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Análise Matemática I
Séries de Números Reais
Joana PeresJoana Peres
MIEQ – 2009/2010
FEUP / MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I
Introdução às séries de números reais
Uma série (infinita) de números reais é a soma de todos os (infinitos) termos de uma sucessão (ou sequência) de números reais, de termo geral {an}:
Será que esta série infinita tem um valor numérico?sucessão das somas parciais {Sn}, associada à sucessão de números reais {an}, definida através de:
Definição ∑∞
=
≡+++1
def
321 r
raaaa
ndefdef
Algumas das somas parciais associadas à sucessão {an}:
Definição ∑=
≡+++≡n
rrnn aaaaS
1
def
21
def
11 aS =
212 aaS +=
3213 aaaS ++=
21 nn aaaS +++=
FEUP / MIEQ 2Joana Peres / Análise Matemática I
A sucessão de termo geral {an} diz-se somável se e só se a correspondente sucessão das somas parciais {Sn} for convergente para um número real qualquer S quando n tender para infinito:
Séries convergentes e divergentes
Definição
{ } SaaSIRSar
r
n
rrnnnn =≡=∈∃⇔ ∑∑
∞
==∞→∞→ 1
def
1
def lim lim : somável
Se o limite existir é convergente para Sa série ∑∞
=1 r
ra
Se o limite não existir é divergente a série ∑∞
=1 r
ra
FEUP / MIEQ 3Joana Peres / Análise Matemática I
O 2º teorema é um teste de divergência que deve sempre ser aplicado a qualquer série antes de utilizar qualquer outro teste de convergência:
Propriedades mais importantes das séries de números reais
Teorema TSbaTbSa rr
rr
rr
r +=+⇒=∧= ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
) ( 111
IRcScacSar
rr
r ∈∀=⇒= ∑∑∞
=
∞
=
, 11
Teorema (Condição necessária de convergência, ou teste de divergência)
0lim onverge 1
=⇒∞→
∞
=∑ nnr
r aca
=−=⇒= −∞→∞→
∞
=∑ ) (lim lim 1
1nnnnnr
r SSaSa
0 lim lim 1 =−=−= −∞→∞→
SSSS nnnn
Demonstração:
FEUP / MIEQ 4Joana Peres / Análise Matemática I
diverge 0lim1∑∞
=∞→⇒≠
rrnn
aaConclui-se do Teorema que:
Propriedades mais importantes das séries de números reais
Exemplos de aplicação do teste de divergência
∑∞
= +1 1 r r
r ∑∞
=
−1
2)1( r
r r
Observação importante:Se 0lim =
∞→nn
a ∑∞
=1 r
raentão a série pode convergir ou divergir
Exemplo: A série chamada série harmónica
41
31
21 1 1
1++++=∑
∞
=r ré uma série divergente, embora o 0 1 lim =
∞→ nn
Contudo, a série harmónica diverge com extrema lentidão:
Sn ≥ 5 ⇒ n = 83
FEUP / MIEQ 5Joana Peres / Análise Matemática I
Sn ≥ 10 ⇒ n = 12 367
Sn ≥ 100 ⇒ n ≈ 1043
Propriedades mais importantes das séries de números reais
Teorema IRaaSaSar
rr
r ∈+=⇔= ∑∑∞
=
∞
=00
01 que desde ,
Definição ∑=
≡+++≡n
rrnn aaaaS
0
def
10
def
Redefinição da soma parcial Sn de forma a incluir o termo a0
A soma parcial Sn é sempre definida como sendo a soma de todos os termos da sucessão {a } até ao termo asucessão {an} até ao termo an
independentemente de o 1º termo da sucessão ser a0, a1, a2 ou outro termo qualquer.
Inserir ou remover um número finito de termos numa série convergente não altera a convergência da nova série assim obtida
que convergirá para um valor diferente daquele para que converge a série original.
Inserir ou remover um número finito de termos numa série divergente não altera a divergência da nova série assim obtida.
