëýíïíôáé ìå
âïçèçôéêü
Üãíùóôï
ÌåñéêÝò öïñÝò ç ëýóç åîéóþóåùí áíùôÝñïõ âáèìïý áíÜãåôáé óå ëýóç áðëïý-
óôåñçò åîßóùóçò ìå êáôÜëëçëç ÷ñÞóç âïçèçôéêïý áãíþóôïõ.
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
( ) ( )2
2 2x 6x 4 x 6x 3 9 0− + + − + + =
Ëýóç
ÈÝôïõìå 2y x 6x 4= − + ïðüôå Ý÷ïõìå:
( ) ( )2
2 2x 6x 4 5 x 6x 3 9 0− + + − + + = ⇔
( ) ( )2
2 2x 6x 4 5 x 6x 4 1 9 0− + + − + − + = ⇔
( )2 2y 5 y 1 9 0 y 5y 4 0+ − + = ⇔ + + = ⇔
y 1 ή y 4= − = −
i. 2y 1 x 6x 4 1= − ⇔ − + = − ⇔
2x 6x 5 0 x 1 ή x 5⇔ − + = ⇔ = =
ii. 2y 4 x 6x 4 4= − ⇔ − + = − ⇔
2x 6x 8 0 x 2 ή x 4⇔ − + = ⇔ = =
Â91. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:
3 22ηµ x 5ηµ x 4ηµx 1 0− + − =
Â92. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
( ) ( )2
2 2x 5x 8 5 x 5x 9 11 0− + − − + + =
Â93. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á.
6 3
1 1x 28 x 27 0
x x
+ − + + =
â. 3 22συν x 5συν x 4συνx 3 0+ − − =
ã. x x 4x 19 x 14 0− − − =
ä. ( )32x 1 5x 2 x 1 19 0+ + − + − =
å. ( ) ( )2
2 2x x 1 4 x x 2 7 0+ + − + + + =
óô. ( )( )2 2x x 1 x x 9 21+ + + − = −
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
( )( )( )( )x 1 x 2 x 3 x 4 24+ + + + =
Ëýóç ( )( )( )( )x 1 x 4 x 2 x 3 24+ + + + = ⇔
( )( ) ( )2 2x 5x 4 x 5x 6 24 1+ + + + =
èÝôïõìå ( )2x 5x 4 y 2+ + = , ïðüôå
2x 5x 6 y 2+ + = +
Ôüôå ç (1) ãñÜöåôáé:
( ) 2y y 2 24 y 2y 24 0+ = ⇔ + − = ,Üñá
y 6 ή y 4= − = .
Ïðüôå áðü ôçí (2) Ý÷ïõìå:
2 2x 5x 4 6 x 5x 10 0+ + = − ⇔ + + = (áäýíáôç)
êáé
( )2 2x 5x 4 4 x 5x 0 x x 5 0+ + = ⇔ + = ⇔ + =
äçëáäÞ x 0 ή x 5= = − .
¢ñá ïé ñßæåò åßíáé: x 0 ή x 5= = − .
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
93åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
12 Íá ëõèåß ç åîßóùóç 3 2
2x 7x 7x 2 0+ + + =
Áíôßóôñïöç
åîßóùóç ôïõ
ôñßôïõ âáèìïý
(Ðñþôï åßäïò)
Áíôßóôñïöåò
åîéóþóåéò
Áíôßóôñïöåò ëÝãïíôáé ïé åîéóþóåéò ðïõ äåí ìåôáâÜëëïíôáé áí áíôß x èÝóïõìå
ôï 1
x. ¢ñá áí ç áíôßóôñïöç åîßóùóç äÝ÷åôáé ôçí ñßæá x ρ, ρ 1, ρ 0= ≠ ± ≠ èá
Ý÷åé ñßæá êáé ôçí 1
xρ
= .
Êõñéþôåñá
åßäç
áíôßóôñïöùí
3 2αx βx βx α 0+ + + = (áíôßóôñïöåò 3ïõ âáèìïý ìå óõíôåëåóôÝò áíÜ
äýï ßóïõò )
3 2αx βx βx α 0+ − − = (ìå óõíôåëåóôÝò áíÜäýï áíôßèåôïõò)
4 3αx βx βx α 0+ − − = (áíôßóôñïöç 4ïõ âáèìïý åëëåéðÞò (ãéáôß “ëåßðåé” ï 2x ).
(4ïõ âáèìïý ìå óõíôåëåóôÝò ðïõ éóáðÝ÷ïõí áðü
ôá Üêñá áíôßèåôïõò)
ð.÷. ç 3 2 3 22x 5x 5x 2 2x 5x 5x 2 0− = − ⇔ − − + =
ð.÷. ç 4 2 4 3 23x 2x 3 3x 0x 2x 0x 3 0+ = − ⇔ + + + + =
3 2αx βx βx α 0+ + + =
Ç åîßóùóç áõôÞ ìðïñåß íá ãñáöåß äéáäï÷éêÜ
( ) ( )3 2αx α βx βx 0+ + + = Þ ( ) ( )3α x 1 βx x 1 0+ + + =
Þ ( )( ) ( )2α x 1 x x 1 βx x 1 0+ − + + + =
Þ ( ) ( )2x 1 α x x 1 βx 0 + − + + =
Þ ( ) ( )2
x 1 αx α β x α 0 + − − + =
Áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò
( )x 1 0 1+ = åßôå ( ) ( )2αx α β x α 0 2− − + =
Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x 1= −
Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé ( )
2 2α β α β 4αx
2α
− ± − −
= , áí ( )2 2α β 4α 0− − ≥ .
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
94 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7
13 Íá ëõèåß ç åîßóùóç:3 2
3x 13x 13x 3 0− + − =
Ëýóç
Ç åîßóùóç ðïõ óáò äßíåôáé ãñÜöåôáé:
( ) ( )3 23x 3 13x 13x 0− − − = Þ
( ) ( )33 x 1 13x x 1 0− − − = Þ
( )( ) ( )23 x 1 x x 1 13x x 1 0− + + − − = Þ
( ) ( )2x 1 3 x x 1 13x 0 − + + − =
Þ
Áíôßóôñïöç
åîßóùóç ôïõ
ôñßôïõ âáèìïý
(Äåýôåñï åßäïò)
3 2αx βx βx α 0− + − =
Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé: ( ) ( )3 2αx α βx βx 0− − − = Þ ( ) ( )3α x 1 β x 1 0− − − =
Þ ( )( ) ( )2α x 1 x x 1 βx x 1 0− + + − − =
Þ ( ) ( )2x 1 α x x 1 βx 0 − + + − =
Þ ( ) ( )2x 1 αx α β x α 0 − + − + =
Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò
( )x 1 0 1− = åßôå ( ) ( )2αx α β x α 0 2+ − + =
Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x 1= .
Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé ( ) ( )
2 2α β α β 4αx
2α
− − ± − −
= , áí ( )2 2α β 4α 0− − ≥
Ëýóç
Ç åîßóùóç ðïõ äßíåôáé ãñÜöåôáé:
( ) ( )3 22x 2 7x 7x 0+ + + = Þ
( ) ( )32x 1 7x x 1 0+ + + =
( )( ) ( )22 x 1 x x 1 7x x 1 0+ − + + + = Þ
( ) ( )2x 1 2 x x 1 7x 0 + − + + =
( )( )2x 1 2x 5x 2 0+ + + =
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç ðñïêýðôïõí ïé åîé-
óþóåéò x 1 0+ = (1) åßôå 2
2x 5x 2 0+ + = (2)
Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x 1= − .
Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé 2− êáé 1
2− .
¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:
1 2 3
1x 1, x 2, x
2= − = − = −
( )( )2x 1 3x 10x 3 0− − + =
Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò
( )x 1 0 1− = åßôå 2
3x 10x 3 0− + =
Ç ñßæá ôçò (1) åßíáé x 1= .
Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé x 3′ = êáé 1
x3
′′ = .
¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:
1 2 3
1x 1, x 3, x
3= = = .
95åéäéêÝò ìïñöÝò åîéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
14
Áíôßóôñïöç
åîßóùóç ôïõ
ôåôÜñôïõ
âáèìïý
(Ðñþôï åßäïò)
4 3 2αx βx γx βx α 0+ + + + = , 0αβγ ≠
Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò ìå ôï 2x , ôï ïðïßï åßíáé äéÜöïñï ôïõ ìçäåíüò
êáé Ý÷ïõìå 2
2
β ααx βx γ 0
α x+ + + + =
Þ 2
2
α βαx βx γ 0
xx
+ + + + =
Þ 2
2
1 1α x β x γ 0
xx
+ + + + =
(1)
ÈÝôïõìå 1
x yx
+ = (2) ïðüôå
2
21x y
x
+ =
Þ 2 2
2
1x y 2
x+ = −
êáé ç (1) ãñÜöåôáé: ( )2α y 2 βy γ 0− + + = Þ 2αy βy γ 2α 0+ + − = (ä)
Áíôéêáèéóôïýìå óôç (2) ôï y, äéáäï÷éêÜ ìå ôéò ëýóåéò y′ êáé y′′ ôçò (ä) êáé
ðáßñíïõìå ôéò åîéóþóåéò ( )1
x y 3x
′+ = êáé ( )1
x y 4x
′′+ =
Ç ( )3 ãñÜöåôáé 2x y x 1 0′− + = ( )3′
Ç ( )4 ãñÜöåôáé 2x y x 1 0′′− + = ( )4′
Ïé ñßæåò ôùí åîéóþóåùí ( )3′ êáé ( )4′ åßíáé êáé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò.
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:4 3 2
6x 5x 38x 5x 6 0+ − + + =
Ëýóç
Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò åîßóùóçò ìå2x êáé Ý÷ïõìå
2
2
5 66x 5x 38 0
x x+ − + + =
Þ 2
2
6 56x 5x 38 0
xx
+ + + − =
Þ 2
2
1 16 x 5 x 38 0
xx
+ + + − =
(1)
ÈÝôïõìå 1
x yx
+ = (2)
ïðüôå êáé ç (1) ãñÜöåôáé:
( )26 y 2 5y 38 0− + − = Þ 2
6y 5y 50 0+ − =
Ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò áõôÞò åßíáé: 5 10
y , y2 3
′ ′′= = −
Áíôéêáèéóôïýìå óôçí (2) ôï y ìå ôéò ôéìÝò ôïõ êáé
ðáßñíïõìå ôéò åîéóþóåéò
( )1 5
x 3x 2
+ = êáé ( )1 10
x 4x 3
+ = −
Ç (3) ãñÜöåôáé 22x 5x 2 0− + = êáé Ý÷åé ñßæåò
1x 2, x
2′ ′′= =
Ç (4) ãñÜöåôáé 3
3x 10x 3 0+ + = êáé Ý÷åé ñßæåò
1x 3, x
3′ ′′= − = −
¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:
1 2 3 4
1 1x 2, x , x 3, x
2 3= = = − = −
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
96 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 7
15 Íá ëõèåß ç åîßóùóç4 3
4x 17x 17x 4 0− + − =
Ëýóç
Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé:
( ) ( )
( ) ( )
4 3
4 2
4x 4 17x 17x 0
4 x 1 17x x 1 0
− − − = ⇔
⇔ − − − =
( )( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
4 x 1 x 1 17x x 1 0
x 1 4 x 1 17x 0
− + − − = ⇔
⇔ − + − =
Þ ( )( )2 2x 1 4x 17x 4 0− − + =
Áíôßóôñïöç
åîßóùóç ôïõ
ôåôÜñôïõ
âáèìïý
(Äåýôåñï åßäïò)
4 3αx βx βx α 0+ − − =
Ç åîßóùóç áõôÞ ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:
( ) ( ) ( ) ( )4 3 4 2αx α βx βx 0 α x 1 βx x 1 0− + − = ⇔ − + − =
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2α x 1 x 1 βx x 1 0 x 1 α x 1 βx 0 − + + − = ⇔ − + + =
Þ ( )2 2x 1 αx βx α 0 − + + =
Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò:
( )2x 1 0 1− = , åßôå ( )2αx βx α 0 2+ + =
Ïé ñßæåò ôçò (1) åßíáé x 1= ± .
Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé 2 2β β 4α
x2α
− ± −= , áí
2 2β 4α≥ .
Áðü ôçí åîßóùóç áõôÞ ðñïêýðôïõí ïé åîéóþóåéò:
( )2x 1 0 1− = , åßôå ( )2
4x 17x 4 0 2− + =
Ïé ñßæåò ôçò (1) åßíáé x 1= ± .
Ïé ñßæåò ôçò (2) åßíáé 1
x 4, x4
′ ′′= = .
¢ñá ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò åßíáé:
1 2 3 4
1x 1, x 1, x 4, x
4= = − = = .
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â94. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
i. 3 22x 7x 7x 3 0+ + + =
ii. 4 33x 10x 10x 3 0− − − =
iii. 3 2x 2x 2x 1 0− + − =
Â95. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
i. 3 2
2x 7x 7x 2 0− + − =
ii. 3 2
3x 13x 13x 3 0− + − =
Â96. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
i. 4 3 26x 5x 38x 5x 6 0+ − + + =
ii. 4 3
4x 17x 17x 4 0− + − =
Â97. Ná ëõèåß ç åîßóùóç:
4 3 25x 16x 2x 16x 5 0− + + + =
Â98. Ná ëõèåß ç åîßóùóç:
4 3 26x 5x 38x 5x 6 0+ − + + =
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
97åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ANÉÓÙÓÅÙÍ
1
Ðñüóçìï
ãéíïìÝíïõ
1. ( ) ( )A x B x ... 0>⋅ Þ ( ) ( )⋅A x B x ... 0 ή 0 ή 0 ή 0< ≤ > ≥
Âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï êÜèå ðáñÜãïíôá êáé ìå ôç âïÞèåéá ðßíáêá (üðùò ðåñé-
ãñÜöåôáé óôï åðüìåíï ðáñÜäåéãìá) âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíüìåíïõ.
ÅéäéêÝò ìïñöÝò ÁíéóþóåùíB.8
Ëýóç
Ìå ôï ãíùóôü ôñüðï âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ
êÜèå ðáñÜãïíôá. Ó÷çìáôßæïõìå Ýíáí ðßíáêá, üðùò
âëÝðïõìå ðáñáêÜôù, ôïðïèåôþíôáò ôïõò ðáñÜ-
ãïíôåò ôçò áíßóùóçò êÜôù áðü ôï x, êáé óçìåé-
þíïõìå óôï ôÝëïò ôçò ðñþôçò óôÞëçò ôï ãéíü-
ìåíï ôùí ðáñáãüíôùí ôçò áíßóùóçò.
Óôçí ðñþôç ãñáììÞ âÜæïõìå ìå äéÜôáîç ôéò ôéìÝò
ôïõ x ðïõ ìçäåíßæïõí ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò áíßóù-
óçò, êáé öÝñíïõìå êáôáêüñõöåò åõèåßåò êÜôù áð'
áõôÝò. Ôïðïèåôïýìå ôï ðñüóçìï (+) óôá äéáóôÞìá-
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
ôá ðïõ Ý÷ïõìå âñåß üôé ïé ðáñÜãïíôåò åßíáé èåôéêïß.
Óôá õðüëïéðá äéáóôÞìáôá ïé ðáñÜãïíôåò ôçò
áíßóùóçò Ý÷ïõí ðñüóçìï (-). Åêôåëïýìå êÜèåôá
ôï ãéíüìåíï ôùí ðñïóÞìùí êáé óõìðëçñþíïõìå
ôçí ôåëåõôáßá ãñáììÞ ôïõ ðßíáêá.
Óôéò ôéìÝò ðïõ ïé ðáñÜãïíôåò ìçäåíßæïíôáé êáé ðÜíù
óôéò êáôáêüñõöåò ãñáììÝò öÝñïõìå ìéêñïýò êýêëïõò.
Ôá ãñáììïóêéáóìÝíá äéáóôÞìáôá åßíáé áõôÜ óôá
ïðïßá ïé ôéìÝò ôïõ x åðáëçèåýïõí ôçí áñ÷éêÞ áíß-
óùóç.
¢ñá ç áíßóùóç (1) êáôÜ óõíÝðåéá êáé ç áñ÷éêÞ áëçèåýåé áí: { } [ ] [ )x 2 1, 2 5,∈ − ∪ ∪ +∞
Íá ëõèåß ç áíßóùóç: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2x 7x 10 x 4x 4 x 3x 7 1 x 0− + − − − − + − − ≤
98 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8
Ðñüóçìï
ðçëßêïõ
( )
( )
A x0
B x> Þ
( )
( )
A x0
B x≥ Þ
( )
( )
A x0
B x< Þ
( )
( )
A x0
B x≤
ÅðåéäÞ ôï ðñüóçìï ôïõ ðçëßêïõ åßíáé ôï ßäéï ìå ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíïìÝíïõ ,
ìåôáôñÝðù ôï ðçëßêï óå ãéíüìåíï .Âñßóêù ôï ðñüóçìï êÜèå ðáñÜãïíôá êáé
ìå ôç âïÞèåéá ðßíáêá (üðùò ðåñéãñÜöåôáé óôï ðñïçãïýìåíï ðáñÜäåéãìá) âñß-
óêù ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíüìåíïõ.
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
B99. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
(1 3x)(2x 4)(4 x)(x 6)(7 x) 0− + − − − ≤
B100. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
2(2x -1)(1-5x)(x - 5x 6) 0+ ≤
Â101. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
( )( )( )2 23x 7 x 3x 4 x 6x 9 0− − + + − + <
Â102. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
( )( )( )2 21 x x 10x 21 x x 5 0− − + − + − <
Â103. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
( )( ) ( )6 7
2 2 2x x 7x 10 x 5x 4 x 9 0− + − + − ≤
ÊëáóìáôéêÝò áíéóþóåéò åßíáé áõôÝò ðïõ ðåñéÝ÷ïõí (ðéèáíüí ðáñáóôÜóåéò ôïõ)
x óå ðáñïíïìáóôÞ.
ÐÑÏÓÏ×Ç:
Õðåíèõìßæïõìå üôé äåí ìðïñïýìå íá ðïëëáðëáóéÜæïõìå ôá ìÝëç áíéóïôéêÞò
ó÷Ýóçò ìå ðïóüôçôåò ìåôáâëçôïý Þ áãíþóôïõ ðñïóÞìïõ.
ð.÷. áí x R∈ äåí ìðïñïýìå áðü ôçí 3x 1
4x 1
−>
+ íá óõìðåñÜíïõìå
( )3x 1 4 x 1− > +
äéüôé äåí ìðïñïýìå íá ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôá ìÝëç ôçò 3x 1
4x 1
−>
+ ìå ôçí
ìåôáâëçôïý ðñïóÞìïõ, ðïóüôçôá x 1+ , üôáí x R∈ .
Ãé’ áõôü ãéá íá ëýóïõìå êëáóìáôéêÞ áíßóùóç êÜíïõìå ôá åîÞò:
i . ÌåôáöÝñïõìå ôéò ðïóüôçôåò ôïõ â’ ìÝëïõò óôï á ìÝëïò ìå áíôßèåôï ðñü-
óçìï þóôå íá Ý÷ïõìå óôï â ìÝëïò ôï 0 (áí ÷ñåéÜæåôáé) .
ii. ÌåôáôñÝðïõìå ôéò ðïóüôçôåò ôïõ á ìÝëïõò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá (áí
÷ñåéÜæåôáé) þóôå íá Ý÷ïõìå óôï á’ìÝëïò Ýíá ìüíï êëÜóìá äçë. íá öÝ-
Ëýóç
êëáóìáôéêþí
áíéóþóåùí
99åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ANÉÓÙÓÅÙÍ
3
2
ñïõìå ôçí áíßóùóç óôç ìïñöÞ:
( )
( )( )
A x, , 0
B x> ≥ ≤ <
iii. ÅðåéäÞ ôï ðñüóçìï ôïõ ðçëßêïõ åßíáé ôï ßäéï ìå ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíïìÝíïõ , Ý÷ïõìå:
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A x, , 0 Α x B x , , 0, B x 0
B x> ≥ ≤ < ⇔ > ≥ ≤ < ≠
êáé êáôáëÞãïõìå óå áíßóùóç ðïõ ëýíåôáé êáôÜ ôá ãíùóôÜ.
Íá ëõèåß ç áíßóùóç:( ) ( )
( )
22
2
x 3 x 1
0
x 4
+ −
<
−
Ëýóç
Ðñïöáíþò x R∈ -{-2, 2}.
ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ìå ôï ôåôñÜãùíï ôïõ
ðáñáíïìáóôÞ ç áíßóùóç ìåôåôñÝðåôáé óôï ãéíüìåíï
( )( ) ( )22 2
x 3 x 1 x 4 0+ − − < .
Åðéëýïõìå ôéò åðéìÝñïõò áíéóþóåéò.
• 2x 3 0+ > . Áëçèåýåé ãéá êÜèå x R∈ áöïý á=1>0
êáé 2∆ 0 4 3 0− − ⋅ < .
• ( )2
x 1 0− > . Ðñïöáíþò áëçèåýåé ãéá êÜèå x 1≠ .
• 2x 4 0− > . Áëçèåýåé ãéá êÜèå ( ) ( )x , 2 2,∈ −∞ − ∪ +∞ .
Ó÷çìáôßæïõìå ôïí ðßíáêá ìå ôïõò ðáñÜãïíôåò ôçò
áíßóùóçò êáé ôéò ôéìÝò ôïõ x ðïõ ôïõò ìçäåíßæïõí.
Ôïðïèåôïýìå ôá ðñüóçìá óôá äéáóôÞìáôá, êáé âñß-
óêïõìå óå êÜèå äéÜóôçìá ôï ãéíüìåíü ôïõò.
Ïé ôéìÝò x=-2, x=2 êáé x=1 áðïññßðôïíôáé.
¸ôóé ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá êÜèå
( ) ( )x 2,1 1,2∈ − ∪ .
Íá ëõèåß ç áíßóùóç: x 1 x 3
x 1 2x 1
+ +≤
− +
Ëýóç
¸÷ïõìå:
( )( ) ( )( )
( )( )
x 1 x 3 x 1 x 30
x 1 2x 1 x 1 2x 1
2x 1 x 1 x 3 x 10
x 1 2x 1
+ + + +≤ ⇔ − ≤ ⇔
− + − +
+ + − + −⇔ ≤ ⇔
− +
( )( )
2 22x 2x x 1 x 3x x 3
0x 1 2x 1
+ + + − − + +⇔ ≤ ⇔
− +
( )( )
2x x 4
0x 1 2x 1
+ +⇔ ≤ ⇔
− +
( )( )( ) ( )( )2x x 4 x 1 2x 1 0, x 1 2x 1 0⇔ + + − + ≥ − + ≠
Åðéëýïõìå ôéò åðéìÝñïõò áíéóüôçôåò:
2x x 4 0+ + ≥ ,
áëçèåýåé ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áöïý Ý÷åé äéá-
êñßíïõóá áñíçôéêÞ.
x 1 0 x 1− > ⇔ >
12x 1 0 x
2+ > ⇔ > −
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
100 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8
4
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â104. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i. x 5
02x 1
−<
+ ii.3x 5
1x 1
+≥
−
iii. x
1 02x 1
− <−
Â105. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i. 2
x 10
3x 4x 1
−≤
− +ii.
2
2
x 10
x 2x 8
−>
− −
iii. ( )( )2
2
x 1 x 4
0x x 12
− −
≤
− −
Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.(âë. óåë.97)
¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé áí 1
x ,12
∈ −
.
Íá ëõèåß ç áíßóùóç: ( ) ( )
( ) ( )
2x 3 x 7x 10
0x 1 x 4
− − +≤
+ −
Ëýóç
Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.(âë. óåë.97)
¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé áí ( ) [ ] ( ]x , 1 2,3 4,5∈ −∞ − ∪ ∪ .
101åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ANÉÓÙÓÅÙÍ
5
Â106. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 2
2 x 1
1 2x x2x x+ <
−−
Â107. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 2
x 3 x 2 10
x 2 x 3 x x 6
− +− >
+ − − −
Â108. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: x 2x 1
3x 1 x 1
+− ≤
− +
B109. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 2x 3x 1
2x 1 3x 1
−+ <
− +
B110.Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
2
2
(3 x)(x 4x 4)0
( x 5x 6)(x 1)
− + +≥
− + − −
ËÕÓÇ ÓÕÓÔÇ-
ÌÁÔÏÓ ÁÍÉÓÙ-
ÓÅÙÍ
Þ
éóïäýíáìç
Ýêöñáóç:
ÓÕÍÁËÇÈÅÕÓÇ
ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ
Ãéá íá ëýóïõìå óýóôçìá áíéóþóåùí äçë. íá êÜíïõìå óõíáëÞèåõóç áíéóþ-
óåùí:
i . Ëýíïõìå ôçí êÜèå áíßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ÷ùñéóôÜ êáôÜ ôá ãíùóôÜ.
ii. KÜíïõìå “Üîïíá Þ ðßíáêá óõíáëÞèåýóçò” êáé âñßóêïõìå ôéò ôéìÝò ôïõ á-
ãíþóôïõ ãéá ôéò ïðïßåò ïé áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí äçëáäÞ âñßóêïõìå
ôéò ëýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò
Áí äåí õðÜñ÷ïõí ôéìÝò ôïõ áãíþóôïõ ãéá ôéò ïðïßåò ïé áíéóþóåéò ôïõ óõ-
óôÞìáôïò íá óõíáëçèåýïõí, ôüôå ôï óýóôçìá åßíáé áäýíáôï.
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá ëõèåß ôï óýóôçìá: 3 2
2
x 4x 5x
x 9
− ≥
<
Ëýóç
Ëýíïõìå ôçí êÜèå áíßóùóç ÷ùñéóôÜ.
( ) ( )3 2 3 2 2x 4x 5x x 4x 5x 0 x x 4x 5 0 1− ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − − ≥
Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.(âë. óåë.97)
Üñá ç (1) êáôÜ óõíÝðåéá êáé ç áñ÷éêÞ: 3 2x 4x 5x 1 x 0− ≥ ⇔ − ≤ ≤ Þ x 5≥ .
2 2x 9 x 9 0 3 x 3< ⇔ − < ⇔ − < < (äéüôé ôï ôñéþíõìï 2
x 9− åßíáé åôåñüóçìï ôïõ α 1= áíÜìåóá
óôéò ñßæåò ôïõ ðïõ åßíáé: 1x 3= êáé
2x 3= − ).
KÜíïõìå ðßíáêá óõíáëÞèåõóçò.
102 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8
6
Üñá ïé áíéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò óõíáëçèåýïõí áí: 1 x 0− ≤ ≤ .
Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:
3 2x 7x 10x 0
2x 14
x 3
− + ≥ +
≤−
Ëýóç
Åßíáé ( )3 2 2x 7x 10x 0 x x 7x 10 0− + ≥ ⇔ − + ≥ . Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.
Áðü ôïí ðáñáðÜíù ðßíáêá ðñïêýðôåé: ( ) [ ] [ )2x x 7x 10 0 x 0,2 5,− + ≥ ⇔ ∈ ∪ +∞
Ãéá ôç äåýôåñç áíéóüôçôá Ý÷ïõìå:( ) ( )
( )( )
2x 1 4 x 32x 1 2x 14 4 0 0
x 3 x 3 x 3
2x 1 4x 12 2x 130 0 2x 13 x 3 0 , x 3 0
x 3 x 3
+ − −+ +≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔
− − −
+ − + − +≤ ⇔ ≤ ⇔ − + − ≤ − ≠
− −
Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.
Áðü ôïí ðáñáðÜíù ðßíáêá ðñïêýðôåé: ( )2x 13 13
0 x ,3 ,x 3 2
− + ≤ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
−
KÜíïõìå ðßíáêá óõíáëÞèåõóçò.
103åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ANÉÓÙÓÅÙÍ
7
¢ñá ïé áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí áí: [ ]3
x 0,2 ,2
∈ ∪ +∞
Íá âñåßôå ôï äéÜóôçìá ðïõ óõíáëçèåýïõí ïé áíéóþóåéò:
( ) ( ) ( )2 2
3 2
x 1 x x 4 x x 7 0
2x 1 0
x 7x 10x 0
− − + − + − ≤
+ >
− + >
Ëýóç
á. Ëýóç ôçò ( )( )( ) ( )2 2x 1 x x 4 x x 7 0 1− − + − + − ≤ .Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.
¢ñá ãéá íá åßíáé áëçèÞò ç áíßóùóç (1) ðñÝðåé [ )x 1,∈ +∞ .
â. Ëýóç ôçò: ( )2x 1 0 2+ >
12x 1 0 2x 1 x
2+ > ⇔ > − ⇔ > −
¢ñá ç (2) áëçèÞò áí 1
x ,2
∈ − +∞
.
ã. Ëýóç ôçò: ( )3 2x 7x 10x 0 3− + >
( )3 2 2x 7x 10x 0 x x 7x 10 0− + > ⇔ − + > .Ó÷çìáôßæïõìå ðßíáêá ðñïóÞìùí.
¢ñá ç (3) áëçèÞò áí ( ) ( )x 0,2 5,∈ ∪ +∞
104 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 8
8
¢ññçôåò
Áíéóþóåéò
Ãéá íá ëýóïõìå Üññçôç áíßóùóç (äçë. áíßóùóç ìå ñéæéêÜ), èÝôïõìå ðåñéïñé-
óìïýò: Ïé õðüññéæåò ðïóüôçôåò íá åßíáé 0≥ . Óôç óõíÝ÷åéá õøþíïõìå óå
äýíáìç (ßóç ìå ôçí ôÜîç ôçò ñßæáò), Ý÷ïíôáò õðüøç ìáò üôé:
• Áí α,β 0> : ν να β α β> ⇔ >
• Áí α,β 0< :
ν ν
ν ν
α β , ν : περιττόςα β
α β , ν : άρτιος
>> ⇔
<
Óôï ôÝëïò óõíáëçèåýïõìå ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò.
Ná ëýóåôå ôçí áíßóùóç: x 2 x 4− > −
Ëýóç
EðåéäÞ, äåí ìðïñïý-
ìå íá õøþóïõìå óôï
ôåôñÜãùíï êáé ôá äýï
Ðåñéïñéóìïß x 2 0− ≥
äçë. x 2≥
KÜíïõìå ðßíáêá óõíáëÞèåõóçò .
¢ñá ïé áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí áí [ ) ( )x 1,2 5,∈ ∪ +∞ .
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â111. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x óõíáëçèåýïõí ïé
áíéóþóåéò:
i.
x0
x 3
8 2x 0
<
−
− ≥
ii.
3 x0
x
1 3x0
4
−>
−
≤
iii. 2x 1
04 x
x 2
−≥
−
≥
Â112. Íá ëõèïýí ôá óõóôÞìáôá:
á. 2
2
x 2 0
6x 5x 1 0
x 5x 6 0
− >
+ + >
− + − <
â.
( )( )2 2
x 10
2x 1
x 4 x 2x 4 0
−>
+
− + + <
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
ìÝëç ôçò áíßóùóçò áí äåí åßíáé ïìüóçìá ãé’ áõôü
äéáêñßíïõìå (ìå äåäïìÝíïõò ôïõò ðåñéïñéóìïýò
ôï 1ï ìÝëïò åßíáé èåôéêü) äýï ðåñéðôþóåéò:
• Áí x 4 0− < äçëáäÞ x 4< ôüôå ãéá 2 x 4≤ <
ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéáôß ôï 1ï ìÝëïò åßíáé ìç
105åéäéêÝò ìïñöÝò áíéóþóåùí
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ÁÍÉÓÙÓÅÙÍ
ÅÉÄÉÊÅÓ ÌÏÑÖÅÓ
ANÉÓÙÓÅÙÍ
10
9
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
áñíçôéêü, åíþ ôï 2ï ìÝëïò åßíáé áñíçôéêü.
• Áí x 4 0− ≥ äçëáäÞ x 4≥ åßíáé êáé ôá äýï
ìÝëç ïìüóçìá Ý÷ïõìå:
x 2 x 4− > − ( ) ( )2
2
x 2 x 4⇔ − > −
2x 2 x 8x 16⇔ − > − +
2x 9x 18 0⇔ − + < 3 x 6⇔ < <
Eîáéôßáò üìùò ôïõ x 4≥ Ý÷ïõíå ó’ áõôÞ ôçí
ðåñßðôùóç 4 x 6≤ < .
¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá x R∈ ìå 2 x 6≤ < .
Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç
3x 7 x 1+ > −
Ëýóç
ÐñÝðåé
x 1 0− ≥ äçë. x 1≥ êáé 3x 7 0+ > äçë.
7x
3> − . ÔåëéêÜ x 1≥ .
Õøþíïíôáò êáé ôá äýï ìÝëç óôï ôåôñÜãùíï
Ý÷ïõìå:
3x 7 x 1+ > − ( ) ( )2 2
3x 7 x 1⇔ + > −
3x 7 x 1⇔ + > − 2x 8⇔ > − äçë. x 4> −
óõíáëçèåýïíôáò ìå ôïí ðåñéïñéóìü âñßóêïõìå
x 1≥ .
¢ñá ç áíßóùóç áëçèåýåé ãéá x R∈ ìå x 1≥ .
Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç
5x 3 x 2− > −
Ëýóç
Êáôáñ÷Üò, ãéá íá ïñßæåôáé ç ñßæá, ðñÝðåé íá éó-
÷ýåé 3
5x 3 0 x5
− ≥ ⇔ ≥
• Áí 3
x 25≤ < ôüôå x 2 0− < êáé åðïìÝíùò ç
áíßóùóç åðáëçèåýåôáé ðñïöáíþò, áöïý
5x 3 0− >
• Áí x 2≥ ôüôå, ôåôñáãùíßæïíôáò êáé ôá äýï
ìÝëç ôçò áíßóùóçò, âñßóêïõìå éóïäýíáìá:
( )2 2
5x 3 x 2 x 9x 7 0− > − ⇔ − + <
Åýêïëá äéáðéóôþíïõìå üôé ç áíßóùóç áõôÞ å-
ðáëçèåýåôáé ãéá ÷ ôÝôïéá þóôå
9 53 9 53x
2 2
− +< <
Ïé áíéóüôçôåò 9 53 9 53
x2 2
− +< < êáé x 2≥
óõíáëçèåýïõí ãéá ÷ ôÝôïéá þóôå
9 532 x
2
+≤ < (âë. ó÷Þìá)
Óõíïøßæïíôáò ëïéðüí ôá ðáñáðÜíù, Ý÷ïõìå üôé
ç áíßóùóç 5x 3 x 2− > − åðáëçèåýåôáé óôá
äéáóôÞìáôá 3,25
êáé 9 53
2,2
+
, äçëáäÞ
óôï äéÜóôçìá 3 9 53,5 2
+
.
Â113.Íá ëõèåß ç áíßóùóç: x 1 x 3− > −
Â114.Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 22x x 3 x− < −
Â115. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: 3x 5 1 x+ > −
Â116. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
5 2 x 3 x− − > −
Â117. Íá ëõèåß ç áíßóùóç: x 1 2x 3 5+ + + >
106 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 9
Éóüôçôá
çìéôüíùí
Áí è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò ηµx α= âë. ó÷Þìá, ôüôå üëåò ïé ëýóåéò ôçò
äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:
x 2κπ θηµx α ηµθ , όπου κ Ζ
x 2κπ π θ
= += = ⇔ ∈
= + −
Éóüôçôá
óõíçìéôüíùí
Áí è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò συνx α= âë. ó÷Þìá ôüôå üëåò ïé ëýóåéò ôçò
äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:
x 2κπ θσυνx α συνθ , όπου κ Ζ
x 2κπ θ
= += = ⇔ ∈
= −
ÂáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéòB.9
• ÔñéãùíïìåôñéêÞ åîßóùóç ìå Ýíáí Üãíùóôï ëÝãåôáé êÜèå åîßóùóç ðïõ ï Üãíùóôïò Þ ç ðáñÜóôáóç
ôïõ áãíþóôïõ ðåñéÝ÷åôáé óå Ýíáí ôïõëÜ÷éóôïí ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü.
Ðáñáäåßãìáôá
1. Ïé åîéóþóåéò π
2ηµ x 13
+ =
, 3εφ x 7εφx 6 0− + = , åßíáé ôñéãùíïìåôñéêÝò.
2. Ç åîßóùóç π
x ηµ 22
+ = äåí åßíáé ôñéãùíïìåôñéêÞ åîßóùóç ãéáôß äåí ðåñéÝ÷åé ôïí Üãíùóôï x óå
ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü.
• Ëýóç ìéáò ôñéãùíïìåôñéêÞò åîßóùóçò åßíáé ôï óýíïëï ôùí ãùíéþí (Þ ôüîùí) ðïõ ôçí åðáëçèåýïõí.
• Ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôçò ëýóçò ëÝãåôáé åðßëõóç ôçò ôñéãùíïìåôñéêÞò åîßóùóçò.
107ÂáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò åîéóþóåéò
ÂÁÓÉÊÅÓ
ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ
Éóüôçôá
åöáðôïìÝíùí
Ïé ãùíßåò (ôá ôüîá) è êáé ð + è Ý÷ïõí ôçí ßäéá åöáðôïìÝíç (âë. ó÷Þìá).
ÁëëÜ êáé êÜèå ãùíßá kð + è ìå k áêÝñáéï Ý÷åé åðßóçò ôçí ßäéá åöáðôïìÝíç. ¢ñá
ç åîßóùóç εφx α= , üðïõ α R∈ Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ðïõ äßíïíôáé áðü ôïí ôýðï:
εφx α εφθ x κπ θ, όπου κ Ζ= = ⇔ = + ∈
üðïõ è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò εφx α= .
Éóüôçôá
óõíåöáðôïìÝ-
íùí
Ïé ãùíßåò (ôá ôüîá) è êáé ð + è Ý÷ïõí ôçí ßäéá óõíåöáðôïìÝíç (âë. ó÷Þìá).
ÁëëÜ êáé êÜèå ãùíßá kð + è ìå k áêÝñáéï Ý÷åé åðßóçò ôçí ßäéá óõíåöáðôïìÝíç.
¢ñá ç åîßóùóç σφx α= , üðïõ α R∈ Ý÷åé Üðåéñåò ëýóåéò ðïõ äßíïíôáé áðü ôïí
ôýðï:
σφx α σφθ x κπ θ, όπου κ Ζ= = ⇔ = + ∈
üðïõ è åßíáé ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò σφx α= .
• ÔñéãùíïìåôñéêÞ áíßóùóç ìå Ýíáí Üãíùóôï ëÝãåôáé êÜèå áíßóùóç ðïõ ï Üãíùóôïò Þ ç ðáñÜóôáóç
ôïõ áãíþóôïõ ðåñéÝ÷åôáé óå Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí ôñéãùíïìåôñéêü áñéèìü.
Ãéá ðáñÜäåéãìá,
ïé áíéóþóåéò π
2ηµ x 16
− ≤
, 3σφ x 8σφx 7 0− + > , åßíáé ôñéãùíïìåôñéêÝò.
• Ëýóç ìéáò ôñéãùíïìåôñéêÞò áíßóùóçò åßíáé ôï óýíïëï ôùí ãùíéþí (Þ ôüîùí) ðïõ ôçí åðáëçèåý-
ïõí.
• Ç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôçò ëýóçò ëÝãåôáé åðßëõóç ôçò ôñéãùíïìåôñéêÞò áíßóùóçò.
108 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 9
Ðùò ëýíïõìå ôñéãùíïìåôñéêÞ áíßóùóç ôçò ìïñöÞò :
συνx α ή συνx α< > , µε 1 α 1− < <
Êáô’áñ÷Þí âñßóêïõìå ãùíßåò óôï äéÜóôçìá [0,2π] ðïõ Ý÷ïõí óõíçìßôïíï ßóï ìå á.
ÕðÜñ÷ïõí ðÜíôïôå äýï ãùíßåò óôï [0,2π] ôÝôïéåò þóôå óõí÷ = á. (âë. ó÷Þìáôá)
¸óôù ïé 1θ êáé
2 1θ 2π θ= − ìå è
1 < è
2. Ôüôå ìå 0 α 1≤ < Þ 1 α 0− < ≤ éó÷ýïõí
2 1συνx α θ x 2π ή 0 x θ> ⇔ < ≤ ≤ < (ìðëÝ ôüîï)
1 2συνx α θ x θ< ⇔ < < (êüêêéíï ôüîï)
ð.÷1 π π 5π
συνx συνx συν x2 3 3 3
≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤
1 2π 4π 2πσυνx συνx συν x 2π ή 0 x
2 3 3 3≥ − ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤ ≤ ≤
Ïé ðáñáðÜíù áíéóþóåéò óõíáëçèåýïõí ãéá : π 2π
x3 3≤ ≤ Þ
4π 5πx
3 3≤ ≤
êáé ãåíéêÜπ 2π 4π 5π
2kπ ,2kπ 2kπ ,2kπ3 3 3 3
+ + ∪ + +
, üðïõ k Ζ∈
Ðùò ëýíïõìå ôñéãùíïìåôñéêÞ áíßóùóç ôçò ìïñöÞò :
ηµx α ή ηµx α< > , µε 1 α 1− ≤ ≤
âñßóêïõìå ãéá ðïéá ãùíßá è óôï äéÜóôçìá [ ]0,2π éó÷ýåé ηµθ α= êáé ëýíïõìå ôçí åîßóùóç
ηµx ηµθ= . ÕðÜñ÷ïõí ðÜíôïôå äýï ãùíßåò 1 2θ ,θ óôï [0,2π] ,ôÝôïéåò þóôå ηµθ α= .
Áí 0 α 1≤ < õðÜñ÷ïõí äýï ãùíßåò 1 2θ ,θ óôï [0,π] ,ôÝôïéåò þóôå ηµθ α= .
¸óôù 1 2
π0 θ θ π
2≤ < < ≤ , ôüôå Ý÷ïõìå:
• 1 2
ηµx α ηµθ θ x θ> = ⇔ < < (êüêêéíï ôüîï óôï åðüìåíï ó÷Þìá)
Oι γωνίες µε συνηµίτονο
µεγαλύτερο του α είναι
αυτές που η τελική τους
πλευρά καταλήγει στο
γκρί τόξο
Oι γωνίες µε συνηµίτονο
µικρότερο του α είναι
αυτές που η τελική τους
πλευρά καταλήγει στο
µαύρο τόξο
Ïé ãùíßåò ìå óõíçìßôïíï
ìåãáëýôåñï ôïõ á åßíáé áõôÝò
ðïõ ç ôåëéêÞ ôïõò ðëåõñÜ
êáôáëÞãåé óôï ìðëÝ ôüîï.
Ïé ãùíßåò ìå óõíçìßôïíï
ìéêñüôåñï ôïõ á åßíáé áõôÝò
ðïõ ç ôåëéêÞ ôïõò ðëåõñÜ
êáôáëÞãåé óôï êüêêéíï ôüîï.
109ÂáóéêÝò ôñéãùíïìåôñéêÝò åîéóþóåéò
ÂÁÓÉÊÅÓ
ÔÑÉÃÙÍÏÌÅÔÑÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ
• ηµx α ηµθ< = ⇔2 1θ x 2π ή 0 x θ< ≤ ≤ < (ìðëÝ ôüîï óôï åðüìåíï ó÷Þìá É)
åíþ áí åßíáé 1 α 0− < ≤ , ðÜëé õðÜñ÷ïõí äýï ãùíßåò 1 2θ ,θ óôï [π,2π],ôÝôïéåò þóôå ηµθ α= .
¸óôù 1 2
3ππ θ θ 2π
2≤ < < ≤ , ôüôå Ý÷ïõìå:
• 1 2
ηµx α ηµθ θ x θ< = ⇔ < < (êüêêéíï ôüîï óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá ÉÉ)
• ηµx α ηµθ> = ⇔2 1θ x 2π ή 0 x θ< ≤ ≤ < (ìðëÝ ôüîï óôï åðüìåíï ó÷Þìá ÉÉ)
ÅéäéêÜ áí á = 0 Þ á = - 1 Þ á = 1 Ý÷ïõìå è = ð Þ 2ð , è = 3ð/2 , è = ð/2 áíôßóôïé÷á.
ð.÷ Ãéá ôçí áíßóùóç: ( )3
ηµx 12
≥
ìå x [0,2π]∈ , Ý÷ïõìå: 3 π π π 2π
ηµx ηµ x ή x π2 3 3 3 3
2π= = = ηµ ⇔ = = − =
3.
( åäþ ïé è1,è
2 åßíáé ïé ð/3 êáé 2ð/3).
ÅðïìÝíùò ìå x [0,2π]∈ ç ëýóç ôçò (1) åßíáé π 2π
x3 3≤ ≤ êáé
ãåíéêÜ üëåò ïé ëýóåéò åßíáé ïé
π 2π2kπ ,2kπ , όπου k Z
3 3
+ + ∈
.
1
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:3
ηµx2
=
Ëýóç
ÅðåéäÞ π 3
ηµ3 2= ìéá ëýóç ôçò åîßóùóçò åßíáé
ôï 3
π. ÅðïìÝíùò üëåò ïé ëýóåéò ôçò ðáñáðÜíù
åîßóùóçò äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò: π
x 2κπ3
= + ,
πx 2κπ π
3= + − , üðïõ κ Z∈ .
ó÷Þìá ÉÉó÷Þìá É
110 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 9
2 Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç: 3ηµx συνx 1+ =
Ëýóç
¸íáò ôñüðïò ëýóçò ôçò åîßóùóçò αηµx βσυνx γ+ = ,
áí αβγ 0≠ åßíáé êáé ï åîÞò:
Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ìå ôï â êáé Ý÷ïõìå:
α γηµx συνxβ β
+ = (1)
ÅðåéäÞ õðÜñ÷åé π π
ω ,2 2
∈ −
Ýôóé þóôå α
εφωβ
=
ç (1) ãßíåôáé:
γ ηµω γεφωηµx συνx ηµx συνx
β συνω β+ = ⇔ + = ⇔
γηµωηµx συνxσυνω συνω
β⇔ + = ⇔
( )γ
συν x ω συνωβ
− =
Ç ôåëåõôáßá åîßóùóç Ý÷åé ëýóç, áí êáé ìüíïí áí,
γσυνω 1β
≤ ðïõ éóïäõíáìåß ìå 2 2 2α β γ+ ≥ , ðïõ
åßíáé ç éêáíÞ êáé áíáãêáßá óõíèÞêç ãéá íá Ý÷åé
ëýóç ç áñ÷éêÞ.
ÅðåéäÞ π
εφ 33= ç åîßóùóç ãßíåôáé:
πηµ
π 3εφ ηµx συνx 1 ηµx συνx 1π3
συν3
+ = ⇔ + = ⇔
π π πηµ ηµx συνx συν συν3 3 3
+ = ⇔
π πx 2κπ
π π 3 3συν x συν , κ Ζ
π π3 3x 2κπ3 3
− = +
− = ⇔ ∈
− = −
¢ñá 2π
x 2κπ3
= + Þ x 2κπ= , κ Ζ∈ .
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Â118. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
π 3συν x
4 2
− − =
.
Â119. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
πηµ 3x 1
4
− =
.
Â120. Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
22ηµ x 3ηµx 2 0+ − = .
Â121. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò
á. ( ) ( )( )2
2ηµx 1 4 1 ηµx 2ηµx 1 0+ − − + =
â. 2
συν2x2
= ìå [ ]x 0,2π∈ .
Â.122 Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. π
ηµ 2x συνx6
+ =
â. 2 2εφ x σφ x 0− =
Â123. á.Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò
1 2
συνx , ηµx2 2
° = ° = êáé εφx 3° = −
â. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò
i. 2συν4x 3> ii. εφx 1>
iii. ηµx 0≥ iv. συνx 1> −
v. 2συνx 3≤
111åêèåôéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò
ÅÊÈÅÔÉÊÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ
ÉÉ. ÌïñöÞ
( )f xα β=
üðïõ ( )f x
óõíÜñôçóç ôïõ ÷
êáé α,β 0> ìå
α 1≠ .
É. ÌïñöÞ
xα β,= ìå
α,β 0> êáé
α 1≠ .
Á. ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ
ÅêèåôéêÞ åîßóùóç ïíïìÜæïõìå êÜèå åîßóùóç ðïõ óå Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôá ìÝëç ôçò åìöáíßæåôáé ï
Üãíùóôïò x Þ êÜðïéá óõíÜñôçóç ôïõ áãíþóôïõ óå åêèÝôç äýíáìçò ìå âÜóç èåôéêü áñéèìü.
Åðßëõóç ôçò åêèåôéêÞò åîßóùóçò ëÝìå ôçí åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôùí ëýóåþí ôçò, äçëáäÞ ôéò ôéìÝò ôïõ
áãíþóôïõ ðïõ ôçí åðáëçèåýïõí.
Ïé åêèåôéêÝò åîéóþóåéò Ý÷ïõí Þ êáôáëÞãïõí ìåôÜ áðü ðñÜîåéò óå ìéá áðü ôéò ðáñáêÜôù ìïñöÝò:
Êáé åäþ äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò. ÁíÜëïãá áí ôï â ìðïñåß íá åßíáé Þ íá ìçí
åßíáé äýíáìç ôïõ á.
1ç ðåñßðôùóç:
ð.÷.2 2x 5x 11 x 5x 11 52 32 2 2
− + − += ⇔ = ⇔ 2
x 5x 11 5− + = ⇔
2x 5x 6 0 x 2 ή x 3⇔ − + = ⇔ = =
ÁõôÝò åßíáé êáé ïé ñßæåò ôçò áñ÷éêÞò åîßóùóçò.
ð.÷. 3 2x 3 2x 06 1 6 6
− −= ⇔ = ⇔ 3 2x 0 2 x 3− = ⇔ =
3 3x x
2 2⇔ = ⇔ = ±
Ãéá ôçí åðßëõóç áõôÞò äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò:
1ç ðåñßðôùóç:
Áí ï â åßíáé äýíáìç ôïõ á Þ ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á.
x x κα β α α x κ= ⇔ = ⇔ =
ð.÷. x x 43 81 3 3 x 3= ⇔ = ⇔ =
2ç ðåñßðôùóç:
Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí
ïñéóìü ôùí ëïãáñßèìùí ðïõ èá äïýìå ðáñáêÜôù.
xα β x ...= ⇔ =
ÅêèåôéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéòÂ.10
III. ÌïñöÞ
áf(x) = âg(x)
ìå f, g
óõíáñôÞóåéò ôïõ
x êáé á,â>0
êáé
äéÜöïñïé ôïõ 1.
• Áí ï â ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x kg xα β α α f x kg x ...= ⇔ = ⇔ = ⇔
ð.÷.x 1 x 1
32x 4 2x 4x 2 x 227 3 3 3
+ +
− −− −= ⇔ = ⇔ ( )2x 1
3 2x 4 3x 3 2 x 2x 2
+= − ⇔ + = −
−
22x 8x 8 3x 3⇔ − + = +
22x 11x 5 0⇔ − + = ⇔
( )1
2 x x 5 02
⇔ − − = ⇔
1x 0 ή x 5 02
− = − = ⇔1
x ή x 52
= =
• Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü
ôùí ëïãáñßèìùí ðïõ èá äïýìå ðáñáêÜôù.
112 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 10
ð.÷. ( )x x9 4 3 3 0 1− ⋅ + = . ÈÝôïõìå x
3 ω 0= > ïðüôå ( ) ( ) ( )x 2
2 x 2g x 3 3 ω= = =
Ôüôå: ( ) 21 ω 4ω 3 0 ω 1 ή ω 3⇔ − + = ⇔ = =
¢ñá x x 03 1 3 3 x 0= ⇔ = ⇔ = , x
3 3 x 1= ⇔ =
ÉV. ÌïñöÞ
f(áx) = g(áx),
ìå á > 0
ìå á ≠≠≠≠≠ 1.
• Ãéá íá ëýóïõìå åîßóùóç áõôÞò ôçò ìïñöÞò âãÜæïõìå êïéíü ðáñÜãïíôá ôï xα
Þ èÝôïõìå xα ω 0= > êáé ç åîßóùóç ìåôáôñÝðåôáé óå ðïëõùíõìéêÞ åîßóùóç ùò
ðñïò ù.
ð.÷. ( )x 2 x x 1 x 23 5 3 3 3 128 2
+ − −+ ⋅ + − =
x 2 x x 1 x 23 5 3 3 3 128
+ − −+ ⋅ + − = ⇔ x 2 21
3 3 5 3 1283
− + + − = ⇔
x x1283 3 9 x 2
128
9
⇔ = ⇔ = ⇔ =
V. ÌïñöÞ
f(áx) = g(âx),
ìå f, g
óõíáñôÞóåéò ôïõ
÷ êáé á,â>0
äéÜöïñïé ôïõ 1
êáé
á ≠≠≠≠≠ â.
• Äéáéñïýìå ìå xβ êáé áíÜãåôáé óå ðñïçãïýìåíç ìïñöÞ.
ð.÷. x 4 x 2 x 1 x 33 2 5 2 6 5
− − − −⋅ − = − ⋅
Ðáñáôçñïýìå üôé Ý÷ïõìå äõíÜìåéò ôïõ 2 êáé ôïõ 5.
Äéáéñïýìå ìå x5
x 4 x 2 x 1 x 3
x x x
2 5 2 53 6
55 5 5
− − − −
− = − ⇔
x x
4 2 3
2 1 1 2 1 13 65 5 22 5 5
⋅ ⋅ − = − ⋅ ⇔
x3 1 2 1 6
16 2 5 25 125
⇔ − = − ⇔
x10 2 1
32 5 125
− − =
x 42 32 2
x 45 1250 5
= = ⇔ =
VI. ÌïñöÞ
(f(x))g(x) = 1,
ìå f, g
óõíáñôÞóåéò ôïõ
÷ êáé
f (x)>0
• ( )( )( )
( )
( ) ( )
g x
f x 1
f x 1 ή
g x 0 και f x 0
=
= ⇔
= >
ð.÷. ( ) ( )2x 3x
2x 2x 2 1 1
−
+ − =
( )
( )
( ) ( ) ( )
2x 2x 2 1 2
1 ή
g x 0 και f x 0 3
+ − =
⇔
= >
åßíáé 2 2x 2x 2 1 x 2x 3 0 x 1 ή x 3+ − = ⇔ + − = ⇔ = = −
êáé ( ) ( ) 23 x x 3 0 και x 2x 2 0⇔ − = + − > ⇔
x 0 ή x 3 και⇔ = = x 1 3 ή x 1 3< − − > − + . TåëéêÜ x 3= .
113åêèåôéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò
ÅÊÈÅÔÉÊÅÓ
ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ - ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ
4
2
1 Íá åðéëõèåß ç åîßóùóç:
⋅x 2 x x 1 x 23 5 3 3 3 128
+ − −
+ + − =
Ëýóç
Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:
x x
x 2 x 3 33 3 5 3 128
3 9⋅ + ⋅ + − =
ÈÝôïõìå x3 y= êáé ðáßñíïõìå ôçí åîßóùóç:
y y9y 5y 128 128y 1.152 y 9
3 9+ + − = ⇔ = ⇔ =
Ôüôå x 23 9 3 x 2= = ⇔ =
Íá åðéëõèåß ç åîßóùóç:
x 4 x 1 x 2 x 33 2 2 5 6 5
− − − −
− = −⋅ ⋅
Ëýóç
Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé:
x x x x
4 2 3
2 2 5 53 6
22 5 5⋅ − = − ⋅
x x3 1 1 62 5
16 2 25 125
− = ⋅ −
x2 16
5 625
=
Þ
x 42 2
5 5
=
Þ x 4=
Íá åðéëõèåß ç åîßóùóç:
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
B. ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ
Ãéá ôçí åðßëõóç áíéóþóåùí óôçñéæüìáóôå óôç ìïíïôïíßá ôçò åêèåôéêÞò óõíÜñôçóçò.
i. Ìå 0 α 1< < :
( ) ( ) ( ) ( )f x g xα α f x g x> ⇔ < Þ ( ) ( ) ( ) ( )f x g xα α f x g x< ⇔ >
üðïõ ( )f x , ( )g x óõíáñôÞóåéò ôïõ x.
ii. Ìå α 1> :
( ) ( ) ( ) ( )f x g xα α f x g x> ⇔ > Þ ( ) ( ) ( ) ( )f x g xα α f x g x< ⇔ <
Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò áíáãüìáóôå óå ìßá ðïëõùíõìéêÞ, êëáóìáôéêÞ, ôñéãùíïìåôñéêÞ ê.ô.ë.
