3º Ano Geometria Espacial

Profª Roberta Reis

INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE PRISMA

DADO UM POLÍGONO SITUADO EM UM PLANO, É CHAMADO PRISMA O SÓLIDO FORMADO PELA PROJEÇÃO DESTE POLÍGONO EM OUTRO PLANO PARALELO, COM A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS

ELEMENTOS DO PRISMA

CLASSIFICAÇÃO DE UM PRISMA : PRISMA RETO

ARESTAS LATERAIS PERPENDICULARES À BASE

PRISMA REGULARÉ UM PRISMA RETO

E OS POLÍGONOS DAS BASES SÃO POLÍGONOS REGULARES

EX: CUBO

ÁREA DE UM PRISMAA ÁREA DE UM

PRISMA É DADA PELO DOBRO DA ÁREA DA BASE SOMADA À SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS

VOLUME DE UM PRISMAO VOLUME DE UM

PRISMA É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA

PRISMA OBLÍQUOAS ARESTAS

LATERAIS NÃO SÃO PERPENDICULARES À BASE

DIAGONAL DO ORTOEDRO

222 BCd

222 AdD

222 CBAD

DIAGONAL DO CUBO

3Ad

3

)2( 222

AD

AAD

PIRÂMIDEDEFINE-SE

PIRÂMIDE COMO A UNIÃO DE TRÊS OU MAIS PONTOS CONTIDOS EM UM PLANO COM UM PONTO EXTERIOR A ESSE PLANO

ELEMENTOS DA PIRÂMIDE

NOMECLATURABASE NOME

Triângulo Triangular

Quadrado Quadrangular

Pentágono Pentagonal

Hexágono hexagonal

PIRÂMIDE REGULARÉ UMA PIRÂMIDE

CUJA PROJEÇÃO DO VÉRTICE SOBRE A BASE COINCIDE COM O SEU CENTRO E QUE A BASE É UM POLÍGONO REGULAR.

APÓTEMA DE UMA PIRÂMIDE REGULAR

O APÓTEMA DA BASE É O APÓTEMA DO POLÍGONO REGULAR DA BASE

O APÓTEMA DA PIRÂMIDE É A ALTURA DO TRIÂNGULO ISÓCELES FORMADO NA FACE LATERAL.

ÁREA DE UMA PIRÂMIDE

A ÁREA TOTAL DE UMA PIRÂMIDE É DADA PELA SOMA DAS ÁREAS DAS FACES LATERAIS COM A ÁREA DA BASE.

VOLUME DE UMA PIRÂMIDE

O VOLUME DE UMA PIRÂMIDE É DADO PELA ÁREA DA BASE MULTIPLICADO PELA ALTURA E DIVIDIDO POR 3

SECÇÃO TRANSVERSAL

TRONCO DE PIRÂMIDE

VOLUME DO TRONCO

)..(.3

1bbBBHV

MENOR BASEDA ÁREA b

MAIOR BASEDA ÁREA B

TETRAEDRO

TRIANGULAR PIRÂMIDE UM

IA CONSEQUÊNC POR SENDO

LATERAIS FACES QUATRO

POSSUI QUE SÓLIDO UMÉ

TETRAEDRO REGULAR

SEQUILÁTERO TRIÂNGULOS

POR

FORMADO TETRAEDRO UMÉ

ALTURA DO TETRAEDRO REGULAR

3

6LH

ÁREA DO TETRAEDRO REGULAR

3A

:4 POR 4

3

2T

2

L

SENDOMULTIPLICA

L

TRIÂNGULO

CADADEÁREA

CILINDRODADOS DOIS PLANOS

E DUAS CIRCUNFERÊNCIAS IDÊNTICAS CONTIDA NELES, CHAMA-SE CILINDRO A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS PERTENCENTES ÀS CIRCUNFERÊNCIAS.

É NA REALIDADE PRISMA COM BASE CIRCULAR

ELEMENTOS DO CILINDRO

CILINDRO CIRCULAR RETO

BASE À

LARPERPENDICU

É EIXO O QUE EM CILINDRO O É

CILINDRO EQUILÁTERO

BASES DAS

DIÂMETRO AO IGUAIS

SÃO GERATRIZES AS

QUE EM CILINDRO O É

VOLUME DE UM CILINDRO

H.R V 2

ÁREA DE UM CILINDRO

)(2

.2

2

22

HRRA

HRA

RA

AAA

T

L

B

LBT

CONEDENOMINA-SE

CONE CIRCULAR A UNIÃO DE TODOS OS SEGMENTOS QUE UNEM UMA CIRCUNFERÊNCIA CONTIDA EM UM PLANO E UM PONTO NÃO PERTENCENTE A ESSE PLANO.

Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones.

Cone: A Definição!

Considere um círculo C contido num plano

e um ponto V não-pertencente a . Chama-se cone a reunião de todos os

segmentos que ligam cada ponto de R ao

ponto P.

g

r

h

O cone é formado por uma parte plana (base circular), e uma parte curva que é a superfície lateral.

