View
296
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Pengertian
• Besaran Skalar adalah suatu besaran
yang hanya mempunyai nilai dan
dinyatakan dengan suatu bilangan tunggal
disertai dengan sistem satuan yang
digunakan.
Contoh :
• Massa mobil 500 kg
• Tinggi menara 20 m
Pengertian
• Besaran Vektor adalah suatu besaran
yang mempunyai nilai dan arah.
• Contoh: sebuah mobil bergerak dengan
kecepatan 20 meter/detik ke selatan.
Pengertian
= notasi untuk vektor
• Titik pangkal di A
• Titik ujung di B
• Arah vektor dari A menuju B
• Besar vektor ditunjukan oleh panjang garis AB = |AB|
A
BA B
A B
Pengertian
Notasi Vektor
• Huruf kapital, A atau
• Vektor juga dapat ditulis dalam huruf kecil
tebal (a, k, v, w, dan x), sedangkan Skalar
ditulis dengan huruf kecil miring ( a, k, v,
w, dan x)
• huruf kecil diberi tanda garis di atas huruf
, huruf kecil diberi tanda garis di bawah
huruf
a
a
Vektor Di Ruang R2
• Vektor di dalam dimensi dua (R2)
• Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2)
21 a,aOAa
2
1
a
aa
Vektor posisi dari A
X
A
a1
a2
O
Y
Vektor Di Ruang R2
Vektor basis di ruang R2 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j
X
j = (0,1)
Y
i = (1,0)
Contoh Vektor a = 2i + 5j artinya sama dengan
a = = [2, 5] = 2 (1,0) + 5(0,1) = 2 + 5
5
2
0
1
1
0
Vektor Di Ruang R3
• Vektor di dalam dimensi tiga (R3)
• Untuk menyatakan posisi dari sebuah titik A(a1,a2,a3)
321 a,a,aOAa
3
2
1
a
a
a
a
Vektor posisi dari A
Y
Z
A
a1
a3
X
a2O
Vektor Di Ruang R3
Vektor basis di ruang R3 pada sumbu X dinyatakan dgn i, vektor satuan pada sumbu Y dinyatakan dgn j, sedangkan vektor dalam sumbu Z dinyatakan dgn kY
k = (0,0,1)
Z
j = (0,1,0)
Xi = (1,0,0)
Contoh Vektor a = 2i + 5j + 3k artinya sama dengan
a = = [2,5,3] = 2 (1,0,0) + 5 (0,1,0) + 3(0,0,1) = 2 + 5 + 3
352
001
010
100
Vektor Di Ruang Rn
• Vektor a di ruang Rn dinyatakan sebagai
a = [a1, a2, a3, ....., an]
• Panjang sebuah vektor a disebut norma a dinyatakan dgn
• Vektor satuan dalam arah a adalah
22
3
2
2
2
1 .... naaaaa
a
aaaae
na
],....,,,[ 321
Vektor Di Ruang Rn
• Contoh
Tentukan panjang vektor a = i + 2j – 3k dan vektor satuan dalam arah a !
14)3(21 222 a
14
3,
14
2,
14
1
14
]3,2,1[ae
Jarak Euclidean
Antara Dua Vektor
• Jarak vektor a = [a1,a2,a3,...,an] dan
vektor b = [b1,b2,b3,....,bn] dinyatakan
sebagai
22
33
2
22
2
11 ..... nn babababaab
Contoh
Jarak Euclideannya vektor a = i + 2j - 3k dan
vektor b = 2i + 5j - 4k adalah
Jarak Euclidean
Antara Dua Vektor
11191)4(35221222
ab
Operasi – Operasi pada Vektor
• Kesamaan Dua Buah Vektor
Dua buah vektor a dan b dikatakan sama jika
keduanya memiliki besar dan arah yang sama, dan ditulis a = b
a b
Operasi – Operasi pada Vektor
• Negatif Sebuah Vektor
Vektor (-a) adalah vektor yang mempunyai
arah berlawanan dengan vektor a tetapi
panjangnya sama dengan panjang vektor a.
