View
47
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
บทที่ 4การสราง (8 ช่ัวโมง)
4.1 การแบงสวนของเสนตรง (2 ช่ัวโมง) 4.2 การสรางมุมขนาดตางๆ (3 ช่ัวโมง)
4.3 การสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหล่ียมดานขนาน (3 ช่ัวโมง)
เนื้อหาสาระของบทนี้ เปนเนื้อหาที่เพิ่มเติมและมีการสรางซับซอนขึ้นจากการสรางพื้นฐานทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ขอตกลงเกี่ยวกับการสรางโดยใชเครื่องมือเฉพาะสันตรงและ วงเวียนยังคงเหมือนเดิม
ครูอาจแนะนําวาการสรางที่สมบูรณมี 4 ขั้นตอนดังตอไปนี้1. ขั้นวิเคราะห
กอนสรางรูปใดๆ ครูควรแนะนําใหนักเรียนวิเคราะหหาความสัมพันธระหวางสิ่งที่กําหนดใหและสิ่งที่ตองการสราง โดยการเขียนรูปที่ตองการนั้นอยางคราวๆ กอน แลวจึงคิดลําดับขั้นตอนการสราง และลงมือสรางตามขั้นตอนที่คิดไว ขั้นนี้สําคัญและจําเปนมาก
2. ขั้นสรางดําเนินการสรางตามที่คิดไวในขอ 1. และเพื่อชวยใหเห็นขั้นตอนการสรางชัดเจนขึ้นก็อาจ
ใหเขียนวิธีสรางดวย ในบทนี ้ มหีลักในการเขยีนวธีิสรางดงันี้
1) ถามีขั้นตอนการสรางพื้นฐานทั้งหกหรือการสรางอื่นใดที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว จะเขยีนขัน้ตอนนัน้อยางสงัเขป เพือ่ใหรูวาสรางเสนหรือสรางมมุใดบาง
2) ถามขีัน้ตอนทีส่รางเพิม่เตมิ จะเขยีนโดยละเอยีด3) เมือ่จบการสรางแลวจะเขยีนสรปุสิง่ทีต่องการ
3. ขัน้พสูิจน เมื่อสรางแลวควรจะมีการพิสูจนยืนยันวาไดรูปตามที่ตองการสราง แตในชั้นนี้นักเรียนยงัมพีืน้ฐานไมเพยีงพอทีจ่ะเขยีนวธีิพสูิจนอยางเปนทางการ จงึเวนไวกอนและใหใชการวดั ตรวจสอบผลการสรางแทน
4. ขั้นอภิปรายผลอภิปรายในประเด็นวิธีสราง เชน มีวิธีอ่ืนอีกหรือไม แตละวิธีมีเงื่อนไขเปนอยางไร วิธีใด
เหมาะสมกวากัน ครูอาจใหมีการสนทนาและอภิปรายรวมกันเกี่ยวกับเรื่องเหลานี้ รวมทั้งอาจขยายผลไปถึงการนําวิธีสรางไปใช
82
ในชั้นนี้จะเนนเฉพาะขั้นที่ 1 และขั้นที่ 2
การเขียนวิธีสรางของนักเรียนอาจมีการใชสัญลักษณ เชน AB, AB , AB, CBA ∧ หรือ C)Bm(A ∧ ไมถูกตอง ตลอดจนการเขียนอธิบายการสรางของนักเรียนก็อาจเขียนวกวนหรือใชสํานวน
ไมกะทัดรัด ครูควรย้ําและแกไขใหถูกตองแตไมควรใชปนเกณฑตัดคะแนน ควรถือเอาลําดับขั้นตอนการสรางที่ถูกตองเปนเกณฑใหคะแนน
ครูอาจนําแบบฝกหัดบางขอหรือกิจกรรมกรอบทายบทมาจัดเปนกิจกรรมระหวางการเรียนการสอน เพื่อใหนักเรียนไดสืบเสาะ สังเกต วิเคราะหและคาดการณเกี่ยวกับสมบัติทางเรขาคณิต ครูควรเลือกใชกิจกรรมดังกลาวตามความเหมาะสมกับเวลา และความสามารถของนักเรียน สําหรับคําตอบแบบฝกหัดบางขอที่ไมไดกําหนดใหเขียนวิธีสราง เพื่ออํานวยความสะดวกแกครูไดใหแนวการสรางประกอบมาดวย
ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายปใชการสรางพื้นฐานสรางรูปที่ซับซอนขึ้นได
83
แนวทางในการจัดการเรียนรู
