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Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Zur Analyse Dirichlet’scher Formen aufmetrischen Graphen
Sebastian Haeseler
Friedrich-Schiller-Universitat Jena
28. November 2013
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Topologische Graphen
Ein topologischer Hausdorff-Raum XΓ mit hochstensabzahlbarer Basis heißt topologischer Graph falls jeder Punktx ∈ XΓ eine Umgebung hat die aussieht wie ein d-Stern
{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,
2(d−1)πd }.
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Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Topologische Graphen
Ein topologischer Hausdorff-Raum XΓ mit hochstensabzahlbarer Basis heißt topologischer Graph falls jeder Punktx ∈ XΓ eine Umgebung hat die aussieht wie ein d-Stern
{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,
2(d−1)πd }.
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Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Topologische Graphen
Ein topologischer Hausdorff-Raum XΓ mit hochstensabzahlbarer Basis heißt topologischer Graph falls jeder Punktx ∈ XΓ eine Umgebung hat die aussieht wie ein d-Stern
{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,
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Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Topologische Graphen
Ein topologischer Hausdorff-Raum XΓ mit hochstensabzahlbarer Basis heißt topologischer Graph falls jeder Punktx ∈ XΓ eine Umgebung hat die aussieht wie ein d-Stern
{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,
2(d−1)πd }.
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Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Topologische Graphen
Ein topologischer Hausdorff-Raum XΓ mit hochstensabzahlbarer Basis heißt topologischer Graph falls jeder Punktx ∈ XΓ eine Umgebung hat die aussieht wie ein d-Stern
{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,
2(d−1)πd }.
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Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Topologische Graphen
Ein topologischer Hausdorff-Raum XΓ mit hochstensabzahlbarer Basis heißt topologischer Graph falls jeder Punktx ∈ XΓ eine Umgebung hat die aussieht wie ein d-Stern
{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,
2(d−1)πd }.
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Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Topologische Graphen
Ein topologischer Hausdorff-Raum XΓ mit hochstensabzahlbarer Basis heißt topologischer Graph falls jeder Punktx ∈ XΓ eine Umgebung hat die aussieht wie ein d-Stern
{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,
2(d−1)πd }.
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Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Metrische Graphen
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v2
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e4 e5
e6e7
e8
e9
e10
I V = {vn} die Menge der Knoten,I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten
Mittels dieser Daten identifizieren wir jede Kante e mit[0, l(e)].
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Metrische Graphen
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I V = {vn} die Menge der Knoten,I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten
Mittels dieser Daten identifizieren wir jede Kante e mit[0, l(e)].
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Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Metrische Graphen
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I V = {vn} die Menge der Knoten,
I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten
Mittels dieser Daten identifizieren wir jede Kante e mit[0, l(e)].
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Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Metrische Graphen
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I V = {vn} die Menge der Knoten,
I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten
Mittels dieser Daten identifizieren wir jede Kante e mit[0, l(e)].
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Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Metrische Graphen
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I V = {vn} die Menge der Knoten,I E = {en} die Menge der Kanten,
I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten
Mittels dieser Daten identifizieren wir jede Kante e mit[0, l(e)].
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Formen aufmetrischen
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Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Metrische Graphen
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I V = {vn} die Menge der Knoten,I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der Kanten
I ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten
Mittels dieser Daten identifizieren wir jede Kante e mit[0, l(e)].
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Formen aufmetrischen
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Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Metrische Graphen
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I V = {vn} die Menge der Knoten,I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten
Mittels dieser Daten identifizieren wir jede Kante e mit[0, l(e)].
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Metrische Graphen
r
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I V = {vn} die Menge der Knoten,I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten
Mittels dieser Daten identifizieren wir jede Kante e mit[0, l(e)].
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Dirichletform
Wir betrachten auf dem Hilbertraum
L2(XΓ ) =⊕e∈E
L2(0, l(e))
fur Funktionen u = (ue)e∈E
die quadratische Form
E(u) =∑e∈E
l(e)ˆ
0
|u′e(t)|2 dt
mit Definitionsbereich
D(E) = C (XΓ ) ∩⊕e∈E
W 1,2(0, l(e)).
Dann ist D(E) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt
〈·, ·〉+ E(·, ·).
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Formen aufmetrischen
Graphen
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Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Dirichletform
Wir betrachten auf dem Hilbertraum
L2(XΓ ) =⊕e∈E
L2(0, l(e))
fur Funktionen u = (ue)e∈E die quadratische Form
E(u) =∑e∈E
l(e)ˆ
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mit Definitionsbereich
D(E) = C (XΓ ) ∩⊕e∈E
W 1,2(0, l(e)).
