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Algunos conceptos elementales de lógica1
Eduardo Laso
¿Qué es la lógica?
Imaginemos a un estudiante que debe elegir su futura carrera profesional. Luego de varias cavilaciones en torno de sus intereses, las alternativas de salida laboral y los consejos de familiares y conocidos, decide que orientará su formación en el campo de las ciencias sociales. Sus opciones se detienen en dos alternativas: psicología y sociología. Luego de considerarlas, descarta la psicología, así que se decide por la sociología. Lo sepa o no, ha llegado a esta conclusión mediante un razonamiento. Previamente fue descartando otras opciones mediante un curso de pensamientos en el que se han puesto en juego deseos, intereses, gustos y otros procesos psíquicos, hasta llegar a una alternativa de la que descarta una para quedarse con la otra. Este razonamiento se puede escribir así:
1 El presente artículo desarrolla algunos conceptos básicos de la lógica formal a título introductorio al tema, con el objeto de allanar el camino para la posterior comprensión de los temas sobre métodos de investigación científica. Apuntando a ese objetivo, el texto realiza una simplificación de un conjunto de problemas de las ciencias formales para facilitar una primera aproximación al concepto de razonamiento y de validez. Para aquellos que estén interesados en profundizar en la compleja temática de la lógica, pueden remitirse a los textos que se encuentran al final como bibliografía y en los que este artículo se basa.
Estudiaré la carrera de psicología o la carrera de sociología
Pero no estudiaré psicología
___________________________________________________
Así que estudiaré sociología
¿Qué le interesa a la lógica como disciplina en este breve ejemplo? No el proceso mental por el que nuestro estudiante llegó a esta conclusión. Mucho menos los factores subjetivos o de otro orden que pudieron mediar para alcanzar una alternativa como psicología o sociología. Ni siquiera le interesa el contenido mismo del razonamiento: no es materia de la lógica lo que hará nuestro estudiante en su futura vida laboral. En lo que se detendrá la lógica es en el razonamiento mismo, con independencia de su contenido informativo. Su punto de interés será determinar si el razonamiento es correcto. Y para serlo, la conclusión obtenida se debería desprender o inferir de los enunciados de los que parte, o sea, de sus premisas: dado que partimos de una opción entre dos alternativas (estudiar psicología/estudiar sociología) y que se descarta una de ellas (estudiar psicología), se concluye que se afirma la otra alternativa (sociología). Está claro que el interés de la lógica radica en la forma misma del razonamiento y no en su contenido. De ahí que se pueda sustituir las proposiciones por letras y decir que si aceptamos que hay dos alternativas p o q, y descartamos una de ellas –por ejemplo p-‐ entonces sólo se puede concluir q.
En contraste con este ejemplo, supongamos que el estudiante hubiese hecho este razonamiento:
Estudiaré la carrera de psicología o la carrera de sociología
Pero no estudiaré psicología
_______________________________________________
Así que estudiaré filosofía
En este caso, más allá de si efectivamente sea verdad que nuestro estudiante termine estudiando filosofía, la lógica podrá plantear que el razonamiento es incorrecto: no se desprende de los puntos de partida planteados que se pueda llegar a la conclusión propuesta. El razonamiento es en este caso inválido o incorrecto. Es lo mismo que si hubiese dicho:
p o q
No p
___________
Por lo tanto r
No hay manera de justificar la conclusión a partir de los puntos de partida que se tomaron. No se desprende r de la alternativa p o q y no p. De este tema se interesa la lógica: determinar la corrección de las relaciones de implicación entre proposiciones, es decir, de los razonamientos. Estudia los métodos y
principios que permitan distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.2
La lógica no estudia las leyes del pensamiento, que es uno de los temas de estudio de la psicología. Si bien todo razonamiento implica un ejercicio del pensamiento, al revés no todo el pensamiento es un razonamiento. E incluso al pensar un razonamiento, no es materia de la lógica el proceso intelectivo mismo o aquellos procesos mentales que condujeron al razonamiento sino sólo el razonamiento mismo, con independencia de quien lo piense y de los procesos psicológicos involucrados en producirlo. De hecho, la mayor parte del tiempo los procesos de pensamiento no siguen las leyes de la lógica clásica, sino leyes psicológicas ajenas a los principios lógicos. Cabe agregar que la psicología es una ciencia de hechos, no una ciencia formal como la lógica.
Tampoco la lógica estudia el razonamiento en tanto un especial género de pensamiento en el que se realizan inferencias y se derivan conclusiones a partir de premisas. Estudiar determinado tipo de procesos de pensamiento sigue siendo materia de estudio de la psicología y no de la lógica. No son de la incumbencia de la lógica los oscuros caminos por los cuales la mente llega a sus conclusiones 2 En cambio es materia de la Filosofía de la lógica la reflexión en torno de los conceptos que la lógica como ciencia formal aplica: qué es “inferencia”, “verdad”, “validez”, “implicación”, etc. Como tal, la filosofía de la lógica no hace lógica, sino filosofía aplicada a los conceptos que la lógica emplea. Del mismo modo como la filosofía de la ciencia –la Epistemología-‐ no hace ciencia sino filosofía: se pregunta por los conceptos, métodos y supuestos en los que la ciencia misma se basa en su quehacer.
durante los procesos mentales de razonamiento. A la lógica sólo le interesa el razonamiento en sí mismo como producto final de ese proceso, para determinar si el mismo es correcto o no. Es decir, si el razonamiento es válido o inválido. La pregunta que se hace la lógica como ciencia formal es si la conclusión del razonamiento se deriva o no de las premisas o puntos de partida. Un razonamiento es correcto o válido si la conclusión se desprende necesariamente de las premisas, es decir, si las premisas constituyen un fundamento de la conclusión de manera tal que de llegar a afirmar la verdad de las premisas entonces queda garantizada la verdad de la conclusión.
La lógica estudia, en otras palabras, las relaciones de implicación entre proposiciones, es decir, los razonamientos. Como ciencia formal, se desinteresa por el contenido de las proposiciones que conforman los razonamientos, para detenerse en determinar si la conclusión de un razonamiento se deduce necesariamente o no de sus premisas.
Término, oración y proposición
Un término es una palabra –o conjunto de palabras-‐ que poseen una significación referida a cosas, o a cualidades o características de las mismas. Por ejemplo “casa”, “perro”, “lindo”, “alto”, “valeroso”, “mortal”, “el autor del Martín Fierro” son términos, dado que refieren a un objeto, o a una característica o propiedad del objeto. Los términos se limitan a mencionar cosas, no afirman nada de las cosas mencionadas.