áíßóùóç ç ïðïßá ëýíåôáé êáôÜ ôá ãíùóôÜ.
x x 2x 13 9 5 6 2 0
+
− + =⋅ ⋅ (1)
Ëýóç
Ç åîßóùóç (1) ãñÜöåôáé
2x x x 2x2 2 5 2 3 3 3 0⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =
Äéáéñïýìå êáé ôá äýï ìÝëç ìå 2x3 êáé ðáßñíïõìå
ôçí éóïäýíáìç åîßóùóç:
2x x2 2
2 5 3 03 3
⋅ − + =
(2)
ÈÝôïõìå:
x2
y3
=
, êáé ç (2) ãñÜöåôáé:
22y 5y 3 0− + = (3)
ðïõ Ý÷åé ñßæåò: 1 2
3y , y 1
2= = .
¢ñá ç (2), óõíåðþò êáé ç (1) éóïäõìáìåß ìå ôéò
åîéóþóåéò:
x 1 x 02 3 2 2 2
, 13 2 3 3 3
−
= = = =
Áðü ôéò ïðïßåò ðáßñíïõìå ÷ = -1 , ÷ = 0.
Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
á. x x 1
x 2 x
45 73 3
3 3
−
++ > + ,
â. 2x 2x 2 x 1 x3 2 11 4 9
+ −− < ⋅ −3
114 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 10
5Ëýóç
á. Åßíáé:
x
x x 1 x
x 2 x x x
45 7 3 5 73 3 3
33 3 3 3
−
++ > + ⇔ + > + ⇔
x x 3 1x 1 1 x
x x
4 3 12 3 33 3
3 33 3
>− −
⋅> ⇔ > ⇔ > ⇔
x 1 1 x 2x 2 x 1⇔ − > − ⇔ > ⇔ >
â. 2x 2x 2 x 1 x
x x x x
3 2 11 4 9
119 9 4 4 4
4
+ −− < ⋅ − ⇔
⇔ + < ⋅ + ⋅ ⇔
x x x x272 9 4 8 9 27 4
4⇔ ⋅ < ⋅ ⇔ ⋅ < ⋅ ⇔
x 2x 39 27 3 3
4 8 2 2
⇔ < ⇔ < ⇔
3/ 2 1
32x 3 x
2>
⇔ < ⇔ <
Íá ëõèåß ôï óýóôçìá: x y
x y
3 4 13
9 16 65
+ =
− =
Ëýóç
Áí èÝóïõìå x3 ω= ,
y4 φ= ôüôå ôï óýóôçìá ãñÜ-
öåôáé:
( ) ( )
x y
x y
ω φ 133 4 13
ω φ ω φ 659 16 65
+ = + = ⇔ ⇔
+ ⋅ − =− =
( )
ω φ 13 ω φ 13
ω φ 513 ω φ 65
+ = + = ⇔ ⇔ ⇔
− =− =
x 2
y
2ω 18 ω 9 3 3 x 2
2φ 8 φ 4 y 14 4
= = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= = ==
Â124. Íá ëõèïýí ïé åêèåôéêÝò åîéóþóåéò:
3. x 1 x x 1 x 33 2 3 2
+ − +− = +
4. 2x 1 x x3 5 6 2 4 0
+− ⋅ + ⋅ = ,
7. x 4 x 2 x 1 x 3
3 2 5 2 6 5− − − −
⋅ − = − ⋅
Â125. Íá åðéëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
4. x x2 9 4 3 6 0⋅ − ⋅ − =
5. x 1 x x 1 x 33 2 3 2+ − +− = +
6. ( )2
2x 10x2x 7x 10 1
−
− + = (1)
9.
1 xx 1
2x 1 x 2 22 3 4 9 0+ +
−− + + =
10. x x x2 4 3 9 5 6⋅ + ⋅ = ⋅
Â126. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
1.
x 1
2x 4x 227 3
+
−− <
2.1 1 1
x x x2x 12 2 23 2 4 3
+ + −−+ > −
3. x xe e 0−− <
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
4. ( )3x 2
8 4x18 54 2−
− <
Â127. Íá ëõèïýí ôá åêèåôéêÜ óõóôÞìáôá:
1.
x y
x 1 y 2
3 2 5 77
3 5 544+ +
+ ⋅ = − + =
5.
x y
3 2
x y
x y
=
=
6. ( )
x
x
x y 2
3 x y 1296
+ =
+ =
Â128. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i.
2x 2
x1
e 0e
−
− >
ii.
2x 2
x1
e 0e
−
− <
Â129. Íá ëõèåß ç áíßóùóç:
2x x 13 28 3 3 0−− ⋅ + ≥
115ëïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò - óõóôÞìáôá
ËÏÃÁÑÉÈÌÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ -
ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ - ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ
Åðßëõóç
Ëïãáñéèìéêþí
Åîéóþóåùí -
Áíéóþóåùí
ËïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò - óõóôÞìáôáÂ.11
Á. Åîéóþóåéò
Ãéá íá ëýóïõìå ìéá ëïãáñéèìéêÞ åîßóùóç óôçñéæüìáóôå óôçí éóïäõíáìßá:
( ) ( ) ( ) ( )α α
log f x log g x f x g x= ⇔ =
üðïõ 0 α 1< ≠ êáé f(x) , g(x) óõíáñôÞóåéò ôïõ x.
Óôï ôÝëïò äå÷üìáóôå ôéò ëýóåéò ðïõ éêáíïðïéïýí ôïõò ðåñéïñéóìïýò ðïõ
èÝôïõìå ðÜíôïôå óôçí áñ÷Þ ðïõ åßíáé ïé :
( ) ( )f x 0 και g x 0> >
Â. Áíéóþóåéò
Ãéá íá ëýóïõìå ìßá ëïãáñéèìéêÞ áíßóùóç óôçñéæüìáóôå óôçí éóïäõíáìßá:
á. Áí 0 α 1< < : ( ) ( ) ( ) ( )α α
log f x log g x f x g x< ⇔ > (1)
â. Áí α 1> : ( ) ( ) ( ) ( )α α
log f x log g x f x g x< ⇔ < (2)
üðïõ α 0> êáé α 1≠ êáé f(x), g(x) óõíáñôÞóåéò ôïõ x.
Óôï ôÝëïò óõíáëçèåýïõìå ôéò ëýóåéò ðïõ éêáíïðïéïýí ôïõò ðåñéïñéóìïýò
ðïõ èÝôïõìå ðÜíôïôå óôçí áñ÷Þ ðïõ åßíáé ïé :
( ) ( )f x 0 και g x 0> >
ìå áõôÝò ðïõ ðñïêýðôïõí áðü ôéò (1) Þ (2).
ÐáñáôÞñçóç
Ãéá íá ëýóïõìå ìßá ëïãáñéèìéêÞ åîßóùóç Þ áíßóùóç ðñïóðáèïýìå íá ôç öÝñïõìå óå
áðü ôéò ðáñáðÜíù ìïñöÝò, Á Þ Â, ìå óõíÝðåéá ôï ðñüâëçìá íá áíÜãåôáé óôçí åðßëõóç
ðïëõùíõìéêþí, ñçôþí, Üññçôùí, ôñéãùíïìåôñéêþí åîéóþóåùí Þ áíéóþóåùí ðïõ
áíôéìåôùðßæïíôáé ìå ãíùóôü ôñüðï.
ÃåíéêÜ ëïãáñéèìßæïõìå üôáí Ý÷ïõìå Üãíùóôï óôïí åêèÝôç .
ð.÷ ln x 1 2 ln xx e , x e
−= < .
Ðñïóï÷Þ óôç ÷ñÞóç éäéïôÞôùí,ð.÷ 2
ln x 2ln x= êáé ü÷é 2
ln x 2 ln x= .
116 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 11
ÅêèåôéêÝò åîéóþóåéò ðïõ ëýíïíôáé ìå ôç ÷ñÞóç ëïãáñßèìùí
á. ÌïñöÞxα β=
Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü
ôùí ëïãáñßèìùí
x
αα β x log β= ⇔ =
ð.÷ x
22 7 x log 7= ⇔ =
â. ÌïñöÞ( )f x
α β=
Áí ï â äåí ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå äýíáìç ôïõ á, ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ïñéóìü
ôùí ëïãáñßèìùí
( ) ( )f x
αα β f x log β= ⇔ =
ð.÷5x 1
5 5
5
x 1 log 35 3 x 1 log 3 x 1 log 3
x 1 log 3
−= +
= ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = − −
ã. ÌïñöÞ( ) ( )f x g xα β=
ìå f ,g óõíáñôÞóåéò ôïõ x êáé α,β 0> êáé äéÜöïñïé ôïõ 1.
Áí ï â äåí åßíáé äýíáìç ôïõ á, ôüôå:
( ) ( ) ( ) ( )f x g xα β f x logα g x logβ= ⇔ =
ð.÷.
( )2x 3x 4 23 2 x 3x log3 4log 2
+= ⇔ + = ( ) ( ) ( )2
log3 x 3log3 x 4log2 0 1⇔ − − =
Åßíáé ( )2
∆ 3log3 16log 2log3 0= + > ïðüôå ïé ñßæåò ôçò (1) åßíáé:
( )2
3log3 3log3 16log 2log3x
2log3
± +=
Ã. ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ
Ëïãáñéèìéêü óýóôçìá ëÝìå ôï óýóôçìá,üðïõ ç ìßá ôïõëÜ÷éóôïí áðü ôéò
åîéóþóåéò ôïõ åßíáé ëïãáñéèìéêÞ.
Ãéá íá ôï åðéëýóïõìå åöáñìüæïõìå ôéò éäéüôçôåò ôùí ëïãáñßèìùí, áöïý
ôåèïýí ïé ðåñéïñéóìïß êáé êáôáëÞãïõìå óå Ýíá óýóôçìá ãñáììéêþí åîéóþ-
óåùí.
Åðßëõóç
åêèåôéêþí
Åîéóþóåùí
(ìå ÷ñÞóç
ëïãáñßèìùí)
117ëïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò - áíéóþóåéò - óõóôÞìáôá
ËÏÃÁÑÉÈÌÉÊÅÓ ÅÎÉÓÙÓÅÉÓ -
ÁÍÉÓÙÓÅÉÓ - ÓÕÓÔÇÌÁÔÁ
3
2
1 Íá ëõèïýí ïé ëïãáñéèìéêÝò åîéóþóåéò:
á. ( ) ( )2log 4x 1 2log 2 log x 1− = + − (1)
â. ( ) ( ) ( )n x 1 n 2x 4 2 n x 2− + + = +� � � .
Ëýóç
á. Ç (1) åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:
( ) ( ){ 2 24x 1 0, x 1 0, log 4x 1 log 4 x 1− > − > − = −
Ç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé éóïäõíá-
ìåß ìå:
( )24x 1 4 x 1− = − ⇔
2
1 2
3 14x 4x 3 0 x , x
2 2⇔ − − = ⇔ = = −
Áð’áõôÝò ìüíï ç ðñþôç éêáíïðïéåß êáé ôéò
äýï áíéóþóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò .
¢ñá ç åîßóùóç (1) Ý÷åé ìéá ìüíï ñßæá, ôçí:
3x
2=
â. Åßíáé ( ) ( ) ( )n x 1 n 2x 4 2 n x 2− + + = +� � � (1).
ÐñÝðåé
x 1 0 x 1
2x 4 0 x 2
x 2 0 x 2
− > >
+ > ⇔ > − + > > −
. ¢ñá x 1> .
Ç (1) ãñÜöåôáé éóïäýíáìá :
( )( )[ ] ( )2n x 1 2x 4 n x 2− + = + ⇔� �
( )( ) ( )2x 1 2x 4 x 2− + = + ⇔
( )( ) ( )2x 1 2x 4 x 2 0− + − + = ⇔
( ) ( ) ( )[ ]x 2 2 x 1 x 2 0+ − − + = ⇔
( )( )
x 2 απορρίπτεται
x 2 x 4 0 ή
x 4 δεκτή
= −
+ − = ⇔ =
Íá ëõèåß ç ëïãáñéèìéêÞ åîßóùóç:
( )1log x 2 log x 3 1 log 32
+ + − = + (1)
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Ëýóç
ÅðåéäÞ ( )1log x 2 log x 22
+ = + êáé 1 log10=
ç (1) åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:
( ) ( )
x 2 0 , x 3 0 ,
log x 2 x 3 log 10 3
+ > − >
+ ⋅ − = ⋅
(2)
Ïé äýï ðñþôåò ó÷Ýóåéò ôïõ óõóôÞìáôïò (2) óõ-
íáëçèåýïõí ãéá: x 3> (3)
Ç åîßóùóç ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé éóïäýíáìç ìå
ôçí: ( ) ( )
( )( ) 2
x 2 x 3 10 3
x 2 x 3 300 x x 306 0
+ ⋅ − = ⋅ ⇔
⇔ + − = ⇔ − − =
Áðü ôçí ôåëåõôáßá åîßóùóç âñßóêïõìå:
1 2x 18 , x 17= = −
Ç ðñþôç áðü ôéò ðáñáðÜíù éêáíïðïéåß ôçí (3),
óõíåðþò ç (1) Ý÷åé ëýóç ôçí x 18= .
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
log γ xx 10= (1)
Ëýóç
Ç (1) åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:
{ }log xx 0 και x 100> = (2)
( )
log x log x
2
x 100 log x log100
1log x 2 log x 2 ή log x 2
2
= ⇔ = ⇔
= ⇔ = = −
Áðü ôçí åîßóùóç log x 2= Ý÷ïõìå:
log x 2 log100= = Üñá, x 100=
Áðü ôçí åîßóùóç log x 2= − Ý÷ïõìå:
log x 2 log0,01= − = Üñá x 0,01=
¢ñá ïé ëýóåéò ôçò (1) åßíáé: { }2 210 , 10
−
118 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 11
5
4
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
B130. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. ( )2log log 2x x 11 0 + − =
â. log x 5 log x2 2 12
−+ =
ã. ( )x xlog 2 2 3 log81 x log3 log178+ ⋅ + = ⋅ +
ä. 2 42 2 2
log x log x log x log x 54⋅ ⋅ ⋅ =
B131. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò
á. ( ) 31
2 og x 2 ogx og x2
− = −� � �
â.1 1 5
nx nx nx2 2 22 2 2 11
− + +
+ + =� � �
B132. Íá ëõèåß ç áíßóùóç x 1
og 1x 2
−>
+� .
B133. i. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷
( )2
5xlog 2x x 1 R+ + ∈ ;
ii. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷ 1 xn R2 x
−∈
+� ;
B134. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷:
i. ( )3
x 4og2x 1 R+− ∈� ;
ii.
xnx 1
Rnx 1
− ∈
+
�
�;
B135. Íá ëõèïýí ïé áíéóþóåéò:
i. ( )21 3
og x 5x 1 0+ − >�
ii. ( )x xog 2 2 3 og81 x og3 og178+ ⋅ + > +� � � �
B136. Íá ëõèåß ç åîßóùóç
( )[ ]2n n x x e 0− + =� �
B137. Ãéá ðïéÝò ôéìÝò ôïõ ÷ :
( )2og 3x 2x R− ∈� ;
B138. Íá ëýóåôå ôá óõóôÞìáôá:
i.nx ny 2
x 2y 10
− =
+ =
� � iv.
2 2
ogx ogy og2
3x 2y 10
+ =
+ =
� � �
6
Íá ëõèåß ç åîßóùóç:
3 9log x log x 2=⋅ (1)
Ëýóç
ÅðåéäÞ 29 33
1log x log x log x
2= = ç (1) åßíáé é-
óïäýíáìç ìå ôï óýóôçìá:
( ){ }2
3
1x 0 , log x 2
2> = (2)
ÅðåéäÞ ( )2
3log x 4= ôï óýóôçìá (2)éóïäõíáìåß
ìå ôá óõóôÞìáôá:
{ }3x 0 , log x 2> = êáé { }3
x 0 , log x 2> = −
Áðü ôá ðáñáðÜíù óõóôÞìáôá, âñßóêïõìå
2 2x 3 και x 3−= =
Íá ëõèåß ç áíßóùóç: log 2 x log x− <
Ëýóç
Åßíáé:
2
2 x 00 x 2
log 2 x log x x 02 x x
2 x x
− >< <− < ⇔ > ⇔ ⇔− <
− <
2
0 x 2 0 x 21 x 2
x 2 ή x 1x x 2 0
< < < < ⇔ ⇔ ⇔ < <
< >+ − >
Íá ëõèåß ôï óýóôçìá:
{ }log x log y log14, 3x y 1+ = − = (1)
Ëýóç
Ìå x êáé y èåôéêÜ , ç ðñþôç åîßóùóç ôïõ óõóôÞ-
ìáôïò ãñÜöåôáé:
( )log x y log14 x y 14⋅ = ⇔ ⋅ =
ïðüôå ôï (1) éóïäõíáìåß ìå ôï óýóôçìá:
{ }3x y 1 , xy 14− = = (2)
Áðü ôï óýóôçìá (2) åðåéäÞ x 0, y 0> > âñßóêïõ-
ìå: ( )7
x, y , 63
=
ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò 119
H ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
Ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò
Áí ïé ôéìÝò åíüò ìåãÝèïõò y åîáñôþíôáé ìå ìïíáäéêü ôñüðï áðü ôéò ôéìÝò åíüò
Üëëïõ ìåãÝèïõò x ôüôå ëÝìå üôé:
“Ôï y åßíáé óõíÜñôçóç ôïõ x”
H ìåôáâëçôÞ y ëÝãåôáé åîáñôçìÝíç åðåéäÞ ïé ôéìÝò ôçò åîáñôþíôáé áðü ôï x åíþ
ç ìåôáâëçôÞ x ëÝãåôáé áíåîÜñôçôç.
Èá áó÷ïëçèïýìå ìå óõíáñôÞóåéò üðïõ ç ìåôáâëçôÞ x ðáßñíåé ôéìÝò áðü Ýíá
óýíïëï Á õðïóýíïëï ôïõ ( )R A R⊆ êáé ç ìåôáâëçôÞ y áðü Ýíá óýíïëï Â
õðïóýíïëï ôïõ ( )R B R⊆ . ÅðïìÝíùò áõôÝò ôéò óõíáñôÞóåéò ôéò ëÝìå ðñáã-
ìáôéêÝò (áöïý y R∈ ) ðñáãìáôéêÞò ìåôáâëçôÞò (áöïý x R∈ ).
Óýìöùíá ìå ôá ðáñáðÜíù ìðïñïýìå íá äéáôõðþóïõìå ôïí åðüìåíï ïñéóìü:
Ïñéóìüò ôçò óõíÜñôçóçò
ÏíïìÜæïõìå ðñáãìáôéêÞ óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý Ýíá óýíïëï A R⊆ ôç äéáäéêáóßá ìå ôçí
ïðïßá êÜèå x A∈ áíôéóôïé÷ßæåôáé óå Ýíá ìüíï y B R∈ ⊆ êáé óõìâïëßæåôáé óõíÞèùò ìå f, g, h, . .
. ê.ë.ð.
Ç ó÷çìáôéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f öáßíåôáé óôï åðüìåíï ó÷Þìá:
Ôï óýíïëï A R⊆ áðü ôï ïðïßï ðáßñíåé ôéìÝò ç ìåôáâëçôÞ x, ëÝãåôáé ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñ-
ôçóçò f, åíþ ôï óýíïëï B R⊆ áðü ôï ïðïßï ðáßñíåé ôéìÝò ç ìåôáâëçôÞ y ïíïìÜæåôáé óýíïëï
(ðåäßï) ôéìþí ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå f(A).
ÓõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå:
( )f : A B f A→ =
êáé åííïïýìå üôé ç f åßíáé ç óõíÜñôçóç ìå
ðåäßï ïñéóìïý ôï Á êáé óýíïëï ôéìþí ôï
( )f A R⊆ .
×ñçóéìïðïéïýìå åðßóçò ôïõò óõìâïëéóìïýò
D(f) êáé R(f) ãéá ôï ðåäßï ïñéóìïý êáé ôï
óýíïëï ôéìþí, ìéáò óõíÜñôçóçò, áíôßóôïé÷á.
Ç Ýííïéá ôçò
óõíÜñôçóçò
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1120
(σχήµα 1)
Ôýðïò
óõíÜñôçóçò
ÃñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç
ð.÷
Ç äéáäéêáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá óå êÜèå [ ]x 0,1∈ áíôéóôïé÷ßæåôáé ôï
äéðëÜóéü ôïõ, åßíáé óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï äéÜóôçìá
[ ]A 0,1= . ÊÜèå ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò, õðïëïãßæåôáé áðü ôçí éóüôçôá:
y 2x=
ÃñÜöïõìå óõíÞèùò ( )y f x 2x= = Þ áðëÜ ( )f x 2x= .
Ç ðáñáðÜíù éóüôçôá ëÝãåôáé ôýðïò ôçò óõíÜñôçóçò. Ìå ôïí ðáñá-
ðÜíù ôýðï ìðïñïýìå íá âñïýìå ôçí áíôßóôïé÷ç ôéìÞ ïðïéïõäÞðïôå
[ ]x 0,1∈ .
Ãéá ðáñÜäåéãìá • áí x 0= ôüôå ( )f 0 2 0 0= ⋅ =
• áí 1
x2
= ôüôå 1 1
f 2 12 2
= ⋅ =
, (ó÷Þìá 1)
Áí ìéá óõíÜñôçóç f : A R→ Ý÷åé ôçí ßäéá ôéìÞ ãéá êÜèå x A∈ ïíïìÜæåôáé óôáèåñÞ.
ð.÷. ç óõíÜñôçóç ìå ôýðï ( )f x 2= åßíáé óôáèåñÞ êáé ßóç ìå 2 , ãéá êÜèå x R∈ .
Ï ôýðïò ôçò óõíÜñôçóçò åßíáé ìéá ãåííÞôñéá äéáôåôáãìÝíùí æåýãùí ôçò ìïñ-
öÞò ( )( )x,f x ìåôÜ áðü ìßá óåéñÜ ðñÜîåùí ðïõ áêïëïõèïýí ôçí áíôéêáôÜóôá-
óç ôïõ x ìå ìéá óõãêåêñéìÝíç ôéìÞ.
Ï ôýðïò ìéáò óõíÜñôçóçò ìðïñåß íá Ý÷åé äéáöïñåôéêÝò åêöñÜóåéò ãéá êÜèå
ïìÜäá ôùí ôéìþí ôçò ìåôáâëçôÞò x.
ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ïíïìÜæïõìå ôï óýíïëï ôùí äéáôåôáã-
ìÝíùí æåõãþí ( )( )x,f x üôáí áðåéêïíßæåôáé óôï åðßðåäï, äçë. ìéá êáìðýëç (ãñáì-
ìÞ). Åßíáé ãíùóôü üôé êÜèå äéáôåôáãìÝíï æåýãïò (÷, y) Þ ( )( )x,f x ãåùìåôñéêÜ
- ãñáöéêÜ ðáñéóôÜíåé Ýíá óçìåßï óôï åðßðåäï ìå ôåôìçìÝíç x êáé ôåôáãìÝíç
( )y f x= êáé áíôßóôñïöá.
Áðü ôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá ôï Ó÷.1 åßíáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõíÜñôçóçò åíþ ôï
Ó÷.2 äåí åßíáé.
ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò 121
H ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
Ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ôçí ðåôõ÷áßíïõìå óå ðÜñá ðïëý óôïé÷åéþäåò åðßðåäï (ðñþôåò
ôÜîåéò ôïõ ãõìíáóßïõ) ìå ôç âïÞèåéá åíüò ðßíáêá ôéìþí.
¸íá äåýôåñï åðßðåäï (ðëçñÝóôåñçò ìåëÝôçò) áðïôåëïýí ôá óôÜäéá-âÞìáôá 1 - 10 ðïõ áíáðôýóïõìå óôç
óõíÝ÷åéá (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ Ëõêåßïõ) êáé ôï ôåëåõôáßï åðßðåäï (ðëÞñïõò ìåëÝôçò) ðåôõ÷áßíïõìå ìå ôçí
âïÞèåéá ôùí ïñßùí êáé ôùí ðáñáãþãùí. Èá áíáöÝñïõìå åðßóçò êÜðïéåò âáóéêÝò óõíáñôÞóåéò ôùí ïðïßùí
ôçí ðëÞñç ìåëÝôç - ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç èá Ý÷ïõìå äáíåéóôåß.
ÐáñáôÞñçóç:
1. ÕðÜñ÷ïõí óõíáñôÞóåéò ðïõ äåí Ý÷ïõí ôïí ßäéï ôýðï ãéá êÜèå x ðïõ áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò. Ïé
óõíáñôÞóåéò áõôÝò ëÝãïíôáé ðïëëáðëïý ôýðïõ Þ óõíáñôÞóåéò ìå êëÜäïõò.
Ãéá ðáñÜäåéãìá ( )ηµx, x 0
f xx 1,0 x 4
≤=
− < ≤
Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôçí ôéìÞ ôçò f óôï x 0= ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïí ðñþôï êëÜäï, äéüôé ôï x 0= áíÞêåé óôï
( ,0]−∞ åíþ ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôçí ôéìÞ ôçò f óôï x 2= ÷ñçóéìïðïéïýìå ôï äåýôåñï êëÜäï, äéüôé ôï
x 2= áíÞêåé óôï (0,4] . ¸ôóé Ý÷ïõìå:
( )f 0 ηµ0 0= = êáé ( )f 2 2 1 1= − =
ÐáñáôçñÞóôå üôé, üôáí ìéá óõíÜñôçóç äßíåôáé ìå ðïëëáðëü ôýðï, äßíåôáé áõôüìáôá êáé ôï ðåäßï ïñéóìïý
ôçò. ð.÷. ç ðñïçãïýìåíç óõíÜñôçóç Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï óýíïëï
A ( ,0] (0,4] ( , 4]= −∞ ∪ = −∞
2. Áðü ôïí ïñéóìü ðïõ äüèçêå ãéá ôç óõíÜñôçóç åßíáé öáíåñü üôé ç óõíÜñôçóç åßíáé ìéá ó÷Ýóç ìåôáîý äýï
ìåôáâëçôþí x êáé y, ç ïðïßá üìùò ðïôÝ äåí èá ìáò äþóåé äýï äéáöïñåôéêÝò ôéìÝò ôïõ y ãéá ôçí ßäéá ôéìÞ ôïõ x.
ÂëÝðå åðüìåíï äéÜãñáììá.
÷ ÷1
÷2
÷3
..... ֒
( )y f x= ( )1 1y f x= ( )2 2
y f x= ( )3 3y f x= .......... ( )ν ν
y f x=
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1122
ð.÷. ¸óôù ç ó÷Ýóç ( )T T t= , üðïõ t ï ÷ñüíïò êáé Ô ç èåñìïêñáóßá êÜèå óçìåßïõ ôïõ ÷þñïõ. Ç ðáñáðÜíù
ó÷Ýóç åßíáé óõíÜñôçóç, áöïý ðïôÝ äåí èá ìáò äþóåé äýï äéáöïñåôéêÝò èåñìïêñáóßåò ãéá ôï ßäéï óçìåßï
ôïõ ÷þñïõ ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t. Åíþ ç ó÷Ýóç 2y x= ìå x, y R∈ , äåí åßíáé óõíÜñôçóç, áöïý ãéá
ðáñÜäåéãìá áí x 4= ôüôå y 2= Þ y 2= − .
Áí ðÜñïõìå äýï êÜèåôá ôåìíüìåíïõò Üîïíåò óôï åðßðå-
äï, ðïõ Ý÷ïõí êïéíÞ áñ÷Þ ôï óçìåßï ôïìÞò Ï, ôüôå ëÝìå
üôé Ý÷ïõìå Ýíá êáñôåóéáíü óýóôçìá áíáöïñÜò óôï åðß-
ðåäï. Áí åðéðëÝïí ïé ìïíÜäåò ôùí áîüíùí Ý÷ïõí ôï ßäéï
ìÞêïò, ôï óýóôçìá Ïxy ëÝãåôáé ïñèïêáíïíéêü.
Áí (á, â) ôï æåýãïò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ðïõ áíôé-
óôïé÷ßæåôáé ó’ Ýíá óçìåßï Á ôïõ êáñôåóéáíïý åðéðÝäïõ ,
ôüôå ãñÜöïõìå Á(á, â) êáé ïíïìÜæïõìå:
• ôåôìçìÝíç ôïõ óçìåßïõ Á, ôïí áñéèìü á.
• ôåôáãìÝíç ôïõ óçìåßïõ Á, ôïí áñéèìü â.
Ôá á, â ïíïìÜæïíôáé óõíôåôáãìÝíåò ôïõ Á
Ôá óçìåßá ðïõ âñßóêïíôáé ðÜíù óôïí Üîïíá x´x Ý÷ïõí
ôåôáãìÝíç 0. ÄçëáäÞ åßíáé ôçò ìïñöÞò (á, 0). Ôá óçìåßá
ðïõ âñßóêïíôáé óôïí Üîïíá y’y Ý÷ïõí ôåôìçìÝíç 0.
ÄçëáäÞ åßíáé ôçò ìïñöÞò (0, â).
Ôá ðñüóçìá ôùí óõíôåôáãìÝíùí óå êÜèå Ýíá ôåôáñôç-
ìüñéï öáßíïíôáé óôï ó÷Þìá áñéóôåñÜ.
Êáñôåóéáíü
óýóôçìá
ÓõíôåôáãìÝíåò
óçìåßïõ
ç Ýííïéá ôçò óõíÜñôçóçò 123
H ÅÍÍÏÉÁ ÔÇÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
÷ 0 5 15 0
y 15 5 0 á2-10
3
2
1
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá åëÝãîåôå áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï ( ) ( )3f x x 1 4= − + ,
äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Á(1,0) êáé Â(2,5).
Ëýóç
Ãéá íá ðåñíÜåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðü ôá
óçìåßá Á êáé  ðñÝðåé ïé óõíôåôáãìÝíåò ôïõò íá
åðáëçèåýïõí ôïí ôýðï ôçò f äçë. íá äçìéïõñ-
ãïýí éóüôçôá áëçèÞ.
Åßíáé ( ) ( )3f x x 1 4= − + êáé Á(1,0) , Â(2,5).
Ãéá x 1= åßíáé ( ) ( )3f 1 1 1 4 4 0= − + = ≠ . ¢ñá ç
fC äåí äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(1,0).
Ãéá x 2= åßíáé
( ) ( )3 3f 2 2 1 4 1 4 1 4 5= − + = + = + = .
¢ñá ç fC äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Â(2,5).
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( )
3x 1 , x 1
4f x , 1 x 0
x
7 , x 0
− + < −
= − ≤ <
≥
Íá õðïëïãßóåôå ôá f(-5), f(-1), f(0), f(7).
Ëýóç
• Ãéá x 1< − ç Ýêöñáóç ôïõ ôýðïõ ôçò f åßíáé
( )1f x 3x 1= − + , ïðüôå
( ) ( ) ( ) ( )1
f 5 f 5 3 5 1 15 1 16− = − = − ⋅ − + = + =
• Ãéá 1 x 0− ≤ < ç Ýêöñáóç ôçò f åßíáé ( )2
4f x
x=
ïðüôå ( ) ( )2
4f 1 f 1 4
1− = − = = −
−.
• Ãéá x 0≥ ç Ýêöñáóç ôçò f åßíáé ( )3f x 7= ïðüôå
( ) ( )3
f 0 f 0 7= = êáé ( ) ( )3
f 7 f 7 7= = .
Âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ *
α+
∈� þóôå ï ðá-
ñáêÜôù ðßíáêáò ôéìþí íá ðñïÝñ÷åôáé áðü óõ-
íÜñôçóç
Ëýóç
Åßíáé ( )f 0 15= êáé ( ) 2f 0 α 10= − .
ÐñÝðåé
( ) ( )2 2α 10 15 α 25 0 α 5 α 5 0− = ⇔ − = ⇔ − ⋅ + =
α 5 0
ή α 5 ή α 5
α 5 0
− =
⇔ ⇔ = = − + =
ÅðåéäÞ *α+
∈� åßíáé α 5= .
B4
Á3
Á4
Á5
Á5
Á3
Ã1. Äßíåôáé óõíÜñôçóç f, ìå ( )f x 3x 1= + . Íá
âñåèïýí:
á. ( )f x 1− â. ( )f 2x 1+ ã. ( )2f 1 x−
Ã2. Íá ãñÜøåôå ÷ùñßò ôï óýìâïëï ôçò á-
ðüëõôçò ôéìÞò ôïõò ôýðïõò ôùí óõíáñ-
ôÞóåùí:
i. ( )f x 1 x x 1= − + −
ii. ( )f x 2x 1 3x 1= − + − (âë. áóê Á6.2)
iii. ( )f x x 2 1 x 3 x 1= − − − + − −
(âë. áóê B3.5)
Ã3. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç y 5x 2= − + , üðïõ
ôï x ðáßñíåé ôéò ôéìÝò -3, -1, 0, 2, 4.
Íá ãñáöôåß ï ðßíáêáò ôéìþí ôçò óõ-
íÜñôçóçò y.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1124
Ã4. Ç âÜóç åíüò ôñéãþíïõ ΑΒΓ å ßíáé
BΓ 12cm= êáé ôï ýøïò ôïõ Α∆ x= .
Íá åêöñáóôåß ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ
ùò óõíÜñôçóç ôïõ x êáé íá âñåèåß ç ôéìÞ
ôïõ åìâáäïý ãéá x 8= êáé x 10= .
Ã5. Ï ðáñáêÜôù ðßíáêáò åßíáé ï ðßíáêáò ôé-
ìþí ôçò óõíÜñôçóçò y κx λ= + . Íá
âñåèïýí ôá ê êáé ë.
÷ -2 -1 0 1 2
y -13 -10 -7 -4 -1
Ã6. Áí ( ) ( )f x α 1 x β= + + êáé
( ) ( ) 2 2f x 1 f 1 x α β 4+ + − ≥ + +
ãéá êÜèå x R∈ íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôùí
á,â.
Ã7. Áí ( )x , x 2
f x1 x , x 2
≤=
− >,
á. Íá âñåßôå ôá
( ) ( ) ( ) ( )f 2 , f 0 , f 1 , f 2 ,− ( ) ( )f 3 , f π
â. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç ( )f x 2= − .
ÌåëÝôç óõíÜñôçóçò
Ãéá ôç óôïé÷åéþäç ìåëÝôç ìéaò óõíÜñôçóçò áêïëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá:
1. Ðåäßï ïñéóìïý, Áf
2. Ðåñéïäéêüôçôá
3. Óõììåôñßåò : Üñôéá - ðåñéôôÞ
4. Óýíïëï ôéìþí, f(A)
5. Ìïíïôïíßá
6. 1-1
7. Áêñüôáôá
8. Ðïý ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
ôá ïðïßá áíáðôýóïíôáé áíáëõôéêÜ óôéò åðüìåíåò åíüôçôåò Ã1 - Ã10.
ìåëÝôç óõíÜñôçóçò 125
ÐÅÄÉÏ ÏÑÉÓÌÏÕ
Ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò ïíïìÜæåôáé ôï óýíïëï - õðïóýíïëï ôùí
ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ðïõ Ý÷åé ãéá óôïé÷åßá ôïõ ôéò ôéìÝò ðïõ åðéôñÝðåôáé íá
ðÜñåé ç ìåôáâëçôÞ x þóôå ç ìåôáâëçôÞ ( )y f x= íá åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò.
ÓõíÞèùò ôï óõìâïëßæïõìå f
A .
ÁíÜëïãá ëïéðüí ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò åðéâÜëëïõìå êáé ôïõò áíôßóôïé÷ïõò
ðåñéïñéóìïýò þóôå ( )f x R∈ êáé ðñïóäéïñßæïõìå êáô’áõôüí ôïí ôñüðï ôï
ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò.
Ãéá íá åßíáé “êáëþò ïñéóìÝíç” ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé áðáñáßôçôï íá
ãíùñßæïõìå ôñßá óôïé÷åßá:
• Áðü ðïéï óýíïëï “îåêéíÜåé” ç äéáäéêáóßá (ðåäßï ïñéóìïý)
• Ôïí “áêñéâÞ ìç÷áíéóìü” ôçò äéáäéêáóßáò (ôýðï ôçò f)
• Óå ðïéï óýíïëï “êáôáëÞãåé” (ðåäßï Þ óýíïëï ôéìþí)
¼ìùò, ðïëëÝò öïñÝò äßíåôáé ï ôýðïò ìéáò óõíÜñôçóçò ÷ùñßò íá äßíåôáé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.
Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ åííïåßôáé üôé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò åßíáé ôï åõñýôåñï õðïóýíï-
ëï ôïõ R ãéá ôï ïðïßï ï ôýðïò ðïõ äüèçêå Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý.
ÄçëáäÞ, ôï ðåäßï ïñéóìïý Á, áðïôåëåßôáé áðü åêåßíá ôá x R∈ , ãéá ôá ïðïßá ôï f (x) áíÞêåé åðßóçò
óôï R.
ÓõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå: ( )A {x R :για ταοποία y f x R}= ∈ = ∈
Óôç óõíÝ÷åéá ðïëëÝò öïñÝò èá ÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí ü÷é êáé ôüóï áêñéâÞ Ýêöñáóç ç óõíÜñôçóç:
( )2
2xy = f x =
x + 3x - 4
áíôß ôçò áêñéâïýò ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( )2
2xy = f x =
x + 3x - 4
Ðåäßï
Ïñéóìïý
Ðåäßï ÏñéóìïýÃ.1
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1126
Åýñåóç ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý
ÁíáöÝñáìå üôé, ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò ( )y f x= áðïôåëåßôáé áðü åêåßíïõò
ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò x ãéá ôïõò ïðïßïõò ï ôýðïò ðïõ äüèçêå Ý÷åé íüçìá
ðñáãìáôéêïý áñéèìïý. ÅðïìÝíùò, ãéá ôçí åýñåóç ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò
åðéâÜëëïõìå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôï x, þóôå ôï f(x) íá Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý.
¸ôóé, áí:
• ( ) ν ν 1
ν ν 1 1 0f x α x α x ... α x α−
−= + + + + , üðïõ
0 1 να ,α , ... ,α R∈ êáé ν Ν∈ , ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f
åßíáé ôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí äçë. ôï R.
• ( )( )
αf x ,α R,
Π x= ∈ üðïõ ( )Π x ðïëõþíõìï ôïõ x, ðñÝðåé ( )Π x 0≠ , ïðüôå ôï ðåäßï ïñéóìïý
ôçò f åßíáé ôï ( ){ }A x R εκτόςαπό τιςρίζες τουΠ x= ∈
• ( ) ( )νf x Π x= , üðïõ ( )Π x ðáñÜóôáóç ôïõ x, ν Ν, ν 2∈ ≥ ðñÝðåé ( ) ( )Π x 0, Π x R≥ ∈
ïðüôå ( ){ }A x R :για ταοποία Π x 0= ∈ ≥
• ( ) ( )f x lnΠ x ,= üðïõ ( )Π x ðáñÜóôáóç ôïõ x ðñÝðåé ( ) ( )Π x 0, Π x R> ∈
ïðüôå ( ){ }A x R :για ταοποία Π x 0= ∈ >
• ( ) ( )α
f x log φ x= , ðñÝðåé: ( )φ x 0 και 0 α 1> < ≠ ïðüôå ( ){ }A x R :φ x 0= ∈ >
• ( )( )
( )g x
f x log φ x ,= ðñÝðåé: ( ) ( )φ x 0,0 g x 1> < ≠
ïðüôå ( ) ( ){ }A x R :φ x 0και 0 g x 1= ∈ > < ≠
• ( ) ( )φ xf x α ,= ðñÝðåé: ( )φ x R,0 α 1∈ < ≠ ïðüôå ( ){ }Α x R :φ x R= ∈ ∈
• ( ) ( )( )( )g x
f x φ x ,= ðñÝðåé: ( ) ( )φ x 0 και g x R> ∈
ïðüôå ( ) ( ){ }A x R :φ x 0και g x R= ∈ > ∈
• ( )f x ηµx, A R= =
• ( )f x συνx, A R= =
• ( ) { }πf x εφx, A x R : x kπ , k Z
2= = ∈ ≠ + ∈
ìåëÝôç óõíÜñôçóçò 127
ÐÅÄÉÏ ÏÑÉÓÌÏÕ
5
4
3
2
• ( ) { }f x σφx, A x R : x kπ, k Z= = ∈ ≠ ∈
• ( ) ( )( ) ( ){ }f x ηµ g x , A x R : g x R= = ∈ ∈
• ( ) ( )( ) ( ){ }f x συν g x , A x R : g x R= = ∈ ∈
• ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }πf x εφ g x , A x R : g x R,g x kπ ,k Z
2= = ∈ ∈ ≠ + ∈
• ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }f x σφ g x , A x R : g x R,g x kπ,k Z= = ∈ ∈ ≠ ∈
Ðñïóï÷Þ! Áí ï ôýðïò ðïõ äßíåôáé åßíáé ôÝôïéïò ðïõ ðñÝðåé íá èÝóïõìå ðåñéóóüôåñïõò áðü Ýíáí
ðåñéïñéóìïýò, ôüôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ðñïêýðôåé áðü ôéò ôéìÝò ôïõ x, ãéá ôéò ïðïßåò óõíáëçèåýïõí
üëïé ïé ðåñéïñéóìïß ðïõ èÝôïõìå.
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò ìå ôýðï: ( )f x 2 x= −
Ëýóç
Ï ôýðïò ðïõ äüèçêå Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áí
êáé ìüíïí áí : 2 x 0 x 2− ≥ ⇔ ≤ .
¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜóôçìá
( , 2]−∞ .
Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò ìå ôýðï: ( )2
4 xf x
lnx
−=
Ëýóç
Ãéá íá Ý÷åé íüçìá ï ôýðïò ðïõ äüèçêå, ðñÝðåé íá
éó÷ýïõí óõã÷ñüíùò:
24 x 0− ≥ , ln x 0≠ êáé x 0>
Åßíáé
2 24 x 0 x 4 x 2 2 x 2− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
ln x 0 ln x ln1 x 1≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
Áðü ôç óõíáëÞèåõóç ôùí ðáñáðÜíù ðáßñíïõìå:
0 x 1< < Þ 1 x 2< ≤ . ¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò
óõíÜñôçóçò åßíáé ôï ( )A 0,1 (1, 2]= ∪ .
Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò f ìå ôýðï: ( )f x ηµ 2 x= −
Ëýóç
ÐñÝðåé: 2 x 0 x 2 2 x 2− ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜóôçìá
A [ 2,2]= − .
Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò f ìå ôýðï: ( )2 x
f xx 1 1
−=
− −
Ëýóç
ÐñÝðåé íá éó÷ýïõí óõã÷ñüíùò :
2 x 0− ≥ êáé x 1 1 0 x 2− − ≠ ⇔ ≤ êáé
x 1 1 x 2− ≠ ± ⇔ ≤ êáé x 2, x 0≠ ≠ .
¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï:
( ) ( )A ,0 0,2= −∞ ∪ .
Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò f ìå ôýðï: ( )x 1
f x2 x
−=
−
B2
B3B4
B11
B8
A7
B2
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1128
9
8
7
6
Ëýóç
ÐñÝðåé: 2 x 0− ≠ êáé
( )( )x 1
0 x 1 2 x 0, 2 x 02 x
−≥ ⇔ − − ≥ − ≠
−
1 x 2,⇔ ≤ < Üñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï
äéÜóôçìá A [1,2)= .
Áí ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï
äéÜóôçìá [ 7, 5]− − ôüôå íá ðñïóäéïñßóåôå ôï
ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò g ìå ôýðï:
( ) ( )g x f 6 2συνx= − + .
Ëýóç
ÐñÝðåé:
( )
7 6 2συνx 5 1 2συνx 1
1 1συνx 1
2 2
− ≤ − + ≤ − ⇔ − ≤ ≤ ⇔
⇔ − ≤ ≤
Óôï [0,2π] ç (1) áëçèåýåé ãéá π 2π
x3 3≤ ≤ êáé
4π 5πx
3 3≤ ≤ êáé ãåíéêÜ ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g
åßíáé ç Ýíùóç üëùí ôùí äéáóôçìÜôùí ôçò ìïñ-
öÞò: π 2π
kπ ,kπ ,3 3
+ +
üðïõ k Ζ∈ .
Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõ-
íáñôÞóåùí:
i. ( )f x 3 συνx= − ii. ( )g x 2ηµx 3= −
Ëýóç
i. ÐñÝðåé 3 συνx 0− ≥ , ðïõ éó÷ýåé ãéá êÜèå
x R∈ ,áöïý 1 συνx 1− ≤ ≤ , Üñá fA R= .
ii. ÐñÝðåé ( )3
2ηµx 3 0 ηµx 12
− ≥ ⇔ ≥
Ìå x [0,2π]∈ , Ý÷ïõìå:
3 π π 2πηµx ηµ x ή x
2 3 3 3
2π= = = ηµ ⇔ = =
3
ÅðïìÝíùò ìå x [0,2π]∈ ç ëýóç ôçò (1) åßíáé
π 2πx
3 3≤ ≤ êáé ãåíéêÜ ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò
g åßíáé ç Ýíùóç üëùí ôùí äéáóôçìÜôùí ôçò
ìïñöÞò: π 2π
2kπ ,2kπ , όπου k Z3 3
+ + ∈
.
Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõ-
íáñôÞóåùí:
i) ( ) ( )2 x
f x log 4 x−
= − ii) ( ) ( )xf x log 1 e= − .
Ëýóç
i. Ï ôýðïò Ý÷åé íüçìá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý, üôáí:
{ }
{ } { }
4 x 0και2 x 0και2 x 1
x 4,x 2,x 1 4 x 4,x 2,x 1
− > − > − ≠ ⇔
⇔ < < ≠ ⇔ − < < < ≠
ÅðïìÝíùò ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý:
( ) ( )A 4,1 1, 2= − ∪ .
ii. ÐñÝðåé x x x 01 e 0 e 1 e e x 1− > ⇔ < ⇔ < ⇔ < .
ÅðïìÝíùò, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï äéÜ-
óôçìá ( )A ,1= −∞ .
Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ λ R∈ þóôå
ç óõíÜñôçóç ìå ôýðï: ( ) ( )2f x ln λx x λ= + +
íá Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.
Ëýóç
Ãéá íá Ý÷åé ç óõíÜñôçóç f ðåäßï ïñéóìïý ôï R
ðñÝðåé:
2λx x λ 0,+ + > ãéá êÜèå x R∈ êáé áõôü óõì-
âáßíåé ìüíïí üôáí:
λ 0> êáé 2∆ 1 4λ 0= − <
B3
B11
B4
B11
A7
B9
B9
ìåëÝôç óõíÜñôçóçò 129
ÐÅÄÉÏ ÏÑÉÓÌÏÕ
Ã8. Íá âñåèïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý ôùí ðáñáêÜ-
ôù óõíáñôÞóåùí:
i. ( )( )
22x x 1
f xx 1 x x 2
+= +
+ − (âë. áóê. A5.1)
ii. ( )2x 1
f x5 x 1 2x
+=
+ − − (âë. áóê. Â3.2)
iii. ( )f x 6 x 2= − −
iv. ( ) ( )f x ln 3 x 1= − −
v. ( )f x 4x 1 x 3= + − − (âë. áóê. Â3.8)
vi. ( )x 1
f x ln 1x 2
− = −
−
vii. ( )2
f xx 3 4
=
− −
Ã9. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ïé óõíáñôÞóåéò Ý÷ïõí
ðåäßï ïñéóìïý ôçò ìïñöÞò { }R ρ− , üðïõ
ρ R∈ .
( ) ( )2f x λx λ 1 x 2λ 2= − − + −
( ) ( ) ( )22g x x 2 λ 1 x λ 1= − − + −
Ã10. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ ë ç óõíÜñôçóç f ìå
á. ( )( )
2
2
x 4f x
λ 2 x 2λx 3λ
+=
− − + − Ý÷åé ðå-
äßï ïñéóìïý ôï R.
22
λ 0 λ 0 λ 0 λ 01
και και και και λ2
1 1 1 11 4λ 0λ λ λ ή λ
4 2 2 2
> > > >
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >
− < > > < − >
¢ñá ãéá êÜèå 1
λ2
> ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.
â. ¼ìïéá ãéá ôçí
( )( )2
1g x
λx λ 3 x λ=
+ − +
Ã11. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:
( )4 2
1f x
x 5x 4=
− +
Ã12. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:
( )2x 2008
f x5 x x 1
+=
− − −
Ã13. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:
( )( )( )
( )( )
23 x x 7x 10
f xx 1 x 4
− − +=
+ −
(âë. áóê. Â8.4)
Ã14. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò:
( )( )
3 2
2
x 4x 5xf x
ln 9 x
− −=
−
Ã15. Íá âñåèïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý ôùí ðáñáêÜ-
ôù óõíáñôÞóåùí:
1. ( )2
2
x 9f x
3x x
−=
−
2. ( )2
2f x 1
2x 1= +
+
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
A4
A5
A7
A10
B3
Â4
B7
B11
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 1130
3. ( )2 7
f x3x x 2
= +
−
4. ( )x 1
f xx 2
−=
−5. ( )
x 1f x
x 2
−=
+
6. ( ) 2f x 3 4 x= + − 7. ( )
2f x x 1
x= − +
8. ( )x 2
f xx x
+=
+
9. ( )x 1
f xx 2
−=
+
10. ( )2
x 1f x
x x 2
−
=
+ −
11. ( )x
f x x xx 1
= − ++
12. ( )f x 2 x 1= − −
13. ( )2
2
x x 1g x
x x 12
− +=
+ −
14. ( )x
f x x 2x 1
= − ++
15. ( )f x 5 2 x 2= + + −
16. ( )f x x x= − 17. ( )3x 1
f xx x
−=
+
18. ( )2x 4
f xx 10
+=
−19. ( )
2
x3x 1f x4
2x 1
−−
=
−−
20. ( ) 3 2 2f x x 4x 3 x 4x 5= − + − − + +
21. ( )( )
2 x 2f x
x 3 x 4
−=
− −
22. ( )( )
2x 2 2 x 2f x
x 10 x 3 x 4
+ −= −
− − −
23. ( ) 2x x 1f x 3 28 3 3−= − ⋅ + (âë. áóê. Â129)
24. ( ) ( )2
5xf x og 2x x 1= + +�
25. ( )1 x
g x n2 x
−=
+�
26. ( ) ( )3
x 4f x og2x 1 += −� (âë. áóê. Â.134)
27. ( )x
nx 1g x
nx 1
− = +
�
� (âë. áóê. Â.134)
28. ( ) ( )2f x og 3x 2x= −� (âë. áóê. Â.137)
Ã16. Áí ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï [ ]3,7− ,
íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g, üôáí:
(i) ( ) ( )g x f 1 2 x= −
(ii) ( ) ( ) ( )g x f x f x 1= + +
A4
A5
A7
A10
B3
Â4
B7
Â10
B11
ðåñéïäéêüôçôá 131
ÐÅÑÉÏÄÉÊÏÔÇÔÁ
ÐåñéïäéêüôçôáÃ.2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï (áí Ý÷ïõí) ôùí
óõíáñôÞóåùí f, g, h, t ìå ôýðïõò
i. ( )f x = ηµx iii. ( )h x εφx=
ii. ( )g x συνx= iv. ( )t x σφx=
Ëýóç
i. Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôï R.
ÅðåéäÞ
( ) ( )ηµ x 2π ηµ x 2π ηµx+ = − =
ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï ( )f x ηµx= åßíáé ðåñéï-
äéêÞ ìå ðåñßïäï T 2π= .
ii. Ç óõíÜñôçóç g ùò ãíùóôüí ïñßæåôáé óôï R åðåéäÞ
( ) ( )συν x 2π συν x 2π συνx+ = − =
ç óõíÜñôçóç g ìå ôýðï ( )g x συνx= åßíáé ðå-
ñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Τ 2π= .
iii. Ç óõíÜñôçóç h ïñßæåôáé óôï óýíïëï
{ }1R x \ συνx 0= ≠
ÅðåéäÞ ãéá êÜèå 1
x R∈ éó÷ýåé
( ) ( )εφ x π εφ x π εφx+ = − =
ç óõíÜñôçóç h ìå ( ) ( )h x εφ x= åßíáé ðåñéïäéêÞ
ìå ðåñßïäï T π= .
iv. Ç óõíÜñôçóç t ïñßæåôáé óôï óýíïëï
{ }2R x \ ηµx 0= ≠ .
ÅðåéäÞ ãéá êÜèå 2
x R∈ éó÷ýåé
( ) ( )σφ x π σφ x π σφx+ = − =
ç óõíÜñôçóç t ìå ( )t x σφx= åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå
ðåñßïäï T π= .
ÐåñéïäéêÞ
óõíÜñôçóç
Á8
Â9
Ìéá óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï Á ôçí ïíïìÜæïõìå ðåñéïäéêÞ, üôáí õðÜñ÷åé
ðñáãìáôéêüò áñéèìüò T 0> ôÝôïéïò, þóôå ãéá êÜèå x A∈ íá éó÷ýåé:
i. ( ) ( )x T A, x T A+ ∈ − ∈
ii. ( ) ( ) ( )f x T f x T f x+ = − =
Ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü Ô ôïí ïíïìÜæïõìå ðåñßïäï ôçò óõíÜñôçóçò f.
Ó÷üëéï:
Ç ðåñßïäïò Ô ìéáò óõíÜñôçóçò åêöñÜæåé “Ýíá ìÞêïò äéáóôÞìáôïò” ðÜíù óôïí Üîïíá x 'x óôï ïðïßï
äéÜóôçìá ç óõíÜñôçóç “åêäçëþíåé ôçí óõìðåñéöïñÜ ôçò” êáé óôá õðüëïéðá áðëþò åðáíáëáìâÜíåôáé.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 2132
2 Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï (áí Ý÷ïõí) ôùí
óõíáñôÞóåùí f, g ìå ôýðïõò
i. ( ) ( )f x ηµ ωx , ω 0= >
ii. ( ) ( )g x συν ωx=
Ëýóç
i. Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôï R.
ÅðåéäÞ
( )2π 2πf x ηµ ω x ηµ ωx 2π
ω ω
+ = + = + =
( ) ( )ηµ ωx f x= = , ãéá êÜèå x R∈ êáé
2π 2πf x ηµ ω x
ω ω
− = − =
( ) ( ) ( )ηµ ωx 2π ηµ ωx f x= − = = , ãéá êÜèå x R∈
ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2π
Tω
= .
ii. Ìå ôïí ßäéï áêñéâþò ôñüðï äéáðéóôþíïõìå üôé ç
óõíÜñôçóç g ìå ôýðï ( ) ( )g x συν ωx= åßíáé
ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2π
Tω
= .
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã17. Íá åëÝãîåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò:
( ) 2f x x 5x 6= − + êáé ( )g x 1 3x= −
åßíáé ðåñéïäéêÝò.
Ã18. Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï ôùí óõíáñôÞóåùí:
(i) ( ) 2f x ηµ x= êáé ( )
2
g(x) = x xηµ ⋅συν
Ã19. Ç ðåñßïäïò ôçò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï:
( )x x
f x 2ηµ συν2 3
= +
åßíáé:
A. 2ð Â. 3ð Ã. 3ð Ä. 12ð
Ã20. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý
ôï R êáé ( ) ( ) ( ) ( )f x 1 f x 1 2f x 1− + + =
ãéá êÜèå x R∈ . Äåßîôå üôé Ô=8.
Ã21. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå:
( )( )
( )
1 f xf x 1
1 f x
++ =
−, x R∈ , ( )f x 1≠
Äåßîôå üôé:
i. ( )f x 0≠ , ãéá êÜèå x R∈
ii. Ç f Ý÷åé ðåñßïäï T 4= .
Ã22. ¸óôù óõíÜñôçóç f ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýåé
( ) ( ) ( )f x f x 1 f x 2 0+ + + + =
ãéá êÜèå ÷ óôï R .
Ná áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé ðåñéïäéêÞ.
Ã23. Íá åîåôÜóåôå áí ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( ) ( )f x συν 2x=
åßíáé ðåñéïäéêÞ.
Ã24. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ( )f x 3≠ ãéá ôçí
ïðïßá éó÷ýå é ( )( )
( )
f x 5f x ω
f x 3
−+ =
− ãéá
êÜèå x 0≥ êáé ω 0> . Íá äåßîåôå üôé åß-
íáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Ô = 4ù.