FEUP / MIEQ 6Joana Peres / Análise Matemática I
Generalização do teorema:
A aplicação directa da definição de série convergente
Estudo de séries directamente a partir da definição
Séries telescópicas (ou de Mengoli)
são séries cujo termo geral ar pode ser escrito como uma diferença de dois termos de outra sucessão {br}, em que a “distância” entre esses dois termos (isto é, a diferença dos seus índices) é constante, ou seja:
Exprimir Sn sob a “forma fechada”
rkrr bba −= + krrr bba +−= ou com INk ∈
Exemplo em que rrr bba 1 −= + e a série “começa em r = 1”
FEUP / MIEQ 7Joana Peres / Análise Matemática I
∑=
≡n
rrn aS
1
def
então
p q rrr 1+ ç
) ( 1132 +− +++++= nnn bbbbb
11 bbn −= +
111
def ) lim ( ) lim ( lim bbbbSS nnnnnn−=−=≡
∞→+
∞→∞→
Portanto esta série convergirá se e só se existir nnb lim
∞→
∑∑==
+ =−=n
rr
n
rr bb
1 1 1 ∑
=+ −=
n
rrr bb
1 1 ) (
=+++++− − ) ( 1321 nn bbbbb
Estudo de séries directamente a partir da definição
0
def=≡ ∑
=
n
rrn aS
Séries telescópicas (ou de Mengoli)
tã
) ( 3210 −+++++= nbbbbb
) ( 2110 ++ +−+= nn bbbb
Exemplo em que e a série “começa em r = 0”2 +−= rrr bba
∑∑=
+=
=−n
rr
n
rr bb
0 2
0 ∑
=+ =−
n
rrr bb
0 2 ) (
=+++++ ++ ) ( 2132 nnn bbbbb
então
nnnnnnnbbbbbbbSS
∞→++
∞→∞→−+=+−+=≡ lim 2 ) ( lim lim 102110
def
Portanto esta série convergirá se e só se existir nnb lim
∞→
ExemploEstudar a convergência da série telescópica
)22( 1
1
11 r
r
r −∑∞
=
+
FEUP / MIEQ 8Joana Peres / Análise Matemática I
Estudo de séries directamente a partir da definição
Séries geométricas
Uma série é uma série geométrica se cada termo depois do primeiro for um múltiplo fixo do termo precedente, isto é, se
0 , 1 ≥∀=+ raka rr
O número k chama-se razão da série geométrica.
Uma série geométrica é a série que está associada a uma “progressão” geométrica do tipo:
Representando o termo inicial da série geométrica por a0, vem que:
, , , , 30
2000 kakakaa
progressão geométrica do tipo:
IRkakakakaaka r
r∈++++=∑
∞
=
, com, 03
02
0000
0
FEUP / MIEQ 9Joana Peres / Análise Matemática I
Estudo de séries directamente a partir da definiçãoSéries geométricas
{ } { } ⇒=⇒−= , ,0 , ,0 , 1 000 aaaSk n
não existe e portanto a série é divergenteS⇒ lim
⇒+=++++=⇒= )1( 1 00000 anaaaaSk n
⇒∞±=+=⇒∞→∞→
)1( lim lim 0anSnnn
a série é divergente
Obtenção da “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n:
1=kCaso em que
nrn
rn kakaakaS 000
00 +++==∑
=
⇒−=− + )1( )1( 10
nn kakS
100
200 +++++= nn
n kakakakakS
Caso em que 1≠k
⇒−=− + 100
nnn kaaSkS )1(
1 10 +−−
= nn k
kaS
não existe, e portanto a série é divergentennS
∞→⇒ lim
FEUP / MIEQ 10Joana Peres / Análise Matemática I
Estudo de séries directamente a partir da definiçãoSéries geométricas
)1( 1
10 +−−
= nn k
kaS
Aplicando a definição de série convergente, conclui-se o seguinte:
existe não lim existe não lim ,1 1nn
n
nSkk
∞→
+
∞→⇒> , e a série é divergenteSe
a1 é iS
A “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n quando 1≠k
kaSkk nn
n
n −=⇒=<
∞→
+
∞→ 1 lim 0 lim ,1 01 , e a série converge:Se
1 sse ,1
0
00 <
−=∑
∞
=
kk
aka r
r
Exemplos ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0
1 r
r
π ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1
1 r
r
π ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
0 2
r
re
FEUP / MIEQ 11Joana Peres / Análise Matemática I
Estudo de séries directamente a partir da definiçãoSéries geométricas
Exemplo de aplicação:
Exemplo de aplicação:
Diz-se que uma bola elástica tem um coeficiente de restituição r, com 0 < r < 1, se a bola ressaltar até à altura rh depois de ter sido deixada cair da altura h.