Los términos pueden ser categoremáticos o sincategoremáticos. Se llaman categoremáticos a los términos o
palabras que poseen significado por sí mismos (por ej. “gato”, “rojo”, “bueno”, “Argentina”. En cambio los términos sincategoremáticos sólo adquieren sentido por su unión a los categoremáticos (por ej. los artículos (el, la, los, las), adverbios (ya, como, tal vez, casi, más), pronombres (éste, alguno, mío). Si decimos la oración “los perros son negros”, los términos “perros” y “negros” son términos categoremáticos, en cambio “los” y “son” no designan ningún objeto o propiedad del objeto. El verbo “es” o “son” se limita a afirmar una conexión entre los términos.
El término constituye la unidad mínima de sentido en el lenguaje. Si tomamos un término cualquiera (por ej. “casa”) y lo analizamos en sus partes componentes, enseguida advertimos que el término está formado por letras (c/a/s/a). “Casa” tiene un sentido, pero cada una de las letras con las que está formada ya no lo tiene. Las letras no significan nada, sólo cumplen la función de soportar fonemas del idioma en que nos comunicamos.
Dado que las letras, a diferencia de los términos, no significan nada, se las emplea en ciencias formales para poder escribir formas, estructuras, o variables. Así por ej. en aritmética si queremos escribir un número cualquiera y no uno específico, empleamos las letras X, Y o Z. Lo mismo pasa en lógica: si queremos representar formalmente términos o proposiciones abstrayendo su contenido informativo, nuevamente el recurso será la letra (por ej. A, B o C para términos, p, q, r, s para proposiciones).
Las oraciones están formadas por términos conectados entre sí. La vinculación entre los términos para formar oraciones no
puede ser azarosa. No es lo mismo decir “el día está nublado” que decir “nublado el está día”. Las reglas sintácticas y gramaticales propias de cada lengua determinan cómo deben construirse oraciones bien formadas en cada lengua. Tales reglas son convencionales y no responden a una cuestión lógica. De ahí que diversas lenguas cuenten con diferentes reglas sintácticas y semánticas. El estudio de estas reglas forma parte de la lingüística, que es una ciencia fáctica. Las reglas gramaticales no tienen nada que ver con reglas lógicas, sino con convenciones culturales.
Desde la gramática es posible clasificar las oraciones en base a los usos o funciones del lenguaje. Hay tres funciones o usos principales que podemos distinguir: el uso informativo, el directivo y el expresivo.
• Función informativa: En el uso informativo empleamos el lenguaje para comunicar información. Para ello empleamos oraciones declarativas en las que informamos algo acerca del sujeto de la oración. Tal información puede ser verdadera o falsa. “Todos los hombres son mortales”, “Juan lee”, “el triángulo tiene tres lados”, “San Martín cruzó los Andes” o “los elefantes vuelan” son todos ejemplos de oraciones declarativas o de uso informativo. Las proposiciones afirman o niegan algo acerca del sujeto de la oración. Nos dicen que “es el caso de que X”, y por lo tanto lo que nos informan puede ser verdadero o falso.
• Función directiva: en el uso directivo apuntamos a producir o causar una acción en el receptor del mensaje. Para ello empleamos órdenes o consejos: “siéntese”, “hay que llegar
más temprano”, “váyase”, “se debe respetar al prójimo”, son ejemplos de uso directivo. También las preguntas pueden ubicarse en esta función, ya que interpelan al receptor de la pregunta para provocar una respuesta. Consejos, órdenes y preguntas no son verdaderos o falsos, ya que no brindan información acerca del sujeto de la oración. Las preguntas pueden responderse pero no son verdaderas o falsas. “¿Qué hora es?” no informa nada acerca de la hora, y apunta a que quien recibe la pregunta dé una respuesta. El mismo caso ocurre con las órdenes y los consejos: pueden ser obedecidos o no, pero no son verdaderos o falsos. “Siéntese” o “Hay que estudiar” pueden ser enunciados a acatar o a rechazar, pero ellos mismos no constituyen una información que pudiera calificarse como posiblemente verdadera o falsa.
• Función expresiva: el uso expresivo del lenguaje apunta a manifestar estados emotivos del hablante. No informa propiedades o características del sujeto de la oración, sino que comunica sentimientos de aquel que habla. “¡Qué desgracia!”, “¡Excelente!”, “¡Dios mío!” constituyen exclamaciones que expresan las emociones. Éstas pueden proferirse, pero no informan nada que pueda determinarse como verdadero o falso. Manifiestan estados de ánimo del hablante. Tales estados pueden ser auténticos o simulados, pero ese problema es terreno de la psicología y no de la lógica. El enunciado expresivo en sí mismo no tiene valor de verdadero o falso ya que no explica ni describe nada acerca del sujeto de la oración.
De entre estos diferentes tipos de oraciones, nos interesa recortar los de uso informativo o declarativos, dado que sólo con ellas es posible hacer razonamientos. Este tipo de oraciones revisten la mayor importancia para la lógica, dado que sólo con ellos es posible establecer relaciones de implicación. No es posible emplear en los razonamientos otro tipo de oraciones, ya sean órdenes, exclamaciones o preguntas.
Ahora bien, la lógica considera a las oraciones declarativas en su carácter proposicional. Se desinteresa por el problema del contenido informativo y su valor de verdad, así como su aspecto gramatical (o sea, las palabras con las que se construye la oración). Una proposición en lógica es:
-‐ Una oración de uso informativo -‐ Que puede ser verdadera o falsa (la información de la
proposición nos dice que lo que afirma “es el caso” o “acaece”, y será verdadera o falsa dicha información si eso que afirma que acaece, efectivamente ocurre: por ej. la proposición “Juan es pintor” será verdadera si efectivamente Juan es un pintor. En caso de que fuera abogado, la proposición será falsa).
-‐ Y apunta al significado de la oración declarativa, con independencia de las palabras (por ej. “Juan lee”, “Juan está leyendo” o “John reads” son tres oraciones declarativas que emplean diferentes palabras, pero por tener el mismo sentido constituyen la misma proposición para la lógica.
Las proposiciones pueden clasificarse según diferentes criterios: tradicionalmente se las clasifica por cantidad, cualidad, modalidad y relación. Nos detendremos en la clasificación proposicional por cantidad. En ella distinguimos tres tipos de proposiciones en función de la cantidad de elementos de los que se informa o predica algo. Lo que permite distinguir entre proposiciones singulares, universales y particulares.
• Proposiciones singulares: Una proposición singular es aquella que informa algo acerca de un solo elemento o miembro de una clase o conjunto. Por ej. “Juan lee” es una proposición que informa respecto de un solo individuo (“Juan”) la propiedad o característica de que “lee”. Como tal, puede ser verdadera o falsa la información de que Juan lea. Y se podrá determinar si es verdadera o falsa contrastando la información de la proposición singular con el hecho al que se refiere: si el hecho coincide con lo informado en la proposición, en tal caso la proposición es verdadera. De lo contrario es falsa.