a -a
Operasi – Operasi pada Vektor
• Penjumlahan atau Resultan VektorJumlah atau resultan dari dua vektor a dan b adalah
sebuah vektor c yang dibentuk dengan menempatkan
titik awal dari b pada titik terminal dari a dan kemudian
menghubungkan titik awal dari a dengan titik terminal
dari b
Maka resultan dari a + b = c
a ab
b
a + b = c
Operasi – Operasi pada Vektor
• Pengurangan Vektor
Selisih dari dua vektor a dan b ditulis a – b adalah
vektor c yang apabila ditambahkan pada bmenghasilkan vektor a. Secara ekuivalen dapat
ditulis a – b = a + (- b)
a b
- ba – b
Operasi – Operasi pada Vektor
• Perkalian Vektor dgn Skalar
Hasil kali vektor a dengan skalar m adalah sebuah
vektor ma yang besarnya |m| kali besar vektor a dan
arahnya
– searah dengan a jika m > 0
– berlawanan arah dengan a jika m < 0
– tak tentu jika m = 0
Sifat pada Operasi Vektor
1. a + b = b + a (komutatif)
2. (a + b) + c = a + (b + c) (asosiatif)
3. k(a + b) = ka + kb (distributif)
4. a + 0 = a
5. a +(- a) = 0
Dot Product / Inner Product
• Dot Product atau Perkalian Titik antara dua
vektor menghasilkan skalar.
• Bila dan adalah vektor-vektor
di Rn, θ adalah sudut antara a dan b (0 ≤ θ ≤ )
na
aa
a:2
1
nb
bb
b:2
1
π
na
aa
a:2
1
nb
bb
b:2
1
θ
ba
Dot Product / Inner Product
maka dot product/inner product dari a dan b, disajikan sebagai a ● b adalah suatu skalar yg didefinisikan sbg berikut:
a ● b = a1b1 + a2b2 + ..... +anbn
dimana sudut antara dua vektor tersebut :
Dengan merupakan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor
• bila tumpul
• bila lancip
• bila saling tegak lurus
ba
ba cos
0ba
0ba
0ba
Dot Product / Inner Product
Contoh:
Diketehui : vektor a = [2,-2,1] dan b = [1,3,5],
berapa cosinus sudut antara kedua vektor tsb?
391)2(2 222 a
35531 222 b 353
1 cos
ba
ba
Jawab
a ● b = 2.1 + (-2).3 + 1.5 = 1
Cross Product (Perkalian Silang)
Jika a = (a1 , a2 ,a3)
dan b = (b1 , b2 , b3) adalah vektor di
ruang R3, maka hasil kali silang a x b adalah vektor c yang tegak lurus
terhadap a dan b yg didefinisikan
θ
a
b
c
oleh determinan berikut
a x b = =
a x b = (a2 b3 – a3 b2 , -a1 b3 – a3 b1 , a1 b2 – a2 b1 )
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
21
21
31
31
32
32,,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
Cross Product (Perkalian Silang)
i j k
1 2 -2
3 0 1
Contoh
Carilah a x b di mana a = [1, 2, -2] dan
b = [3, 0, 1]
03
21,
13
21,
10
22Jawab
maka a x b =
= [2, -7, -6]
Proyeksi
Jika a dan b adalah vektor-vektor ruang-2 atau ruang-3,
dan jika ≠ 0, maka proyeksi vektor a sepanjang b adalah
(komponen vektor a sepanjang b )
b
bb
baa
2b
Proyeksi
Contoh
a = (2, -1, 3) b = (4, -1, 2)
Carilah komponen vektor a sepanjang b !
212)1(4 2222b
)7
10,
7
5,
7
20()2,1,4(
21
15
2b
b
b
baa
Jawab
a ● b = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 15
Vektor Orthogonal
dan Orthonormal
Vektor a dan b dikatakan orthogonal jika kedua
vektor tersebut saling tegak lurus. Ini berlaku
persamaan berikut
a ● b = 0
Sebuah vektor a dikatakan orthonormal jika
besar vektor tersebut 1. Dalam hal ini berlaku
persamaan berikut
1a
Vektor Orthogonal
dan Orthonormal
Contoh
Berikut adalah contoh himpunan vektor yang
saling tegak lurus (orthogonal)
karena dan dan
Ketiga vektor di atas hanya saja yg orthonormal,
karena panjangnya 1
300
020
001
0020
.001
0300
.001
0020
.300
001
Recommended