View
1.256
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
ПохіднаПохідна. Фізичний і . Фізичний і геометричний зміст похідної.геометричний зміст похідної.
Підготували учні Підготували учні
Похідна та диференційованістьдиференційованість функції Функція f має в точці x похідну:
Фізичний зміст похідної: Геометричний зміст похідної:
Функція Функція ff диференційована диференційована в точці в точці xx::
Функція Функція f f неперервна в точці неперервна в точці xx
Арифметичні операції надАрифметичні операції над диференційованими функціями диференційованими функціями u I vu I v::
Похідна складеної функції Похідна складеної функції y=f(u), y=f(u), u=u=фф(x):(x):
Похідна оберненої функції Похідна оберненої функції x=x=фф(y):(y):
Таблиця похіднихТаблиця похідних
Похідні вищого порядку:
x
xfxf
x ∆∆=
→∆
)()(' lim
0
t
tSt
t ∆∆=
→∆
)(lim)(
0υ )(' 0xftgk == λ
RxAxxa
xxxaxxAxf
x∈=∆
∆∆+∆=∆
→∆)(,0);(lim
,);()()(
0
,'')'( vuvu ±=± ,'')'( uvvuuv +=.
'''
2v
uvvu
v
u −=
''' uyy xux⋅=
)('
1)('
xfy =ϕ
...3,2,))'(()( )1()( == − nxfxf nn
В чому полягає суть В чому полягає суть фізичного та фізичного та геометричного змісту геометричного змісту похідної та як його похідної та як його використовувати в використовувати в математичних математичних задачах?задачах?
Ми були об'єднані в групиМи були об'єднані в групи
ЕКСПЕРТИ
НАУКОВЦІ І
ДОСЛІДНИКИ
НАУКОВЦІ ІІ
(група науковців І )
І.Ньютон сформулював дві основні І.Ньютон сформулював дві основні проблеми математичного аналізу:проблеми математичного аналізу:
1).1). Довжина шляху, який долається, є Довжина шляху, який долається, є постійною(тобто в будь-який постійною(тобто в будь-який момент часу); необхідно знайти момент часу); необхідно знайти швидкість руху у пропонований час;швидкість руху у пропонований час;
2).2). Швидкість руху постійно дана; Швидкість руху постійно дана; необхідно знайти довжину необхідно знайти довжину пройденого у запропонований час пройденого у запропонований час шляху.шляху.
1). Задача про миттєву швидкість:
2). Задача про знаходження змінного струму, який проходить по провіднику:
( ) )(tStV ′=
33). Друга похідна:). Друга похідна:
(t)
4). Приклад:
Висновок:Висновок:
(ГРУПА ДОСЛІДНИКІВ)
під редакцією М.І.Сканаві.під редакцією М.І.Сканаві.
ТТііло масло масою ою mm00 рухається прямолінійно рухається прямолінійно за закономза законом
S(t)= S(t)= ααtt22 +βt+ λ+βt+ λ
αα, , ββ, , λλ – –сталісталі
Довести, що сила яка діє на тіло сталаДовести, що сила яка діє на тіло стала
Задача 15.120.Задача 15.120.
Доведення:Доведення:
F=mF=m00aa
a(t)=V’(t)=S”(t);a(t)=V’(t)=S”(t);
S’(t)=(S’(t)=(ααtt22+ βt+ λ)’=2+ βt+ λ)’=2ααt+β;t+β;
a(t)=S”(t)=(2a(t)=S”(t)=(2ααt+ β)’=2t+ β)’=2αα;;
a(t)=2a(t)=2αα, ,
αα=const;=const;
Сила, що діє на тіло – стала.Сила, що діє на тіло – стала.
Задача 15.121
Тіло масою m0 рухається прямолінійно за законом
Довести, що сила, яка діє на тіло, пропорційна кубу пройденого шляху.
12
2)(
−=t
tS
Доведення
F=mF=m00aa;;
Сила, що діє на тіло, пропорційна кубу пройденого шляху.
( група науковців ІІ)
Nдотична січнаM
ДотичноюДотичною до кривої в до кривої в даній точці даній точці MM, , називається називається граничне граничне положення січноїположення січної MNMN, , коли точка коли точка N N прямує прямує вздовж кривої до вздовж кривої до точкиточкиMM. .
yy
xxxx ∆+00x
)( 0 xxf ∆+)( 0xf
y∆x∆x∆
αtgxf =)(' 0
)(' 0xftgk == α kk--кутовий коефіцієнткутовий коефіцієнт
))((')( 000 xxxfxfy −+=
рівняння дотичної до графіка функції рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою . в точці з абсцисою .
)(xfy =0x
<−≥
=0,
0,
kякщоarctgk
kякщоarctgk
πα
геометричного змісту похідноїгеометричного змісту похідної
(ГРУПА ДОСЛІДНИКІВ)(ГРУПА ДОСЛІДНИКІВ)
1) Обчисліть , якщо кут між дотичною проведеної до графіка функції у точці з абсцисою і додатнім напрямом осі OX, дорівнює .
