Upload
alen-pepa
View
274
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
Metode Numerik
Metode Numerik 2
Apa yang akan dibahas
1. Pendahuluan dan motivasi
2. Analisis Kesalahan
3. Persamaan Tidak Linier
4. Persamaan Linier Simultan
5. Interpolasi
6. Integrasi Numerik
7. Solusi Persamaan Differensial Biasa
Metode Numerik 3
Daftar Pustaka
• Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta.
• Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi, Yogyakarta.
• Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGraw-Hill International Editions, Singapore.
• Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta.
Metode Numerik 4
Pendahuluan
• Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan.
• Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan
• Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya
Metode Numerik 5
Motivasi
Kenapa diperlukan?
• Pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika
• Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan” analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik
Metode Numerik 6
Penyelesaian persoalan numerik
• Identifikasi masalah
• Memodelkan masalah ini secara matematis
• Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya
• Implementasi metode ini dalam komputer
• Analisis hasil akhir: implementasi, metode, model dan masalah
Metode Numerik 7
Persoalan analisis numerik
• Eksistensi (ada tidaknya solusi)
• Keunikan (uniqueness)
• Keadaan tidak sehat (ill-conditioning)
• instabilitas (instability)
• Kesalahan (error)
Contoh: Persamaan kuadrat
Persamaan linier simultan
Metode Numerik 8
Angka Signifikan
• 7,6728 7,67 3 angka signifikan
• 15,506 15,51 4 angka signifikan
• 7,3600 7,4 2 angka signifikan
• 4,27002 4,3 2 angka signifikan
Metode Numerik 9
Sumber Kesalahan• Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton
asumsi benda adalah partikel
• Kesalahan bawaan
contoh: kekeliruan dlm menyalin data
salah membaca skala
• Ketidaktepatan data
• Kesalahan pemotongan (truncation error)
• Kesalahan pembulatan (round-off error)
Metode Numerik 10
Kesalahan pemotongan (i)
• Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika yang eksak
Contoh: approksimasi dengan deret Taylor
n
n
in
iiii Rn
xxf
xxf
xxfxfxf !
)(!2
)(!1
)()()(2
1
Kesalahan: )1()1(
)!1(
)(
nn
n xn
fR
ii xxx 1
Metode Numerik 11
Kesalahan pemotongan (ii)
• Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.)
)()( 1 ii xfxf
• Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.)
!1)()()( 1
xxfxfxf iii
• Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)
!2)(
!1)()()(
2
1
xxf
xxfxfxf iiii
Metode Numerik 12
Motivasi Dari Persamaan Non Linear
Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat rumusan berikut:
MTR
RR
22
2
R = jari-jari kurva jalan
T = jarak tangensial = 273.935 m
M = ordinat tengah = 73.773 m
Metode Numerik 13
Motivasi Dari Persamaan Non Linear (ii)
Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan produksi dalam satu hari sebagai berikut:
25.01 0025.011.15813000 NNNNC
dengan
C = biaya per hari
N = jumlah komponen yang diproduksi
Metode Numerik 14
Solusi Persamaan Non Linear (i)
1) Metode Akolade (bracketing method)
Contoh: • Metode Biseksi (Bisection Method)
Keuntungan: selalu konvergen
Kerugian: relatif lambat konvergen
• Metode Regula Falsi (False Position Method)
Metode Numerik 15
Solusi Persamaan Non Linear (ii)
2) Metode Terbuka
Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Keuntungan: cepat konvergen
Kerugian: tidak selalu konvergen (bisa divergen)
Metode Numerik 16
Metode Bagi Dua (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval 00 ,ba
0)()( 00 bfaf
do n = 0,1,…2/)( nn bam
if ,0)()( mfaf n then ,1 nn aa mbn 1