4.1 การแบงสวนของเสนตรง (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. แบงสวนของเสนตรงที่กําหนดใหออกเปนสวน ๆ ที่ยาวเทากันได 2. เขียนวิธีสรางเกี่ยวกับการแบงสวนของเสนตรงได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับการสรางพื้นฐานทางเรขาคณิตทั้งหก อาจใหนักเรียนชวยกันสรางบนกระดานดําเพื่อครูจะไดอธิบายหรือช้ีแนะเพิ่มเติม การทบทวนการสรางนี้ใหครูเนนการแบงคร่ึงสวนของเสนตรง พรอมทัง้ชีใ้หเหน็จาํนวนสวนแบงทีไ่ดจากการแบงครึง่ของครึง่ซึง่จาํนวนสวนแบงเปนทวคีณูของ 2 เชน 2, 4, 8, … และเนนการสรางมมุใหมขีนาดเทากบัขนาดของมมุทีก่าํหนดให เพื่อใชเปนความรูพื้นฐานในการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวนๆ ที่ยาวเทากันกี่สวนก็ไดโดยสรางมุมแยง 2. การสอนวิธีแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวน ๆ ที่ยาวเทากัน โดยสรางมุมแยงใหมีขนาดเทากนั ในขัน้ตอนการสรางมมุแยงทีม่ขีนาดเทากนั ครูอาจใหนกัเรยีนบอกรายละเอยีดของการสรางกอนขณะที่ครูสรางรูปบนกระดานดํา ควรใหนักเรียนสรางรูปและเขียนวิธีสรางไปพรอมๆกันกับครูดวย
เมื่อสอนการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวนๆ ที่ยาวเทากันจบแลว ควรใหนักเรียนทบทวนการสรางนั้นอีกครั้ง อาจใหแบงสวนของเสนตรงที่ยาว 9 เซนติเมตร ออกเปน 3 สวนที่ยาวเทากนัหรือใหแบงสวนของเสนตรงทีย่าว 8 เซนตเิมตร ออกเปน 5 สวนทีย่าวเทากนั แลวตรวจสอบผลโดยใชวงเวียน
3. คาํถามเกีย่วกบัการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวนๆ ทีย่าวเทากนั ในหนงัสอืเรียนหนา 107ตองการใหนกัเรยีนสงัเกตเหน็แบบรปูของจาํนวนสวนแบงกบัจาํนวนครัง้ทีเ่ขยีนสวนโคง ตดัแขนของมมุ ซ่ึงจะเห็นไดจากตารางตอไปนี้
84
จํานวนสวนแบงท่ียาวเทากัน จํานวนครั้งท่ีเขียนสวนโคงตัดแขนของมุม345
n
234
n – 1
4. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 ขอ 4 ตองการเชื่อมโยงความรูเรขาคณิตกับเศษสวน เมื่อแบงฐานของรปูสามเหลีย่ม ABC ทีก่าํหนดใหเปน 4 สวนทีย่าวเทา ๆ กนั และลาก AD , AE และ AF จะได ∆ABD, ∆ADE, ∆AEF และ ∆AFC ดังรูปขางลางนี้ นักเรียนควรจะเห็นวารูปสามเหลี่ยมที่ไดมีความสัมพันธกันอยางไรบาง
ถาครูนําแบบฝกหัดขอนี้มาจัดเปนกิจกรรมใหนักเรียนเรียนรูพรอมๆ กัน ในชั้นเรียน ครูควรใหนักเรียนบอกเหตุผลที่ทําใหพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปเทากัน และแตละรูปเปน 41 ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กําหนดให
5. สําหรับแบบฝกหัด 4.1 ขอ 5 และขอ 6 เปนตัวอยางใหนักเรียนเห็นขั้นตอนการวิเคราะหเพื่อจะหาวิธีสรางตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนด ถาตองการแบง PQ ออกเปนสองสวนให PX = 32 PQ นักเรียนควรวิเคราะหรูปที่ตองการสรางตามเงื่อนไขซึ่งจะไดรูปดังนี้
.
.
....
