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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
Nombre: Jimmy Pitacuar
Curso: GR"13"
SOLUCIONARIO DE GEOMETRÍA
ÁNGULOS
5) Dos ángulos son suplementarios; uno de ellos es disminuido en
rad para ser agregad
al otro de tal manera que este nuevo ángulo es igual a cuatro veces el resto del primero.
¿Cuánto mide el ángulo?
11) Dos veces la medida de un ángulo es
rad menos, que los
la medida de su
complemento. ¿Cuál es la medida del ángulo?
14) Los ángulos x, y, z son proporcionales a los números 4, 5 y 8. Hallar el .
D) ∡X+∡Y =180°
4(∡X - 15°)= ∡Y +15°
4∡X-60°= (180°-∡X) +15°
5∡X=255°
∡X=51°
D) ∡Y =180° -∡X
∡Y= 180°-51°
∡Y=129°
D)2∡X+30°= (180°- ∡X)
14∡X +210°= +540°- ∡X
17∡X=330°
∡X=19,41°
∡Y=5A=5(10,59°)
∡Y=52,94°
Pag. 34 (Ejercicio 33)
Pag. 34 (Ejercicio 34)
Pag. 34 (Ejercicio 35)
T) ∡X= ?
D) 40°+ ∡1=70°
∡1=30°
∡X+∡1=96°
∡X= 96°+30°
∡X=66°
T) ∡X= ?
D) 70°+ ∡X=95°
∡X=95°-70°
∡X= 25°
D) ∡1+∡2=114°
∡3+∡4=∡X
∡4= 18°
∡X=18°+∡3
∡X= 18°+24°
∡X=42°
T) ∡X= ?
Pag. 36 (Ejercicio 52)
Hipótesis: Tesis:
Demostración:
TRIÁNGULOS
Pag. 52 (Ejercicio 69)
T) ∡X= ?
D) ∡1=50°
∡1+4∡ α = 4∡w
50°=4∡w - 4∡α
∡w=12.5° + ∡α
2∡1 =100°
∡X+3∡w = ∡1+3∡α
∡X+3(12.5° + ∡α )= ∡1+3∡α
∡X+37.5°+3∡w = 50°+3∡α
∡X=50°- 37.5°
∡X =12.5°
Pag. 45 (Ejercicio 4)
Pag. 46 (Ejercicio 12)
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Pag. 60 (Ejercicio 8)
D) ∡A+∡B +∡C=180°
50° +∡B+70° =180°
∡B=60°
∡B+∡D +∡E=180°
60°+∡D +80° =180°
∡D=40°
∡X=40°
H) ∡A=50°
∡C=70°
∡BED=80°
T) ∡X= ?
D) ∡2+23° =90°
∡2=67 °
2∡1=90°
∡1=45 °
∡B+∡1+∡2 =180°
∡B+45°+67°=180°
∡B=68°
∡B+∡X =90°
∡X =90°- 68°
∡X = 22°
T) ∡X= ?
H) AB=AC
BD=DC
∡1=∡2
T) BF=EC
D) ∡ABC =∡ACB
∡4=∡4
∡3=∡3
BD=DC
ΔBED ≅ ΔFDC
∡BED= ∡FDC
ED=FD
∡5+∡2 =∡5+∡1
ED=FD
BD=DC
ΔBFD ≅ ΔEDC
BF=EC
Pag. 63 (Ejercicio 36)
Pag. 64 (Ejercicio 46)
D) ΔADL ≅ ΔDLP
ΔPEM ≅ ΔMEC
∡A+84°+C=180°
∡A+∡C=96°
∡1+∡2+∡X=180°
∡1= ∡A
∡2= ∡C
∡A+∡C +∡X=180°
96°+∡X=180°
∡X=84°
H) AL=LP
PM=MC
∡X=?
T) ∡X= ?