S d b l é d i d i d
Racionalizar na forma irredutível a dízima periódica infinita ......33333.0
Supondo que a bola é deixada cair de uma altura inicial a (ver figura junta) e depois ressalta infinitas vezes até parar, mostre que a distância total percorrida pela bola é finita, sendo dada por:
rraD
−+
=11
FEUP / MIEQ 12Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
Se o termo geral de uma série for não-negativo, a correspondente sucessão das somas parciais é obrigatoriamente crescente:
INnan ∈∀≥ ,0 é crescente
Existem apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:
1ª hipótese: {Sn} é crescente e limitada ⇒∞
{ }nS⇔01 ≥≡−⇔ − nnn aSS 1−≥⇔ nn SS
2ª hipótese: {Sn} é crescente mas não-limitada ⇒∑∞
=
⇒1
r
ra converge para sup {Sn}
∑∞
=
⇒1
r
ra diverge para ∞
FEUP / MIEQ 13Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
Não existe nenhum teste universal de convergência para séries de termos não-negativos;
No entanto existem vários testes de convergência que, sem serem universais, permitem resolver o problema da convergência das séries de termos não-negativos na maior parte dos casos de interesse prático.
1. Teste de comparação directa
Desses testes, vamos estudar apenas os cinco mais importantes:
2. Forma limite do teste de comparação
3. Teste da razão (ou de d'Alembert)
4. Teste da raíz
5. Teste do integral (ou de Cauchy)
FEUP / MIEQ 14Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
O teste de comparação directa pode ser utilizado para mostrar a convergência ou a divergência de séries de termos não-negativos:
Teorema (Teste de comparação directa)
converge também onverge 11∑∑∞
=
∞
=
⇒r
rr
r acb
Suponhamos que * , 0 rrba rr ≥∀≤≤ então:
diverge também diverge 11∑∑∞
=
∞
=
⇒r
rr
r ba
Estes resultados são igualmente válidos se as duas séries “começarem em r = 0”, ou em qualquer número inteiro positivo.
Se se pretender testar convergência utiliza-se br (o termo “maior”) como termo de comparação
rr ba 0 ≤≤ ∑∞
=1rrb ∑
∞
=1rradivergir convergirSe e ou
nada se pode concluir acerca da outra série
Se se pretender testar divergência utiliza-se ar (o termo “menor”) como termo de comparação
FEUP / MIEQ 15Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativosTeste de comparação directa
Exemplo
Utilize o teste de comparação directa para mostrar que a série
2
2
1 2sen
rr
rr +∑∞
=
é convergente.
FEUP / MIEQ 16Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativosForma limite do teste de comparação
então:
Teorema (Forma limite do teste de comparação)
∑∑∞
=
∞
= 11 e
rr
rr ab
Suponhamos que * ,0 e 0 rrba rr ≥∀>> e sejar
rr b
aL lim ∞→
=
⇒> 0L convergem ambas ou divergem ambas
∑∞
=1rrb 0=L ∑
∞
=
⇒1
r
raconvergir também converge
∑∞
rb0=L ∑∞
⇒ radivergir também diverge
e
e
Escolha de br : inspeccionar o termo geral ar da série que estamos a estudar, e verificar qual é a “parte dominante” de ar quando r se torna muito grande.
Neste caso fazemos uma comparação indirecta entre duas séries, isto é, utilizamos o cálculo do limite L para fazer a comparação entre duas séries.
A série de termo geral ar é aquela cuja convergência estamos a estudar, e a série de termo geral br é uma série conhecida, que é usada como termo de comparação
∑=1r
rb0L ∑=
⇒1
r
rad e g também divergee
FEUP / MIEQ 17Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
Exemplo
Utilize a forma limite do teste de comparação para mostrar que a série
135
1 −∑∞
=r
r
é convergente.
Forma limite do teste de comparação
FEUP / MIEQ 18Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativosTeste da razão (ou de D’Alembert)
então:
Teorema (Teste da razão, ou de D’Alembert)
∑∞
=
⇒1
r
ra
Suponhamos que * , 0 rrar ≥∀> e sejar
rr a
a 1 lim +
∞→=ρ
10 <≤ ρ converge
∞=∨> 1 ρρ ∑∞
=
⇒1
r
ra diverge
**
O teste da razão é, em geral, o teste mais indicado para séries cujo termo geral inclua factoriais.
Definição de factorial +∈∀+≡+ 0
def , ! )1( )!1( Zrrrr
1 !0def≡
este teste é inconclusivo, excepto se1=ρ **1 , rraa rr ≥∀>+
caso em que a série diverge, pois 0 lim ≠∞→
rra
FEUP / MIEQ 19Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
Exemplo
Utilize o teste da razão para estudar a convergência da série
!