Ã25. Íá åëÝãîåôå áí åßíáé ðåñéïäéêÝò ïé óõíáñ-
ôÞóåéò f êáé g ìå ôýðïõò:
( ) 2f x ηµ x= êáé ( ) 2
g x ηµx=
Á8
Â9
Á8
Â9
óõììåôñßåò (Üñôéá - ðåñéôôÞ) 133
ÓÕÌÌÅÔÑÉÅÓ (Üñôéá - ðåñéôôÞ)
Óõììåôñßåò (Üñôéá - ðåñéôôÞ)Ã.3
Óôï ó÷Þìá ðáñáêÜôù ó÷åäéÜóáìå ôç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò ãéá ôçí ïðïßá éó-
÷ýåé: ( ) ( )f x f x− = − ãéá êÜèå f
x A∈
¢ñôéá
ðåñéôôÞ
óõíÜñôçóç
Óôï ó÷Þìá ðáñáêÜôù ó÷åäéÜóáìå ôç ãñáöé-
êÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f, ãéá ôçí
ïðïßá éó÷ýåé ( ) ( )f x f x− = ãéá êÜèå f
x A∈
• áí x A∈ , ôüôå êáé x A− ∈
• ( ) ( )f x f x− = , ãéá êÜèå x A∈
• áí x A∈ , ôüôå êáé x A− ∈
• ( ) ( )f x f x− = − , ãéá êÜèå x A∈
i. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Á
ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýïõí:
Ôç óõíÜñôçóç f ôçí ïíïìÜæïõìå
Üñôéá óõíÜñôçóç
ii. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Á
ãéá ôçí ïðïßá éó÷ýïõí:
Ôç óõíÜñôçóç f ôçí ïíïìÜæïõìå ðåñéôôÞ óõíÜñôçóç.
Ó÷üëéá
i. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò f ðñÝðåé íá åßíáé “óõììåôñéêü ” äéÜóôçìá ãéá íá åëÝãîïõìå óõììåôñßåò.
ð.÷.
{ }f
A R 1= −f
A ü÷é êáôÜëëçëï ðåäßï ïñéóìïý
{ }fA R 1, 1= − −
fA êáôÜëëçëï ðåäßï ïñéóìïý
fA R*=
fA êáôÜëëçëï ðåäßï ïñéóìïý
ii. Áí f
x 0 A= ∈ êáé f ðåñéôôÞ ôüôå ( )f 0 0= , äéüôé :
( ) ( )f x f x− = − ãéá êÜèå f
x A∈ êáé ãéá x 0= Ý÷ïõìå
( ) ( ) ( ) ( )f 0 f 0 2f 0 0 f 0 0− = ⇔ = ⇔ =
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 3134
ð.÷
i. Ôï óõììåôñéêü ôïõ óçìåßïõ Á(1, 3) ùò ðñïò ôïí Üîïíá x’x èá Ý÷åé
ôçí ßäéá ôåôìçìÝíç êáé áíôßèåôç ôåôáãìÝíç ìå ôï Á. Ïðüôå èá åßíáé
ôï óçìåßï Á1 (1, -3).
ii. Ôï óõììåôñéêü ôïõ Á ùò ðñïò ôïí Üîïíá y’y èá Ý÷åé ôçí ßäéá ôåôáã-
ìÝíç áíôßèåôç ôåôìçìÝíç ìå ôï Á. Ïðüôå åßíáé ôï óçìåßï
Á2 (-1, 3).
iii. Ôï óõììåôñéêü ôïõ Á ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí èá Ý÷åé áíôß-
èåôåò óõíôåôáãìÝíåò ìå ôï Á. ÄçëáäÞ Á3 (-1, -3).
iv. Ôï óõììåôñéêü ôïõ Á ùò ðñïò ôçí äé÷ïôüìï ôçò ãùíßáò yOx èá
Ý÷åé ôåôìçìÝíç ôçí ôåôáãìÝíç ôïõ Á êáé ôåôáãìÝíç ôçí ôåôìçìÝíç
ôïõ Á. ÄçëáäÞ Á4 (3, 1).
Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´) åßíáé óõììå-
ôñéêÜ ùò ðñïò ôïí Üîïíá x´x , áí êáé ìüíïí
áí Ý÷ïõí ôçí ßäéá ôåôìçìÝíç êáé áíôßèåôç ôå-
ôáãìÝíç.
ÄçëáäÞ á = á´ êáé â´ = –â
Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´)åßíáé óõììåôñé-
êÜ ùò ðñïò ôïí Üîïíá y´y, áí êáé ìüíïí áí
Ý÷ïõí áíôßèåôç ôåôìçìÝíç êáé ßäéá ôåôáãìÝíç.
ÄçëáäÞ á´ = –á êáé â´ = â
Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´)åßíáé óõììå-
ôñéêÜ ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí, áí
êáé ìüíïí áí Ý÷ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìÝ-
íåò.
ÄçëáäÞ: á´ = –á êáé â´ = –â
Äýï óçìåßá Á(á, â) êáé Á´(á´, â´) åßíáé óõììå-
ôñéêÜ ùò ðñïò ôç äé÷ïôüìï ôçò 1çò êáé 3çò
ãùíßáò, áí êáé ìüíïí áí ç ôåôìçìÝíç ôïõ åíüò
éóïýôáé ìå ôçí ôåôáãìÝíç ôïõ Üëëïõ êáé áíôß-
óôñïöá.
ÄçëáäÞ á´ = â êáé â´ = á.
óõììåôñßåò (Üñôéá - ðåñéôôÞ) 135
ÓÕÌÌÅÔÑÉÅÓ (Üñôéá - ðåñéôôÞ)
4
3
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá ôéìþí
ôçò f áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ.
Ëýóç
ÅðåéäÞ ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ éó÷ýåé
( ) ( )f x f x− = − ãéá êÜèå f
x A∈ .
Åßíáé ( )f 2 9− = − ïðüôå
( ) ( ) ( )f 2 f 2 9 9= − − = − − =
( )f 1 5= ïðüôå ( ) ( )f 1 f 1 5− = − = −
( )f 0 0= (ÂëÝðå ó÷üëéï ii. óåë.178)
¢ñá Ý÷ïõìå
Íá åîåôÜóåôå ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù
óõíáñôÞóåéò åßíáé Üñôéåò êáé ðïéåò ðåñéôôÝò.
i. ( ) 3f x x x= − iii. ( )h x x 1 x 1= − + +
ii. ( ) 2g x 9 x= − iv. ( )
2
x 1t x
x 4
−=
−
Ëýóç
i. Åßíáé fA R= êáé
( ) ( ) ( )3 3f x x x x x f x− = − − − = = −
¢ñá ç f åßíáé ðåñéôôÞ.
ii. Åßíáé [ ]gA 3, 3= − êáé
( ) ( ) ( )2 2g x 9 x 9 x g x− = − − = − =
¢ñá ç g åßíáé Üñôéá.
iii. Åßíáé h
A R= êáé
( )
( ) ( )
( )
h x x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1 h x
− = − − + − + =
− + + − − =
+ + − =
¢ñá ç h åßíáé Üñôéá.
iv. Åßíáé [ ) ( )tA 1, 2 2,= ∪ +∞ êáé åðåéäÞ üôáí
tx A∈ ôï
tx A− ∈ .
Ôï ðåäßï ïñéóìïý äåí åßíáé êáôÜëëçëï.
ÅðïìÝíùò ç óõíÜñôçóç t äåí ìðïñåß íá ðáñïõ-
óéÜæåé óõììåôñßá.
¸óôù ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( )
3x 3 , x 02
f x 4 , x 0
3x 3 , x 02
− − <
= =
− >
Íá åîåôÜóåôå áí ç f åßíáé Üñôéá Þ ðåñéôôÞ.
Ëýóç
Åßíáé fA R=
Ãéá x 0< åßíáé x 0− > ïðüôå ( ) 3f x x 3
2= − − êáé
( ) ( )3 3f x x 3 x 3
2 2− = − − = − −
Éó÷ýåé ( ) ( )f x f x− = ãéá x 0<
Ãéá x 0> åßíáé x 0− <
( ) 3f x x 3
2= − êáé ( ) ( )3 3
f x x 3 x 32 2
− = − − − = −
Éó÷ýåé ( ) ( )f x f x− = ãéá x 0>
Ãéá x 0= åßíáé ( )
( ) ( )
f 0 4
f 0 f 0 4
=
− = =
¢ñá ãéá êÜèå x R∈ éó÷ýåé ( ) ( )f x f x− = ïðüôå ç
f åßíáé Üñôéá.
Áí ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï
R åßíáé óõã÷ñüíùò Üñôéá êáé ðåñéôôÞ íá äåßîåôå
üôé f(x) = 0
Á6
Á7
Â3
Â4
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 3136
Ëýóç
Áöïý f Üñôéá èá éó÷ýåé:
f ( x) f (x)− = ãéá êÜèå x R∈ . (1)
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã26. Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé Üñôéåò Þ ðåñéôôÝò
ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò:
á. ( ) 2f x 3x 2 x= −
â. ( )f x 1 x x 1= − + +
ã. ( )3
1f x 2x
x= −
ä. ( ) 2f x x x= +
å. ( ) 2f x 3 x 2x 2= + −
æ. ( )3
1f x 2x
x= −
ç. ( )( ) ( )
3 2x 2x
f xx 1 x 1
+=
+ ⋅ −
è. ( )2x 1 , x 3
f x2x 1 , x 3
+ ≥=
− − ≤ −
é. ( ) 5f x 2x x= −
óô. ( )2
x 1f x
3 x 1
−=
+ +
Ã27. Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f : R R→ êáé
ôéò óõíáñôÞóåéò g : R R→ êáé h : R R→
ìå ( )( ) ( )f x f x
g x2
+ −= êáé
( )( ) ( )f x f x
h x2
− == .
Íá äåßîåôå üôé:
á. Ç g åßíáé Üñôéá. â. Ç h åßíáé ðåñéôôÞ.
ã. ÊÜèå óõíÜñôçóç ãñÜöåôáé ùò Üèñïé-
óìá ìéáò Üñôéáò êáé ìéáò ðåñéôôÞò óõ-
íÜñôçóçò.
Ã28. Ãéá ôç óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï
R éó÷ýåé üôé ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ãéá
êÜèå x, y R∈ . Íá äåßîåôå üôé:
á. ( )f 0 0= â. ç f åßíáé ðåñéôôÞ.
Ã29. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç
( )2
2
x 1 x 1f x
x 1 x 1
+ + −=
+ + +.
á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.
â. Íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé ðåñéôôÞ.
Ã30. Óôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá õðÜñ÷åé óõíÜñôçóç Üñôéá Þ ðåñéôôÞ;
A4
A5
A6
A7
B7
B8
Åðßóçò f ðåñéôôÞ ïðüôå:
f ( x) f (x)− = − ãéá êÜèå x R∈ . (2)
Áðü (1), (2) Ý÷ïõìå:
f (x) f (x) 2f (x) 0 f (x) 0= − ⇔ = ⇔ =
óýíïëï ôéìþí 137
ÓÕÍÏËÏ ÔÉÌÙÍ
Óýíïëï ôéìþíÃ.4
Óýíïëï
ôéìþí
óõíÜñôçóçò
Åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôéìþí
Ãéá íá ðñïóäéïñßóïõìå ôï ðåäßï ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò f, ëýíïõìå ôçí åîßóùóç ( )y f x= ùò ðñïò
x (áí ëýíåôáé) êáé áðáéôïýìå ç ëýóç áõôÞ íá áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò. (Áí Ý÷åé ðåñéóóüôåñåò
áðü ìßá ëýóåéò áðáéôïýìå ìßá ôïõëÜ÷éóôïí áð’ áõôÝò íá áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò Á). Ç áðáßôçóç
( )x D f∈ ìáò ïäçãåß óå ðåñéïñéóìïýò ãéá ôï y áðü ôïõò ïðïßïõò ðñïêýðôåé ôï óýíïëï ôéìþí.
ÐáñáôçñÞóåéò
• Áõôüò äåí åßíáé ï ìïíáäéêüò ôñüðïò ãéá ôçí åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôéìþí ïýôå êáé ðëÞñçò. Ó’åðüìåíá
ìáèÞìáôá èá ðñïóäéïñßóïõìå ôï óýíïëï ôéìþí ìå ÷ñÞóç ôçò ìïíïôïíßáò êáé ôçò óõíÝ÷åéáò ôçò óõíÜñôçóçò.
• Ôï óýíïëï ôéìþí ìå ôç âïÞèåéá ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò (fC ) åìöáíßæåôáé óáí ôï óýíïëï ôùí
ðñïâïëþí ôùí óçìåßùí ôçò fC ðÜíù óôïí Üîïíá y’y.
Áí åßíáé ãíùóôÞ ëïéðüí ç fC ìéáò óõíÜñôçóçò ôï óýíïëï ôéìþí ôçò âñßóêåôáé “ðñïâÜëëïíôáò” ôçí
êáìðýëç ðÜíù óôïí Üîïíá y 'y üðùò öáßíåôáé óôï åðüìåíï ó÷Þìá.
( ) [ ]f A 3, 12= −
ÃåíéêÜ ç åýñåóç ôïõ óõíüëïõ ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò äåí åßíáé åýêïëï ðñüâëçìá. ÕðÜñ÷ïõí üìùò
ìåñéêÝò êáôçãïñßåò óõíáñôÞóåùí ðïõ áõôü äåí ðáñïõóéÜæåé éäéáßôåñåò äõóêïëßåò êáé ãßíåôáé ìå ôçí
âïÞèåéá ôùí ìÝ÷ñé ôþñá ãíþóåùí ìáò. Áíôéìåôþðéóç ðëÞñç ôïõ èÝìáôïò èá Ý÷ïõìå ìå ôç âïÞèåéá
ðïõ ìáò ðáñÝ÷åé ç ðáñÜãùãïò óõíÜñôçóçò.
Ôï óýíïëï ðïõ Ý÷åé ãéá óôïé÷åßá ôïõ ôéò áíôßóôïé÷åò ôéìÝò ôçò f ãéá üëá ôá
x A∈ , ëÝãåôáé ðåäßï Þ óýíïëï ôéìþí ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå ( )f A .
ÅðïìÝíùò, ôï ( )f A áðáñôßæåôáé áðü ôá óôïé÷åßá y ôïõ R, ãéá ôá ïðïßá õðÜñ÷åé
Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí x A∈ , äçëáäÞ ôá y R∈ ãéá ôá ïðïßá ç åîßóùóç ( )y f x= Ý÷åé
ìßá ôïõëÜ÷éóôïí ëýóç ùò ðñïò x ðïõ áíÞêåé óôï Á.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 4138
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá äåßîåôå üôé ôï óýíïëï ôéìþí ôçò óõ-
íÜñôçóçò f ìå ôýðï ( )f x 4x 9= − åßíáé ôï R.
Ëýóç
Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f åßíáé ôï R.
Èá áðïäåßîïõìå ãéá êÜèå y R∈ õðÜñ÷åé x ðïõ
áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f ìå ( )f x y= .
Åßíáé
( )y 9
f x y 4x 9 y 4x y 9 x4
+= ⇔ − = ⇔ = + ⇔ =
¢ñá ãéá êÜèå y R∈ õðÜñ÷åé ôï y 9
x4
+= ðïõ
áíÞêåé óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f ìå ( )f x y= .
Íá âñåßôå ôï óýíïëï ôéìþí ôçò óõíÜñ-
ôçóçò f ìå ôýðï ( ) 2f x x 1= + ïñéóìÝíç óôï
[ ]2,5 .
Ëýóç
Åßíáé [ ]fA 2, 5=
ÈÝôïõìå ( ) 2
2
2
y f x x 1
y x 1
x y 1
= = +
= +
= −
ÅðåéäÞ 2x 0≥ ðñÝðåé y 1 0− ≥ äçëáäÞ y 1≥
Ôüôå x y 1= ± −
ÅðåéäÞ [ ]x 2, 5∈ ðñÝðåé x y 1= − êáé åðéðëÝïí
2 y 1 5≤ − ≤
4 y 1 25≤ − ≤
5 y 26≤ ≤
¢ñá ( ) [ ]f A 5, 26=
3 Bñåßôå ôï óýíïëï ôéìþí ôùí óõíáñôÞ-
óåùí ìå ôýðïõò:
i. ( )f x 3 x= − ii. ( )2x
g xx 1
=−
iii. ( )2x
h xx 1
=−
, ( )x 0,1 (1, 3]∈ ∪ .
Ëýóç
i. Ç óõíÜñôçóç ïñßæåôáé üôáí 3 x 0 x 3− ≥ ⇔ ≤
ÅðïìÝíùò, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï óý-
íïëï A ( ,3]= −∞ êáé ôï óýíïëï ôéìþí:
( ) {f A y R := ∈ ç åîßóùóç y 3 x= − Ý÷åé ìßá
ôïõëÜ÷éóôïí ëýóç ùò ðñïò ôï }x ( ,3] .∈ −∞
¸÷ïõìå:
2 2
y 0 y 0y 3 x
y 3 x x 3 y
≥ ≥ = − ⇔ ⇔
= − = −
ÐñÝðåé ç ëýóç 2
x 3 y= − íá áíÞêåé óôï Á ,
äçëáäÞ:
2 23 y 3 y 0− ≤ ⇔ ≥ , ðïõ éó÷ýåé ãéá êÜèå
y R∈ . Óõíåðþò, Ý÷ïõìå y 0≥ , äçëáäÞ ôï
ðåäßï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï ( )f A [0, )= +∞ .
ii. ÐñÝðåé x 1 0 x 1− ≠ ⇔ ≠ , ïðüôå ôï ðåäßï ï-
ñéóìïý ôçò g åßíáé ôï { }A R 1= − .
Åßíáé
( )
( )
2xy yx y 2x y 2 x y
x 1
yx , y 2 µε y 2 είναι 0 2
y 2
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔
−
⇔ = ≠ = =
−
ÐñÝðåé y
1 y y 2 0 2y 2
≠ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ −−
,
ôï ïðïßï éó÷ýåé. ÅðïìÝíùò ( ) { }g A R 2= − .
Â1
Â4
Â7
Â8
Á5
Â1
Â4
Â7
Â8
óýíïëï ôéìþí 139
ÓÕÍÏËÏ ÔÉÌÙÍ
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
iii. Åäþ öáíåñÜ åßíáé ( ) ( ]A 0,1 1,3= ∪
Ãéá ôï ðåäßï ôéìþí, Ý÷ïõìå
( )
( )
2xy yx y 2x y 2 x y
x 1
yx , y 2 µε y 2 είναι 0 2
y 2
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔
−
⇔ = ≠ = =
−
ÐñÝðåé:
y y0 3 και 1
y 2 y 2
< ≤ ≠ ⇔
− −
y y0 και 3 ,
y 2 y 2
⇔ > ≤
− −
äéüôé (y
1 0 2y 2
≠ ⇔ ≠ −−
)
( ) ( )( ){ }y y 2 0 και 2y 6 y 2 0,y 2⇔ − > − + − ≤ ≠
{ }y 0 ή y 2 και y 2 ή y 3
y 0 ή y 3
⇔ < > < ≥ ⇔
⇔ < ≥
ÅðïìÝíùò, ( ) ( )f A ,0 [3, )= −∞ ∪ +∞ .
Ã31. (á) Íá âñåßôå ôï óýíïëï ôéìþí ôùí óõ-
íáñôÞóåùí:
i. ( ) 2f x x 6x 1= − +
ii. ( ) 2g x ηµ x 6ηµx 1= − +
Ã32. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ôéìþí ôùí óõíáñôÞóå-
ùí:
i. ( ) 2f x x 1= −
ii. x -xe + e
f(x) =2
Ã33. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ôéìþí ôùí óõíáñôÞóå-
ùí:
i. ( ) 2f x x 3x 1= − +
ii. ( ) 2f x x 2x 3= − +
iii. ( )1 x
f x n1 x
−=
+
�
Ã34. Ná âñåèïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý êáé ôéìþí
ôùí óõíáñôÞóåùí,ðïõ ïñßæïíôáé áðü
ôïõò ôýðïõò :
i. ( )2
2
2x 7x 6f x
x 3x 10
− +=
+ −
ii. ( ) x 1f x
2 x
−=
−
Ã35. Íá âñåßôå ôá ðåäßá ïñéóìïý êáé ôéìþí
ôùí óõíáñôÞóåùí ,ðïõ ïñßæïíôáé áðü
ôïõò ôýðïõò :
i. ( )f x 1 2 x= + −
ii. ( )x
g xx 1
=−
iii. ( )2x
h xx 3
=−
, ( )x 0,3 (3, 4]∈ ∪
Ã36. Íá âñåèïýí ôá ë,ì þóôå ç óõíÜñôçóç f
ìå ôýðï :
2
2
λx +3µx +3f(x) =
x - x +1
íá Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï [ ]f(A) = -3,5 .
Á5
Á7
Á9
Á10
Â1
Â4
Â7
Â8
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 5140
ÌïíïôïíßáÃ.5
Ãíçóßùò
öèßíïõóá
óõíÜñôçóç
Ãíçóßùò
áýîïõóá
óõíÜñôçóç
¸óôù ìéá óõíÜñôçóç f ïñéóìÝíç ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä. Èá ëÝìå üôé:
Ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï Ä, áí ãéá êÜèå
1 2x , x ∆∈ ìå
1 2x x< éó÷ýåé ( ) ( )1 2
f x f x>
ÊÜèå ãíçóßùò öèßíïõóá óõíÜñôçóç f, Ý÷åé ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ðïõ “êáôåâáßíåé” áðü ôá áñéóôåñÜ ðñïò ôá
äåîéÜ üðùò ç êáìðýëç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò.
Ðñáôçñïýìå üôé:
áí x1 < x
2 ôüôå f(x
1) > f(x
2)
¸óôù ìéá óõíÜñôçóç f ïñéóìÝíç ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä. Èá ëÝìå üôé:
Ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Ä, áí ãéá êÜèå
1 2x , x ∆∈ ìå
1 2x x< éó÷ýåé ( ) ( )1 2
f x f x<
ÊÜèå ãíçóßùò áýîïõóá óõíÜñôçóç f, Ý÷åé ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ðïõ “áíåâáßíåé” áðü ôá áñéóôåñÜ ðñïò ôá
äåîéÜ üðùò ç êáìðýëç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò.
Ðáñáôçñïýìå üôé:
áí 1 2x x< ôüôå ( ) ( )1 2
f x f x<
Ìéá óõíÜñôçóç ðïõ åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá Þ ãíçóßùò öèßíïõóá ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä, èá ëÝìå üôé
åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óôï äéÜóôçìá áõôü.
Óôá åðüìåíá ó÷Þìáôá ðáñáôçñïýìå üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f “áíåâáßíåé” (“êáôåâáß-
íåé”) áðü ôá áñéóôåñÜ ðñïò ôá äåîéÜ üìùò õðÜñ÷åé Ýíá ôìÞìá ôçò Cf ðïõ åßíáé ðáñÜëëçëï ðñïò ôïí
Üîïíá x.
Óôï äéÜóôçìá [á, â], ãéá ïðïéáäÞðïôå 1 2x , x ìå
1 2x x≠ éó÷ýåé ( ) ( )1 2
f x f x= .
ìïíïôïíßá 141
ÌÏÍÏÔÏÍÉÁ
Ìéá óõíÜñôçóç ðïõ åßíáé áýîïõóá Þ öèßíïõóá óå êÜðïéï äéÜ-
óôçìá èá ëÝìå üôé åßíáé ìïíüôïíç óôï äéÜóôçìá áõôü.
• Áí ãéá êÜèå 1 2x , x ∆∈ ìå ( ) ( )1 2 1 2
x x ισχύει f x f x< = ôüôå ôçí
f ïíïìÜæïõìå óôáèåñÞ óõíÜñôçóç óôï Ä. (âë. äéðëáíü ó÷Þìá)
Åýñåóç ôçò ìïíïôïíßáò óõíÜñôçóçò
Èåùñïýìå ôõ÷áßá 1 2x , x ðïõ áíÞêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý óõíÜñôçóçò ( )y f x= , êáé áêïëïõèïýìå
Ýíáí áðü ôïõò åðüìåíïõò ôñüðïõò:
1. Áðü ôç ó÷Ýóç 1 2x x< ðñïóðáèïýìå íá ó÷çìáôßóïõìå ôï f(x
1) óôï ðñþôï ìÝëïò êáé
óõã÷ñüíùò ôï f(x2) óôï äåýôåñï ìÝëïò, ïðüôå êáôáëÞãïõìå óå
( ) ( )1 2f x f x< Þ ( ) ( )1 2
f x f x> Þ ( ) ( )1 2f x f x≤ Þ ( ) ( )1 2
f x f x≥
êáé áíÜëïãá óõìðåñáßíïõìå ãéá ôç ìïíïôïíßá ôçò f.
2. Âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôçò äéáöïñÜò:
( ) ( ) ( )1 2 1 2∆ f x f x , x x= − <
Èá ëÝìå üôé ç óõíÜñôçóç åßíáé öèßíïõóá ó’Ýíá
äéÜóôçìá Ä, áí êáé ìüíïí áí:
ãéá êÜèå 1 2x , x ∆∈ ìå
1 2x x< , éó÷ýåé
( ) ( )1 2f x f x≥ .
Èá ëÝìå üôé ìéá óõíÜñôçóç åßíáé áýîïõóá
ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä, áí êáé ìüíïí áí
ãéá êÜèå 1 2x , x ∆∈ ìå
1 2x x< , éó÷ýåé
( ) ( )1 2f x f x≤
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 5142
Óôï äéÜóôçìá [ ]40, 20− − ç f åßíáé ãíçóßùò
áýîïõóá.(áíåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ)
Óôï äéÜóôçìá [ ]20, 5− − ç f åßíáé ãíçóßùò
öèßíïõóá.(êáôåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ)
Óôï äéÜóôçìá [ ]5, 25− ç f åßíáé ãíçóßùò
áýîïõóá.(áíåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ)
Óôï äéÜóôçìá [ ]25, 45 ç f åßíáé óôáèåñÞ.(ðáñÜëëçëç
ðñüò ôïí ÷’÷)
Óôï äéÜóôçìá [ ]45, 60 ç f åßíáé ãíçóßùò
öèßíïõóá.(êáôåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ)
ãíçóßùò áýîïõóá óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
“áíåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ”.
ãíçóßùò öèßíïõóá óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç “êáôåâáßíåé ðñüò ôá äåîéÜ”.
3. Âñßóêïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ ëïãïõ:
( ) ( )2 1
2 1
f x f xλ
x x
−=
−
• Áí ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f, äåí åßíáé äéÜóôçìá, áëëÜ Ýíùóç äéáóôçìÜôùí, åöáñìüæïõìå Ýíáí
áðü ôïõò ðáñáðÜíù ôñüðïõò óå êÜèå äéÜóôçìá ÷ùñßò íá ãåíéêåýóïõìå ôá óõìðåñÜóìáôá ó’üëï
ôï ðåäßï ïñéóìïý.
Ó÷üëéá:
Ç ãíþóç ôçò ìïíïôïíßáò êÜðïéùí óôïé÷åéùäþí óõíáñôÞóåùí (áêüìç êáëýôåñá ôçò ãñáöéêÞò
ôïõò ðáñÜóôáóçò) ìáò äéåõêïëýíåé ðÜñá ðïëý óôçí ¢ëãåâñá.
i. Ãéá ðáñÜäåéãìá, áí ðñÝðåé íá ÷áñáêôçñßóïõìå óùóôü Þ ëÜèïò ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:
Ð1: áí
1 2x , x R∈ ìå
1 2x x< ôüôå
2 2
1 2x x<
Ð2: áí
1 2x , x R∈ ìå
1 2x x< ôüôå 3 3
1 2x x<
êáé óôçí ðåñßðôùóç ëÜèïõò íá ãñÜøïõìå ôï óùóôü.
Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí f êáé g ìå ôýðïõò ( ) 2f x x= êáé ( ) 3
g x x= åßíáé
Aðü ôéò ðáñáðÜíù ãñáöéêÝò öáßíåôáé üôé ç ðñüôáóç Ð1 åßíáé ëÜèïò åíþ ç Ð
2 åßíáé óùóôÞ.
ÁëãåâñéêÜ ìðïñïýìå íá äéáðéóôþóïõìå üôé ç Ð1 åßíáé ëÜèïò ùò åîÞò:
áí 1 2x , x R∈ ìå
1 2x x< ôüôå
( ]
[ )
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
αν x , x , 0 είναι x x
αν x , x 0, είναι x x
∈ −∞ >
∈ +∞ <
ii. Áí åßíáé ãíùóôÞ ç fC ìéáò óõíÜñôçóçò ç ìïíïôïíßá ôçò âñßóêåôáé üðùò óôï ðáñÜäåéãìá ðïõ áêïëïõèåß.
ìïíïôïíßá 143
ÌÏÍÏÔÏÍÉÁ
3
2
1
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá ìåëåôçèåß ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( )f x 2x 4= − + ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá.
Ëýóç
Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñôçóçò f åßíáé ôï R
êáé ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ ìå
1 2x x< éó÷ýåé:
( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 2
x x 2x 2x
2x 4 2x 4 f x f x
< ⇔ − > − ⇔
⇔ − + > − + ⇔ >
Óýìöùíá ëïéðüí ìå ðñïçãïýìåíï ïñéóìü ç óõ-
íÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R.
Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñ-
ôçóçò f ìå ôýðï ( )f x 3 2 5 x= − − .
Ëýóç
Åßíáé ( ]fA , 5= −∞
Èåùñïýìå ( ]1 2x ,x , 5∈ −∞ ìå
1 2x x< ïðüôå
1 2x x− > −
1 25 x 5 x− > −
1 25 x 5 x− > −
1 22 5 x 2 5 x− − < − −
1 23 2 5 x 3 2 5 x− − < − −
( ) ( )1 2f x f x<
¢ñá ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï ( ], 5−∞ .
Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñ-
ôçóçò f ìå ôýðï ( ) ( )2f x 3 x 2 1= − + óôï ðå-
äßï ïñéóìïý ôçò.
Ëýóç
Åßíáé fA R= . Èåùñïýìå
1 2x , x R∈ ìå
1 2x x<
ïðüôå 1 2x 2 x 2− < − (1)
• áí ( ]1 2 1 2x , x , 2 x x 2∈ −∞ ⇔ < ≤
ôüôå 1x 2 0− < êáé
2x 2 0− ≤ ïðüôå áðü ôçí (1)
ðñïêýðôåé üôé
( ) ( )2 2
1 2x 2 x 2− > −
( ) ( )2 2
1 23 x 2 3 x 2− > −
( ) ( )2 2
1 23 x 2 1 3 x 2 1− + > − +
( ) ( )1 2f x f x>
¢ñá ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï ( ], 2−∞
• áí [ )1 2 1 2x , x 2, 2 x x∈ +∞ ⇔ ≤ <
ôüôå 1x 2 0− ≥ êáé
2x 2 0− > ïðüôå áðü ôçí (1)
ðñïêýðôåé üôé
( ) ( )2 2
1 2x 2 x 2− < −
( ) ( )2 2
1 23 x 2 3 x 2− < −
( ) ( )2 2
1 23 x 2 1 3 x 2 1− + < − +
( ) ( )1 2f x f x<
¢ñá ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï [ )2, +∞ .
Íá ìåëåôçèåß ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( )2x
f xx 1
=−
ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá.
Ëýóç
Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé öáíåñÜ ôï
( ) ( )A ,1 1,= −∞ ∪ +∞
Èá åîåôÜóïõìå ôç ìïíïôïíßá ôçò f ÷ùñéóôÜ óå
êáèÝíá áðü ôá äéáóôÞìáôá ( ),1−∞ êáé ( )1,+∞ .
• ¸óôù ( )1 2x , x ,1∈ −∞ , ìå
1 2x x 1< < Ý÷ïõìå:
( ) ( )( )
( )( )2 12 1
2 1
2 1 2 1
2 x x2x 2x∆ f x f x
x 1 x 1 x 1 x 1
− −= − = − =
− − − −
ÅðåéäÞ 1 2 1x x 1 x 1 0< < ⇔ − < êáé
2x 1 0− < èá
4
Á1
Â8
Á1
Â2
Á1
Á1
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 5144
5
åßíáé Ä < 0 ïðüôå ( ) ( )1 2f x f x> , ðïõ óçìáßíåé üôé
ç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï äéÜóôçìá ( ),1−∞ .
• ¸óôù ( )1 2x , x 1,∈ +∞ , ìå
1 21 x x< < , ôüôå:
1 2x 1 0, x 1 0− > − > , ïðüôå êáé ó’áõôÞ ôçí ðåñßð-
ôùóç åßíáé ( ) ( )1 2∆ 0 f x f x< ⇔ > . ÅðïìÝíùò, ç
f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá êáé óôï äéÜóôçìá
( )1,+∞ .
Ó÷üëéï:
Ç ðáñáðÜíù óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõ-
óá óå êáèÝíá áðü ôá äéáóôÞìáôá ( ) ( ),1 , 1,−∞ +∞ ,
åíþ äåí å ßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï
( ) ( ),1 1,−∞ ∪ +∞ áöïý õðÜñ÷ïõí
{ }1 2x , x R 1∈ − , þóôå íá éó÷ýåé ( ) ( )1 2
f x f x< .
ð.÷. áí 1 2x 0 x 2= < = ôüôå
( ) ( )1 2f x 0 f x 4= < = .
ÅðïìÝíùò, ìéá óõíÜñôçóç ðïõ åßíáé ãíçóßùò ìï-
íüôïíç óå äýï äéáóôÞìáôá äåí åßíáé õðï÷ñåùôé-
êÜ ãíçóßùò ìïíüôïíç óôçí Ýíùóç áõôþí ôùí
äéáóôçìÜôùí.
Áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò öèßíïõ-
óá óôï R íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç
( ) ( )2f x 1 f x+ > − .
Ëýóç
Ç áíßóùóç ( ) ( )2f x 1 f x+ > − åðåéäÞ ç f åßíáé ãíç-
óßùò öèßíïõóá óôï R ãßíåôáé éóïäýíáìá
2x 1 x+ < −
2x x 1 0+ + <
ç ïðïßá åßíáé áäýíáôç óôï R.
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã37. Íá ìåëåôçèïýí ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ïé
óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò:
i. ( ) 3f x 2x 1= + ii. ( )f x x 1= −
iii. ( )x 1
f xx
+= iv. ( )
2
x 2 x 2f x
x x 2
+ ≤=
>
v. ( )x
f x1 x
=
+
vi. ( ) 2f x x 3x 1= − +
vii. ( ) 2f x 1 x= − viii. ( )f x 2 x 1 3x= − +
Ã38.i. Ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý R
åßíáé ðåñéôôÞ. Áí ç f åßíáé ãíçóßùò áý-
îïõóá óôï äéÜóôçìá [ ]α,β ìå α,β 0> ,
íá áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé ãíçóßùò áý-
îïõóá óôï äéÜóôçìá [ ]β, α− − .
ii. Áí ç óõíÜñôçóç f : R R→ åßíáé ãíç-
óßùò áýîïõóá óôï ( )α,β êáé Üñôéá, ôüôå
åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï ( )β, α− − .
Ã39. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç
( ) ( )4f x λ 15 x 16, λ R= + + ∈ .
Íá äåßîåôå üôé:¡
á. ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá.
â. ( ) ( )α β
f α f f β2
+ < <
ìå α β<
Ã40. Áí c R∈ êáé ãéá ôç óõíÜñôçóç f : R R→
éó÷ýåé ( ) ( )1 2 1 2f x f x c x x− < − ãéá êÜèå
1 2x , x R∈ , íá äåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç
( ) ( )g x f x cx= − åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá.
Ã41. Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñôç-
óçò f ìå ôýðï ( ) ( )2f x 4 9 x= + α − ,
α R∈ .
Ã42. Ná ðñïóäéïñéóôåß ï α R *∈ þóôå ç óõ-
íÜñôçóç f ìå ôýðï: ( )x 2α
f xαx 2
−=
−
íá åß-
íáé ãíçóßùò öèßíïõóá.
Â4
Á1
Á5
Á7
Â2
Â4
Â8
óõíÜñôçóç 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç) 145
ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç)
ÓõíÜñôçóç 1-1 (ÁìöéìïíïóÞìáíôç)Ã.6
Ïñéóìïß
èåùñÞìáôá
Áí ãéá ìéá óõíÜñôçóç f ïñéóìÝíç ó’Ýíá äéÜóôçìá Ä éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ
áí 1 2x x≠ ôüôå ( ) ( )1 2
f x f x≠
ãéá êÜèå 1 2x , x ∆∈ ëÝìå ïôé ç óõíÜñôçóç åßíáé 1 - 1 óôï Ä.
Èåþñçìá
Áí ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óå Ýíá äéÜóôçìá Ä, ôüôå ç f åßíáé 1 - 1 óôï ßäéï
äéÜóôçìá.
ÐñÜãìáôé, Ýóôù üôé ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Ä.
Ôüôå, ãéá êÜèå ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
x , x ∆ µε x x ισχύει f x f x
x , x ∆ µε x x ισχύει f x f x
∈ < <
∈ > >
¢ñá, ìå 1 2x x≠ , éó÷ýåé ( ) ( )1 2
f x f x≠ ðïõ óçìáßíåé üôé ç f åßíáé
1 - 1 óôï Ä.
Ôï áíôßóôñïöï ôïõ èåùñÞìáôïò äåí éó÷ýåé ðÜíôïôå.
ÄçëáäÞ,üëåò ïé 1 - 1 óõíáñôÞóåéò óå Ýíá óýíïëï äåí åßíáé ãíçóßùò
ìïíüôïíåò óôï ßäéï óýíïëï.
¼ôáí ìéá óõíÜñôçóç åßíáé 1 - 1, ôüôå óå êÜèå óôïé÷åßï y ôïõ óõíüëïõ
ôéìþí ôçò f áíôéóôïé÷åß Ýíá ìüíï x ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò.
ÃñáöéêÜ áõôü óçìáßíåé üôé êÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá y = k ôÝìíåé ôç ãñáöé-
êÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f, ôï ðïëý óå Ýíá óçìåßï.
Óõíïøßæïíôáò, ìðïñïýìå íá áðïäåßîïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1 ìå ôïõò åîÞò ôñüðïõò:
1. Ìå ÷ñÞóç ôïõ ïñéóìïý.
2. Äåß÷íïõìå üôé ç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç.
3. Äåß÷íïõìå üôé êÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá y = k ôÝìíåé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôï ðïëý óå Ýíá
óçìåßï.
4. Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç y = f(x) ùò ðñïò x (áí ëýíåôáé). Áí Ý÷åé ìïíáäéêÞ ëýóç ùò ðñïò x ãéá
êÜèå y ôïõ ðåäßïõ ôéìþí ôçò ôüôå ç f åßíáé 1 - 1.
ÅðåéäÞ ðïëëÝò öïñÝò åßíáé äýóêïëï Þ êáé áäýíáôï íá áðï-
äåßîïõìå ôç óõíåðáãùãÞ
áí 1 2x x≠ ôüôå ( ) ( )1 2
f x f x≠
áðïäåéêíýïõìå ôçí éóïäýíáìç ðñüôáóç :
áí ( ) ( )1 2f x f x= ôüôå
1 2x x=
ðïõ åßíáé ç áíôéèåôïáíôßóôñïöç ôçò ðñþôçò.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 6146
4
3
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá åîåôÜóåôå áí ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( ) 3f x x 1= + åßíáé óõíÜñôçóç 1 - 1.
Ëýóç
Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï R, áöïý f ðïëõ-
ùíõìéêÞ óõíÜñôçóç êáé ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ ìå
1 2x x≠ éó÷ýïõí:
( ) ( )
1 2
3 3
1 2
3 3
1 2
1 2
x x
x x
x 1 x 1
f x f x
≠
≠
+ ≠ +
≠
¢ñá óýìöùíá ìå ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü ç óõ-
íÜñôçóç f åßíáé 1 - 1.
Íá åëÝãîåôå ôç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( ) 3 2f x x 2x x 3= − + + ùò ðñïò ôçí éäéüôçôá
1-1.
Ëýóç
Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé R.
Åßíáé ( ) 3 2f x x 2x x 3= − + + =
= ( )2x x 2x 1 3− + + =
= ( )2x x 1 3− +
Ðáñáôçñïýìå üôé ( )f 0 3= êáé ( )f 1 3= ïðüôå ç f
äåí åßíáé 1-1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.
Äßíåôáé óõíÜñôçóç f ç ïðïßá åßíáé 1-1
óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò êáé ï ðßíáêáò ðïõ ðá-
ñéóôÜíåé êÜðïéåò ôéìÝò ðïõ áöïñïýí ôçí f.
ìå λ R∈ . Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò äõíáôÝò ôéìÝò
ôïõ λ R∈ áí ãíùñßæåôå üôé ç fC åßíáé óõíå-
÷Þò - ìç äéáêïðôüìåíç óôï R êáìðýëç.
Ëýóç
Åßíáé ( )f 0 λ=
äçëáäÞ ç fC ôÝìíåé ôïí Üîïíá y 'y óôï ( )0, λ
ïðüôå ðñÝðåé 2 λ 10− < < áöïý ç f åßíáé 1-1 óôï R.
Íá áðïäåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç f ìå
ôýðï: ( )x 2
f xx 5
−=
+ åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï
ïñéóìïý ôçò.
Ëýóç
Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï { }A R 5= − − .
Áí 1 2x , x A∈ ôÝôïéá þóôå ( ) ( )1 2
f x f x= ôüôå:
( ) ( )
( )( ) ( )( )
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
x 2 x 2f x f x
x 5 x 5
x 2 x 5 x 5 x 2
x x 5x 2x 10 x x 2x 5x 10
7x 7x x x
− −= ⇔ = ⇔
+ +
⇔ − + = + −
⇔ + − − = − + −
⇔ = ⇔ =
¢ñá ç f åßíáé óõíÜñôçóç 1 - 1, óôï R –{-5}.
Ó÷üëéï:
ÅðåéäÞ ðïëëÝò öïñÝò åßíáé äýóêïëï Þ êáé áäý-
íáôï íá áðïäåßîïõìå ôç óõíåðáãùãÞ
áí 1 2x x≠ ôüôå ( ) ( )1 2
f x f x≠
áðïäåéêíýïõìå ôçí éóïäýíáìç ðñüôáóç :
áí ( ) ( )1 2f x f x= ôüôå
1 2x x= , ðïõ åßíáé ç á-
A2
A3
A2
A5
óõíÜñôçóç 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç) 147
ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ 1-1 (áìöéìïíïóÞìáíôç)
6
5
íôéèåôïáíôßóôñïöç ôçò ðñþôçò êáé üðùò åßíáé
ãíùóôü ïé áíôéèåôïáíôßóôñïöåò ðñïôÜóåéò åß-
íáé éóïäýíáìåò.
Íá åîåôÜóåôå áí ïé ðáñáêÜôù óõíáñ-
ôÞóåéò åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò.
á. ( ) 2f x x 1= + â. ( ) ( )g x ln 2 x= −
Ëýóç
Ãéá íá áðïäåßîïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f äåí åß-
íáé 1 - 1 èÝôïõìå äýï äéáöïñåôéêÝò ôéìÝò ôïõ x
óôïí ôýðï, Ýóôù ôéò 1 2x x≠ êáé äåß÷íïõìå üôé:
( ) ( )1 2f x f x=
á. Ðáñáôçñïýìå üôé áí 1 2x 1 1 x= ≠ − = ôüôå
( ) ( ) ( ) ( )1 2f x f 1 2 f 1 f x= = = − =
Ïðüôå ç f äåí åßíáé 1 - 1 áöïý éó÷ýåé:
( ) ( )1 2 1 2x x και f x f x≠ =
â. Áí 1 2x 1 1 x= − ≠ = , ôüôå
( ) ( ) ( ) ( )1 2g x g 1 ln1 0 g 1 g x= − = = = =
ïðüôå êáé ç g äåí åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý
ôçò.
Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé 1 - 1 ïé óõíáñ-
ôÞóåéò f, g ìå ôýðïõò:
( )2
x , x 0f x
x , x 0
− <=
≥
êáé ( )2x , x 0
g xx , x 0
− <=
≥
óôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõò.
Ëýóç
Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1 - 1 óôï R, áöïý õ-
ðÜñ÷åé ïñéæüíôéá åõèåßá ðïõ ôÝìíåé ôç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôçò f óå äýï óçìåßá.
ÄçëáäÞ õðÜñ÷ïõí 1 2 1 2x , x R µε x x∈ ≠ ôÝôïéá
þóôå ( ) ( )1 2f x f x k= =
Ç óõíÜñôçóç g åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R êáé
óõíåðþò åßíáé 1 - 1 óôï R.
Ç êáìðýëç ôçò y = g(x) ôÝìíåôáé áðü êÜèå ïñéæü-
íôéá åõèåßá óå Ýíá ìüíï óçìåßï.
Íá åîåôÜóåôå áí ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( )2x 1, αν x 3
f xx 2, αν x 3
+ ≥=
+ <
åßíáé 1 - 1 óôï ðå-
äßï ïñéóìïý ôçò.
Ëýóç
Èåùñïýìå ôçí ïñéæüíôéá åõèåßá y = k. Èá ðñïó-
äéïñßóïõìå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò fC êáé ôçò y k=
(áí õðÜñ÷ïõí).
Åßíáé:
y 2x 1 k 1x
y k 2
x 3x 3
= + −=
= ⇔ ≥≥
Üñá, ç åõèåßá y = k ôÝìíåé ôçí fC áí:
k 13 k 7
2
−≥ ⇔ ≥
Åðßóçò, áðü ôï óýóôçìá:
Á3
Á4
A6
B3
B11
7
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 6148
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã43. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( )x
x
5 1f x
5 1
−=
+
. Íá äåßîåôå üôé ç f åßíáé 1 -
1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.
Ã44. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( )
x2α 1
f xα 1
−=
−
. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí
ôéìÞ ôïõ α R∈ þóôå ç f íá åßíáé 1 - 1
óôï R.
Ã45. Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé 1-1 óôï ðåäßï
ïñéóìïý ôïõò, ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞ-
óåéò:
i. ( )f x 3x 4= − + ii. ( )2x 1
f xx 5
−=
+
iii. ( )f x 3x 2= −
iv. ( ) 3f x x 2x 7= + −
v. 2x 4x 7 αν A ( ,2]− + = −∞
vi. ( )x
f x
1 x
=
+
vii. ( )x
x
2f x
1 2
=
+
viii. ( )2x 2x , x 2
f xx 6 , x 1
+ >=
+ ≤
Ã46. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( )2
1 x , x 0f x
3x λ 1, x 0
− <=
+ − ≥
Íá âñåèåß ï ðñáãìáôéêüò ë þóôå ç f íá
åßíáé 1-1.
8
y x 2x k 2
y kx 3
x 3
= += −
= ⇔ <
<
ðñïêýðôåé üôé ç y = k ôÝìíåé ôçí fC , áí
k 2 3 k 5− < ⇔ < . ¢ñá, êáìßá ïñéæüíôéá åõèåßá
äåí ôÝìíåé êáé ôïõò äýï êëÜäïõò ôçò fC , êáé
óõíåðþò ç f åßíáé 1 - 1 óôï R.
Áðü ôá ðñïçãïýìåíá ðáñáäåßãìáôá Ýãéíå öáíåñü üôé
áíÜëïãá ìå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò, åðéëÝãïõìå êáé
ôïí ôñüðï ðïõ èá åñãáóôïýìå ãéá íá åëÝãîïõìå ôçò
éäéüôçôá 1 - 1 ìéáò óõíÜñôçóçò óôï ðåäßï ïñéóìïý
ôçò.
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( ) 2003 2005f x x x= +
i. Íá âñåßôå ôï f(1)
ii. Íá åëÝãîåôå áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1
óôï R.
Â5
Á2
Á3
Á4
Á7
Â10
iii. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç 2003 2005x x 2+ =
Ëýóç
i. Åßíáé ( ) 2003 2005f 1 1 1 2= + =
ii. Ç f ùò ðïëõùíõìéêÞ Ý÷åé fA R= . Èåùñïýìå
1 2 fx , x A R∈ = ìå
1 2x x< ôüôå:
2003 2005
1 1x x< êáé 2003 2005
2 2x x<
Ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç ðáßñíïõìå:
2003 2003 2005 2005
1 2 1 2x x x x+ < + ïðüôå
( ) ( )1 2f x f x<
¢ñá, ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R.
Óýìöùíá ìå ôï óõìðÝñáóìá ôïõ ðñïçãïýìåíïõ
èåùñÞìáôïò ç f åßíáé 1 - 1 óôï R.
iii. Åßíáé 2003 2005x x 2+ = ⇔ (ëüãù (i.) åñùôÞìá-
ôïò)
( ) ( )f x f 1 x 1= ⇔ = (åðåéäÞ ç f åßíáé 1 - 1).
áêñüôáôá óõíÜñôçóçò 149
ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
Áêñüôáôá óõíÜñôçóçòÃ.7
(σχ. 3)
Áêñüôáôá óõíÜñôçóçò
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ( ) 2f x x , x R= ∈ . ÐáñáôçñÞóôå óôï äé-
ðëáíü ó÷Þìá üôé ãéá ôçí ôéìÞ f(0) = 0 éó÷ýåé:
( ) ( )f x f 0 0≥ = , ãéá êÜèå x R∈
ËÝìå ôüôå üôé ç f Ý÷åé ïëéêü åëÜ÷éóôï ãéá x = 0 ôçí ôéìÞ f(0) = 0.
Åðßóçò ðáñáôçñÞóôå üôé åêáôÝñùèåí ôïõ ìçäåíüò ç f áëëÜæåé ìïíï-
ôïíßá. ÓõìâïëéêÜ ãñÜöïõìå:
Ïëéêü åëÜ÷éóôï
Ãåíéêüôåñá:
Áí Á åßíáé ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò êáé ãéá êÜðïéï 0x A∈ ,
éó÷ýåé:
( ) ( )0f x f x≥ , ãéá êÜèå x A∈
ëÝìå üôé ç f ðáñïõóéÜæåé óôï 0x A∈ ïëéêü åëÜ÷éóôï ôï ( )0f x óôï
Á (ó÷. 1)
Ïëéêü ìÝãéóôï
Áíôßóôïé÷á, áí éó÷ýåé:
( ) ( )0f x f x≤ , ãéá êÜèå x A∈
ëÝìå üôé ç f ðáñïõóéÜæåé óôï 0x A∈ ïëéêü ìÝãéóôï ôï ( )0f x óôï Á
(ó÷. 2)
Ôï ïëéêü ìÝãéóôï êáé ôï ïëéêü åëÜ÷éóôï ôçò f ëÝãïíôáé áêñüôáôá Þ
áêñüôáôåò ôéìÝò ôçò óõíÜñôçóçò.
ÁíÜëïãïé ïñéóìïß üðùò éó÷ýïõí êáé ãéá ôá ôïðéêÜ áêñüôáôá. Ç äéá-
öïñÜ åßíáé üôé ôá ïëéêÜ áêñüôáôá áíáöÝñïíôáé óå üëï ôï ðåäßï ïñé-
óìïý, åíþ ôá ôïðéêÜ óå õðïóýíïëÜ ôïõ. Áîßæåé íá óçìåéùèåß üôé ð.÷.
Ýíá ôïðéêü ìÝãéóôï ìðïñåß íá åßíáé ìéêñüôåñï åíüò ôïðéêïý åëá÷ß-
óôïõ ôçò ßäéáò óõíÜñôçóçò (âë. ó÷Þìá 3) Þ êáé áíôßóôñïöá.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 7150
ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÓ ÁÊÑÏÔÁÔÙÍ
ð.÷
Ç óõíÜñôçóç ( ) 2f x x 1= − +
ðáñïõóéÜæåé ïëéêü ìÝãéóôï óôï
0x 0= ôï ( )f 0 1= ,
áöïý éó÷ýïõí:
( ) ( )
2 2
2
x 0 x 0
x 1 1
f x 1 f 0
≥ ⇔ − ≤ ⇔
− + ≤ ⇔
≤ =.
Ìå ôç âïÞèåéá ôçò ìïíïôïíßáò ÷áñáêôçñßæïõìå ôá áêñüôáôá.
Óõìðåñáßíïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f ðáñïõóéÜæåé áêñüôáôï óå êÜ-
ðïéá èÝóç 0x A∈ áí áñéóôåñÜ êáé äåîéÜ áõôÞò ôçò èÝóçò áëëÜæåé
ìïíïôïíßá.
1. Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç äßíåôáé Þ ìðïñïýìå íá ôç
ó÷åäéÜóïõìå, ðñïóäéïñßæïõìå áðü áõôÞí ôá áêñüôáôá áí
õðÜñ÷ïõí.
2. Ðñïóäéïñßæïõìå ôï óýíïëï ôéìþí f(Á) êáé áðü áõôü ôá
áêñüôáôá (áí õðÜñ÷ïõí)
ð.÷. Áí f(Á) = [á, â] ç f Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï â êáé åëÜ÷éóôç
ôéìÞ ôï á.
Áí f(A) = [á, +∞ ), ç f Ý÷åé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï á êáé äåí Ý÷åé
ìÝãéóôç ôéìÞ.
3. Áí ç f áëëÜæåé ìïíïôïíßá åêáôÝñùèåí åíüò óçìåßïõ x0 ôïõ
ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò êáé ( ) ( )0f x f x≤ Þ ( ) ( )0f x f x≥ ãéá
êÜèå x êïíôÜ óôï x0, ôüôå ðáñïõóéÜæåé ôïðéêü áêñüôáôï óôç
èÝóç x0.
ÓõãêåêñéìÝíá
áêñüôáôá óõíÜñôçóçò 151
ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
3
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1Á1
Á7
Íá âñåèïýí ôá ôïðéêÜ áêñüôáôá ôçò óõ-
íÜñôçóçò f ìå ( ) ( )2
f x x 1 3= − − .
Ëýóç
Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé ãéá êÜèå x R∈ .
Ãíùñßæïõìå åðßóçò üôé åßíáé 2A 0≥ ãéá êÜèå
A R∈ .
ÅðåéäÞ x R∈ êáé ( )x 1 R− ∈ åßíáé ( )2x 1 0− ≥ .
( ) ( ) ( ) ( )2 2
f x x 1 3 f x 3 x 1 0= − − ⇔ + = − ≥
¢ñá ( ) ( )f x 3 0 f x 3+ ≥ ⇔ ≥ −
Ðáñáôçñïýìå üôé ( ) ( )2f 1 1 1 3 3= − − = − ïðüôå Ý-
÷ïõìå ( ) ( )f x f 1≥ − ãéá êÜèå x R∈ .
Óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ç óõíÜñôçóç f ðáñïõóéÜæåé
ãéá x 1= − (óôç èÝóç x 1= − ) ïëéêü åëÜ÷éóôï ìå
ôéìÞ ( )f 1 3− = .
Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò áêñüôáôåò ôéìÝò
ôùí óõíáñôÞóåùí ðïõ öáßíïíôáé óôá åðüìåíá
ó÷Þìáôá.
á.
â.
ã.
Ëýóç
á. Ðáñáôçñïýìå üôé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï
äéÜóôçìá [-1, 3).
ÅðïìÝíùò, ( )1 f x 3− ≤ < , ãéá êÜèå x [ 2,4)∈ −
Üñá ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ãéá x = 0.
(f(0) = –1).
ÌÝãéóôç ôéìÞ äåí Ý÷åé, áöïý ôï -2 äåí åßíáé
ôéìÞ ôçò f.
â. Éó÷ýåé –2 < f(x) < 4 ãéá êÜèå x ( 2,3)∈ − êáé
óõíåðþò ç f äåí ðáñïõóéÜæåé áêñüôáôåò ôéìÝò
(ïëéêü ìÝãéóôï êáé ïëéêü åëÜ÷éóôï).
ã. Åßíáé ( )3 f x 4− ≤ ≤ , ãéá êÜèå x [ 2,6]∈ − ï-
ðüôå ç f ðáñïõóéÜæåé ïëéêü åëÜ÷éóôï ôçí ôéìÞ
–3 ãéá x = -2 êáé ïëéêü ìÝãéóôï ôï 4 ãéá
x = 6.
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( )f x 1 2 x= + −
Íá ðñïóäéïñßóåôå ôá áêñüôáôá ôçò óõíÜñ-
ôçóçò.
Ëýóç
Ç f Ý÷åé ðñïöáíþò ðåäßï ïñéóìïý ( , 2]−∞ .
