View
304
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
Kalkulus Peubah Banyak II
Citation preview
ARTI GEOMETRIS INTEGRAL LIPAT DUA
KELOMPOK 3
LENRA MALAU
MARTHA NAPITUPULU
MERY APRIYANI HUTABARAT
Integral Ganda Dua Atas
Persegi Panjang
Tinjauan Ulang Integral
Tentu
Pertama, di tinjau kembali fakta mendasartentang integral tentu dari fungsi dengan satupeubah.Jika didefenisikan untukDimulai dengan memagi interval [a,b] kedalamm sub-interval dengan lebar yang sama
dan memilih titik sampel dalamsub-sub interval.
Maka bentuk jumlahan Riemann :
…..(1.1)
Dan mengambil limit jumlahan yaituuntuk mendapatkan integral tentu f
dari a ke b:
…..(1.2)
Dalam kasus dimana , jumlah Riemann dapat diinterpretasikan sebagai jumlahpersegipanjang-persegipanjang dalam gambar1, dan mempresentasikan luasdibawah kurva y=f(x) dari a ke b.
Gambar 1
VOLUME DAN INTEGRAL GANDA
Dalam pengertian yang sama kita perhatikansebuah fungsi dengan dua peubah yang didefenisikan dalam persegipanjang tertutup .
Dengan sebelumnya mengandaikan bahwaGrafik dari adalah permukaan denganpersamaan
Misalkan adalah benda pejal (solid) yang terletak diatas R dan dibawah grafik f , yakni :
Dari gambar diatas yaitu untuk
mencari volume S :
langkah pertama adalah membagipersegipanjang R kedalam su-sub persegipanjang.Membagi interval [a,b] kedalam m subinterval dengan panjangyang sama dan membagi [c,d] ke dalamn subinterval dengan panjang yang sama
Dengan menggambarkan garis-garis
yang sejajar dengan sumbu-sumbu
koordinat melalui titik-titik ujung
sub-sub interval
Setiapnya dengan luas
Dipilih titik sampel (xij*,yij*) dalam
setiap Rij , maka dapat dinyatakan S
adalah sebuah kotak (atau
“kolom”) persegi panjang yang tipis
dengan alas Rij dan tinggi f(xij*,yij*)
yang terletak diatas setiap Rij.
Volume Kotak adalah tinggi kotak dikali luas alas :
AyijxijfV *)*,(
Jika mengikuti prosedur ini untuk semua
persegi panjang dan menjumlahkan
volume kotak-kotak yang bersesuaian,
maka didapat aproksimasi volume
keseluruhan dari S :
AyijxijVm
i
n
i
*)*,(1 1
Jumlahan sigma ganda berarti bahwa untuk
setiap subpersegipanjangdi evaluasi f pada titik
terpilih dan mengalikan dengan luas
subpersegipanjang tersebut, dan menjumlahkan
hasilnya.
Volume maksimal akan didapatseiring m dan n semakin besar, sehingga :
AyijxijVm
i
n
inm
*)*,(1 1,
lim
Integral ganda dari f atas
persegipanjang R adalah :
m
i
n
inmR
AyijxijdAyxf1 1,
*)*,(),( lim
m
i
n
jnmR
AyijxijdAyxf1 1,
*)*,(),( lim
Untuk semua bilangan 0 terdapat
bilangan bulat N sedemikian sehingga :
Jika f(x,y)≥0 maka volume V dari benda
pejal yang terletak di atas persegipanjang
R dan di bawah permukaan z = f(x,y)
adalah
R
dAyxfV ),(
Jumlahan ini disebut jumlahan
Riemann ganda
m
i
n
j
Ayijxijf1 1
*)*,(
Estimasi volume benda pejal yang terletak
di atas persegi R=[0,2]x[0,2] dan dibawah
paraboloida elliptik z=16-x2-2y2 bagi R
kedalam empat persegi yang sama dan
pilih titik sampel dari sudut kanan atas dari
setiap persegi Rij sketsakan benda pejal
tersebut dan kotak-kotak persegipanjang
pengaproksimasinya.
Contoh
Sketsa gambar
Aproksimasi jumlah Riemann pada volume
dibawah z=16-x2-2y2 menjadi lebih akurat
bilamana m dan n ditingkatkan
5.41,4)( Vnma 46875.46,16)( Vnmc875.44,8)( Vnmb
PERTANYAAN
1. Setelah dipaparkan, bagaimanamenurut Anda arti geometris dariintegral lipat dua ?
2. Untuk apa kita memilih titik sampel(xij*,yij*) dalam setiap Rij ?
3. Bagaimana letak benda yang diselidiki dalam integral lipat dua ?
4. Bagaimana cara Anda untukmendapatkan volume maksimum darisuatu benda pejal yang tidak rata? misalnya bola peluru.
Sekian dan Terima Kasih
Recommended