Libro de métodos matriciales con matlab para ingenieros [ph.d. juan carlos herrera]

Métodos Matriciales 1 1 para ingenieros con MATLAB

Facultad de Ingenieria

Pontificia Universidad

JAVERIANA ----Cali----

Rect or: Jorge Humberto Peláez P iedrahita, 2.J. Vicerrect or Acooémico: A ntonio de Roux Rengifo Vicerrect or del Medio Univers ita r io: Luis Ferna ndo Granados Ospina, 2.J.

F acultad de l ngenier fo, Decano Acádemico: Mauricio Ja.ramillo Ayerbe Decano del Medio U niversitario: A lbe1t o Benavides Herrán Directo1 Depto de Ciencias e Ingeniería de la Producción: Alvn.ro F igueroa Cabrera

Título Métodos Matriciales con MATLAB Autor: Juan Carlos Herrera 2ánchez, Ph.D.

12 BN 978-958-8347-52-3

Coordinador Editorial: Ignacio M urgueitio Restrepo e-mail: mignacio@javerianacali.edu. co

Correspondencia, suscr ipciones y sol icitudes de canje: C::.lle 18 # 118-250 2 antiago de Cali , \ Talle del Ca u ca Pontificia Universidad J averiana Cali F acultoo de Ciencias de la 2alud Teléfono 3218200 ex-t. 493 - 533 \VW\V .j ::.verianacali. edu. co

F ormsto: 17 x 2& cms

Concept o Gtáfico: E dith V ::.lencia F-.

Edición: agosto de 2011

Métodos Matriciales 1 1 para ingenieros con MATLAB

Herrern. Sá.nchez, Ph D , Jun.n Cn.rlos :tvlétodos :tvl n.tricin.les pn.rn. ingenieros con :tvIA T LAB / J un.n Casios Herrern. Sá.nchez, P h.D . -- Sn.ntia.go de Cn.li: Pontificin. Universidad .Jn,verin.nn., Sello Editorin.l .Jn.ver in.no, 2011. p. 154 : il.; 17 x 25 cm.

Incluye referencin.s bibliogr6ficn.s.

ISBN 978-958-8347-52-3

1. lvi n.t rices (lvin.temáticn.s) 2. lvIA TLAB 3. Determinn.ntes 4 . Ecu n.ciones linen.les l. Pontificin. Universidad Jn.verin.nn. (Cn.li). F n.culta.cl de l ngenierín..

SCDD 512.9434 ed.21 BPUJC n.rm/ 11

Prefacio

El presente texto está orie11tado hacia los cursos de pregrado de i\.nálisis de Estructuras, Análisis Matricial y Dinámico de Estructuras y .A..11álisis Numérico, ofrecidos para Ingeniería Ci\1il. También será de referencia en cursos de postgrado tales como Método de Eleme11tos Finitos. No obsta11te, será útil como texto de referencia para estudia11tes de otras áreas de la i11geniería ofrecidas por la Facultad. En el Capítulo 1 se presentan los conceptos básicos del álgebra de matrices así como al manejo de \1ectores y matrices con MATLAB. En éste capítulo JI a lo largo del texto se presentan nu1nerosos ejemplos usando el soft\:vare citado, para que sirvan de complemento a los aspectos teóricos presentados. En el Capítulo 2 se tratan las operaciones fundamenta les con matrices . El Capítulo 3 está dedicado al tema de inversión de matrices y al cálculo de determinantes. En el Capítulo 4 se prese11tan los métodos tradicionales para la solució11 de sistemas de ecuaciones lineales. Finalmente, en el Anexo, se presenta una introducción a al tópico sobre integración y diferenciación de matrices usando NIATLAB. El texto es de carácter introductorio, y por tanto será de utilidad tanto a estudiantes de pregrado de ingeniería, como a profesionales de inge11iería.

El Autor

Tabla de co11te11ido

Capítulo 1. T ipos de matrices ....... . _ ........ __ ..... . _ ....... . __ .. 9

1.1 Definiciones.... .. ....... ......... .. ....... ......... .. ....... . ......... 9 l . 2 Manipulació11 de ·vectores y inatrices en MATL.A.B· ........ . 10 1.3 Clases de matrices ............... ........ . ......... ........ . .......... 20

1 .4 Referencias bibliográficas ..... .. ·--- ······· ·-- ··· ····- ······· ·- ·-·· 41 1. 5 Problemas ... . _ ...... . ......... .. ...... _ . .. ...... .. ...... _ . . . . . . . . . . . . . 41

Capítulo 2. Operaciones con matrices ....... _ ....... . _ ........ _ . .. 43

2.1 Producto de un número real por una matriz .. .. .. . .... . .. _ . . 43

2.2 Suma de matrices .. ............... -······· -- ······· --······· -- ··· .. 44 2.3 J\!Iultiplicación de matrices ... ·-··· ···· · -·· · -··· --··· ···· · -·· · -·-·· 52 2. 4 P artición de matrices... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5 Referencias bibliográficas ......... .. ........ . ....... _ ......... . .... 63

2.6 Problemas .. ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... .. 63

Capítulo 3. Deter1ninantes e inversión de inatrices ... . _ .. ..... 65

3.1 Determinante de una matriz ..... _ . . ..... __ ... _ .... _....... ... 65

3.2 Expansión de Laplace ........ .. ................ .. ................ . 67 3. 3 P eterminante por Condensaciónn P ivotal. ... . __ _ . . .. _. ___ ... _ 77

3.4 Inversión usando la m atriz adjunta .... .. ............. . ... . ..... 79 3.5 J\!Iétodo de Gauss-Jordan ....... . .. . .............. . .. .. ....... .. .... 82 3. 6 Inversa de u11a inatriz por medio de partición ............... 91 3. 7 Referencias bibliográficas ................ ... ..... __ . . ........ . _... 98

3. 8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Capítulo 4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales ... ... 101

4.1 Forma matricial de las ecuaciones.. . . . ... ... . ... ___ . . ... 101

4. 2 Solución por inversión de matrices . .. ...... __ . ....... _ ........ .. 102

4 .3 Regla de Crarner .... ... ....... . ....... ... ...... . . ...... .. .. ........ .. 106 4 .4 l\1étodo de eliminación de Gauss .... . ...... .. . .... ..... ....... .. 109

4.5 Método de Gauss-.Jordan .. ............... ... ................ ....... 127

4.6 J\!Iétodo de Cholesl<J'. · -····· ·-- ······ ·--- ····· ·-- ······ ·--- ········ 137 4. 7 Factorización L U .. ................ .. ................ .. ....... _._ ..... . 142

4.8 Referencias bibliográficas .. .. . ....... . ___ ..... . ___ ..... ... . .. ..... 146

4 9 Problemas .. ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... .. 146

Anexo. Difere11ciación e integració11 de matrices con

Mi\.TLi\.B ..... ___ ... ··· -·· --·- ······ ·········· -·-·· --·-·-· ···· -······ -·- ·-·-·-·-· ····· 149

Capítulo 1

Tipos de matrices

1.1 Definiciones

Una matriz se defi11e como un conjunto de elementos ordenados en u11 número de filas m )' un número de columnas n. En este caso la matriz se dice que es de orden ( m x n). La matriz [A]m:: n

se define por: z

ª1 1 ª12 •••

ª21 ª 22 • • • a ?

• • a a in • lj

a mn a m2 a. m; a mn

La i-ésima fila de [A] tiene n elementos:

a.,, · · · a ] , _ in lxn

La j-ésima columna de [.A..] tiene m eleme11tos:

a,, . - )

• • •

a . m;

JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ

En la matriz anterior cada a ij indica el elemento ubicado en la fila " i/' )1 la columna "j" . Por ejemplo: el elemento a

3:2 es el elemento

de la fila 3 y columna 2.

U na matriz de orden ( 1 x n) , tiene 1 sola fila , es un vector fi la. Se puede escribir:

U na matriz de orden ( m x 1), tiene 1 sola columna y m filas , se denomina vector colum11a.

1.2 1\ifanipulación de vectores y matrices en J\!IATLAB

Para crear u11 \1ector fila en Nii\. TLAB , se escribe el conjunto de elementos entre corchetes . Se separan por espacios o u11a coma( ,) para delimitar los números.

>> va=[-1 O 1]

v a - 1 o

Si se usan comas:

>> va=[-1, O, 1 ] v a

Vector columna: Para crear un vector columna, se escribe el conjunto de números entre corchetes y se separan por punto y coma (;):

>> vc=[1; 2 ;4;1 6 ]

TIPOS DE l\1ATRICES

v e 1 2 4

Transpuesta de un \iector: Un \iector fila se puede convertir a un \iector columna calculando su transpuesto. Se usa el comando trans pose (V) o la comilla(') .

Ejemplo:

Obtener un vector columna del vector \ia=[-1 O 1].

>> ve=v a' v e

- 1 o 1

>> ve=transpose (va) v e

- 1 o 1

Calcule1nos un vector fila , usando el \iector columna [\;c] :

>> ve=[1; 2 ;4;1 6 ]

>> v f=v e'

v f 1 2 4 16

Para definir un vector igualmente espaciado se da el comando:

x=[ ví : í: vf]

Donde : vi: \ialor inicial vf: \ialor final i: incremento

Para generar el \iector a=[O 1 2 ... 9] se escribe e11 MATLi\.B:

>> a=[O:l: 9] a =

o 1 2 3 4 5 6

Creemos el \iector x=[O , 0.25, O 5, ... ,1.75, 2]T, con increme11tos de 0.25,

>> x = [ 0 : 0 . 25 :2 ] '

o 0 . 250 0 0 . 5000 0 . 750 0 1 . 0000 1 .25 00 1 . 5000 1 . 750 0 2 . 0000

Otra forma es usar el comando lins pace (Xl , X2 , N). Este comando genera N puntos entre los valores X

1 a11d X

Para crear el \iector x=[O , 0.25, O 5, ... ,175, 2]T se escribe en Mi\. TL.i\.B:

>> B=l inspace (0 ,2, 9) '

o 0 .25 00 0 . 5000 0 . 750 0 1 . 0000 1 . 2500 1 . 5000 1 . 7500 2 . 0000

TIPOS DE l\1ATRICES

Para definir u11a inatriz se escriben las filas separadas por ";". Pa.ra definir la m atriz [B] de 2 filas y 3 columnas, se escribe:

>> B= [ l 2 3 ;4 5 6 ]

La otra forma es introducir la primera fila y luego d ar en ter (+--).

>> B= [ l 2 3+-4 5 6 ]

Para definir una matriz t ambién se puede separar cada fila por (( . 11

~ . . .

>>ml= [2

2 o o 6 o o

o o 6 o o

54 -13

5 4 - 13

12 o o

o 5 4 13 o

56 -22

o 54 13 o

56 -22

o - 13 -3

o -2 2

Para indicar el elemento b 12

escribimos

>> b l2=B( l ,2)

b 12 = 2

De igual forma para indicar el eleme11to b28

escribimos:

>> b23=B(2,3)

b 23 = 6

o; . . --13; . . . -3; .. .

o; . . . -22; . ..

El orden de (B] es (2x 3). En l\IIATLAB para obtener el orden de una matriz es el comando size.

>> size(B)

a ns -

TIPOS DE l\1ATRICES

El comando si z e indica el numero de filas y colu1nnas de la matriz. Otra forma usar este comando es:

>> [m,n]=size(B )

La siguiente instrucción retor11a el ·vector {Vb} con el número de filas y columnas de la matriz (B].

>> Vb=size (B)

Ejemplo:

Para definir la m atriz fila [.!\.] de 1 fila y 3 colum11as, se escribe:

>> A= [ l 2 3 ]

>> [m,n]=size(A )

Para obtener el número de filas de un \1ector columna, o el número de columnas de u11 \1ector fila e11 MATLi\.B, se usa el comando length(V)

>> length (A)

Ejemplo:

Para definir un \1ector columna [A] de 3 filas , se escribe los elementos separados por ";" :

>> A= [2;4;6]

>> length (A)

a ns -

>> [m,n]=size(A )

TIPOS DE l\1ATRICES

Para obtener la columna j-ésima de una matriz [A] se da la instrucción A ( : , j ) .

