Modelado de circuitos con ED de orden superior

Modelado de circuitos con ED de orden superior

JUAN CAMILO SACANAMBOY

UNIVERSIDAD ICESI

Elementos básicos de un circuito

1. Resistencias 2. Fuentes de voltaje 3. Capacitores 4. Inductores

Fuente: http://mantenimientolia7uaem.blogspot.com/2010/10/circuitos-electricos.html

Resistencia

• Oposición al flujo de la corriente • Unidad de medida ( Ohm - Ω ) • Comportamiento lineal

Fuente:http://electrof.galeon.com/pag5.htm

Fuentes de voltaje

• Generan diferencia de potencial para que circule corriente a través del circuito.

• Unidad de medida (Volts – V)

Fuente: http://mikrog.com/conceptos-basicos/parte-i/13-ique-es-una-fuente-de-voltaje.html

Capacitor

• Almacenan energía en forma de campo eléctrico • Períodos de carga y descarga • Almacenar y ceder energía eléctrica en los

períodos definidos. • Unidad de medida (Farad –F)

Fuente: http://www.ladyada.net/images/parts/1000uf.jpg

Inductor

• Almacenan energía en forma de campo magnético

• Se oponen a los cambios bruscos de la corriente

• Unidad de medida (Henrio – H)

• Fuente: http://www.clker.com/cliparts/6/9/a/8/1223615567190235753rsamurti_RSA_IEC_Inductor_Symbol-

1.svg.med.png

Partes de un circuito

1. Mallas

2. Nodos

Malla

• Camino cerrado en un circuito eléctrico

Fuente: http://www.danielmunoz.com.ar/blog/wp-content/uploads/2009/12/c16.JPG

En cada malla hay una corriente 𝐼𝑛 diferente

2 mallas 3 mallas

Nodo

• Punto donde 2 o más elementos tienen una conexión común

Nodos: (a, b, c, d, e, f)

Ley de Ohm

Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_jeU9YFb25fk/SYCmJix0OwI/AAAAAAAAAI8/_QzFWnWQWLU/s400/ley+de+ohm.gif

Leyes de Kirchhoff

• Ley de voltajes (LVK) Método de mallas

• Ley de corrientes (LCK) Método de nodos

LVK-Ley de Voltajes

• La suma de voltajes en una malla es igual a cero.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Kirchhoff

Aplicando LVK y Ley de Ohm

• Calcular 𝑉𝑅1 (Voltaje en la resistencia R1), usando LVK y Ley de Ohm

Solución

i

−5𝑉 + 𝑉𝑅1 = 0 LVK −5𝑉 + (𝐼𝑅1 × 𝑅𝑅1) Ley de Ohm

−5𝑉 + 𝑖 × 1Ω = 0

𝑖 =5𝑉

1 Ω= 5 𝐴 Corriente de la malla

Voltaje en R1: 𝑽𝑹𝟏 = 𝐼𝑅1 × 𝑅𝑅1 = 5𝐴 × 1Ω = 5𝑉

¿Por qué se usan ED para modelar circuitos?

• Cuando se involucran componentes que no tienen un comportamiento lineal (Capacitores e inductores).

Sistema

• Sistemas LTI: Lineales e invariantes en el tiempo • h Función de transferencia!!

ℎ x y

Sistemas LTI • Lineales

a =constante

h x y

h ax ay

h x1 y1

h x2 y2

h x1+x2 y1+y2

Sistemas LTI

• Invariantes en el tiempo

– Comportamiento

– Características Fijos en el tiempo

ℎ(t) x(t) y(t)

ℎ(t) 𝑥(𝑡 − 𝑡0)) 𝑦(𝑡 − 𝑡0)

h(t) Función de transferencia!!