Розв’язання
)1('f
)(xfy =10 =x
030
3
330)1(' 0 == tgf
2) До графіка функції проведено дотичну у точці з абсцисою . Обчисліть тангенс кута нахилу дотичної до додатнього напрямку осі абсциса.
Розв’язання
25,0 xy −=30 =x
.3)('
;3)3('
0 −=⇒=−=
αα tgtgxf
f
3) На малюнку зображено графік функції і дотичну до нього в точці з абсцисою .
)(xfy =0x
)(' 0xfy
x
1
1
)(xfy =
0x
РозвРозв’’язанняязання
,)(' 0 αtgxf =
,1350=α.1450 −=−tg
Знайти значення
4) На малюнку зображений графік функції та дотичні до нього в точках
. Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть .
)(xfy = 1x
2x )(')(' 21 xfxf +
y
x0045
1x2x
;145)(' 01 == tgxf
;00)(' 02 == tgxf
1)(')(' 21 =+ xfxf
Розв’язанняРозв’язання
5) Знайдіть, при яких значеннях параметра а дотична до графіка функції у точці з абсцисою проходить через точку N(3;4).
23 axxy +=10 −=x
.1
,23)23(4.
,2)23(
)1)(23(1
;23)1('
;23)('
;1)(
);)((')(
2
0
000
=+−−=⇒∈
+−−=+−++−=
−=−+=
+−=−+=
a
aayNт
axay
xaay
af
axxxf
axf
xxxfxfyРозв’язанняРозв’язання
Висновки групи Висновки групи
експертівекспертів
y1=k1x +b1, <=> k1=k2, <=> y1IIy2
y2=k2x +b2,
y1=k1x +b1, <=> k1·k2= -1, <=> y1 I y2
y2=k2x +b2,
Задача 1Задача 1
На параболНа параболі і yy= 4- = 4- XX вибрано дві вибрано дві точки з абсцисами точки з абсцисами xx= -1= -1 і і xx=3=3.. Через ці Через ці точки проведено січну. Знайти рівняння точки проведено січну. Знайти рівняння дотичної до параболи, яка дотичної до параболи, яка паралельна паралельна січній.січній.
Розв'язання
1) y = kx + b – рівняння січної
Дана січна проходить через точки :
(-1;3), (3;-5)
Складаємо рівняння січної:
3 = -k + b; 8= -4k,
-5 =3k + b; k= -2, то b=1
y= -2x +1 – рівняння січної
2)2)yy==ff((xx00) + ) + ff '( '(xx00)()(xx--xx00) – ) – рівняння рівняння дотичноїдотичної
ff((xx00)=4 - )=4 - xx0022;;
ff '( '(xx00)= -2)= -2xx00;;
y =4- xy =4- x0022 - 2x - 2x00((xx--xx00)),,
y = -2xy = -2x00x +xx +x0022 ++ 4, 4,
3) y1=kx +b1, y2=k2x +b2,
k1=k2 <=> y1||y2
4)За умовою паралельності прямих, маємо :
-2x0= -2
x0=1.
Отже, y = -2x-3 - шукане рівняння
дотичної.
Записати рівняння дотичної до Записати рівняння дотичної до графіка функції графіка функції ff((xx)= -)= -xx22+4,+4, яка яка перпендикулярна до прямої перпендикулярна до прямої xx-2-2yy+2=0.+2=0.
Задача 2Задача 2
Розв'язанняРозв'язання
y = f(xy = f(x00) +f '(x) +f '(x00)(x-x)(x-x00),),f (xf (x00) = -x) = -x0022+4,+4,f '(xf '(x00) = -2x) = -2x00,,yy= -= -xx0022 +4 - 2 +4 - 2xx00((xx--xx00),),yy= -2= -2xx00xx + +xx0022 +4 - +4 - рівняння дотичноїрівняння дотичноїyy= 0,5= 0,5xx +1 - +1 - рівняння прямої рівняння прямої
перпендикулярної до дотичноїперпендикулярної до дотичної
y1=k1x +b1 і y2=k2 +b2
k1· k2= -1<=>y1 I y2
За умовою перпендикулярності За умовою перпендикулярності прямих маємо :прямих маємо :
якщо якщо kk11= -2= -2xx00, , kk22=0=0,5,то -2,5,то -2xx00·0,5·0,5= -1,= -1,xx00=1.=1.
Отже, Отже, yy= -2= -2xx+5 -+5 - шукане рівняння шукане рівняння дотичної дотичної
Задача 3Задача 3 Знайти величину кута між двома
дотичними проведеними з точки (0;-1) до графіка функції y=x2.
Задача 4Знайти площу трикутника, утвореного
бісектрисами координатних кутів і дотичної до кривої y= в точці М(3;2)
Recommended