D) ΔAPD ≅ ΔPBD
∡ABD= ∡A
ΔBQE ≅ ΔCEQ
∡EBQ=∡C
2∡A+2∡C+∡X=180°
∡ABC=∡A+∡C +∡X
2(∡ABC - ∡X)+∡X=180°
2∡ABC - 2∡X+∡X=180°
∡X=2∡ABC - 180°
T) ∡X= 2∡ABC-180°
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Pag. 81 (Ejercicio 3)
Pag. 81 (Ejercicio 9)
Pag. 84 (Ejercicio 40)
D) AC=AD+CD
AC=8+12
AC=20
∡C=∡C
ΔCDE ≈ ΔABC
∡CDE=∡CAB
∡CED=∡CBA
DE ‖ AB
H) CD= 12u
CE=15u
DA=8u
CB=25u
T) DE ‖ AB
D) ∡C=∡C
ΔABC ≈ ΔEDC
AB×EC=ED×BC
T) AB×EC=ED×BC
D) ΔAPM ≈ ΔAPB
AP2 =AB×AM
AP= AN
AN2 =AB×AM
H) PN bisectríz ∡MPB
AP= AN
T) AN2 =AB×AM
Pag. 84 (Ejercicio 34)
Pag. 86 (Ejercicio 59)
H) ΔABC Escaleno
AD= 2DB
CF=2FB
T) DE×EA=EC×EF
D) ∡B=∡B
AD=2DB
AB=AD+DB
AB=2DB+DB
AB=3DB
BC=BF+FC
BC=BF+2BF
BC=3BF
ΔABC ≈ ΔDBF
DF ‖ AC
∡C=∡DBF
ΔDEF ≈ ΔAEC
DE×EA=EC×EF
D) ∡1=∡1
∡2=∡2
ΔADP ≈ ΔPEB
∡5=∡6
∡6=∡6
ΔDQP ≈ ΔAPB
AP2 =b2×ab
AP2
=AB×AM
AP= AN
T) AP2 =b2×ab
Pag. 87 (Ejercicio 64)
D) ∡BAP=∡QAC
ΔABP ≈ ΔAQC
∡BDP=∡CDQ
ΔPBD ≈ ΔDQC
a.DQ=ab+ b2+b.DQ
H) AP=a
PD=b
T)
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Pag. 94 (Ejercicio 40)
Pag. 95 (Ejercicio 50)
D) AB2=3.6AC
AC=AD+DC
AC=7.2+DC
82=AC×HC
64=AC(3.6+DC)
64=(7.2+DC).(3.6+DC)
64=25.92+10.8DC+DC2
DC2+10.8DC-38.08=0
DC=2.8
∡2=∡2
ΔABC ≈ ΔDEC
DE=1.68
T) DE=1.68
D) ∡C=∡C
ΔHBC ≈ ΔADC
EC2=BC×DC
BD×DE=AC×HC
EC2=AC×HC
EC=
EC=
H) AB=BC
T) EC=
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESCALENOS
Pag. 104 (Ejercicio 44)
Pag. 116 (Ejercicio 48)
D) CD×AP×EB=DA×PE×CB
7×AP×8=9×PE×14
PE=
AE2 ×CB=(EB×AC2)+(CE×AB2)-(CE×EB×CB)
AE2 ×14= (8×162 )+ (6×172)-(6×8×14)
AE=14,9 u
AE=AP+PE
14,9=
PE+PE
13PE=14,9×4
PE=4,58 u
H) AB=17u
T) PE=
D)
EC=11,74
BEC=54,03 u2
T) BEC= u2
Pag. 115 (Ejercicio 26)
D) BC2= PC×AC
242 =PC(6+PC)
PC2+6PC-576=0
PC=21,19u
BP2= 242- 21,192
BP2= 11,27u
=
u2
BP=BO+OP
11,27=BO+OP
OP=11,27-BO
CE×BO×AP=BE×OP×AC
18×BO×6=6×OP×AC