Èá ðñïóäéïñßóïõìå ôï óýíïëï ôéìþí ôçò f ìå
óõíèåôéêü ôñüðï.
¸÷ïõìå:
( )
x ( , 2] x 2 2 x 0
2 x 0 1 2 x 1 f x 1
∈ −∞ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ ⇔
⇔ − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≥
ïðüôå, ( )f A [1, )= +∞ êáé óõíåðþò ç f ðáñïõ-
óéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï 1, ãéá x = 2 (f(2) = 1).
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 7152
ÐáñáôÞñçóç
Óôï ðñïçãïýìåíï ðáñÜäåéãìá, ðñïóäéïñßóáìå ôï
óýíïëï ôéìþí ôçò f îåêéíþíôáò áðü ôï üôé ôï x A∈
êáé ìå éóïäõíáìßåò äçìéïõñãÞóáìå ôï f(x). Áí ìå
áõôü ôïí ôñüðï (äçëáäÞ ìå éóïäýíáìá âÞìáôá) äç-
ìéïõñãÞóïõìå ôï y = f(x), ôüôå ôï äéÜóôçìá ðïõ áíÞ-
êåé ôï y = f(x) èá åßíáé ôï óýíïëï (ðåäßï) ôéìþí ôçò f.
Ðñïóï÷Þ
Áí óå êÜðïéï âÞìá äåí éó÷ýåé ç éóïäõíáìßá, ôüôå
ãéá ôï ðñïêýðôïí óýíïëï ìåôáâïëÞò ôùí ôéìþí
ôïõ y äåí èá åßìáóôå óßãïõñïé áí åßíáé ôï ðåäßï
ôéìþí ôçò f. Èá åßíáé ðÜíôùò Ýíá õðåñóýíïëü ôïõ.
ð.÷. ¸óôù ( ) 2f x x 2x= − ìå x [0,3]∈ .
¸÷ïõìå, 20 x 3 0 x 9≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ (1)
êáé 0 x 3 6 2x 0≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ (2)
Ìå ðñüóèåóç êáôÜ ìÝëç, ôùí (1) êáé (2) ðáßñ-
íïõìå:
26 x 2x 9 6 f (x) 9− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
üìùò ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f ,åßíáé ôï
( ) [ ] [ ]f A 1,3 6,9= − ⊆ −
üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. (ÐñïâïëÞ ôçò ãñá-
öéêÞò ðÜíù óôïí Üîïíá ôùí y.
ÂñÞêáìå Ýíá õðåñóýíïëï ôïõ ðåäßïõ ôéìþí ôçò
f êáé áõôü äéüôé üôáí ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç
äåí äéáôçñåßôáé ç éóïäõíáìßá.
Ìðïñïýìå, áóöáëþò íá ôï âñïýìå êáé áëãåâñé-
êÜ, áëëÜ ìå ðñïóï÷Þ óôïõò ìåôáó÷çìáôéóìïýò
þóôå ôá âÞìáôá ðïõ êÜíïõìå ãéá ôï ó÷çìáôé-
óìü ôïõ f(x) íá åßíáé éóïäýíáìá.
ÅðåéäÞ
( ) ( )22 2f x x 2x x 2x 1 1 x 2 1= − = − + − = − −
Ý÷ïõìå:
( )
( ) ( )
2
2
0 x 3 1 x 1 2 0 x 1 4
1 x 1 1 3 1 f x 3
≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔
− ≤ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Üñá f(A) = [–1, 3].
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã47. Ãéá ôç óõíÜñôçóç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìá-
ôïò íá âñåßôå ôï ïëéêü ìÝãéóôï êáé ôï
ïëéêü åëÜ÷éóôï.
Ã48. Ãéá ôç óõíÜñôçóç ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìá-
ôïò, ãñÜøôå äßðëá áðü êÜèå ðñüôáóç áí
åßíáé óùóôÞ Þ ëÜèïò.
Á. Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.
Â. Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï (–2, 2]
Ã. åßíáé Üñôéá
Ä. åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óôï R.
áêñüôáôá óõíÜñôçóçò 153
ÁÊÑÏÔÁÔÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
Ã49. Ç ìïíïôïíßá ìéáò óõíÜñôçóçò f öáßíåôáé
óôïí åðüìåíï ðßíáêá.
ÃñÜøôå ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜ-
óåéò åßíáé óùóôÝò Þ ëÜèïò.
1. Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.
2. Ç f Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï R.
3. Ç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç óôï R.
4. Ç f Ý÷åé ôïðéêü åëÜ÷éóôï ôï –1.
5. Ç f Ý÷åé ìÝãéóôï óôï x 0=
6. Ç f Ý÷åé ïëéêü åëÜ÷éóôï ôï –1.
7. Ç f Ý÷åé 3 ñßæåò óôï R.
Ã50. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( )f x 4 x 5= − − .
Íá âñåßôå ôá áêñüôáôá ôçò f.
Ã51. Áí ôï óýíïëï ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò f
åßíáé ôï äéÜóôçìá ( )α,β , α,β R∈ ôüôå ç
f äåí Ý÷åé áêñüôáôá.
Ã52. Áí ìéá ðåñéôôÞ óõíÜñôçóç f ðáñïõóéÜæåé
ìÝãéóôï óôï 0x ôüôå èá ðáñïõóéÜæåé å-
ëÜ÷éóôï óôï 0x− .
Ã53. Íá âñåßôå (üðïõ õðÜñ÷ïõí) ôá áêñüôáôá
ôùí óõíáñôÞóåùí:
i. ( )x
f x1 x
=
+
ii. ( )2x , x [ 3,2)
f xx 7, x [2,5)
∈ −=
+ ∈
iii. ( )x 7, x 2
f x2x 1, x 2
− + ≥=
+ <
Ã54. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå
ôýðïõò:
( ) ( )2f x α 3 x 1= − − −
( ) 2g x x 4x 2α= − +
Íá âñåßôå ôïí áñéèìü á þóôå ôï ìÝãéóôï
ôçò f íá éóïýôáé ìå ôï åëÜ÷éóôï ôçò g.
Ã55. Íá âñåßôå ôç ìÝãéóôç êáé ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ
(üðïõ õðÜñ÷åé) ãéá ôéò óõíáñôÞóåéò:
á. ( ) 2f x 2x 3= +
â. ( ) 2f x 1 2x= −
ã. ( )2
1f x
x 1=
+
ä. ( )f x x 1= − +
å. ( )f x 2x 1 3= + −
óô. ( )f x 1 3x 1= − −
æ. ( )f x 2 x 4= −
ç. ( )f x x 2 x 7= − +
è. ( )f x 2 x 1= −
é. ( ) 4 2f x x x 1= + −
ê. ( )f x 2x 5= −
Á6
Á7
Â3
Â8
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8154
Ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò ÜîïíåòÃ .8
Ðïõ ôÝìíåé ç
êáìðýëç C
ôïõ Üîïíåò
Óçìåßá ôïìÞò ôçò fC ìå ôïõò Üîïíåò
• Åßíáé ãíùóôü ïôé ÷áñáêôçñéóôéêü ôùí óçìåßùí Ì ôïõ Üîïíá y 'y åßíáé üôé
Ý÷ïõí ôåôìçìÝíç ßóç ìå ìçäÝí äçëáäÞ
( )M 0, y , y R∈
Ãéá íá âñïýìå ôï óçìåßï ðïõ ç
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç fC ìéáò óõ-
íÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f(x) ôÝ-
ìíåé ôïí Üîïíá y 'y áñêåß íá
èÝóïõìå óôïí ôýðï ôçò óõíÜñ-
ôçóçò üðïõ x = 0 (áí âÝâáéá ôï
0 åßíáé óôïé÷åßï ôïõ ðåäßïõ ïñé-
óìïý ôçò), áëëéþò ç Cf äåí ôÝ-
ìíåé ôïí Üîïíá y 'y .
Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f(x) áí Ý÷åé ìå ôïí Üîïíá y 'y êïéíü óçìåßï
áõôü åßíáé ìïíáäéêü êáé åßíáé ôï Ì(0,f(0)).
• Eðßóçò ãíùñßæïõìå ðùò ÷áñáêôçñéóôéêü ôùí óçìåßùí Ì ôïõ Üîïíá x x′ åßíáé üôé Ý÷ïõí
ôåôáãìÝíç ßóç ìå ìçäÝí, äçëáäÞ ( )M x,0 , x R∈ .
Ãéá íá âñïýìå ôá óçìåßá ðïõ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóçfC ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï y = f(x)
ôÝìíåé ôïí Üîïíá x x′ áñêåß íá èÝóïõìå óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò üðïõ y = 0 êáé íá
ëýóïõìå ôçí åîßóùóç f(x) = 0.
• H åîßóùóç f(x) = 0 ìðïñåß íá Ý÷åé ðåñéóóüôåñåò áðü ìéá ëýóåéò. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ôá
êïéíÜ óçìåßá ôçò fC ìå ôïí Üîïíá åßíáé üëá ôá óçìåßá ôçò ìïñöÞò ( )µ,
M x 0 , üðïõ µx
åßíáé ëýóç ôçò ðáñáðÜíù åîßóùóçò.
• Ç åîßóùóç f(x) = 0 ìðïñåß íá åßíáé áäýíáôç. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ äåí õðÜñ÷ïõí êïéíÜ
óçìåßá ôçò fC ìå ôïí Üîïíá x x′ .
Óõíïøßæïíôáò Ý÷ïõìå:
Ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò (fC ) ìå ôïí Üîïíá x x′ Ý÷ïõí ôåôáãìÝíç ßóç ìå 0.
¸ôóé ôá óçìåßá ôïìÞò ðñïóäéïñßæïíôáé áðü ôç ëýóç ôçò åîßóùóçò ( )y f x 0= = . Ïé ëýóåéò ôçò
åîßóùóçò áõôÞò åßíáé ïé ôåôìçìÝíåò ôùí óçìåßùí ôïìÞò.
Ôï óçìåßï ôïìÞò ôçò fC ìå ôïí Üîïíá y y′ Ý÷åé ôåôìçìÝíç 0 êáé åßíáé ìïíáäéêü (åöüóïí õðÜñ÷åé).
Ç ôåôáãìÝíç ôïõ óçìåßïõ áõôïý åßíáé ôüôå ßóç ìå f(0).
ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò 155
ÐÏÕ ÔÅÌÍÅÉ Ç ÊÁÌÐÕËÇ C
TOYÓ ÁÎÏÍÅÓ
ÈÝóåéò ôçò Cf
ùò ðñïò ôïõò
Üîïíåò
ÊïéíÜ óçìåßá
äýï ãñáöéêþí
ðáñáóôÜóåùí
• ÐáñáôçñÞóôå üôé ç f ðáßñíåé èåôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå 0
x x> áöïý óôï äéÜóôç-
ìá ( )0x ,+∞ , ç
fC âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x x′ äçëáäÞ
( )0
f x 0 x x> ⇔ >
• Ç f ðáßñíåé áñíçôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå
0x x< áöïý óôï äéÜóôçìá áõôü ç
fC
âñßóêåôáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá x x′ äçëá-
äÞ
( )0
f x 0 x x< ⇔ <
ÃåíéêÜ ãéá íá âñïýìå ôï äéÜóôçìá óôï
ïðïßï ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò åßíáé ðÜíù Þ êÜôù áðü ôïí Üîï-
íá ôùí x, ëýíïõìå ôéò áíéóþóåéò ( )f x 0> Þ ( )f x 0< áíôßóôïé÷á.
¸óôù äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå ôý-
ðïõò ( )y f x= êáé ( )y g x= áíôßóôïé-
և.
Ôï êïéíü óçìåßï ôùí äýï ãñáöéêþí ðá-
ñáóôÜóåùí Ý÷åé ôåôìçìÝíç 0x êáé ðñï-
öáíþò ôçí ßäéá ôåôáãìÝíç
( ) ( )0 0f x g x=
¢ñá, ôï 0x ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôç ëýóç
ôçò åîßóùóçò:
( ) ( )f x g x=
ÁíÜëïãá ìå ôï ðüóåò ëýóåéò (ùò ðñïò
x) Ý÷åé ç ðáñáðÜíù åîßóùóç êáèïñß-
æïíôáé êáé ôá êïéíÜ óçìåßá ôùí f gC ,C .
ÊÜèå ïñéæüíôéá åõèåßá ìå åîßóùóç
0y y= Ý÷åé ìå ôç
fC , óçìåßá ôïìÞò
ìå ôåôìçìÝíåò ôéò ëýóåéò ôçò åîßóù-
óçò ( )0
f x y=
Áí ç ðáñáðÜíù åîßóùóç åßíáé áäýíáôç, ôüôå äåí õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïìÞò.
ÊÜèå êáôáêüñõöç åõèåßá 0
x x= , áí ôÝìíåé ôç fC , ôçí ôÝìíåé óå Ýíá ìüíï
óçìåßï ìå ôåôáãìÝíç ( )0y f x= .
Óçìåßá ôçò Cf
ìå ìéá åõèåßá
y = y0
Þ
x = x0
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8156
21
Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíïíôáé ïé ãñáöéêÝò ðáñá-
óôÜóåéò äõï óõíáñôÞóåùí ( )y f x= êáé ( )y g x= .
Ïé ôåôìçìÝíåò ôùí óçìåßùí ôïìÞò åßíáé ïé ëýóåéò
ôçò åîßóùóçò.
( ) ( )f x g x=
ÐáñáôçñÞóôå üôé:
• ãéá êÜèå ( ) ( )x α,β γ,∈ ∪ +∞ ç fC âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôç
gC äçëá-
äÞ éó÷ýåé: ( ) ( )f x g x>
• ãéá êÜèå ( ) ( )x ,α β, γ∈ −∞ ∪ ç fC âñßóêåôáé êÜôù áðü ôç
gC äçëáäÞ éó÷ýåé: ( ) ( )f x g x< .
ÅðïìÝíùò, ãéá íá ðñïóäéïñßóïõìå ôá x R∈ ãéá ôá ïðïßá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f âñßóêåôáé ðÜíù
Þ êÜôù áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò g ëýíïõìå ôéò
áíéóþóåéò ( ) ( ) ( ) ( )f x g x ή f x g x> < áíôßóôïé÷á.
Óôï äéðëáíü ó÷Þìá öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
fC ìéáò óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï ( )y f x= êáé ç
åõèåßá 0
y y= .
• Ç fC âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôçí åõèåßá
0y y= ãéá êÜèå x ðïõ áíÞêåé óôçí
Ýíùóç ôùí äéáóôçìÜôùí ( ) ( )α,β , γ,+∞ .
Åíþ âñßóêåôáé êÜôù áðü ôçí åõèåßá 0
y y= ãéá êÜèå x ðïõ áíÞêåé óôçí Ýíùóç
ôùí äéáóôçìÜôùí ( ) ( ),α , β, γ−∞ .ÄçëáäÞ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0
0
f x y x α,β γ,
f x y x ,α β, γ
> ⇔ ∈ ∪ +∞
< ⇔ ∈ −∞ ∪
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Ðïéá åßíáé ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ãñá-
öéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ( )f x ηµx= ìå ôïí
x'x
Ëýóç
( )y 0 f x 0 ηµx 0 x kπ, k Z= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
¢ñá ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ìå
ôïí Üîïíá x x′ åßíáé ôá óçìåßá ( )M kπ,0 , k Z∈ .
Ðïý ôÝìíåé ç Cf ôïí Üîïíá x'x áí
( )2
3f x
x 6x 9=
− + ;
Ëýóç
Ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï ( )2
3f x
x 6x 9=
− +, Ý÷åé
ðåäßï ïñéóìïý { }fA R 3= − êáé åßíáé
( )2
3y 0 f x 0 0 3 0
x 6x 9= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
− +
ðïõ åßíáé áäýíáôï.
¢ñá, ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f äåí ôÝìíåé ôïí
Üîïíá x x′ .
Ó÷åôéêÞ èÝóç
ôùí Cf, C
g
Ó÷åôéêÞ èÝóç
ïñéæüíôéáò
åõèåßáò
ìå ôç Cf
B9
ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò 157
ÐÏÕ ÔÅÌÍÅÉ Ç ÊÁÌÐÕËÇ C
TOYÓ ÁÎÏÍÅÓ
5
4
3
Ç ãñ. ðáñÜóôáóç fC öáßíåôáé óôï ó÷Þìá.
Ôï ó÷Þìá êÜôù ðáñéóôÜíåé ôçí êáìðý-
ëç ìå åîßóùóç ( )y f x= . Ðüóåò ëýóåéò Ý÷åé
ç åîßóùóç ( )f x 0= .
Ëýóç
Ðáñáôçñïýìå üôé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝ-
ìíåé ôïí Üîïíá x x′ óå ôñßá óçìåßá, åðïìÝíùò ç
åîßóùóç ( )f x 0= Ý÷åé ôñåéò ëýóåéò.
¸óôù ç óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï
( )x
x 1, x 0f x
e , x 0
+ <=
≥
Íá âñåèïýí ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò fC ìå
ôïõò Üîïíåò x x′ êáé y y′ .
Ëýóç
ÈÝôïõìå x = 0, ïðüôå ( ) 0f 0 e= . ¢ñá ôï óçìåßï
ôïìÞò ìå ôïí Üîïíá y y′ åßíáé ôï (0, 1).
ÈÝôïõìå: ( )f x 0 x 1 0 x 1= ⇔ + = ⇔ = − . ¢ñá ôï
óçìåßï ôïìÞò ôçò fC ìå ôïí Üîïíá x x′ åßíáé ôï
( )1,0− . Ç åîßóùóç xe 0= , åßíáé áäýíáôç.
Óôï ó÷Þìá öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-
íÜñôçóçò f.
Íá âñåèïýí ôá x R∈ þóôå ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ìå
( ) ( )xf x n 2 e= −� íá åßíáé:
á. ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x x′
â. êÜôù áðü ôïí Üîïíá x x′ .
Ëýóç
Èõìçèåßôå üôé:
• nx 0 x 1� > ⇔ >
• 1 2 1 20 x x nx nx� �< < ⇔ <
• 1 2x x
1 2x x α α ,α 1< ⇔ < >
• n1 0� =
• 0α 1, µε α 0= ≠
á. Ç fC âñßóêåôáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x x′ , ãéá
ôá óôïé÷åßá x R∈ ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:
( ) ( ) ( )x x
x x 0
f x 0 n 2 e 0 n 2 e n1
2 e 1 e 1 e
x 0
� � �> ⇔ − > ⇔ − > ⇔
⇔ − > ⇔ < = ⇔
⇔ <
â. Ç fC âñßóêåôáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá x x′ , ãéá
ôá óôïé÷åßá x R∈ ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:
( ) ( )x
x x 0
f x 0 n 2 e 0 n1
2 e 1 e 1 e
x 0
� �< ⇔ − < =
⇔ − < ⇔ > =
⇔ >
A9
B10
A10
B11
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8158
9
8
7
6 Íá âñåèïýí ôá êïéíÜ óçìåßá ôùí ãñá-
öéêþí ðáñáóôÜóåùí ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé
g ìå ôýðïõò:
( ) 2f x x 8= + êáé ( )g x 4x 5= +
Ëýóç
Åßíáé:
( ) ( ) 2
2
f x g x x 8 4x 5
x 4x 3 0 x 1 ή x 3
= ⇔ + = + ⇔
⇔ − + = ⇔ = =
¢ñá ôá êïéíÜ óçìåßá ôùí ãñáöéêþí ðáñáóôÜóå-
ùí ôùí f êáé g åßíáé ôá óçìåßá:
( )( ) ( )1,f 1 1,9= êáé ( )( ) ( )3,f 3 3,17=
Þ ( )( ) ( )1,g 1 1,9= êáé ( )( ) ( )3,g 3 3,17=
Ðáñáôçñþíôáò ôï ó÷Þìá íá ðñïóäéï-
ñßóåôå ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò á êáé â.
Ëýóç
Ç åõèåßá Ý÷åé åîßóùóç y λx µ= + , ôá óçìåßá ôï-
ìÞò ôçò åõèåßáò êáé ôçò óõíÜñôçóçò ( )y f x=
åßíáé ôá ( )1, 1− , (á, â) Üñá, éó÷ýïõí:
λ µ 1+ = − êáé 2 λ·0 µ− = +
áðü ôéò ïðïßåò ðáßñíïõìå: µ 2,λ 1= − = .
Éó÷ýïõí:
2β α= − êáé β α 2= − ïðüôå:
2 2α α 2 α α 2 0 α 1, α 2− = − ⇔ + − = ⇔ = = −
êáé åðåéäÞ á < 0 èá åßíáé α 2= − .
ÅðïìÝíùò êáé β 2 2 4= − − = − .
B4
B5
Ôï äéðëáíü ó÷Þìá ðáñéóôÜíåé ôç ãñá-
öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò ( )y f x= .
Ðüóåò ëýóåéò Ý÷åé ç åîßóùóç ( )2f x 3= .
Ëýóç
Åßíáé ( ) ( )3
2f x 3 f x2
= ⇔ = . Ðáñáôçñïýìå üôé ç
åõèåßá 3
y2
= ôÝìíåé ôçí fC óå ôÝóóåñá óçìåßá.
Ïé ôåôìçìÝíåò ôùí óçìåßùí áõôþí åßíáé ïé ôÝó-
óåñéò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò ( )2f x 3= .
Ôï äéðëáíü ó÷Þìá ðáñéóôÜíåé ôç ãñá-
öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò
( )y f x 2= − .
Ðüóåò ëýóåéò Ý÷åé ç åîßóùóç ( )f x 0= .
Ëýóç
ÆçôÜìå ôéò ëýóåéò ôéò åîßóùóçò ( )f x 0= ðïõ åß-
íáé éóïäýíáìç ìå ôçí ( )f x 2 2− = − . Ðáñáôçñïý-
ìå üôé ç åõèåßá y 2= − Ý÷åé Ýíá ìüíï óçìåßï ôï-
ìÞò ìå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò
( )y f x 2= − , Üñá ç åîßóùóç ( )f x 0= Ý÷åé ìéá
ìüíï ëýóç.
ðïõ ôÝìíåé ç êáìðýëç C ôïõò Üîïíåò 159
ÐÏÕ ÔÅÌÍÅÉ Ç ÊÁÌÐÕËÇ C
TOYÓ ÁÎÏÍÅÓ
10 ¸óôù ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( )f x x 1= − .
Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò ç
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóçfC âñßóêåôáé ðÜíù áðü
ôçí åõèåßá y 2= .
Ëýóç
Áíáæçôïýìå ôá x ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:
( )f x 2 x 1 2 x 1 2 ή x 1 2
x 1 ή x 3
> ⇔ − > ⇔ − < − − >
⇔ < − >
Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x R∈ ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f âñßóêåôáé
ðÜíù áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-
íÜñôçóçò g, üôáí:
i. ( ) ( )x xf x 2e 3 και g x e 2= − = −
ii. ( ) ( )3f x x 2x 4 και g x x 4= − + = − +
11
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã56. Íá âñåßôå ôá óçìåßá óôá ïðïßá ôÝìíåé
ôïõò Üîïíåò x x′ êáé y y′ ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò
( ) ( )( )2 2f x x 1 x 4= − + .
Ã57. Äßäåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå
( ) ( )2f x x 9 x 1= − − .
Ðïéá åßíáé ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò ãñáöéêÞò
ðáñÜóôáóçò ìå ôïõò Üîïíåò.
Ã58. Ðïý ôÝìíåé ç Cg ôïí Üîïíá x'x áí
( )2
1g x
x 3x 4=
− +
Ã59. ¸óôù ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( )f x x 1= −
Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ x ãéá ôéò ïðïßåò
Ëýóç
i. Åßíáé,
( ) ( ) x x x
x 0
f x g x 2e 3 e 2 e 1
e e x 0
> ⇔ − > − ⇔ >
⇔ > ⇔ >
Üñá, ãéá êÜèå ( )x 0,∈ +∞ ç fC åßíáé ðÜíù
áðü ôç gC .
ii. Åßíáé,
( ) ( )
( ) ( )( )
3 3
2
f x g x x 2x 4 x 4 x 3x 0
x x 3 0 x x 3 x 3 0
> ⇔ − + > − + ⇔ − >
⇔ − > ⇔ − + >
ïðüôå, ãéá êÜèå ( ) ( )x 3,0 3,∈ − ∪ +∞ éó÷ýåé
( ) ( )f x g x> .
ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóçfC âñßóêåôáé ðÜíù
áðü ôçí åõèåßá y 5= .
Ã60. Íá âñåèïýí ôá x R∈ þóôå ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f ìå
( ) ( )xf x n 1 e= −� íá åßíáé:
á. ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x x′ .
â. êÜôù áðü ôïí Üîïíá x x′ .
Ã61. Íá âñåèïýí ôá äéáóôÞìáôá óôá ïðïßá ç
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò
( )2x 2
x1
f x ee
−
= −
âñßóêåôáé:
i. ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x'x,
ii. êÜôù áðü ôïí Üîïíá x'x.
(âë. áóê.Â.128)
A9
B8
B10
B3
A9
Á10
Â4
Â5
B8
B10
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 8160
Ã62. Íá âñåèåß óå ðïéá óçìåßá ç ãñáöéêÞ ðá-
ñÜóôáóç ôçò ( ) ( )[ ]2f x n n x x e= − +� �
ôÝìíåé ôïí Üîïíá x x′ . (âë. áóê.Â.136)
Ã63. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôá-
óç ôçò óõíÜñôçóçò ( )f x x 3= + âñßóêå-
ôáé ðÜíù áðü ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò
( )g x x 2 x= − + ; (âë. áóê.9, óåë.60)
Ã64.i. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ x ç óõíÜñôçóç
( )f x 5x 6= − âñßóêåôáé ìåôáîý ôùí
åõèåéþí y 2= êáé y 8= ;
(âë. áóê.7, óåë. 59)
ii. Íá âñåßôå ôéò áêÝñáéåò ôéìÝò ôïõ k
þóôå ç åõèåßá ( )ε : y k= íá ôÝìíåé
óõã÷ñüíùò ôéò óõíáñôÞóåéò:
( ) 2
1c : y x 2x 3= − + + êáé
( ) 2
2
1c : y x 4x 3
2= − +
iii. ¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g ìå ôýðïõò
( )f x x x= + êáé ( )g x x x= −
Íá åîåôÜóåôå áí ïé ãñáöéêÝò ôïõò ôÝìíïíôáé.
(âë. áóê.A6.6)
Ã65. Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò ãñáöéêÞò
ðáñÜóôáóçò ôçò ( )2
x 7 6f x
x 1 x x
+= +
+ + ìå
ôçí äé÷ïôüìï ôçò 1çò - 3çò ãùíßáò ôùí
áîüíùí. (âë. áóê.2, óåë.85)
Ã66. Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôùí ãñáöéêþí
ðáñáóôÜóåùí ôùí óõíáñôÞóåùí ìå ôý-
ðïõò:
( ) 2f x x x 1= − + êáé ( )g x 1 2x= −
(âë. áóê.4, óåë.86)
Ã67. Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò åõèåßáò
y=2 ìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-
íÜñôçóçò ( )f x ηµx 3συνx= + .
(âë. áóê.4, óåë.37)
Ïìïßùò áí
( ) ( )2x 3x
2f x x 2x 2
−
= + − êáé y=1.
(âë. ð÷. óåë. 112)
Boçèçôéêüò ðßíáêáòÃ.9
Ðñïóäéïñßæïõìå áñêåôÜ óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ xOy áðü ôá ïðïßá äéÝñ÷åôáé ç êáìðýëç ôçò ãñáöéêÞò
ðáñÜóôáóçò, èÝôïíôáò óôïí ôýðï ( )y f x= ôçò óõíÜñôçóçò óõãêåêñéìÝíåò ôéìÝò ôçò áíáîÜñôçôçò
ìåôáâëçôÞò x.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
ν ν ν ν ν ν
x x y f x M x , y
x x y f x M x , y
x x y f x M x , y
x x y f x M x , y
= → = →
= → = →
= → = →
= → = →
�
Ìå ìïñöÞ ðßíáêá Ý÷ïõìå:
Á9
Á4
Â4
Â5
Â8
Â10
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç 161
ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ
ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóçÃ.10
¼ñéï
óõíÜñôçóçò
üôáí
0x x→
Ãéá ôçí “ôïðéêÞ” ìåëÝôç ìéáò óõíÜñôçóçò f, åíäéáöÝñïí Ý÷åé ç óõìðåñéöïñÜ
ôçò óõíÜñôçóçò ãýñù áðï êÜðïéá èÝóç x0 (äçëáäÞ üôáí ôï x âñßóêåôáé ðïëý
êïíôÜ óôï x0) Þ óôï +∞ Þ óôï −∞ .
Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï: ( )2x 1
f x , x 1x 1
−= ≠
−
Ç ðáñáðÜíù óõíÜñôçóç äåí ïñßæåôáé ãéá x = 1, üìùò ìðïñïýìå íá âãÜëïõìå
êÜðïéá óõìðåñÜóìáôá ãéá ôç óõìðåñéöïñÜ ôçò ãýñù êáé ðïëý êïíôÜ óôç èÝóç
x = 1.
Ðáñáôçñïýìå üôé:
• Áí ôï x ðëçóéÜæåé ôï 1 áðü ôá áñéóôåñÜ , ôï f(x) ðëçóéÜæåé ôïí áñéèìü 2 ìå
( )f x 2< . Ôüôå ãñÜöïõìå ( )x 1
lim f x 2−
→
= .
• Áí ôï x ðëçóéÜæåé ôï 1 áðü ôá äåîéÜ ,ôï f(x) ðëçóéÜæåé ðÜëé ôïí áñéèìü 2 ìå ( )f x 2> .Ôüôå ãñÜöïõìå
( )x 1
lim f x 2+
→
= . ÓõìðåñáóìáôéêÜ ëÝìå üôé ,
ôï üñéï ôçò f üôáí ôï x ôåßíåé óôï 1 åßíáé ôï 2 , êáé óõìâïëéêÜ
ãñÜöïõìå: ( )x 1
lim f x 2→
= .
Ãåíéêüôåñá, ï óõìâïëéóìüò ( )0
x xlim f x→
= � óçìáßíåé üôé üôáí ôï x ðáßñ-
íåé ôéìÝò êïíôÜ óôï x0 , ôüôå ôï f(x) ðáßñíåé ôéìÝò êïíôÜ óôï R∈� .
ÐáñáôÞñçóç:
Áðï ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò åßíáé öáíåñü ïðïéïäÞðïôå üñéï
ôçò.
Ãéá ðáñÜäåéãìá óôï äéðëáíü ó÷Þìá ðáñáôçñÞóôå üôé:
( ) ( )
( ) ( )x 3 x 2
x 1 x 2
limf x 2, limf x 1,
lim f x 1, lim f x 0
→ →
→− →−
= =
= =
ÐáñáôçñÞóôå üôé ôá - 2,- 1,3 áíÞêïõí óôï ðåäßï ïñéóìïý Á ôçò f , åíþ ôï 2 äåí áíÞêåé óôï Á, áëëÜ õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïõ
Ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôçóçò f ðåôõ÷áßíïõìå óå ðÜñá ðïëý óôïé÷åéþäåò
åðßðåäï (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ ãõìíáóßïõ) ìå ôç âïÞèåéá åíüò ðßíáêá ôéìþí.
¸íá äåýôåñï åðßðåäï (ðëçñÝóôåñçò ìåëÝôçò) áðïôåëïýí ôá óôÜäéá-âÞìáôá ðïõ ðñïç-
ãÞèçêáí (ðñþôåò ôÜîåéò ôïõ Ëõêåßïõ) êáé ôï ôåëåõôáßï åðßðåäï (ðëÞñïõò
ìåëÝôçò) ðåôõ÷áßíïõìå ìå ôçí âïÞèåéá ôùí ïñßùí êáé ôùí ðáñáãþãùí. ÊÜíïõìå óôç óõíÝ÷åéá ìéá áíáöïñÜ
óôï èÝìá ôïõ üñéïõ óõíÜñôçóçò þóôå íá áíôéëçöèïýìå êáëýôåñá ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôùí óôïé÷åéùäþí
óõíáñôÞóåùí ðïõ áêïëïõèïýí ÷ùñßò âÝâáéá ó’áõôÞ ôç öÜóç íá ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôá áêñéâÞ üñéá
ðïõ åßíáé Üêñùò áðáñáßôçôá ãéá ôçí ðëÞñç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç.
÷ ÷1
÷2
÷3
..... ÷4
( )y f x= ( )1 1y f x= ( )2 2
y f x= ( )3 3y f x= ..... ( )ν ν
y f x=
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10162
Á êïíôÜ óôï x = 2.
¼ñéá üðùò ( ) ( )1 x 4
x2
lim f x , limf x→
→−
,äåí Ý÷ïõí íüçìá, áöïý ãéá ôïõò áñéèìïýò 1και 4
2− ðïõ äåí áíÞêïõí óôï
Á, äåí õðÜñ÷ïõí êáé óçìåßá ôïõ Á êïíôÜ ó’áõôÜ. ÅðïìÝíùò,áí f åßíáé óõíÜñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý Á, ôüôå ôï
üñéï ôçò f óôï x0 Ý÷åé íüçìá áí:
• ôï x0 áíÞêåé óôï Á êáé õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïõ Á êïíôÜ óôï x
0 .
• ôï x0 äåí áíÞêåé óôï Á, áëëÜ õðÜñ÷ïõí óçìåßá ôïõ Á êïíôÜ óôï x
0 .
Ôá ðáñáðÜíù óõìâáßíïõí áí ôï x0 åßíáé ôïõëÜ÷éóôïí áíïéêôü Üêñï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ôçò f.
ÅöáñìïãÞ:
Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå ( )1
f xx 1
=−
.
Áí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 1 (ïðüôå êáé ï ðáñïíïìáóôÞò åßíáé
Ýíáò áñéèìüò êïíôÜ óôï 0), ôüôå ç f èá ëáìâÜíåé ïðùóäÞðïôå ðïëý
ìåãÜëåò ôéìÝò êáô’ áðüëõôç ôéìÞ.
Åéäéêüôåñá ,áí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 1 êáé åßíáé x > 1( ï
ðáñïíïìáóôÞò åßíáé Ýíáò áñéèìüò êïíôÜ óôï 0 èåôéêüò), ôüôå ïé ôéìÝò
ôçò f èá åßíáé ðÜñá ðïëý ìåãÜëïé èåôéêïß áñéèìïß.
ËÝìå ôüôå üôé :
“ç f Ý÷åé üñéï ôï + ∞ , üôáí ôï x ôåßíåé óôï 1 áðï ôá äåîéÜ ” êáé
ãñÜöïõìå :
x 1
1lim
x 1+→
= +∞−
Áí ôï x âñßóêåôáé ðïëý êïíôÜ óôï 1 êáé åßíáé x < 1( ï ðáñïíïìáóôÞò åßíáé Ýíáò áñéèìüò áñíçôéêüò ), ôüôå ïé ôéìÝò
ôçò f èá åßíáé áñíçôéêÝò. ËÝìå ôüôå üôé :
“ ç f Ý÷åé üñéï ôï −∞ , üôáí ôï x ôåßíåé óôï 1 áðü ôá áñéóôåñÜ ” êáé ãñÜöïõìå:
x 1
1lim
x 1−→
= −∞−
Ôá üñéá ( ) ( )x 1 x 1
lim f x , lim f x− +
→ →
ïíïìÜæïíôáé ðëåõñéêÜ üñéá ôçò f óôç èÝóç x = 1.
Áí Ýíá ôïõëÜ÷éóôïí áðï ôá ðëåõñéêÜ üñéá ìéáò óõíÜñôçóçò óôç èÝóç x0 åßíáé Üðåéñï ( )±∞ ôüôå ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôçò f Ý÷åé êáôáêüñõöç áóýìðôùôç ôçí åõèåßá ìå åîßóùóç x = x0 .
Ãéá ôç óõíÜñôçóç ( )1
f xx 1
=−
ðïõ Ý÷åé êáôáêüñõöç áóýìðôùôç ôçí åõèåßá x =1, ôá ðëåõñéêÜ üñéá åñìçíåýïíôáé
ãñáöéêÜ óôï äéðëáíü ó÷Þìá .
Áí ôá ðëåõñéêÜ üñéá ìéáò óõíÜñôçóçò f óå êÜðïéá èÝóç x = x0 åßíáé ßóá, ôüôå ëÝìå üôé õðÜñ÷åé ôï üñéï ôçò f óôç èÝóç
x = x0 ôï ïðïßï óõìâïëßæïõìå ìå ( )
0x xlim f x→
.
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç 163
ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ
Ôüôå éó÷ýåé: ( ) ( ) ( )00 0
x xx x x x
lim f x lim f x lim f x− + →→ →
= =
Áí ôá ðëåõñéêÜ üñéá ìéáò óõíÜñôçóçò f óå êÜðïéá èÝóç x = x0 äåí åßíáé ßóá, ôüôå ëÝìå üôé äåí õðÜñ÷åé ôï
üñéï ôçò f óôç èÝóç x = x0 .
Ãéá ôç óõíÜñôçóç ( )1
f xx 1
=−
éó÷ýåé ( ) ( )x 1 x 1
lim f x lim f x− +
→ →
≠ ,ïðüôå óõìðåñáßíïõìå üôé ôï üñéï ôçò f óôç
èÝóç x = 1 äåí õðÜñ÷åé.
ÐáñáôÞñçóç:
Ôá óýìâïëá + ∞ και −∞ ìðïñïýìå íá ôá “÷åéñéæüìáóôå” óå áñêåôÝò ðåñéðôþóåéò ùò “áñéèìïýò” ìå ôá
ðñüóçìÜ ôïõò íá ðáßæïõí ôïí ßäéï ñüëï ìå áõôÜ ôùí áñéèìþí.
¼ëåò ïé ðñÜîåéò ìåôáîý ôïõ ±∞ êáé ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ( åêôüò ôïõ ìçäåíüò ) ïñßæïíôáé ìå ðñïöáíÞ
ôñüðï.
Éó÷ýåé ãéá ðáñÜäåéãìá,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )10
2002 , 1960 , 2 , ,100
+∞+∞ − = +∞ −∞ − = −∞ − ⋅ −∞ = +∞ = +∞ −∞ = +∞
ÕðÜñ÷ïõí üìùò êáé ðñÜîåéò ðïõ äåí åßíáé åðéôñåðôÝò.
ÁõôÝò åßíáé ïé :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
, , , 0 , , 1 , 0+∞ +∞
±∞−∞ + +∞ +∞ − +∞ ⋅ ±∞ +∞
±∞
ïé ïðïßåò ìáæß ìå ôéò 00
,00
áðïôåëïýí ôéò áðñïóäéüñéóôåò ìïñöÝò ðïõ èá ìåëåôÞóïõìå óå åðüìåíá
êåöÜëáéá.
Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå ( )1
f xx
= .¼ôáí ï ðáñïíï-
ìáóôÞò åßíáé ìåãÜëïò êáô’ áðüëõôç ôéìÞ , äçëáäÞ üôáí ôï x
ôåßíåé óôï +∞ Þ óôï −∞ , ôüôå ç ôéìÞ ôçò f âñßóêåôáé ðïëý
êïíôÜ óôï 0.
ÃñÜöïõìå ôüôå: x x
1 1lim 0 , lim 0
x x→+∞ →−∞
= = .
ÃñáöéêÜ áõôü óçìáßíåé üôé ç Cf Ý÷åé óôï +∞ êáé óôï −∞ , ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçí åõèåßá
y = 0 ( âë. ó÷Þìá ).
ÅðåéäÞ f(x) > 0 üôáí x ôåßíåé óôï +∞ , ç êáìðýëç ðñïóåããßæåé ôçí y = 0 áðï “ðÜíù” óôï +∞ . Ïìïßùò åðåéäÞ f(x)
< 0 üôáí x ôåßíåé óôï −∞ , ç êáìðýëç ðñïóåããßæåé ôçí y = 0 áðï “êÜôù” óôï −∞ .
Ãåíéêüôåñá , áí ãéá ìéá óõíÜñôçóç f éó÷ýåé : ( ) ( )x x
lim f x k R lim f x k R→+∞ →−∞
= ∈ η = ∈ ôüôå ç Cf Ý÷åé
ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçí åõèåßá y = k óôï +∞ Þ óôï −∞ áíôßóôïé÷á.
Ó÷üëéï
Áí ( ) ( )x x
lim f x lim f x→+∞ →−∞
= ±∞ η = ±∞ ôüôå ç Cf äåí Ý÷åé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç óôï +∞ Þ óôï −∞ , áíôß-
óôïé÷á.
Åßíáé äõíáôü ìéá óõíÜñôçóç íá Ý÷åé ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ìüíï óôï +∞ Þ ìüíï óôï −∞ Þ íá Ý÷åé äéáöï-
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10164
ñåôéêÝò áóýìðôùôåò óôï +∞ êáé óôï −∞ Þ êáé ôçí ßäéá.
Áðü ôïí ðáñáðÜíù ïñéóìü óõìðåñáßíïõìå üôé áíáæçôïýìå ôéò êáôáêüñõöåò áóýìðôùôåò óõíáñôÞóåùí óôá
áíïéêôÜ Üêñá ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý åêôüò ôùí ±∞ .
ð.÷. Ãéá ôç óõíÜñôçóç ( )( )( )
1f x
x 2 x 1=
− +
, Ý÷ïõìå :
( )x 2
lim f x−
→
= −∞ êáé ( )x 2
lim f x+
→
= +∞ êáé ( )x 1
lim f x−
→−
= +∞
êáé ( )x 1
lim f x+
→−
= −∞
¢ñá ïé åõèåßåò x = 2 êáé x = - 1 åßíáé êáôáêüñõöåò á-
óýìðôùôåò ôçò Cf.
Åðßóçò åßíáé ( )x
lim f x 0→±∞
= êáé óõíåðþò ç åõèåßá y = 0
åßíáé ç ïñéæüíôéá áóýìðôùôç ôçò Cf óôï +∞ êáé óôï −∞ .
Ìå ôç âïÞèåéá êáé ìüíï ôùí ðáñáðÜíù ïñßùí êÜíïõìå ìéá
áñêåôÜ éêáíïðïéçôéêÞ ðñïóÝããéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá.
Ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáêÜôù èåùñÞìáôïò äéåõêïëýíåôáé ï õðïëïãéóìüò ïñßùí (Üëãåâñá ïñßùí):
Áí ôá üñéá 0 0
x x x x
lim f (x) και lim g(x)→ →
õðÜñ÷ïõí êáé åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ôüôå:
( )0 0 0
x x x x x xlim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)→ → →
+ = + ( )0 0
x x x xlim k f (x) k lim f (x) , k R→ →
⋅ = ∈
( )0 0 0
x x x x x xlim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)→ → →
⋅ = ⋅ ( ) ( )0 0
νν
x x x xlim f (x) lim f (x) , ν Ν→ →
= ∈ ìå v 2≥
( )
( )0
0 0
0
x x
x x x x
x x
lim f (x)f xlim , lim g(x) 0
g x lim g(x)
→
→ →
→
= ≠0 0
x x x xlim f (x) lim f (x)→ →
=
0 0
ν ν
x x x x
lim f (x) lim f (x) µε f (x) 0→ →
= ≥ êïíôÜ óôï x0 , v N∈ ìå v 2≥ .
Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò áõîÜíïíôáé áðåñéüñéóôá üôáí ôï x áõîÜíåôáé áðåñéüñé-
óôá, ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï + ∞ åßíáé ôï + ∞ êáé ãñÜöïõìå óõìâï-
ëéêÜ: ( )x
lim f x→+∞
= +∞ .
Õðïëïãéóìüò
ïñßïõ
óõíÜñôçóçò
üôáí
x→ ±∞
Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò
ìåéþíïíôáé áðåñéüñéóôá
üôáí ôï x áõîÜíåôáé áðåñéü-
ñéóôá , ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò
óõíÜñôçóçò óôï + ∞ åß-
íáé ôï −∞ êáé ãñÜöïõìå
( )x
lim f x→+∞
= −∞ .
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç 165
ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ
Óôïí äéðëáíü ðßíáêá äßíïõìå
ôá üñéá óôï + ∞ και −∞
âáóéêþí óõíáñôÞóåùí.
Ó÷üëéá
1. Áí ãíùñßæïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí åêèåôéêþí êáé ëïãáñéèìéêþí óõíáñôÞóåùí äåí åßíáé
áðáñáßôçôï íá áðïìíçìïíåýóïõìå ôá áíôßóôïé÷á üñéá ðïõ áíáöÝñïíôáé óôïí ðáñáðÜíù ðßíáêá.
2. Ï õðïëïãéóìüò ôùí ïñßùí óôï Üðåéñï ãßíåôáé ìå ôïõò ßäéïõò êáíüíåò (óåë.211) ìå ôïõò ïðïßïõò õðïëïãß-
æïõìå üñéá óå ðñáãìáôéêü áñéèìü, åöüóïí ïé “ïñéáêÝò ðñÜîåéò” ðïõ ðáñïõóéÜæïíôáé åßíáé åðéôñåðôÝò.
3. Èõìßæïõìå ôéò ìç åðéôñåðôÝò ðñÜîåéò ðïõ ó÷åôßæïíôáé ìå ôï ±∞ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
, , , 0 , , 1 , 0+∞ +∞
±∞−∞ + +∞ +∞ − +∞ ⋅ ±∞ +∞
±∞
4. Åðßóçò, ðñÝðåé íá ãíùñßæïõìå üôé ãéá ôá üñéá óôï Üðåéñï ðïëõùíõìéêÞò óõíÜñôçóçò ï üñïò ðïõ
“áðïêëßíåé ãñçãïñüôåñá” óôï Üðåéñï åßíáé ï ìåãéóôïâÜèìéïò üñïò, ïðüôå ãéá íá âñïýìå ôï üñéï ðïëõù-
íõìéêÞò óõíÜñôçóçò áñêåß íá âñïýìå ôï üñéï ôïõ ìåãéóôïâÜèìéïõ üñïõ ôçò.
5. Ôá óõìðåñÜóìáôá ôùí ðñïçãïýìåíùí óôáäßùí - âçìÜôùí ìåëÝôçò ( Ã1 - Ã10 ) äßíïõí ôçí êáìðýëç
ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f äçëáäÞ ôçí fC üðùò óõíçèßæïõìå íá ôçí óõìâïëßæïõìå.
Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò áõîÜíïíôáé áðå-
ñéüñéóôá üôáí ôï x ìåéþíåôáé áðåñéüñéóôá, ëÝìå
üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï −∞ åßíáé
ôï + ∞ êáé ãñÜöïõìå óõìâïëé-
êÜ: ( )x
lim f x→−∞
= +∞ .
Áí ïé ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçò ìåéþíïíôáé á-
ðåñéüñéóôá üôáí ôï x ìåéþíåôáé áðåñéüñéóôá,
ëÝìå üôé ôï üñéï ôçò óõíÜñôçóçò óôï
−∞ åßíáé ôï −∞ êáé ãñÜöïõìå óõìâïëé-
êÜ: ( )x
lim f x→−∞
= −∞
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10166
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
3
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá õðïëïãéóôåß ôï ( )x 2
lim f x→
, áí
( )( )
−
− − −=
2
2
x 3x
x 2x 2007 x 1f x
e
Ëýóç
ÌåôÜ ôï äéáéóèçôéêü - ãåùìåôñéêü ôñüðï ïñéóìïý
åßíáé öáíåñü üôé óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ ôï 0x åßíáé
óçìåßï ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý ìéáò óõíÜñôçóçò (ãéá
ìïíïý ôýðïõ óõíáñôÞóåéò) ï õðïëïãéóìüò ôïõ ïñßïõ
èá ãßíåôáé ìå áð’ åõèåßáò áíôéêáôÜóôáóç ôïõ x ìå ôï
0x óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò êáé óôç óõíÝ÷åéá
åêôÝëåóç ôùí åðéôñåðüìåíùí ðñÜîåùí.
¸ôóé èÝôïõìå üðïõ ÷ ôï 2 êáé Ý÷ïõìå:
( ) ( )2 2
2 2
x 3x 2 3 2x 2
2
2
x 2x 2007 x 1 2 2 2 2007 2 1lim
e e
20072007e
e
− − ⋅→
−
− − − − ⋅ − −=
−= = −
Íá õðïëïãßóåôå ôá üñéá:
á. ( )2
x 1
lim x 3x 2→
+ −
â. ( )xx 0
lim ln 2 e→
−
ã. ( )2
x 0
lim 2ηµ x 4→
+
ä. 2
x 0
x 1 2lim
x 1→
+ −
−
Ëýóç
á. ÈÝôïõìå üðïõ x ôï 1 êáé Ý÷ïõìå:
( )2 2
x 1
lim x 3x 2 1 3 1 2 2→
+ − = + ⋅ − =
â. Ïìïßùò:
( ) ( )x 0
x 0 x 0
limln 2 e limln 2 e ln1 0→ →
− = − = =
ã. ( )2 2
x 0
lim 2ηµ x 4 2ηµ 0 4 0 4 4→
+ = + = + =
ä. 2 2
x 0
x 1 2 0 1 2lim 1
x 1 0 1→
+ − + −= =
− −
Áí ( )
2
3
x 2 , αν x 2
f x x 3x 4, αν x 2
x 1
+ ≤
= − +>
−
íá õðïëïãßóåôå ôá üñéá:
á. ( )x 0
lim f x→
êáé â. ( )x 2
lim f x→
Ëýóç
Áí ï ôýðïò ôçò óõíÜñôçóçò Ý÷åé êëÜäïõò, (ðïëëá-
ðëïý ôýðïõ óõíÜñôçóç), ôüôå ãéá íá õðïëïãßóïõ-
ìå ôï üñéü ôçò , óôç èÝóç áëëáãÞò ôùí êëÜäùí ,
õðïëïãßæïõìå ôá ðëåõñéêÜ üñéá óôç èÝóç áõôÞ.
á. ÅðåéäÞ 0 2< , Ý÷ïõìå:
( ) ( )2 2
x 0 x 0
limf x lim x 2 0 2 2→ →
= + = + =
â. Ôï 0x 2= åßíáé ôï óçìåßï óôï ïðïßï áëëÜæåé
ï ôýðïò ôçò f.
• Áí x 2−
→ , ôüôå x 2< êáé óõíåðþò
( ) ( )2
x 2 x 2
lim f x lim x 2 6− −
→ →
= + =
• Áí x 2+
→ , ôüôå x 2> êáé
( )3 3
x 2 x 2
x 3x 4 2 3 2 4lim f x lim 6
x 1 2 1+ +→ →
− + − ⋅ += = =
− −
ÅðåéäÞ åßíáé ( ) ( )x 2 x 2
lim f x lim f x 6− +
→ →
= = , èá åßíáé
êáé ( )x 2
lim f x 6→
= .
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç 167
ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã68. Ðïéá áðü ôéò óõíáñôÞóåéò ôùí ïðïßùí ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç âëÝðåôå ðáñáêÜôù åßíáé ãíçóßùò
áýîïõóá;
Ã69. Ìå âÜóç ôï ó÷Þìá íá óõìðëçñþóåôå ôá ðáñáêÜôù êåíÜ:
á. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï......................
â. Ôï óýíïëï ôéìþí ôçò f åßíáé ôï..........................
ã. Ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ............ êáé ç åëÜ÷éóôç
ôéìÞ åßíáé ............, üôáí =x ..............
Ã70. Á. Ìå âÜóç ôï äéðëáíü óÞìá íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ.
á. ( ) ...4f = ( ) ...xfim3x
=−→
�
â. ( ) ...ximf1x
=+
−→
� ( ) ...xfim1x
=−
−→
�
ã. ( ) 2xfim...x
=→
� ( ) 1xfim...x
=→
�
Ã71. á. Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ þóôå ïé ðáñáêÜôù ìïñöÝò íá åßíáé áðñïóäéüñéóôåò.
0
..., ... .0 ,
...
∞+, ( )...−∞+ , ( ) ...+∞−
â. Ìå âÜóç ôï äéðëáíü ó÷Þìá íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ
( ) .....xfimx
=+∞→
� ( ) .....xfim2x
=−
→
�
( ) .....xfim2x
=+
→
� ( ) .....xfimx
=−∞→
�
.....)x(f
1im1x
=+
→
� ......)x(f
1im3x
=+
→
�
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10168
Ã72. Íá õðïëïãßóåôå ôá åðüìåíá üñéá:
á. ( ) ( )3 7
x 0lim x 2 2x 1→
− ⋅ −
â. ( )2
x 1
lim x 5x 7→
+ −
ã. ( )x 1
lim f x→
, áí ( )4x, x 1
f x3x 1, x 1
≤=
+ <
ä. x 0
3x 10lim
x 5→
−
+
Ã73. Íá âñåèåß ï α R∈ áí,
( )2 2
x 2
lim x 3αx α 5 1→
− + + =
Ã74. Óôï ó÷Þìá ðá-
ñéóôÜíåôáé ç ãñáöé-
êÞ ðáñÜóôáóç êÜ-
ðïéáò óõíÜñôçóçò f.
Íá ðñïóäéïñßóåôå
(áí õðÜñ÷ïõí) ôá
üñéá:
( ) ( ) ( )x 1 x 2 x 3
lim f x , lim f x , lim f x→− → →
Ã75. ÐáñáêÜôù äßäïíôáé ïé ãñáöéêÝò ðáñá-
óôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g. Ná
âñåßôå ôá ðåäßá ïñéóìïý êáé ôéìþí ôïõò.
Ã76. á. Íá âñåßôå ôï k R∈ þóôå ôï óçìåßï
( )A 2,k íá áíÞêåé óôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôá-
óç ôçò ( )x 2
f xx
+= .â. Íá âñåßôå ôï k R∈
þóôå ( )f k 4= üðïõ ( ) 2f x x 3x= + .
ã. Íá âñåßôå ôï k R∈ þóôå ôï óçìåßï ( )A 1,2
íá áíÞêå é óôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
( )αx 1
f x3x
+= .ä) Íá âñåßôå ôá α,β R∈ þóôå
ôá óçìåßá ( )A 1,5 êáé ( )B 0,3 íá áíÞêïõí
óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ( )f x αx β= + .
Ã77. Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá äßíåôáé ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò f. Ná óõ-
ìðëçñþóåôå ôéò ðñïôÜóåéò:
i . Ôï Ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé:...................
ii. Ôï Óýíïëï ôéìþí ôçò f åßíáé: ........................
iii. Ôá äéáóôÞìáôá üðïõ ç f åßíáé áýîïõóá åß-
íáé: ........................................................
iv. Ôá äéáóôÞìáôá üðïõ ç f åßíáé öèßíïõóá åß-
íáé: ............................................................
v. Ç f ðáñïõóéÜæåé ìÝãéóôï: ..............................
vi. Ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï: ............................
vii.Ðïéá áðü ôá óçìåßá Á(0,1), Â(3,–2), Ã(2,0),
Ä(3,2), Å(4,1) áíÞêïõí óôç ãñáöéêÞ ðáñÜ-
óôáóç ôçò f ; ..........................................
viii.H ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí x x′
óôá óçìåßá: ...............................................
ix. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí y y′
óôï óçìåßï: ..............................................
Â4
Â5
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 169
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
ÂáóéêÝò - Óôïé÷åéþäåéò ÓõíáñôÞóåéò
1. ( )f x c, c R= ∈ (óôáèåñÞ óõíÜñôçóç)
2. ( ) *f x αx, α R= ∈ (åõèåßá)
3. ( )f x αx β, αβ 0= + ≠ (åõèåßá)
4. ( ) 2 *f x αx , α R= ∈ (ðáñáâïëÞ)
5. ( ) 2f x αx βx γ, α 0= + + ≠ (ðáñáâïëÞ)
6. ( )α
f x , α Rx
= ∈ (õðåñâïëÞ)
7. ( )f x x= (áðüëõôç ôéìÞ)
8. ( )f x x= (ôåôñáãùíéêÞ ñßæá)
9. ( ) xf x α , 0 α 1= < ≠ (åêèåôéêÞ ìå âÜóç á)
10. ( )α
f x log x, 0 α 1= < ≠ (ëïãáñéèìéêÞ ìå âÜóç á, 0 α 1< ≠ )
11. ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò
á) ( )f x ηµx= â) ( )f x συνx= ã) ( )f x εφx= ä) ( )f x σφx=
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10170
1. Ðåäßï ïñéóìïý: R
2. Ðåñéïäéêüôçôá:
3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé Üñôéá. ÅðïìÝíùò ç fC åßíáé êáìðýëç óõììåôñéêÞ ìå Üîïíá
óõììåôñßáò ôïí Üîïíá y 'y
4. Óýíïëï ôéìþí: Ôï ìïíïóýíïëï { }c
5. Ìïíïôïíßá: Ç óõíÜñôçóç f ÷áñáêôçñßæåôáé óôáèåñÞ óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.