Dann ist D(E) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt
〈·, ·〉+ E(·, ·).
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Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Dirichletform
Wir betrachten auf dem Hilbertraum
L2(XΓ ) =⊕e∈E
L2(0, l(e))
fur Funktionen u = (ue)e∈E die quadratische Form
E(u) =∑e∈E
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mit Definitionsbereich
D(E) = C (XΓ ) ∩⊕e∈E
W 1,2(0, l(e)).
Dann ist D(E) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt
〈·, ·〉+ E(·, ·).
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Grundlegendes
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Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Dirichletform
Wir betrachten auf dem Hilbertraum
L2(XΓ ) =⊕e∈E
L2(0, l(e))
fur Funktionen u = (ue)e∈E die quadratische Form
E(u) =∑e∈E
l(e)ˆ
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|u′e(t)|2 dt
mit Definitionsbereich
D(E) = C (XΓ ) ∩⊕e∈E
W 1,2(0, l(e)).
Dann ist D(E) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt
〈·, ·〉+ E(·, ·).
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Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Leitmotivik
(A) Kann man Resultate/Ideen/etc. die bei der Analysismetrischer Graphen auftreten, auf allgemeineDirichletformen ubertragen?
(B) Kann man mit Werkzeugen aus der Theorie derDirichletformen neue Erkenntnisse zu metrischenGraphen erhalten?
(C) Kann man Probleme metrischer Graphen betreffend, aufProbleme diskreter Graphen reduzieren?
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
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Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Leitmotivik
(A) Kann man Resultate/Ideen/etc. die bei der Analysismetrischer Graphen auftreten, auf allgemeineDirichletformen ubertragen?
(B) Kann man mit Werkzeugen aus der Theorie derDirichletformen neue Erkenntnisse zu metrischenGraphen erhalten?
(C) Kann man Probleme metrischer Graphen betreffend, aufProbleme diskreter Graphen reduzieren?
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Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Leitmotivik
(A) Kann man Resultate/Ideen/etc. die bei der Analysismetrischer Graphen auftreten, auf allgemeineDirichletformen ubertragen?
(B) Kann man mit Werkzeugen aus der Theorie derDirichletformen neue Erkenntnisse zu metrischenGraphen erhalten?
(C) Kann man Probleme metrischer Graphen betreffend, aufProbleme diskreter Graphen reduzieren?
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Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Leitmotivik
(A) Kann man Resultate/Ideen/etc. die bei der Analysismetrischer Graphen auftreten, auf allgemeineDirichletformen ubertragen?
(B) Kann man mit Werkzeugen aus der Theorie derDirichletformen neue Erkenntnisse zu metrischenGraphen erhalten?
(C) Kann man Probleme metrischer Graphen betreffend, aufProbleme diskreter Graphen reduzieren?
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die fundamentale Zerlegung
Der Teilraum von D(E)
D(E)V = {u ∈ D(E) | u|V = 0}
ist abgeschlossen
und es gilt
D(E)V =⊕e∈E
W 1,2o (0, l(e)).
Das orthogonale Komplement
D(E)⊥V = H1V
besteht aus allen Funktionen die 1-harmonisch auf denKanten sind, d.h. es gilt
u′′e = ue .
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Formen aufmetrischen
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Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die fundamentale Zerlegung
Der Teilraum von D(E)
D(E)V = {u ∈ D(E) | u|V = 0}
ist abgeschlossen und es gilt
D(E)V =⊕e∈E
W 1,2o (0, l(e)).
Das orthogonale Komplement
D(E)⊥V = H1V
besteht aus allen Funktionen die 1-harmonisch auf denKanten sind, d.h. es gilt
u′′e = ue .
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die fundamentale Zerlegung
Der Teilraum von D(E)
D(E)V = {u ∈ D(E) | u|V = 0}
ist abgeschlossen und es gilt
D(E)V =⊕e∈E
W 1,2o (0, l(e)).
Das orthogonale Komplement
D(E)⊥V = H1V
besteht aus allen Funktionen die 1-harmonisch auf denKanten sind, d.h. es gilt
u′′e = ue .
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Graphen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Um den Raum H1V besser beschreiben zu konnen, betrachten
wir auf dem (diskreten) Raum
`2(V ,M) mit Maß M(v) =∑e∼v
cosh(l(e))− 1
sinh(l(e)),
fur Funktionen U : V → R
die quadratische Form
QK (U) =1
2
∑x ,y∈V ,e=(x ,y)
1
sinh(l(e))(U(x)− U(y))2
mit Definitionsbereich
D(QK ) = {U ∈ `2(V ,M) | QK (U) <∞}.