• Proposiciones universales: una proposición universal informa algo acerca de la totalidad de los elementos o miembros de una clase o conjunto. Por ejemplo, “Todos los hombres leen” informa que para la totalidad del conjunto de “los hombres” se cumple el predicado de que leen. Las proposiciones universales pueden abarcar un conjunto limitado y acotado de elementos, o referir a un conjunto infinito o innumerable de miembros de una clase. “Todos los alumnos de esta clase leen”, a diferencia del ejemplo anterior, remite a un conjunto limitado y abarcable de
miembros. Para el caso de proposiciones universales que informa sobre un conjunto innumerable o infinito de elementos –como las que se emplean en las hipótesis o las leyes de la ciencia-‐ , determinar la verdad de dichas proposiciones se vuelve imposible: se debería contrastar la proposición universal con la totalidad de los casos que ésta abarca, lo que resulta impracticable. En cambio, determinar su falsedad no constituye un problema: basta encontrar un caso donde no se cumpla lo que afirma la proposición universal, para saber que ésta es falsa.
• Proposiciones particulares: una proposición particular informa algo acerca de por lo menos un elemento o miembro de una clase o conjunto, aunque tal vez más. “Algunos hombres leen” significa que hay por lo menos un miembro de la clase “hombres” –tal vez más, pero por lo menos uno-‐ que “lee”. Para determinar la verdad de la proposición particular alcanza con que un solo caso cumpla lo que informa la proposición. En cambio la determinación de la falsedad de la proposición particular se vuelve imposible: se debería verificar para la totalidad de los miembros de la clase o conjunto “hombres” que nadie lea, y recién allí se demostraría la falsedad de la proposición particular. Pero dado que el conjunto “hombres” abarca un número innumerable de elementos, la determinación de la falsedad se vuelve imposible.
En ciencia se emplean las proposiciones singulares para describir hechos o para recabar datos. Los enunciados observacionales y las implicaciones contrastadoras de hipótesis
se construyen en base a proposiciones singulares: cada dato, cada hecho se describe en una proposición singular. En cambio en la ciencia se emplean las proposiciones universales para plantear hipótesis, generalizaciones o leyes.
Formalización. Lógica de términos
Como ciencia formal, a la lógica no le compete el estudio del contenido informativo de las proposiciones. Le basta con plantear que las mismas pueden ser verdaderas o falsas, siendo un problema de las ciencias fácticas -‐o del conocimiento práctico-‐ determinar si la información de las proposiciones coincide o no con los hechos a los que se refieren. De modo que a la lógica no le interesa el contenido informativo de la proposición sino cómo se vinculan las proposiciones entre sí de manera de constituir relaciones de implicación válidas. Lo cual es independiente del contenido informativo que contengan. De ahí que la lógica abstraiga el contenido de las proposiciones para quedarse con su forma o estructura.
Fue Aristóteles el primero en fundar las bases de la lógica como disciplina de las ciencias formales. La lógica aristotélica es conocida como Lógica de términos, dado que concebía los juicios o proposiciones como la atribución de un predicado a un sujeto, como una relación entre dos términos que se unen en la afirmación o se separan en la negación. El juicio o proposición aristotélica se concibe así: S es P o S es no P.
Tomemos el ejemplo: “Todos los hombres son mortales”, proposición universal afirmativa. No es tema de la lógica averiguar si
es verdadero o falso el hecho de que los hombres sean mortales. Sólo le interesa la proposición independientemente del contenido. Vale decir, su forma o estructura.
¿Cómo podemos abstraer la estructura de una proposición? Lo que nos muestra la lógica de términos de Aristóteles es que las proposiciones están formadas por dos tipos de términos: variables y constantes, en función de la estructura proposicional. Un término es variable si su sustitución en la proposición no modifica la forma de la proposición misma. En nuestro ejemplo, son términos variables “los hombres” y “mortales”, ya que si los cambiásemos por otros términos (por ej. “los animales” y “vertebrados”, o “los poetas” y “verdes”), seguiríamos teniendo el mismo tipo de proposición: seguiría siendo una universal afirmativa (“Todos los animales son vertebrados”, “Todos los poetas son verdes”). De modo que resulta indiferente el término variable empleado y por lo tanto puede ser cualquiera. Así que puede ser reemplazado por una letra: “Todo A es B”.
Diferente es el caso de los términos constantes: “todo” no es intercambiable por “ninguno” o por “algunos”, dado que son cuantificadores: nos indican el número de elementos o individuos de los que estamos predicando algo. Lo mismo pasa con el verbo “ser” que cumple la función de conectar o vincular los términos variables. De manera que dichos términos no pueden sustituirse por letras. Lo que hace que la lógica aristotélica no alcance una formalización completa de las proposiciones, ya que conserva términos del lenguaje cotidiano. A diferencia de la posterior lógica proposicional, no puede reducir toda proposición posible a letra.
Si sustituimos los términos variables por letras, la estructura de una proposición universal afirmativa es: “Todo A es B”. Si reemplazamos el término cuantificador por “Algunos”, obtendríamos una proposición particular afirmativa. Y si negamos la proposición universal afirmativa, su estructura sería “Ningún A es B”, mientras que la negación de la particular afirmativa nos da “Algún A no es B”. Para Aristóteles, toda proposición posible puede reducirse a estas cuatro formas:
AFIRMATIVAS NEGATIVAS UNIVERSALES Todo S es P Ningún S es P PARTICULARES Algunos S son P Algunos S no son P
Una vez despejadas las estructuras de toda proposición posible, Aristóteles establece las relaciones lógicas que presentan entre sí estas cuatro estructuras proposicionales:
TODO A ES B Contrarios NINGUN A ES B
ALGUNOS A SON B Subcontrarios ALGUNOS A NO SON B
Contradictorios Subalterna Subalterna
1. Proposiciones contrarias: Proposiciones universales afirmativas y negativas son contrarias entre sí: no pueden ser ambas verdaderas. Si es verdad que “Todo A es B”, entonces no puede ser verdad “Ningún A es B”, y si es verdad esta última, no puede ser verdad la anterior. Si es verdad “Todos los hombres son mortales”, entonces es falso “Ningún hombre es mortal”. Y si es verdad “Ningún hombre es cuadrúpedo” entonces es falso “Todos los hombres son cuadrúpedos”. De dos contrarios, uno debe ser falso, aunque cabe también la posibilidad de que ambos universales pudieran serlo: por ej. “Todos los hombres son argentinos” y “Ningún hombre es argentino” son ambas falsas.