Ejemplo:

Así para definir un vector , con la primera columna de la matriz [AJ, escribimos:

> > NV=A ( : , 1)

>> NV=A ( :, 3)

Para definir un \iector , con los elementos de la k-ésima fila de la matriz [.I\] , se da la instrucción A ( k , : ) .

Ejemplo:

Para defi11ir un \iector fila; con la pri1nera fila de la inatriz [AJ, se da la i11strucció11:

>> vf=A(l,:)

De la misma forma para obtener un vector de la fila k-ésima de una matriz [.A..] y las columnas de la m a p , se da la instrucción A(k,m :p) .

Ejemplo:

1 4 6 5

4 5 5 6

3 6 4 7

Para formar el vector de la fila 3 , columnas de la 2 a la 4 , se da la instrucción:

>> vf=A(3,2 :4 )

TIPOS DE l\1ATRICES

Para formar el vector de la columna 2, filas de la 2 a la 4, se da la instrucción:

>> vc=A(2 : 4,2)

Ejemplo: ge11erar la matriz [Bl] con los ele1nentos de la filas 2 a 5 y columnas 3 a 5 de [B].

>> B=5*eye(5)

5 o o o o

o 5 o o o

>> Bl =B(2 : 5 ,3: 5)

o 5 o o

o o 5 o

o o 5 o o

o o o 5

o o o 5 o

o o o o 5

Para borrar la segunda columna de B se escribe:

B( :, 2) = []

5 o o o o

o o 5 o o

o o o 5 o

1. 3 Clases de matrices

J\IIatriz nula

o o o o 5

U na rnatriz de orden ( m x n) , con todos sus elementos iguales a cero se define como matriz nula. Así por ejemplo, la matriz [ü]

se define

o o o [O)= O O O

Ejemplo:

Para definir una matriz nula en !vIATLAB se usa el comando zeros (m ,n ) donde mes el i1ú1nero de filas y n el nú1nero de columnas.

>> B=zeros(3 , 3)

TIPOS DE l\1ATRICES

La matriz [B] creada es de orden (3 x 3)

Para crear u11a matriz nula de orden ( 4 x 3) damos la instrucción:

>> C=zeros(4 , 3)

o o o o

Para generar un \iector fila nulo se escribe:

>> v =zeros(l ,4 )

o o o o

Para generar una \1ector columna nulo se escribe:

>> v o=zero s(4 , 1 )

o o o o

Matriz t ranspuesta

Si la matriz (A] se define por:

Se define la matriz transpuesta como:

ªi l ª 21 ...

[A]T = ª 12 ª 22 ...

• • • • • . .

ª in ª 2n

Ejemplo:

Si se define (A] por:

[A]= u

Entonces la transpuesta de [i\.] es:

TIPOS DE l\1ATRICES

Propiedades:

([A)T)T = [.t\] ([A] ± [B]) T = [A]T ± [B]T ([A][B]) T = [B]T[A]T ([A][B][C]) T = [C)T[B]T[,L\]T

Ejemplo:

Para obtener la transpuesta de una matriz en NI.t\ TL.t\B se usa el comando tranpose (A) o simplemente A' .

Definamos la matriz [i\ ] como

>> A= [ 2 4 - 6 8 ;4 4 8 0;-5 10 3 2; 8 10 12 - 6 ]

- 6 8 3

>> AT=transpose(A)

4 4 8 o

8 10 12 - 6

T ambién se puede dar la instrucción:

>> AT=A'

4 4 8 o

- 5 10

8 1 0 12 - 6

Para comprobar ((A]T)T = [A] , calculamos la tra11spuest a de [AT] :

>> AT '

- 6 8 3

J\IIat riz cuadrada

Es una matriz que tie11e el número de colum11as igual al de filas , m = n. La matriz se dice que es cuadrada de orden n x n.

ª 11 ª12 Clin

ª 21 ª 22 . . .

ª 2n (A)= • • ª u a in .

a nl a n2 a nj a nn

La diagonal principal de u11a matriz cuadrada son los eleme11tos a

22, .. . ann La diago11al secundaria es la formada por los

elementos a1n, a2_n-t, . . . , ª nr

Ejemplo:

[A]= 6 4 -6 o -6 8

TIPOS DE l\1ATRICES

La diagonal principal está formada por 2,4 ,8 y la diagonal secundaria por 1 ,4,0.

Traza de una inatriz cuadrada es la sumatoria de los eleme11tos de la diagonal principal.

Tr(A) =L a,.¡ =a11 + a22 + .. . + ann i- 1

Ejemplo:

2 6 o [B]= 6 4 -6

o -6 8

El ·valor de Tr(B)= 2+4+8= 14

Propiedades:

1) Tr ([A] ± [B]) = Tr([i\.]) ± Tr([B]) 2) Tr (A.[A])= A, Tr([A]) , A.: constante 3) Tr (A.([A]+[B]))= A. Tr ([i\.])+'A Tr ([B]) 4) Tr ([A][B])= Tr ([B] [.A])

La traza se calcula en l\lf i\.TLAB , con el comando trac e (A) •

Ejemplo:

>> B= [2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8 )

>> tB=trace (B )

Si k=l O, entonces tr(k*B)=10*14=140 EnMATLAB:

>> k=lü ; >> tr a ce (k* B)

a ns =

J\!Iatriz diagonal

Si [A] es una m atriz cuadrada, en donde ªu= O para i -::f. j , entonces se dice que [ . .I\.] es una matriz diago11al. La diagonal puede conte11er elementos nulos o no.

ª 11 o o o

[A]= o ª2'.?. o o o o • o •

o o o ann

TIPOS DE l\1ATRICES

Matriz identidad

Es u11a matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. También se denomina matriz unidad. Se representa generalmente por [I] .

1 o o 1

o o •

o o o 1

Se puede escribir mediante la ecuación:

l ,i = j

ª u= {O,i -:t= j

J\IIatriz escalar

Si [.A..] es una matriz diagonal, en donde a¡¡ = A, para i = 1, ... , n ,

entonces se dice que [A] es una rnatriz escalar. Por ejemplo:

Á o o [A]= O O

Ejemplos en MA TLAB:

Crear la matriz [A]= 4 5 6

En MATLAB se escribe:

>> A= [ l 2 3 ;4 5 6 ; 6 5 4]

>> [m,n]=size (A)

La diagonal principal , en forma de \1ector , se obtiene con el comando diag.

>> d=d iag (A)

>> n=l ength( d )

El \1ector diagonal es de orden n=3

TIPOS DE l\1ATRICES

Ejemplo:

Para obtener la traza en IVIi\.TLi\.B se usa el comando t race (A)

>> Tra=trac e(A)

Ejemplo:

Para generar una matriz identidad de orden n=5, se usa el comando de Mi\.TLAB eye (N )

>> A=eye(5 )

1 o o o o

o 1 o o o

Calculemos la traza:

>> trace(A )

a ns -

o o 1 o o

o o o 1 o

o o o o 1

Ejemplo:

Para ge11erar u11a matriz identidad de orden n=4, usamos los comandos ones )1 diag. Pri1nero se crea u11 vector inediante la instrucción:

>> V=ones (4 ,1 )

1 1 1 1

Luego generamos la matriz diagonal J\!II con el \iector V

>> MI =diag(V)

1 o o o

o 1 o o

o o 1 o

o o o 1

De manera simplificada, también se puede escribir:

>> MI =diag(ones(4 ,1 ))

1 o o o

o 1 o o

o o 1 o

o o o 1

TIPOS DE l\1ATRICES

Ejemplo:

Para obtener la inatriz [E]=c[I] , co11 el ' ;alor c=lü, se dan las instrucciones: >> c=lO ;

>> E=c*eye(5)

10 o o o o

o 10 o o o

10 o o

o o o o

Otra forma es generar un ' ;ector, mediante la i11strucción siguiente:

>> V=10*ones(5 , 1)

10 10 10 10 10

Luego se genera la matriz con el ' ;ector anterior:

>> C=d iag(V)

10 o o o o

o 10 o o o

10 o o

o o o o

Ejemplo:

Para generar una matriz diagonal CU) 'OS eleme11tos \1an de -3 a 3 se da la instrucción en Mi\.TLAB:

>>m=3;

>> diag( - m:m)

-3 o o o o o o

o -2 o o o o o

-1 o o o o

o o o o o o o

o o o o 1 o o

o o o o o 2 o

Ejemplo: verificar en Nli\.TLAB [I]=[I]T; [E]=[E]T

>> I=t ranspose (MI)

1 o o o

o 1 o o

o o 1 o

>> ET=trans pose(E)

10 o o o o

o 1 0 o o o

10 o o

o o o 1

o o o o

o o o o o o 3

TIPOS DE l\1ATRICES

Mat riz simét rica

Es una matriz cuadrada [A] en que se cumple a .. = a .. para todo l) J l

1 < i , j < n . Toda matriz si1nétrica satisface [A]= [i\]T

Ejemplo:

k -2k o [K] = -2k 4k -6k

o -6k 8k

Su transpuesta es:

k -2k o [K]T = -2k 4k -6k

o -6k 8k

J\IIatriz antisimétrica

Es una matriz cuadrada [A] e11 que se cumple a ii = -aj¡· Toda matriz antisimétrica satisface [,i\]=-[ . .l\.]T. Los elementos de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo:

o 2k k [Ka]= -2k o 6k

-k -6k o

Su transpuesta es:

o -2k -k [Ka]T = 2k 0 -6k

k 6k o

o 2k k

- [Ka ]r = -2k Ü 6k

-k -6k o

Se ' ;erifica que [i\.]=-[ . .l\.]T

1\!Iatriz opuesta

La inatriz opuesta de una matriz [B] es la que resulta de sustituir cada elemento por su inverso aditivo. La opuest a de [B] es - [B]. Cada elemento de la matriz opuesta es -bij

Ejemplo:

[B] = 9 -7 - 7 8

-2 - 6

- [B]= -9 7 7 -8

1\!Iatrices ortogonales

Dos matrices [A] )1 [B] son ortogo11ales entre si cuando se verifica:

( A]r ( B] = ( B]r (A]= ( 1]

Una matriz cuadrada [A],,,,n se dice que es ortogonal cuando multiplicada por su transpuesta da como resultado la matriz identidad :

TIPOS DE l\1ATRICES

Ejemplo:

Verificar si las matrices

1 1 2 -1

(A)= -1 -2 ; [B)= 1 1

1 2 o 2

son ortogonales.

Calculando primero el producto [i\]T[B]

2 -1 [A )T [ B) = l -1 1 1 1

1 -2 2 o 2

T 2(1) + 1(-1) + Ü

(A) [B)= -1(1)+1(-1) +2(1) 2(1) + 1(-2) +o

-1(1) + 1(-2) + 2(2)

Ahora se calcula el producto [B]T[A]:

1 o o 1

2(1) + 1(-1) +o -1(1) + 1(-1) + 2(1)

2(1) + 1(-2) +o -1(1) + 1(-2) + 2(2)

1 o o 1

Ejemplo:

\ ! erificar que la siguie11te inatriz [O] es ortogonal.

[C]= 1

La matriz transpuesta es:

por tanto:

J3 2 2

J\IIatriz triangular

Matriz Triangular Superior: es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos debajo de la diagonal pri11cipal nulos.

ª1 1 ª1 2 ...

o ª 22 •••

ª 2n [A]= • • • •

ª u ain . .

o o o ann

TIPOS DE l\1ATRICES

Ejemplo:

k - 2k k

[u ]= o 4k - 6k

o o 8k

ivfatriz Triangular Inferior: es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diago11al principal iguales a cero.

ª1 1 o • • •

ª 21 ª 22 ...

