Чотирикутники та їх властивості

Геометрія – правителька всіх розумових

пошуків

М.В. Ломоносов

Чотирикутникита їх властивості:

ПаралелограмПрямокутник

Ромб КвадратТрапеція

Вписані й описані чотирикутники

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків,

що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній

прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються

вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають,— сторонами чотирикутника.

Вершини чотирикутника називаються сусідніми , якщо вони є кінцями однієї з

його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають

протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.

D

В

С

A

AD

В С

• Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами.

• Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами.

• Периметр чотирикутника — сума довжин усіх його сторін.

P=(a+b)2, де a і b – сторони чотирикутника

• Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.На рисунку нижче зліва ABCD — опуклий чотирикутник; AC, BD — його діагоналі. На рисунку справа KMNP —неопуклий чотирикутник; KN, MP — його діагоналі.

• Сума кутів чотирикутника дорівнює 360° .

Паралелограм• Паралелограм — це чотирикутник, у якого

протилежні сторони паралельні.На рисунку ABCD — паралелограм.

AB ΙΙ DC;

BC II AD.

Властивості паралелограма

• Теорема 1. У паралелограмапротилежні сторони рівні,протилежні кути рівні.АВ=СD, BC=AD<A=<C, <B= <DТеорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, в сумідорівнюють :< A+ <B=180 °, <A+ <D=180 °, <B+ <C=180 °, <C+ <D=180 °Теорема 3. Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетинуділяться навпіл.BO=OD, AO=OC

Властивості паралелограмаТеорема 4. Діагональ паралелограма поділяє

його на два рівні трикутники.

На рисунку нижче зліва ABC = CDA

На рисунку справа ABD = CDB

Властивості паралелограма

• Теорема 5. Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників.

На рисунку

AOB = COD,

BOC = DOA

Ознаки паралелограма• Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й

у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник —паралелограм.Теорема 2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні йрівні, то цей чотирикутник — паралелограм.Теорема 3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторонирівні, то цей чотирикутник — паралелограм.Теорема 4. Якщо в чотирикутнику протилежні кути рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.Теорема 5. Якщо в чотирикутнику кути, що є прилеглимидо кожної із сторін, у сумі дорівнюють , то цейчотирикутник — паралелограм.Теорема 6. Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на два рівні трикутники, то цей чотирикутник —паралелограм.

Кут між висотами паралелограма

• Висота паралелограма — це відрізок, перпендикулярний до протилежних сторін паралелограма з кінцями на цих сторонах.На рисунку h₁ I h₂— висоти паралелограмa.

• Найчастіше висоти опускають із вершин паралелограма. Із кожної вершини

паралелограма можна провести дві висоти. Кут між ними дорівнюватиме куту

паралелограма при сусідній вершині.

-----кут між висотами

паралелограма, опущеними з

тупого кута,

----------кут між висотами,опущеними

з гострого кута

Властивості бісектрискутів паралелограма1. Бісектриси сусідніх кутів

паралелограма перпендикулярні.2. Бісектриси протилежних кутів паралелограмапаралельні або збігаються (якщо паралелограм —ромб).3. Бісектриса кута паралелограма відокремлює віднього рівнобедрений трикутник.На рисунку BM II KD; DM II AP;

- рівнобедрений; AB=BP; KCD — рівнобедрений, CK=CD .

ABMCFBMAPBM ,,

• Чотирикутник, що утворився при перетині бісектрис кутів паралелограма,—прямокутник. Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл:

Прямокутник

Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі.

Оскільки прямокутник є паралелограмом, вінмає всі властивості паралелограма і ще деякі

інші.Теорема. Діагоналі прямокутника рівні.На рисунку AO=OC=BO=OD. AC=BD .AOB= COD ; BOC= DOA — рівнобедрені.

Ознаки прямокутника

• Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він є прямокутником.Теорема 2. Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником.Теорема 3. Якщо в паралелограмі є прямий кут, то паралелограм є прямокутником.Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником.

Ромб

• Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості ромба

Оскільки ромб є паралелограмом, він має всівластивості паралелограма і деякі інші.Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються підпрямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисамийого кутів.На рисунку ABCD — ромб;AB=BC=CD=DA; AC BD;<ABO=<CBO=<ADO<=CDO;

<BAO=<DAO=<BCO=<DCO;KO=ON

Властивості ромба

Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники.Теорема 3. Висоти ромба рівні:

Ознаки ромба

Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом.Теорема 2. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом.Теорема 3. Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом.Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагональ є бісектрисою кута, то паралелограм є ромбом.