A
B D E F C
P QX32 31
85
ดังนั้นนักเรียนจะตองสรางโดยแบง PQ ออกเปน 3 สวนที่ยาวเทาๆ กันกอน แลวกําหนดจุด X ที่ทําให PX เปนสองเทาของ XQ จะได PX = 32 PQ ตามตองการ สําหรับขอ 6 นักเรียนควรวิเคราะหรูปที่ตองการสรางตามเงื่อนไขโดยแบง XY ออกเปน 5 สวนที่ยาวเทา ๆ กันดังรูป
จะได XP = 32 PY6. แบบฝกหัด 4.1 ขอ 7 ขอ 8 และขอ 9 มีสาระตอเนื่องกัน ตองการใหนักเรียนเห็นการนํา
ความรูเกี่ยวกับการแบงครึ่งสวนของเสนตรงมาใชสรางเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ตลอดจนใชกระบวนการ สืบเสาะ สังเกต วิเคราะหและคาดการณ
ในตอนทายของกิจกรรมนักเรียนจะไดรูจักสมบัติเกี่ยวกับเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ซ่ึงเปนความรูใหม ในการจดักจิกรรมการเรยีนการสอน ครูอาจนาํแบบฝกหดัทัง้สามขอมาใหนกัเรยีนทาํกจิกรรมและเรียนรูไปพรอมกันทั้งชั้น หรืออาจใหนักเรียนที่มีความสามารถและมีความสนใจเปนพิเศษทํานอกเวลาเรียนก็ได ถาใหนักเรียนทําพรอม ๆ กัน ครูควรใหนักเรียนหาเซนทรอยดของรูปสามเหลี่ยมมุมปานหรือรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และอาจแนะนําวา สําหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เซนทรอยดนี้เปนจุดเดียวกันกับ ศูนยกลางมวล (centre of mass) และจุดนี้เปนจุดเสมือนเปนที่รวมมวลทั้งหมดของวัตถุที่เปนรูปสามเหลี่ยมนั้น
ครูอาจเชื่อมโยงความรูคณิตศาสตรกับวิทยาศาสตรใหเห็นศูนยกลางมวลของวัตถุรูปสามเหลี่ยมโดยใหนักเรียนทํากิจกรรมดังนี้ 1) ตัดกระดาษแข็งที่มีความหนาพอสมควรเปนรูปสามเหลี่ยมใด ๆ คนละหนึ่งรูป 2) หาตําแหนงของเซนทรอยด 3) วางกระดาษรูปสามเหลี่ยมบนปลายดินสอตรงตําแหนงเซนทรอยดนั้นแลวดูวากระดาษ
แผนนี้ทรงตัวอยูไดหรือไม ถาครูสนใจการพิสูจนที่เกี่ยวกับเสนมัธยฐาน สามารถศึกษาไดจากตําราเรียนเรขาคณิตในระดับอุดมศึกษา สําหรับการพิสูจนเกี่ยวกับความยาวของสวนของเสนตรงที่เชื่อมตอระหวางจุดกึ่งกลางของดานของรูปสามเหลี่ยม อาจศึกษาไดจากคูมือครูวิชาคณิตศาสตร ค 021 หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนตน พุทธศักราช ๒๕๒๑ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๓๓) ในแบบฝกหัด 4 ขอ 3
X YP
86
4.2 การสรางมุมขนาดตาง ๆ (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. สรางมุมที่มีขนาดตางๆ ตามที่กําหนดใหได 2. เขียนวิธีสรางเกี่ยวกับการสรางมุมที่มีขนาดตาง ๆ ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนการสรางมุมที่มีขนาด 90 องศา ที่นักเรียนเคยสรางมาแลวโดยอาศัย การสรางเสนตั้งฉากกอน แลวจึงใหนักเรียนเห็นวิธีสรางอีกวิธีหนึ่งซึ่งอาศัยการสรางมุมที่มีขนาด 60 องศา จากการสรางในตัวอยางนี้นักเรียนควรบอกขนาดของมุมตาง ๆ ที่เกี่ยวของกับการสรางตามคําถามในหนังสือเรียน หนา 111 ดังนี้ 1. Y)Am(P ∧ = 90 องศา 2. Y)Am(S ∧ = 45 องศา
3. M)Am(N ∧ = 60 องศา 4. M)Am(R ∧ = 120 องศา5. N)Am(P ∧ = 30 องศา 6. S)Am(R ∧ = 15 องศา
2. การสรางมุมขนาดตาง ๆ ที่กําหนดให ในที่นี้ตองอาศัยการสรางมุมขนาด 90o, 60o หรือการแบงครึง่มมุ ดงันัน้ครคูวรใหนกัเรยีนเขยีนแนวคดิแสดงการหาขนาดของมมุไวดวย เชน 67.5o อาจใช 2 45 90+ หรือ 90 – 22.5 การบอกแนวคิดในการสรางนี้จะชวยใหครูตามรองรอยการสรางที่ นักเรียนเขียนไวไดงายขึ้น
ถาครูตองการใหโจทยเพิ่มเติม ครูควรวิเคราะหการสรางกอนเชนเดียวกัน ใหครูแนะนําวาการสรางเสนที่เปนแขนของมุมที่ไมใชขั้นตอนสุดทายนิยมใชเสนประ และใชเสนทึบเขียนแขนของมุมที่ตองการ อาจเขียนสวนโคงแสดงมุมและขนาดของมุมไวในรูปที่สรางดวยก็ได 4.3 การสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหล่ียมดานขนานใหมีขนาดของมุมและความยาว ของดานตามที่กําหนดใหได