[A]= ª iJ

an.l ª n.2 anj

Ejemplo:

k o o [L] = 2k 4k O

k 6k 8k

Matriz in versa

Una matriz [A] cuadrada de orden n es una matriz invertible, si existe una matriz [B] de orden n , tal que:

[i\.] [B] = [B] [.A.]=[I]

[B] se denomina matriz in·versa de [i\.]. Se usa la notación [B]= [AJ-1

Para una matriz diagonal [D],

d¡ ¡ o o o

(D] = o d2'2 o o o o • o •

• d ii * O V i = 1, 2, ... n ' o o o dnn

su in\iersa [D]-1 se define por:

Yall o ... o

o Ya22 ... o [D]-1 = •

• • • . .. . ..

o o ... Yann

Propiedades:

1) ([A]-1)-1 = [A]

2) ( c[ .. i\])-1 = [A]-1/ e , ci= O

3) ([A] [B])-1 = [B]-1[.A.]-1

4) ([,i\]T) -1 = ([_,i\]-1 )T

Pa.ra el producto de varias matrices:

Ejemplo:

1 2 [A]=

2 (A]-1 = -1 1 -1

Se ' ;erifica que:

TIPOS DE l\1ATRICES

Para obtener la in,1ersa de una matriz e11 MATLAB se usa el comando inv (A)

Ejemplo:

Dada la matriz [AJ :

a) Calcular [AJ-1

>> A= [ 2 4 6 ;4 4 0;6 2 8 ]

>> AI=inv(A)

- 0 . 2000 0 . 2000 0 . 1 000

0 . 125 0 0 .1250

- 0 . 1250

0 . 1500 - 0 .1500

0 . 0500

Para obtener la in\iersa de u11a matriz en IYIATLi\B otra opción es dar el coma11do se usa el comando A/\. ( -1 )

>> AA ( -1 )

- 0 . 2000 0 . 2000 0 . 1 000

0 .1250 0 . 1250

- 0 . 125 0

0 .1500 - 0 . 1500

0 . 0500

b) Verificar co11 Mi\TL.AB ([.A]-1)-1 = [A]

>> (inv(A) )/\.( - 1)

2 . 0000 4 . 0000 6 . 0000

4 . 0000 4 . 0000 2 . 0000

6 . 0000 o

8 . 0000

b) Verificar co11 M.ATL.AB que ([.A]T)-1 = ([i\]-l)T

>> Al =inv(tr anspose(A))

- 0 . 2000 0 . 1250 0 . 1500

0 . 2000 0 . 1250

- 0 . 1500

>> A2=t ranspose( inv(A))

0 .1 000 - 0 . 1250

0 . 0500

TIPOS DE l\1ATRICES

- 0 . 200 0 0 .125 0 0 . 150 0

0 . 200 0 0 .125 0

- 0 . 150 0

0 . 100 0 - 0 .125 0

0 . 050 0

1.4 Referencias bibliográficas

Etter, Delores 11. Solución de problemas de ingeniería con J1JATLAB. México, D.F.: 11cGraw-Hill Interamericana, 1998.

Hsieh, Y. Teoría elemental de estructuras. Prentice Hall Hispa11oamericana, iVIéxico, D.F. , 1970.

l(iusalaas, .J. Numcrical J1Jcthods in Enginccring with J1JATLAB. Cambridge U ni,;ersit); Press, 2009.

l(olman, B. Algcbra lineal con aplicaciones y ll!fatlab. Prentice Hall Hispanoamericana, México, D.F , 1999.

Laub, i\.. ll!fatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. SIAM: Society for Industrial and i\pplied Mathematics. Philadelphia, 2004.

Mathews J , Fink, l(. lVIétodos numéricos con JVIATLAB, Madrid, Pre11tice Hall, 2000.

Uribe, .J. J1Jicrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe Ediciones, Colo1nbia, 1995.

Yang, , , . Y et .. .l\.l. Applicd Numerical J1Jethods Using J1JATLAB. ''Tile)r-Interscience, 2005.

1.5 Problemas

1) Calcular la trazri. de [B]

1 6 o [B ]= 6 -3 -6

o -6 8

2) Usando la matriz anterior calcule tr(k[B]) , con k=3.

3) Dada la matriz [I<:] , determi11e (I<:]T

k -2k 6k

[ K ] = -k 4k -6k

4k -6k 8k

4) Verificar si la siguiente matriz (O] es ortogonal.

J3 2 2

5) Calcular la in\;ersa de la matriz

k o o [D] = O 4k O

o o 8k

Capítulo 2

Operaciones co11 inatrices

2.1 Producto de un número real por una n1atriz

Dada una matriz [.i\.] para e\raluar el producto ,B(A], donde ,8 es un escalar, se multiplica cada elemento a ij por /3 .

ª11 ª12 ...

ª 21 ª 22 ... a2n

[A] = • •

ª u ain .

amn am~ amj amn

Entonces,

f3a1 1 f3a1 2 ••• f3a1n

f3a21 f3a22 ••• f3a~n /3 [A] = • •

jJaiJ f3ain • • . .

/Jamn f3am2 /JamJ /Jamn

P ropiedades:

1)( ,8+ A- )(A]= ,B[A] + A-[A]

2) A-([.i\.] + [B])= A-[.i\.]+ A-[B]

3) A-(/3 [A])= (A/1) [.i\.]

,8, A: constantes

Ejemplo:

Dadas [A] y [B] , ,8=2, A-=1.5, calcular,8[.i\.] + A-(B]

[A] = 3 4

[B)= 2 7 o 4

2 10 3 4.5

¡J[A]+ A.[B] = 6 8 + 3 10.5

6 14.5

¡J[A] +A.[B]= 9 18.5

2.2 Suma de n1atrices

La adición de matrices o suma de matrices entre la matriz [.A..]nu:n y la matriz [B]""' se puede realizar sólo cuando ambas matrices tiene11 la misma dimensión, es decir m =r y n=s.

El resultado de la adición de dos matrices es otra matriz [S] de m'1'n

la misma dimensión, cuyo elemento s .. = (a .. + b .. ) l) l) IJ

Dadas las matrices ,

OPERACIONES CON MATRICES

La suma de [A]+[B] es:

[S]= ª 11 + bl l

ª 21 + b 21

ª1 2 + b 12

ª 22 + b 22

Análogamente, la resta se expresa:

[D]=[A]-[B]

[D] = ª11 - bl 1

ª21 - b 21

ª12 - b 12

ª22 - b 22

Cualquier inatriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y de una antisimétrica. Si [O] es una matriz cuadrada, entonces:

[ C] = [C] + [C]T + [C] - [C]r 2 2

En la expresión anterior , el primer término es una matriz simétrica y el segundo una matriz antisimétrica. Dado que:

[C] + [C]T

[C]- [C]r

En las expresiones anteriores , el intercambio de j y k no genera cambio e11 la pri1nera ecuación, pero si cambia el signo de la segunda ecuación. Por ejemplo, si

[ ] C¡ ¡

e = C'.?. I

de modo que,

[C] + [C]T

[C]- [C]r

Ejemplo:

o c12 - c2 1

c21 - c 12 o 2

Dada [O] verificar las expresiones anteriores.

2 7 (C]=

2 4 [ c ]T = 7 6

[C] + [C]T

[C]-[C]T

Por tanto,

[C] + [C]T [C] - [C]T ----+ =

[C] + [C]T [C]-[C]T 2 7 ----+ =

2 2 4 6

Ejemplo:

o -1.5

Dada [O] verificar las expresiones anteriores en MATL.i\.B.

> > C= [ 2 7 ; 4 6 ]

2 7 4 6

>> CT=C '

2 4 7 6

>> Cl=(C+CT) . /2

2 . 0000 5 . 5000

5 . 5000 6 . 0000

>> C2=(C-CT) . /2 C2 -

o - 1 . 5000

>> Cl+C2

2 7 4 6

Ejemplo:

1 .500 0 o

a) Calcular [ .I\.] + [B]

[A]= 3 4

[ B] = 2 7

1+ 2 5+3

[A] + [B]= 3 + 2 4+7

-1 + 0 0 + 4

[A] + [B]= 5 11

b) Calcular [A] - [B]

1-2 5-3

[A]-[B]= 3-2 4-7

-1-0 0-4

[A]- [ B] = 1 -3

Propiedades:

1) (A]+([B]+[C]) = ((A]+[B])+[C]

2) (A]+[B] = [B]+(A]

3) (ü]+[i\] = (A]+ [ü]= [A]

4) (A] + (-(A]) = (-[,i\]) + [.A.] = (O]

.5) e( k(A ])=( ck) [.i\]

6) k([.A.] + (B]) = k[A] + k[B]

7) (e + k)[A] = c[i\] + k[A]

Ejemplos en MA TLAB:

>> A= [2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8]

>> B= [ l 4 8 ;5 4 -5; 0 - 6 9]

a) Cálculo de [ .I\.] + [B]

>> A+B

a ns -

3 11 o

16 -11

b) Cálculo de [B] + [A]

>> B+A

3 11 o

16 -11

c) Cálculo de [A] - [B]

>> A-B

>> k=lO

o -1 -1

d) Cálculo de k( (A] + (B])

>> k*(A+B )

a ns -

30 100 160 110 80 - 1 10

o - 120 170

e) Cálculo de k([B] + [.i\.])

>> k* (B +A)

a ns -

30 100 160 110 80 - 1 10

o - 120 170

>> c=5

f) Cálculo de (e + k)[A]

>> (c+k)*A

30 90 o

>> c*A

120 - 90 1 20

a ns -

10 30 o

>> k*A

a ns -

20 60 o

>> c *A+k*A

a ns -

30 90 o

40 -30

80 - 60

1 20 - 90 1 20

2.3 l\!Iultiplicación de matrices

Antes de definir la multiplicación de matrices, co11sidérese el producto inter110 de dos ·vectores de tamaño n .

El \iector fila [p] tiene n elementos:

El \ iector colu1nna [c] tiene n elementos:

El producto interno [p] [c] se define

[P][ e]= L P ¡C¡ = P 1C1 + P 2C2 + · ··+ P¡C; i=l

Dada u11a matriz [i\.] de di1nensió11 {m x n) y una inatriz [B] de dimensión {nxr) , la multiplicación queda definida por:

[A]mxn [ B]rrc,. = [ C]mxr

donde el elemento c .. esta dado por: lj

e = ~ a kb1q· = a 1b1 . + a.?b,, . + ···+a b . lJ ~ 1 1 J 1 _ -J in nJ k=l

Es decir , cada fila de [.!\.] se multiplica por cada columna de [B]. El número de columnas de [A] debe ser igual al número de filas de [B].

ª1 1 ll¡ 2 ll¡ 3 bl 1 b l2

(A)= ª 21 ª22 ª 23 [B) = b 21 b 22

ª31 ª32 ª33 b3 1 b 32

La multiplicación esta dada por:

ª11 ª 12 ª13 bl 1 b12

[ c ]3x2 = ª21 ª22 a,,~ -~ h21 h22

ª31 ª32 ª~~ ~~ b31 h~? ~-

( ª1lbl1 + ª12b21 + ª 13b31) ( ª 11b12 + ª12b22 + ª13b32 )

[ C]3x2 = (a21b11 + ª22b21 + ª23b31 ) (a21b12 + ª22b22 + ª 23b32 )

(a31h11 + ª32h21 + G33h31 ) (a31h12 + ª32h22 + G33h32 )

Cada elemento c iJ es el producto interno de la i-ésima fila de [i\.] con la j-ésima columna de [B]. Por ejemplo, el eleme11to c

C31 = [ a3 1 a3'.?. a33 ] b'.?.1

Ejemplo: dadas [A] y [B] , calcular [ .. i\][B] .