Note: g, h e r formam um triângulo retângulo.

aO*

h

a 90º

Este cone é Oblíquo.

V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz

R

V

g’ g

eixo

Elementos do cone

Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.

O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao centro da

base.

Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.

Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.

Eixo = Altura

A altura é sempre perpendicular ao plano.

eixo

altu

ra

Cone Circular Reto

O*

g2) No DVOA :

AB

V

ou Cone de Revolução

g2 = h2 + R2

R

h

1) O eixo é perpendicular ao plano da base.

Um cone reto pode ser obtido girando um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. Por isso o cone reto é chamado de cone de revolução.A

B C

Áreas e Volume

Pirâmide Cone

Área da Base (AB)

Depende do Polígono da Base

Área da

circunferência

Área Lateral (AL)

Área Total (At)

Volume (V)3

.hAb33

. 2hrhAb

O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!

LBt AAA

rgrAt 2LBt AAA

2rAb

grAl .2

gpAl ).2(gpAl ).2(glnAl ..

O DVBA é a seção meridiana do cone.

Chama-se secção meridiana a intersecção

de um cone com um plano que passa pelo

vértice e pelo centro da base do cone.

O* AB

V

g

2R

Seção Meridiana

Se o triângulo VBA é eqüilátero, o cone

é um Cone Eqüilátero.

g=2R

H G

R

H G

R

A secção transversal forma o tronco de cone

Chama-se secção transversal a intersecção de

um cone com um plano paralelo à base.

Seção Transversal

Suas áreas são proporcionais.

2´ ´ ´b l t

b l t

A A Ak

A A A

Seus volumes são proporcionais.

3vk

V

k = Constante de proporcionalidade.

kHh

G

g

Rr

r

hg

Note que o cone menor,

acima da secção é

semelhante ao cone original, o que significa

que suas dimensções

são proporcionais.

Semelhança de uma forma mais clara

Altura do tronco (HT)

Altura do cone

original (H)

Altura do cone

semelhante (h)

Geratriz do Tronco (GT)

Geratriz do cone semelhante (g)

Obviamente G = g + GT

Outra conclusão lógica

V = v + VT

Tronco de Cone

Elementos:

R raio da base maiorr raio da base menorhT altura do troncogT geratriz do tronco

R

r

gThT

As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a partir da semelhança, porém muito trabalhosas.

Área Lateral do Tronco(ALT)

ALT = (R + r)gT

Área Total do Tronco(ATT)

ATT = ALT + Ab + AB

ATT = (R + r)gT + (r2 + R2)

Volume do Tronco (VT)

VT = V - v

VT = (r² + rR + R²)

3

. th

ELEMENTOS DO CONE

CONE CIRCULAR RETO

BASE À LARPERPENDICU É

EIXO O QUE EM CONE O É

CONE EQUILÁTERO

BASEDA DIÂMETRO AO

CONGRUENTE

É GERATRIZ

A QUE EM CONE O É

VOLUME DO CONE

HR ..3

1 V 2

ÁREA DO CONE

ÁREA DO CONE

)(

2

.2

2

.

2.

GRR

RGRA

RG

GRA

RA

T

CIRCSET

CIRC

TRONCO DE CONE

)..(..3

1 22

2.

2.

rrRRHA

rA

RA

TRONCO

MENORC

GRANDEC

ESFERAÉ A UNIÃO DE

TODOS OS PONTOS DO ESPAÇO EM QUE A DISTÂNCIA AO CENTRO DADO É A MESMA .

ÁREA DA ESFERAEXPERIMENTALME

NTE, PODE-SE CONSTATAR QUE UMA ESFERA TEM O EXATO PESO DE QUATRO CÍRCULOS CUJO RAIO É O MESMO QUE GEROU A ESFERA. SENDO DO MESMO MATERIAL.

24 RAESFERA

VOLUME DA ESFERA

3

4 3RVOLUME

POLIEDROSÉ UM SÓLIDO

LIMITADO POR POLÍGONOS, QUE TEM, DOIS A DOIS, UM LADO COMUM

POLIEDROS REGULARES

UM POLIEDRO É REGULAR QUANDO TODOS OS SEUS LADOS SÃO CONGRUENTES E TODOS OS SEUS ÂNGULOS SÃO CONGRUENTES.

TEOREMA DE EULLER

V : VÉRTICESA: ARESTASF: FACES LATERAIS.

2 FAV

OCTAEDRO

CUBO

6

12

8

FACES

ARESTAS

VÉRTICES

:EULLER DETEPREMA DO ATRAVÉS

22

2614-8

POLIEDROS DE PLATÃOUM POLIEDRO DE

PLATÃO DEVE TER:TODAS AS FACES

COM O MESMO NÚMERO DE ARESTAS

DOS VÉRTICES PARTA O MESMO NÚMERO DE ARESTAS.ICOSAEDRO

SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO

º360).2( VS