87
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. การสรางรูปเรขาคณิตในหัวขอนี้ตองอาศัยการสรางหลายๆ อยาง และหลายๆ ขั้นตอนการวิเคราะหรูปกอนจึงมีความจําเปนอยางยิ่ง ครูควรย้ําใหนักเรียนเขียนรูปที่ตองการสรางอยางคราวๆ กอน และเลือกใชวิธีสรางที่ส้ัน กะทัดรัด โดยเฉพาะการสรางรูปสี่เหล่ียมดานขนานซึ่งมีวิธีสรางไดหลายวิธี
2. สําหรับการสรางซึ่งกําหนดความยาวของดานที่มีหนวยเปนเซนติเมตร ครูควรย้ําให นักเรียนใชวงเวียนวัดความยาวจากไมบรรทัดและเขียนสวนโคงใหเห็นรองรอยการกําหนดความยาวจากความยาวที่วัดไวนั้น 3. สําหรับแบบฝกหัด 4.3 ขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 ถาครูใหนักเรียนทําเปนการบาน ควรไดนําผลการสรางของนักเรียนมาอภิปรายรวมกันอีกครั้ง ครูอาจใชคําถามนํา เชน เมื่อนักเรียนกําหนดความยาวของสวนของเสนตรง หรือขนาดของมุม ตามใจชอบแลว นักเรียนสามารถใชขนาดที่กําหนดนั้นมาสรางรูปที่ตองการไดทันทีหรือไม ถาไมได เพราะเหตุใด ถานักเรียนยังบอกเหตุผลไมไดครูอาจทบทวนความรูเกีย่วกบัความยาวของดานของรปูสามเหลีย่มทีน่กัเรยีนเคยทราบมาแลว ในบทที ่ 1 การประยกุต 1 ของหนังสือเรียน
ครูอาจนําแบบฝกหัดทั้งสามขอนี้ใหนักเรียนทําพรอมกันในหองเรียน โดยใหนักเรียนออกมากําหนดความยาวของสวนของเสนตรง และขนาดของมุมบนกระดานดําตามใจชอบ แลวสรางรูปตามขนาดนั้นพรอมทั้งใหอภิปรายถึงกรณีที่สรางรูปที่ตองการไมไดดวย
4. สําหรับกิจกรรม “ เขาทําอะไรอยู” เสนอไวเพื่อใหนักเรียนแปลความหมายจากภาพทั้งสามซ่ึงตองการแสดงใหเห็นวา ในสมัยโบราณประมาณชวง 4,000 – 5,000 ปที่ผานมา แมชาวอียิปตไมมีเข็มทิศใชแตก็ยังสามารถหาแนวทิศเหนือ และทิศใตได
ครูอาจสนทนาเพิ่มเติมใหนักเรียนทราบถึงการสันนิษฐานวา ชาวอียิปตโบราณใชวิธีการที่กลาวมากําหนดตําแหนงเหนือใตเพื่อสราง มหาพีระมิดของคูฟู (The Great Pyramid of Khufu (Cheops)) ซ่ึงเปนพีระมิดขนาดใหญสุดในกลุมพีระมิดขนาดใหญ 3 องคแหงเมืองกิเซห (Giza) ที่ไดรับการยกยองวาเปนหนึ่งในเจ็ดสิ่งมหัศจรรยของโลกยุคโบราณ
5. สําหรับกิจกรรมทายบท “ศูนยกลางวงลอม” และ “ศูนยกลางวงกลมแนบใน” เสนอไวเพื่อ ใหนักเรียนเห็นการนําความรูเกี่ยวกับการสรางพื้นฐานมาใชหา ศูนยกลางวงลอม และศูนยกลางวงกลมแนบใน
ถาครใูชกจิกรรมนีใ้นเวลาเรยีน หลังจากนกัเรยีนทาํกจิกรรมถงึขัน้ตอนเขยีนวงกลมเสรจ็แลว ครูควรใหมีการอภิปรายถึงเหตุผลที่เรียกชื่อจุดศูนยกลางของวงกลมทั้งสองวงนั้นตามชื่อของกิจกรรม
88
หลังจากทํากิจกรรมทั้งสอง นักเรียนควรไดรับความรูใหมวาศูนยกลางวงลอมคือ จุดศูนยกลางของวงกลมที่ผานจุดยอดมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม และศูนยกลางวงกลมแนบใน คือ จุดศูนยกลางของวงกลมที่สัมผัสกับดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ครูควรดําเนินกิจกรรมทั้งสองให นกัเรยีนเกดิการเรยีนโดยใชการสบืเสาะ สังเกต วเิคราะหและคาดการณ พรอมทัง้ตรวจสอบผลทีเ่กดิขึน้
ถาใหนกัเรยีนบางกลุมทาํนอกเวลาเรยีน กค็วรไดมกีารอภปิรายรวมกนัระหวางครกูบันกัเรยีนกลุมนี้ดวย
สําหรับการพิสูจนสมบัติที่กลาวไวในกิจกรรมทั้งสอง ครูอาจศึกษาไดจากตําราเรียนเรขาคณิตในระดับอุดมศึกษา
6. กจิกรรม “ภาพประดษิฐ” เสนอไวเพือ่ใหเหน็การเชือ่มโยงความรูทางเรขาคณติกบัศลิปะฝกใหนักเรียนเปนคนชางสังเกต รูจักวิเคราะหอยางมีเหตุผลและมีความคิดริเร่ิมสรางสรรค เมื่อนักเรียนทํากิจกรรมในขอ 2 เสร็จแลว ครูควรนําผลงานของนักเรียนมาติดแสดงบนปายนิเทศ ภาพที่นักเรียนประดิษฐขึ้นควรมีคําอธิบายใหทราบวาใชความรูเร่ืองใดบางในการสรางรูปนั้นซ่ึงครูสามารถนํามาเปนสวนหนึ่งของการวัดผลและประเมินผลได จากกจิกรรมนีถ้ามเีวลาพอและเปนการขยายความรูใหกบันกัเรยีน ครูอาจใหนกัเรยีนสบืเสาะหาความสัมพันธระหวางพื้นที่ของรูปที่ไดจากการแบงกับพื้นที่ของรูปเดิม โดยอาจใชการพับกระดาษหรือตอรูปก็ได