[A ]= 3 4

2 3 [B] =

1(2) + 5(4)

[A][B]= 3(2) + 4(4)

-1(2) + O( 4)

[A][B] = 22 37

1(3) + 5(7)

3(3) + 4(7)

-1(3) + 0(7)

Ejemplo:

\ !erificar ([A][B])T = [B]T[A]T

T 22 22 - 2 ([A][ B]) = 38 37 -3

Propiedades:

1) ([.i\] [B])[C] = [.i\]([B][C])

2) [A]([B]+[C]) = [A][B]+ [.A.][C]

3) -l[A]([B]+[C]) = -l[A][B]+ -l[A] [O]

4) [A][B] -:F [B][.i\]

5) [A][I] = [I][A] = [.i\]

6) [A][ü] = [ü][A]= [O]

Ejemplos en .1\JA TLAB:

>> A= [ 2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8]

>> B= [ l 4 8 ;5 4 -5; 0 - 6 9]

>> C= [2 3 5 ;3 8 6 ;1 -2 5]

3 8 -2

a) Cálculo con MATLAB de [.A][B]

>> A*B

a ns -

- 16 76

58 -2 6 102

b) Cálculo con NIATL .. i\B de [B] [A]

>> B*A

a ns -

- 26 76

4 8 -24 108

c) \ !erificación con NI.ATL.AB de [A]([B]+[C])= [A][B]+ [A][C]

>> A*(B+C)

a ns -

62 22 1 44 44 138 -2

- 40 - 136 106

>> A*B+A*C

a ns -

62 22 1 44 44 138 -2

- 40 - 136 106

d) Verificación con Mi\TLi\B de ([i\][B])T = [B]T[.A]T

>> tra nspos e (A*B)

a n s -

32 - 16

>> (B ' )*(A' )

a n s -

32 - 16

- 30 - 72 102

d) Verificación con M.ATL.AB de ([.A][B])-1 = [BJ-1[.AJ-1

>> i nv( A* B)

a n s -

0 . 024 3 - 0 . 0077

0 . 00 17

- 0 . 01 05 0 . 02 07 0 . 0115

- 0 . 01 65 0 . 0097 0 . 011 8

>> i nv( B)*in v(A)

a n s -

0 . 024 3 - 0 . 0077

0 . 00 17

- 0 . 01 05 0 . 02 07 0 . 0115

- 0 . 01 65 0 . 0097 0 . 011 8

2.4 P art ición de n1atrices

En muchas aplicaciones , es conveniente subdi,;idir una matriz en sub-matrices para reducir cálculos. P ara una matriz [i\.] la subdi\;isión o partición de matrices se puede realizar de muchas formas .

Á¡ = _J

También la matriz [A] se puede particionar

ª1 1 ª12 ª 13 ª14

A= ª 21 ª 22 ª 23 ª 24

=[~ 1 ~2 ~3 ~4 ] G31 a~,, ª 33 G34 ~-

ª 41 ª 42 ª 43 ª 44

Donde ahora:

ª 11 ª12

A 11 = ª 21

A 12 = ª 22

ª31 ª~') ~-

ª 41 ª42

ª 13 ª 14

~3 = ª')~

~4 = ª 24

G 43 ª 44

El producto de dos matrices [A] )i [B] también se puede expresar como el producto de sub-matrices. Dada la matriz [.A.] ; se puede subdi·vidir de la forma siguiente

ª11 ª 12 ª13 Ái1 Ái2

[A ] = ª 21 ª 22 a,.,~ .-.>

A21 A22 -··-··-·-·-·--·-··-·--·~·--·-··--' '

ª31 ª32 ' a,., ,.., 1 ' 1 jj

donde:

A11 = ª11 ª12

A12 = ª13

ª 21 ª 22 a1~ _ _,

~1 = [ ª 31 ª~') ] _,_ A')') = [ ª~~ ] -- jj

La matriz [B] se puede particionar de la for1na

bl 1 b12 B11

[B ] = b21 b 22 B21 -·-·-·-··-··-··-··-

b31 b~,., _,_

donde:

De tal manera que el producto [A][B] queda

Ejemplo: dadas [A] )i [B] calcular [A][B]

(A]= -6 7 1

( B] = 2 6

La matriz [A] se puede particionar de la forma

La matriz [B] se puede particionar de la forma

donde:

2 5 -1 3

-6 7 2 6

6 o 24 ~1B21 = 1 (O 4] = O 4

Reemplazando los anteriores \1alores se obtiene finalmente:

Ejemplo:

20 28 -------~-~-~----

Resol\1er el problema anterior con M ATLi\.B

>> A= [2 5 6 ;-6 7 1; 3 4 2 ]

>> B= [-1 3 ;2 6 ; 0 4]

- 1 3 2 6 o 4

>> All =A(1 : 2,1 : 2) ;

>> A12=A (1 : 2, 3) ;

>> A21=A (3 ,1:2 ) ;

>> A22=A (3 , 3) ;

>> Bll=B( 1 :2,: );

>> B21=B (3, : );

>> AB=[Al l* Bll +A12*B21 ; A21*Bl l+A22*B2 1]

8 60 2 0 28

2.5 Referencias bibliográficas

Etter, Delores l\!I . Solución de problemas de ingeniería con 111ATLAB. México, D.F.: McGraw-Hill Interamericana, cl998.

l(iusalaas, .J. Numcrical J11ethods in Engincering with lVIA TLAB. Cambridge Uni\iersity Press, 2009.

I\:olman, B. A lgebra lineal con aplicaciones y lllf atlab . Prentice Hall Hispanoamericana, l\1éxico, D.F ., 1999.

Laub, i\. lllf atrix Analysis far Scicntists and Enginecrs. SIAM: Society for Industrial and _.t\.pplied Mathematics. Philadelphia, 2004.

Mathews J , Finl(, I<:. Nlétodos numéricos con 11.fATLAB, lv'Iadrid, Prentice Hall, 2000.

Hsieh, Y Teoría elemental de estructuras. l\!Iéxico, D.F.: Prentice Hall Hispanoamericana, 1970.

Uribe, .J. 11.ficrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe Ediciones, Colo1nbia, 1995.

Yang, ,,-. Y et. _.t\.L Applied Numcrical J11ethods Using J11ATLAB. ''Tile)1-Interscience, 2005.

2. 6 Problemas

1) Dadas las matrices [AJ )1 (B] calcular:

a) (A]+[B] b) 2(A] + 3[B] c) 4[.I\.] - 3[B]

[A]= 3 4

[E]= 2 6

2) Dadas las matrices [A] )' (B] calcular:

a) (B]- [i-\.] b) 4(A] - 3[B] c) 5([A] + [B])

[A]= -6 7 1

-5 2 7

[E]= -3 4 -8

2 -9 -7

3) Dadas las matrices [B] )1 (O] calcular:

a) (B](O] b) [B] [O]T c) [O](B]T d) [O] [B l T [O]

[E]= -3 4 -8

2 -9 -7

2 5 o [e]= 6 1 1

4) Dadas [.!\.] y [B] calcular [.l\.][B] , usando partición de matrices.

[A]= -6 5 1

[E]= 2 6

Capítulo 3

Deter1ninantes e i11versió11 de inatrices

3.1 Determinante de una matriz

Si [A] es una matriz cuadrada de orden n , el determina11te de [A] se denota por IA y se define como el escalar o polinomio que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones. El determinante de una matriz de orden 2, de defi11e como:

Para definir el determinante de una matriz de orden mayor que 2 es necesario introducir algunos conceptos. Dada una matriz cuadrada [A] de orden n , definimos el me11or , lVI .. como el determinante de

la sub1natriz de orden {n-1) x {n-1) que se obtiene eli1ni11ando la i -csima fila y la j-csima columna de la matriz [i\.] de orden n.

El cofactor Aij asociado al menor l\!Iid en una matriz [i\.] se define como:

Por ejemplo:

ª11 ª12 ª13

[A]= ª21 ª22 a,.,~ -"

ª31 a~,., "- ª33

El menor NI21 se obtiene eliminando fila 2 )1 la columna 1 de [i\]:

por tanto,

Ejemplo:

El menor NI11

de la siguiente matriz se obtiene al calcular el determi11a11te de la matriz resultante de eliminar la fila 1 )1 la columna l .

[A]= -6 7 1

1 7 M ,,1 = - 4

DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES

El cofactor asociado se calcula como

Ái1 (- l)1+1M11

Ái1 (-1)2 (10) = 10

3.2 Expansión de Laplace

Dada una matriz cuadrada [.A.] de orden n se define su determinante como la suma del producto de los elementos de una fila (o colu1n11a) cualquiera de la inatriz , por sus correspondientes cofactores. De acuerdo a la expansión de Laplace, el deter1ni11ante de una matriz [A] cuadrada de orden n , está definido por:

Al L aikÁ¡k ' i = 1 .. . n Ó k=I

Al L a19A19 , j=l .. . n k=I

Para la matriz [.A.] si se selecciona la columna j-2 , entonces:

ª 11 ª12 ª 13 ~ _,

Al= ª 21 a,., ,, ª23 = L ª k2A k2 k=I

ª 31 ª32 ª33

Para la expansión por cofactores, se cumple que la suma de los productos de cualquier elemento a .. de una fila (o colum11a) de una

matriz [i\.] , multiplicado por el cofactor de otra fila (o colum11a) de [i\.] es cero. Esto es

L ª ikAjk =O , i * j k=l

L ª ¡qAki =O , j * i k=l

Se define la matriz cofact or [A ] como:

A 11 A 1'.?. • • • A1n

[A]= Á 21 A 2'.?. • • • Ázn • •

Au ~n • • • •

~1 ~2 ~j ~n

Ejemplo:

Calcular la matr iz cofactor [A] dada la siguiente matriz:

[A]= 1

Solución.

Procedem os a calcular los valores de los cofactores Aü

A - (-l )(l+l) M - (-l ) (Z) 1 11 - 11 - -3

A')1 = (-l) C'.:!+1) M ,.,1 = (-1)(3) 5 - - -3

~' = (-l)C'.:!+:i) M ,,? = (-l)C4) l -- -- o

~~ = (-l)c:i+3) M , ,., = (-l)cs) 1 _ _, -- o

2 =-26

Reemplazando en la ecuación para [A ] :

25 -4 -3

[ AJ= - 26 4 3 33 - 5 - 4

Ejemplo: Calcular el determinante usando la expansión de Laplacc de la matriz [.!\.] que se da a continuación:

2 4 -11

[A] = -1 3 -16

2 o 21

Solución.

Si se selecciona la 2ª columna, e11to11ces j=2.

Al = L ª k2Ak2 = ª12Ái2 + ª22~2 + ª32~2 k=l

-1 6 ( '> '>) 2 +3(-1) _+_ 21 2

2 4 -11

A= -1 3 -1 6 =-4(-21+32)+3(42+22)=148

2 o 21

Si se selecciona la 1 :i. columna, ahora j=l.

Al = L ª k1Ak1 = ª11~1 + ª21~1 + ª31A31 k=l

3 Al= 2(-l)CJ+l)

-16 4 - 1(- 1)(2+1) -11 4 + 2(-1)(3+1) o 21 o 21 3

Al= 2( 63) + (84) + 2(-64+33)=148

Verificación de cálculo en MA T LAB:

>> A= [2 4 -11;-1 3 - 1 6;2 O 21 )

>> det(A)

P ropiedades.

-11 -1 6

1) Si todos los elementos de una fila (o una columna) de una matriz cuadrada [A] son cero, entonces

Por ejemplo, si la columna j=2, es cero:

ª 11 o ª13

Al= ª 21 o a.,~

• • • • •• • • •

ª ni o a n3

Ejemplo:

[A]= O 3 1

• • • aln

• • • aln =Ü

• • • • • •

••• a nn

Expandiendo la primera fila:

IA = O+ 4(-1)1+~ o 1 + 3(-1)1+3 o o 6 o

2) Si la fila i o la colum11a j de [A] se inultiplican por u11a constante

lv, entonces el i1ue''º determi11ante es A Al .

Ejemplo:

-16 (') ") 2,1,, -11 + 3(-1) -+~ +o 21 2,1,, 21

2,1,, 4 -11

BI= -A, 3 -16 =-4,1,,(-21+32) + 3,1,,(42+22)=,1,,(192-44)

2,1,, o 21

Ejemplo de cálculo en 1\d"A TLAB: para el caso a11terior usar

>> A= [2 4 -11;-1 3 - 16 ;2 O 21 ]

>> l ambda=2 ;

-11 -16

>> A( :,l ) =l ambda*A( :, 1)

>> det(A)

a ns =

-11 -16

3) Si dos filas (o columnas) de una matriz se i11tercambian, el determinante de la matriz cambia de signo.

Ejemplo:

Para la matriz [i\.] intercambiar la primera)' segunda columna.

