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Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
Ciencia de Materiales:
Estructuras cristalinas y amorfas en los
materiales.
Juan José Reyes Salgado
Juan José Reyes Salgado
Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
I Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en elespacio.
I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:
I Aleaciones.I Algunos cerámicos.
I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:
I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del
átomo.
I Agua líquida (enlace secundario).
Juan José Reyes Salgado
Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
I Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en elespacio.
I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:
I Aleaciones.I Algunos cerámicos.
I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:
I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del
átomo.
I Agua líquida (enlace secundario).
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
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I Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en elespacio.
I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.
I Algunos cerámicos.
I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:
I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del
átomo.
I Agua líquida (enlace secundario).
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I Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en elespacio.
I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.I Algunos cerámicos.
I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:
I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del
átomo.
I Agua líquida (enlace secundario).
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I Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en elespacio.
I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.I Algunos cerámicos.
I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:
I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del
átomo.
I Agua líquida (enlace secundario).
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I Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en elespacio.
I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.I Algunos cerámicos.
I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.
I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata delátomo.
I Agua líquida (enlace secundario).
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Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
I Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en elespacio.
I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.I Algunos cerámicos.
I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del
átomo.
I Agua líquida (enlace secundario).
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I Átomos o iones ordenados con un patrón que se repite en elespacio.
I Orden de largo alcance (OLA), material cristalino:I Aleaciones.I Algunos cerámicos.
I Átomos o iones no ordenados de forma periódica o repetible:I Orden de corto alcance (OCA), material amorfo.I Esto signi�ca que el orden existe en la vecindad inmediata del
átomo.I Agua líquida (enlace secundario).
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Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
I El orden atómico en los sólidos cristalinos se pueden describirrepresentando a los átomos en los puntos de intersección deuna red cristalina.
I Esta red se llama red espacial.I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor de
uno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posición
de los átomos en una celda unitaria.I El tamaño y forma de una celda puede describirse por tres
vectores de la red.I Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γ
son las constantes de la red de la celda unitaria.
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
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I El orden atómico en los sólidos cristalinos se pueden describirrepresentando a los átomos en los puntos de intersección deuna red cristalina.
I Esta red se llama red espacial.
I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor de
uno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posición
de los átomos en una celda unitaria.I El tamaño y forma de una celda puede describirse por tres
vectores de la red.I Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γ
son las constantes de la red de la celda unitaria.
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I El orden atómico en los sólidos cristalinos se pueden describirrepresentando a los átomos en los puntos de intersección deuna red cristalina.
I Esta red se llama red espacial.I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.
I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor deuno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.
I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posiciónde los átomos en una celda unitaria.
I El tamaño y forma de una celda puede describirse por tresvectores de la red.
I Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γson las constantes de la red de la celda unitaria.
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I El orden atómico en los sólidos cristalinos se pueden describirrepresentando a los átomos en los puntos de intersección deuna red cristalina.
I Esta red se llama red espacial.I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor de
uno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.
I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posiciónde los átomos en una celda unitaria.
I El tamaño y forma de una celda puede describirse por tresvectores de la red.
I Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γson las constantes de la red de la celda unitaria.
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I El orden atómico en los sólidos cristalinos se pueden describirrepresentando a los átomos en los puntos de intersección deuna red cristalina.
I Esta red se llama red espacial.I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor de
uno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posición
de los átomos en una celda unitaria.
I El tamaño y forma de una celda puede describirse por tresvectores de la red.
I Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γson las constantes de la red de la celda unitaria.
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I El orden atómico en los sólidos cristalinos se pueden describirrepresentando a los átomos en los puntos de intersección deuna red cristalina.
I Esta red se llama red espacial.I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor de
uno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posición
de los átomos en una celda unitaria.I El tamaño y forma de una celda puede describirse por tres
vectores de la red.
I Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γson las constantes de la red de la celda unitaria.
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
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I El orden atómico en los sólidos cristalinos se pueden describirrepresentando a los átomos en los puntos de intersección deuna red cristalina.