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบของคําถามหนา 107
1. 2 คร้ัง2. 3 คร้ัง3. 4 คร้ัง4. 9 คร้ัง5. n – 1 คร้ัง
89
คําตอบแบบฝกหัด 4.11. กําหนดให AB ตองการสราง แบง AB เปน 4 สวนที่ยาวเทากัน
วิธีสราง
1) ที่จุด A และจุด B สราง BAC ∧ และ ABD ∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน 2) ให A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด P 3) ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด Q 4) ใช Q เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด R 5) ให B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด M 6) ใช M เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด N 7) ใช N เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด O 8) ลาก RM , QN และ PO ตดั AB ทีจ่ดุ U, T และ S ตามลาํดบั จะได AS = ST = TU = UB นั่นคือแบง AB เปน 4 สวนที่ยาวเทากัน ตามตองการ
A
C
R
Q
P
S T U B
D
N
M
O
90
2. กําหนดให AB ตองการสราง แบง AB เปน 5 สวนที่ยาวเทากัน
วิธีสราง 1) ที่จุด A และจุด B สราง BAC ∧ และ ABD ∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน 2) ใหจุด A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด P 3) ใช P เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด Q
4) ใช Q เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด R5) ใช R เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด AC ที่จุด S
DM
N
O
L
C
R
S
Q
B
P
XA VUT
91
6) ให B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด M 7) ใช M เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด N
8) ใช N เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด O 9) ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด BD ที่จุด L
10) ลาก SM , RN , QO และ PL ตดั AB ทีจ่ดุ X, V, U และ T ตามลาํดบั จะได AT = TU = UV = VX = XB นั่นคือแบง AB เปน 5 สวนที่ยาวเทากัน ตามตองการ
3. กําหนดให RS ตองการสราง แบง RS เปน 7 สวนที่ยาวเทากัน
D
R
A
SX
E
Y
F
G
W
H
V
I
UTB
O
N
L
M
K
P
92
วิธีสราง1) ที่จุด R และจุด S สราง SRD ∧ และ RSB∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน2) ให R เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด A3) ใช A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด E4) ใช E เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด F5) ใช F เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด G6) ใช G เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด H7) ใช H เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด RD ที่จุด I8) ใช S เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด K9) ใช K เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด L
10) ใช L เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด M11) ใช M เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด N12) ใช N เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด O13) ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด SB ที่จุด P14) ลาก IK , HL , GM , FN , EO และ AP ตัด RS ทีจ่ดุ Y, X, W, V, U และ T
ตามลาํดบั จะได RT = TU = UV = VW = WX = XY = YSนัน่คอืแบง RS เปน 7 สวนทีย่าวเทากนั ตามตองการ
4.