Circuito RLC

• Resistencia (R), Inductor (L), Capacitor(C)

• Filtrado de frecuencias (paso bajo, paso alto).

i

Fórmulas

Resistencia Capacitor Inductor

𝑉𝑅 = 𝐼𝑅 × 𝑅𝑅 𝑉𝐶 =

1

𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝐼𝑅 = 𝑉𝑅𝑅𝑅

𝐼𝐶 = 𝐶 𝑑𝑉

𝑑𝑡 𝐼𝐿 =

1

𝐿 𝑉 𝑡 𝑑𝑡

Resolver por mallas

−𝑥 𝑡 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑅𝑖 + 𝑉𝑐 = 0

−𝑥 𝑡 + 1𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 10𝑖 + 𝑉𝑐 = 0

−𝑥 𝑡 +𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 10 𝑖 + 𝑦 𝑡 = 0 , 𝑉𝑐 = 𝑦(𝑡) Salida

La corriente es la misma en toda la malla:

𝑖 = 𝐼𝐶 = 𝐶𝑑𝑦

𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡

i

Reemplazando −𝑥 𝑡 +

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 10

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑦 𝑡 = 0

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒕𝟐+ 𝟏𝟎

𝒅𝒚

𝒅𝒕+ 𝒚 𝒕 = 𝒙 𝒕

x(t) Entrada del sistema

i) Homogénea

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 10

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑦 𝑡 =0

Ecuación auxiliar 𝑠2 + 10𝑠 + 1 = 0

𝑟1 = −0.1 𝑟2 = −9.9

Solución del homogéneo

𝒚𝑪 𝒕 = 𝑪𝟏𝒆−𝟎.𝟏𝒕 + 𝑪𝟐𝒆

−𝟗.𝟗𝒕

ED que representa al sistema

Hallar la función de transferencia H(t)

• Método de variación de parámetros

– Ecuación 𝑑2𝑦

𝑑𝑥+ 𝑘

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ +𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) , Raíces: 𝑦1 y 𝑦2

– Hallar solución particular 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 , donde:

𝑢1′ =

𝑊1

𝑊 𝑢2

′ =𝑊2

𝑊

𝑊 = 𝑦1 𝑦2𝑦1′ 𝑦2′

𝑊1 =0 𝑦2𝑓(𝑥) 𝑦2′

𝑊2 =𝑦1 0

𝑦1′ 𝑓(𝑥)

Hallar la función de transferencia H(t)

– Retomando: 𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+ 10

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡

𝑦1 𝑡 = 𝑒−0.1𝑡 𝑦2 𝑡 = 𝑒

−9.9𝑡

𝑊 = 𝑒−0.1𝑡 𝑒−9.9𝑡

−0.1𝑒−0.1𝑡 −9.9𝑒−9.9𝑡 = −9.9𝑒−𝑡 + 0.1𝑒−𝑡 = −9.8𝑒−𝑡

𝑊1 = 0 𝑒−9.9𝑡

𝑥(𝑡) −9.9𝑒−9.9𝑡= −𝑥(𝑡)𝑒−9.9𝑡

𝑊2 =𝑒−0.1𝑡 0

−0.1𝑒−0.1𝑡 𝑥(𝑡)= 𝑥(𝑡)𝑒−0.1𝑡

Hallar la función de transferencia H(t)

𝑢1′ =

−𝑥 𝑡 𝑒−9.9𝑡

−9.8𝑒−𝑡 𝑢2

′ = 𝑥 𝑡 𝑒−0.1𝑡

−9.8𝑒−𝑡

𝑢1 = −𝑥 𝑡 𝑒−9.9𝑡

−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡 𝑢2 =

𝑥 𝑡 𝑒−0.1𝑡

−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡

𝑢1 = −𝛿 𝑡 𝑒−9.9𝑡

−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡 𝑢2 =

𝛿 𝑡 𝑒−0.1𝑡

−9.8𝑒−𝑡𝑑𝑡

Se pone como entrada 𝑥(𝑡), a la función impulso

(también llamada función delta de dirac) 𝛿(𝑡)

Hallar la función de transferencia H(t)

• Función impulso δ(x)

𝛿 𝑥 = ∞, 𝑥 = 0

0, 𝑥 ≠ 0

Dato curioso: Al aplicar como entrada una función impulso a un sistema LTI, la salida del sistema es la función de transferencia h(t) !!!!