2. Proposiciones subalternas: De toda proposición universal es válido deducir una proposición particular correspondiente. Si afirmamos o negamos algo acerca de la totalidad de los miembros de una clase o conjunto, de eso se sigue que estamos afirmando o negando algo de una parte de ese conjunto mismo. Si “Todo A es B” es verdadero, entonces necesariamente también es verdadero “Algunos A son B”, dado que esta última proposición está contenida en la universal afirmativa. Lo mismo ocurre con las universales negativas y sus particulares negativas correspondientes: si “Ningún A es B” es verdadera, entonces necesariamente es verdad que “Algunos A no son B”, porque esta última está contenida en la información de la universal negativa. Si “Todos los alumnos son estudiantes de medicina”, entonces es indudable que “Algunos alumnos son estudiantes de
medicina” y cada uno de ellos son estudiantes de medicina. Si “Ningún alumno es estudiante de medicina”, entonces es seguro que “Algunos alumnos no son estudiantes de medicina” y que cada uno de ellos no estudia medicina. La relación inversa es en cambio lógicamente incorrecta: de afirmar o negar algo acerca de una parte de un conjunto de elementos, no se sigue de allí que se pueda afirmar lo mismo de la totalidad de los elementos de ese conjunto. Que “Algunos A sean B” no implica que “Todo A es B”, ni que “Algunos A no sean B” tampoco implica que “Ningún A sea B”: que algunos alumnos estudien medicina no implica que necesariamente todos estudien medicina, y que algunos alumnos no estudien medicina no implica que nadie lo haga. Dicho resumidamente: es lógicamente correcto deducir proposiciones particulares de los universales correspondientes, pero la inversa es lógicamente incorrecta.
3. Proposiciones contradictorias: Lo que contradice –hace falsa-‐ a una proposición universal afirmativa es una proposición particular negativa, y lo que contradice a una proposición universal negativa es una proposición particular afirmativa. ¿Qué haría falsa la afirmación “Todos los alumnos son porteños”? Que haya algunos alumnos que no lo son. ¿Qué haría falsa la afirmación “Ningún alumno es porteño”? Que haya algunos alumnos que sean porteños.
4. Proposiciones subcontrarias: proposiciones particulares afirmativas y negativas son subcontrarias entre sí. Esto significa que no pueden ser ambas falsas, aunque pueden ser ambas verdaderas. Si afirmamos “algunos hombres son
inmortales” y “algunos hombres no son inmortales”, no pueden ser las dos falsas: por lo menos una debe ser verdadera. Aunque también pueden ser ambas verdaderas. Por ejemplo: “algunos hombres son porteños” y “algunos hombres no son porteños”, son ambas verdaderas.
Una vez despejadas las cuatro estructuras proposicionales, Aristóteles propone la forma mínima de razonamiento llamado silogismo: vinculando entre sí dos proposiciones es posible deducir una tercera. El silogismo es una forma de razonamiento que tiene dos premisas y una conclusión y contiene tres términos, cada uno de los cuales aparece sólo en dos de sus proposiciones constituyentes.
Por ejemplo:
Todos los hombres son racionales Todo B es A
Todos los griegos son hombres Todo C es B
Todos los griegos son racionales Todo C es A
De estos tres términos, se llama “término mayor” al predicado de la conclusión, y “término menor” al sujeto de la conclusión. El “término medio” no aparece en la conclusión sino sólo en las premisas, permitiendo que se vinculen lógicamente los otros dos términos en la conclusión. En los silogismos distinguimos entre:
-‐ Premisa mayor: aquella que contiene el término mayor de la conclusión (o sea, el término predicado de la conclusión) (En nuestro ejemplo: “racionales”)
-‐ Premisa menor: aquella que contiene el término menor de la conclusión (el término sujeto de la conclusión) (En nuestro ejemplo: “griegos”)
Los silogismos pueden varias por su figura (la posición del término medio en el razonamiento) y por el modo (el tipo de proposiciones que contiene: universales o particulares afirmativas o negativas).
Por su figura, puede presentar cuatro alternativas, según la ubicación del término medio:
M – P P – M P – M M – P
S – M M – S S – M M – S
S – P S -‐ P S – P S – P
Estas cuatro figuras, combinadas con los cuatro tipos posibles de proposiciones arrojan un resultado de 256 silogismos posibles. De todos ellos, sólo 24 son válidos o correctos. En el resto de los casos se pueden alcanzar conclusiones falsas a partir de premisas verdaderas, lo que prueba lo incorrecto del razonamiento.
LOGICA PROPOSICIONAL
A diferencia de otros campos de saber desarrollados por Aristóteles (como la astronomía, la física y la biología) que con la llegada de la ciencia moderna pasaron a ser abandonados, la lógica de términos de Aristóteles sobrevivió al pasaje a la modernidad. En
el siglo XVIII, Kant sostenía en su “Crítica de la Razón pura”: “… Desde Aristóteles (la lógica) no ha tenido que rehacer un solo paso, a menos que consideremos como mejoras la eliminación de algunas sutilezas innecesarias o la definición más clara de su objeto, todo lo cual tiene que ver más con la elegancia que con la solidez de la ciencia. Es asimismo notable que hasta la actualidad no haya sido capaz de avanzar un solo paso, de modo que, según toda apariencia, se la puede considerar completa y perfecta”. Pero esta aparente perfección va a ser conmovida a partir de la segunda mitad del siglo XIX, de la mano de dos matemáticos ingleses -‐Augustus De Morgan y George Boole-‐ quienes plantean que los métodos de la matemática son aplicables al estudio de las relaciones entre clases y entre proposiciones. Aportes posteriores de los filósofos Peirce, Frege, Russell y Whitehead dan forma a lo que se conoce como “lógica proposicional”.
La lógica de términos aristotélica pretende reducir la totalidad de las proposiciones a la forma “S es P”. Sin embargo es posible imaginar proposiciones que no se acomoden a esta estructura: “Juan ama a María”, “Llueve” no se corresponden a los tipos de proposición clásica estudiados por la lógica de términos. Tampoco logra alcanzar una formalización completa de las proposiciones, dado que sólo puede sustituir los términos variables por letras, pero no los términos constantes.
La lógica proposicional en cambio logra alcanzar una formalización completa de toda proposición posible, con el simple expediente de representar mediante letras la totalidad de una proposición. En vez de sustituir términos por letras al modo de la
lógica de términos, se reemplaza la totalidad de una proposición por una letra minúscula, a partir de la p (p, q, r, s, etc.). Así, por ejemplo, “Juan ama a María” = p; “Llueve = q. De ese modo la lógica proposicional alcanza una formalización completa de toda proposición posible.
Debido al carácter ambiguo y vago de las palabras de los lenguajes, los razonamientos formulados en cualquier lengua natural son difíciles de evaluar. Para eliminar este problema, la lógica se vale de un lenguaje simbólico artificial al cual traducir las proposiciones y razonamientos del lenguaje natural.
Proposiciones atómicas y moleculares
La lógica proposicional distingue entre proposiciones atómicas y moleculares. Se llaman atómicas a las proposiciones simples, es decir, aquellas que no contienen dentro de ellas proposiciones. Consideremos el siguiente ejemplo: “Juan lee”. Esta proposición es atómica, dado que si la dividiéramos en sus partes componentes, nos quedarían términos y no proposiciones (“Juan”, “lee”). Representamos a esta proposición en lógica proposicional con una letra: “p”. Y como tal, puede ser verdadera o falsa (V/F).