else ,1 man nn bb 1
if 11 nn ab exit
end do
or 0)( mf
Metode Numerik 17
Metode Biseksi (ii)
Metode Numerik 18
Regula Falsi (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval 00 ,ba
0)()( 00 bfaf
do n = 0,1,…)]()(/[])()([ nnnnnn afbfbafabfw
if ,0)()( wfaf n then ,1 nn aa wbn 1
else ,1 wan nn bb 1
if 11 nn ab exit
end do
or 0)( wf
Metode Numerik 19
Regula Falsi (i)
Metode Numerik 20
Regula Falsi Termodifikasi (i)
Inisialisasi: 0000 )()( awbfGafF
do n = 0,1,…]/[][1 FGFbGaw nnn
if ,0)()( 1 nn wfaf then,1 nn aa ,11 nn wb
else ,11 nn wa ,1 nn bb
end do
)( 1 nwfG
if ,0)()( 1 nn wfwf then 2/FF
)( 1 nwfF
if ,0)()( 1 nn wfwf 2/FF thenif 11 nn ab exit
Metode Numerik 21
Regula Falsi Termodifikasi (ii)
Metode Numerik 22
Iterasi Titik Tetap
Metode Numerik 23
Metode Newton-Raphson
Metode Numerik 24
Metode Secant
Metode Numerik 25
Akar Ganda (i)2)1( xy 3)1( xy
Metode Numerik 26
Akar Ganda (ii)
4)1( xy
Metode Numerik 27
Akar Ganda (iii)
)(xf•
• Metode akolade tak bisa digunakan, krn fungsi tak berubah tanda
dan )(xf menuju nol disekitar akar
Modifikasi metode Newton-Raphson:
)(
)()(
xf
xfxu
Bentuk alternatif:
Hasil akhir:)()()]([
)()(21
iii
iiii xfxfxf
xfxfxx
Metode Numerik 28
Motivasi Persamaan Linier
• Persamaan linier simultan sering muncul dalam sains dan teknik (sekitar 75 %):– Analisis struktur– Analisis jaringan – Interpolasi– Riset Operasi– Teknik Transportasi– Manajemen Konstruksi– Penyelesaian numeris persamaan diferensial biasa– Penyelesaian numeris persamaan diferensial parsial
Metode Numerik 29
Persamaan Linier Simultan
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
dalam notasi matriks
b
n
x
n
A
nnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
Metode Numerik 30
Pandangan Secara Geometri
• Secara geometri, solusi persamaan linier simultan merupakan potongan dari hyperplane
• 2 persamaan dan 2 variabel tidak diketahui– Hyperplane: garis– Potongan hyperplane: titik potong
• 3 persamaan dan 3 variabel tidak diketahui– Hyperplane: bidang– Potongan hyperplane: garis potong
Metode Numerik 31
Matriks Bujursangkar (i)
a) Matriks Simetris jiij aa
b) Matriks Diagonal ,0iia jiaij untuk 0
c) Matriks Identitas ,1iia jiaij untuk 0
d) Matriks segitiga atas
ji
jiaij untuk 0
untuk 0
e) Matriks segitiga bawah
ji
jiaij untuk 0
untuk 0
Metode Numerik 32
Matriks Bujursangkar (ii)
f) Matriks pita
Lebar pita 3 tridiagonal matriks
selainnya0
1untuk 0 jiaij
Lebar pita 5 tridiagonal matriks
selainnya0
2untuk 0 jiaij
Metode Numerik 33
Matriks Segitiga
nnnn
nn
nn
cxu
cxuxu
cxuxuxu
22222
11212111
Ide dasar: Transformasi persamaan linier asal menjadi persamaan linier berbentuk segitiga sehingga mudah diselesaikan
Dalam notasi matriks
cU x
Metode Numerik 34
Syarat Regularitas
• Sebuah matriks bujursangkar A yang mempunyai dimensi n x n dikatakan tidak singular jika salah satu syarat di bawah ini terpenuhi: – A dapat diinversikan– Semua nilai eigen dari matriks A tidak sama dengan
nol
• det (A) 0
Metode Numerik 35
Eliminasi Gauß
Metode Numerik 36
Substitusi Balik
Metode Numerik 37
Contoh Persamaan Linier
Metode Numerik 38
Interpolasi
• Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya
• Metode Interpolasi yg paling populer: Interpolasi Polinom
• Polinom berbentuk:
011
1)( axaxaxaxP nn
nnn
Metode Numerik 39
Metode Lagrange (i)
Jika (x0,y0), (x1,y1),…, (xn,yn) merupakan sepasang nilai x dan y, dengan y = f(x); maka jika f(x) diaproksimasi dengan polinomial derajat ke-n akan diperoleh:
))...()()((
...))...()((
))...()(()(
1210
201
210
nn
n
nn
xxxxxxxxa
xxxxxxa
xxxxxxaxP
Metode Numerik 40
Metode Lagrange (ii)
Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi
nnn
n
n
yxP
yxP
yxP
)(
...................