2 4 -11

[A]= -1 3 -16

2 o 21

la i1ue·va Inatriz es:

4 2 - 11

[A]= 3 - 1 -16

o 2 21

- 1 Al= 4(- l)O+l) 2

' IA = 148

- 16 2 + 3(-1)(2+1) 21 2

Al= 4(-21+ 32)-3( 42 + 22) = - 148

4) Si dos filas (o columnas) de una matriz[.!\.] son iguales , entonces

Ejemplo:

[A]= 2 2 2

2 Al= 2(-1)0+2

2 (" '>) 2 + 2(-1) -+-6 3

Al= -2(6) + 2(6) =O

4) Si una fila (o columna ) de una matriz [.!\.] es múltiplo de otra ,

ent onces Al = O

Ejemplo:

Para la matriz dada [A] , la tercer a fila

[A]= 2 1 O

4 12 6

6 Al= 2(-l)(J+I) 12

3 (" ") 2 3 + 1(-1) _+_

Al= -2(0) + 1(0) = O

.5) El determinante de la transpuesta de una matriz (A] es igual

al deter1ninante de la matriz. ( A = AT )

Ejemplo:

[ A]T = 2 2 o 2 2 6

2 AT = 3(-1)(1+3) 2 2

2 + o+ 6(-1)(3+3) 2 2 2 2

Ejemplo de cálculo en 1\IIA TLAB:

>> A= [2 4 3 ;2 2 O ; 2 2 6 )

>> det(A)

>> det( trans pose(A))

6) El determinante del producto de dos matrices (A] JI (B] es igual

al producto de sus determina11tes. ( IAB = IA BI = IB IA )

Ejemplo:

[A]= 2 5 -6 7

Al= 14 + 30 = 44

- 1 3 [B ] =

BI= -6-6 = - 12

AB = 192 - 720 = -528

Al B = 44(-12) = -528

Ejemplo de cálculo en l\1A TLAB:

>> A= [2 4; 6 8 ];

>> B= [-2 5 ; 0 7 ] ;

>> det (A) *det(B )

a ns =

>> det(A* B)

a ns =

>> det (B*A)

a ns =

3. 3 Determinante por condensación pivotal

En este método se deben convertir a cero todos los eleme11tos de una fila (o columna) , excepto u110 Tnediante transformaciones elementales de filas y columnas.

La transformación elemental de una fila se represe11tara por

F~F+F J J l

lo cual represe11ta "la fila j se reemplaza por la f ila j mas la fila . }} i

La fórmula para hacer ceros una columna es:

F = F - JP F J J a P

F . es la fila origi11al, a es el pi\iote )1 F la fila donde se ubica el J op p

pivote

Ejemplo:

Calcule por conde11sación pi,;otal el determinante de [B] :

2 1 o -3

BI= 1 -2 4 5

3 o 1 4

-3 2 4 1

En este caso el pi\rote será el elemento b12

, por facilidad

Paso 1:

F2 ---+ F2 - b22F;

F2 ---+ F2 + 2F;

Los ele1nentos de la fila 2 queda11:

b =1+2(2)=5 :21

b22=-2+2(1)=0

b23= 4+2(0)=4

b:24= 5+ 2(-3)=-1

-3 2 4 1

Ahora, se reduce a cero el ele1nento b 42

, mediante la transformación:

F4 ---+ F4 - ª42F; F4 ---+ F4 - 2F;

2 1 o -3

Al= 5 o 4 - 1

3 o 1 4

-6 o 3 7

Efectuando la expansión de la segunda colum11a, se obtiene:

5 4 - 1

Al= (-1)1+

2 3 1 4

-6 3 7

Al=-(35-96-6-60-84)= 220

3.4 Inversión usando la matriz adjunta

Se define la matriz adjunta como la transpuesta de la matriz cofactor [.AJ

Ai1 ~¡ • • • An1

A4f ([A])= [.J]r = Ái2 A12 ••• 4i2 • • • -• • 4ii • • •

-Ain A1n AJn 4in

La matriz In\1ersa [i\]-1 se puede calcular usando cofactores mediante:

- - - -A11 ~l ••• 4i1

Ái2 ~2 • • • ~2 • • •

An1 • • • • • •

[ A ]-1 = A1n ~n Ajn 4in

Ejemplo:

Calcular la in\iersa de la siguie11te matriz

[A]= 1 1 7

o -3 4

Primero calculemos el determinante, usando expansión por cofactores:

Al L ªk1.Ak1 = ª11.A; 1 + ª21.A21 + ª3 1~1 k =l

7 5 - 1

Al L ak1Ak1 = 1(25)- 1(26) = - 1 k =l

La matriz [AJ se calcltló en el ejemplo pasado:

25 -4 -3

[A] = -26 4 3

33 -5 -4

25 -4 -3 T

A4f ([A])= [A]r = -26 4 3

33 -5 -4

25 -26 33

A4f ([A])= [A ]r = -4

Usando la ecuación:

25 -26 33

-4 4 -5

[ A]-1 = -3 3 -4

-25 26 -33

[ A]-1 = 4 -4 5

3 -3 4

Ejemplo: repetir el cálculo usa11do l\IIATLAB

>> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; 0 -3 4 ]

a) Cálculo de Al >> det(A)

a ns -

b) Cálculo de [ A]-1

>> i nv(A)

a ns =

- 25 4 3

26 -4 -3

-33 5 4

3.5 l\!létodo de Gauss-Jordan

El l\1étodo de Gauss-.Jordan se basa en operaciones fundamentales en filas de matrices. Las operaciones so11:

1. J\!l ultiplicación de una fila (columna) por un escalar distinto de cero.

2. Intercambio de dos renglones (o columnas).

3. Reemplazo de la fila j por la suma de la fila j más 'A ·veces la fila k donde 'A es cualquier escalar

El procedimiento general es partir de una matriz ampliada [A l I ] y mediante operaciones fundamentales , obtener la inversa

Se deben efectuar los pasos siguientes para k= 1, .. _, n ( n: orden de la matriz [.i\])

i) Dividir la fila k por ak.Jc .

ii) Hacer ceros sobre la columna k mediante operaciones fundame11ta les

Ejemplo:

-4 7 8

[A]= 10 -6 -8

-5 7 6

El primer paso es obtener la matriz aumentada:

-4 7 8

[A l I] = 10 -6 -8

-5 7 6

1 o o o 1 o o o 1

El primer pi,;ote será el elemento a11

F; ~ F; 1

[A]= 10

- 1 o o 4 o 1 o o o 1

La siguiente operación fu11dame11tal es

F2 ----+ F2 - F¡ ( ª 21 )

F2 ----+ F2 - F¡ ( 1 O)

[A]= o 23 12

2 -5 7 6

4 5 2 o

La operación el la fila 3 es:

F3 ----+ F3 - F¡ ( ª31)

F3 ----+ F3 -F¡ (-5)

[A]= o 23 12

o -7 -4

4 5 2 -5 4

DETERMINANTES E INVERSIÓN DE MATRICES

23 Ahora el pi,;ot e es el elemento ª·)·' = -

_ ¿ 2

F., ~ F,, 1

- - a.,.,

F., ~ F,, 2 23 - -

- 2 - 1 o o

[A]= o 1 24 5 2 o 23 23 23

o -7 - 4

- 5 o 1 4 4

Ahora se debe hacer cero el ele1nento a12

F¡ ~ F¡ - F2 ( ª 12 ) - 7

F¡ ~ F¡ -F2 4

1 o - 4

(A]= o 1 24 23

o -7 - 4

3 7 o 23 46 5 2 o

23 23 - 5 o 1 4

Procedemos a hacer cero el elemento a3:2

F3 ----) F3 - F2 ( ª32 )

-7 R ----) F~ - F?

~ ~ - 4

1 o -4 23

[A]= o 1 24 23

o o 50 23

3 7 o 23 46 5 2 o

23 23 -20 7

1 23 46

50 Ahora el pÍ\iOte es el eleme11to a

1 o -4 3 7 o 23 23 46

[A]= o 1 24 5 2 o 23 23 23

o o 1 2 -7 /100 -23 5 50

Ahora se debe hacer cero el elemento a13

F; ~F'¡-F3(a13 )

-4 F;~F;-F3

Ahora se debe hacer cero el elemento ª u

F2 ~ F2 - F3 ( ª 23 )

24 F,., ~F? -F~

- - :> 23

Por tanto,

1 7 -2 -5 50 25

( A]-1 = - 1 4 12 5 25 25 2 -7 -23 5 100 50

Fi11almente se puede comprobar:

[A][A]-1 =[1]

1 7 -2

-4 7 8 5 50 25 1 o o 10 -6 -4

- 1 4 12 o 1 o --

5 25 25 -5 7 6 2 -7 -23 o o 1

5 100 50

En el cuadro 3.1 se prese11ta un programa para la in\1ersión de matrices por el Niétodo de Gauss-.Jorda11.

% Inversión de matrices %

% Metodo de Gauss Jordan % %

close all; clear all

% Definición de la matriz [A]

A=[l 5 2; 1 1 7 ;O -3 4 ] ¡

[p, k] =size (A) ;

I=eye(p);

% Definición de la matriz aumentada [M]=[A I]

M = [A I] ¡

for i=l:p

M ( i' : ) =M ( i' : ) /M ( i I i)

f or if

j=l:p • • l. ~ =J

M(j, :) - M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) end

end end

% Matriz Inversa MI

MI= M(:,p+l:p+k)

Cuadro 3. 1: P rograma en l\IATLAB del l\Iétodo de Gauss-Jordan.

Ejemplo:

Calcular la in\;er sa de la siguiente matriz

[A]= 1 1 7

o - 3 4

S olución:

1 . 0000 o o - 25 . 0000 26 . 0000 - 33 . 0000

- 25 4 3

>> A*MI

o 1 . 0000 - 1 . 2500 0 . 2500 - 0 . ?500 o o o 1 . 0000 3 . 0000 - 3 . 0000 4 . 0000

26 -4 - 3

- 33 5 4

-25 4 3

2 6 - 4 - 3

- 33 5 4

a ns -

3.6 Inversa de una n1atriz por medio de partición

Para una Inatriz [A] de orden nxn, su partición se puede expresar de la forma:

[ Ai1 ],x,.

[ A11lsxr

[ A12],xs

[ A 12 ]sxr

La ecuación [i\] [AJ-1= [I], se reemplaza por [.i\] [B]-1= [I]. La partición de [B] debe ser igual a la de la inatriz [A]. Por tanto:

[ All l1xr [ Ai2],xs [ B1 1]1xr [ B12 ]1xs

[ A21]sx,. [ A 12 ]sxr [ B21 lsxr [ B22 lsxr

[ l1 ]1xr [O ],xs

[O lsxr [ 12 lsxr

La ecuación anterior se puede expresar corno

De la ecuación tercera ecuación se obtiene

Reemplazando en la primera ecuación se obtiene:

Factorizando,

De la ecuación segunda se puede despejar:

Reemplazando e11 la cuarta se obtie11e:

De expresión anterior se obtiene:

Con esta matriz se determina [B12]:

Finalmente la in,;ersa de [i\.] se expresa

Ejemplo:

Calcular la in,;ersa de la matriz [i\.] usando partición

1 -3 1

(A]= -2 4 2

3 -7 1

Efect uando la siguiente partición

2 -6 1

(A]= -2 4 2

3 -7 1

Las sub-matrices se definen por:

2 -6 1 [A ]- · (A J-

11 - -2 4 ' 12 - 2

Calculando el producto:

U san do la ecuación para [ B11 l •

[B11l = 4

[B11l = -~ 1

Empleando la ecuación para [B21l:

[B21 l = [-3 7] -~

[B21 l =[-~ ,Xl

Ahora se debe calcular [ A11

[A l-1 = 1 4 2 - -2 -X 11 -2 3 1 - 1 -~

Calculamos el producto:

-5 = [3 - 7] = [-1]

[B22 ] = {[1] - [-1]}-1 =[X]

Ahora se calcula [B12 ] :

-2 1 Ji 2 [X]= 1

La inversa se obtie11e como:

-X B 11 B12 [A ] - 1 = -2 B 21 B 22 - X

Ejemplo:

-2 - X - 1 - X

1 Ji X 1

Como ejemplo didáctico del manejo de partición de matrices en Mi\TLAB , se repetirá el procedimiento a11terior para invertir la matriz

[A]= 1 1 7

o -3 4

Solución:

>> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; O - 3 4 ]

>> All=A(1 : 2 ,1 : 2)

1 5 1 1

>> A12=A(1 : 2 , 3)

>> A21=A(3 ,1:2 )

A2 1 -

>> A22=A(3 , 3)

A2 2 -

>> 8 ll=inv(All-A12* i nv(A22)*A21)

8 11 =

- 25 26 4 -4

>> 821=-inv(A22)*A21*811

8 21 -

>> 822=inv(A22 - A21*inv(All)*A12)

82 2 -

Cálculo de (B12 ] = -( A11]-1

( A12 ]( B22 ]

>> 8 12=-inv(Al l)*A12*82 2

8 12 =

- 33 5

>> AI=[Bll B12;B21 822 ]

- 25 4 3

26 -4 -3

-33 5 4

3. 7 Referencias bibliográficas

l(iusalaas, J. Numcrical J1!Jcthods in Enginccring with NIATLAB. Cambridge U ni,;ersit); Press, 2009.

l(olman, B . A lgcbra lineal con aplicaciones y ll!f atlab. Prentice Hall Hispanoamericana, México, D.F , 1999.