I Esta red se llama red espacial.I Cada punto en la red espacial tiene un entorno idéntico.I En un cristal la agrupación de los puntos de la red alrededor de
uno es idéntica a la agrupación en torno a otro punto.I Cada red espacial puede describirse especi�cando la posición
de los átomos en una celda unitaria.I El tamaño y forma de una celda puede describirse por tres
vectores de la red.I Longitudes axiales a, b y c y los ángulos interaxiales α, β y γ
son las constantes de la red de la celda unitaria.
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
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I Los cristalógrafos han demostrado que tan sólo se necesitan 7tipos diferentes de celdas unitarias para crear todas las redes.
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
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I Los cristalógrafos han demostrado que tan sólo se necesitan 7tipos diferentes de celdas unitarias para crear todas las redes.
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I Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de lacelda unitaria básica.
I A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar sepueden describir todas las redes posibles.
I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:
I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.
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I Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de lacelda unitaria básica.
I A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar sepueden describir todas las redes posibles.
I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:
I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.
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I Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de lacelda unitaria básica.
I A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar sepueden describir todas las redes posibles.
I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:
I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.
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I Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de lacelda unitaria básica.
I A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar sepueden describir todas las redes posibles.
I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:I Sencilla.
I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.
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I Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de lacelda unitaria básica.
I A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar sepueden describir todas las redes posibles.
I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.
I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.
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I Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de lacelda unitaria básica.
I A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar sepueden describir todas las redes posibles.
I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.
I Centrada en las bases.
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I Muchos de los 7 sistemas cristalinos tienen variaciones de lacelda unitaria básica.
I A. J. Bravais demostró que con 14 celdas unitarias estándar sepueden describir todas las redes posibles.
I Existen 4 tipos básicos de las celdas unitarias:I Sencilla.I Centrada en el cuerpo.I Centrada en las caras.I Centrada en las bases.
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Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
I La mayoría de los metales puros cristalizan al solidi�carse entres estructuras cristalinas compactas:
a) Cúbica centrada en el cuerpo (BCC).b) Cúbica centrada en las caras (FCC).c) Hexagonal compacta (HCP)
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I La mayoría de los metales puros cristalizan al solidi�carse entres estructuras cristalinas compactas:
a) Cúbica centrada en el cuerpo (BCC).
b) Cúbica centrada en las caras (FCC).c) Hexagonal compacta (HCP)
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I La mayoría de los metales puros cristalizan al solidi�carse entres estructuras cristalinas compactas:
a) Cúbica centrada en el cuerpo (BCC).b) Cúbica centrada en las caras (FCC).
c) Hexagonal compacta (HCP)
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I La mayoría de los metales puros cristalizan al solidi�carse entres estructuras cristalinas compactas:
a) Cúbica centrada en el cuerpo (BCC).b) Cúbica centrada en las caras (FCC).c) Hexagonal compacta (HCP)
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I La arista del cubo de la celda unitaria del hierro cúbicocentrado en el cuerpo, por ejemplo a temperatura ambiente esigual a 0.287× 10−9m ó 0.287nm. Por tanto, si se alineanceldas unitarias de hierro puro, arista con arista, en 1mmhabría:
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I La arista del cubo de la celda unitaria del hierro cúbicocentrado en el cuerpo, por ejemplo a temperatura ambiente esigual a 0.287× 10−9m ó 0.287nm. Por tanto, si se alineanceldas unitarias de hierro puro, arista con arista, en 1mmhabría:
1mm × 1 celda unitaria
0.287× 10−6mm/nm= 3.48× 106 celdas unitarias
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
1 átomo (en el centro) + 8× 1
8(en los vértices) = 2 átomos
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
I Factor de empacamiento (APF):
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
I Factor de empacamiento (APF):
APF =volumen de los atomos en la celda unitaria
volumen de una celda unitaria
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