)(
)(
11
00
Dengan mensubstitusi x = xi dan P(xi) = yi maka
))...()...()...()(( 01110 niiiiii
ii xxxxxxxxxx
ya
Metode Numerik 41
Metode Lagrange (iii)
Dengan memakai fungsi Lagrange
))...()...()...()((
))...()...()...()((
)(
)(
01110
1110
0 niiiiii
niin
ij
j ji
ji xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xx
xxL
maka
nn
n
iiin yLyLyLyLxP
11000
)(
Metode Numerik 42
Motivasi untuk interpolasi (i)
Tingkat suku bunga F/P (n = 20 tahun)
15 16,366
20 38,337
25 86,736
30 190,050
Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan nilai sekarang.
Metode Numerik 43
Motivasi Interpolasi (ii)
Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi linear, kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian, kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut.
Metode Numerik 44
Motivasi untuk Interpolasi (iii)
T(ºC) (10-3 Ns/m2)
0 1,792
10 1,308
30 0,801
50 0,549
70 0,406
90 0,317
100 0,284
Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini:
Metode Numerik 45
Motivasi untuk Interpolasi (iv)
Perkirakan harga viskositas air pada temperatur 25ºC. Gunakan interpolasi Lagrange. Perkirakan juga kisaran kesalahan dari hasil yang didapat.
Metode Numerik 46
Pengintegralan Numerik
Integral: b
a
xxfI d)(
Jika fungsi primitif )(xF yaitux
xFxf
d
)(d)(
tidak diketahui Pengintegralan Numerik
tafsiran geometrik: luas daerahJika 0)( xf
diketahui
)()(d)( aFbFxxfIb
a
y
0a b x
f(x)
I
Metode Numerik 47
Formula Integrasi Newton-Cotes
Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan
)(d)(d)()( fIxxfxxffI n
b
a
n
b
a
Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n,maka metode ini disebut metode integrasi Newton-Cotes
Dibagi atas i) bentuk tertutup, batas integrasi a dan b dimasukkan ke
dalam perhitunganii) Bentuk terbuka, a dan b tidak termasuk
Metode Numerik 48
Kaidah Segiempat
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi konstan sepotong-potong)
)]()()([)()( 1100 nxfxfxfhfIfI
)]()()([)()( 210 nxfxfxfhfIfI
Metode Numerik 49
Kaidah Trapesium (i)
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier sepotong-potong
y=f(x)
a) Satu pias2
)()()()()( 10
011
xfxfxxfIfI
Kesalahan:3
01 )()(12
1xxfEt
Metode Numerik 50
Kaidah Trapesium (ii)
b
y=f(x)
…
b) Banyak pias
1
10
01 )(2)()(
2
)()()(
n
iin
nm xfxfxf
n
xxfIfI
Kesalahan:
n
int fxxf
nE
1
302 )( dimana,)(
12
1
Metode Numerik 51
Kaidah Simpson 1/3 (i)
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik sepotong-potong
a) Satu pias6
)()(4)()()()( 20
02
xfxfxfxxfIfI i
n
Kesalahan:
)(2880
)( )4(5
0 fxx
E nt
Metode Numerik 52
Kaidah Simpson 1/3 (ii)
A1 A3 A5 An-1
b) Banyak Pias:
1
5,3,1
2
6,4,20
02 )(2)(4)()(
3
)()()(
n
i
n
iiin
nm xfxfxfxf
n
xxpIfI
Kesalahan:
)4(4
50
180
)(f
n
xxE n
t