Hallar la función de transferencia H(t)

• Propiedad de la función impulso δ(t)

𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡0)

Hallar la función de transferencia H(t)

𝑢1 =1

9.8 𝑢2 =

−1

9.8

𝑦𝑝 =1

9.8𝑒−0.1𝑡 −

1

9.8𝑒−9.9𝑡

𝒉 𝒕 =𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟎.𝟏𝒕 −

𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟗.𝟗𝒕

Función de transferencia del sistema

Representación del sistema LTI

𝒉 𝒕 =𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟎.𝟏𝒕 −

𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟗.𝟗𝒕

x(t) y(t)

Salida de un sistema LTI

• Teniendo la función de transferencia ℎ(𝑡), se puede determinar cual es la salida del sistema 𝑦(𝑡) , dada una entrada 𝑥(𝑡) , por medio de la convolución

• Convolución

𝑟 𝑡 ∗ 𝑠 𝑡 = 𝑟 𝜏 𝑠 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏∞

−∞

Convolución de un pulso cuadrado (entrada) ante el impulso de un condensador

Salida del sistema

Fuente: Wikipedia

Salida de un sistema LTI

• Para calcular la salida 𝑦 𝑡 del sistema LTI: 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)

𝒉 𝒕 =𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟎.𝟏𝒕 −

𝟏

𝟗. 𝟖𝒆−𝟗.𝟗𝒕

x(t) y(t) = x(t) *h(t)

Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)

• Función escalón unitario

𝜇 𝑡 = 1, 𝑡 ≥ 0

0, 𝑡 < 0

Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)

• Hallando la salida 𝑦 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 𝜇 𝑡 = 𝜇 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 𝜇 𝑡

Se añade una función escalón a la función de transferencia, para indicar que no se tenga en cuenta los valores donde t<0

Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)

𝑦 𝑡 = 𝜇 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝜇(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏

∞

−∞

La función 𝜇(𝑡), indica que sólo se debe calcular la integral a partir de 𝑡 ≥ 0 La función 𝜇 𝑡 − 𝜏 , indica que sólo se debe calcular la integral para 𝜏 ≤ 𝑡

𝜇 𝑡 − 𝜏 = 1 cuando 𝑡 − 𝜏 ≥ 0

Con esto, cambian los límites de integración.

Calcular salida a partir de una entrada escalón unitario 𝝁(𝒕)

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0

𝑦 𝑡 = 1

9.8𝑒−0.1(𝑡−𝜏) −

1

9.8𝑒−9.9 𝑡−𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0

𝑦 𝑡 = 1

9.8𝑒−0.1𝑡𝑒0.1𝜏𝑑𝜏 −

1

9.8𝑒−9.9𝑡𝑒9.9𝜏𝑑𝜏

𝑡

0

𝑡

0

𝑦 𝑡 =1

9.8𝑒−0.1𝑡 𝑒0.1𝜏𝑑𝜏 −

1

9.8𝑒−9.9𝑡 𝑒9.9𝜏𝑑𝜏

𝑡

0

𝑡

0

𝑦 𝑡 =1

9.8𝑒−0.1𝑡 10𝑒0.1𝑡 − 10 −

1

9.8𝑒−9.9𝑡

1

9.9𝑒9.9𝑡 −

1

9.9

𝒚 𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟎𝟑𝒆−𝟗.𝟗𝒕 − 𝟏. 𝟎𝟐𝟎𝟒𝒆−𝟎.𝟏𝒕 + 𝟏. 𝟎𝟏𝟎𝟏

Salida del sistema ante una entrada escalón

Simulaciones

• Gráfica de la salida en MATLAB

Simulaciones

• Simulación del sistema en Simulink, usando la transformada de LaPlace para representar H(t)

Resumen

Herramienta Utilidad

Función impulso 𝛿(𝑡) Si 𝑥 𝑡 = 𝛿(𝑡) , 𝑦 𝑡 = ℎ(𝑡)

Convolución 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)

LaPlace Simplificación de operaciones

Método de variación de parámetros Hallar h(t)

ℎ(t) x(t) y(t)