R
C
A
B
QN
M
S
P
D E F
93
คาํตอบ 1) BE = 21 BC 2) BD = 41 BC 3) BD = 31 DC
4) รูปสามเหลีย่มทกุรูปมสีวนสงูจากจดุ A เปนเสนเดยีวกนั ในทีน่ีค้อื AX 5) รูปสามเหลีย่มทกุรูปในขอ 4) มพีืน้ทีเ่ทากนั 6) พืน้ทีข่อง ∆ ABD = 41 ของพืน้ทีข่อง ∆ ABC
5. กาํหนดให PQ ตองการสราง แบง PQ ออกเปนสองสวนทีจ่ดุ X โดยให PX = 32 PQ
R
U
Q
N
M
S
P XO
T
C
A
B D EFX
94
วธีิสราง 1) ทีจ่ดุ P และจดุ Q สราง QPM ∧ และ PQN ∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน 2) ให P เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด PM ที่จุด R 3) ใช R เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด PM ที่จุด S 4) ให Q เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด QN ที่จุด T 5) ใช T เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด QN ที่จุด U 6) ลาก ST และ RU ตดั PQ ทีจ่ดุ X และจดุ O ตามลาํดบั จะได PO = OX = XQ นัน่คอื แบง PQ เปน 3 สวนทีย่าวเทากนั ซ่ึง PX = 32 PQ ตามตองการ
6. กาํหนดให XY ตองการสราง แบง XY ออกเปนสองสวนทีจ่ดุ P โดยให XP = 32 PY
E
S
H
F
A
X
B
NMO
G
Q
C
D
YP
95
วธีิสราง 1) ทีจ่ดุ X และจดุ Y สราง YXS ∧ และ XYQ ∧ ใหเปนมุมแยงที่มีขนาดเทากัน 2) ให X เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัด XS ที่จุด A 3) ใช A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด XS ที่จุด B
4) ใช B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด XS ที่จุด C5) ใช C เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด XS ที่จุด D6) ให Y เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด YQ ที่จุด E
7) ใช E เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด YQ ที่จุด F8) ใช F เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด YQ ที่จุด G
9) ใช G เปนจุดศูนยกลางรัศมียาวเทาเดิม เขียนสวนโคงตัด YQ ที่จุด H 10) ลาก DE , CF , BG และ AH ตดั XY ทีจ่ดุ N, M, P และ O ตามลาํดบั จะได XO = OP = PM = MN = NY นัน่คอืแบง XY เปน 5 สวนทีย่าวเทากนั ซ่ึง XP = 32 PY ตามตองการ
7. กาํหนดให ∆ ABC ม ี AD เปนเสนมธัยฐาน ตองการสราง BE เปนเสนมธัยฐานตดักนัที ่M
แนวการสราง 1) สราง GH แบงครึง่ AC ทีจ่ดุ E 2) ลาก BE ตดั AD ที่จุด M นั่นคือ BE เปนเสนมธัยฐานของ ∆ ABC ตามตองการ 3) ลาก CM ตดั AB ทีจ่ดุ F
C
H
F E
A
B
M
GD
96
ใชวงเวยีนตรวจสอบความยาวของ AF และความยาวของ FB จะไดคาํตอบดงันี้ (1) AF = FB (2) CF เปนเสนมธัยฐานของ ∆ ABC
8. จากรปูทีส่รางไดในขอ 7 เมือ่ใชวงเวยีนตรวจสอบความยาวจะไดวา 1) AM = 2 MD 2) BM = 2 ME 3) CM = 2 MF
9. เมือ่ใชวงเวยีนตรวจสอบความยาว จะได
1) DE = 21 AB 2) EF = 21 BC 3) FD = 21 AC 4) ความยาวรอบรปูของ ∆ DEF เทากบั 21 ของความยาวรอบรปูของ ∆ ABC
คําตอบแบบฝกหัด 4.2
ตัวอยางคําตอบ1. 1) แนวคิด 67.5 = 45 + 22.5
C
H
F E
A
B
M
GD
97
จากการสรางจะได )EO(Bm ∧ = )DO(Bm ∧ + )EO(Dm ∧
= 45 + 22.5 = 67.5 องศา
2) แนวคิด 75 = 60 + 15
จากการสรางจะได )EO(Bm ∧ = )DO(Bm ∧ + )EO(Dm ∧
= 60 + 15 = 75 องศา
3) แนวคิด 150 = 120 + 30
A B
D
E
C
O
CD
E
O BA
B
D
A
C
O
98
จากการสราง จะได )DO(Bm ∧ = )CO(Bm ∧ + )DO(Cm ∧
= 120 + 30 = 150 องศา
4) แนวคิด 195 = 180 + 15
จากการสราง จะได )EOB (มุมกลับm ∧ = )BO(Am ∧ + )EO(Am ∧
= 180 + 15 = 195 องศา
5) แนวคิด 225 = 180 + 45
จากการสราง จะได )DOB (มุมกลับm ∧ = )AO(Bm ∧ + )DO(Am ∧
= 180 + 45 = 225 องศา
C
A BE
O
D
C
BO
D
A
99
6) แนวคิด 165 = 180 – 15
จากการสราง จะได )EO(Bm ∧ = )BO(Am ∧ – )EO(Am ∧
= 180 – 15 = 165 องศา
7) แนวคิด 255 = 270 – 15
จากการสราง จะได )EOB (มุมกลับm ∧ = )DOB (มุมกลับm ∧ – )EO(Dm ∧