1 rr r
r∑∞
=
Teste da razão (ou de D’Alembert)
FEUP / MIEQ 20Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativosTeste da raiz
então:
Teorema (Teste da raiz)
∑∞
=
⇒1
r
ra
Suponhamos que * , 0 rrar ≥∀> e seja rrr
a lim ∞→
=ρ
10 <≤ ρ converge
∞=∨> 1 ρρ ∑∞
=
⇒1
r
ra diverge
t t t é i l i t1 **1 rrar ≥∀>
O teste da razão e o teste da raiz estão intimamente relacionados, como se pode concluir do seguinte teorema:
este teste é inconclusivo, excepto se1=ρ ,1 rrarr ≥∀>
caso em que a série diverge, pois 0 lim ≠∞→
rra
Teorema ρρ lim lim 1 =⇒=∞→
+
∞→r
rrr
rr
aa
a
É aconselhável começar por tentar utilizar o teste da razão, por ser o mais fácil de aplicar.
FEUP / MIEQ 21Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
Exemplo
Estude a convergência da série
rr
r5
1∑∞
=
pelo teste da razão e pelo teste da raiz.
FEUP / MIEQ 22Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
O teste do integral permite relacionar a convergência de séries de termos positivos com a convergência de integrais impróprios do 1º tipo:
Teorema (Teste do integral, ou de Cauchy)
∑∞
Suponhamos que *1 , e 0 rraaa rrr ≥∀<> +
decrescente e integrável em [1, ∞ [, tal que
e seja, f (x) uma função positiva,
INraxf r ∈∀= ,)( então:
∫∞
Teste do integral (ou de Cauchy)
∑=1r
ra convergir
Generalizando, se a série não “começar em r = 1”, vem:
converge sse ∫∞
1 )( dxxf
∑∞
=krra convergirconverge sse ∫
∞
kdxxf )( +∈∀ 0 Zk
FEUP / MIEQ 23Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
Para demonstrar este teorema, comecemos por mostrar que o integral impróprio do 1º tipo pode sempre ser escrito como uma série infinita de números reais:
Teste do integral (ou de Cauchy)
∑ ∫∫∫∫∞
=
+∞⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=++=
1
13
2
2
11 )( )( )( )(
r
r
rdxxfdxxfdxxfdxxf
rr
rrr
radxxfarfdxxfrf <<⇔<<+ ∫∫
++
+ 11
1 )()( )()1(
Aplicando o teste de comparação àquela dupla desigualdade, conclui-se que
ou convergem ambos ou divergem ambos
∑∞
=1rra ∫
∞
1 )( dxxfe o integrala série
FEUP / MIEQ 24Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
Exemplo
Utilize o teste do integral para estudar a convergência das séries
21
1 rr
∑∞
=
Teste do integral (ou de Cauchy)
rr
1 1∑∞
=
FEUP / MIEQ 25Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
As séries dos “pp” (ou de Riemann) são frequentemente utilizadas como termo de comparação ao estudar a convergência de outras séries.
Definição IRpr pp
rp ∈+++=∑
∞
=
com , 31
21 1 1
1
⇒≠⇒≤∞→
0 1 lim 0 pr rp que a série divergeSe
⇒=⇒>∞→
0 1 lim 0 pr rp que a série pode convergir ou
divergirSe
Aplicando directamente o teste do integral, compr
xf 1)( = definida em [1, ∞ [:
Como o ∫∞
1 )( dxxf converge sse p > 1, concluímos pelo teste do integral que:
A série dos “pp” (ou de Riemann) converge sse p > 1
41
31
21 1 1
1++++=∑
∞
=r rSe p = 1, temos a série harmónica que diverge.
FEUP / MIEQ 26Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
Definição de resto de ordem n duma série convergente para S
∑∞
+=++ =++=−≡
121
def
nrrnnnn aaaSSR
Estimativa do resto a partir do teste do integral
Se o teste do integral puder ser aplicado a esta série convergente, não é difícil obter uma estimativa do resto Rn. De facto, como vimos acima:
⇒<<∧<< −−
++ ∫∫ )( )( 11
11 r
r
rrrr
rr adxxfaadxxfa
⇒<< ∫∫ −
+ )( )(
1
1 r
rrr
rdxxfadxxf ⇒<< ∑ ∫∑∑ ∫
∞
+=−
∞
+=
∞
+=
+ )( )(
11
11
1
nr
r
rnr
rnr
r
rdxxfadxxf
∫∫∞∞
+<<
nnndxxfRdxxf )( )(
1
∫∫∞∞
++<<+
nnnn dxxfSSdxxfS )( )( 1
estimativa do resto Rn
estimativa da soma da série
FEUP / MIEQ 27Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-negativos
Exemplo
Calcular a soma da série dos “pp”
31
1 rr
∑∞
=
com erro inferior a 0.005.
