WYKŁAD 8 FALE ELEKTROMAGNETYCZNE W OŚRODKU JEDNORODNYM I ANIZOTROPOWYM

WYKŁAD 8

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

W OŚRODKU JEDNORODNYM I ANIZOTROPOWYM

PLAN WYKŁADU

Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego jednoosiowego

Płytki falowe

Dichroizm w materiałach dwójłomnych, polaryzatory

Wektor Jonesa i rachunek Jonesa

PODSUMOWANIE

Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego, jednoosiowego

ED 0r

Dla ośrodka izotropowego:

Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego, jednoosiowego

ED 0r

Dla ośrodka izotropowego:

j

jiji EDDla ośrodka anizotropowego:

Rozwiązania równań Maxwella dla ośrodka anizotropowego, jednoosiowego

ED 0r

Dla ośrodka izotropowego:

j

jiji EDDla ośrodka anizotropowego:

z0zzy0yyx0xx E = D ; E = D ; E = D

W układzie osi głównych:

Główne stałe dielektryczne: , , zyx

Główne stałe dielektryczne:

Główne współczynniki załamania:

, , zyx

zzyyxx = n , = n , = n

Główne stałe dielektryczne:

Główne współczynniki załamania:

W ośrodku jednoosiowym:

, , zyx

zzyyxx = n , = n , = n

Główne stałe dielektryczne:

Główne współczynniki załamania:

W ośrodku jednoosiowym:

, , zyx

zzyyxx = n , = n , = n

oyx n = n = n „o” od ordinary, zwyczajny

Główne stałe dielektryczne:

Główne współczynniki załamania:

W ośrodku jednoosiowym:

, , zyx

zzyyxx = n , = n , = n

oyx n = n = n

n n = n oez

„o” od ordinary, zwyczajny

„e” od extraordinary, nadzwyczajny

Równania Maxwella dla dielektryka bez prądów i ładunków swobodnych:

tD

= H

0 = HtB

- = E

0 = D

Równania Maxwella dla dielektryka bez prądów i ładunków swobodnych:

Poszukujemy najprostszych rozwiązań; płaskie fale harmoniczne.

tD

= H

0 = HtB

- = E

0 = D

trkiexpHH

trkiexpEE

trkiexpDD

0

0

o

Równania Maxwella dla dielektryka bez prądów i ładunków swobodnych:

Poszukujemy najprostszych rozwiązań; płaskie fale harmoniczne.

tD

= H

0 = HtB

- = E

0 = D

trkiexpHH

trkiexpEE

trkiexpDD

0

0

o

HB 0

Otrzymamy:

00

0

000

0

Di- = Hki

0 = Hk

HiEki

0 = Dk

Otrzymamy:

00

0

000

0

Di- = Hki

0 = Hk

HiEki

0 = Dk

Po przemnożeniu drugiego równania przez i wykorzystaniu czwartego równania

otrzymamy:

ki

Otrzymamy:

00

0

000

0

Di- = Hki

0 = Hk

HiEki

0 = Dk

0

020

0

02

2

002

0D

k = D

c = D = Ekiki

Po przemnożeniu drugiego równania przez i wykorzystaniu czwartego równania

otrzymamy:

ki

Po skorzystaniu z tożsamości:

CBABCACBA

Po skorzystaniu z tożsamości:

mamy:

CBABCACBA

0

0200

200

Dk = EkkEkEkiki

Po skorzystaniu z tożsamości:

mamy:

CBABCACBA

0

0200

200

Dk = EkkEkEkiki

00r0 ED

Dla ośrodka izotropowego

mielibyśmy:

Po skorzystaniu z tożsamości:

mamy:

CBABCACBA

0

0200

200

Dk = EkkEkEkiki

00r0 ED

Dla ośrodka izotropowego

mielibyśmy:

a więc, z pierwszego równania Maxwella: 0Ek 0

i równanie: 0

0200

20

Dk = EkkEk

i równanie: 0

0200

20

Dk = EkkEk

sprowadziłoby się do:0r

200

2 Ek = Ek

i równanie: 0

0200

20

Dk = EkkEk

sprowadziłoby się do:0r

200

2 Ek = Ek

czyli: 220

2 nk = k

i równanie:

Dla ośrodka anizotropowego takie uproszczenie jest niemożliwe.

Musimy rozwiązać pełne równanie.

0

0200

20

Dk = EkkEk

sprowadziłoby się do:0r

200

2 Ek = Ek

czyli: 220

2 nk = k

i równanie:

Dla ośrodka anizotropowego takie uproszczenie jest niemożliwe.

Musimy rozwiązać pełne równanie.