6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1-1 óôï fA R=
7. Áêñüôáôá: Ôáõôßæåôáé ôï ìÝãéóôï ìå ôï åëÜ÷éóôï ßóá ìå c.
8. Ðïõ ôÝìíåé ç fC ôïõò Üîïíåò:
( )
f
y ' y : Στο σηµείο 0,c
αν c 0 δεν τέµνει τον άξονα x 'xx 'x :
αν c 0 η C ταυτίζεται µε τον x 'x
≠
=
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
Ç fC åßíáé åõèåßá ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá x 'x .
ÅéäéêÜ áí c 0= ôüôå åßíáé ï Üîïíáò x 'x .
Ó÷üëéï
Áí c 0< ç åõèåßá åßíáé êÜôù áðü ôïí Üîïíá x 'x .
Áí c 0> ç åõèåßá åßíáé ðÜíù áðü ôïí Üîïíá x 'x .
Áí c 0= ç åõèåßá åßíáé ï Üîïíáò x 'x .
1. 1. 1. 1. 1. ( )f x c, c R= ∈
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã78. i. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç óõíÜñôçóç:
( ) ( ) ( )6 6 4 4f x 2 ηµ x συν x 3 συν x ηµ x= + − +
åßíáé óôáèåñÞ. (âë. áóê. Á41)
ii. Íá âñåèåß ï Rλ ∈ þóôå ç óõíÜñôçóç
( ) ( )6 6 4 4f x ηµ x συν x λ ηµ x συν θ= + + +
íá åßíáé áíåîÜñôçóç ôïõ ôüîïõ x.
(âë. áóê. Á8.1)
Ã79. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( )( )( )
( )
2
2 2
x x 12x 35 x 5f x
x 5 3x 21x
− + −=
− ⋅ −
á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.
â. Íá áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé óôáèåñÞ
óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò.
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 171
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
2. 2. 2. 2. 2. ( ) *f x αx, α R= ∈
1. Ðåäßï ïñéóìïý: R
2. Ðåñéïäéêüôçôá: äåí ðáñïõóéÜæåé
3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ ïðüôå ç fC åßíáé óõììåôñéêÞ ìå êÝíôñï óõììåôñßáò ôçí
áñ÷Þ ôùí áîüíùí ( )O 0,0 .
4. Óýíïëï ôéìþí: R
5. Ìïíïôïíßá: αν α 0 η f είναι γν. φθίνουσα στο R
αν α 0 η f είναι γν. αύξουσα στο R
<
>
6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1-1 óôï f
Α R= ãéá êÜèå *
α R∈
7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé áêñüôáôåò ôéìÝò.
8. Ðïõ ôÝìíåé ç fC ôïõò Üîïíåò:
( )
( )
y ' y στο σηµείο O 0,0
x 'x στο σηµείο O 0,0
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
Ç fC åßíáé åõèåßá ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí ( )O 0,0 .
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10172
ÓõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò Þ êëßóç ìéáò åõèåßáò å ç ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí
áñ÷Þ ôùí áîüíùí ( )O 0,0 ïíïìÜæïõìå ôçí åöáðôïìÝíç ôçò ãùíßáò ù ðïõ
ó÷çìáôßæåé ï èåôéêüò çìéÜîïíáò O÷ óôñåöüìåíïò èåôéêÜ (áíôßèåôá ìå ôïõò
äåßêôåò ôïõ ñïëïãéïý) ìÝ÷ñé íá óõìðÝóåé ãéá ðñþôç öïñÜ ìå ôçí åõèåßá å
(Ó÷. 3).
Ôïí óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò, äçëáäÞ ôçí åöù, óõìïâëßæïõìå ìå ελ .
ÃñÜöïõìå ελ εφω α= = .
Ó÷üëéá
i. ¼ôáí α 0< ç ãùíßá ù åßíáé áìâëåßá (ó÷. 1)
¼ôáí α 0> ç ãùíßá ù åßíáé ïîåßá (ó÷. 2)
ii. ¼ôáí α 0< ãéá äýï ôéìÝò 1 2α α , α α= = ìå
1 2α α< åßíáé
1 2ω ω<
(âë.ó÷. 4).
¼ôáí α 0> ãéá äýï ôéìÝò 1 2
α α , α α= = ìå 1 2
α α< åßíáé 1 2
ω ω<
(âë.ó÷. 5).
iii. Ï Üîïíáò x 'x åßíáé åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí
åßíáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõíÜñôçóçò ìå åîßóùóç y 0 x= ⋅ äçëáäÞ
y 0= êáé óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò 0.
Ï Üîïíáò y 'y åßíáé åðßóçò åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí
áîüíùí, ÄÅÍ ÅÉÍÁÉ ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Ý÷åé åîß-
óùóç x 0= êáé äåí ïñßæåôáé ãé’áõôÞí óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò.
Ãåíéêüôåñá äåí ïñßæåôáé óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò ãéá ïðïéáäÞðïôå
åõèåßá êÜèåôç óôïí Üîïíá x 'x , ÄÅÍ ÅÉÍÁÉ ÃÑÁÖÉÊÇ ÐÁÑÁÓÔÁÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ êáé áí õðïèÝóïõ-
ìå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )0 0M x , y Ý÷åé åîßóùóç
0x x=
(âë.ó÷. 6).
iv. Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò äýï óõíáñôÞóåùí ( )1 1
y f x α x= = êáé
( )2 2
y f x α x= = ìå 1 2
α 0, α 0≠ ≠ åßíáé öáíåñü üôé ôÝìíïíôáé óôï
óçìåßï ( )0 0,0 êáé åéäéêÜ áí 1 2
α α 1⋅ = − ôÝìíïíôáé êÜèåôá (âë.ó÷. 7)
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 173
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
1
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
á. Íá õðïëïãßóåôå ôéò åöáðôïìÝíåò
ôùí ãùíéþí, ðïõ ó÷çìáôßæïõí åõèåßåò ðïõ
äéÝñ÷ïíôáé áðü ôá óçìåßá Á, Â, Ã, Ä, Å, Æ
ìå ôïí èåôéêü çìéÜîïíá Ï÷.
v. Áðü ôçí éóïäõíáìßá
x 0 yy αx α
x
≠
= ⇔ =
â. Íá âñåßôå ôéò åîéóþóåéò áõôþí ôùí åõèåéþí.
ã. Íá âñåßôå üëåò ôéò äõíáôÝò ôñéÜäåò óõ-
íåõèåéáêþí óçìåßùí êáé íá áíáöÝñåôáé
êÜèå öïñÜ êáé ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò.
äéáðéóôþíïõìå üôé ðáñÜ ôçí óõíå÷Þ ìåôáâïëÞ
ôùí ìåôáâëçôþí (ðïóþí) x, y ôï ðçëßêï ôïõò
ðáñáìÝíåé óôáèåñü.
Åßíáé ëïéðüí ç ìáèçìáôéêÞ Ýêöñáóç ôùí ÁÍÁ-
ËÏÃÙÍ ÐÏÓÙÍ.
Ôï óôáèåñü áõôü ðçëßêï ïñßóáìå ùò óõíôåëå-
óôÞ äéåýèõíóçò Þ êëßóç ôçò åõèåßáò ìå åîßóù-
óç - ôýðï y αx= .
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10174
3
2
Ëýóç
á. Ç åõèåßá ÏÁ (äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Ï,Á) ó÷ç-
ìáôßæåé ãùíßá Ýóôù á ìå ôïí èåôéêü çìéÜîïíá
Ï÷. Åßíáé 1
εφα5
= .
Ìå áíÜëïãï ôñüðï ïñßæïõìå êáé ôéò õðüëïéðåò
åõèåßåò êáé áíôßóôïé÷åò ãùíßåò.
2 1εφβ
10 5= = ,
5εφγ 1
5= = ,
10εφδ 1
10= = ,
5εφε 5
1= = ,
10εφζ 5
2= =
â. Ïé åîéóþóåéò ôùí åõèåéþí åßíáé:
1ΟΑ : y x
5= ΟΓ : y x= ΟE : y 5x=
1ΟB : y x
5= Ο∆ : y x= ΟΖ: y 5x=
ã. Ðáñáôçñïýìå üôé ôá óçìåßá Ï,Á, åßíáé óõíåõ-
èåéáêÜ êáé âñßóêïíôáé åðß ôçò åõèåßáò ìå åîß-
óùóç 1
y x5
= .
Åðßóçò óõíåõèåéáêÜ åßíáé ôá óçìåßá Ï,Ã,Ä
( )y x= êáé ôá óçìåßá Ï,Å,Æ ( )y 5x=
Óçìåßùóç: Ìå ïðïéïäÞðïôå ôñüðï ìðïñåßôå íá
åëÝãîåôå áí ôá óçìåßá Â,Ã,Æ åßíáé óõíåõèåéáêÜ.
Ïé ãùíßåò åíüò ôñéãþíïõ åßíáé áíÜëï-
ãåò ìå ôïõò áñéèìïýò 3, 4, 5. Íá õðïëïãß-
óåôå ôéò ãùíßåò áõôÝò (óå ìïßñåò).
Ëýóç
¸óôù ÷,y,z ïé ãùíßåò ôïõ ôñéãþíïõ. ÅðåéäÞ åßíáé
áíÜëïãåò ðñïò ôïõò áñéèìïýò 3, 4, 5 éó÷ýåé
yx z
3 4 5= = . Åßíáé ãíùóôü üôé ôï Üèñïéóìá ôùí
ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ åßíáé ßóï ìå 180 ìïßñåò.
Äçë. x y z 180+ + =
¼ìùò y x y zx z 180
153 4 5 3 4 5 12
+ += = = = =
+ +
.
¢ñá x15
3= ,
y15
4= ,
z15
5= êáé ôåëéêÜ åßíáé
x 45= ° , y 60= ° , z 75= ° .
Óôï ó÷.1 äßíåôáé ç ãñ. ðáñÜóôáóç ôçò
ó÷Ýóçò ôçò ôá÷ýôçôáò åíüò áõôïêéíÞôïõ ìå
ôïí ÷ñüíï ãéá ÷ñïíéêü äéÜóôçìá 10 ùñþí.
i. Ãíùñßæïíôáò üôé S
Ut
= óôï Ó÷. 2 íá âñåßôå
ðïéá áðü ôéò åõèåßåò 1 2 3ε ,ε ,ε åêöñÜæåé
ãñáöéêÜ ôçí ó÷Ýóç ôïõ äéáóôÞìáôïò ìå
ôïí ÷ñüíï ãéá ôçí êßíçóç ôïõ áõôïêéíÞ-
ôïõ.
ii. Ðþò ìðïñïýìå íá âñßóêïõìå ôçí ôá÷ýôç-
ôá åíüò êéíçôïý áðü ôçí ãñ. ðáñÜóôáóç
ôçò óõíÜñôçóçò ( )S t áí ( )S t αt= .
Ëýóç
i. Áðü ôï Ó÷.1 ðáñáôçñïýìå üôé ç ôá÷ýôçôá U Ý÷åé
óôáèåñÞ ôéìÞ ó’ üëç ôç äéÜñêåéá ôçò êßíçóçò. Ç
óôáèåñÞ ôéìÞ åßíáé 80km/h.
A1
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 175
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã80. Íá êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò
ôùí óõíáñôÞóåùí
á. ψ 4x= − â. 1
ψ x2
= − ⋅
ã. 3
ψ x2
= − ⋅
Ã81. Íá åîåôÜóåôå áí ôá óçìåßá:
( ) ( )3
2,1 , 3, , 6,32
âñßóêïíôáé ðÜíù
óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôç-
óçò 1
ψ x2
= ⋅ .
Ã82. Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò ç
ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîü-
íùí êáé áðü ôï óçìåßï ( )A 3,4 .
Ã83. Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôçò åõèåßáò ç
ïðïßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîü-
íùí êáé áðü ôï óçìåßï ( )A 2, 4− − . Ôá
óçìåßá ( )B 4, 8− − êáé ( )Γ 3,6 âñßóêï-
íôáé ðÜíù óôçí åõèåßá áõôÞ;
Ã84. Ìéá åõèåßá äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí
áîüíùí êáé áðü ôï óçìåßï ( )Α 3,9 . Íá
âñåèåß ç óõíÜñôçóç ðïõ Ý÷åé ãéá ãñá-
öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçí åõèåßá áõôÞ.
Ã85. Íá áðïäåßîåôå üôé ôá óçìåßá Á,Â,Ã üðïõ
( ) ( )Α 1, 2 , Β 2,4− − êáé ( )Γ 3,6 âñßóêï-
íôáé åðÜíù óå ìéá åõèåßá ç ïðïßá äéÝñ-
÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí. (õðü-
äåéîç: âñßóêïõìå ôçí åîßóùóç ôçò åõ-
èåßáò ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí
áîüíùí êáé ôï óçìåßï Á êáé ìåôÜ áðï-
äåéêíýïõìå üôé êáé ôá óçìåßá Â,Ã áíÞ-
êïõí óôçí åõèåßá áõôÞ).
¢ñá áðü ôïí ôýðï S
Ut
= Þ S U t= ⋅ .
Ðñïêýðôåé üôé S 80t= .
Ïé åõèåßåò 1 2 3
ε ,ε ,ε åýêïëá ðñïêýðôåé üôé ðáñé-
óôÜíïõí ôéò óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò ( )1S t 8t= ,
( )2S t 16t= , ( )3
S t 80t= . Ðáñáôçñïýìå üôé ç åõ-
èåßá 3
ε ðáñéóôÜíåé ãñáöéêÜ ôçí ó÷Ýóç ôïõ äéá-
óôÞìáôïò ìå ôïí ÷ñüíï ãéá ôçí êßíçóç ôïõ áõôï-
êéíÞôïõ.
ii) Aí ( )S t α t= ⋅ åßíáé ( )S t
αt
= ïðüôå óôáèåñÞ
ôá÷ýôçôá ôïõ êéíçôïý ó’ üëç ôçí äéÜñêåéá ôçò êß-
íçóçò åßíáé ï óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò ôçò åõ-
èåßáò ìå åîßóùóç ( )S t αt= äçë. U α= .
ÅðïìÝíùò ïé ôá÷ýôçôåò ôùí áõôïêéíÞôùí, ôçí êß-
íçóç ôùí ïðïßùí ïé åõèåßåò 1 2
ε ,ε åêöñÜæïõí
ãñáöéêÜ, åßíáé 8km/h, 16km/h áíôßóôïé÷á.
Óçìåßùóç:
á) Íá ìåëåôÞóåôå, ðùò ìðïñïýìå ãåíéêÜ ìå ãíù-
óôü ôï äéÜãñáììá U t− (üðùò óõíçèßæïõìå íá
áíáöÝñïõìå óôç ÖõóéêÞ) íá õðïëïãßæïõìå ôï
óõíïëéêü äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé äéáíýóåé ôï êéíçôü
êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ.
â) ÐñïóðáèÞóôå íá âñåßôå ôï äéÜóôçìá ðïõ Ý÷åé
äéáíýóåé ôï áõôïêßíçôï áöïý Ý÷åé êéíçèåß 3h êáé
íá ãñáììïóêéÜóåôå óôï Ó÷. 2 ôï ôñßãùíï ôïõ ïðïßïõ
ôï åìâáäüí áñéèìçôéêÜ éóïýôáé ìå ôçí ôéìÞ ôïõ äéá-
óôÞìáôïò ðïõ õðïëïãßóáôå.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10176
( )f x αx β, αβ 0= + ≠
1. Ðåäßï ïñéóìïý: R
2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé
3. Óõììåôñßåò: Äåí Ý÷åé
4. Óýíïëï ôéìþí: R
5. Ìïíïôïíßá: ãíçóßùò áýîïõóá áí á > 0 , ãíçóßùò öèßíïõóá áí á < 0.
6. 1-1: Ç f åßíáé 1-1 óôï f
Α R= .
7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé áêñüôáôåò ôéìÝò
8. Ðïõ ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò:
( )y ' y στο σηµείο 0,β
βx 'x στο σηµείο ,0
α
−
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
Ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï ( )f x αx β= + Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç, fC , åõèåßá ç ïðïßá ôÝìíåé ôïí Üîïíá
y 'y óôï óçìåßï ( )0,β êáé ôïí Üîïíá x 'x óôï óçìåßï β,0α
−
.
ÅéäéêÜ ãéá á = 0 ç
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
åßíáé áõôÞ ðïõ öáß-
íåôáé óôï ó÷Þìá.
ÅéäéêÜ ãéá â = 0 ç
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
åßíáé áõôÞ ðïõ öáß-
íåôáé óôï ó÷Þìá.
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 177
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
Áðüóôáóç
äýï
óçìåßùí
Á,Â
ìéáò
åõèåßáò å
Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç f ìå ( )f x αx β= + ôçò ïðïßáò ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
åßíáé ç åõèåßá å êáé äýï óçìåßá ôçò
( ) ( )A A B BA x , y , B x , y
Áðïäåéêíýåôáé ìå áðëÞ ÷ñÞóç ôïõ Ðõèáãïñåßïõ èåùñÞìáôïò üôé ç áðüóôáóç
ôùí óçìåßùí Á, Â êáôÜ ìÞêïò ìéáò åõèåßáò äßíåôáé áðü ôïí ôýðï
( ) ( ) ( )2 2
B A B AAB AB x x y y= = − + −
Åßíáé åýêïëï åðßóçò íá äåé÷èåß üôé ôï ìÝóï Ì
ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò Á Ý÷åé óõíôåôáã-
ìÝíåò ( )M Mx , y ìå
A B A B
M M
x x y yx , y
2 2
+ += =
¸óôù äýï óõíáñôÞóåéò 1 2f , f ìå ( )
1 1 1f x α x β= + êáé ( )
2 2 2f x α x β= + ìå áíôßóôïé-
÷åò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôéò åõèåßåò 1
ε êáé 2
ε .
Åßíáé ãíùóôü üôé äýï åõèåßåò 1 2
ε ,ε åßíáé äõíáôüí íá ôÝìíïíôáé (óå ïñéóìÝíåò ðåñéð-
ôþóåéò) êÜèåôá, íá åßíáé ðáñÜëëçëåò Þ íá ôáõôßæïíôáé.
Óôçí óõíÝ÷åéá áíáöÝñïõìå êÜôù áðü ôá áíôßóôïé÷á ó÷Þìáôá ôéò ðñïûðïèÝóåéò (ó÷Ýóåéò
ìåôáîý ôùí 1 1 2 2
α ,β ,α ,β ) þóôå ìå ãíùóôïýò ìüíï ôïõò ôýðïõò ôùí óõíáñôÞóåùí íá
ãíùñßæïõìå ôç ó÷åôéêÞ èÝóç ôùí ãñáöéêþí ôïõò ðáñáóôÜóåùí.
Ó÷åôéêÝò
èÝóåéò
äýï
åõèåéþí
Óçìåßùóç: Ç óõíÜñôçóç f ìå ( )f x αx β= + Ý÷åé ìéá éäéáéôåñüôçôá óå ó÷Ýóç ìå ôéò õðüëïéðåò óõíáñôÞóåéò.
ÅðåéäÞ ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé åõèåßá áñêïýí ìüíï äýï óçìåßá ãéá íá ôç “æùãñáößóïõìå”.
Ðñïôéìïýìå óõíÞèùò ôá óçìåßá ðïõ ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò , äçëáäÞ ôá óçìåßá ( )0,β êáé β,0α
−
.
Ãéá ðáñÜäåéãìá ç f ìå ( )f x 3x 6= − Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá
( )0, 6− êáé ( )2,0 ôïõ Üîïíá y 'y êáé x 'x áíôßóôïé÷á.
1 2 1 2α α και β β= ≠ 1 2 1 2
α α και β β= =1 2
α α≠
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10178
2
1
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
¸óôù 1 1 2 2
A(x y ) και B(x y ) óçìåßá
ôïõ åðéðÝäïõ.Íá õðïëïãßóåôå ôçí áðü-
óôáóç (ÁÂ) ôùí óçìåßùí Á, ÂóõíáñôÞ-
óåé ôùí óõíôåôáãìÝíùí ôïõò.
Ëýóç
• Áí åõèýãñáììï ôìÞìá Á äåí åßíáé ðáñÜëëçëï
óôïõò Üîïíåò,ôüôå óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÊ
(âë. ó÷Þìá) ìå åöáñìïãÞ ôïõ ðõèáãüñåéïõ èåù-
ñÞìáôïò Ý÷ïõìå:
(ÁÂ)2 =(ÁÊ)2 + (ÂÊ)2 (1)
üìùò: 22 2
2 1(ΑΚ) (Γ∆) x -x= = (2)
22 2
2 1(BK) (EZ) y -y= = (3)
¢ñá: (1) 2 22
2 1 2 1(ΑΒ) x -x y y
(2)
(3)
⇔ = + − ⇔
( ) ( )2 2
2 1 2 1(ΑΒ) x x y y⇔ = − + − (4)
• Áí ÁÂ // 1 2x 'x y y⇔ =
Ôüôå ( ) 2 1AB (Γ∆) x -x= =
Áí óôïí ôýðï (4) èÝóïõìå 2 1y y= Ý÷ïõìå:
(4) ( )
( )
22
2 1 2 2
2
2 1 2 1
(AB) (x x ) y y
x x x x
⇔ = − + − =
= − = −
ÄçëáäÞ, ï ôýðïò (4) éó÷ýåé êáé ó’áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç.
• ¸óôù 1 2
AB// y ' y x x⇔ =
Ôüôå ( ) ( ) 2 1AB Γ∆ y -y= =
Áí óôïí ôýðï (4) èÝóïõìå 1 2x x= , Ý÷ïõìå:
(4)2 2
1 1 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1
(AB) (x x ) (y y )
0 (y y ) (y y ) y y
⇔ = − + − =
= + − = − = −
ÄçëáäÞ, ï ôýðïò (4) éó÷ýåé êáé ó’áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç.
ÔåëéêÜ óõìðåñáßíïõìå üôé ç áðüóôáóç äýï óç-
ìåßùí: ( )1 1A x , y êáé ( )2 2
B x , y åßíáé
( ) ( ) ( )= − + −2 2
2 1 2 1AB x x y y
Íá âñåèïýí ïé ó÷åôéêÝò èÝóåéò ôùí åõ-
èåéþí 1x3
1-y:ε 3x,y:ε
21+== .
Êáôüðéí íá êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò
óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí.
Ëýóç
Åßíáé : 1 2
1α 3, α
3= = − ïðüôå
1 2ε ε⊥ áöïý
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 179
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
4
3
1 2
1α α 3 1
3
⋅ = ⋅ − = −
.
ÊÜíïõìå ôïí ðßíáêá ôéìþí ôùí å1, å
2
• Ãéá ôçí 1ε :
• Ãéá ôçí 2ε :
Äßíåôáé ç åõèåßá å:y = (ë2 + 2ë)x + ë - 1.
Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôïõ λ R∈ þóôå:
i. ç å íá äéÝñ÷åôáé áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí.
ii. ç å íá åßíáé ðáñÜëëçëç óôïí Üîïíá x´x.
iii. ç å íá åßíáé êÜèåôç óôçí å1: y - x = 2002.
Ëýóç
i. Ãéá íá äéÝñ÷åôáé ç å áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí ðñÝ-
ðåé íá Ý÷åé åîßóùóç ôçò ìïñöÞò y = áx.
ÄçëáäÞ ðñÝðåé λ 1 0 λ 1− = ⇔ = .
ii. Ïé åõèåßåò ðïõ åßíáé ðáñÜëëçëåò óôïí Üîïíá x´x
åßíáé ôçò ìïñöÞò: y κ, (κ R)= ∈ .
¢ñá ðñÝðåé:
( )2λ 2λ 0 λ λ 2 0 λ 0 ή λ 2+ = ⇔ + = ⇔ = = −
iii. Âñßóêïõìå ôïí óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò ôçò 1ε
ëýíïíôáò ôçí åîßóùóÞ ôçò ùò ðñïò y.
Åßíáé y-x 2002 y x 2002= ⇔ = + ,
ïðüôå 1α 1= .
å ⊥ å1 ⇔ á · á
1 = –1 ⇔ (ë2 + 2ë) · 1 = –1 ⇔
ë2 + 2ë +1 = 0 ⇔ (ë + 1)2 = 0 ⇔ ë = –1.
Íá âñåßôå ôç óõíÜñôçóç f, ôçò ïðïßáò ç
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç öáßíåôáé óôï äéðëá-
íü ó÷Þìá:
Ëýóç
á. Áí x 1≤ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðïôåëåßôáé
áð’ôçí çìéåõèåßá Á ðïõ äéÝñ÷åôáé áð’ôçí áñ÷Þ
ôùí áîüíùí êáé Ý÷åé áñ÷Þ ôï  (1,-1). ÅðåéäÞ
êÜèå åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áð’ôçí áñ÷Þ ôùí áîü-
íùí Ý÷åé åîßóùóç y αx= êáé ç çìéåõèåßá Á èá
Ý÷åé åîßóùóç ôçò ìïñöÞò y αx= (1). Åðßóçò ôï
Á áíÞêåé óôçí Á Üñá ðñÝðåé:
2 α (–2) α –1= ⋅ ⇔ =
Ïðüôå ç åîßóùóç ôçò ÁÂ åßíáé :
y = –x, üôáí 1x ≤ .
â. Áí 1 x 3< ≤ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðïôå-
ëåßôáé áð’ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ÂÃ ìå B(1, -1)
êáé Ã(3,1).
Ç ìïñöÞ ôçò åîßóùóçò ôçò åõèåßáò å ðïõ äéÝñ÷åôáé
áð’ôá Â, Ã åßíáé ç y αx β= + (2)
üìùò Â∈å ïðüôå (2) –1 α 1 β⇔ = ⋅ + (3)
åðßóçò Ã∈å ïðüôå (2) 1 3α β⇔ = + (4)
(3) α –1–β⇔ = (5)
(4) 1 3( 1 β) β 1 3 3β β
2β 4 β 2
⇔ = − − + ⇔ = − − + ⇔
⇔ − = ⇔ = −
(5)
¢ñá (3) α –1 ( 2) α 1β –2=
⇔ = − − ⇔ =
ÅðïìÝíùò áðü (2) ðáßñíïõìå:
, όταν -1 x 3y x 2= − < ≤
ã. Áí x > 3 ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f áðïôåëåßôáé
áð’ôçí çìéåõèåßá ÃÄ ìå áñ÷Þ ôï óçìåßï Ã(3,1).
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10180
Åðßóçò ç ÃÄ äéÝñ÷åôáé áð’ôï óçìåßï Ä(4,1).
Ðáñáôçñïýìå üôé ôá Ã, Ä Ý÷ïõí ôçí ßäéá ôåôáãìÝ-
íç ïðüôå ç åîßóùóç ôçò çìéåõèåßáò ÃÄ åßíáé:
y = 1, üôáí x > 3.
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã86. Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò åõèåßåò:
á. y x 4= + â. y x 3= − +
ã. y 2x 3= + ä. y 3x 4= −
å. y 0= æ. x 0=
Ã87. Äßíåôáé ç åõèåßá ( )ψ α 1 x 2= − ⋅ + . Íá ôç
ó÷åäéÜóåôå áí ãíùñßæåôå üôé äéÝñ÷åôáé áðü
ôï óçìåßï ( )A 1,3− .
Ã88. ×ùñßò íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ðáñáêÜôù åõ-
èåßåò íá âñåßôå ðïéåò áð’ áõôÝò åßíáé ðá-
ñÜëëçëåò:
y x 2 , 2y 2x 4
1y x 3 , 4y 2x 12
2
= − + = − +
= + = +
Ã89. Äßíåôáé ç åõèåßá ψ 3x 6= + , ðïõ ôÝìíåé
ôïõò Üîïíåò ÷’÷ êáé y’y óôá óçìåßá Á êáé Â
áíôßóôïé÷á. Áí Ï åßíáé ç áñ÷Þ ôùí áîüíùí,
íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÁÏÂ.
Ã90. Íá âñåßôå óçìåßï Ã ôïõ Üîïíá ÷’÷ ôÝôïéï
þóôå ôï ôñßãùíï ÁÂÃ ìå ( )Α 1,1 êáé
( )Β 4,2 íá åßíáé éóïóêåëÝò, ìå Áà = ÂÃ.
Ã91. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôùí ê,ë ôï ôñßãùíï ìå
êïñõöÝò ôá óçìåßá ( ) ( )Α 1,2 , Β 2, 1− −
êáé ( )Γ κ,λ åßíáé éóüðëåõñï;
Ã92. Èåùñïýìå ôéò óõíáñôÞóåéò
( ) ( ) ( )f x 2λ 1 x λ 2= + + +
ðïõ ðñïêýðôïõí ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò
ôçò ðáñáìÝôñïõ ë.
á. Íá äåßîåôå üôé ïé ãñáöéêÝò ôïõò ðáñá-
óôÜóåéò äéÝñ÷ïíôáé üëåò áðü ôï ßäéï
óçìåßï.
â. Óå ðïéá óçìåßá, áõôÝò ôÝìíïõí ôïí Ü-
îïíá ÷’÷.
ã. Ðïéá áðü ôéò åõèåßåò
( ) ( )ψ 2λ 1 x λ 2 , λ R= + + + ∈
åßíáé ðáñÜëëçëç óôç äé÷ïôüìï ôçò 1çò
êáé 3çò ãùíßáò ôùí áîüíùí;
ä. Áí 1
λ2
< − íá äåßîåôå üôé éó÷ýåé
( ) ( )2 2f γ δ f 2γδ+ <
ãéá êÜèå γ,δ R∈ ìå γ δ≠ .
Ã93. Äßäåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ( )f x 2x 1= + .
á. Íá ëõèåß ç åîßóùóç
( ) ( ) ( )f 0 2f 1 f x 1 x+ − + + =
â. Íá âñåèåß ï λ R∈ þóôå íá éó÷ýåé:
( ) ( )λf 1/ 2 2f λ / 2 3− =
Ã94. Óå ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí
äßäïíôáé ôá óçìåßá Á(4,0), Â(1,1), Ã(5,3).
Íá áðïäåßîåôå üôé ôï ôñßãùíï ÁÂÃ åßíáé
éóïóêåëÝò.
Ã95. Äßäåôáé ôï óçìåßï Á(-2,1) êáé æçôåßôáé ç
åîßóùóç ôçò åõèåßáò ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü
ôï Á êáé åðéðëÝïí:
á. Ý÷åé óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò -3.
Ïðüôå
–x, x 1
f (x) x 2, 1 x 3
1, x 3
≤
= − < ≤ >
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 181
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
â. Ý÷åé óõíôåëåóôÞ äéåýèõíóçò 0
ã. äåí ïñßæåôáé óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò
ä. äéÝñ÷åôáé êáé áðü ôï óçìåßï Â(5,-1)
å. ôÝìíåé ôïí Üîïíá ÷’÷ óôï óçìåßï (1,0)
óô. ôÝìíåé ôïí Üîïíá y’y óôï óçìåßï (0,2)
Ã96. Íá âñåßôå ôïí ðñáãìáôéêü áñéèìü λ R∈
þóôå ôá ðáñáêÜôù æåýãç åõèåéþí íá åßíáé
ðáñÜëëçëåò:
á. ( )y 2λ 1 x 3= − + 2y λ x 2= −
â. 2λ x 4y 4λ 0− + = λx y 4 0+ + =
Ã97. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áñéèìü λ R∈ þóôå ôá
æåýãç ôùí ðáñáêÜôù åõèåéþí íá åßíáé êÜ-
èåôåò:
á. 2
1y x 1
λ 1= ⋅ +
−
( )y λ 1 x 2= + ⋅ −
â. ( )y λ 2 x= − ( )2y λ 1 x λx= + ⋅ −
Ã98. Ç èåñìïêñáóßá x óå âáèìïýò Celcius
( )0C êáé ç èåñìïêñáóßá y óå âáèìïýò
Fahrenheit ( )0F óõíäÝïíôáé ìå ôçí ó÷Ý-
óç y λx β= + . Ãíùñßæïíôáò üôé ôï íåñü
ðáãþíåé óôïõò 00 C Þ 0
32 F êáé üôé âñÜæåé
óôïõò 0
100 C Þ 0212 F íá õðïëïãßóåôå:
á. Ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò ë, â.
â. Óå ðüóïõò0C áíôéóôïé÷åß ç èåñìïêñá-
óßá 00 F .
ã. Óå ðïéá èåñìïêñáóßá óõìðßðôïõí ïé
âáèìïß Celcius, Farenheit.
Ã99. Íá âñåèåß ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò þóôå:
á. Íá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Á(2,3) êáé
íá åßíáé êÜèåôç ìå ôçí åõèåßá:
x 3y 2 0+ − = .
â. Íá äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Â(-1,2)
êáé íá åßíáé ðáñÜëëçëç ìå ôçí åõèåßá
( )3 x 2y 5 2y 1− − = + .
Ã100.Íá âñåèåß ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò óôï
åðüìåíï ó÷Þìá:
Ã101.Íá âñåßôå ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äýï åõ-
èåéþí: y x 2= +
y 3x 2= −
Ã102.Êéíçôü ê1 îåêéíÜ áð’ôï óçìåßï Á(-2,-1) åíþ
Ýíá Üëëï êéíçôü ê2 áð’ôï óçìåßï Â(-1,-2)
üðùò öáßíåôáé óôï äéðëáíü ó÷Þìá.
á. Íá âñåßôå ôçí áðüóôáóç ôùí ê1, ê
2 ðñßí
îåêéíÞóïõí.
â. Ôéò åîéóþóåéò ôùí ôñï÷éþí ôùí ê1, ê
2.
ã. Óå ðïéï óçìåßï äéáóôáõñþíïíôáé ïé ôñï-
÷éÝò ôùí êéíçôþí ê1, ê
2 ;
Ã103.Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá äßíåôáé ç ïéêïíïìéêÞ
ðïñåßá ìéáò åðé÷åßñçóçò.
Íá âñåßôå:
á. Ôéò åîéóþóåéò åõèåéþí ôùí åóüäùí (å1),
åîüäùí (å2).
â. Ôá Ýóïäá êáé ôá Ýîïäá ôçò åðé÷åßñçóçò
ôïí ôÝôáñôï ÷ñüíï ëåéôïõñãßáò ôçò.
ã. Ðüôå ç åðé÷åßñçóç Üñ÷éóå íá ðáñïõóéÜæåé
êÝñäç;
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10182
1. Ðåäßï ïñéóìïý: R
2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé
3. Óõììåôñßåò: Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f åßíáé Üñôéá êáé åðïìÝíùò Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôïõ
Üîïíá y 'y .
4. Óýíïëï ôéìþí: ( )
( )
αν α 0 είναι f R ( ,0]
αν α 0 είναι f R [0, )
< = −∞
> = +∞
5. Ìïíïôïíßá:
f γν. αύξουσα στο( ,0]αν α 0 είναι
f γν. φθίνουσα στο[0, )
f γν. φθίνουσα στο( ,0]αν α 0 είναι
f γν. αύξουσα στο[0, )
−∞<
+∞
−∞>
+∞
6. 1-1: Ç f äåí åßíáé 1-1 óôï f
Α R=
7. Áêñüôáôá: ( )
( )
αν α 0 η f παρουσιάζει για x 0
µέγιστη τιµή f 0 0
αν α 0 η f παρουσιάζει για x 0
ελάχιστη τιµή f 0 0
< =
=
> =
=
8. Ðïõ ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò: ( )
( )
y ' y στο σηµείο 0,0
x 'x στο σηµείο 0,0
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
( ) 2 *f x αx , α R= ∈
áí á > 0 áí á < 0
áí 3 2 1
α α α 0< < < ïé áíôßóôïé÷åò ãñá-
öéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôïõò öáßíïíôáé óôï
ðáñáðÜíù ó÷Þìá.
1 2 30 α α α< < < ïé áíôßóôïé÷åò ãñá-
öéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôïõò öáßíïíôáé
óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá.
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 183
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
1
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
i. Ná âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò ðáñáâï-
ëÞò ìå êïñõöÞ ôï óçìåßï ( )O 0,0 ðïõ äéÝñ-
÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )A 1,4 .
ii. Óôç óõíÝ÷åéá íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò
ðáñáâïëÞò ðïõ Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôï
óõììåôñéêü ó÷Þìá áõôÞò ôïõ åñùôÞìáôïò (i),
ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x′ .
Ëýóç
i. O ôýðïò ôçò æçôïýìåíçò ðáñáâïëÞò åßíáé
2y αx= êáé åðåéäÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï
( )A 1,4 éó÷ýåé 24 α 1= ⋅ äçë. α 4= .
¢ñá åßíáé 2y 4x= .
ii. ¸÷ïõìå
Ôï óõììåôñéêü ôïõ ( )A 1,4 ùò ðñïò ôïí Üîï-
íá x x′ åßíáé ôï óçìåßï ( )A 1, 4′ − .Ç åîßóùóç
ôçò æçôïýìåíçò ðáñáâïëÞò åßíáé 2y αx= êáé
åðåéäÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï ( )A 1, 4′ − éó÷ýåé
24 α 1− = ⋅ äçë. α 4= − . ¢ñá åßíáé
2y 4x= − .
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã104.Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ðáñáâïëÝò 2ψ 2x= −
êáé 2ψ 2x= óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí.
Ðïéá ó÷Ýóç Ý÷ïõí ìåôáîý ôïõò ïé ãñá-
öéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí äýï ðáñáâïëþí;
Ã105.Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò ðá-
ñïõóéÜæïõí ìÝãéóôï êáé ðïéåò åëÜ÷éóôï;
á. 21ψ x
2= − â. 2ψ 2x= ã. ( )
3 2ψ 1 x= −
Ã106.Äßíåôáé ç ðáñáâïëÞ 2ψ α x= ⋅ . Íá âñåß-
ôå ôïí á, áí ç ðáñáâïëÞ äéÝñ÷åôáé áðü
ôï óçìåßï ( )3, 27− − . Óôç óõíÝ÷åéá íá
ôç ó÷åäéÜóåôå.
Ã107. Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ 2ψ αx= , áí
ãíùñßæåôå üôé äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï
1M 1,
4
.
Ã108. Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ 23ψ x
4= êáé
4 x 4− ≤ ≤ êáé Ýðåéôá íá ó÷åäéáóôåß ç óõì-
ìåôñéêÞ ôçò ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x′ êáé íá
âñåèåß ç åîßóùóç ôçò ðáñáâïëÞò áõôÞò.
Ã109. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç ( ) ( ) 2f x k 2 x= − . Áí
åßíáé ( ) ( )f 2 3f 1 2− = , íá âñåèåß ôï k êáé
Ýðåéôá íá ãßíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò
óõíÜñôçóçò f.
Ã110. Íá ãßíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñ-
ôçóçò 2ψ κx λ= + áí ãíùñßæåôå üôé äéÝñ-
÷åôáé áðü ôçí áñ÷Þ ôùí áîüíùí êáé áðü ôï
óçìåßï ( )Μ 3,3 .
Ã111. Èåùñïýìå ôçí åõèåßá ( )ε : ψ λx 2= − êáé
ôçí ðáñáâïëÞ ( ) 2c :ψ 2x= . Íá ðñïóäéïñé-
óôåß ï λ R∈ þóôå ç åõèåßá (å) íá Ý÷åé ìå
ôçí ðáñáâïëÞ (c)
i. ¸íá êïéíü óçìåßï
ii. Äõï êïéíÜ óçìåßá
iii. ÊáíÝíá êïéíü óçìåßï
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10184
( ) 2f x αx βx γ, α 0= + + ≠
ÐñïêåéìÝíïõ íá äéåõêïëõíèïýìå óôç ìåëÝôç ôïõ ôñéùíýìïõ, åßíáé óêüðéìï íá ôï ìåôáó÷çìáôßóïõ-
ìå áëãåâñéêÜ ùò åîÞò:
Áí x R∈ åßíáé: ( ) 2f x αx βx γ= + + (áöïý α 0≠ )
2 β γα x x
α α
= + +
(óõìðëÞñùóç ôåôñáãþíùí)
2 2
2 β β β γα x 2 x
2α 2α 2α α
= + + − +
2 2
2
β γ βα x
2α α 4α
= + + −
( )2 2
2
β 4αγ βα x 1
2α 4α
− = + +
Èá äïýìå óôç óõíÝ÷åéá üôé ç ðïóüôçôá 2β 4αγ− , ðáßæåé óçìáíôéêü ñüëï êáé åìöáíßæåôáé óõ÷íÜ,
óôéò äéÜöïñåò öÜóåéò ôçò ìåëÝôçò ôïõ ôñéùíýìïõ.
Ãéá ôï ëüãï áõôü ôç óõìâïëßæïõìå éäéáßôåñá ìå ôï Ä êáé ôçí êáëïýìå äéáêñßíïõóá ôïõ ôñéùíýìïõ.
ÈÝôïõìå ëïéðüí: 2∆ β 4αγ= − êáé áðü ôçí (1) Ý÷ïõìå üôé:
( )2
2
2
β ∆f x αx βx γ α x
2α 4α
= + + = + −
, ãéá êÜèå x R∈ (2)
1. Ðåäßï ïñéóìïý: R
2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé
3. Óõììåôñßåò: Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá 0x
2
β= −
α.
4. Óýíïëï ôéìþí:
( )
( )
2
2
4αγ βαν α 0 είναι f R ,
4α
4αγ βαν α 0 είναι f R ,
4α
−< = −∞
−> = +∞
5. Ìïíïôïíßá:
βη f είναι γν. αύξουσα στο ,
2ααν α 0
βη f είναι γν. φθίνουσα στο ,
2α
βη f είναι γν. φθίνουσα στο ,
2ααν α 0
βη f είναι γν. αύξουσα στο ,
2α
−∞ −
<
− +∞
−∞ −
>
− +∞
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 185
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1-1 óôï fΑ R= .
7. Áêñüôáôá :
2
2
βαν α 0 η f παρουσιάζει για x
2α
β 4αγ β ∆µέγιστη τιµή f
2α 4α 4α
βαν α 0 η f παρουσιάζει για x
2α
β 4αγ β ∆ελάχιστη τιµή f
2α 4α 4α
< = −
− − = = −
> = −
−
− = = −
8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò:
( )
2
2
2
y ' y στο σηµείο 0, γ
β ∆ β ∆x 'x Aν ∆ β 4αγ 0 στα σηµεία , 0 , , 0
2α 2α
βΑν ∆ β 4αγ 0 στο σηµείο , 0
2α
Αν ∆ β 4αγ 0 δεν τέµνει τον x 'x
− − − += − >
− = − =
= − <
i
i
i
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
Óôçí ðåñßðôùóç (1): 0y 0< êáé åëÜ÷éóôï Óôçí ðåñßðôùóç (2):
0y 0> êáé ìÝãéóôï
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10186
Óôçí ðåñßðôùóç (4): 0y 0= êáé ìÝãéóôïÓôçí ðåñßðôùóç (3):
0y 0= êáé åëÜ÷éóôï
Óôçí ðåñßðôùóç (6): 0y 0< êáé ìÝãéóôïÓôçí ðåñßðôùóç (5):
0y 0> êáé åëÜ÷éóôï
Ãéá íá ó÷åäéÜóïõìå ôçí ðáñáâïëÞ ( ) 2f x αx βx γ= + + :
i. Áíáãíùñßæïõìå ôá: á (óõíôåëåóôÞò ôïõ 2x )
â (óõíôåëåóôÞò ôïõ x)
ã (óôáèåñüò üñïò)
ii. Aí α 0≠ õðïëïãßæïõìå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôçò êïñõöÞò 2β 4αγ β
K ,2α 4α
−−
iii. “Ôïðïèåôïýìå” ôçí êïñõöÞ Ê óôï åðßðåäï Oxy êáé öÝñíïõìå ôçí åõèåßá β
x2α
= − ðïõ åßíáé
ï Üîïíáò óõììåôñßáò.
iv. ÁíÜëïãá ìå ôï áí ôï á åßíáé èåôéêüò Þ áñíçôéêüò, åíôïðßæïõìå ôï çìéåðßðåäï ðïõ ðñïóäéïñßæåôáé
áðü ôçí åõèåßá 2
4αγ βy
4α
−= óôï ïðïßï èá âñßóêåôáé ôï ãñÜöçìá ôïõ ôñéùíýìïõ.
(Áí ôï α 0> , ôï ãñÜöçìá èá âñßóêåôáé “ðÜíù” áðü ôçí åõèåßá 2
4αγ βy
4α
−= , åíþ áí α 0< èá
âñßóêåôáé “êÜôù” áðü áõôÞí).
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 187
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
1
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá ãßíåé ìåëÝôç êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
ôçò f(x) = -3x2 + 2x + 1
Ëýóç
Ç f(x) ðáñéóôÜíåé ðáñáâïëÞ ãéá ôçí ïðïßá Ý÷ïõìå:
• á = -3 < 0 • β 2 1
2α 2( 3) 3− = − =
−
• Ä = 22 - 4(-3) · 1 = 4 + 12 = 16
• ∆ 16 4
4α 4( 3) 3− = − =
−
á. Ðåäßï ïñéóìïý: Eßíáé ôï R (- , )= ∞ +∞
â. Ìïíïôïíßá: ÅðåéäÞ á = -3 < 0 ç f åßíáé ãíçóßùò
áýîïõóá óôï1,3
−∞
êáé ãíçóßùò öèßíïõóá
óôï1,3
+∞
ã. Áêñüôáôá: Ç f ðáñïõóéÜæåé ìÝãéóôï óôï
β 1x
2α 3= − = ôï
β 1 ∆ 4y f - f
2α 3 4α 3
= = = − =
ä. ÊïñõöÞ: åßíáé ôï óçìåßï
β ∆ 1 4K , ,
2α 4α 3 3
− − =
v. Ôï ãñÜöçìá ôçò ðáñáâïëÞò ÄÅÍ ìðïñåß íá
ó÷åäéáóôåß “åðáêñéâþò” (üðùò ð.÷. ôçò åõèåßáò
áðü äýï óçìåßá ôçò ìå ôçí âïÞèåéá ôïõ
êáíüíá).ÓõíÞèùò “äßíïõìå” ôéìÝò óôï x êáé
õðïëïãßæïõìå ôá ( )f x .
Óôïí ðßíáêá óåë.188 óõãêåíôñþóáìå üóá
áöïñïýí óôï ôñéþíõìï êáé ôçí äåõôåñïâÜè-
ìéá åîßóùóç.
å. Óçìåßá ôïìÞò ìå ôïõò Üîïíåò:
1. Ìå ôïí x´x: ãéá y = 0, Ý÷ïõìå:
-3x2 + 2x + 1 = 0
1,2
1 2
-2 16 2 4x
2(-3) 6
2 4 2 1 2 4 6x , x 1
6 6 3 6 6
± − ±= =
−
− + − − −= = = − = = =
− − − −
¢ñá ôÝìíåé ôïí x´x óôá óçìåßá:
Á1,03
−
, Â(1, 0)
2. Ìå ôïí y´y: Ãéá x = 0 Ý÷ïõìå
2y 3 0 2 0 1 y 1= − ⋅ + ⋅ + ⇔ =
¢ñá ôÝìíåé ôïí y´y óôï Ã(0,1)
óô. ¢îïíáò óõììåôñßáò: Åßíáé ç åõèåßá
β 1x
2α 3= − =
æ. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
Ìå ôç âïÞèåéá üëùí ôùí ðáñáðÜíù Ý÷ïõìå ôçí
åðüìåíç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10188
Ä
+
0
–
Åîßóùóç
2αx βx γ 0+ + =
ÌïñöÝò
ôñéùíýìïõ
ÓõíÜñôçóç
( ) 2f x αx βx γ= + +
Áíßóùóç
( )f x 0> ( )f x 0<á
+
–
+
–
+
–
2 ñßæåò Üíéóåò
1 2
β ∆ρ ,ρ
2α
− ±=
2∆ β 4αγ = −
2αx βx γ+ + =
( )( )1 2α x ρ x ρ− −
Ëýóåéò
1x ρ<
Þ
2x ρ>
Ëýóåéò
1 2ρ x ρ< <
1x ρ<
Þ
2x ρ>
1 2ρ x ρ< <
ñßæá äéðëÞ
1 2 0
βρ ρ x
2α
−= = =
2∆ β 4αγ = −
2β
α x2α
= +
{ }0x R x∈ − ∅
{ }0x R x∈ −∅
Äåí Ý÷åé ñßæåò
óôï R
2
2
β ∆α x
2α 4α
= + +
Äåí áíáëýåôáé
óå ãéíüìåíï
ðñùôïâÜèìéùí
ðáñáãüíôùí
x R∈ ∅
x R∈∅
ÐáñáôçñÞóåéò: 1. Óôï 0x ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôçí ( )0
∆f x
4α= − .
2. Óôï 0x ðáñïõóéÜæåé ìÝãéóôç ôéìÞ ôçí ( )0
∆f x
4α= − .
3. Ôá 1ρ êáé
2ρ åßíáé ñßæåò ôçò åîßóùóçò: 2αx βx γ 0+ + = .
4. Ôï 0
βx
2α= − .
1
2
1
2
1
2
3
4
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 189
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
4
3
2 Íá âñåßôå ôïí
ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò f
ãéá ôçí ïðïßá ç ãñáöé-
êÞ ôçò ðáñÜóôáóç åßíáé
ç ðáñáâïëÞ ôïõ äéðëá-
íïý ó÷Þìáôïò.
Ëýóç
Åßíáé ôçò ìïñöÞò
f(x) = á÷(x – 4) (1)
Áöïý äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï Ê(2, 3) ïé óõíôåôáã-
ìÝíåò ôïõ åðáëçèåýïõí ôçí (1).
ÄçëáäÞ 32α(2 4) 3 4α 3 α
4− = ⇔ − = ⇔ = −
¢ñá ç 23 3f(x) x(x 4) x 3x
4 4= − − = − +
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:
f(x) = 3x2 - (ë - 1)x - ë2 + 1.
Íá âñåßôå ôï ë þóôå ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôç-
óçò f íá ãßíåôáé ìÝãéóôï.
Ëýóç
Ç óõíÜñôçóç f(x) åßíáé ðáñáâïëÞ ìå á = 3 > 0. ¢ñá
ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ßóï ìå:
( )2 2λ 1 4 3( λ 1)∆
4α 4 3
− − ⋅ − +− = − =
⋅
2 2λ 2λ 1 12( λ 1)
12
− + − − += − =
2 2λ 2λ 1 12λ 12
12
− + + −= − =
2
213λ 2λ 11 13 2 11λ λ
12 12 12 12
− −= − = − + +
Ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôçóçò f(x) åßíáé ôñéþíõìï ôïõ
ë ìå á < 0 ôï 213 1 11
g(λ) - λ λ12 6 12
= + +
Ôï g(ë) ãßíåôáé (ðáñïõóéÜæåé) ìÝãéóôï üôáí
1 1
β 6 1 16 6λ13132α 6 13 13
2612
⋅= − = − = − = + =
⋅ −−
.
¢ñá ãéá 1
λ =13
ôï åëÜ÷éóôï ôçò óõíÜñôçóçò f ãß-
íåôáé ìÝãéóôï.
Äßíåôáé ôï ôñéþíõìï
2f(x) 3x -4(2α β)x α-3β= + + . Íá âñåßôå
ôá á, â þóôå íá Ý÷åé ñßæá ôïí áñéèìü -2 êáé
óõã÷ñüíùò íá ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï óôï x = 3.
Ëýóç
• Áöïý ôï -2 åßíáé ñßæá ôïõ f(x) éó÷ýåé:
( ) ( )( )2
f(-2) 0 3 -2 - 4 2α β -2 α -3β 0= ⇔ + + = ⇔
( )3 4 8 2α β α -3β 0⇔ ⋅ + + + = ⇔
12 16α 8β α -3β 0⇔ + + + = ⇔ 17α + 5β = -12 (1)
• Ôï ôñéþíõìï ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï óôï x = 3.
ÅðåéäÞ ôï åëÜ÷éóôï ôï ðáñïõóéÜæåé óôï
( )4 2α βx
2 3
− − +
=
⋅
Ý÷ïõìå:
( ) ( )4 2α β 6 3 4 2α β 18
8α 4β 18 (2)
− − + = ⋅ ⇔ + = ⇔
+ = ⇔ 4α + 2β = 9
Áðü (1) êáé (2) Ý÷ïõìå ôï óýóôçìá:
17α 5β 12
4α 2β 9
+ = −
+ =
Áðü üðïõ ðñïêýðôåé (á, â) =69 201,
14 14
−
.
Äßíåôáé ç ðáñáâïëÞ
f(x) = x2 + (k + 2)x + k + 2
Íá âñåßôå ôï k óå êÜèå ìßá áðü ôéò
ðáñáêÜôù ðåñéðôþóåéò:
á. áí åöÜðôåôáé óôïí x´x.
â. áí ôÝìíåé ôïí x´x óå äýï óçìåßá.
ã. áí äåí ôÝìíåé ôïí x´x.
ä. áí Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí x = 3.
5
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10190
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã112.Íá âñåßôå óôéò ðáñáêÜôù ðáñáâïëÝò,
ôçí êïñõöÞ, ôïí Üîïíá óõììåôñßáò, ôá
óçìåßá óôá ïðïßá ïé ðáñáâïëÝò ôÝìíïõí
ôïõò Üîïíåò, ôï ìÝãéóôï Þ ôï åëÜ÷éóôï
êÜèå óõíÜñôçóçò êáèþò êáé ôçí ôéìÞ
ôïõ x ãéá ôçí ïðïßá óõìâáßíåé áõôü êáé
íá ôéò ó÷åäéÜóåôå:
á. 2y x x 6= − − + â. 2
y x x 20= + −
ã. 2y x 3x 28= − − ä. 2
y x x 1= − +
å. 2y x 5x= − , ãéá 1 x 6− ≤ ≤
æ. 2y 4x x= − , ãéá 2 x 4− ≤ ≤
Ã113. Íá ó÷åäéáóôåß ç ðáñáâïëÞ2
y x 7x 2κ= − + ,
áí áõôÞ äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )Α 3, 6− .
Ã114. Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç
( ) ( )2 2f x λ 4 x λx 3, λ 2= − + − ≠ ± .
Íá ðñïóäéïñéóôåß ï { }λ R 2∈ − ± þóôå ç
( )f x íá ðáñïõóéÜæåé:
i. ÅëÜ÷éóôï ii. ÌÝãéóôï
6
å. áí ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ãéá x = 5.
óô. áí Ý÷åé åëÜ÷éóôï ôï -8.
æ. áí ôÝìíåé ôïí x´x óôï Á(3, 0).
ç. áí ôÝìíåé ôïí y´y óôï Â(0, 5).
Ëýóç
Åßíáé ( ) ( )2 2∆ κ 2 4 1 κ 2 κ 4= + − ⋅ ⋅ + = −
á. ÅöÜðôåôáé óôïí x´x. ¢ñá:
2 2∆ 0 κ 4 0 κ 4 κ 2= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±
â. ÔÝìíåé ôïí x´x óå äýï óçìåßá.
¢ñá: 2 2
∆ 0 κ 4 0 κ 4> ⇔ − > ⇔ > ⇔
2κ 4 κ 2 κ 2 ή κ 2> ⇔ > ⇔ > < −
ã. Äåí ôÝìíåé ôïí x´x.