I Factor de empacamiento (APF):
APF =volumen de los atomos en la celda unitaria
volumen de una celda unitaria
Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
I Factor de empacamiento (APF):
APF =volumen de los atomos en la celda unitaria
volumen de una celda unitaria
Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3
Vcelda = a3
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
I Factor de empacamiento (APF):
APF =volumen de los atomos en la celda unitaria
volumen de una celda unitaria
Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3
Vcelda = a3
a =4R√3
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
I Factor de empacamiento (APF):
APF =volumen de los atomos en la celda unitaria
volumen de una celda unitaria
Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3
Vcelda = a3
a =4R√3
Vcelda = a3 = 12.32R3
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Estructura cristalina cúbica centrada en el cuerpo (BCC)
I Factor de empacamiento (APF):
APF =volumen de los atomos en la celda unitaria
volumen de una celda unitaria
Vatomos = (2)(43πR3) = 8.373R3
Vcelda = a3
a =4R√3
Vcelda = a3 = 12.32R3
APF = 0.68
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Estructura cristalina cúbica centrada en las caras (FCC)
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Estructura cristalina cúbica centrada en las caras (FCC)
8× 1
8(en los vértices) + 6× 1
2(medios átomos sobre las caras) =
4 átomos
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Estructura cristalina cúbica centrada en las caras (FCC)
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Estructura cristalina cúbica centrada en las caras (FCC)
APF=0.74
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Estructura cristalina hexagonal compacta (HCP)
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Estructura cristalina hexagonal compacta (HCP)
1 átomo (en el centro) + 4× 1
6+ 4× 1
12= 1 (en los vértices) = 2
átomos
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
Problema
Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.
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Problema
Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.SOLUCIÓN:
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Problema
Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.SOLUCIÓN:
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Problema
Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.SOLUCIÓN:
AreaABC =12
(base)(altura)
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Problema
Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.SOLUCIÓN:
AreaABC =12
(base)(altura)
AreaT = (6)(AreaABC )
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Problema
Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.SOLUCIÓN:
AreaABC =12
(base)(altura)
AreaT = (6)(AreaABC )
AreaT = 3a2sin(60o)
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Problema
Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.SOLUCIÓN:
AreaABC =12
(base)(altura)
AreaT = (6)(AreaABC )
AreaT = 3a2sin(60o)
Volumen = (AreaT )(c)
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Problema
Calcule el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina dezinc con los datos siguientes: a=0.2665 nm y c=0.4947 nm.SOLUCIÓN:
AreaABC =12
(base)(altura)
AreaT = (6)(AreaABC )
AreaT = 3a2sin(60o)
Volumen = (AreaT )(c)
Volumen = 0.0913nm3
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(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)(1,1,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)
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I Para los cristales cúbicos los índices de las direccionescristalográ�cos son los componentes del vector de direccióndescompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos amínimos enteros.
I [100], [010], [001], [01̄0], [001̄], [1̄00] =< 100 >I Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familiaI Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de las
caras < 110 >
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I Para los cristales cúbicos los índices de las direccionescristalográ�cos son los componentes del vector de direccióndescompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos amínimos enteros.
I [100], [010], [001], [01̄0], [001̄], [1̄00] =< 100 >
I Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familiaI Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de las
caras < 110 >
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I Para los cristales cúbicos los índices de las direccionescristalográ�cos son los componentes del vector de direccióndescompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos amínimos enteros.
I [100], [010], [001], [01̄0], [001̄], [1̄00] =< 100 >I Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familia
I Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de lascaras < 110 >
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I Para los cristales cúbicos los índices de las direccionescristalográ�cos son los componentes del vector de direccióndescompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos amínimos enteros.
I [100], [010], [001], [01̄0], [001̄], [1̄00] =< 100 >I Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familiaI Otras familias: Diagonal del cubo < 111 > y diagonales de las
caras < 110 >Juan José Reyes Salgado
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Índices de Miller
I Los índices de Miller de un plano cristalino se de�nencomo el recíproco de las fracciones de intersección que el planopresenta en sus ejes cristalográ�cos x , y y z de las tres aristasno paralelas de la celda unitaria cúbica.