Dann ist (QK ,D(QK )) eine diskrete Dirichletform.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Um den Raum H1V besser beschreiben zu konnen, betrachten
wir auf dem (diskreten) Raum
`2(V ,M) mit Maß M(v) =∑e∼v
cosh(l(e))− 1
sinh(l(e)),
fur Funktionen U : V → R die quadratische Form
QK (U) =1
2
∑x ,y∈V ,e=(x ,y)
1
sinh(l(e))(U(x)− U(y))2
mit Definitionsbereich
D(QK ) = {U ∈ `2(V ,M) | QK (U) <∞}.
Dann ist (QK ,D(QK )) eine diskrete Dirichletform.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Um den Raum H1V besser beschreiben zu konnen, betrachten
wir auf dem (diskreten) Raum
`2(V ,M) mit Maß M(v) =∑e∼v
cosh(l(e))− 1
sinh(l(e)),
fur Funktionen U : V → R die quadratische Form
QK (U) =1
2
∑x ,y∈V ,e=(x ,y)
1
sinh(l(e))(U(x)− U(y))2
mit Definitionsbereich
D(QK ) = {U ∈ `2(V ,M) | QK (U) <∞}.
Dann ist (QK ,D(QK )) eine diskrete Dirichletform.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Um den Raum H1V besser beschreiben zu konnen, betrachten
wir auf dem (diskreten) Raum
`2(V ,M) mit Maß M(v) =∑e∼v
cosh(l(e))− 1
sinh(l(e)),
fur Funktionen U : V → R die quadratische Form
QK (U) =1
2
∑x ,y∈V ,e=(x ,y)
1
sinh(l(e))(U(x)− U(y))2
mit Definitionsbereich
D(QK ) = {U ∈ `2(V ,M) | QK (U) <∞}.
Dann ist (QK ,D(QK )) eine diskrete Dirichletform.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir
Theorem
Die Raume H1V und D(QK ) sind isometrisch isomorph
vermoge der Abbildung
u 7→ u|V .
Außerdem bildet dieser Isomorphismus harmonischeFunktionen auf harmonische Funktionen ab.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir
TheoremDie Raume H1
V und D(QK ) sind isometrisch isomorph
vermoge der Abbildung
u 7→ u|V .
Außerdem bildet dieser Isomorphismus harmonischeFunktionen auf harmonische Funktionen ab.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
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Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir
TheoremDie Raume H1
V und D(QK ) sind isometrisch isomorphvermoge der Abbildung
u 7→ u|V .
Außerdem bildet dieser Isomorphismus harmonischeFunktionen auf harmonische Funktionen ab.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir
TheoremDie Raume H1
V und D(QK ) sind isometrisch isomorphvermoge der Abbildung
u 7→ u|V .
Außerdem bildet dieser Isomorphismus harmonischeFunktionen auf harmonische Funktionen ab.
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Formen aufmetrischen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Zusammenfassend erhalten wir die fundamentaleOrthogonal-Zerlegung
Theorem
D(E) = D(QK )⊕⊕e∈E
W 1,2o (0, l(e))
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
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Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Zusammenfassend erhalten wir die fundamentaleOrthogonal-Zerlegung
Theorem
D(E) = D(QK )⊕⊕e∈E
W 1,2o (0, l(e))
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Zusammenfassend erhalten wir die fundamentaleOrthogonal-Zerlegung
Theorem
D(E) = D(QK )⊕
⊕e∈E
W 1,2o (0, l(e))
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Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Zusammenfassend erhalten wir die fundamentaleOrthogonal-Zerlegung
Theorem
D(E) =
D(QK )⊕⊕e∈E
W 1,2o (0, l(e))
Zur AnalyseDirichlet’scher
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Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Die Kirchhoff-Form
Zusammenfassend erhalten wir die fundamentaleOrthogonal-Zerlegung
Theorem
D(E) = D(QK )⊕⊕e∈E
W 1,2o (0, l(e))
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Formen aufmetrischen
Graphen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Regularitat
Eine Dirichletform (S,D(S)) heißt regular falls
D(S) ∩ Cc
dicht ist in Cc bzgl. ‖ · ‖∞ und in D(S) bzgl. derEnergienorm.
TheoremDie Dirichletform (E ,D(E)) ist genau dann regular, wenn dieDirichletform (QK ,D(QK )) regular ist.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Regularitat
Eine Dirichletform (S,D(S)) heißt regular falls
D(S) ∩ Cc
dicht ist in Cc bzgl. ‖ · ‖∞ und in D(S) bzgl. derEnergienorm.
TheoremDie Dirichletform (E ,D(E)) ist genau dann regular, wenn dieDirichletform (QK ,D(QK )) regular ist.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Transienz
Eine Dirichletform (S,D(S)) heißt transient falls derGrenzwert
limN→∞
N
0
Pt f (x) dt
fur alle f ∈ L1+ fast uberall endlich ist.