Estimativa do resto a partir do teste do integral
FEUP / MIEQ 28Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos não-positivos
Se o termo geral de uma série for não-positivo, a correspondente sucessão das somas parciais é obrigatoriamente decrescente:
{ }nnnnnnn SSSaSSINna ⇔≤⇔≤≡−⇔∈∀≤ −− 11 0,0 é decrescente
Temos então apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:
1ª hipótese: {Sn} é decrescente e limitada ⇒∑∞
=
⇒1
r
ra converge para inf {Sn}
2ª hipótese: {Sn} é decrescente mas não-limitada ⇒∑∞
=
⇒1
r
ra diverge para -∞
Como ∑∑∞
=
∞
=
−−≡11
)( r
rr
r aa , se a série de termos não-negativos convergir para S, a correspondente série de termos não-positivos (isto é, a série simétrica da série dada) converge obrigatoriamente para - S
FEUP / MIEQ 29Joana Peres / Análise Matemática I
Séries alternadasSéries alternadas são séries cujos termos são alternadamente positivos e negativos
são particularmente importantes nas aplicações práticas. Os testes de convergência que estudámos atrás para séries de termos não-negativos não
podem ser aplicados directamente a estas sériesé necessário recorrer a outro teorema para estudar a convergência destas séries.
então as duas séries alternadas associadas a
Teorema (Teste das séries alternadas, ou de Leibniz)
Seja { }ra uma sucessão de termos positivos tais que:
0 lim =∞→
rra
*1 , rraa rr ≥∀<+
{ }
( i )
( ii )
então as duas séries alternadas associadas a
−+−=−∑∞
=
+321
1
1)1( aaaar
rr
são ambas convergentes.
{ }ra
+−+−=−∑∞
=321
1)1( aaaa
rr
re
Se a 1ª condição não for satisfeita, a série alternada pode convergir ou divergir.
Se a 2ª condição não for satisfeita, podemos concluir que a série alternada em causa é obrigatoriamente divergente.
FEUP / MIEQ 30Joana Peres / Análise Matemática I
Séries alternadas
Exemplo
Estude a convergência da série harmónica alternada
r
r
r
1
1
)1( +∞
=
−∑
e da série alternada
FEUP / MIEQ 31Joana Peres / Análise Matemática I
1)3()1(
1
1 ++− +∞
=∑ r
rr
r
Estimativa do resto de séries alternadas convergentes
∑∞
+=
+−=−≡1
1def
)1( nr
rr
nn aSSR
Para uma série alternada convergenteé sempre possível obter uma estimativa tão precisa quanto se quiser
do valor absoluto de R e/ou da soma da série:
Resto de ordem n
∑∞
+=
−=−≡1
def)1(
nrr
rnn aSSRou
TeoremaO valor absoluto do resto de ordem n de uma série alternada convergente é menor do que o valor absoluto do primeiro termo “desprezado” no cálculo de Sn :
10 +<< nn aR
do valor absoluto de Rn e/ou da soma da série:
FEUP / MIEQ 32Joana Peres / Análise Matemática I
Exemplo
Calcular a soma da série harmónica alternada
r
r
r
1
1
)1( +∞
=
−∑
com erro inferior a 0.1.
Séries alternadas
1 1 1
2 0.5 0.5
3 0.333333 0.83333333
4 0.25 0.58333333
5 0.2 0.78333333
6 0.166667 0.61666667
7 0.142857 0.75952381
8 0.125 0.63452381
9 0.111111 0.7456349210 0.1 0.64563492
arr Sn
.....6931471805.02ln)1( 1
1==
− +∞
=∑ r
r
r
Quando estudarmos a representação de funções por meio de séries de potências:
FEUP / MIEQ 33Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos positivos e negativos
Se ar ≥ 0, as duas séries são coincidentes.Se ar ≤ 0, as duas séries são simétricas.