= 270 – 15 = 255 องศา
8) แนวคิด 315 = 360 – 45
BOA
DE
C
E
C
A B
D
O
D
A
C
OB
100
จากการสราง จะได )DOB (มุมกลับm ∧ = ขนาดของมุมรอบจุด O – )DO(Bm ∧
= 360 – 45 = 315 องศา
2. 1) แนวคิด 52.5 = 2 60 45+
วิธีสราง 1. สราง BOA ∧ เปนมุมตรง 2. สราง COB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 3. สราง OD แบงครึ่ง COB ∧ ทําให )DO(Bm ∧ = 45o
4. สราง EOD ∧ ใหมีขนาดเทากับ 60 องศา จะได )EO(Bm ∧ = )DO(Bm ∧ + )EO(Dm ∧
= 45 + 60 = 105 องศา 5. สราง OF แบงครึ่ง EOB ∧ ทําให )FO(Bm ∧ = 52.5 องศา ตามตองการ
2) แนวคิด 135 = 90 + 45
CD
A BO
B
CD
E
F
A O
101
วิธีสราง 1. สราง BOA ∧ ใหเปนมุมตรง 2. สราง COB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา
3. สราง OD แบงครึ่ง COA ∧ ทําให )DO(Cm ∧ = 45 องศา จะได )DO(Bm ∧ = )CO(Bm ∧ + )DO(Cm ∧ = 90 + 45 = 135 องศา นั่นคือ DOB ∧ มีขนาดเทากับ 135 องศา ตามตองการ
3. 1) จากรองรอยการสราง (1) )EB(Cm ∧ = 30 องศา (2) )EB(Am ∧ = 150 องศา (3) BF แบงครึ่ง EBA ∧
(4) )CB(Fm ∧ = 105 องศา 2) จากรองรอยการสราง (1) )MO(Xm ∧ = 60 องศา (2) )PO(Xm ∧ = 90 องศา
(3) )YO(Nm ∧ = 45 องศา (3) OQ แบงครึ่ง NOM ∧ ซ่ึง )NOm(M ∧ = 75 องศา (4) )YO(Qm ∧ = 82.5 องศา
3) จากรองรอยการสราง (1) )RQ(Am ∧ = 60 องศา (2) )PQ(Am ∧ = 45 องศา (3) )PQ(Rm ∧ = 105 องศา (4) )RQP (มุมกลับm ∧ = 255 องศา
102
คําตอบแบบฝกหัด 4.3
1.
ตองกําหนด a, b และ c ให a + b > c, a + c > b และ b + c > a หรือใหผลบวกของสองจํานวนใด ๆ มากกวาจํานวนที่เหลือจึงจะสรางรูปสามเหลี่ยมได
2.
จะไดรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว เนื่องจากเมื่อตรวจสอบดวยวงเวียนจะได PR = QR
b
aP
R
Q
c
a b c
a
kR
P Qa
k k
103
3. ให a และ b เปนความยาวของสวนของเสนตรง
จะสรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไดตองกําหนดให a มากกวา b
4.
แนวการสราง1. สราง MN
2. ที่จุด D ใด ๆ บน MN สราง EDM ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 3. ให D เปนจุดศูนยกลางรัศมียาว 3 เซนติเมตร เขียนสวนโคงตัด DE ที่จุด A 4. ให A เปนจุดศูนยกลางรัศมียาว 5 เซนติเมตร เขียนสวนโคงตัด MN ที่จุด B ลาก AB 5. ใช B เปนจุดศูนยกลางรัศมียาว 7 เซนติเมตร เขียนสวนโคงตัด MN ที่จุด C ลาก CA จะได ∆ ABC มี AB = 5 เซนติเมตร BC = 7 เซนติเมตร และสวนสูง AD ยาวเทากับ 3 เซนติเมตร
a b
P Q
RM
a
b
E
NM D
A
BC7 ซม.
3 ซม. 5 ซม.
104
5.
วิธีสราง1. สราง AB ยาวเทากับ 6 เซนติเมตร
2. สราง PAB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 3. สราง AD แบงครึ่ง PAB ∧ ทําให )DAm(B ∧ = 45 องศา 4. สราง EAB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 60 องศา ทําให )EAm(D ∧ = 15 องศา 5. สราง AF แบงครึ่ง EAD ∧ ทําให )FAm(D ∧ = 7.5 องศา จะได )FAm(B ∧ = )DAm(B ∧ + )FAm(D ∧
= 45 + 7.5 = 52.5 องศา 6. สราง QBA ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 7. สราง BC แบงครึ่ง QBA ∧ และตัด AF ที่จุด C ทําให )CBm(A ∧ = 45 องศา จะได ∆ ABC ที่ AB ยาวเทากับ 6 เซนติเมตร )CAm(B ∧ = 52.5 องศา และ )CBm(A ∧ = 45 องศา ตามตองการ
6.
CF QP
ED
BA6 ซม.
A BE
FG D CH
8 ซม.
5 ซม.8 ซม.
8 ซม.
105
แนวการสราง1. สราง AB ใหยาวเทากับ 8 เซนติเมตร
2. ที่จุด E ใด ๆ บน AB สราง FEB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา 3. สราง EG ใหยาวเทากับ 5 เซนติเมตร 4. สราง GH ใหขนานกับ AB 5. สราง AD และ BC ใหยาวเทากบั 8 เซนตเิมตร และตดั GH ทีจ่ดุ D และ C ตามลาํดบั
6. ลาก AD และ BC จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูนมีดานยาว 8 เซนติเมตรและสูง 5 เซนติเมตร
7.