I Orientación cristalográ�ca.I Determinación de los índices de Miller.
1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).2 Se determinan las intersecciones del plano en la función de los
ejes cristalográ�cos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).
3 Se obtiene el recíproco de las intersecciones.4 Se simpli�can las fracciones y se determina el conjunto más
pequeño de números enteros.
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Índices de Miller
I Los índices de Miller de un plano cristalino se de�nencomo el recíproco de las fracciones de intersección que el planopresenta en sus ejes cristalográ�cos x , y y z de las tres aristasno paralelas de la celda unitaria cúbica.
I Orientación cristalográ�ca.
I Determinación de los índices de Miller.
1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).2 Se determinan las intersecciones del plano en la función de los
ejes cristalográ�cos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).
3 Se obtiene el recíproco de las intersecciones.4 Se simpli�can las fracciones y se determina el conjunto más
pequeño de números enteros.
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Índices de Miller
I Los índices de Miller de un plano cristalino se de�nencomo el recíproco de las fracciones de intersección que el planopresenta en sus ejes cristalográ�cos x , y y z de las tres aristasno paralelas de la celda unitaria cúbica.
I Orientación cristalográ�ca.I Determinación de los índices de Miller.
1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).2 Se determinan las intersecciones del plano en la función de los
ejes cristalográ�cos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).
3 Se obtiene el recíproco de las intersecciones.4 Se simpli�can las fracciones y se determina el conjunto más
pequeño de números enteros.
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Índices de Miller
I Los índices de Miller de un plano cristalino se de�nencomo el recíproco de las fracciones de intersección que el planopresenta en sus ejes cristalográ�cos x , y y z de las tres aristasno paralelas de la celda unitaria cúbica.
I Orientación cristalográ�ca.I Determinación de los índices de Miller.
1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).
2 Se determinan las intersecciones del plano en la función de losejes cristalográ�cos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).
3 Se obtiene el recíproco de las intersecciones.4 Se simpli�can las fracciones y se determina el conjunto más
pequeño de números enteros.
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Índices de Miller
I Los índices de Miller de un plano cristalino se de�nencomo el recíproco de las fracciones de intersección que el planopresenta en sus ejes cristalográ�cos x , y y z de las tres aristasno paralelas de la celda unitaria cúbica.
I Orientación cristalográ�ca.I Determinación de los índices de Miller.
1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).2 Se determinan las intersecciones del plano en la función de los
ejes cristalográ�cos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).
3 Se obtiene el recíproco de las intersecciones.4 Se simpli�can las fracciones y se determina el conjunto más
pequeño de números enteros.
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Índices de Miller
I Los índices de Miller de un plano cristalino se de�nencomo el recíproco de las fracciones de intersección que el planopresenta en sus ejes cristalográ�cos x , y y z de las tres aristasno paralelas de la celda unitaria cúbica.
I Orientación cristalográ�ca.I Determinación de los índices de Miller.
1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).2 Se determinan las intersecciones del plano en la función de los
ejes cristalográ�cos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).
3 Se obtiene el recíproco de las intersecciones.
4 Se simpli�can las fracciones y se determina el conjunto máspequeño de números enteros.
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Índices de Miller
I Los índices de Miller de un plano cristalino se de�nencomo el recíproco de las fracciones de intersección que el planopresenta en sus ejes cristalográ�cos x , y y z de las tres aristasno paralelas de la celda unitaria cúbica.
I Orientación cristalográ�ca.I Determinación de los índices de Miller.
1 Se elige un plano que no pase por (0,0,0).2 Se determinan las intersecciones del plano en la función de los
ejes cristalográ�cos para un cubo unidad. (Pueden serfraccionarios).
3 Se obtiene el recíproco de las intersecciones.4 Se simpli�can las fracciones y se determina el conjunto más
pequeño de números enteros.