Las proposiciones moleculares, en cambio, son proposiciones compuestas: contienen otras proposiciones como parte de sí mismas. Así por ejemplo, la proposición “Juan lee y escribe” es molecular, por contener dentro suyo dos proposiciones: “Juan lee” y “Juan escribe”. Las proposiciones moleculares están formadas por proposiciones atómicas unidas o conectadas entre sí por nexos o conectivas lógicas. En nuestro ejemplo, la “y” está
uniendo dos proposiciones atómicas. Representamos esta proposición molecular en lógica proposicional de la siguiente manera:
p = “Juan lee” q = “Juan escribe” y = .
“Juan lee y escribe” = p . q
Los nexos o conectivas lógicas son términos empleados para conectar fórmulas o proposiciones entre sí, de modo que el valor de verdad de la proposición resultante depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la conforman.
Si bien podemos conectar atómicas para conformar moleculares, el sentido de los nexos lógicos es diferente: no es lo mismo decir “Juan lee y escribe” a decir “Juan lee o escribe” o “Si Juan lee entonces escribe”. En estos tres ejemplos tenemos las mismas proposiciones atómicas, pero el sentido cambia en función del nexo lógico en juego. Estudiaremos 4 nexos principales: la conjunción, la disyunción, la negación, y el condicional.
-‐ Conjunción: el sentido de la conjunción es conectar proposiciones, suma proposiciones atómicas. Son ejemplos de nexos de conjunción: “y”, “pero”, “aunque”, “sin embargo”. Se representa en lógica simbólica con un punto: “.”.
-‐ Disyunción: la disyunción propone una alternativa entre proposiciones. En lógica podemos distinguir dos tipos de disyunción: la exclusiva y la inclusiva. Las disyunciones
exclusivas proponen alternativas entre proposiciones que no pueden ser ambas verdaderas, ya que la verdad de una excluye la posibilidad de que la otra sea verdadera. Por ejemplo: “el número X es par o es impar” o “Juan está vivo o está muerto” proponen alternativas en las que no podrían ser ambas verdaderas. En cambio las disyunciones inclusivas son plantean alternativas entre proposiciones que admiten sin contradicción lógica que puedan ser ambas verdaderas. Así por ejemplo “Iré al cine o iré a cenar” o “Juan es abogado o es escritor” proponen alternativas que no se excluyen mutuamente y por lo tanto podrían darse ambas como verdaderas. La disyunción exclusiva se representa en lógica simbólica con el signo W, y la disyunción inclusiva con el signo V.
-‐ Negación: Toda proposición afirma algo. Decir “el pizarrón es verde” equivale a decir “es el caso que el pizarrón es verde” o “afirmo que el pizarrón es verde”. La negación rechaza aquello que es afirmado por una proposición. “No es el caso que” o “es falso que”. Se representa en lógica con el signo menos ( -‐ ) puesto delante de la proposición que niega.
-‐ Condicional: el nexo condicional afirma una relación de antecedente a consecuente, o de causa a efecto entre proposiciones. Afirma que si el antecedente es verdadero (se produce o se da p), entonces también es verdad el consecuente (se sigue de eso q). Mientras que en la conjunción y la disyunción es indiferente el orden de las atómicas, al punto que se pueden permutar sin afectar el
sentido de la proposición molecular resultante (es lo mismo decir “Juan lee y escribe” que decir “Juan escribe y lee”), en el caso de las moleculares las atómicas que conecta no son permutables. No es lo mismo decir “Si tomo veneno, entonces me muero” que decir “si me muero, entonces tomo veneno”. Dado que el condicional propone una relación de antecedencia a consecuencia, la relación no se puede invertir. Y el antecedente siempre se sitúa en la proposición acompañado del “si” de condición. El condicional se representa en lógica con el signo →.
Las proposiciones atómicas pueden ser verdaderas o falsas. Y dependerá de su correlación con el hecho al que se refieren que lo sean o no. “Juan lee” será verdadera si efectivamente se cumple el caso de que Juan lea. De lo contrario es falsa. En otras palabras: la verdad de las atómicas depende de su correlación con los hechos a los que se refiere. Y desde la lógica formal sólo podemos decir de dicha proposición, que p es V o F. En el caso de las proposiciones moleculares, dado que contienen atómicas unidas por nexos lógicos, la verdad o falsedad de la molecular depende de la verdad de las atómicas que la conforman.
Tablas de valores de verdad
Las Tablas de Verdad muestran el valor de verdad de proposiciones moleculares para cada combinación de verdad que se le pueda asignar. Veamos en cada caso de nexo lógico cómo serían las alternativas de V o F de moleculares conformadas por conjunción, disyunción, negación y condicional.
a) Proposiciones moleculares formadas por conjunción: Tomemos el ejemplo “Juan lee y escribe”, molecular formada por dos atómicas (“Juan lee”, “Juan escribe”) unidas por el nexo de la conjunción. Cada una por separado se escribe formalmente con las letras p y q. Cada una por separado puede ser V o F. Pero ahora se presentan unidas en una proposición molecular formada por conjunción. Así que su expresión formal sería esta: (p . q). De modo que combinadas hay 4 alternativas posibles: que p y q sean V, que p y q sean F, que p sea V y q F, o que p sea F y q V. De esas alternativas, sólo será verdadera la molecular por conjunción cuando ambas atómicas que la forman sean todas V. En los demás casos será F. Escribamos las alternativas en una tabla:
p . q
V V V
F F V
V F F
F F F
b) Proposiciones moleculares formadas por disyunción: Si
ahora tomamos el mismo ejemplo y empleamos la disyunción inclusiva, tendremos las mismas alternativas de
combinaciones de verdaderos y falsos para p y para q, solo que ahora la proposición molecular resultante será falsa únicamente en el caso de que ambas atómicas sean falsas. “Juan lee o escribe” sólo es falso si no es verdad que Juan lee ni que escribe. En las demás alternativas la molecular será verdadera.
p V q
V V V
F V V
V V F
F F F
Si la disyunción hubiera sido exclusiva (por ejemplo: “Juan está vivo o está muerto”), entonces la molecular sería falsa también en el caso de que ambas atómicas se plantearan como verdaderas (lo que queda excluido de este tipo de disyunción).
p W q
V F V
F V V
V V F
F F F
c) Proposiciones negativas: “Juan lee” se representa con la
letra p, y puede ser verdadera o falsa. Su negación (– p) será lo contrario: si “Juan lee” es verdadera, entonces “Juan no lee” es falsa, y si “Juan lee” es falsa, entonces “Juan no lee” es verdadera. La negación invierte el valor de V y F de la proposición a la que afecta.