0

0200

20

Dk = EkkEk

sprowadziłoby się do:0r

200

2 Ek = Ek

czyli: 220

2 nk = k

0ky

Przyjmiemy:

Ponieważ x i y są równoważne, zatem wszystkie możliwe k są dopuszczone (obrót układu współrzędnych wokół osi z)

W konsekwencji równanie:

0

0200

20

Dk = EkkEk

W konsekwencji równanie:

0

0200

20

Dk = EkkEk

sprowadzi się do:

W konsekwencji równanie:

0

0200

20

Dk = EkkEk

sprowadzi się do:

0 = EkE kkk EkEk

0 = EkE kk

0 = EkE kkk EkEk

z0z20z0

2z

2xzz0zx0x

y0y20y0

2z

2x

x0x20x0

2z

2xxz0zx0x

Wykorzystując główne współczynniki załamania otrzymamy:

0 = EkkE nkk z0zxx02o

20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

Wykorzystując główne współczynniki załamania otrzymamy:

0 = EkkE nkk z0zxx02o

20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

; 0 = E = E

0 E

'0z

'x0

'0y I-sze rozwiązanie: 2

o20

2 ' nk = k a zatem:

Wykorzystując główne współczynniki załamania otrzymamy:

0 = EkkE nkk z0zxx02o

20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

; 0 = E = E

0 E

'0z

'x0

'0y I-sze rozwiązanie: 2

o20

2 ' nk = k a zatem:

Długość wektora k’ nie zależy od kierunku; rozwiązanie „zwyczajne”.

POLARYZACJA!!!

0 = EkkE nkk z0zxx02o

20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

0 = EkkE nkk z0zxx02o

20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

0 E, E 0; E '0z

''x0

''0y

II-gie rozwiązanie:

2o

20

2 ' nk k wobec tego:

0 = EkkE nkk z0zxx02o

20

2z

0 = E nkk 0y2o

20

2

0 = E nkk+Ekk- 0z2e

20

2x0xzx

0 E, E 0; E '0z

''x0

''0y

II-gie rozwiązanie:

2o

20

2 ' nk k wobec tego:

0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

i układ 3 r-ń redukuje się do:

0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

Wyznacznik po przyrównaniu do zera da równanie:

0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

0 = kk nkk nkk 2z

2x

2e

20

2x

2o

20

2z

Wyznacznik po przyrównaniu do zera da równanie:

0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

0 = kk nkk nkk 2z

2x

2e

20

2x

2o

20

2z

2e

2o

20 nnkktóre po przemnożeniu, uproszczeniu i

podzieleniu przez:

Wyznacznik po przyrównaniu do zera da równanie:

0 = E nkk+Ekk-

0 = EkkE nkk

0z2e

20

2x0xzx

z0zxx02o

20

2z

da równanie:

0 = kk nkk nkk 2z

2x

2e

20

2x

2o

20

2z

2e

2o

20 nnkktóre po przemnożeniu, uproszczeniu i

podzieleniu przez:

202

e

2 ' 'x

2o

2 ' 'z k =

n

k

n

k

w kierunku z, i w kierunku x i y:

Wektor k’’ leży na elipsoidzie obrotowejo półosiach głównych:

0okn 0ekn

w kierunku z, i w kierunku x i y:

Wektor k’’ leży na elipsoidzie obrotowejo półosiach głównych:

0okn 0ekn

Powierzchnia wektora falowego, albo indykatrysa optyczna

w kierunku z, i w kierunku x i y:

Wektor k’’ leży na elipsoidzie obrotowejo półosiach głównych:

0okn 0ekn

Długość wektora k’’ wyznaczająca „efektywny” współczynnik załamania dla danego kierunku,

zależy od tego kierunku; rozwiązanie „nadzwyczajne”

Powierzchnia wektora falowego, albo indykatrysa optyczna

Stosunek składowych z i x pola E wyniesie:

2e

2o

' 'z

' 'x

' 'z

' 'x

2e

2o

2 ' 'x

' 'z

' 'x

2o

20

2 ' 'z

' 'x0

' 'z0

n

n

k

k- =

kkn

nk- =

kk

nkk =

E

E

Stosunek składowych z i x pola E wyniesie:

2e

2o

' 'z

' 'x

' 'z

' 'x

2e

2o

2 ' 'x

' 'z

' 'x

2o

20

2 ' 'z

' 'x0

' 'z0

n

n

k

k- =

kkn

nk- =

kk

nkk =

E

E

eo nn Gdyby: E prostopadłe do k’’

Stosunek składowych z i x pola E wyniesie:

2e

2o

' 'z

' 'x

' 'z

' 'x

2e

2o

2 ' 'x

' 'z

' 'x

2o

20

2 ' 'z

' 'x0

' 'z0

n

n

k

k- =

kkn

nk- =

kk

nkk =

E

E

eo nn Gdyby: E prostopadłe do k’’

eo nn Dla: D prostopadłe do k’’

Stosunek składowych z i x pola E wyniesie:

2e

2o

' 'z

' 'x

' 'z

' 'x

2e

2o

2 ' 'x

' 'z

' 'x

2o

20

2 ' 'z

' 'x0

' 'z0

n

n

k

k- =

kkn

nk- =

kk

nkk =

E

E

eo nn Gdyby: E prostopadłe do k’’

eo nn Dla: D prostopadłe do k’’

Polaryzacja liniowa, E leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory k’’ i osi z, stycznie do elipsy wektora falowego

Powierzchnie wektora falowegodla rozwiązania

zwyczajnego(okrąg; kula) i

nadzwyczajnego (elipsa; elipsoida

obrotowa)

OŚRODEK JEDNOOSIOWY, UJEMNY

Przypadki specjalne; k wzdłuż i prostopadłe do osi opt.

Wyjaśnienie dwójłomności:

4 +

m4Nq - 1 = n

220

0002

0

0

00

,n,n

Załóżmy, że wskutek naprężenia zmienia się częstość własna (NIEHARMONICZNOŚĆ).

Wówczas:

Rozchodzenie się światła w ośrodkach jednoosiowych

Rozchodzenie się światła w ośrodkach jednoosiowych

Polaryzacja prostopadła: bez załamania (zgodnie z prawem Snelliusa)

Rozchodzenie się światła w ośrodkach jednoosiowych

Polaryzacja prostopadła: bez załamania (zgodnie z prawem Snelliusa)

Polaryzacja równoległa: przesunięcie równoległe

PŁYTKI FALOWE

Powierzchnia kryształu zawiera oś optyczną

(z). Wektor falowy fali padającej prostopadły

do osi optycznej.

PŁYTKI FALOWE

Powierzchnia kryształu zawiera oś optyczną

(z). Wektor falowy fali padającej prostopadły

do osi optycznej.

o0

'z

txki0yy nk = k ; 0 = E ,eE = E

'

Dwa dozwolone rozwiązania:

zw.

PŁYTKI FALOWE

Powierzchnia kryształu zawiera oś optyczną

(z). Wektor falowy fali padającej prostopadły

do osi optycznej.

o0

'z

txki0yy nk = k ; 0 = E ,eE = E

'

e0

' 'y

t-xki0zz nk = k ; 0 = E ,eE = E

' '

Dwa dozwolone rozwiązania:

zw.

nadzw.

Dla polaryzacji liniowej, 45° do osi optycznej mamy, na wejściu do płytki falowej:

Dla polaryzacji liniowej, 45° do osi optycznej mamy, na wejściu do płytki falowej:

ti-0

0=xtxkni

z0txkni

0y

e c+b2

E =

eEceEb = 0xE 0e0o

21

45sin45cos gdyż:

Dla polaryzacji liniowej, 45° do osi optycznej mamy, na wejściu do płytki falowej:

ti-0

0=xtxkni

z0txkni

0y

e c+b2

E =

eEceEb = 0xE 0e0o

21

45sin45cos gdyż:

Po przejściu przez płytkę:

tdknii0 0oe ec+b2

E = dxE

gdzie: dknn 0oe

Dla ośrodka dodatniego jest dodatnie, oś z jest wolną a oś prostopadła będzie osią szybką

Dla ośrodka dodatniego

Gdy:

2

jest dodatnie, oś z jest wolną a oś prostopadła będzie osią szybką

mamy ćwierćfalówkę

cib2

E0 Amplituda wyniesie:

i mamy polaryzację kołową (jednakowe amplitudy b i c)

Dla ośrodka dodatniego

Gdy:

2

jest dodatnie, oś z jest wolną a oś prostopadła będzie osią szybką

mamy ćwierćfalówkę

cib2

E0 Amplituda wyniesie:

i mamy polaryzację kołową (jednakowe amplitudy b i c)

Działanie ćwierćfalówki, zmiana polaryzacji dla różnych przypadków, liniowa na eliptyczną lub kołową, kołowa na liniową, eliptyczna na eliptyczną lub liniową

DICHROIZM, polaryzatory

Dichroizm, różna absorpcja dla różnych polaryzacji w krysztale

DICHROIZM, polaryzatory

Dichroizm, różna absorpcja dla różnych polaryzacji w krysztale

Prawo Malusa: 20 cosII

eliminacja jednej składowej, natężenie (Poynting)