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Índices de Miller
Notación: (hkl)
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Índices de Miller
Notación: (hkl)Si varios planos reticulares equivalentes están relacionados por lasimetría del sistema cristalino, se llaman planos de una familia.
{hkl}
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Índices de Miller
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Índices de Miller
Intersecciones: 1
3, 2
3, 1
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Índices de Miller
Intersecciones: 1
3, 2
3, 1
Recíprocos: 3, 3
2, 1
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Índices de Miller
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Índices de Miller
dhkl =a√
h2 + k2 + l2
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Índices para los planos cristalinos en celdas HCP
I Los índices de los planos cristalinos HCP son llamados índicesde Miller-Bravais (jkil).
I 3 ejes basales a0, a1 y a2 y uno vertical c .
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Índices para los planos cristalinos en celdas HCP
I Los índices de los planos cristalinos HCP son llamados índicesde Miller-Bravais (jkil).
I 3 ejes basales a0, a1 y a2 y uno vertical c .
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Índices para los planos cristalinos en celdas HCP
I Los índices de los planos cristalinos HCP son llamados índicesde Miller-Bravais (jkil).
I 3 ejes basales a0, a1 y a2 y uno vertical c .
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Índices para los planos cristalinos en celdas HCP
Planos basales Planos del prisma
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Índices de dirección en las celdas unitarias HCP
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Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC
FCC HCP
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Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC
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Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC
BCC
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Densidad volumétrica
ρv =masa/celda unitaria
volumen/celda unitaria
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Problema
El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atónico de0.1278nm. Considerando a los átomos como esferas rígidas que setocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCCcomo se muestra, calcule el valor teórico de la densidad de cobre enmegagramos por metro cúbico. La masa atómica del cobre es de63.54g/mol.
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Problema
El cobre tiene una estructura cristalina FCC y un radio atónico de0.1278nm. Considerando a los átomos como esferas rígidas que setocan entre sí a lo largo de la diagonal de la celda unitaria FCCcomo se muestra, calcule el valor teórico de la densidad de cobre enmegagramos por metro cúbico. La masa atómica del cobre es de63.54g/mol.
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Problema
a =4R√2
= 0.361nm
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Problema
a =4R√2
= 0.361nm
ρv =masa/celda unitaria
volumen/celda unitaria
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Problema
a =4R√2
= 0.361nm
ρv =masa/celda unitaria
volumen/celda unitaria
m =(4 atomos)(63.54g/mol)
6.02× 1023atomos/mol
(10−6Mg
g
)= 4.22× 10−28Mg
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Problema
a =4R√2
= 0.361nm
ρv =masa/celda unitaria
volumen/celda unitaria
m =(4 atomos)(63.54g/mol)
6.02× 1023atomos/mol
(10−6Mg
g
)= 4.22× 10−28Mg
V = a3 = 4.70× 10−29m3
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Problema
a =4R√2
= 0.361nm
ρv =masa/celda unitaria
volumen/celda unitaria
m =(4 atomos)(63.54g/mol)
6.02× 1023atomos/mol
(10−6Mg
g
)= 4.22× 10−28Mg
V = a3 = 4.70× 10−29m3
ρv =m
V= 8.98Mg/m3 (8.98g/cm3)
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Densidad atómica planar
ρp =atomos cortados por el area
area seleccionada
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Densidad atómica planar
ρp =atomos cortados por el area
area seleccionada
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Problema
Calcule la densidad atómica planar en el plano (110) de la red deBCC del hierro α en átomos por mm2. La constante de red delhierro α es 0.287 nm.
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Problema
Calcule la densidad atómica planar en el plano (110) de la red deBCC del hierro α en átomos por mm2. La constante de red delhierro α es 0.287 nm.
1 atomo en el centro + 4× 14de atomo en los vrtices = 2 atomos
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Problema
Calcule la densidad atómica planar en el plano (110) de la red deBCC del hierro α en átomos por mm2. La constante de red delhierro α es 0.287 nm.