18BO=OP(6+PC)
18BO=(11,27-BO)(6+21,19)
BO= 6,78u
u2
A = 69,66-17,96 u2
A = 51,7u2
T) A = 51,7u2
Pag. 118 (Ejercicio 71)
D) BD×AE×CF=AD×EC×BF
2×7×8=3×CE×17
EC=2,2
BC2= AB2+AC2-2(AB)(AC)cos∢A
92= 52+9,22-2(5)(9,2)cos∢A
∢A=71,86°
A
ABC=21,86 u2
A
DAE=9,98 u2
u2
T) DBEC= u2
CÍRCULOS
Pag. 126 (Ejercicio 17)
Pag. 124 (Ejercicio 2)
T) ∢X= 50°
D) 100°=
∢X=-90°+
∢X=-90°+140°
X=50°
D)
B=65°
T) ∢B= 65°
Pag. 125 (Ejercicio 11)
Pag. 126 (Ejercicio 20)
H) BD=OA=OE=OC
T)
D)
B=∢ -∢B
H)
T) AB=17,89
D)
ΔABD ≈ ΔABE
AB2=320
AB=17,89
CUERDAS
Deber (Ejercicio 9)
Deber (Ejercicio 3)
D) BC2=BP×PE
82= 82+102-2(8)(10)cos∢1
cos∢1=0,625
62= 62+PE2-2(6)cos∢1
PE=7,5
BE=BP+PE
BE=10+7,5
BE=17,5
BC2= BP×PE
BC2= 10×17,5
BC=13,23
D)
=
Deber (Ejercicio 2)
Pag. 142 (Ejercicio 38)
Demostración:
≈ DF2 = AF x FP
DF2 = (a+b)b
(a+b) b = AF x FP DF =
D)
=
Pag. 163 (Ejercicio 39)
Demostración:
AC x CB = DC x CP
48 = DC x CP
CP2 = 48
CP = 6.93
ÁREAS CIRCULARES
Pag. 175 (Ejercicio 48)
Tesis: Sx =?
Demostración:
cos
S
AC = 26.31 =
40°
Sa-b =
(
) cos
CD= 14.90
(
)
5.42
S
Sx = S S + Sa-b
= 125. 99 – 35.68 + 5.42 = 95.75 u2
Pag. 175 (Ejercicio 49)
Hipotesis: O1O2 =24
Tesis: Sx=?
O1O2 = O1A + R O1O2 = O1C + CO2 R22 = R1
2 + (O1O2)2 – 2R1 O1O2COS
24 = O1A +12 24 = 18 + CO2 122 = 182 + 242 – 2x18x24 cos
O1A = 12 CO2 = 6
SB-C =
(
) R1
2 = R22 + O1O2
2 – 2R2 O1O2 cos
= 3.44 u2 82 = 122 + 242 – 2x12x24 cos
BC2 = R12 + R1
2 - 2 R12 cos SA_B =
(
)
BC2 = 9 = 6.24 u2
=
S
= 26.15 Sx = S SB-C + SA_B
Sx= 26.15 + 3.44 + 6.24 Sx = 35. 83 u2
Deber (Ejercicio 1) Demostración:
Tan
EC = 102.68 L. coseno EC2 = DE2 + OC2 – 2OECO cos 102.68° 61 = R2 + R2 – 2R2 cos 102.68° 61 = 2R2 ( 1 – coas 102.68°) R = 5
SE-C =
(
) Sx = S SE-C
Sa-b =
(
) Sx =
+ 10.21
SE-C= 10.21 Sx = 25.21 u2
Pag. 174 (Ejercicio 41)
H) OM=MB=C
T) Sx=?