¢ñá: 2∆ 0 κ 4 κ 2 2 κ 2< ⇔ < ⇔ < ⇔ − < <
ä. ¸÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôçí åõèåßá x=3. ¢ñá:
β κ 2x 3 - 3 3 κ 8
2α 2 1
+= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
⋅
å. ÐáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ãéá x=5. ¢ñá:
β κ 2x 5 5 5 κ 12
2α 2 1
+= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −
⋅
óô. ¸÷åé åëÜ÷éóôï ôï -8. ¢ñá:
2∆ ∆8 8 κ 36 κ 6
4α 4 1− = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
⋅
æ. ÔÝìíåé ôïí x´x óôï Á(3, 0). ¢ñá:
( )2 17f(3) 0 3 κ 2 3 κ 2 0 κ
4= ⇔ + + ⋅ + + = ⇔ = −
ç. ÔÝìíåé ôï y´y óôï Â(0, 5) ¢ñá:
( )2f(0) 5 0 κ 2 0 κ 2 5 κ 3= ⇔ + + ⋅ + + = ⇔ =
Äßíåôáé ç åõèåßá y = x + 1 (1) êáé ôï
óçìåßï Á(2, 1). Íá âñåßôå åêåßíï ôï
óçìåßï Ì(x, y) ôçò åõèåßáò ðïõ ç áðü-
óôáóç (ÁÌ) åßíáé ç åëÜ÷éóôç. Ðïéá åß-
íáé áõôÞ;
Ëýóç
Ç áðüóôáóç (ÁÌ) åßíáé ßóç ìå:
(1)2 2 2 2
2 2 2
(AM) (x 2) (y 1) (x 2) (x 1 1)
x 4x 4 x 2x 4x 4
= − + − = − + + − =
= − + + = − +
ÄçëáäÞ:2
(AM) 2x 4x 4= − + . ÁõôÞ ãßíåôáé åëÜ-
÷éóôç üôáí êáé ôï ôñéþíõìï: 2x2 - 4x + 4 ãßíåé
åëÜ÷éóôï äçëáäÞ üôáí β 4
x x 12α 2·2
−= − = − ⇔ =
Ãéá x = 1 ç (1) ãßíåôáé: y = 1 + 1 = 2. ¢ñá ôï
æçôïýìåíï óçìåßï åßíáé ôï Ì(1, 2)
Ãéá x = 1 ç áðüóôáóç åßíáé:
2(AM) 2 1 4 1 4 2= ⋅ − ⋅ + =
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 191
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
Ã115. Íá ðñïóäéïñéóôåß ï λ R∈ , þóôå ç óõ-
íÜñôçóç:
( ) ( ) 2f x λ 2 x λx 1, λ 2= + + − ≠ −
íá ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôï ôï -2.
Ã116. Íá âñåèåß ï λ R∈ þóôå ç åõèåßá
ψ λx 2= − íá åßíáé åöáðôïìÝíç ôçò ðá-
ñáâïëÞò 2ψ x x 1= − − . Ðïéï åßíáé ôï
óçìåßï åðáöÞò;
Ã117. i. Íá áðïäåßîåôå üôé ïé ðáñáâïëÝò:
( ) 2
1c :ψ x= êáé ( ) 2
2c :ψ x 4x 5= − − −
äåí Ý÷ïõí êáíÝíá êïéíü óçìåßï.
ii. Íá åîåôÜóåôå áí õðÜñ÷åé åõèåßá ðïõ
åöÜðôåôáé óõã÷ñüíùò óôéò ðáñáðÜíù
ðáñáâïëÝò.
Ã118. Íá áðïäåßîåôå üôé ïé ðáñáâïëÝò
( ) 2
1c :ψ x x 2= + − êáé ( ) 2
2c :ψ x 2x 3= − − +
ôÝìíïíôáé óå äõï óçìåßá, ôá ïðïßá ìáæß ìå
ôéò êïñõöÝò ôùí ðáñáâïëþí ó÷çìáôßæïõí
ðáñáëëçëüãñáììï.
Ã119. Äßäåôáé óõíÜñôçóç f ìå ( ) 2f x αx 1= − .
Íá âñåèåß ãéá ðïéá ôéìÞ ôïõ α R∈ ôï
óçìåßï ( )A 3,5 , áíÞêåé óôç ãñáöéêÞ ðá-
ñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò.
( ) 3f x αx α 0= ≠
1. Ðåäßï ïñéóìïý: R
2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé.
3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ êáé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóçò Ý÷åé êÝíôñï óõììåôñßáò
ôï óçìåßï ( )0 0,0 .
4. Óýíïëï ôéìþí: ( )f R R=
5. Ìïíïôïíßá: f
f
αν α 0 η f είναι γν. φθίνουσα στο Α R
αν α 0 η f είναι γν. αύξουσα στο Α R
< =
> =
6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1-1 óôï fΑ R=
7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé
8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç: ( )
( )
y ' y στο σηµείο 0 0,0
x 'x στο σηµείο 0 0,0
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10192
1. Ðåäßï ïñéóìïý: R*
2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé.
3. Óõììåôñßåò: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ êáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò Ý÷åé êÝíôñï óõììåôñßáò
ôï óçìåßï ( )0 0,0 .
4. Óýíïëï ôéìþí: ( )f R * R*= .
5. Ìïíïôïíßá:
( )
( )
( )
( )
αν α 0 η f είναι γν. αύξουσα στο , 0
η f είναι γν. αύξουσα στο 0,
αν α 0 η f είναι γν. φθίνουσα στο , 0
η f είναι γν. φθίνουσα στο 0,
< −∞
+∞
> −∞
+∞
6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1-1 óôï f
Α R*= .
7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé
8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò:
y ' y :∆εν τέµνει τον άξονα y ' y σε κανένα σηµείο
x 'x :∆εν τέµνει τον άξονα x 'x σε κανένα σηµείο
Ïé Üîïíåò y ' y, x 'x áðïôåëïýí áóýìðôùôåò ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f.
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã120. Íá ìåëåôÞóåôå ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ôç óõíÜñôçóç ( ) ( )3f x λ x 1= + , ãéá ôéò äéÜöïñåò
ôéìÝò ôïõ áñéèìïý ë.
( ) αf x , α 0
x= ≠
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 193
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã121. Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜ-
óåéò ôùí óõíáñôÞóåùí:
á. 1
yx
= â. x y 6⋅ = ã. x y 3⋅ = −
Ã122. Äßíåôáé ç õðåñâïëÞ 2 α
yx
−= . Ãéá ðïéåò
ôéìÝò ôïõ á ïé êëÜäïé ôçò õðåñâïëÞò âñß-
óêïíôáé óôï 1ï êáé óôï 3ï ôåôáñôçìüñéï;
Ã123. Ãéá ðïéåò ôéìÝò ôïõ á ïé êëÜäïé ôçò õ-
ðåñâïëÞò
α 1 3 α 1
y2 3 x
− − = − ⋅
âñßóêïíôáé óôï 2ï êáé óôï 4ï ôåôáñôç-
ìüñéï;
Ã124. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò 1
yx
= ìå
x 0< äßíåôáé óå Ýíá áðü ôá ðáñáêÜôù
ó÷Þìáôá:
Íá óçìåéþóåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç.
Ã125. Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ á þóôå ç õðåñ-
âïëÞ ( ) ( )α 1 2 α 1
y3 x
− ⋅ −= ⋅ íá äéÝñ÷å-
ôáé áðü ôï óçìåßï ( )1,1− .
Ã126. Ç åõèåßá y 4= ôÝìíåé ôçí õðåñâïëÞ
αy
x= ó’ Ýíá óçìåßï ìå ôåôìçìÝíç
1
2. Íá
âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò õðåñâïëÞò êáé óôç
óõíÝ÷åéá íá ôç ó÷åäéÜóåôå.
Ã127. Áí ç ãñáöéêÞ ôçò ( ) ( ) 2f x 2λ 1 x= + , äéÝñ-
÷åôáé áðü ôï óçìåßï ( )A 1,3 íá ðáñáóôÞ-
óåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôçóç
( )λ 3
g xx
−= .
Ã128.á. Óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôç-
óçò ( )2
f x , x 0x
= − ≠ ðáßñíïõìå ôï
ìåôáâëçôü óçìåßï 2
K α, , α 0α
− >
.
Áí Ë åßíáé ôï óõììåôñéêü ôïõ Ê ùò ðñïò
ôçí áñ÷Þ ( )Ο 0,0 ôïõ êáñôåóéáíïý óõ-
óôÞìáôïò óõíôåôáãìÝíùí Οxy , íá
âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ á þóôå ç áðüóôáóç
(ÊË) íá åßíáé åëÜ÷éóôç.
â. Íá åîåôÜóåôå ôç óõíÜñôçóç:
( ) ( )3g x x f x= ⋅
ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá, íá âñåßôå ôï
óýíïëï ôéìþí ôçò êáé ôá áêñüôáôá ôçò
óõíÜñôçóçò áí õðÜñ÷ïõí.
ã. Íá âñåßôå ôá óçìåßá ôïìÞò ôùí ãñáöé-
êþí ðáñáóôÜóåùí ôùí óõíáñôÞóåùí
( )f x êáé ( )g x .
á â ã
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10194
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã129. Íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞ-
óåéò: á. ( )x
f xx
= â. ( ) 2f x x x= ⋅
Ã130. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç
( )5 1
f x x x x 22 2
= + + − + −
á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò.
â. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç ( )f x 10= .
ã. Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç ( )f x 2≤ − .
Ã131. Íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêÜ ïé óõíáñôÞóåéò
i. ( ) 2f x x x 1= − −
ii. ( ) 2g x x 3 x= + −
iii. ( ) 2t x x 4 x 5= − −
Ã132. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç
( ) ( )f x λ x 1 x 1 2 λ x λ 1= + + − + − − − .
á. Íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò.
â. Óå ðïéá äéáóôÞìáôá ôïõ ðåäßï ïñéóìïý
ôçò ç óõíÜñôçóç f åßíáé áíåîÜñôçôç ôïõ
ë;
ã. Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò üôáí
x λ= ìå λ 1> .
( )f x x=
1. Ðåäßï ïñéóìïý: R
2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé.
3. Óõììåôñßåò: åßíáé Üñôéá Üñá Ý÷åé Üîïíá óõììåôñßáò ôïí y´y.
4. Óýíïëï ôéìþí: ( ) [ )f R 0,= +∞
5. Ìïíïôïíßá: ( ]
[ )
H f είναι γν. φθίνουσα στο 0
H f είναι γν. αύξουσα στο 0,
−∞
+∞
6. 1-1: Ç óõíÜñôçóç f äåí åßíáé 1-1 óôï fΑ R=
7. Áêñüôáôá: Ãéá x 0= ç f ðáñïõóéÜæåé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ( )f 0 0= .
8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò: ( )
( )
y ' y στο σηµείο 0,0
x 'x στο σηµείο 0,0
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 195
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
( )f x x=
1. Ðåäßï ïñéóìïý: [ )0, +∞
2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé.
3. Óõììåôñßåò: Äåí Ý÷åé.
4. Óýíïëï ôéìþí: [ )( ) [ )f 0, 0,+∞ = +∞
5. Ìïíïôïíßá: ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï [ )fΑ 0,= +∞
6. 1-1: ç f åßíáé 1-1 óôï [ )fΑ 0,= +∞
7. Áêñüôáôá: ç f ðáñïõóéÜæåé ãéá x 0= åëÜ÷éóôç ôéìÞ ( )f 0 0=
8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò: ( )
( )
y ' y στο σηµείο 0,0
x 'x στο σηµείο 0,0
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
Ç óõíÜñôçóç ( )f x = x
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã133. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò f ìå ôýðï ( ) 2f x x 3x 2= − + .
Ã134. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò
( )f x x 1= − åßíáé ìéá êáìðýëç C. Íá
âñåßôå åêåßíï ôï óçìåßï ôçò C ðïõ áðÝ÷åé
ôçí åëÜ÷éóôç áðüóôáóç áðü ôï óçìåßï
( )A 3,0 .
Ã135. Íá ãñáöïýí ïé ôýðïé ôùí óõíáñôÞóåùí:
( )2 2x x 4x 4
f xx x 2
+ += −
+ êáé
( ) ( ) ( )2 44 2
g x 5 x 2 3 x 3 10 x 2x 1= − − + + + +
óå áðëïýóôåñç ìïñöÞ. (âë. áóê. Á7.1)
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10196
( ) xf x α , 0 α 1= < ≠
1. Ðåäßï ïñéóìïý: R
2. Ðåñéïäéêüôçôá : Äåí ðáñïõóéÜæåé
3. Óõììåôñßåò: Äåí Ý÷åé
4. Óýíïëï ôéìþí: ( ) ( )f R 0,= +∞
5. Ìïíïôïíßá:
É. Áí α 1> åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï R ïðüôå ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ éó÷ýåé ç óõíåðáãùãÞ:
Áí 1 2x x< ôüôå 1 2
x xα α< .
Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f Ý÷åé áóýìðôùôç óôï −∞ ôïí áñíçôéêü çìéÜ-
îïíá Ïx΄.
ÉÉ. Áí 0 α 1< < åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R ïðüôå ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ éó÷ýåé ç óõíåðáãù-
ãÞ: Áí 1 2x x< ôüôå 1 2
x xα α> .
Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f Ý÷åé áóýìðôùôç óôï +∞ ôïí èåôéêü çìéÜ-
îïíá Ïx.
6. 1 1− : åßíáé äéüôé ãéá ôç óõíÜñôçóç ( ) xf x α= ìå 0 α 1< ≠ êáé x R∈ éó÷ýåé
1 2x x
1 2α α x x= ⇔ = ãéá êÜèå
1 2x , x R∈ .
7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé
8. Ðïõ ôÝìíåé ç ãñ. ðáñÜóôáóç:
ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç ôÝìíåé ôïí Üîïíá y’y óôï óçìåßï (0,1) åíþ äåí Ý÷åé êïéíÜ óçìåßá ìå
ôïí Üîïíá x’x , áöïý xα 0> ãéá êÜèå x R∈ .
9. Âïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 197
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
3
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞ-
óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:
( ) xf x 4= , ( )
x
1g x
4
=
, ( ) xφ x 4
−=
Ëýóç
Ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí
xy α= êáé
x
x
x
1 1y α
αα
− = = =
ìå α 0> êáé α 1≠ åßíáé óõììåôñéêÝò ìå Üîïíá óõì-
ìåôñßáò ôïí y y′ .
ÅðåéäÞ ãéá êÜèå x R∈ éó÷ýåé:
( ) ( ) ( )4
x1 x1
g x 4 4 f x4
− − = = = = −
ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí f êáé g åßíáé óõì-
ìåôñéêÝò ùò ðñüò ôïí y y′ .
ÅðåéäÞ: ( ) ( )x
x
x
1 1φ x 4 g x
44
− = = = =
, ãéá êÜèå
x R∈ , ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ö(÷) ôáõôßæåôáé ìå
ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò g(÷). (âëÝðå ó÷Þìá).
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:
( )x
α α 1f (x) 4 2 µε x
+
= + ∈�
á. Áí ôï óçìåßï Ì(1,3) áíÞêåé óôçí ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôçò f, âñåßôå ôï á.
â. Ëýóôå ôçí åîßóùóç:
( ) ( )f x 1 f 2x 1 28− + + =
Ëýóç
á. Áöïý ôï óçìåßï ( )Μ 1 , 3 ðñÝðåé íá áíÞêåé
óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f , åßíáé:
α α 1 2α αf (1) 3 4 2 3 2 2 2 3 0
+= ⇔ + = ⇔ + ⋅ − =
ÈÝôïõìå αy 2= êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:
2 2 16y 2y 3 0 y
2
− ±+ − = ⇔ = ⇔
y 1= Þ y 3= − (ðïõ áðïññßðôåôáé áöïý y>0).
Ìå α 0y 1 2 1 2 α 0= ⇔ = = ⇔ = . ¢ñá
( )x
0 1 xf (x) 4 2 3 , µε x= + = ∈�
â. ¸÷ïõìå
x 1 2x 1 2x x13 3 28 3 3 3 28 0
3
− +
+ = ⇔ ⋅ + ⋅ − =
ÈÝôïõìå: x3 y 0= > êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:
2 213y y 28 0 9y y 84 0
3+ − = ⇔ + − = ⇔
y 3= Þ 28
y9
= − (ðïõ áðïññßðôåôáé)
Ìå x 1
y 3 3 3 x 1= ⇔ = ⇔ = .
¸íáò âéïëüãïò ìåëåôþíôáò ôçí áíÜðôõîç
åíüò åßäïõò âáêôçñéäßùí ðáñáôçñåß üôé:
• óå 2 þñåò ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò ðáñáôÞñç-
óçò ôá âáêôçñßäéá Þôáí 400
• óå 4 þñåò ìåôÜ ôçí Ýíáñîç ôçò ðáñáôÞñç-
óçò ôá âáêôçñßäéá Þôáí 3200
Åíþ ï ôýðïò ðïõ äßíåé ôïí áñéèìü ôùí âáê-
ôçñéäßùí åßíáé: ( ) βtq t A 2= ⋅ , ìå t 0≥ ôïí
÷ñüíï óå þñåò ìå Á, â èåôéêÝò óôáèåñÝò.
i. Âñåßôå ôéò óôáèåñÝò Á êáé â
ii. Âñåßôå óå ðüóá ëåðôÜ ï áñ÷éêüò ðëõèõ-
óìüò ôùí âáêôçñéäßùí èá Ý÷åé äéðëáóéá-
óôåß
iii. Ëýóôå ôçí áíßóùóç:
( )2
2t 3q t 5Α 2 500 0
+ − ⋅ − ≥
Ëýóç
i. Éó÷ýåé: ( )
( )
2β
4β
q 2 400 A 2 400 και
q 4 3200 A 2 3200
= ⇔ ⋅ =
= ⇔ ⋅ =
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10198
Ìå äéáßñåóç êáôá ìÝëç Ý÷ïõìå:
4β2β 3
2β
A 2 3200 32 8 2 2β 3 β
400 2A 2
⋅= ⇔ = = ⇔ = ⇔ =
⋅
¢ñá: 3
22A 2 400 8Α 400 Α 50⋅
⋅ = ⇔ = ⇔ =
ii. Éó÷ýåé ( )3t
2q t 50 2 µε t 0⋅
= ⋅ ≥ .
Áí t ï ÷ñüíïò ðïõ ÷ñåéÜæåôáé ãéá íá äéðëáóéá-
óôåß ï áñéèìüò ôùí âáêôçñéäßùí ôüôå:
( ) ( )q t 2q 0= ⇔
3t
250 2 2 50⋅
⋅ = ⋅ ⇔
3t
122 2⋅
= ⇔3 2t 1 t
2 3⋅ = ⇔ = ôçò þñáò.
¢ñá óå 260 40
3⋅ = ëåðôÜ èá Ý÷åé äéðëáóéáóôåß
ï áñ÷éêüò ðëçèõóìüò ôùí âáêôçñéäßùí .
iii. ( )[ ]2
2t 3q t 5Α 2 500 0
+− ⋅ − ≥ ⇔
3t 2t
3t 2t
3t 2t
2500 2 5 50 8 2 500 0
2500 2 2000 2 500 0
5 2 4 2 1 0
⇔ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ≥ ⇔
⇔ ⋅ − ⋅ − ≥ ⇔
⇔ ⋅ − ⋅ − ≥
ÈÝôïõìå: ty 2 0= > êáé ç áíßóùóç ãßíåôáé:
3 2 t 05y 4y 1 0 y 1 2 2 t 0
∗
− − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ .
∗ Ãéá ôï ( ) 3 2q y 5y 4y 1= − − åöáñìüóáìå ôï
ó÷Þìá Horner óôç èÝóç 1.
[ôï 1 ôï âñÞêáìå äéüôé ïé óõíôåëåóôÝò ôïõ q(y)
Ý÷ïõí Üèñïéóìá 0]
¢ñá ( ) ( ) ( )2q y y 1 5y y 1= − ⋅ + + .
Ôï ðñüóçìï ôïõ q(y) öáßíåôáé óôïí åðüìåíï
ðßíáêá:
4 Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç ( )x
3 αf x
α 2
− =
+
ìå α 2≠ − . Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ α R∈ ãéá
ôéò ïðïßåò ç óõíÜñôçóç f:
i. ¸÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R.
ii. Åßíáé ãíùóßùò áýîïõóá óôï R.
iii. Åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R.
iv. Åßíáé 1-1.
Ëýóç
i. Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R ìüíïí üôáí:
( )( )3 α0 3 α α 2 0 2 α 3
α 2
−> ⇔ − + > ⇔ − < <
+
ii. Ãéá íá åßíáé ç f ãíçóßùò áýîïõóá óôï R ðñÝðåé
êáé áñêåß:
( )( )
3 α 3 α 3 α α 21 1 0 0
α 2 α 2 α 2
1 2α 10 1 2α α 2 0 2 α
α 2 2
− − − − −> ⇔ − > ⇔ >
+ + +
−⇔ > ⇔ − + > ⇔ − < <
+
iii. Ãéá íá åßíáé ç f ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R ðñÝ-
ðåé êáé áñêåß:
•
( )( )
3 α 3 α 3 α α 21 1 0 0
α 2 α 2 α 2
1 2α0 1 2α α 2 0
α 2
1α 2 ή α
2
− − − − −< ⇔ − < ⇔ <
+ + +
−⇔ < ⇔ − + < ⇔
+
⇔ < − >
êáé
• ( )( )3 α0 3 α α 2 0 2 α 3
α 2
−> ⇔ − − > ⇔ − < <
+
Óõíáëçèåýïíôáò Ý÷ïõìå: 1
α 32< <
iv. Ãéá íá åßíáé ç f 1-1 ðñÝðåé êáé áñêåß:
3 α 3 α0 και 1
α 2 α 2
− −> ≠
+ +
Þ 2 α 3 και 3 α α 2− < < − ≠ +
Þ1
2 α 3 και α2
− < < ≠
Þ1 1
2 α ή α 32 2
− < < < <
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 199
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
8
7
6
5 Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç ( )x
2α 1
f x3α 1
+=
−
Íá âñåßôå ôéò ôéìÝò ôïõ α R∈ ãéá ôéò ïðïßåò
ç óõíÜñôçóç f åßíáé óôáèåñÞ óôï R.
Ëýóç
Ãéá íá åßíáé ç óõíÜñôçóç f óôáèåñÞ ðñÝðåé êáé
áñêåß: 2
2 2α 11 α 1 3α 1 α 3α 2 0
3α 1
+= ⇔ + = − ⇔ − + =
−
Üñá α 1 ή α 2= = .
Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé 1-1 ïé ðáñáêÜôù
óõíáñôÞóåéò:
i. ( ) x 2f x 3e 1
+
= − ii. ( )x
x
3 1g x
3 2
−=
+
Ëýóç
Ãéá íá äåßîïõìå üôé ìéá óõíÜñôçóç f : A R→
åßíáé 1-1 åñãáæüìáóôå ùò åîÞò:
1ïò ôñüðïò
Èåùñïýìå 1 2x , x A∈ ôÝôïéá þóôå ( ) ( )1 2
f x f x=
êáé áðïäåéêíýïõìå üôé 1 2x x= .
2ïò ôñüðïò
Èåùñïýìå 1 2x , x A∈ ìå
1 2x x≠ êáé áðïäåéêíý-
ïõìå üôé ( ) ( )1 2f x f x≠
i. Ç f ïñßæåôáé óå üëï ôï R.
¸óôù 1 2x , x R∈ ôÝôïéá þóôå: ( ) ( )1 2
f x f x=
Ôüôå Ý÷ïõìå äéáäï÷éêÜ:
1 2
1 2
1 2
1 2
x 2 x 2
x 2 x 2
x x2 2
x x
3e 1 3e 1
3e 3e
e e e e
e e
+ +
+ +
− = −
=
=
=
êáé áöïý ç ( ) xf x e= åßíáé 1-1 Ý÷ïõìå:
1 2x x=
¢ñá ç f åßíáé 1-1.
ii. Ç g ïñßæåôáé óå üëï ôï R.
¸óôù 1 2x , x R∈ ôÝôïéá þóôå: ( ) ( )1 2
g x g x=
Ôüôå Ý÷ïõìå äéáäï÷éêÜ:
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2
x x
x x
x x x x x x x x
x x x x x x
3 1 3 1
3 2 3 2
3 2 3 3 2 3 3 2 3 2
2 3 3 2 3 3 3 3
+ +
− −= ⇔
+ +
+ ⋅ − − = − + ⋅ −
⋅ − = ⋅ − ⇔ =
êáé áöïý ç ( ) xf x 3= åßíáé 1-1 Ý÷ïõìå:
1 2x x= . ¢ñá ç g åßíáé 1-1.
Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò ( ) ( )x
f x 1 x= + .
Ëýóç
Ç óõíÜñôçóç f ïñßæåôáé óôçí Ýíùóç
1 2 3 4A A A A A= ∪ ∪ ∪ , üðïõ:
{ }1A x R :1 x 0 και x R= ∈ + > ∈ ,
{ }*2A x R :1 x 0 και x Q
+= ∈ + = ∈
{ }3A x R :1 x 0 και x Z= ∈ + < ∈
{ }*4A x R : x N= ∈ ∈
ÅîÜëëïõ, ( )1A 1,= − +∞ ,
2Α = ∅ ,
{ }3Α x Z : x 1= ∈ < − êáé *
4A N= , ïðüôå:
( ) { }A 1, x Z : x 1= − +∞ ∪ ∈ < −
Íá ëõèåß ç åîßóùóç: ( )x2 3 2 x 1= −⋅
Ëýóç
Åßíáé: ( ) ( )x x2 x 11 3 3 x 1 2
2 2
−⇔ = ⇔ = − +
• Ç óõíÜñôçóç ( ) xf x 3= ïñßæåôáé óôï R êáé ãéá
êÜèå 1 2x , x R∈ êáé åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï
R.
• Ç óõíÜñôçóç ( )1
g x x 12
= − + ïñßæåôáé óôï R
êáé ãéá êÜèå 1 2x , x R∈ êáé åßíáé ãíçóßùò öèß-
íïõóá óôï R.
Áí õðÜñ÷åé ñßæá ôçò (1), áõôÞ åßíáé ìïíáäéêÞ.
ÊÜíïíôáò, ëïéðüí, ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí f,
g äéáðéóôþíïõìå üôé äéÝñ÷ïíôáé êáé ïé äýï áðü ôï
óçìåßï (0,1), ïðüôå ï áñéèìüò ÷=0 åßíáé ñßæá ôçò
åîßóùóçò ( ) ( )f x g x= êáé åðïìÝíùò ôçò (2), Üñá
êáé ôçò (1).
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10200
9
¿óôå: ç (1) Ý÷åé ôçí ìïíáäéêÞ ñßæá ÷=0.
Íá ëõèåß ç áíßóùóç: xe 1 x≥ −
Ëýóç
¸óôù ( ) xf x e= êáé ( )g x 1 x= − , ïé ãñáöéêÝò
ðáñáóôÜóåéò ôùí ïðïßùí öáßíïíôáé óôï åðüìåíï
ó÷Þìá:
Ç áíßóùóç ïñßæåôáé ãéá êÜèå x R∈ êáé áëçèåýåé
ãéá åêåßíá ôá ÷ ãéá ôá ïðïßá éó÷ýåé:
( ) ( )f x g x≥ .
Áõôü üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá áëçèåýåé üôáí:
x 0≥ . ÐñÜãìáôé áöïý ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíç-
óßùò áýîïõóá óôï R, ïðüôå ãéá êÜèå x 0≥ ,
éó÷ýåé:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0f x f 0 f x e f x 1 1≥ ⇔ ≥ ⇔ >
Ç óõíÜñôçóç g åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï R,
ïðüôå ãéá êÜèå x 0≥ , éó÷ýåé:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x g 0 g x 1 0 g x 1 2≤ ⇔ = − ⇔ ≤
Áðü ôéò (1) êáé (2), Ý÷ïõìå:
( ) ( )f x 1 g x≥ ≥
ïðüôå ( ) ( )f x g x≥ êáé åðïìÝíùò êÜèå x 0≥ åß-
íáé ëýóç ôçò áñ÷éêÞò áöïý:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0f x f 0 f x 1f x ex 0
g x g 0 g x 1g x 1 0
< << ≥ ⇔ ⇔ ⇔
> >> − .
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã136. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç
( ) ( ) ( )x x
f x 3 8 3 8= + + −
ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï R. Íá äåßîåôå üôé:
á. ç f åßíáé Üñôéá
â. óôï óçìåßï ( )A 0,2 ôçò ãñáöéêÞò ðá-
ñÜóôáóçò ôçò f ç ôåôáãìÝíç 2 åßíáé ç
åëÜ÷éóôç.
Ã137. i. Íá áðïäåßîåôå üôé, áí ç f åßíáé ãíçóßùò
ìïíüôïíç óôï R, ôüôå ç ãñáöéêÞ ðá-
ñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé óå Ýíá ôï ðïëý
óçìåßï ôïí Üîïíá x x′ .
ii. Áí ç f ãíçóßùò áýîïõóá êáé g ãíçóßùò
öèßíïõóá óôï R, íá äåßîåôå üôé õðÜñ-
÷åé ôï ðïëý Ýíáò áñéèìüò ξ R∈ , þóôå
( ) ( )f ξ g ξ= .
iii. Íá áðïäåßîåôå üôé ç åîßóùóç xe x 1= − +
Ý÷åé ìüíï ìßá ñßæá óôï R ôçí 0x 0= .
Ã138. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( )x
2α 3f x 4
α 1
+ = −
−
Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò ôéìÝò ôïõ α R∈
þóôå:
i. Ç f íá åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï ðå-
äßï ïñéóìïý ôçò.
ii. Ç f íá åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá óôï
ðåäßï ïñéóìïý ôçò.
Ã139. Áí ç çìéæùÞ åíüò ñáäéåíåñãïý õëéêïý
åßíáé 10 ÷ñüíéá, äåßîôå üôé ç óõíÜñôçóç
ðïõ åêöñÜæåé ôçí åêèåôéêÞ áðüóâåóç åß-
íáé: ( )t
10
0Q t Q 2
−
= ⋅ .
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 201
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
( )α
f x log x, 0 α 1= < ≠
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá áðïäåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç
( ) ( )2f x ln x 1= + åßíáé Üñôéá.
Ëýóç
“Ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý Á åßíáé Üñôéá
üôáí ãéá êÜèå x A∈ éó÷ýïõí:
i. x A− ∈ êáé ii. ( ) ( )f x f x− = ”
Åßíáé 2x 1 0+ > , ãéá êÜèå x R∈ .
¢ñá ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï A R= .
Ãéá êÜèå x, x R− ∈ Ý÷ïõìå:
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2f x ln x 1 ln x 1 f x− = − + = + =
¢ñá ç f åßíáé Üñôéá.
1. Ðåäßï ïñéóìïý: ( )0,+∞
2. Ðåñéïäéêüôçôá: Äåí ðáñïõóéÜæåé
3. Óõììåôñßåò: Äåí Ý÷åé
4. Óýíïëï ôéìþí: ( )( )f 0, R+∞ =
5. Ìïíïôïíßá: • áí 0 α 1< < ç f åßíáé ↓ óôï ( )fΑ 0,= +∞
• áí α 1> ç f åßíáé ↑ óôï ( )fΑ 0,= +∞
6. 1 1− : Ç óõíÜñôçóç f åßíáé 1 1− óôï ( )fA 0,= +∞
7. Áêñüôáôá: Äåí Ý÷åé
8. Ðïõ ôÝìíåé ôç ãñ. ðáñÜóôáóç ôïõò Üîïíåò: ( )
y y ∆εν τέµνει τον y y σε κανένα σηµείο
x x Στο σηµείο 1,0
′ ′′
Ï Üîïíáò y y′ áðïôåëåß áóýìðôùôç åõèåßá ôçò ãñ. ðáñÜóôáóçò ôçò f.
9. Bïçèçôéêüò ðßíáêáò:
10. ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10202
5
4
3
2 Íá óõãêñßíåôå ôïõò áñéèìïýò:
i. 2 2
log 5 και log 11
ii. 0,5 0,5
log 7 και log 20
Ëýóç
“Ãéá íá óõãêñßíïõìå ëïãÜñéèìïõò ðïõ Ý÷ïõí ôçí
ßäéá âÜóç óôçñéæüìáóôå óôç ìïíïôïíßá ôçò ëï-
ãáñéèìéêÞò óõíÜñôçóçò:
• Áí α 1> ç ( )α
f x log x= åßíáé ãíçóßùò áý-
îïõóá, Üñá ãéá êÜèå ( )1 2x , x 0,∈ +∞ ìå
1 2x x<
éó÷ýåé: ( ) ( )1 2f x f x< .
• Áí 0 α 1< < ç ( )α
f x log x= åßíáé ãíçóßùò
öèßíïõóá, Üñá ãéá êÜèå ( )1 2x , x 0,∈ +∞ ìå
1 2x x< éó÷ýåé: ( ) ( )1 2
f x f x> .
i. Ç óõíÜñôçóç ( )2
f x log x= åßíáé ãíçóßùò áý-
îïõóá, åðïìÝíùò :
ìå 5 11< åßíáé ( ) ( )f 5 f 11<
äçëáäÞ 2 2
log 5 log l 11< .
ii. Ç óõíÜñôçóç ( )0,5
f x log x= åßíáé ãíçóßùò
öèßíïõóá, åðïìÝíùò:
ìå 7 20< åßíáé ( ) ( )f 7 f 20>
äçëáäÞ 0,5 0,5log 7 log 20> .
Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞ-
óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:
i. ( )3
f x log x= ii. ( )1
3
g x log x=
Ëýóç
i. Ç f ïñßæåôáé óôï ( )0,+∞ , Ý÷åé óýíïëï ôéìþí
ôï R, êáé åðåéäÞ α 3 1= > åßíáé ãíçóßùò áý-
îïõóá óôï ( )0,+∞ .
ii. ÅðåéäÞ 1
0 α 13
< = < ç f ïñßæåôáé óôï ( )0,+∞ ,
Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï R, åßíáé ãíçóßùò öèß-
íïõóá óôï ( )0,+∞ .
Íá ëõèåß ç åîßóùóç: ( )2
log x x 1 1= − +
Ëýóç
Ó÷åäéÜæïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõ-
íáñôÞóåùí ( )2
f x log x= êáé ( )g x x 1= − + êáé
äéáðéóôþíïõìå üôé ôÝìíïíôáé óôï óçìåßï ìå ôå-
ôìçìÝíç ÷=1. ¢ñá ï áñéèìüò ÷=1 åßíáé ëýóç ôçò
(1). ÅîÜëëïõ ç óõíÜñôçóç f åßíáé ãíçóßùò áý-
îïõóá áöïý 2 > 1 êáé ç óõíÜñôçóç g åßíáé ãíç-
óßùò öèßíïõóá áöïý ï óõíôåëåóôÞò äéåýèõíóçò
ôçò åõèåßáò y x 1= − + åßíáé λ 1= − , ïðüôå ç ëýóç
÷=1 åßíáé ìïíáäéêÞ.
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:
f (x) ln(x α) β= + +
i. Áí ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí
Üîïíá x óôï ( )Α e 2 , 0− êáé ôïí y y′ óôï
2B 0 , ln
e
âñåßôå ôá α,β∈� .
ii. Âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f .
iii. Ó÷åäéÜóôå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f.
Á9
Á10
Â7
Â9
Â10
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 203
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
6
iv. Âñåßôå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò åõèåßáò
f (x)y e= ìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ
ðïëõùíýìïõ:
3 2x x x
q(x)e
+ +=
Ëýóç
i. ¸÷ïõìå
f
2 2B 0 , ln C f (0) ln
e e
∈ ⇔ = ⇔
2 2ln ln ln ln e ln
e e
β
α +β = ⇔ α + = ⇔
( ) 2ln e ln
e
β
α = ⇔1
2 2e
e e
β
β+α = ⇔ α =
êáé
( )f
e 2 , 0 C f (e 2) 0Α − ∈ ⇔ − = ⇔
( ) ( )
( ) ( )
1
ln e 2 0 ln e 2
ln e 2 ln e e 2 e
2 1 2 1e 2 e 2
e e e e e
−β −β
β+ β β β
− +α +β = ⇔ − +α = −β⇔
− +α = ⇔ − +α = ⇔
− + = ⇔ − + =⋅
ÈÝôïõìå: y eβ
= êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:
( )
( )
1
2 1e 2 e e 2 y 2 e
e y y
1e e 2 y e 2 y
e
e e 1β −
− + = ⇔ ⋅ − ⋅ + = ⇔⋅
⋅ − ⋅ = − ⇔ = ⇔
⇔ = ⇔ β = −
Ôüôå 0
22
eα = = êáé f (x) ln(x 2) 1= + −
ii. ÅðåéäÞ x 2 0 x 2+ > ⇔ > − , ôï ðåäßï ïñéóìïý
ôçò f åßíáé ôï ( )2,− +∞ .
iii. Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f åßíáé ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç ôçò y ln x= ç ïðïßá üìùò åßíáé
ìåôáôïðéóìÝíç:
• Êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù êáôÜ 1 ìïíÜäá.
• Ïñéæüíôéá ðñïò ôá áñéóôåñÜ êáôÜ 2 ìïíÜäåò.
iv. Éó÷ýåé:
f (x) ln(x 2) 1 ln(x 2) ln e
x 2ln
e
y e e e
x 2e
e
+ − + −
+
= = = =
+= =
Ïðüôå ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:
3 2
3 2x x x x 2x x 2 0
e e
+ + += ⇔ + − =
Ãéá ôï 3 2G(x) x x 2= + − åöáñìüæïõìå ôï
ó÷Þìá Horner óôç èÝóç 1 êáé Ý÷ïõìå:
¢ñá ( ) ( )2x 1 x 2x 2 0 x 1− ⋅ + + = ⇔ = .
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç: ( )ln x
f x1 lnx
=−
i. Âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f.
ii. Âñåßôå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò ãñáöéêÞò ðá-
ñÜóôáóçò ôçò f ìå ôçí åõèåßá y 1=
iii. Âñåßôå ôá äéáóôÞìáôá ôïõ x óôá ïðïßá ç
ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f âñßóêåôáé ðÜíù
áðü ôïí Üîïíá x x′ .
Ëýóç
i. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f èá ðñïêýøåé áðï ôçí
åðßëõóç ôïõ óõóôÞìáôïò:
x 0 x 0
1 ln x 0 1 ln x
x 0x e
x e
> > ⇔ ⇔
− ≠ ≠
>⇔ ⇔ 0 < ≠
≠
Á10
Â9
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 10204
8
7
¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï:
( ) ( )A 0,e e,= ∪ +∞
ii. Ãéá íá âñïýìå ôá êïéíÜ óçìåßá ôçò fC ìå ôçí
åõèåßá y 1= , ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:
( )
1
2
ln xf x 1 1 ln x 1 ln x
1 ln x
12ln x 1 ln x ln e x e
2
= ⇔ = ⇔ = − ⇔
−
⇔ = ⇔ = = ⇔ =
¢ñá ( )A e , 1 ôï êïéíü óçìåßï ôçò fC êáé
ôçò åõèåßáò y 1= .
iii. Ãéá íá âñïýìå ôá äéáóôÞìáôá ôïõ x óôá ïðïßá
ç fC âñßóêåôáé ðÜíù áðï ôïí Üîïíá x x′
ëýíïõìå ôçí áíßóùóç:
( ) ( )ln x
f x 0 0 ln x 1 ln x 01 ln x
> ⇔ > ⇔ ⋅ − >−
ÈÝôïõìå: y ln x= êáé ç áíßóùóç ãßíåôáé:
( )y 1 y 0⋅ − >
Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:
( )y 1 y 0⋅ − = ⇔ y 0= Þ y 1=
Tï ðñüóçìï ôïõ ( )y 1 y⋅ − öáßíåôáé óôïí å-
ðüìåíï ðßíáêá:
¢ñá:
0 y 1< < ⇔ 0 ln x 1 ln1 ln x ln e< < ⇔ < < ⇔
( )x 1 , e⇔ ∈
i. Âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñ-
ôçóçò: ( )2x
x
e 1f x ln
e 5
−=
+
ii. Ëýóôå ôçí åîßóùóç: ( )f x 2ln2=
iii. Ëýóôå ôçí áíßóùóç: ( )f x 0>
Ëýóç
i. ÐñÝðåé
( )2x 2x 0e 1 0 e e 2x 0 x 0,− > ⇔ > ⇔ > ⇔ ∈ +∞
¢ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï:
( )A 0,= +∞
ii. ( )f x 2ln 2= ⇔
( )2x 2x
2
x x
2x x 2x x
e 1 e 1ln ln 2 4
e 5 e 5
e 1 4e 20 e 4e 21 0
− −= ⇔ = ⇔
+ +
⇔ − = + ⇔ − − =
ÈÝôïõìå xe y 0= > êáé ç åîßóùóç ãßíåôáé:
2y 4y 21 0 y 7 ή y 3− − = ⇔ = = −
ç y = -3 áðïññßðôåôáé,áöïý y > 0.
x x ln 7e 7 e e x ln 7= ⇔ = ⇔ = .
( )2x 2x
x x
2x x 2x x
e 1 e 1f x 0 ln ln1 1
e 5 e 5
e 1 e 5 e e 6 0
− −> ⇔ > ⇔ >
+ +
⇔ − > + ⇔ − − >
ÈÝôïõìå: xe y 0= > êáé ç áíßóùóç ãßíåôáé:
2y y 6 0 y 2 ή y 3− − > ⇔ < − > .
Åßíáé: x ln 3
y 3 e 3 e x ln 3> ⇔ > = ⇔ >
Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò óõíáñôÞóåéò
( ) xf x = α êáé ( )g x log x
α= , áí ïé ãñáöéêÝò
ôïõò ðáñáóôÜóåéò äéÝñ÷ïíôáé áðü ôá:
i. ( )A 2,4 ii. ( )B 2,4−
iii. ( )Γ 2, 4− iv. ( )∆ 2, 4− −
Ëýóç
ÅðåéäÞ 0 α 1< ≠ Ý÷ïõìå:
i. ( ) 2f 2 4 α 4 α 2= ⇔ = ⇔ = . ¢ñá ( ) x
f x 2=
( ) 4 4
αg 2 4 log 2 4 α 2 α 2= ⇔ = ⇔ = ⇔ = .
¢ñá ( ) 4 2g x log x= .
ii. ( ) 2 2 1 1f 2 4 α 4 α α
4 2
−− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = .
¢ñá ( )x
1f x
2
=
, åíþ äåí õðÜñ÷åé ç g, áöïý
ï ëïãÜñéèìïò áñíçôéêïý áñéèìïý äåí ïñßæåôáé.
Á9
Á10
Â10
Â11
Á9
Á10
Â10
Â11
âáóéêÝò - óôïé÷åéþäåéò óõíáñôÞóåéò 205
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
iii. ( ) ( )2f 2 4 4 ύ−
= − ⇔ α = − αδ νατο
( ) 4
4
1g 2 4 log 2 4 2
2
−
α= − ⇔ = − ⇔α = ⇔α =
¢ñá ( )4
1
2
g x log x= .
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã140. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõ-
íÜñôçóçò f ìå ôýðï
( ) ( )2f x n x 6x 8= − +� .
Ã141. Íá ó÷åäéÜóåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò
f ìå ( )α
f x log x= áí åßíáé ãíùóôü üôé
äéÝñ÷åôáé áðü ôï óçìåßï 1
A e,2
.
Ã142. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå
( ) ( )2f x ln x x 1= + +
Íá áðïäåßîåôå üôé:
i. ïñßæåôáé ó’ üëï ôï R,
ii. åßíáé ðåñéôôÞ êáé
iii. åßíáé óõíÜñôçóç “1–1”.
Ã143. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí åêèåôéêÞ óõíÜñ-
ôçóç ( ) xf x α= êáé ôç ëïãáñéèìéêÞ óõ-
íÜñôçóç ( )α
g x log x= , ôùí ïðïßùí ïé
ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ðåñíïýí áðü ôï óç-
ìåßï:
i. ( )2,9 , ii. 1
4,16
−
, iii. 1, 3
27
−
Ã144. Íá ëõèåß ãñáöéêÜ ç åîßóùóç:
( )2
log x x 1 1= − +
Ã145. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíÜñ-
ôçóçò
( ) ( )2
2 xf x log x 3x 2
−= − +
Ã146. Áí ( )1 x
F x n1 x
−=
+� ìå 1 x 1− < < ôüôå
íá äåé÷èåß üôé éó÷ýåé:
( ) ( )α β
F F α F β1 αβ
+= +
+
Ã147. Áí ( ) 3f x og x= � , ôüôå íá äåé÷èåß üôé
( ) ( ) ( )3f 2 2f 6 f 32 2+ − =
(âë. áóê. Á10.5)
Ã148. Áí ( )f x ogx= � , ôüôå íá äåé÷èåß üôé
( ) ( )( ) ( ) ( )α β 1
f f α f β f α f β3 2
+ = + ≥
(âë. áóê. Á10.10)
Ã149. Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí óõ-
íáñôÞóåùí ìå ôýðïõò:
á. ( ) ( )x
f x log 3 x= −
â. ( ) x
1 xf x log
5 x
+=
−
(âë. áóê. Á10.4)
Á9
Á10
Â4
Â8
Â10
Â11
iv. ( ) 2 2 1f 2 4 α 4 α
4
−− = − ⇔ = − ⇔ = −
Åðßóçò äåí õðÜñ÷åé ç g, áöïý ï ëïãÜñéèìïò áñ-
íçôéêïý áñéèìïý äåí ïñßæåôáé.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 11206
ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò
( )f x ηµx= ,
( )f x συνx=
, ( )f x εφx= , ( )f x σφx=
Ã.11
Ç óõíÜñôçóç ìå ôçí ïðïßá êÜèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò x áíôéóôïé÷ßæåôáé óôï
çì(x rad) ëÝãåôáé óõíÜñôçóç çìßôïíï êáé ôç óõìâïëßæïõìå ìå:
çìx = çì(x rad)
Ç óõíÜñôçóç çìßôïíï åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2ð äéüôé:
çì(2ð+x) = çìx, ãéá êÜèå x R∈
Áõôü óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé óå êÜèå äéÜóôç-
ìá ðëÜôïõò 2ð. Ç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñôçóçò áõôÞò óôï äéÜóôçìá [0,2ð] öáß-
íåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá.
Ç óõíÜñôçóç ìå ôçí ïðïßá êÜèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò x áíôéóôïé÷ßæåôáé óôï
óõí (x rad) ëÝãåôáé óõíÜñôçóç óõíçìßôïíï êáé ôç óõìâïëßæïõìå ìå:
óõíx = óõí (x rad)
Ç óõíÜñôçóç áõôÞ åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2ð., äéüôé:
óõí(2ð+x)=óõíx ãéá êÜèå x R∈
Áõôü óçìáßíåé üôé ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé óå êÜèå äéÜóôçìá
ðëÜôïõò 2ð. Ç ìïíïôïíßá ôçò óõíÜñôçóçò áõôÞò óôï äéÜóôçìá [0,2ð] öáßíåôáé
óôïí åðüìåíï ðßíáêá.
Ç óõíÜñôçóç
çìßôïíï
( )f x ηµx=
H ãñáöéêÞ ðáñÜ-
óôáóç ëÝãåôáé ç-
ìéôïíïåéäÞò êá-
ìðýëç.
Ç óõíÜñôçóç
óõíçìßôïíï
( )f x συνx=
ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò 207
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
Ç óõíÜñôçóç åöáðôüìåíç ïñßæåôáé ùò ôï ðçëßêï ôïõ çìéôüíïõ ðñïò ôï óõíçìß-
ôïíï.
Åßíáé: ηµx
f (x) εφxσυνx
= = ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï A {x R :συνx 0}= ∈ ≠
Ç óõíÜñôçóç åöx åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï ð äéüôé: åö(ð + x) = åöx, ãéá
êÜèå x A∈ . ¢ñá ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé ç ßäéá óå
êÜèå äéÜóôçìá ðëÜôïõò ð.
¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) óôï 2
π ìå
πx
2< ç
åöx ôåßíåé óôï +∞ . ¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”)
óôï 2
π ìå
πx
2> ç åöx ôåßíåé óôï −∞ . Ãé’ áõôü
ëÝìå üôé ç åõèåßá x2
π= åßíáé êáôáêüñõöç áóý-
ìðôùôç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f ìå
f(x) = åöx.
Ç óõíÜñôçóç óõíåöáðôüìåíç ïñßæåôáé ùò ôï ðçëßêï ôïõ óõíçìéôüíïõ ðñïò ôï
çìßôïíï.
Åßíáé: συνx
f (x) σφxηµx
= = ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï A {x R : ηµx 0}= ∈ ≠
Ç óõíÜñôçóç óöx åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï ð äéüôé:
óö(ð + x) = óöx, ãéá êÜèå x A∈ . ¢ñá ç ãñáöéêÞ ôçò
ðáñÜóôáóç åðáíáëáìâÜíåôáé ç ßäéá óå êÜèå äéÜóôç-
ìá ðëÜôïõò ð.
¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) óôï 0 ìå x 0> ç åöx ôåßíåé
óôï +∞ .
¼ôáí ôï x ðëçóéÜæåé (“ôåßíåé”) óôï 0 ìå x 0< ç åöx ôåß-
íåé óôï −∞
Ôüôå ëÝìå üôé ç åõèåßá x 0= åßíáé êáôáêüñõöç áóý-
ìðôùôç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò f ìå f(x) = åöx.
ÅðåéäÞ 1 ηµx 1− ≤ ≤ Ý÷ïõìå 1 ηµ(ωx 1)− ≤ ≤
êáé åðåéäÞ ñ > 0 åßíáé:
ρ ρηµ(ωx) ρ -ρ f (x) ρ− ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
¢ñá ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ôï ñ êáé ç åëÜ÷é-
óôç ôéìÞ ôçò åßíáé ôï - ñ.
Ôï ù êáèïñßæåé ôçí ðåñßïäï Ô ôçò f ðïõ åßíáé:
2πT
ω=
Ç óõíÜñôçóç
åöáðôïìÝíç
( )f x εφx=
Ç óõíÜñôçóç
óõíåöáðôïìÝíç
( )f x σφx=
Ïé óõíáñôÞóåéò
f(÷) = ñçì(ùx),
üðïõ ñ, ù > 0
êáé
g(x) =ñóõí(ùx),
üðïõ ñ, ù > 0
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 11208
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1
2
Ëýóç
i. Åßíáé öáíåñü üôé ç ðñþôç åßíáé ç y ηµx= .
EðïìÝíùò ïé Üëëåò åßíáé ôçò ìïñöÞò:
y α ηµω x=
- Ç ðåñßïäïò ôçò äåýôåñçò éóïýôáé ìå 4ð.
¸ôóé 2π
4πω= , ïðüôå
1ω
2= .
Ôï ðëÜôïò á ôçò äåýôåñçò éóïýôáé ìå 1. ¢ñá
ç åîßóùóÞ ôçò åßíáé ç x
y ηµ2
= .
- Ç ðåñßäïò ôçò ôñßôçò éóïýôáé ìå 2π
3. ¸ôóé
2π 2π
ω 3= , ïðüôå ω 3= .
Ôï ðëÜôïò á ôçò ôñßôçò éóïýôáé ìå 1. ¢ñá ç
åîßóùóÞ ôçò åßíáé ç y ηµ3x= .
ii. Aí åñãáóôïýìå üðùò ðñïçãïõìÝíùò âñßóêïõ-
ìå üôé:
- Ç åîßóùóç ôçò ðñþôçò åßíáé ç y ηµ3x=
- Ç åîßóùóç ôçò äåýôåñçò åßíáé ç y 3ηµx=
- Ç åîßóùóç ôçò ôñßôçò åßíáé ç y 0,5ηµx= êáé
- Ç åîßóùóç ôçò ôÝôáñôçò åßíáé ç y 2,5ηµx= − .
Íá âñåèåß ç ìÝãéóôç êáé ç åëÜ÷éóôç
ôéìÞ ôçò óõíÜñôçóçò f(x) = 3çì(4x) êáé íá
êÜíåôå ôçí ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç.
Ëýóç
Ç óõíÜñôçóç f(x) = 3çì(4x) Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï
3, åëÜ÷éóôç ôï – 3 êáé ðåñßïäï 2π π
4 2= .
ÅðïìÝíùò, ãéá íá ðáñïõóéÜóïõìå ôç ãñáöéêÞ ôçò f
ó÷åäéÜæïõìå ìéá çìéôïíïåéäÞ êáìðýëç ìå åëÜ÷éóôç
ôéìÞ ôï - 3 êáé ìÝãéóôç ôï 3 óå äéÜóôçìá ðëÜôïõò
π
2.
Óôï ßäéï ó÷Þìá ó÷åäéÜóáìå êáé ôçí çìx. Ôá ßäéá
éó÷ýïõí ãéá ôç óõíÜñôçóç g(x) = ñóõí(ùx).
Íá âñåßôå ôéò åîéóþóåéò ôùí çìéôïíïåéäþí êáìðýëùí:
i. ii.
ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò 209
ÂÁÓÉÊÅÓ ÓÔÏÉ×ÅÉÙÄÅÉÓ ÓÕÍÁÑÔÇ-
ÓÅÉÓ
3 Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï, ôç ìÝãéóôç êáé
ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ êáé íá ðáñáóôÞóåôå ãñá-
öéêÜ ôç óõíÜñôçóç ( )f x 3συν2x= óå ðëÜ-
ôïò ìéáò ðåñéüäïõ.
Ëýóç
Ç óõíÜñôçóç ( )f x 3συν2x= åßíáé ôçò ìïñöÞò
( ) ( )f x ρσυν ωx= ìå ρ 3= êáé ω 2= .
ÅðïìÝíùò:
• Åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2π
Τ πω
= = êáé Ý÷åé
ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 3 êáé åëÜ÷éóôç ôï – 3.
Ç ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç öáßíåôáé óôï äéðëáíü
ó÷Þìá.
Íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôç-
óç x
f (x) 2ηµ2
= .
Ëýóç
Óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá åßíáé ìéá çìéôïíï-
åéäÝò êáìðýëç êáé Ý÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 2, åëÜ÷é-
óôç ôéìÞ ôï - 2 êáé åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï
2T 4
1/ 2
π= = π
Ó÷åäéÜæïõìå ôçí çìéôïíïåéäÞ êáìðýëç óå äéÜóôç-
ìá ðëÜôïõò 4ð. Ãéá óýãêñéóç ó÷åäéÜóáìå êáé ôç
óõíÜñôçóç ö(x) = çìx óôï äéÜóôçìá [0, 2ð].
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:
2xf (x) α ηµ β µε x
3
και α 0 , β
R
R
= ⋅ + ∈
> ∈
i. Áí ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ôï 3 êáé ç
ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç Cf ôÝìíåé ôïí y y′
óôï óçìåßï (0,1), âñåßôå ôá α,β R∈ .
ii. Íá êÜíåôå ôçí ãñáöéêÞ ôçò ðáñÜóôáóç óå
äéÜóôçìá ðëÜôïõò ìéáò ðåñéüäïõ.
iii.Âñåßôå ôá óçìåßá ðïõ ç ãñáöéêÞ ðáñÜ-
óôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí Üîïíá x´x óôï
äéÜóôçìá ìéáò ðåñéüäïõ.
Ëýóç
i. i H fC′ ôÝìíåé ôïí y y′ óôï (0,1), Üñá ôï óç-
ìåßï ( )f
M 0,1 C f (0) 1 β 1′∈ ⇔ = ⇔ =
i Για x∈R éó÷ýåé: 2x
1 ηµ 13
− ≤ ≤ ⇔
2x
α α ηµ α3
− ≤ ⋅ ≤ ⇔
(ðñïóèÝôïõìå ôï 1)
2x
α 1 α ηµ 1 α 13
− + ≤ ⋅ + ≤ + ⇔
α 1 f (x) α 1− + ≤ ≤ +
ÄçëáäÞ ç ìÝãéóôç ôéìÞ ôçò f åßíáé ôï α 1+ ,
Üñá α 1 3 α 2+ = ⇔ = êáé ôåëéêÜ:
2xf (x) 2ηµ 1 µε x
3
= + ∈
R
ii. i H f åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå åëÜ÷éóôç èåôéêÞ ðå-
ñßïäï 2π
Τ 3π2
3
= = .
¢ñá èá ôçí ìåëåôÞóïõìå óôï äéÜóôçìá [ ]0,3π .
• Ç f åßíáé ãíçóßùò ìïíüôïíç êáôÜ äéáóôÞìáôá ùò åîÞò:
4
5
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 11210
• Ï ðßíáêáò ôéìþí ôçò f åßíáé:
iii. Èá ëýóïõìå ôçí åîßóùóç
[ ]f (x) 0 στο διάστηµα 0,3π=
Âñßóêïõìå êáôáñ÷Üò ôéò ãåíéêÝò ëýóåéò ôçò åîßóùóçò:
2x 2x 1 π2ηµ 1 0 ηµ ηµ
3 3 2 6
+ = ⇔ = − = −
2x π 2x 7π2κπ ή 2κπ
3 6 3 6= − = +
π 7πx 3κπ ή x 3κπ
4 4⇔ = − = +
ÐñÝðåé:π
0 3κπ 3π4
≤ − ≤ êáé 7π
0 3κπ 3π4
≤ + ≤
1 13κ
12 12≤ ≤
7 5κ
12 12− ≤ ≤ −
äçë. κ 1= äçë. κ 0=
¢ñá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ôÝìíåé ôïí x x′
óôï 11π
Α ,04
ðïõ ðñïêýðôåé (áí èÝóïõìå
κ 1= ) óôçí π
x 3κπ4
= − , êáé óôï 7π
Β ,04
ðïõ ðñïêýðôåé (áí èÝóïõìå κ 0= ) óôçí
7πx 3κπ
4= + .