Laub, i\.. ll!fatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. SIAM: Society for Industrial and i\.pplied Niathematics. Philadelphia, 2004.

Mathews .J , Fink, l(. J\!fétodos numéricos con J1!JATLAB, Madrid, Pre11tice Hall, 2000.

Hsieh, Y. Teoría elemental de estructuras. Prentice Hall Hispanoamericana, Niéxico, D F. , 1970.

Uribe, J. J1!ficrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe Ediciones, Colombia, 1995

'''atl<ins, D. Fundamcntals of J1!fatrix Gomputations_,,.iley Interscience, New York, 2002.

Yang, ''T· Y et. al. Applicd JVumcrical ll!fcthods Using NIATLAB. ''Tile)1-Interscience, 2005.

3.8 Problemas

1) Calcular la matriz cofactor [A ] dada la siguiente matriz

(A]= 1 1 7

4 -3 o

2) Calcular el determinante usando la expansión de Laplace de la matriz [A] que se da a co11tinuación:

2 8 - 11

(A]= -1 6 -16

2 o 21

3) Calcule por condensación pi,;otal el determina11te de [.A..] :

2 1 o -6

4) Calcular la inversa de la siguiente matriz usando la matriz adju11ta.

(A]= 4 1 7

o -3 4

5) Use el programa en MATLAB del Método de Gauss-Jordan del cuadro 3.1 , para calcular la inversa de la siguiente matriz:

-4 7 8

(A]= 10 -6 -8

-5 7 6

6) \ Terificar el resultado del problema anterior usando MATL.A..B.

Capítulo 4

Solución de sistemas de ecuacio11es lineales

Dentro de las muchas aplicaciones del algebra matricial en ingeniería, esta la solución de sistemas de ecuaciones lineales para problemas encontrados en diferentes disciplinas como análisis de estructuras, circuitos eléctricos, flujos en redes , conducción de calor , distribución de recursos , etc.

4.1 Forma matricial de las ecuaciones

Un sistema de n ecuaciones lineales simultáneas con 11 incógnitas de la for1na

ª 11X1 + ª 12X2 + '· '+ ª 111Xn = b l

ª21X1 + ª22X2 + .. . + a2nXn = b2

• • •

se puede escribir en forma matricial corno

ª 11 ª 12 • • • a ln XI bl

ª21 ª22 • • •

ª2n X,, b ,,

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

ªni an2 • • • a nn x n bn

Las ecuaciones anteriores se pueden expresar como:

(A](x]=(b]

Donde,

ª 21 [A]= • • •

X [x]= .2

• •

[b ] = b,., -

• • •

ª1 2 • • •

ª22 • • •

ª2n • • • • • • • •

• • •

La solución del sistema de ecuaciones [A] [ x] = [ b] en MATLi\.B se calcula por medio de la instrucción A\ b

4.2 Solución por inversión de n1atrices

Un sistema de n ecuaciones li11eales simultá11eas se puede resol\ier usando la inversa de la matriz de coeficientes [.l\.] , si IA =t:. O.

Dado el sistema:

(A](x]=(b]

pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por [A]-1

( A]-1 (A] ( x] = ( A]-1 ( b]

[l ][x]=[A]-1 [b ]

SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES

El ' ;ector de incógnitas se calcula e11tonces por:

Ejemplo:

Solucionar el sistema de ecuaciones siguiente usando in,;ersión

x1 + 5x2 + X 3 = 2

4x1 + 2x3 = 6

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir:

1 5 1 X1 2

Ü 4 2 X2 6

Ü 1 1 X~ 4 ~

Primero, calculamos A :

4 Al= (1)2 1

2 = 1(4-2)

La matriz cofactor [A ] se calcula como

2 o o [AJ = -4 1 -1

6 -2 4

Luego se calcula la matriz Ad_j ([A]) :

2 0 0 T

A4f ([A])= [A]r = -4 1 - 1

6 -2 4

A4f ([A])= O 1 -2

Finalmente la in,;ersa se calcula por:

2 -4 6

o 1 -2

( A]-1 = o - 1 4

1 -2 3

( A]-1 = O 0.5 - 1

o -0.5 2

La solución del sistema es:

1 -2 3 2

[x]= O 0.5 -1 6

o -0.5 2 4

[ x] = -1

Ejemplo:

Verificar la solución anterior en 11ATLAB.

>> A= [ l 5 1 ; 0 4 2;0 1 1]

>> b= [ 2 6 4] '

>> % solución >> x=A\ b

4.3 Regla de Cran1er

El Niétodo de Cramer para resol\ier un sistema de ecuaciones, hace uso del desarrollo de determi11antes para obtener la in\iersa de una matriz.

( x] = (A ]-1 ( b]

Recordando que:

Entonces,

{x} = Aq/([A])[b] A

Dado que:

Á ¡¡ ~] • • •

[A]r = Ái2 A~,, • • •

• • • • •

A1n Á zn A Jn

42 -4 i -

Entonces la solución del sistema se obtiene como:

X1 Ái l A21 ••• An1 b¡

X2 1 Á¡2 Á22 ••• ~2 b2

IA • • •

Ani • • • • • • • • • • •

xn Áin ~n AJn ~ bn

Efectuando el producto de la derecha se obtie11e

X¡ b1Ái1 + b2A21 + bnAnl X') 1 b1A12 + b'2~2 + bnAn2 -• • • IA I • • • • • • • • • • • • • • •

xn b1Áin + b2A2n + bnAnn

Despejando los \1alor es de x i

X - b1A11 + b2~1 + .. . + bn~1

, 1 - IA

X = b1Ái2 + b'2A22 + · · · + bnAn2 2 IA

X i = . ... .. . ....... ... .... , .. . .. , . ,

X = b1Áin + b2~n + · · · + bn~n n Al

El nu1nerador de cada ecuación corresponde a la expansión de un determinant e por cofactores , la cual se puede escribir como

b¡ ª12 ª 13 '' ' ª in

b2 ª 22 ª 23 ''' ª 2n

• • • • • • • • • • • • • • •

bn anl an3 • • • bn x= Al 1

ªi i b ¡ ª13 • • • ªin

ª 2i b 2 ª?~ ••• ª 2n -~

• • • • • • • • • • • • • • •

ª ni b n a n3 • • • a nn X 2 = IA

• • •

• • • • • • • • • • • • • • •

ª n i a n2 a n3 • • • b n X = Al n

Ejemplo:

Resol\ier por la regla de Cramer el sistema [A] [ x] = [ b]

[A]= - 1

2 -3 5

Solución:

[b ]= - 16

= 38 = 2 19

2 - 11 1

- 1 - 16 -2

2 21 5 -76 =-4 X = --

2 19 19

2 4 - 11

- 1 3 - 16

2 -3 21 =!.2.= 1 X~=

~ 19 19

4. 4 l\!létodo de Eliminación de Gauss

Otro procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales que también se basa en transformaciones fundamentales sobre filas de una matriz , es el clásico Método de Eliminación de Gauss. El procedimiento general para la solución de sistemas de ecuaciones , consta básica1nente de dos pasos

1) Reducir la matriz de coeficientes de u11 sistema dado de ecuaciones a una matriz triangular superior usando las transformaciones fundamenta les

2) Hallar la solución del sistema de ecuaciones resol\iiendo el sistema triangular superior obte11ido en el paso anterior. Después de la primera etapa se obtiene una matriz aumentada de la forma:

Ái1 Ái2 • • • Áin b;

~1 ~2 • • • ~nb; [A b'] = • • •

• • • • • •

An1 ~2 • • • ~nb~

La ultima ecuación, da como resultado:

b' X = n

Se puede determina xk de la k-ésima ecuación:

Akkxk + A k,k+1Xk+1 + · · · + Aknxn = b~

La expresió11 anterior se puede escribir como:

b; - L A 1qx1 ' k=n-1 n-2 ... 1

' ' ' J=k+I

Ejemplo:

Resol,ier el siste1na de ecuaciones:

2x1 - 3x2 - x 3 + 2x4 = 15

-x1 + x 2 + 2x3 - 2x4 = - 13

X1 - X?. + X3 + X 4 = 4

3x1 + 2x2 - x3 - x4 = 3

Las ecuaciones a11teriores se puede11 escribir:

2 -3 - 1 2 x1 15

- 1 1 2 -2 X ,, - 13 -1 - 1 1 1 X~

3 2 - 1 - 1 X4 3

El cual tiene la for1na

[A][x]=[b]

Primero se obtiene la matriz aumentada:

[A 1 b]

2 -3 - 1 2 15

-1 1 2 -2 - 13

1 - 1 1 1 4

3 2 - 1 - 1 3

La primera operación es con·vertir a la unidad el elemento a11

F; ~F; 1

1 -3 - 1

2 2 2 - 1 1 2 -2 - 13

1 - 1 1 1 4

3 2 - 1 - 1 3

La siguiente operación fundamental es

F 2 ~ F 2 - F; ( ª21 )

F2 ~ F2 -F; (- 1)

1 - 3 - 1

1 15 -

o - 1 - 3 - 1

2 2 2 1 - 1 1 1 4

3 2 - 1 - 1 3

Las operaciones en las fila 3 y 4 son:

F3 ~ F3 - F; ( ª 31) F3 ~F3 - F;(l)

1 - 3 - 1

o - 1 3 - 1

o 1 3 o 2 2

3 2 - 1 - 1

F4 ~ F4 - F; ( ª 41)

F4 ~F4 - F;(3)

1 - 3 - 1 1

o - 1 3 - 1

o 1 3 o 2 2

o 13 1 - 4

- 11 2

Ahora en la diagonal principal se convierte a uno el elemento

1 -3 - 1

2 2 2 o 1 -3 2 11

o 1 3 o -7 2 2 2

o 13 1 -4

Ahora se deben 11acer cero los elementos ª si y a4

F3 ~ F3 - 1\ ( ª 32 ) 1

R~F,-F:1 -~ ~ 2

1 -3 - 1

o 1 -3 2

o o 3 - 1

o 13 1 -4

La operación para la fila 4 es:

F4 ----+ F4 - F¡ ( ª41)

F4 ----+ F4 -F¡ (3)

1 -3 - 1

o 1 -3 2

o o 3 - 1 o o 20 - 17

15 2 11

Ahora se reduce a la unidad el elemento a33

F3----+ F3 1

F3 ----+ F3 1

1 -3 - 1

2 2 2 o 1 -3 2 11

o o 1 - 1

o o 20 - 17 -91

Fi11almente se debe hacer cero el ele1nento a43

F4 ----+ F4 - F3 ( ª43)

F4 ----+ F4 -F3 (20)

1 -3 - 1

2 2 2 o 1 -3 2 11

o o 1 - 1

o o o -31 -3 1

Ahora la solución se obtiene usando sustitución h acia atrás . Debemos resol,;er el sistema:

1 ~ - 1 1 15 -~

X1 - -2 2 2

o 1 -3 2 X ,, 11 -o o 1 - 1

X~ -3 -~

o o o - 31 X 4 -3 1 -

En forma de ecuaciones se tiene:

x2 - 3x3 + 2x4 = 11

X -1. x =-3 3 3 4

- Jtx4 = -31

Al resolver usando sustitución hacia a trás , obtenemos:

X =3 4

Ahora resolviendo la tercera ecuación:

X -1.x =-3 3 3 4

X~ =-2 ~

Se resuelve la segunda ecuación usando los valores de x8

X2 - 3(-2) + 2(3) = 11

Finalmente resolvemos la primera ecuación:

2x 3 1 X + 2 _ 15 1 -"IX'.?. -2 3 X4 - 2

2x1 -f(-1)- t (-2) + 2(3) = 1f

X =2 1

Ejemplo:

Resol,ier el siste1na de ecuaciones:

X¡ - 2x2 + X 3 = 1

X1 +X,, -X~=-1 - ~

x1 - 5x2 + 3x3 = 3

La matriz aumentada es:

[A 1 b]

- 1 - 1

El rango de [A] es 2 )1 el r ango de la matriz au1nentada ta1nbién es 2, por tanto no existe una solución única del sistema. Se puede obtener la solución para dos de las incógnitas en términos de una tercera incógnita.