แนวการสราง1. สราง AB ใหยาวเทากับ 6 เซนติเมตร
2. สราง FAB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 60 องศา 3. สราง XAB ∧ ใหมีขนาดเทากับ 90 องศา จะได )XAm(F ∧ = 30 องศา 4. สราง AE ใหยาวเทากับ 4 เซนติเมตร และสราง EG ใหขนานกับ AB 5. สราง AH แบงครึง่ EAF ∧ และตดั EG ทีจ่ดุ D จะได D)Am(F ∧ = 15 องศา ดังนั้น )DAm(B ∧ = )FAm(B ∧ + )DAm(F ∧
= 60 + 15 = 75 องศา 6. สราง DC ใหยาวเทากับ 6 เซนติเมตร
A B
G CD
X
FH
6 ซม.
E
106
7. ลาก BC จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนานมี AB = 6 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร และ )DAm(B ∧ = 75 องศา
8.
แนวการสราง1. สราง AB ใหยาวเทากับ a
2. สราง FAB ∧ ใหมีขนาดพอสมควร 3. สราง GBA ∧ ใหมีขนาดเทากับ )( )FAm(B2 ∧
4. สราง AD และ BC ใหแตละเสนยาวเทากับ 2a5. ลาก CD จะได ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนานที่ AB = a, AD = 2a และ
)CBm(A ∧ = )( )DAm(B2 ∧
คําตอบกิจกรรม “เขาทําอะไรอยู”
รูปที่ (1) : ปกเสาบนพื้นทรายแลวผูกเชือกกับโคนเสาใหยาวพอประมาณ เขียนวงกลมบนพื้นทรายโดยมีโคนเสาเปนจุดศูนยกลางหนึ่งวง
รูปที่ (2) : เมื่อเงาของยอดเสาแตะพอดีกับเสนรอบวงทําเครื่องหมายหรือจุดตรงตําแหนงเงาของยอดเสาบนวงกลมนั้น ซ่ึงในหนึ่งวันจะเกิดขึ้นสองครั้ง ตอนเชาหนึ่งครั้งและตอนบายหนึ่งครั้ง
รูปที่ (3) : สรางมุมที่มีจุดยอดมุมอยูที่โคนเสาและแขนของมุมผานตําแหนงที่กําหนดไวในรูปที่ (2) แลวแบงครึ่งมุมโดยใชการสรางทางเรขาคณิต จะไดเสนแบงครึ่งมุมเปนแนวทิศเหนือและทิศใต
a
A
G
B
DF G
C
F
a
2a
107
คําตอบกิจกรรม “ศูนยกลางวงลอม”
กําหนด ∆ ABC ที่มี OD และ OE เปนเสนแบงครึ่งและตั้งฉากกับ AB และ BC ที่จุด D และ E ตามลําดับ และให OD ตัดกับ OE ที่จุด O สราง OF ตั้งฉากกับ AC ที่จุด F จากการตรวจสอบดวยวงเวียนจะได AF = CF ดังนั้น OF เปนเสนแบงครึ่งและตั้งฉากกับ AC ที่จุด F จากการใช O เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับ OA เขียนวงกลม จะไดวงกลมผานจุด A จุด B และจุด C หรือวงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลางลอมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC นั่นเอง
D
CB E
FO
A
108
คําตอบกิจกรรม “ศูนยกลางวงกลมแนบใน”
กําหนด ∆ ABC ที่มี BO และ CO เปนเสนแบงครึ่งมุม CBA ∧ และ BCA ∧ ตามลําดับ และให BO ตัดกับ CO ที่จุด O ลาก AO จากการตรวจสอบดวยวงเวียน จะได )OAm(B ∧ = )OAm(C ∧
ดังนั้น AO เปนเสนแบงครึ่ง CAB ∧
สราง OD , OE และ OF ตั้งฉากกับ AB , BC และ AC ที่จุด D, จุด E และจุด F ตามลําดับ จากการใช O เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวเทากับ OD เขียนวงกลม จะไดวงกลมผานจุด D จุด E และจุด F หรือ วงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลางแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC นั้นเอง
คําตอบกิจกรรม “ภาพประดิษฐ”
1. ภาพประดิษฐทั้งสองใชความรูเกี่ยวกับการสรางเสนแบงครึ่งสวนของเสนตรง ภาพซายมือ เกิดจากการลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอระหวางจุดกึ่งกลางของดานของ
รูปเหล่ียมจตัรัุส เพือ่ใหเกดิรูปสีเ่หล่ียมจตัรัุสรูปใหมและทาํเชนเดยีวกนัไปเรือ่ยๆ จะไดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่เล็กลงไปเรื่อยๆ เชนกัน
ภาพขวามือ เกิดจากการลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอระหวางจุดกึ่งกลางของดานของ รูปสามเหลี่ยมดานเทา เพื่อใหเกิดรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปใหมและทําเชนเดียวกันไปเรื่อยๆ จะไดรูปสามเหลี่ยมดานเทาที่เล็กลงไปเรื่อยๆ เชนกัน
B
O
C
D
A
F
E
Recommended