p -‐ p
V F
F V
d) Proposiciones moleculares formadas por condicional: Tomemos como ejemplo de molecular formada por condicional “Si hay fuego, entonces hay calor”. Nuevamente tendremos las mismas alternativas de V y F para p y q. Pero
la molecular formada por condicional sólo será falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente falso. Un condicional plantea que si se produce el antecedente, se debe producir el consecuente. Por lo tanto lo único que haría falsa la condición es que el antecedente se produzca pero no se siga el consecuente. En el caso de que ambas sean verdaderas, o falsas o el antecedente falso y el consecuente verdadero, la molecular mantiene su valor de verdad. Por ejemplo, puede ser que no haya fuego pero haya calor por otras razones: eso no hace falsa la condición de que “si hay fuego, hay calor”, sólo haría falsa la condición si hay fuego y no hay calor.
p → q
V V V
F V V
V F F
F V F
Razonamientos
Los razonamientos constituyen una especial vinculación entre proposiciones. No es una colección de proposiciones cualquiera, sino que configura una estructura formada por premisas
y conclusión. “Hoy es un día soleado. Las personas salen de paseo. Hay muchos automóviles en las carreteras. No se esperan altas temperaturas. etc.” es un ejemplo de sucesión de proposiciones. Pero no configuran un razonamiento. Para que haya razonamiento tiene que haber una relación de implicación entre ellas. Es decir, que de afirmar ciertas proposiciones como verdaderas, tengamos que afirmar otras proposiciones también como verdaderas porque se derivan o infieren de las primeras. Hay una relación de implicación de unas a otras.
Un razonamiento es el resultado de una inferencia, es decir, de un proceso por el cual partiendo de ciertas proposiciones aceptadas como punto de partida, se afirma una proposición como conclusión. Conviene en este punto distinguir el proceso de inferencia, de la implicación entre proposiciones. La implicación es una relación objetiva entre proposiciones, dado que la existencia de una implicación no depende de que tenga lugar el proceso intelectual de inferencia. De hecho puede haber una implicación entre proposiciones que un determinado sujeto no sea capaz de inferir.
El término implicación proviene del latín inplicare, y se refiere al hecho de que hay algo “plegado” o doblado en el interior de algo, de manera que eso interior no es visible o perceptible aunque está allí. Se contrapone a “explicación” (del latín explicare), que significa desplegar lo que está plegado, hacer visible, explícito, lo que estaba implicado o implícito en el interior de algo que lo contenía y ocultaba.
La implicación lógica es una relación entre las proposiciones mismas que se da cuando una proposición se sigue necesariamente de otra o de otras y por lo tanto puede deducirse de ellas, con independencia del problema de si las proposiciones son verdaderas o falsas. Si afirmamos que “Juan es hijo de Pedro”, y “Pedro es padre de Juan”, si la primera proposición es verdadera, entonces la segunda forzosamente también lo es, dado que la segunda se deriva de la primera, o está implicada en la información de la primera. Si afirmamos que “iré al cine o al teatro, pero no iré al cine” e “iré al teatro”, si las dos primeras proposiciones son verdaderas, entonces la tercera también debe serlo, porque se deduce de las anteriores.
Un razonamiento es una relación de implicación entre proposiciones que conforma una estructura formada por dos partes: premisas y conclusión.
Todo A es B
Todo B es C
Todo A es C
Las premisas son aquellas proposiciones de las que se parte para derivar o inferir una conclusión. Constituyen el fundamento o la justificación de la conclusión, es decir, las razones para afirmarla. Pueden ser una o más de una. La conclusión de un razonamiento en cambio es siempre una. Es la proposición que se deduce a partir de
las proposiciones que hemos tomado como punto de partida o premisas. Tanto las premisas como la conclusión son lugares en la estructura de un razonamiento, pudiendo una misma proposición ser conclusión o premisa en diferentes razonamientos.
Verdad y validez
Las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas. La verdad o falsedad de las proposiciones –que eventualmente puedan conformar razonamientos-‐ constituye un problema fáctico o material que involucra a las ciencias de hechos y al conocimiento humano: determinar si la información de las proposiciones coincide con los hechos de los que informa. No constituye un problema de la lógica. La lógica se interesa por los razonamientos, es decir, por las relaciones de implicación entre proposiciones. Estudia las condiciones en las cuales una proposición se sigue necesariamente de otras y puede por lo tanto deducirse de ellas. Y esto con independencia de si tales proposiciones son verdaderas o falsas.
A diferencia de las proposiciones, los razonamientos no son verdaderos o falsos, sino válidos o inválidos. Un razonamiento es correcto o válido cuando la conclusión del mismo se deduce de manera necesaria de sus premisas. De lo contrario es inválido. Así por ejemplo el siguiente razonamiento:
Todo A es B
Todo B es C
Todo A es C
PREMISAS
CONCLUSIÓN
Se trata de un razonamiento válido o correcto, dado que la conclusión se deduce necesariamente de sus premisas, con independencia del significado que pudieran tener A, B o C. Si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a C, entonces de eso se sigue que todo elemento de A pertenece a C. Esto se puede demostrar gráficamente: podemos representar las premisas del razonamiento mediante conjuntos. En caso de que el razonamiento sea válido o correcto, una vez que hayamos representado las premisas, debemos encontrarnos con la conclusión representada en el gráfico. En caso contrario, la conclusión no está implicada necesariamente en las premisas y el razonamiento es inválido.
PRIMERA PREMISA: Todo A es B SEGUNDA PREMISA: Todo B es C C
B
Como se advertirá, al representar las dos premisas, nos hallamos con la conclusión: el conjunto A está contenido en el conjunto C. Lo que nos indica que la conclusión “Todo A es C” se encuentra implicada necesariamente en las premisas. O sea, que se trata de un razonamiento válido.
Consideremos ahora el siguiente razonamiento:
Todo A es B
Todo C es B
Todo A es C
Es un razonamiento inválido o incorrecto, ya que la conclusión no se deduce necesariamente de sus premisas. Demostrémoslo representando con conjuntos sus premisas:
PRIMERA PREMISA: Todo A es B SEGUNDA PREMISA: Todo C es B
B B
Una vez representadas las dos premisas, se advierte que los conjuntos A y C, si bien pertenecen a B, no están vinculados entre
A B
A A C
ellos. No observamos al final representada la conclusión “Todo A es C”. De donde se sigue que el razonamiento es inválido, ya que la conclusión no se desprende necesariamente de las premisas. Y eso incluso si le diéramos a A, B y C una interpretación que permitiera que el razonamiento tuviera proposiciones todas verdaderas. Aún así el razonamiento sería incorrecto.
Decíamos anteriormente que la verdad de las proposiciones no es un tema de la lógica, ya que depende de la contrastación del contenido informativo de las proposiciones con los hechos o situaciones a los que se refiere. En cambio la validez de los razonamientos es una cuestión formal y no de contenido informativo: es el problema de determinar si la conclusión de un razonamiento se deriva necesariamente de sus premisas, con independencia del sentido de lo que digan las proposiciones. Hay razonamientos válidos con conclusiones falsas, así como inválidos con conclusiones verdaderas. La verdad o falsedad de la conclusión no determina la validez o invalidez de un razonamiento. Y la validez de un razonamiento no garantiza la verdad de su conclusión.