Para con,1ertir en cero los elementos a21

)' a31

las operaciones son:

F2 ---+ F2 - F¡ ( ª 21 ) F2 ---+ F2 -F¡ (-1)

1 -2 1 1

o 3 -2 -2

1 -5 3 3

F3---+ F3 -F¡ ( ª31)

F3 --..+F3 -F¡(l )

1 -2 1 1

o 3 -2 -2

o -3 2 2

En la diagonal principal se con\1ierte a uno el eleme11to a2

3 3 o -3 2 2

Ahora se deben hacer cero el elemento a32

F3 ~ F3 - F¡ ( ª 32 ) F3 ~ F3 -F¡ (-3)

Una solución para x1

en térmi11os de x8

se puede obte11er como:

2 2 X~=--

De las ecuaciones anteriores se obtiene:

2 2 X - -

Sustituyendo la solución para x2

se obtiene x1

2 2 X - -

X = 2 (;)x~ -~ 1 ~ :> 3

1 1 X~- -

3 :> 3

-X~ + 1 :>

En el Cuadro 4.1 se presenta el programa en :rvIATL.A..B para la solución de un sistema de ecuaciones por el Método de Eliminación de Gauss.

% Método de Eliminación de Gauss % %

% Solución del sistema de ecuaciones lineales: %

% [A] {x}={b} %

% Definición de la matriz [A] y vector [b]

A=[15 -5 0¡-5 15 -5¡0 -5 20]

b= [2 O O O] I

% Definición de la matriz aumentada [M]=[A b]

M = [A b]¡ p = size(M,1);

for i=l:p for j=i+l:p

M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i)

end end

for i=p:-1:1

M(i,:) = M(i,:)/M(i,i)

for j=i-1:-1:1

M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)

end end

% Solución {x}

x=M(:,p+l)

Cuadro 4.1: P rograma en l\IA T LAB del l\Iétodo de E liminación de Gauss.

Ejemplo:

Utilizar el programa anterior de MATLi\B , para resolver el sistema

-4 7 8 X1 1

10 -6 -8 X,, Ü

-5 7 6 X~ Ü

Solución:

-4 10 - 5

1 . 0000 o o

0 . 2000 - 0 . 2000

0 .4 000

o 1 . 0000

1 . 0000

Solución para múltiples vect ores.

0 . 200 0 - 0 . 2000

0 .4 000

En ocasiones se debe resol,;er ecuaciones de la forma [A][X] = [b] para diferentes \;ectores [b]. En general se tienen m \iectores definidos por [ b Ji , ... , [ b ],

11 y sus soluciones definidas por [ x J1 , ... ,

[x ],11 • El conjunto de múltiples ecuaciones se puede escribir como:

[A][X ] = [B]

Donde,

[X] y [B ] so11 matrices de orden ( nxm) cuyas columnas corresponden a los \;ectores solución y los vectores constantes.

En el Cuadro 4.2 se presenta el programa en MATL.AB para la solución de u11 siste1na de ecuaciones con múltiples \;ectores, por el Método de Eliminación de Gauss.

Ejemplo:

Solucionar el sistema [A][X ] = [B]

Donde,

6 - 4 1

[A] = - 4 6 -4

- 14 22

[B]= 36 - 18

(A 1 B]

6 -4 1 - 14 22

-4 6 -4 36 - 18

1 -4 6 6 7

Las primeras operaciones son

6 -4 1 - 14 22

o 10 10 80 10 - -

3 3 3 3

o 10 35 25 10 - -

3 6 3 3

Para hacer cero el elemento a32

6 -4 1 - 14 22

o 10 10 80 10 3 3 3 3

o o 5 35 o

Para obtener el primer , rector solución {x}1

, usamos sustitución hacia a trás:

S X~ = 35 2 ~

De la segunda ecuación:

80 X~ =

X') = 2_ 80 + l O 14 = 22 - 10 3 3

Finalmente,

1 X1 = -[14 + 4(22)-14]=10

Se repite para el segundo vector solución { x} 2:

X~ = 0 ~

De la segunda ecuación:

10 10 X=---

3 10 X = - - + O =-1

2 10 3

Fi11almente, de la pri1nera ecuación:

1 X1 = -[22 + 4(- 1)] = 3

% Método de Eliminación de Gauss % %

% Solución del sistema de ecuaciones lineales: % Vectores múltiples %

% [A] [X]= [B]

% Definición de [A] , [B]

A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5 7 6] B=[5 O 0;10 O 0;15 O O]'

% Definición de la matriz aumentada [M]=[A B]

M = [A B] ¡

[p,k]=size(b);

for i=l:p for j=i+l:p

end end

M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i)

for i=p:-1:1

M(i,:) = M(i,:)/M(i,i)

for j=i-1:-1:1

M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)

end end

% Solución [X]

X= M(:,p+l:p+k)

Cuadro 4.2: P rograma del l\Iétoclo de Eliminación de Gauss vectores múlt iples.

Ejemplo:

Utilizar el programa anterior de MATLi\B , para resolver el sistema

-4 7 8

10 -6 -8

Solución:

-4 10 - 5

1 . 000 0 o o

0 . 200 0 - 0 . 200 0

0 . 400 0

X 1 1 10

X2 o o X3 o o

o 1. 0 000

2 . 000 0 -2 . 000 0

4 . 000 0

1 0 o o

o 0 . 2 00 0 2.00 00 o -0.2 00 0 -2.00 00

1 . 00 00 0.4 00 0 4.00 00

4.5 l\!létodo de Gauss-Jordan

El Método de Gauss-.Jordan es simila.r al Método de Eliminación de Gauss , pero primero hace el pi,;ote igual a 1, y luego hace ceros en toda la columna del pi,;ote. En el Ivlétodo de Gauss-.Jordan primero se hace el pivote igual a uno, después se hacen cero los

elementos arriba y abajo del pivote. En la etapa de eliminación, se crea una matriz identidad. De esa forma , la solución del sistema de ecuaciones queda en la últi1na columna de la matriz aumentada

Ejemplo:

Resol\;er el sistema de ecuaciones

-4 7 8 X1

10 -6 -8 X ., 0

-5 7 6 X3 0

El primer paso es obtener la m atriz au1nentada:

-4 7 8 1

[A b]= 10 -6 -4 o -5 7 6 o

El primer pi,;ote será el elemento a11

F; ~F; 1

1 -X -2 -~ [A 1 b] = 10 -6 -8 O

-5 7 6 o

La siguiente operación fundarnental es:

F2 ~ F2 - F¡ ( ª 21 )

F2 ~ F2 - F¡ ( 1 O)

[Alb]= O

2rz 12

La operación el la fila 3 es:

F3 ~ F3 - F¡ ( ª31)

F3 ~ F3 - F¡ (-5)

1 -% -2 -~

[A I b] = O 2_% 12 Yi o -% -4 -%

23 Ahora el pi,;ote es el elemento a

F2 ~F2 1

a,.,.,

F2 ~F2 2

1 -% [A l b]= O 1

-2 -~ 2Yz3 ri3 -4 -%

Ahora se debe 11acer cero el elemento a12

F¡ ~ F¡ - F2 ( ª12) -7

F¡ ~F¡-F2 4

[A b]= O 1

_3/ /23

F3 ~ F3 - F2 ( ª32) -7

R ~F~ -F? ~ ~ - 4

1 o _4/ /23

[A l b]= O 1

24/ /23

50/ /23

_3/ /23

%3 _20/

50 Ahora el pi\iOte es el eleme11to a

F3 ----) F3 1

F~ ----) F~ 23

~ ~ 50

[A lb]= O

F; ----) F; - F3 ( ª1 3)

-4 F¡ ----) F¡ - F3

(Alb]= O 1

Ahora se debe hacer cero el elemento ª u

F2 ----) F2 - F3 ( ª 23 )

24 F7 ----) F7 - F~

- - ~ 23

1 o o Ys [1 1 b *] = o 1 o -Ys

o o 1 Ys

La solución por tanto es:

En el cuadro 4. 3 se presenta el programa en MATLAB para la solución de un sistema de ecuaciones por el IVIétodo de GaussJ ordan.

% Método de Gauss Jordan % %

% Solución del sistema de ecuaciones lineales: %

% [A] {x}={b} %

% Def inicion de la matriz [A] y vector [b]

A= [-4 7 8; 10 b= [ 1 0 Ü] I ;

-6 -a·-s I 7 6] ;

% Matriz aumentada [M]=[A b]

M = [A b]; p = size(M,1);

for i=l:p

M ( i I : ) =M ( i I : ) /M ( i I i)

for j=l:p if i-=j

M(j,:) = M(j,:)-M(i,:)*M(j,i) end

end end

% Solución {x}

X= M(:,p+l)

Cuadro 4.3: P rograma en l\.IA TLAB del l\Iétodo G auss-Jordan.

Ejemplo:

La siguiente es la solució11 paso a paso del problema a11terior.

1 . 0000 1 0 . 0000 - 5 . 0000

1 . 0000 o

- 5 . 0000

1 . 0000 o o

- 1 . 750 0 - 6 . 0000

7 . 0000

- 1 . 7500 11 . 5000

7 . 0000

- 1 . 7500 11 . 5000 - 1 . 7500

- 1 . 7500 1 . 0000

- 1 . 7500

o 1 . 0000

- 1 . 750 0

- 2 . 0000 - 8 . 0000

6 . 0000

- 2 . 0000 12 . 0000

6 . 0000

- 2 . 0000 12 . 0000 - 4 . 0000

- 2 . 0000 1 . 0435

- 4 . 0000

- 0 . 173 9 1 . 0435

- 4 . 0000

- 0 . 2500 o o

- 0 . 2500 2 . 5000

- 1 . 2500

- 0 . 2500 0 . 2 174

- 1 . 2500

0 . 1304 0 . 2 174

- 1 . 2500

1 . 0000 o o

1 .000 0 o o

0 . 200 0 - 0 . 2000

0 .4 000

o 1 .000 0

o 1 . 0000

- 0 .173 9 1 .0435

- 2 . 173 9

- 0 . 173 9 1 . 0435 1 . 0000

o 1 . 0435 1 .000 0

1 . 0000

0 .1304 0 .2174

- 0 . 8696

0 . 1304 0 . 2174 0 .4 000

0 . 2000 0 . 2174 0 .400 0

0 .200 0 - 0 . 2000

0 . 400 0

El programa del cuadro 4. 3 (JVIétodo de Gauss-.Jordan) se puede extender para solucionar sistemas con múltiples vectores, el cual se presenta en el cuadro 4.4.

% Metodo de Gauss Jordan % %

% Solucion del sistema de ecuaciones lineales: %

% [A] [X]= [B] %

% Definición de las matrices [A], [B]

A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5 7 6];

B=[lO O O¡O 5 O]';

% Matriz aumentada [M]=[A B]

M = [A B] ;

[p, k] =size (B) ;

for i=l:p

M ( i, : ) =M ( i, : ) /M ( i, i)

f or if

end end

j=l:p • • l. - =J M(j, :) =

% Solución [X]

X= M(:,p+l:p+k)

M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)

Cuadro 4.4: Programa del l\Iétodo de Gauss-Jordan: vectores múlt iples.