Óôï åðüìåíï ó÷Þìá,
öáßíåôáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò ðåñéïäé-
êÞò óõíÜñôçóçò f óôï äéÜóôçìá ìéáò ðåñéü-
äïõ ôçò ïðïßáò ï ôýðïò åßíáé ôçò ìïñöÞò:
( ) ( )f t ρηµ ωt β= +
êáé ïé ôéìÝò f(t) åßíáé ïé ðùëÞóåéò óå ÷éëéÜäåò
êïììÜôéá åíüò ðñïúüíôïò óôçí äéÜñêåéá ìéáò
ïêôáåôßáò.
i. Âñåßôå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò.
ii. Óå ðïéåò ÷ñïíéêÝò óôéãìÝò ïé ðùëÞóåéò f (t)
åßíáé 100.000 êïììÜôéá;
Ëýóç
i. O ôýðïò ôçò f åßíáé:
( )f (t) ρηµ ωt β µε 0 t 8 και ρ 0= + ≤ ≤ >
• ÅðåéäÞ åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 8 Ý÷ïõìå:
2π π8 ω
ω 4= ⇔ =
• Åðßóçò éó÷ýåé:
π1 ηµ t 1
4
− ≤ ⋅ ≤ ⇔
πρ ρ ηµ t ρ
4
− ≤ ⋅ ⋅ ≤ ⇔
β ρ f (t) β ρ⇔ − ≤ ≤ +
¼ìùò 25 f (t) 125≤ ≤ , Üñá:
β ρ 25
β ρ 125
− =⇔
+ = β 75
ρ 50
=
=
¢ñá ôåëéêÜ ï ôýðïò ôçò f åßíáé:
πf (t) 50ηµ t 75 µε 0 t 8
4
= ⋅ + ≤ ≤
ii. Ëýíïõìå ôçí åîßóùóç:
πf (t) 100 50ηµ t 75 100
4
= ⇔ ⋅ + =
π 1 π π πηµ t ηµ t 2κπ
4 2 6 4 6
⇔ ⋅ = = ⇔ = +
Ôüôå åßíáé: 2
t3
= Þ 10
t3
=
6
Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí 211
ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÃÑÁÖÉÊÙÍ
ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ
Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùíÃ.12
Ìåôáó÷çìáôé-
óìïß
ãñáöéêþí
ðáñáóôÜóåùí
Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç fC ìéáò óõíÜñôçóçò, ( )y f x= , ôüôå ìðï-
ñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç Üëëùí óõíáñôÞóåùí
¸óôù äýï óõíáñôÞóåéò f, ö ïé ïðïßåò Ý÷ïõí ôï ßäéï ðåäßï ïñéóìïý Á êáé c
Ýíáò èåôéêüò áñéèìüò. Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò ö ðþò
ìðïñïýìå íá êÜíïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f üôáí ãéá êÜèå Ax∈éó÷ýïõí:
á) f(x) φ(x) c= + â) f(x) φ(x) c= −
ã) f(x) φ(x-c)= ä) f(x) φ(x c)= +
å) ρc)φ(xf(x) +−= óô) ρc)φ(xf(x) −−=
æ) ρc)φ(xf(x) ++= ç) ρc)φ(xf(x) −+=
üðïõ c > 0, ñ > 0.
á) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜ-
óôáóç:
f(x) = ö(x) + c,
c > 0, ðñïêýðôåé
áðü ìéá êáôáêüñõ-
öç ìåôáôüðéóç ôçò
ãñáöéêÞò ðáñÜóôá-
óçò ôçò ö êáôÜ c
ìïíÜäåò ðñïò ôá ðÜíù.
â) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜ-
óôáóç:
f(x) = ö(x) - c,
c > 0 ðñïêýðôåé áðü
ìéá êáôáêüñõöç
ìåôáôüðéóç ôçò
ãñáöéêÞò ðáñÜóôá-
óçò ôçò ö êáôÜ c
ìïíÜäåò ðñïò ôá êÜôù.
ã) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
f(x) = ö(x - c), c > 0
ðñïêýðôåé áðü
ìéá ïñéæüíôéá
ìåôáôüðéóç ôçò
ãñáöéêÞò ðáñÜ-
óôáóçò ôçò ö
êáôÜ c ìïíÜ-
äåò ðñïò ôá
äåîéÜ.
ä) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç:
f(x) = ö(x + c), c > 0
ðñïêýðôåé áðü
ìéá ïñéæüíôéá
ìåôáôüðéóç ôçò
ãñáöéêÞò ðá-
ñÜóôáóçò ôçò
ö êáôÜ c ìï-
íÜäåò ðñïò ôá
áñéóôåñÜ.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 12212
Áí ãíùñßæïõìå ôçí êáìðýëç ìå åîßóùóç y = f(x) ìðïñïýìå íá
ó÷åäéÜóïõìå ôçí êáìðýëç ôçò y = –f(x) áöïý åßíáé óõììåôñéêÞ
ôçò ðñþôçò ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x′ .
Ç y = –f(x) Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõììåôñéêÞ ôçò ãñáöéêÞò ðá-
ñÜóôáóçò ôçò y = f(x) ùò ðñïò ôïí Üîïíá x´x êáé ç y = f(–x)
Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óõììåôñéêÞ ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò
ôçò y = f(x) ùò ðñïò ôïí Üîïíá y y′ .
å) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò:
f(x) = ö(x - c) + ñ, c > 0, ñ > 0
ðñïêýðôåé óõã÷ñüíùò áðü 2 ìåôáôïðßóåéò ôçò
ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö. Ìéá ïñéæüíôéá
êáôá c ìïíÜ-
äåò ðñïò ôá
äåîéá êáé ìéá
êáôáêüñõöç
êáôÜ ñ ìïíÜ-
äåò ðñïò ôá
ðÜíù.
óô) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò:
f(x) = ö(x - c) - ñ,c > 0, ñ > 0
ðñïêýðôåé óõã÷ñüíùò áðü 2 ìåôáôïðßóåéò ôçò
ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò ö. Ìéá ïñéæüíôéá
êáôá c ìïíÜäåò
ðñïò ôá äåîéá
êáé ìéá êáôáêü-
ñõöç êáôÜ ñ
ìïíÜäåò ðñïò
ôá êÜôù.
ç) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò:
f(x) = ö(x + c) - ñ, c > 0, ñ > 0
ðñïêýðôåé óõã-
÷ñüíùò áðü 2
ìåôáôïð ßóå éò
ôçò ãñáöéêÞò
ð á ñ Ü ó ô á ó ç ò
ôçò ö. Ìéá ïñé-
æüíôéá êáôá c
ìïíÜäåò ðñïò
ôá áñéóôåñÜ êáé ìéá êáôáêüñõöç êáôÜ ñ ìï-
íÜäåò ðñïò ôá êÜôù.
æ) Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò:
f(x) = ö(x + c) + ñ, c > 0, ñ > 0
ð ñ ï ê ý ð ô å é
ó õ ã ÷ ñ ü í ù ò
áðü 2 ìåôáôï-
ðßóåéò ôçò
ãñáöéêÞò ðá-
ñÜóôáóçò ôçò
ö. Ìéá ïñéæü-
íôéá êáôá c
ìïíÜäåò ðñïò ôá áñéóôåñÜ êáé ìéá êáôá-
êüñõöç êáôÜ ñ ìïíÜäåò ðñïò ôá ðÜíù.
Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí 213
ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÃÑÁÖÉÊÙÍ
ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ
3
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ôéìþí ôçò óõíÜñôç-
óçò f ìå ôýðï ( )f x x 2= − áðü ôç ãñáöéêÞ
ôçò ðáñÜóôáóç.
Ëýóç
ÖáíåñÜ Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï äéÜóôçìá [0, )+∞ .
ÐáñáôÞñçóç:
Áí fC åßíáé ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò
( )y f x= êáé k > 0 ôüôå ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò
ôùí ( )y f x k= − êáé ( )y f x k= + åßíáé ïé 1C êáé
2C áíôéóôïß÷ùò êáé ðñïêýðôïõí áðü ôçí ðáñÜëëçëç
ìåôáöïñÜ ôçò fC êáôÜ k ìïíÜäåò ôïõ Üîïíá äåîéÜ
êáé áñéóôåñÜ áíôßóôïé÷á.
¸ôóé áí åßíáé ãíùóôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-
íÜñôçóçò f ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôéò ãñá-
öéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí
( ) ( )y f x k και y f x k= − = +
Íá âñåèåß ôï ðåäßï ôéìþí ôçò óõíÜñôç-
óçò f ìå ôýðï ( ) 2f x 4 x= − ìå ôç âïÞèåéá ôçò
ãñáöéêÞò ôçò ðáñÜóôáóç.
Ëýóç
ÅðåéäÞ åßíáé ãíùóôÞ ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò2
y x= − , ó÷åäéÜæïõìå áõôÞ êáé ôç ìåôáöÝñïõìå “ðá-
ñÜëëçëá óôïí x 'x ” 4 ìïíÜäåò ðÜíù. Ïðüôå áðü
ôï ó÷Þìá åßíáé ( )f A ( , 4]= −∞ .
Õðåíèõìßæïõìå üôé:
Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò óõíÜñôç-
óçò f ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðáñá-
óôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí
( ) ( )y f x k και y f x k, k 0= + = − >
ìåôáöÝñïíôáò ôçí êáìðýëç ôçò f êáôÜ k ìïíÜäåò
ðñïò ôá ðÜíù Þ êÜôù áíôßóôïé÷á.
Áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñ-
ôçóçò f, ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå ôéò ãñáöéêÝò ðá-
ñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí ìå ôýðïõò ( )y f x= −
êáé ( )y f x= − .
Ç êáìðýëç ( )y f x= − åßíáé óõììåôñéêÞ ôçò
( )y f x= ùò ðñüò ôïí Üîïíá x´x ,åíþ ç êáìðýëç
( )y f x= − åßíáé óõììåôñéêÞ ôçò ( )y f x= ùò ðñüò
ôïí Üîïíá y y′ .
Áðü ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõíÜñ-
ôçóçò f ìå ôýðï: ( ) xf x e 1= − +
íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ðåäßï ôéìþí ôçò.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 12214
4
5
Ëýóç
Áðü ôï äéðëáíü ó÷Þìá ðñïêýðôåé üôé ç ( )y f x=
Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï äéÜóôçìá ( ),1−∞ (áöïý ç êá-
ìðýëç ôçò xe− ðñïâÜëåôáé óôï ( ), 0−∞ .
Ãéá ðáñÜäåéãìá, ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( ) 11f x ln ln x ln x, x 0
x
−= = = − >
Ý÷åé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçí êáìðýëç, ôïõ äéðëáíïý
ó÷Þìáôïò êáé üðùò ðáñáôçñïýìå åßíáé óõììåôñéêÞ
ôçò y ln x= ùò ðñïò ôïí Üîïíá x x′ .
Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ðåäßï ôéìþí ôçò
( )f x 1 x 2= − − áðü ôç ãñáöéêÞ ôçò ðá-
ñÜóôáóç.
Ëýóç
1ïò ôñüðïò
Ó÷åäéÜæïõìå áñ÷éêÜ ôçí y x= ôçí ïðïßá ìåôáöÝ-
ñïõìå ðáñÜëëçëá êáôÜ 2 ìïíÜäåò ðñïò ôá äåîéÜ êáé
Ý÷ïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò y x 2= − óôç
óõíÝ÷åéá ó÷åäéÜæïõìå ôç óõììåôñéêÞ áõôÞò ùò ðñïò
ôïí Üîïíá x´x êáé Ý÷ïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò
y x 2= − − . ÌåôáöÝñïõìå áõôÞ ðáñÜëëçëá êÜôá 1
ìïíÜäá ðñïò ôá ðÜíù êáé ðáßñíïõìå ôç ãñáöéêÞ ðá-
ñÜóôáóç ôçò óõíÜñôçóçò ( )f x 1 x 2= − − . Áðü ôï
ó÷Þìá ôþñá, âëÝðïõìå üôé ç êáìðýëç ôçò f ðñïâÜë-
ëåôáé óôïí Üîïíá y´y óôï äéÜóôçìá ( ,1]−∞ ðïõ åß-
íáé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f.
2ïò ôñüðïò (áëãåâñéêüò ôñüðïò)
Ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f áðáñôßæåôáé áðü ôá x [2, )∈ +∞
ãéá ôá ïðïßá ç åîßóùóç y 1 x 2= − − Ý÷åé ìéá ôïõ-
ëÜ÷éóôïí ëýóç óôï [2, )+∞ . ¸÷ïõìå:
( ) ( )2 2
y 1 x 2 y 1 x 2 1 y x 2
1 y 0 y 1
1 y x 2 x 2 1 y
= − − ⇔ − = − − ⇔ − = − ⇔
− ≥ ≤ ⇔ ⇔
− = − = + −
ðñÝðåé, ( )2
2 1 y [2, )+ − ∈ +∞ ⇔
( ) ( )2 2
2 1 y 2 1 y 0⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ , ðïõ éó÷ýåé ãéá
êÜèå y R∈ . ¢ñá, ï ìüíïò ðåñéïñéóìüò ãéá ôï y
åßíáé y 1≤ ðïõ óçìáßíåé üôé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f
åßíáé ôï äéÜóôçìá ( )f A ( ,1]= −∞ .
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç:
x
α 8f (x) , µε x
3 α
+ = ∈
−
�
á. Áí ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá âñåßôå ôï á.
â. Ãéá ôçí ìåãáëýôåñç áêÝñáéá ôéìÞ ôïõ á íá
êÜíåôå ôçí ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò óõ-
íÜñôçóçò: ( )g(x) f x 2 1= − −
ã. Âñåßôå ôá óçìåßá óôá ïðïßá ç ãñáöéêÞ
ðáñÜóôáóç Cg ôçò g ôÝìíåé ôïõò Üîïíåò.
Ëýóç
á. Ç åêèåôéêÞ óõíÜñôçóç åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá
üôáí ç âÜóç ôçò åßíáé ìåãáëýôåñç áðï ôï 1
äçëáäÞ:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
α 8 α 81 3 α 3 α
3 α 3 α
3 α α 8 3 α
+ +> ⇔ − ⋅ > − ⇔
− −
⇔ − ⋅ + > − ⇔
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
23 α α 8 3 α 0
3 α α 8 3 α 0
3 α 2α 5 0
⇔ − ⋅ + − − > ⇔
⇔ − ⋅ + − + > ⇔
⇔ − ⋅ + >
Á9
Â8
Â10
Ìåôáó÷çìáôéóìïß ãñáöéêþí ðáñáóôÜóåùí 215
ÌÅÔÁÓ×ÇÌÁÔÉÓÌÏÉ ÃÑÁÖÉÊÙÍ
ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÙÍ
Ôï ðñüóçìï ôïõ ãéíïìÝíïõ ( ) ( )3 α 2α 5− ⋅ +
öáßíåôáé óôïí åðüìåíï ðßíáêá:
¢ñá 5
α , 32
∈ −
.
â. Áöïý 5
α 32
− < < , ç ìåãáëýôåñç áêÝñáéá ôéìÞ
ôïõ åßíáé ôï 2. Ãéá α 2= åßíáé
x x 2f (x) 10 και g(x) 10 1, µε x−
= = − ∈R ,
Üñá ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò g åßíáé ç ãñá-
öéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò åêèåôéêÞò xy 10= ðïõ
üìùò åßíáé ìåôáôïðéóìÝíç.
• Êáôáêüñõöá ðñïò ôá êÜôù êáôÜ 1 ìïíÜäá.
• Ïñéæüíôéá ðñïò ôá äåîéÜ êáôÜ 2 ìïíÜäåò.
ã. • Ãéá íá âñïýìå ôá óçìåßá ôïìÞò ôçò Cg ìå ôïí
x 'x , ëýíïõìå ôçí åîßóùóç g(x) 0= :
x 2
x 2
g(x) 0 10 1 0
10 1 x 2 0 x 2
−
−
= ⇔ − = ⇔
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
¢ñá ç Cg ôÝìíåé ôïí x 'x óôï A(2,0).
• Ãéá íá âñïýìå ôï óçìåßï ôïìÞò ôçò Cg ìå
ôïí y 'y , âñßóêïõìå ôï:
2 1 99g(0) 10 1 1
100 100
−
= − = − = −
¢ñá ç Cg ôÝìíåé ôïí Üîïíá y 'y óôï
99Β 0,
100
−
.
Íá âñåßôå ôçí ðåñßïäï, ôç ìÝãéóôç êáé
ôçí åëÜ÷éóôç ôéìÞ êáé íá ðáñáóôÞóåôå ãñá-
öéêÜ ôç óõíÜñôçóç ( )π
f x 2ηµ x4
= −
.
Ëýóç
Ç óõíÜñôçóç ( ) ( )f x ρηµ ωx φ= + ìå ρ,ω 0>
êáé φ R∈ ãñÜöåôáé:
( )φ
f x ρηµ ω xω
= +
Ðáñáôçñïýìå üôé ç óõíÜñôçóç áõôÞ ðñïêýðôåé
áðü ôç óõíÜñôçóç ( ) ( )g x ρηµ ωx= áí üðïõ x
èÝóïõìå ôï φ
xω
+ . ÅðïìÝíùò:
• Åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï 2π
Τω
= .
• ¸÷åé ìÝãéóôï ôï ñ êáé åëÜ÷éóôï ôï – ñ.
• Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ðñïêýðôåé áðü êáôÜëëç-
ëç ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò ôçò
óõíÜñôçóçò ( ) ( )g x ρηµ ωx= .
Ç óõíÜñôçóç ( )π
f x 2ηµ x4
= −
åßíáé ôçò ìïñ-
öÞò ( ) ( )f x ρηµ ωx φ= + ìå ρ 2= êáé π
φ4
= − .
ÅðïìÝíùò:
• Åßíáé ðåñéïäéêÞ ìå ðåñßïäï Τ 2π= .
• ¸÷åé ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 2 êáé åëÜ÷éóôç ôéìÞ ôï – 2.
• Ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò f ðñïêýðôåé áðü ìéá
ïñéæüíôéá ìåôáôüðéóç ôçò ãñáöéêÞò ðáñÜóôáóçò
ôçò óõíÜñôçóçò ( )g x 2ηµx= êáôÜ π
4 ìïíÜ-
äåò ðñïò ôá äåîéÜ.
Íá ðáñáóôÞóåôå ãñáöéêÜ ôç óõíÜñôçóç
xf (x) 3συν 1
2= + .
Ëýóç
6
7
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 12216
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã150. Íá ó÷åäéÜóåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò
ôùí f (x) 2ηµ3x= êáé x
g(x) 1 3ηµ2
= +
óôï äéÜóôçìá ôçò áíôßóôïé÷çò ðåñéüäïõ
ôïõò.
Ã151. Íá ó÷åäéÜóåôå óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí
ôéò óõíáñôÞóåéò:
f (x) εφ2x= , g(x) 1 εφx= + ,
h(x) 1 εφx= −
Ã152. Íá ìåëåôÞóåôå êáé íá ðáñáóôÞóåôå ãñá-
öéêÜ ôç óõíÜñôçóç f (x) 1 σφx= + .
Ã153.Ðïéá åßíáé ç ìÝãéóôç ô éìÞ ôçò
( )f x ηµx 1= − êáé ãéá ðïéá (ðïéåò) ôé-
ìÝò ôïõ x ôç ëáìâÜíåé;
Ã154. Íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêÜ ïé óõíáñôÞ-
óåéò:
i. ( ) ( )2
f x x 2= + ii. ( ) ( )2
g x 3 x 1= − −
Ã155. Íá ðáñáóôáèïýí ãñáöéêÜ ïé óõíáñôÞ-
óåéò i. ( ) ( )2
f x x 1 3= − +
ii. ( ) ( )2
g x x 2 3= + −
Ã156. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá êÜíåôá ôéò
ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí
( ) ( )x
x
1 2
1f x 2 και f x
2
= =
Ã157. Íá êÜíåôå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôçò
óõíÜñôçóçò f ìå ôýðï:
( ) 2f x x 4x 3= − +
Ã158. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá êÜíåôå ôéò
ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí
( ) ( )x x
1 2f x 2 και f x 2 1= = −
Ã159. Íá êÜíåôå óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí ôéò
ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí:
i. ( )1f x ln x= ii. ( ) ( )
2f x ln x 1= −
Ã160. Íá êÜíåôå ôéò ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí
óõíáñôÞóåùí:
i. ( )1f x ln x= ii. ( )
2f x ln x=
Ã161. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞ-
óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:
i. ( ) xf x 6= ii. ( ) x 3
g x 6−
=
iii. ( ) xφ x 6 3= −
Ã162. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí, íá ðáñáóôÞ-
óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:
i. ( ) xf x e= ii. ( ) x 1
g x e 2−
= +
iii. ( ) x 3φ x e 1− −= −
Ã163. Íá ðáñáóôáèåß ãñáöéêÜ ç óõíÜñôçóç:
( ) xf x e=
Ã164. Íá ðáñáóôáèåß ãñáöéêÜ ç óõíÜñôçóç:
( ) x xf x 4
−=
Ã165. Óôï ßäéï óýóôçìá áîüíùí íá ðáñáóôÞ-
óåôå ãñáöéêÜ ôéò óõíáñôÞóåéò:
i. ( )f x log x= ii. ( )g x log x 2= +
iii. ( ) ( )h x log x 2= +
Á9
Â8
Â10
Ç f åßíáé ðåñéïäéêÞ ðåñßïäï 2
T 41/ 2
π= = π . Ó÷å-
äéÜæïõìå ìéá óõíçìéôïíïåéäÞ êáìðýëç óôï äéÜóôç-
ìá [0, 4ð] ìå ìÝãéóôç ôéìÞ ôï 3 êáé åëÜ÷éóôç ôï - 3 êáé
ôç ìåôáöÝñïõìå ðñïò ôá ðÜíù êáôÜ ìßá ìïíÜäá.
Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí 217
ÐÑÁÎÅÉÓ-ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ
Éóüôçôá
óõíáñôÞóåùí
ÐñÜîåéò
óõíáñôÞóåùí
Äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g ëÝìå üôé åßíáé ßóåò , áí êáé ìüíïí áí ,
• Ý÷ïõí ôï ßäéï ðåäßï ïñéóìïý Á êáé
• ãéá êÜèå x A∈ éó÷ýåé ( ) ( )f x g x=
ð.÷
Ïé óõíáñôÞóåéò ( ) 2f x x= êáé ( )g x x= åßíáé ßóåò, áöïý Ý÷ïõí ôï ßäéï ðå-
äßï ïñéóìïý R êáé éó÷ýåé ( ) ( )2f x x x g x= = = , ãéá êÜèå x R∈ .
¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò : f ìå ôýðï ( )y f x= êáé ðåäßï ïñéóìïý Á êáé g ìå ôýðï
( )y g x= êáé ðåäßï ïñéóìïý Â.
Áí ôá ðåäßá ïñéóìïý Á êáé  Ý÷ïõí êïéíÜ óôïé÷åßá, äçë. áí A B∩ ≠ ∅ , ôüôå
ïñßæïõìå :
• Ôï Üèñïéóìá f g+ ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï:
( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x , x A B+ = + ∈ ∩
• Ç äéáöïñÜ f g− ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï:
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x , x A B− = − ∈ ∩
• Ôï ãéíüìåíï ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ë ìå ôç óõíÜñôçóç f
( ) ( ) ( )λ f x λ f x , x A⋅ = ⋅ ∈
• Ôï ãéíüìåíï f g⋅ ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï:
( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x , x A B⋅ = ⋅ ∈ ∩
• Ôï ðçëßêï f
g ôùí óõíáñôÞóåùí f êáé g ìå ôýðï :
( )( )
( )( ){ }
f f xx , x A x :x A B και g x 0
g g x
= ∈ = ∈ ∈ ∩ ≠
�
ÄçëáäÞ, ôï ðçëßêï f
g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï êïéíü ðåäßï ïñéóìïý ôùí f êáé g
áðü ôï ïðïßï åîáéñïýíôáé ïé ëýóåéò ôçò åîßóùóçò ( )g x 0= .
Ìå ôçí ðñïûðüèåóç üôé ïé ðñÜîåéò ðïõ åìöáíßæïíôáé ïñßæïíôáé, éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò:
1. f g g f+ = + 7. ( )1 f f , όπου 1 1 x⋅ = =
2. ( ) ( )f g h f g h+ + = + + 8. ( )f g h f g f h⋅ + = ⋅ + ⋅
3. ( )f 0 f , όπου 0 0 x+ = = 9. ( )λ f g λ f λ g⋅ + = ⋅ + ⋅
Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùíÃ.13
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 13218
4. ( )f f 0+ − = 10. ( )λ µ f λ f µ f+ ⋅ = ⋅ + ⋅
5. f g g f⋅ = ⋅ 11. ( ) ( )λ µ f λ µ f⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
6. ( ) ( )f g h f g h⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 12. 1 f f⋅ =
Ï ôýðïò ( ) ( )2φ x ηµ x 1= + ðñïêýôåé áíôéêáèéóôþíôáò ôçí áíåîÜñôçôç ìåôá-
âëçôÞ x óôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò ( )f x ηµx= , ìå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò
( ) 2g x x 1= + .Ç óõíÜñôçóç ( ) ( )2φ x ηµ x 1= + ïíïìÜæåôáé óýíèåóç ôçò óõ-
íÜñôçóçò g ìå ôçí f êáé ôçí óõìâïëßæïõìå:
fog êáé ôïí ôýðï ôçò ( )( ) ( )( )y fog x f g x= = .
Ïñéóìüò
Ãåíéêüôåñá, ãéá äýï óõíáñôÞóåéò f, g ìå ôýðïõò:
( )y f x= , ìå ðåäßï ïñéóìïý ( )A D f= êáé ( )y g x= , ìå ðåäßï ïñéóìïý ( )B D g=
ïíïìÜæïõìå óýíèåóç ôçò g ìå ôçí f ôç óõíÜñôçóç: f o g ìå ôýðï ( )( )y = f g x
Ï ðáñáðÜíù ôýðïò Ý÷åé Ýííïéá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ãéá åêåßíá ôá x êáé ìüíï ãéá ôá ïðïßá ôï
óýíïëï ( ) ( ) ( )A {x D g και g x D f }= ∈ ∈ åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý. Ôï ðáñáðÜíù óýíïëï, áí åßíáé
äéÜöïñï ôïõ êåíïý áðïôåëåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò fog, åíþ áí åßíáé êåíü ôüôå äåí ïñßæåôáé ç
óýíèåóç ôçò g ìå ôçí f.
H óýíèåóç ðåñéãñÜöåôáé åðïðôéêÜ óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá:
Ðáñáôçñåßóôå óôá ðáñáðÜíù ó÷Þìáôá üôé ç fog ïñßæåôáé ìüíïí áí ôï ðåäßï ôéìþí ôçò g êáé ôï
ðåäßï ïñéóìïý ôçò f Ý÷ïõí êïéíÜ óôïé÷åßá êáé ôüôå Ýíá x ðïõ áíÞêåé óôï D(g) áíôéóôïé÷ßæåôáé óôï
( )( )y f g x= ðïõ áíÞêåé óôï ðåäßï ôéìþí f(A) ôçò óõíÜñôçóçò ôçò f.
EðåéäÞ ï ðñïóäéïñéóìüò ôïõ ðåäßïõ ôéìþí ìéáò óõíÜñôçóçò äåí åßíáé ðÜíôïôå åýêïëïò, ãéá íá
åîåôÜóïõìå áí ïñßæåôáé ç óýíèåóç äýï óõíáñôÞóåùí, èá ðñïóäéïñßæïõìå ôï óýíïëï
( ) ( ) ( )A ' {x D g και g x D f }= ∈ ∈
ôï ïðïßï áí åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý åðéôñÝðåé óôç óýíèåóç íá ïñßæåôáé êáé ôáõôü÷ñïíá áðïôåëåß
ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò fog.
Óýíèåôç
óõíÜñôçóç
Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí 219
ÐÑÁÎÅÉÓ-ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 ÅîåôÜóôå áí ïé ðáñáêÜôù óõíáñôÞóåéò
åßíáé ßóåò. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ äåí åßíáé, íá
âñåßôå ôï åõñýôåñï õðïóýíïëï ôïõ R, óôï
ïðïßï åßíáé ßóåò.
1. ( )2x 1
f xx 1
−=
− êáé ( )g x x 1= +
2. ( ) 3 2f x x= êáé ( ) 2 / 3
g x x=
3. ( ) ( ) 2f x x 1= − êáé ( )g x x 1= −
4. ( ) ( )2f x ln x 4= − êáé
( ) ( ) ( )g x ln x 2 ln x 2= − + +
Ëýóç
1. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï { }R 1− åíþ
ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g åßíáé ôï R.
¢ñá ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g äåí åßíáé ßóåò.
Áí x 1≠ :
( )( ) ( )
( )2x 1 x 1 x 1
f x x 1 g xx 1 x 1
− − += = = + =
− −
êáé óõíåðþò ïé f êáé g åßíáé ßóåò óôï { }R 1− .
2. Åßíáé ( )
( )
2
32
3 23
2,3
x , αν x 0f x x x
x αν x 0
≥
= = =
− <
êáé óõíåðþò ( ) ( )f x g x= ìüíï ãéá x 0≥ .
¢ñá, ïé óõíáñôÞóåéò f êáé g äåí åßíáé ßóåò, åß-
íáé üìùò ßóåò óôï äéÜóôçìá [0, )+∞ .
3. Ïé f, g Ý÷ïõí ðåäßï ïñéóìïý ôï R. ÅðåéäÞ:
( ) ( )( )
2 x 1, αν x 1f x x 1 x 1
x 1 , αν x 1
− ≥= − = − =
− − <
Åßíáé, ( ) ( )f x g x= , ãéá êÜèå x [1, )∈ +∞ .
¢ñá f = g óôï [1, )+∞
4. Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý:
{ } ( ) ( )2A x R : x 4 0 , 2 2,= ∈ − > = −∞ − ∪ +∞
äéüôé:
2 2x 4 0 x 4 x 2 x 2ήx 2− > ⇔ > ⇔ > ⇔ < − >.
Ç g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôá x R∈ ãéá ôá ïðïßá
éó÷ýïõí:
x 2 0− > êáé x 2 0+ > äçë. x 2> êáé
x 2 x 2> − ⇔ >
ÅðïìÝíùò, ç g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï äéÜóôç-
ìá (2, )+∞ êáé óõíåðþò äåí åßíáé ßóåò.
¼ìùò ìå x 2> , Ý÷ïõìå:
( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( )
2f x ln x 4 ln x 2 x 2
ln x 2 ln x 2 ln x 2 ln x 2 g x
= − = − + =
= − + + = − + + =
Åßíáé ëïéðüí, f g= ãéá êÜèå ( )x 2,∈ +∞ .
Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò ìå ôýðïõò:
( ) ( ) ( )f x ln x 1 και g x 4 x= + = −
Íá ïñéóôïýí ïé óõíáñôÞóåéò:
ff g , , fog
g+ .
Ëýóç
Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôá x ∈� ãéá ôá ïðïßá:
x 1 0 x 1+ > ⇔ > −
äçëáäÞ åßíáé ôï äéÜóôçìá ( )A 1,= − +∞ .
Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò g áðáñôßæåôáé áðü ôá x ∈�
ãéá ôá ïðïßá:
4 x 0 x 4 4 x 4− ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤
äçëáäÞ åßíáé ôï äéÜóôçìá [ ]B 4,4= − .
• ÅðåéäÞ A B ( 1,4]∩ = − ≠ ∅ ïñßæåôáé ç óõíÜñ-
ôçóç f g+ ìå ôýðï:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x ln x 1 4 x+ = + = + + −
• Ãéá ôçí óõíÜñôçóç f
g èá ðñÝðåé:
( )g x 0≠ , äçëáäÞ
Á5
Â7
Â10
Â11
Á6
Â3
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 13220
3
4 4 0 και 4 x 4
x 4 x 4 ή x 4,
− ≠ − ≤ ≤ ⇔
⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠ −
åðåéäÞ üìùò èá ðñÝðåé x > –1, óôï äéÜóôçìá
( )1, 4− ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç f
g ìå ôýðï:
( )( )
( )
( )f f x ln x 1x
g g x 4 x
+ = =
−
.
• Ãíùñßæïõìå üôé ãéá íá ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç fog,
ðñÝðåé:
[ ] ( ){ }x R :x 4,4 και 4 x 1,∈ ∈ − − ∈ − +∞ ≠ ∅
¸÷ïõìå:
4 x 4 4 x 44 x 4
4 x 04 x 1
− ≤ ≤ − ≤ ≤⇔ ⇔ − ≤ ≤
− ≥− > −
ÅðïìÝíùò óôï äéÜóôçìá [ ]4, 4− , ïñßæåôáé ç óõ-
íÜñôçóç fog ìå ôýðï:
( )( ) ( )( ) ( )f g x ln g x 1 ln 4 x 1= + = − +
Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f ìå
( )f x lnx= êáé g ìå ( )g x 1 x= − .
Íá ðñïóäéïñßóåôå ôéò óõíáñôÞóåéò fog êáé
gof.
Ëýóç
Åßíáé ( ) ( )D f 0,= +∞ êáé ( )D g R= .
Ãéá íá ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç fog, ðñÝðåé ôï óýíï-
ëï ( ) ( ) ( ){ }A' x D g και g x D f= ∈ ∈ íá åßíáé äéÜ-
öïñï ôïõ êåíïý.
¸÷ïõìå:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
x D g x R
και και
g x D f 1 x 0,
∈ ∈
⇔ ⇔
∈ − ∈ +∞
x R
και x 1
1 x 0
∈
⇔ ⇔ <
− >
¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò fog åßíáé ôï
( )A ' ,1= −∞
êáé ï ôýðïò ôçò åßíáé
( )( ) ( ) ( )f g x ln g x ln 1 x= = −
Ãéá íá ïñßæåôáé ç óõíÜñôçóç gof, ðñÝðåé ôï óýíï-
ëï
( ) ( ) ( ){ }A '' x D f και f x D g= ∈ ∈
íá åßíáé äéÜöïñï ôïõ êåíïý.
¸÷ïõìå:
( )x 0, x 0
και και x 0
ln x R x 0
∈ +∞ >
⇔ ⇔ >
∈ >
¢ñá, ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò gof åßíáé ôï
( )A'' 0,= +∞
êáé ï ôýðïò ôçò åßíáé
( )( ) ( )g f x 1 f x 1 ln x= − = −
ÐáñáôÞñçóç:
ÐñïóÝîôå üôé, áí Ý÷ïõìå äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g
ðÜíôïôå ìðïñïýìå íá ãñÜøïõìå ôïõò ôýðïõò:
( )( ) ( )( )f g x ή g f x
¼ìùò ïé ôýðïé áõôïß ìðïñåß íá ìçí áðïôåëïýí
ôýðïõò óõíáñôÞóåùí ãéá êáíÝíá x.
Káé áõôü ãßíåôáé üôáí:
( ) ( ) ( ) ( )g B D f ή f A D g∩ = ∅ ∩ = ∅
áíôßóôïé÷á.
Ãé’ áõôü èá ðñïóäéïñßæïõìå ðñþôá ôï ðåäßï ïñé-
óìïý êáé óôç óõíÝ÷åéá ôïí ôýðï ôçò óýíèåôçò
óõíÜñôçóçò.
Éóüôçôá - ÐñÜîåéò - Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí 221
ÐÑÁÎÅÉÓ-ÓÕÍÈÅÓÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÙÍ
Ã166. Íá åîåôÜóåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g åßíáé ßóåò.
( )x 1
f xx 2
−=
+ êáé ( )
x 1g x
x 2
−=
+
Óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ åßíáé f g≠ íá
ðñïóäéïñßóåôå ôï åõñýôåñï äõíáôü õðï-
óýíïëï ôïõ R óôï ïðïßï éó÷ýåé
( ) ( )f x g x= .
Óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ åßíáé f g≠ íá
ðñïóäéïñßóåôå ôï åõñýôåñï äõíáôü õðï-
óýíïëï ôïõ R óôï ïðïßï éó÷ýåé
( ) ( )f x g x= .
Ã167. Íá åîåôÜóåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g åßíáé
ßóåò áí
( ) ( )3 7
f x x x x2 2
π π = συν + ⋅εφ − π ⋅ηµ −
êáé
( ) ( ) ( )9
g x x x 4 x 32
π = σφ − ⋅ηµ − π ⋅συν − π
(âë. áóê. Á8.3)
Ã168. Íá åîåôÜóåôå áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g åßíáé
ßóåò: ( ) ( )2f x In x 4x 3= − +
êáé ( ) ( ) ( )g x In x 1 In x 3= − + − .
Óôéò ðåñéðôþóåéò ðïõ åßíáé f g≠ íá
ðñïóäéïñßóåôå ôï åõñýôåñï äõíáôü õðï-
óýíïëï ôïõ R óôï ïðïßï ( ) ( )f x g x= .
Ã169. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò ( )3
f xx 1
=+
êáé
( )2
x 2g x
x 1
+=
−. Íá âñåßôå ôéò óõíáñôÞ-
óåéò f g, f g, fg+ − êáé f
g.
Ã170. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f ,g : R R→ ãéá
ôéò ïðïßåò éó÷ýåé
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
( )( ) ( )( )2 2f g x 2 2 f g x+ + ≤ +
Íá áðïäåßîåôå üôé f g= .
Ã171. Áí ãéá ôç óõíÜñôçóç f éó÷ýåé:
( ) 2f 3x 2 9x 3x 1, x R+ = − + ∈ ,
ôüôå íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò óõíÜñôçóçò f.
Ã172. Èåùñïýìå ôç óõíÜñôçóç
( )( ) 4 2f g x x 3x x 2= − + − , x R∈ ,
üðïõ ( )f x 4x 5= − .
Áí ç óõíÜñôçóç g Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï
R íá âñåèåß ï ôýðïò ôçò.
Ã173. Íá âñåßôå óõíÜñôçóç g, ôÝôïéá þóôå íá
éó÷ýåé:
( )( ) ( )2f g x x 4x 2, αν f x 2x 1= + − = −
Ã174. ¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò ( )f x 2x 1= − êáé
( ) 2g x 1 x= − .
Íá âñåßôå ôéò óõíáñôÞóåéò:
i. gof ii. fog
Ã175. ¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò ( )f x Inx= êáé
( ) xg x 1 e= + .
Íá âñåßôå ôéò óõíáñôÞóåéò:
i. gof ii. fog
Ã176. Áí åßíáé ( )f x 2x 1= − êáé
( )( ) 2gof x x x= − ãéá êÜèå x R∈ ,
íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò g.
Ã177. Áí ç óõíÜñôçóç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï
[ )3,+∞ íá âñåßôå ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò
óõíÜñôçóçò ( ) ( )2g x f x 1= − .
Ã178. ¸óôù ïé óõíáñôÞóåéò ( )f x αx 1= − êáé
( )g x x α 1= + − . Íá âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ
Á5
Á6
Â3
Â7
Â10
Â11
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 13222
á þóôå, gof fog= .
Ã179. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò f,g ïñéóìÝíåò
óôï R, ïé ïðïßåò åßíáé ãíçóßùò ìïíüôï-
íåò êáé Ý÷ïõí ôï ßäéï åßäïò ìïíïôïíßáò
(êáé ïé äýï ãíçóßùò áýîïõóåò Þ ãíçóßùò
öèßíïõóåò).
á. Íá äåßîåôå üôé ç óõíÜñôçóç fog åßíáé
ãíçóßùò áýîïõóá.
â. Íá åîåôÜóåôå ôç ìïíïôïíßá ôùí óõ-
íáñôÞóåùí fof, gog.
ã. Íá åîåôÜóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò óõ-
íÜñôçóçò ( ) ( )f x In In x , x 1= > .
Ã180. á. Áí ïé óõíáñôÞóåéò f,g Ý÷ïõí êïéíü ðå-
äßï ïñéóìïý Ä, íá áðïäåßîåôå üôé
i. f ãíçóßùò áýîïõóá, g ãíçóßùò áý-
îïõóá ôüôå êáé ç f g+ åßíáé ãíç-
óßùò áýîïõóá
ii. f ãíçóßùò öèßíïõóá, g ãíçóßùò öèß-
íïõóá ôüôå êáé ç f g+ åßíáé ãíç-
óßùò öèßíïõóá.
â. Áí äýï óõíáñôÞóåéò f,g ìå ðåäßï ïñé-
óìïý Ä ðáßñíïõí èåôéêÝò ôéìÝò ãéá êÜèå
x ∆∈ , êáé åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá óôï Ä.
ã. Íá ìåëåôÞóåôå ôç ìïíïôïíßá ôùí óõíáñ-
ôÞóåùí:
i. ( )π π
f x x ηµx, x ,2 2
= + ∈ −
ii. ( ) 2 πg x x ηµx, x 0,
2
= ⋅ ∈
Ã181. á. Áí ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý
Ä êáé ( )f x 0> ãéá êÜèå x ∆∈ , åßíáé
ãíçóßùò áýîïõóá, íá áðïäåßîåôå üôé
ç óõíÜñôçóç 1
f åßíáé ãíçóßùò öèß-
íïõóá óôï Ä.
â. Áí äýï óõíáñôÞóåéò f,g ìå ðåäßï ïñé-
óìïý Ä, ïé ïðïßåò ðáßñíïõí èåôéêÝò
ôéìÝò ãéá êÜèå x ∆∈ , êáé åßíáé ãíç-
óßùò áýîïõóåò, íá áðïäåßîåôå üôé ç
óõíÜñôçóç 1 1
f g+ åßíáé ãíçóßùò öèß-
íïõóåò óôï Ä.
Ã182. Äßíïíôáé ïé óõíáñôÞóåéò: f ãíçóßùò áý-
îïõóá êáé g ãíçóßùò öèßíïõóá óôï Á.
i. Íá âñåèåß ç ìïíïôïíßá f g− .
i i . Íá åîåôÜóåôå ôç ìïíïôïíßá ôçò
( ) 2h x x συνx= − óôï
π0,2
.
iii. Aí π
0 α β2
< < ≤ , ôüôå íá áðïäåßîåôå
üôé: 2 2συνα συνβ α β− > −
Ã183. Áí ãéá äýï óõíáñôÞóåéò f êáé g, ïñßæåôáé
ç óõíÜñôçóç gof êáé ïé f êáé g åßíáé ôïõ
ßäéïõ åßäïõò ìïíïôïíßáò, ôüôå ç gof åß-
íáé ãíçóßùò áýîïõóá åíþ áí åßíáé
äéáöïñåôéêïý åßäïõò ìïíïôïíßáò ôüôå ç
gof åßíáé ãíçóßùò öèßíïõóá. Óõãêåêñé-
ìÝíá íá áðïäåßîåôå üôé:
i. áí f ãí. áýîïõóá êáé g ãí. áýîïõóá,
ôüôå gof ãí. áýîïõóá
ii. áí f ãí. öèßíïõóá êáé g ãí. öèßíïõ-
óá, ôüôå gof ãí. áýîïõóá
iii. áí f ãí. áýîïõóá êáé g ãí. öèßíïõóá,
ôüôå gof ãí. öèßíïõóá
vi. áí f ãí. öèßíïõóá êáé g ãí. áýîïõóá,
ôüôå gof ãí. öèßíïõóá
Ã184. ¸óôù óõíÜñôçóç f ìå ôýðï
( ) 3f x x 5x 16= + − ïñéóìÝíç óôï R.
i. Íá äåßîåôå üôé f(2) = 2
ii. Íá âñåßôå ôï åßäïò ìïíïôïíßáò ôçò f
iii. Íá ïñßóåôå ôç óõíÜñôçóç fof
iv. Íá ëýóåôå ôçí áíßóùóç ( )( )f f x 2≥
áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç 223
ÁÍÔÉÓÔÑÏÖÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ
Áíôßóôñïöç óõíÜñôçóçÃ.14
¼ðùò ãíùñßæïõìå, áí ìéá óõíÜñôçóç f åßíáé 1 - 1 óôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò ãéá
êÜèå ( )y f A∈ õðÜñ÷åé ìüíï Ýíá x A∈ , ôÝôïéï þóôå ( )y f x= .
¢ñá ç äéáäéêáóßá ðïõ êÜèå ( )y f A∈ ôï áíôéóôïé÷ßæåé óôï ìïíáäéêü x A∈ , ãéá
ôï ïðïßï éó÷ýåé ( )y f x= åßíáé óõíÜñôçóç. ÁõôÞ ç óõíÜñôçóç ïíïìÜæåôáé
áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç ôçò f êáé óõìâïëßæåôáé ìå 1f− .
1 1f
f
− ≠
Ç áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç 1f− ôçò ( )y f x= Ý÷åé:
• ðåäßï ïñéóìïý ôï ðåäßï ôéìþí f(Á) ôçò f.
• ðåäßï ôéìþí ôï ðåäßï ïñéóìïý Á ôçò f.
• ôýðï ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôç ëýóç ôçò ( )y f x= ùò ðñïò x.
( ) ( )1y f x x f y
−= ⇔ =
Óýíèåóç êáé áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç
Áðü ôçí éóïäõíáìßá ( ) ( )1y f x x f y
−= ⇔ = ðñïêýðôåé:
( )( )1f f y y
−= , ãéá êÜèå ( )y f A∈ êáé ( )( )1
f f x x−
= , ãéá êÜèå x A∈
áíôßóôñïöç
óõíÜñôçóç
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
1 Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( ) xf x e 1= −
á. Íá áðïäåßîåôå üôé ç f åßíáé 1-1 óôï ðåäßï
ïñéóìïý ôçò
â. Íá âñåßôå ôçí áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç ôçò f.
Ëýóç
á. Ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f åßíáé ôï R. ¸óôù
1 2x , x R∈ ìå ( ) ( )1 2f x f x= , ôüôå:
( ) ( ) 1 2
1 2
x x1 2
x x1 2
f x f x e 1 e 1
e e x x
= ⇔ − = − ⇔
⇔ = ⇔ =
¢ñá, ç f åßíáé óõíÜñôçóç 1-1 óôï ðåäßï ïñé-
óìïý ôçò.
â. Áöïý ç f åßíáé 1-1 ïñßæåôáé ç 1
f−
. Ãéá íá âñïýìå
ôïí ôýðï ôçò 1f− , ëýíïõìå ôçí åîßóùóç
xy e 1= − ùò ðñïò x.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 14224
3
2
¸÷ïõìå:
( )x xy e 1 e y 1 x ln y 1 , y 1= − ⇔ = + ⇔ = + > −
ÅðïìÝíùò, ï ôýðïò ôçò áíôßóôñïöçò åßíáé:
( ) ( ) ( )1x f y ln y 1 µε y 1,−= = + ∈ − +∞
¼ìùò, åðåéäÞ óõíçèßæåôáé ç áíåîÜñôçôç ìåôá-
âëçôÞ íá ãñÜöåôáé x, ï ôýðïò ôçò åßíáé:
( ) ( ) ( )1f x ln x 1 x 1,−
= + ∈ − +∞ ¡
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( )x
3f x
1 3
=
+
. Íá âñåèåß ç áíôßóôñïöç ôçò
óõíÜñôçóçò f.
Ëýóç
Ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï R, áöïý x1 3 0+ > ãéá
êÜèå x R∈ .
¸÷ïõìå,
( ) ( )
( )
( )
xx x
x
x x
3
3y f x y y 1 3 3
1 3
y1 y 3 y 3 , y 1
1 y
yx log 0
1 y
y 1 y 0 0 y 1, y 1
= ⇔ = ⇔ + = ⇔
+
⇔ − = ⇔ = ≠
−
⇔ = > ⇔
−
⇔ − > ⇔ < < ≠
Åßíáé: ( )y
0 y 1 y 0 0 y 11 y
> ⇔ − > ⇔ < <−
êáé
óõíåðþò ç f Ý÷åé ðåäßï ôéìþí ôï ( ) ( )f A 0,1=
Ç ó÷Ýóç 3
yx log
1 y=
−, äçëþíåé üôé ãéá êÜèå
( )y 0,1∈ õðÜñ÷åé ìüíï ìßá ôéìÞ ôïõ x R∈ .
ÅðïìÝíùò, (ç f åßíáé 1-1) ïñßæåôáé ç áíôßóôñïöç
óõíÜñôçóç ( )1f : 0,1 R−
→ ìå ôýðï:
( ) ( )1
3
xf x log , x 0,1
1 x
−= ∈
−
Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f ìå ôýðï:
( )f x 1 3 x= − −
á. Íá áðïäåé÷èåß üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé,
â. Íá ëõèåß ç åîßóùóç ( ) ( )1f x f x−
=
Ëýóç
á. Ðñïöáíþò, ç f Ý÷åé ðåäßï ïñéóìïý ôï
( ,3]−∞ . Ìå 1 2x , x ( ,3]∈ −∞ Ý÷ïõìå:
1 2 2 1x , x 3 3 x x≤ ⇔ − ≤ − < − ⇔
2 1 2 10 3 x 3 x 3 x 3 x⇔ ≤ − < − ⇔ − < − ⇔
( ) ( )2 1 2 11 3 x 1 3 x f x f x⇔ − − > − − ⇔ >
ðïõ óçìáßíåé üôé ç f åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá
óôï ( ,3]−∞ .
â. Áí ìéá óõíÜñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï R
êáé ãíçóßùò áýîïõóá éó÷ýåé ç éóïäõíáìßá:
( ) ( ) ( )⇔1
f x f x f x x−
= =
¸ôóé, áíôß íá ëýíïõìå ôçí åîßóùóç
( ) ( )1f x f x−
=
èá ëýíïõìå ôçí éóïäýíáìç áõôÞò ( )f x x= ,
ðïõ åßíáé áðëïýóôåñç.
( ) ( ) ( )1f x f x f x x
1 3 x x 3 x 1 x
−= ⇔ = ⇔
− − = ⇔ − = −
( )2
2
3 x 1 x ,
x 1 x x 2 0,
x 1 x 1 ή x 2
και x 1 x 2
⇔ − = −
≥ ⇔ − − =
≥ ⇔ = − =
≥ ⇔ =
Á9
Á10
Â10
Â11
Â7
• Óôç äéáäéêáóßá åýñåóçò ôïõ ôýðïõ ôçò áíôßóôñïöçò, ðñïêýðôïõí åíäå÷ïìÝíùò ðåñéïñéóìïß ãéá ôï y, äçëáäÞ
ðñïêýðôåé ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f, ðïõ åßíáé öõóéêÜ êáé ôï ðåäßï ïñéìïý ôçò 1f− .
• Áðü ôçí éóïäõíáìßá ( ) ( )1y f x x f y
−= ⇔ = ðñïêýðôåé üôé ôá óçìåßá (x, y) åßíáé óõììåôñéêÜ ùò ðñïò ôç
äé÷ïôüìï y = x ïé ãñáöéêÝò ðáñáóôÜóåéò ôùí óõíáñôÞóåùí y = f(x) êáé ( )1y f x
−= åßíáé óõììåôñéêÝò
ùò ðñïò ôç äé÷ïôüìï y = x ôçò ãùíßáò xOy. ÅðïìÝíùò, áí ãíùñßæïõìå ôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ìéáò åê
ôùí óõíáñôÞóåùí f, 1f− , ìðïñïýìå áìÝóùò íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôçí Üëëç.
áíôßóôñïöç óõíÜñôçóç 225
ÁÍÔÉÓÔÑÏÖÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇ
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
Ã185. Íá áðïäåé÷ôåß üôé ç óõíÜñôçóç
( )f x 2x 1= −
åßíáé 1-1 êáé íá âñåèåß ç áíôßóôñïöÞ ôçò.
Ã186. Íá áðïäåé÷ôåß üôé ç óõíÜñôçóç
( ) 1 xf x 3e 1
−= +
åßíáé 1-1 êáé íá âñåèåß ç áíôßóôñïöÞ ôçò.
Ã187. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç ( ) 2f x nx x= +�
i. Íá ìåëåôçèåß ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá.
ii. Íá äåßîåôå üôé áí 0 α β< < ôüôå
2 2βn α βα> −� .
iii. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç
( ) ( ) ( ) ( )222 2
n x 1 x 1 n x 1 x 1+ − + = + − +� �
Ã188. Áí ãéá êÜèå x R∈ éó÷ýåé
( ) ( ) ( )5f x 6f x 2x 4 0 1+ − + =
i. íá áðïäåßîåôå üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé êáé
ii. áí åðéðëÝïí ç f Ý÷åé óýíïëï ôéìþí ôï
R, íá âñåßôå ôçí 1f− .
Ã189. Áí ãéá êÜèå x R∈ éó÷ýåé
( ) ( ) ( )2 26f x f x 9 1− ≥ ,
íá áðïäåßîåôå üôé ç f äåí áíôéóôñÝöåôáé.
Ã190. Áí ç óõíÜñôçóç f åßíáé ðåñéôôÞ êáé áíôé-
óôñÝøéìç, íá áðïäåßîåôå üôé êáé ç 1f−
åßíáé ðåñéôôÞ.
Ã191. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f : R R→ , þóôå:
( )( ) ( )3fof x x f x= + (1) ãéá êÜèå
x R∈ .i. Íá äåßîåôå üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé.
ii. Íá âñåßôå ôï ( )f 0 .
Ã192. i. ¸óôù üôé ç g åßíáé ãíçóßùò áýîïõóá
óôï R. Íá äåßîåôå üôé êáé ç
( ) ( )f x g x x= + åßíáé ãíçóßùò áýîïõ-
óá óôï R.
ii. Íá åîåôÜóåôå ùò ðñïò ôç ìïíïôïíßá ôç
óõíÜñôçóç ( )f x nx x= +� .
iii. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç:
( ) ( )2 2n λ λ n 2λ 4 λ 3λ 4, λ 1− − + = − + + >� �
Ã193. Äßíåôáé ç óõíÜñôçóç f : R R→ , þóôå:
( ) ( )3
f x f x x 0+ + = (1) ãéá êÜèå
x R∈ .i. Íá äåßîåôå üôé ç f áíôéóôñÝöåôáé.
ii. Íá âñåßôå ôïí ôýðï ôçò 1f− .
Á7
Á9
Á10
Â7
Â10
Â11
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15226
Óôïé÷åßá áðü ôéò êùíéêÝò ôïìÝòÃ.15
Á. ÊÕÊËÏÓ
Êýêëïò åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí Ì ôïõ åðéðÝäïõ ôá ïðïßá éóáðÝ÷ïõí
áðü Ýíá óôáèåñü óçìåßï ôïõ åðéðÝäïõ óôáèåñÞ áðüóôáóç.
Ç åîßóùóç 2 2x y x y 0+ + Α +Β + Γ = (1), A, B, Γ R∈
• Áí 2 2Α Β 4Γ 0+ − > : ç åîßóùóç (1) ðáñéóôÜíåé êýêëï ìå êÝíôñï ôï óçìåßï:
,2 2
Α Β Κ − −
êáé áêôßíá 2 2
4
2
Α +Β − Γρ = .
• Áí 2 2Α Β 4Γ 0+ − = : ç (1) ðáñéóôÜíåé ôï óçìåßï ,
2 2
Α Β Κ − −
.
• Áí 2 2Α Β 4Γ 0+ − < : ç åîßóùóç (1) åßíáé áäýíáôç .