Tomando los dos ejemplos propuestos, es posible interpretar el primer ejemplo de razonamiento válido con premisas y conclusión falsas, y al revés, el ejemplo de razonamiento inválido con premisas y conclusión verdaderas:
Todos los hombres son verdes
Todos los seres verdes son voladores
Todos los hombres son voladores
Todos los hombres son vertebrados
Todos los mamíferos son vertebrados
Todos los hombres son mamíferos
¿Cómo se puede determinar si un razonamiento de lógica proposicional es válido o inválido? Tomemos un ejemplo:
p → q p
________ q
Para demostrar la validez o no de este razonamiento se le pueden aplicarle las tablas de verdad. Para ello debemos reescribir el razonamiento en un solo renglón, de modo de poder escribir todas las posibilidades de V y F que puedan tener nuestro razonamiento. Al hacerlo, emplearemos paréntesis y corchetes para distinguir las proposiciones entre sí, así como las premisas de la conclusión, de manera que queden claramente distinguidas las proposiciones y no se confundan. Y también deberemos explicitar los nexos o conectivas lógicas entre las proposiciones del razonamiento. En el caso de las premisas, las mismas se conectan entre sí mediante el nexo lógico de la conjunción. La relación de premisas a conclusión en cambio es de condicional. Nuestro razonamiento quedará escrito así:
PREMISAS Y CONCLUSIÓN FALSAS
RAZONAMIENTO VÁLIDO
PREMISAS Y CONCLUSIÓN VERDADERAS
RAZONAMIENTO INVÁLIDO
[(p → q) . p ]→ q
Dado que tendremos que escribir todas las posibles combinaciones de V y F de las atómicas puestas en juego en este razonamiento, deberemos tener en cuenta previamente el número de atómicas que el razonamiento contiene. Para nuestro caso, tenemos sólo dos atómicas (p/q). Dado que cada atómica por separado puede ser V o F, su combinatoria arroja la posibilidad de cuatro alternativas de V y F: que ambas sean V, que ambas sean F, que p sea V y q F, o que p sea F y q V. Por razones de orden y para garantizar que no nos falten combinaciones posibles o estemos repitiendo combinaciones ya escritas, cada vez que ponemos combinaciones de V y F en la proposición p, lo haremos de uno en uno el número de veces que el razonamiento lo requiere en función del número de atómicas en juego. Y en el caso de q, escribiremos V y F de dos en dos las veces que el número de atómicas en juego nos indica. Como decíamos antes: dado que hay 2 atómicas en juego, habrá que poner debajo de p y de q 4 alternativas de V y F. Si en cambio hubiera un razonamiento con 3 atómicas, eso nos daría una combinación de 8, y si fueran 4, entonces serían 16 combinaciones de V y F. La fórmula para saber el número de combinaciones de V y F de un razonamientos es: 2ⁿ, siendo ⁿ el número de atómicas en juego en el razonamiento (así por ejemplo, si hubiera 4 atómicas sería 2⁴ = 16 combinaciones de V y F).
[(p → q) . p ] → q V V V V F V F V V F V F F F F F
Una vez escritas las alternativas de V y F del razonamiento, se aplican las tablas de verdad, empezando por la primera premisa. Para el caso, se trata de la tabla del condicional, en la cual si el antecedente es V, el consecuente es F:
[(p → q) . p ] → q V V V V V F V V F V V F F V F F v F F F
El resultado obtenido se conecta con la segunda premisa a través del nexo de la conjunción. De manera que habrá que recurrir a la tabla de verdad de la conjunción, en la que las proposiciones moleculares serán V si las atómicas que la forman son todas V.
[(p → q) . p ] → q V V V V V V F V V F F V V F F F V F F v F F F F
El resultado obtenido se relaciona con la conclusión a través ahora del nexo del condicional, obteniendo así este resultado:
[(p → q) . p ] → q V V V V V V V F V V F F V V V F F F V V F F v F F F V F
Si al final de la aplicación de las tablas de verdad a un razonamiento, obtenemos un resultado donde todas las alternativas dan V, eso significa que el razonamiento es válido o correcto. ¿Por qué? Porque hemos demostrado que el razonamiento tiene una estructura equivalente a una tautología.
El término “tautología” proviene del griego “ταυτολογία, que significa "decir lo mismo". Las tautologías son enunciados necesariamente verdaderos por su forma, dado que no informan nada nuevo en su predicado respecto de aquello que ya está
contenido como información en el sujeto de la oración. La proposición será verdadera cualquiera sea la interpretación o asignación de valores de verdad que se haga a sus formas atómicas. Así por ej. “los perros son perros” es un enunciado tautológico, dado que el predicado dice lo mismo que el sujeto. No es necesario en esta proposición dirigirse a los hechos para saber si la proposición es verdadera o falsa; basta el análisis de su forma para advertir que es equivalente a decir “A es A” o “si p entonces p”.
Ahora bien, los razonamientos válidos –como las tautologías-‐ no informan nada nuevo en la conclusión que no esté implícito y derivado necesariamente de la información de las premisas. Si decimos que “Todos los hombres son mortales y Sócrates es hombre, por lo tanto Sócrates es mortal”, la conclusión no informa nada que no está ya de antemano en las premisas. O sea que un razonamiento válido es tautológico. De ahí que si le aplicamos tablas de verdad, deberíamos obtener V en cualquier asignación de valores de verdad de sus proposiciones atómicas.
Si por el contrario obtuviésemos sólo F o algunos valores F y otro V, entonces el razonamiento es inválido o incorrecto. En el caso de obtener todos valores F, estaríamos ante una contradicción. Y si obtuviésemos algunos V y algunos F, estaríamos ante una contingencia: en determinadas circunstancias la conclusión sería V y en otras circunstancias F.
Razonamientos deductivos y no deductivos
La lógica formal intenta resolver dos requerimientos: aclarar las implicaciones que se pueden extraer de las proposiciones que
afirmamos y hacer estimaciones acerca de las realidades que no hemos experimentado a partir de la que sí hemos experimentado. La lógica deductiva responde a la primera necesidad. La lógica no deductiva a la segunda.