1 atomo en el centro + 4× 14de atomo en los vrtices = 2 atomos
(√2a)(a) =
√2a2
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Problema
Calcule la densidad atómica planar en el plano (110) de la red deBCC del hierro α en átomos por mm2. La constante de red delhierro α es 0.287 nm.
1 atomo en el centro + 4× 14de atomo en los vrtices = 2 atomos
(√2a)(a) =
√2a2
ρp =2 atomos√2(0.287nm)2
= 17.2atomos/nm2
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Problema
Calcule la densidad atómica planar en el plano (110) de la red deBCC del hierro α en átomos por mm2. La constante de red delhierro α es 0.287 nm.
1 atomo en el centro + 4× 14de atomo en los vrtices = 2 atomos
(√2a)(a) =
√2a2
ρp =2 atomos√2(0.287nm)2
= 17.2atomos/nm2
17.2atomos
nm2× 1012nm2
mm2
Juan José Reyes Salgado
Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
Problema
Calcule la densidad atómica planar en el plano (110) de la red deBCC del hierro α en átomos por mm2. La constante de red delhierro α es 0.287 nm.
1 atomo en el centro + 4× 14de atomo en los vrtices = 2 atomos
(√2a)(a) =
√2a2
ρp =2 atomos√2(0.287nm)2
= 17.2atomos/nm2
17.2atomos
nm2× 1012nm2
mm2
ρp = 1.72× 1013atomos/mm2
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
Densidad atómica lineal
ρl =diametros atomicos cortados en una direccion de interes
longitud seleccionada de la linea
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
Densidad atómica lineal
ρl =diametros atomicos cortados en una direccion de interes
longitud seleccionada de la linea
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
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Problema
Calcule la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la redcristalina de cobre en átomos por mm. El cobre es FCC y tiene unaconstante de red de 0.361 nm.
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Problema
Calcule la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la redcristalina de cobre en átomos por mm. El cobre es FCC y tiene unaconstante de red de 0.361 nm.
ρl =diametros atomicos cortados en una direccion de interes
longitud seleccionada de la linea
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Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
Problema
Calcule la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la redcristalina de cobre en átomos por mm. El cobre es FCC y tiene unaconstante de red de 0.361 nm.
ρl =diametros atomicos cortados en una direccion de interes
longitud seleccionada de la linea
ρl =2 atomos√
2a=
2 atomos√2(0.361nm)
=3.92 atomos
nm
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Problema
Calcule la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la redcristalina de cobre en átomos por mm. El cobre es FCC y tiene unaconstante de red de 0.361 nm.
ρl =diametros atomicos cortados en una direccion de interes
longitud seleccionada de la linea
ρl =2 atomos√
2a=
2 atomos√2(0.361nm)
=3.92 atomos
nm
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Estructuras cristalinas y amorfas en los materiales.
Redes espaciales Sistemas cristalinos Estructuras cristalinas metálicas Posiciones del átomo Dirección de las celdas Índices de Miller Planos cristalográ�cos en la estructura cristalina hexagonal Comparación de las estructuras FCC, HCP y BCC Cálculos de las densidades
Problema
Calcule la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la redcristalina de cobre en átomos por mm. El cobre es FCC y tiene unaconstante de red de 0.361 nm.
ρl =diametros atomicos cortados en una direccion de interes
longitud seleccionada de la linea
ρl =2 atomos√
2a=
2 atomos√2(0.361nm)
=3.92 atomos
nm
3.92atomos
nm× 106nm
mm
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Problema
Calcule la densidad atómica lineal en la dirección [110] de la redcristalina de cobre en átomos por mm. El cobre es FCC y tiene unaconstante de red de 0.361 nm.
ρl =diametros atomicos cortados en una direccion de interes
longitud seleccionada de la linea
ρl =2 atomos√
2a=
2 atomos√2(0.361nm)
=3.92 atomos
nm
3.92atomos
nm× 106nm
mm
ρp = 3.92× 106atomos/mm
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