TheoremDie Dirichletform (E ,D(E)) ist genau dann transient, wenndie Dirichletform (QK ,D(QK )) transient ist.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Transienz
Eine Dirichletform (S,D(S)) heißt transient falls derGrenzwert
limN→∞
N
0
Pt f (x) dt
fur alle f ∈ L1+ fast uberall endlich ist.
TheoremDie Dirichletform (E ,D(E)) ist genau dann transient, wenndie Dirichletform (QK ,D(QK )) transient ist.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Stochastische Vollstandigkeit
Eine Dirichletform (S,D(S)) heißt stochastisch vollstandigfalls
Pt1 = 1.
TheoremDie Dirichletform (E ,D(E)) ist genau dann stochastischvollstandig, wenn die Dirichletform (QK ,D(QK ))stochastisch vollstandig ist.
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
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Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Stochastische Vollstandigkeit
Eine Dirichletform (S,D(S)) heißt stochastisch vollstandigfalls
Pt1 = 1.
TheoremDie Dirichletform (E ,D(E)) ist genau dann stochastischvollstandig, wenn die Dirichletform (QK ,D(QK ))stochastisch vollstandig ist.
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Formen aufmetrischen
Graphen
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Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Allgemeinere Graph-Dirichletformen
Ist (S,D) eine regulare Dirichletform auf L2(X ,m), dannsagt die Beurling-Deny Formel, daß S wie folgt dargestelltwerden kann:
S(u) =
ˆ
X
dΓ(u)
+
ˆ
X×X\d
(u(x)− u(y))2J(dx , dy) +
ˆ
X
u(x)2K (dx).
Idee fur Leitmotiv (A): diskrete Version der Beurling DenyDarstellung
I X XΓ metrischer Graph
I dΓ(u) |u′|2dm
I (J,K ) (j , k)
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Allgemeinere Graph-Dirichletformen
Ist (S,D) eine regulare Dirichletform auf L2(X ,m), dannsagt die Beurling-Deny Formel, daß S wie folgt dargestelltwerden kann:
S(u) =
ˆ
X
dΓ(u)
+
ˆ
X×X\d
(u(x)− u(y))2J(dx , dy) +
ˆ
X
u(x)2K (dx).
Idee fur Leitmotiv (A): diskrete Version der Beurling DenyDarstellung
I X XΓ metrischer Graph
I dΓ(u) |u′|2dm
I (J,K ) (j , k)
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Allgemeinere Graph-Dirichletformen
Ist (S,D) eine regulare Dirichletform auf L2(X ,m), dannsagt die Beurling-Deny Formel, daß S wie folgt dargestelltwerden kann:
S(u) =
ˆ
XΓ
dΓ(u)
+
ˆ
XΓ×XΓ \d
(u(x)− u(y))2J(dx , dy) +
ˆ
XΓ
u(x)2K (dx).
Idee fur Leitmotiv (A): diskrete Version der Beurling DenyDarstellung
I X XΓ metrischer Graph
I dΓ(u) |u′|2dm
I (J,K ) (j , k)
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Allgemeinere Graph-Dirichletformen
Ist (S,D) eine regulare Dirichletform auf L2(X ,m), dannsagt die Beurling-Deny Formel, daß S wie folgt dargestelltwerden kann:
S(u) =
ˆ
XΓ
|u′|2dm
+
ˆ
XΓ×XΓ \d
(u(x)− u(y))2J(dx , dy) +
ˆ
X
u(x)2K (dx).
Idee fur Leitmotiv (A): diskrete Version der Beurling DenyDarstellung
I X XΓ metrischer Graph
I dΓ(u) |u′|2dm
I (J,K ) (j , k)
Zur AnalyseDirichlet’scher
Formen aufmetrischen
Graphen
Sebastian Haeseler
Grundlegendes
Die fundamentaleZerlegung
Anwendung aufglobaleEigenschaften
AbschließendeBemerkung
Allgemeinere Graph-Dirichletformen
Ist (S,D) eine regulare Dirichletform auf L2(X ,m), dannsagt die Beurling-Deny Formel, daß S wie folgt dargestelltwerden kann:
S(u) =
ˆ
XΓ
|u′|2dm
+∑
x ,y∈V
j(x , y)(u(x)− u(y))2 +∑x∈V
u(x)2k(x).
Idee fur Leitmotiv (A): diskrete Version der Beurling DenyDarstellung
I X XΓ metrischer Graph
I dΓ(u) |u′|2dm
I (J,K ) (j , k)
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