En la lógica deductiva se infieren conclusiones partiendo de proposiciones ubicadas como premisas del razonamiento. Si bien pueden afirmarse hechos en las premisas, la conclusión de un razonamiento deductivo no afirma ningún hecho nuevo: afirma lo que ya estaba contenido en las premisas, aunque expresado de manera diferente. En el razonamiento deductivo, la conclusión pretende estar totalmente contenida en las premisas. Así por ejemplo si decimos:
Todos los hombres son mortales
Sócrates es hombre
____________________________
Sócrates es mortal
La conclusión de este razonamiento deductivo no nos informa nada que no haya estado de antemano en las premisas: “Sócrates es mortal” está implícitamente contenido en “todos los hombres son mortales”. Estos razonamientos se caracterizan porque sus conclusiones no contienen más información que las premisas de las que parten.
a) Razonamientos deductivos válidos (genuinamente deductivos):
Los razonamientos deductivos pueden ser válidos (genuinamente deductivos) o inválidos (falacias), es decir, los que pretenden ser válidos pero no lo son. Un razonamiento deductivo es válido cuando sus premisas ofrecen un fundamento necesario para la conclusión, vale decir, cuando la conclusión se deduce necesariamente de sus premisas. La relación entre premisas y conclusión es tal que si las premisas fueran verdaderas, la conclusión no podría ser falsa. Tomaremos cuatro ejemplos típicos de razonamientos deductivos válidos:
Modus Ponens Modus Tollens
p → q p → q
p -‐ q
______ ______
q -‐ p
Silogismo disyuntivo Silogismo hipotético
p v q p → q
-‐p q → r
______ ______
q p → r
En todo razonamiento deductivo válido se dan tres características fundamentales:
-‐ Si las premisas del razonamiento son V, la conclusión es necesariamente V. Es lógicamente imposible que sea F. La verdad de las premisas garantizan la verdad de la conclusión.
-‐ Si la conclusión del razonamiento es F, entonces las premisas son F
-‐ La V de la conclusión no garantiza que las premisas sean V. Podemos tener un razonamiento deductivo válido con premisas falsas y conclusión verdadera.
PREMISAS V F V F CONCLUSIÓN V V F F
b) Razonamientos deductivos inválidos o falacias formales:
Las falacias son razonamientos deductivos que parecen válidos pero no lo son. Como los deductivos válidos, sus conclusiones no agregan más información que la contenida en las premisas, pero la conclusión de estos razonamientos no se deduce necesariamente de sus puntos de partida. Por ende, en estos razonamientos es posible que tengamos premisas V y conclusiones F. Si les aplicáramos las tablas de verdad a estos razonamientos, no obtendríamos al final un resultado
tautológico sino contingente o contradictorio. Tomemos dos ejemplos típicos de falacias formales:
-‐ Falacia de afirmación del consecuente: se parece al Modus Ponens, sólo que en la segunda premisa en vez de afirmar el antecedente p, afirma el consecuente q.
p → q q
______ p
-‐ Falacia de negación del antecedente: se parece al Modus Tollens, sólo que en vez de negar el consecuente q en la segunda premisa, niega el antecedente p.
p → q -‐p
______ -‐q
Basta sustituir las letras por proposiciones para advertir enseguida que la conclusión en estos casos no se deduce necesariamente de las premisas. Por ejemplo: “Si es hombre, entonces es mortal. Y es mortal. Por lo tanto es hombre”. Está claro que el hecho de tener la condición de mortal no asegura el ser hombre: también los animales y vegetales son mortales. La conclusión no es por lo tanto necesaria y estamos ante un razonamiento incorrecto.
c) Razonamientos no deductivos:
Los razonamientos no deductivos responden a la necesidad de apoyarnos en la realidad que experimentamos para hacer estimaciones acerca de cosas que no experimentamos. Estos tipos de razonamientos parten de proposiciones sobre hechos para concluir otros hechos o generalidades. No pretenden que sus premisas ofrezcan una evidencia total de la verdad de su conclusión, sino cierta evidencia o fundamento de ella.
En estos razonamientos la conclusión no está incluida en las premisas ya que contiene más información que éstas. En ese sentido, los razonamientos no deductivos son inválidos dado que sus conclusiones no establecen una relación de implicación necesaria de premisas a conclusión, sino una relación de implicación probable: suponiendo que las premisas fueran verdaderas, es probable que la conclusión lo sea. Pero no necesariamente.
Los razonamientos no deductivos ponen en juego una premisa que está siempre presente aunque no explicitada, sino siempre presupuesta: la suposición de que hay una regularidad en los hechos del universo que es posible descubrir aplicando la experiencia y la razón. En ese sentido, los no deductivos son razonamientos “a posteriori”, a diferencia de los deductivos válidos e inválidos, que son “apriorísticos”, vale decir, que pretenden extraer conclusiones de premisas basados exclusivamente en reglas lógicas independientes del contenido informativo de sus premisas. Los razonamientos no deductivos presuponen implícitamente
alguna ley de regularidad de la realidad, único modo justificar el inferir hechos de otros hechos.
Tomemos dos ejemplos típicos de razonamientos no deductivos: la inducción y la analogía.
-‐ Inducción: en el razonamiento inductivo se parte de un conjunto de proposiciones singulares para concluir en una proposición universal. Las premisas aportan alguna justificación de la conclusión pero ésta contiene más información que las premisas. La inducción generaliza de premisas singulares a una conclusión que abarca la totalidad de los casos. Pasa de un conjunto de enunciados singulares a un enunciado universal. Pero tal conclusión puede ser falsa.
Juan fuma y tose A1 es B
Carlos fuma y tose A2 es B
Susana fuma y tose A3 es B
Matilde fuma y tose A4 es B
María fuma y tose A5 es B
……. …….
……. An es B
_____________________________ _____ __________
Por lo tanto todos los que fuman, tosen Todo A es B
Es claro en el ejemplo que el contenido informativo de la conclusión excede a la información de las premisas: que algunos que fuman tosen no implica que necesariamente todos los que fuman tosan, pero es probable. Las premisas dan algún fundamento a la conclusión pero dicho fundamento no es necesario.
-‐ Analogía: El razonamiento analógico parte de premisas en las que establece una similitud o parecido entre elementos o conjuntos de elementos, para concluir sobre un nuevo elemento del conjunto. La conclusión nos informa algo nuevo respecto de las premisas, pero dicha conclusión es sólo probable.
El cobre conduce electricidad A1 es B
El hierro conduce electricidad A2 es B
El estaño conduce electricidad A3 es B
El oro conduce electricidad A4 es B
La plata conduce electricidad A5 es B
El mercurio es un metal
(como los anteriores) X es A
_________________________ _____
El mercurio conduce electricidad X es B
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:
Cohen, Morris & Nagel, Ernest (1965); Introducción a la lógica y al método científico (2 v.), Buenos Aires, Amorrortu.
Copi, Irving (1985); Introducción a la lógica, Buenos Aires, Eudeba.
Crosley, J. N., (1982), ¿Qué es la lógica matemática?, Madrid, Tecnos.
Haack, Susan, (1982); Filosofía de las lógicas, Madrid, Cátedra.
Kupperman, Joel & McGrade, Arthur S. (1973); Fundamentos de lógica, Barcelona, Labor.
Palau, Gladys, (2002), Introducción filosófica a las lógicas no clásicas, Barcelona, Gedisa.
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