DICHROIZM, polaryzatory

Dichroizm, różna absorpcja dla różnych polaryzacji w krysztale

Prawo Malusa: 20 cosII

Skrzyżowane polaryzatory, trzeci polaryzator, dyskusja

eliminacja jednej składowej, natężenie (Poynting)

DICHROIZM, polaryzatory

Dichroizm, różna absorpcja dla różnych polaryzacji w krysztale

Prawo Malusa: 20 cosII

Skrzyżowane polaryzatory, trzeci polaryzator, dyskusja

Polaryzator i ćwierćfalówka, określanie stanu polaryzacji

eliminacja jednej składowej, natężenie (Poynting)

Wektor Jonesa:

Wektor Jonesa i rachunek Jonesa

z

y

E

E

Wektor Jonesa:

Wektor Jonesa i rachunek Jonesa

z

y

E

E

Wektor Jonesa dla różnych polaryzacji:

i-

1

21

, i

1

21

, 1

1

21

, 0

1 ,

1

0

Wektor Jonesa:

Wektor Jonesa i rachunek Jonesa

z

y

E

E

Wektor Jonesa dla różnych polaryzacji:

i-

1

21

, i

1

21

, 1

1

21

, 0

1 ,

1

0

Normowanie, dzielimy przez: 2z

2y EE

Po przejściu przez dowolny element optyczny:

z

y

'E

'E

Po przejściu przez dowolny element optyczny:

z

y

'E

'E

z

y

z

y

E

E

d,c

b,a

'E

'E

Po przejściu przez dowolny element optyczny:

z

y

'E

'E

z

y

z

y

E

E

d,c

b,a

'E

'E

d,c

b,aMacierz Jonesa elementu optycznego:

Po przejściu przez dowolny element optyczny:

z

y

'E

'E

z

y

z

y

E

E

d,c

b,a

'E

'E

d,c

b,aMacierz Jonesa elementu optycznego:

Macierz Jonesa ćwierćfalówki:

i0

01

21

Po przejściu przez dowolny element optyczny:

z

y

'E

'E

z

y

z

y

E

E

d,c

b,a

'E

'E

d,c

b,aMacierz Jonesa elementu optycznego:

Macierz Jonesa ćwierćfalówki:

i0

01

21

Macierz Jonesa polaryzatora,

kąt α z osią z:

2

2

coscossin

sincossin2

1

PODSUMOWANIE W ośrodku anizotropowym polaryzacja P ośrodka,

stała dielektryczna (przenikalność elektryczna) zależą od kierunku zewnętrznego pola

elektrycznego; współczynnik załamania także będzie zależał od kierunku drgań wektora natężenia pola

elektrycznego.

Dla monochromatycznej płaskiej fali em rozchodzącej się w ośrodku jednoosiowym istnieją

dwa rozwiązania; zwyczajne (współczynnik załamania nie zależy od kierunku wektora k) i

nadzwyczajne (współczynnik załamania zależy od kierunku wektora k)

PODSUMOWANIE

współczynnik załamania dla rozwiązania zwyczajnego:

yxon

współczynnik załamania dla rozwiązania nadzwyczajnego zależy od kierunku (indykatrysa),

i zawarty jest pomiędzy:

zen yxon

PODSUMOWANIE

różnica współczynników załamania dla rozwiązania zwyczajnego i nadzwyczajnego

przyjmuje wartość maksymalną:

eo nn

dla wektora falowego skierowanego prostopadle do osi optycznej

promień zw i nadzw rozdzielają się przestrzennie gdy wektor falowy k fali padającej na kryształ

tworzy kąt z osią optyczną (inny niż 0 i 90°)

PODSUMOWANIE

kierunek polaryzacji wektora E dla rozwiązania zwyczajnego to kierunek prostopadły do osi

optycznej (z) i wektora k

kierunek polaryzacji dla rozwiązania nadzwyczajnego leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez oś optyczną i wektor k (stycznie do elipsy

wektora falowego)

PODSUMOWANIE

Ćwierćfalówka to element optyczny wykonany z kryształu jednoosiowego z osią optyczną w

płaszczyźnie wejściowej. Ćwierćfalówka wprowadza różnicę faz równą 90° pomiędzy dwoma

nierozdzielonymi przestrzennie składowymi(o ortogonalnych polaryzacjach)

PODSUMOWANIE

Dwuwymiarowy wektor Jonesa składa się z unormowanych amplitud składowych pola

elektrycznego całkowicie spolaryzowanej płaskiej fali em. Elementom układu optycznego

przypisujemy macierze Jonesa o dwóch wierszach i dwóch kolumnach.