Квадрат

Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

A B

D C

Властивості квадратаОскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, маємо:1) у квадрата всі сторони рівні;2) у квадрата всі кути рівні;3) діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів;

Властивості квадрата

4) діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники.На рисунку ABCD — квадрат.

AB = BC =CD=AD;

<A=<B=<C=<D; AC=BD ;

AOB= BOC= COD= AOD.

Ознаки квадрата

Теорема 1. Якщо в чотирикутника всі сторони і всі кути рівні, то він є квадратом.Теорема 2. Якщо діагоналі прямокутника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом.Теорема 3. Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом.

Трапеція

• Трапецією називається чотирикутник, у якого тількидві протилежні сторони паралельні. Ці сторониназиваються основами трапеції, а дві інші —бічними сторонами.

• Трапеція, в якої бічні сторони рівні, називаєтьсярівнобічною (див. рисунок нижче зліва). Якщо одна з бічних сторін трапеції перпендикулярна до основ, трапеція називається прямокутною (рисунок нижчесправа).

•

• Теорема 1. Кути трапеції, які прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють 180°Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції.Теорема 2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.Зверніть увагу: середня лінія не проходить через точку перетину діагоналей трапеції.

Рисунок 1

Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей (рисунок 1). Усі висоти трапеції рівні між собою.Бісектриса кута трапеції, якщо вона перетинає основу трапеції, відтинає від неї рівнобедрений трикутник (рисунок 2). Рисунок 2

Властивості рівнобічної трапеції

• 1. У рівнобічній трапеції кути при основах рівні (рисунок нижче зліва).2. У рівнобічній трапеції діагоналі рівні.3. У рівнобічній трапеції діагоналі створюють з основою рівні кути.4. У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись, утворюють два рівнобедрені трикутники, основами яких є основи трапеції (рисунок справа).

Додаткові побудови,що використовуються для

розв’язування задач на трапецію

1) На рисунку AN+MD=AD-BC; MN=BC;

BCMN — прямокутник.

Додаткові побудови, що використовуються для

розв’язування задач на трапецію

Зверніть увагу: якщо AB=CD, то

2

BCADKDAN

Додаткові побудови, що використовуються для

розв’язування задач на трапецію

2) На рисунку CF II AB; ABCF — паралелограм. <CFD=<A; <DCF=<BCD - <A;

FD=AD-BC.

Додаткові побудови, що використовуються для

розв’язування задач на трапецію3) На рисунку CK II BD; BCKD — паралелограм. BC=DK .

Сторони ACK: AK=AD+BC; CK=BD .

Висота CF ACK збігається з висотою трапеції. Якщотрапеція ABCD рівнобічна, то ACK — рівнобедрений.

Вписані й описані чотирикутники

Теорема 1. Навколо чотирикутника можна

описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його

протилежних кутів дорівнює 180° .

На рисунку .

• Із цього випливає, що коло можна описати навколо прямокутника (рисунок нижче зліва), зокрема квадрата (рисунок справа), його центром буде точка перетину його діагоналей. Радіус — половина діагоналі.

Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки тоді, коли вона є рівнобічною (див. рисунок).

Центром кола є точка перетину середніх перпендикулярів до сторін. Навколо паралелограма та трапеції загального виду описати коло не можна. (Зокрема, навколо ромба не можна описати коло.)

Теорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна

описати навколо кола, якщо суми його

протилежних сторін дорівнюють одна одній.

На рисунку

Отже, коло можна вписати в ромб (зокрема у квадрат), алене можна в прямокутник або паралелограм загальноговиду.Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетинудіагоналей (рисунок нижче зліва). Радіус кола дорівнюєполовині висоти ромба, а у квадраті — половині сторони(рисунок справа).

Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) — цевисота прямокутного трикутника BOC, яка проведена звершини прямого кута і має всі властивості висотипрямокутного трикутника, що проведена з вершинипрямого кута.

• Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описатинавколо кола, коли сума її основ дорівнює сумі бічнихсторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола — точка перетину бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнюєполовині висоти трапеції. У випадку рівнобічної трапеціїцентр вписаного кола лежить на середині висотитрапеції, яка проходить через середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадкудорівнює її середній лінії.

До нових зустрічей!

Сподіваюся, ви запам'яталисьоднішній урок за темою:

“Чотирикутники”