View
695
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
Розв’язування рівнянь і нерівностей з модулями
План лекції1. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля
1.1. Метод розкриття модуля за визначенням при розв’язуванні рівнянь1.2. Метод розкриття модуля за визначенням при розв’язуванні рівнянь2. Нерівності з модулями
1. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля
При розв’язуванні рівнянь, що містять змінну під знаком модуля,
найчастіше застосовують такі методи, як:
a) розкриття модуля за визначенням;
б) метод інтервалів.
За визначенням модуля:
Відзначимо такі властивості модуля, які нерідко використовуються на
практиці:
Для найпростіших рівнянь з модулем слід пам’ятати, що рівняння
рівносильне сукупності рівнянь якщо .
Якщо ж , то рівняння розв’язків не має.
1.1. Метод розкриття модуля за визначенням при розв’язуванні рівнянь
Приклад 1. Розв’язати рівняння |3x-2|=4.
Розв’язання
Відповідь: {- 2}.
Приклад 2. Розв’язати рівняння |x+3|=-2.
Розв’язання
, оскільки з визначення модуля випливає,
що для будь-якого х з області визначення функції .
Відповідь: .
Приклад 3. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
Розглянемо два випадки, коли вираз (х+1) під знаком модуля невід’ємний
і коли від’ємний. При
При Звідси, початкове рівняння еквівалентне
сукупності двох змішаних систем:
Перша система має розв’язок .
Друга система розв’язків не має, тому що
Відповідь:
Рівняння виду можна розв’язувати методом інтервалів,
який розглянутий нижче, однак для такого рівняння швидше за все
приводить до мети спосіб піднесення обох частин рівняння до квадрата,
враховуючи те, що .
Приклад 4. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
Піднесемо обидві частини рівняння до
квадрата:
Відповідь: .
1.2. Метод інтервалів ( проміжків) при розв’язуванні рівнянь з
модулями
Даний метод полягає в тому, що:
1) вирази, які стоять під знаком модуля, прирівнюються до нуля;
2) отримані значення відкладаються на числовій прямій, яка при цьому
розбивається на інтервали (проміжки), в кожному з яких свій знак
підмодулевого виразу;
3) розв’язуються отримані рівняння в кожному з інтервалів.
На практиці метод інтервалів зазвичай застосовується тоді, коли рівняння
містить декілька модулів.
Розглянемо застосування методу інтервалів на прикладах.
Приклад 5. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
1-й спосіб розв’язування:
; . Наносимо на числову пряму точки і
. Ці точки розбивають числову пряму на три інтервали (проміжки), у
кожному з яких свій знак підмодулевого виразу. Для зручності можна
позначити ці інтервали І, ІІ, ІІІ:
І: ; ІІ: ; ІІІ: .
Для інтервалу І маємо: ; .
Звідси, дістаємо розв’язання рівняння в
І інтервалі: .
Однак значення не належить І інтервалу, тобто , тому
в І інтервалі початкове рівняння розв'язків не має.
Для ІІ інтервалу ; початкове рівняння
має вигляд .
Оскільки – це тотожність, то будь-яке є розв’язком, тобто
розв’язком рівняння є весь відрізок .
Для ІІІ інтервалу ; початкове рівняння має
вигляд: .
Оскільки , то в ІІІ інтервалі початкове рівняння розв’язків не
має.
2-й спосіб розв’язування:
Розв’язання даного прикладу можна записати в іншій формі,
застосовуючи поняття сукупності змішаних систем, тобто систем, які містять
рівняння і нерівності.
Так само, як і для 1-го способу, маємо три інтервали: І: ;
ІІ: ; ІІІ: . В залежності від того, у якому інтервалі ми шукаємо
розв’язок, початкове рівняння рівносильне сукупності таких змішаних
систем:
.
Перша і третя системи сукупності розв’язків не мають, а розв’язком
другої системи є проміжок .
Відповідь: .
Приклад 6. Розв’язати рівняння .
Розв’язання
Рівняння з трьома і більше модулями зручно розв’язувати лише методом
інтервалів.
;
;
.