∑∞
=1rra
série dos valores absolutos
∑∞
=1
rra
for uma série de termos positivos e negativos, a correspondente série dos valores absolutos será uma série completamente distinta da série original.
Se ∑∞
=1rra
Como |ar |≥ 0, ∀r, a convergência da série dos valores absolutos pode sempre ser analisada recorrendo aos cinco testes de convergência atrás estudados.
Convergência absoluta e convergência condicional
Teorema (Teste da convergência absoluta)
∑∞
=1
rra convergeSe ∑
∞
=
⇒1
r
ra converge
FEUP / MIEQ 34Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos positivos e negativos
Podemos classificar as séries de termos positivos e negativos da seguinte forma:
convergente convergenteabsolutamenteconvergente
convergente divergentecondicionalmenteconvergente
Tipo de convergência∑∞
=1
rra∑
∞
=1rra
Qualquer série convergente de termos não-negativos pode gerar infinitas séries de termos positivos e negativos que são absolutamente convergentes: basta para tal inserir sinais “menos” à sorte em qualquer ponto da série dada.
Para séries de termos positivos e negativos, os conceitos de “absolutamente convergente”, “condicionalmente convergente” e “divergente”, são mutuamente exclusivos: apenas uma destas três possibilidades poderá ser verdadeira.
divergente divergente divergente
FEUP / MIEQ 35Joana Peres / Análise Matemática I
então:
Teorema (Teste da razão para convergência absoluta)
∑∞
=
⇒1
r
ra
Suponhamos que * , 0 rrar ≥∀≠ e seja lim 1
r
rr a
a +
∞→=ρ
10 <≤ ρ converge absolutamente
∞=∨> 1 ρρ ∑∞
=
⇒1
r
ra diverge
este teste é inconclusivo1=ρ
Séries de termos positivos e negativosTestes de convergência absoluta
então:
Teorema (Teste da raiz para convergência absoluta)
∑∞
=
⇒1
r
ra
Suponhamos que * , 0 rrar ≥∀≠ e seja rrr
a lim ∞→
=ρ
10 <≤ ρ converge absolutamente
∞=∨> 1 ρρ ∑∞
=
⇒1
r
ra diverge
este teste é inconclusivo1=ρ
FEUP / MIEQ 36Joana Peres / Análise Matemática I
Exemplo
Analise a convergência da série
Séries de termos positivos e negativos
!2)1(
1 r
rr
r
−∑∞
=
FEUP / MIEQ 37Joana Peres / Análise Matemática I
Séries de termos positivos e negativosRearranjo dos termos de uma série
DefiniçãoUma sucessão de números reais {bn} diz-se um rearranjo de uma outra sucessão {an}, quando a sucessão {bn} contiver todos os termos da sucessão original {an}, mas colocados por uma ordem diferente.
Ao rearranjarmos a sucessão {an}, transformando-a na sucessão {bn}, também a correspondente série será rearranjada, transformando-se numa nova série
∑∞
=1rra
∑∞
rb
) ( lim lim 21
defdef
1nnnnr
r aaaSa +++≡≡∞→∞→
∞
=∑ ) ( lim lim 21
defdef
1nnnnr
r bbbSb +++≡≡∞→∞→
∞
=∑
Em princípio, se as duas séries forem ambas convergentes, elas poderãoconvergir para valores diferentes, pois por definição tem-se que:
=1r
Nada nos garante que estes dois limites sejam iguais.
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Séries de termos positivos e negativosTestes de convergência absoluta
Teorema (Rearranjo das séries absolutamente convergentes)
Se série for absolutamente convergente para S, e se {bn} for um rearranjo
qualquer de {an}, a série também é absolutamente convergente para S.
∑∞
=1rra
∑∞
=1rrb
Ou seja, podemos alterar à vontade a ordem dos termos de uma série b l t t t i t t t l ti
As séries absolutamente convergentes e as condicionalmente convergentes têm um comportamento distinto no que concerne ao rearranjo dos seus termos:
absolutamente convergente, pois este teorema garante-nos que ela continua a ser absolutamente convergente para o mesmo número.
Teorema (Rearranjo das séries condicionalmente convergentes)
Se série for condicionalmente convergente para S, existe um rearranjo
{bn} de {an}, tal que a série converge para T, ∀T ∈ IR.
∑∞
=1rra
∑∞
=1rrb
Neste caso, portanto, já não é válido alterar a ordem dos termos da série, pois se o fizermos ela poderá convergir para um valor diferente (ou até divergir!).
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