Ejemplo:

Utilizar el programa anterior de MATLi\B , para resol,1er el sistema

-4 7 8 X1

10 -6 -8 X ,,

-5 7 6 X~

>> M =

-4 10 - 5

o 10 o

5 10 o

o 1.4 000 1 . 0000 o o

o 1 . 0000

o o 1 . 6000

1. 0000 - 0 . 7000

1 . 400 0 1 . 6000

- 0 . 7000

2 . 400 0 0 . 6000 1 . 3000

4. 6 l\llétodo de Cholesky

2 . 40 00 0 . 6000 1 . 3000

En ciertas aplicaciones de ingeniería para la solución de grandes sistemas de ecuaciones, se presentan algunas propiedades de matrices , que son de gra11 utilidad en la solució11 del problema. Es el caso de ecuacio11es encontradas e11 I11geniería Estructural. Este tipo especial de matrices son de banda, reales, simétricas y definida-positivas.

Si una matriz [i\]n::n es simétrica, y definida-positiva, se puede descomponer de la forma:

[A]=(G](G]r

Donde:

[ G ]nxn: IVIatriz triangular inferior

[ G]:n : IVIatriz triangular superior

Por tanto la solución del sistema [A] [X]= [ B] se simplifica computacionalmente re-escribiendo:

La anterior ecuació11 se puede resol,;er por un par de ecuaciones expresadas de la forma:

(G](Y]=(B]

Ejemplo:

Resol,;er el sistema

[A][X]=[B]

Donde,

1 -1 -1 2 X¡ 2

(A)= -1 5 -3 o [X)= X2

[B)= -4

1 -3 3 o X3 4 2 o o 7 X4 1

a) El primer paso es obtener la matriz [G] :

ª ') 1 g - - - -1 21 - 1 -

ª~1 g31 = { = 1

0-(2)(1)-(1)(-1) g43 = 1 = -1

g44=~7-(1 + 1 +4)= 1

La matriz que se obtiene es:

o o o o 1 o

2 1 - 1 1

b) A continuación se debe resol,;er:

(G] [Y]=[B]

1 o o o 2

- 1 2 o o -4

1 - 1 1 o 4

2 1 - 1 1 1

Resol,;iendo para y1

y =2 • 1

Resol,;iendo la segu11da ecuación

2y =-4 +y =-4+2 =-2 2 1

Resol\;iendo la tercera ecuación :

Y3 = 4+ Y2 - y1 = 4-1- 2

Y finalmente se resuel\1e la última ecuación

Y4 =l +y3 - .Y2 - 2y1 = 1+1 +1 -4

y4 =-1

c) El tercer paso es resol\;er la ecuación:

La matriz aume11tada que se obtiene es :

1 -1 -1 2 2

o 2 2 1 - 1

o o 1 -1 1

o o o 1 - 1

Resol\;iendo la cuarta ecuación para x4

Resol\;iendo la tercera ecuación para x3 , se obtiene:

X3 = 1 + X4 = 1-1

X3 = Ü

Resol\1iendo la segunda ecuación para x2 :

2x2 =-l +x3 - x4 =-1+ 0+1

X2 = Ü

Finalmente,

X 1 = 2 + X 2 - X 3 - 2x4 = 2 + Ü + Ü + 2

La solución es:

X1 = 4

X2 =Ü

X 3 = Ü

X4 =-}

4. 7 Factorización L U

Si la matriz [,L\] es de orden m x n )' se puede escribir como el producto de dos matrices

[A]= [L][U]

donde [L] es una matriz triangular inferior de orden m x m )1 [U] es u11a inatriz tria11gular superior de orden m x n. Para u11a matriz de orden 3x3 tiene la forma :

U12 U13 [U] = O u22 U')~ _ _,

o o U~~ _, _,

y una matriz inferior

L1 i o o [L ] = L21 L22 o

L31 L~,, :>.- L33

Considérese el sistema [ L] [ x] = [e]

Si se resuel\1en las ecuaciones come11za11do por la primera, las soluciones toman la forma:

e X = 1

1 L 11

1 x~ = (e~ - L,.1x1 + L~,,x,, )

:> L :> J :> ..... .....

El procedimiento anterior se conoce como substitución 11acia adelante, y es similar al proceso de substitución hacia atrás o regresiva usado en el IVIétodo de Eliminación de Gauss.

Dado un sistema de ecuaciones:

[A][x]=[f ]

se puede escribir la anterior ecuación:

[A][ x] = ([L ][U ])[ x] = [ / ]

[A][ x] = [Ll([u][ x]) = [ / ]

Si se define [y] = [U] [X] entonces,

[A][x]=[L][z]=[f]

Como [L] es una matriz triangular superior este sistema puede resol,;erse mediante una sustitución hacia abajo. Una ' ;ez se calcula [z], se puede obtener el vector de incógnitas [x] :

[u ][ x]=[z]

Como la matriz [U] es triangular superior; el sistema de ecuaciones se puede resol,;er mediante sustitución hacia atrás.

Ejemplo:

Dada la matrices [I(] , [L] , [U] y [f] aplique la descomposición LU,

para resol,;er el sistema de ecuacio11es [ K] [ x] = [ f ]

4 -2 1 x1

20 -7 12 X 2 65

-8 13 17 X3 15

[K]=[L][U]= 5

o 4 -2 1

o o 3 7

1 o o -2

Primero se debe resol,;er [A][ x] = [ L ][ z] = [/]

Por eliminación, nos queda:

=2=65-5(10)=15

=3 =15+2(10)-3(15)=-JO

Ahora debemos resolver el sistema [U] [ x] = [ z]

4 -2 1

o o -2

En forma de ecuaciones queda:

- 2 X =-JO 3

Al resolver usando sustitución hacia atrás , obtenemos:

= 5-7(5)!3=-6.667

= 2.5 -5/4+2(-6.667)/4=-2.084

4.8 Referencias

Beaufait, F. ,,._ y Cliff, ,,. Computcr Mcthods of Structural Analysis. Prentice Hall, 1970.

l(iusalaas , .J. Numcrical JV!cthods in Enginccring with JV!ATLAB. Cambridge University Press , 2009.

Laub, i\. lllf atrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. SIAM: Society for Industrial and i\.pplied Mathematics . Philadelphia, 2004.

Mathews .J , Fink, l( . JV!étodos Numéricos con lllfATLAB, Iviadrid , Pre11tice Hall, 2000.

Hsieh , Y T eoría Elemental de Estructuras. Prentice Hall Hispanoamericana, Iviéxico, D F. , 1970.

Uribe, .J. lllficrocomputadorcs en Ingeniería Estructural. Ecoe Ediciones, Colo1nbia, 1995.

'''atkins, D. Fundamcntals of JV!atrix Computations_,,.iley Interscience, N ev.r Y orl<., 2002.

Yang, ''' Y et. AL Applicd Numcrical JV!cthods Using J11fATLAB. ''Tile)1-I11terscience, 2005.

4.9 P roblemas

1) Solucionar el siste1na de ecuaciones siguiente usando in·versión. Verificar la solución usa11do ]\1IA TLAB .

X1 + 5x2 + X 3 = 1

4x1 +2x3 = 3

X? + X~ = 2 - ~

2) Resol\1er por la regla de Cra1ner el sistema [A] [ x] = [ b]

(A]= - 1 3 -2

2 -3 5

[b] = 5

3) Resol,1er el problema 2 por el IYiétodo de Eliminación de Gauss.

4) Resolver el sistema de ecuaciones, por el IYiétodo de Eliminación de Gauss.

2x1 -3x

3 + 2x

4 = 30

-x1 + x2 + 2x3 - 2x4 = -26

X1 - X 2 + X 3 + X 4 = 8

3x1 + 2x2

- x4 = 6

.5) Resol,1er por el Método de Gauss-.Jordan el sistema

[A][x]=[b]

15 -5 o [A]= -5 15 5

o -5 20

[b] = o o

6) Resol,1er por el Método de Gauss-.Jordan el sistema

[A][X]=[B]

15 -5 o [A]= -5 15 5

o -5 20

5 15 10

[ B] = O 10 O

A11exo

Dife1·e11ciació11 e i11teg1·ació11 de inat1·ices

C011 MATLAB .

En muchas aplicaciones de i\.nálisis Matricial de Estructuras y en el Método de Elementos Finitos; se deben obtener las derivadas e integrales de matrices . i\.quí se prese11ta una breve i11troducció11 a su cálculo en :NIA TLAB .

Ejemplo Al:

Dada el vector fila [N]

[ N] = [ x 2x]

Se define en Nii\. TLi\.B mediante:

>> syms x >> N= [x x*2 ]

[ x , 2*x ]

Para calcular la primera derivada de [N] se usa el comando diff

>> diff (N , x)

[ 1, 2 ]

Para calcular la segunda deri,;ada de (N] se usa la instrucción:

>> diff (N , x ,2 )

a ns -

[ o/ o]

Pa.ra ca.lcular la integral de (N] con MATLAB entre los limites de integración xi )' xf se usa la instrucción i nt ( N, xí, xf)

Entonces, para calcular la integral de [N] entre x=Ü y x=l , se usa la instrucción:

>> i nt(N , 0 ,1)

a ns =

[ 1 /2 , 1]

Ejemplo A2:

Dada la matriz

X Ü [B] =

Se define en M i\ TL.A.B , media11te la instrucción:

>> syms x >> B= [x 0 ; 0 xA2]

( X / 0) [ o / X A 2 ]

Para calcular la integral de [B] , entre x =Ü y x=2, se usa la instrucción:

>> BI =int (B , x , 0 , 2)

[ 2 f o] [ o, 8/3 ]

Ejemplo A3:

Dada la matriz

[C]= o

Se define en M i\ TL.A.B , rnedia11te la instrucción:

>> syms >> C= [x

X L x/ L; O

[ x , x/L ] [ O, x/ L ]

x* (1/L ) ]

Pa.ra calcular la integra l de [O] entre x=Ü y x=L, se usa la instrucción:

>> i nt(C , x , 0 ,L )

[ 1/2* L/\ 2, [ o f

1/2* L] 1/2* L]

Ejemplo A4:

Dada la matriz

(C]= x3 X

Se define en IVIi\. TL.A.B como:

>> syrns x L >> C= [x xA2 ; xA3 xA 2 ]

[ X ' X A 2 ] [ xA3 , xA2 ]

Para calcular la primera, segunda deri,;ada )1 tercera deri,;ada de [O] se usan las instrucciones:

>> di f f (C , x)

a n s -

[ 1, 2*x ] [ 3*xA2, 2*x ]

>> di f f (C , x ,2 )

[ o' 2 ] [ 6*x , 2 ]

>> diff (C , x , 3)

[ o f o] [ 6 f o ]

Pa.ra calcular la integral de [C] entre x=Ü )i x=2, se usa la instrucción:

>> i nt (C , x , 0 ,2 )

[ 2 , 8 / 3 ] [ 4 , 8 / 3 ]

Para calcular la integral de [C] entre x=Ü y x=L, se usa la instrucción:

>> i nt (C , x , 0 ,1 )

[ 1/ 2*1" 2, 1/ 3*1" 3 ] [ 1/ 4*1" 4, 1/ 3*1" 3 ]

Para calcular el producto [ C] [ C] T se da la instrucción:

>> C*transpose (C )

[ x" 2 +x" 2 / 1" 2, [ x" 2/ 1" 2,

x " 2/ 1" 2 ] x" 2/ 1" 2 ]

Para calcular la integral de [C][C]T entre x=Ü y x=L, se usa la instrucción:

>> i nt(C*transpose(C) , x , 0 ,L)

a ns =

( 1/3* (1+1/LA2) *LA3, [ 1/3* L,

1/3* L] 1/3*L]

Para calcular la integral de [C]T[C] entre x=Ü y x=L, se usa la instrucción:

>> i nt(t r anspose(C) *C , x , 0 ,L )

[ 1/3* LA3, [ 1/3* LA2,

1/ 3*LA 2] 2/3*L]

~·f ... ) .)

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