Маємо чотири інтервали:
І: ;
ІІ: ;
ІІІ:
ІV: .
У І інтервалі ,
,
.
Звідси, маємо
.
Оскільки входить в інтервал , то є
розв’язком початкового рівняння.
У ІІ інтервалі ;
;
.
Тоді
.
Однак .
Для ІІІ інтервалу ;
;
.
Звідси маємо
.
Тому що входить в інтервал ,
то є розв’язком початкового рівняння.
Для ІV інтервалу ;
;
.
Звідси
дістаємо
.
Однак значення .
Відповідь: .
Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь
Розв’язання
В даному випадку областю допустимих значень для x і y є множина всіх
дійсних чисел.
Замінимо дану систему рівнянь еквівалентною сукупністю систем:
Як бачимо, три пари чисел, які отримали при розв’язанні даної системи,
виявились сторонніми.
Відповідь: .
2. Нерівності з модулями
Перший спосіб розв’язування нерівностей з модулем.
З означення модуля випливає, що для будь-якого числа а виконується
нерівність . Геометрично – відстань від початку відліку (точки 0) до
точки, координата якої є число а.
Відстань між точками а і b дорівнює . Наприклад, якщо
, , то – відстань між точками з координатами 2 і 5.
Або .
Відстань між точками 5 і –6 дорівнює:
Або .
Геометрично нерівність , де , означає, що відстань від точки
з координатою х до точки 0 не більша від а.
Цю властивість мають точки . Отже, нерівність
означає те саме, що й подвійна нерівність . Нерівність
означає те саме, що й подвійна нерівність .
Нерівність означає, що або . Нерівність
означає, що або .
Нерівності , де ,
розв’язуються аналогічно, бо можуть бути зведені до попередніх
заміною .
Другий спосіб розв’язування нерівностей з модулем.
При розв’язуванні нерівностей, що містять змінну під знаком модуля,
використовується визначення модуля функції:
Нерівність виду , якщо ,
якщо , то нерівність розв’язків не має.
Нерівність виду якщо ;
якщо , то розв’язком нерівності буде множина
припустимих значень функції ;
якщо , то розв’язком нерівності буде множина тих х,
для яких .
Для розв’язання нерівностей, які містять більше одного модуля,
застосовують метод інтервалів для модулів.
Приклад 8. Розв’язати нерівність
Розв’язання
Згідно з 1-им способом розв’язування нерівностей з модулем випливає,
що або , тобто
Відповідь: .
Приклад 9. Розв’язати нерівність .
Розв’язання
Оскільки , то початкова нерівність розв’язків не має.
Відповідь: .
Приклад 10. Розв’язати нерівність .
Розв’язання
Дану нерівність можна замінити сукупністю двох систем нерівностей:
.
Відповідь: .
Приклад 11. Розв’язати нерівність
Розв’язання
Для розв’язування даної нерівності використаємо метод інтервалів для
модулів. Відзначимо на числовій прямій точки, в яких вирази, що
знаходяться під знаком модулів, перетворюються в нуль. Це точки
і . Вся числова пряма розбивається цими точками на три проміжки:
1) Розглянемо проміжок (інтервал) :
Підставивши в підмодулеві вирази замість змінної х довільне значення з
даного інтервалу, виявивши тим самим знак підмодулевого виразу,
отримаємо нерівність , .
Тоді
2) Розглянемо проміжок :
За тим самим принципом, що і на попередньому проміжку,
маємо Тоді
3) Розглянемо проміжок :
Маємо . Тоді
Об’єднаємо отримані розв’язки: .
Відповідь: .
Приклад12. Розв’язати нерівність .
Розв’язання
Розпишемо дану нерівність у вигляді сукупності двох систем:
.
Відповідь: .
Тренувальні вправи.
Розв’язати рівняння з модулями:
Рівень А
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Рівень Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Рівень В
1. .
2. .
3. .
Розв’язати системи з модулямиРівень Б
1.
2.
3.
4.
Розв’язати нерівності, що містять знак модуляРівень Б
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Рівень В
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. Інтернет ресурси:
http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_1/510.htm
Recommended