D) AM= =1039
cos =
= 60° β=120°
Sx=SAOB+S MAO
= 181,97 u2
Deber (Ejercicio 4) Demostración:
SA-C =
(
)
SA-C =
(
)
SA-C = 8 = 2r + w w = 8 – 2r
BD= 2r + 2w
BD = 128 = 2r + 16 - 4r
BD = 2r = - r = 2.34 SO ( o, r ) = πR2 = π (2.34)2 Sx = 2 S A-C - SO ( o, r ) = 17.25 Sx= 36.53 – 17.25
Sx = 19.28 u2
Deber (Ejercicio 2) Demostración:
(alt. Internos) ley senos
=
AO = 6.62= R
SD-B = =
(
)
=
SD-B = =
(
) BD = 8.51
SD-B = =
Ley cosenos S =
AO2 = AB2 + BD2 – 2BBD cosa 75° S =
AO2= 122 + 8.512 – 2x12x8.51 cosa 75° S = 49.06 AO = 12.79 Sx= S SD-B Sx = 58.35 u2 Pag. 172 (Ejercicio 19)
Tesis: Sx = ? Demostración:
56°= 110°
SO-B-C =
Ley senos Sx = S - SO-B-C
SO-B-C = 33.91
=
Sx=
– 33.91
PO = 20.94 Sx = 23.11 u2
Folleto (Ejercicio 92)
Hipótesis: OH= 5.56 u y HP = 12.48 u Tesis: calcular el área rayada. Demostración:
En En
OT2 = OP x OH
R2 = 18.04 x 5.56 R = 10
Sx = S - S
Sx=
Sx =
Sx= 25.9 u2
Folleto (Ejercicio 33)
Tesis: x = ? Demostración:
180° 180° 118°
Pag. 174 (Ejercicio 38) Tesis: Sx = ? Demostración:
SO-B-A= =
=
= 12.56
Ley coseno PE2 = Po2 + OE2 – 2POxOEx cos 140 PE2 = 162 + 42 - 2x6x4xcos 140 PE = 9.42
Ley de senos
=
=
15.84
Ley de senos
=
=
PC = 5.04
S =
=
Sx= SO-B-A + S
S = 4.13 Sx = 12.56 + 4.13
Sx = 16.70 u2
Deber (Ejercicio 5) Demostración:
R = R = 5.66
S 0-p-q =
=
AP = 8 – R
S 0-p-q = 25.16 AP = 2.84 = 2.74
Sx = 4 (S Sx = 4 ( 4.10) Sx = 16.4 u2
Deber (Ejercicio 6)
Demostración:
DC = DC = 17.32
En
Tan 30° =
OG= 5.77
SA-O-D =
=
OA = AG + r SA-O-G =
=
= 34.9 r = 11.55 – 10 = 28.85 = 1.55
SG-r= =
Sx = 36.42 + 11.32
= 3.77 SX = 47. 74 u2
POLÍGONOS
Folleto (Ejercicio 97) Cuántos lados tiene un polígono, cuyos ángulos internos sumados, es igual a la suma de los ángulos internos y externos de otro polígono de 16 lados.
=
+
180( n-2) = 180 (16 – 2) + 360 180 n – 360 = 2880 180 n = 3240 n = 18
Folleto (Ejercicio 102)
H) S/// =
AB = 15 u
T) y =?
D) PQ = AB = 15
AP = QB = y
S1=
S1=
S2 = AB * y
S2 = 15y
S/// = 2S1 + S2
= 2(2,32y) +15y
= 19,64 y
tan 36° =
PD = 5,45
S3=
2S1 + S2 =
2(2,32y) +15y =
98,2y = 78,56 + 163,44y
y = 8,32 u
Deber (Ejercicio 9)
El radio de un polígono regular es 10 m y su área es 200√2 m². Determinar el número total
de diagonales que tiene el polígono. Respuesta 20
A =
α =
# Totales diagonales =
=
= 20
Pag. 196 (Ejercicio 39)
Calcular el lado de un cuadrado inscrito en un círculo si la superficie de un octágono regular inscrito
en el mismo círculo es 35,44 u². Respuesta 5 u.
Soct =
35,44 = R2 (8) sen
R2 =
R = 3,54 u
CB2 = R2 + R2
CB =
CB = 5 u
n
3 4 5 6 7 8
2,6 4
4,78 5,2
5,47 5,66
Folleto (Ejercicio 81) T) y = ?
D) x2 + x2 = R2
R = √2 x => x =
R2 = R2 + x2 – 2Rxcos (∆EOC)
0 =
OD2 = OE2 + ED2 – 2OE*ED*cos
0 = (R + y)2 – 2R*(R + y)*cos 41,4°
2R*cos 41,4° = R + y
y = 2R*cos 41,4° - R
= R ( 2* cos 41,4° - 1) = R(0,5)
=
Pag. 181 (Ejercicio 96) H) ABCD cuadrado
T) Sx = 5,37
D) SABCD = 25
S1 = π (2,5)2 = 19,63
Sx = SABCD - S1
Sx= 25 – 19,63
Sx =5,37 u2
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