Åîßóùóç åöáðôïìÝíçò êýêëïõ ìå êÝíôñï
Ï(0,0) êáé áêôßíá ñ óôï óçìåßï Á(x1 ,y1):
2
1 1xx yy+ = ρ
Åîßóùóç êýêëïõ ìå êÝíôñï Ï( 0 , 0 ) êáé
áêôßíá ñ : 2 2 2x y+ = ρ
Åîßóùóç êýêëïõ ìå êÝíôñï ( )0 0K x , y êáé áêôßíá ñ:
( ) ( )2 2 2
0 0x x y y− + − = ρ
ìéãáäéêïß áñéèìïß 227
KùíéêÝò ôïìÝò
Â. ÐÁÑÁÂÏËÇ
ÐáñáâïëÞ åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí Ì ôïõ åðéðÝäïõ ôá ïðïßá éóáðÝ÷ïõí áðü ìéá
óôáèåñÞ åõèåßá (ä) ðïõ ëÝãåôáé äéåõèåôïýóá ôçò ðáñáâïëÞò êáé áðü Ýíá óôáèåñü óçìåßï Å ðïõ
ëÝãåôáé åóôßá ôçò ðáñáâïëÞò. Ôá óçìåßá ðïõ éêáíïðïéïýí ôçí ðñïçãïýìåíç éäéüôçôá áíÞêïõí óå
ìéá êáìðýëç ðïõ öáßíåôáé óôá åðüìåíá ó÷Þìáôá.
Åîßóùóç ðáñáâïëÞò êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
1. Ìå êïñõöÞ ( )0,0Ο ,åóôßá p
E ,02
, êáé äéåõèåôïýóá p
: x2
δ = − 2y 2px=
2. Ìå êïñõöÞ ( )0,0Ο , åóôßá p
E 0,2
, êáé äéåõèåôïýóá p
: y2
δ = − 2x 2py=
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15228
Ã. ÅËËÅÉØÇ
¸ëëåéøç ìå åóôßåò ôá óçìåßá Å΄ êáé Å åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò C ôùí óçìåßùí ôïõ åðéðÝäïõ ôùí
ïðïßùí ôï Üèñïéóìá ôùí áðïóôÜóåùí áðü ôá Å΄ êáé Å åßíáé óôáèåñü êáé ìåãáëýôåñï ôïõ Å΄ Å. Ôï
óôáèåñü áõôü Üèñïéóìá ôï óõìâïëßæïõìå ìå 2á, åíþ ôçí åóôéáêÞ áðüóôáóç Å΄ Å ìå 2ã. ÄçëáäÞ Áí
Ì óçìåßï ôçò Ýëëåéøç: ( ) ( )ME ' ME 2α+ =
Åîßóùóç Ýëëåéøçò êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç
Ç åîßóùóç ôçò Ýëëåéøçò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå
Üîïíá x΄x ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá y΄y ôçí
ìåóïêÜèåôï ôïõ ÅÅ΄ åßíáé:
2 2
2 2
x y1
α β+ = , üðïõ 2 2 2
β = α − γ (ó÷Þìá 2)
O ìéêñüò Üîïíáò BB΄ ôçò Ýëëåéøçò Ý÷åé ìÞêïò 2â. Ç åîßóùóç ôçò
Ýëëåéøçò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîïíá y΄y ôçí
åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá x΄x ôçí ìåóïêÜèåôï
ôïõ Å΄Å åßíáé:
2 2
2 2
x y1
β α+ = , üðïõ 2 2 2
β = α − γ (ó÷Þìá 3)
Åîßóùóç åöáðôïìÝíçò
¸óôù ç Ýëëåéøç C ìå åîßóùóç 2 2
2 2
x y1+ =
α β
, α β> . H åîßóùóç ôçò
åöáðôïìÝíçò ôçò Ýëëåéøçò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:
1 1
2 2
xx yy1+ =
α β
¸óôù ç Ýëëåéøç C ìå åîßóùóç 2 2
2 2
x y1+ =
β α
, α β> . H åîßóùóç ôçò
åöáðôïìÝíçò ôçò Ýëëåéøçò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:
1 1
2 2
xx yy1+ =
β α
Åêêåíôñüôçôá Ýëëåéøçò
¸óôù ç Ýëëåéøç C ìå åîßóùóç 2 2
2 2
x y1
α β+ = .
ÏíïìÜæïõìå åêêåíôñüôçôá ôçò Ýëëåéøçò C ôï ëüãï ôçò åóôéáêÞò
áðüóôáóçò ðñïò ôï ìÞêïò ôïõ ìåãÜëïõ Üîïíá êáé ôç óõìâïëßæïõ-
ìå ìå: 2γ γ
ε2α α
= = .
Åßíáé 0 ε 1< < êáé áðïäåéêíýåôáé üôé : 2β
1 εα= −
x
y
y
x
y
x
σχήµα 4
y
x
ìéãáäéêïß áñéèìïß 229
KùíéêÝò ôïìÝò
Ä. ÕÐÅÑÂÏËÇ
Ïñéóìüò: ÕðåñâïëÞ ìå åóôßåò ôá óçìåßá Å΄ êáé Å åßíáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí óçìåßùí ôïõ
åðéðÝäïõ ôùí ïðïßùí ç áðüëõôç ôéìÞ ôçò äéáöïñÜò ôùí áðïóôÜóåùí áðü ôá Å΄ êáé Å åßíáé óôáèåñÞ
êáé ìéêñüôåñç ôïõ Ÿ. Ôï áðüëõôï ôçò äéáöïñÜò áõôÞò ôï óõìâïëßæïõìå ìå 2á êáé ôçí åóôéáêÞ
áðüóôáóç ìå 2ã. ÄçëáäÞ áí Ì ôï óçìåßï ôçò õðåñâïëÞò: ( ) ( )ME ' ME 2α− =
Åîßóùóç õðåñâïëÞò êáé ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç.
Ç åîßóùóç ôçò õðåñâïëÞò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîï-
íá x΄x ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá y΄y ôçí ìåóï-
êÜèåôï ôïõ ÅÅ΄ åßíáé:
2 2
2 2
x y1− =
α β
, üðïõ â2 = ã2 – á2.
Ç åîßóùóç ôçò õðåñâïëÞò ùò ðñïò óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Ïxy ìå Üîï-
íá y΄y ôçí åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôá Å êáé Å΄ êáé Üîïíá x΄x ôçí ìåóï-
êÜèåôï ôïõ ÅÅ΄ åßíáé:2 2
2 2
y x1− =
α β
, üðïõ â2 = ã2 – á2
Åîßóùóç åöáðôïìÝíçò
¸óôù ç õðåñâïëÞ C ìå åîßóùóç 2 2
2 2
x y1− =
α β
. H åîßóùóç ôçò åöáðôïìÝ-
íçò ôçò õðåñâïëÞò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:
1 1
2 2
xx yy1− =
α β
¸óôù ç õðåñâïëÞ C ìå åîßóùóç 2 2
2 2
y x1− =
α β
. H åîßóùóç ôçò åöáðôïìÝíçò
ôçò õðåñâïëÞò C óôï óçìåßï ôçò Ì(x1,y1) åßíáé:
1 1
2 2
yy xx1− =
α β
Áóýìðôùôåò õðåñâïëÞò
Ç õðåñâïëÞ 2 2
2 2
x y1− =
α β
Ý÷åé áóýìðôùôåò ôéò åõèåßåò:
1 : y xβ
ε =
α
êáé 2 : y xβ
ε = −
α
Åêêåíôñüôçôá õðåñâïëÞò
¸óôù ç õðåñâïëÞ C ìå åîßóùóç 2 2
2 2
x y1− =
α β
. ÏíïìÜæïõìå åêêåíôñüôçôá ôçò õðåñâïëÞò êáé ôç
óõìâïëßæïõìå ìå å ôï ëüãï 2
2
γ γε = =
α α. Åßíáé å>1. Áðïäåéêíýåôáé üôé: 2
1β= ε −
α
.
x
y
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15230
¸ííïéá ìéãáäéêïý
Ç áäõíáìßá åðßëõóçò ôçò åîßóùóçò 2x 1 0+ = óôï
R ìáò ïäÞãçóå óôçí åðéíüçóç åíüò íÝïõ óõíüëïõ,
õðåñóýíïëï ôïõ R, ôï óýíïëï ôùí ìéãáäéêþí áñéè-
ìþí C óôï ïðïßï èåùñÞèçêå ç ýðáñîç åíüò íÝïõ
óôïé÷åßïõ ôïõ i ìå ôçí éäéüôçôá 2i 1= − êáé ôï ïðïßï
ïíïìÜóôçêå öáíôáóôéêÞ ìïíÜäá. Óôï íÝï óýíïëï C
ïé âáóéêÝò ðñÜîåéò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëá-
ðëáóéáóìïý ðïõ ãíùñßóáìå óôï R äéáôçñïýíôáé ìå
ôïõò êáíüíåò ëïãéóìïý (ð.÷. åðéìåñéóôéêÞ, áíôéìå-
ôáèåôéêÞ éäéüôçôá) êáé åðéðëÝïí êÜèå óôïé÷åßï ôïõ C
ãñÜöåôáé êáôÜ ìïíáäéêü ôñüðï óôçí ìïñöÞ :
z α βi= + üðïõ α,β R∈ (êáíïíéêÞ ìïñöÞ).
O áñéèìüò á ëÝãåôáé ðñáãìáôéêü ìÝñïò ôïõ ìéãáäé-
êïý z êáé óõìâïëßæåôáé ( )Re z = α åíþ ï áñéèìüò
â ëÝãåôáé öáíôáóôéêü ìÝñïò ôïõ ìéãáäéêïý z êáé
óõìâïëßæåôáé ( )Im z = β äçëäÞ
( ) ( )z Re z Im z i= + .
Ôï óýíïëï R (ðñáãìáôéêïß áñéèìïß) áðáñôßæåôáé áðï
ôïõò ìéãáäéêïýò ôçò ìïñöÞò z α 0i= + . Ïé ìéãá-
äéêïß ôçò ìïñöÞò z 0 βi= + ìå β R∈ áðïôåëïýí
ôï óýíïëï É (öáíôáóôéêïß áñéèìïß). Åßíáé öáíåñü üôé
ôá óýíïëá R,I åßíáé ãíÞóéá õðïóýíïëá ôïõ óõíüëïõ
ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí C.
ÓõæõãÞò ìéãáäéêïý - ÐñÜîåéò
¸óôù ï ìéãáäéêüò z α βi= + . ÏíïìÜæïõìå óõæõãÞ
ôïõ z êáé óõìâïëßæïõìå ìå z ôï ìéãáäéêü áñéèìü
z α βi= − .
¸óôù äýï ìéãáäéêïß áñéèìïß1z α βi= + êáé
2z γ δi= + .
Éó÷ýåé ç éóïäõíáìßá: 1 2z z α γ= ⇔ = êáé β δ= .
Åéäéêüôåñá éó÷ýåé: α βi 0 α β 0+ = ⇔ = =
Ìéãáäéêïß áñéèìïßÃ.16
1. Ðñüóèåóç:
( ) ( ) ( ) ( )1 2z z α βi γ δi α γ β δ i+ = + + + = + + +
2. Ðïëëáðëáóéáóìüò:
( )( ) 2
1 2z z α βi γ δi αγ αδi βγi βδi= + + = + + + =
αγ αδi βγi βδ= + + − = ( ) ( )αγ βδ αδ βγ i− + +
3. Äéáßñåóç: Ç äéáßñåóç åêôåëåßôáé ìå ôç âïÞèåéá ôïõ
óõæõãïýò ôïõ ìéãáäéêïý ôïõ ðáñïíïìáóôÞ.
¸óôù 1z α βi= + ,
2z γ δi 0= + ≠ .
Ôüôå: ( )( )
( )( )1
2
2 2 2 2
α βi γ δiz α βi...
z γ δi γ δi γ δi
αγ βδ βγ αδi
γ δ γ δ
+ −+= = = =
+ + −
+ −+
+ +
Éäéüôçôåò
¼ìïéá üðùò óôï R ïñßæïõìå ãéá ôïí ìéãáäéêü
z α βi= + :
i. 1z z= ii. 0z 1= , ìå z 0≠
iii. v
v
1z
z
− = , *v N∈ , z 0≠
iv. v v 1z z z−= ⋅ , v N∈ , v 1>
Äýíáìç ôïõ i
Ãéá ôéò äõíÜìåéò ôïõ i åéäéêÜ ïñßæïõìå:
1i i= , 2i 1= − , ( )3 2i i i 1 i i= ⋅ = − ⋅ = − ,
( ) ( )4 2 2i i i 1 1 1= ⋅ = − ⋅ − = .
Ãåíéêüôåñá, ( )π
v 4π υ 4 υ υ υi i i i 1 i i+= = ⋅ = ⋅ = ,üðïõ
ð ôï ðçëßêï êáé õ ôï õðüëïéðï ôçò Åõêëåßäåéáò äéá-
ßñåóçò ôïõ í ìå ôïí 4 .
ÅðåéäÞ υ 0,1,2,3= Ý÷ïõìå:
ν υ
1, αν υ 0
i, αν υ 1i i
1, αν υ 2
i, αν υ 3
=
=
= = − =
− =
ìéãáäéêïß áñéèìïß 231
ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
Éäéüôçôåò óõæõãþí
É. Ãéá ôïõò óõæõãåßò ìéãáäéêïýò áñéèìïýò
z α βi= + êáé z α βi= − éó÷ýïõí:
i. 2 2zz α β= + ii. ( )z z 2α 2Re z+ = =
iii. ( )z z 2βi 2i Im z− = =
ÉÉ. ¸óôù ï ìéãáäéêüò áñéèìüò z α βi= + . Ôüôå:
i. Ï áñéèìüò z åßíáé ðñáãìáôéêüò, áí êáé ìüíïí áí,
z z=
ii. Ï áñéèìüò z åßíáé öáíôáóôéêüò ,áí êáé ìüíïí áí,
z z= −
III. Ãéá ôïõò ìéãáäéêïýò 1 2
z , z , z , z éó÷ýïõí:
i. z z=
ii. 1 2 1 2z z z z+ = + êáé ãåíéêüôåñá
1 2 v 1 2 vz z ... z z z ... z+ + + = + + + ,
*v N∈
iii. 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ êáé ãåíéêüôåñá
1 2 v 1 2 vz z ...z z z ...z⋅ = ⋅ , ãéá êÜèå
*v N∈ .
iv. ( )1 1
2
2 2
z zz 0
z z
= ≠
v. ( ) ( )k
kz z= , ãéá êÜèå ìç ìçäåíéêü áêÝñáéï k.
Ìéãáäéêü åðßðåäï
¸óôù ï ìéãáäéêüò z α βi= + . Óôï ìéãáäéêü áñéèìü z
ìðïñïýìå íá áíôéóôïé÷ßóïõìå ôï óçìåßï ( )M α,β åíüò
êáñôåóéáíïý åðéðÝäïõ. ÁëëÜ êáé áíôéóôñüöùò óå êÜèå
óçìåßï ( )M α,β ôïõ êáñôåóéáíïý åðéðÝäïõ ìðïñïý-
ìå íá áíôéóôïé÷ßóïõìå ôï ìéãáäéêü áñéèìü z α βi= + .
Ôüôå ôï óçìåßï Ì ëÝãåôáé åéêüíá ôïõ ìéãáäéêïý z êáé
óõìâïëßæåôáé êáé ìå ( )Μ z . Åðßóçò ç äéáíõóìáôéêÞ
áêôßíá OM�����
ôïõ óçìåßïõ ( )M α,β ëÝãåôáé êáé äéá-
íõóìáôéêÞ áêôßíá ôïõ ìéãáäéêïý êáé ðïëëÜ ðñïâëÞ-
ìáôá ìéãáäéêþí ôá áíôéìåôùðßæïõìå óôç óõíÝ÷åéá ôáõ-
ôßæïíôáò ôïí ìéãáäéêü ìå ôç äéáíõóìáôéêÞ ôïõ áêôßíá.
¸íá åðßðåäï ôïõ ïðïßïõ ôá óçìåßá èåùñïýíôáé åéêü-
íåò ìéãáäéêþí áñéèìþí ëÝãåôáé ìéãáäéêü åðßðåäï.
Ï Üîïíáò x 'x ëÝãåôáé ðñáãìáôéêüò Üîïíáò, áöïý
ó’áõôüí áíÞêïõí ôá óçìåßá ( )Μ α,0 ðïõ åßíáé åéêü-
íåò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí z α 0i α= + = , åíþ
ï Üîïíáò y 'y ëÝãåôáé öáíôáóôéêüò Üîïíáò, áöïý
ó’áõôüí áíÞêïõí ôá óçìåßá ( )M 0,β , ðïõ åßíáé åéêü-
íåò ôùí öáíôáóôéêþí áñéèìþí z 0 βi βi= + = .
Óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ïé åéêüíåò ôùí óõæõãþí ìé-
ãáäéêþí áñéèìþí z α βi= + êáé z α βi= − åßíáé
áíôßóôïé÷á ôá óçìåßá ( )M α,β êáé ( )Λ α, β− ðïõ
åßíáé óçìåßá óõììåôñéêÜ ùò ðñïò ôïí Üîïíá x 'x .
Óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ïé åéêüíåò ôùí áíôßèåôùí ìéãá-
äéêþí áñéèìþí z α βi= + êáé z α βi− = − − åßíáé
áíôßóôïé÷á ôá óçìåßá ( )M α,β êáé ( )Κ α, β− − , ðïõ
åßíáé óõììåôñéêÜ ùò ðñïò ôçí áñ÷Þ Ï ôùí áîüíùí.
Åðßëõóç ôçò åîßóùóçò áz2 + âz + ã = 0 (1)
óôï óýíïëï C, ìå á, â, ã ðñáãìáôéêïýò êáé á
äéÜöïñï ôïõ ìåäåíüò.
Ç äéáêñßíïõóá ôçò (1) åßíáé 2∆ β 4αγ= − .
• Áí ∆ 0> ç (1) Ý÷åé äýï ñßæåò ðñáãìáôéêÝò êáé
Üíéóåò: 1,2
β ∆z
2α
− ±=
• Áí ∆ 0= ç (1) Ý÷åé ìßá äéðëÞ ðñáãìáôéêÞ ñßæá ôçí:
βz
2α= −
• Áí ∆ 0< ç (1) Ý÷åé äýï ñßæåò ìéãáäéêÝò óõæõãåßò:
1,2
β i ∆z
2α
− ± −=
Éó÷ýïõí ïé ôýðïé ôïõ Vieta, äçëáäÞ
1 2
βz z
α+ = − êáé
1 2
γz z
α=
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15232
4
3
2
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
ÁóêÞóåéò ðïõ æçôåßôáé íá ãñáöåß óôçí êáíïíéêÞ
ìïñöÞ äçë. óôç ìïñöÞ α βi+ ìå α,β R∈ , Ýíáò
ìéãáäéêüò áñéèìüò. Ôüôå åêôåëïýìå ôéò ðñÜîåéò
üðùò ôéò ïñßóáìå óôç èåùñßá (äõíÜìåéò - ôáõôü-
ôçôåò ê.ë.ð).
Íá ãñÜøåôå óôç ìïñöÞ α βi+ ôïí ìé-
ãáäéêü áñéèìü: 5 2 i 2 i
z6 2 i 2 i
+ − = +
− +
Ëýóç
Åßíáé
( ) ( )
( )( )
2 2
2 i 2 i5 2 i 2 i 5z
6 2 i 2 i 6 2 i 2 i
5 4 4i 1 4 4i 1
6 4 1
+ + −+ − = + = =
− + − +
+ − + − − = =
+
5 8 2 5 61 1 0i
6 5 6 5
− = = ⋅ = = +
Óå áóêÞóåéò ðïõ æçôåßôáé íá äåßîïõìå üôé äýï ìéãá-
äéêïß 1 2z , z åßíáé ßóïé Þ æçôïýíôáé ïé óõíèÞêåò þóôå
íá åßíáé ßóïé:
ÃñÜöïõìå ôïõò 1 2z , z óôçí êáíïíéêÞ ôïõò ìïñöÞ
1z α βi= + ,
2z γ δi= + êáé äéáðéóôþíïõìå üôé
α γ= êáé β δ= Þ áðáéôïýìå á = ã êáé â = ä ,
üôáí æçôïýíôáé óõíèÞêåò, þóôå íá åßíáé ßóïé.
Íá âñåèïýí ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á,
â þóôå ïé ìéãáäéêïß
( ) ( )1z 2α 3β 2α β i= − + + + êáé ( )
2z 3 i i= −
íá åßíáé ßóïé.
Ëýóç
Åßíáé ( ) 2
2z 3 i i 3i i 1 3i= − = − = + ,
1 2
2α 3β 1 β 1 β 1z z
2α β 3 2α 1 3 α 1
− + = = = = ⇔ ⇔ ⇔
+ = + = =
Íá ðñïóäéïñßóåôå ôïí ðñáãìáôéêü
áñéèìü x þóôå ï áñéèìüò
( )z 1 2συνx iηµ2x= − + íá åßíáé:
á. öáíôáóôéêüò, â. ðñáãìáôéêüò.
Ëýóç
á. Ï ìéãáäéêüò z åßíáé öáíôáóôéêüò áí êáé ìüíïí
áí, ( )Re z 0= êáé ( )lm z 0≠ .
( )1
Re z 0 1 2συνx 0 συνx2
= ⇔ − = ⇔ =
1 πσυνx συν
2 3= = ⇔
π πx 2kπ ή x 2kπ , k Z
3 3= + = − ∈
Ãéá π
x 2kπ3
= ± åßíáé 2π
ηµ 4kπ 03
± ≠
.
â. Åßíáé ï ìéãáäéêüò áñéèìüò z ðñáãìáôéêüò, áí
êáé ìüíïí áí,
( )lm z 0 ηµ2x 0 2x kπ, k Z
kπx , k Z
2
= ⇔ = ⇔ = ∈ ⇔
= ∈
Íá âñåèïýí ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á,
â, þóôå ïé ìéãáäéêïß ( )1z α β 3 2i= + − +
êáé ( ) ( )2z 2α 1 α β i= − + + íá åßíáé ßóïé.
Ëýóç
Ïé ìéãáäéêïß áñéèìïß 1 2z z, åßíáé ßóïé, áí êáé
ìüíïí áí,
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
Re z Re z α β 3 2α 1
και και
α β 2lm z lm z
β α 2
και α 0, β 2
β α 2
= + − = −
⇔ ⇔ + ==
− =
⇔ = = + =
Õðïëïãéóìüò ðáñáóôÜóåùí ìå äõíÜìåéò ôïõ i (áêÝ-
ñáéïò åêèÝôçò).
Ç ðáñÜóôáóç νi éóïýôáé ìå
υi ,üðïõ õ åßíáé ôï õðü-
1
ìéãáäéêïß áñéèìïß 233
ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
7
6
5
ëïéðï ôçò äéáßñåóçò ôïõ í ìå ôïí 4.
ÅðïìÝíùò ïé äõíáôÝò ôéìÝò ôçò ðáñÜóôáóçò νi åßíáé
0i 1= ,
1i i= ,
2i 1= − ,
3i i= − .
Íá õðïëïãßóåôå ôéò ôéìÝò ôçò ðáñÜ-
óôáóçò Á ãéá ôéò äéÜöïñåò ôéìÝò ôïõ
èåôéêïý áêåñáßïõ í ìå 10 50
ν 1
i iA
i+
+= .
Ëýóç
Åßíáé
10 4 2 2 2i i i 1
⋅ += = = − , 50 4 12 2 2
i i i 1⋅ +
= = = − ,v 1 v 4π υ υi i i i i i i+ += ⋅ = = ⋅
-Ãéá υ 0=( )2
2 i1 1 2Α 2i
i i i
− −− − −= = = =
−
-Ãéá υ 1=1 1
Α 21
− −= =
−
-Ãéá υ 2=2
1 1 2 2iΑ 2i
i i i
− − − −= = = = −
− − −
-Ãéá υ 3=2
1 1 2Α 2
i i i
− − −= = = −− ⋅ −
Óå áóêÞóåéò üðïõ æçôåßôáé íá äåé÷èåß üôé Ýíáò ìéãá-
äéêüò z åßíáé ðñáãìáôéêüò Þ öáíôáóôéêüò Þ æçôïý-
íôáé ïé óõíèÞêåò þóôå o áñéèìüò z íá åßíáé ðñáãìá-
ôéêüò Þ z öáíôáóôéêüò:
ÃñÜöïõìå ôïí z óôç ìïñöÞ z x yi= + êáé äéáðé-
óôþíïõìå üôé y 0= Þ x 0= ,áíôßóôïé÷á Þ äéáðé-
óôþíïõìå üôé z z= Þ áðáéôïýìå z z= üôáí æç-
ôïýíôáé ïé óõíèÞêåò þóôå z R∈ Þ áðáéôïýìå
z z= − , áí æçôåßôáé ï z íá åßíáé öáíôáóôéêüò.
i. Íá äåßîåôå üôé ãéá êÜèå z C∈ êáé
*v N∈ ï ( )
v vz z+ åßíáé ðñáãìáôéêüò.
ii. Íá âñåèïýí ïé α,β R∈ þóôå ï áñéèìüò
3 αiω
β 3i
+=
−
íá åßíáé öáíôáóôéêüò.
Ëýóç
i. ¸óôù ( )v vω z z= + , ôüôå
( ) ( ) ( ) ( )v
v v vv vω z z z z z z ω= + = + = + = .
¢ñá ω R∈ .
ii. Åßíáé ( )( )
( )( )
( ) ( )2 2 2
3 αi β 3i3 αiω
β 3i β 3i β 3i
3β 3α 9 αβ i 3β 3α 9 αβi
β 9 β 9 β 9
+ ++= = =
− − +
− + + − += +
+ + +
Ï ù åßíáé öáíôáóôéêüò, áí êáé ìüíïí áí,
2
3β 3α0 α β.
β 9
−= ⇔ =
+
Ëýóç åîßóùóçò ôçò ìïñöÞò αz β, α,β R= ∈ Þ
2αz βz γ 0+ + = , ìå α,β, γ R∈ êáé α 0≠ .
Ç åîßóùóç 2αz βz γ 0+ + = ëýíåôáé ìå ôç âïÞèåéá
ôçò äéáêñßíïõóáò üðùò áíáöÝñáìå óôç èåùñßá.
Áí ç åîßóùóç äåí åßíáé äåõôåñïâÜèìéá ôüôå èÝôïõìå
z x yi= + , åêôåëïýìå ôéò ðñÜîåéò êáé êáôáëÞãïõìå
óôç ìïñöÞ α βi 0+ = . Óôç óõíÝ÷åéá ëýíïõìå ôï óý-
óôçìá α 0
β 0
=
=
. ÔÝëïò ç åîßóùóç αz β= ìå α,β C∈
ìðïñåß íá ëõèåß üðùò áêñéâþò êáé óôï R.
¼ôáí æçôåßôáé íá ðñïóäéïñéóèåß ìéãáäéêüò z ðïõ
éêáíïðïéåß ìéá éóüôçôá üðïõ õðÜñ÷åé ï z êáé ï óõæõãÞò
ôïõ, Þ ôï ìÝôñï ôïõ z, ôüôå èÝôïõìå z x yi= + óôçí
äïóìÝíç ó÷Ýóç êáé ðñïóäéïñßæïõìå ôïõò ðñáãìáôéêïýò
áñéèìïýò x êáé y.
Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
i. ( ) ( ) ( ) ( )1 2i i z 4i 3 1 iz 1 7i+ − − − − = +
ii. 2z 3 3 z 9 0− ⋅ + = iii. 2
z z 2 0+ − =
iv. â. 2z 3 4i= +
Ëýóç
i. Ç åîßóùóç ãñÜöåôáé éóïäýíáìá:
( ) ( )2i z 2i i z 4i 4i z 3 3iz 1 7i− + − − − − + = +
i z 2 2iz 4i 4z 3 3iz 1 7i⇔ − − − − − + − = +
( )3i 2 3 z 1 2i 4 3i 1 7i⇔ − − + + − − − − = +
( ) ( )z 5 5i 10i 5z 1 i 10i⇔ − − = ⇔ − + =
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15234
8
( )
( )
( )( )
2i 1 i10i 2iz z
5 1 i 1 i 1 i 1 i
− −−⇔ = = ⇔ = =
− + + + −
22i 2i 2 2i
1 1 2
− + − −= =
+
.
¢ñá z 1 i= − − .
ii. Åßíáé
( )2
2∆ β 4αγ 3 3 4 9 27 36 9 0= − = − − ⋅ = − = − < ,
ïðüôå ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò åßíáé:
1,2
3 3 i 9 3 3 3i 3 3 3z i
2 2 2 2
± ±= = = ± .
iii. ÈÝôïõìå z x yi= + , x, y R∈ óôçí (1) êáé
Ý÷ïõìå:
( ) ( )
( )
2
2 2
x yi x yi 2 0
x y x 2 2xy y i 0
+ + − − = ⇔
− + − + − = ⇔
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2
x y x 2 0 x y x 2 0
και και
2xy y 0 y 2x 1 0
x y x 2 0 2
y 0 ή 2x 1 0 3
− + − = − + − =
⇔ ⇔
− = − =
− + − =⇔
= − =
• Áí y 0= , ôüôå ç (2) ãñÜöåôáé:
2x x 2 0 x 1+ − = ⇔ = Þ x 2= − ,
Üñá ïé ëýóåéò ôçò (1) åßíáé ïé áñéèìïß
z 1 0i= + , z 2 0i= +
• Áí 1
x2
= , ôüôå ç (2) ãñÜöåôáé:
2 21 1 5y 2 0 y
4 2 4− + − = ⇔ = −
ðïõ åßíáé áäýíáôç.
iv. Åäþ äåí èá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôïí ôýðï ôçò
äéáêñßíïõóáò, ãé’ áõôü èÝôïõìå z x yi= + êáé
Ý÷ïõìå: ( )
( )
( )
2
2 2
2 2
x yi 3 4i
x y 2xyi 3 4i
x y 3 1
2xy 4 2
+ = + ⇔
− + = + ⇔
− =
=
Õøþíïõìå êáé ôá äýï ìÝëç ôùí (1) êáé (2) óôï
ôåôñÜãùíï êáé ôéò ðñïóèÝôïõìå êáôÜ ìÝëç:
( )
( ) ( )
22 2 2 2
22 2 2 2
x y 4x y 9 16
x y 25 x y 5 3
− + = + ⇔
+ = ⇔ + =
Áðü ôéò (1) êáé (3), ðáßñíïõìå:
2 2
2 2
x y 3
x y 5
− =
+ =
ìå ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç êáôÜ ìÝëç ôùí
ðáñáðÜíù åîéóþóåùí ðñïêýðôåé ôï óýóôçìá:
2
2
2
2
2x 8x 4 x 2 ή x 2
καιy 1 ή y 1y 1
2y 2
= = = = −
⇔ ⇔ = = −=
=
êáé åðåéäÞ 2xy 4= , ïé x, y åßíáé ïìüóçìïé, Üñá:
( )x 2 και y 1= = Þ ( )x 2 και y 1= − = −
ÅðïìÝíùò ïé ñßæåò ôçò åîßóùóçò åßíáé : z 2 i= +
êáé z 2 i= − − .
Óå áóêÞóåéò ðïõ æçôåßôáé ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ìé-
ãáäéêïý áñéèìïý z ðïõ äßíåôáé ðáñáìåôñéêÜ.
ÃñÜöïõìå ôïí ìéãáäéêü z óôçí êáíïíéêÞ ôïõ ìïñ-
öÞ êáé êÜíïõìå áðáëïéöÞ ôçò ðáñáìÝôñïõ áðü ôá
Re(z) êáé Im(z).
Íá âñåßôå óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ôï ãå-
ùìåôñéêü ôüðï ôùí åéêüíùí ôùí ìéãá-
äéêþí ( )z 1 5i λ 2 3i, λ R= + + − ∈ .
Ëýóç
Ï ìéãáäéêüò z ãñÜöåôáé
( ) ( )z λ 5λi 2 3i λ 2 5λ 3 i= + + − = + + − .
Áí z x yi= + ôüôå x λ 2= + êáé y 5λ 3= − .
Ðñïêýðôåé ëïéðüí λ x 2= − êáé
( )y 5 x 2 3 5x 13= − − = −
ÄçëáäÞ ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ z
åßíáé ç åõèåßá ìå åîßóùóç y 5x 13= − .
ìéãáäéêïß áñéèìïß 235
ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
11
Íá âñåßôå ôï ãåùìåôñéêü ôüðï ôùí
åéêüíùí ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí z ãéá
ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé:
á. ( )Re z 2= − â. ( )lm z 3=
Ëýóç
á. ¸óôù z x yi= + ï ìéãáäéêüò ãéá ôïí ïðïßï
éó÷ýåé ( )Re z 2= − ôüôå:
( ) ( )Re z 2 Re x yi 2 x 2= − ⇔ + = − ⇔ = − .
¢ñá, ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò ôïõ z
åßíáé ç êáôáêüñõöç åõèåßá x 2= − .
â. ¸óôù z x yi= + ìéãáäéêüò ôÝôïéïò þóôå
( )lm z 3= , ôüôå:
( ) ( )lm z 3 lm x yi 3 y 3= ⇔ + = ⇔ = .
¢ñá,ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò ôïõ
z x yi= + åßíáé ç åõèåßá ìå åîßóùóç y 3= .
Íá âñåßôå ôïõò á êáé â þóôå ç åîßóùóç:
2z αz β 0+ + = , ìå á êáé â ðñáãìáôéêïýò
íá Ý÷åé ñßæá ôïí áñéèìü 2 i− .
Ëýóç
Ãíùñßæïõìå üôé ç Üëëç ñßæá ôçò åîßóùóçò èá åßíáé
ç 2+i, áöïý ç äåõôåñïâÜèìéá Ý÷åé óõæõãåßò
ìéãáäéêïýò ùò ñßæåò. Åðßóçò, ãíùñßæïõìå üôé áí ç
åîßóùóç Ý÷åé ñßæåò x1, x2, ôüôå:
1 2x x α+ = − êáé
1 2x x β= .
ÅðïìÝíùò, ( ) ( )2 i 2 i α+ + − = êáé
( ) ( )2 i 2 i β+ ⋅ − =
áðü üðïõ ðáßñíïõìå α 4= êáé β 5= êáé óõíåðþò
ç æçôïýìåíç åîßóùóç åßíáé ç 2z 4z 5 0+ + = .
Íá ðáñáóôÞóåôå óôï ìéãáäéêü åðßðåäï
i. ôïõò ìéãáäéêïýò: 1 2z 1 2i, z 3 i= − = +
ii. ôïõò ìéãáäéêïýò z ìå ( )Re z 2= −
iii. ôïõò ìéãáäéêïýò z ìå ( )Im z 1=
iv. ôïõò ìéãáäéêïýò z ìå ( )2 Re z 2− ≤ ≤
Ëýóç
i. Ïé åéêüíåò ôùí ìéãáäéêþí z1 êáé z
2 öáßíïíôáé
óôï ó÷Þìá i.
ii. Ïé ìéãáäéêïß ìå ( )Re z 2= − åßíáé ïé áñéèìïß
ôçò ìïñöÞò 2 yi− + , ìå y R∈ . ¢ñá, ïé åéêü-
íåò ôïõò áíÞêïõí óôçí åõèåßá x 2= − . (ó÷.ii)
iii. Ïé ìéãáäéêïß ìå ( )Im z 1= åßíáé ôçò ìïñöÞò
x i+ , x R∈ ,Üñá ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôá óçìåßá
( )x,1 , üðïõ x R∈ . Åßíáé äçëáäÞ ôá óçìåßá
ôçò åõèåßáò y 1= .(ó÷.iii)
iv. ( )2 Re z 2 2 x 2− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . ÅðïìÝíùò, ïé
åéêüíåò ôùí ìéãáäéêþí âñßóêïíôáé óôï åðßðå-
äï ðïõ ïñéïèåôåßôáé áðï ôéò êáôáêüñõöåò åõ-
èåßåò x 2= − êáé x 2= Þ ðÜíù óôéò äýï åõ-
èåßåò x 2= − êáé x 2= .(ó÷.iv)
9
10
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15236
Ã194. Äßíåôáé ï ìéãáäéêüò:
( ) ( )z 4 2yi x 3i 2 6i 3 4i 3yi= − − − + − − −
á. Íá ãñáöåß óôç ìïñöÞ α βi+
â. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
i. ( )Re z 0= , ii. ( )lm z 0= ,
iii. ( ) ( )Re z lm z=
Ã195. Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò
åéêüíáò ôïõ ìéãáäéêïý
( )z 2συνφ 2ηµφ i= + , φ R∈ .
Ã196. Íá ðñïóäéïñéóôåß ï α R∈ þóôå ç åéêüíá
ôïõ ìéãáäéêïý ( ) ( )z α 2 α 1 i= − + + íá
åßíáé óçìåßï ôïõ êýêëïõ ìå åîßóùóç:
2 2x y 9+ =
Ã197. Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôçò åéêüíáò
ôïõ ìéãáäéêïý ( ) ( )z α 1 3α 2 i= − + − , üôáí
α R∈ .
Ã198. Íá âñåèåß ï ìéãáäéêüò z x yi= + , ãéá ôïí
ïðïßï éó÷ýåé: á. 2z 2i= â. 2
z 3 4i= −
Ã199. Íá ëõèïýí ïé åîéóþóåéò:
á. z z= â. 2z z= ã. z z 1= −
Ã200. Íá áðïäåßîåôå üôé:
i. ( ) ( )2002 2002
x yi y xi 0, x, y R+ + − + = ∈
ii. ( ) ( )2005 2005
β αi i α βi 0− + + = .
Ã201. Íá ëýóåôå ôçí åîßóùóç: 2z z 2 0− + = ,
z C∈
Ã202. Íá ëýóåôå óôï óýíïëï C ôéò åîéóþóåéò:
á. 2x 4x 8 0− + = êáé â. 2
x 2x 3 0− + =
Ã203. Áí ìéá ñßæá ôçò 23x βx γ 0− + = , üðïõ
β, γ R∈ åßíáé ï áñéèìüò 2 3i− , íá âñåßôå
ôéò ôéìÝò ôùí â êáé ã.
Ã204. Íá õðïëïãßóåôå ôïí áñéèìü:
1960 1966 1985 1992z 41i 35i 16i 9i= + + +
Ã205. Áí 1 2z , z ñßæåò ôçò åîßóùóçò z2–2z+4=0,
íá äåßîåôå üôé ï áñéèìüò 1 2
2 1
z zw
z z= + åß-
íáé ðñáãìáôéêüò.
Ã206. ¸óôù *z C∈ .
i. Íá ôïðïèåôÞóåôå óôï ìéãáäéêü åðßðå-
äï ôéò åéêüíåò ôùí z, i, iz.
ii. Íá âñåßôå ôçí åîßóùóç ôçò êáìðýëçò
óôçí ïðïßá ðñÝðåé íá âñßóêåôáé ç åéêü-
íá ôïõ z þóôå ïé åéêüíåò ôùí z, i, iz íá
âñßóêïíôáé óôçí ßäéá åõèåßá.
Ã207. Íá âñåßôå ôï ãåùìåôñéêü ôüðï ôùí åéêüíùí
ôùí ìéãáäéêþí z ãéá ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé
( )8
Re z Im ziz
− = −
.
Ã208. Íá ëõèïýí óôï C, ïé åîéóþóåéò:
i. 2iz zz 7 4i− = − +
ii. ( )z 2iz 5 3 z i+ = + +
iii. z 8 zz zz 2i z− + = − − +
Ã209. Aí 1z λ i= + êáé ( )
2z 2 1 λ i= + − íá
âñåßôå ôïí λ R∈ þóôå ç åéêüíá ôïõ
ìéãáäéêïý 1 2
z z 2z= + íá áíÞêåé óôçí
åõèåßá ìå åîßóùóç y x 10= − .
Ã210. ¸óôù:
( ) ( )2 2z 9i x 1 i y i 2 i 6xi 2y 1= + + + − + − +,
üðïõ x, y R∈ . Íá âñåßôå ôïõò x, y áí:
i. ( )Re z 0= ii. ( )lm z 0= iii. z 0=
Ã211. Íá âñåèåß ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí
åéêüíùí ôïõ ìéãáäéêïý z x yi= + óôï
ìéãáäéêü åðßðåäï áí ï áñéèìüò:
( )( )w 1 iz 1 z= − − åßíáé ðñáãìáôéêüò.
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
ìéãáäéêïß áñéèìïß 237
ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
ÊáôÜ ôçí åðÝêôáóç ôïõ óõíüëïõ R óôï óýíïëï C ïé ðñÜîåéò êáé ïé éäéüôçôÝò ôïõò ðïõ éó÷ýïõí óôï
R ìåôáöÝñïíôáé êáé óôï óýíïëï C, åêôüò áðü ôç äéÜôáîç.
Ôï óýíïëï C äåí åßíáé äéáôåôáãìÝíï, äçëáäÞ äåí ìðïñïýìå íá äéáêñßíïõìå áí Ýíáò ìéãáäéêüò
åßíáé ìåãáëýôåñïò Þ ìéêñüôåñïò áðü êÜðïéïí Üëëï.
ÌÝôñï ìéãáäéêïý
¸óôù ï ìéãáäéêüò áñéèìüò z x yi= + êáé Ì(z) ç
åéêüíá ôïõ óôï ìéãáäéêü åðßðåäï. ÏíïìÜæïõìå ìÝ-
ôñï ôïõ ìéãáäéêïý z ôçí áðüóôáóç ôçò åéêüíáò Ì
ôïõ z áðü ôçí áñ÷Þ Ï(0,0) ôùí áîüíùí êáé ôï óõì-
âïëßæïõìå ìå: ( ) 2 2z OM OM x y= = = +
�����
Éäéüôçôåò ôïõ ìÝôñïõ ìéãáäéêïý
• ¸óôù z x yi= + ôüôå
2 2z z z z x y= = − = − = +
• Ãéá êÜèå ìéãáäéêü z x yi= + éó÷ýåé
22 2 2z z z z x y= = ⋅ = +
• Áí 1 2z , z ìéãáäéêïß áñéèìïß ôüôå:
1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ êáé ãåíéêüôåñá
1 2 v 1 2 νz z ...z z z ... z⋅ = ⋅
êáéνν *z z , ν N= ∈
• Áí 1 2z , z ìéãáäéêïß áñéèìïß ìå 2
z 0≠ ôüôå
11
2 2
zz
z z=
• Áí 1 2z , z C∈ ôüôå
1 2 1 2 1 2z z z z z z− ≤ + ≤ + (ôñéãùíéêÞ áíé-
óüôçôá)
• Ãéá ôéò åéêüíåò ôùí ìéãáäéêþí 1 2z , z , éó÷ýåé á-
êüìá OM ON NM− =
����� ���� ����� Þ 1 2MN z z= −
�����, äç-
ëáäÞ ôï ìÝôñï ôçò äéáöïñÜò äýï ìéãáäéêþí áñéè-
ìþí åßíáé ßóï ìå ôÞí áðüóôáóç ôùí åéêüíùí ôïõò.
• ¸óôù ï ìéãáäéêüò 0 0 0z x y i= + êáé Ýíáò èåôéêüò
ðñáãìáôéêüò ñ. Ç åîßóùóç 0z z ρ− = ðáñéóôÜíåé
ôïí êýêëï ìå êÝíôñï ôçí åéêüíá ( )0 0K x , y ôïõ
0z êáé áêôßíá ñ.
• ¸óôù ïé ìéãáäéêïß 1 2z , z . Ç åîßóùóç
1 2z z z z− = − åßíáé ç åîßóùóç ôçò ìåóïêáèÝôïõ
ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôéò åéêüíåò
( )1A z êáé ( )2B z ôùí z1 êáé z
2 áíôßóôïé÷á.
ÌÝñïò Ã - ÊåöÜëáéï 15238
3
4
2
1
ËõìÝíá ðáñáäåßãìáôá
Íá âñåèïýí ôá ìÝôñá ôùí ìéãáäéêþí
áñéèìþí:
i. 1
4 3iz
4 3i
+=
− ii.
v
2
1 i 3z
2
+=
, *v N∈ .
Ëýóç
i. ( )( )
( )( )1
4 3i 4 3i4 3iz
4 3i 4 3i 4 3i
+ ++= = =
− − +
16 9 24i 7 24i
25 25 25
− += +
Ïðüôå 2 2
1 2 2
7 24 49 576z 1
62525 25
+= + = = .
ii.
v v v
2
1 i 3 1 i 3 1 3z 1
2 2 2 4 4
+= = + = + =
Íá ëõèåß óôï óýíïëï C ç åîßóùóç
( )2z 2iz 2α 1 i 0− + + = , üðïõ α 0≥ .
Ëýóç
¸óôù z x yi= + , x, y R∈ . Åßíáé
( ) ( ) ( )2
2 2x y 2i x yi 2α 1 i 0+ − + + + = ⇔
( ) ( )2 2x y 2y 2α 2 α x i 0 0i+ + + + − = + ⇔
( )
2 2 2 2x y 2y 2α 0 y 2y 2α α 0
2 α x 0 x α
+ + + = + + + =⇔
− = =
ÅðåéäÞ y R∈ ðñÝðåé
∆ 0 1 2 α 1 2≥ ⇔ − − ≤ ≤ − +
êáé åðåéäÞ α 0≥ åßíáé 0 α 1 2≤ ≤ − + .
¸ôóé 21,2y 1 α 2α 1= − ± − − + . ¢ñá ïé ëýóåéò ôéò
åîßóùóçò åßíáé:
( )2
1z α 1 α 2α 1 i= + − + − − + êáé
( )2
2z α 1 α 2α 1 i= + − − − − +
ìå ôçí ðñïûðüèåóç 0 α 1 2≤ ≤ − + .
Áí 1 2z , z C∈ êáé
1 2 1 2z z z z+ = − íá
äåßîåôå üôé ï áñéèìüò 1 2z z⋅ åßíáé öá-
íôáóôéêüò .
Ëýóç
ÅðåéäÞ 1 2 1 2z z z z+ = − Ý÷ïõìå:
2 2
1 2 1 2z z z z+ = − ⇔
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z+ + = − − ⇔
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z+ + = − − ⇔
1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2z z z z z z z z z z z z z z z z+ + + = − − +
1 2 1 2 1 2 1 22z z 2z z z z z z= − ⇔ = −
ðïõ óçìáßíåé üôé 1 2z z I∈ .
Íá äþóåôå ãåùìåôñéêÞ åñìçíåßá óôéò
åðüìåíåò éóüôçôåò êáé áíéóüôçôåò:
i. z 4= ii. 4z 8i 4 4+ + =
iii. 2 z 1 2i 3< − + < iv. z 2 z 3i− = −
Ëýóç
i. ¸óôù z x yi= + êáé åðåéäÞ z 4= Ý÷ïõìå:
2 2 2 2 2x yi 4 x y 4 x y 4− = ⇔ + = ⇔ + = .
¢ñá ôï óçìåßï Ì(z) áíÞêåé óôïí êýêëï
2 2x y 16+ = .
ii. Åßíáé ( )4z 8i 4 4 z 1 2i 1+ + = ⇔ − − − = .
¢ñá ðáñéóôÜíåé êýêëï ìå
êÝíôñï ( )K 1, 2− −
êáé áêôßíá ρ 1= .
ìéãáäéêïß áñéèìïß 239
ÌÉÃÁÄÉÊÏÉ ÁÑÉÈÌÏÉ
iii. ¸÷ïõìå ( )z 1 2i 2− − > (1)
êáé ( ) ( )z 1 2i 3 2− − <
Ç áíßóùóç (1) ðáñéóôÜíåé ôá óçìåßá ôïõ åðéðÝ-
äïõ ðïõ âñßóêïíôáé Ýîù áðü ôïí êýêëï ìå êÝ-
íôñï Ê(1,–2) êáé áêôßíá 2. Ç áíßóùóç (2) ðáñé-
óôÜíåé ôá óçìåßá ôïõ åðéðÝäïõ ðïõ âñßóêïíôáé
óôï åóùôåñéêü ôïõ êýêëïõ
ìå êÝíôñï Ê(1,–2) êáé áêôß-
íá 3. ¢ñá ç äïèåßóá áíßóù-
óç ðáñéóôÜíåé ôá óçìåßá ôïõ
åðéðÝäïõ ðïõ âñßóêïíôáé óôï
åóùôåñéêü ôïõ äáêôõëßïõ ðïõ
ïñßæïõí áõôïß ïé ïìüêåíôñïé
êýêëïé.
iv. Ãíùñßæïõìå üôé ç äïèåßóá åîßóùóç ðáñéóôÜ-
íåé ôç ìåóïêÜèåôï ôïõ ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôá
óçìåßá Á(2,0) êáé Â(0,3).
ÈÝôïõìå z x yi= + ,ïðüôå:
( )z 2 z 3i x 2 yi x y 3 i− = − ⇔ − + = + −
( ) ( )2 2
x 2 yi x y 3 i− + = + − ⇔
( ) ( )2 22 2
x 2 y x y 3 4x 6y 5− + = + − ⇔ − + =
Ã212. Áí 1z 1= êáé
2z 8 6i= − ôüôå ç ìåãá-
ëýôåñç ôéìÞ ôïõ 1 2z z− åßíáé:
Á. 10, Â. 15, Ã. 8, Ä. 14 , Å. 11
Ã213. Áí 1z 1= êáé
2z 3− = ôüôå ç åëÜ÷éóôç
ôéìÞ ôïõ 1 2z z− åßíáé:
Á. 6, Â. 2, Ã. 5, Ä. 8, Å. 4
Ã214. Ï ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ
ìéãáäéêïý áñéèìïý z óôï ìéãáäéêü åðß-
ðåäï ãéá ôïí ïðïßï éó÷ýåé z 1 z 2i− = −
åßíáé
Á. ï Üîïíáò y΄y Â. ç åõèåßá y = x
Ã. ï Üîïíáò x΄x
Ä. ç ìåóïêÜèåôïò ôïõ åõèýãñáììïõ
ôìÞìáôïò ìå Üêñá ôá óçìåßá ( )1,0 êáé
( )0,2
Å. ç ìåóïêÜèåôïò ôïõ åõèýãñáììïõ ôìÞ-
ìáôïò ìå Üêñá ôá óçìåßá (0,–2) êáé (1,0).
Ã215. Óôï ìéãáäéêü åðßðåäï ï êýêëïò ìå êÝíôñï ôï
óçìåßï Ê(1,2) êáé áêôßíá 5 åßíáé ïãåùìåôñé-
êüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ ìéãáäéêïý z ãéá
ôïí ïðïßï éó÷ýåé:
Á. ( )z 1 2i 5− − = Â. ( )z 1 2i 5− + =
Ã. ( )z 2 i 25− + = Ä. ( )z 2 i 4− + =
Å. ( )z 2 i 5+ + =
Ã216. Íá ëõèåß óôï C ç åîßóùóç: 2z 2 z 1 0− − =
Ã217. ¸óôù ìéãáäéêüò z ìå 1
z zz
= + êáé ï
ìéãáäéêüò 2w z= .
Íá äåßîåôå üôé ( )1
Re w2
= −
Ã218. i. ¸óôù 1 2 3z , z , z C∈ ìå
1 2 3z z z 1= = = .
Íá äåßîåôå üôé :
1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z+ + = + +
ii. óôù 1 2 3z , z , z C∈ ìå
1 2 3z z z 0+ + = êáé
2 2 2
1 2 3z z z 0+ + = .
Íá äåßîåôå üôé 1 2 3z z z= =
Ã219. Èåùñïýìå ôïõò ìéãáäéêïýò ( )z λ 1 λ i= + −
ìå λ R∈ êáé λ 1≠ . Íá áðïäåßîåôå üôé ç
åéêüíá ôïõ ìéãáäéêïý z 1
wz 1
+=
− áíÞêåé óå
åõèåßá ôçò ïðïßáò íá âñåßôå ôçí åîßóùóç.
Ã220. Áí ãéá ôï ìéãáäéêü z éó÷ýïõí: z 1 10− =
êáé 1
z 123
+ = êáé ãéá ôï ìéãáäéêü w
éó÷ýåé: 3wz 6 6z w+ = − , íá âñåßôå:
i. ôï ìÝôñï ôïõ w
ii. Áí ãéá ôï ìéãáäéêü k éó÷ýåé:
3 32k k 6ww
2 4
− − =
, íá âñåèåß ï
ãåùìåôñéêüò ôüðïò ôùí åéêüíùí ôïõ.
ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
ΤΟ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΟΥ ΕΜΠΙΣΤΕΥΕΣΤΕ 41 ΧΡΟΝΙΑ
Ο Φροντιστηριακός Οργανισμός ΟΡΟΣΗΜΟ (ΙΑΤΡΙΚΟ – ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΑΚΟ
– ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ – ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ) είναι από τους παλαιότερους και πλέον
πρωτοποριακούς και επιτυχημένους οργανισμούς στον χώρο της δευτεροβάθμιας
εκπαίδευσης. Στόχος του είναι να προβάλλει πάντοτε τη συνεργασία και την
ουσιαστική επικοινωνία ανάμεσα στο μαθητή, το γονιό και τον εκπαιδευτικό.
Συνδυάζοντας 41 συναπτά έτη διδακτικής και συγγραφικής εμπειρίας και προσφοράς
στην Παιδεία με εκσυγχρονισμένες και αποτελεσματικές μεθόδους διδασκαλίας,
αγκαλιάζει τις ανάγκες του σύγχρονου μαθητή και του δίνει το «προβάδισμα» για την
επιτυχία στην πρώτη του επιλογή. Αυτό αποδεικνύουν οι περισσότεροι από 39.000
επιτυγχόντες στα Α.Ε.Ι. της επιλογής τους.
ΤΟ ΝΕΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
Το νέο εξεταστικό σύστημα που θα ισχύσει για το σχολικό έτος 2015-2016 μειώνει
τον αριθμό των μαθημάτων αλλά αυξάνει σημαντικά τη διδακτέα ύλη και εξειδικεύει
τα θέματα των Πανελληνίων, με αποτέλεσμα να πολλαπλασιάζει το βαθμό δυσκολίας
για την επιτυχία σε σχολές που απαιτούν τη συγκέντρωση εξαιρετικά υψηλής
βαθμολογίας (Ιατρική, Πολυτεχνείο, Νομική). Το ΟΡΟΣΗΜΟ με ένα, στρατηγικά,
σχεδιασμένο πρόγραμμα διδασκαλίας και καινοτόμες εκδόσεις, ανταποκρίνεται για
ακόμη μια φορά με συνέπεια στις ανάγκες που επιτάσσει το σημερινό τοπίο στην
Παιδεία. Για τον υποψήφιο που θα παρακολουθήσει τα ειδικά τμήματα των
Φροντιστηρίων ΟΡΟΣΗΜΟ δεν υπάρχουν «εύκολες» και «δύσκολες» σχολές αλλά
μόνο σχολές που τον ενδιαφέρουν να πετύχει.
ΤΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ ΜΑΣ ΠΡΟΣΩΠΟ
Στην ιδιαίτερα δύσκολη συγκυρία που βιώνουμε, τα όνειρα και τα σχέδια της νέας
γενιάς για ένα καλύτερο μέλλον πλήττονται από τη σκληρή πραγματικότητα της
οικονομικής κρίσης. Το ΟΡΟΣΗΜΟ, με αίσθημα ευθύνης απέναντι στην ελληνική
οικογένεια, έχει προβεί σε σημαντικές μειώσεις διδάκτρων από την αρχή της κρίσης.
Ειδικότερα:
επιδοτεί προγράμματα για ευάλωτες κατηγορίες οικογενειών (ανέργους,
χαμηλού οικογενειακού εισοδήματος, πολύτεκνους)
ανακοινώνει ανά τακτά διαστήματα την παροχή υποτροφιών σε αριστούχους
μαθητές,
επιχειρεί τη μεγαλύτερη δυνατή απορρόφηση του Φ.Π.Α. προκειμένου να
ελαχιστοποιηθεί η επιβάρυνση στις οικογένειες των μαθητών μας.
παρέχει δωρεάν εκπαιδευτικό υλικό σε μαθητές ,
διεξάγει χωρίς επιβάρυνση test επαγγελματικού προσανατολισμού σε όσους
μαθητές το επιθυμούν.
Επειδή ο στόχος μας παραμένει πάντα να δώσουμε στους μαθητές μας την πρόσβαση
στην εκπαίδευση που τους αξίζει… “Επειδή η γνώση είναι δύναμη και όχι προνόμιο
των λίγων αλλά δικαίωμα των πολλών…”
Για Περισσότερες πληροφορίες επισκεφθείτε την ιστοσελίδα μας:
http://www.frontistiria.edu.gr/
Κεντρικό Αθήνας
Αθήνα, Εμμ. Μπενάκη & Μαυροκορδάτου 6, τ.κ. 10678,
210 38.08.357, 210 38.24.929
Επίσης Επισκεφθείτε τη σελίδα μας στο Facebook
Και το κανάλι μας στο Youtube